Sonderforschungsbereich393. NumerischeSimulationauf massivparallelenrechnern S N NUMERISCHE SIMULATION PARALLELE SFB 393

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1 Sonderforschungsbereich393 NumerischeSimulationauf massivparallelenrechnern PARALLELE S N NUMERISCHE SFB 393 SIMULATION Arbeits{undErgebnisbericht 2002{2003{2004

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3 ARBEITS{UNDERGEBNISBERICHT2002{2003{2004 SFB393 DeutscheForschungsgemeinschaft Sonderforschungsbereiche MagnizenzderTechnischenUniversitatChemnitz uber BezeichnungdesSonderforschungsbereichs: NumerischeSimulationaufmassivparallelenRechnern ParalleleNumerischeSimulationfurPhysikundKontinuumsmechanik Sprecherhochschule:TechnischeUniversitatChemnitz Sprecher: Prof.Dr.ArndMeyer FakultatfurMathematik Sekretariat: NumerischeAnalysis FakultatfurMathematik NumerischeAnalysis TUChemnitz TUChemnitz D-09107Chemnitz Tel.:0371/531/2659 D-09107Chemnitz Tel.0371/531/2659 WWW-Homepage: Fax:0371/531/2657 Chemnitz,den30.April2004 Chemnitz,den30.April2004 (Prof.Dr.rer.nat.habil.ArndMeyer) {SprecherdesSFB393{ (Prof.Dr.-Ing.habil.Klaus-JurgenMatthes) {RektorderTUChemnitz{ PARALLELE S N NUMERISCHE SFB 393 SIMULATION

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5 Inhaltsverzeichnis 1 AllgemeinerTeil/Zusammenfassung 1.1 WissenschaftlicheEntwicklungdesSonderforschungsbereichs EntwicklungderKooperationimSonderforschungsbereich StellunginnerhalbderHochschule ForderungderLehreunddeswissenschaftlichenNachwuchses ProjektbereichA Projektbereiche 11 A3-Parallele,adaptiveLoser A7-WaveletsfurRandintegraloperatoren A11-GemischteFE-Methoden 45 A12-FEMvomNitsche-Typ A13-RandkonzentrierteFinite-Elemente-Methoden ProjektbereichB A14-FeinstrukturimBernoulli{Anderson{Modell ProjektbereichC B8-ParallelisierungirregularernumerischerAlgorithmen C3-RelaxationkomplexerSysteme C1-LokalisierungelektronischerZustandeinamorphenMaterialien C7-BandstrukturprogrammfurAmorphisierungsphanomeneanGrenzachen 165 C8-LangzeitverhaltengroerdynamischerSysteme ProjektbereichD 199 D2-Algorithmenfurphasengekoppelte,disperseMehrphasenstromungen D1-Simulationelastisch-plastischerDeformationen D5-Kumulantenmethode GesamtdokumentationderAktivitaten 3.1 Aktivitatenliste Seminare,VortrageundPrasentationeninChemnitz UbersichtuberWorkshopsundTagungen Gasteprogramm,wissenschaftlicheKontakte

6 UbersichtuberdieVeroentlichungen... Qualikationen ReferierteLiteratur BeitrageinProceedings;SonstigeVeroentlichungen PreprintreihedesSFB BeitrageimInternet

