Kompetenzorientierte Aufgaben mit TI82 stats (und Geogebra)

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1 Seminarunterlagen Innsbruck Brigitte Wessenberg Kompetenzorientierte Aufgaben mit TI82 stats (und Geogebra) 1.Tag Programm 9:00 10:00 Grundlagen des TI82stats und Trigonometrie HG 10:00-11: 00 Trigonometrie bei der schriftlichen RP (Analyse) BW 20 Pause 11:20-12:30 Zinseszinsrechnung mit TI82stats HG 1h Mittag 13:30 14:30 Rentenrechnung mit Ti82 stats HG 20 Pause 14:50-17:00 2. Tag Finanzmathematik bei der mündlichen RP (Analyse + vollständige Lösung an 2 Aufgaben erstellen) BW 8:00 9:00 Matrizen und Gleichungssysteme am Rechner HG 9:00-10:40 Matrizen in Unterrichtsaufgaben (Arbeitsblattergänzung) BW 20 Pause 11:00-12:30 Wachstum und Zerfall mit TI82stats HG 1h Mittag 13:30 14:00 Erstellung von Schularbeiten BW 14:00 15:30 Wachstum und Zerfall in Schularbeitsaufgaben BW

2 I Trigonometrie in schriftlichen RP-Aufgaben Schriftliche RP-Aufgaben müssen die Lehrer nicht erstellen, aber sie müssen sie korrigieren. Daher sollten wir mit der Punktevergabe nach Handlungsdimensionen vertraut sein. Stoffumfang bei Trigonometrie in den srdp Die Trigonometrie ist stark gekürzt und beschränkt sich auf das Verständnis der trigonometrischen Funktionen mit Winkeln in Grad und Radiant und auf die geometrische Behandlung von rechtwinkligen Dreiecken und ebenen Figuren, die sich damit einfach zusammensetzen lassen. Steigung bei linearen Funktionen Analysieren Sie die folgenden Items (sind keine ganzen ÜT-Aufgaben) nach den Handlungsdimensionen (HD) 1xA, 1xB, etc. Beachten Sie die Signalwörter (Siehe unten) Lösen Sie die Aufgaben mit TI82stats. Beurteilen Sie die Verwendung von Technologieeinsatz. (Fairness TI82stats und Geogebra?) Signalwörter A Modellieren und Transferieren 2

3 B Operieren und Technologieeinsatz C Interpretieren und Dokumentieren D Argumentieren und Kommunizieren 3

4 Berninabahn Die Berninabahn führt von Ort St. Moritz (1775m Seehöhe) über den Berninapass nach Tirano (429 m Seehöhe). Die Grafik zeigt den Streckenverlauf mit einigen der Stationen. Auf der y-achse ist die Seehöhe der Orte angegeben und auf der x-achse die ungefähre waagrechte Entfernung. a) -Berechnen Sie das Gefälle zwischen Alp Grüm und Cavaglia in Prozent. (Hier liegt der steilste Abschnitt der Bahnlinie). -Lesen Sie dazu die ungefähren Werte aus der Grafik ab. b) -Beschreiben Sie mit Hilfe einer Skizze, wie man den Steigungswinkel des Streckenabschnitts von St. Moritz nach Ospizio Bernina berechnen kann. c) Eine Adhäsionsbahn wie die Berninabahn kann einen bis zu dreimal größeren Anstieg bewältigen wie normale Bahnen. -Argumentieren Sie mithilfe des Steigungsdreiecks, ob der Steigungswinkel der Bahn dann ebenfalls dreimal so groß ist. Aussicht Ein Aussichtsturm steht direkt am Ufer eines Sees und ist 15 m hoch. Von der Spitze des Turms erblickt man ein Boot unter dem Tiefenwinkel = 26,57 und einen Surfer unter dem Tiefenwinkel = 18,43. Der Fußpunkt des Turms, der Surfer und das Boot befinden sich auf einer Geraden. Stellen Sie die beschriebene Situation in einer beschrifteten Skizze dar. Berechnen Sie, wie weit jeweils das Boot und der Surfer vom Fußpunkt des Turms entfernt sind. 4

