Beschreibende Statistik

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1 Beschreibende Statistik Histogramme Unterschiedliche Säulenbreite in der grafischen Darstellung Ein Betrieb A hat die Monatsverdienste (in ) seiner 6 Mitarbeiter aufgelistet. Klassen 8 bis bis 1999 bis 3499 absolute Häufigkeit n i Diagramm für die Monatsverdienste bei unterschiedlicher Klassenbreite n = 6 absolute Häufigkeit n i in Beim Betrachten dieses Diagramms entsteht der Eindruck, dass die Häufigkeit für die Klasse 8 bis 999 kleiner ist als für die Klasse 1 bis Das Auge orientiert sich an der Größe der Rechtecksflächen und nicht an der Höhe, daher ist diese Darstellung unzweckmäßig. Es ist deshalb sinnvoller, ein Diagramm zu wählen, bei dem der Rechtecksinhalt der Häufigkeit (Klassenhäufigkeit) entspricht. Ein solches Diagramm wird als Histogramm bezeichnet. Berechnung der Rechteckshöhe in einem Histogramm Rechteckshöhe = Fläche Breite = Klassenhäufigkeit n i Klassenbreite b i Klassen 8 bis bis 1999 bis 3499 Häufigkeitsdichte n i b i 15 =, =, =, Histogramm der absoluten Häufigkeit Häufigkeitsdichte,8,6,4, in In einem Histogramm ist die Fläche der einzelnen Säulen proportional zur absoluten Häufigkeit der jeweiligen Klasse. Die Gesamtfläche entspricht dem Umfang n. 4

2 Beschreibende Statistik Beachten Sie: Ein Histogramm ist eine grafische Darstellung einer klassierten Häufigkeits verteilung. Es besteht aus mehreren, direkt aneinander angrenzenden Säulen. Verdienst (Klasse) rel. Häufigkeit h i,5,5,5 Klassenbreite 1 15 Häufigkeitsdichte h i b i,15,5,33 Schaubild der Häufigkeitsverteilung (Histogramm der relativen Häufigkeit) In einem Histogramm ist die Fläche der einzelnen Säulen proportional zur relativen Häufigkeit der jeweiligen Klasse. Die Gesamtfläche entspricht 1. Gleiche Klassenbreite in der Häufigkeitstabelle Gleiche Säulenbreite Ein Betrieb B hat die Monatsverdienste (in ) seiner Mitarbeiter aufgelistet. Verdienst (Klasse) rel. Häufigkeit h i,55,15,3 Klassenbreite Häufigkeitsdichte n i b i,75,75,15 Grafische Darstellung:,6 h i Säulendiagramm bzw. Histogramm,5 Senkrechte Achse,4 mit relativer Häufigkeit,3 ergibt ein Säulendiagramm. Senkrechte Achse mit Häufigkeitsdichte ergibt ein Histogramm.,,1 Bei gleicher Klassenbreite entsprechen sich Säulendiagramm und Histogramm. 5

3 Beschreibende Statistik Beachten Sie: Ein Histogramm ist eine Darstellung, bei der die Klassenhäufigkeiten durch Rechtecksinhalte veranschaulicht werden (flächenproportionale Darstellung). Die Ordinaten (-Werte) im Histogramm heißen Häufigkeitsdichten. Man unterscheidet Histogramme mit a) konstanter Klassenbreite, dann gilt: Die Rechteckshöhe entspricht der relativen Häufigkeit. b) unterschiedlicher Klassenbreite, Häufigkeit dann gilt: Häufigkeitsdichte = Klassenbreite b i (Histogramm der relativen bzw. der absoluten Häufigkeit) Aufgaben 1. Die Häufigkeitstabelle zeigt die klassierte Verteilung der Schüler der Jahrgangsstufe 1 nach ihrer Körpergröße. Körpergröße ]15; 16] ]16; 165] ]165; 17] ]17;175] ]175; 18] ]18; ] abs. Häufigkeit Stellen Sie die Verteilung in einem Histogramm dar.. Das Histogramm beschreibt die Verteilung der Beschäftigten eines Industriezweiges nach ihrem Monatsverdienst. Erstellen Sie die zugehörige Häufigkeitstabelle. abs. Häufigkeit Breite,,15,1,4, Verdienst in 6

4 Beschreibende Statistik Was man wissen sollte... von der Urliste zur Grafik Nach einer Erhebung des Statistischen Bundesamtes waren 13 die 41,841 Millionen Erwerbstätigen auf folgende Wirtschaftsbereiche verteilt: 1. Urliste (Angabe in Tausend Personen) Land- und Forstwirtschaft, Produzierendes Gewerbe Baugewerbe Fischerei (ohne Bau) Handel, Gastgewerbe, Verkehr Finanzierung,Vermietung, Unternehmensdienstleister Öffentliche und private Dienstleister Häufigkeitstabelle Merkmalsausprägung LFF PG B HGV FVU ÖD Summe n absolute Häufigkeit n i n = relative Häufigkeit h = n i n,15,188,59,9,,36 1 relative Häufigkeit in % 1,5 18,8 5,9,9, 3,6 1 % 3. Grafische Darstellung in 1 Erwerbstätige Erwerbstätige LFF 1,5 % ÖD 3,6% FVU,% PG 18,8% HGV,9% B 5,9% LFF PG B HGV FVU ÖD Säulendiagramm Kreisdiagramm Bemerkung: Ein Diagramm sollte mit Gitterlinien, Skalen und Beschriftung ausgestattet sein. 7

5 Beschreibende Statistik 11. Zur Wahl für den Landtag von NRW am 13. Mai 1 bewarben sich 1 Parteien. Das Säulendiagramm zeigt die Stimmenanteile der im Landtag vertretenen Parteien. a) Die Addition der Stimmenanteile ergibt keine 1 %. Warum? SPD CDU Grüne FDP Piraten Sitzverteilung Gewinn/Verlust 4,7 8,,8 1,9 6,3 zur Wahl 1 in % b) Wie viele Sitze hätte die kleinste Partei nach ihrem Stimmenanteil bekommen müssen? Vergleichen Sie. c) Wie groß waren die Stimmenanteile der Parteien bei der letzten Landtagswahl? Stellen Sie die Sitzverteilung des Landtags 1 in einem Kreisdiagramm dar. 1. Denken Sie sich für die beiden Diagramme jeweils eine Geschichte aus. Beschriften Sie die Achsen und geben Sie sinnvolle Einheiten an. 13. Die Arbeitsbelastung der Feuerwehr in zwei Städten, A und B, soll miteinander verglichen werden. In der folgenden Häufigkeitstabelle ist die Zahl der täglichen Einsätze über einen Zeitraum von Tagen für beide Gesamtheiten aufgeführt. Zahl der Einsätze: Anzahl von Tagen: A B Stellen Sie beide Verteilungen in einem Diagramm dar. Interpretieren Sie. 14. Gestalten Sie eine Schautafel mit dem Titel: Z.B. Schülerschaft am Berufskolleg; Freizeitangebot in, Bevölkerung der Heimatstadt Bereiten Sie Ihre Ergebnisse grafisch auf und stellen Sie diese der Klasse vor. 3