7 KAPITEL1 AllgemeinerTeil/Zusammenfassung

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9 AllgemeinerTeil/Zusammenfassung WissenschaftlicheEntwicklungdesSonderforschungsbereichs InderdrittenArbeitsperiodedesSFB393wurdendieGrundlagenuntersuchungenund Experimentalrealisierungen furdienumerischengrundproblemebeimodernerfemundbemundihreschnellenloser(projektbereicha); zurparallelisierungtypischeranwendungen(projektbereichb); furdieanwendungaufnumerischesimulationenderphysik(inprojektbereichc) sowie furdiesimulationkontinuumsmechanischerfragestellungen(inprojektbereichd) erfolgreichweitergefuhrt. DiesbetritzumeinendisziplinareErgebnisseindeneinzelnenTeilprojekten,zumanderensinddiemeistenForschungsleistungenimSFB393durchdasinterdisziplinare ZusammenwirkenvonWissenschaftlernausmehrerenFakultatengekennzeichnetoder wurdendurchdiediskussionenimsfb{seminarbesondersbefruchtet,wasimfolgendenabschnittgenauerausgefuhrtwird. ImProjektbereichAwurdenhauptsachlich adaptivefiniteelementetechnikeninihrergesamtheituntersucht,einschlielich {neuedatenstrukturenz.b.zurvergroberung, {anisotropefehlerschatzer/netzsteuerungen, {2D{ImplementierungfurweitereAnwendungsklassenwieKontaktmitvariablenHindernissen,Rissfortschritt,gemischteProbleme {parallele3d{implementierungmitrebalancing. Wavelet-GalerkinverfahrenfurIntegralgleichungenaufkomplexenOberachenentwickelt,mitbiorthogonalenWaveletbasenfurstuckweiseglatteundWaveletkonstruktionennachTausch/WhitefurstuckweiselinearapproximierteOberachen. mitnumerischenundanalytischenmethodendieresonanzenindereigenwertstatistikzufalligermatrizenmitsingularerverteilunguntersucht. ImProjektbereichBwurde dieadaptive3d{femdurchschaungeiner"communicationengine\ineinemoderneparallelvariantefurbeliebigeclustersystemeundrebalancierungstechniken erhoben.

10 8 AllgemeinerTeil/Zusammenfassung ImProjektbereichCwurden elektrischeundthermischetransporteigenschaftenstarkungeordneter,quanten- mechanischersystememittelsnumerischerverfahrenuntersucht,wobeiderein- ussvonmagnetfeld,vielteilchenwechselwirkung,potentialkorrelationundendlicherphasenkoharenzlangeaneinemmetall-isolator-ubergang(miu)immittelpunktstanden, RelaxationmechanismeninkomplexenSystemenezientsimuliertundanalysiert, wobeieinerseitsdasuberwindenvonenergetischenbarrierenundzumanderendie KonnektivitatimZustandsraumzueinerReiheinteressanterEekte,wiez.B.den Alterungsphanomenenfuhrte, diekomplexestrukturbildungangrenzachenzwischensiliziumundfruhenubergangsmetalleneinschlielichamorphermodikationenuntersucht,wobeizurberechnungelektronischerbandstrukturenparallelisierteprogrammeunterverwendungeinergemischtenbasisausebenenwellenundlokalisiertenfunktionenzum Einsatzkamen, furnichtlinearedynamischesystememitvielenfreiheitsgradendieaufdeckungder ZusammenhangezwischencharakteristischenGroendernichtlinearenDynamik, wiez.b.lyapunovspektren,undmakroskopischengroen,wiez.b.transportkoezienten,durchdieentwicklungvonlangzeitalgorithmenvorangetrieben. ImProjektbereichD istdienumerischesimulationnichtlinearermaterialmodellederfestkorpermechanikaufdergrundlageadaptiverfe-algorithmenwesentlicheektivergestaltet worden.nebenderanpassungvonfehlerschatzernaufkomplexeproblemstellungenderelasto-plastizitatgroerverzerrungenundderrissbruchmechanikwurden neuartigestrategienzur Netzvergroberungrealisiert. UbertragungvonFeldgroenbeiNetzverfeinerungund wurdediepraxisrelevanzderentwickeltensoftwaredurchdieberucksichtigungdes 2D-KontaktesgegenstarreHindernissewesentlicherweitert. wurdediesimulationvonschadigungsrissenundrissfortschrittmitadaptiver LosertechnikdurcheinespezielleNetzteilungsstrategieefolgreichausgefuhrt. istdienumerischesimulationvondispersenmehrphasenstromungen(fluid{feststo{stromungen)mittelsparallelereuler{lagrange{verfahrenimwesentlichen zumabschlussgebrachtworden. wurdengaskinetischmotiviertesimulationsmethodenmitneuformuliertenthermischenrandbedingungenerfolgreichanverschiedenenproblemenausderkinetischentheorieundfluiddynamikgetestetundfe-formulierungenaufdieherleitungdermethodenubertragen.

