Heinz Holling & Günther Gediga. Statistik - Deskriptive Verfahren. Lösungen zu den Übungen

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1 Heinz Holling & Günther Gediga Statistik - Deskriptive Verfahren Lösungen zu den Übungen Version

2 Inhaltsverzeichnis 1 Lösung zu Übung 1; Kap Lösung zu Übung 2; Kap Lösung zu Übung 3; Kap Lösung zu Übung 4; Kap Lösung zu Übung 5; Kap Lösung zu Übung 6; Kap Lösung zu Übung 7; Kap Lösung zu Übung 8; Kap Lösung zu Übung 9; Kap Lösung zu Übung 10; Kap Lösung zu Übung 11 Kap Lösung zu Übung 12 Kap

3 1 Lösung zu Übung 1; Kap Jahreseinkommen: Die Messung kann über das Brutto- oder Nettogehalt in EURO oder durch Hochrechnen eines Monatsgehalts erfolgen. Es handelt sich hier um eine Messung auf Verhältnisskaleniveau (absoluter Nullpunkt vorhanden, Abstände interpretierbar). 2. soziale Schicht: Die Messung kann durch die Einteilung in drei Kategorien (Unter-, Mittel- und Oberschicht, in der Literatur oft anzutreffen) erfolgen oder auch durch die Erhebung der Ausprägungen verschiedener Merkmale wie Zugehörigkeit zu bestimmten Einkommenskategorien, Schulabschluss, Wohnsituation. Die Messung erfolgt hier auf dem Niveau einer Ordinalskala (Ausprägungen können geordnet werden, Abstände nicht interpretierbar). 3. Depressivität: Zur Messung kann hier ein Fragebogen eingesetzt werden. Dabei gibt die Person beispielsweise den Grad ihrer Zustimmung (etwa fünf Antwortkategorien von stimme überhaupt nicht zu bis stimme voll zu ) zu Aussagen wie Ich habe häufig traurige Gedanken., Ich habe Schwierigkeiten aufzustehen. oder Ich finde alles uninteressant. an. Ordnet man den Antwortmöglichkeiten die Zahlen 1 5 (entsprechend stärkerer Zustimmung) zu, so kann man die Zahlenwerte, die den Antworten entsprechen, über alle Aussagen im Fragebogen summieren. In der Regel geht man davon aus, dass hiermit eine Messung auf dem Niveau einer Intervallskala möglich ist, weil die Abstände zwischen den fünf Antwortkategorien als gleich groß angenommen werden. 4. Geschlecht: Das Geschlecht wird in die Kategorien männlich und weiblich eingeteilt. Es kommt also nur in zwei Ausprägungen vor. Den Kategorien können beliebige Zahlen (zum Beispiel männlich 0 und weiblich 1) zugeordnet werden. Diese zugeordneten Zahlen müssen eindeutig für nur eine der beiden Kategorien stehen und sind selbst nicht interpretierbar. Die Messung erfolgt also auf dem Niveau einer Nominalskala. 5. Temperatur: Zur Messung wird in der Regel ein Thermometer eingesetzt. Es gibt keinen natürlichen Nullpunkt. Die Temperatur kann beispielsweise in Fahrenheit und in Celsius angegeben werden. Wasser friert bei 32 F bzw. 0 C. Die Aussage, 20 C seien doppelt so viel wie 10 C, ist nicht sinnvoll. Die Messung erfolgt damit auf dem Niveau der Intervallskala und nicht auf dem Niveau einer Verhältniskala. Es ist kein absoluter Nullpunkt vorhanden; Vergleiche von Differenzen zwischen Temperaturen sind jedoch sinnvoll). 6. Schulnoten: Bei den Schulnoten können die Kategorien 1 6 in eine hierarchische Ordnung gebracht werden. Das bedeutet für das deutsche Schulsystem, 1 ist die beste Leistung und 6 die schlechteste. Schulnoten haben also mindestens Ordinalskalenniveau. Strittig ist jedoch, ob die Abstände zwischen den Noten interpretierbar sind. Der Abstand zwischen den Noten 1 und 2 müsste dann beispielsweise den gleichen Leistungsunterschied abbilden wie der Abstand zwischen den Noten 4 und 5. Würde man davon ausgehen, dass die Abstände gleich gross sind, könnte die Messung auch auf dem Niveau einer Intervallskala erfolgen. 7. Bindungstypen: Die Messung der Bindungstypen erfolgt über die Methode der Beobachtung. Ainsworth und Mitarbeiter entwickelten ein Laborverfahren, mit dem es möglich war, das Verhalten von Kindern, die von der Mutter getrennt eine Zeit lang mit einer fremden Person alleine gelassen wurden, systematisch zu beobachten. Anhand des Verhaltens der Kinder, welches beim Weggehen und der 3