5 Mountainbike Eine der europaweit steilsten Downhillstrecken für Mountainbiker findet man in der Nordkette bei Innsbruck. Sie führt von der Seegrube (1 905 Meter über dem Meeresspiegel) zur Hungerburg (875 Meter über dem Meeresspiegel). a) Die Seilbahn, die die Biker nach oben befördert, hat eine Länge von ungefähr Meter (m). Berechnen Sie auf Grad gerundet den Anstiegswinkel der geraden Verbindungslinie zwischen der Hungerburg und der Seegrube. b) Die Rennstrecke von der Seegrube zur Hungerburg ist sehr steil und hat Felssprünge und Stufen. Es gibt daher dort kurze Streckenabschnitte mit einem Gefälle von 100% und mehr. -Erklären Sie anhand einer Skizze, was man unter einem Gefälle von 100% versteht und geben Sie die Größe des zugehörigen Winkels an. Schätzen Sie ab, auf wie viel Prozent Gefälle auf einem weniger steilen Abschnitt der eingezeichnete Winkel im Bild ungefähr schließen lässt. Wetterballon Berechnen Sie die Flughöhe x des Ballons in Meter. 5

6 Am Steg Ein Spaziergänger kommt während seines Spaziergangs entlang eines Flusses an einem Steg vorbei. Der Steg steht im rechten Winkel zum Flussufer und besteht aus etwa 15 Zentimeter (cm) breiten und 4 cm dicken Brettern, die parallel zum Flussufer in einem Abstand von 2 cm auf Holzbalken verschraubt wurden. Das Stegende liegt 2,20 Meter (m) über Grund. Der Spaziergänger ist mit einem Winkelmesser ausgerüstet. a) Der Spaziergänger steht, genau wie in der Skizze abgebildet, kurz vor dem Stegende und kann zwischen den Brettern hindurchblicken. Dabei sieht er genau die Stelle, an der der Pfeiler in das Wasser eintaucht. Die Augenhöhe des Spaziergängers beträgt 174 cm. Berechnen Sie anhand der Skizze die Wassertiefe am Ende des Stegs auf cm gerundet. (Hinweis: Verwenden Sie dazu die Sätze über ähnliche Dreiecke) b) Die mittlere Schrittlänge des Spaziergängers beträgt ca. 90 cm. -Beschreiben Sie eine Möglichkeit, wie der Spaziergänger die Breite des Flusses bestimmen kann, ohne den Fluss dabei zu überqueren. c) Auf der anderen Seite des Flusses, genau gegenüber vom Steg, steht eine Kirche. Die Kirche steht nicht unmittelbar am Flussufer, aber etwa auf der gleichen Höhe wie der Steg. Der Spaziergänger möchte nun die Höhe des Kirchturms bestimmen. -Dokumentieren Sie anhand einer geeigneten Skizze einen Lösungsweg für die Berechnung der Turmhöhe! (Hinweis: Die Steglänge ist aufgrund der Anzahl der Bretter bekannt.) Sonne Die Sonnenhöhe h, darunter versteht man den Winkel, den die einfallenden Sonnenstrahlen mit einer horizontalen Ebene bilden, wurde schon von den Griechen verwendet um die Tagesstunde und die Jahreszeiten zu bestimmen. Berechnen Sie die Schattenlänge s eines Stabes der Länge l = 2,5 m bei einer Sonnenhöhe h = 59. h s l l 6

