2 Kontinuumsschwingungen Hydromechanik 52

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1 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite 1 uf den foenden Seiten ist der ufabenkatao für Mechanik III (Enerieethoden und Kontinuusechanik) abedruckt, aus de jede Woche ufaben für die Große Übun, die Tutorien und das eienständie rbeiten ausewäht werden. Lösunen zu den Tutorius- und Hausaufaben werden unefähr eine Woche nach Bearbeitun veröffenticht. Leider scheichen sich ancha in die veröffentichten Lösunen Feher ein. Wir beühen uns, diese öichst züi zu beseitien. Jeder Student ist aber in erster Linie sebst verantwortich. Daru sebständi rechnen! Wer erne noch ehr ufaben (it Musterösunen) rechnen öchte, sei auf die breite uswah an ufabenbüchern verwiesen. Inhatsverzeichnis 1 Prinzipe der Mechanik Prinzip der virtueen Verrückunen Laranesche Geichunen Verfahren von Ritz Sätze von Castiiano Kontinuusschwinunen 28 3 Hydroechanik 52 Literatur [1] Gross, Dietar, Werner Hauer, Water Schne und Peter Wriers: Technische Mechanik, Band 4 Hydroechanik, Eeente der Höheren Mechanik, Nuerische Methoden. Spriner, 2. ufae, (Neuere usabe) in der Lehrbuchsaun: 5Lh381. [2] Guert, Peter und Kar-uust Reckin: Mechanik. Viewe, 2. ufae, In der Lehrbuchsaun: 5Lh296. [3] Guert, Peter und Kar-uust Reckin: Mechanik. Science Pubications, Habur, vierte ufae, (Ätere usabe) in der Lehrbuchsaun: 5Lh296. [4] Hauer, Werner, Water Schne und Dietar Gross: Technische Mechanik, Band 3 Kinetik. Spriner, 6. ufae, (Neuere usabe) in der Lehrbuchsaun: 5Lh380. [5] Kuypers, Friedhe: Kassische Mechanik. VCH, zweite ufae, [6] Meyber und Vachenauer: Höhere Matheatik 2. Spriner-Vera, vierte ufae, In der Lehrbuchsaun: 5Lf592. [7] Ostereyer: Mechanik III. Institut für Mechanik, TU Berin, [8] Schne, Water, Dietar Gross und Werner Hauer: Technische Mechanik, Band 2 Eastostatik. Spriner, 6. ufae, (Neuere usabe) in der Lehrbuchsaun: 5Lh379.

2 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite 2 1 Prinzipe der Mechanik 1.1 Prinzip der virtueen Verrückunen 1. Die abebidete Konstruktion besteht aus drei starren Baken (B, BC und CD) und einer Stütze, die in der Mitte des Bakens B anebracht ist. Zur Diensionierun der Stütze so die Kraft in der Stütze bestit werden. E 1 2 B Führen Sie die Berechnunen auf zwei verschiedenen Ween durch: (a) Schneiden Sie frei und berechnen Sie die esuchte Kraft ittes Kräfte- und Moenteneichewichten. D C (b) Nutzen Sie das Prinzip der virtueen Verückunen zur Bestiun der esuchten Kraft. Ge.: F, F 2. Bei eine Kobenkopressor wirke in der skizzierten Steun auf die Kobenfäche die Gaskraft F G. Wie roß ist das erforderiche Moent M, wenn die Reibunskräfte vernachässit werden können und statisches Geichewicht vorausesetzt wird? F G α M Ge.: F G,, α 3. Für die skizzierte Kappbrücke PSfra so unabhäni repaceents vo Winke ϕ Geichewicht herrschen. Eritten Sie die Kraft F 2 it de Prinzip der virtueen Verrückunen. Ge.: a, b, c, F 1 F 2 a b ϕ b ϕ c F 1 4. Die skizzierte Robervasche Waae befindet sich in der ezeiten Lae i statischen Geichewicht. (a) Eritten Sie die Kraft F 2 it Hife von Kenntnissen aus der Technischen Mechanik I. (b) Bestien Sie nun nocheina F 2 it de Prinzip der virtueen rbeit. Ge.: b, c, d, h, F 1 F 1 F 2 h c h d b b

3 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite 3 5. Das skizzierte Syste starrer Körper besteht aus eine eraden Baken und eine verzweiten Träer. Die Kraft F 2 reift direkt an de die beiden Systeteie verbindenden Geenk an. Eritten Sie das Einspannoent M it Hife des Prinzips der virtueen rbeit! Ge.: a, b, c, F 1, F 2 6. Bei eine Kobenkopressor wirke in der skizzierten Steun auf die Kobenfäche die Gaskraft F G. uf die rechte Stane wirkt das ntriebsoent M. Bestien Sie die Geichewichtsae (Winke α), wenn die Reibunskräfte vernachässit werden. a F G F 2 F 1 α a c b B M Ge.: F G,, M 7. Bestien Sie it der Methode der virtueen Verrückunen für foenden Krabaken die Laerreaktionen. Ge.: q 0, 8. Bestien Sie für das skizzierte Syste it Hife der Methode der virtueen rbeit / Leistun / Verrückunen (a) die Laerkraft i Punkt B (b) ae Schnittasten. b q 0 B a F H Ge.: F, H, a, b 9. Ein Geenkviereck besteht aus drei starren Baken der Läne. In der Mitte des Bakens B ist eine Feder der Steifikeit k anebracht. Die Feder ist stets senkrecht und sei entspannt, wenn α = 0 (horizontae Lae der Baken B und CD). Bestien Sie die Geichewichtsae (Winke α G ). k B Ge.: F,, α D α C F

4 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Bestien Sie it der Methode der virtueen Verrückunen für den skizzierten Baken die Laerreaktionen! q 0 Ge.: q 0,, a, α a 11. Für den durch eine Einzekraft P beasteten skizzierten Baken ist die Laerkraft i Punkt C sowie das Schnittoent i Punkt B it de Prinzip der virtueen Verrückunen zu bestien. Ge.: P,, a, b a b α P B C 12. Das abebidete Fachwerk aus starren Stäben wird it der Kraft F beastet. e 1 F (a) Berechnen Sie it den Basisvektoren e 1 und e 2 sowie it Skizze a) die Ortsvektoren r und r F zu den nriffspunkten der Kräfte und F. Berechnen Sie die Variationen δr und δr F. Berechnen Sie die Laerkraft ithife PSfra des repaceents PdvV. (b) Notieren Sie it Skizze b) den Ortsvektor r F = r S zu eeinsaen nriffspunkt der Kräfte F und S. Berechnen Sie die Variationen δr F und δr S. Berechnen Sie die Stabkraft S ithife des PdvV, inde Sie S as äußere Last ansehen. e 2 a F S 1 3 a 1 3 a 1 3 a F Hinweis: atan 3 3 = 30 cos 30 = 3 2 sin 30 = 1 2 ϕ ϕ ϕ Skizze a) Skizze b) S S 13. Für das aus starren Stäben bestehende skizzierte Fachwerk unter der Beastun W sind foende Größen it de Prinzip der virtueen Verrückunen zu bestien: W C (a) Die ufaerkraft i Punkt B, (b) die Stabkraft S BC. Ge.: W,, β 6 β D B

5 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Das skizzierte Bakensyste ist durch ein Einzeoent M 0 und eine Einzekraft K beastet. e Baken sind starr und asseos. C B K M 0 c (a) Berechnen Sie it de Prinzip der virtueen Verrückunen das Schnittoent M an der Stee C ( = a). z a a b b (b) Bestien Sie ebenfas it Hife des Prinzip der virtueen Verrückunen PSfra die repaceents Laerkraft in B. Ge.: a, b, c, K, M Die abebidete Konstruktion aus starren Stäben wird it der Kraft F beastet und befindet sich i statischen Geichewicht. Berechnen Sie it de Prinzip der virtueen Verrückunen die Hatekraft K as Funktion des Winkes ϕ! Ge.: F, C F 2 y ϕ ψ K(ϕ) B 1.2 Laranesche Geichunen 16. Für eine überschäie Diensionierun einer Werkzeuaschine soenpsfra die Eienfrequenzen des abebideten Ersatzsystes berechnet repaceents werden. Bei der Untersuchun des schwinunsfähien Systes so die Reibun vernachässit werden. Für q 1 = q 2 = 0 sind ae Federn entspannt. 1 2 c 1 2 c q 1 q 2 c c Ge.:, c Gehen Sie wie fot vor: (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Steen Sie die kinetische Enerie T und potentiee Enerie U des Systes auf. (c) Bestien Sie nun die Laranefunktion L. (d) Wie auten die Beweunsdifferentiaeichunen?