11 1.2EntwicklungderKooperationimSonderforschungsbereich EntwicklungderKooperationimSonderforschungsbereich DieinterdisziplinareZusammenarbeitvonWissenschaftlernverschiedenerFachdisziplinenhatanderTUChemnitzeinelangeTraditionundwurdezueinemHauptmerkmal dessfb393. SosinddiemeistenForschungsleistungenimSFB393durchdasinterdisziplinareZusammenwirkenvonWissenschaftlernausmehrerenFakultatengekennzeichnet. DiesbeziehtsicherstensaufdiegemeinsameBearbeitungderTeilprojekteinDdurch Ingenieure,NaturwissenschaftlerundMathematiker.SowurdedieerfolgreicheSimulationvon2{dimensionalemRisswachstumdurchdieKombinationvonadaptivenFiniten ElementenundangepassterhierarchischerLosertechnikeinerseitsmitmechanischrelevantenRissfortschrittskriterienandererseitserreicht.ZweitensergabdieZusammenarbeitderMathematikermitdenInformatikern(Tp.A3/A11/A12mitB8)eineneueParallelrealisierungfureziente3D{FiniteElementeRechnungenmitAdaptivitat.Drittens wardiezusammenarbeitzwischenkollegenausderphysik(projektbereichc)undder MathematikbesondersindenTeilprojektenA13undD5manifestiert.Dieswirdsich inderfortfuhrungnebend5besondersinweiterergemeinsamerprojektbearbeitung innerhalbc8ausdrucken. 1.3 StellunginnerhalbderHochschule AnderTUChemnitzwerdenimBerichtszeitraumvierSonderforschungsbereichevon derdfggefordert.dersfb393arbeitetaufdemauchinternationalexponiertenwissenschaftsproldes"highperformancecomputing\,wasnichtzuletztdurchgrozugige Forderungenindenletzten20JahreneinenbedeutendenAufschwungerlebthat.Damit istinchemnitzeinbesondereskompetenzzentrumentstanden,wasauchzukoope- rationsbeziehungenzuanderenforschungseinrichtungensachsens(tudresden,tu- BergakademieFreiberg,InstitutfurTropospharenforschungLeipzig,MPILeipzig)sowie InnerhalbderTUChemnitzzeichnetsichderSFB393durchseineInterdisziplinaritat Deutschlandsfuhrte. besondersaus. SachsischenStaatsministeriumsfurseinebisherigendreiAntragsphasenzuruckblicken. DerSFB393kannaufeineguteUnterstutzungvonSeitenderTUChemnitzunddes SowarzuletztderC4-RufvonProf.BenneraufdieProfessur"MathematikinIndustrie undtechnik\mitseinerbereitschaftzurintegrationundmitarbeitimsfbverknupft. DerSFB393bedanktsichauchbeiderVerwaltungderTUChemnitzfurdiezunehmend konstruktivezusammenarbeitbeipersonalfragenundderdrittmittel{verwaltungshilfe. EinebesondereRollespieltderSFB393beiderNeukonzipierungeinesTU{Parallelrechners,wennsichfurunserenderzeitgenutztenCLIC(528PentiumIII+Fast-Ethernet) einmodernisierungsschubnotwendigmacht. NaturgemasinddieWissenschaftlerdesSFB393dieHauptnutzervonParallelrechentechnik,deshalbwurdezurintensivenVorbereitungdieserErneuerungdiesogenannte CHIC{Initiative,eineArbeitsgruppeausMitarbeiterndesUniversitatsrechenzentrums