7 Standseilbahn Die Schlossalmbahn in Bad Hofgastein ist eine Standseilbahn. Die Höhe der Talstation beträgt 843 Meter (m) über dem Meeresspiegel (ü.d.m.), die Höhe der Bergstation 1302 m ü.d.m., die Streckenlänge beträgt 1251 m. a) Übertragen Sie den Text in eine passende, vollständig beschriftete Skizze. Berechnen Sie die mittlere Neigung (bzw. Steigung) der Bahntrasse in Prozent. (Hinweis: Unter der mittleren Neigung in Prozent versteht man den auf 100 m horizontaler Entfernung auftretenden Höhenunterschied in Meter.) b) Bei einer Neuplanung der Bahn überlegt man, den mittleren Neigungswinkel der Standseilbahn zu verkleinern, wobei der zu überwindende Höhenunterschied unverändert bleibt. Beschreiben Sie, was man verändern müsste, um dieses Ziel zu erreichen und argumentieren Sie mit Hilfe der Formel für den Neigungswinkel. Erklären Sie ebenfalls anhand einer passenden Formel, wie sich die Verringerung der mittleren Neigung auf die Streckenlänge auswirkt. Hochwasserschutz Für den Hochwasserschutz soll an einem Flussufer ein Damm aufgeschüttet werden. Der Dammquerschnitt hat die Form eines gleichschenkeligen Trapezes. a) Berechnen Sie das Volumen in Kubikmetern (m 3 ) des Schüttmaterials, das für den 50 Meter (m) langen Damm, mit einer Basislänge von 8 m und einer Höhe von 4 m, benötigt wird. Der Neigungswinkel der Seitenflächen gegen die Grundfläche des Dammes beträgt 60 Grad ( ). b) Ein Ingenieur möchte die Höhe eines anderen Hochwasserschutzdammes kontrollieren. Dazu stellt er auf der Dammkrone eine Messlatte lotrecht auf. Vom Punkt A aus misst er die Winkel α und ß. (siehe Skizze). Entwickeln Sie durch Ergänzen der Skizze mit Hilfe von Winkelfunktionen eine Formel für die Berechnung der Dammhöhe h. Materialverbrauch Der Materialverbrauch für den Giebel einer Milchpackung hängt von der Steilheit des Giebels ab. s. b Geben Sie die Abhängigkeit der Schenkellänge s von der Länge der Seite b an, wenn konstant ist. Zeichnen Sie die Funktion s in Abhängigkeit von b für = 35. 7

8 II Finanzmathematik bei der mündlichen RP Stoffumfang bei der mündlichen RP soll jenem bei den schriftlichen Aufgaben entsprechen: Die Finanzmathematik beschränkt sich auf Geometrischen Folgen und Reihen in Anwendung bei Zinseszins- und Rentenrechnung, auch unterjährige Verzinsungen Kapitalaufbau und Sparpläne, Kreditabbau und Schultilgungspläne, mit und ohne KESt. Keine Kursberechnungen, keine Investitionen. Es können anders als bei der schriftlichen zusätzlich mehr theoretische Fragen vorkommen. Möglichst alle HD unterbringen! Checkliste für die Erstellung von mündlichen RP-Aufgaben 1. Aufgabe ist richtig gerechnet, Grafiken kontrollieren (Achsenbeschriftungen: Größe, Einheit) 2. Inhaltlich kontrollieren: lehrplankonform NUR dem Themenbereich zugordnet Keine unnötigen Inhalte (Geschichten, Zahlen, die nicht benötigt werden etc..) Plausibilität der Texte überprüfen (ist die Angabe realistisch?) Einfache und verständliche - aber genaue - Formulierungen 4 Teilaufgaben: UNABHÄNGIG!!! (Keine Teilergebnisse für Unteraufgaben verwenden!) Nicht alle Teilaufgaben müssen unbedingt anwendungsbezogen sein. Einzelne passende Theoriefragen sind möglich. Unbekannte Ausdrücke oder Symbole erklären Beurteilungsblatt nicht bei der Aufgabenstellung. Nur Angabe und Erwartung! Bei der Erwartung 4x die Tabellen mit den Bewertungspunkten zum Ankreuzen lassen. Das Beurteilungsblatt ist in der Plattform nur einmal. Es muss dann bei der Prüfung für jeden Schüler ausgedruckt werden. (Daher ist es leichter veränderbar ) 3. Handlungsdimensionen (HD) kontrollieren. Operieren bis zu 50 %. Alle 4 sollten vorkommen. Es ist keine Punktevorgabe bei unserem Vorschlag für die Beurteilung! (Also keine Verpflichtung 2 oder 4 Punkte zu geben!) Aber die Teilaufgaben sollen halbwegs gleich lang und komplex sein. 4. Formal: Schreibweisen nach Schreibkonvention laut BIFIE. Variable kursiv schreiben, (Zahlen, Klammern, Konstante wie e, π etc NICHT) Abstände zwischen den Rechenzeichen 2x 3y = 5, Minus lang (Steuerung -) Beschreibung von Variablen bei Funktionen richtig ausführen z.b. x Produzierte Menge in Mengeneinheiten (ME) K(x) Kosten von x Stück in Euro ( ) Arbeitsaufträge einzeln und jeweils in neuer Zeile. Keine Fragen. Signalwörter verwenden. Es kommen welche für das Sprechen hinzu: Diskutieren, Besprechen etc. Analysieren Sie die beiden folgenden Aufgaben anhand der Liste, ob alle Bedingungen erfüllt sind Untersuchen Sie, welche HD vorkommen. Erstellen Sie die vollständige Lösung der Aufgaben mit TI82stats (Geogebra) Beurteilen Sie den Einsatz von TE. 8

