Revenue Management unter Berücksichtigung des Kundenwahlverhaltens

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1 Revenue Management unter Berücksichtigung des Kundenwahlverhaltens Prof. Dr. Alf Kimms und Dipl.-Wirt.-Inf. Michael Müller-Bungart, Freiberg Das Konzept des Revenue Managements ist für solche Unternehmen relevant, die ihren Kunden ein differenziertes Preis- und Leistungsangebot unterbreiten. Angesichts eines kurzfristig unflexiblen Ressourcenangebots hat das Unternehmen dabei insbesondere zu definieren, zu welchen Zeitpunkten welche Leistungen zu welchen Preisen verfügbar gemacht werden sollen (sog. Kapazitätssteuerung). Der vorliegende Beitrag verdeutlicht, in welcher Weise das Wahlverhalten der Kunden für diese Entscheidung relevant ist, und zeigt, wie die Auswahlmöglichkeit in Entscheidungsmodellen abgebildet werden kann. Prof. Dr. Alf Kimms ist Inhaber des Lehrstuhls für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, Industriebetriebslehre, Produktionswirtschaft und Logistik an der TU Bergakademie Freiberg. Bevorzugte Forschungsgebiete: Revenue Management, Produktionsplanung, Projektplanung, Materialwirtschaft und Logistik. Dipl.-Wirt.-Inf. Michael Müller-Bungart ist Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Lehrstuhl für Industriebetriebslehre der TU Bergakademie Freiberg. Bevorzugte Forschungsgebiete: Revenue Management und ganzzahlige lineare Optimierung. 1. Grundlagen des Revenue Managements Revenue Management (RM) ist ein Konzept, das ursprünglich für die Passagierluftfahrt erdacht wurde. Das folgende Anwendungsbeispiel aus dieser Branche skizziert das Problemfeld: Die Deutsche Lufthansa AG bietet Flüge von Dresden nach Frankfurt am Main an. Ein Economy-Ticket auf dieser Strecke kostet heutzutage im Reisebüro regelmäßig über 400 Euro. Derselbe Sitzplatz im selben Flugzeug ist im WWW jedoch auch für ca. 100 Euro erhältlich. Restriktionen wie beispielsweise Vorausbuchungsfristen stellen sicher, dass bestimmte Kundengruppen mit hoher Preisbereitschaft (z. B. Geschäftsreisende) das hochpreisige Ticket erwerben. Die Preisdifferenzierung ermöglicht der Airline die Abschöpfung von Konsumentenrenten. Durch die darüber hinausgehende Leistungsdifferenzierung kann ein breiteres Nachfragespektrum erschlossen und die Auslastung der bereitgestellten Kapazität erhöht werden. Allerdings ist nunmehr für jeden Kundenauftrag (mit einem bestimmten Preis) zu entscheiden, ob er angenommen (und damit knappe Ressourcenkapazität belegt) oder ob die Kapazität für hochwertige Aufträge frei gehalten werden soll. Im ersteren Fall besteht das Risiko, einen später eintreffenden, höherwertigen Auftrag mangels der Verfügbarkeit von Ressourcen ablehnen zu müssen (sog. Umsatzverdrängung). Im zweiten Fall könnte ein Umsatzverlust eintreten, wenn solche höherwertigen Anfragen ausbleiben. Die skizzierte Vorgehensweise ist auch unter dem Namen Yield Management bekannt. In der Passageluftfahrt bedeutet Yield jedoch durchschnittlicher Erlös je Passagier und geflogener Meile. Ein maximaler Yield in diesem Sinne wird jedoch bereits durch einen einzigen Vollzahler erreicht. Daher ist Yield Management in Forschung und Praxis durch den präziseren Begriff Revenue Management abgelöst worden. Die Berücksichtigung der verschiedenen Wertigkeit der Ressourcennachfrage angesichts der Kapazitätsrestriktionen einerseits und der Unsicherheit der zukünftigen Nachfrage andererseits ist Gegenstand der Kapazitätssteuerung. Mit diesem Teilproblem des RM setzt sich der vorliegende Beitrag im Detail auseinander. Für einen umfassenden Überblick über das Problemfeld sei auf Kimms/ Klein (2005) verwiesen. Für die Kapazitätssteuerung sind drei Aspekte relevant: Der unsichere zeitliche Verlauf und die unsichere Wertigkeit der Nachfrage sowie die Reaktion des Kunden, wenn das von ihm nachgefragte Produkt (definiert als Kombination von Leistung und Preis) nicht