12 10 AllgemeinerTeil/Zusammenfassung gegrundet,dieseitbeginndesjahres2003strategischeplanungenhierfurleistet. undweiteren23professurendertuchemnitz(naturlichdarunterdiedessfb393) Dabeiwurdedeutlich,dassdieForschungsrichtung"NumerischeSimulation/Hochleismerische)SimulationeneinenuberausgroenAnteilanForschungsleistungeninderTtungsrechnen\aberebenso"MathematischeModellbildung\wieauchandere(nichtnu- Chemnitzhaben.DeshalbwirddieseinezukunftigeProllinieinnerhalbderTUChemnitzzusatzlichzudenbisherformuliertensein.DieswirdalseinewesentlicheWirkung derarbeitdessfb393aufdiegesamteuniversitatverstanden. 1.4 ForderungderLehreunddeswissenschaftlichen Nachwuchses DieUntersuchungenimSonderforschungsbereichbeeinussennaturgemadieArbeiten andenbeteiligtenfakultatenundinstitutenerheblich.nichtnurdieausdenteilprojektennanziertenwissenschaftlichenmitarbeiter,sondernauchdieausanderenmitteln nanziertenwissenschaftlernehmenstarkenanteilandenthemenundveranstaltungen dessfb. BesonderesGewichthatdieQualizierunghauptsachlichvonPromovendeninnerhalb derdurchdensfbzustandegekommenenforschungsgruppen.soentstandenunmittelbarausdenimsfbmitarbeitendenarbeitsgruppenimberichtszeitraum indermathematik: 2Promotionen inderphysik: 4Promotionen und1habilitation, immaschinenbau: 2Promotionen (3verteidigt,1stehtvorAbschluss) und1habilitation, DerunmittelbareEinussaufdieLehreistvorallemdurchdieTatigkeitenderstudentischenHilfskrafteunddurchDiplom-undJahresarbeitsthemengegeben.Besonders konntendieumfangreichenmittelfurstudentischehilfskraftediearbeitsgruppendes SFBindieLageversetzen,StudentenhohererSemesterzielgerichtetindieForschungsarbeitzuintegrieren.DieTatigkeitalsstudentischeHilfskrafthattetypischerweisestets ProjektarbeitenaufhalbenStellengewonnenwerden.Insgesamthabenstandigetwa15 wissenschaftlichencharakter,einigekonntennacherwerbdesdisplomsfurdieweiteren StudentenimSFBmitgearbeitet(summarischmehrals25). VortragevonGastwissenschaftlernausdemIn{undAuslandundBesucheanInstitutionenmitahnlichgelagertemForschungsprolfuhrenzueinemerheblichenZuwachsan Fachinformation,diedieForschungundLehrederbeteiligtenFachbereicheundInstitute befruchteten.

13 KAPITEL2 Projektbereiche

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15 Projektbereich A MathematischeGrundalgorithmen

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17 Teilprojekt A3 ParalleleadaptiveFinite{Elemente{AlgorithmenundLoser fursymmetrische,positivdeniteprobleme

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19 A3Apel/Jung/Kunert TeilprojektA3 deniteprobleme ParalleleadaptiveFinite{Elemente{AlgorithmenundLoserfursymmetrische,positiv 2.1.1Antragsteller PDDr.ThomasApelanProfessurNumerischeAnalysis,TUChemnitz Doz.Dr.MichaelJung,InstitutfurWissenschaftlichesRechnen,TUDresden Dr.GerdKunertanProfessurWissenschaftlichesRechnen,TUChemnitz 2.1.2Projektbearbeiter Dr.SvenBeuchler/ProfessurNumerischeAnalysis,TUChemnitz(bisSept.2003) MSc.SergejGrosman/ProfessurNumerischeAnalysis,TUChemnitz DMGunterWinkler/ProfessurNumerischeAnalysis,TUChemnitz(Jan.bisDez.2003) DMPeterSteinhorst/ProfessurNumerischeAnalysis,TUChemnitz(abOkt.2003) Prof.ArndMeyer/ProfessurNumerischeAnalysis,TUChemnitz Dr.MatthiasPester/ProfessurMathematikinIndustrieundTechnik,TUChemnitz 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung 2.2.1AdaptiveanisotropeNetzsteuerung FurAufgabenmitanisotropemLosungsverhaltenwieKantensingularitatenundRandschichtensindlosungsangepassteDiskretisierungenanisotrop.DieadaptiveSteuerung anisotropernetze,insbesonderedieautomatischeerkennungvonanisotropierichtungenimlaufederrechnungundeineentsprechendeausrichtungdernitenelemente istinternationalnochnichtzufriedenstellendgeklartundwareinbearbeitungschwerpunktimprojekt.dabeiwerdensolchestrategienverfolgt,diehierarchischeanisotrope Netzeliefern,sodassMultilevel-VerfahrenzurezientenLosungderFinite-Elemente- Gleichungssystemeeingesetztwerdenkonnen.WesentlicheFortschrittegibtesabernicht nurbeidernetzsteuerung,sondernauchbeieinemanderenwichtigenbestandteiladaptiververfahren,denaposteriorifehlerschatzern,diefuranisotropediskretisierungen zunehmendbesserverstandenwerden AuosungsverfahrenbeianistropenDiskretisierungen DieEntwicklungezienterLoserfurdiebeianisotropenDiskretisierungenentstehenden Finite-Elemente-GleichungssystemeisteinweiteresZielimProjekt. chungen,zumbeispieldergestalt IneinerReihevonArbeitenwerdenLosungsalgorithmenfuranisotropeDierentialglei- Koezientenaoderbkleinist,diskutiert(siehez.B.[BZ01,Hac85,KW98,P98]).In a(x;y)uxx b(x;y)uyy=f,wobeieinerderbeiden diesenarbeitenwirdbesonderesaugenmerkaufdieauosunggelegt,abereswerden genberucksichtigt.imteilprojektsollenschnelleloseraufderbasisvonmultilevel- nichtdersingulargestortecharakterderartigeraufgabenundadaquatediskretisierun-

