Divisorfunktionen, Modulformen und modulare Integrale

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1 Titelseite Divisorfunktionen, Modulformen und modulare Integrale Tobias Mühlenbruch Lehrgebiet Stochastik FernUniversität in Hagen 19. Oktober 2015

2 Vortragszusammenfassung in Bildern Adolf Hurwitz 26. März 1859 in Hildesheim 18. November 1919 in Zürich Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 16. April 1823 in Berlin 11. Oktober 1852 in Berlin Martin Maximilian Emil Eichler 29. März 1912 in Pinnow 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel Divisorfunktionen Modulformen Modulare Integrale

3 Elementare zahlentheoretische Funktionen N = {1, 2, 3, 4,...} Menge der natürlichen Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Menge der ganzen Zahlen Elementare zahlentheoretische Funktionen Eine elementare zahlentheoretische Funktion ist eine Funktion von den natürlichen Zahlen N in die ganzen Zahlen Z. Beispiele: 1 gerade(n) = { 1 n ist gerade 0 sonst testet ob n gerade ist. 2 σ 0 (n): Anzahl der Teiler einer Zahl n N. σ 0(p) = 2 für jede Primzahl p σ 0(p) = {1, p}

4 Was ist eine Divisorfunktion Divisorfunktion σ k Sei k Z 0. Die Divisorfunktion σ k ist definiert durch σ k (n) := d n d k für alle n N. Beispiele: 1 σ 0 (n) ist die Anzahl aller Teiler von n: σ 0 (12) = = = 6 2 σ 1 (n) ist die Summe aller Teiler von n: σ 1 (12) = = = 28

5 Was ist eine Divisorfunktion σ 0 (n) mit n zwischen 1 und 250 σ 1 (n) mit n zwischen 1 und 250

6 Eigenschaften der Divisorfunktion Divisorfunktion σ k Sei k Z 0. Die Divisorfunktion σ k ist definiert durch σ k (n) := d n d k für alle n N. Einige Eigenschaften: σ k (p) = 1 + p k für jede Primzahl p Für jedes ε > 0 gibt es eine Konstante C > 0 mit 2 σ 0 (n) C n ε für alle n 2.

7 Eigenschaften der Divisorfunktion Beispiel einer Identität zwischen den Divisorfunktionen σ 7 und σ 3 : Hurwitz-Identität σ 7 (n) = σ 3 (n) k,l N k+l=n σ 3 (k)σ 3 (l). Beispiel (Fall n = 2): σ 7(2) = = = 129 σ 3(2) = = = 9 σ 3(1) = k,l N σ 3(k)σ 3(l) k+l=2 = 120 ( σ ) 3(1)σ 3(1) = σ 7(2) = 129! = = σ 3(2) ( σ 3(1)σ 3(1) ) Adolf Hurwitz 26. März 1859 in Hildesheim 18. November 1919 in Zürich

8 Eigenschaften der Divisorfunktion Hurwitz-Identität σ 7 (n) = σ 3 (n) k,l N k+l=n σ 3 (k)σ 3 (l). Identitäten dieser Art wurden jeweils individuell gezeigt. Kann man solche Identitäten aus einer abstrakteren Theorie ableiten?

9 Was ist eine Eisensteinreihe Eisensteinreihe Für k 2N, k 4 definiere die Eisensteinreihe E k durch ( ) E k (z) = 1 + σ k 1 (n) e 2πinz 2 ζ(1 k) n=1 für alle z H := {z C; im(z) > 0}. ζ(s) = n=1 n s ist die Riemansche Zetafunktion 2 ζ(1 k) ist eine explizit bekannte Konstante k = 4 E 4 (z) = n=1 σ 3(n) e 2πinz k = 8 E 8 (z) = n=0 σ 7(n) e 2πinz Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 16. April 1823 in Berlin 11. Oktober 1852 in Berlin

10 Was ist eine Eisensteinreihe Warum betrachten wir nun Eisensteinreihen ( ) 2 E k (z) = 1 + σ k 1 (n) e 2πinz ζ(1 k) n=1 (z H) Eisensteinreihen erfüllen E k (z + 1) = E k (z) und E k ( 1 z ) = z k E k (z). Gibt es noch andere Funktionen die obige Funkionalgleichung erfüllen? Theorie der Modulformen

