Monte-Carlo-Methoden zur Messunsicherheitsbestimmung in der chemischen Analytik - Programmalgorithmen und EXCEL/VBA-Software

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1 Monte-Carlo-Methoden zur Messunsicherheitsbestimmung in der chemischen Analytik - Programmalgorithmen und EXCEL/VBA-Software Siegfried Noack Abstract - Deutsch Die Durchführung von chemischen Analysen unter Variation aller unsicherheitsbeeinflussenden Parameter ist arbeitstechnisch, zeitllich und ökonomisch nicht durchführbar. Zur realistischen Abschätzung einer Unsicherheit durch Simulation ist daher die Monte-Carlo-Technik eine geeignete Methode, weil es möglich ist, die in der chemischen Analytik gültigen Verteilungsmodelle (Normalverteilung, Poissonverteilung, Rechteckverteilung, Dreiecksverteilung) sehr gut über Zufallsgeneratoren nachzubilden. Auch sind in der lösungsbasierten Analytik die Algorithmen für die Zielgröße in Abhängigkeit von den Einflussparametern wie Temperatur, Dichte, Volumen, Masse, Reinheit usw. exakt beschreibbar. Deshalb bilden Monte-Carlo-Simulationen von Analysenprozessen die Realität sehr gut ab. Geeignet ist auf elegante Weise eine Programmsprache die mit Tabellenkalkulationsprogrammen (z. B. Visual Basic for Applications auf EXCEL-Basis) verknüpft ist, da einerseits eine einfache Programmierbarkeit der Algorithmen gegeben ist, zum anderen viele analytische Einzeldaten einfach bearbeitet werden können und auf diese Daten ein sehr einfacher Zugriff möglich ist. Am Beispiel des Box-Müller-Algorithmus für Normalverteilungen und der Simulation von Rechteckverteilungen wird demonstriert, welche Möglichkeiten die Monte-Carlo-Technik bietet und wie diese mit VBA-EXCEL umzusetzen sind, um z. spezielle Aspekte in der Analytik zu untersuchen: Welches Kalibrierniveau bei einer Kalibration trägt am meisten zur Unsicherheit bei? Wie wirkt sich die Probenlage im Arbeitsbereich auf die Unsicherheit aus? Welchen Einfluss hat die Temperatur auf die Unsicherheit von Lösungskonzentrationen? u.a.m. 1 (( Times 10 pt))

2 Abstract Englisch The procedure of a chemical analysis by variation of all uncertainty influencing parameters is not possible because of technical, temporal and economic reasons. For a realistic estimation of an uncertainty by simulation the Monte-Carlo technique is an appropriate method, because it is possible to emulate probability density functions being valid in analytical chemistry (Gaussian, rectangle, Poisson, triangle)by a random generator. In analytical chemistry being based on solutions the algorithms for the output variable (mass fraction or concentration) depending on influencing parameters like temperature, density, volumes, mass, purity etc. are accurately specified. Well usable is a computer language combined with a spreadsheet (e.g. Visual Basic for Applications (VBA) with EXCEL), because the algorithms are programmable in a very easy way and many analytical data can be handled. The data access is easy to be realized too. Considering Box-Müller algorithm as example for normal distributions and by simulation of rectangle distributions special applications of Monte Carlo technique in analytical chemistry and the implementation by VBA and EXCEL are demonstrated: Uncertainty contributions of calibration. Location of sample concentration within the dynamic range Influence of temperature on the uncertainty of the analyte concentration etc. Problemstellung Chemische Analysenverfahren umfassen nicht nur Messungen einer physikalischen Größe, sondern setzen sich aus mehreren einzelnen Teilschritten wie Probenahme, Probenvorbereitung (Herstellung von Kalibrier- und Analysenproben), Messung, und Auswertung zusammen, von denen die Messung nur einen Teilschritt darstellt. Die Ergebnisse von quantitativen Bestimmungen und deren Unsicherheit werden daher durch eine Vielzahl von einzelnen Parametern beeinflusst. Die unsicherheitsbestimmenden Einflüsse resultieren dabei häufig nicht aus der Messung von Kalibrier- und Analysenproben sondern vor allem aus Schritten der Probenvorbereitung (Aufschlüsse, Löseverfahren, Extraktionen etc.), der Herstellung der Kalibrierproben ( Matrixproblem) und einer meist nicht repräsentativen Probenahme. Eine realistische Unsicherheitsangabe setzt daher die Kenntnis aller relevanten Unsicherheitsquellen voraus erfordert aber darüberhinaus auch die Kenntnis der Verteilung aller 2 (( Times 10 pt))