20 18 A3Apel/Jung/Kunert Algorithmenentwickeltwerden,diebeiadaptivenanisotropenDiskretisierungenzum Einsatzkommen AuosungsstrategienfurVerfahrenhohererOrdnung InderAntragsperiode1999{2001wurdefureinenGebietszerlegungs-VorkonditioniererfurzweidimensionaleRandwertaufgabeneinsuboptimalerMultigrid-Loserfurdie ProblemeimInnerenderTeilgebietekonstruiertundanalysiert.DieserVorkonditionierersolltezusammenmitdemVorkonditionierervonKorneev[IK95a],[IK95b]furdas Schur-KomplementindasProgrammSPC-PM-Po2pimplementiertwerden.DieserVorkonditionierersollteauchfurNetzebestehendausRechteckelementenmiteinemstarken Streckungsverhaltnisausgetestetundgegebenenfallsmodiziertwerden. EinweitererSchwerpunktbestanddarin,dasbestehendeProgramm aufdiediskretisierungvonrandwertproblemenmittelsfemunterverwendungeines SPC-PM-3AdH Polynomgradesp>2zuerweiternundzuparallelisieren. FurdreidimensionaleProblemewardieEntwicklungeinesVorkonditionierersfurdie ProblemeimInnerenderTeilgebietenochnichtausreichendgeklart.DieseFragestellung sollteineinemdrittenschwerpunktbearbeitetwerden. 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1AdaptiveanisotropeNetzsteuerung EineadaptiveanisotropeNetzsteuerungerfordertimLaufederRechnungeinautomatischesErkennenderAnisotropierichtungensowiedasAnpassenderElementeentlang dieserrichtungen.dabeiistesformalundpraktischgunstig,dieadaptivenschritte BeiderInformationsgewinnungsuchtmandiejenigenInformationen,dieeinanisotro- aufzuteilenindieaspekteinformationsgewinnungundnetzgenerierung/-verfeinerung. peselementbeschreiben,namlichstreckungsrichtungen,streckungsverhaltnisseundele- mentgroe.gunstigerweisesolltendieseinformationenvoneinemgeeignetenanisotropen teinformation,dieelementgroe(volumen).fehlerschatzernehmennaturlichtrotzdem Fehlerschatzerbereitgestelltwerden.LeidergelingtdiesimAllgemeinennurfurdieletz- einezentralerolleein,dasienichtnurzurbestimmungeinergeeignetenelementgroe dienen,sonderndiegrundlagejeglicherzuverlassigkeits-undezienzbetrachtungenvon Diskretisierungsmethodensind.ObwohlesimAntragnichtausdrucklichformuliertwurde,wurdenvonG.KunertundS.GrosmanentsprechendeVorarbeitenzuanisotropen Fehlerschatzern[Kun99,Kun00a,KV00,Kun00b,Kun01a,Kun01b,Kun01c,Kun01d, DieerstenbeidenInformationenStreckungsrichtungenundStreckungsverhaltnissekon- Kun02]weitergefuhrt,wobeiunerwarteteResultateerzieltwerdenkonnten. nen(bisher)nichtausfehlerschatzernextrahiertwerden.derinderliteraturamhau- gstengenutzteansatzverwendetdiematrixderzweitenableitungen,d.h.diehesse- MatrixderFEM-Losung[PVMZ87,Sim94,Dol98,D'A99,BD97,CHM95,HDB+00, RGK93].VonG.Kunertwurdegezeigt,dassdieaufdieserBasiskonstruiertenanisotropenNetzeauchfurdieuntersuchtenFehlerschatzergeeignetsind[Kun00b]. anisotropenetzgenerierung/-verfeinerung.denmeistenanisotropenmethodenliegt NachdemdiegewunschtenanisotropenNetzinformationenbestimmtwurden,erfolgtdie

