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Transkript

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2 Bibiografische Information der Deutschen Nationabibiothek Die Deutsche Nationabibiothek verzeichnet diese Pubikation in der Deutschen Nationabibiografie; detaiierte bibiografische Daten sind im Internet über abrufbar ISBN URN: urn:nbn:de: , kasse university press GmbH, Kasse Bei der Ersteung des Layouts wurde das Programm MiKTeX verwandt. Druck und Verarbeitung: Unidruckerei der Universität Kasse Printed in Germany

3 Für meine Großväter Für Linus, Lina und Wiebke

4

5 Vorwort Sehr geehrte Leserin, sehr geehrter Leser, mit diesem Buch woen wir Ihnen einen Einbick in das Wesen der Baustatik geben. Sie soen die Grundagen der gängigen Berechnungsverfahren vorgestet bekommen und die mathematischen Hintergründe und Modee kennen ernen. Um das Buch nicht zu dick werden zu assen, haben wir uns damit begnügt, im Wesentichen nur das keine Einmaeins der Baustatik zu behanden: Die Stabstatik. Ein wesentiches Zie dieses Buches ist es, Ihnen verständich zu machen, dass die in der Baustatik verwendeten Modee im Kern sehr ähnich sind, geichwoh sie so unterschiedich erscheinen. Wir bewegen uns mit den Inhaten dieses Buches im Wesentichen im Bereich der Stabtragwerke. Und trotz dieser Beschränkung besteht dort schon eine Füe von Modeierungsvarianten. Zwei grundegende mathematische Betrachtungsweisen (Kraft- oder Weggrößenverfahren), diverse eementare Strukturen (Stab, Biegebaken, Schubträger, gebetteter Baken, Sei) und verschiedene Verformungsverhaten (Theorie erster oder höherer Ordnung) stehen zur Diskussion. Eine noch größere Viefat droht gar bei den Fächentragwerken, deren Betrachtung wir der Übersichtichkeit wegen ausgeassen haben, gerne aber auf die entsprechende Literatur hinweisen (z.b. [6] und [2]). Wihem Genaziano schreibt in einem seiner Romane: Ich habe ein Interesse an verschiedenen Wahrheitsversionen, wei ich es schätze, vor mir sebst ein wenig verwirrt zu sein. Auch in der Baustatik gibt es mehrere Wahrheitsversionen. Aber assen Sie sich davon bitte nicht verwirren. Jedes Mode kann in sich stimmen, und trotzdem iefern die Modee nicht zwingend geiche Ergebnisse. Doch nur diese Viefat gibt den Panenden die Mögichkeit, ein für das betrachtete Objekt und die verfogte Ziesetzung das bestmögiche Mode zu entwerfen. Nutzen Sie die Viefat an Mögichkeiten der Modeierung auszuschöpfen.

6 VIII Vorwort Wir wünschen vie Spaß und noch mehr Erkenntnis beim Lesen dieses Buches. Kasse, Apri 27 Wofram Franke Thorsten Kunow Danksagung. Ein herziches Dankeschön geht an Prof. Dr.-Ing. Friede Hartmann, Dr.-Ing. Dr. rer. nat. Peter Jahn und Dr. rer. nat. Liseotte Franke für die Unterstützung bei der Erarbeitung dieses Buches.

7 Inhatsverzeichnis Grundwissen Statik sehen Sichtbare Tragwerke Statik an der Pinwand Spannung und Optik Was sind Schnittgrößen? Vorzeichendefinition Hereitung Anwendung Momentenfächen Exposionszeichnungen Lager und Geenke Lagerungsarten Geenke in statischen Systemen Lastannahmen Was ist die DIN 55? Tei : Grundagen der Tragwerkspanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregen Tei : Wichten und Fächenasten von Baustoffen, Bauteien und Lagerstoffen Tei 3: Eigen- und Nutzasten für Hochbauten Tei 4: Windasten Tei 5: Schnee- und Eisasten Beispie Addition von Lastfäen Lagerreaktionen und Schnittgrößen Durchaufträger Fragerunde Kraftgrößenverfahren Einführung Umwege zum Zie Statische Unbestimmtheit

8 X Inhatsverzeichnis 2..3 Statisch bestimmt statisch unbestimmt Statisch bestimmtes Hauptsystem und Arbeitsgeichung Die voständige Arbeitsgeichung Federn Zusammenfassung Veränderiche Streckenast Wenn Einzeasten nicht ausreichen Grundagen Anwendung Lastfa Temperatur Verformungen Arten der Verformung Einzepunktverschiebungen Das ω-verfahren Eingeprägte Verschiebungen Orthogonaität von Spannungszuständen Hereitung Beispie Reduktionssatz Raumtragwerke Projektion Vorzeichendefinition Lösungsstrategie Lagerreaktionen Schnittgrößen Zum Merken Fragerunde Weggrößenverfahren Matrizenverschiebungsmethode Eine Wet aus Federn Eigenschaften einer Steifigkeitsmatrix Zusammenfügen von mehreren Tragwerkseementen Kräfte und Verformungen Beastung am Knoten und im Fed Einführung Aufteiung in f- und p-vektoren Eingeprägte Lagerverschiebungen Lastfa Temperatur Wichtige Matrizen Transformationsmatrix Steifigkeitsmatrix für den Zug-Druckstab Steifigkeitsmatrix für den gedrehten Zug-Druckstab Steifigkeitsmatrix für den Biegebaken (Bernoui) Steifigkeitsmatrix für voständiges Bakeneement Theorie 2. Ordnung Geometrische Steifigkeitsmatrix Steifigkeitsmatrix für das voständige, gedrehte Bakeneement Nachaufrechnung

9 Inhatsverzeichnis XI 3.4. Zwischen den Tragwerksknoten Abauf der Berechnung Beispie Berechnungen mit Abaufschema Einheitsverformungen Einführung Grundegende Poynome Für Einheitsverformungen benötigte Kräfte Substrukturtechnik Hintergrund Näherungsösungen Einführung in das Drehwinkeverfahren Grundagen Vorgehensweise Nichtinearität beim DWV Zum Merken Fragerunde Aufbauwissen so geht es weiter Symmetrie und Antimetrie Sinn dieser Übung Modebidung Rahmen Agemeines Lagerreaktionen Hifssysteme bei Rahmen Passprobeme Jenseits von Bernoui Langerscher Baken Vierendeeträger Gebetteter Baken Schubträger Sei Nichtineares Verhaten bei Stabtragwerken Bananas and Nonbananas Schnittgrößenermittung am verformten System Fießgeenkbidung und Tragastverfahren Stabiitätsprobeme Fragerunde Moderne Statik Energie und Arbeit Vie Arbeit und Energie satt Schnittprinzip Energieerhatung Potentiee Energie Arbeit Prinzip der virtueen Verrückungen Prinzip der virtueen Kräfte

