1. Polyadische Zahlensysteme:

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1 Wie funktioniert ein Rechner? 1. Polyadische Zahlensysteme: Stellenwertsystem zur Darstellung von natürlichen Zahlen. Basis B Stellenwert b Index i = Stelle B N, B 2 N 0 B 1 b, ( ) i b i Ein nicht polyadisches Zahlensystem ist die Zeitskala. Zuerst betrachten wir das... Dezimalsystem: Wird auch Zehnersystem oder dekadisches Zahlensystem genannt. Die Zahlen werden gebildet aus der Potenzzahl 10. Also ist die Basis 10. Hier gibt es nur die Zahlen 0 bis 9. Also den Zeichenvorrat {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Dualsystem: (lat. Dualis = zwei enthaltend) Wird auch Binärsystem, Zweiersystem oder Dyadik genannt. Leibniz erfand am Anfang des 18. Jahrhunderts die Dyadik, wusste jedoch nicht, wo er sie benutzen konnte. Er empfand aber das Dualsystem als etwas göttliches. Die Zahl 710 kann im Dualsystem als 1112 aufgeschrieben werden und darin sah er die heilige Dreifaltigkeit, da die Erde auch am 7. Tage von Gott fertiggestellt wurde. George Stibitz baute 1937 einen Rechner, der Dualzahlen addieren konnte. Konrad Zuse verwendete 1941 zum ersten Mal einen Binärrechner. Die Zahlen werden gebildet aus der Potenzzahl 2. Also ist die Basis 2. Hier gibt es nur die Zahlen 0 und 1. Also den Zeichenvorrat {0, 1}. Es gilt die Formel: Z = m z i i= 0 * 2 i Die höchstwertige Stelle mit dem Wert z m steht ganz links und die niederwertigste Stelle mit dem Wert z 0 steht ganz rechts.

2 Bei elektronischen Maschinen werden die Ziffern durch eine Folge von Spannungspegeln angegeben. Das kann man am Besten mit 2 Zuständen unterschieden, anstatt wie beim Dezimalsystem mit 10 verschiedenen Zuständen. Die Zustände werden 0 (=Aus) und 1 (=Ein) oder H (=High) und L (=Low) genannt. Die kleinste Einheit einer binären Zahl ist das Bit (= Binary Digit). Eine Binärzahl mit 8 Stellen hat 8 Bit und wird als Byte bezeichnet. Dadurch können wir die Zahlen von 0 bis 255 darstellen. Also können wir mit k-stelligen Binärzahlen 2 k Dezimalzahlen darstellen. Damit wir die Dualzahl von der Dezimalzahl unterscheiden können, schreiben wir nach der Dualzahl eine tiefgestellte 2 und bei der Dezimalzahl eine tiefgestellte 10. Manchmal wird bei Binärzahlen auch ein B nach der Zahl geschrieben. Mit diesem System arbeiten die meisten Rechner, weil es bei elektronischen Geräten einfacher ist nur zwei Zustände zu unterscheiden: 1 (=Ein) und 0 (=Aus) Umrechnungen: Dezimalsystem Dualsystem: Diese Umrechnung geht am einfachsten mit der Restdivision. (Modulo- Operation) Man dividiert eine beliebige Zahl durch 2 und der Rest ergibt entweder 0 oder 1. Beispiel: 23 : 2 = 11 Rest 1 11 : 2 = 5 Rest 1 5 : 2 = 2 Rest 1 2 : 2 = 1 Rest 0 1 : 2 = 0 Rest 1 Daraus resultiert die Binärzahl für die Dezimalzahl 23.

