Methoden der empirischen Sozialforschung I

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1 Methoden der empirischen Sozialforschung I Annelies Blom, PhD TU Kaiserslautern Wintersemester 2011/12

2 Übersicht Quantitative Datenauswertung: deskriptive und induktive Statistik Wiederholung: Die wichtigsten Aspekte aus Methoden I Vortrag: Qualitätsvergleich zweier quantitativer Studien Übungen, Fragen und Antworten 2

3 Datenauswertung 3

4 Was ist Statistik? Statistik ist ein Teilgebiet der angewandten Mathematik Statistik ist ein wichtiges Hilfsmittel für die empirische Sozialforschung (Datenauswertung) Herkunft des Begriffs Neulateinisch statista etwa Staatsmann Gottfried Achenwall(1749) Staatsverfassung der europäischen Reiche. Statistik als Lehre der Staatsmerkwürdigkeiten. Die zwei Bedeutungen Sammlungnumerischer Informationen über Tatbestände (amtliche Statistik) Verfahren zur Auswertung numerischer Daten Informationsgewinnung (explorative Statistik) Informationsreduktion (deskriptive Statistik) Verallgemeinerung (induktive Statistik, Inferenzstatistik) 4

5 Deskriptive vs. induktive Statistik Deskriptive Statistik beschreibt (und reduziert) die Daten im Datensatz (d.h. in der Stichprobe) Ziel der induktiven Statistik ist die statistische Inferenz, d.h. Rückschlüsse von der Zufallsstichprobe auf die Grundgesamtheit zu ziehen. 5

6 Bespiel einer Datenanalyse Zwei Drittel der afghanischen Bevölkerung stellen dem westlichen Engagement in ihrem Land ein negatives Zeugnis aus, mehr als ein Viertel befürwortet sogar Anschläge auf die NATO. Die Hoffnung auf eine Wende zum Besseren wurde in weiten Teilen des Landes enttäuscht; auch das Ansehen Deutschlands ist dramatisch gesunken. Das sind die Ergebnisse der neuen Afghanistan-Umfrage von ARD, ABC, BBC und "Washington Post". Dezember

7 Afghanistan-Umfrage In your view, what is the biggest problem facing Afghanistan as a whole? 100% 80% 60% 40% 20% Don't Know Other Education Foreign influence Reconstruction Government Economy Security 0% Total Male Female 7

8 Afghanistan-Umfrage In your view, what is the biggest problem facing Afghanistan as a whole? 100% 80% 60% 40% 20% Don't Know Other Education Foreign influence Reconstruction Government Economy Security 0% Kabul Kunduz Balkh Helmand Kandahar 8

9 Afghanistan-Umfrage Who would you rather have ruling Afghanistan today: the current government, or the Taliban? 100% 80% 60% 40% The Taliban The current government 20% 0% Kabul Kunduz Balkh Helmand Kandahar 9

10 Deskriptive Statistik Datenbeschreibung 10

11 Datenmatrix / Datensatz Variable 1 Variable 2 Fall 1 Wert von Fall 1 auf Variable 1 Wert von Fall 1 auf Variable 2 Wert von Fall 1 auf Variable 3 Fall 2 Wert von Fall 2 auf Variable 1 Wert von Fall 2 auf Variable 2 Wert von Fall 2 auf Variable x Fall 3 Wert von Fall 3 auf Variable 1 Wert von Fall 3 auf Variable 2 Wert von Fall 3 auf Variable x Wert von Fall i auf Variable 1 Wert von Fall i auf Variable 2 Wert von Fall i auf Variable x 11

12 Datenmatrix / Datensatz Fall ID Geschlecht Geburtsgewicht 1019 Wert von Fall 1 auf Variable 1 Wert von Fall 1 auf Variable 2 Wert von Fall 1 auf Variable Wert von Fall 2 auf Variable 1 Wert von Fall 2 auf Variable 2 Wert von Fall 2 auf Variable x 1021 Wert von Fall 3 auf Variable 1 Wert von Fall 3 auf Variable 2 Wert von Fall 3 auf Variable x Wert von Fall i auf Variable 1 Wert von Fall i auf Variable 2 Wert von Fall i auf Variable x 12

13 Datenmatrix / Datensatz Fall ID Geschlecht Geburtsgewicht (männlich) (weiblich) (weiblich)

14 Datenmatrix / Datensatz 14

15 Notation n die Anzahl der Untersuchungseinheiten X eine Variable i eine einzelne, aber keine bestimmte Untersuchungseinheit (i {1,..., n}), x i der Wert der Variable x für die Untersuchungseinheit i x 1,, x i,..., x n die (Roh-) Daten a j die in den Daten vorkommenden Ausprägungen 15