verfügbar ist. Der unsichere zeitliche Verlauf der Nachfrage wird in der Regel durch einen oder mehrere Zufallsprozesse abgebildet, z. B. einen nicht-homogenen Poisson-Prozess (vgl. Kimms/Müller-Bungart, 2006, für einen Überblick und eine Diskussion). Die Wertigkeit von Aufträgen folgt einer bestimmten (diskreten oder stetigen) Wahrscheinlichkeitsverteilung. Die Reaktion des Kunden, wenn das von ihm nachgefragte Produkt nicht verfügbar ist, lässt sich grundsätzlich auf zwei Arten abbilden: durch das sog. Independent Demand Modell einerseits oder Choice Based Revenue Management andererseits. Bei Independent Demand Modellen (ID-Modellen) geht man davon aus, dass der Kunde ausschließlich an dem von ihm unmittelbar nachgefragten Produkt interessiert ist. Ist dieses Produkt nicht verfügbar, bleibt somit als einzig mögliche Reaktion des Kunden das Verlassen des Marktes (sog. Exit oder Lost Sale). Dies bedeutet insbesondere, dass der Kunde keine vergleichbaren Leistungen (zu evtl. anderen Preisen) als Ersatz wählt. Die Annahmen des in der Literatur weit verbreiteten ID-Modells sind in vielen praktischen Anwendungen nicht erfüllt: ) Der Kunde könnte ein teureres Produkt des betrachteten Unternehmens erwerben (z. B. ein Ticket für 400 statt 434 WiSt Heft 8 August 2006

2 Kimms/Müller-Bungart, Revenue Management und Kundenwahlverhalten für 100 Euro). Dies wird als Vertical Shift (vgl. Belobaba, 1987, 1989), als Upgrade (vgl. Brumelle/McGill/ Oum/Sawaki/Tretheway, 1990), als Diversion (vgl. Belobaba/Weatherford, 1996; Zhao/Zheng, 2001) oder als BuyUp(vgl.Andersson, 1998) bezeichnet. ) Der Kunde könnte zum gleichen Preis eine Leistung aus dem Angebot der betrachteten Unternehmung kaufen, die er als Substitut ansieht. Sind beispielsweise keine billigen Tickets für einen Flug am Vormittag verfügbar, könnte der Fluggast auf den Nachmittag oder den Folgetag ausweichen. Dies wird als Horizontal Shift (vgl. Belobaba, 1987, 1989) oder als Recapture (vgl. Andersson, 1998) bezeichnet. ) Der Kunde könnte ein Produkt eines Wettbewerbers (z. B. einen British Airways- statt eines Lufthansa- Flugs) nachfragen. Dies wird als Deviation (vgl. Andersson, 1998) oder als Overflow (vgl. Netessine/ Shumsky. 2005) bezeichnet. ) Der Kunde könnte ein Substitutionsprodukt im weiteren Sinne in Betracht ziehen (z. B. eine Bahn- statt einer Flugreise). ) Neben diesen Alternativen bleibt die Unterlassungsalternative (Exit) weiterhin denkbar. Um eine Abbildung dieser Effekte bemüht sich das Choice Based Revenue Management. Bisher herrscht in der Operations Research-Literatur das ID-Modell vor. Nur wenige Autoren befassen sich mit dem Auswahlverhalten der Kunden. Dies ist vor allem auf folgende wesentliche Eigenschaft des ID-Modells zurückzuführen: Die Wertigkeit der Nachfrage ist von Kapazitätssteuerungsmaßnahmen unabhängig dadurch wird die Entwicklung von Methoden zur Kapazitätssteuerung erheblich vereinfacht. Im Gegensatz zum ID-Modell sind im Choice Based RM die Wertigkeit der Nachfrage und Kapazitätssteuerungsmaßnahmen interdependent: Wird beispielsweise ein billiges Produkt nicht länger angeboten, so kann dies Buy Ups zu höherwertigen Produkten forcieren. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie solche Kundenreaktionen durch explizite Berücksichtigung des Kundenwahlverhaltens in RM-Modelle integriert werden kann. 2. Möglichkeiten der Modellierung des Wahlverhaltens 2.1. Stand der Literatur Ältere Quellen betrachten Airline-RM-Probleme mit nur einem einzigen Non Stop-Flug (sog. Single Leg-Modelle) und berücksichtigen ausschließlich Buy Ups, so zum Beispiel Belobaba (1987, 1989), Brumelle/McGill/Oum/Sawaki/Tretheway (1990), Belobaba/Weatherford (1996) und Zhao/Zheng (2001). Andersson (1998) betrachtet ein ganzes Netzwerk von Flügen und berücksichtigt nicht nur Buy Ups, sondern auch Recaptures. In jüngerer Zeit wird jedoch eine umfassendere Abbildung des Wahlverhaltens des Kunden angestrebt: Es wird unterstellt, dass der Kunde zunächst die Menge der verfügbaren Produktalternativen wahrnimmt und dann seine Auswahl trifft. Diese Auswahl wird sich aus Sicht eines externen Beobachters in der Regel als stochastischer Prozess darstellen, so dass die vom Kunden getroffene Wahl als Auswahlwahrscheinlichkeit abgebildet wird. