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1 Thomas Tack und Hans Walser Orthogonale Regresson und Streuellpsen Zu enem Dreeck gbt es unendlch vele Ellpsen, de de Dreecksseten von nnen berühren. De flächengrößte deser Ellpsen st de Stener-Innenellpse. De dazu duale Umellpse st de flächenklenste Ellpse durch de Eckpunkte des Dreecks: Abb.: Stener-Innenellpse und -Umellpse enes Dreecks Es zegt sch, dass de Stener-Ellpsen zu ener Ellpsenschar gehören, de zu belebgen ebenen Punktwolken durch Hauptachsentransformaton berechnet werden kann. De statstschen Begrffe Varanz und Kovaranz zegen dabe ene geometrsche Bedeutung. Abb. : Punktwolke: PISA-Ergebnsse oder ellptsche Galae? De Punktwolke W: {( ) } se (ohne Enfluss auf Varanz und Kovaranz) berets so verschoben, dass der Schwerpunkt m Koordnatenursprung legt: 0. De Punkte der Wolke seen n Polarkoordnaten gegeben: P ( ) P (r cos( ) r sn( )) De Kovaranz se n C :, de Varanzen n V: n bzw. n V.

2 Wr betrachten ene Ursprungsgerade g mt dem Stegungswnkel. Für jeden Punkt der Wolke glt dann folgende Überlegung: Abb. 3: Projekton auf Ursprungsgerade Es st: c r cos( cos( ) + ) r sn( ) (cos( )cos( ) + sn( )sn( )) und analog: d r sn( ) sn( ) + r (sn( )cos( ) cos( ) cos( )sn( )) De Ursprungsgerade wrd m folgenden so bestmmt werden, dass se ene Etremalegenschaft n Bezug auf Varanz und Kovaranz der Punktwolke erfüllt. Se wrd sch später als Hauptachse der gesuchten Ellpsenschar erwesen. Wr defneren nun de beden Funktonen: n n n V( ) : c ( cos( ) + sn( )) cos( ) + cos( )sn( ) + sn ( ) n n n V cos( ) + C cos( )sn( ) + V sn ( ) n n n F( ) : d ( sn( ) + cos( )) V sn ( ) C cos( )sn( ) + V cos( )

3 F( ) st der mttlere Flächennhalt "orthogonalen" Quadrate: Abb. 4: Quadrate der Lote Dazu analog st V( ) st de Varanz der auf der Gerade g legenden Punkte: Abb. 5: Varanz der projzerten Punkte De FunktonV( ) stellt ene Verallgemenerung der Varanz dar, denn es glt: V (0) V und V ( ) V De Funktonen V und F snd um gegenenander phasenverschoben: V( ) F( ± ). Wegen sn ( ) + cos( ) glt: V( ) + F( ) V + V konst. Daraus ergbt sch V'() F'(). Enem Mamum der (nchtkonstanten) Funkton V( ) entsprcht daher en Mnmum von F( ) und umgekehrt. 3

4 Berechnung der Etrema: V '( ) V cos( )sn( ) + C (cos( ) sn ( )) + V sn( )cos( ) (V V ) sn( )cos( ) + C (cos( ) sn ( )) (V V )sn( ) + C cos( ) F '( ) V"( ) (V V )cos( ) 4C sn( ) F "( ) V '( ) 0 sn( ) (V V ) C cos( ) sn( ) C tan( ) cos( ) V -V und daher arctan C +k V -V (für V V ) Für V V erhält man ± 45. Im folgenden gelte: V V Im Intervall [ ; [ gbt es ene Mamumstelle und ene Mnmumstelle. Anders als be den gebräuchlchen Regressonsgeraden werden her ncht de senkrecht bzw. waagerecht gemessenen Abstände n der Quadratsumme zum Mnmum gemacht sondern de orthogonal gemessenen. Man könnte daher von "orthogonaler Regresson" sprechen. Es bezechne 0 den Wnkel 0 : arctan C V -V und : 0 + Der Test mt der zweten Abletung ergbt: 0 V"( ) (V V) + 4C, wobe das negatve Vorzechen für V > V glt. Man erhält für V V( ) V F F( ) > V: 0 ma ma V( ) V mn F mn F( 0) Anderenfalls gelten de umgekehrten Zuordnungen. Bespel: A(5 4), B(7 ), C(0 7). Es glt: V 389, V 6, C 3, 0 36,74, 53, 5 und, da V < V, Vma V( ), Vmn V( 0) De Etremwerte werden später unter Verwendung des Matrzenkalküls berechnet. 4