16 Häufigkeitsverteilungen h(a j ) bzw. h j die absolutehäufigkeit der Ausprägung a j, d.h. die Anzahl der x i aus x 1,...,x n mit x i = a j (j {1,...,k}) f(a j ) bzw. f j die relativehäufigkeit der Ausprägung a j, d.h. F(a j ) bzw. F j f j = h j n die kumulierte relative Häufigkeit der Ausprägung a j, d.h. j F j = l = f l 1 16

17 Häufigkeitstabelle Interesse an gesellschaftlichen Zusammenhängen (a j ) Absolute Häufigkeit (h j ) Relative Häufigkeit (f j ) in Prozent Kumulierte relative Häufigkeit (F j ) in Prozent 0 = gar nicht wichtig 1 1,3% 1,3% 1 1 1,3% 2,6% 2 5 6,5% 9,1% ,4% 19,5% ,4% 68,8% 5 = sehr wichtig 24 31,2% 100,0% Summe ,0% 17

18 18

19 Verteilungstypen Gipfel: unimodal bimodal multimodal ein (zwei, mehrere) 'deutliche(r)' Gipfel Symmetrie: symmetrisch asymmetrisch es gibt eine Spiegelachse und beide Hälften sind 'annähernd' gleich Schiefe: linksschief (rechtssteil) rechtsschief (linkssteil) Daten sind rechtsseitig oder linksseitig konzentriert 19

20 Stamm-Blatt-Diagramm (stem-and-leafplot) Die Werte für die Variable Alter in einem fiktiven Datensatz (n=50):

21 Stamm-Blatt-Diagramm (stem-and-leafplot) Aufsteigend sortiert sehen die Werte so aus:

22 Stamm-Blatt-Diagramm (stem-and-leafplot) Bei einem Stamm-Blatt Diagramm, nehmen wir zunächst die Stämme der Werte und schreiben diese unter einander. Der Stamm von 15 ist 1, der Stamm von 23 ist 2, der Stamm von 35 ist 3, usw. 22

23 Stamm-Blatt-Diagramm

24 Stamm-Blatt-Diagramm (stem-and-leafplot) Bei einem Stamm-Blatt Diagramm, nehmen wir zunächst die Stämme der Werte und schreiben diese unter einander. Der Stamm von 15 ist 1, der Stamm von 23 ist 2, der Stamm von 35 ist 3, usw. Danach nehmen wir die Blätter der Werte und schreiben diese in Reihenfolge hinter die Stämme. Das Blatt von 15 ist 5, das Blatt von 23 ist 3, das Blatt von 35 ist 5, usw. 24

25 Stamm-Blatt-Diagramm

26 Stamm-Blatt-Diagramm Das Stamm-Blatt-Diagramm für die fiktive Altersverteilung (n=50) sieht so aus: Dieses Stamm-Blatt-Diagramm zeigt uns die Verteilungder Variable Alter in 10-Jahresgruppen. Aus dieser Verteilung lassen sich wichtige Kennwerteablesen. 26

27 Die Mitte einer Verteilung Es gibt mehrere Möglichkeiten die Mitte dieser gruppierten Altersverteilung zu beschreiben. Die 3 wichtigsten Kennwerte der Mitte sind: Arithmetisches Mittel / Mittelwert / Durchschnitt Modus / häufigster Wert Median/ Wert der mittleren Beobachtung 27

28 Arithmetisches Mittel (mean) Der Durchschnitt Notation: x x = Anzahl Summe der Werte der Fälle mit gültigem Wert x x = = x1 + x xi n n i= 1 n x i x n 28

29 Arithmetisches Mittel Beispiel: Die Beobachtungen in einer Stichprobe haben folgende Werte für Körpergröße in cm: 145, 156, 169, 170, 171, 183, 189 und 190 x x x x1 + x xi xn = n = 8 = 171,625 29

30 Berechnung aus der Häufigkeitstabelle Interesse an gesellschaftlichen Zusammenhängen (a j ) Absolute Häufigkeit (h j ) Relative Häufigkeit (f j ) in Prozent Kumulierte relative Häufigkeit (F j ) in Prozent 0 = gar nicht wichtig 1 1,3% 1,3% 1 1 1,3% 2,6% 2 5 6,5% 9,1% ,4% 19,5% ,4% 68,8% 5 = sehr wichtig 24 31,2% 100,0% Summe ,0% x k j= = 1 a n j h j x = = (0*1+ 1*1+ 3,991 2*5 + 3*8 + 4*38 + 5*24) / 30 77

