Zur Klärung des Ehrenfestparadoxons

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1 1 Das Probe Herann Bauer Zur Kärung des Ehrenfestparadoxons Das bekannte Paradoxon beruht auf fogende Gedankengang: Rotiert eine Kreissheibe (in eine Inertiasyste) u die Ahse, die rehtwinkig zu ihrer Ebene durh ihren Mittepunkt geht, so bewegen sih ihre Radien stets rehtwinkig zur (as Vektor aufgefaßten) Moentangeshwindigkeit Sie erfahren aso keine Lorentzkontraktion Dagegen bewegt sih jedes keine Stük des Ufangs augenbikih in seine Längsrihtung und uß daher kontrahieren, das heißt der Ugang der Sheibe uß sih verkeinern, während der Radius konstant beibt Das ist geoetrish unögih (siehe) Außerde üssen sih natürih auh ae Paraekreise zu Ufang verkeinern, wobei überdies das Verkeinerungsverhätnis niht konstant ist Der Vorgang wird dabei vo Inertiasyste aus betrahtet Es ist aso durhaus die Speziee Reativitätstheorie für die Untersuhung zuständig und niht die Einbeziehung der Ageeinen Reativitätstheorie erforderih Es gibt eine üe untershiediher Lösungsversuhe des Paradoxons Aerdings wird keine von ihnen ageein anerkannt (siehe 1 S 110) Es ist hier niht nötig, auf sie einzugehen, da ein Ansatz von grundsätzih anderer Art ist Einstein seber einte, das eine starre Sheibe zerbrehen üßte, wenn an sie in Rotation versetzt Da das Probe in erster Linie theoretisher Natur ist und etztih nur auf unkarer Begriffsbidung beruht, öhte ih es zunähst auh rein theoretish angehen Dazu ist der Begriff der reativistishen Effekte genau zu kären Reativistishe Effekte Ih eräutere den Begriff anhand der Zeitdiatation Ihr iegt fogender Gedankengang zugrunde: Nah kassisher Auffassung äuft eine bewegte Uhr synhron it einer geihartigen ruhenden Dies ist aber ein boß gedahter Vorgang, der in der Reaität niht vorkot, wenn an das auh ange gaubte Wirkihkeitsgeäß ist aein die reativistishe Betrahtung, die ein Langsaergehen der bewegten Uhr fordert Man denkt aso zunähst, dass die kassishe Mehanik git, und dann die Reativitätstheorie geihsa über den Vorgang kot und die Uhr verangsat, und das ergibt den reativistishen Effekt Entsprehend ist es it der Längenkontraktion: Ein in Längsrihtung bewegter Stab behät nah kassisher Mehanik seine Länge bei Das hat aber nur gedankih-historishe Bedeutung In Wirkihkeit kontrahiert er, und an nennt die Änderung gegenüber de gedahten Vorgang reativistishen Effekt Das ist natürih aes durhaus sinnvo, an uß es sih aber bewusst ahen, dait an niht in kopizierteren äen (und ein soher ist das Ehrenfestparadoxon) dieses Verfahren kritisiert oder fash anwendet Ein etwas kopizierteres Beispie ist die reativistishe Massenzunahe Das aktu ist, dass eine bestite Kraft, die auf einen Körper der Masse besheunigend wirkt, eine geringere Besheunigung bewirkt, as nah kassisher Rehnung zu erwarten ist Diese geringere Besheunigung ist der unittebare Effekt, den ih reativistish-kassishe Abweihung nennen öhte Dass an dies as Massenzunahe deutet (es so bezeihnet, wie v Laue in 4shreibt) ergibt sih erst durh weitere Überegungen; an könnte zunähst auh veruten, daß in der Reativitätstheorie die besheunigende Kraft geshwäht wird 1