4 Rückkehr der Mutter beobachtet wurde, wurde der Bindungstyp bestimmt. Die drei Bindungstypen können als Kategorien aufgefasst werden, denen die Babys eindeutig zugeordnet werden. Die Kategorien sind nicht geordnet und die Messung erfolgt damit auf Nominalskalenniveau. 4

5 2 Lösung zu Übung 2; Kap Balkendiagramm: 2. Stamm-Blatt Diagramm: Einheiten: Stamm:10, Blätter: Aufgrund der geringen Datenmenge in dieser Aufgabe sind das Balkendiagramm und das Stamm- Blatt-Diagramm gleich informativ, da die einzelnen Ausprägungen und die Anzahl der Ausprägungen aus beiden Diagrammformen direkt abgelesen werden können. Das Balkendiagramm hat gegenüber dem Stamm-Blatt-Diagramm in diesem Fall jedoch den Vorteil, dass die Verteilung der IQ-Werte besser abgelesen werden kann. 5

6 3. Empirische Verteilungsfunktion: 6

7 3 Lösung zu Übung 3; Kap Zunächst wird der Mittelwert ȳ der Beobachtungen bestimmt. Die Summe aller Beobachtungen hat den Wert 11 i=1 y i = 74, woraus sich der Mittelwert ȳ = 74/11 = ergibt. Die Varianz wird mit der angegebenen rechentechnisch günstigen Formel s 2 Y = 1 ( n n 1 i=1 y2 i nȳ2) unter Verwendung der folgenden Tabelle berechnet: i y i yi Die Summe n i=1 y2 i = 596 der quadrierten Beobachtungen finden wir in der letzten Zeile und dritten Spalte der Tabelle. Der Mittelwert von ȳ = wurde bereits berechnet. Beide Werte werden nun in die oben angegebene Formel eingesetzt. Wir erhalten somit für die Varianz das Ergebnis s 2 Y = 1 10 ( ) = 1 10 ( ) = 98.18/10 = Die Standardabweichung ist s Y = 9.82 = 3.13, d. h. die Wurzel aus der Varianz. Der Index Y am Symbol s 2 für die Varianz bzw. s für die Standardabweichung dient hier nur dazu, um zu verdeutlichen, dass die ursprüngliche (nicht transformierte) Variable Y betrachtet wird. Bei der Berechnung des Mittelwertes wurden mehr Nachkommastellen verwendet, damit das Ergebnis für die Varianz und die Standardabweichung hinreichend genau wird. 2. Jede der ursprünglichen Beobachtungen y i kann in eine Beobachtung y i auf der Selbsteinschätzungsskala, welche von 0 bis 100 reicht, umgerechnet werden, indem man die in der Aufgabenstellung angegebene Formel y i = 5y i + 50 verwendet. Bei dieser Formel handelt es sich um eine lineare Transformation der Form y i = by i + a (hier ist b = 5 und a = 50). Man könnte nun tatsächlich jede einzelne der ursprünglichen Beobachtungen transformieren und dann erneut den Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung für die transformierte Variable Y auf die gleiche Weise wie in Teilaufgabe 1) ausrechnen. Dies ist aber nicht erforderlich, da wir wissen, wie sich der Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung bei linearen Transformationen verändern. Konkret bedeutet das, dass der Mittelwert ȳ der transformierten Beobachtungen ausgerechnet werden kann, indem man die lineare Transformation auf den Mittelwert ȳ = der nicht transformierten Beobachtungen anwendet. Als Ergebnis erhalten wir dann ȳ = 5ȳ + 50 = = Die Varianz s 2 Y der transformierten Beobachtungen kann aus der Varianz s 2 Y der ursprünglichen Beobachtungen berechnet werden, indem man s 2 Y mit dem Quadrat der Steigung b der linearen 7