6 Beschreibende Statistik Was man wissen sollte... über Streuungsmaße Die Streuungsmaße werden unterteilt in Spannweite: Differenz von größtem und kleinstem Beobachtungswert Spannweite = ma min Mittlere Abweichung: Summe der Abweichungsbeträge geteilt durch die Anzahl (n) der Merkmalsträger: d = 1 n i _ n i = 1 Varianz: Standardabweichung: Summe der Abweichungsquadrate geteilt durch die Anzahl (n) der Merkmalsträger: s = 1 r n ( i _ ) i = 1 Wurzel aus der Varianz Beachten Sie: Ausgangspunkt zur Bestimmung der Streumaße ist eine sortierte Urliste. Vergleich von zwei Verteilungen mit dem gleichen Mittelwert Kleine Streuung (s klein): Mittelwert _ hat eine hohe Aussagekraft. _ Große Streuung (s groß): Mittelwert _ hat eine geringe Aussagekraft. Lagemaße und Streuungsmaße mit dem GTR (TI) _ Eingabe in Liste L1: Merkmalsausprägung i in Liste L1: Klassenmitte (vgl. Beispiel Seite 38) (vgl. Beispiel Seite 5) Eingabe in Liste L: absolute Häufigkeit oder relative Häufigkeit 53

7 Beschreibende Statistik Lagemaße und Streuungsmaße mit dem GTR (TI) (vgl. Beispiel Seite 38) (vgl. Beispiel Seite 5) B Erläuterungen: _ : Mittelwert n: bei absoluter Häufigkeit: Anzahl der Merkmalsausprägungen i bei relativer Häufigkeit: 1 (Summe; 1 %) Med: Median Aufgaben 1. Schüler erfragen die Preise von zwei Zubehörteilen für ein Hand in verschiedenen Geschäften der Stadt. Die festgestellten Stückpreise in EUR lassen sich der folgenden Liste entnehmen. Ware A: 4, 4,1 5,4 4,9 3,5 3,4 Ware B: 11, 11,9 14,9 1, 1,6 9,9 Berechnen Sie die Standardabweichung für die beiden Waren. Welcher Preis schwankt stärker? Erläutern Sie.. Berechnen Sie für die Häufigkeitsverteilung die absoluten Häufigkeiten, die Varianz und die Standardabweichung. (n = 8) a i h i,,35,5,15,5,5 3. Was ist der Unterschied zwischen a) Mittelwerten und Streuungsmaßen, b) der mittleren Abweichung und der Standardabweichung? 54

8 Ganzrationale Funktionen. Die Steigung einer Geraden 1 m 1 m Steigung 1 1 =,1 m ist das Längenverhältnis von vertikaler Strecke zu horizontaler Strecke. Beispiele stehen?? K Das Verhältnis eines Geradenpunktes ist konstant. Dieses Verhältnis heißt Steigung der Geraden m. m = 1 = 4 = konstant = 1 folgt = Ursprung O. K ist eine Ursprungsgerade. 1 Steigungsdreieck 1 K Die SteigungVerschiebung Die Geraden sind parallel. 1 K G Die Geradengleichung -Achsenabschnitt. 1 S 1 3 Steigungsdreieck 91

9 Ganzrationale Funktionen Beispiele 3 3 GE ME GE 3 5 K Steigungsdreieck 5 proportional ME Die variablen Stückkosten sind konstant und entsprechen dem Kostenzuwachs m heißt Steigung der Geraden. m = 5 = 1 4 =,5 1 =,5 konstant. Beachten Sie: Die Gesamtkosten K f und variablen Kosten K K f Beachten Sie: D = Maimaler mathematischer D = 3 5 Der -Achsenabschnitt und anschließend Einheiten nach unten. Steigungsdreieck

10 Ganzrationale Funktionen 3 Wir lese dem Steigungsdreieck m = = _ Verallgemeinerung: Für die Steigung m einer Geraden g durch 1 1 m = = = 1 1 g = Beachten Sie: Die allgemeine Geradengleichung in Hauptform = m + b Steigung -Achsenabschnitt ist eine Ursprungsgerade. Gerade und GTR: Eingabe Wertetabelle Graph Steigung b 93

11 Ganzrationale Funktionen Aufgaben K G K G

12 Ganzrationale Funktionen.3 Schnittpunkte f 3 f f A 3 K f ( 3 heißt Nullstelle f K f K f Beachten Sie: K f mit der -Achse: f() = K f mit der -Achse: = f 3 Die Gerade K g f und K g f und K g 3 ist die Schnittstelle g( Schnittpunkt f und K g K g K f Beachten Sie: K f und K g f() = g() liefert die Schnittstelle Schnittstelle 95

13 Ganzrationale Funktionen Situation Das Un Erlösfunktion Ursprungsgerade: Gesamtkostenfunktion sind gleich: Gleichsetzen Schnittpunkt von K und E. Erlös- und Kostengerade schneidenkostendeckung. Break-Even-Punkt Gewinnfunktion G Schnittpunkt -Achse: VerlusteGewinne. Gewinnschwelle Gewinnzone. Bemerkung> < Schnittpunkt-Achse: Der Verlustam größten E K G

14 Ganzrationale Funktionen Aufgaben f und K g f 5 f f 3 f K g g 1 g 1 g

15 Ganzrationale Funktionen 4 Ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades 4.1 Ganzrationale Funktionen 3. Grades Situation Der Wasserverbrauch der Erdbevölkerung lässt sich modellieren durch eine Funktion f mit f(t) =,366 t 3 1,5 t Dabei ist f(t) der Wasserverbrauch in km 3 a) Wie hat sich der Wasserverbrauch bis heute entwickelt? b) Wie wird er bis 5 zunehmen? Die obige Funktion ist ein mögliches 7 6 Modell für den weltweiten Wasserverbrauch, 5 mit dem auch Vorhersagen für den 4 zukünftigen Wasserverbrauch gemacht 3 1 a) 197: f() = : f(44) = 64, Heute wird etwa die Hälfte des verfügbaren Wassers von etwa 1, Millionen km 3 b) 5: f(55) = 8184,9 ganzrationalen Funktion 3. Grades f mit f(t) =,366 t 3 1,5 t Beachten Sie: Eine ganzrationale Funktion f 3. Grades ist gegeben durch f() = a 3 + b + c + d; a,. Der maimale. Polnom 3. Grades. Deshalb werden ganzrationale Funktionen auch als Polnomfunktionen Das Schaubild einer Polnomfunktion 3. Grades ist eine Parabel 3. Ordnung. Aufgabe: Gemeinsamkeiten lassen sich feststellen? 155

