Differenzengleichungen in der Ökonomie

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1 Differenzengleichungen in der Ökonomie J. Hofmann 12.July

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Mathematische Grundlagen Definitionen Differenzengleichungen Linear, homogen Geschlossene Lösung Beispiel Satz über geschl. Lösung von DFGen Satz Beweis Zinsrechnung Definitionen Einfache Zinsformel Formel Beispiel Zinseszins - Formel Formel Beispiel Schuldentilgungs - Formel Formel Beispiel Modellierung der Rentenberechnung Modellannahmen Modellrechnung Schlussfolgerungen Wachstumsmodelle Modell von Harrod Definitionen Modellannahmen Modellrechnung Test an der Wirklichkeit Anhang Diagramme

3 1 Einleitung Modellierung oder spezieller mathematische Modellierung sind Begriffe, die immer häufiger auftauchen, wenn es darum geht praktische Begebenheiten besser zu verstehen. Modellierung ist ein alte Wissenschaft, denn so könnte man sagen vor jeder neuen Entdeckung in der Physik, der Chemie,... und in vielen anderen Naturwissenschaften steht ein Modell. So stellt jeder Physiker zuerst einmal Annahmen auf, folgert aus diesen und überprüft dann seine Vermutungen an der Wirklichkeit. Doch nicht nur naturwissenschaftliche Experimente lassen sich in ein Modell stecken, auch in anderen Bereichen des heutigen Lebens kann man Erkenntnisse aus den Modellen gewinnen. So werden Modelle benutzt um die Bevölkerungsentwicklung oder die Einkommensentwicklung des Staates zu prognostizieren. Das letzt genannte fällt nun in den Bereich mit dem wir uns hier beschäftigen wollen der Ökonomie. Die Ziele der Modellierung sind hier vorrangig: die Erstellung von Prognosen und die Erkenntnis über Zusammenhänge. Der zweite Punkt kommt dabei gerade dann stark zum Tragen, wenn man ein Modell mit der Wirklichkeit vergleicht. Das kann man sich an dem folgendem Beispiel bewußt machen: Nehmen wir an wir haben ein Modell für den Fischfang in der Nordsee, wir haben bisher mit einbezogen, wie die Vermehrungsrate der Fische ist unter normalen Bedingungen. Jetzt stellen wir fest, dass unser Modell die letzten Jahre die Wirklichkeit nur sehr schlecht abgebildet hat und es bedeutend weniger Fische gab als prognostiziert. Wir erkennen, dass bei unserem Modell noch etwas fehlt. Dies könnte zum Beispiel ein Tankerunfall sein oder ein steigender Salzanteil im Meer, auf jeden Fall erweitern wir unser Wissen über die Begebenheiten, die Einfluß auf die Fischpopulation haben. Schon an diesem sehr simpel konstruierten Beispiel sieht man, dass es sehr wichtig ist das erstellte Modell an der Wirklichkeit zu überprüfen,... das werden wir auch später an einem Modell noch einmal beobachten können. Doch bevor wir anständige Modelle aufstellen können, müssen wir uns erstmal das nötige mathematische Handwerkszeug besorgen. 3

4 2 Mathematische Grundlagen 2.1 Definitionen Differenzengleichungen Eine Gleichung, die das n-te Glied einer Folge y n aus seinen k Vorgängern y n 1, y n 2,..., y n k bestimmt, nennt man Differenzengleichung (kurz: DFG) der Ordnung k. Wir wollen uns im folgenden auf Differenzengleichungen 1ter Ordnung beschränken, also Gleichungen der Form y n = ay n 1 + b Linear, homogen Eine Differenzengleichung heißt: (i) linear, wenn y n 1 nur linear auftritt und a nicht von n abhängt (ii) homogen, wenn b = 0 ist. (iii) DFG mit konstantem Koeffizienten, wenn a konstant ist. (iv) DFG mit konstanter Inhomogenität, wenn b konstant ist. Wir beschäftigen uns im folgenden nur mit linearen DFGen mit konstantem Koeffizienten und konstanter Inhomogenität. Mit unserem bisherigen Werkzeug können wir bei gegeben k Startwerten (=Ordnung der DFG), für beliebiges n den Wert der DFG ausrechnen, allerdings wird dies für große n sehr mühsam, deshalb ist zu überlegen, ob man den Wert nicht direkt aus den Startwerten berechnen kann Geschlossene Lösung Eine Lösung einer DFG heißt geschlossen, wenn sich y n direkt durch Einsetzen der k ( Ordnung der DFG ) Anfangswerte berechnen lässt Beispiel Nehmen wir die Gleichung y k+1 = 2y k + 3 für k = 0, 1,... 4