8 Transformation, also b 2 = 5 2 = 25, multipliziert. Es ergibt sich somit der Wert s 2 Y = = Die Standardabweichung von Y ergibt sich aus der Standardabweichung von Y durch Multiplikation mit der Steigung b = 5, d. h. s Y = bs Y = = Bemerkungen: Eigentlich müsste das Quadrat der Standardabweichung s Y exakt mit der Varianz s 2 Y der transformierten Beobachtungen übereinstimmen. Das ist hier nicht der Fall und liegt daran, dass wir s 2 Y und s Y in Teilaufgabe 1) nur auf zwei Nachkommastellen genau bestimmt hatten, also Rundungsfehler vorliegen, die aber vernachlässigbar klein sind. Beachten Sie, dass die Steigung b bei der Berechnung von s 2 Y quadriert wird, wogegen b bei der Berechnung der Standardabweichung s Y nicht quadriert wird. Weiterhin gilt s Y = bs Y nur dann, wenn die Steigung b positiv ist. Bei einer negativen Steigung b ist die Formel s Y = b s Y zu verwenden. Der Betrag einer negativen Zahl ist die Zahl ohne das Vorzeichen, z. B. 3 = 3. Die Spannweite und die Varianz sind anfällig gegenüber Ausreißern, während der Interquartilabstand gegenüber Ausreißern robust ist. Ausreißer beeinflussen das Minimum und/oder das Maximum der Beobachtungen in einem Datensatz und wirken sich somit unmittelbar auf die Spannweite aus. In die Berechnung der Varianz gehen alle Beobachtungen ein. Sehr große oder sehr kleine Beobachtungen, d. h. Ausreißer, liegen weiter vom Mittelwert entfernt als die typischen Beobachtungen in einem Datensatz. Bei der Berechnung der Varianz werden diese großen Abweichungen quadriert. Ihr Einfluss auf die Varianz wird dadurch noch verstärkt. Die Berechnung des Interquartilabstands basiert auf dem unteren und dem oberen Quartil. Das untere Quartil teilt den Datensatz im Verhältnis 1 zu 3 in Beobachtungen ein, die höchstens so groß bzw. mindestens so groß wie das Quartil sind. Ausreißer mit kleinen Werten werden bei der Bestimmung des unteren Quartils als Werte gezählt, die zu den 25% der kleinsten Beobachtungen im Datensatz gehören. Wie klein ein Ausreißer ist, spielt für die Berechnung des unteren Quartils bei größeren Datensätzen keine Rolle. Entsprechend erkennt man, dass auch das obere Quartil nicht von Ausreißern beeinflusst wird. Lediglich bei relativ kleinen Datensätzen können Ausreißer einen Einfluss auf die Quartile und damit auf den Interquartilabstand ausüben. 8