6 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Zwei asseose Stanen (Länen 1 und 2 ) und zwei Punktassen 1 und 2 biden ein Doppepende. 18. (a) Bestie für die Beweun des skizzierten Doppependes in einer vertikaen Ebene (Erdbescheuniun ) it Hife der Laraneschen Geichunen 2. rt die Beweunseichunen. Nutze die eneraisierten Koordinaten ϕ 1 und ϕ 2. (b) Wie auten die Geichewichtsaen? Ge.: 1, 2, 1, 2, (a) Für das skizzierte Syste stee an das Beweunsdifferentiaeichunssyste auf und schreibe es auf Matrizenfor u. Es soen von vornherein keine usenkunen anenoen werden. (b) Man berechne die Eienkreisfrequenzen und die dazuehörien Eienforen des Systes. Ge.: c 1 = 1 4 c, c 2 = c 3 = c, 1 = 2 3, 2 =, Θ S = 1 2 1r 2, r 19. Sfra repaceents (t) 1 2 y Die ufhänevorrichtun eines ebenen Pendes it der zeitich veränderichen Läne (t) und der Pendeasse 2 eitet reibunsfrei auf einer horizontaen Führun und hat die Masse 1. Eritten Sie it Hife der Laraneschen Geichunen 2. rt die Beweunsdifferentiaeichunen für das Syste. Ge.: 1, 2, (t), 20. uf einer schiefen Ebene bewet sich reibunsfrei ein Körper der Masse, Beweunskoordinate s, infoe der Schwerkraft abwärts. In einer radiaen Bohrun ist ein Zyinder der Masse M, der Reativkoordinate, eastisch aneordnet, der sich ebenfas reibunsfrei beween kann. usehend von der Ruheae des Systes sind it den Laraneschen Geichunen 2. rt die Beweunsdifferentiaeichunen für die eneraisierten Koordinaten s und aufzusteen. Ge.:, M, c, α,

7 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ein Massenpunkt ist a unteren Ende einer Feder k anebracht. oberen Ende ist die Feder eaert. In spannunoser Ruheae hat die Feder die Läne r 0. Steen Sie die Beweunsdifferentiaeichunen des Systes it Hife der Laraneschen Geichunen 2.rt auf. Ge.: k,, r 0, r, ϕ, 22. Das skizzierte Syste schwint PSfrait repaceents keinen usenkunen. Die Feder und der Pendestab sind asseos. Die Feder ist für ϕ = Ψ = 0 entspannt. Die Läne der entspannten Feder ist 0. c ϕ r Ge.: 1, 2, Θ 1, Θ 2,, r, c,, 0 (a) Stee die Schwinunsdifferentiaeichun für das skizzierte Syste it Hife der Laraneeichunen 2. rt auf! (b) Steen Sie das inearisierte Differentiaeichunssyste in Matrizenfor da. (c) Bestien Sie die Eienkreisfrequenzen des Systes für den Speziafa: Θ 1 = 1 2 r2 16 cr3 ; Θ 2 = 2 r2 ; 1 = 2 = ; = 2r cr ; 1, Θ 1 Ψ 2, Θ Ein starrer Körper führt Schwinunen in einer vertikaen Ebene unter de Einfuß der Schwerkraft aus. Der Zapfen (Radius r) rot ohne zu eiten auf der starren Unterae. Der Zapfenittepunkt P wird über eine Feder it der Steifikeit k ehaten. Die Reibun des Systes sei vernachässibar bis auf ein Roreiboent M it konstante Betra. Die Lae des Systes ist bestit durch den Drehwinke ϕ. Bei ϕ = 0 sei die Feder entspannt und der Massenittepunkt C stehe enau senkrecht über de Zapfenittepunkt P. Der Massenittepunkt C des Gesatsystes hat den bstand a vo Zapfenittepunkt P. Der Körper hat die Masse und das Massenträheitsoent J C u den Massenittepunkt. 0 (a) Bestien Sie die Larane-Geichun(en) 2. rt (Beweunsdifferentiaeichun/en) des Systes. (b) Leiten Sie nun für den Fa des atten Rokontaktes (M = 0) aus den/der Beweunsdifferentiaeichun(en) eine Bestiunseichun für die statische(n) Ruheae(n) her. ϕ a C P r k Ge.: a, r,, k, M,, J C Literatur: [4, S ]

8 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ein starrer Körper (Masse 1 ) eitet reibunsfrei in vertikaer Richtun und ist über eine asseose Stane (Läne ) it einer Punktasse 2 eenki verbunden. Die Punktasse ist über eine weitere Stane (Läne ) eenki an die Uebun ekoppet. att y 1 (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Bestie it den Laraneschen Geichunen 2. rt die Beweunsdifferentiaeichun für das Syste? ϕ 2 Ge.:,, 1, Ein starrer Körper (Masse 1 ) eitet reibunsfrei in vertikaer Richtun und ist über eine asseose Stane (Läne ) it einer Punktasse 2 eenki verbunden. Der starre Körper ist außerde über ein ineares Feder-Däpfer-Eeent (Federsteifikeit k, Däpferkonstante d) an den Boden ekoppet. Die entspannte Läne der Feder sei 2. Die Punktasse 2 ist über eine weitere Stane (Läne ) eenki an den Boden ekoppet. d att k y 1 ϕ 2 (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Steen Sie die kinetische Enerie T, die potentiee Enerie U und die Dissipationsfunktion D as Funktion von ϕ und ϕ auf. Wie ist die Laranefunktion L definiert? (c) rbeiten Sie i foenden it der Laranefunktion L = (2 1 sin 2 ϕ ) 2 ϕ 2 ( ) cos ϕ 2k 2 (1 cos ϕ) 2 weiter. Bestien Sie die Beweunsdifferentiaeichun für das Syste. (d) Wie roß uß die Federsteifikeit k sein, dait das Syste für ϕ S = π 3 eine Geichewichtsae hat? (e) Weche weiteren Geichewichtsaen sind i Bereich π 2 < ϕ < π 2 vorhanden, wenn die Federsteifikeit k den in Tei (d) bestiten Wert hat? Ge: k, d, 1, 2,, 26. Ein efederter und edäpfter einachsier nhäner rot it konstanter Geschwindikeit v durch sinusförie Bodenween it der Weenäne und der pitude z 0. Untersuche für den stationären Zustand den Einfuß der Paraeter z 0, v,, c und r auf die pitude V und die Phasenverschiebun ϕ der Schwinun und die chskraft F a! Ge.:, z 0, v,, c, r, Literatur: [4, S ] z c 2 r c 2 z 0 v /4

