Mechanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 1 Prinzipe der Mechanik, Kontinuumsschwingungen, Hydromechanik 21. April 2006

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1 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 1 uf den foenden Seiten ist der ufabenkatao für Mehanik 3 abedrukt, aus de jede Wohe ufaben für die Große Übun, die Tutorien und das eienständie rbeiten ausewäht werden. Lösunen zu den Tutorius- und Hausaufaben werden unefähr eine Wohe nah Bearbeitun veröffentiht. Leider sheihen sih anha in die veröffentihten Lösunen Feher ein. Wir beühen uns, diese öihst züi zu beseitien. Jeder Student ist aber in erster Linie sebst verantwortih. Daru sebständi rehnen! Wer erne noh ehr ufaben (it Musterösunen) rehnen öhte, sei auf die breite uswah an ufabenbühern verwiesen. Die ufaben werden niht notwendierweise in der Reihenfoe des Kataos abearbeitet. Inhatsverzeihnis 1 Prinzipe der Mehanik Prinzip der virtueen Verrükunen Laraneshe Geihunen Verfahren von Ritz Sätze von Castiiano Dynaik eastisher Kontinua Beweunsdifferentiaeihun Weenausbreitun, Lösun nah d ebert freie Shwinunen, Lösun nah Bernoui erzwunene Shwinunen Grundaen der Hydroehanik Hydrostatik Bernouishe Geihun Ipussatz Reibunsbehaftete Ströunen Literatur [1] Gross, Dietar, Werner Hauer, Water Shne und Peter Wriers: Tehnishe Mehanik, Band 4 Hydroehanik, Eeente der Höheren Mehanik, Nuerishe Methoden. Spriner, 2. ufae, (Neuere usabe) in der Lehrbuhsaun: 5Lh381. [2] Guert, Peter und Kar-uust Rekin: Mehanik. Viewe, 2. ufae, In der Lehrbuhsaun: 5Lh296. [3] Guert, Peter und Kar-uust Rekin: Mehanik. Siene Pubiations, Habur, vierte ufae, (Ätere usabe) in der Lehrbuhsaun: 5Lh296. [4] Hauer, Werner, Water Shne und Dietar Gross: Tehnishe Mehanik, Band3 Kinetik. Spriner, 6. ufae, (Neuere usabe) in der Lehrbuhsaun: 5Lh380.

2 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 2 [5] Kuypers, Friedhe: Kassishe Mehanik. VCH, zweite ufae, [6] Meyber und Vahenauer: Höhere Matheatik 2. Spriner-Vera, vierte ufae, 20. In der Lehrbuhsaun: 5Lf592. [7] Ostereyer: Mehanik III. Institut für Mehanik, TU Berin, [8] Shne, Water, Dietar Gross und Werner Hauer: Tehnishe Mehanik, Band2 Eastostatik. Spriner, 6. ufae, 1998.

3 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 3 1 Prinzipe der Mehanik 1.1 Prinzip der virtueen Verrükunen 1. Die abebidete Konstruktion besteht aus drei starren Baken (B, BC und CD) und einer Stütze, die in der Mitte des Bakens B anebraht ist. Zur Diensionierun der Stütze so die Kraft in der Stütze bestit werden E 1 2 B Führen Sie die Berehnunen auf zwei vershiedenen Ween durh: (a) Shneiden Sie frei und berehnen Sie die esuhte Kraft ittes Kräfte- und Moenteneihewihten. D C (b) Nutzen Sie das Prinzip der virtueen Verükunen zur Bestiun der esuhten Kraft. F Ge.: F, 2. Bei eine Kobenkopressor wirke in der skizzierten Steun auf die Kobenfähe die Gaskraft F G. Wie roß ist das erforderihe Moent M, wenn die Reibunskräfte vernahässit werden können und statishes Geihewiht vorausesetzt wird? F G α M Ge.: F G,, α 3. Bei eine Kobenkopressor wirke in der skizzierten Steun auf die Kobenfähe die Gaskraft F G. uf die rehte Stane wirkt das ntriebsoent M.Bestien Sie die Geihewihtsae (Winke α), wenn die Reibunskräfte vernahässit werden. F G α M Ge.: F G,, M 4. Bestien Sie it der Methode der virtueen Verrükunen für foenden Krabaken die Laerreaktionen. Ge.: q 0, q 0 5. Bestien Sie für das skizzierte Syste it Hife der Methode der virtueen rbeit / Leistun / Verrükunen (a) die Laerkraft i Punkt B (b) ae Shnittasten b B a F H Ge.: F, H, a, b

4 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 4 6. Ein Geenkvierek besteht aus drei starren Baken der Läne. In der Mitte des Bakens B ist eine Feder der Steifikeit k anebraht. Die Feder ist stets senkreht und sei entspannt, wenn α = 0 (horizontae Lae der Baken B und CD). Bestien Sie die Geihewihtsae (Winke α G ). k B Ge.: F,, α D α C F 7. Bestien Sie it der Methode der virtueen Verrükunen für den skizzierten Baken die Laerreaktionen! q 0 a Ge.: q 0,, a, α 8. Für den durh eine Einzekraft P beasteten skizzierten Baken ist die Laerkraft i Punkt C sowie das Shnittoent i Punkt B it de Prinzip der virtueen Verrükunen zu bestien. Ge.: P,, a, b 9. Das abebidete Fahwerk aus starren Stäben wird it der Kraft F beastet. e α P B C a b F (a) Berehnen Sie it den Basisvektoren e 1 und e 2 sowie it Skizze a) dieortsvektorenr und r F zu den nriffspunkten der Kräfte und F.Berehnen Sie die Variationen δr und δr F. Berehnen Sie die Laerkraft ithife des PdvV. (b) Notieren Sie it Skizze b) denortsvektorr F = r S zu eeinsaen nriffspunkt der Kräfte F und S. Berehnen Sie die Variationen δr F und δr S. Berehnen Sie die Stabkraft S ithife des PdvV, inde Sie S as äußere Last ansehen. e 2 a F S 1 3 a 1 3 a 1 3 a F Hinweis: atan 3 3 =30 os 30 = 3 2 sin 30 = 1 2 ϕ ϕ ϕ Skizze a) Skizze b) S S

5 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Für das aus starren Stäben bestehende skizzierte Fahwerk unter der Beastun W sind foende Größen it de Prinzip der virtueen Verrükunen zu bestien: W C (a) Die ufaerkraft i Punkt B, (b) die Stabkraft S BC. Ge.: W,, β 11. Das skizzierte Bakensyste ist durh ein Einzeoent M 0 und eine Einzekraft K beastet. e Baken sind starr und asseos. (a) Berehnen Sie it de Prinzip der virtueen Verrükunen das Shnittoent M an der Stee C ( = a). (b) Bestien Sie ebenfas it Hife des Prinzip der virtueen Verrükunen die Laerkraft in B. β B D C B K a a b b z M 0 Ge.: a, b,, K, M Die abebidete Konstruktion aus starren Stäben wird it der Kraft F beastet und befindet sih i statishen Geihewiht. Berehnen Sie it de Prinzip der virtueen Verrükunen die Hatekraft K as Funktion des Winkes ϕ! Ge.: F, C F 2 y ϕ ψ K(ϕ) B 1.2 Laraneshe Geihunen 13. Für eine übershäie Diensionierun einer Werkzeuashine soen die Eienfrequenzen des abebideten Ersatzsystes berehnet werden. Bei der Untersuhun des shwinunsfähien Systes so die Reibun vernahässit werden. Für q 1 = q 2 = 0 sind ae Federn entspannt q 1 q 2 Ge.:, Gehen Sie wie fot vor: (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Steen Sie die kinetishe Enerie T und potentiee Enerie U des Systes auf. () Bestien Sie nun die Laranefunktion L. (d) Wie auten die Beweunsdifferentiaeihunen?