5 Als Startwert geben wir uns y 0 = 2 vor. Es gilt: allg. Lösung eines GLS = Lösung des homogenen GLS + spezielle Lösung 1. Löse x k+1 = 2x k. Durch Iteration erhält man x k = 2 k x o 2. Finden einer speziellen Lösung. Idee: Setze y k+1 = y k 3. Zusammensetzen der Lösungen: Jetzt muss für y 0 = 2 gelten: y k = 2y k + 3 y k = 3 y k = 2 k x = x 0 3 x 0 = 5 y k = 5 2 k 3 bzw. y k = (y o + 3)2 k 3 Im Beispiel hat man schon die Richtung gesehen in die eine allgemeine Lösung gehen wird und das wollen wir jetzt noch genau aufschreiben und beweisen. 2.2 Satz über geschl. Lösung von DFGen Satz Die lineare DFG 1.Ordnung y k+1 = ay k + b mit Konstanten a und b hat als Lösung: { a y k = k (y 0 b ) + b für a 1 1 a 1 a y 0 + kb für a = Beweis a = 1 : y k+1 = y k + b = y k 1 + 2b = y k 2 + 3b = = y 0 + kb 5

6 a 1 : y k+1 = ay k + b = a(ay k 1 b) + b = a 2 y k 1 + ab + b = a 2 (ay k 2 + b) + ab + b = a 3 y k 2 + a 2 b + ab + b = a 3 (ay k 3 + b) + a 2 b + ab + b = a 4 y k 3 + a 3 b + a 2 b + ab + b = = k k = a k+1 y 0 + a i b = a k+1 y 0 + b a i i=0 i=o = a k+1 y 0 + b 1 ak+1 1 a = a k+1 y 0 bak+1 1 a + b = a k+1 ( y 0 b 1 a 1 a ) + b 1 a (1) 6

7 3 Zinsrechnung Nachdem wir uns nun die nötigen mathematischen Grundlagen verschafft haben, schauen wir uns nun einen Bereich an, indem uns Differenzengleichungen täglich begegnen die Zinsrechnung. Wir werden feststellen, dass wir mit Hilfe unseres eben bewiesenen Satzes die Zinsformel aufschreiben können. Diese Formeln ( speziell die dritte ) werden wir später noch für unser erstes Modell verwenden. 3.1 Definitionen S k ist die Summe nach k Jahren S 0 ist das Startkapital p ist der Prozentsatz k ist die Anzahl der Zinsperioden α ist der Verzinsungszeitraum D k ist die Restschuld nach k Tilgungsperioden R ist der Tilgungsbetrag 3.2 Einfache Zinsformel Formel Die erste Formel drückt die Situation aus, dass die Zinsen immer auf das eingezahlte Geld gegeben werden. Es gilt also: S k+1 = S k + p S 0 Jetzt können wir aber Satz anwenden mit a = 1 und b = erhalten wir: ( S k = 1 + kp ) S 0 Diese Formel wollen wir einfache Zinsformel nennen Beispiel p S 0 damit Eine Person legt 00 Euro für 10 Jahre an und erhält eine jährliche Ausschüttung von 5 Prozent. S 10 = also nach 10 Jahren hat diese Person insgesamt Euro. 7

