Theoretische Physik: Mechanik

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1 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 013 Probeklausur - Lösun Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

2 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Kurze Fraen [0 Punkte] Beantworten Sie folende Fraen. Für jede richtie Antwort ibt es einen Punkt. Für jede falsche Antwort ibt es einen Minuspunkt. Wird keine Antwort eeben so wird diese Frae nicht bewertet. Es können auch mehrere Antworten richti sein. Die Gesamtzahl der Punkte dieser Aufabe kann nicht neativ sein. 1. Geben Sie die drei Newton schen Axiome an: [3 Punkte] 1. Newton-Axion: Es ibt Bezussysteme (Inertialsysteme, in denen sich ein Massenpunkt im kräftefreien Raum mit konstanter Geschwindikeit bewet r = v = const. a = r = 0..Newton-Axiom: Die Änderun des Impulses (der Beweunsröße ist der Einwirkun einer Kraft proportional und eschieht in Richtun der Kraft: F = d p dt. 3.Newton-Axiom: Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio, so wirkt eine leich roße, aber enteenerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio: F AB = F BA.. Geeben sei ein Teilchen der (konstanten Masse m im konservativen Kraftfeld F. Welche der folenden Aussaen sind richti? [4 Punkte] F lässt sich allemein schreiben als Gradient eines zeitabhänien Potentials F( r, t = radu( r, t. (falsch Die verrichtete Arbeit hänt nur vom Anfans- und Endpunkt der Bahnkurve ab. (wahr rot F = 0 ist eine notwendie Bedinun, damit F konservativ ist. Die Gesamtenerie E = T + U ist eine Erhaltunsröße. (wahr (wahr 3. Geeben sei ein abeschlossenes System, bestehend aus n Punktteilchen mit Massen m 1,..., m n, das durch ein explizit zeitabhänies Potential U( r 1,..., r n, t beschrieben wird. Welche der folenden Aussaen sind korrekt? [3 Punkte] Die Gesamtenerie ist eine Erhaltunsröße. (falsch Ist das Potential invariant unter Veschiebunen um beliebie Vektoren a 1,..., a n, also U( r 1,..., r n, t = U( r 1 + a 1,..., r n + a n, t dann ist der Gesamtimpuls P = n i=1 m i r i erhalten. (wahr Ist das Potential invariant unter Drehunen, so ist der Gesamtdrehimpuls L = ni=1 m i r i r i eine Erhaltunsröße. (wahr 4. Betrachten Sie ein System von n Massenpunkten. m holonome Zwansbedinunen seien durch m unabhänie Gleichunen der Form i ( r 1,..., r i ; t (für i {1,..., m} definiert. Welche der folenden Aussaen elten? [3 Punkte] Die Dynamik des Systems wird durch 3n Larane-Gleichunen 1.Art beschrieben. (wahr Das System wird durch n-m verallemeinerte Koordinaten beschrieben. (falsch Technische Universität München Fakultät für Physik

3 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Für ein System mit Potentialkräften, in dem keine Zwansbedinunen wirken, sind die Euler-Larane-Gleichunen.Art äquivalent zu den Newton schen Beweunsleichunen. (wahr 5. Geeben sei ein System mit Potentialkräften, das durch die Laranefunktion L(q, q; t = T U beschrieben werde. q = {q 1,..., q n } und q = { q 1,..., q n } bezeichnen verallemeinerte Koordinaten bzw. Geschwindikeiten. Welche Aussaen sind korrekt? [4 Punkte] Wenn L nicht explizit von q k abhänt, dann ist der eneralisierte Impuls L q k eine Erhaltunsröße. (falsch L ist bis auf eine Konstante eindeuti festelet. (falsch Für eine Zentralkraft F = α e r r, ist U = V(r = l α mr r, wobei l den Drehimpuls des Systems, e r den radialen Einheitsvektor bezeichnen und α > 0. (falsch Die Euler-Larane-Gleichunen. Art für L folen aus dem Hamilton schen Extremalprinzip für die Wirkun. (wahr 6. Betrachten Sie die Beweun eins starren Körpers dessen Träheitstensor I bezülich eines im Schwerpunkt des starren Körpers fest verankerten Koordinatensystems eeben sei. Welcher der folenden Aussaen sind richti? [3 Punkte] I verhält sich unter Drehunen R, mit r = R r, wie ein Tensor.Stufe, d,h, I = RIR T (R T ist die zu R transponierte Matrix. (wahr Die kinetische Enerie des starren Körpers setzt sich zusammen aus der kinetischen Enerie der Schwerpunktstranslation und der Enerie der Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt. (wahr Der starre Körper hat 10 Freiheitsrade. (falsch Fallendes Seil [16 Punkte] Ein kurzes Seil der Läne L und der Masse m liee auf einem Tisch der Höhe h > L und werde an einem Ende festehalten (µ m L. Ein Stück l (0 < l < L des Seils häne lose über die Tischkante. Es wirke nur die Gravitationskraft auf das Seil, Sie können also Reibuns- und Luftwiderstand vernachlässien. Zum Zeitpunkt t = 0 werde das Seil loselassen. Technische Universität München 3 Fakultät für Physik