10 XII Inhatsverzeichnis 5..7 Minimum der potentieen Energie Satz von Betti Einfussinien Bedeutung Beispiee Greensche Funktionen Das Schema F Auswertung von Einfussinien Popankonstruktion Drehscheibenstatik Regen der Popankonstruktion Kinematik der Verschiebungsfiguren Reihenfoge der Haupt- und Nebenpoe Betti, Green und Mohr Mathematische Ideen mit Tragweite Hereitung der Greenschen Identitäten für den Stab Hereitung der Greenschen Identitäten für den Baken Anwendung der Greenschen Identitäten Mohrsche Anaogie Einführung in die Methode der finiten Eemente Aes bewegt sich und keiner wird nass Eine einfache Hereitung Die moderne Schreibweise Feherberechnung in der FEM Einführung in das Thema Randeemente Mehr as Stab und Baken Die Idee Hereitung für den Stab Operatoren Anwendung Fragerunde EDV-Einsatz Rechnen und rechnen assen Programme RSTAB und RFEM TwoDFrame Nastran Abbidungsverzeichnis Literaturverzeichnis Sachverzeichnis

11 Grundwissen. Statik sehen.. Sichtbare Tragwerke Baustatik ist etwas sehr anschauiches. Bei einigen Bauwerken kann man das Tragwerk as soches erkennen, bei anderen ist es versteckt. Aber warum sote man das, was ein Bauwerk aufrecht erhät, verstecken? Schauen wir uns einfach ein paar Beispiee an, und Sie werden erkennen: Statik und Ästhetik können Hand in Hand gehen. Fangen wir mit einer aten Scheune an. In Abbidung. ist gut das Fachund Ständerwerk aus Stäben und Baken aus Hoz zu erkennen. Man kann dem Bauwerk ansehen, wie die Lasten abgetragen werden. Die Hozbepankungen und Ausfachungen aus Mauerwerk dienen nicht dem Lastabtrag. Abb... Dachkonstruktion einer aten Scheune ausgebidet as Fach- und Ständerwerk. Moderne Hozbauwerke, wie das Expo-Dach auf dem Messegeände Hannover, scheinen die Lasten nicht nur über ängiche sondern auch fächige Bauwerksteie

12 2 Grundwissen abzutragen (Abbidung.2). Schaut man genauer hin, so ist zu erkennen, dass auch die fächenhaften Eemente aus Fachwerken bestehen (Abbidung.2). Die Form des Daches aein ist schon interessant. Sie entstammt einem Membrantragwerk (Zugbeanspruchung ohne Biegung), weches nach der Formfindung einma gewendet wurde und so zu einem auf Druck und Biegung beanspruchten Schaentragwerk wird. Diese Dachkonstruktion aus Hoz ist wetweit einzigartig. Abb..2. Expo-Dach auf dem Messegeände Hannover. Wechsen wir den Werkstoff. Auch Stahkonstruktionen sind mitunter eicht zu durchschauen. Beispiesweise das in Abbidung.3 gezeigte Congress-Centrum Hannover. Deutich sind auch hier die Stäbe as wichtiger Bestandtei des Tragwerks zu erkennen, wie Abbidung.3 zeigt. Der runde Oberbau ist auf einen Stahrost geagert, wecher von einer Stahstützenkonstruktion getragen wird. Die Stahquerschnitte werden an wenigen Punkten zusammengeführt und sind auf Stahbetonsäuen geagert, weche die Vertikaasten in das Erdreich abtragen. Abb..3. Mehretagiges Congress-Centrum auf der Hannovermesse. Stah- und Betonkonstruktion.

13 . Statik sehen 3 Der Paradefa für sichtbare Tragwerke sind Brücken. In Abbidung.4 ist die Schrägseibrücke über die Daugawa (Vanšu tits) in Riga/ Lettand zu sehen. Sowoh die schräg gespannten Stahseie, an denen das Brückendeck aufgehängt ist, as auch der kräftige Pyon aus Stahbeton sind gut zu erkennen. Die Seie sind Tragwerkseemente, die nur auf Zug beansprucht werden können. Der Pyon ist hauptsächich auf Druck beansprucht, trägt aber auch die Horizontaasten auf Biegung ab. Abb..4. Schrägseibrücke Vanšu tits über die Daugawa in Riga/ Lettand. Geht es um fächige Tragwerksstrukturen, aso Patten, Scheiben und Schaen, wird as Werkstoff häufig Stahbeton gewäht, kann er doch in fast jede Form gebracht werden. Bei dem in Abbidung.5 dargesteten phæno in Wofsburg wurde an gewöbten Fächen nicht gespart. Insgesamt zehn kegeförmige Pfeier tragen das erste Geschoss des Bauwerks, fünf davon reichen darüber hinaus und tragen die Dachkonstruktion. Abb..5. Außenansicht des phæno in Wofsburg mit seinen geschwungenen Tragpfeiern...2 Statik an der Pinwand Ist Rechnen der beste Zugang zu Statik? Oder kann man die einfachen Prinzipien nicht auch optisch erkennen? Probieren wir es aus. Auf den fogenden vier Fotos, siehe Abbidung.6, ist eine Pinwand abgebidet. Auf den Fotos sieht man ein Sei,

14 4 Grundwissen weches am inken ( cm) und rechten Lager (2 cm) mit Gummiba ndern befestigt ist. Und dann sind noch zwei weitere Lager zu finden, bei 5 cm und bei 5 cm. a) b) c) d) Abb..6. a) Sei vorgespannt, aber unbeastet, b) und c) Sei mit einer Einzeast in Systemmitte und d) Sei mit zwei Einzeasten. Wird das Sei in der Mitte um etwa 2 cm nach unten ausgeenkt, so muss dafu r eine Kraft aufgebracht werden. Diese vertikae Kraft wird u ber den Lagern bei 5 cm und 5 cm umgeenkt und fu hrt zu horizontaen Kra ften, die ihrerseits die Gummiba nder etwas spannen. Lenkt man das Sei noch weiter aus, so werden die Gummiba nder noch sta rker gespannt - sie werden noch a nger. Wird das Sei nun an zwei Steen ausgeenkt, so stet sich zwischen den Punkten der Ausenkung eine Gerade ein, und auch die Gummiba nder sind natu rich wieder gespannt. Wozu diese Versuche. Nun, in der Statik gibt es zwei Gro ßen, die miteinander in Verbindung stehen: Kraft und Verformung. Verformungen an einem Tragwerk fu hren zu Kra ften, und umgekehrt haben Kra fte Verformungen zur Foge. So ein Bautei Kra fte u bertragen, so muss es sich verformen, damit die inneren Kra fte aktiviert werden - so zu sehen an den Gummiba ndern. Und Kra fte kann man auch umenken, aber das ist schon etwas kompizierter...3 Spannung und Optik Ein weiteres Experiment, mit dessen Hife Kra fte visuaisiert werden ko nnen, kommt aus dem Bereich der Spannungsoptik. Die beiden Fotos, siehe Abbidung.7, zeigen die Auswirkungen von Beastungen auf Tragstrukturen. Ausgenutzt wird hierbei, dass sich die Moeku agen im Materia verschieben und so der Lichtdurchfuss manipuiert wird. Je dunker ein Bereich im Trageement, desto sta rker die Beastung. Derartige Versuche assen sich in manchem technischen Museum ansehen oder auch mit den Materiaien aus der Materiasammung der Experimentaphysik sebst aufbauen. Die Fotos sind im phæno in Wofsburg entstanden. Dort finden sich u brigens noch weitere Experimente zu Statik und Mechanik.