9 4 Lösung zu Übung 4; Kap. 7 Die transformierten Werte sind in der folgenden Tabelle dargestellt (Messwerte, die in der Stichprobe mehrfach auftauchen, sind hier nur einmal aufgeführt): y i z i Z i T i Zur Berechnung der Formel ist wie folgt vorzugehen: Zunächst ist die Formel T = z nach z aufzulösen. Das Ergebnis kann nun in die Formel Z = z eingesetzt werden. Es ergibt sich: (T 50) Z = Nach Vereinfachung erhält man die gewünschte Formel: Z = 50 + T 9

10 5 Lösung zu Übung 5; Kap Der Mittelwert der Beobachtungen ist ȳ = 1422/15 = Der Modalwert y mod ist die Beobachtung, welche am häufigsten im Datensatz vorkommt. Im vorliegenden Fall tritt der Wert 97 dreimal auf, während alle anderen Werte seltener vorkommen. Also ist y mod = 97. Der Median y med wird mit Hilfe der Regel zur Bestimmung von Quantilen berechnet, da der Median ja das 0.5-Quantil ist. Im ersten Schritt werden die Beobachtungen der Größe nach angeordnet, was folgende Liste liefert: 79, 81, 82, 88, 91, 91, 95, 96, 97, 97, 97, 98, 100, 114, 116. Im zweiten Schritt zur Bestimmung des p-quantils wird das Produkt np aus dem Stichprobenumfang n und p berechnet. Hier ist n = 15 und speziell beim Median p = 0.5, d. h. np = 7.5. Da np keine ganze Zahl ist, wird der Wert zu 8 aufgerundet. Der Median ist dann der (von links gezählt) achte Werte in der Liste der geordneten Beobachtungen, also y med = Der Mittelwert ist kleiner als der Median und der Median wiederum kleiner als der Modalwert, d. h. ȳ < y med < y mod. Aufgrund der Lageregeln kann die Verteilung der Beobachtungen als (tendenziell) rechtssteil (linksschief) bezeichnet werden. 3. Zunächst wird die Fünf-Punkte-Zusammenfassung bestimmt. Danach wird geprüft, ob Ausreißer oder Extremwerte vorliegen. Beim Vorhandensein von Ausreißern oder Extremwerten wird ein modifizierter Box-Plot erstellt, andernfalls ein nicht modifizierter Box-Plot. Aus der Liste der geordneten Beobachtungen in Teilaufgabe 1) kann direkt das Minimum y min = 79 und das Maximum y max = 116 der Beobachtungen abgelesen werden. Der Median y med = 96 wurde in Aufgabenteil 1) bestimmt. Es fehlen also noch die beiden Quartile. Für das untere Quartil y 0.25 ist np = = 3.75 keine ganze Zahl. Der Wert wird daher zu 4 aufgerundet. Das untere Quartil ist dann an der vierten Position in der Liste der geordneten Beobachtungen zu finden. Also gilt y 0.25 = 88. Entsprechend ergibt sich als oberes Quartil y 0.75 = 98. Es ist nun zu überlegen, ob Ausreißer und/oder Extremwerte vorliegen. Ob eine Beobachtung ein Ausreißer oder Extremwert ist, hängt davon ab, ob sie sehr weit vom unteren oder oberen Quartil entfernt ist. Beobachtungen, die mindestens um das Anderthalbfache aber höchstens das Dreifache des Interquartilabstands d Q kleiner als das untere Quartil sind bzw. die mindestens um das Anderthalbfache aber höchstens das Dreifache von d Q größer als das obere Quartil sind, werden im modifizierten Box-Plot separat als Ausreißer eingezeichnet. Als Symbol verwenden wir beim Zeichnen einen Punkt. Beobachtungen, die noch weiter von den Quartilen entfernt liegen, werden ebenfalls separat im modifizierten Box-Plot als Extremwerte eingezeichnet. Um zu entscheiden, ob eine Beobachtung ein Extremwert ist, hat man festgelegt, dass die Extremwerte mehr als das Dreifache des Interquartilabstands vom unteren bzw. oberen Quartil entfernt sein müssen. Als Symbol für die Extremwerte verwenden wir einen Stern. Für den vorliegenden Datensatz ist der Interquartilabstand d Q = y 0.75 y 0.25 = = 10. Es gibt genau zwei Beobachtungen, die das Kriterium für Ausreißer erfüllen, nämlich die Werte 114 und 116, da diese größer als y d Q = 113 sind. Extremwerte kommen nicht vor. Insgesamt ergibt sich der folgende Box-Plot. 10