4 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Bestimmen Sie die Kräftebilanz des Systems. Wie lautet also die Beweunsleichun für das Seil(ende? Hinweise: Wählen Sie das Koordinatensystem wie in obenstehender Abbildun aneeben. Vernachlässien Sie die Krümmun des Seils an der Tischkante. Beachten Sie, dass die für die Beweunsleichun relevante Masse zeitabhäni ist. [3 Punkte]. Lösen Sie nun die Beweunsleichun vollständi unter Einbeziehun der eebenen Anfansbedinunen. Wann erreicht das Seilende die Tischkante? Welche Geschwindikeit hat dann das Seilende? [5 Punkte] 3. Wann und mit welcher Geschwindikeit erreichen Seilanfan und -ende den Boden? [ Punkte] 4. Auf dem Boden steht eine Waae, auf die das Seil fällt. Gehen Sie davon aus, dass das Seil vollkommen inelastisch ist und dass keinerlei Wechselwirkun zwischen den einzelnen Gliedern des Seils auftritt. Bestimmen Sie unter diesen Annahmen das Gewicht G = G(t, dass die Waae anzeit, als Funktion der Zeit. [6 Punkte] Lösun: 1. Wir fassen die Aufabe zuerst als eindimensionales Problem in x-richtun auf. Solane das Seil mit der Läne x < 0 auf dem Tisch liet, wirkt die Schwerkraft nur auf das Stück mit Läne L ( x = L + x, also: F = +µ(l + x (1 Beschleunit wird aber stets die Gesamtmasse m = Lµ, sodass aus dem zweiten Newton schen Axiom folt: ma = F = Lµẍ = µ(l + x ( Die Beweunsleichun für das Seilende x lautet damit: ẍ = L x + (3. Die Lösun dieser inhomoenen Differentialleichun zweiter Ordnun eribt sich als Summe der homoenen Gleichun, ẍ = L x, plus einer speziellen Lösun von Gleichun (3. Die Lösun der homoenen Gleichun eribt sich mithilfe des Ansatzes x hom (t = αe βt zu: x hom (t = α 1 e L t + α e l t (4 Eine spezielle Lösun errät man einfach. x spez (t = L = const., sodass wir die allemeine Lösun schreiben können als: x(t = α 1 e L t + α e l t L (5 Technische Universität München 4 Fakultät für Physik