15 .2 Was sind Schnittgrößen? 5 a) b) Abb..7. a) Sichtbare Spannung an einem Baken infoge einer Einzeast, b) Spannung an einem Baken mit Löchern infoge einer Einzeast..2 Was sind Schnittgrößen?.2. Vorzeichendefinition Eine strukturmechanische Berechnung setzt die einwandfreie Orientierung im System voraus. Deshab muss ein Koordinatensystem festgeegt werden, an dem sich die beobachteten Größen orientieren. In der Technischen Mechanik und Statik werden kassischerweise kartesische Koordinatensysteme verwendet, wie in Abbidung.8 gezeigt. Das eingezeichnete Koordinatensystem stet das Koordinatensystem des positiven Schnittufers dar. a) b) V z M z N x M x negatives Schnittufer V M y y y z x M y V y positives Schnittufer M x N x M z V z V N M negatives Schnittufer y x M N V positives Schnittufer Abb..8. a) Schnittgrößen im agemeinen Fa und b) am ebenen Baken. Und was ist nun ein Schnittufer? Schauen wir uns einen Bakenabschnitt eines beiebigen Tragwerks in Abbidung.9 an. Wird der Baken durchgeschnitten, entstehen zwei Schnittufer. Am positiven Schnittufer haben die positiv definierten Richtungen der Schnittgrößen die geiche Richtung wie die Koordinatenachsen. Die positiv definierten Richtungen der Schnittgrößen am negativen Schnittufer veraufen entgegengesetzt zu den Koordinatenachsen. Die Richtungen der frei geschnittenen Kraftgrößen sind stets entgegengesetzt gerichtet geich groß. Schnittgrößen sind diejenigen Kräfte und Momente, die beim Durchtrennen eines Systems freigeschnitten werden. Sie auten

16 6 Grundwissen N = Normakraft V = Querkraft M = Moment. und sind in Abbidung.9 c dargestet. Die as positiv definierten Richtungen der Schnittgrößen haben nichts mit dem Lastabtrag zu tun, aso den Richtungen der wirkenden Kraftgrößen. Die Werte und vor aem die Vorzeichen der wirkenden Schnittgrößen ergeben sich im Verauf der Berechnung. Wirken die Kräfte in den geichen Richtungen wie die Koordinatenrichtungen, so werden die Kräfte positiv bewertet, anderenfas negativ. a) y x b) y x c) x M N N V x y V positives Schnittufer M y negatives Schnittufer Abb..9. Schnittuferdefinition. a) Bakenabschnitt, b) Schnitt und c) zwei Schnittufer..2.2 Hereitung Die Zusammenhänge der Schnittgrößen soen anhand eines voständigen Bakeneementes, dargestet in Abbidung., erkärt werden. Auf den Baken wirken veränderiche Querasten q z und Normaasten q x. Daher ist bei der Entwickung einer Differentiageichung für den Baken neben der Biegung auch die Verformung aus Normakraft zu berücksichtigen. Die Geichgewichtsbetrachtungen des differentieen Bakeneementes iefern die fogenden Zusammenhänge. Für das vertikae Kräftegeichgewicht git (siehe Abbidung.) F z = : V + q z dx + V + dv = dv dx = V (x) = q z(x). Das Momentengeichgewicht iefert zunächst fogende Geichung.

17 .2 Was sind Schnittgrößen? 7 a) b) q z ( x) [kn/m] q x ( x) [kn/m] V( x) N( x) M( x) x q z ( x) [kn/m] q x ( x) dx [kn/m] M( x)+ dm N( x)+ dn V( x)+ dv Abb... a) Baken mit Norma- und Querast, b) Schnittgrößen am differentieen Bakeneement. My = : M + q x dx dx 2 M dm + V dx = Dividiert man diese Geichung durch die Länge des differentieen Bakeneementes dx, so erhät man q x dm dx 2 dx + V =. Lässt man dx nun gegen Nu gehen, so kann der erste Term weggeassen werden und es ergibt sich die differentiee Beziehung dm dx = M (x) = V (x). Das horizontae Geichgewicht iefert die differentiee Beziehung der Beastung und Schnittkraft. Es git entsprechend Fx = : N + q x dx + N + dn = dn dx = N (x) = q x(x). Damit sind die Beziehungen von Schnittgrößen und äußeren Lasten hergestet. Die verteiten Lasten werden auf dem Eement dx as konstant angesehen, da auf dieser kurzen Distanz die Lastunterschiede an den Schnittufern gegen Nu gehen. Weiter muss bei der Hereitung das Materiagesetz σ = E ε, σ = Spannung in Kraft/Fäche E = Eastizitätsmodu in Kraft/Fäche ε = Dehnung (dimensionsos) [ ] berücksichtigt werden, womit eine Beziehung der Schnittkräfte mit den Deformationen (Dehnung bzw. Krümmung) unter Berücksichtigung der Materiaeigenschaften hergestet wird. Aus ihm wird für die Normakraftverformung die Geichung für die Normakraft N N = EAε bzw. für die Verformungsanteie aus Biegung mit der Krümmung κ die Geichung für das Biegemoment M

18 8 Grundwissen M y = EI yκ hergeeitet. As etztes feht die Verknüpfung der Verformung, aso u(x) bzw. w(x), mit den Deformationen. Dafür wird die Verformung an einem differentieen Stab bzw. Bakeneement betrachtet. a) b) dx c) x x dx u( x) u( x+ dx) w( x) P w( x+ dx) P u z ¾( y, z) M( x) Abb... a) Dehnstab, b) Bernoui-Baken und c) Spannungsverteiung an der Stee x. Aus Abbidung. a kann die Beziehung der Dehnungen ε = u(x + dx) u(x) dx = u(x) + u(dx) u(x) dx = u(dx) dx = du(x) dx hergeeitet werden, d.h. die Dehnungen sind die erste Abeitung der Verschiebungsfunktion u(x). Beim Bernoui-Baken wird vom Ebenbeiben des Querschnitts ausgegangen, d.h. der Querschnitt beibt senkrecht zur okaen Systemachse, die sich goba aber verschiebt und verdreht. Der Querschnitt erfährt eine Verdrehung um den Winke β. In Abbidung. b ist der Verdrehungswinke β eingezeichnet. Unter der Annahme keiner Verdrehungen ( β ) ässt sich der Winke über β = w(x + dx) w(x) dx = dw(x) dx bestimmen. Betrachtet man nun einen beiebigen Punkt P im Abstand z von der Mitteinie, so wird dieser Punkt in x-achsenrichtung verschoben. Diese Verformung ässt sich wie fogt wieder über den Winke β darsteen u = z β = z dw(x) dx. Werden die Geichungen für Dehnung und Winke in die Geichung für die Verschiebung eingesetzt, so erhät man σ = Eε = E du dx = ze d2 w dx 2. Über die Integration der Spannungen über die Fäche A des Querschnitts und Mutipikation mit dem Hebearm z erhät man das resutierende Moment