5 Genau we bem Übergang von der Varanz zur Standardabwechung m Endmensonalen sollte man auch be F und V de Wurzel zehen. Man erhält dadurch Maßstabsnvaranz und de rchtgen Enheten. In Polarkoordnaten und mt den Daten aus dem Bespel ergbt sch: Abb. 6: Graphen zu r V( ), r V( ) und r F() Betrachten wr de Ursprungsgerade mt Stegungswnkel (wegen V < V ), de durch de "Talle" der zu r F( ) gehörgen Kurve und glechzetg durch de Schetelpunkte von r V( ) verläuft. Der Wnkel st nunmehr so bestmmt, dass de Summe der n Abb. 4 dargestellten Abstandsquadrate der Punkte von deser Gerade mnmal st: F( ) Fmn. Entsprechend lest man an der zu V gehörgen Kurve ab, dass de n Rchtung der Geraden entsprechend gemessene Varanz V( ) mamal st, d.h. V( ) V ma. Darstellung mt Quadratschen Formen De Kovaranzmatr V C K: C V hat de Determnante det(k) V V C. Wegen der Unglechung von Cauch-Schwarz glt ohnehn: det(k) 0. C Im Falle der Glechhet würde für den Korrelatonskoeffzenten folgen: r VV Daraus ergäbe sch, dass alle Punkte auf ener (stegenden oder fallenden) Gerade lägen. Fordert man, dass de Punktwolke aus Punkten besteht, de ncht alle auf ener Geraden legen, ergbt sch als Mndestanzahl 3 sowe, dass det(k) > 0. Daraus folgt, dass de Kovaranzmatr postv defnt st. 5

6 Man erhält dadurch de postv defnte quadratsche Form V + C Q(, ) : K : ( ) K ( ) V + C + V In Polarkoordnaten: Q(r, ) r V( ) t C + V Glechhet trtt nur für 0 bzw. r 0 en. Hält man den Wnkel fest, so wachsen de Funktonswerte quadratsch mt r. De quadratsche Form kann also als Parabolod mt Schetelpunkt m Koordnatenursprung dargestellt werden. Jeder Schntt mt ener Ebene, de de z-achse enthält, st ene Parabel: Abb. 7: Darstellung von Q(, ) z Hauptachsentransformaton Be den Nveaulnen von Q(, ) z (z > 0) handelt es sch um Ellpsen: Bewes: Um den "gemschten" Term n führt man mt Hlfe der Drehmatr Q(, ) V + C + V zu elmneren, und der Substtuton cos( ) sn( ) c s T: T(): : sn( ) cos( ) s c. Tu neue Koordnaten en: t t t t Q K (Tu) KTu u T KTu 6

7 Das Produkt der n der Mtte stehenden dre Matrzen wrd eplzt ausgerechnet zu t TKT c s V C c s s c C V s c c s Vc + C s Vs + C c s c Cc + Vs Cs + Vc Vc + Csc + Vs C (c s) + (V V)sc C (c s ) + (V V )sc Vc C sc + Vs (*) ' V( ) V ( ) ' V( ) F( ) Für de Wnkel0 und nmmt dese Matr Dagonalgestalt an. Zur Verenfachung der Darstellung se m folgenden V > V und 0 vorausgesetzt. Man erhält de Matr Vma 0 0 V mn De Berechnung der Etremwerte n der Hauptdagonalen erfolgt nun ncht etwa numersch über das Ensetzen des berechneten Wnkels n de trgonometrschen Funktonen sondern nach den Rechenregeln für Determnanten. Es glt nämlch enersets, dass das Produkt der gesuchten Etremwerte bekannt st: t V V det(t KT) det(k) ma Anderersets ergbt de Addton der n der Hauptdagonale von (*) stehenden Terme wegen sn ( ) + cos( ) de ebenfalls bekannte Summe mn Vma + Vmn V + V De Werte V ma, V mn snd daher de Lösungen der quadratschen Glechung X (V + V )X + det(k) 0 Es handelt sch um de charakterstsche Glechung der Kovaranzmatr. De gesuchten Etremwerte snd also de Egenwerte der Kovaranzmatr: + ± + V V (V V ) 4C De Egenwerte snd bede postv und (falls V V C 0) vonenander verscheden. Als Bezechnung se < verenbart. De zugehörgen Egenvektoren snd: t ± + (V V (V V ) 4C C ) 7

