3. Grundprinzipien und -Gesetze der Hydromechanik beweglicher Fluide

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1 3. Grundprinzipien und -Gesetze der Hydromechanik beweglicher Fluide 3.1 rten von Strömungen und Begriffe a) Laminare Strömungen: Geordnete Strömung in gedanklich unendlich dünnen, aufeinander abgleitenden Schichten. Die Zähigkeit hat ebenso wie die Haftbedingung an der Wand einen dominierenden Einfluß auf die Geschwindigkeitsverteilung. Beispiele: Wasserauslauf aus einen Hahn, der nur gering geöffnet ist; Ruhig fließende Flußströmung (denke an die Moldau von Smetana!) b) Turbulente Strömung: Ungeordnete Strömung mit weitgehend zufällig schwankender Geschwindigkeit nach Größe und Richtung. Turbulente Strömung ist als in Hauptströmungsrichtung bewegtes Fluid von Wirbeln unterschiedlicher Intensität, Größe und verschiedenem Drehsinn vorstellbar. Beispiele: Wasserauslauf aus einen Hahn, der voll geöffnet ist; Strömung in einem Gebirgsbach c) Stationäre Strömung: v # f(t). Eine Strömung ist stationär, wenn die Geschwindigkeitsvektoren überall im Strömungsfeld nach Betrag und Richtung zeitlich konstant sind, d.h. nicht von der Zeit abhängen d) Instationäre Strömung: v = f(t). Die Geschwindigkeitsvektoren ändern sich nach Größe und/oder Richtung mit der Zeit. e) Gleichförmige Strömung: v # f(x). Eine Strömung ist gleichförmig, wenn die Geschwindigkeitsvektoren zu einem festen Zeitpunkt entlang einer Stromlinie nach Größe und Richtung konstant sind. Voraussetzungen für gleichförmige Strömung sind gerade Stromlinien und ein in Fließrichtung konstanter Fließquerschnitt. Dies bedeutet, daß in Röhren instationär gleichförmige Strömungen vorkommen können (veränderlicher Durchfluß im geraden Rohr konstanten Durchmessers), während in offenen Gerinnen gleichförmige Strömungen immer auch stationär sind, da Durchflußveränderungen immer auch Querschnittsveränderungen und damit Ungleichförmigkeit bedingen. f) Ungleichförmige Strömung v = f(x). Bei ungleichförmiger Strömung ändert sich die Geschwindigkeit entlang einer Stromlinie. (z.b. Rohrverengung oder rückgestaute Gerinneströmung). g) Stromlinie: Verbindente Tangente der Geschwindigkeitsvektoren v h) Bahnlinie: Linie entlang derer sich die Fluidteilchen bewegen. Kann mittels länger belichteter Fotos von reflektierenden Schwebteilchen (luminiumflitter) sichtbar gemacht werden i) Stromröhre: Zusammenfassung mehrerer Stromlinien zu einem Röhrenbündel Strömungen können in mannigfaltiger Weise optisch visualisiert werden. Man bedient sich vorwiegend Schattenmethoden Schlierenmethoden Optischer Interferometrie (Holographie) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.1

2 Daneben erlauben moderne Computermodelle der numerischen Fluiddynamik die 3D-Visualisierung von komplexen Strömungen (s. folgende bb.) Geschwindigkeitsvektoren Stromlinien einer Zylinderströmung Stromröhren einer Zylinderströmung Strömung in Krümmer Strömung in Kaplan-Turbine Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.2

3 Strömung über Zylinder: Bahnlinien Strömung über Zylinder: Wirbelbildung Strömung über Zylinder: Re = 500 Strömung über Zylinder: Re = 5000 brißströmung mit Totwasser über einem sich plötzlich öffnenden Kanal Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.3

4 Laminare Ölstromlinie in Wasser W i r b e l h i n t e r s c h i e f angestelltem Flügel Wirbel über Propeller Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.4

5 brißwirbel über vorstehender Kante Kavitation Wirbelbildung an Windpropeller Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.5