6 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Zwei asseose Stanen (Länen 1 und 2 ) und zwei Punktassen 1 und 2 biden ein Doppepende. (a) Bestie für die Beweun des skizzierten Doppependes in einer vertikaen Ebene (Erdbesheuniun ) it Hife der Laraneshen Geihunen 2. rt die Beweunseihunen. Nutze die eneraisierten Koordinaten ϕ 1 und ϕ 2. (b) Wie auten die Geihewihtsaen? 15. Ge.: 1, 2, 1, 2, (a) Für das skizzierte Syste stee an das Beweunsdifferentiaeihunssyste auf und shreibe es auf Matrizenfor u. Es soen von vornherein keine usenkunen anenoen werden. (b) Man berehne die Eienkreisfrequenzen und die dazuehörien Eienforen des Systes. 16. Ge.: 1 = 1 4, 2 = 3 =, 1 = 2 3, 2 =, Θ S = 1 2 1r 2, r (t) uf einer shiefen Ebene bewet sih reibunsfrei ein Körper der Masse, Beweunskoordinate s, infoe der Shwerkraft abwärts. In einer radiaen Bohrun ist ein Zyinder der Masse M, der Reativkoordinate, eastish aneordnet, der sih ebenfas reibunsfrei beween kann. usehend von der Ruheae des Systes sind it den Laraneshen Geihunen 2. rt die Beweunsdifferentiaeihunen für die eneraisierten Koordinaten s und aufzusteen. Ge.:, M,, α, y Die ufhänevorrihtun eines ebenen Pendes it der zeitih veränderihen Läne (t) und der Pendeasse 2 eitet reibunsfrei auf einer horizontaen Führun und hat die Masse 1. Eritten Sie it Hife der Laraneshen Geihunen 2. rt die Beweunsdifferentiaeihunen für das Syste. Ge.: 1, 2, (t), 18. Ein Massenpunkt ist a unteren Ende einer Feder k anebraht. oberen Ende ist die Feder eaert. In spannunoser Ruheae hat die Feder die Läne r 0. Steen Sie die Beweunsdifferentiaeihunen des Systes it Hife der Laraneshen Geihunen 2.rt auf. Ge.: k,, r 0, r, ϕ,

7 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Das skizzierte Syste shwint it keinen usenkunen. Die Feder und der Pendestab sind asseos. Die Läne der entspannten Feder ist 0. Stee die Shwinunsdifferentiaeihun für das skizzierte Syste it Hife der Laraneeihunen 2. rt auf! Ge.: 1, 2,Θ 1,Θ 2,, r,,, , Θ 1 Ψ ϕ 0 r 2, Θ Ein starrer Körper führt Shwinunen in einer vertikaen Ebene unter de Einfuß der Shwerkraft aus. Der Zapfen (Radius r) rot ohne zu eiten auf der starren Unterae. Der Zapfenittepunkt P wird über eine Feder it der Steifikeit k ehaten. Die Reibun des Systes sei vernahässibar bis auf ein Roreiboent M it konstante Betra. Die Lae des Systes ist bestit durh den Drehwinke ϕ. Beiϕ = 0 sei die Feder entspannt und der Massenittepunkt C stehe enau senkreht über de Zapfenittepunkt P. Der Massenittepunkt C des Gesatsystes hat den bstand a vo Zapfenittepunkt P. Der Körper hat die Masse und das Massenträheitsoent J C u den Massenittepunkt. (a) Bestien Sie die Larane-Geihun(en) 2. rt (Beweunsdifferentiaeihun/en) des Systes. (b) Leiten Sie nun für den Fa des atten Rokontaktes (M = 0) aus den/der Beweunsdifferentiaeihun(en) eine Bestiunseihun für die statishe(n) Ruheae(n) her. ϕ a C P r k Ge.: a, r,, k, M,, J C Literatur: [4, S ] 21. Ein starrer Körper (Masse 1 ) eitet reibunsfrei in vertikaer Rihtun und ist über eine asseose Stane (Läne ) it einer Punktasse 2 eenki verbunden. Die Punktasse ist über eine weitere Stane (Läne ) eenki an die Uebun ekoppet. att y 1 (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Bestie it den Laraneshen Geihunen 2. rt die Beweunsdifferentiaeihun für das Syste? ϕ 2 Ge.:,, 1, 2

8 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Ein starrer Körper (Masse 1 ) eitet reibunsfrei in vertikaer Rihtun und ist über eine asseose Stane (Läne ) it einer Punktasse 2 eenki verbunden. Der starre Körper ist außerde über ein ineares Feder-Däpfer-Eeent (Federsteifikeit k, Däpferkonstante d) an den Boden ekoppet. Die entspannte Läne der Feder sei 2. Die Punktasse 2 ist über eine weitere Stane (Läne ) eenki an den Boden ekoppet. d att k y 1 ϕ 2 (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Steen Sie die kinetishe Enerie T, die potentiee Enerie U und die Dissipationsfunktion D as Funktion von ϕ und ϕ auf. Wie ist die Laranefunktion L definiert? () rbeiten Sie i foenden it der Laranefunktion L =(2 1 sin 2 ϕ ) 2 ϕ 2 ( ) os ϕ 2k 2 (1 os ϕ) 2 weiter. Bestien Sie die Beweunsdifferentiaeihun für das Syste. (d) Wie roß uß die Federsteifikeit k sein, dait das Syste für ϕ S = π 3 eine Geihewihtsae hat? (e) Wehe weiteren Geihewihtsaen sind i Bereih π 2 <ϕ< π 2 vorhanden, wenn die Federsteifikeit k den in Tei (d) bestiten Wert hat? Ge: k, d, 1, 2,, 23. Ein efederter und edäpfter einahsier nhäner rot it konstanter Geshwindikeit v durh sinusförie Bodenween it der Weenäne und der pitude z 0. Untersuhe für den stationären Zustand den Einfuß der Paraeter z 0, v,, und r auf die pitude V und die Phasenvershiebun ϕ der Shwinun und die hskraft F a! Ge.:, z 0, v,,, r, Literatur: [4, S ] 24. Die Vertikashwinunen eines utoobis können durh das ezeihnete Ersatzode beshrieben werden. Durh die Koordinaten y 10, y 20 ist die Ruheae des Systes ekennzeihnet. (a) Bestie die Beweunsdifferentiaeihun(en) des Systes! (b) Wie autet die harakteristishe Geihun? () Wehe Eienwerte (Eienkreisfrequenzen) hat das Syste ohne Däpfun (k=0)? Ge.: 1 = 600k, 2 = 40k, 1 = 150N/, 2 = 1600N/ y y 10 y 20 z y 1 y k r 2 z 0 v /4 Däpfun, Federun hsen, Räder Fahrzeuaufbau Reifenfederun

9 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Das skizzierte Syste wird durh das Moent M(t) zu Shwinen aneret. Der Ströunswiderstand der Kue ist proportiona zur Geshwindikeit it de Widerstandskoeffizienten k. e anderen Widerstände, die Masse der Uenkroe sowie der hydrostatishe uftrieb der Kue soen vernahässit werden. Die niht dehnbaren Seie beiben ier espannt. Die Feder ist bei = 0 entspannt. (a) Berehnen Sie die statishe Ruheae stat für den Fa M(t) =0! r 1,J1 S M(t) S R reines Roen y 2 k (b) Bestien Sie die Beweunsdifferentiaeihun u die statishe Ruheae (in der Variabe = stat ). () Bestien sie die pitude und den Phasenwinke der stationären Shwinun! Ge.: 1, 2, J S 1, M(t) =M 0 os Ωt, M 0,Ω,,, k 26. Ein shwah edäpftes shwinunsfähies Syste wird durh M(t) =M 0 sin λt aneret. In der skizzierten Steun ist die Feder erade spannunsfrei. (a) Bestie die Beweunsdifferentiaeihun für keine usenkunen ϕ! (b) Gib die aeeine Lösun der Differentiaeihun an und passe diese foenden nfansbedinunen an: ϕ(t =0)= 2 und ϕ(t =0)=0 a 1, J S b ϕ M(t) r a 2 () Wie roß sind pitude und Phasenwinke i eineshwunenen Zustand? Ge.: a, b,, r, M 0, λ, 1, J S, 2, 27. Eritte für das skizzierte Syste die Besheuniun der Masse 1, die reibunsfrei auf der shiefen Ebene eitet. Die Roe 2 wird durh ein konstantes Moent M anetrieben, und die Waze 3 rot ohne zu eiten. Ge.: M,, a, α, Θ 1,Θ 2, 28. uf eine ruhenden, parabeföri eboenen Draht rutsht eine Pere it Reibun. Die Shwerkraft wirkt in neative y-rihtun. y Steen Sie die Beweunsdifferentiaeihun auf und berehnen Sie die Zwanskraft it Hife der Laraneeihunen 1.rt. Ge.:,, y() =a 2, a = onst., μ