9 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Die Vertikaschwinunen eines utoobis können durch das ezeichnete Ersatzode beschrieben werden. Durch die Koordinaten y 10, y 20 ist die Ruheae des Systes ekennzeichnet. (a) Bestie die Beweunsdifferentiaeichun(en) des Systes! (b) Wie autet die charakteristische Geichun? (c) Weche Eienwerte (Eienkreisfrequenzen) hat das Syste ohne Däpfun (k=0)? y y 10 y 20 y 1 y 2 c c 2 k Däpfun, Federun chsen, Räder Fahrzeuaufbau Reifenfederun Ge.: 1 = 600k, 2 = 40k, PSfra c 1 = 150N/c, repaceents c 2 = 1600N/c 28. Das skizzierte Syste wird durch das Moent M(t) zu Schwinen aneret. Der Ströunswiderstand der Kue ist proportiona zur Geschwindikeit it de Widerstandskoeffizienten k. e anderen Widerstände, die Masse der Uenkroe sowie der hydrostatische uftrieb der Kue soen vernachässit werden. Die nicht dehnbaren Seie beiben ier espannt. Die Feder ist bei = 0 entspannt. (a) Berechnen Sie die statische Ruheae stat für den Fa M(t) = 0! c r 1, J1 S M(t) S R reines Roen y 2 k (b) Bestien Sie die Beweunsdifferentiaeichun u die statische Ruheae (in der Variabe = stat ). (c) Bestien sie die pitude und den Phasenwinke der stationären Schwinun! Ge.: 1, 2, J S 1, M(t) = M 0 cos Ωt, M 0, Ω,, c, k

10 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ein schwach edäpftes schwinunsfähies Syste wird durch M(t) = M 0 sin λt aneret. In der skizzierten Steun ist die Feder erade spannunsfrei. (a) Bestie die Beweunsdifferentiaeichun für keine usenkunen ϕ! 1, J S b ϕ M(t) a (b) Gib die aeeine Lösun der Differentiaeichun an und passe diese foenden nfansbedinunen an: ϕ(t = 0) = 2 ca und ϕ(t = 0) = 0 c r 2 (c) Wie roß sind pitude und Phasenwinke i eineschwunenen Zustand? Ge.: a, b, c, r, M 0, λ, 1, J S, 2, 30. Eritte für das skizzierte Syste die Bescheuniun der Masse 1, die reibunsfrei auf der schiefen Ebene eitet. Die Roe 2 wird durch ein konstantes Moent M anetrieben, und die Waze 3 rot ohne zu eiten. Ge.: M,, a, α, Θ 1, Θ 2, 31. Das skizzierte Syste wird durch das Moent M(t) zu Schwinen aneret. In der einezeichneten Position ( = 0) sind beide Federn espannt. Die obere Feder ist u die Läne 0 espannt; die untere Feder ist so espannt, daß = 0 die Geichewichtsae ist. Die Seie seien undehnbar. Es werden ausschießich keine Schwinunen u die Geichewichtsae betrachtet. (a) Steen Sie diepsfra kinetische repaceents Enerie T und potentiee Enerie U für das Syste auf. (b) Bestien Sie die Dissipationsfunktion D oder die eneraisierte Kraft Q. d c, J S M(t) S R c (c) Bestien Sie nun die Beweunsdifferentiaeichun in der Schwerpunktskoordinate. U weche Läne uß die untere Feder espannt sein, dait = 0 die Geichewichtsae ist? r reines Roen (d) Bestien sie die pitude der stationären Schwinun! Ge.:, J S, M(t) = M 0 cos Ωt, M 0, Ω, c, d

11 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Das skizzierte Syste wird von eine i Massenittepunkt S anreifenden Moent anetrieben. Nach einer Einschwinphase stet sich ein stationärer Zustand it keinen usschäen ein. (Gravitation spiet keine Roe.) (a) Bestien Sie die ineare Beweunsdifferentiaeichun! (b) Wie roß ist die Kreisfrequenz der freien edäpften Schwinun? (c) Bestien Sie die pitude und den Phasenwinke der stationären Schwinun! Ge.: a, r, c,, J S = 2a 2, M(t) = M 0 cos Ωt 33. Das skizzierte Syste (hooene Kreisscheibe M, Θ s, asseose Uenkroe, ideaes Sei, Masse, ineare Feder c, inearer Däpfer k) erfährt eine Fußpunkterreun u(t) = û cos Ωt. r M, J s c k u( t ) (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Steen Sie die Beweunseichun für die Beweun des Scheibenschwerpunktes it Hife der Laraneschen Geichunen 2. rt auf. reines Roen Ge.: M,, Θ s = 1 2 Mr2, c, k, r, û, Ω, 34. Das skizzierte Syste besteht aus eine Körper der Masse M, der sich auf seiner Unterae reibunsfrei beween kann. Er wird von den beiden Federn (Steifikeit c) festehaten. Beide Federn seien in der einezeichneten Lae entspannt. R y f S y r, Js In einer Mude rot eine Kue. Wenn der Grundkörper sich in der Mitteposition befindet ( = 0) und die Kue i tiefsten Punkt der Mude ist, it ψ = 0. c M = 0 c Mit Hife der Laraneschen Geichunen 2. rt sind die Beweunsdifferentiaeichunen für die eneraisierten Koordinaten ψ und aufzusteen. Ge.:, M, Θ s, c, R, r,

12 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ein starrer Körper (Masse M) eitet reibunsfrei in einer Führun und ist über ein Feder-Däpfer-Eeent (Konstanten k, d) an die Uebun ekoppet. ußerde trät der starre Körper eine it der Winkeeschwindikeit Ω rotierende asseose Stane, die i bstand e vo Drehpunkt eine Punktasse trät. Zu Zeitpunkt t = 0 sei die Stane horizonta und die Punktasse rechts vo Drehpunkt. Für = 0 sei die Feder entspannt. (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste, wenn die Winkeeschwindikeit Ω voreeben ist? (b) Wie autet die Beweunsdifferentiaeichun für das Syste? (c) Bestie die Lösun i eineschwunenen Zustand. (d) Wie roß sind die Kräfte i Feder-Däpfer-Eeent i eineschwunenen Zustand? 36. Das skizziere Syste besteht aus eine Zahnrad 1 (Masse 1, Radius R), einer Zahnstane 3 und eine Geitkörper 2 (Masse 2 ). Die Masse der Zahnstane so vernachässit werden. Zude so für eine erste Untersuchun des Schwinunsverhatens auf eine Berücksichtiun der Reibun verzichtet werden. Durch eine periodische P (t) reibunsfreies Geiten 2 Kraft P (t) wird das Syste zu Schwinunen 3 c aneret. Bestie it 1 Hife der Laraneschen Geichunen die Beweunseichunen des Systes! reibunsfreies Geiten Ge.: 1, 2, R, P (t), c 37. Eine asseose starre Stane ist a Punkt P aufehänt. I bstand ist eine Punktasse 1 befestit. uf PSfra der Stane repaceents eitet außerde eine zweite Punktasse 2 reibunsos unter der Wirkun der Federkraft und der Erdanziehunskraft auf und ab. Der bstand der zweiten Punktasse vo ufhänunspunkt P sei it r(t) bezeichnet. Die Feder hat die Federsteifikeit k und die unverforte Läne 0. (a) Wie auten die Beweunsdifferentiaeichunen für das Syste in den eneraisierten Koordinaten r(t) und ϕ(t)? (b) Prüfe durch Betrachtun von Grenzfäen die Pausibiität der hereeiteten Differentiaeichunen. d k P ϕ k Ω e 2 1 M

13 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Eine asseose starre Stane ist a Punkt P aufehänt. I bstand r 1 = ist eine Punktasse 1 befestit. uf der Stane eitet außerde eine zweite Punktasse 2 reibunsos. Der bstand PSfrader repaceents zweiten Punktasse vo ufhänunspunkt P sei it r 2 bezeichnet. Die Feder hat die Federsteifikeit k und die unverforte Läne 0. P k 2 Gesucht sind die Beweunsdifferentiaeichunen und die Länskraft in der Stane. ϕ 1 (a) Wieviee Freiheitsrade hat das Syste? (b) Weche eneraisierten Koordinaten sind zu wähen? Wie auten die Zwansbedinunen? (c) Foruiere die kinetische und potentiee Enerie in den ewähten Koordinaten. (d) Wie auten die Laraneschen Geichunen 1. rt? (e) Leite nun die Beweunsdifferentiaeichunen und die Kraft in der Stane her. (f) Wie auten die Geichewichtsaen? Weche Laerkraft wirkt dann i Laer P? 39. Bei de skizzierten Pende tritt a Geenk ein inear viskoses Reiboent der Größe M r = r ϕ ϕ auf (r ϕ : Drehviskosität). Stee für foende Koordinatensystee die Larane-Geichunen 1. rt auf, werte diese aus, bestie die Zwanskraftparaeter, werte diese aus und führe eine vereichende Diskussion durch. (a) kartesische Koordinaten (, y) des Massenittepunktes C und Drehwinke ϕ R ϕ M r C y, Θ C (b) ebene Poarkoordinaten (r, ϕ) des Massenittepunktes C Ge.:, Θ C, R,, M r = r ϕ ϕ Literatur: [5], [7] 40. uf eine ruhenden, parabeföri eboenen Draht PSfra rutscht repaceents eine Pere it Reibun. Die Schwerkraft wirkt in neative y-richtun. y Steen Sie die Beweunsdifferentiaeichun auf und berechnen Sie die Zwanskraft it Hife der Laraneeichunen 1.rt. Ge.:,, y() = a 2, a = const., µ