21 A3Apel/Jung/Kunert 19 einelokaleanisotropetransformationzugrunde.beispielhaftseienhierdie tenin[sim94]oder[bh96]undarbeitendergruppeumborouchaki/georgegenannt Ubersich- EineandereGruppevonMethodenumfasstAlgorithmenzurNetzverbesserungund/oder [BGM97,BGH+97,GB98]. Netzverfeinerung.NetzverbesserungimengerenSinnewirddurchNetzglattung(d.h. Knotenverschiebung)erreicht.NetzverfeinerunggeschiehtdurchOperationenwiedas Einfugen/Loschen/Tauschenvonmeshentities(Netz-Strukturen)wieKnoten,Kanten, FlachenundElementen,siehez.B.[Dol98,CHM95,BD97,BH96,FPZ01,SR99]. DiegenanntenArbeitenverdeutlichen,dassanisotropeNetzgenerierung/-verfeinerung schonintensivuntersuchtwurde,besondersin2d.in3distdiegesamteproblematik erstansatzweisediskutiertundinsbesondereimanisotropenkontextwenigerverstanden. DievonunsangestrebtenBeitrageumfassenvorallemfolgendePunkte: EssollendieGrundlagenderFehlerschatzungaufanisotropenDiskretisierungenausgebautwerden.DabeiistanweitereFehlerschatzer(postprocessingbasierteFehlerschatzernachZienkiewiczundZhu,FehlerschatzeraufderBasislokalerNeumannprobleme,hierarchischeFehlerschatzer)gedacht. DieinderAntragsperiode1999{2001begonnenenUntersuchungenuberdieHessian- StrategiezurGenerierunganisotroperNetzeunddieBeziehungzuranisotropen Fehlerschatzung[Kun00c]sollenausgebautundvertieftwerden. EssollenAlgorithmenzurErkennungvonAnisotropierichtungenundzurGenerierung anisotropausgerichteternetzeentwickeltwerden.ummultilevel-verfahreneinsetzen zukonnen,sollenhierarchischeanisotropenetzekonstruiertwerden. AlleentwickeltenAlgorithmensolltenimplementiertundgetestetwerden. DerdreidimensionaleFall,derinderLiteraturwenigertiefbearbeitetist,sollangegangenwerden. NeulandwirdhiervorallembeimdrittengenanntenPunktbetreten.VommethodischenAnsatzhersolltedasGrobnetzeineranisotropenNetz-Hierarchieentwedermit einemanisotropenadvancing-front-algorithmusoderuberanisotropedelaunay-triangularisierungerfolgen.dieverfeinerungsollsogeschehen,dassdiehierarchieweitgehend erhaltenbleibt.werdenbeiderverfeinerungdesnetzesneueknoteneingefugt,soist eine(kleine)abweichungvommittelpunktdervaterknotenerlaubt(z.b.durchnetz- Glattung).WennschonexistierendeKnotenverschobenwerdenmussen,umeinhinreichendausgerichtetesanisotropesNetzzuerhalten,sokonnenauchdievorangehenden Netzemodiziertwerden AuosungsverfahrenbeianistropenDiskretisierungen AlserstesModellbeispielfurdieKonstruktionschnellerLoserbeianisotropenDiskretisierungenwirddasRandwertproblem ("1)betrachtet.BeidiesemBeispieltretenRandschichtenauf,sodasseineDiskretisierunginRandnahemittelsanisotropenElementenerfolgenmuss.AufderBasis vongebietszerlegungsverfahrenundmultilevel-algorithmenwirdfurdiesesproblemein schnellerloservorgeschlagen.diehierbeigewonnenerfahrungenwerdenbeiderkon- " struktionvonmultilevel-losernindenadaptivenalgorithmengenutzt.