10 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Das skizzierte Syste wird durh das Moent M(t) zu Shwinen aneret. In der einezeihneten Position ( = 0) sind beide Federn espannt. Die obere Feder ist u die Läne 0 espannt; die untere Feder ist so espannt, daß = 0 die Geihewihtsae ist. Die Seie seien undehnbar. Es werden ausshießih keine Shwinunen u die Geihewihtsae betrahtet. (a) Steen Sie die kinetishe Enerie T und potentiee Enerie U für das Syste auf. (b) Bestien Sie die Dissipationsfunktion D. () Bestien Sie nun die Beweunsdifferentiaeihun in der Shwerpunktskoordinate. UweheLäne uß die untere Feder espannt sein, dait = 0 die Geihewihtsae ist? d r, J S M(t) S R reines Roen (d) Bestien sie die pitude der stationären Shwinun! Ge.:, J S, M(t) =M 0 os Ωt, M 0,Ω,, d 30. Das skizzierte Syste wird von eine i Massenittepunkt S anreifenden Moent anetrieben. Nah einer Einshwinphase stet sih ein stationärer Zustand it keinen usshäen ein. (Gravitation spiet keine Roe.) (a) Bestien Sie die ineare Beweunsdifferentiaeihun! (b) Wie roß ist die Kreisfrequenz der freien edäpften Shwinun? () Bestien Sie die pitude und den Phasenwinke der stationären Shwinun! Ge.: a, r,,, J S =2a 2, M(t) =M 0 os Ωt 31. Das skizzierte Syste (hooene Kreissheibe M, Θ s, asseose Uenkroe, ideaes Sei, Masse, ineare Feder, inearer Däpfer k) erfährt eine Fußpunkterreun u(t) =û os Ωt. r M, J s k u( t ) (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Steen Sie die Beweunseihun für die Beweun des Sheibenshwerpunktes it Hife der Laraneshen Geihunen 2. rt auf. reines Roen Ge.: M,, Θ s = 1 2 Mr2,, k, r, û, Ω,

11 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Das skizzierte Syste besteht aus eine Körper der Masse M, der sih auf seiner Unterae reibunsfrei beween kann. Er wird von den beiden Federn (Steifikeit ) festehaten. Beide Federn seien in der einezeihneten Lae entspannt. R y f S y r, Js In einer Mude rot eine Kue. Wenn der Grundkörper sih in der Mitteposition befindet ( = 0) und die Kue i tiefsten Punkt der Mude ist, it ψ =0. M = 0 Mit Hife der Laraneshen Geihunen 2. rt sind die Beweunsdifferentiaeihunen für die eneraisierten Koordinaten ψ und aufzusteen. Ge.:, M, Θ s,, R, r, 33. Ein starrer Körper (Masse M) eitet reibunsfrei in einer Führun und ist über ein Feder-Däpfer-Eeent (Konstanten k, d) an die Uebun ekoppet. ußerde trät der starre Körper eine it der Winkeeshwindikeit Ω rotierende asseose Stane, die i bstand e vo Drehpunkt eine Punktasse trät. Zu Zeitpunkt t = 0 sei die Stane horizonta und die Punktasse rehts vo Drehpunkt. Für = 0 sei die Feder entspannt. (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste, wenn die Winkeeshwindikeit Ω voreeben ist? (b) Wie autet die Beweunsdifferentiaeihun für das Syste? () Bestie die Lösun i eineshwunenen Zustand. (d) Wie roß sind die Kräfte i Feder-Däpfer-Eeent i eineshwunenen Zustand? 34. Das skizziere Syste besteht aus eine Zahnrad 1 (Masse 1,RadiusR), einer Zahnstane 3 und eine Geitkörper 2 (Masse 2 ). Die Masse der Zahnstane so vernahässit werden. Zude so für eine erste Untersuhun des Shwinunsverhatens auf eine Berüksihtiun der Reibun verzihtet werden. Durh eine periodishe P (t) reibunsfreies Geiten 2 Kraft P (t) wird das Syste zu Shwinunen 3 aneret. Bestie it 1 Hife der Laraneshen Geihunen die Beweunseihunen des Systes! reibunsfreies Geiten Ge.: 1, 2, R, P (t), d k Ω e M

12 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Eine asseose starre Stane ist a Punkt P aufehänt. I bstand ist eine Punktasse 1 befestit. uf der Stane eitet außerde eine zweite Punktasse 2 reibunsos unter der Wirkun der Federkraft und der Erdanziehunskraft auf und ab. Der bstand der zweiten Punktasse vo ufhänunspunkt P sei it r(t) bezeihnet. Die Feder hat die Federsteifikeit k und die unverforte Läne 0. P ϕ k 2 1 (a) Wie auten die Beweunsdifferentiaeihunen für das Syste in den eneraisierten Koordinaten r(t) und ϕ(t)? (b) Prüfe durh Betrahtun von Grenzfäen die Pausibiität der hereeiteten Differentiaeihunen. 36. Eine asseose starre Stane ist a Punkt P aufehänt. I bstand r 1 = ist eine Punktasse 1 befestit. uf der Stane eitet außerde eine zweite Punktasse 2 reibunsos. Der bstand der zweiten Punktasse vo ufhänunspunkt P sei it r 2 bezeihnet. Die Feder hat die Federsteifikeit k und die unverforte Läne 0. P k 2 Gesuht sind die Beweunsdifferentiaeihunen und die Länskraft in der Stane. ϕ 1 (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Wehe eneraisierten Koordinaten sind zu wähen? Wie auten die Zwansbedinunen? () Foruiere die kinetishe und potentiee Enerie in den ewähten Koordinaten. (d) Wie auten die Laraneshen Geihunen 1. rt? (e) Leite nun die Beweunsdifferentiaeihunen und die Kraft in der Stane her. (f) Wie auten die Geihewihtsaen? Wehe Laerkraft wirkt dann i Laer P? 37. Bei de skizzierten Pende tritt a Geenk ein inear viskoses Reiboent der Größe M r = r ϕ ϕ auf (r ϕ :Drehviskosität). Stee für foende Koordinatensystee die Larane-Geihunen 1. rt auf, werte diese aus, bestie die Zwanskraftparaeter, werte diese aus und führe eine vereihende Diskussion durh. (a) kartesishe Koordinaten (, y) des Massenittepunktes C und Drehwinke ϕ R ϕ M r C y, Θ C (b) ebene Poarkoordinaten (r, ϕ) des Massenittepunktes C Ge.:, Θ C, R,, M r = r ϕ ϕ Literatur: [5], [7]

13 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite n einer vertikaen hse, die sih it der Winkeeshwindikeit ω dreht, ist unter de Winke α ein erader Draht befestit, auf de eine Pere der Masse reibunsfrei eitet. (a) Steen Sie die Laraneeihunen 1.rt für die Zyinderkoordinaten r, ϕ, z auf. (b) Lösen Sie die Beweunsdifferentiaeihun für z(t) unterberüksihtiun der nfansbedinunen z(0) = ż(0) = 0. ω z α r y () Eritten Sie die Zwanskräfte in bhänikeit der Zeit. (d) Berehnen Sie die Enerie der Pere und zeien Sie, daß der Enerieewinn durh rheonoe Zwansarbeit verursaht wird. Ge.:,, α, ω 39. Zwishen der Masse 1 und der horizontaen Ebene besteht Geitreibun. Der Betra der Geitreibunskraft wird über die Zwanskraft des Pendefadens von der Shwinun der Masse 2 beeinfußt. Eritten Sie it Hife der Laraneshen Geihunen 1.rt sowoh die Norakraft zwishen 1 und der Ebene as auh die Beweunsdifferentiaeihunen des Systes (Die Zwanskraft des Pendefadens ist niht esuht!). Ge.: 1, 2,,, μ 40. Zwei Massen 1 und 2 sind it einer asseosen Stane eenki verbunden. Die Masse 1 kann sih nur in y Rihtun, und die Masse 2 kann sih nur in Rihtun beween. Mit den Laraneshen Geihunen 1. rt berehne an die Stanenkraft. Die Feder ist bei y = H spannunsos. H y,e y k y ϕ 2 r, e 41. Mit Hife der Laraneshen Geihunen 1. rt berehne an ae Kontaktkräfte und die Beweunseihun des skizzierten Systes., Θ C α r ϕ