5 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Die vollständie Lösun errechnet sich schließlich noch unter Einbeziehun der Anfansbedinunen x(t = 0 = (L l und ẋ(t = 0 = 0. Die zweite Bedinun führt zu α 1 = α, die erste damit zu α 1 = l. Mithilfe von coshx = 1 (ex +e x lautet die vollständie Lösun: ( x(t = lcosh L t L (6 Das Seilende erreicht die Tischkante, wenn x(t = t 1 = 0 ilt, also: ( ( L lcosh L t L = 0 = t 1 = L arcosh l (7 Dann hat das Seilende die Geschwindikeit: v 1 = ẋ(t 1 = l = l L ( L sinh L t = l L ( L 1 = l L l L ( cosh L t 1 1 = (8 3. Nun betrachten wir die Beweun auf der y-achse. Nachdem wir von einem inelastischen Seil mit keinerlei Wechselwirkun unter den einzelnen Gleidern (Bestandteilen des Seils ausehen können, fällt jedes Glied mit Masse dm = µdy frei zu Boden. Da das Seil (und damit jedes seiner Glieder zum Zeitpunkt t 1 die Geschwindikeit v 1 hat, eribt sich für die Geschwindikeit des Seils für t > t 1 (Bezusrichtun nach unten: ÿ = ẏ = (t t 1 + v 1 y = 1 (t t 1 + v 1 (t t 1 + y 0 (9 Dabei ist y 0 {0, L} die Position des Seilliedes im Zeitpunkt t 1. D. h. der Seilanfan entspricht y 0 = L, das Seilende y 0 = 0. Ein beliebies Seilstück trifft auf den Boden wenn y = h ilt. Für den Seilanfan (y 0 = L ist dies der Fall für t = t, eeben durch: 1 (t t 1 + v 1 (t t 1 (h y 0 = 0 = t = t 1 + v 1 + (h L v 1 (10 Die zuehörie Geschwindikeit, v = ẏ(t, eribt sich mit Gleichun (9: v = v 1 + (h L (11 Analo ereben sich Auftreffzeitpunkt und - eschwindikeit, t 3 bzw. v 3, des Seilendes mit y 0 zu Technische Universität München 5 Fakultät für Physik

6 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht t 3 = t 1 + v 1 + h v 1 und v 3 = v 1 + h (1 Alternativ kann die Geschwindikeit, mit der der Seilanfan auf den Boden prallt, aus dem Eneriesatz erhalten werden, wenn man beachtet, dass der Seilanfan in t = t 1 sich auf einer Höhe h L über dem Boden befindet: 1 dmv 1 + dm(h L = 1 dmv = v = v 1 + (h L (13 Der Seilanfan erreicht nach Gleichun (9 den Boden zum Zeitpunkt: t = t 1 + v v 1 (14 mit den entsprechenden Ausdrücken aus den Gleichunen (7, (8 und (13. Das Seilende fällt zum Zeitpunkt t = t 1 mit der Geschwindikeit v 1 aus der Höhe h zu Boden und erreicht ihn mit der Geschwindikeit v 3 ; der Eneriesatz eribt wiederum: Das eschieht zum Zeitpunkt: 1 dmv 1 + dmh = 1 dmv 3 = v 3 = v 1 + h (15 t 3 = t 1 + v 3 v 1 (16 4. Das Gewicht G, das die Waae auf dem Boden anzeit, setzt sich zusammen aus der Gewichtskraft des Seilstücks F S eil = F S eil (t, das bereits auf der Waae liet, plus der Kraft F p = F p (t, die durch den Impulsübertra eines Seilliedes der Masse dm = µdy und der Geschwindikeit v {v, v 3 } auf die Waae übertraen wird. Um F S eil zu berechnen, bestimmen wir die Läne des Seils, s = s(t, das zum Zeitpunkt t {t, t 3 } am Boden liet. Dazu verwenden wir Gleichun (9, um den Auftreffzeitpunkt, t(y 0 eines beliebien Seilliedes, dm = µdy, das sich in t = t 1 bei y(t 1 = y 0 {0, L} befindet, zu berechnen: Dafür ilt: y(t(y 0 = h 1 (t(y 0 t 1 + v 1 (t(y 0 t 1 (h y 0 = 0 (17 also t(y 0 = t 1 + v 1 (h y 0 v 1 und y 0 (t = ((t t 1 + v 1 v 1 (18 Wenn das Seillied aus der Höhe y 0 anekommen ist, liet bereits ein Seilstück der Läne s = L y 0 auf der Waae. Die Gewichtskraft dieses Seilstücks in Abhänikeit von der Zeit t {t, t 3 } ist dann: F S eil (t = µs(t = µ L h + ((t t 1 + v 1 v 1 (19 Technische Universität München 6 Fakultät für Physik