11 Theorie der Modulformen Modulform Eine Modulform f vom Gewicht k 2Z ist eine holomorphe Funktion f : H C mit f (z + 1) = f (z) und f ( ) 1 z = z k f (z) für alle z H, f ist meromorph in Beispiel: Eisensteinreihe E k ist Modulform vom Gewicht k. Satz f Modulform von Gewicht k, g Modulform von Gewicht l = f g Modulform vom Gewicht k + l. Insbesondere gilt E 4 E 4 = E 8.

12 Theorie der Modulformen E 4 (z) E 4 (z) = E 8 (z) Was bedeutet obige Identität für die Koeffizienten von E k? E 4 (z) E 4 (z) [ ( = )] [ σ 3 (n) e 2πinz ζ( 3) n=1 = ζ( 3) σ 3(n) + n=1 (! = ) σ 7 (n) e 2πinz ζ( 7) n=1 4 ζ( 3) ζ( 3) ( ζ( 3) n=1 = E 8 (z) k,l N k+l=n σ 3 (n) e 2πinz )] σ 3 (k) σ 3 (l) e2πinz ζ( 7) σ 7(n) = 4 ζ( 3) σ 4 3(n) + ζ( 3) ζ( 3) k,l N σ 3 (k) σ 3 (l) k+l=n Hurwitz-Identität für σ 3 und σ 7!

13 Nutzen der Modulformen Nutzen der Modulformen: Ein theoretischer Rahmen, um gemeinsame Eigenschaften gewisser elementare zahlentheoretische Funktionen zu studieren. Findet neue Identitäten zwischen elementare zahlentheoretische Funktionen. Findet neue Beweise bekannter Identitäten Beispiel: Hurwitz-Identität

14 Was ist ein modulares Integral 1 Divisorfunktionen σ k (n) = d n d k 2 Modulformen f (z) f (z + 1) = 0 und f (z) z k f ( ) 1 z = 0 3 Modulare Integrale...

15 Was ist ein modulares Integral Modulform f von Gewicht k: f (z) f (z + 1) = 0 ( ) 1 f (z) z k f = 0. z und Erste Identität folgt aus Entwicklung f (z) = n a n e 2πinz. Mögliche Verallgemeinerung der zweiten Identität: Erlaube etwas anders als = 0. Führt zum Begriff der modularen Integrale

16 Was ist ein modulares Integral Modulares Integral Eine holomorphe Funktion f auf H heisst modulares Integral vom Gewicht k 2N falls: Es gibt ein Polynom P(z) = a 0 + a 1 z a k z k mit f (z) f (z + 1) = 0 und ( ) 1 f (z) z k f = P(z), z f ist meromorph in Martin Maximilian Emil Eichler 29. März 1912 in Pinnow in Pommern 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel

17 Was ist ein modulares Integral Wofür hat Martin Eichler die modularen Integrale betrachtet? g : H C holomorph erfüllt g(z + 1) = g(z) und g ( ) 1 z = z k g(z) g(z) 0 für im(z) 2 f (z) := z+i g(τ) (τ z) k 2 dτ erfüllt. z f (z + 1) = f (z) und z k 2 f ( ) 1 z f (z) =: P(z) ist Polynom (vom Grad k 2) 3 P(z) = i g(τ) (τ z) k 2 dτ erfüllt 0 P(z) ist Polynom (vom Grad k 2) z k 2 P ( 1 z (z + 1) k 2 P ( 1 z+1 ) P(z) = 0 und ) + z k 2 P ( z 1 z ) P(z) = Eichler Shimura Theorie: Zusammenhang zwischen g und P