14 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite uf einer unendih anen starren asseosen Stane eitet reibunsfrei die Punktasse. Die Drehun der Stane ist voreeben as ϕ(t) = ωt (Rotation it konstanter Winkeeshwindikeit). Bestien Sie die Kraft der Stane auf die Masse. Benutzen Sie r und ϕ as eneraisierte Koordinaten. Und ehen Sie wie fot vor: D r e ϕ ϕ e r e y e (a) [2 Punkte] Bestien Sie den Ortsvektor r it Ursprun D. Bestien Sie die Geshwindikeit v(r, ϕ, ṙ, ϕ) =v r e r + v ϕ e ϕ und v = vr 2 + v2 ϕ. (b) [1 P.] Bestien Sie die kinetishe Enerie E und dait die Larane-Funktion L(r, ṙ, ϕ). () [2 P.] Geben Sie die (hoonoe, rheonoe) Zwansbedinun in der For f(ϕ, t) =0 an. Berehnen Sie f f r sowie ϕ. (d) [5 P.] Steen Sie die Geihunen d L dt q j L q j λ f q j = 0 auf. Setzen Sie darin die Zwansbedinun ein. Und eben Sie die beiden resutierenden Dn. für r und λ an. (e) [6 P.] Geben Sie die eneraisierten Zwanskräfte Q r und Q ϕ an. Berehnen Sie daraus die Zwanskraft Z in der Basis e r, e ϕ,asoz = Z r e r + Z ϕ e ϕ. Kontroieren Sie die Diension von Z. Ge.:, ω =onst. 43. Der skizzierte Vertikashwiner, der sih unter de Einfuß des Erdshwerefedes befindet, wird durh eine voreebene Vershiebun u(t) =û sin Ωt erret. (a) Foruiere für die Koordinatenwah q 1 := 1,q 2 := 2 die Zwansbedinun, und ib die zuehörien Zwanskräfte an! (Die hohesteten Zahen sind hier hohestete Indizes, keine Eponenten.) Wehe Bedeutun hat der Zwanskraftparaeter λ in diese Fa? Beründun! (b) Stee die Larane-Geihunen 1. rt auf! () Bestie durh uswertun der Zwansbedinun aus den Larane-Geihunen 1. rt die vertikae Laerkraft bei und die Beweuseihun des Systes! k k 1 2 u(t) Ge.:,, k, u(t) =û sin Ωt Hinweis: Betrahte ausshießih die Beweun in Vertikarihtun!

15 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Das skizierte Syste besteht aus eine starren Körper der Masse, der auf einer Ebene reibunsfrei eitet und it zwei Federn und zwei Däpfern an die Uebun ebunden ist. I Körpershwerpunkt ist ein atheatishes Pende (Läne, Masse ) anebraht, das von eine Wind der Geshwindikeit v w von unten anebasen wird (Luftwiderstandsbeiwert k). Die Pendeasse wird durh die Kraft P (t) =P 0 os Ωt e erret. Die Beweun veräuft i Erdshwerefed. (a) Steen Sie die Laranefunktion L des Systes bz. der eneraisierten Koordinaten und ϕ auf. (b) Berehnen Sie den Betra der Reativeshwindikeit v re zwishen Pendeasse und Wind. () Steen Sie die Dissipationsfunktion D des Systes auf. (d) Geben Sie die eneraisierten Niht-Potentiakräfte Q und Q ϕ an, die niht durh D odeierbar sind. (e) Bestien Sie die Beweunsdifferentiaeihunen für das Syste. Hinweis: v re = v v w ; v : Geshw. der Pendeasse, v w Windeshwindikeit Ge.:, b,, k,,, v w, P 0,Ω b e y ϕ e b v w P (t) 1.3 Verfahren von Ritz 45. I foenden so die Länsvershiebun eines einseiti einespannten Stabes it inear veränderihe Quershnittsradius r i Shwerefed der Erde (Erdbesheuniun ) untersuht werden. Es seien ineareastishes Materia, ein eindiensionaer Spannunszustand, über die Stabäne konstante Dihte ρ und E-Modu E vorausesetzt. Für die Radien r 0 = r( = 0) und r 1 = r( = ) ete die Beziehun r 1 = 2 3 r 0. Zude it r. r() (a) Wähen Sie eine nsatzfunktion, die den eoetrishen Randbedinunen enüt. Berehnen Sie nun näherunsweise die bsenkun des freien Endes. (b) Vereihen Sie das Erebnis it de eakten Erebnis.

16 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Darestet ist ein Baken unter der Last q 0. rehten Ende ist eine Drehfeder (Federsteifikeit M ) anebraht. Bestien Sie eine Näherunsösun für die Durhsenkun w(). Verwenden Sie den nsatz w() =a 0 + a 1 + a a 3 3. Gehen Sie wie fot vor: w q 0 EI ϕ M (a) Passen Sie den nsatz an die 3 eoetrishen Randbedinunen an. Eiinieren Sie a 0, a 1 und a 2, und eben Sie die anepasste nsatzfunktion an. (b) Berehnen Sie die Foränderunsenerie W und die äußere rbeit.dieforänderunsenerie einer Drehfeder berehnet sih aus W F = 1 2 M ϕ 2. Hinweis: Es it ϕ( = ) =w ( = ). () Berehnen Sie den Freiwert a 3 aus der Bedinun δ(w ) = 0, und eben Sie dait die Näherunsösun an. 47. Bestien Sie für die nebenstehend skizzierten Baken it Hife des Ritz shen Verfahrens eine Näherunsösun für die Bieeinie w()! Passen Sie zunähst die nsatzfunktion den eoetrishen Randbedinunen an! nsatz: w() =a 0 + a 1 os( π )+a 2 sin( π ) z,w EI F F Geeben:, I, E, F,F 48. Ein eastisher Baken (Läne, Bieesteifikeit EI) ist inks fest einespannt und rehts in einer Hüse eaert. Der Baken wird auf seiner esaten Läne durh eine konstante Strekenast beastet. q 0 (a) Wähen Sie eine nsatzfunktion, die die eoetrishen Randbedinunen erfüt. (b) Berehnen Sie näherunsweise die Bieeinie. () Vereihen Sie die Näherunsösun it der eakten Lösun. B Ge.: q 0,, EI 49. Mit Hife des Ritzshen Verfahrens berehne an die Durhsenkun des skizzierten Bakens an der Stee = 2. s Ritzansatz so foende Funktion verwendet werden: w EI M 0 w() =a 0 + a 1 + a 2 osh( ) Geeben: M 0, EI,,

17 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Für das aus zwei Stäben und einer inearen Feder bestehende Syste ist näherunsweise die Horizontavershiebun des Punktes zu bestien, wenn an diese wie skizziert it der Kraft F ezoen wird. Zur Lösun dieser ufabe sind foende Teishritte zu bearbeiten: EI f 3EI F (a) Für die Bieeinie beider Bereihe ist jeweis ein Poyno 3.Grades as nsatzfunktion zu wähen. Passen Sie diese nsatzpoynoe den eoetrishen Randbedinunen an; fordern Sie zude, daß die das Moent betreffenden Randbedinunen erfüt sind. (b) Steen Sie das Eneriefunktiona Π = W auf. () Berehnen Sie durh Etreaisierun dieses Funktionas (δπ = 0) die noh unbestiten Koeffizienten und eben Sie die Näherunsösun für die Horizontavershiebun i Punkte an. 1 2 w 1 w 2 Geeben:, EI, f = 2EI, F Für den skizzierten einseiti fest einespannten und a anderen Ende eenki eaerten Baken eritte an nah Ritz die erste Eienkreisfrequenz und vereihe sie it de eakten Wert: ω 1, eakt =15, 42 1 EI 2 ρ ρ, EI, Waru ist die Näherunsösun zu roß? nsatzfunktion: w(, t) = 2 ( ) 2 q(t) Ge.: ρ,, EI, 52. Berehnen Sie die beiden ersten Eienkreisfrequenzen des skizzierten Bakens näherunsweise it eine zweiiedrien nsatz nah Ritz: w(, t) =ϕ 1 ()q 1 (t)+ϕ 2 ()q 2 (t). EI, r Verwenden Sie die nsatzfunktionen ϕ 1 () = ; ϕ 2() =sin π. Ge.:, EI,, ρ, = π 4 EI 2 3, EI =onst.

