Folgen & Reihen. 5. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS. Ronald Balestra CH St. Peter

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1 Folgen & Reihen 5. Kapitel aus meinem Lehrgang ANALYSIS Ronald Balestra CH St. Peter theorie@ronaldbalestra.ch 31. Januar 2009

2 Überblick über die bisherigen ANALYSIS - Themen: 1 Funktionen (Grundlagen) 1.1 Einführung 1.2 Definitionen 1.3 Darstellungsmethoden 1.4 Ein Beispiel aus dem Aktienmarkt 1.5 Das Auffinden von Nullstellen 1.6 Mengentheoretische Betrachtungen im & am Graphen 2 Affine Funktionen 2.1 Einführung - Ein Leitprogramm 2.2 Die gegenseitige Lage affiner Funktionen 2.3 Abstandsprobleme 3 Quadratische Funktionen 3.1 Repetition 3.2 Der Graph einer quadratischen Funktion 3.3 Mini-Maxi-Satz & Symmetrieeigenschaften 3.4 Die quadratische Funktion und ihre Nullstellen 3.5 Eine Aufgabe 3.6 Kubische Gleichungen/ Gleichungen dritter Ordnung 4 Potenz- & Exponentialfunktionen 4.1 Der Graph einer quadratischen Funktion (Rep.) 4.2 Die Potenzfunktionen 4.3 Die Exponentialfunktionen 4.4 Die Umkehrfunktion 4.5 Wachstums- & Zerfallsprozesse I

3 Inhaltsverzeichnis 5 Folgen & Reihen Darstellung von (Zahlen-) Folgen Eigenschaften von Folgen Konvergenz & Divergenz Die unendliche geometrische Reihe Vier Anwendungen Die Darstellung eines unendlichen periodischen Dezimalbruches durch einen gewöhnlichen Bruch Endliche Flächen mit unendlichem Umfang Das Paradoxon von Zenon Eine gedämpfte Schwingung Finanzmathematik Zinseszinsrechnung Ratensparen Tilgung eines Darlehens: II

4 5 Folgen & Reihen In diesem Kapitel werden wir einen weiteren Funtkionstyp kennenlernen: die (Zahlen-) Folgen Das sind Funktionen, welche den natürlichen Zahlen beliebige reelle Zahlen zuordnen, d.h. für eine Folge gilt: D =... W =... Somit haben wir eigentlich schon alles, um eine Folge zu definieren und wollen mit der folgenden Definition die Notation gleich mit einführen: Def.: Eine Folge ist eine Funktion der folgenden Form: (a n ) : N R, n a n Wir werden diesen Funktionstyp verwenden, um uns mit den allgemeinen Funktionseigenschaften Monotonieverhalten und Beschränktheit weiter vertraut zu machen und die mathematisch sehr wichtigen Begriffe der Konvergenz und des Grenzwertes einzuführen. 5.1 Darstellung von (Zahlen-) Folgen Wir beginnen mit den verschiedenen Darstellungsformen eine Folge und wollen mit der uns sicher schon bekannten Darstellung in aufzählender Form anfangen: Beispiel i. (1,2,3,4,5,... ) ii. (-1,3,-5,7,-9,... ) iii.... Wo ist die Funktion versteckt? 117

5 Probleme bei der Dasrtellung von Folgen in der aufzählenden Form sind: zu erkennen wie die Folge sich weiter entwickelt, Beispiel iv. (1,2,3,... ) v. (2,3,5,... ) vi.... oder was das Glied explizit für einen Wert hat. Abhilfe können die explizit definierten Folgen schaffen: Das allgemeine Glied a n einer Folge wird durch einen Term mit der Variable n angegeben. Beispiel vii. a n = 2 n n 2 1. Glied a 1 = Glied a 2 = Glied a 3 = Glied a 5 = Glied a 1001 =... viii. b n = 4n 1 1. Glied b 1 = Glied b 2 = Glied b 3 = Glied b 5 =