8 De zum Wert z > 0 gehörge Nveaulne hat m gedrehten Koordnatensstem de Glechung: t Vma 0 u u u + u 0 V mn z Es handelt sch also we behauptet um ene Ellpse. Wählt man spezell z det(k) V V C, so ergbt sch u u +, also u u + De Halbachsen haben de Längen,. Normerung der Egenvektoren und Multplkaton mt desen Werten ergbt de Schetelpunkte m ursprünglchen Koordnatensstem. De Ellpse berührt den Graphen von V( ) von nnen: Abb. 8 De Lage und de Maße ermöglchen es, ene Koordnatenglechung der Ellpse drekt aus derjengen von r F() durch ene Inverson am Kres + R zu bestmmen. Abb. 9 Inverson am Kres 8

9 Be ener Inverson am Kres muss das Produkt der Raden r r R sen. Aus 4 r r R folgt mt R : 4 V 4 V C det(k) dass r F( ) det(k) Ausmultplzeren ergbt ene Koordnatenglechung der Inversonskurve: rf( ) r (V sn ( ) C sn( )cos( ) + V cos( )) 4 V C + V R Also geht F( ) durch Inverson über n de Ellpse: V C + V det(k) Benutzt man weder Matrzen, lässt sch dese Ellpsenglechung sehr knapp mt der nversen Kovaranzmatr schreben: Wegen K V C det(k) C V st se äquvalent zu t K Defnton: Se W ene ebene Wolke aus Punkten, de ncht alle auf ener Geraden legen. K se de Kovaranzmatr. De Ellpsen mt der Glechung V C + V k det(k) oder kurz K k t sowe hre Translatonen heßen Streuellpsen von W. De Ellpse mt k heßt "Standardstreuellpse". Aus der Annahme folgt V, V,det(K) > 0 und dass de Mndestpunktanzahl 3 beträgt. De Ellpsen snd also wohldefnert. Der Grenzfall Kres trtt genau dann auf, wenn V V C 0. De Streuellpsen snd de geometrschen Orte der Punkte, de denselben Mahalanobs-Abstand K bzw. t t ( a) K ( a) vom Zentrum mt Ortsvektor a haben. Se snd be bvarater Normalvertelung de Konturlnen glecher Wahrschenlchketsdchte. Das Mahalanobs-Abstandsmaß geht den zu messenden Daten ncht voraus sondern entsteht gewssermaßen erst mt hnen. De (eukldsche) Abstände werden entsprechend der Varanz n der jewelgen Rchtung gewchtet. 9

10 Abb. 0 Bespel für Streuellpsen De engezechneten Geraden snd Translatonen der Egenräume der Kovaranzmatr und Hauptachsen der Ellpsen. Man könnte se als Drtte Regressonsgeraden bezechnen. In desem Bespel wäre ene Verwendung der üblchen ersten oder zweten Regressonsgerade wegen der Glechartgket der dargestellten Daten ganz unangebracht, denn bede Komponenten des Datensatzes snd n glecher Wese fehlerbehaftet. De erste Regressonsgerade würde her etwa 8 flacher, de zwete etwa 30 steler verlaufen als de Hauptachse. Stener-Ellpsen als spezelle Streuellpsen Satz: De Punktwolke bestehe aus den Punkten A( 0), B(+ b c), C(b c) mt(c 0). Dann glt: t De Streuellpse K st de Stener-Innenellpse des Dreecks. t De Streuellpse K st de Stener-Umellpse des Dreecks. Bewes: a) Berechnung der Streuellpse: Für de Punktwolke ABC mt A( 0), B(+ b c), C(b c) glt: V 6+ b 3 V c C 3 bc b bc 4c c bc Daher: K, det(k) und K 3 bc c 3 c bc 3 + b 6 + b 4bc c 4c De Streuellpsen snd also: + k d.h.: c bc + (3 + b ) ck 0