18 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Der darestete Stab führt infoe einer einaien nreun Lonitudinashwinunen aus. Man eritte:, u(, t) ρ,, E, (a) die eakte erste Eienkreisfrequenz und (b) Näherunen fürdieerste EienfrequenzunterVerwendun der nsatzfunktionen: (a) u(, t) = 2 q(t) (b) u(, t) = 2 (3 2)q(t) () u(, t) =sin π 2 q(t) Ge.: ρ,, E, 54. Der darestete Stab führt infoe einer einaien nreun Lonitudinashwinunen aus. Eritten Sie it de Verfahren von Rayeih-Ritz eine Näherunsösun für die erste Eienkreisfrequenz unter Verwendun der foenden nsatzfunktion:, u(, t) Ge.: ρ,, E, u(, t) = 2 (3 2)q(t) 55. Der skizzierte Betonshornstein konstanter Wandstärke führt Bieeshwinunen aus. ρ,, E, r a (a) Überprüfe die aneebene Funktion ϕ() auf ihre Brauhbarkeit as nsatz für eine näherunsweise Bestiun der ersten Eienkreisfrequenz (nah Ritz). (b) Bestie näherunsweise die niedriste Eienfrequenz des Systes! ϕ() = 4[ ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ] y Ge.:, E, ρ, r a, R a =2r a,r a R i = 1 2 r a R i R a 56. Ein einespannter, assebehafteter Stab it kreisförie Quershnitt trät an seine Ende eine Einzeasse. Geeinete nfansbedinunen assen den Stab u seine Länsahse shwinen. Bestien Sie näherunsweise die erste Eienkreisfrequenz. Ge.:,, G, I p,, ϱ y z ϑ G, I p,, ϱ r

19 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite uf de Tish einer Waae iet ein Paket (Masse M 2 ). Der Tish (Masse M 1 ) wird von zwei Battfedern (Bieesteifikeit EI, Massebeeunen μ, Länen ) so ehaten, daß er in vertikaer Rihtun shwinen kann. Für beide Battfedern wird die Verforun it der eihen nsatzfunktion, eine Poyno dritten Grades, beshrieben. Bei z = 0 sind die Battfedern entspannt. (a) Beshreibe das Vorehen zur eakten Bestiun der Eienfrequenzen des abebideten Systes. Wieviee Eienfrequenzen hat das Syste? (b) Wie uß die nsatzfunktion ewäht werden, dait ae eoetrishen Randbedinunen erfüt werden? () Stee die kinetishe und potentiee Enerie für keine Shwinunen z(t) des Systes auf. Beahte dabei die Wirkun der Erdbesheuniun. (d) Foruiere das Prinzip der keinsten Wirkun für das untersuhte Syste und bestie näherunsweise die niedriste Eienkreisfrequenz. (e) Wie roß ist die statishe bsenkun z stat des Systes? 58. Betrahtet wird ein Stabwerk aus zwei identishen Stäben (Läne, Dehnsteifikeit E, Massebeeun μ). oberen Ende sind die Stäbe eenki an die Uebun anebunden. unteren Ende sind beide Stäbe eenki it einer Punktasse verbunden. Betrahtet werden ausshießih keine Vertikabeweunen der Punktasse. Vereinfahend sei anenoen, daß beide Stäbe stets eih shwinen EI, µ EI, µ 2 E, μ I foenden so it vershiedenen Verfahren die niedriste Eienkreisfrequenz bzw. eine Näherun für die niedriste Eienkreisfrequenz des Systes bestit werden. (a) Wieviee Freiheitsrade hat das abebidete Syste? (b) Wie auten die eoetrishen Randbedinunen? () Leite die Beweunsdifferentiaeihunen und die dynaishen Randbedinunen für das untersuhte Syste her. (d) Wie autet die Frequenzeihun des untersuhten Systes? Bestie nun für μ = 10 die niedriste Eienkreisfrequenz des Systes. Hinweis: Die keinste positive Lösun der Geihun 10χ tan χ =1istχ 1 0, (e) Wehe Eienkreisfrequenz erhät an für μ = 10, wenn an einen inearen Ritz-nsatz für die Länsvershiebun der Stäbe wäht? (f) Vernahässit an die Stabasse eenüber der Punktasse, erhät an einen Einassenshwiner. Bestie die zuehörie Eienkreisfrequenz it de zweiten Satz von Castiiano. Vereihe die drei Erebnisse iteinander. M 2 M 1 z

20 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Ein assebehafteter Baken (Läne, Bieesteifikeit EI, Massebeeun μ) istbeieenki eaert und bei B in eine Hüse estekt, die de Baken dort eine horizontae Tanente aufzwint. Die Hüse (Masse ) kann auf einer starren Stane in vertikaer Rihtun reibunsfrei eiten. Der Baken shwint ausshießih in Querrihtun. w EI att, starr (a) Wähen Sie eine nsatzfunktion, die den eoetrishen Randbedinunen enüt. (b) Bestien Sie nun die kinetishe und potentiee Enerie des Systes. () Berehnen Sie shießih ein Näherun für die erste Eienkreisfrequenz ω 1? Ge.: EI,,, μ B 60. Das abebidete Syste besteht aus eine eastishen, assebehafteten Sei (Dihte ρ, Läne, Quershnittsfähe, E-Modu E) und einer Endasse. Es soen die erzwunenen Länsshwinunen des Systes untersuht werden. Die Position des oberen Endes ist voreeben: s =ŝ os Ωt. Die Position der Endasse sei it q bezeihnet. Wenn das Sei niht edehnt ist, it q = s. Leiten Sie für den Fa, daß an die Vershiebun u(, t) des Seis it foende Ritz-nsatz u(, t) = s(t) + (q(t) s(t)) beshreiben kann, die Beweunsdifferentiaeihun her. Überprüfen sie zunähst, ob der eebene nsatz i Sinne von Ritz zuässi ist. Ge.:, E,, ρ,,, ŝ, Ω nerkun: Das untersuhte Syste kann u.a. as ein sehr einfahes Mode zur Beshreibun der Beweun von kabeebundenen Systeen in der Meerestehnik (z.b. reotey operated vehie) dienen. Die Beweun des oberen Kabeendes wird durh den Seean verursaht. s(t) 61. Das abebidete Syste besteht aus eine eastishen, assebehafteten Stab (Dihte ρ, Läne, Quershnittsfähe, E-Modu E) und einer Endasse. Mit Hife eines einiedrien nsatzes nah Ritz so näherunsweise die erste Eienkreisfrequenz berehnet werden, wobei die Länsvershiebun der Punktasse den Freiheitsrad q(t) beinhatet. s Forfunktion ist ein inearer nsatz zu wähen. Ge.:, E,, ρ,,, q E,, ρ, E,, ρ, 62. Mit Hife des Ritzshen Verfahrens berehne an näherunsweise die Bieeinie. Vereihen Sie ihr Erebnis für die Durhsenkun an der Stee =2 für den Speziafa =0it de eakten Erebnis. w EI M 0