3 Dualsystem Dezimalsystem: Wir betrachten den Stellenwert im Binärsystem als Potenz der Zahl 2. Beispiel: Wir haben die Binärzahl Das bedeutet: Ergibt also die Dezimalzahl Aufbau Wir sind gewohnt mit den Ziffern von 0 bis 9 zu arbeiten. Ein Rechner arbeitet jedoch aus elektrischen Gründen nur mit 2 Werten Ein und Aus bzw. 0 und 1. Also wird jede eingegebene Dezimalzahl ins Binäre Zahlensystem mittels eines Coder - Bauelement umgewandelt. Nach einer Berechnung wird das Ergebnis wieder mittels eines Decoder Bauelements von der Binärzahl in eine Dezimalzahl umgewandelt. So erscheint das Ergebnis dann am Display. Das Display besteht meist aus einer Siebensegmentanzeige. 7 Balken können die Zahlen 0 bis 9 darstellen. Die Segmente werden durch Flüssig- Kristallanzeigen (LCD = liquid crystal display) gebildet. Die Ausrichtung von Flüssigkeitskristallen wird dabei gesteuert durch die elektrische Spannung in jedem Element. Dies wird dem Display wieder mit dem Binärenzahlencode angegeben. Der Taktgenerator ist für die zeitliche Reihenfolge verantwortlich. Der Speicher speichert Zwischenergebnisse, eingegebene Zahlen und das Endergebnis. Das Rechenwerk führt die gewünschte Berechnung aus.

4 In der Zentraleinheit des Rechners (CPU) passieren die ganzen Schritte. Ein Steuerwerk 1 gibt die Eingabedaten in den Arbeitsspeicher. Ein Steuerwerk 2 gibt die Daten in ein Rechenwerk, damit sie dort die Ausführung der nötigen Operation stattfindet. Das Steuerwerk 3 gibt das Ergebnis an den Bildschirm oder wieder an den Arbeitsspeicher weiter. Auch Zwischenergebnisse landen im Arbeitsspeicher. Beispiel: 25 * 24 Zuerst wird die Zahl 25 eingegeben und gleich codiert. Danach wird sie dem Arbeitsspeicher eingeschrieben und erscheint am Display. Nun wählen wir die Funktion *. Die gespeicherte Zahl im Arbeitsspeicher wird auf einen anderen Speicherplatz geschrieben und das Programm (Multiplikation) wird aufgerufen. Dann tippt man die Zahl 24 ein, welche wieder codiert wird und auf dem Display erscheint. Beim Drücken der = Taste wird die Operation ausgeführt. Nun wird die Zahl mal addiert. Das Ergebnis wird wieder decodiert und erscheint als Ergebnis 600 am Display. Dieser Vorgang läuft sehr schnell ab. In dem Bruchteil einer Sekunde werden Tausende Additionen durchgeführt. Das Prinzip ist immer das gleiche: Eingabe Verarbeitung Ausgabe All diese wichtigen Funktionsblöcke eines Taschenrechners sind auf einem Chip einer Größe von 10 mm² zusammengefasst. Ein Rechner kann nur addieren und subtrahieren. Die anderen Rechenoperationen müssen auf die vorhandenen Operationen, Addition und Subtraktion, zurückgreifen.

5 Halbaddierer: Ein Halbaddierer ( half adder ) ist ein Schaltnetz mit 2 Eingängen und 2 Ausgängen. Man kann damit 2 einstellige Binärzahlen addieren. Der eine Ausgang s (sum Summe) liefert das rechte Ergebnis und der Ausgang c (carry Übertrag) die linke Stelle des Ergebnisses. Wahrheitstabelle: x y Übertrag c Summe s Volladdierer: Ein Volladdierer ist ein Schaltnetz, mit 3 Eingängen und 2 Ausgängen. Man kann damit 3 einstellige Binärzahlen addieren. Ein Volladdierer besteht aus 2 Halbaddierern. Der Ausgang s (sum Summe) liefert die niederwertige Stelle des Ergebnisses und der Ausgang cout (carry Übertrag) die höherwertige Stelle des Ergebnisses. Die Eingänge werden mit x, y und cin bezeichnet. cin ist auch für den Übergang zuständig. Wahrheitstabelle: x y cin cout s