7 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Die Kraft F p erhält man aus dem zweiten Newton schen Axiom, wenn man als Impuls eines Seilstücks dm = µdy direkt über Boden dp = dmv = µdyv annimmt und davon auseht, dass dieses auf v = 0 abebremst wird. Also: F p (t = dp dt = µdy dt v = µv = µ[(t t 1 + v 1 ] (0 Im Zeitintervall t {t, t 3 } zeit die Waae demnach folendes Gewicht an: G(t = F S eil (t + F p (t = µ L h + ((t t 1 + v 1 v 1 + µ((t t 1 + v 1 (1 Im Zeitintervall t = t zeit die Waae G(t = µv = µv 1 + µ(h L, zum Zeitpunkt G(t 3 = µl + µv 3 = m + µv 1 µh. Für t > t 3 zeit die Waae dann natürlich G(t = m an. 3 Großvaters ideale Uhr [15 Punkte] Ein Massenpunkt leitet reibunsfrei im homoenen Schwerefeld der Erde auf einer Zykloide, die durch x = a(ϑ sinϑ, y = a(1 + cosϑ eeben ist, wobei 0 ϑ π (siehe Abbildun. Es wirken keine weiteren Kräfte. Hinweis: sin ( ϑ = 1 (1 cosϑ, 1 + cosϑ = cos ( ϑ 1. Berechnen Sie die kinetische und potentielle Enerie des Teilchens als Funktion einer eeineten verallemeinerten (zyklischen Koordinate. Stellen Sie die Larane-Funktion auf. [4 Punkte]. Leiten Sie daraus die Beweunsleichun her. [3 Punkte] 3. Berechnen Sie die Lösunen der Beweunsleichun für allemeine Anfansbedinunen. Wodurch zeichnet sich dieses Systems aus? [6 Punkte] Hinweis: Führen Sie die Funktion u(ϑ = cos( ϑ ein. 4. Wie lane braucht der Massenpunkt, um aus der Ruhelae von einem Punkt (x(ϑ 0, y(ϑ 0, wobei 0 ϑ 0 π, bis zum Minimum der Zykloide zu elanen? Was fällt Ihnen auf? [ Punkte] Technische Universität München 7 Fakultät für Physik

8 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Lösun: 1. Aufrund der Parametrisierun der Zykloide, x = a(ϑ sinϑ, y = a(1 + cosϑ, bietet sich ϑ als verallemeinerte Koordinate an. Die kinetische Enerie ist: T = 1 m(ẋ + ẏ = 1 ma ϑ [(1 cosϑ + sin ϑ] = = ma ϑ 1 ( ( ϑ (1 cosϑ = ma ϑ sin die potentielle Enerie: Damit ist die Laranefunktion: U = my = ma(1 + cosϑ = macos ( ϑ L = T U = ma ϑ sin ( ϑ macos (3 (4. Die Beweuns- oder Euler-Larane-Gleichun ist: d dt Wir berechnen die einzelnen Beiträe: d dt ( L = d ϑ dt L ϑ = ma ϑ sin ( L ϑ L ϑ = 0 (5 [ ( ] ϑ 4ma ϑsin = [ = 4ma ϑsin + ϑ sin cos Daraus erhalten wir die Beweunsleichun: a ϑsin + a ϑ cos + macos cos cos sin ( ] (6 ϑ (7 = 0 (8 3. Diese Gleichun kann analytisch elöst werden, indem man die Substitution u(ϑ = cos ( ϑ durchführt. Die Ableitunen von u ereben zunächst u = cos = u = ϑ sin = ü = ϑ sin ϑ 4 cos Offensichtlich reduziert sich die Euler-Larane-Gleichun (8 auf: Technische Universität München 8 Fakultät für Physik