14 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite n einer vertikaen chse, die sich it der Winkeeschwindikeit ω dreht, ist unter de Winke αpsfra ein erader repaceents Draht befestit, auf de eine Pere der Masse reibunsfrei eitet. (a) Steen Sie die Laraneeichunen 1.rt für die Zyinderkoordinaten r, ϕ, z auf. (b) Lösen Sie die Beweunsdifferentiaeichun für z(t) unter Berücksichtiun der nfansbedinunen z(0) = ż(0) = 0. (c) Eritten Sie die Zwanskräfte in bhänikeit der Zeit. (d) Berechnen Sie die Enerie der Pere und zeien Sie, daß der Enerieewinn durch rheonoe Zwansarbeit verursacht wird. Ge.:,, α, ω 42. Zwischen der Masse 1 und der horizontaen Ebene besteht Geitreibun. Der Betra der Geitreibunskraft wird über die Zwanskraft des Pendefadens von der Schwinun der Masse 2 beeinfußt. Eritten Sie it Hife der Laraneschen Geichunen 1.rt sowoh die Norakraft zwischen 1 und der Ebene as auch die Beweunsdifferentiaeichunen des Systes (Die Zwanskraft des Pendefadens ist nicht esucht!). Ge.: 1, 2,,, µ 43. Zwei Massen 1 und 2 sind it einer asseosen Stane eenki verbunden. Die Masse 1 kann sich nur in y Richtun, und die Masse 2 kann sich nur in Richtun beween. Mit den Laraneschen Geichunen 1. rt berechne an die Stanenkraft. Die Feder ist bei y = H spannunsos. H k y α ω z r 1 1 y, e 2 y r, e ϕ 2 y 44. Mit Hife der Laraneschen Geichunen 1. rt berechne an ae Kontaktkräfte und die Beweunseichun des skizzierten Systes., Θ C α r ϕ

15 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite uf einer unendich anen starren asseosen Stane eitetpsfra reibunsfrei repaceents die Punktasse. Die Drehun der Stane ist voreeben as ϕ(t) = ωt (Rotation it konstanter Winkeeschwindikeit). Bestien Sie die Kraft der Stane auf die Masse. Benutzen Sie r und ϕ as eneraisierte Koordinaten. Und ehen Sie wie fot vor: D r e ϕ ϕ e r e y e (a) Bestien Sie den Ortsvektor r it Ursprun D. Bestien Sie die Geschwindikeit v(r, ϕ, ṙ, ϕ) = v r e r + v ϕ e ϕ und v = vr 2 + v2 ϕ. (b) Bestien Sie die kinetische Enerie E und dait die Larane-Funktion L(r, ṙ, ϕ). (c) Geben Sie die (hoonoe, rheonoe) Zwansbedinun in der For f(ϕ, t) = 0 an. Berechnen Sie f f r sowie ϕ. (d) Steen Sie die Geichunen d L dt q j L q j λ f q j = 0 auf. Setzen Sie darin die Zwansbedinun ein. Und eben Sie die beiden resutierenden Dn. für r und λ an. (e) Geben Sie die eneraisierten Zwanskräfte Q r und Q ϕ an. Berechnen Sie daraus die Zwanskraft Z in der Basis e r, e ϕ, aso Z = Z r e r + Z ϕ e ϕ. Kontroieren Sie die Diension von Z. Ge.:, ω =const. 46. Der skizzierte Vertikaschwiner, der sich unter de Einfuß des Erdschwerefedes befindet, wird durch eine voreebene Verschiebun u(t) = û sin Ωt erret. (a) Foruiere für die Koordinatenwah q 1 := PSfra 1, q 2 repaceents := 2 die Zwansbedinun, und ib die zuehörien Zwanskräfte an! (Die hochesteten Zahen sind hier hochestete Indizes, keine Eponenten.) Weche Bedeutun hat der Zwanskraftparaeter λ in diese Fa? Beründun! (b) Stee die Larane-Geichunen 1. rt auf! (c) Bestie durch uswertun der Zwansbedinun aus den Larane-Geichunen 1. rt die vertikae Laerkraft bei und die Beweuseichun des Systes! k k 1 2 u(t) Ge.:,, k, u(t) = û sin Ωt Hinweis: Betrachte ausschießich die Beweun in Vertikarichtun!

16 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Das skizierte Syste besteht aus eine starren Körper der Masse, der auf einer Ebene reibunsfrei eitet und it zwei Federn und zwei Däpfern an die Uebun ebunden ist. I Körperschwerpunkt ist ein atheatisches Pende (Läne, Masse ) anebracht, das von eine Wind der Geschwindikeit v w von unten anebasen wird (Luftwiderstandsbeiwert k). Die Pendeasse wird durch die Kraft P (t) = P 0 cos Ωt e erret. Die Beweun veräuft i Erdschwerefed. (a) Steen Sie die Laranefunktion L des Systes bz. der eneraisierten Koordinaten und ϕ auf. (b) Berechnen Sie den Betra der Reativeschwindikeit v re zwischen Pendeasse und Wind. (c) Steen Sie die Dissipationsfunktion D des Systes auf. (d) Geben Sie die eneraisierten Nicht-Potentiakräfte Q und Q ϕ an, die nicht durch D odeierbar sind. (e) Bestien Sie die Beweunsdifferentiaeichunen für das Syste. Hinweis: v re = v v w ; Ge.:, b, c, k,,, v w, P 0, Ω v : Geschw. der Pendeasse, v w Windeschwindikeit b c e y ϕ e c b v w P (t) 1.3 Verfahren von Ritz 48. I foenden so die Länsverschiebun eines einseiti einespannten Stabes it inear veränderiche Querschnittsradius r i Schwerefed der Erde (Erdbescheuniun ) untersucht werden. Es seien ineareastisches Materia, ein eindiensionaer Spannunszustand, über die Stabäne konstante Dichte ρ und E-Modu E vorausesetzt. Für die PSfra Radienrepaceents r 0 = r( = 0) und r 1 = r( = ) ete die Beziehun r 1 = 2 3 r 0. Zude it r. r() (a) Wähen Sie eine nsatzfunktion, die den eoetrischen Randbedinunen enüt. Berechnen Sie nun näherunsweise die bsenkun des freien Endes. (b) Vereichen Sie das Erebnis it de eakten Erebnis.