2 Ih öhte ganz ageein einen reativistishen Effekt fogenderaßen definieren: Man denkt und berehnet einen Vorgang nah den Gesetzen der kassishen Physik Hierauf wird der Vorgang unter denseben Bedingungen nah den Gesetzen der Reativitätstheorie gedaht und berehnet Die Untershiede i Resutat nenne ih reativistish-kassishe Abweihungen Sie werden entweder shon seber as reativistishe Effekte aufgefasst oder durh sohe Effekte gedeutet Ganz wesentih ist dabei aber, dass an von eine Zustand ausgeht, der in kassisher und in reativistisher Auffassung geih ist Man darf sih aso niht vorsteen, dass die Sheibe erste eina nah kassishen Gesetzen rotiert und dann die Reativitätstheorie darüber kot Reativistishe Effekte bei einer Kreisbewegung Es ist aso bei der Untersuhung des anstehenden Probes nötig, dass an von der ruhenden Sheibe ausgeht, das heißt an uß ihre Besheunigung itsat den dabei wirkenden Kräften it einbeziehen Dazu sei zuerst fogender Vorgang betrahtet: Auf einen keinen Körper der Masse (Massenpunkt), der zu Beginn (in eine Inertiasyste) ruht, wirkt eine konstante Kraft ier in Rihtung der augenbikihen Geshwindigkeit Geihzeitig wirkt eine variabe Kraft n senkreht zur augenbikihen Geshwindigkeit und zwar so, daß der Körper bei kassisher Rehnung auf einer Kreisbahn it de Radius r äuft Die Geshwindigkeit v zur Zeit t ist dann nah der Grundgeihung der Mehanik: (1) v a t t, wobei a die (ongitudinae) Besheunigung in Bewegungsrihtung ist Die benötigte (variabe) Zentripetakraft n ist nah der bekannten ore: v at n, r r aso die Zentripetabesheunigung: n v at () an r r U die reativistish-kassishen Abweihungen i oben erkärten Sinne zu erhaten, uss an den Vorgang nun unter den geihen Bedingungen, aso it den geihen Kräften reativistish berehnen: Hier git für die Geshwindigkeit v die Geihung 1 : a t v () a t v 1 1 it v aus G (1) Das ist eine reativistish-kassishe Abweihung für die Geshwindigkeit Aus G () fogt: (4) v, 1 oder auh: 1 Siehe, S56- Der Körper bewegt sih, wie sih geih zeigen wird, auf einer spiraenartigen Bahn Die Abweihung von der Kreisbahn ist aber bei einzenen Uauf bei reaistisher Größe der Besheunigungen vernahässigbar kein

3 (5) v 1 In die ore für die Zentripetabesheunigung uss an nun anstatt der Ruhasse die transversae Masse (6) t v 1 einsetzen ür die Besheunigung ergibt sih dann it t aus G (6) und a n aus G (): (7) a n n v 1 a v 1 n n t Daher bewegt sih der Körper auf einer spiraenartigen Kurve ür ihren veränderihen Krüungsradius ergibt sih, wenn an v aus (5) und a n aus (7) einsetzt und () berüksihtigt: v v 1 v v (8) r r 1 a v n a 1 n Wenn die Kraft n nah der Zeit t 0 zu wirken aufhört, so äuft der gedahte kassishe Körper it der Geshwindigkeit v auf de kassishen Kreis it de Radius r, der wirkihe reativistishe Körper äuft it der Geshwindigkeit v auf de reativistishen Kreis it de Radius r Dies ist die hauptsähihe reativistish-kassishe Abweihung 4 Übergang zur rotierenden Sheibe Man denke sih nun auf die Sheibe sohe Kräfte wirkend, dass die Sheibe bei kassisher Rehnung eine besheunigte Rotation ohne Deforation ausführt Jeder Punkt bewegt sih dann aso it geihbeibende Abstand u den Sheibenittepunkt, und ae Punkte haben zu jede Zeitpunkt t die geihe Winkegeshwindigkeit (t) Ein Punkt P it de Abstand r (0 r R, wenn R der Sheibenradius ist) vo Mittepunkt hat zu Zeitpunkt t die Geshwindigkeit: (9) v = r (t) Auf jeden Punkt üssen dann die Kräfte so wirken wie i vorigen Abshnitt auf den Massenpunkt bei kassisher Rehnung U nun die reativistish-kassishe Abweihung zu erhaten, uss an annehen, dass bei reativistisher Betrahtung auf jeden Punkt die geihen Kräfte wirken wie bei der Ob dies ögih ist, ist für dies theoretishe Überegung zweitrangig Streng genoen uss an von keinen Teien der Sheibe ausgehen und zu Punkten as Grenzwert übergehen