18 Modulare Integrale Satz 1 Sei f : H C eine Modulform von Gewicht k 2Z <0 (genügend klein) mit einer Fourierentwicklung der Form f (z) = a M e 2πi( M)z a 1 e 2πiz + b n e 2πinz n=0 Es gibt eine explizite Formel H k (a M,..., a 1 ; n) mit b n = H k ( a M,..., a 1 ; n ) für alle n Z 0. 1 Jose Gimenez, Wissam Raji, q-expansions of vector-valued modular forms of negative weight. Ramanujan J. 27, 1 13 (2012) doi: /s [A]

19 Modulare Integrale Satz 2 Für k 2N (genügend groß) seien a M,..., a 1 C beliebige Koeffizienten (M Stück). Dann ist die Funktion f gegeben durch f (z) = a M e 2πi( M)z a 1 e 2πiz + b n e 2πinz n=0 mit b n = H k (a M,..., a 1 ; n) ein modulares Integral vom Gewicht k. für alle n Z 0 Zur Erinnerung: f modulares Integral von Gewicht k = Es gibt ein Polynom P(z) mit f (z) z k f ( ) 1 z = P(z) 2 Jose Gimenez, TM, Wissam Raji, Construction of vector-valued modular integrals and vector-valued mock modular forms. Ramanujan J., Published online , doi: /s [B]

20 Modulare Integrale f (z) = a M e 2πi( M)z +... a 1 e 2πiz + b n e 2πinz n=0 mit b n = H k (a M,..., a 1 ; n) für alle n Z Satz 1 Gegeben Modulform f von negativen Gewicht k = Koeffizienten a M,..., a 1 bestimmen b n. Satz 2 Gegeben beliebige Koeffizienten a M,..., a 1 und positives Gewicht k = f ist modulares Integral.

21 Vortragszusammenfassung in Bildern Adolf Hurwitz 26. März 1859 in Hildesheim 18. November 1919 in Zürich Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 16. April 1823 in Berlin 11. Oktober 1852 in Berlin Martin Maximilian Emil Eichler 29. März 1912 in Pinnow 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel Hurwitz-Identität Eisensteinreihen Modulare Integrale für Divisorfunktionen Modulformen Konstruktionsformel

22 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Warum ist Zahlentheorie von Interesse? Zahlentheorie Warum könnte uns das interessieren? Grundlegene Struktureigenschaften der Zahlen z. B. Primzahlen, Quadratzahlen, Anzahl der Teiler einer Zahl, etc Moderne Anwendungen in der Kryptographie z. B. Public-Key-Verschlüsselung, Protokolle zum Schlüsseltausch im Internet, etc Bekannte Vermutungen z. B. Riemannsche Vermutung (offen), fermatsche Vermutung (1995), etc

23 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Adolf Hurwitz Adolf Hurwitz [3] 1877 Studium der Mathematik an der Königlich Bayerischen Technischen Hochschule unter Felix Klein Studium an der Friedrich-Wilhelms-Universität zu Berlin unter Ernst Eduard Kummer, Karl Weierstraß und Leopold Kronecker 1880 Studium in Leipzig 1881 Promotion bei Klein in Leipzig Danach Wechsel an die Georg-August-Universität Göttingen, Habilitation, Privatdozent Ruf an die Albertus-Universität Königsberg (lernte David Hilbert kennen) 1892 Ruf an die ETH Zürich. Adolf Hurwitz 26. März 1859 in Hildesheim 18. November 1919 in Zürich

24 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Ferdinand Gotthold Max Eisenstein Ferdinand Gotthold Max Eisenstein [2] Ab 1840 besuchte er Vorlesungen von Dirichlet an der Universität Berlin Umzug (England, Wales, Irland) 1843 Umzug nach Berlin Studium in Berlin 1844 erschien in Crelles Journal 25 Arbeiten wurde er als Student im dritten Semester Ehrendoktor der Universität Breslau vorgeschlagen für den Orden Pour le Mérite Habilitation und Privatdozent and der Berliner Universität 1850 für Professur vorgeschlagen Abgelehnt wegen Zweifell an Lehrbefähigung 1852 stirbt an Blutsturz (Tuberkulose) Ferdinand Gotthold Max Eisenstein 16. April 1823 in Berlin 11. Oktober 1852 in Berlin