6 Weiter können Folgen auch rekursiv definiert werden: Das allgemeine Glied a n einer Folge wird durch einen oder mehrere seiner Vorgänger bestimmt und ein Glied muss explizit bekannt sein. Beispiel ix. c 1 = 6, c n+1 = c n + 8 c 1 =... c 2 =... c 3 =.... x. d 3 = 7, d n+1 = d n + n d 4 =... d 5 =... d 2 =... d 1 =

7 5.2 Eigenschaften von Folgen Analog zur Charakterisierung von reellwertigen Funktionen f : R R können auch Folgen durch ihr Monotonieverhalten und ihre Beschränktheit beschrieben werden. Rep.: Eine Funktion f : R R heisst streng monoton fallend :... streng monoton steigend :... nach unten beschränkt :... nach oben beschränkt :... beschränkt :

8 Auf den Funktionstyp einer Folge bezogen lassen sich die Monotonieeigenschaften wie folgt definieren: Def.: Eine Folge (a n ) n N heisst streng monoton fallend :... streng monoton steigend :... monoton fallend :... monoton steigend :... Beispiel Ein klassisches Beispiel einer streng monoton fallenden Folge ist a n = 1 n. Wir wollen diese Folge graphische Darstellen und das Monotonieverhalten beweisen. 121

9 Aufgaben : Stelle die folgenden Folgen graphisch dar und beweise die Monotonie. 1. b n = n n+1 2. c n = ( 1 2 )n 122

10 Auf den Funktionstyp der Folge bezogen lässt sich die Beschränktheit wie folgt definieren: Def.: Eine Folge (a n ) n N heisst nach oben beschränkt :... nach unten beschränkt :... beschränkt :... Beispiel i. a n = n ist... jede Zahl M... ist eine obere Schranke jede Zahl m... ist eine untere Schranke ii. b n = ( 2) n ist... Bei Folgen gilt folgendes zu beachten: eine obere Schranke ist nicht... eine untere Schranke ist... die kleinste obere Schranke heisst... die grösste untere Schranke heisst

11 An den folgenden Beispielen wollen wir zeigen, wie solche Schranken bestimmt werden können: Beispiel iii. c n = 2n + 1 n + 1, abschätzen nach oben: c n = 2n + 1 n + 1 < 2n + 2 2(n + 1) = = 2, n N n + 1 n + 1 abschätzen nach unten: c n = 2n + 1 n + 1 d.h. die Folge c n ist... > 0, n N denn... iv. d n = n2 + 1 n, abschätzen nach oben: abschätzen nach unten: d.h. die Folge c n ist... v. Untersuche auf Beschränktheit: e n = 1 n 124

12 5.3 Konvergenz & Divergenz Bei der Frage nach der Konvergenz einer Folge geht es darum, wie sich die Folgeglieder a n für ein beliebiges n N entwickeln, was der Limes/ Grenzwert einer Folge ist. Wir wollen diese Fragen anhand eines Beispiels besprechen: Beispiel a n = n + 1 2n Monotonieverhalten: Vermutung: Beweis: Nehmen die Glieder immer kleinere Werte an oder existiert eine untere Schranke? Untersuche auf... Wie nahe kommen die Glieder an diese Schranke heran? Bemerkungen: 125

13 Wir vermuten, mit 1 2 eine grössere untere Schranke gefunden zu haben und wollen die folgenden Fragen beantworten: Ist 1 2 wirklich eine untere Schranke? Beweis: Wie nahe kommen die Glieder an diese Schranke heran? Wir kommen beliebig nahe an den Wert ist der sog. Grenzwert/Limes der Folge a n, was wir durch folgende Schreibweise darstellen: lim n a n = 1 2 Def.: Eine Zahl a R heisst ein Grenzwert der Folge a n : ɛ > 0 n 0 N : a a n < ɛ, n n 0 126

14 Bem.: n 0 = n 0 (ɛ) beliebig nahe heisst : ɛ > 0 Gliednummer n 0 N : 1 2 a n < ɛ, n n 0 Eine Folge heisst konvergent :.... Eine Folge heisst divergent :.... Beweise: lim n n + 1 2n 0. Die ɛ-umgebung: U ɛ (x) :=