31 Berechnung aus der Häufigkeitstabelle Interesse an gesellschaftlichen Zusammenhängen (a j ) Absolute Häufigkeit (h j ) Relative Häufigkeit (f j ) in Prozent Kumulierte relative Häufigkeit (F j ) in Prozent 0 = gar nicht wichtig 1 1,3% 1,3% 1 1 1,3% 2,6% 2 5 6,5% 9,1% ,4% 19,5% ,4% 68,8% 5 = sehr wichtig 24 31,2% 100,0% Summe ,0% x = k x = a f j j= 1 = 0*0, * 0, ,991 j 2 *0, * 0, *0, * 0,312 31

32 Eigenschaften des arithmetischen Mittels Sinnvoll vor allem für metrische Daten Empfindlich gegen Ausreißer "Schwerpunkteigenschaft": n i= 1 ( x i x) = 0 Aus einer Forumsdiskussion zum Zensus 2011 bei Spiegel Online: Und zur Statistik: Wenn einer kerngesund ist und einer tot, geht es beiden halbsweg gut. 32

33 Modus (mode) Der häufigste Wert / die häufigste Gruppe Bei der ungruppiertenvariable Alter ist der Modus der am häufigsten vorkommende Wert (67). 33

34 Modus (mode) Der häufigste Wert / die häufigste Gruppe Bei der gruppierten Variable Alter (0-9, 10-19, 20-29,, 90-99) ist laut Stamm-Blatt-Diagramm die häufigste Gruppe und somit die modale Gruppe dieser Verteilung. (Der Modus der gruppierten Variable wäre 34,5.) 34

35 Eigenschaften des Modus Berechenbar schon ab Nominalskalenniveau Problematisch bei bi-und multimodalen Verteilungen bei sehr vielen, ähnlich besetzten (dünn besetzten) Kategorien insbesondere bei stetigen Merkmalen 35

36 Median Bei einer Verteilung mit ungerader Fallzahl ist der Wert der mittleren Beobachtung der Median. ~ x = x + x n 2 1 = = Bei der ungruppiertenvariable Alter mit n=49 Beobachtungen ist der Wert der 25. Beobachtung der Median. 36

37 Median Bei einer Verteilung mit gerader Fallzahl ist der Mittelwert der beiden mittleren Beobachtungen der Median. + n n 1 ~ + x + x x = x 2 x ( 25) ( ) Bei der ungruppiertenvariable Alter mit n=50 Beobachtungen ist der Mittelwert der 25. und der 26. Beobachtung der Median. = 2 = 46 37

38 Eigenschaften des Medians Sinnvoll ab Ordinalskalenniveau Unempfindlich gegen 'Ausreißer' Mindestens 50% der Fälle sind kleiner oder gleich dem Median Mindestens 50% der Fälle sind größer oder gleich dem Median 38

39 Streuungsmaße Maße der zentralen Tendenz (Modus, Median, arithmetisches Mittel) können bestimmte Unterschiede von Verteilungen nicht erfassen. 39

40 Spannweite (range) Die Spannweite R einer Verteilung ist der Abstand zwischen dem kleinstem und dem größtem Wert, d.h. R = x max -x min Probleme: Die Spannweite wächst tendenziell mit n und ist empfindlich gegenüber Ausreißern. 40

41 Quantile Ein Quantil zerlegt die Häufigkeitsverteilung in einen unteren und einen oberen Teilbereich. Beispiel: Das 30%-Quantil unterteilt die Verteilung einer Variablen in die unteren 30% und die oberen 70% der Fälle. Definition: Der QuantilwertQ α ist der kleinste Wert, für den zutrifft, dass der Anteil aller Fälle mit Ausprägungen kleiner oder gleich diesem Wert mindestens α beträgt. Quantile sind in gewisser Weise Verallgemeinerungen des Medians. Der Median ist das 50%-Quantil (Q 0,50 ). 41

42 Quantile Interesse an gesellschaftlichen Zusammenhängen (a j ) Absolute Häufigkeit (h j ) Relative Häufigkeit (f j ) in Prozent Kumulierte relative Häufigkeit (F j ) in Prozent 0 = gar nicht wichtig 1 1,3% 1,3% 1 1 1,3% 2,6% 2 5 6,5% 9,1% ,4% 19,5% ,4% 68,8% 5 = sehr wichtig 24 31,2% 100,0% Summe ,0% Q 0,05 = 2 Q 0,10 = 3 Q 0,25 = 4 Q 0,50 = 4 Q 0,75 = 5 42

