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1 Technische Universität München Fakultät für Informatik Forschungs- und Lehreinheit Informatik IX Filter im Frequenzraum Proseminar Jakob Külzer Betreuer: Abgabetermin: Dipl.-Inform. Heiko Gottschling

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Mathematische Grundlagen Fourierreihen Fouriertransformation Eindimensionale Fouriertransformation Zweidimensionale Fouriertransformation Fast Fourier Transform Räume Ortsraum Frequenzraum Darstellung des Frequenzraum Vom Orts- in den Frequenzraum Beispiele Bedeutung der Frequenzen Filter im Frequenzraum Warum im Frequenzraum? Prinzipielles Vorgehen Beispiele Für Filter Entfernen von Frequenzen High-Pass-Filter Low-Pass-Filter Gaussian Blur Zusammenfassung Literaturverzeichnis 15 1

3 Kapitel 1 Einleitung Digitale Bildverarbeitung ist in vielerlei Hinsicht sehr wichtig geworden. So werden Bildverarbeitungssysteme in der Industrie zur Qualitätskontrolle verwendet oder in der Medizin um Krankheiten oder Verletzungen zu diagnostizieren. Thema dieser Arbeit sollen Filter im Frequenzraum sein, eine Technik um Bilddaten schnell und effizient zu bearbeiten. 2

4 Kapitel 2 Mathematische Grundlagen Um Bilder mit einem Computer zu bearbeiten, bzw. von einem Computer bearbeiten zu lassen, müssen alle Prozesse mathematisch beschreibbar sein. Die für das Filtern im Frequenzraum benötigten Grundlagen sollen hier kurz angesprochen werden. 2.1 Fourierreihen Als Fourierreihe einer Funktion bezeichnet man deren Entwicklung als eine Summe von Sinus- und Cosinusschwingungen. Die Fourierreihen sind die die Grundlagen für die Fouriertransformationen, die wir später benutzen werden um Bilddaten in den Frequenzraum zu übertragen. Die allgemeine, reelle Darstellung einer Fourierreihe ist wie folgt: f(x) = a (a n cos(nωt) + b n sin(nωt)) (2.1) n=1 wobei mit ω den Sinus und Kosinus auf die entsprechende Periode skaliert: ω = 2π T Die Tatsache das sich so prinzipiell jedes beliebige Signal als ein Spektrum darstellen lässt, ist Grundlage für alle weiteren Überlegungen in dieser Arbeit. 2.2 Fouriertransformation Unter Fouriertransformation (Fouriertransformation) fasst man üblicherweise eine Menge gleichartiger Transformationen zusammen, die einer Funktion ihre Fouriertransformierte zuordnet. Für das Arbeiten mit digitalisierten Bilddaten benötigen wir die diskrete Fouriertransformation, da hier nur die Werte auf einem normalerweise äquidistanten Raster vorliegen. Das Raster dass das Bild formt ist gleichzeitig auch die kleinste Einheit die 3

5 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 4 mittels der Fouriertransformation erfasst werden kann, denn logischerweise können nicht Frequenzen errechnet werden die durch das Raster nicht mehr dargestellt werden Eindimensionale Fouriertransformation Allgemein ist die Fouriertransformation wie folgt definiert: F (ω) = 1 2π f(t) iωt dt (2.2) Die diskrete Fouriertransformation ist wie folgt definiert, sie bildet den Definitionsbereich, einen Menge von M komplexen Zahlen f i {f 0, f 1,..., f M 1 } auf sich selbst ab. ˆf u = 1 M M 1 m=0 f m e 2πiωmu M (2.3) Die inverse Fouriertransformation bildet die Werte wieder zurück ab: f m = M 1 u=0 ˆf u e 2πimu M (2.4) Den Term K u = e 2πmu M nennt man den Kern der Diskreten Fouriertransformation. Dieser gibt die Basisfunktionen an in die der Vektor zerlegt werden soll; hier werden Sinus- und Kosinusfunktionen mit unterschiedlichen Wellenlängen verwendet. Der Index u gibt an wie oft die Basisfunktion K u in das Intervall von M 1 reinpassen soll, d.h. unter dem Index u = 1 ist folglich die größte Struktur die in dem Vektor mit Größe M beobachtet werden kann; u = M 1 stellt demnach die höchsten Frequenzen, also die kleinsten Strukturen dar Zweidimensionale Fouriertransformation Um die Fouriertransformierte eines zweidimensionalen Bildes zu berechnen benötigt man natürlich auch eine zweidimensionale Fouriertransformation. Diese ist prinzipiell eine eindimensionale Fouriertransformation die auf komplexen zweidimensionalen M N Matrizen arbeitet: ˆF u,v = 1 MN M 1 x=0 N 1 y=0 F x,y e 2πixu M e 2πiyu N (2.5) Das Ergebnis der Transformation ist eine komplexwertige Repräsentation des ursprünglichen Bildes. Die Inverse dazu ist analog dazu definiert und überträgt die Transformierte wieder zurück in die ursprüngliche Form:

6 KAPITEL 2. MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 5 F m,n = M 1 u=0 N 1 v=0 ˆF u,v e 2πimu 2πinv M e M (2.6) Fast Fourier Transform Die direkte Umsetzung der zweidimensionalen Fouriertransformation ist sehr aufwendig da zuerst eine Eindimensionale Fouriertransformation auf jede Spalte und dann nochmals auf das Ergebnis angewendet werden muss, bei einer n n Matrix mit Werten immerhin O(n 2 ). Daher benutzt man hierfür in der Regel einen optimierten Algorithmus, die schnelle Fouriertransformation, auch FFT 1 genannt, der die Komplexität auf O(nlog 2 n) drückt. Die Grundidee hinter der FFT ist die Summen über n aus 2.5 bzw. 2.6 rekursiv nach dem divide-and-conquer Prinzip so lange zu halbieren, bis man bei der Länge eins angelangt ist. Das berechnen der DFT für die Länge eins ist dann trivial und kann sehr schnell ausgeführt werden. Allerdings hat dieses Verfahren den Nachteil das zu bearbeitende Bild von den Abmessungen immer eine Zweierpotenz sein muss. Hierbei hilft man sich meist indem man das Bild mit Nullen auf die entsprechende Größe bringt. Auf die Details der Implementierung kann hier aus Platzgründen nicht weiter eingegangen werden, hier sei auf [Huc02] oder [Jäh89] verwiesen. 1 Fast-Fourier-Transform

7 Kapitel 3 Räume Üblicherweise kennt man aus dem alltäglichen Leben das Bilder, so zum Beispiel beim Fernseher oder beim Bildschirm vom PC, als eine zweidimensionale Matrix mit Bildpunkten dargestellt wird. Darüber hinaus gibt es aber noch andere, hier soll kurz auf die übliche Methode, den sog. Ortsraum und auf eine, auf Anhieb etwas ungewöhnlichere, den Frequenzraum eingegangen werden. 3.1 Ortsraum Der Ortsraum ist eine recht einfache Repräsentation der Bilddaten, sie ist leicht darzustellen 1 und auch einfach vorzustellen: Ein rechteckiges Feld von farbigen Punkten. 3.2 Frequenzraum Der Frequenzraum dagegen ist etwas schwieriger. Hier wird das Bild als eine Summe von Frequenzen betrachtet 3.3 Darstellung des Frequenzraum Der Frequenzraum ist naturgemäß schwer darzustellen, da man eine Summe von Frequenzen schlecht visualisieren kann. In dieser Arbeit wurde daher folgender Ansatz gewählt welcher auch in [RFW03] verwendet wird: Der Punkt des Frequenzraumes mit der niedrigsten Frequenz wird in die Mitte des Bildes verschoben und desto weiter nach außen man geht, desto höher werden die Frequenzen. Der Grauwert des Pixels gibt den Betrag 1 Man beachte den Bildschirm vor sich! 6

8 KAPITEL 3. RÄUME 7 Abbildung 3.1: Die Fouriertransformierte Darstellung eines komplett einfarbigen Bildes. Lediglich eine Frequenz wird benötigt um dieses Bild zu beschreiben. des komplexen Wertes an; auf diesen wird ein Logarithmus angewendet da sonst die Werte zu stark auseinander klaffen und man in der Darstellung lediglich ein paar Punkte auf schwarzem Grund sehen würden. 3.4 Vom Orts- in den Frequenzraum Beispiele Um den Zusammenhang zwischen Orts- und Frequenzraum besser zu verstehen sollen hier zuerst einfache geometrische Formen transformiert werden. Den Anfang macht ein komplett einfarbiges Bild, Abb. 3.1, d.h. es sind so gesehen keine Frequenzen im Bild darzustellen. Erwartungsgemäß sieht die Frequenzraumdarstellung ebenso langweilig aus, sie enthält nur einen einzigen Wert und zwar die niedrigste Frequenz. Das nächste Beispiel 3.2 enthält schon mehr. Das Bild besteht aus abwechselnd schwarzen und weißen 2 Pixel breiten Streifen. Die transformierte Darstellung enthält nun 2 Punkte mehr als im vorigen Beispiel: die zwei Punkte rechts und links stellen die 2 Frequenzen für die Streifen dar. Die beiden Punkte liegen direkt auf der Horizontalen durch den Mittelpunkt da die meiste Änderung beim durchlaufen des Bildes in eben dieser Richtung statt findet. Würde man nun die Streifen schräg laufen lassen, würde sich die Darstellung des Frequenzraumes ebenfalls drehen. In Abb. 3.3 wurden die Streifen um 45 gedreht und in der transformierten kann man gut erkennen das sich die Pixel für die entsprechenden Frequenzen ebenfalls verschoben haben und nun auf der Diagonalen liegen die den größten Veränderungen entspricht.