16 Ganzrationale Funktionen Schaubilder von ganzrationalen Funktionen 3. Grades Beispiele 1) f() = ; K hat 3 gemeinsame Punkte mit der -Achse. K verläuft vom III. in den I. Quadranten (der Faktor vor 3 ) f() = ; K hat 3 gemeinsame Punkte mit der -Achse. K ist smmetrisch zum Ursprung. K verläuft vom III. in den I. Quadranten (der Faktor vor 3 3) f() = ; K hat gemeinsame Punkte mit der -Achse. K verläuft vom II. in den IV. Quadranten (der Faktor vor 3 ist negativ Beachten Sie: Die höchste Potenz von ( 3 ) bestimmt mit dem Vorzeichen des Faktors vor 3 f() = positiv 3 negativ 3 III. in den I. Quadranten. Das Schaubild von f verläuft vom II. in den IV. Quadranten. ganzrationalen Funktion 3. Grades Smmetrie zum Ursprung: Kommen in dem Funktionsterm nur ungerade Eponenten von vor, so ist das smmetrisch zum Ursprung. Die Bedingung für Punktsmmetrie zu O( ): f( ) = f() ungerade Eponenten von vor: f () = a 3 + c Verlauf der Kurve für große -Werte: Das 3 entscheidet über den Verlauf 156

17 Ganzrationale Funktionen Die ertragsgesetzliche Kostenfunktion Beispiel Grades beschrieben durch K() = 3 3 K() in GE kostenfunktion K: in Mengeneinheiten (ME) K() in Geldeinheiten (GE) Verlauf: Ökonomisch sinnvoll nur im degressiv progressiv ( Kap ) K() = 7 Die Fikosten Der größte Wert wird an der Kapazitätsgrenze Kap erreicht: K ma Kap ME Progressiver, degressiver Kostenverlauf Die Kosten wachsen degressiv Die Kosten wachsen progressiv Beachten Sie: Eine ganzrationale Gesamtkostenfunktion ertragsgesetzlich Degressiv (progressiv) wachsend bedeutet, die für die Produktion einer weiteren Einheit werden immer kleiner (größer). Fikosten. Für den gilt: D ma; ök = [; Kap ] 157

18 Ganzrationale Funktionen 4. Ganzrationale Funktionen 4. Grades Situation , , , ,5 1,5 K 15 1 bestimmen zu können, versucht man diese 5 Datenpunkte mithilfe einer Funktion t 5 Eine ganzrationale Funktion zweiten oder dritten Grades ist nicht geeignet, um die Daher nehmen wir eine ganzrationale Funktion 4. Grades. Aus allen Datenpunkten lässt sich ein möglicher Funktionsterm bestimmen: f(t) =,1 t 4,5 t 3 +,66 t Parabel 4. Ordnung. f(t) = 4 mit dem GTR: t 1 = 4,4; t =,4 Ergebnis: Bemerkungen: Der Graph von f schneidet die t-achse in t 1 Nullstellen von f Die höchste Temperatur Bemerkung: Regression mit allen 158

19 Ganzrationale Funktionen Beachten Sie: Eine ganzrationale Funktion f 4. Grades ist gegeben durch: f() = a 4 + b 3 + c + d + e; a Für den maimalen Definitionsbereich einer ganzrationalen Funktion f gilt: D = Parabel 4. Ordnung. Beispiel: Gegeben ist die ganzrationale Funktion f durch f() = ; Die Koeffizienten sind a = 3, b = 1, c =, d = 5, e = stets 4 als höchste Potenz, kann aber auch 3, Bemerkung: ist ein Polnom 4. Grades. Schaubilder von ganzrationalen Funktionen 4. Grades Beispiele 1) f mit f() = 4 ; a) Smmetrie zur -Achse b) nach oben geöffnet ) f mit f() = 1 9 ( ); a) Smmetrie zur -Achse b) nach oben geöffnet 3) f mit f() = ; a) keine Smmetrie zur -Achse b) nach unten geöffnet c) K hat 3 gemeinsame Punkte mit der -Achse, Smmetrie zur -Achse: Kommen in dem Funktionsterm nur gerade Eponenten von vor, so ist das smmetrisch zur -Achse. Die Bedingung für Achsensmmetrie zur -Achse: f( ) = f() gerade Eponenten von vor: f() = a 4 + c + e 159

20 Ganzrationale Funktionen Aufgaben a) f() = b) f() = c) f() = d) f() = e) f() = f) f() = ( )( + 1) g) f() = h) f() = i) f() = = 3; = 1 und 3 = sind die Nullstellen a) durch die Punkte P(1 ) verläuft, ge 1 = 4, 3 = 1 und 4 mit K() =,1 3 6 f 1 () = 4 + 1; f () = 3 + 1; f 3 () = 1 4 ( 3)( + ); f 4 () = A D

21 Gebrochen-rationale Funktionen Betriebsoptimum und langfristige Preisuntergrenze K() = ; Zei Die Tangente vom Ursprung aus an die Kostenkurveoptimalen Kostenpunkt 1 K OKP 4 Die Steigungst k( 6 Stückkostenfunktion k mit k() = K() = = Stückkostentabelle 4 K() k() = K() OKP K(1) Wir lesen ab: kleinsten Stückkosten. K() K(4) langfristige Preisuntergrenze. Zusammenfassung: ist die Ausbringungsmenge,Verhältnis von Gesamtkosten und Ausbringungsmenge K( ) = k ( Die Stückkosten sind an der Stelle minimal, wenn die Ursprungsgerade Tangente an K in ist. Vorg Tangente an die Gesamtkostenkurve optimaler Kostenpunkt (OKP). Betriebsoptimum K 13

22 Gebrochen-rationale Funktionen ) Funktion K mit K() = 3 Gleichsetzen: K() = = 4 3 = 4 Doppelte 1 = 3 = 4 bedeutet berühren. Stückkosten K() = Stückkostenfunktion k: GTR (CAS): Für = 4 nimmt k() dem kleinsten Wert an. k(4) = 9 15 k( 1 ) 5 Ergebnis: Das Unternehmen kann den Verkaufspreis senken bis auf die minimalen Stückkosten. Dann sind alle Kosten gedeckt und es wird ohne Verlust produziert. Stückkosten minimal Betriebsoptimum das Minimum der Stückkosten: langfristige Preisuntergrenze (LPU),kleinstmögliche Verkaufspreis, 9 GE alle Kosten gedeckt, 14