4 kassishen Rehnung ür den Punkt P geten dann die anaogen Überegungen und Berehnungen, wie i Abshnitt für den Massenpunkt Nah der Zeit t 0, aso bei Beendigung des Besheunigungsprozesses, bewegt er sih aso it der Geshwindigkeit v nah G () auf eine Kreis it de Radius r nah G (8) Der Kreis u den Sheibenittepunkt it de Radius Abstand r ist aso (i Vergeih zur kassishen Betrahtung) auf einen Kreis vo Radius r nah G(8) zusaengezogen Die ganze Sheibe hat aso eine nihtineare zentrishe Verkürzung eritten Insbesondere git für die ganze Sheibe, aso für r = R: v R R 1 Die Winkegeshwindigkeit des Punktes P zur Zeit t 0 ist nah den G (5), (8) und (9) : v (10) ' ( t0 ) ( t0 ) r' r Sie ist unabhängig von r, aso für ae Punkte geih, dh die Sheibe rotiert as Ganze it der Winkegeshwindigkeit ( t 0 ) Wesentih ist weiterhin, daß nah G 5 die Ufänge aer konzentrishen Kreise u den Mittepunkt gegenüber de Ruhezustand (aso auh i Verhätnis zur kassish v berehneten rotierenden Sheibe) it de aktor 1 verkürzt sind Entsprehend git auh für ae zugehörigen Kreisbögen: v (11) b' b 1, wenn b ihre Länge i Ruhezustand und b ihre Länge bei Rotation ist Dies ist in voe Einkang it der Lorentzkontraktion Wenn an auf der Sheibe konzentrishe Kreise u den Mittepunkt arkiert, so werden ihre Abstände durh die Rotation wegen der nihtinearen zentrishen Verkürzung unregeäßig und zwar gegen den Sheibenrand hin keiner, wie an eiht überegt Daraus ässt sih ögiherweise eine experientee Prüfung entwiken Aerdings sind dabei die eastishen Verforungen probeatish 4 Auf diese uss ih daher noh eingehen 4 Berüksihtigung der eastishen Spannungen Die für die Rotation nötigen Zentripetakräfte n werden eist (wenn die Sheibe zb über ihre Ahse angetrieben wird) durh eastishe Spannungen bewirkt, die it einer Dehnung und Tortierung der Sheibe verbunden sind und jedenfas bei derzeit erreihbaren Geshwindigkeiten den Radius wesentih stärker vergrößern, as die zu erwartende Lorentzkontraktion ihn zu verkürzen suht (Siehe 4, S 4) Die kassishe Rehnung ergibt dann eine Vergrößerung des Sheibenradius R (wobei aber die oentane Abweihung von einer Kreisbahn wieder vernahässigbar kein ist) Der Übergang zur reativistishen Betrahtung veräuft aber ganz anaog Dazu uss an berüksihtigen, dass Geihung (4) auh git, wenn der Punkt durh eine veränderihe Kraft angetrieben wird, was ih kurz zeigen öhte: ür die kassishe Geshwindigkeit v a Ende des Besheunigungsprozesses git dann nah (1): 4 Aerdings gibt es keinen Grund dafür, dass keine Materiaien denkbar sind, die de starren Körper beiebig nahe koen In geiher Näherung würden dann die Überegungen dieses Abshnittes geten 4

5 0 0 (1) v dt adt ür die reativistishe Berehnung der Geshwindigkeit uß nun statt der Ruhasse die ongitudinae Masse v 1 eingesetzt werden (siehe 4, S 15) Die Bewegungsgeihung autet dann: t 0 t 0 aso: Wenn an dies ufort in ' a, v 1 ' dv dt ' dv dt v 1 und auf beiden Seiten zwishen 0 und t 0 integriert, so erhät an wegen G(1) auf der inken Seite v und auf der rehten Seite (wie an durh Differenzieren nahprüfen kann):, 1 aso insgesat Geihung (4) Diese git aso auh hier, wenn die Sheibe shießih it konstanter Winkegeshwindigkeit rotiert für den Zusaenhang von kassisher und reativistisher Geshwindigkeit ür die Berehnung der Zentripetabesheunigung ist wieder die Transversaasse G(6) einzusetzen, was zur Besheunigung nah (7) und zu verkürzten Radien nah (8) führt Die Ergebnisse sind aso ganz anaog zu Abshnitt Die reativistishen Effekte beziehen sih aber jetzt niht auh auf die ruhende, sondern nur auf die nah kassisher Rehnung rotierend gedahte Sheibe Reativistisher Effekt und eastishen Spannungen überagern sih Auh hier rotiert die Sheibe as Ganze shießih it einheitiher Winkegeshwindigkeit Daraus kann an verstehen, dass die Experiente von Thoas Phiips, die bei anger Rotation der Sheibe eine Krüung der Radien erwarteten, ein negatives Ergebnis hatten Die dafür gegebene Erkärung, dass die Lorentzkontraktion nur bei Transation und niht bei Rotation eintrete, ist niht stihhatig, da an durh Vergrößerung der Sheibe einer Transation beiebig nahe koen kann (siehe 5) Dies ist auh ein wesentihes Arguent für die Anwendung der Spezieen Reativitätstheorie Die durhgeführten Berehnungen beruhen wesentih auf de Untershied zwishen ongitudinaer und transversaer Masse (siehe 4, S 15f und Anerkung), der wiederu 5

6 eine unittebare oge der Lorentztransforation ist Es ist aso kein Wunder, dass die Resutate die Lorentzkontraktion bestätigen Eine entsprehende zentrishe Verkürzung tritt bei jeder anderen beiebig geforten zusaenhängenden Sheibe (sie darf auh Löher enthaten) ein, die u eine zu ihr rehtwinkig stehende Ahs rotiert Jeder Kreisbogen, den ein Punkt bei dieser Rotation durhäuft, ob er sih auf feste Materia oder in eine Loh befindet, wird grundsätzih entsprehend der Lorentzkontraktion verkürzt Dies aht den ateriaunabhängigen Charakter dieser Kontraktion besonders deutih Literatur 1 Brandes, J Die reativistishen Paradoxien und Thesen in Rau und Zeit, Karsbad 001 Ehrenfest, P: Geihförige Rotation starrer Körper und Reativitätstheorie in Physikaishe Zeitshrift 10, (1909) ak, Ruppe, Mehanik, Reativität, Gravitation 4 Laue Mv: Die Reativitätstheorie, erster Band, S 4 5 Phiipps, TE: Do etri standards ontrat?, oundations of physis pp 918 (1909) 6