3 möglichen Ergebnisse. Eine häufige Form der Unsicherheitsangabe stellt die erweiterte Unsicherheit U mit einem Erweiterungsfaktor k=2 dar. Dabei wird angenommen, dass durch diese Unsicherheit ein Vertrauensbereich für das Analysenergebnis auf einem Vertrauensniveau von 95% charakterisiert wird [1] Der Erweiterungsfaktor k=2 ist aber nur bei einer sehr hohen Anzahl von Wiederholungen der Analyse bzw. der Ermittlung der Eingangsgrößen streng gültig. Insbesondere bei kleinem n, d.h. nur Einfach- oder Doppelbestimmungen werden Unsicherheitsangaben nur aus deren Kenndaten (Mittelwert, Standardabweichung) sehr unzuverlässig, da eine sinnvolle statistische Behandlung der nur wenigen Daten nicht möglich ist und zudem systematische Fehlerquellen nicht berücksichtigt werden [2]. In der analytischen Praxis insbesondere von Prüflaboratorien ist eine mehrfache Wiederholung von Analysen aus ökonomischen Gründen oft nicht möglich. Daher müssen die für die Unsicherheitsermittlung notwendigen Kenngrößen (z.b. Verfahrensstreuungen) häufig aus anderen Quellen wie z. B. Ringversuchergebnissen abgeleitet werden. Dies kann zu Kompatibilitätsproblemen führen, da Ergebnisse aus Ringversuchen nicht immer auf das praktische Analysenproblem übertragbar sind. Unsicherheitsangaben sind daher oft nur grobe Näherungen. Die Ermittlung kompletter Unsicherheitsbudgets ist ebenfalls für die meisten Laboratorien nicht durchführbar. Da Analysenergebnisse jedoch häufig für die Bewertung anderer Zusammenhänge benötigt werden (z. B. Grenzwerte von Schadstoffen, Werkstoffeigenschaften), ist ein zuverlässiges Analysenergebnis und damit eine zuverlässige Unsicherheitsangabe eine notwendige Voraussetzung. Um einen Überblick über die Verteilung von möglichen Analysenergebnissen zu erhalten, ist eine große Anzahl von Einzelergebnissen erforderlich. Da die Durchführung von chemischen Analysen unter Variation aller unsicherheitsbeeinflussenden Parameter arbeitstechnisch, zeitllich und ökonomisch nicht realisierbar ist, erscheint die Suche nach Abschätzung einer Unsicherheit durch Simulation sinnvoll. Unter bestimmten Voraussetzungen ist hierfür die Monte-Carlo-Technik eine geeignete Methode. 3 (( Times 10 pt))

4 Einflussgrößen in der chemischen Analytik Die Monte-Carlo-Simulationstechnik entspricht einem virtuell durchgeführten Experiment, bei dem in großer Zahl die Einflussparameter entsprechend ihrem zugrundeliegenden Verteilungsmodell variieren [3]. Dabei erhält man praktisch die komplette Grundgesamtheit aller möglichen Analysenergebnisse, was im Laborexperiment nicht möglich ist. Die meisten chemischen Analysenmethoden sind kalibrierbedürftig, d.h. erfordern die Kenntnis des Zusammenhangs zwischen einer methodisch vorgebenen Messgröße und dem Gehalt der interessierenden Analyten im zu untersuchenden Material bzw. daraus hergestellten Messproben. Viele Analysenverfahren sind zudem lösungsbasiert (Spektrometrie, Chromatographie), d.h. erfordern die Herstellung von Lösungen. Auf Grund der Teilschritte wie Probenvorbereitung, Kalibrierung und Messung ist zwischen Basisparametern, Kalibrierparametern und Messparametern zu unterscheiden. Während die Einflüsse von Basisparametern (Massen, Volumen, Temperatur, Dichten, Reinheitsgrade etc.) und Kalibrierparametern (Breite des Arbeitsbereichs, Anzahl der Kalibrierniveaus, Lage der Probe im Arbeitsbereich) auf die Gehalte in den Kalibrierproben und der Analysenprobe durch Algorithmen beschreibbar sind, ist dies bei den Messparametern, welche die Messwerte und deren Unsicherheit beeinflussen (Messpräzision, Drifteffekte, Interferenzen etc.) meist nur empirisch möglich. Verteilungsmodelle in der chemischen Analytik Der grundsätzliche Einfluss der Basis- und Kalibrierparameter auf die Messunsicherheit ist daher vorteilhaft über die Monte-Carlo-Technik ermittelbar, da die relevanten Verteilungsmodelle (Normalverteilung, Poissonverteilung, Rechteckverteilung, Dreiecksverteilung) sehr gut über Zufallsgeneratoren nachzubilden sind. Insbesondere der Box-Müller-Algorithmus zur Simulation normalverteilter Größen bietet hier Vorteile, da er eine exakte Ableitung aus der Verteilungsfunktion der Gaußverteilung darstellt und keine Näherungslösung ist [4]: ( 2 π ) x = - 2 lnui cos u i + 1 ( 2 π ) y = - 2 lnui sin u i + 1 N i = N + σ x = N + σ y N i + 1 u i, u i+1 : Rechteckverteilte Zufallszahlen (0<u<1) Vorzugebende Parameter der Grundgesamtheit: N, σ x, y: Normalverteilte Zufallszahlen [N(0,1] 4 (( Times 10 pt))