23 Gebrochen-rationale Funktionen Betriebsminimum und Betriebsoptimum Betriebsminimum und die kurzfristige Preisuntergrenze Gesamtkostenfunktion K mit K() = a 3 + b + c + d v mit K v () = a 3 + b + c v mit k v () = K v () = a + b + c K() = a + b + c + d Beachten Sie: Das Betriebsminimum BM variablen Stückkosten minimal Das Minimum der variablen Stückkosten k v ( ) stellt die kurzfristige Preisuntergrenze Die variablen Stückkosten sind 5 K an der Stelle BM minimal, wenn die Gerade durch ( K()) Tangente an K in BM ist. 5 1 K v ( ) Betriebsoptimum und die langfristige Preisuntergrenze Beachten Sie: Das Betriebsoptimum BO Stückkosten minimal Das Minimum der Stückkosten k( ) stellt die langfristige Preisuntergrenze 5 Die Stückkosten sind an der Stelle BO minimal, wenn die Gerade durch den Ursprung Tangente an K in BO ist u K K( ) 4 8 1

24 Gebrochen-rationale Funktionen Aufgaben Kosten menge Die St c Die Ge

25 Gebrochen-rationale Funktionen Marktgleichgewicht 4 N () = + 1 A N A Gleichsetzen: N A () N 5 4 N 3 N A 1 vgl. S A Aufgaben estimmt N N () = A A () = N mit N () = N N als A A () = + 14 ; 17

26 Gebrochen-rationale Funktionen Wirtschaftlichkeit Beispiel DieVerhältnis wirtschaftlich, Wirtschaftlichkeitsfunktion E() K() E() K() a) Graph von W 6 4 Bemerkungen: ) = E() K() Gewinnschwelle. arbeitet wirtschaftlich, c) Ein E neu neu () = E neu () K() = K()

27 Gebrochen-rationale Funktionen Umsatzrentabilität Die Umsatzrentabilität Verhältnis Umsatzrentabilität = Umsatzrentabilitätsfunktion G() E() Beispiel Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K mit K() = K() 1 G() = Umsatzrentabilitätsfunktion ) = G() E() = K 13 ) = Nullstellen G() = 1 + = positive 1 = ; 3 Bemerkung: Gewinnschwelle b) Umsatzrentabilität von 1 % Bedingung: positive 1 19

28 Gebrochen-rationale Funktionen Aufgaben 1. Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K mit K() = und die Erlösfunktion E mit E() = 1,5; in ME. a) Bestimmen Sie die Wirtschaftlichkeitsfunktion W. Lösen Sie W() = 1. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis aus wirtschaftlicher Sicht. b) Geben Sie den Term der Umsatzrentabilitätsfunktion R für > 1 an. Bestimmen Sie die Nullstellen von R. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis. c) Der Unternehmer strebt eine Umsatzrentabilität von mindestens % an. In welchem Bereich wird dieses Ziel erreicht?. Gegeben ist die Gesamtkostenfunktion K mit K() =, und die Erlösfunktion E mit E() = 6. a) Zeichnen Sie den Graphen der Wirtschaftlichkeitsfunktion W mit W() = E() K() in ein geeignetes Koordinatensstem ein. Bei = 1 ist die Gleichung W() = 1 erfüllt. Bestimmen Sie die weitere sinnvolle. b) Bei welcher Ausbringungsmenge beträgt die Umsatzrentabilität genau %? c) Zeigen Sie: Bei = 4 erzielt der Unternehmer eine Umsatzrentabilität von ca. %. 3. Die Abbildung zeigt die Kostenkurve und die Erlösgerade für ein Unternehmen. a) Bestimmen Sie den Funktionsterm von K und E anhand der Zeichnung. 15 b) Skizzieren Sie den Graph der 1 Wirtschaftlichkeitsfunktion und machen 5 Sie Aussagen über deren Verlauf. 1 Welche Wirtschaftlichkeit kann maimal errreicht werden? c) Der Unternehmer strebt eine Umsatzrentabilität von 1 % an. Bei welcher Ausbringung kann er das Ziel erreichen? d) Zeigen Sie, dass eine Umsatzrentabilität von % nicht möglich ist. 4. K mit K() = von Stück einer Ware. Ermitteln Sie den Stückpreis p, sodass gilt W() = 1,5.

29 Eponentialfunktionen 6 Eponentialfunktionen 6.1 Einführung Situationen 1) Ein Betrag von 1 wird auf zwei verschiedene Arten zu 5 % Zinsen angelegt. a) Die Zinsen werden nicht mitverzinst. b) Die Zinsen werden mitverzinst. 3 a) Kapital nach Jahren: b) K() = 1 +,5 1 = Das Kapital erhöht sich jedes Jahr um 5, also linear, 1 nach 1 Jahren: K(1) = 15; nach Jahren: K() =. b) Kapital nach Jahren: K() = 1 1,5 Jedes Jahr wächst das Kapital mit dem Faktor 1,5. Das Kapital erhöht sich eponentiell z. B. nach 1 Jahren: K(1) = 168,89; nach Jahren: K() = 653, Bemerkung: f mit f() = 1 1,5, ist eine Eponentialfunktion. ) Ein Glas Milch im Kühlschrank hat eine Temperatur von 6 C. Nimmt man die Milch heraus, dann erwärmt sie sich. Dieser Vorgang lässt sich durch folgenden Funktionsterm beschreiben: f() = 14,7,1 ; in Minuten, f() in C. Wie hoch ist die Zimmertemperatur? Wertetabelle: 15 a) Die Erwärmung ist abgeschlossen, wenn die Milch Die Zimmertemperatur beträgt C. 4