25 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Martin Maximilian Emil Eichler Martin Maximilian Emil Eichler [1] 1930 Studium in Königsberg, Zürich und Halle (Mathematik, Physik, Chemie) 1936 Promotion über Zahlentheorie der rationalen Quaternionenalgebren 1936 Assistent in Halle 1939 Habilitation in Göttingen Arbeitete in der Heeresversuchsanstalt Peenemünde und an der TU Darmstadt 1947 Versuchsanstalt der Royal Aircraft in Farnborough in England 1949 Professor an der Westfälischen Wilhelms-Universität in Münster 1956 Professor in Marburg Ruf nach Basel. Martin Maximilian Emil Eichler 29. März 1912 in Pinnow in Pommern 7. Oktober 1992 in Arlesheim bei Basel

26 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Firoz Kaderali Firoz Kaderali [4] 1969 Diplom an der TH Darmstadt / Theoretische Elektrotechnik Assistent an der TH Darmstadt 1974 Promotion an der TH Darmstadt / Symbolische Netzwerkanalyse Dozent an der TH Darmstadt 1976 Projektleiter SEL-Forschungszentrum Stuttgart 1981 Entwicklungsleiter Großsysteme bei Telenorma Frankfurt 1986 Ruf an die FernUniversität Hagen, Professor für Kommunikationssysteme 2007 Pensionierung Firoz Kaderali 3 3 Quellennachweis: [4]

27 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Abstrakt Abstrakt Mit zahlentheoretische Fragen beschäftigten sich Gelehrte seit der Existenz von Zahlen. Beispielsweise kannten schon die Babylonier das Konzept der Quadratzahlen. Im antiken Griechenland wurde die Entwicklung der Zahlentheorie systematisch vorangetrieben. Stichwortartig wären hier Euklid und sein berühmtes Werk Elemente zu nennen, welches bis ins achtzehnte Jahrhundert als Standardlehrbuch für Geometrie und Zahlentheorie verwendet wurde. Dieser Vortrag setzt etwa in der frühen Neuzeit und dem neunzehnten Jahrhundert an. Zu dieser Zeit wurden viele elementare zahlentheoretische Funktionen gefunden und studiert. Unser dominierendes Beispiel im Vortrag ist die Divisorfunktion und einige ihrer Eigenschaften. Die Frage nach einem abstrakteren Rahmen, um gewisse Eigenschaften von elementaren zahlentheoretischen Funktionen zu beschreiben und zu studieren, führt zum Konzept der Modulformen, welches am Beispiel der Eisensteinreihen erläutert wird. Martin Eichler, dessen Foto Sie auf der Einladung abgebildet sehen, führte für sein Studium der Modulformen den Begriff der modularen Integrale ein. Für die Experten sei hier noch das Stichwort Eichler Shimura Theorie genannt. Dieses Konzept der modularen Integrale aufgreifend stelle ich Ihnen zum Schluss ein Resultat aus meiner Arbeit Construction of vector-valued modular integrals and vector-valued mock modular forms vor. Diese Veröffentlichung wurde mit dem Fakultätspreis 2015 für die beste wissenschaftliche Arbeit ausgezeichnet.

28 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Referenzen aus dem Web Referenzen aus dem Web: Wikipedia, FernUniversität in Hagen und Bildernachweis Seite Martin Eichler. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 25. September 2014, 14:54 UTC. Seite Gotthold Eisenstein. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 11. Oktober 2014, 17:55 UTC. Seite Adolf Hurwitz. In: Wikipedia, Die freie Enzyklopädie. Bearbeitungsstand: 30. März 2015, 13:06 UTC. FernUni PLUS Schlusspunkt vom Weinprobe.

29 Zahlentheorie Personen Abstrakt Referenzen Sonstige Referenzen Sonstige Referenzen J. Gimenez und W. Raji. q-expansions of vector-valued modular forms of negative weight. The Ramanujan Jourbal 27 (2012), doi: /s J. Gimenez, T. Mühlenbruch und W. Raji. Construction of Vector-Valued Modular Integrals and Vector-Valued Mock Modular Forms. The Ramanujan Journal, Online 04. Oktober doi: /s