22 20 A3Apel/Jung/Kunert 2.3.3AuosungsstrategienfurVerfahrenhohererOrdnung ZurLosungvonFinite-Elemente-Gleichungssystemen,diebeider entstehen,wurdeninderperiode1999{2001schnelleauosungsverfahrenentwickelt. p-bzw.hp-version ImBerichtszeitraumbestanddasZieldarin,dieseschnellenLoserindasProgramm SPC-PM-Po2pzuimplementieren.AlsModellproblemwurdedasRandwertproblem u=f in; u=0 betrachtet,wobeieinausviereckenzusammengesetztesgebietist.zurdiskretisieonderansatzfunktionenuberjedemteilgebietwurdendabeidieintegriertenlegendrerungwurdenstuckweisepolynomialefunktionenp-tengradesverwendet.zurdeniti- Polynomegenutzt.NummeriertmandieFreiheitsgradeinderReihenfolge:Freiheitsgrade indeneckknotendervierecke,freiheitsgradeaufdenkantendervierecke,freiheitsgradeiminnerendervierecke,dannhatdiefe-steigkeitsmatrixkdieblockstruktur KEV KV KVE KE KVI1 KIV KIE KEI KI A: (2.1) Hierbeisteht"V\furdieEckknoten(vertices),"E\furdieFreiheitsgradeaufdenKanten (edges)und"i\furdieinnerenfreiheitsgrade.zurdenitioneinervorkonditionierungsmatrixwurdein[ik95a]derfolgendewegvorgeschlagen.zunachstwirddiematrix K1;V= KV 0 K(1) 0 mit K(1)= KIE KE KEI KI (2.2) betrachtet,furdiediespektralaquivalenzungleichungen 1+logpK1;VK2K1;V c (2.3) gelten.zurdenitioneinervorkonditionierungsmatrixfurdiematrixkmusssomit nocheinvorkonditioniererfurk(1)gefundenwerden.denausgangspunktfurdessen DenitionbildetdieFaktorisierung K(1)= IE 0 KEIK III1SE 0 KI 0 K IE 1 0 I KIE II (2.4) dermatrixk(1)mitdemschurkomplementse=ke oneinesvorkonditionierersdermatrixk(1)unternutzungderobigenfaktorisierung KEIK I1KIE.ZurKonstrukti- benotigtmaneinenvorkonditioniererfurdasschurkomplement,einenfortsetzungsoperatorvondenkanteninsinnerederviereckeundeinenvorkonditioniererfurdiematrix KI. DieMatrixKIisteineBlockdiagonalmatrix.JederBlockkorrespondiertzueinemElement.DaheristdieDiskretisierungvon 4u u = 0f auf@rd inrd=( 1;1)d (2.5)

23 A3Apel/Jung/Kunert 21 mitderp-versionderfemunternutzungdeseinenelementsrddastypischemodellwertproblem(2.5)wirdmitderp-versionderfemdiskretisiert.alsansatzrauproblemfurdenloserdersubproblemein2d(d=2)und3d(d=3).dasrand- wird Mp;d M p;d= u2h10(rd);u2spanfxi1 1 xid dgpi1;:::;id=0 gewahlt.dannlautetdiegalerkin-projektiondesproblemes(2.5)aufmp;d: Sucheup2Mp;d,sodass a(up;vp)= Z Rdrup rvp= Z Rdfvp 8up2Mp;d (2.6) gilt.alsbasisimraummp;dwerdentensorproduktederintegriertenlegendrepolynome ^Li(x)eingefuhrt,siehe[JK97].Mit^Li1;:::;id(x1;:::;xd)=^Li1(x1) ^Lid(xd)giltnun Mp;d=span n^li1;:::;id o p i 1;:::;id=2: Dannist(2.6)aquivalentzumLoseneineslinearenGleichungssystemsKdu=fmitder Steigkeitsmatrix Kd= h a(^li1;:::;id;^lj1;:::;jd) i p i 1;:::;id;j1;:::;jd=2: DieMatrixKdistdabeieineBlockdiagonalmatrixaus2dBlocken,d.h. Kd=Pblockdiag[Ki;d]2d i=1pt; (2.7) wobeipeinebekanntepermutationsmatrixist.dieblockeki;dsinduntereinanderspektivenvorkonditioniererfurk1;dzunden,wobetralaquivalent,d.h.esgiltki;dkj;dfuri;j=1;:::;2d.damitgenugtes,eineneek- K1;d= X d Oj 1 j=1 k=1 F1! D1 do k=j+1 F1! (2.8) mit 0 1 F1= 1 c2 0 0 c B@ 1 c6... SYM CA cp 2 1 und D 1= 0 B@ d 2 0 d CA unddenkoezienten ci= s (2i (2i 3)(2i+5) 1)(2i+3) und di=(2i 3)(2i+1) 2 ; siehe[jk97].