43 Interquartilabstand(IQR) 1.Quartil (Q 1 ): Q 0,25 2.Quartil (Q 2 ): Q 0,50 3.Quartil (Q 3 ): Q 0,75 Der Interquartilsabstand ist die Distanz zwischen dem 25%-Quantil und dem 75%-Quantil, d.h. IQR = Q 3 -Q 1 43

44 Quantile Interesse an gesellschaftlichen Zusammenhängen (a j ) Absolute Häufigkeit (h j ) Relative Häufigkeit (f j ) in Prozent Kumulierte relative Häufigkeit (F j ) in Prozent 0 = gar nicht wichtig 1 1,3% 1,3% 1 1 1,3% 2,6% 2 5 6,5% 9,1% ,4% 19,5% ,4% 68,8% 5 = sehr wichtig 24 31,2% 100,0% Summe ,0% Q 0,05 = 2 Q 0,10 = 3 Q 0,25 = 4 Q 0,50 = 4 Q 0,75 = 5 IQR = Q 0,75 -Q 0,25 =Q 3 -Q 1 = 5-4 = 1 44

45 Der Box-Plot Maximum (Ausreißer) Q 0,75 /Q 3 Median Q 0,25 /Q 1 Q 3 + 1,5IQR Spannweite IQR Minimum Q 1-1,5IQR 45

46 Schiefe (skewness) Eine Verteilung ist symmetrisch, also nicht schief, wenn die Ausprägungen symmetrisch um den Median verteilt sind. Bei unimodalen, symmetrischen Verteilungen: Modus = Median = Mittelwert Bei rechtsschiefen (linkssteilen) Verteilungen: Modus < Median < Mittelwert Bei linksschiefen (rechtssteilen) Verteilungen: Modus > Median > Mittelwert 46

47 Linksschief (rechtssteil) Mittelwert ( x ) < Median ( x~ ) < Modus Mittelwert Median Modus 47

48 Rechtschief (linkssteil) Mittelwert ( x ) > Median ( x~ ) > Modus Modus Mittelwert Median 48

49 Steilheit (kurtosis) Gibt die Wölbung einer Verteilung an. 49

50 Varianz und Standardabweichung Wir haben den IQR kennengelernt, der mit Hilfe von Quantilen berechnet wird und den Median umschließt. Die Varianz und Standardabweichung beschreiben Abweichungen vom Mittelwert. Die Schwerpunkteigenschaft des Mittelwerts wird hierfür herangezogen: n Die Summe aller ( xi x) = 0 Abweichungen vom i= 1 Mittelwert ist 0. 50

51 Variation ( SumofSquares ) Wie weit sind die beobachteten Werte vom Mittelwert entfernt? SS x = (x 1 - x ) 2 + (x 2 - x) (x n - x) 2 = n i= 1 ( x x) i 2 SS = SumofSquares oder Sum of squared differences 51

52 Beispiel: Variation x Alter (x i ) Mittelwert ( ) x i - (x i - ) n=17 x x SS x n = i= 1 ( x = 5732 i 52 x) 2

53 Varianz (variance) Mit steigender Fallzahl (n) steigt auch die Variation. Die Varianz (s 2 ) ist eine fallzahlunabhängige Größe: Varianz = Variation / n s 2 x n ( x x) 2 i 1 n = i= 1 = n n i= 1 ( x i x) 2 53

54 Beispiel: Varianz x Alter (x i ) Mittelwert ( ) x i - (x i - ) n=17 x x s 2 x = = = n i= 1 ( x i n ,18 x) 54 2

55 Standardabweichung (standarddeviation) Ein Nachteil der Varianz: Durch das Quadrieren verändert sich die Einheit der Messung. Für die Standardabweichung (s) wird daher die Wurzel der Varianz (s 2 ) genommen. s x 1 2 = s = x n n i= 1 ( x i x) 2 55

56 Zusammenfassung Verteilungen Häufigkeitstabellen Stamm-Blatt-Diagramm Lagemaße Arithmetisches Mittel / Mittelwert (=Durchschnitt) Median (=der Wert der mittleren Beobachtung) Modus (=der häufigste Wert) Streuungs- und Verteilungsmaße Spannweite Quantileund Interquartilabstand(IQR) Varianz und Standardabweichung Schiefe und Steilheit 56

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