21 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 21 Es so der foende zweiiedrie nsatz verwendet werden: w() =q 1 f 1 ()+q 2 f 2 (), wobei die beiden Forfunktionen f 1 und f 2 Poynoe sind. Hinweis: Es ist zwekäßi, die Forfunktionen so zu norieren, daß q 1 die Durhsenkun des Bakens in der Mitte ( = ) und q 2 die Verdrehun des Bakens a rehten Ende ( =2) sind. Geeben: M 0, EI,, 63. uf einen Bernoui-Baken der Läne und der Bieesteifikeit EI wirkt die Kraft F. Bestien Sie die Durhsenkun des Bakens bei =0näherunsweise, näih für den Ritz-nsatz w() =a ( 1 sin π ) 2 F EI it de PdvV. Benutzen Sie das eebene Koordinatensyste, und ehen Sie wie fot vor: (a) [3 Punkte] Berehnen Sie w,w und δw, δw,δw. Zeien Sie, dass der nsatz die beiden eoetrishen Randbedinunen erfüt. (b) [3 P.] Berehnen Sie die Variationen der Foränderunsenerien: δw F (Feder) und δw B (Baken, Hinweis ( ) 0 sin π 2d 2 = 1 2 ). () [1 P.] Bestien Sie die virtuee äußere rbeit δ. (d) [2 P.] Bestien Sie a = w( =0)ausδW B + δw F = δ (PdvV). (e) [5 P.] Bestien Sie jetzt das eastishe Potenzia Π = W B + W F. Berehnen Sie a aus der Bedinun Π a = 0. Kontroieren Sie dait Ihr Erebnis aus (d). z,w Ge.: EI,,, F, W B = EI 2 w 2 d 64. Eritten Sie für das skizzierte Syste die Durhbieun an der Stee = /2! Verwenden Sie dazu den foenden nsatz, nahde Sie ihn an die eoetrishen Randbedinunen anepaßt haben. EI q 0 nsatz: w() =a a 1 + a 0 Ge.: EI,, q o, z Literatur: [1] S. 384ff, bshnitt (zu besseren Verständnis auh bshnitt 7.2, S. 347ff und bshnitt 7.5.1, S. 373f): Ritz-Verfahren i Hinbik auf nuerishe Berehnun, [3] S. 719, bshnitt Prinzipien der Eastostatik Tei Prinzip der virtueen Vershiebunen: Verfahren nah Ritz und Verfahren nah Gaerkin führen auf dieseben Geihunen, [6] Kap S. 439 Die Ritz-Methode, S. 441 Die Gaerkin-Methode 1 6

22 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Ein Krabaken der Läne L it konstanter Bieesteifikeit EI ist it einer wie skizziert inear verteiten Strekenast und einer in der Mitte anreifenden Einzeast F beastet. Bestie die Vershiebun des freien Bakenendes it de Näherunsverfahren nah Ritz. L 2 F L 2 q 0 Die Bieeinie nah Theorie erster Ordnun so it eine Poyno dritten Grades approiiert werden, das die eoetrishen Randbedinunen erfüt. Ge.: EI, L, F, Maiu der Strekenast: q Sätze von Castiiano 66. Berehne it Hife des Kraftrößenverfahrens die Bieeinie w(ˆ) des skizzierten Kraars it der Bieesteifikeit K B unter Einwirkun der Einzeast F a freien Ende. Ge.: F,, EI 67. Ende des skizzierten shubstarren Bakens it der Bieesteifikeit K B reifen ein Moent M 0 und eine Einzeast F an. (a) Berehne die Foränderunseränzunsenerie W des Systes. Bestie nun it de ersten Satz von Castiiano die Durhsenkun w 1 () und den Bieewinke ϕ 1 () a rehten Ende des Bakens ( = ). (b) Berehne den Bieewinke ϕ 2 () a rehten Bakenende für den Fa M 0 = 0 it Hife des Kraftrößenverfahrens. Ge.: M 0, F, EI, ˆ EI EI F F M Berehne für den skizzierten Baken die Durhbieun an der F M Krafteineitunsstee und die ufaerreaktionen. Verwende dazu EI 0 den ersten Satz von Castiiano Ge.: M 0, F, EI, Geeben ist die nebenstehend skizzierte Konstruktion. q 0 Berehnen Sie unter Verwendun des ersten Satzes von Castiiano die Durhsenkun an der Stee. Geeben:, q 0,E,I, der Baken sei shubstarr E,I 2 B 70. Für den skizzierten shubstarren Träer it der konstanten Bieesteifikeit EI ist ittes des ersten Satzes von Castiiano die Laerkraft an der Stee B zu bestien. Geeben seien die Größen:, E, I, q 0 q 0 EI B

23 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Der skizzierte dehn- und shubstarre Träer it der konstanten Bieesteifikeit EI ist einfah statish unbestit. (a) Mahen Sie das Syste statish bestit, inde Sie das Laer an der Stee B durh eine noh zu bestiende Kraft ersetzen. (b) Unterteien Sie den Baken in zwei Bereihe, und eritten Sie den Moentenverauf anaytish. z 2 q 0 B C () Eritten Sie die beitun der Foränderunsenerie, und bestien Sie die eineführte unbekannte Kraft. (d) Geben Sie ae Laerkräfte bzw. -oente an. Geeben seien die Größen:, E, I, q Ein rehtwinkier, einhüftier Trarahen wird wie skizziert durh die Strekenast q() beastet. Der Rahen wird as bieeeastish, aber dehn- und shubstarr anesehen. EI q 0 B Berehnen Sie it den Sätzen von CSTIGLINO die Laerreaktionen an den Orten und B. h Geeben seien die Größen: h,, E, I,, q Das abebidete Fahwerk aus 7 Stäben it der Dehnsteifikeit E ist innerih statish bestit. ufrund der Laerun in den Punkten B, C, D ist das Fahwerk äußerih einfah statish überbestit. Die (kopeentäre) Foränderunsenerie eines onitudina edehnten Stabes beträt: U Stab = 1 2 N 2 0 E d 1 7 (a) Mahen Sie die Laerun des Fahwerks statish bestit, inde Sie das Laer bei B entfernen und dort die Laerkraft F B einführen. Bestien Sie dann die Kräfte in den Stäben, z.b. inde Sie die Knoten, B und E freishneiden. (b) Berehnen Sie nun die (kopeentäre) Foränderunsenerie U des Fahwerkes as Funktion der Kräfte F und F B. () Nutzen Sie i foenden die (kopeentäre) Foränderunsenerie U = [ af 2 E + bf F B + FB 2 ], it den bekannten Konstanten a, b und. Berehnen Sie die Laerkraft F B. (d) Wie roß ist die statishe Durhsenkun in vertikaer Rihtun u a Punkt? (e) n der Stee sei nun statt der Kraft F eine Punktasse anebraht. Die Masse der Stäbe so eenüber dieser Punktasse vernahässit werden. C D E B 1 2 F

24 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 24 Betrahtet werden ausshießih vertikae Shwinunen der Punktasse. DasFahwerk verhät sih dann wie eine ineare Feder. Wie roß ist die Ersatzfedersteifikeit? Wehe Eienkreisfrequenz hat das Syste? Ge.: F,, E, 74. e Stäbe des Fahwerks haben die eihe Quershnittsfähe und den eihen E-Modu E. Berehne die vertikae Vershiebun des Lasteineitunspunktes C unter der Einwirkun der äußeren Last P. Ge.: P,, E, B 2 C P D 75. Ein Fahwerk aus 9 Stäben ist in und B eaert. I Punkt B wirkt eine vertikae Kraft P.Die Stäbe haben ae die eihe Quershnittsfähe und den eihen E-Modu E. Variante 1 Variante 2 F 9 E F 9 E D B C B C P P D Es werden zwei vershiedene Varianten voreshaen (siehe Bid). Wehe Variante ist zu wähen, wenn die vertikae Durhsenkun in B öihst kein sein so? Beründen Sie Ihre Entsheidun durh eeinete Berehnunen. Wie roß ist die Durhsenkun i besseren Fa? Ge.: P,, E, 76. Ein Fahwerk aus 5 Stäben ist in und B eaert. I Punkt C wirkt eine vertikae Kraft P.Die Stäbe haben ae die eihe Quershnittsfähe und den eihen E-Modu E. Variante 1 Variante 2 B 1 1 B C P 3 D C P 3 D