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung hängt dabei von der Menge angebotener Produkte ab. Unter diesen Annahmen lässt sich das Wahlverhalten wie folgt abbilden: N={1,..., n} sei die Menge aller Produkte. 0 =P(j, S) = 1 bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde Produkt j N wählt, wenn S N die Menge der Produkte ist, die angeboten wird. Sinnvollerweise ist j S P(j, S) =0zufordern. Für alle S N muss gelten: 7 j S P(j, S) e 1. Dann bezeichnet 1 7 j S P(j, S) die Wahrscheinlichkeit für ein Verlassen des Marktes (Exit). Die Wahrscheinlichkeiten P(j, S) sind in aller Regel durch ein sog. Wahlmodell gegeben, d. h. durch eine Funktion P(j, S) = f(j, S) definiert. Einen Überblick über solche Wahlmodelle bieten beispielsweise Ben-Akiva/Lerman (1985), Maier/Weiss (1990) und Ortúzar/Willumsen (1994). Es sei darauf hingewiesen, dass das ID-Modell einen Spezialfall der angegebenen Repräsentation des Kundenwahlverhaltens bildet: Dazu sind die P(j, S) sozuwählen,dass die Wahrscheinlichkeit der Wahl von Produkt j von der Angebotspolitik S unabhängig ist, d. h. es muss für alle S 1, S 2 N und alle j S 1 S 2 gelten: P(j, S 1 )=P(j, S 2 ). Im folgenden Abschnitt wird in Anlehnung an Talluri/van Ryzin (2004) gezeigt, wie sich mit Hilfe der Modellierung des Kundenwahlverhaltens in Form der Wahrscheinlichkeiten P(j, S) ein Single Leg-RM-Problem darstellen lässt. Im Anschluss wird das Modell dahin gehend erweitert, dass mehrere Ressourcen (wie ein Netzwerk von Flügen) Berücksichtigung finden Das Single Leg-Modell von Talluri/van Ryzin Das Single Leg-Modell von Talluri/van Ryzin (2004) besteht aus einer sog. Wertfunktion, welche die Abhängigkeit zwischen der zu maximierenden Größe (hier: der erwartete Erlös) und den zu treffenden Entscheidungen (hier: die Angebotspolitik S) beschreibt. Im Folgenden wird diese Wertfunktion zunächst erläutert. Danach werden einige bemerkenswerte Eigenschaften optimaler Angebotspolitiken aufgezeigt. Schließlich wird anhand eines bewusst einfach gehaltenen Beispiels gezeigt, wie sich eine optimale Politik konkret ermitteln lässt. ) Die Wertfunktion Talluri/van Ryzin (2004) betrachten ein Airline-RM-Problem mit nur einem Non Stop-Flug. Die Zahl der identischen Sitzplätze des betrachteten Flugzeugs sei mit C bezeichnet. Es wird angenommen, dass Reservierungen nicht wieder storniert werden und dass alle Passagiere zum Abflug erscheinen (d. h. sog. No Shows sind ausgeschlossen). Der Planungshorizont sei in T Perioden eingeteilt. Diese Perioden seien so klein (äquivalent: die Zahl T sei so WiSt Heft 8 August

3 Wissenschaftliche Beiträge groß), dass pro Periode maximal eine Anfrage eintrifft (d. h. genau eine oder keine). Dies stellt keine kritische Anforderung dar (vgl. dazu die Ausführungen von Subramaniam/Stidham/Lautenbacher, 1999). Jede Anfrage bezieht sich auf genau einen Sitzplatz. Die Perioden werden rückwärts gezählt, d. h. T ist der Beginn des Planungshorizonts und t=0bezeichnet den Zeitpunkt, zu dem das Flugzeug startet. 