11 b) Berechnung der Stener-Ellpse: Jedes ebene Dreeck kann (zusammen mt senen Stener-Ellpsen) durch de umkehrbaren Abbldungen Verschebung, Drehung, zentrsche Streckung und Spegelung auf en geegnetes Dreeck A( 0), B(+ b c), C(b c) mt c 0 abgebldet werden. Das Dreeck mt b 0,c 3 st glechsetg. Sene Stener-Ellpsen snd daher bekannt: es handelt sch (aus Smmetregründen) um den Innenkres: + und um den Umkres: + 4. b/ 3 Wenn man das glechsetge Dreeck durch de affne Abbldung mt M 0 c/ 3 auf das Dreeck A( 0), B(+ b c), C(b c) abbldet, geht sen Innenkres n de Stener- Innenellpse über. Denn ene affne Abbldung erhält Telverhältnsse, und de Innenellpse berührt we der Innenkres de Dreecksseten n den Setenmtten. De Spaltenvektoren von M haben (als Bldvektoren der orthogonalen Kresraden) konjugerte Rchtung. Das legt zusammen mt dem Zentrum de Ellpse berets fest. Se se durch de Koordnaten, beschreben. b c De Umkehrabbldung st gegeben durch: M 0 3 c Durch Ensetzen n de Kresglechung erhält man: b c 0 3 c Daraus folgt: De Stener-Innenellpse hat de Glechung: b 3 ( ) + c c c bc + (b + 3) c Der Verglech zegt: Für k st de Streuellpse also de Stener-Innenellpse. Streckung mt dem Faktor ergbt für k de Umellpse. De Berechnung der Streuellpsen st offenbar von der Anzahl der zugrunde legenden Punkte unabhängg. Der Begrff der Stener-Ellpse kann daher durch de m Satz genannte Charakterserung allgemener gefasst werden. Korollar: Zu jeder Punktwolke W gbt es Stener-Ellpsen. Der Etremalegenschaft der Stener-Ellpsen entsprcht be den Streuellpsen de Egenschaft der "effektvsten Darstellung".

12 De Ezentrztät der Streuellpsen hängt vom Korrelatonskoeffzenten r und vom Verhältns der Varanzen t: V V ab: t ( t) 4r t t ( t) 4r t Für V V ( also t ) glt: r r + Für r 0 glt: t für (0 < t ) und t für ( t) t Auch unkorrelerte Punktwolken haben also m Allgemenen kene Krese als Streuellpsen. Es gbt unkorrelerte Punktwolken mt Streuellpsen belebger Ezentrztät. Deser Feststellung enthält ene Warnung vor zu großem Vertrauen n de Aussagekraft des optschen Endrucks, den ene statstsche Graphk erwecken kann. Falls möglch, sollte man V und V mt derselben Enhet darstellen. Anwendung ergeben sch n Mustererkennung und Echthetsprüfung von Geldschenen 3. Ellptsche Galaen bestehen aus Mllarden von Sternen. Mt bvarater Statstk kann jeder Streuellpsen der jewelge Antel an der Gesamtzahl der Sterne zugeordnet werden. Abbldungsverzechns: [Abb. ] PISA-Konsortum (Hrsg.) PISA 003. Der zwete Verglech der Länder n Deutschland - Was wssen und können Jugendlche?, Münster, New York, München, Berln: Wamann 005. S. 53. (Schwarz-weß-nvertert) Abdruck mt freundlcher Genehmgung des Verlags. [Abb. 0] Daten aus: A Handbook of Small Data Sets. Ed. b D.J. Hand et al.. London: Chapman and Hall 994. Lteraturverzechns: Koecher, Ma: Lneare Algebra und Analtsche Geometre/Berln;Hedelberg; New York;Toko: Sprnger 983. [ISBN ] Tack, Thomas: De drtte, verte und fünfte Regressonsgerade. MNU, Mathematscher und naturwssenschaftlcher Unterrcht 59/ (5..006), S [ISSN ] Internetquellen [Stand: jewels 6. Aprl 007]: [S.5f] Empfehlenswerte Lnks: Anschrften der Verfasser: Thomas Tack, Kaptelshof, D-539 Bonn Hans Walser, Gerlkonerstrasse 9, CH-8500 Frauenfeld last modfed:. Ma 007