9 Themenbereich 4: Geometrische Folgen und Reihen Produktionsmengen Eine neugegründete Firma erreicht am Ende des 1. Jahres eine Jahresproduktion P von 80 Mengeneinheiten (ME) und steigert dann in jedem weiteren Jahr die Produktionsmenge um 15 % des jeweiligen Vorjahreswertes. a) Interpretieren Sie, was die folgenden Graphen für die ersten 8 Jahre aussagen. Argumentieren Sie, welcher Graph am besten zum Text passt. Abb. 1 Abb.2 Abb.3 b) Berechnen Sie die Produktionsmenge, die man am Ende des 10. Jahres bei anhaltendem Trend einer jährlichen Steigerung um 15 % erwarten kann. Ermitteln Sie die Gesamtmenge, die in den ersten 10 Jahren hergestellt wird. c) Die Formel für das n-te Glied einer bestimmten geometrischen Folge lautet: P( n) P(1) 0,93 n 1 mit n ϵ N * ={1,2,3 } Erklären Sie, was man unter einer geometrischen Folge versteht und interpretieren Sie alle vorkommenden Variablen und Zahlen der Formel. Interpretieren Sie, was diese Formel aussagt, wenn sie die jährlichen Produktionsmengen eines anderen Produkts der Firma beschreiben soll. d) Das Produkt A startet mit einem Jahresgewinn G von 100 GE am Ende des 1. Jahres und einer jährlichen Steigerung von 10 %; das Produkt B mit 150 GE und einer jährlichen Steigerung von 5 %. Stellen Sie die Zunahme beider Gewinne grafisch in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Argumentieren Sie, am Ende welchen Jahres die Gewinne bei beiden Produkten gleich groß sind und in welches Produkt Sie langfristig investieren würden. n. 9

10 Kreditrückzahlung Für die Modernisierung und den Ausbau der Produktion benötigt ein Unternehmen einen Kredit von Die Rückzahlung soll innerhalb von 10 Jahren durch nachschüssige Jahresraten mit einem jährlichen Zinssatz von 5% erfolgen. a) Die Rückzahlung soll in Form einer Zinsenschuld getätigt werden, wobei bei dieser Form von Tilgung nur die Zinsen zurückgezahlt werden und die Schuld erst am Ende der Laufzeit fällig ist. Erklären Sie den Unterschied zwischen Annuität und Tilgungsanteil. Beschreiben Sie, wie sich im Falle einer Zinsenschuld die jährliche Restschuld entwickelt. b) Die Rückzahlung soll in Form einer Ratenschuld erfolgen, wobei bei dieser Form von Tilgung die Höhe der Tilgungsrate während der Laufzeit gleich bleibt. Bestimmen Sie Annuität, Zins- und Tilgungsanteil für die ersten beiden Jahre mit einem Tilgungsplan mit folgenden Spalten: Zeitpunkt Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld Beschreiben Sie die Entwicklung der Annuitäten im Verlauf des Rückzahlungszeitraums. c) Die gebräuchlichste Rückzahlungsvariante ist die Annuitätenschuld, bei der die Höhe der Annuitäten während der Laufzeit gleich bleibt. Stellen Sie den Zusammenhang zwischen Kreditsumme, Annuität und der Rentenformel her. Berechnen Sie die Annuität. Erklären Sie, wie sich Zinsen, Tilgungsanteile und Annuität während der Rückzahlungsdauer verändern. d) Die Schuld soll über die gesamte Laufzeit von 10 Jahren gestundet werden. Erklären Sie, wie Sie die Rückzahlung des Kredits im letzten Jahr berechnen können. Stellen Sie grafisch dar, wie sich die Restschuld entwickelt. 10