30 Eponentialfunktionen Bei den bisher betrachteten Funktionen (z. B. f mit f() = ) war die Basis variabel und die Hochzahlen konstante natürliche Zahlen. Ist die Hochzahl variabel und die Basis eine positive Zahl, dann ergibt sich ein neuer Funktionstp, die Eponentialfunktion. Eine Funktion f mit f() = a ; a > ;, heißt Eponentialfunktion zur Basis a. Die Abbildung zeigt die Schaubilder einiger Eponentialfunktionen. = ( 1_ ) = ( 1_ 3 ) Eigenschaften der Eponentialfunktion f mit f() = a ; a > 1. D =. Die Schaubilder verlaufen im II. und im I. Quadranten, denn es gilt a > für alle, d. h., sie schneiden die -Achse nicht. 3. Für a >1 nähern) der -Achse an. ) der -Achse an. Die -Achse ist waagrechte Asmptote. 4. Alle Schaubilder verlaufen durch den Punkt S( 1), denn a = 1 für jedes positive a. 5. Für a > 1 und wachsende -Werte ergeben sich wachsende -Werte. Diese Eigenschaft einer Funktion heißt monoton steigend. Für < a < 1 und wachsende -Werte ergeben sich fallende -Werte. Diese Eigenschaft einer Funktion heißt monoton fallend. Beachten Sie: Eine Funktion f heißt streng monoton wachsend, wenn aus 1 < folgt: f( 1 ) < f( ). 6. Das Schaubild der Funktion f mit f() = ( 1 ) entsteht aus dem Schaubild 5 der Funktion f mit f() = durch Spiegelung an der -Achse. Ersetzen Sie durch ( ) Begründung: = 1 = 1 Spiegelung an der -Achse = ( 1 ) = 3 = 5

31 Eponentialfunktionen Aufgaben 1. Wie viele Reiskörner liegen auf dem 64. Feld eines Schachbretts, wenn man auf das 1. Feld ein Reiskorn, auf das. zwei, auf das 3. vier, auf das 4. acht Reiskörner usw. legt? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Weltjahresproduktion von Reis.. a) Erstellen Sie für die Funktion f mit f() =,5 3 ;, eine Wertetabelle für ? das Schaubild K von f. Lösen Sie folgende (Un-)Gleichungen mit dem GTR (CAS): f() = 5; f() =,5;,5 3 b) G ist das Schaubild der Funktion g mit g() = 3 1;. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von K und G. 3. Die Abbildung zeigt Ausschnitte aus den 8 A B Schaubildern der Funktionen f mit f() = 3,5 1 und g mit g() = 3,5 1 ;. Ordnen Sie jedem Schaubild einen 6 4 Funktionsterm zu und begründen Sie 4 4 Ihre Entscheidung. 4. Frieder lässt einen Ball aus m Höhe auf einen festen Boden fallen. Der Ball springt nach jedem Aufprall jeweils auf 9 % der Höhe zurück, aus welcher er gefallen ist. Welche Höhe erreicht der Ball nach dem 5. bzw. 8. Aufprall? Welcher Funktionsterm f(n) gibt die Höhe nach dem n-ten Aufprall an? 5. Im Jahr 1 lebten in der Bundesrepublik 81,7 Millionen Menschen. Aufgrund der Bevölkerungsstruktur kann die Bevölkerungszahl (in Millionen) beschrieben werden durch die Funktion f mit f() = 81,7,997 Das Jahr 1 entspricht =. a) Wie groß ist die jährliche Abnahme in %? b) Wann wird zum ersten Mal die Zahl 8 Millionen unterschritten? Mit welcher Bevölkerungszahl ist im Jahre 1 zu rechnen? 6

32 Eponentialfunktionen 6.3 Die Euler sche Zahl e Beispiel Nehmen wir an, wir hätten 1 bei einer (sehr großzügigen) Bank zu 1 % angelegt. Nach einem bestimmten Zeitabschnitt (z. B. nach einem Monat) wird der Zins dem Konto gutgeschrieben und ab dem nächsten Zeitabschnitt (ab dem nächsten Monat) mitverzinst. Wie groß ist dann das Kapital am Ende des Jahres? Die Zinsgutschrift erfolgt Kapital am Ende des Jahres jährlich K 1 = = vierteljährlich K 4 = (1 + 1_ ) (1 + 1_ ) (1 + 1_ ) (1 + 1_ ) Kapital nach dem Quartal K 4 = (1 + 1_ 4 ) 4 =,44 monatlich K 1 = ( ) ( )... ( ) Kapital nach dem Monat K 1 = ( ) 1 =,61 täglich K 36 = ( ) 36 =,71 in n gleichen Abschnitten eines Jahres: K n = (1 + 1_ n ) n Schreibt man die Zinsen in immer kürzeren Abständen (d. h., n geht gegen unendlich) dem Kapital gut, so spricht man von einer stetigen Verzinsung. Das Kapital von 1 steigt am Ende des Jahres jedoch nicht ins Unendliche, sondern strebt gegen eine feste Zahl, wie man anhand der Tabelle erkennen kann. n (1 + 1_ n ) n, ,748..., , Fache. Die (irrationale) Zahl, heißt Euler sche Zahl e. Euler sche Zahl e =, Zinszuschlag in einem Jahr (stetige Verzinsung) den Wert K* = K e an. Die Euler sche Zahl e ist der Grenzwert von (1 + 1 n ) n 1 Schreibweise: e = lim (1 + n ) n 7

33 Eponentialfunktionen 6.4 Eponentialfunktionen zur Basis e In den Naturwissenschaften, in der Technik und in den Wirtschaftswissenschaften sind die Eponentialfunktionen von überragender Bedeutung. Dabei spielt die Basis e eine besondere Rolle. e =, (Euler sche Zahl) Die zugehörige Eponentialfunktion zur Basis e lautet: f mit f() = e ;. Viele mathematische Probleme, die mit einer Eponentialfunktion beschrieben werden können, löst man in der Prais mit einer Eponentialfunktion zur Basis e (e-funktion). Eigenschaften der Eponentialfunktion f mit f() = e k 1. D =. Das zugehörige Schaubild verläuft oberhalb der -Achse: e k > = e f hat keine Nullstellen. 3. e k e k Die -Achse ist waagrechte Asmptote. 4. S( 1) liegt auf K f, denn e = 1. Mit dem GTR: Y 1 : = e bzw. Y : = e = e Wertetabelle Funktionswerte: e = 1 e = e 1 e 1 1 = e e 1 e 1 1 = e 1 5 8

34 Eponentialfunktionen Beispiele 1) Gegeben ist die Funktion f mit f() = 1 e ;. Skizzieren Sie das Schaubild K von f. Wie verläuft K? Kennzeichnen Sie f( 1). Wo schneidet K die Koordinatenachsen? Bestimmen Sie f( + 1). Verlauf von K: vom 3. in das 1. Feld, K nähert sich für der Geraden mit = an (waagrechte Asmptote), monoton wachsend. Mit dem GTR: SP ( 1,5); SP (1,39 ) f( + 1) = 1 e + 1 = 1 e e Bemerkung: Zur eakten Berechnung der Nullstelle von f mit der Bedingung f() = ist eine Eponentialgleichung zu lösen: 1 e = ) Die Gesamtkostenfunktion eines Industrieunternehmens für ein neues Produkt ist durch die Funktion K mit K() = 6 e,5 gegeben. Stückkosten. Berechnen Sie die jeweiligen Kosten für eine Produktionsmenge von 1 ME. Die Gesamtkosten dieser Periode dürfen Geldeinheiten (GE) nicht übersteigen. Berechnen Sie die maimale Produktionsmenge. Gesamtkosten K mit K() = 6 e,5 = K() Fie Kosten K f = K() = 6 6 Fie Stückkosten: k f () = 4 ; k f (1) = 6 3 Variable Gesamtkosten: K v () = 6 e,5 6 1 K(1) = 98,9; K v (1) = 38,9 Maimale Produktionsmenge Bedingung: K() = 6 e,5 = Die maimale Produktionsmenge beträgt 4 ME