17 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Darestet ist ein BakenPSfra unter der repaceents Last q 0. rechten Ende ist eine Drehfeder (Federsteifikeit c M ) anebracht. Bestien Sie eine Näherunsösun für die Durchsenkun w(). Verwenden Sie den nsatz w() = a 0 + a 1 + a a 3 3. Gehen Sie wie fot vor: w q 0 EI ϕ c M (a) Passen Sie den nsatz an die 3 eoetrischen Randbedinunen an. Eiinieren Sie a 0, a 1 und a 2, und eben Sie die anepasste nsatzfunktion an. (b) Berechnen Sie die Foränderunsenerie W und die äußere rbeit. Die Foränderunsenerie einer Drehfeder berechnet sich aus W F = 1 2 c M ϕ 2. Hinweis: Es it ϕ( = ) = w ( = ). (c) Berechnen Sie den Freiwert a 3 aus der Bedinun δ(w ) = 0, und eben Sie dait die Näherunsösun an. 50. Bestien Sie für die nebenstehend skizzierten Baken it Hife des Ritz schen Verfahrens eine Näherunsösun für die Bieeinie w()! Passen Sie zunächst die nsatzfunktion den eoetrischen Randbedinunen an! nsatz: w() = a 0 + a 1 cos( π ) + a 2 sin( π ) z, w EI F c F Geeben:, I, E, c F, F 51. Ein eastischer Baken (Läne, Bieesteifikeit EI) ist inks fest einespannt und rechts in einer Hüse eaert. Der Baken wird auf PSfra seiner repaceents esaten Läne durch eine konstante Streckenast beastet. q 0 (a) Wähen Sie eine nsatzfunktion, die die eoetrischen Randbedinunen erfüt. (b) Berechnen Sie näherunsweise die Bieeinie. (c) Vereichen Sie die Näherunsösun it der eakten Lösun. B Ge.: q 0,, EI

18 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Mit Hife des Ritzschen Verfahrens berechne an die Durchsenkun des skizzierten Bakens an der Stee = 2. s Ritzansatz so foende Funktion verwendet werden: w EI c M 0 w() = a 0 + a 1 + a 2 cosh( ) Geeben: M 0, EI, c, 53. Für das aus zwei Stäben und einer inearen Feder bestehende Syste ist näherunsweise die Horizontaverschiebun des Punktes zu bestien, wenn an diese wie skizziert it der Kraft F ezoen wird. Zur Lösun dieser ufabe sind foende Teischritte zu bearbeiten: EI c f F 3EI (a) Für die Bieeinie beider Bereiche ist jeweis ein Poyno 3.Grades as nsatzfunktion zu wähen. Passen Sie diese nsatzpoynoe den eoetrischen Randbedinunen an; fordern Sie zude, daß die das Moent betreffenden Randbedinunen erfüt sind. (b) Steen Sie das Eneriefunktiona Π = W auf. (c) Berechnen Sie durch Etreaisierun dieses Funktionas (δπ = 0) die noch unbestiten Koeffizienten und eben Sie die Näherunsösun für die Horizontaverschiebun i Punkte an. 1 2 w 1 w 2 Geeben:, EI, c f = 2EI, F Für den skizzierten einseiti fest einespannten und a anderen Ende eenki eaerten Baken eritte an nach Ritz die erste Eienkreisfrequenz und vereiche sie it de eakten Wert: ω 1, eakt = 15, 42 1 EI 2 ρ ρ, EI, Waru ist die Näherunsösun zu roß? nsatzfunktion: w(, t) = 2 ( ) 2 q(t) Ge.: ρ,, EI,

19 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Berechnen Sie die beiden ersten Eienkreisfrequenzen des skizzierten Bakens näherunsweise it eine zweiiedrien nsatz nach Ritz: w(, t) = ϕ 1 ()q 1 (t) + ϕ 2 ()q 2 (t). EI, r c Verwenden Sie die nsatzfunktionen ϕ 1 () = ; ϕ 2() = sin π. Ge.:, EI, c, ρ, c = π 4 EI 2, EI =const Der darestete Stab führt infoe einer einaien nreun, u(, t) Lonitudinaschwinunen aus. Man eritte: ρ,, E, (a) die eakte erste Eienkreisfrequenz und (b) Näherunen für die erste Eienfrequenz unter Verwendun der nsatzfunktionen: (a) u(, t) = 2 q(t) (b) u(, t) = 2 (3 2)q(t) (c) u(, t) = sin π 2 q(t) Ge.: ρ,, E, 57. Der darestete Stab führt infoe einer einaien nreun Lonitudinaschwinunen aus. Eritten Sie it de Verfahren von Rayeih-Ritz eine Näherunsösun für die erste Eienkreisfrequenz unter Verwendun der foenden nsatzfunktion:, u(, t) Ge.: ρ,, E, u(, t) = 2 (3 2)q(t) 58. Der skizzierte Betonschornstein konstanter Wandstärke führt Bieeschwinunen aus. ρ,, E, r a (a) Überprüfe die aneebene Funktion ϕ() auf ihre Brauchbarkeit as nsatz für eine näherunsweise Bestiun der ersten Eienkreisfrequenz (nach Ritz). (b) Bestie näherunsweise die niedriste Eienfrequenz des Systes! ϕ() = 4[ ( ) 2 ( ) 3 ( ) 4 ] y Ge.:, E, ρ, r a, R a = 2r a, R a R i = 1 2 r a R i R a

20 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ein einespannter, assebehafteter Stab it kreisförie Querschnitt trät an seine Ende eine Einzeasse. Geeinete nfansbedinunen assen den Stab u seine Länsachse schwinen. Bestien Sie näherunsweise die erste Eienkreisfrequenz. Ge.:, r,, G, I p,, ϱ y z ϑ G, I p,, ϱ r 60. uf de Tisch einer Waae iet ein Paket (Masse M 2 ). Der Tisch (Masse M 1 ) wird von zwei Battfedern (Bieesteifikeit EI, Massebeeunen µ, Länen ) so ehaten, daß er in vertikaer Richtun schwinen kann. Für beide Battfedern wird die Verforun it der eichen nsatzfunktion, eine Poyno dritten Grades, beschrieben. Bei z = 0 sind die Battfedern entspannt. E I, µ E I, µ M 2 M 1 (a) Beschreibe das Vorehen zur eakten Bestiun der Eienfrequenzen des abebideten Systes. Wieviee Eienfrequenzen hat das Syste? z (b) Wie uß die nsatzfunktion ewäht werden, dait ae eoetrischen Randbedinunen erfüt werden? (c) Stee die kinetische und potentiee Enerie für keine Schwinunen z(t) des Systes auf. Beachte dabei die Wirkun der Erdbescheuniun. (d) Foruiere das Prinzip der keinsten Wirkun für das untersuchte Syste und bestie näherunsweise die niedriste Eienkreisfrequenz. (e) Wie roß ist die statische bsenkun z stat des Systes? 61. Mit Hife des Ritzschen Verfahrens berechne an näherunsweise die Bieeinie. Vereichen Sie ihr Erebnis für die Durchsenkun an der Stee = 2 für den Speziafa c = 0 it w de eakten Erebnis. EI c M 0 Es so der foende zweiiedrie nsatz verwendet werden: w() = q 1 f 1 () + q 2 f 2 (), wobei die beiden Forfunktionen f 1 und f 2 Poynoe sind. Hinweis: Es ist zweckäßi, die Forfunktionen so zu norieren, daß q 1 die Durchsenkun des Bakens in der Mitte ( = ) und q 2 die Verdrehun des Bakens a rechten Ende ( = 2) sind. Geeben: M 0, EI, c,