6 3.2 Massenerhaltung (Kontinuitätsgesetz) Integrale Bilanz-Betrachtung für instationäre und stationäre Strömung Betrachtet wird ein beliebiges Fluidvolumen, mit Ein- und usläufen (im einfachsten Fall eine Röhre): Dann gilt für ein beliebiges Kontrollvolumen V innerhalb des Fluidvolumens die fundamentale Massenerhaltungsgleichung: oder dm/dt = Q in - Q out (3.1) bb. 3.2: Zur Massenerhaltung d ( V) / dt = Q in - Q out (3.2a) bzw. mit -d ( V) /dt = Q out - Q in (3.2b) Q in = Volumenstrom (=Volumen / Zeit) in das Kontrollvolumen [m³/s] Q out = Volumenstrom aus dem Kontrollvolumen [m³/s] Q in = Massenstrom rein [kg/s] Q out = Massenstrom raus [kg/s] m = jeweilige Masse im Kontrollvolumen [kg] V = Größe des Kontrollvolumens [m³] = Dichte des Fluids [kg/m³] (3.2a) in Worten: Die zeitliche Änderung (bnahme) der Fluid-Masse im Kontrollvolumen ist gleich der Differenz der aus- und einströmenden Massenflüsse aus 3.2b ===> die Masse im Kontrollvolumen nimmt ab, wenn Q out > Q in nmerkung: Die Strömungsgeschwindigkeit als Vektor (mathematische uffrischung) Wie die bb. auf Seite 3.2 zeigt läßt sich die Fluidgeschwindigkeit v an einem beliebigen Ort im Fluidsystem als Vektor darstellen, d.h. bzw. v = (v x, v y, vz) v = v x i +v y j + v z k mit Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.6

7 v x, v y, v z = Komponenten von v in Richtung der x-, y-, z-koordinatenachsen i, j, k = Einheitsvektoren in Richtung der x-, y-, z-koordinatenachsen (Vektoren sind fett, Skalare normal gedruckt) Für die Magnitude!v! von v gilt dann:!v! = (v x 2 + v y 2 + v z2 ) 1/2 und für die Richtungswinkel,,, zwischen Fluidvektor v und den Koordinatenachsen x, y, z cos = v x /!v!; cos = v y /!v!; cos = v z /!v! Betrachtet wird die bb. rechts, wobei die Röhre in Dann gilt für d as Fluidvolumen dv, das in der Zeit dt durch die Fläche an einem beliebigen Ort in der Röhre fließt ==> dv = * dl Q = dv/dt = * dl /dt ==> bb. 3.3: Durchfluss durch diskontinuierliches Rohr Q = * v n mit v n = Strömungsgeschwindigkeit normal (senkrecht) zur Fläche In dem gezeigten Beispiel ist die Röhre in x-richtung angeordnet, so daß v n = v x, während im allgemeinen Fall einer in Raum stehenden Röhre v n Komponenten v x, v y, v z besitzt. Für den Fall, daß die Strömung am z.b. Eingang der Röhre schräg auf die Eintrittsfläche fällt, wird nur die Komponente von v in Richtung des Normaleneinheitsvektors n auf der Fläche (wobei n nach Konvention immer nach außen gerichtet ist) Fluid in das Kontrollvolumen V einbringen Damit gilt Q = (v * n) = (v * ) (3.3) mit ===> ( v * n) = Skalarprodukt zwischen v und n = n = orientiertes Flächenstück Q = 0 wenn v parallel zur Fläche einfällt oder austritt Für (3.2b) ergibt sich somit vektoriell Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.7