9 KAPITEL 3. RÄUME 8 Abbildung 3.2: Links ein Bild das aus 2 Pixel breiten Streifen besteht, welche sich über die gesamte Breite fortsetzen. Rechts die transformierte Darstellung mit. Abbildung 3.3: Prinzipiell wie in Abb. 3.2, nur sind die Streifen nun um 45 gedreht.

10 KAPITEL 3. RÄUME 9 Abbildung 3.4: Das TUM Logo in seiner ursprünglichen Form und in seiner transformierten Darstellung. Als abschließendes Beispiel muss nun das TUM Logo herhalten. In Abb. 3.4 ist links wieder die ursprüngliche Darstellung wie man sie kennt und rechts die transformierte. Gut zu erkennen ist das sich ein Großteil der Frequenzen auf die horizontale und vertikale Achse verteilt da das Bild beim Durchlaufen in horizontaler bzw. vertikaler Richtung anteilsmäßig die meisten Änderungen durchmacht. Aufgrund des begrenzten Platzes in dieser Arbeit können nicht mehr Beispiel gebracht werden. Wen mehr darüber interessiert dem sei [RFW03] empfohlen, mit dem dort angebotenen Java-Applet kann man nach Herzenslust experimentieren Bedeutung der Frequenzen Beim Betrachten der transformierten Darstellungen stellt sich die Frage welche der Frequenzen für welchen Teil der Bildinformationen zuständig sind. Vereinfacht gesagt sind die hohen Frequenzen für Kanten und harte Übergänge verantwortlich während die niedrigeren Frequenzen die eher weiteren Verläufe übernehmen. Um die Bedeutung der einzelnen Frequenzteile zu verdeutlichen hier noch zwei weitere Bilder. In Abb. 3.5 ist ein Bild mit harten Übergängen gegeben. In der transformierten Darstellung ist gut zu erkennen das in den äußeren Bereichen mit den hohen Frequenzen viele Pixel vorhanden sind. Zum Vergleich sei in Abb. 3.6 ein Bild aus einem Verlauf gegeben, das keine harten Kanten enthält. Hier ist in der transformierten Darstellung gut zu erkennen das nach außen hin immer weniger Pixel vorhanden sind.

11 KAPITEL 3. RÄUME 10 Abbildung 3.5: Ein Bild mit harten Übergängen. Abbildung 3.6: Ein sanfter Verlauf von schwarz nach weiß.

12 Kapitel 4 Filter im Frequenzraum Doch nun zu dem eigentlichen Thema dieser Arbeit, dem Filtern der Bilddaten im Frequenzraum. Per Definition ist das Filtern eines Bildes die mathematische Überführung der ursprünglichen Funktion, des Bildes, in eine neue Funktion, dem gefilterten Bildes. Filtern kann man prinzipiell in jeder Darstellung eines Bildes jedoch bietet der Frequenzraum hier teilweise Vorteile. 4.1 Warum im Frequenzraum? Das Filtern im Frequenzraum hat dem Filtern im Ortsraum gegenüber bei manchen Operationen Vorteile. So lassen sich z.b. Frequenzbänder im Frequenzraum viel leichter manipulieren als dies im Ortsraum der Fall wäre da das Bild ja als Summe seiner Frequenzen vorliegt. 4.2 Prinzipielles Vorgehen Um ein Bild im Frequenzraum zu filtern geht man nach folgendem Schema vor: Übertragen der Bilddaten in den Frequenzraum mittels Fouriertransformation Abbildung 4.1: Prinzipielles Vorgehen beim Filtern im Frequenzraum. 11