21 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Betrachtet wird ein Stabwerk aus zwei identischen Stäben (Läne, Dehnsteifikeit E, Massebeeun µ). oberen Ende sind die E, µ Stäbe eenki an die Uebun anebunden. unteren Ende sind beide PSfra Stäbe repaceents eenki 1 it einer Punktasse verbunden. Betrachtet werden ausschießich keine Vertikabewe- 2 2 unen der Punktasse. Vereinfachend sei anenoen, daß beide Stäbe stets eich schwin- en. I foenden so it verschiedenen Verfahren die niedriste Eienkreisfrequenz bzw. eine Näherun für die niedriste Eienkreisfrequenz des Systes bestit werden. (a) Wieviee Freiheitsrade hat das abebidete Syste? (b) Wie auten die eoetrischen Randbedinunen? (c) Leite die Beweunsdifferentiaeichunen und die dynaischen Randbedinunen für das untersuchte Syste her. (d) Wie autet die Frequenzeichun des untersuchten Systes? Bestie nun für µ = 10 die niedriste Eienkreisfrequenz des Systes. Hinweis: Die keinste positive Lösun der Geichun 10χ tan χ = 1 ist χ 1 0, (e) Weche Eienkreisfrequenz erhät an für µ = 10, wenn an einen inearen Ritz-nsatz für die Länsverschiebun der Stäbe wäht? (f) Vernachässit an die Stabasse eenüber der Punktasse, erhät an einen Einassenschwiner. Bestie die zuehörie Eienkreisfrequenz it de zweiten Satz von Castiiano. Vereiche PSfra die repaceents drei Erebnisse iteinander. 63. Ein assebehafteter Baken (Läne, Bieesteifikeit EI, Massebeeun µ) ist bei eenki eaert und bei B in eine Hüse esteckt, die de Baken dort eine horizontae Tanente aufzwint. Die Hüse (Masse ) kann auf einer starren Stane in vertikaer Richtun reibunsfrei eiten. Der Baken schwint ausschießich in Querrichtun. w EI, µ att, starr B (a) Wähen Sie eine nsatzfunktion (z.b. eine haronische Funktion), die den eoetrischen Randbedinunen enüt. (b) Bestien Sie nun die bezoene kinetische und aiae potentiee Enerie des Systes. (c) Berechnen Sie schießich ein Näherun für die erste Eienkreisfrequenz ω 1? Ge.: EI,,, µ Hinweis: sin 2 a d = 2 1 4a sin 2a

22 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Das abebidete Syste besteht aus eine eastischen, assebehafteten Sei (Dichte ρ, Läne, Querschnittsfäche, E-Modu E) und einer Endasse. Es soen die erzwunenen Länsschwinunen des Systes untersucht werden. Die Position des oberen Endes ist voreeben: s = ŝ cos Ωt. Die Position der Endasse sei it q bezeichnet. Wenn das Sei nicht edehnt ist, it q = s. Leiten Sie für den Fa, daß an die Verschiebun u(, t) des Seis it foende Ritz-nsatz u(, t) = s(t) + (q(t) s(t)) beschreiben kann, die Beweunsdifferentiaeichun her. Überprüfen sie zunächst, ob der eebene nsatz i Sinne von Ritz zuässi ist. Ge.:, E,, ρ,,, ŝ, Ω nerkun: Das untersuchte Syste kann u.a. as ein sehr einfaches Mode zur Beschreibun der Beweun von kabeebundenen Systeen in der Meerestechnik (z.b. reotey operated vehice) dienen. Die Beweun des oberen Kabeendes wird durch den Seean verursacht. s(t) 65. Das abebidete Syste besteht aus eine eastischen, assebehafteten Stab (Dichte ρ, Läne, Querschnittsfäche, E-Modu E) und einer Endasse. Mit Hife eines einiedrien nsatzes nach Ritz so näherunsweise die erste Eienkreisfrequenz berechnet werden, wobei die Länsverschiebun der Punktasse den Freiheitsrad q(t) beinhatet. s Forfunktion ist ein inearer nsatz zu wähen. s(t) Ge.:, E,, ρ,,, q E,, ρ, E,, ρ, q 66. Eritten Sie für das skizzierte Syste die Durchbieun an der Stee = /2! Verwenden Sie dazu den foenden nsatz, nachde Sie ihn an die eoetrischen Randbedinunen anepaßt haben. c EI c q 0 nsatz: w() = a a 1 + a 0 Ge.: EI, c, q o, z Literatur: [1] S. 384ff, bschnitt (zu besseren Verständnis auch bschnitt 7.2, S. 347ff und bschnitt 7.5.1, S. 373f): Ritz-Verfahren i Hinbick auf nuerische Berechnun, [3] S. 719, bschnitt Prinzipien der Eastostatik Tei Prinzip der virtueen Verschiebunen: Verfahren nach Ritz und Verfahren nach Gaerkin führen auf dieseben Geichunen, [6] Kap S. 439 Die Ritz-Methode, S. 441 Die Gaerkin-Methode 1 6

23 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite uf einen Bernoui-Baken der Läne und der Bieesteifikeit EI wirkt die Kraft F. Bestien Sie die Durchsenkun des Bakens bei = 0 näherunsweise, näich für den Ritz-nsatz w() = a ( 1 sin π ) 2 it de PdvV. Benutzen Sie das eebene Koordinatensyste, und ehen Sie wie fot vor: + F c EI (a) [3 Punkte] Berechnen Sie w, w und δw, δw, δw. Zeien Sie, dass der nsatz die beiden eoetrischen Randbedinunen erfüt. z, w (b) [3 P.] Berechnen Sie die Variationen der Foränderunsenerien: δw F (Feder) und δw B (Baken, Hinweis ( ) 0 sin π 2d 2 = 1 2 ). (c) [1 P.] Bestien Sie die virtuee äußere rbeit δ. (d) [2 P.] Bestien Sie a = w( = 0) aus δw B + δw F = δ (PdvV). (e) [5 P.] Bestien Sie jetzt das eastische Potenzia Π = W B + W F. Berechnen Sie a aus der Bedinun Π a = 0. Kontroieren Sie dait Ihr Erebnis aus (d). Ge.: EI, c,, F, W B = EI 2 w 2 d 68. Ein Krabaken der Läne L it konstanter Bieesteifikeit EI ist it einer wie skizziert inear verteiten Streckenast und einer in der Mitte anreifenden Einzeast F beastet. Bestie die Verschiebun des freien Bakenendes it de Näherunsverfahren nach Ritz. L 2 F L 2 q 0 Die Bieeinie nach Theorie erster Ordnun so it eine Poyno dritten Grades approiiert werden, das die eoetrischen Randbedinunen erfüt. Ge.: EI, L, F, Maiu der Streckenast: q Sätze von Castiiano 69. Berechne für den skizzierten Baken die Durchbieun an der Krafteineitunsstee und die ufaerreaktionen. Verwende dazu den ersten Satz von Castiiano. EI F M 0 Ge.: M 0, F, EI, 2

24 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ende des skizzierten schubstarren Bakens PSfra it derrepaceents Bieesteifikeit K B reifen ein Moent M 0 und eine Einzeast F an. (a) Berechne die das eastische Potentia U e des Systes. Bestie nun it de ersten Satz von Castiiano die Durchsenkun w 1 () und den Bieewinke ϕ 1 () a rechten Ende des Bakens ( = ). (b) Berechne den Bieewinke ϕ 2 () a rechten Bakenende für den Fa M 0 = 0. Ge.: M 0, F, EI, 71. Berechne it Hife des Satzes von Castiiano die Bieeinie w(ˆ) des skizzierten Kraars it der Bieesteifikeit EI unter Einwirkun der Einzeast F a freien Ende. Ge.: F,, EI 72. Geeben ist die nebenstehend skizzierte Konstruktion. Berechnen Sie unter Verwendun des ersten Satzes von Castiiano die Durchsenkun an der Stee. Geeben:, q 0, E, I, der Baken sei schubstarr E, I q 0 EI ˆ 2 EI F M 0 B F 73. Für den skizzierten schubstarren Träer it der konstanten Bieesteifikeit EI ist ittes des ersten Satzes von Castiiano die Laerkraft an der Stee B zu bestien. Geeben seien die Größen:, EI, q 0 q 0 EI 74. Der skizzierte dehn- und schubstarre Träer it der konstanten Bieesteifikeit EI ist einfach statisch unbestit. B (a) Machen Sie das Syste statisch bestit, inde Sie das Laer an der Stee B durch eine noch zu bestiende Kraft ersetzen. (b) Unterteien Sie den Baken in zwei Bereiche, und eritten Sie den Moentenverauf anaytisch. z 2 q 0 B C (c) Eritten Sie die beitun der Foränderunsenerie, und bestien Sie die eineführte unbekannte Kraft. (d) Geben Sie ae Laerkräfte bzw. -oente an. Geeben seien die Größen:, E, I, q 0