35 Eponentialfunktionen Aufgaben 1. Gegeben ist die Funktion f mit f() = e ;. Skizzieren Sie das Schaubild K von f. Wie verläuft K? Kennzeichnen Sie f( 1). Wo schneidet K die -Achse? Begründen Sie, warum K keine gemeinsamen Punkte mit der -Achse hat. Formulieren Sie einen Zusammenhang von f() und f( + 1).. Gegeben ist die Funktion f mit f() = e ;. Skizzieren Sie das Schaubild K von f. Wie verläuft K? Kennzeichnen Sie f(1). Wo schneidet K die Koordinatenachsen? Für welche -Werte gilt: f() < 1? Ermitteln Sie den gemeinsamen Punkt von K und der Geraden mit =, Gegeben ist der Graph K der Funktion H f mit f() = e 4 K. 3 Die beiden Kurven G und H entstehen durch eine Abbildung von K. 1 Bestimmen Sie die zugehörigen Funktionsterme. G 4. Gegeben ist der Graph K der Funktion f mit f() = e. Durch Abbildung von K entsteht das Schaubild der Funktion g mit g() = a e + b. Bestimmen Sie a und b, wenn es sich um a) eine Verschiebung um 3 nach oben, b) eine Verschiebung um nach rechts. c) eine Streckung in -Richtung mit dem Faktor,5 handelt. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR. Welche gemeinsame Eigenschaft haben alle Kurven? 5. Gegeben ist die Funktion f mit f() = e und die Funktion g mit g() = e ;. a) Zeichnen Sie die Schaubilder der beiden Funktionen. b) Lösen Sie die Gleichungen f() =,5; g() = 4 und f() = g(). 6. Die Gesamtkostenfunktion eines Industrieunternehmens für ein neues Produkt ist durch die Funktion K mit K() = 6 e,5 gegeben. Die Preisabsatzfunktion p N wird mit p N () = e,4 beschrieben. Ermitteln Sie die Gewinnfunktion G und untersuchen Sie, ob bei einer Absatzmenge von = 4; = 13 und = ein Gewinn erzielt wird. Bestimmen Sie daraus ein größtmögliches Gewinnintervall mit ganzzahligen Grenzen. 3

36 Eponentialfunktionen 6.7 Eponentialfunktionen und ihre Anwendungen Eponentielles Wachstum und eponentieller Zerfall Beispiele 1) Auf einem Konto sind 1, fest angelegt. Der jährliche Zinssatz beträgt 8 %. a) Wie kann man das Kapital nach einer beliebigen Zeit berechnen? b) Nach welcher Zeit hat sich das Kapital auf 14, erhöht? c) Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich das Kapital? a) Kapital nach t Jahren (mit Zins und Zinseszins) = 1 1,8 t Dieses eponentielle Wachstum wird mit der Eponentialfunktion f mit f(t) = 1 1,8 t ; t in Jahren, beschrieben. In der Prais wählt man als Basis die Zahl e. Mit 1,8 = e ln(1,8) erhält man: f(t) = 1 1,8 t = 1 ( e ln(1,8) ) t = 1 e,77t Zum Zeitpunkt t = ergibt sich für das Kapital: f() = 1 (Anfangsbestand). Festlegung: k = ln(1,8) =,77 > ist die Wachstumskonstante. Bemerkung: Das Kapital vermehrt sich mit dem Wachstumsfaktor 1,8. =1 e,77t bezeichnet man als Wachstumsgleichung. Beachten Sie: Prozesse eponentiellen Wachstums können mit einer Eponential- kt k > ist die Wachstumskonstante; a = f() ist der Anfangsbestand. b) Bedingung für t: f(t) = 14 1 e,77t = 14 e,77t = 1,4 Gesuchter t-wert,77t = ln(1,4) t = 4,4 Ergebnis: Nach ungefähr 4,4 Jahren hat man 14, auf dem Konto. c) Bed. für die Verdoppelungszeit: f(t) = f() = 1 e,77t e,77t = Logarithmieren ergibt: t = ln(),77 = 9, ( t V = ln() k ) Die Verdoppelungszeit wird mit t V bezeichnet und beträgt 9 Jahre. Beachten Sie: Die Verdoppelungszeit t V ist die Zeit, in der sich der Bestand verdoppelt. t V ist unabhängig vom Anfangswert : t V = ln() k. 45

37 Eponentialfunktionen ) Ein Zerfallsprozess eines radioaktiven Präparats lässt sich beschreiben durch f(t) = a e kt ; t in Tagen. a) Berechnen Sie a und k, wenn nach 5 Tagen noch 1 g, nach 1 Tagen noch 4,3 g vorhanden sind. b) Nach wie vielen Tagen sind 9 % der ursprünglichen Masse zerfallen? c) Berechnen Sie die Halbwertszeit. a) Bestimmung von a und k: f(5) = 1: a e k 5 = 1 (1) f(1) = 4,3: a e k 1 = 4,3 () Aus (1): a = 1 e 5k ; einsetzen in (): 1 e 5k e k 1 = 1 e 5k = 4,3 Logarithmieren: k =,53 Aus a e,53 5 = 1 folgt: a = 33,5 Zerfallsgleichung: f(t) = 33,5 e,53 t Bemerkung: k =,53 < ist die Zerfallskonstante, f() = a ist der Anfangsbestand. b) 9 % der ursprünglichen Masse des Präparats sind zerfallen, 1 % sind noch vorhanden. Bedingung für t: f(t) =,1 33,5 33,5 e,53t = 3,35 e,53t =,1 Logarithmieren ergibt: t = 11, Ergebnis: Nach etwa 11, Tagen sind 9 % der ursprünglichen Masse zerfallen. c) Halbwertszeit ist die Zeit, in der sich die Masse einer radioaktiven Substanz auf die Hälfte des Anfangswertes vermindert. Bedingung für die Halbwertszeit: f(t) =,5 33,5 33,5 e,53t =,5 33,5 e,53t =,5 Logarithmieren ergibt: t = ln(,5),53 = 3,4 ( t H = ln(,5) k = ln() k ) Die Halbwertszeit wird mit t H bezeichnet und beträgt etwa 3,4 Tage. Beachten Sie: Prozesse eponentiellen Wachstums und Zerfalls können mithilfe einer Eponentialfunktion beschrieben werden: f(t) = f() e kt Dabei gilt: f() ist der Anfangsbestand, e k ist der Wachstumsfaktor (Zerfallsfaktor). Für k > ist k die Wachstumskonstante, für k < ist k die Zerfallskonstante. f(t) gibt den vorhandenen Bestand zum Zeitpunkt t an. Halbwertszeit t H und Verdoppelungszeit t V sind unabhängig vom Anfangsbestand: t H = ln() k bzw. t V = ln() k. 46