0 e 1 bezeichne die Wahrscheinlichkeit einer Anfrage in einer Periode. r(j) 8 0 bezeichne den Erlös (Preis) von Produkt j.wieobensei P(j, S) diewahrscheinlichkeit dafür, dass sich eine eintreffende Anfrage auf Produkt j bezieht, wenn S die Menge der angebotenen Produkte ist. Die Wahrscheinlichkeit, trotz einer Anfrage nichts zu verkaufen, ist: P(0,S) = 1 7 j S P(j,S) (1) Talluri/van Ryzin (2004) gehen davon aus, dass alle Wahrscheinlichkeiten von der Periode t unabhängig sind. Eine Erweiterung des Modells um zeitabhängige Wahrscheinlichkeiten (t) bzw.p(j, S, t), t=0,..., Tist jedoch problemlos möglich. Zusammengenommen beschreiben die Wahrscheinlichkeiten für eine beliebige Periode t=0,..., T also folgendes: P(j, S) = Wahrscheinlichkeit eines Verkaufs von j S in t (2) P(0, S)+(1 ) = Wahrscheinlichkeit keines Verkaufs in t (3) Die Gleichung (3) fasst dabei die Ereignisse Anfrage, aber kein Verkauf (erster Summand) und keine Anfrage (zweiter Summand) zusammen. Ziel der Kapazitätssteuerung soll es sein, den erwarteten Erlös zu maximieren. Im Folgenden wird ein Modell angeben, das sowohl die Dynamik als auch die Unsicherheit der Umwelt systematisch berücksichtigt. Die oben genannten Annahmen ermöglichen es, die Zielsetzung wie folgt in einer rekursiven Wertfunktion zu fassen, die mit Dynamischer Programmierung berechnet werden kann: Trifft eine Anfrage in Periode t ein, so kann diese angenommen oder abgelehnt werden. Bei Annahme wird sofort ein Erlös erzielt. Allerdings schränkt diese Entscheidung die Handlungsmöglichkeiten in der Zukunft ein, weil mit der Annahme der Anfrage eine Einheit der knappen Kapazität unwiederbringlich verzehrt wird. Formaler ausgedrückt heißt das: Erwarteter Erlös ab Periode t = Unmittelbarer Erlös (bei Verkauf) in t + Erwarteter Erlös ab Periode t 1 Es soll der erwartete Erlös maximiert werden. Dies lässt sich wie folgt vollständig formal notieren: Sei V(t, c) der maximale erwartete Erlös ab Periode t=0,..., T, wenn noch c=0,..., C Einheiten der Ressource zur Verfügung stehen. Es gelten die sog. Randbedingungen: V(0, c)=0fürallec=0,..., C (4) V(t,0)=0fürallet=0,..., T (5) wenn keine Zeit und/oder keine Kapazität mehr zur Verfügung stehen, ist der erwartete Erlös gleich null. Falls c 8 0undt 8 0, so gilt die folgende Bellman sche Funktionalgleichung: V(t,c) =max [ P(0,S) + (1 )]V(t 1,c) + 7 P(j,S)[r (j) +V(t 1,c 1)] (6) =V(t 1,c) +max 7 P(j,S)[r (j) +V(t 1,c 1) V(t 1,c)] Wie oben angedeutet, lässt sich der maximale erwartete Erlös mit time-to-go t und capacity-to-go c zusammen aus: ) dem Erlös V(t 1, c), wenn nichts verkauft wird. Dies passiert, wenn kein Kunde eintrifft oder ein eintreffender Kunde nicht kauft (Wahrscheinlichkeiten: 1 bzw. P(0, S)). ) dem unmittelbaren Erlös r(j), plus V(t 1,c 1),dem maximalen erwarteten Erlös in der Zukunft, wenn das Produkt j verkauft (und somit Kapazität verzehrt) wurde. Der Kauf von Produkt j tritt dabei mit Wahrscheinlichkeit P(j, S)ein. Die Summe dieser beiden voneinander abhängigen Komponenten ist durch die Wahl einer Angebotspolitik S N zu maximieren. ) Eigenschaften optimaler Politiken Die folgenden Definitionen sind nützlich, um die Wertfunktion etwas detaillierter zu charakterisieren: 2 V(t, c)=v(t, c) V(t, c 1) (7) m(j, t, c)=r(j) 2 V(t, c) (8) Die Gleichung (7) beschreibt die Grenzkosten einer Kapazitätseinheit zum Zeitpunkt t bei Restkapazität c. m(j, t, c) ist dann die Marge von Produkt j zum Zeitpunkt t bei Restkapazität c. Setzt man (7) bzw. (8) in die Bellman sche Funktionalgleichung (6) ein, so erhält man: V(t,c) =V(t 1,c) +max =V(t 1,c) +max 7 P(j,S)[r(j) 2 V(t 1,c)] 7 P(j,S)m(j,t,c) (9) Die mittels (7) und (8) definierten Begriffe lassen sich verwenden, um einige Eigenschaften optimaler Angebotspolitiken zu demonstrieren, die auf den ersten Blick nicht einsichtig sind: ) Es kann sein, dass Nachfrage für ein Produkt j zurückgewiesen wird (d. h. j S), obwohl die Marge m(j, t, c) 8 0 ist. Dies ist dann der Fall, wenn die Nicht-Verfügbarkeit von Produkt j genügend Kunden zu einem Buy Up zu Produkt i mit einer noch höheren Marge m(i, t, c) 8 m(j, t, c) anregt. Ein Zahlenbeispiel für diesen Fall findet sich weiter unten. 436 WiSt Heft 8 August 2006