11 4. Der Box-Plot kann wie folgt interpretiert werden: Der Median der Testergebnisse in der Stichprobe liegt beim Wert 96. Ausgehend von den Quartilen kann man erkennen, dass circa 50% der Schüler ein Ergebnis zwischen den Werten 88 und 98 erreicht haben. Machen Sie sich dazu klar, dass mindestens 25% der Beobachtungen höchstens so groß sind wie das untere Quartil und mindestens 25% der Beobachtungen mindestens so groß sind wie das obere Quartil. Für den Rest zwischen den beiden Quartilen bleiben also ungefähr 50% der Beobachtungen übrig. Das niedrigste Testergebnis liegt beim Wert 79. Weiterhin liegen zwei Ausreißer mit hohen Testergebnissen vor. Bei der Datenanalyse würde man häufig zunächst prüfen, ob die Ausreißer eventuell durch Eingabefehler (z.b. Tippen einer 114 statt einer 111) zustande gekommen sind. Können Eingabefehler ausgeschlossen werden, würde man je nach Fragestellung eventuell untersuchen, ob die Schüler mit den hohen Testergebnissen vielleicht aus einer anderen Klassenstufe kommen etc. Die Verteilung der Daten erscheint rechtssteil. Das erkennt man daran, dass der Median sehr nahe beim oberen Quartil liegt. Die Begründung dafür, dass ein nahe beim oberen Quartil liegender Median auf eine rechtssteile Verteilung hindeutet lautet wie folgt: In dem kleinen Bereich zwischen dem Median und dem oberen Quartil liegen ca. 25% der Daten, ebenso wie in dem größeren Bereich zwischen Median und unterem Quartil. In einem Histogramm würde sich dieser Sachverhalt so zeigen, dass die Säulen über den Klassen im Bereich zwischen dem Median und dem oberen Quartil tendenziell höher sind als über den Klassen im Bereich zwischen Median und unterem Quartil. Da dieser Bereich größer als der Bereich zwischen dem Median und dem oberen Quartil ist, entsteht folglich der optische Eindruck einer rechtssteilen und linksschiefen Verteilung. Man gelangt also sowohl bei der Verwendung der Lageregel in Teilaufgabe 2) als auch der Verwendung des Box-Plots zur gleichen Beurteilung der Schiefe der Verteilung. 11

12 6 Lösung zu Übung 6; Kap Um die Kovarianz einer Variablen X mit einer anderen zu berechnen, kann man sich der folgenden rechentechnisch günstigen Variante bedienen: s xy = 1 n 1 n x i y i n xȳ. Nun ist die Kovarianz von X mit sich selbst von Interesse, y wird daher durch x ersetzt, d.h. s xx = 1 n 1 i=1 n x 2 i n x 2. Das ist wiederum die rechentechnisch günstige Variante der Varianz einer Variablen. Man kann das auch ausgehend von der Definitionsformel der Kovarianz sehen: s xx = 1 n 1 n i=1 i=1 (x i x) (x i x) = 1 n 1 n (x i x) 2 = s 2 x. Es fällt also auf, dass die Kovarianz einer Variablen mit sich selbst gleich der Varianz der Variablen ist. Wir berechnen also nun die Varianz unter Verwendung der rechentechnisch günstigen Formel: i=1 s 2 x =.10 ( ) = Unter Verwendung der rechentechnisch günstigen Formel für die Kovarianz, ergibt sich mit n i=1 x iy i = 381, x = und ȳ = folgende Rechnung. s xy = 1 n 1 n x i y i n xȳ i=1 s xy =.10 (381 ( )) = Die Korrelation ist r xy = sxy s xs y, so dass nur noch die Standardabweichungen der Variablen benötigt werden. Diese ergeben sich als s x = 5.54 und s y = 3.12, so dass r xy = =.945. Dasselbe Ergebnisse hätte sich natürlich auch bei Anwendung der rechentechnisch günstigen Formel für die Korrelation ergeben, wenn man berücksichtigt, dass n i=1 y2 i = 596: r = =