6 Bit-Volladdierer: Man kann 2 dreistellige Binärzahlen miteinander addieren.

7 Der Rechner besteht aus: 13 Relais 10 LEDS 6 Schiebeschalter 1 Stecker 10 Widerstände (Damit uns die LEDS nicht zerreißen) 6 Dioden (Damit der Strom nur in eine Richtung fließt) 1 Leiterplatte

8 3. Funktionen: Addition: Wertetabelle: (Übertrag 1) Wir addieren wie bei der normalen Addition im Dezimalsystem. Subtraktion: Wertetabelle: (Übertrag 1) Wir subtrahieren wie bei der normalen Subtraktion im Dezimalsystem. Andere Möglichkeit: Wir führen die Subtraktion mit Hilfe der Zweierkomplementdarstellung durch. Dies hat den Vorteil, dass sie auf die Addition rückgeführt werden kann. Das Kennzeichen der Zweierkomplementdarstellung ist, dass das höchstwertige Bit das Vorzeichen darstellt (1 = Negativ). Die Zweierkomplementdarstellung erreicht man so: 1. Bildung des 1. Komplementes 2. Addition von 1 3. Das Ergebnis ist das 2. Komplement der Ausgangszahl. = negative Zahl der Ausgangszahl Zum Beispiel: So können wir auch in den negativen Zahlenbereich rechnen.

9 4. Arten Ein Taschenrechner ist eine tragbare, handliche Rechenmaschine, die aus elektronischen Schaltkreisen und einem LC-Display besteht und mit Strom aus einer Batterie und/oder einer Solarzelle versorgt wird. Jedoch kann man nach verschiedenen Kriterien die Taschenrechner voneinander unterscheiden. a.) Unterscheidung aufgrund der Eingabelogik Sequentielle Eingabe: Die Reihenfolge in der die Eingabe erfolgt, wird ausgerechnet. Es wird keine Rücksicht auf die Assoziativität genommen. Algebraische Notation: Hierbei wird die Rangfolge berücksichtigt. Auf die Assoziativität wird geachtet. Algebraische Notation mit Klammern: Eine Klammer - Taste ermöglicht eine freiere Eingabe von Rechnungen. o herkömmliche algebraische Notation: Bei einstelligen Operanden muss man das Argument vor der Funktion eingeben. o direkte algebraische Logik: Hier wird die Funktion eingegeben, wie man sie schreibt. Bei der Verwendung von Rechnern beider Unterarten der Algebraischen Notation mit Klammern in einem Klassenzimmern, kann bei einer Ansage des Lehrer, unterschiedliche Ergebnisse auftreten.

10 Umgekehrte Polnische Notation: Der Operator wird nach dem Operanden eingegeben. Um die Operanden zu trennen, wird die Enter - Taste benutzt. Diese Rechner besitzen meist keine = Taste. zweidimensionale Eingabe-Editor: Die Eingabe und die Ausgabe erfolgt, so wie man es schreibt. b.)unterscheidung aufgrund verfügbarer Funktionen: Einfach oder 4-Funktionen Rechner: Grundrechnungsarten, Prozentrechnung Finanz oder Wirtschaftsrechner Zinsrechnung Boolesche Rechnungen Rechnen mit Dual-, Oktal- und Hexadezimalzahlen Wissenschaftlicher Rechner: Winkelfunktionen, Logarithmus Programmierbarer Taschenrechner: Grafikfähiger Taschenrechner: Funktions- und Kurvendarstellung Computeralgebra-Rechner: Grafikfähiger Taschenrechner mit eingebautem Computeralgebrakern Die meisten aktuellen Taschenrechnermodelle enthalten mehrer der oben genannten Funktionen.

11 5. Quellen: Wikipedia: o Volladdierer o Halbaddierer o Dualsystem o Taschenrechner