9 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht ü + 4a u = 0 (9 Damit beschreibt die reduzierte Beweun einen perfekten harmonischen Oszillator. Die allemeine Lösun ist einfach: ( ( u(t = u 1 cos 4a t + u sin 4a t (30 Invertierun eribt: [ ( ϑ(t = arccos u 1 cos u 1 = cos 4a t ( ϑo, u = ( + u sin a ϑ 0 sin ] 4a t ( (31 ϑ0 wobei wir als Anfansbedinun ϑ(t = 0 = ϑ 0 und ϑ(t = 0 = ϑ 0 anenommen haben. Bemerkun: Besonders einfach ist die Lösun, wenn ϑ 0 = 0 esetzt wird. Dann ist ϑ(t = a t. Für die Beschleuniun erhält man r(t ( ( ( = (ẍ(t, ÿ(t = sin a t, cos a. t Man erkennt also, dass r(t e y. Das liet daran, dass eine Zwanskraft Z = (Z x, Z y auftritt, die das Teilchen auf der Brachistochrone hält. Wäre die Brachistochronenbahn nicht vorhanden, würde die Kraft G = (0, m auf die Masse wirken. Hier muss jedoch zusätzlich die Zwanskraft Z = m ( sin ( a t, 1 cos ( a t wirken, die sicherstellt, dass die Masse in jedem Punkt der Bahn nur von der Hanabtriebskraft m r parallel zur Bahn beschleunit wird. Die Zwanskraft ist dann enteenesetzt zur Normalkraft der Masse bezülich der Bahn. Insesamt ilt damit F = m r = G + Z. Z muss von der Bahn aufebracht werden. Diese Zwanskraft kann auch mithilfe der Euler-Larane- Gleichunen 1.Art hereleitet werden. 4. Um die Zeit T zu bestimmen, die der Massenpunkt benötit, um von einem beliebien Anfanspunkt (x(ϑ 0, y(ϑ 0 mit ẋ(t = 0 = 0 und ẏ(t = 0 = 0 zum Minimum der Zykloide zu elanen, bemerken wir zuerst folende Punkte: Ween ẋ = a(1 cosϑ ϑ = 0, ẏ = asinϑ ϑ = 0 folt auch ϑ(t = 0 = ϑ 0 = 0. Die Bahnkurve für diesen speziellen Fall ist dann: [ ( ( ] ϑ0 ϑ(t = arccos cos cos 4a t (3 Das Minimum der Zykloide entspricht offenbar ϑ = π. Die Laufzeit T ist damit bestimmt aus: ϑ(t = π cos ( ( ϑ0 ( π cos 4a T = cos = 0 4a T = π (33 wobei berücksichtit wurde, dass 0 ϑ 0 < π ilt ( also cos ( ϑ 0 0, und T als Zeit des ersten Minimumsdurchans aufefasst wird. Schließlich erhalten wir: Technische Universität München 9 Fakultät für Physik

10 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht a T = π (34 was erstaunlicherweise unabhäni vom Startpunkt ist. Die Zykloide ist eine soenannte Tautochchrone, was enau die Eienschaft beschreibt, dass eine Masse, die sich auf einer Zykloide bewet, immer dieselbe Zeit braucht, um am Minimum anzuelanen. 4 Wettlauf von Kuel und Zylinder [15 Punkte] Eine homoene Kuel und ein homoener Zylinder mit leicher Masse M und leichem Radius R rollen ohne zu leiten im homoenen Schwerefeld der Erde ( > 0 eine schiefe Ebene mit Neiunswinkel α hinab. Es wirken keine weiteren Kräfte. 1. Berechnen Sie die Träheitsmomenten I K und I Z von Kuel bzw. Zylinder bezülich der Rotationsachse der Rollbeweun (d.h. für die Kuel bezülich der Rotation um einen Durchmesser und für den Zylinder bezülich einer Rotation um seine Länsachse. Zeien Sie, dass mit homoenen Massenverteilunen ilt: [6 Punkte] I K = 5 MR, I Z = 1 MR (35. Stellen Sie für beide Körper die jeweilien Laranefunktion in der eneralisierten Koordinate φ auf. [6 Punkte] 3. Leiten Sie die Beweunsleichunen ab. Welcher Körper ist schneller unten, wenn beide vom leichen Ort aus der Ruhe loselassen werden? [3 Punkte] Technische Universität München 10 Fakultät für Physik

