Radizieren mit dem Heron-Verfahren

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1 Mathematik mit Python und OpenOffice Calc Radizieren mit dem Heron-Verfahren Matthias Richter. März Idee Das Heron-Verfahren ist ein Algorithmus um die Quadratwurzel einer Zahl x R näherungsweise zu bestimmen. Dieses Verfahren geht auf die alten Babylonier (ca v. Chr.) zurück und [...] wurde später von Heron von Alexandria in seiner Vermessungslehre beschrieben und wird deshalb auch Heronisches Wurzelziehen genannt. [ANW + 03, S. 1] Der griechische Mathematiker Heron von Alexandria (um 60 n. Chr.) [...] vertrat eine Mathematik, die der Befriedigung praktischer Bedürfnisse diente. Dies war insofern bemerkenswert, als die in der damaligen Gesellschaft verachtete körperliche Tätigkeit im allgemeinen nicht Gegenstand schriftlicher Aufzeichnungen wurde. [...] Herons Beruf würden wir heute etwa als den eines Ingenieurs bezeichnen. [Wus08, S. 05] Geometrisch bedeutet die Wurzel aus x die Seitenlänge eines Quadrates mit dem Flächeninhalt x (A = a ). 1 D C A = a A a B Abbildung 1: Geometrische Veranschaulichung der Wurzel mittels Flächeninhalt und Seitenlänge Beispielsweise besitzt ein Quadrat den Flächeninhalt 11 cm, wenn dessen Seitenlängen jeweils 11 cm lang ist. Die Idee von Heron war von einem Rechteck mit den Seitenlängen a und b mit dem Flächeninhalt x (also x = a b) auszugehen und diese Seitenlängen immer mehr anzunähern, so dass aus dem Rechteck das gewünschte Quadrat wird. Man verwandelt die Seitenlängen eines Rechtecks so lange bis diese fast gleich sind (macht man das Rechteck quadratisch ), wobei der Flächeninhalt des Rechtecks konstant bleibt. Dabei geht man von einer beliebigen Seitenlänge des Rechtecks aus. Die Annäherung passiert in dem eine Seite aus dem arithmetischen Mittel der beiden Seitenlängen gesetzt wird und die andere Seitenlänge des Rechtecks ergibt sich als Quotient des konstanten Flächeninhaltes und der neuen Rechteckseite. 1 Alternativ ist Wurzel aus x die Länge der Diagonale eines Quadrates mit Seitenlänge x. 1

2 Verfahren Heron-Verfahren zur Berechnung der Wurzel aus A: 1. Man wählt eine Startlänge a 1 damit ist b 1 = A a 1 die andere Seitenlänge des Rechtecks.. Bildung des arithmetischen Mittel aus beiden Seiten a = a1+b1 und damit ergibt sich b = A a. 3. Setzen den zweiten Schritt fort, bis a n und b n eine gewünschte Genauigkeit besitzen (z. B. keine Änderung ab der 3. Nachkommastelle). Beispiel: Berechnung der Quadratwurzel aus 11: a) mit Startwert a 1 = 1. Mit a 1 = 1 ergibt sich b 1 = 11 (Flächeninhalt: A = a 1 b 1 = 1 11 = 11). a = 1+11 = 6 und damit b = , a 3 = 6+1, und b a = und b a 5 = und b usf. b) mit Startwert a 1 = 3 Mit a 1 = 3 ergibt sich b 1 = a = = und damit b = a 3 = und b usf. Dieses Verfahren wird heute noch in Taschenrechner und Computern genutzt um den Näherungswert einer Quadratwurzel zu bestimmen. 3 Begründung der Konvergenz des Verfahrens Dieses Verfahren kann durch die Rekursionsfolge mit einem beliebigen Startwert a 1 beschrieben werden. Es gilt: a n+1 = a n + A a n (1) 0 (a n A) = a n a n A + A () a n A an + A (3) A a n + A a n = a n + A a n = a n+1 ()