4 7 Kimms/Müller-Bungart, Revenue Management und Kundenwahlverhalten ) Sind die Produkte i, j Substitute, und gilt r(j) r(i), so werden selbst Kunden mit hoher Preisbereitschaft (die Produkt i kaufen, wenn j nicht verfügbar ist) das Produkt j erwerben. Falls i und j angeboten werden, gehen also Erlöse durch die sog. Buy Downs der Kunden mit hoher Preisbereitschaft verloren. Wird aus diesem Grund nur das Produkt i angeboten, verschwindet allerdings die Nachfrage von Kunden mit niedriger Preisbereitschaft. Ist der Anteil solcher Kunden groß genug, kann es günstiger sein, Produkt j anzubieten und die Buy Downs der Kunden mit hoher Preisbereitschaft in Kauf zu nehmen. Somit kann es optimal sein, Nachfrage für ein Produkt mit hoher Marge zurückzuweisen, obwohl ein Produkt mit niedrigerer Marge verfügbar ist. ) Schließlich kann es optimal sein, ein Produkt j mit negativer Marge (m(j, t, c) 0) anzubieten. Dies kann dann der Fall sein, wenn die Aufnahme von j in S genügend zusätzliche Nachfrage nach einem weiteren Produkt i mit positiver Marge stimuliert. Diese Situation kann z. B. dann eintreten, wenn das Produkt i eine sinnvolle oder notwendige Ergänzung des Produkts j ist, aber beide Produkte trotzdem nur isoliert gekauft werden können. Wird in dieser Situation i und j angeboten, so entsteht zwar ein Verlust, wenn das Produkt j (mit negativer Marge) abgesetzt wird. Andererseits fragen annahmegemäß alle Kunden, die an Produkt j interessiert sind, auch Produkt i (mit positiver Marge) nach. Ist die so zusätzlich generierte Nachfrage nach Produkt i groß genug, kann der resultierende Zusatzerlös die Erlösminderung durch den Verkauf von j überkompensieren. Man beachte, dass alle diese Punkte nicht zutreffend sind, wenn ein ID-Modell unterstellt wird. Dann ist es optimal, alle Produkte anzubieten, deren Marge positiv ist (und nur diese). ) Lösungsmethode Die Wertfunktion (6) bzw. (9) stellt ein Modell des vorliegenden Optimierungsproblems dar. Es stellt sich nunmehr die Frage nach einer Methode zur optimalen Lösung des Problems. Zunächst wird man sicherlich wissen wollen, welche Produkte man zu Beginn des Planungshorizonts (d. h. zum Zeitpunkt T bei Restkapazität C) anbieten soll. Zur Beantwortung dieser Frage können (6) bzw. (9) benutzt werden, um V(T, C) zu berechnen. Zur Berechnung von V(T, C) ist aber Kenntnis der Werte von V(T 1,C) und V(T 1,C 1) notwendig. Zur Berechnung dieser Werte werden wiederum V(T 2,C), V(T 2, C 1) und V(T 2,C 2) benötigt usw. Die Notwendigkeit dieser Rückschritte ist in der rekursiven Definition der Wertfunktion begründet. Die Rekursion endet dabei mit den Randbedingungen (4) und (5). Die Werte V(t,0)=V(0, c) = 0 sind zu Beginn die einzigen bekannten. Damit lässt sich V(t, 1), t =1,...,T berechnen, dann die Werte V(t,2),t = 1,..., T usw. So erhält man sukzessive alle Werte von V(t, c). Zur Illustration sei V(1, 1) heraus gegriffen: V(1,1)=V(0,1)+max 7 P(j,S)[r(j) +V(0,0) V(0,1)] =max 7 P(j,S)r (j) (10) Da die Wahrscheinlichkeit P(j, S)vonS abhängt, lässt sich nicht auf Anhieb sagen, welche Menge S die Summe P(j,S)r(j) maximiert. Man beachte dabei, dass das Angebot einer größeren Menge an Produkten nicht notwendigerweise zu höheren erwarteten Erlösen führt. Dies soll durch das folgende, bewusst einfach gehaltene Ein-Perioden-Beispiel verdeutlicht werden: Betrachtet werden n=2produkte mit den Erlösen r(1) = 400 und r(2) =100. Die Auswahlwahrscheinlichkeiten seien: P(1, {1}) = 0,3 P(2, {2}) = 0,5 P(1, {1,2}) = 0,1 P(2, {1,2}) = 0,5 Diese Daten sind angelehnt an das einleitende Beispiel des Flugs von Dresden nach Frankfurt am Main, der regulär für ca. 400 Euro und im WWW für ca. 100 Euro angeboten wird. Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten lassen sich wie folgt interpretieren: ) 10 % aller Passagiere interessieren sich ausschließlich für Ticket 1, daher ist P(1, {1,2}) = 0,1. Dies sind Passagiere, die das billige Ticket nicht erwerben wollen oder können. Beispielsweise könnte es für das billige Ticket erforderlich sein, mindestens vier Wochen im Voraus zu buchen diese Restriktion ist von Geschäftsleuten häufig nicht zu erfüllen. ) 20 % aller Passagiere sind grundsätzlich bereit, das hochpreisige Ticket zu bezahlen, aber auch in der Lage, die Restriktionen, die für das billige Ticket gelten, zu erfüllen. Daher setzt sich P(1, {1}) zusammen aus diesen Passagieren und dem unter 1. genannten Anteil der Passagiere, die sowieso Ticket 1 erwerben, d. h. P(1, {1}) = P(1, {1,2}) + 0,2 = 0,3. ) 30 % aller Passagiere sind ausschließlich bereit, den niedrigeren Preis zu bezahlen. Falls also ausschließlich Ticket2 angeboten wird, wird diese Gruppe und die unter 2. genannte Gruppe von Passagieren kaufen, d. h. P(2, {2}) = 0,3 + 0,2 = 0,5. Werden beide Preisstufen angeboten, ergibt sich also P(2, {1,2}) = 0,5. In diesem Szenario sind vier Angebotspolitiken möglich. Es sei = 1, d. h. eine Anfrage in der letzten Periode t=1 ist sicher. Tab. 1 zeigt die vier möglichen Politiken und ihre erwarteten Erlöse. In diesem Fall ist also S = {1} optimal. Beim Angebot einer größeren Menge an Produkten (d. h. bei der Politik {1,2}, bei der zusätzlich das billige Produkt angeboten wird) findet zwar mit höherer Wahrscheinlichkeit ein Ver- WiSt Heft 8 August

5 & Wissenschaftliche Beiträge Politik S Erwarteter Erlös 0 {1} P(1, {1}) r(1) = 1 0,3 400 = 120 {2} P(2, {2}) r(2) = 1 0,5 100 = 50 {1,2} P(1, {1,2}) r(1) + P(2, {1,2}) r(2) = 1 0, ,5 100 = = 90 Tab. 1: Mögliche Politiken und ihre Erlöse kauf statt, aber dieser positive Effekt wird durch Buy Downs von Passagieren mit hoher Preisbereitschaft zum billigen Produkt überkompensiert, so dass der erwartete Erlös letztlich um 30 Euro niedriger ist. Die optimale Politik besitzt hier also eine der ungewöhnlichen Eigenschaften, die eben angesprochen wurden: Produkt 2 hat eine positive Marge, wird aber trotzdem nicht angeboten, da so genügend Buy Ups zu Produkt 1 (mit noch höherer Marge) forciert werden. Allgemein kann man zeigen, dass es in (10) bzw. (6) zum Auffinden des Maximierers S keine bessere Möglichkeit als die hier gezeigte vollständige Enumeration (d.h.systematisches Ausprobieren aller Teilmengen S N) gibt. Unglücklicherweise gibt es jedoch 2 n Teilmengen von N= {1,..., n}, so dass der Berechnungsaufwand exponentiell mit der Anzahl der Produkte n ansteigt. Talluri/van Ryzin (2004) gehen dieses Problem wie folgt an: ) Nicht jede beliebige Menge S kann ein Maximierer in (6) sein, dafür kommen nur sog. effiziente Mengen in Betracht, die bestimmte Eigenschaften erfüllen müssen. Sei m=2 n die Anzahl der effizienten Mengen, d. h. die effizienten Mengen sind S(1),..., S(m). ) Die Zusammenstellung der Familie S(1),..., S(m) aller effizienten Mengen erfordert allgemein immer noch exponentiellen Aufwand. Allerdings zeigen Talluri/van Ryzin (2004) für drei spezielle Modelle des Kundenwahlverhaltens (d. h. für bestimmte Funktionen f mit P(j, S) = f(j, S)), dass die effizienten Mengen eine extrem einfache Struktur besitzen, so dass die S(1),..., S(m) ohne größeren Rechenaufwand ermittelt werden können. Bei diesen Modellen des Kundenwahlverhaltens handelt es sich um (1) das ID-Modell, (2) ein Wahl-Modell, bei dem alle Kunden stets das billigste Ticket kaufen, sowie (3) das sog. Multinomial Logit- Modell. ) Es gibt eine Sortierung der effizienten Mengen S(1),..., S(m), so dass eine optimale Politik folgende Monotonieeigenschaft besitzt: Sei k {1,..., m} derindexder optimalen Angebotspolitik für einen gegebenen Zeitpunkt t und eine gegebene Kapazität c (d. h. S(k) ist die Angebotspolitik, die V(t, c) maximiert). Dann gilt: Wenn c größer wird, wird k kleiner (bei festem t). Wenn t größer wird, wird k größer (bei festem c). Für die drei angegebenen Wahlmodelle ist aufgrund dieser monotonen Struktur einer optimalen Angebotspolitik kein exponentieller Rechenaufwand erforderlich, das Problem lässt sich im Gegenteil sehr leicht lösen Vom Single Leg-Modell zum Netzwerkmodell Das Entscheidungsproblem soll nun auf ein ganzes Netzwerk von Flügen