11 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Lösun: 1. In dem aneebenen Koordinatensystem sind die Träheitsmomente bezülich einer Achse parallel zur z-achse (aus der Zeichenebene heraus durch den Schwerpunkt esucht. Für den Vollzylinder eribt sich bei einer Gesamtmasse M Z = ρ Z R πh (mit der homoenen Dichte ρ Z und der Höhe h des Zylinders unter Verwendun von Zylinderkoordinaten: h π R I Z = ρ Z [x(ρ, ϕ, z + y(ρ, ϕ, z ]ρdρdϕdz = R = ρ Z πh ρ 3 dρ = 1 R ρ z R πh = 1 MR 0 (36 Die Masse der Vollkuel ist M K Kuelkoordinaten eribt sich: = ρ K 4π 3 R3, wobei ρ R die homoene Dichte anibt. In I K = ρ K π π R 0 = ρ K π 0 0 π R 0 0 [x(r, ϑ, ϕ + y(r, ϑ, ϕ ]r sinϑdrdϑdϕ = r 4 sin 3 ϑdrdϑ = ρ K π R5 = 5 MR (37. Um die Laranefunktion für die beiden Systeme herzuleiten, bemerken wir zunächst, dass sich die kinetische Enerie T jeweils zusammensetzt aus der kinetischen Enerie der Translationsbeweun des Schwerpunkts und der Enerie für Roationen um den Schwerpunkt S. Wir beschreiben zunächst die Beweun des Schwerpunkts. Nachdem sowohl die Kuel als auch der Zylinder ohne zu leiten die schiefe Ebene nach unten rollen, ilt in dem aneebenen Koordinaten die Rollbedinun: x S = Rϕ (38 Diese Beziehun drückt erade aus, dass der aberollte Mantel der zurückeleten Strecke auf der Ebene entspricht. Offenbar ilt weiter y S = R = const. Damit bewet sich der Schwerpunkt mit der Geschwindikeit: V = (ẋs = ẏ S ( R ϕ 0 Nachdem sich alle Punkte der Körper mit derselben Winkeleschwindikeit um parallele Achsen beween, ist: ω = V R (39 = ϕ (40 Technische Universität München 11 Fakultät für Physik

12 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Hier haben wir die Winkeleschwindikeit bezülich der soenannten momentanen Drehachse berechnet. Dabei handelt es sich um die Achse, um die der starre Körper in einem festem Zeitpunkt eine reine Rotation ausführt. In dem vorlieenden Beispiel ist dies erade die Berührunsachse von Körper und schiefer Ebene. Bemerkun: Die Wahl der Berührunsachse als momentaner Drehachse ist äquivalent zur Rollbedinun; diese Wahl stellt sicher, dass der Körper in der Tat rollt und nicht rutscht (reines Abrollen um die Berührunsachse. Würde man eine andere Achse als momentane Drehachse wählen, so würde der Körper auf der schiefen Ebene zusätzlich rutschen. Das kann man sich anhand von zwei Extremfällen klarmachen: Ist die momentane Drehachse im Unendlichen, so entspricht dies dem Fall des Rutschens ohne zu rollen. Verläuft die momentane Drehachse durch das Zentrum des Körpers, so handelt es sich um eine reine Rotation, ohne Beweun des Schwerpunkts, leich einem durchdrehenden Reifen. Die Wahl der Berührunsachse als momentane Drehachse ist also in der Tat äquivalent zur Rollbedinun. Mit der kinetischen Enerie der Schwerpunktsbeweun (M K = M Z = M, R K = R Z = R: und der Rotationsenerie um den Schwerpunkt: T trans = 1 M V = 1 MR ϕ (41 T rot,i = 1 I iω i = 1 I i ϕ (4 (i {K, Z}, lautet die kinetische Enerie für Kuel bzw. Zylinder: T K = T trans + T rot,k = 1 MR ϕ + 1 I K ϕ = 7 10 MR ϕ T Z = T trans + T rot,z = 1 MR ϕ + 1 I Z ϕ = 3 4 MR ϕ (43 Wir leen den Nullpunkt der potentiellen Enerie in (0, R des aneebenen Koordinatensystems. Dann ist die Laeenerie für beide Körper jeweils eeben durch: Die Larane-Funktion für Kuel bzw. Keel ist damit: U = Mx s sinα = MRϕsinα (44 L K = T K U = 7 10 MR ϕ + MRϕsinα L Z = T Z U = 3 4 mr ϕ + MRϕsinα (45 3. Die Euler-Larane-Gleichunen ereben für die Kuel: und für den Zylinder: ϕ = 5 sinα 7 R (46 Technische Universität München 1 Fakultät für Physik