19 M y = A σzda = A.2 Was sind Schnittgrößen? 9 Ez 2 d 2 w da = Eκ z 2 da. dx2 A Der Integraausdruck berechnet gerade das Fächenträgheitsmoment I y. Wichtig ist hier die Erkenntnis, dass die Krümmung κ die zweite Abeitung der Biegeinie w(x) ist, κ = w (x). Durch Einsetzen der gewonnenen Geichungen erhät man die Differentiageichung für den Biegebaken EIw IV (x) = p(x) und die Differentiageichung für den Zug-Druckstab EAu (x) = p x(x)..2.3 Anwendung Die Kenntnis über die differentieen Zusammenhänge ermögicht eine schnee Bestimmung der Schnittgrößenveräufe. Auf diese Weise müssen nur wenige Stützpunkte eines Veraufes über das Schnittprinzip berechnet werden. Der Verauf zwischen diesen Punkten ässt sich über die Beastungsfunktion (Einze- oder Streckenast) und die Kenntnis der differentieen Zusammenhänge zwischen Last und Moment/ Querkraft ermitten. Diese Zusammenhänge sind in Tabee. aufgeführt. Tabee.. Differentiee Zusammenhänge der Kraftgrößen bei einer vorgegebenen Beastung. Kraftgröße Operator Verauf Streckenast q z dv/dx Einzeast konst. in. quad. Querkraft V dm/dx Nu konst. in. quad. kub. Moment M EIw konst. in. quad. kub. 4. Ordnung Wenn keine Streckenast vorhanden ist, so können aber immer noch Einzeasten vorhanden sein. Diese führen zu unstetigen Veräufen und müssen über Randbedingungen eingebunden werden. Denn die Lösungsfunktion der Differentiageichung ist im betrachteten Interva stetig. Eine Einzeast P z führt zu einem Sprung vom Betrag P z im Querkraftverauf und fogich zu einem Knick im Momentenverauf. Beide Funktionen veraufen dort aso nicht stetig. Ein angreifendes Einzemoment M hat natürich einen Sprung im Momentenverauf um den Betrag M zur Foge. Wichtig ist auch zu wissen, dass Lasten überagert werden können. Ist eine verteite Last z.b. aus einem konstanten und einem quadratischen Antei zusammengesetzt, so wird der Momentenverauf durch Addition der quadratischen Parabe und der Parabe vierter Ordnung gebidet. Auf das Zeregen einer Beastung in mehrere Lastfäe werden wir später noch z.b. in den Kapiten.4.7 und.5 eingehen.

20 Grundwissen.2.4 Momentenfächen In der Statik werden vor aem die Momentenfächen betrachtet. Die Querkräfte werden gegebenenfas ermittet, um entsprechend der differentieen Beziehungen der Schnittgrößen die Momente zu bestimmen. Die Momentenfächen soen zwei Aussagen iefern: Wie groß sind die Biegemomente an markanten Steen des Tragwerks, und wie sehen die Verformungen aus. Hierfür wird die so genannte Bezugsfaser eingeführt. Im Fa des ebenen Bakens iegt sie unten (positive z-achsenrichtung). Wird sie durch die Schnittmomente gezogen, so erfährt das in Abbidung.2 a dargestete Bakeneement eine Linkskrümmung, und das Biegemoment ist positiv. Wird die Bezugsfaser gedrückt, so entsteht eine Rechtskrümmung, und das Moment wird negativ bewertet. Die Zusammenhänge sind in Abbidung.2 dargestet. Unabhängig vom Vorzeichen sind die Momentenfächen immer auf die gezogene Seite anzutragen, d.h. die Seite die durch das angreifende Moment gedehnt wird. a) b) M P/2 V P P M P /2 /2 V M + M V + V + Zug Druck Abb..2. a) Zusammenhang der Schnittgrößen am Einfedträger und b) am Kragarm. Mitunter kann auch eine Abschätzung der Biegeinie hefen, die Schnittkräfte abzuschätzen. In Abbidung.3 ist das Vorgehen für einen Durchaufträger gezeigt:. Kinematik abschätzen: Eement III nach unten, Eement II wie Wippe, I nach oben 2. Biegeinie abschätzen: Krümmungen hinzufügen, Krümmungswechse an Geenken

21 .2 Was sind Schnittgrößen? 3. Eement III, Momentenverauf unter Einzeast: Wie Baken auf zwei Stützen, aso inear, und das Maximum iegt unter der Einzeast. 4. Querkraftverauf entsprechend Baken auf zwei Stützen 5. Momentenverauf wie beim Kragarm (Einspannung inks) unter Streckenast und Einzeast rechts. Die Momentenfäche iegt oben. 6. Momentenverauf wie beim Kragarm (Einspannung rechts) unter Streckenast. Die Momentenfäche iegt oben. 7. Der Querkraftverauf startet nicht bei Nu (rechts), sondern erhät den Wert vom Eement III. 8. Das Eement II arbeitet wie eine Wippe, die Vertikakraft vom rechts angeschossenen Eement wird nach inks an das Eement I weitergereicht. Der Querkraftverauf endet deshab nicht bei Nu, sondern erhät den negativen Wert vom rechts angeschossenen Eement (Symmetrie vorausgesetzt, sonst nicht geichgroß!). 9. Das Eement I wird mit einer von unten wirkenden inneren Kraft am rechten Ende beastet. Momentenfäche wie beim Kragarm.. Querkraftverauf wie beim Kragarm. w( x) p( x) I II 6 5 III 2 M( x) V( x) Abb..3. Abeitung der Schnittgrößen aus der Biegeinie..2.5 Exposionszeichnungen Die Ermittung der Schnittkraftveräufe und der Lagerreaktionen stet oftmas ein großes Probem dar. Gerade bei kompexen oder kniffigen Systemen weiß man nicht, wo und wie man anfangen so. Dabei gibt jedes System den Lösungsweg sebst vor. Um das Lesen eines Systems besser zu trainieren, wird in diesem Kapite die Schnittgrößenermittung mittes einer Exposionszeichnung eräutert. Dabei wird das Gesamtsystem in Teisysteme unterteit und jedes dieser Teisysteme muss für sich