5 Problemlösungen in der chemischen Analytik durch Monte-Carlo-Simulation Durch Anwendung der Monte-Carlo-Technik sind zahlreiche Fragestellungen beantwortbar, die mit den herkömmlichen Methoden der Unsicherheitsermitlung nicht oder nur mit einem großen Aufwand lösbar sind: Abhängigkeit des Verteilungsmodells der Zielgröße von den Verteilungsmodellen der Eingangsgrößen Es zeigt sich, dass bei nicht dominierenden Parametern die Zielgröße Konzentration stets einer Normalverteilung folgt, unabhängig davon, ob die Eingangsgrößen z.b. alle rechteck- oder normalverteilt sind. Die Kenntnis des Verteilungsmodells der Eingangsgrößen bei nicht dominierenden Parametern ist daher für die Unsicherheitsermittlung der Konzentrationen in Kalibrier- oder Probelösungen nicht relevant. Abhängigkeit des Verteilungsmodells der Zielgröße von dominierenden Eingangsgrößen Liegt ein dominierender Parameter vor (z. B. ein Reinheitsgrad einer Primärsubstanz), dann folgt die Verteilung der Konzentration einer Rechteck- oder Trapezverteilung. Bei zwei dominierenden Parametern erhält man eine Dreiecksverteilung. Mit zunehmender Angleichung des prozentualen Einflusses der Eingangsgrößen nähert sich die Verteilung der Zielgröße einer Normalverteilung. Abhängigkeit des Verteilungsmodells der Zielgröße von der Niveaubreite bei der Kalibration Je enger die Niveauabstände der Gehalte in den Kalibrierproben- bzw. Kalibrierlösungen sind, umso mehr folgt die Verteilung der Zielgröße (Massenanteil des Analyten in der Analysenprobe) dem Modell einer Lorenz-Verteilung und führt zu insgesamt hohen Unsicherheiten, da die Häufigkeit von Extremwerten dann zunimmt. Dies gilt selbst dann, wenn sich die Messwerteverteilungen der Kalibrierprobe nicht oder nur wenig überlappen., Normalverteilungen von Analysenergebnissen sind daher bei kalibrierbedürftigen Methoden nur dann zu erwarten, wenn der Arbeitsbereich groß genug gewählt wird. Abhängigkeit der Unsicherheit von der Lage der Analysenprobe im analytischen Arbeitsbereich. Es zeigt sich, dass der größte Beitrag zur Gesamtunsicherheit von der Messung der Analysenprobe und der Kalibrierprobe herrührt, die der Obergrenze des Arbeitsbereichs am nächsten kommt. Bei der Herstellung der Kalibrierproben ist daher auf eine exakte Arbeitsweise insbesondere bei hochkonzentrierten Kalibrierlösungen zu achten 5 (( Times 10 pt))