ausgedehnt werden. Dieses Netzwerk wird wie folgt abgebildet: Insgesamt gibt es in dem Netzwerk m Non Stop-Flüge. Die gegebene Zahl der Sitzplätze auf dem Flug k sei C k, k=1,..., m. Die noch verfügbare Kapazität wird dann durch einen m-stelligen Vektor c= (c 1,...,c m ) ausgedrückt. Ferner muss abgebildet werden, dass der Kapazitätsverbrauch der Produkte nunmehr verschieden sein kann (im oben diskutierten Single Leg-Fall ohne Gruppenbuchungen war der Kapazitätsverbrauch jedes Produkts konstant 1). Den Kapazitätsverbrauch von Produkt i N wird daher in einem m-stelligen Vektor a(i) =(a i1,..., a im )erfasst. Dabei ist a ik die Anzahl der Sitzplätze, die Produkt i auf dem k-ten Non Stop-Flug benötigt. Ein Beispiel mit m = 5 Non Stop-Flügen: Sei a(i)=(0,1,1,0,1).dies bedeutet, dass Produkt i den ersten und vierten Non Stop-Flug gar nicht benutzt. Auf dem zweiten, dritten und fünften Non Stop-Flug wird jeweils ein Sitzplatz benötigt. Man beachte, dass auf diese Weise auch sehr leicht Gruppenbuchungen berücksichtigt werden können. Soll etwa die Buchung einer vierköpfigen Familie betrachtet werden, so ist der Kapazitätsverbrauchsvektor wie folgt: (0, 4, 4, 0, 4). Mit derselben Vorgehensweise ist es möglich, das folgende Modell auf RM-Probleme anzuwenden, die nicht aus der Passageluftfahrt stammen. Wird beispielsweise ein Industriebetrieb mit m = 5 Maschinen betrachtet, so repräsentiert c die zur Verfügung stehende Kapazität der Maschinen in der Planungsperiode (etwa gemessen in Stunden). Der Vektor a(i) gibt dann die zeitliche Beanspruchung der Maschinen durch das Produkt i an. Zum Beispiel bedeutet a(i) = (0,5; 2; 1,5; 0; 0), dass Produkt i die ersten drei Maschinen eine halbe, zwei bzw. eineinhalb Stunden beansprucht und die vierte und fünfte Maschine nicht benötigt. Als Konsequenz der unterschiedlichen Kapazitätsbeanspruchung verschiedener Produkte ist es nicht mehr so leicht zu bestimmen, wann die Kapazität noch ausreicht, um weitere Produkte abzusetzen im vorher diskutierten Single Leg-Problem war das immer dann der Fall, wenn c 1 war. Hier sei dazu die Menge N(c) N der Produkte definiert, die bei einer verfügbaren Restkapazität von c= (c 1,...,c m ) noch angeboten werden können: N(c)={j N a(i)=c} & Analog zu (6) ist der maximale erwarteten Erlös V(t, c) ab Periode t 1 bei Restkapazität c=(c 1,..., c m ) gegeben durch: 438 WiSt Heft 8 August 2006

6 Kimms/Müller-Bungart, Revenue Management und Kundenwahlverhalten V(t,c) =V(t 1,c) +max (c) 7 S P(j,S)[r(j) j (11) +V(t 1,c a (j)) V(t 1,c)] Aufgrund der Verwendung von N(c) genügt hier V(0, c) = 0 als Randbedingung. Mit (11) vergleichbare Ansätze geben Gallego/Iyengar/ Phillips/Dubey (2004) und van Ryzin/Liu (2004) an. Es sei angemerkt, dass im Gegensatz zum Single Leg-Fall selbst für spezielle Modelle des Kundenwahlverhaltens (d. h. für spezielle Wahl der P(j, S)) keine effiziente Methode zur optimalen Lösung des Problems bekannt ist. Dies ist vor allem dadurch zu begründen, dass optimale Politiken für das Netzwerkproblem keine Monotonieeigenschaften besitzen wie im Single Leg-Fall. 3. Fazit und Ausblick Die Kapazitätssteuerung ist ein Kernproblem des Revenue Managements auf taktisch-operativer Ebene. Das Wahlverhalten der Kunden ist in diesem Zusammenhang von hoher Relevanz. In diesem Beitrag wurde dargestellt, wie sich dieses Wahlverhalten umfassend in einem Optimierungsmodell zur Kapazitätssteuerung berücksichtigen lässt. Dabei wurden sowohl Single Leg-RM-Probleme als auch allgemeinere Problemstellungen mit mehreren Ressourcen und heterogenem Kapazitätsverzehr durch die angebotenen Produkte diskutiert. Das vorliegende Entscheidungsproblem ist durch die angegebenen formalen Modelle präzise beschrieben. Die Modelle in diesem Beitrag lassen sich prinzipiell mit Dynamischer Programmierung lösen. Für Probleme von praxisrelevanter Größenordnung ist der Nutzen dieser Methode jedoch begrenzt, da