25 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ein rechtwinkier, einhüftier Trarahen wird wie skizziert durch die Streckenast q() beastet. Der Rahen PSfra wird repaceents as bieeeastisch, aber dehn- und schubstarr anesehen. EI q 0 B c Berechnen Sie it den Sätzen von CSTIGLINO die Laerreaktionen an den Orten und B. h Geeben seien die Größen: h,, E, I, c, q Das abebidete Fachwerk aus 7PSfra Stäben repaceents it der Dehnsteifikeit E ist innerich statisch bestit. ufrund der Laerun in den Punkten B, C, D ist das Fachwerk äußerich einfach statisch überbestit. D E 1 2 F Die (kopeentäre) Foränderunsenerie eines onitudina edehnten Stabes beträt: C 6 B U Stab = N 2 E d (a) Machen Sie die Laerun des Fachwerks statisch bestit, inde Sie das Laer bei B entfernen und dort die Laerkraft F B einführen. Bestien Sie dann die Kräfte in den Stäben, z.b. inde Sie die Knoten, B und E freischneiden. (b) Berechnen Sie nun die (kopeentäre) Foränderunsenerie U des Fachwerkes as Funktion der Kräfte F und F B. (c) Nutzen Sie i foenden die (kopeentäre) Foränderunsenerie U = [ af 2 E + bf F B + cfb 2 ], it den bekannten Konstanten a, b und c. Berechnen Sie die Laerkraft F B. (d) Wie roß ist die statische Durchsenkun in vertikaer Richtun u a Punkt? (e) n der Stee sei nun statt der Kraft F eine Punktasse anebracht. Die Masse der Stäbe so eenüber dieser Punktasse vernachässit werden. Betrachtet werden ausschießich vertikae Schwinunen der Punktasse. Das Fachwerk verhät sich dann wie eine ineare Feder. Wie roß ist die Ersatzfedersteifikeit? Weche Eienkreisfrequenz hat das Syste? Ge.: F,, E,

26 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite 26 Prinzipe der Mechanik, Kontinuusschwinunen, Hydroechanik 15. Oktober e Stäbe des Fachwerks haben die eiche Querschnittsfäche und den eichen E-Modu E. Berechne die vertikae Verschiebun des Lasteineitunspunktes C unter der Einwirkun der äußeren Last P. Ge.: P,, E, B 2 C P D 78. Ein Fachwerk aus 9 Stäben ist in und B eaert. I Punkt B wirkt eine vertikae Kraft P. Die Stäbe haben ae die eiche Querschnittsfäche und den eichen E-Modu E. Variante 1 Variante 2 F 9 E F 9 E D B C B C P P D Es werden zwei verschiedene Varianten voreschaen (siehe Bid). Weche Variante ist zu wähen, wenn die vertikae Durchsenkun in B öichst kein sein so? Beründen Sie Ihre Entscheidun durch eeinete Berechnunen. Wie roß ist die Durchsenkun i besseren Fa? Ge.: P,, E, 79. Die Enden einer abesetzten Wee (bschnitt 1: Durchesser d 1, bschnitt 2: Durchesser d 2 ) sind in den Laern und B een Verdrehun festehaten. uf ein Zahnrad, das it der Wee fest verbunden ist, wirkt ein Kräftepaar, so daß auf die Wee das Torsionsoent M T übertraen wird. (a) Wie roß sind die in den Laern und B aufzunehenden Torsionsoente? 1 2 (b) n wecher Stee üßte das Zahnrad auf de Weenabsatz 2 befestit sein, dait der Verdrehwinke aia wird? B Ge.: d 1, d 2, a, b, c, M T a b c

27 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Der Füe eines Hochdeckerfuzeues erzeut annähernd eine über die Füespannweite konstante uftriebsast p. U das Bieeoent an der fest einespannten Füewurze zu reduzieren, wurde eine Strebe BC einebaut. Der Füeaufbau wird wie abebidet durch einen schubstarren Baken und einen Stab odeiert. e Teie seien aus de eichen Materia. p c 5 B C D a b (a) Ist das Syste statisch bestit? (b) Bestien Sie die kopeentäre Foränderunsenerie W as Funktion der Stabkraft. (c) Wie roß ist die Kraft in der Strebe? (d) Wie roß ist das Bieeoent an der Füewurze? Ge.: I, 1, 2, c, a, b, p 81. Darestet ist ein Syste aus eine schubstarren Baken, eine Dehnstab und einer Feder. Berechnen Sie die Verdrehun ϕ a Laerpunkt unter Verwendun des Satzes von C- STIGLINO. Gehen Sie dazu wie fot vor: (a) Berechnen Sie zunächst die aßebichen Schnittkräfte in Dehnstab, Baken und Feder N, M und B F unter Berücksichtiun eines Hifsoents M H, das dort anzubrinen ist, wo der Verdrehwinke esucht ist. (b) Berechnen Sie die esuchte Verdrehun unter usnutzun von = W M H = 1 EI 0 M M M H d+ 1 2 E 0 N N M H dz+ W M H F c F M H (c) Berechnen Sie die Verdrehun ϕ nun für den Speziafa EI und c. 2 z E ϕ EI c q 0

28 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Ein Baken (Läne 2, Bieesteifikeit EI) ist it drei Stäben (Dehnsteifikeit E) statisch bestit estützt. Berechnen Sie it Hife des Satzes von CSTIGLINO die Verschiebun des Punktes B in Richtun der Kraft F. Ge.:, EI, E y C 30 3 B F 2 Kontinuusschwinunen 83. Eine beidseiti einespannte Saite der Läne (Dichte ρ, Querschnittsfäche ) ist u die Kraft S vorespannt. Nach Eineitun der foenden nfansbedinunen führt sie freie, unedäpfte, rein transversae Schwinunen aus: h w 4 S ẇ(, t = 0) = 0 { 4 h w(, t = 0) = ( ) für 0 < h für 4 Ge.: ρ,, S,, h (a) Bestien Sie die d ebertsche Lösun der Weeneichun, und zeichnen Sie die usenkunen der Saite zu den Zeitpunkten: t 0 = 0, t 1 = 1 8 T, t 2 = 1 4 T, t 3 = 3 8T,... über eine voe Periode T. (b) Lösen Sie die Weeneichun it Hife des Produktansatzes von Bernoui. Passen Sie die Lösun an die Rand- und nfansbedinunen an. (c) Zeichnen Sie die ersten vier Eienschwinunsforen und die usenkun der Saite aus der ewichteten Überaerun dieser vier Eienforen für den Zeitpunkt t = 0. (d) Zeien Sie, dass die Lösun nach Bernoui die Fourierdarsteun der d ebertschen Lösun ist. 84. (a) Geeben sei eine Funktion f(t, ) = a cos( + ct). Bestie die partieen beitunen f t, f, 2 f t 2, 2 f t, 2 f t, 2 f 2! (b) Geeben sei eine Funktion w(, y) = ae 2 y 2, it = sin y. Berechne die foenden beitunen: w, w y, dw dy!

29 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite (a) Bestie die partieen beitunen f t, f, 2 f t 2, f(, t) = 2t k + ωt 2 f t, 2 f t, 2 f 2 der Funktion (b) Bestie für den Fa, daß = v 0 t ist, die beitun df dt eina durch Einsetzen von = v 0 t in f und anschießendes beiten nach t und eina durch nwenden der Fore df dt = f t + f t (c) Für die Koordinaten u und v beschreibe die Funktion uv eine Fedröße G: (u, v) uv (u, v) := u 2 + πv 3 Das eiche Fed G wird für die Koordinaten und y beschrieben durch die (bisher nicht bekannte) Funktion y : (, y) y (, y) = uv ( u(, y), v(, y) ) Zwischen den Koordinaten (u, v) und (, y) eten it den bekannten Konstanten α und β die Transforationsbeziehunen u(, y) = α + βy und v(, y) = α βy Bestie zuerst die partieen beitunen nach den Koordinaten u und v: uv v. Bestie anschießend unter Verwendun von uv u der Jakobiatri u y y und y, u y, v und v y (in den dazu passenden Koordinaten)! uv u und uv und v und it den Koponenten die beitunen nach den Koordinaten und y: Literatur: In der physikaischen und technischen Literatur wird oft für die beiden Funktionen y und uv und für die Fedröße G ein und dassebe Sybo verwendet, z.b. in [1] bschnitt S Das widerspricht der in der Matheatik übichen Lesart: Z.B. widersprechen sich die beiden Geichunen (4.4) und (4.5) in [1, S. 200], wenn an sie as Definition einer Funktion w zweier ruente iest. Hier wird w dezufoe as eine Fedröße interpretiert, die an verschiedenen Steen i Rau- Zeit-Kontinuu bestite Werte annit. Die Stee kann entweder durch die Koordinaten (, t) oder durch die Koordinaten (ξ, η) identifiziert werden. Diese vo Standard in der Matheaik abweichende Bedeutun sote beachtet werden, wenn atheatische Sätze wie die Kettenree anewendet werden soen.