6 Programmtechnische Realisierung von Monte-Carlo-Simulationen Zur programmtechnischen Realisierung von Monte-Carlo-Simulationen ist das Tabellenkalkulationsprogramm EXCEL in Zusammenhang mit der Programmsprache VBA (Visual Basic for Applications) besonders gut geeignet, da einerseits eine einfache Programmierbarkeit der Algorithmen gegeben ist, zum anderen viele analytische Einzeldaten einfach bearbeitet werden können und auf diese Daten auch ein sehr einfacher Zugriff möglich ist. Zudem verfügen EXCEL sowie VBA über einfache Möglichkeiten zur Realisierung von Zufallszahlen, die für die Generierung rechteck- bzw. normalverteilter Eingangsgrößen nach dem Zufallsprinzip erforderlich sind: Programmroutine für Monte-Carlo-Simulation (1) m: Anzahl Simulationen n: Anzahl Eingangsgrößen p(i): i-te Eingangsröße u(i): Standard-Unsicherheit von p(i) summe_y=0 summe_y2=0 For k=1 to m n Eingangsgrößen würfeln For i=1 to n x(i)=zufallsgenerator (p(i), u(i), v(i)) Next i Zielfunktion berechnen y(k)=zielfunktion (x(1), x(2), x(3), x(n)) summe_y=summe_y+y(k) summe_y2=summe_y2+(y(k)^2) Next k. BAM I Abteilung für Analytische Chemie; Referenzmaterialien Programmroutine für Monte-Carlo-Simulation (2) Kenndaten berechnen Mittelwert=summe_y/m h=summe_y2-((1/m)*(summe_y2^2)) Standardabweichung=sqr(h/(m-1)) Zielgrößen sortieren Sortieren (y(1)...y(m)) Toleranzgrenzen berechnen Alpha=5 Index_95_unten=(m/100)*(Alpha/2) Index_95_oben=m-((m/100)*(Alpha/2)) Toleranzgrenze_unten_95=y(Index_95_unten) Toleranzgrenze_unten_95=y(Index_95_oben) 6 (( Times 10 pt)) BAM I Abteilung für Analytische Chemie; Referenzmaterialien

7 Beispiele zu Problemlösungen durch Monte-Carlo-Simulation Beispiel 1: Annäherung der Zielverteilung an das theoretische Modell (hier: Normalverteilung bei nicht dominierenden Parametern) mit steigender Anzahl Simulationen: n = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , n = , , , , , , , , , , , , , , , , , Abb.1a+b: Soll-Ist-Verhalten der Zielverteilung in Abhängigkeit von der Anzahl Simulationen Beispiel 2: Bei einem dominierenden Parameter nähert sich die Zielverteilung dem Verteilungsmodell der dominierenden Eingangsgröße an: Abb.2 : Zielverteilung bei dominierendem rechteckverteiltem Parameter 7 (( Times 10 pt))

8 Beispiel 3: Enge Niveauschachtelung bei Kalibrierungen führt zu einer starken Abweichung der Verteilung der Zielgröße (Analytgehalt in der Probe) von der Normalverteilung (Lorenz-Profil) Zielgröße bei enger Niveaubreite bei der Kalibration BAM I Abteilung für Analytische Chemie; Referenzmaterialien Abb.3 : Verteilung des Analytgehalts in der Probe bei enger Niveauschachtelung der Kalibrierproben Zielgröße bei extrem enger Niveaubreite bei der Kalibration BAM I Abteilung für Analytische Chemie; Referenzmaterialien Abb.4 : Verteilung des Analytgehalts in der Probe bei extrem enger Niveauschachtelung der Kalibrierproben 8 (( Times 10 pt))

9 Literatur [1] W. Hässelbarth, Ermittlung von Messunsicherheiten bei quantitativen Prüfergebnissen, BAM-Leitfaden zur Ermittlung von Messunsicherheiten bei quantitativen Prüfergebnissen, BAM-Forschungsbericht Nr. 266, Stand März 2004, pdf, 2 MB [2] Stavros Kromidas, Handbuch Validierung in der Analytik, Wiley-VCH Verlag GmbH, Weinheim 2000 [3] I.M. Sobol, Die Monte-Carlo-Methode, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974 [4] J. Flohrer, Das BOX MUELLER Verfahren, TU Chemnitz, Fakultät für Informatik Lehrstuhl Modellierung u. Simulation; Internet: Autorenangabe Dr. Siegfried Noack Bundesanstalt für Materialforschung und prüfung (BAM), Fachgruppe I.1 Richard-Willstätter-Straße Berlin Tel.: (030) Fax: (030) Siegfried.noack@bam.de 9 (( Times 10 pt))