der notwendige Zeitaufwand exponentiell mit der Problemgröße (gemessen durch die Anzahl der Produkte und die Anzahl der Ressourcen) wächst. Ähnlich problematisch ist der Speicherplatzbedarf, da für eine praktische Anwendung der Methode eine Tabelle der Wertfunktion V(t, c) für alle Werte von t und c gespeichert werden muss. Für ein RM-Problem mit 10 Ressourcen, die eine Kapazität von jeweils 100 Einheiten besitzen, gibt es bereits =10 20 verschiedene Kapazitätsvektoren c. Benötigt die Speicherung eines V(t, c)-werts auf der Festplatte eines Computers vier Byte, wären selbst bei Vernachlässigung der Zahl der PeriodenT zur Speicherung einer Tabelle der V(t, c) ca.3, Gigabyte erforderlich. Somit ist die Entwicklung von heuristischen Verfahren geboten, die das Entscheidungsproblem nicht optimal, aber in akzeptabler Zeit und mit praktikablem Speicherplatzbedarf lösen. Ferner wurde in diesem Beitrag zur Vereinfachung der Darstellung bewusst von bestimmten Praxiskonzepten abstrahiert, welche die Entwicklung von Methoden zur Kapazitätsteuerung erheblich erschweren, beispielsweise Code Sharing. In diesem Rahmen auftretende Kapazitätsteuerungsprobleme können mit den präsentierten Methoden gelöst werden, wenn die Kapazität des Flugzeugs C vor Buchungsbeginn fest zwischen den Partnern aufgeteilt wird. Andernfalls müssen erheblich komplexere Modelle formuliert werden, welche die Besonderheiten des gemeinsamen Kapazitätszugriffs adäquat abbilden. Literatur Andersson, S.-E., Passenger Choice Analysis for Seat Capacity Control: A Pilot Project in Scandinavian Airlines, in: International Transactions in Operational Research, Vol. 5 (1998), S Belobaba, P. P., Air Travel Demand and Airline Seat Inventory Management, Dissertation, Flight Transportation Laboratory, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, Belobaba, P., L., Weatherford: Comparing Decision Rules That Incorporate Customer Diversion in Perishable Asset Management Situations, in: Decision Sciences, Vol. 27 (1996), S Belobaba, P. P., Application of a probabilistic decision model to airline seat inventory control, in: Operations Research, Vol. 37 (1989), S Ben-Akiva, M. E., S. R. Lerman, Discrete Choice Analysis: Theory and Application to Travel Demand, Cambridge Brumelle, S. L, J. I. McGill, T. H. Oum, K. Sawaki, M. W. Tretheway, Allocation of Airline Seats between Stochastically Dependent Demands, in: Transportation Science, Vol. 24 (1990), S Gallego, G., G. Iyengar, R. Phillips, A. Dubey, Managing Flexible Products on a Network, Arbeitspapier, URL: 10 6_Gallego_Paper2.pdf. Kimms, A., R. Klein, Revenue Management im Branchenvergleich, in: Zeitschrift für Betriebswirtschaft, Ergänzungsheft 1 Revenue Management, 2005, S Kimms, A., M. Müller-Bungart, Simulation of Stochastic Demand Data Streams for Network Revenue Management Problems, erscheint in: OR Spectrum, Maier,G.,P.Weiss, Modelle diskreter Entscheidungen. Theorie und Anwendung in den Sozial- und Wirtschaftswissenschaften, Wien, New York 1990 Netessine, S., R. Shumsky, Revenue Management Games. Horizontal and Vertical Competition, in: Management Science, Vol. 51 (2005), S Ortúzar, J., L. G. Willumsen, Modelling Transport, 2. Aufl., Chichester 1994 Subramanian, J., S. J. Stidham, C. J. Lautenbacher, Airline Yield Management with Overbooking, Cancellations, and No-Shows, in: Transportation Science, Vol. 33 (1999), S van Ryzin, G., Q. Liu, On the Choice-Based Linear Programming Model for Network Revenue Management, Arbeitspapier, Columbia Business School, New York Talluri, K., G. van Ryzin, Revenue Management under a general discrete choice model of consumer behavior, in: Management Science, Vol. 50 (2004), S Zhao,Wen,Y.-S.Zheng, A Dynamic Model for Airline Seat Allocation with Passenger Diversion and No-Shows, in: Transportation Science, Vol. 35 (2001), S WiSt Heft 8 August

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