13 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht ϕ = sinα 3 R (47 Offenbar ist die (konstante Beschleuniun für die Kuel, a K = R ϕ = 15 1sinα, rößer als die Beschleuniun für den Zylinder, a Z = R ϕ = 14 1sinα, sodass die Kuel schneller unten ankommen wird als der Zylinder. 5 Gekoppelte Pendel [15 Punkte] Zwei leiche Pendel (Masse m, Läne l sind durch eine masselose, ideale Feder (Federkonstante f verbunden und beween sich im homoenen Schwerefeld der Erde. Die Ruheläne a der Feder ist leich dem Abstand der Pendel in der Ruhelae (siehe Abbildun. Es wirken keine weiteren Kräfte. Man kann annehmen, dass bei kleinen Auslenkunen α 1, α das von der Feder erzeute Potential nur vom horizontalen Abstand der Pendel abhänt. 1. Formulieren Sie im Falle kleiner Auslenkunen α 1 und α die Laranefunktion und die Beweunsleichunen. [4 Punkte]. Welche Eienfrequenzen und Normalschwinunen (Eienvektoren hat das System? Interpretieren Sie Ihre Erebnisse. [4 Punkte] 3. Berechnen Sie α 1 (t und α (t für die Anfansbedinunen α 1 (0 = α 1 (0 = α (0 = 0; α (0 = α 0. [4 Punkte] 4. Betrachten Sie das System im Limes schwacher Kopplun, d.h. l f m und diskutieren Sie das Erebnis. [3 Punkte] Technische Universität München 13 Fakultät für Physik

14 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Lösun: 1. Zunächst wollen wir für das Pendel die Auslenkun r i = (x i, y i T, i {1, } durch die eneralisierten Koordinaten α 1 und α ausdrücken. Setzt man den Ursprun jeweils in den Aufhänepunkt der Pendel, dann ilt r i = (lsinα i, lcosα i. Daraus erhält man dann auch unmittelbar die Geschwindikeiten der beiden Pendel r i = (l α i cosα i, l α i sinα i bzw. deren Quadrate r i = l α i (i {1, }. Daraus erhalten wir zunächst anz allemein die kinetische Enerie: T( α 1, α = 1 ml ( α 1 + α (48 Die potentielle Enerie setzt sich aus dem Potential der Feder: und der Laeenerie: U F = 1 f (x x 1 = 1 f (sinα sinα 1 (49 zusammen also: U G = m(y 1 + y = ml( cosα 1 cosα = ml(cosα 1 + cosα (50 U(α 1, α = U F (α 1, α + U G (α 1, α = 1 ml ( α 1 + α ml(cosα 1 + cosα (51 Nun wenden wir die Kleinwinkelnäherun an, um die Beweunsleichunen aufzustellen. Für den Sinus ilt dann sinα = α+o(α 3 und für den Kosinus cosα = 1 1 α +O(α 4. Setzt man dies in (48 und (51 ein, so erhält man, nach Vernachlässiun konstanter Terme, die Laranefunktion: L = T U = 1 ml ( α 1 + α 1 f l (α α 1 1 ml(α 1 + α (5 Die Beweunsleichunen erhalten wir aus den Euler-Larane-Gleichunen von (5: ( d L dt α 1 ( L d dt α L = ml α 1 f l (α α 1 + mlα 1 = 0 α 1 L = ml α + f l (α α 1 + mlα = 0 α (53 Dies kann noch vereinfacht werden zu: α 1 = f m (α α 1 l α 1 α = f m (α α 1 l α (54 Technische Universität München 14 Fakultät für Physik

15 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Um die Beweunsleichunen (54 zu lösen, schrieben wir das System (54 in Matrixschreibweise; sei dazu α (α 1, α T. Damit lauten die Beweunsleichunen (54: wobei wir die Matrix: α = ( f m + l f m f m f m f m + l ( f A m + l f m α A α (55 f m + l (56 eineführt haben. Um (55 zu lösen verweden wir den Ansatz α = ae iωt, wobei a C und ω R zu bestimmen sind. Sofort berechnet man α = ω ae iωt und in (55 einesetzt eribt: A a = ω a (57. Um die Eienfrequenzen ω zu bestimmen, muss man also die Eienwerte der Matrix A berechnen; diese Eienwerte entsprechen den Quadraten der Eienfrequenzen. Wir erhalten: 0 = det(a ω f 1 = m + l ω f m f ( m f m + f l ω = m + l ω ( f (58 m Die Eienfrequenzen sind dann unmittelbar: ω 1 = l und ω = f m + l (59 Die zuehörien Eienräume E(ω (und damit Eienvektoren sind: E(ω 1 = Kern(A ω 1 1 = Kern f ( ( = m E(ω = Kern(A ω 1 = Kern f ( ( ( = m Die Eienschwinunen ( entsprechen ( den Eienvektoren, hier haben wir als Repräsentanten a und a 1 1 ewählt. 1 Die erste Eienfrequenz ω 1 entspricht also der Frequenz eines harmonischen Fadenpendels; in diesem Fall entspricht es zwei in Phase schwinenden Pendeln (, beschrieben durch den Eienvektor a 1 ; dann nämlich wird die Feder in der Mitte nicht edehnt und wirkt sich nicht aus. Die Eienfrequenz ω entspricht hineen den Pendeln, wenn sie in Geenphase schwinen (Eienvektor a, ; dann hat man eine Überlaerun der Fadenpendel und der Schwinun, die durch die Feder bewirkt wird; der Faktor stammt von der Symmetrie der Anordnun. Technische Universität München 15 Fakultät für Physik