15 Um bei der Berechnung des Limes weitgehend auf den Gebrauch der ɛ- Umgebung verzichten zu können, wenden wir die Grenzwertsätze an Satz: (ohne Beweis) Seien (x n ) n N und (y n ) n N zwei konvergente Folgen, mit lim n x n = x und lim n y n = y und C R eine Konstante. Dann gilt: i. lim n (x n + y n ) = lim n x n + lim n y n = x + y. ii. lim n (x n y n ) = lim n x n lim n y n = x y. iii. lim n (x n y n ) = lim n x n lim n y n = x y. iv. lim n c x n = c lim n x n = c x. und verwenden, dass x n = 1 n eine Nullfolge ist, eine konstante Folge x n = c, c R konvergent ist. 128

16 Beispiel i. b n = 2n + 1 4n ii. c n = n2 + 4 n iii. d n = n2 + 4n 1 n 2 3n iv. e n = n3 2n + 3 4n 4 Bem.: 129

17 5.4 Die unendliche geometrische Reihe In diesem Abschnitt werden wir uns mit der Summe aller Glieder einer Folge beschäftigen und der Frage nachgehen, ob das Resultat dieser Addition, trotz unendlich vieler Summanden, gegen einen festen Wert strebt. Diese Frage werden wir am Beispiel einer speziellen Folge (einer geometrischen Folge) diskutieren. Im anschliesseden Kapitel werden wir geometrische Figuren besprechen, welche mit unendlichem Umfang immer noch einen endlichen Flächeninhalt besitzt. Wir werden zuerst zwei spezielle Folgen kennenlernen: die arithmetische und die geometrische Folge. Diese Folgen eignen sich gut für den Einstieg in die Berechnung von Partialsummen. Im Falle der geometrischen Folgen werden wir dann die Partialsummen zu einer unendlichen geometrischen Reihe weiterentwickeln. Der folgende Einstieg ist zum Selbststudium gedacht: Def.: Eine Folge a n heisst eine arithmetische Folge : a n+1 a n = d, d R, d = konst. Bem.: Die Eigenschaft einer arithmetischen Folge ist, dass die Differenz d zweier aufeinanderfolgenden Glieder konstant ist. Bsp.: (1, 4, 7, 10, 13,...). Die konstante Differenz in diesem Beispiel ist d = 3. Aequivalent zur rekursiven Definition einer arithmetischen Folge gilt auch die folgende explizite Definition : a n = a 1 + (n 1) d 130

18 Def.: Eine Folge a n heisst eine geometrische Folge : a n+1 a n = q, q R, q = konst. Bem.: Die Eigenschaft einer geometrischen Folge ist, dass der Quotient q zweier aufeinanderfolgender Folgeglieder konstant ist. Bsp.: (1, 1 2, 1 4, 1 8,...). Der konstante Quotient in diesem Beispiel ist q = 1 2. Aequivalent zur rekursiven Definition einer geometrischen Folge gilt auch die folgende explizite Definition : a n = a 1 q n 1 Um den Begriff der Partialsumme elegant definieren zu können, wollen wir eine neue Schreibweise einführen: das Summenzeichen. Beispiel k=1 k = k=5 10 r=1 3k = r 2 10 = 0, 2 + 0, 8 + 1, 8 + 3, Bem.: Wir verwenden für den Summationsindex (in den obigen Beispielen k oder r) nur natürliche Zahlen. Def.: Sei a n eine beliebige Folge. s k := k a n, mit k N heisst die k-te Teilsumme oder die k-te Partialsumme von a n. Beispiel Wir definieren x n := 2n + 1 Dann gilt: 1. die 5-te Partialsumme von x n ist x n = 80 Verifiziere diese beiden Beispiele. 131

19 Die Partialsummen von arithmetischen und von geometrischen Folgen lassen sich auf einfache Weise wie folgt berechnen: Satz: Sei a n eine arithmetische Folge. Dann gilt: s k = k a n = k 2 (a 1 + a k ) Beweis: s k = k a n = a 1 + a 2 + a a k = a 1 + (a 1 + d) + (a 1 + 2d) (a 1 + (k 1) d) = k a 1 + d( (k 1)) (k 1) k = k a 1 + d 2 = k 2 (2a 1 + d (k 1)) = k 2 (a 1 + a 1 + d (k 1)) = k 2 (a 1 + a k ) Beispiel a n = (4, 11, 18, 25,...) a n ist eine arithmetische Folge mit d = 7 und a 1 = 4 a n = 4 + (n 1) 7 a 4 = 25 a 17 =... s 4 = 58 s 17 =