3 Also A a n+1, d. h. die Folge ist nach unten beschränkt. Weiter ist: a n+1 = a n + A a n = a n + A a n + A A (5) = a n (6), d. h. die Folge ist monoton fallend. Damit ist die Folge nach dem Monotoniekriterium konvergent. Weiterhin hat die Fixpunktgleichung: a = a + A a (7) genau eine Lösung, nämlich a = A. Das bedeutet A ist der Grenzwert der Folge, da a = a + A a a = a + A a a = A a a = A a = ± A (negative Lösung entfällt, da die Seitenlänge größer 0 sein muss). Approximationsgeschwindigkeit Es gilt: a n+1 A = a n + A a n Da a n beschränkt ist, muss es ein c > 0 geben, so dass: = a n A + A a n = 1 a n A (8) (9) ( a n A) (10) a n+1 A c a n A (11) D. h. das Heron-Verfahren konvergiert quadratisch. Dies bedeutet hat man beispielsweise im n-ten Iterationsschritt einen Differenz von a n zum tatsächlichen Wert von einem Hundertstel, so hat beträgt diese Differenz im (n+1)-ten Schritt Beispiel: Konvergenzverhalten für 11 mit a 1 = 1 Iteration Näherung a n Fehler a n A 1 1, , , , , , , , , Jede beschränkte und monotone Folge reeller Zahlen ist konvergent. 3

4 5 Umsetzung mit Python Dieses Verfahren kann als Programm einfach umgesetzt werden. In der ersten Variante wird die Anzahl der Iterationsschritt vom Benutzer vorgegeben. Python-Code 1: Heron-Verfahren mit vorgegebener Iterationszahl 1 rad = input (" Wurzel aus : ") a= input (" Startwert eingeben : ") 3 iter = input (" Anzahl der Iterationsschritte : ") 5 b= float ( rad )/a 6 7 for i in range (, iter +1) : 8 a=(a+b)/ 9 b= rad /a 10 print i,"ter - Schritt :", a,"\t", b Programmdurchlauf: Wurzel aus: 11 Startwert eingeben: 1 Anzahl der Iterationsschritte: 5 ter-schritt: ter-schritt: ter-schritt: ter-schritt: In einer zweiten Variante bricht das Programm die Berechnungen ab, sobald die beiden Seitenlängen bis fast gleich sind. 1 import math 3 rad = input (" Wurzel aus : ") 5 a= input (" Startwert eingeben : ") 6 b= float ( rad )/a 7 8 while math. fabs (a ** - rad ) > 10**( -10) : 9 a=(a+b)/ 10 b= rad /a 11 print a,"\t", b Python-Code : Heron-Verfahren mit Abbruchbedingung Hierbei wird das Verfahren so lange wiederholt, bis die Differenz des Quadrats mit der Seitenlänge a und dem Flächeninhalt des gewünschten Quadrats weniger als beträgt. Wurzel aus: 11 Startwert eingeben:

5 6 Umsetzung mittels Tabellenkalkulation Ebenso kann dieses Verfahren mittels einer Tabellenkalkulation umgesetzt werden. Hierbei muss ebenso die Zahl, deren Wurzel gesucht wird, und die Startzahl eingeben werden. Damit kann der erste Iterationsschritt der Berechnung (also a 1 entspricht der Startzahl und b 1 = A a 1 berechnet werden). Im zweiten Schritt wird nun das arithmetische Mittel der beiden Seitenlängen gebildet und der Quotient. Nun kann diese Zeile (hier A6:C6) markiert und die Formel nach unten kopiert werden. Abbildung : Heron-Verfahren in einer Tabellenkalkulation Literatur [AHK + 08] Arens, Tilo ; Hettlich, Frank ; Karpfinger, Christian ; Kockelkorn, Ulrich ; Lichtenegger, Klaus ; Stachel, Hellmuth: Mathematik. 1. Auflage 008. Springer Verlag, 008. ISBN [ANW + 03] Alten, Heinz W. ; Naini, A. D. ; Wußing, Hans ; Schlosser, Hartmut ; Schlote, Karl-Heinz ; Folkerts, Menso: 000 Jahre Algebra: Geschichte. Kulturen. Menschen. 1., Aufl , korr. Nachdruck. Springer, Berlin, 003. ISBN [HK06] [Wus08] Hoffmann, Manfred ; Krämer, Norbert: Mathematik für Fachoberschulen, Fachschulen, Nichttechnische Fachrichtungen, Sachsen, m. CD-ROM.. Bildungsverlag E1ns, 006. ISBN Wussing, Hans: 6000 Jahre Mathematik: Eine kulturgeschichtliche Zeitreise. 1 Von den Anfängen bis Leibniz und Newton. 1. Springer, Berlin, 008. ISBN