16 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht Die vollständie Lösun des Schwinunsprobelms (55 erhält man am einfachsten dadurch, indem man zu Normalkoordinaten ξ 1, ξ übereht. Dazu diaonalisieren wir zunächst die Matrix A durch Multiplikation mit: S 1 1 ( = S = (S 1 T = 1 ( (Die Invertierun von S 1 erfolte durch Transponieren, da S 1 eine orthoonale Matrix ist, d. h. die Spalten sind orthonormale Vektoren, a i a j = δ i j für i, j {1, }. Die Diaonalmatrix ist: ( D = S AS 1 = dia l, f m + l Definieren wir nun die Normalkoordinaten als: (61 (6 dann lautet die Beweunsleichun (55: ξ = (ξ 1, ξ T S α (63 Damit sind die Gleichunen für ξ 1 und ξ entkoppelt: α = S 1 DS α ξ = D ξ (64 Die Lösunen können sofort aneeben werden: ξ 1 = ω 1 ξ 1, ξ = ω ξ (65 ξ 1 (t = c 1 cos(ω 1 t + d 1 sin(ω 1 t ξ (t = c cos(ω t + d sin(ω t (66 Mit α(t = S 1 ξ(t eribt sich die vollständie Lösun: α(t = 1 ( 1 ξ 1 1 (t + 1 ( 1 ξ 1 (t (67 Aus dieser Darstellun wird noch einmal klar, warum bereits die Eienvektoren von A als Eienschwinunen oder Eienmoden bezeichnet werden: Sie eben nämlich die relativen Amplituden von unabhänien Schwinunen an. Setzt man die Anfansbedinunen α 1 (0 = α 1 (0 = α (0 = 0, α (0 = α 0 in Gleichun (66 ein, so erhält man das Gleichunssystem: c 1 + c = 0 ω 1 d 1 + ω d = 0 c 1 c = α 0 ω 1 d 1 ω d = 0 (68 Technische Universität München 16 Fakultät für Physik

17 Ferienkurs: Mechanik Merlin Mitschek, Verena Walbrecht woraus unmittelbar c 1 = α 0, c = α o und d 1 = d = 0 folt. Die vollständie Lösun ist dann unter Verwendun des zweiten Summensatzes: α 1 (t = α ( 0 (cos(ω ω1 + ω ( ω1 ω 1t cos(ω t = α 0 sin t sin t α (t = α ( 0 (cos(ω ω1 + ω ( ω1 ω (69 1t + cos(ω t = α 0 cos t cos t 4. Für schwache Kopplun f m l kann die zweite Eienfrequenz entwickelt werden: ω 1 ω 1 f m l 1 (70 In diesem Fall treten soenannte Schwebunen auf, bei denen die Schwinunen mit Frequenz ω 1+ω durch eine lansam variierende Schwinun mit Frequenz ω 1 ω moduliert wird. In der untenstehenden Abbildun ist eine typische Schwebun exemplarisch für α ezeit ( ω ω 1 = 1.1. Als Schwebunsfrequenz wird ω s = ω 1 ω definiert (und nicht ω 1 ω, da in der Reel Intensitäten emessen werden, die mit der doppelten Frequenz variieren. Schwebunen spielen in der Sinalverarbeitun und auch in der Musik eine roße Rolle. So werden z. B. Schwebunen verwendet, um Musikinstrumente zu stimmen. Technische Universität München 17 Fakultät für Physik