22 2 Grundwissen im Geichgewicht stehen. Dieses Verfahren kann immer angewendet werden, gerade wenn man sich noch unsicher ist; man muss dafür aerdings ein wenig mehr Zeit investieren. kn/m 5 m 2 m 2 m 4 m Abb..4. Statisch bestimmtes System mit Geichstreckenast. Anhand eines konkreten Beispies so die Methode Exposionszeichnung eräutert werden. Das statisch bestimmte System mit Geometrie und Beastung ist in Abbidung.4 dargestet. Da sich die beiden Aufager auf geicher Höhe befinden, können die vertikaen Lagerkräfte am Gesamtsystem über die Momentengeichgewichte am inken und rechten Lager ermittet werden. Die Ermittung der horizontaen Aufagerkräfte und der Momentenverauf erschießen sich nicht sofort. Die Berechnung der horizontaen Lagerkräfte kann nur über Betrachtung von Teisystemen, d.h. unter Ausnutzung der gegebenen Nebenbedingungen im System, erfogen. Zunächst wird das agemeine Vorgehen für eine Exposionszeichnung an dem voriegenden System erkärt. Das System in Abbidung.4 muss in Teisysteme zeregt werden. Die Schnitte sind dabei so zu wähen, dass die im System vorhandenen Nebenbedingungen ausgenutzt werden können, d.h. Schnitte werden an Geenken (Momenten-, Normakraftund Querkraftgeenken) geführt. Die durch die Schnitte frei werdenden Schnittkräfte sind an jedem Teisystem anzutragen, siehe Abbidung.5. An Aufagerpunkten, wo zwei und mehr Stäbe angeschossen sind, muss der Knotenpunkt zusätzich, wie in der Abbidung dargestet, gezeichnet werden, damit eine einfache Berechnung der Schnittkräfte erfogen kann. Geiches git auch für eine Einzeast, die an einem Schnittpunkt im System angreift. Der Knotenpunkt muss dargestet werden. Das wäre bei dem Beispiesystem der Fa, wenn eine Einzeast am oberen mitteren Momentengeenk angreifen würde. Ae angreifenden äußeren Lasten, wie in diesem Fa die Geichstreckenast, sind ebenfas anzutragen. Die vertikaen Aufagerkräfte berechnen sich über das Gesamtsystem zu A V = 5, 625 kn und B V = 5, 625 kn. Im Fogenden wird das Schnittbid in Abbidung.5 mit den fünf Teisystemen verwendet, um die horizontaen Aufagerkräfte und ae Zwischenkräfte zu ermitten. Die Ergebnisse sind in Abbidung.6 zusammengefasst.

23 .2 Was sind Schnittgrößen? 3 I II V III IV Abb..5. Das System wurde durch Schnitte an Geenken in fünf Teisysteme unterteit. Die frei werdenden Schnittkräfte sind angetragen. Es bietet sich an, mit dem Teisystem I oder II zu beginnen, da die Kräfte senkrecht zur Stabachse über das Momentengeichgewicht um eines der Momentengeenke ermittet werden können. Am System I berechnet sich, da der Stab unbeastet ist, die vertikae Komponente zu Nu. Diese Nu kann am rechten Knoten an das Teisystem IV und am inken Knoten an das Teisystem II übergeben werden. Damit ist am Teisystem II die Normakraft im Stab bekannt (N = const. = ). Bidet man am Teisystem II das Momentengeichgewicht um das untere Geenk, so erhät man für die horizontae Kraft oben 25 kn. Am unteren Ende hat die horizontae Kraft einen Wert von 25 kn. Die Kräfte an den beiden Stabenden stehen im Geichgewicht mit der angreifenden Geichstreckenast. Das Teisystem trägt wie ein Einfedträger unter Geichast. Die Horizontakomponente vom oberen Knoten wird as Normakraft an das Teisystem I übergeben. Somit sind für beide Teisysteme ae Schnittkräfte bekannt. As nächstes wird die unbekannte vertikae Schnittkraft am Teisystem IV (Anschusspunkt zum Teisystem III) über die Summe aer vertikaen Kräfte zu 5,625 kn berechnet. Diese Kraft kann wieder an den oberen Knoten vom Teisystem III übergeben werden, und somit ist an dem schrägen Pendestab die vertikae Komponente der Normakraft bekannt; die horizontae Kraft kann über das Momentengeichgewicht um das untere Geenk ermittet werden. Die Horizontakraft ergibt sich demnach zu 2,5 kn und kann an das System IV übergeben werden. Fogich ist am Teisystem IV nur noch die Aufagerkraft B H unbekannt und wird über die Summe aer horizontaen Lasten zu B H = 2, 5 kn bestimmt. Damit kann über die Summe aer Horizontaasten am Gesamtsystem die etzte fehende Aufagerkraft bestimmt werden: A H = 37, 5 kn. Diese Aufagerkraft kann auch über das Kräftegeichgewicht am Anschussknoten der Teisysteme II, III und V bestimmt werden, 2, X H = X H = 37, 5. Diese Kraft muss am Teisystem V mit der Aufagerkraft A H im Geichgewicht sein. Es geht auch kürzer aber man muss das Schnittprinzip verstanden haben! Ausgangspunkt sind auch hier wieder die am Gesamtsystem ermitteten vertikaen Aufagerkräfte. Der horizon- Dies ist ein Pendestab, der nur Normakräfte und keine Querkräfte überträgt.

24 4 Grundwissen I 25 2,5 5,625 5,625 II 2,5 IV III 25 A H = 37,5 2,5 5,625 5,625 37,5 V A V = 5,625 B =2,5 H B =5,625 V Abb..6. Die Ergebnisse für die Berechnung der Schnittkräfte an der Exposionszeichnung. tae Pendestab überträgt keine Querkräfte, und fogich ist in dem gesamten oberen Stab vom Momentengeenk bis zur biegesteifen Ecke die Querkraft Nu. Daraus fogt, dass der Momentenverauf, da die Querkraft die Abeitung vom Moment ist, konstant Nu sein muss. Damit ist das Moment an der biegesteifen Ecke bekannt, und es kann das Momentengeichgewicht um diesen Punkt unter Verwendung des Teisystems Biegesteife Ecke Aufager B die fehende horizontae Aufagerkraft B H bestimmt werden. Abschießend wird am Gesamtsystem die Lagerkraft A H berechnet..3 Lager und Geenke.3. Lagerungsarten Bei der Betrachtung statischer Systeme, ist die Lagerung des Systems besonders wichtig. Erst wenn das Tragwerk im Ganzen unverschiebich ist, ist die Lagerung vernünftig. Anders ausgedrückt: Es müssen so viee Weggrößen am System vorgegeben werden, dass das System sich weder verschieben noch um einen Punkt drehen ässt. Dazu sind grundsätzich mindestens drei Weggrößen vorzugeben. Aber etztich beantwortet die Frage der Verschiebichkeit eines Systems, d.h. ob das System kinematisch ist oder nicht, nur eine Popankonstruktion 2. Die mögichen Lagerungsarten sind in Abbidung.7 dargestet. Die Aufager können in -, 2- und 3-wertige Lager unterteit werden, was nichts anders bedeutet, as das entsprechend eine, zwei oder drei Weggrößen zu Nu vorgeschrieben sind und 2 Näheres hierzu in Kapite 5.3.