11 III Matrizen in Unterrichtsaufgaben Die Matrizenrechnung kommt erst zur RP, wenn der neue Lehrplan gesetzlich eingeführt wird. Derzeit noch nicht, weder bei schriftlich noch bei mündlicher RP. Kommt bei Schularbeiten schulautonom vor. Erstellen Sie in Zweiergruppen die fehlende Lösung mit genauen Erklärungen zu den beiden Arbeitsblättern, die zu einem Expertenpuzzle gehören sollen. Genaue Erklärungen zur Verwendung von TI82stats anführen. EXPERTENPUZZLE - verkürzt Das Modell eignet sich gut, wenn ein Lerninhalt in mindestens 2 Teilgebiete zerlegt werden kann. Im ersten Schritt erfolgt die Gruppenbildung der sogenannten MISCHGRUPPEN. Gruppe 1, Gruppe 2 (am einfachsten 2 Partnergruppen) In diesen Gruppen werden 2 verschiedene, genau erklärte Teilaufgaben verteilt. Danach macht sich jede/r Schüler/in in Einzelarbeit mit dem Thema, mit der Aufgabenstellung vertraut. Im zweiten Schritt gehen beide SchülerInnen der Mischgruppen zu einer EXPERTENGRUPPE zusammen mit Diskussion über ihre Lösungen und Inhalte und schließlich eine Zusammenschau, was von dieser Gruppe an die andere Gruppe weitergegeben wird, so dass das Thema für alle verständlich ist. Hierbei soll auch ein Plakat (eine Visualisierung) gestaltet werden, anhand dessen die Erklärung erfolgen kann. Im dritten Schritt erklären die Experten jeweils der anderen Gruppe die Teilaufgabe. Im vierten Schritt soll anhand von mehreren Kleinaufgaben sollte das erworbene Wissen in Form einer Hausübung, in der die Puzzleteile zu einem Ganzen geformt sind, gefestigt werden. Zusammensetzung des Puzzles in einer Hausübung (verändert aus Paur ua, Band 2 für HAK, öbv verlag 2011/ S,261) Die Firma Schoka verkauft 4 Sorten von Pralinen P1 bis P4. Jede Praline wird jeweils aus verschiedenen Rohstoffen R1 bis R5 in Gramm (g) in Mengen nach folgender Tabelle erzeugt. P1 P2 P3 P4 R R R3 4 2 R R5 1 4 Die Firma verkauft die Pralinen in 2 verschiedenen Bonbonieren B1 und B2 mit folgenden Stückmengen: B1 B2 P1 6 P2 4 5 P3 6 5 P a) Erstelle einen Gozintographen dieses gesamten Produktionsganges. b) Erstelle die Matrix A ( Rohstoff zu Pralinen) und die Matrix B (Pralinen zu Bonboniere) c) Berechne A B. d) Erkläre, welche Bedeutung die einzelnen Zahlen im Produkt von A B haben. e) Berechne, wie viele Stück man von den einzelnen Pralinensorten benötigt, um 100 Bonbonieren B1 und 200 Bonbonieren B2 zu produzieren. 11