13 7 Lösung zu Übung 7; Kap Da die Beobachtungen in der Aufgabenstellung schon als Ränge vorliegen, kann der Rangkorrelationskoeffizient r s berechnet werden, indem man die Formel zu Berechnung der normalen Korrelation r auf die Daten anwendet. Da keine Bindungen vorliegen, kann hier auch die vereinfachte Formel angewendet werden: r s = 1 6 n i=1 d2 i (n 2 1)n = =.794. Man würde die Übereinstimmung zwischen den beiden Richtern hier als zufrieden stellend bewerten. 2. Da die Beurteilung des Schweregrads der Verbrechen mittels einer Rangreihe eine auf dem Niveau einer Ordinalskala gemessene Variable darstellt, kommen zur Beurteilung der Übereinstimmung der beiden Richter noch alle weiteren Assoziationsmaße für ordinale Variablen in Betracht. Zusätzlich zur Rangkorrelation wurden die Koeffizienten γ (Gamma) und Kendalls τ b (Tau-b) behandelt. Diese beiden Koeffizienten basieren auf dem Konzept der konkordanten und diskordanten Paare, wobei bei τ b zusätzlich noch die so genannten Bindungen berücksichtigt werden. Zur Bestimmung der Anzahl C der konkordanten Paare, der Anzahl D der diskordanten Paare, der Anzahl T x der Paare mit Bindungen in X (Richter 1) und der Anzahl T y der Paare mit Bindungen in Y (Richter 2) sind insgesamt 10 9/2 = 45 verschiedene Paare von Zeilen in der Tabelle zu betrachten. Es ergeben sich die folgenden Zahlen: C = 36, D = 9, T x = 0, T y = 0 und T xy = 0. Aus diesen Anzahlen berechnet man γ = C D C + D = =.6 und τ b = C D C + D + Tx C + D + Ty = = Die Koeffizienten γ und τ b stimmen überein. Das liegt daran, dass die Rangreihen der Richter keine Bindungen enthalten. Die Koeffizienten γ und τ b sind kleiner als der Rangkorrelationskoeffizient r s. Dieser Unterschied muss nicht verwundern, wenn man sich klar macht, dass die Koeffizienten verschiedene Aspekte des Zusammenhangs erfassen. 13

14 8 Lösung zu Übung 8; Kap Zur Berechnung der Zusammenhangsmaße ist zunächst die Berechnung des χ 2 -Wertes erforderlich: Größe des Unternehmens Fragebogen Fragebogen nicht Gesamt ausgefüllt ausgefüllt klein mittel groß Gesamt Mit und ñ ij = n i n j n und daraus ergibt sich der Wert: χ 2 = χ 2 = k i=1 j= ( ) = 4.87 V = ( ) m (n ij ñ ij ) 2 ñ ij ( ) χ 2 n min(k 1, m 1) = ( ) ( ) ( ) = Cramers V beträgt.16 und deutet somit auf einen eher geringen Zusammenhang zwischen Unternehmensgröße und Ausfüllen des Fragebogens hin. Zur Berechnung von K muss zunächst K bestimmt werden: K = χ 2 χ 2 + n = =.024 =.15 Der Korrigierte Kontingenzkoeffizient K beträgt dann mit K max = 1/2 =.71: K = K/K max =.15/.71 =.21 K beträgt.21. Es fällt auf, dass sich die Ergebnisse für die beiden Zusammenhangsmaße unterscheiden. Dies verwundert nicht, da auch die Berechnungsvorschriften verschieden sind. Cramers V ist bei 3 2-Tabellen generell gegenüber K vorzuziehen, weil nur V auch hier den maximalen Fall von Eins annehmen kann. 3. Als geeignetes PRE-Maß ist hier λ heranzuziehen. Dazu benötigt man die Werte für Fehler 1 und Fehler 2 : Fehler 1 = n max n j = = 98. j 14