13 KAPITEL 4. FILTER IM FREQUENZRAUM 12 Abbildung 4.2: Der Pinguin vor, während und nach dem High-Pass-Filter. Links ist das ursprüngliche Bild mit seiner transformierten Darstellung, in der Mitte ist das veränderte Spektrum zu sehen und rechts die zurücktransformierte Darstellung. Filter auf das Spektrum anwenden Spektrum wieder in den Ortsraum übertragen Alle Filter haben gemein das sie bestimmte Frequenzbereiche verändern oder sogar entfernen. 4.3 Beispiele Für Filter Entfernen von Frequenzen Prinzipiell gehören der High-Pass- und Low-Pass-Filter ebenfalls in diese Kategorie da sie auch einfach nur Frequenzen entfernen, aber diese Filter haben sich in dieser Form bereits etabliert und bieten gegenüber dem wahllosen entfernen von Frequenzen praktische Anwendungen High-Pass-Filter Beim High-Pass-Filter werden, wie der Name schon sagt, nur hohe Frequenzen durchgelassen, d.h. die niedrigen Frequenzen werden abgeschnitten. Wieviel genau hängt von der konkreten Implementierung ab. Der entstehende Effekt ist eine einfache Kantenglättung. In Abb. 4.2 kann man gut erkennen wie nur noch die Kanten vorhanden sind.

14 KAPITEL 4. FILTER IM FREQUENZRAUM 13 Abbildung 4.3: Weichgezeichnet! Links wurden einfach alle Frequenzen ab einem Grenzwert abgeschnitten. Rechts sind gut die Artefakte zu erkennen Low-Pass-Filter Ein Low-Pass-Filter arbeitet ähnlich dem High-Pass-Filter nur das er die hohen Frequenzen abschneidet. Wie weiter oben bereits festgestellt, sind die hohen Frequenzen besonders für die harten Übergänge verantwortlich und dementsprechend wirkt sich ein abschneiden dieser Frequenzen wie ein verwischen bzw. weichzeichnen aus. In Abb. 4.3 ist links das veränderte Spektrum des TUM-Logos zu sehen. Wie unschwer zu erkennen ist wurden alle Frequenzen ab einem bestimmten Grenzwert einfach abgeschnitten. Im zurücktransformierten Bild sind alle scharfen Kanten stark verwischt. Diesen Filter kann man auch verwenden um störende Frequenzen wie z.b. Rauschen aus den Bilddaten zu entfernen. Konkret wird dieser Filter eher selten in der Bildverarbeitung angewandt da das sich ergebende Bild meistens unangenehme Artefakte enthält welche in 4.3 als regelmäßige Wellen zu erkennen sind.diese Wellen entstehen da aufgrund des zu aprupten Abschneidens der entsprechenden Frequenzen die übrigen Frequenzen die in dem Bildabschnitt wichtig sind nach wie vor vorhanden sind Gaussian Blur Daher verwendet man normalerweise zum Weichzeichnen einen Gauß schen Weichzeichner welcher im Gegensatz zu dem einfachen Low-Pass-Filter die Frequenzen nicht aprupt abschneidet sondern zu einem bestimmten Grenzwert hin sanft abschneidet wie in Abb. 4.4 zu sehen.

15 KAPITEL 4. FILTER IM FREQUENZRAUM 14 Abbildung 4.4: Das TUM-Logo nach Anwendung eines Gauß schen Weichzeichners. Links ist der veränderte Frequenzraum zu sehen in dem die hohen Frequenzen abgeschnitten wurden. 4.4 Zusammenfassung Alles in allem lassen sich Bilder mit den gegebenen Verfahren vielfältig bearbeiten und verändern, leider kann hier in dieser Arbeit nicht auf mehr eingegangen werden. Alle Filter für den Frequenzraum basieren auf den oben vorgestellten Verfahren. Wieviel möglich ist kann man schon am durch Variieren der Parameter der oben erwähnten Filter erkennen. Verschiebt man z.b. einen Low-Pass-Filter bzw. einen Gauß schen Weichzeichner horizontal oder vertikal, so erhält man ein Weichzeichnen an der entsprechenden Achse.

16 Literaturverzeichnis [Bou98] Paul Bourke. imagefilter/, [Huc02] Schneider Huckle. Numerik für Informatiker. Springer Verlag, [Jäh89] Bernd Jähne. Digitale Bildverarbeitung. Springer Verlag, [RFW03] A. Walker R. Fisher, S. Perkins and E. Wolfart. Interactive fourier transform experimentation [Win98] B. L. Winkler. Filtern im frequenzraum. lehre/dibito/vorlesung/node44.html,