25 .3 Lager und Geenke 5 a) M b) H H V c) d) V V H M Abb..7. a) 3- wertiges Aufager, b) 2-wertiges Aufager in zwei Varianten, c) - wertiges Aufager und d) freies Stabende. entsprechend viee Lagerreaktionen auftreten können. Bei einem 3-wertigen Aufager, siehe Abbidung.7 a, sind ae drei Weggrößen gesperrt, d.h. die vertikae und horizontae Verschiebung und die Verdrehung. Das hat zur Foge, dass die drei eingezeichneten Lagerreaktionen (H, V und M) mögich sind. In Abbidung.7 b sind zwei 2-wertige Lager dargestet. Agemein gesprochen bedeutet ein zweiwertiges Aufager, dass zwei Weggrößen zu Nu gesetzt sind und eine Weggröße unbekannt ist. Im ersten Fa ist die Verdrehung nicht bekannt, im zweiten Fa ist es die vertikae Absenkung. Für die Theorie aein ist es unwichtig, ob ein soches Aufager reaisierbar ist, für die Modeierung von Tragwerken hingegen ist es Grundvoraussetzung. As etzte mögiche Lagerungsart verbeibt das -wertige Aufager, siehe Abbidung.7 c. Bei einem sochen Lager ist nur noch eine Weggröße mit Nu vorgegeben, ae anderen Weggrößen sind unbekannt. Sinnvo sind -wertige Aufager nur für die zwei Verschiebungsrichtungen (horizonta oder vertika). Ein -wertiges Aufager, bei dem die Verdrehung zu Nu gesetzt ist, ist zwar theoretisch mögich, aber von der Darsteung her schon nicht umzusetzen und nicht denkbar. Der Voständigkeit haber ist in der Abbidung.7 d ein freier Stabanfang dargestet. Hier sind ae drei Weggrößen unbekannt und infoge dessen auch keine Lagerreaktionen zu bestimmen. Die Stabendkräfte sind Nu. Schussfogerung daraus ist, dass an einer Stee wo eine Weggröße vorgeschrieben ist, die duae Kraftgröße unbekannt sein muss. Andersherum fogt daraus auch, dass an der Stee wo eine Kraftgröße vorgegeben ist, die duae Weggröße unbekannt sein muss..3.2 Geenke in statischen Systemen Für die weiteren Betrachtungen sind, neben den Aufagern, die Geenke in einem System von Bedeutung. Sie geben an einer Stee im System eine Kraftgröße vor, je nach Geenkart ist das Moment, die Querkraft oder die Normakraft Nu. Das am meisten verwendete Geenk ist das Momentengeenk. Die Konstruktion im Tragwerk ist sehr einfach zu reaisieren. Z.B. werden beim Stahbau geschraubte Verbindungen as Momentengeenk angenommen. Eine statisch sinnvoe Konstruktion ist in Abbidung.8 dargestet. Die Übertragung von Quer- und Normakräften ist mit diesem Geenk mögich, die Übertragung von Momenten ist aufgrund der

26 6 Grundwissen Statisches Symbo Konstruktion Schnittkrafte Ä M-Geenk V N V M N M V-Geenk N-Geenk M V V M Abb..8. Die drei theoretisch mögichen Geenkarten in einem statischen System, Momenten-, Querkraft und Normakraftgeenk. Die Konstruktion für soche Geenke ist in der Mitte dargestet. Rechts sind die auftretenden Schnittkräfte abgebidet. zuässigen Drehbewegung im Geenk nicht mögich. Das Moment im Geenk muss Nu sein. In der Konstruktion sind Querkraft- und Normakraftgeenke deutich aufwändiger as Momentengeenke, in einem statischen System aber sehr gut einsetzbar. In Abbidung.8 sind die Konstruktionen für soche Art Geenk skizziert. Die in der Geenkkonstruktion eingebauten paraeen Pendestäbe können Kräfte in Richtung der Pendestäbe übertragen und geichzeitig ist die Übertragung von Momenten durch Zeregung in ein Kräftepaar mögich. Die Schnittkräfte sind in der Abbidung ebenfas dargestet..4 Lastannahmen.4. Was ist die DIN 55? Kennzeichen der in den Statikvoresungen behandeten Themen ist die Gütigkeit für ae konstruktiven Anwendungsfeder. Oft iegt der Schwerpunkt auf den Rechenverfahren zur Schnittgrößenbestimmung. Doch zur Bemessung von Tragwerken bedarf es vor aem der Kenntnis der Beastungen. Denn ohne Lasten gibt es keine Schnittgrößen. Und Beastungen sind im Wesentichen werkstoffunabhängig. Deshab wird hier auf die Ermittung von Beastungen nach DIN 55 eingegangen, der Norm, die sich mit Lastannahmen beschäftigt. Vorgestet werden hier die Grundzüge sowie einige Beispiee. Die DIN 55 kann zur Findung von Lastannahmen verwendet werden. Angegeben werden Standardwerte für ständige und veränderiche Lasten. Die DIN 55 ist in mehrere Teie gegiedert, von denen im Rahmen dieser Arbeit fogende kurz vorgestet werden: Tei : Grundagen der Tragwerkspanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregen [9] Tei : Wichten und Fächenasten von Baustoffen, Bauteien und Lagerstoffen [4]