12 Lösung gemeinsam a) b) A B c) A und B eingeben mit Matrix/Edit Aufrufen der Matrizen und multiplizieren d) Für die Bonboniere B1 benötigt man 106 g von R1, 54 g von R2, 30 g R3, 14 g R4, 22 g R5 Für die Bonboniere B2 benötigt man 75 g R1, 65 g R2, 45 g R3, 20 g R4, 45 g R5. e) Matrix [B] Pralinensorten; Mengen an Bonbonieren: Matrix C in Spalten editieren oder direkt eingeben [B] * [[100] [200]] Ergebnis: Man benötigt 600 Stück P1, 1400 Stück P Stück P3 und 2400 Stück P4 MUSTER für Puzzles: 1. Puzzle: Teilaufgabe für Gruppe ( Verändert aus Paur u.a, Band 2 HAK, Öbv 2011/ S:259) Die folgende Tabelle gibt die Mengeneinheiten ME von den Rohstoffen R1 bis R4 an, die für die Erzeugung von einer Mengeneinheit der Endprodukte E1 und E2 benötigt werden. E1 E2 R R R R a) Zeichne einen Gozintographen und erkläre, wie viele ME an Rohstoffen man benötigt, um eine Einheit von E1 zu erzeugen. b) Berechne, wie viele Mengeneinheiten von jedem Rohstoff benötigt werden, um 120 ME von E1 und 90 ME von E2 zu erzeugen Erstellen Sie die vollständige Lösung und alle benötigten Erklärungen für dieses Arbeitsblatt. 2. Puzzle: Teilaufgabe für Gruppe 2 Die Matrix A gibt die Mengeneinheiten ME von den Rohstoffen R1 bis R4 an, die für die Erzeugung von einer Mengeneinheit der Endprodukte E1 und E2 benötigt werden. 3 Rohstofflieferanten legen ein Kostenangebot. Die Matrix B beinhaltet die Preise jedes der 3 Lieferanten in Geldeinheiten pro Mengeneinheiten für jeden der 4 Rohstoffe A B a) Interpretieren Sie die Aussage der beiden Matrizen in Bezug auf den Rohstoff R1. b) Berechnen Sie die Rohstoffkosten für jeweils 1 ME der erzeugten Endprodukte für jeden der 3 Lieferanten. Erstellen Sie die vollständige Lösung und alle benötigten Erklärungen für dieses Arbeitsblatt. 12

13 IV Wachstum und Zerfall in Schularbeiten Der Stoffumfang laut Lehrplan : Exponentialgleichungen und Logarithmen verstehen. Unbegrenztes, begrenztes und logistisches Wachstum in allen Handlungsdimensionen. Empfehlung für die Erstellung von Schularbeitsaufgaben: Eine Schularbeit unterscheidet wie srdp Aufgaben und Teilaufgaben. 1. Aufgaben passen nachprüfbar zum Lehrplan, 2 unterschiedliche Themen pro SA. Bei SA sind nicht nur wie bei der srdp praxisbezogene Aufgaben notwendig, auch rein theoretische Aufgabenstellungen zulässig und notwendig 2. Anzahl und Länge der Aufgaben passen zeitlich für eine Stunde 3. Parameter, Fachausdrücke, Symbole etc.in der Aufgabe erklären und ggf. mit den entsprechenden Einheiten angeben. Für die Schreibweise gibt es eine Schreibkonvention des BIFIE: z.b. bei Funktionen: x Menge in Kilogramm (kg) K(x) Kosten von x kg in Euro ( ) 4. Teilaufgaben sind streng voneinander unabhängig und im Schwierigkeitsgrad passend. 5. Möglichst viele Handlungsdimensionen (=HD) in einer Aufgabe in den einzelnenteilaufgaben unterbringen: Operieren kann in einer SA bis zu 50% vorkommen! Keine HD mehr als 50% pro Aufgabe Eine gute Richtlinie für die gesamte Schularbeit: alle HD in der SA zusammenzählen, teilen durch 4 und ca. 2 Teile sollten für Operieren entfallen, den Rest auf die andern 3 aufteilen. Bsp: Sa hat 25 HD-Punkte: 12 für Operieren, je 4,4,5 für die anderen HD wäre eine mögliche gute Zuteilung. 6. KEINE überflüssigen Informationen (Zahlen, Geschichten etc..) 7. Arbeitsaufträge nicht mit und verbinden sondern jeweils übersichtlich in eigene Zeilen geben und mit einem Gedankenstrich kennzeichnen. Arbeitsaufträge mit den Signalwörtern zuordnen. Keine Fragen stellen. >>Signalwörterkatalog für die srdp 8. Technologie für die Klasse mit einheitlich gleichem Instrument 9. Rechenweg wird bei der srdp nicht vorgeschrieben. Bei einer SA uu im Einzelfall zur Überprüfung von bestimmten Rechenkompetenzen möglich. 10. Punktevergabe in einem Lösungsschlüssel, basierend auf HD zur Unterscheidung von Kompetenzen erstellen. 2-4 Punkte pro Teilaufgabe! Punkte pro Teilaufgabe angeben! 11. Notengebung: Vorläufige Empfehlung Bei srdp kommt vom BIFIE eine verbale Beurteilung mit Punkthilfe, die sich an den Handlungsdimensionen (HD) orientiert Derzeit in Erprobungsstadium. DAHER: Die Lehrer machen sich das Schema selber. Eine Empfehlung, die sich ganz gut bewährt: Punkteschema mit gleichen Intervallabständen Die Punktezahl ist nicht fix, sie richtet sich nach den abgefragten Kompetenzen. Beispiel bei 25 Punkten: Notenschlüssel PKTE Note HD A 5 B 12 C 4 D 4 Es wäre gut, wenn man die Prozent der erreichten HD zumindest auch anschreibt, damit dem Schüler Lernbedarf in bestimmten Handlungen sichtbar wird. Zur Note dazuschreiben, wo eine HD nicht ausreichen würde. Soll aber derzeit keinen Einfluss auf die Note haben. Stellen Sie nach der Checkliste für Schularbeiten zwei Schularbeitsaufgaben anhand des vorliegenden Entwurfs mit jeweils 2-3 Teilaufgaben zum Thema Wachstumsfunktionen zusammen. Lösung mit TI82stats. Entwurf von 2 Schularbeitsaufgaben 13