25 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 25 Es werden zwei vershiedene Varianten voreshaen (siehe Bid). Wehe Variante ist zu wähen, wenn die vertikae Durhsenkun in C öihst kein sein so? Beründen Sie Ihre Entsheidun durh eeinete Berehnunen. Wie roß ist die Durhsenkun i besseren Fa? Ge.: P,, E, 77. Der Füe eines Hohdekerfuzeues erzeut annähernd eine über die Füespannweite konstante uftriebsast p. U das Bieeoent an der fest einespannten Füewurze zu reduzieren, wurde eine Strebe BC einebaut. Der Füeaufbau wird wie abebidet durh einen shubstarren Baken und einen Stab odeiert. e Teie seien aus de eihen Materia. p a b (a) Ist das Syste statish bestit? (b) Bestien Sie die kopeentäre Foränderunsenerie W as Funktion der Stabkraft. () Wie roß ist die Kraft in der Strebe? (d) Wie roß ist das Bieeoent an der Füewurze? Ge.: I, 1, 2,, a, b, p 78. Darestet ist ein Syste aus eine shubstarren Baken, eine Dehnstab und einer Feder. Berehnen Sie die Verdrehun ϕ a Laerpunkt unter Verwendun des Satzes von C- STIGLINO. Gehen Sie dazu wie fot vor: (a) Berehnen Sie zunähst die aßebihen Shnittkräfte in Dehnstab, Baken und Feder N,M und F unter Berüksihtiun eines Hifsoents M H, das dort anzubrinen ist, wo der Verdrehwinke esuht ist. (b) Berehnen Sie die esuhte Verdrehun unter usnutzun von W M H F F M H = W M H = 1 EI 0 M M M H d+ 1 E 2 0 N N M H dz+ () Berehnen Sie die Verdrehun ϕ nun für den Speziafa EI und. 2 z E ϕ EI q 0

26 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Die Enden einer abesetzten Wee (bshnitt 1: Durhesser d 1, bshnitt 2: Durhesser d 2 ) sind in den Laern und B een Verdrehun festehaten. uf ein Zahnrad, das it der Wee fest verbunden ist, wirkt ein Kräftepaar, so daß auf die Wee das Torsionsoent M T übertraen wird. (a) Wie roß sind die in den Laern und B aufzunehenden Torsionsoente? 1 2 (b) n weher Stee üßte das Zahnrad auf de Weenabsatz 2 befestit sein, dait der Verdrehwinke aia wird? B Ge.: d 1, d 2, a, b,, M T 80. Ein Baken (Läne 2, Bieesteifikeit EI) ist it drei Stäben (Dehnsteifikeit E) statish bestit estützt. Berehnen Sie it Hife des Satzes von CSTIGLINO die Vershiebun des Punktes B in Rihtun der Kraft F. Ge.:, EI, E a b y 3 30 C B F 2 Dynaik eastisher Kontinua 2.1 Beweunsdifferentiaeihun 81. Betrahtet werden die Transversashwinunen einer Saite (Massebeeun μ). Die Saite ist a oberen Ende fest einespannt und trät a unteren Ende eine Punktasse. (a) Leiten Sie an eine infinitesiaen Stük der Saite die Beweunsdifferentiaeihun für das skizzierte Syste her. Die transversae usenkun der Saite sei it w(, t) bezeihnet. Hinweis: Die Vershiebunen in -Rihtun werden vernahässit. Die Spannkraft ist über die Läne niht konstant. w (b) Nutzen Sie einen eeineten Separationsansatz für die usenkun w(, t), und überführen Sie die partiee Differentiaeihun 2 w = [ t 2 Q ] 2 w w 2 (Q bekannt und konstant) in zwei ewöhnihe Differentiaeihunen. μ Ge.:, μ,, 82. Betrahtet wird eine Saite (Läne, Spannkraft S und Massebeeun μ) it eastisher Bettun. Hinweis: Die Bettunssteifikeit γ ist die Steifikeit der Bettun bezoen auf die Läne. Die Saite ist an beiden Enden fest einespannt.

27 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 27 (a) Leite an eine infinitesiaen Stük der Saite die Beweunsdifferentiaeihun für das untersuhte Syste her. Die transversae usenkun der Saite sei it w(, t) bezeihnet. (b) Wie auten die Randbedinunen? () Nutze einen eeineten Separationsansatz für die usenkun w(, t) und überführe die hereeitete partiee Differentiaeihun in zwei ewöhnihe Differentiaeihunen. 83. I foenden soen die Länsshwinunen eines einseiti einespannten Stabes untersuht werden. Die Quershnitte sind kreisföri, der Radius r veräuft inear. Es seien ineareastishes Materia, ein eindiensionaer Spannunszustand, über die Stabäne konstante Dihte ρ und E-Modu E vorausesetzt. Die Radien an den Enden sind eeben: r( =0)=r 0 und r( = ) =r 1. Zude it r. S, μ, γ r() (a) Leite die (partiee) Beweunsdifferentiaeihun her! (b) Bestie daraus it eine eeineten nsatz die (ewöhnihe) Differentiaeihun für die pitudenfunktion und ib die dazuehörien Randbedinunen an! Literatur: [1, S. 211] bshnitt Freie Lonitudinashwinunen, [3] Beweunseihun der freien, unedäpften Shwinun Kap bs. 3a) Lonitudinashwinunen S.624, Lösun nah Bernoui Kap S Der abebidete Stab (Läne, Quershnittsfähe, Massebeeun μ) führt ausshießih Länsshwinunen u(, t) aus.der Stab ist aus viskoeastishe Materia, das de foenden Materiaesetz ehorht. σ = E(ε + τ ε) μ,, E, τ (a) Leite an eine infinitesiaen Stük des Stabes die Beweunsdifferentiaeihun für die Länsshwinunen u(, t) her.hinweis: Beahte das oben aneebene Werkstoffesetz. (b) Überführe die partiee Differentiaeihun in zwei ewöhnihe Differentiaeihunen. Benutze dazu einen eeineten Separationsansatz für die usenkun u(, t). () Wie auten die Randbedinunen für das Syste? Foende Konstanten sind eeben:, μ,,, E, τ Literatur: [1, S. 211] bshnitt Freie Lonitudinashwinunen, [3] Beweunseihun der freien, unedäpften Shwinun Kap bs. 3a) Lonitudinashwinunen S.624, Lösun nah Bernoui Kap S Weenausbreitun, Lösun nah d ebert 85. (a) Geeben sei eine Funktion f(t, ) =a os( + t). Bestie die partieen beitunen f t, f, 2 f t 2, 2 f t, 2 f t, 2 f 2!

28 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 28 (b) Geeben sei eine Funktion w(, y) =ae 2 y 2,it =siny. Berehne die foenden beitunen: w, w y, dw dy! 86. (a) Bestie die partieen beitunen f t, f, 2 f t 2, f(, t) =2t k + ωt 2 f t, 2 f t, 2 f 2 der Funktion (b) Bestie für den Fa, daß = v 0 t ist, die beitun df dt eina durh Einsetzen von = v 0 t in f und anshießendes beiten nah t und eina durh nwenden der Fore df dt = f t + f t () Für die Koordinaten u und v beshreibe die Funktion uv eine Fedröße G: (u, v) uv (u, v) :=u 2 + πv 3 Das eihe Fed G wird für die Koordinaten und y beshrieben durh die (bisher niht bekannte) Funktion y : (, y) y (, y) = uv ( u(, y),v(, y) ) Zwishen den Koordinaten (u, v) und (, y) eten it den bekannten Konstanten α und β die Transforationsbeziehunen u(, y) =α + βy und v(, y) =α βy Bestie zuerst die partieen beitunen nah den Koordinaten u und v: uv uv v. Bestie anshießend unter Verwendun von uv u der Jakobiatri u y y und y, u y, v und v y (in den dazu passenden Koordinaten)! u und uv und v und it den Koponenten die beitunen nah den Koordinaten und y: Literatur: In der physikaishen und tehnishen Literatur wird oft für die beiden Funktionen y und uv und für die Fedröße G ein und dassebe Sybo verwendet, z.b. in [1] bshnitt S Das widerspriht der in der Matheatik übihen Lesart: Z.B. widersprehen sih die beiden Geihunen (4.4) und (4.5) in [1, S. 200], wenn an sie as Definition einer Funktion w zweier ruente iest. Hier wird w dezufoe as eine Fedröße interpretiert, die an vershiedenen Steen i Rau- Zeit-Kontinuu bestite Werte annit. Die Stee kann entweder durh die Koordinaten (, t) oder durh die Koordinaten (ξ,η) identifiziert werden. Diese vo Standard in der Matheaik abweihende Bedeutun sote beahtet werden, wenn atheatishe Sätze wie die Kettenree anewendet werden soen.