20 Satz: Sei a n eine geometrische Folge. Dann gilt: s k = k a n = a 1 1 q k 1 q, an+1 mit q = a n Beweis: s k = k a n = a 1 + a 2 + a a k = a 1 + q a 1 + q qa 1 + q qqa q... q a }{{} 1 (k 1) mal = a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q k 1 k k (1 q) k (1 q) k (1 q) k (1 q) k a n = a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q k 1 a n = (1 q) (a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q k 1 ) a n = (a 1 + a 1 q + a 1 q a 1 q k 1 )... (a 1 q + a 1 q q + a 1 q 2 q a 1 q k 1 q) a n = a 1 a 1 q k 1 q a n = a 1 (1 q k ) a n = a 1 (1 qk ) (1 q) Beispiel a n = (1, 1.5, 2.25, 3.375,...) a n ist eine geometrische Folge mit q = 1.5 und a 1 = 1 a n = n 1 a 4 = a 17 =... s 4 = s 17 =

21 Wir haben die Partialsummen (also Summen mit endlich vielen Summanden) besprochen und wollen uns nun den Summen mit unendlich vielen Summanden zu wenden, d.h. wir wollen uns mit folgender Frage beschäftigen: a n =? Wir werden diese Frage nur mit geometrischen Folgen diskutieren und sprechen in diesem Fall von einer sogennanten (unendlichen) geometrischen Reihe und setzen a n = lim k k a n = lim k s k = s Auch diesmal werden wir uns über ein Bespiel an das Thema heranarbeiten: Beispiel Wir arbeiten mit der folgenden, in aufzählender Form dargestellten Folge: a n = (10, 9, 8.1, 7.29, ) Diese Folge (a n ) n N ist geometrisch, mit den charakteristischen Grössen a 1 =... und q =... was uns ermöglicht, die folgenden Werte sofort zu bestimmen: das 23. Glied = a 31 = s 31 = 55 a n = Und was gibt a n =? 134

22 a n = lim k k = lim k s k a n = lim k... = Da wir einen Grenzwert für unsere geometrische Reihe gefunden haben, sprechen wir von einer sog. konvergenten geometrischen Reihe. Aufgaben : Bestimme die folgenden Summen: ± Wir können feststellen, dass nicht jede geometrische Reihe konvergiert und vermuten, dass

23 Satz: Sei (a n ) n N eine geometrische Folge. Wenn der konstante Quotient q die Bedingung q < 1 erfüllt, 1 dann konvergiert die zugehörige Reihe gegen den Wert a 1 1 q In kurzer und eleganter mathematischer Schreibweise lässt sich obiger Satz wie folgt formulieren: Satz: Sei (a n ) n N eine geometrische Folge. a n+1 1 < 1 a n = a 1 a n 1 q Beweis: a n = lim k k a n = lim k... = lim k... =

24 5.5 Vier Anwendungen Die Darstellung eines unendlichen periodischen Dezimalbruches durch einen gewöhnlichen Bruch Beweise oder widerlege: 0.99 = 1 137

25 5.5.2 Endliche Flächen mit unendlichem Umfang Fläche Flächenzuwachs 0. Generation 1. Generation 2. Generation 3. Generation 4. Generation die zugehörigen Folgeglieder in aufzählender Form sind: Eigenschaft: die zugehörige explizite Darstellung ist: s = Der Flächeninhalt nach vielen Generationen beträgt somit:

26 Aufgaben : Untersuche das Verhalten des Umfangs und bestimme dessen Länge nach vielen Generationen Umfang Umfangzuwachs 0. Generation 1. Generation 2. Generation 3. Generation 4. Generation die zugehörigen Folgeglieder in aufzählender Form sind: Eigenschaft: die zugehörige explizite Darstellung ist: s = Der Umfang nach vielen Generationen beträgt somit:

27 5.5.3 Das Paradoxon von Zenon Die Philosoph Zenon vertrat die paradoxe Ansicht, dass Achill, der schnellste Läufer der griechischen Sagenwelt, eine mit einem gewissen Vorsprung dahinkriechende Schildkröte niemals einholen kann. Sein Begründung war, dass sich die Schildkröte in der Zeit, in welcher Achill den vorhanden Vorsprung einholt, einen neuen Vorsprung verschaffen kann, so dass sich der Einholungsvorgang über unendliche viele Etappen erstreckt. Skizziere die Situation und versuche das Paradoxon zu lösen. 140

28 5.5.4 Eine gedämpfte Schwingung In der Physik sprechen wir von einer gedämpften Schwingung, wenn die Amplitude der Schwingung mit der Zeit abnimmt: Die Amplituden a 1, a 2, a 3,... bilden dabei im allgemeinen eine geometrische Folge. Bevor wir mit einer praktischen Aufgabe beginnen, informiere dich über folgende Begriffe: Harmonische Schwingung, Amplitude, Frequenz & Schwingungsdauer. Wir wollen nun den Fall betrachten, wo die Ausgangsamplitude a 1 = 10cm beträgt und die Amplitude nach jeder halben Schwingung um 10% kleiner wird. 1. Bestimme die Länge des Weges, welcher die Masse eines Pendels zurücklegt, beginnend mit der Ausgansamplitude a 1 bis zur vollständigen Ruhe. 2. Nach welcher Zeit ist die Amplitude kleiner als 1mm, wenn die Schwingungsdauer 1s beträgt? 141

29 5.6 Finanzmathematik Zum Schluss des Kapitels Folgen & Reihen wollen wir noch drei Anwendungen aus der Finanzmathematik besprechen: Zinseszinsrechnung Beispiel Ein Kapital von Fr wird zu einem Zinssatz von 6% angelegt. 1. Bestimme das Guthaben nach 10 Jahren. 2. Nach wie vielen Jahren beträgt das Guthaben Fr ? 3. Bestimme den Zinssatz, so dass sich das Guthaben nach 10 Jahren verdoppelt. 142

30 5.6.2 Ratensparen Beim Ratensparen geht es darum, zu Beginn eines jeden Jahres einen festen Betrag R (eine Rate) auf ein Sparkonto einzuzahlen, auf welchem die Einlagen mit p% verzinst werden. Bestimme das Guthaben S n, das ein solches Konto nach n Jahren hat: S 1 = Rq, mit q = 1 + p 100 S 2 = (S 1 + R)q =... S 3 =... Verallgemeinert folgt: S n =... Mit Hilfe der Summenformel folgt: Beispiel Jährliche wird eine Rate von Fr auf ein Konto einbezahlt, auf welchem die Einlagen zu 6% verzinst werden. 1. Bestimme das Guhaben nach 10 Jahren. 2. Nach wie vielen Jahren beträgt das Guthaben Fr ? 3. Bestimme die jährliche Rate, so dass das Guthaben nach 10 Jahren Fr beträgt. 143

31 5.6.3 Tilgung eines Darlehens: Ein Darlehen D, für welches p% Schuldzinsen bezahlt werden müssen, soll durch gleichbleibende Raten R, die jeweils zum Jahresende einbezahlt werden, getilgt werden. Bestimme den Darlehensrest D n am Ende des n-ten Jahres: D 1 = Rq, mit q = 1 + p 100 D 2 = (D 1 + R)q =... D 3 =... Verallgemeinert folgt: D n =... Mit Hilfe der Summenformel folgt: Beispiel Ein Darlehen von Fr zu einem Zinssatz von 10 % wird mit Jahresraten von Fr getilgt. 1. Bestimme den Darlehensrest nach 10 Jahren. 2. Nach wie vielen Jahren beträgt der Rest Fr ? 3. Bestimme die jährliche Rate, so dass das Darlehen nach 10 Jahren getilgt ist. 144