8 - d ( V) /dt = (v out * out ) + (v in * in ) (3.4) (Hier rührt das positive Vorzeichen von der Tatsache her, daß am Einlauf Normalenvektor n und v in einen Winkel > 90 o bilden). Betrachtet man nun das Kontrollvolumen V als Summe von vielen kleinen Elementarvolumen dv, d.h. V = 3dV, jedes von ihnen durch ein elementares Flächenstück d begrenzt, so gilt - d (3 dv) /dt =3 (v out * d out ) + 3 (v in * d in ) (3.5) V out in wobei links die Summe über das Volumen ist. Rechts erstrecken die beiden Summen nach gegenseitigen ufhebens von ( v in * d in ) und (v out * d out ) für benachbarte Teilflächen d (wegen genannter Konvention der Richtung der Normalen n auf der gemeinsamen Teilfläche d) nur noch über die beiden effektiven Randflächen in und out des Kontrollvolumens V, wo Fluid ein- bzw. ausströmt. Im Grenzfall dv -> 0, d ->0 werden die Summen zu Volumen- bzw. Oberflächen-Integralen: - d (*** dv) / dt = ** (v out * d out ) + ** (v in * d in ) (3.6) V out in Die beiden Flächenintegrale rechts über die Teilflächen wo Fluid ein- bzw. ausströmt lassen sich zu einem Oberflächen-Integral über die das Kontrollvolumen schließende Hülle mit Fläche Integrale Massenerhaltungsgleichung: bzw. - d (*** dv) / dt = ++ (v * d) (3.7a) V d (*** dv) / dt + ++ (v * d) = 0 (3.7b) V Das Besondere an dem geschlossenen Oberflächenintegral rechts ist, daß aufgrund der erwähnten Normalen- Konvention das positive Vorzeichen bei Einlauf und das negative Vorzeichen beim uslauf automatisch erhalten wird. Gl. 3.7 ist eine der wichtigsten Gleichungen der Fluiddynamik. Da man in der Praxis bei kompliziert verlaufenden Kontrollvolumen (man denke z.b. an ein weitverzweigtes Wasserversorgungsnetz) die Integrationen nicht explizit analytisch ausführen kann, geht man dann den umgekehrten Weg und ersetzt die Integrale durch endliche Summen nach Gl. 3.5, die dann numerisch berechnet werden kann. usgehend von Gleichung 3.7 können alle Spezialfälle hergeleitet werden: a) Stationäre Strömung: Die zeitlichen Änderungen sind per Definition = 0, d.h. d / dt = 0: bzw in diskreter Form aus Gl (v * d) = 0 (3.8a) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.8

9 3 ( v * d) = 0 (3.8b) bzw. nach Berücksichtigung des Vorzeichens nach der Normalen-Konvention 3 (v out * d out ) + 3 (v in * d in ) = 0 (3.8b) b) Stationäre Strömung mit konstanter Dichte : und in diskreter Form ++ (v * d) = 0 (3.9a) 3 ( v out * d out ) + 3 (v in * d in ) = 0 (3.9b) out in In diesem Fall kann man, anstatt des Massenstromes Q, mit dem Volumenstrom Q= v * rechnen. Beispiel : nwendung der stationären Kontinuitätsgleichung auf eine Rohrströmung Gegeben : Q in = 0,03 m³ /s, Strömung in Richtung des Rohres! Gesucht : v in, v out, Q out, Lösung : M a n l e g e e i n e g e e i g n e t e Kontrollfläche (Kontrollvolumen) um das Rohrsystem (dies muß das Fluidvolumen einschließen, muß jedoch nicht mit ihm übereinstimmen). Dann gilt nach Gl. 3.9a ++ (v * d) = 0 bb. 3.4 Zur Kontinuitätsgleichung Die geschlossene Integrationsfläche ist die Summe aus a) der vorderen Stirnfläche (Eintrittsfläche in5 ) b) hinteren Stirnfläche (ustrittsfläche out ) c) der Zylinderfläche des Rohres zyl ===> ++ (v * d) = ** (v in * d in ) + ** (v out * d out ) + ** (v * d in ) = 0 in out zyl Das letzte Oberflächenintegral ist =0, da v parallel zur Rohrwandung verläuft, d.h. senkrecht zur Normalen n auf dem Zylinder (das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren =0) Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.9