15 Fehler 2 = k i=1 (n i max n ij ) = (61 36) + (70 38) + (69 41) = 85. i λ = Fehler 1 Fehler = =.13. Fehler 1 98 Durch Kenntnis der Unternehmensgröße kann die Vorhersage, ob ein Fragebogen ausgefüllt wurde oder nicht, um 13 Prozent verbessert werden im Vergleich zur Vorhersage ohne Kenntnis der Unternehmensgröße. 15

16 9 Lösung zu Übung 9; Kap. 8 Als Maß der Beurteilerübereinstimmung empfiehlt sich Cohens κ. Zur Berechnung werden die Werte auf der Hauptdiagonalen der Indifferenztabelle benötigt. Diese betragen: n 11 : = 14, n 22 : = 12.25, n 33 : = 7.5 Im Anschluss können P a und P c berechnet werden: P a = ( )/100 =.49 P c = ( )/100 =.3375 Daraus folgt: κ = P a P c = = P c =.23 16

17 10 Lösung zu Übung 10; Kap. 9 Bei der Regression von Gewicht auf Körpergröße ergaben sich im SPSS-Output folgende fehlende Werte: 1. SEE: = Der Standardfehler des Schätzers wird durch die Wurzel des Mittels der Quadrate der Residuen SSE = MS E berechnet. Für den vorliegenden Fall schwanken die Gewichtswerte mit einer Standardabweichung von 6.70 kg um die durch die Regressionsgleichung vorhergesagten Werte. 2. SS R : SS T - SS E = = Dies ist die Summe der erklärten Abweichungsquadrate. 3. R 2 : SS R /SS T = / = Prozent der Gesamtvariation des Gewichtes wird durch die Körpergröße erklärt. 4. R:+.789 =.888, r=+.888 In diesem Beispiel korrelieren Gewicht und Körpergröße mit r=

18 11 Lösung zu Übung 11 Kap die Mittelwerte betragen X 1 = 4, X2 = 0.5, Ȳ = die Varianzen betragen s 2 X 1 = 7.429, s 2 X 2 = 0.268, s 2 Y = die Korrelationen betragen r(x 1, X 2 ) = 0, r(x 1, Y ) = 0.260, r(x 2, Y ) = der Determinationskoeffizient R 2 der Regressionsgeraden Ŷ = a + b 1 X 1 ist der Determinationskoeffizient R 2 der Regressionsgeraden Ŷ = a + b 1 X 1 + b 2 X 2 ist

19 12 Lösung zu Übung 12 Kap Berechnen Sie die Regressionsgerade mit GS als Prädiktor und SQ als abhängiger Variablen. b = a = Wie hoch ist der Determinationskoeffizient der Regressionsanalyse aus Teil 1? R 2 = Berechnen Sie den F -Wert für die Regressionsanalysen aus Teil 1. F = /( ) * 694 = Zu klären ist, ob es über den Zusammenhang zwischen GS und der Schulqualität hinaus noch einen zusätzlichen Einfluss von M Q (also der Managementqualität) gibt. Bestimmen Sie hierfür den inkrementellen Determinationskoeffizienten und den inkrementellen F-Wert für MQ gegeben GS. r SQ(MQ GS) = r 2 SQ(MQ GS) = 0,2756 F = 0,2756 / ( (1-0,2756-0,0155) / 693 ) = 269,4 19