38 Eponentialfunktionen 3) Die Anzahl der Individuen einer Population wurde im Laufe von 5 Wochen gemessen: t (in Wochen) Bestand f(t) a) Begründen Sie die Annahme, dass f(t) ungefähr eponentiell zunimmt. Bestimmen Sie das Wachstumsgesetz. b) Wie groß ist voraussichtlich der Bestand nach den ersten 1 Wochen? In welcher Zeit verdoppelt sich die Zahl der Individuen? a) Eponentielles Wachstum liegt vor, wenn die Anzahl der Individuen in einer Woche stets mit dem gleichen Faktor wächst. f(1) f() 1,173 ; f() f(3) f(1) 1,173; f() 1,174 f(t + 1) f(t) 1,174 Der Wachstumsfaktor beträgt also etwa 1,174. Die Anzahl der Individuen nimmt in einer Woche um 17,4 % des letzten Bestandes zu (Bestand zu Wochenbeginn). Wachstumsgesetz f(t) = 85 1,174 t Mit 1,174 = e ln 1,174 = e,16 erhält man f(t) in e-basis: f(t) = 85 e,16t f(t +1) Beachten Sie: Eponentielles Wachstum bedeutet: f(t) = e k Wachstum um den gleichen Faktor in der gleichen Zeiteinheit. Wachstumsgesetz auch durch eponentielle Regression: Ergebnis: f(t) = 84,8 1,174 t oder f(t) = 84,8 e,16t b) Bestand nach 1 Wochen: f(1) = 85 e,16 1 = 48, Der Bestand nach den ersten 1 Wochen beträgt etwa 48 Individuen. Bedingung für die Verdoppelungszeit: 3 f(t) = f() 85 e,16t = 165 e,16t = Logarithmieren: t = 4,33 1 Die Verdoppelungszeit t V beträgt t V t V etwa 4,3 Wochen t 47

39 Eponentialfunktionen Aufgaben 1. Um wie viel % nimmt ein eingesetztes Kapital in 8 Jahren zu, wenn der Jahreszins 4,6 % beträgt und die Zinsgutschrift jährlich (monatlich) erfolgt.. Im Jahre 198 hatte ein Bundesland 8, Millionen Einwohner. Im Jahre 6 wurden 9 Millionen Einwohner gezählt. a) Bestimmen Sie die Wachstumsgleichung (eponentielles Wachstum unterstellt). b) Wie viele Einwohner hat das Land im Jahr 3, wenn die Zuwanderung außer Acht gelassen wird? c) Berechnen Sie die Verdoppelungszeit und die jährliche Zuwachsrate in Prozent. d) In welchem Jahr wird die 1-Millionen-Marke überschritten? 3. Eine radioaktive Substanz zerfällt nach dem Gesetz g(t) = g() e,1 t. Dabei gibt g(t) die Masse des Präparates in Gramm zum Zeitpunkt t (t in Tagen) nach Beginn der Messung an. a) Welche Masse war zu Beginn der Messung (t = ) vorhanden, wenn nach Tagen noch 4 g übrig sind? Geben Sie das Zerfallsgesetz an. b) Nach wie viel Tagen ist nur noch 1 % der ursprünglichen Masse vorhanden? c) Berechnen Sie die tägliche Zerfallsrate in Prozent und die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz. 4. Ein radioaktiver Stoff zerfällt. Dabei nimmt seine Masse täglich um 8 % ab. Wie viel g sind nach 14 Tagen noch vorhanden, wenn es ursprünglich 5 g waren? Nach wie vielen Tagen sind 95 % der ursprünglichen Masse des radioaktiven Stoffes zerfallen? Wie lange ist die Halbwertszeit? f(t) = e,58t Bestimmen Sie den Anfangsbestand der Fliegen, die tägliche Zuwachsrate (in Prozent) und die Verdoppelungszeit. Wie viele Fliegen zählt man nach 31 Tagen? 6. Der Tabelle kann man die Bevölkerungsentwicklung eines Landes für den Zeitraum von 3 Jahren entnehmen (Angabe in Millionen). Zeit t in Jahren 1 3 Anzahl N in Millionen 3,9 5,3 7, 9,78 Weisen Sie nach, dass die Bevölkerungsentwicklung in diesem Zeitraum durch eine Funktion mit der Gleichung N(t) = a e b t näherungsweise beschrieben werden kann. Berechnen Sie, in welcher Zeit sich die Bevölkerungszahl unter den gegebenen Bedingungen verdoppelt. 48

40 Eponentialfunktionen Beschränktes Wachstum und beschränkter Zerfall Beispiele 1) Nimmt man Milch aus dem Kühlschrank, hat sie eine Temperatur von 6 C, danach erwärmt sie sich. Die Zimmertemperatur beträgt C. Dieser Vorgang lässt sich durch den Funktionsterm beschreiben: f() = 14 e, in Minuten, f() in C. Man stellt fest: Die Erwärmung verläuft nicht linear. Wertetabelle f() 6 7,33 14,84 18,1 19,3 Die Erwärmung ist abgeschlossen, wenn die Milch Zimmertemperatur ( C) hat. Schranke. S = heißt Sättigungsgrenze. Man spricht von beschränktem Wachstum. Das Schaubild von f hat die waagrechte Asmptote mit der Gleichung =. Vergleich von f(1) mit f() ergibt: In der 1. Minute erwärmt sich die Milch um 1,3 C. Von der. bis zur 3. Minute erwärmt sich die Milch um 19,3 C 18,1 C 1 min =,1 C min. Die Erwärmungsgeschwindigkeit ist am Anfang am größten und wird stets kleiner. Beachten Sie: Prozesse beschränkten Wachstums und Zerfalls können mithilfe einer Eponentialfunktion beschrieben werden: f(t) = S b e kt Beschränktes Wachstum für b > Beschränkter Zerfall für b < f() = S b ist der Anfangsbestand S ist die Sättigungsgrenze; f(t) strebt gegen S: lim f(t) = S k ist die Wachstums- oder Zerfallskonstante: k ist stets positiv. f(t) gibt den vorhandenen Bestand zum Zeitpunkt t an. 49