10 ===> ** (v in * d in ) + ** (v out * d out ) = 0 in out folgt Für den hier angenommenen Fall, daß v über den Querschnitt des Rohres konstant ist, kann man v vor das Integral bringen und direkt über die Flächenstücke integrieren (aufsummieren); es (v out * out ) + (v in * in ) = 0 bzw. nach Berücksichtigung des Vorzeichens nach der Normalen-Konvention, wenn man nur die Beträge von v berücksichtigt Q out - Q in = 0 mit Q out = (v out * out ) = v out * out Q in = - (v in * in ) = v in * in ==> in * v in = out * v out ==> v in = Q in / in = 0,03 / ( * 0,3² /4 ) [ m³ / s ] / [ m² ] = 0,42 m /s v out = ( in * v in ) / out = Q in / out = 0,03 / ( * 0,15² /4 ) [m³ / s ] / [ m² ] = 1,7 m/s Beispiel : nwendung der instationären Kontinuitätsgleichung In das dargestellte Becken fließt Wasser mit einer Geschwindigkeit v über eine Leitung mit Querschnittsfläche ein. m Boden des Beckens ist ein Loch, wo ein bfluß Q out gemessen wird. Gegeben: Eintrittsfläche = 0,0025 m 2 ; v = 7m/s; Q out = 0,003 m/s Gesucht: Netto (b)-zunahme von Wasser im Tank Lösung: Man lege die Kontrollfläche, z.b. wie gezeigt. Dann gilt nach Gl. 3.5 für den Nettoabfluß -dm/dt im Becken: bb Durchfluss durch Becken Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.10

11 - d ( 3 dv) /dt = -dm/dt = 3 ( v out * d out ) + 3 ( v in * d in ) V out in = Q out - v in in (im Einlauf sind v und n antiparallel) = 1000* 0,003-7*1000*0,0025 = kg/s ===> dm/dt = 14,5 kg/s Das Becken füllt sich somit mit dieser Massenrate Differentielle Massenbilanz für stationäre Strömung B e t r a c h t e t w i r d e i n d i f f e r e n t i e l l e s Volumenelement dv = dx dy dz Der Einfachheit sei hier nur der stationäre (zeitunabhängige) Strömungsprozeß erörtert. Dann gilt für den Quader: 3 (v out * d out ) + 3 (v in * d in ) = 0 out in wobei sich die jeweilige Summen über die 3 Einund ustrittsflächen des Quaders erstreckt. Bei usrichtung des Quaders in Richtung der x-, y-, und z- Koordinatenachsen und entsprechende Zer- bb. 3.6: Durchfluss durch differentiellen Quader legung des Geschwindigkeitsvektors v = (v x, v y, v z ) in seine Hauptkomponente, vereinfachen sich die obigen vektoriellen usdrücke. Betrachtet man für jede der drei gegenüberliegenden Seiten des differentiellen Volumenelementes die Nettovolumenänderung, ergibt sich nach Taylor-Reihenentwicklung für die x-richtung (d.h. durch Fläche senkrecht zur x-chse): [ v x + M ( v x )/Mx * dx] dy dz - ( v x )* dy dz = M ( v x ) /Mx * dx dy dz y-richtung: M ( v y )/My * dx dy dz Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.11

12 z-richtung: M ( v z )/Mz * dx dy dz Die totale Speicherungsänderung ergibt sich durch ufaddieren der drei Gleichungen nach oben zu [M( v x )/Mx + M ( v y )/My + M ( v z )/Mz] * dx dy dz / 0 (3.10) und nach Division durch das Volumen dv = dx dy dz die Kontinuitätsgleichung für stationäre Strömungen M ( v x ) / Mx + M ( v y ) / My + M ( v z ) / Mz / L * ( v) / div ( v) = 0 (3.11) Volumenintegration von (3.10) ergibt *** L * ( v) dx dy dz = 0 (3.12) V Nach dem Gauß-Theorem der Vektoranalysis *** (L * f) dv = ++ (f * d) (3.13) V ist das Volumenintegral der Divergenz einer Vektorfunktion f gleich dem Oberflächenintegral über die das Volumen vollständig einschließenden Fläche. nwendung auf Gl. (3.12) ergibt *** L * ( v) dx dy dz = ++ (v * d) = 0 (3.14) V d.h. man erhält wieder die integrale Massenbilanzgleichung, Gl. 3.8, für stationäre Strömungen. Prof. Dr. rer. nat. M. Koch 3.12