27 .4 Lastannahmen 7 Tei 3: Eigen- und Nutzasten für Hochbauten [5] Tei 4: Windasten [6] Tei 5: Schnee- und Eisasten [7].4.2 Tei : Grundagen der Tragwerkspanung, Sicherheitskonzept und Bemessungsregen Begriffe Zunächst werden die Begriffe definiert, mit denen innerhab des Regewerkes gearbeitet werden so (Auszug aus der [9]). Tragwerk (3...4): panmäßige Anordnung miteinander verbundener tragender und aussteifender Bauteie, die so entworfen sind, dass sie ein bestimmtes Maß an Tragwiderstand (z.b.: Fundament, Stützen, Riege, Decken, Trennwände) aufweisen. Tragsystem (3...5): Summe der tragenden Bauteie eines Tragwerks und die Art und Weise, in der sie zur Erzieung eines bestimmten Tragwiderstandes zusammenwirken (z.b. Durchaufträger, Rahmen). Tragwerksmode (3...6): Ideaisierung des Tragsystems für Schnittgrößenermittung und Bemessung. Einwirkung (3..2.): auf das Tragwerk einwirkende Kraft- oder Verformungsgröße. Statische Einwirkung ( ): Einwirkung, die keine wesentiche Bescheunigung des Tragwerks oder Bauteis hervorruft. Vorwiegend ruhende Einwirkung ( ): statische Einwirkung und nicht ruhende Einwirkung, die jedoch für die Tragwerkspanung as ruhende Einwirkung betrachtet werden darf (z.b. Nutzasten in Parkhäusern, Werkstätten, Fabriken, Einwirkungen aus Wind). Zeitich veränderiche Einwirkung (3..2.5): Einwirkungen, für die die Voraussetzung einer ständigen Einwirkung nicht erfüt ist, z.b. Nutzast, Windast, Schneeast. Charakteristischer Wert ( ): wichtigster repräsentativer Wert einer Einwirkung, von dem angenommen wird, dass er mit einer vorgegebenen Wahrscheinichkeit im Bezugszeitraum, unter Berücksichtigung der Nutzungsdauer des Tragwerks und der entsprechenden Bemessungssituation nicht überschritten oder unterschritten wird. Kombinationsbeiwert einer veränderichen Einwirkung ( ): repräsentativer Wert in den Einwirkungskombinationen, der die geringere Wahrscheinichkeit des geichzeitigen Auftretens der ungünstigsten Werte mehrerer voneinander unabhängiger verändericher Einwirkungen beschreibt. Bemessungswert (3..2.9): Produkt aus repräsentativem Wert der Einwirkung und dem Teisicherheitsbeiwert. Einwirkungskombination (3..2.7): Festegung der Bemessungswerte der geichzeitig auftretenden Einwirkungen, die für den betrachteten Nachweis entsprechend der Häufigkeit ihres Auftretens zu berücksichtigen sind. Beanspruchung (3..2.2): Foge der geichzeitig zu betrachtenden Einwirkungen bzw. einer Einwirkungskombination auf das Tragwerk oder seine Teie oder an einem betrachteten Ort (Querschnitt) des Tragwerks.

28 8 Grundwissen Festigkeit (3..3.): mechanische Baustoffeigenschaft Tragwiderstand (3..3.2): durch die verwendeten Baustoffe einschießich ihrer räumichen Anordnung und den Verbindungsmitten festgeegte mechanische Eigenschaft des Tragwerks, des Bauteis oder des Bauteiquerschnitts, bestimmten Beanspruchungen zu widerstehen, auch as Beanspruchbarkeit bezeichnet. Charakteristischer Wert ( ): durch die charakteristischen Werte der Baustofffestigkeiten und die Nennwerte der Querschnittsgrößen festgeegter Tragwiderstand. Bemessungswert ( ): für die Nachweise von Grenzzuständen der Tragfähigkeit zugrunde zu egender Wert des Tragwiderstandes. Grenzzustand der Tragfähigkeit ( ): Zustand des Tragwerks, dessen Überschreitung unmittebar zu einem rechnerischen Einsturz oder anderen Formen des Versagens führt; der Grenzzustand ergibt sich im Agemeinen aus dem keinsten rechnerischen Tragwiderstand. Grenzzustand der Gebrauchstaugichkeit ( ): Zustand des Tragwerks, bei dessen Überschreitung, die für die Nutzung festgeegten Bedingungen nicht mehr erfüt sind. Es wird dabei unterschieden zwischen einem umkehrbaren Grenzzustand [... ] und einem nicht umkehrbaren Grenzzustand [... ]. Teisicherheitsbeiwert (3..4.9): Beiwert zur Bestimmung des Bemessungwertes von Einwirkungen, von Beanspruchungen oder von Tragwiderständen aus den repräsentativen bzw. charakteristischen Werten. Bemessungsschritte Ein Tragwerk ist so zu bemessen, dass ein (Tei-)Versagen des Bauwerkes oder Beschädigungen an anderen Bauwerken verhindert werden. Das Bauwerk ist so zu gestaten, dass es innerhab der Nutzungsdauer keine Einschränkungen der Nutzung gibt. Auswah der Bemessungssituation Unterscheidung nach Tragfähigkeit und Gebrauchstaugichkeit Aufsteung des Tragwerks- und Lastmodes Nachweis, dass die Grenzzustände eingehaten werden, aso E d R d mit Einwirkung E und Widerstand R. Bemessungssituationen Für eine Bemessungssituation mit ständigen und vorübergehenden Beastungen, nicht aber außergewöhniche Beastungen oder Erdbeben, git für die Bemessungswerte der Einwirkungen: Ständige Einwirkung G d = γ G G k Vorherrschende veränderiche Einwirkung Q d = γ Q, Q k, Andere veränderiche Einwirkungen Q d,i = γ Q,i ψ,i Q k,i Zu den ständigen Einwirkungen zähen Eigenasten G k und Erddruck G k,e. Demgegenüber sind Nutz- und Verkehrsasten Q k,n, Schnee- und Eisasten Q k,s und Windasten Q k,w veränderiche Einwirkungen. Für einen Nachweis im Rahmen der Gebrauchstaugichkeit git für eine quasiständige Bemessungssituation: Ständige Einwirkung G d = G k, aso keine Abminderung Veränderiche Einwirkung Q d,i = ψ 2 Q k,i

29 .4 Lastannahmen 9 Kombinationsbeiwerte ψ i Die Beiwerte ψ variieren je nach Art der Last sowie Bemessungssituation. Hinweis: Bei häufigen Kombinationen wird die vorherrschende veränderiche Einwirkung nicht über ψ 2 sondern ψ bestimmt. Einige Kombinationsbeiwerte sind in Tabee.2 aufgeführt. Tabee.2. Kombinationsbeiwerte. Nutzung ψ ψ ψ 2 Wohn-, Aufenthats- und Büroräume,7,5,4 Verkehrsasten (Fahrzeuge bis 3 kn),7,7,6 Schneeasten bis. mnn,5,2 Schneeasten ab. mnn,7,5,3 Windasten,6,5 Charakteristische Werte Die charakteristischen Werte für Einwirkungen ergeben sich aus dem Mittewert der gemessenen Einwirkungen für ständige Einwirkungen einem oberen Wert der Einwirkung, der mit einer festgeegten Wahrscheinichkeit von 98 Prozent in einem Jahr oder nicht häufiger as einma in 5 Jahren überschritten wird. Bemessungswerte der Einwirkungen Die Einwirkungen werden durch Teisicherheitsbeiwerte modifiziert, wie später noch gezeigt wird. Zu unterscheiden sind ungünstige und günstige Einwirkungen. Ungünstig ist in diesem Fa eine Beastung Tragwerks und günstig eine Entastung des Tragwerks. Für Betrachtungen der Tragfähigkeit git im Wesentichen: ständige und geichzeitig ungünstige Einwirkungen: γ G =, 35 ständige und geichzeitig günstige Einwirkungen: γ G =, veränderiche und geichzeitig ungünstige Einwirkungen: γ Q =, 5 veränderiche und geichzeitig günstige Einwirkungen: γ Q = Die Geichung zur Berechnung der Bemessungseinwirkung autet Bemessungswerte der Widerstände E d = E k γ G/Q. Die Baustoffeigenschaft X hat den Bemessungswert X d = X k /γ M, wobei γ M der Teisicherheitsbeiwert ist und X k die charakteristische Baustoffeigenschaft. Die Ermittung der charakteristischen Festigkeiten ist im Anhang der DIN erkärt und ergibt sich aus einer statistischen Auswertung von Materiaprüfversuchen. Bei geometrischen Größen ist auf Toeranzen zu achten, denn sie sind in die Bemessung mit einzubeziehen.