29 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Betrahtet wird die beidseiti einespannte it der Seikraft S 0 vorespannte Saite (Dihte ρ, Quershnittsfähe 0 ). Sie kann transversae Shwinunen ausführen. Mit de Lösunsansatz von d ebert so die Lösun zu foenden nfansbedinunen bestit werden: w L ẇ(, t =0)=0 { 2 L w(, t =0)= ( w 0) für 0 < L L w 0 für L 2 L Ge.: ρ, 0, S 0, L, w 0 (a) Wehe Geihun beshreibt das Verhaten der Saite? (b) Wie autet die aeeine Lösun nah d ebert? () Bestie die Lösun für die eebenen nfansbedinunen. (d) Skizziere die usenkun der Saite für die foenden Zeitpunkte: t 0 = 0, t 1 = 1 8 T, t 2 = 1 4 T, t 3 = 3 8 T, t 4 = 1 2 T, t 5 = 5 8 T it T = 2L und 2 = S 0 ρ Betrahtet wird eine unendih ane Saite, die transversae Shwinunen ausführen kann. Der Quershnitt der Saite sei, die Dihte ρ. Sie ist vorespannt it der Seikraft S. Mit de Lösunsansatz von d ebert so die Lösun zu foenden nfansbedinunen bestit werden: 2 ẇ v 0 w(, t =0)=0, ẇ(, t =0)=ẇ 0 () = { v0 für << 0 sonst Ge.: ρ,, S,, v 0 (a) Wehe Geihun beshreibt das Verhaten der Saite? (b) Wie autet die aeeine Lösun nah d ebert? () Bestie die Lösun für die eebenen nfansbedinunen. (Das Intera uß niht aufeöst werden.) (d) Skizziere die usenkun der Saite i Interva 3 3für die Zeitpunkte τ 0 =0, τ 1 = 1 4, τ 2 = 1 2, τ 3 =1,τ 4 = 3 2 und τ 5 =2!Dabeiistτ = 1 S ρ t. 89. Eine Masse trifft zu Zeitpunkt t = 0 auf das freie Ende eines einseiti fest einespannten eraden Stabes (Läne, Dihte ρ, Dehnsteifikeit E). Unittebar vor de Stoß hat die Masse die Geshwindikeit v 0 und der Stab ist unverfort und in Ruhe. (a) Für das Zeitinterva 0 t< 2 ist der zeitihe Verauf der Kontaktkraft zwishen der Masse und de Stab zu berehnen. (b) Kann die Masse i betrahteten Zeitinterva vo Stab abheben? v 0 E, ρ

30 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite Es wird ein Stab aus inear eastishe Materia untersuht, der a rehten Ende E, ρ,, d ( = 0)über einen viskosen Däpfer an die Uebun ekoppet ist. inken Ende ( = ) wird eine Vershiebun s (t) voreeben. s ufrund der voreebenen Vershiebun s (t) kot es zur usbreitun von Ween in de Stab. Beinnt an it de Zustand der Ruhe, breiten sih anfans Ween nur in neative - Rihtun aus. Es so untersuht werden, ob es eine Däpfun d ibt, so daß eine Refeion der Ween a rehten Rand voständi unterbunden werden kann. 2.3 freie Shwinunen, Lösun nah Bernoui 91. Eine beidseiti einespannte Saite der Läne (Dihte ρ, Quershnittsfähe ) ist u die Kraft S vorespannt. Nah Eineitun der foenden nfansbedinunen führt sie freie, unedäpfte, rein transversae Shwinunen aus: h w 4 ẇ(, t =0)=0 { 4 h w(, t =0)= ( ) für 0 < h für 4 Ge.: ρ,, S,, h (a) Bestien Sie die d ebertshe Lösun der Weeneihun, und zeihnen Sie die usenkunen der Saite zu den Zeitpunkten: t 0 =0,t 1 = 1 8 T, t 2 = 1 4 T, t 3 = 3 8T,... über eine voe Periode T. (b) Lösen Sie die Weeneihun it Hife des Produktansatzes von Bernoui. Passen Sie die Lösun an die Rand- und nfansbedinunen an. () Zeihnen Sie die ersten vier Eienshwinunsforen und die usenkun der Saite aus der ewihteten Überaerun dieser vier Eienforen für den Zeitpunkt t = 0. (d) Zeien Sie, dass die Lösun nah Bernoui die Fourierdarsteun der d ebertshen Lösun ist. 92. Eine Saite der Läne wird it S vorespannt und trät die Masse pro Läne μ. Die Seite wird zur Zeit t = 0 wie darestet it w () auseenkt. Die nfanseshwindikeit ist Nu. Berehnen Sie die Beweun der Saite w(, t) sowoh it de Produktansatz von Bernoui as auh it de nsatz nah d ebert. Benutzen Sie das eebene Koordinatensyste, und ehen Sie wie fot vor: w(, t) w () =w 0 sin π (a) Der nsatz w(, t) = X() T (t) iefert w(, t) = ( os ωt + B sin ωt) (C os ω +

31 Mehanik 3 Prof. Popov SS 2006 Seite 31 D sin ω ). Bestien Sie C und die Eienkreisfrequenzen ω k durh npassun an die Randbedinunen, wehe für ae Zeiten eten. (b) Die aeeine Lösun ist eine unendihe Reihe it noh niht bestiten Konstanten k und B k. Bestien Sie diese durh npassun an die nfansbedinunen, wehe für ae Orte eten. () D eberts Koordinatenwehse von (, t) auf(ξ 1 = t, ξ 2 = + t) iefert, dass w sih aus zwei nteien additiv zusaensetzt, näih w(, t) =f 1 (ξ 1 (, t))+f 2 (ξ 2 (, t)). Man erhät für die eebenen nfansbedinunen zur Zeit t =0:f 1 (ξ 1 (, t =0))+ f 2 (ξ 2 (, t =0))= 1 2 w ()+ 1 2 w (). Geben Sie davon ausehend die Lösun für beiebie Zeiten t an, aso w(, t). (d) Benutzen die das Theore sin(α ± β) =sinαos β ± os α sin β. Steen Sie dait w as Produkt dar, näih as w(, t) =X() T (t). Ge.: S, μ,, 2 = S μ, w(, t =0)=w 0 sin π, w t (,t=0) =0 93. Eine Saite (Dihte ρ, Quershnittsfähe, Läne ) ist inks ( =0)über ein Losaer eaert und rehts ( = ) aneinever- tika eführten Körper (Masse ) befestit. N Der starre Körper wird durh eine Feder wie skizziert estützt. Die Feder ist in der ezeihneten Lae entspannt. Die äußere Kraft N ist zeitih konstant (und wirke ier enau waaereht). ρ,, k (a) Bestie die Eienwerteihun. (b) Zeie, daß sih für den Fa k = 4ρ π πn die erste Eienfrequenz ω 16ρ 2 1 = π 4 eribt. Ge.:,, k, N, ρ, 94. Betrahtet wird eine unter der Spannkraft S einespannte Gitarrensaite der änenbezoenen Masse μ = ρ. Die Saite werde an der Stee ξ it der pitude h auseenkt (ezupft) und oseassen. Die nfansausenkun (B 1) und nfanseshwindikeit (B 2) sind eeben: { ξ h für 0 <ξ w t ξ h( ) ξ w(, t =0)= (B 1) für ξ =0 (B 2),t=0 Die Differentiaeihun, die das Probe beshreibt, autet: w(, t) h 2 w(, t) t 2 = 2 2 w(, t) 2 it 2 = S μ (a) Überführe die partiee Differentiaeihun ittes Produktansatz in zwei ewöhnihe Differentiaeihunen. Verwende dabei die bkürzun ω, so dass foende nsätze die ewöhnihen Differentiaeihunen erfüen: T (t) = os ωt + B sin ωt und X() =C os( ω )+D sin( ω )