30 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Betrachtet wird die beidseiti einespannte it der Seikraft S 0 vorespannte Saite (Dichte ρ, Querschnittsfäche 0 ). Sie kann transversae Schwinunen ausführen. Mit de Lösunsansatz von d ebert so die Lösun zu foenden nfansbedinunen bestit werden: w L S 0 ẇ(, t = 0) = 0 { 2 L w(, t = 0) = ( w 0) für 0 < L L w 0 für L 2 L Ge.: ρ, 0, S 0, L, w 0 (a) Weche Geichun beschreibt das Verhaten der Saite? (b) Wie autet die aeeine Lösun nach d ebert? (c) Bestie die Lösun für die eebenen nfansbedinunen. (d) Skizziere die usenkun der Saite für die foenden Zeitpunkte: t 0 = 0, t 1 = 1 8 T, t 2 = 1 4 T, t 3 = 3 8 T, t 4 = 1 2 T, t 5 = 5 8 T it T = 2L c und c 2 = S 0 ρ Betrachtet wird eine unendich ane Saite, die transversae Schwinunen ausführen kann. Der Querschnitt der Saite sei, die Dichte ρ. Sie ist vorespannt it der Seikraft S. Mit de Lösunsansatz von d ebert so die Lösun zu foenden nfansbedinunen bestit werden: 2 ẇ v 0 w(, t = 0) = 0, ẇ(, t = 0) = ẇ 0 () = { v0 für < < 0 sonst Ge.: ρ,, S,, v 0 (a) Weche Geichun beschreibt das Verhaten der Saite? (b) Wie autet die aeeine Lösun nach d ebert? (c) Bestie die Lösun für die eebenen nfansbedinunen. (Das Intera uß nicht aufeöst werden.) (d) Skizziere die usenkun der Saite i Interva 3 3 für die Zeitpunkte τ 0 = 0, τ 1 = 1 4, τ 2 = 1 2, τ 3 = 1, τ 4 = 3 2 und τ 5 = 2! Dabei ist τ = 1 S ρ t.

31 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite Eine Saite der Läne wird it S vorespannt und trät die Masse pro Läne µ. Die Seite wird zur Zeit t = 0 wie darestet it w () auseenkt. Die nfanseschwindikeit ist Nu. Berechnen Sie die Beweun der Saite w(, t) sowoh it de Produktansatz von Bernoui as auch it de nsatz nach d ebert. Benutzen Sie das eebene Koordinatensyste, und ehen Sie wie fot vor: w(, t) w () = w 0 sin π (a) Der nsatz w(, t) = X() T (t) iefert w(, t) = ( cos ωt + B sin ωt) (C cos ω c + D sin ω c ). Bestien Sie C und die Eienkreisfrequenzen ω k durch npassun an die Randbedinunen, weche für ae Zeiten eten. (b) Die aeeine Lösun ist eine unendiche Reihe it noch nicht bestiten Konstanten k und B k. Bestien Sie diese durch npassun an die nfansbedinunen, weche für ae Orte eten. (c) D eberts Koordinatenwechse von (, t) auf (ξ 1 = ct, ξ 2 = + ct) iefert, dass w sich aus zwei nteien additiv zusaensetzt, näich w(, t) = f 1 (ξ 1 (, t))+f 2 (ξ 2 (, t)). Man erhät für die eebenen nfansbedinunen zur Zeit t = 0: f 1 (ξ 1 (, t = 0)) + f 2 (ξ 2 (, t = 0)) = 1 2 w () w (). Geben Sie davon ausehend die Lösun für beiebie Zeiten t an, aso w(, t). (d) Benutzen die das Theore sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β. Steen Sie dait w as Produkt dar, näich as w(, t) = X() T (t). Ge.: S, µ,, c 2 = S µ, w(, PSfra t = 0) repaceents = w 0 sin π, w t (,t=0) = 0 E, ρ,, d 89. Es wird ein Stab aus inear eastische Materia untersucht, der a rechten Ende ( = 0) über einen viskosen Däpfer an die Uebun ekoppet ist. inken Ende ( = ) wird eine Verschiebun s (t) voreeben. s ufrund der voreebenen Verschiebun s (t) kot es zur usbreitun von Ween in de Stab. Beinnt an it de Zustand der Ruhe, breiten sich anfans Ween nur in neative - Richtun aus. Es so untersucht werden, ob es eine Däpfun d ibt, so daß eine Refeion der Ween a rechten Rand voständi unterbunden werden kann.

32 Mechanik III Enerieethoden/Kontinuusechanik Prof. Popov WS 2007/08 Seite S, µ, γ S Betrachtet wird eine Saite (Läne, Spannkraft S und Massebeeun µ) it eastischer Bettun. Hinweis: Die Bettunssteifikeit γ ist die Steifikeit der Bettun bezoen auf die Läne. Die Saite ist an beiden Enden fest einespannt. (a) Leite an eine infinitesiaen Stück der Saite die Beweunsdifferentiaeichun für das untersuchte Syste her. Die transversae usenkun der Saite sei it w(, t) bezeichnet. (b) Wie auten die Randbedinunen? (c) Nutze einen eeineten Separationsansatz für die usenkun w(, t) und überführe die hereeitete partiee Differentiaeichun in zwei ewöhniche Differentiaeichunen. (d) Gib die Randbedinunen für die Ortsfunktion an. Literatur: [1] bschnitt 4.1 S.198 [3] bschnitt S Betrachtet wird eine unter der Spannkraft S einespannte Gitarrensaite der änenbezoenen Masse µ = ρ. Die Saite werde an der Stee ξ it der pitude h auseenkt (ezupft) und oseassen. Die PSfra nfansausenkun repaceents (B 1) und nfanseschwindikeit (B 2) sind eeben: w(, t = 0) = w t { h ξ h( ) ξ für 0 < ξ für ξ (B 1) = 0,t=0 (B 2) Die Differentiaeichun, die das Probe beschreibt, autet: 2 w(, t) t 2 = c 2 2 w(, t) 2 it c 2 = S µ w(, t) (a) Überführe die partiee Differentiaeichun ittes Produktansatz in zwei ewöhniche Differentiaeichunen. Verwende dabei die bkürzun ω, so dass foende nsätze die ewöhnichen Differentiaeichunen erfüen: T (t) = cos ωt + B sin ωt und X() = C cos( ω c ) + D sin( ω c ) (b) Bestie die Konstanten der Ortsfunktion X() durch uswertun zweier eoetrischer Randbedinunen. Zeie, dass die aeeine Lösun des Randwertprobes autet: w(, t) = k=1 ( k cos k π c t + B k sin k π c t ) sin k π. (c) Werte nun auch die nfansbedinunen aus, und zeie unter usnutzun der Orthoonaitätsreationen der Eienfunktionen, dass die Funktion w(, t) = 2 h 2 π 2 ξ ( ξ) k=1 1 sin k π ξ k 2 sin k π cos k π c t die Lösun des eebenen nfanswertprobes ist. ξ h S