41 Eponentialfunktionen ) Eine Flüssigkeit wird auf 9 C erhitzt. Dann lässt man sie bei einer Umgebungstemperatur von C abkühlen. Bei diesem Eperiment erhält man folgende Messreihe: Zeit t in Minuten Temperatur in C a) Stellen Sie die Messdaten in einem Koordinatensstem dar. Modellieren Sie den gegebenen Zusammenhang. b) Die Funktion h mit h(t) = + 7 e beschreibt einen Abkühlungsvorgang. Dabei ist t die Zeit in Minuten und h(t) die Temperatur in C. Berechnen Sie die Zeit, die vergeht, bis Trinktemperatur (5 C) erreicht ist. Um wie viel C sinkt die Temperatur in der 13. Minute? a) Annahme: Die Temperaturwerte 8 fallen beschränkt mit der Schranke S =. 6 Ansatz für beschränkten Zerfall: 4 f(t) = b e kt Mit f() = 9 folgt: 9 = b e k Wegen e = 1 erhält man: b = 7 f(t) = + 7 e kt t Punktprobe mit z. B. (5 ) ergibt: f(5) = = + 7 e 5k 5k e 5k 1 = 35 Logarithmieren ergibt: k =,711 Modellierung des Abkühlvorganges durch f(t) = + 7 e,711t Bemerkung: Funktionsterm auch durch Regression, nachdem alle -Werte um b) Bedingung: h(t) = 5 5 = + 7 e e 3 = 7 Logarithmieren ergibt: t = 4, Der Tee benötigt etwas mehr als 4 Minuten, um auf Trinktemperatur abzukühlen. Temperaturabnahme in der 13. Minute: Temperaturwerte: f(1) = 6,35 f(13) = 5, In der 13. Minute sinkt die Temperatur um 1,15 C. 5

42 Eponentialfunktionen Aufgaben 1. Das Newton sche Abkühlungsgesetz T(t) = T U + ( T T U ) e kt beschreibt den Temperaturverlauf eines auf die Temperatur T erwärmten Körpers, der z. B. durch eine Umgebung mit konstanter Temperatur T U abgekühlt wird. T(t) ist die momentane Temperatur (in C) zur Zeit t (in Min.) mit t. a) Bei einer Umgebungstemperatur von C hat sich der Körper von anfangs 8 C in den ersten 3 Minuten auf 4,7 C abgekühlt. Bestimmen Sie k auf drei Dezimalen gerundet. (Kontrollergebnis: k =,85) b) Zeichnen Sie das Schaubild von T. Beschreiben Sie den Verlauf. Welche Bedeutung hat die Asmptote? c) Nach welcher Zeit ist die Temperatur um 3 C abgesunken? d) Ab welchem Zeitpunkt nimmt die Temperatur des Körpers für dieses k in einer Minute um weniger als ein Grad ab?. Die Entwicklung der Biomasse eines Gehölzbestandes in Abhängigkeit von der Zeit kann durch den Funktionsterm g(t) = a 1 e kt ; t ; a, k >, näherungsweise beschrieben werden. Dabei ist g(t) die Maßzahl der Biomasse in 1 Tonnen und t die Maßzahl der Zeit in Jahren. Die Parameter a und k sind Konstanten, die u. a. von der Gehölzart und den klimatischen Bedingungen abhängen. Die Biomasse zu bestimmten Zeiten ist in der nachfolgenden Tabelle angegeben: Zeit t in Jahren 1 Biomasse in 1 Tonnen 1 16,31 a) Berechnen Sie den jeweiligen Wert von a und k und bestimmen Sie einen Funktionsterm g(t) für die Biomasse. (Teilergebnis zur Kontrolle: k =,1) b) Für t strebt die Biomasse gegen einen Grenzwert. Bestimmen Sie diesen Wert. c) Der Bestand soll wirtschaftlich verwertet werden, wenn die Biomasse 95 % dieses Grenzwertes erreicht hat. Berechnen Sie die Zeit bis zur Verwertung. 3. Zur Untersuchung eines Organs werden dem Patienten 59 mg eines Farbstoffes gespritzt. Der gesunde Körper baut pro Minute 4 % des Momentanbestandes ab. Ist der Patient gesund, wenn nach Minuten noch 3 mg Farbstoff im Blut sind? 51

43 Eponentialfunktionen Degressive Abschreibung Eine Anlage zum Anschaffungswert von 6 soll mit einem Prozentsatz von % degressiv abgeschrieben werden. a) Berechnen Sie den Restbuchwert und den Abschreibungswert nach n Jahren. b) Nach wie viel Jahren sollte der Unternehmer zur linearen Abschreibung wechseln? Berechnen Sie diesen Zeitpunkt, wenn die Nutzungsdauer 1 Jahre beträgt. a) Der Abschreibungssatz von % bezieht sich auf den Buchwert RW = 6. Der Restbuchwert nach 1 Jahr beträgt: RW 1 = 6,8 = 48 Der Restbuchwert nach Jahren beträgt: RW = 48,8 = 384 Der Prozentsatz wird stets vom verbliebenen Restbuchwert abgeschrieben. Der Restbuchwert nach n Jahren beträgt: RW n = 6,8 n Der Abschreibungswert a n ist jeweils % des jeweiligen Restbuchwertes. Damit gilt: a 1 =, RW = 1 Abschreibungswert nach Jahren: a =, RW 1 =,,8 RW Abschreibungswert a n nach n Jahren: a n =, RW n 1 =,,8 n 1 RW Restwert Abschreibungsbetrag a n =,8 n 1 a 1 =,8 n 1 1 t (Jahr) Restbuchwert nach (n 1) Jahren b) Linearer Abschreibungsbetrag nach n Jahren: a Ln = restliche Nutzungsdauer RW m: gesamte Nutzungsdauer a Ln = n 1 m (n 1) Bedingung für den Wechselzeitpunkt: Linearer Abschreibungswert = degressiver Abschreibungswert a n = a Ln,,8 n 1 RW =,8 n 1 RW 1 (n 1) Nutzungsdauer 1 Jahre, also m = 1. 1 Vereinfachung mit m = 1:, = 11 n n = 6 Der 6. Abschreibungsbetrag ist nach der degressiven Methode genau so hoch wie nach der linearen Methode. Der Unternehmer wechselt zur linearen Abschreibung. 5