8 3.3 Zinseszins - Formel Formel Als nächstes betrachten wir die Situation, dass das Geld der Ausschüttungen direkt wieder mit angelegt wird. Man hat also die Situation: S k+1 = S k + αp ( S k = 1 + αp ) S k. Die Voraussetzungen von Satz sind wieder erfüllt mit a = αp und b = Beispiel S k = ( 1 + αp ) k S0. Eine Person legt 00 Euro für 10 Jahre an, bei einem Prozentsatz von 5 Prozent: S 10 = 16289, also nach 10 Jahren hat diese Person insgesamt Euro. 3.4 Schuldentilgungs - Formel Formel Als letztes betrachten wir nun die Situation einer Schuldenrückzahlung mit fester Rate R, wobei die Restschuld weiterhin verzinst wird. D k+1 = D k + αp ( D k R = 1 + αp ) D k R. Mit a = αp und b = R sind die Voraussetzungen von Satz erfüllt und es folgt: Beispiel D k = ( 1 + αp ) ( k D 0 R ) + R αp αp. (2) Eine Person leiht sich 00 Euro zu einem jährlich Prozentsatz von 5 Prozent. Er zahlt monatlich Euro zurück. Dann beträgt die Restschuld nach 10 Jahren: D 10 = 1195 Euro. Und nach k = 11, 05 also nach knapp über 11 Jahren ist die Schuld komplett beglichen. 8

9 4 Modellierung der Rentenberechnung Nachdem wir uns jetzt mit den Zinsformeln schon einige Differenzengleichungen angesehen haben, können wir diese Nutzen um ein erstes größeres Modell herzustellen. Gerade im Zuge der immer wieder aufkeimenden öffentlichen Diskussion über die Rentenbeiträge ist es interessant sich einmal anzuschauen welche Rente zu erwarten ist, wenn man nur die Zinsrechnung einsetzt und einige statistische Daten der Bundesrepublik. Hernach wird dann eine kurze Gegenüberstellung mit den Erwartungen der Bundesregierung vorgenommen und eine Schlussfolgerung gezogen. 4.1 Modellannahmen Am Anfang eines Modells stehen immer die Modellannahmen, also die Fakten die als gegeben vorausgesetzt werden um auf dieser Basis dann das Modell zu Entwickeln. Die Modellannahmen sind: (M1) Bruttoeinkommen und Rentenbeitragssatz seien konstant (M2) Rentenbezugsdauer sei auf 20 Jahre gemittelt (M3) Auszahlung erfolge monatlich (M4) Die Verzinsung erfolge mit 3 Prozent Zu (M1) ist zu sagen, dass diese Annahme die Rechnungen des Modells enorm vereinfacht, ob diese Einschränkung nicht zu stark sind, ist dann in den Schlussfolgerungen zu betrachten. Die Punkte (M2) und (M3) entsprechen der Realität so liegt die Durchschnittliche Rentenbezugsdauer momentan bei 17 Jahren 1, doch durch steigende Lebenserwartung wird sich auch dieser Wert erhöhen. (M4) ist ein relativ geringer Zinssatz, also sollte er sich auch in Zukunft erreichen lassen. Die Frage die wir nun an unser Modell stellen ist: Wie lange muss man einbezahlen um 20 Jahre 70 Prozent des letzten Bruttogehalts zu bekommen? 1 Alle Daten entnommen den Datenbanken des statistischen Bundesamtes 9

10 4.2 Modellrechnung Eingangsdaten: Beitragssatz: 19,5 Prozent 2 Bruttoeinkommen: 2700 Euro 3 Zuerst berechnen wir die zu erwartende Rente: = 1890 Euro. Die Rechnung lässt sich jetzt mit Hilfe der Schuldentilgungsformel (2) aus Abschnitt bewerkstelligen. Seien also die Bezeichnungen wie in gesetzt. Wir wissen, dass R 1 = 1890, denn das ist die Rente die wir erhalten wollen. Dies soll monatlich geschehen also gilt α = 1. Zudem soll D = 0 sein, denn nach 20 Jahren soll der Staat seine Schulden bei uns getilgt haben. Nun setzten wir alles in die Formel ein und erhalten 0 = ( ) k ( 12 D 0 ) D 0 = 340, d.h. 340 Euro müssen die Schulden des Staates bei uns zum Rechenbeginn sein. Unsere montalichen Beiträge betragen: R 2 = = Euro. Wir suchen jetzt das k, für das D k = 340. Also setzen wir unsere Daten wieder in die Schuldentilgungsformel ein ( diesmal mit +R statt -R, da wir ja jeden Monat einzahlen ): 340 = ( ) k ( ) k 285, 62 Monate k 32 Jahre. 4.3 Schlussfolgerungen Ein Vergleich mit der Wirklichkeit zeigt hier große Unterschiede zwischen der Wirklichkeit und dem Modell: Um in Deutschland die sogenannte Eck- bzw. Standardrente ( von derzeit 1176 Euro ) zu erhalten muss ein Durchschnittsverdiener 45 Jahre einzahlen. Also betrachen wir unsere Modellannahmen und vergleichen sie erneut mit der Wirklichkeit um zu überprüfen, welche dieser Annahmen uns einen so starken Unterschied beschert hat. 2 aktueller Wert in Deutschland 3 Durschnittswert prod. Gewerbe 10