14 Umformen der Angabe nach Checkliste Fragestellungen entwerfen mit neuen Teilaufgaben und Angabe der HD Lösungen ausarbeiten HD Punkte genau angeben A) Beispiele, wie man dabei vorgehen kann 1. für diskretes Wachstum: Ein Angestellter erhält monatlich als Monatsgehalt, das 12-mal im Jahr ausbezahlt wird. Das Monatsgehalt wird zu Beginn jeden Jahres um 3 % erhöht Eine mögliche Lösung des Arbeitsauftrags: a) Stelle eine Formel auf, mit der man die Höhe des Gehaltes jeweils für n Jahre berechnen kann. (1xA) b) Die jährliche Entwicklung der Monatsgehälter ist in der folgenden Grafik dargestellt. Erkläre, wie man eine kontinuierliche Funktion f(t) = a e λ t, die diese Entwicklung näherungsweise beschreibt, aufstellen kann.(1xd) c) Berechne, wie viel der Angestellte am Ende des 15. Dienstjahres insgesamt verdient hat. (1xB) 14

15 2. für gebremstes exponentielles Wachstum Das Wachstum von Regenbogenforellen, die als Jungfische ausgesetzt wurden, wird durch Beobachtung markierter Populationen untersucht. Die Länge der Forellen kann mit der folgenden Funktion beschrieben werden: L(t) = 71,9 (1 e -0,06 (t + 9) ) L(t) Länge in cm zum Zeitpunkt t t Zeit in Monaten ab dem Zeitpunkt des Aussetzens Mögliche Lösung des Arbeitsauftrags: a) Stelle das Längenwachstum grafisch in einem Koordinatensystem dar. 1xB b) Ermittle die Zeit, innerhalb derer der Fisch eine Länge von 50 cm aufweisen wird. 1xB c) Erkläre anhand der Formel, welche Länge die Fische nach diesem Modell nicht überschreiten werden.1xd d) Interpretiere die Formel im Hinblick auf die Anfangsgröße der Fische zum Zeitpunkt des Aussetzens.1xC b) Trainingseinheiten 1. Aufgabe (logistisches Wachstum) Fichten sind das wichtigste Nutzholz unserer mitteleuropäischen Breiten. Der Durchmesser von Fichten, gemessen in 1,3 Meter Höhe, kann näherungsweise und für einen bestimmten Zeitraum durch folgende Funktion beschrieben werden: 1 d(t ) 1 e 0, 05( t 60 ) wobei der Durchmesser d in Metern und die Zeit t in Jahren angegeben werden. 2. Aufgabe (gebremstes exponentielles Wachstum): Eine Firma will in einer Stadt ein neues Küchengerät, das noch in keinem Haushalt vorhanden ist, einführen. Es wird zunächst in einem Stadtteil mit S = 2000 Haushalten ein Testverkauf begonnen. Nach einer Woche sind 363 Geräte verkauft. Der Verkauf der Geräte wird als begrenztes Wachstum modelliert: kt N(t ) S( 1 e ) N ist die Zahl der verkauften Geräte und t die Zeit in Wochen. 15