30 2 Grundwissen.4.3 Tei : Wichten und Fächenasten von Baustoffen, Bauteien und Lagerstoffen Die Eigengewichtsasten ergeben sich aus Querschnittsabmessung und den Wichten. Für den Ingenieurbau sind unter anderem interessant Normabeton γ = 24 kn/m 3 Stahbeton γ = 25 kn/m 3 Mauerwerk (Rohdichtekasse,) γ = 2 kn/m 3 Gips-Wandbaupatten nach DIN EN 2859 und Gipskartonpatten nach DIN 88 je cm Pattendicke q =, 9 kn/m 2 Sandstein γ = 27 kn/m 3 Tuffstein γ = 2 kn/m 3 Gipsputz, Dicke 5 mm q =, 8 kn/m 2 Wärmedämmverbundsystem q =, 3 kn/m 2 Zementmörte, Dicke 2 mm q =, 42 kn/m 2 Stah γ = 78, 5 kn/m 3 Auminium γ = 27 kn/m 3 Nadehoz γ = 5, kn/m 3 Laubhoz D6 γ = 9, kn/m 3 Hozfaserpatten, HFM nach DIN γ = 7 kn/m 3 Hozfaserpatten, HFH nach DIN γ = kn/m 3 Asphatmastix, Schichtdicke mm q =, 8 kn/m 2 Gipsestrich, Schichtdicke mm q =, 2 kn/m 2 Gasscheiben, Dicke mm q =, 25 kn/m 2 Linoeum, Dicke mm q =, 3 kn/m 2 Dachsteine bis Stück je Quadratmeter q =, 5 kn/m 2 Webechdach q =, 25 kn/m 2 Faserzement-Wepatten je Lage q =, 2 kn/m 2 Bitumenbahn eingebaut je Lage q =, 7 kn/m 2 Kiesschüttung, Dicke 5 cm q =, kn/m Tei 3: Eigen- und Nutzasten für Hochbauten Nutzasten werden as Fächen- oder Einzeast angegeben. Die Einzeasten beziehen sich auf eine Aufstandsfäche von 5 cm 5 cm. Außer den im Fogenden exemparisch aufgeführten Lasten werden in der DIN auch Beastungen infoge Kfz- und Hubschrauberverkehr beschrieben. Wohn- und Aufenthatsbereiche q k =, 5 kn/m 2, Q k =n.n. kn Büro- und Arbeitsfächen, Fure q k = 2, kn/m 2, Q k = 2, kn Büro- und Arbeitsfächen, Fure bei schwerem Geräteeinsatz q k = 5, kn/m 2, Q k = 4, kn Versammungsräume q k = 3, kn/m 2, Q k = 4, kn Sport- und Spiefächen sowie Bühnen q k = 5, kn/m 2, Q k = 7, kn Wohn- und Aufenthatsbereiche q k =, kn/m 2, Q k =, kn Fabriken, Werkstätten und Orte für erhebiche Menschenansammungen q k = 7, 5 kn/m 2, Q k = kn Treppen ohne nennenswerten Pubikumsverkehr q k = 3, kn/m 2, Q k = 2, kn Treppen mit nennenswertem Pubikumsverkehr und Fuchtwegtreppen q k = 5, kn/m 2, Q k = 2, kn Bakone und Dachterrassen q k = 4, kn/m 2, Q k = 2, kn

31 .4 Lastannahmen Tei 4: Windasten Die Berücksichtigung der Windast ist gerade für die Bemessung von Dachkonstruktionen von Häusern wichtig. Darüber hinaus spiet die Bestimmung der Windast für größere auszusteifende Bauwerke, die eine große Windangriffsfäche bieten, eine Roe. Hier wird edigich die Berechnung der Windasten für nichtschwingungsanfäige Bauwerke beschrieben. Fachdach Putdach Sattedach Trogdach Wamdach Abb..9. Die unterschiedichen Dachformen. Der Winddruck wird über die Forme w e = c pe q(z e) für den Außenwinddruck bzw. mit dem Index i für den Innendruck bestimmt. Dabei ist c pe der aerodynamische Beiwert und q ist der Geschwindigkeitsdruck in Abhängigkeit der Bezugshöhe z e. Nach der DIN werden die Bauwerke in Bauwerke bis 25 m und Bauwerke über 25 m über Grund eingeteit. Für erstere geten für die Bestimmung des Böengeschwindigkeitsdrucks q vereinfachte Annahmen. Bei Bauwerken über der Höhengrenze von 25 m fießt die Rauhigkeit der Geändeoberfäche ein; es wird in Geändekategorie I (offenes Geände) bis Kategorie IV (Stadtgebiet) unterschieden. Die Formen für die Berechnung des von der Bezugshöhe abhängigen Geschwindigkeitsdrucks sind der DIN 55-4 zu entnehmen. Das Bundesgebiet ist darüber hinaus in die Windzonen bis 4 eingeteit. Mit dieser Einteiung ässt sich der Referenzgeschwindigkeitsdruck q ref aus einer Tabee ermitten. Für niedrigere Bauwerke (bis 25 m) wird der Geschwindigkeitsdruck aus einer Tabee abgeesen, in der die Gebäudehöhe in drei Bereiche (h m, m < h 8 m und 8 m < h 25 m) eingeteit wird. Der aerodynamische Beiwert ist grundsätzich abhängig von der Größe der Lasteinzugsfäche A. Zwischen m 2 < A m 2 ist die Geichung c pe = c pe, + (c pe, c pe,) g A zu verwenden. Die Werte für eine Lasteinzugsfäche keiner m 2 bzw. größer m 2 sind aus Tabeen der DIN zu entnehmen. Die entsprechende Tabee richtet sich für vertikae Wände nach der Gebäudegeometrie und für Dachfächen nach der Dachart (siehe Abbidung.9). Die Dachfächen werden in unterschiediche Bereiche eingeteit und bekommen entsprechende Beiwerte zugewiesen. Beispiehaft ist eine soche Einteiung für ein Sattedach in Abbidung.2 dargestet.