11 Zuerst ist zu sagen, dass wie oben erwähnt (M2) bis (M4) mit der Wirklichkeit übereinstimmen oder sogar noch zu niedrig angesetzt sind. So ist die durchschnittliche Rentenbezugsdauer 17 Jahre und nicht wie in der Annahme 20 Jahre, die Rente wird monatlich bezahlt und der Verzinsungssatz ist mit 3 Prozent sehr niedrig angesetzt. Bleibt also noch (M1): Hierbei ist die Prozentzahl des Rentenbeitrags entscheidend ( dieser steigt monoton: 92: 17,7 Pr. ; 96: 19,2 Pr. ; 06: 19,5 Pr ) der andere ausschlaggebende Unterschied ist die Annahme eines konstanten Bruttoeinkommens. Listen wir jetzt also einmal die Argumente auf die für bzw. gegen unser Modell sprechen: Pro: 1. Statt 17 Bezugsjahren impliziert das Modell Verzinsungssatz mit 3 Prozent sehr niedrig 3. Der Steuersatz ist konstant. 4. Der Staat hat als Ziel 70 Prozent des Nettogehalts zu zahlen (erreicht werden 64 4 ), unser Modell zahlt hingegen 70 Prozent des Bruttogehalts. Contra: 1. konstantes Bruttoeinkommen Auch wenn der Contra-Punkt sehr gewichtig ist, da beim Staatsmodell am Anfang eine wesentliche geringere Einzahlung erfolgt, so wird dies allerdings alleine durch den 4ten Punkt der Pro-Argument aufgehoben, da 70 Prozent des Bruttogehalts bedeutend mehr ist als 64 Prozent des Nettogehalts. Durch unsere Beobachtungen liegt also die Vermutung nahe, dass die Probleme im Rentensystem nicht darin liegen, dass die Leute zu wenig für sich selbst einzahlen. Doch mit den Gründen für das Versagen des Rentensystems haben sich schon Hundertschaften an Experten beschäftigt und alle kommen sie zu unterschiedlichen Ergebnissen, deshalb würde eine genauere Beschäftigung damit den Rahmen dieser Arbeit sprengen. Was wir allerdings daraus lernen können ist, dass ein mathematisches Modell uns Probleme aufzeigen kann und auch Ergebnisse liefern kann, die man am Anfang nicht erwartet hätte. Deshalb ist es wichtig die Ergebnisse, die das Modell liefert nicht nur explizit auf die gestellte Frage zu beziehen, sondern auch in den Gesamtzusammenhang zu stellen und wie man sieht, erhält man dadurch zum Teil erstaunliche Erkenntnisse. 4 Statistisches Bundesamt 11

12 5 Wachstumsmodelle 5.1 Modell von Harrod Das Modell von Harrod versucht die Entwicklung des Volkseinkommens mit Hilfe einer linearen DFG erster Ordnung zu beschreiben. Wir werden uns das Modell einmal ansehen und dann mit Daten der Bundesrepublik überprüfen wie gut das Modell die Wirklichkeit approximiert Definitionen Y t s t I t ist das Volkseinkommen zum Zeitpunkt t bezeichnet die Sparsumme zum Zeitpunkt t bezeichnet die Nettoinvestittionen zum Zeitpunkt t s bezeichnet die Sparrate (konstant) g bezeichnet den Akzelerator (konstant) Modellannahmen 1. s t = s Y t 2. I t = g (Y t Y t 1 ) 3. s t = I t Die Sparsumme im Zeitpunkt t seien also proportional (mit Faktor s) zum Volkseinkommen im Zeitpunkt t. Die Nettoinvestition im Zeitpunkt t sei proportional (mit Faktor g) zur Differenz der Vokseinkommen der Zeitpunkte t und t 1. Die dritte Annahme ist, dass die Sparsumme zum Zeitpunkt t gleich der Nettoinvestition zum Zeitpunkt t sein soll Modellrechnung Jetzt untersuchen wir das Modell und schauen welche Aussagen sich schon treffen lassen ohne es mit Daten zu speisen: s Y t = g (Y t Y t 1 ) Y t = g s g Y t 1 12

13 Wir können also Satz anweden mit a = g s g = Y t = Y 0 ( 1 + s ) t. g s g g s = 1+ s s g und b = 0 Da der Fall Y 0 = 0 eine konstante Lösung liefert und Y 0 < 0 ökonomisch keinen Sinn macht, nehmen wir nun zusätzlich Y 0 > 0 an. Daher hängen die Einkommensentwicklung hängt jetzt vom Verhältnis zwischen der Sparrate s und dem Akzelerator g ab: s Fall a: Ist g > s dann ist > s > 1 das Volkseinkommen ist g s g s also streng monoton wachsend (exponentielles Wachstum). Fall b: Ist g < s, dann ist 1 + alternierende Folge für: s g s 1. s > 2g mit gedämpfter Schwingung 2. s = 2g mit konstanter Schwingung 3. s < 2g mit zunehmender Schwingung < 0 und das Volkseinkommen ist eine Wobei nur der Fall a ökonomisch sinnvoll ist. Eine interessante Begebenheit ergibt sich, wenn man Annahme 1 wie folgt abändert: s t = s Y t 1 Die Sparsumme soll nun also einen Lag von einer Periode aufweisen. Mit Satz erhält man dann ( Y t = Y s g ) t. Was bedeuted, dass der Fall b hier gar nicht mehr existiert Test an der Wirklichkeit Daten: Y 0 = 1341Mrd.Euro 5 s = 9, 5% 6 g = 2, Wert der BRD 94; siehe Tabelle im Anhang 6 Statistisches Bundesamt 7 Wert der BRD; berechnet mittels Daten der Tabelle im Anhang 13

14 Wir wollen jetzt mittels dieser Vorgaben die Werte Y 1, Y 5 und Y 10 berechnen, also eine Prognose für 1999 und 2004 machen und diese dann mit den vorliegenden Werten vergleichen. Einsetzen in die Formel ergibt: Y 1 Y 5 Y 10 = 1397 Mrd. Euro = 1645 Mrd. Euro = 2018 Mrd. Euro Und mit abgeänderter erster Annahme: Y 1 Y 5 Y 10 = 1394, 75 Mrd. Euro = 1632, 2 Mrd. Euro = 1986, 61 Mrd. Euro Dagegen stellen wir jetzt noch die richtigen Werter ( entnommen der Tabelle aus dem Anhang): Y 1 Y 5 Y 10 = 1397, 22 Mrd. Euro = 1487, 26 Mrd. Euro = 1658, 32 Mrd. Euro Die Werte liegen sehr weit auseinander, also approximiert das Modell von Harrod die Wirklichkeit nicht sehr gut, was daran liegt, dass Harrod ein exponentielles Wachstum voraussagt die Steigerung aber eher auf eine schwächeres Wachstum schließen lässt. Zudem müssen in eine solche Rechnung noch andere Einflüsse mit einbezogen werden. Damit kommt man dann zu DFG 2ter, die eine besser Approximation gewährleisten aber auch viel schwerer in der Handhabung sind. 14

15 6 Anhang 6.1 Diagramme 15

16 Literatur [1] Fulford, G.; Forrester, P.; und Jones, A. Modelling with Differential and Difference Equations. New York: Cambridge University Press, [2] Statistisches Bundesamt; 16