24 22 A3Apel/Jung/Kunert Literaturverzeichniszu2.3 (eigenevorarbeitenundfremdliteratur) [Ant01] SFB393-NumerischeSimulationaufmassivparallelenRechnern.Finanzierungsantrag2002{2003{2004,TUChemnitz,2001. [BD97] G.C.BuscagliaundE.A.Dari.Anisotropicmeshoptimizationanditsapplication inadaptivity.int.j.numer.methodseng.,40(22):4119{4136,1997. [BGH+97] H.Borouchaki,P.L.George,F.Hecht,P.LaugundE.Saltec. generation governed by metric specications. Part I: Algorithms. Delaunaymesh Anal.Des.,25(1{2):61{83,1997. Finite Elem. [BGM97] H.Borouchaki,P.L.GeorgeundB.Mohammadi. vernedbymetricspecications.partii:applications. Delaunaymeshgenerationgo- 25(1{2):85{109,1997. FiniteElem.Anal.Des., [BH96] F.J.BossenundP.S.Heckbert.Apliantmethodforanisotropicmeshgeneration. InProceedings ofthe5th PA,1996.SandiaNationalLaboratories. Annual InternationalMeshing Roundtable,Pittsburgh, [BZ01] J.H.BrambleundX.Zhang.UniformconvergenceofthemultigridV-cycleforan anisotropicproblem.math.comp.,70:453{470,2001. [CHM95] M.J.Castro-Daz,F.HechtundB.Mohammadi.Newprogressinanisotropicgrid adaptionforinviscidandviscousowsimulations.inproceedingsofthe4thannual InternationalMeshingRoundtable,pages73{85,Albuquerque,NM,1995.Sandia NationalLaboratories.AlsoReport2671atINRIA. [D'A99] E.D'Azevedo.Onoptimalbilinearquadrilateralmeshes.Eng.Comput.,15(3):219{ 227,1999. [Dol98] V.Dolejs.Anisotropicmeshadaptionfornitevolumeandniteelementmethods ontriangularmeshes.computingandvisualisationinscience,1:165{178,1998. [FPZ01] L.Formaggia,S.Perotto,andP.Zunino.Ananisotropica-posteriorierrorestimate foraconvection-diusionproblem.comput.vis.sci.,4(2):99{104,2001. [GB98] P.-L.GeorgeandH.Borouchaki.Delaunaytriangulationandmeshing{Application toniteelements.hermessciencepublishing,paris,1998. [Hac85] W.Hackbusch.Multi-gridmethodsandapplications.Springer,Heidelberg,1985. [HDB+00] W.G.Habashi,J.Dompierre,Y.Bourgault,D.Ait-Ali-Yahia,M.FortinundM.-G. Vallet.Anisotropicmeshadaptation:Towardsuser-independent,mesh-independent andsolver-independentcfdsolutions:parti:generalprinciples. MethodsFluids,32:725{744,2000. Int.J.Numer. [IK95a] S.A.IvanovundV.G.Korneev.Onthepreconditioninginthedomaindecompositiontechniqueforthep-versionniteelementmethod.PartI. SPC95-35,TechnischeUniversitatChemnitz-Zwickau,December1995. TechnicalReport [IK95b] S.A.IvanovundV.G.Korneev.Onthepreconditioninginthedomaindecompositiontechniqueforthep-versionniteelementmethod.PartII.TechnicalReport SPC95-36,TechnischeUniversitatChemnitz-Zwickau,December1995.

25 A3Apel/Jung/Kunert 23 [JK97] S.JensenundV.G.Korneev. hierarchicalp versionoftheniteelementmethod.comput.methods.appl.mech. Ondomaindecompositionpreconditioninginthe Eng.,150(1{4):215{238,1997. [KW98] B.N.KhoromskijundG.Wittum.Robustinterfacereductionforhighlyanisotropic elliptic V,LectureNotesinComputationalScienceandEngineering,Bd.3,S.140{151. equations. In W. Hackbusch und G. Wittum, Hrsg, Multigrid Methods Springer,1998. Stuttgart,Germany,October1{4,1996. ProceedingsoftheFifthEuropeanMulti-GridConferenceheldin [Kun99] G.Kunert.Aposteriorierrorestimationforanisotropictetrahedralandtriangular niteelementmeshes.dissertation,tuchemnitz,1999.logos,berlin,1999. [Kun00a] G.Kunert. onanisotropictetrahedralmeshes.numer.math.,86:471{490,2000. Anaposterioriresidualerrorestimatorfortheniteelementmethod [Kun00b] G.Kunert.Anisotropicmeshconstructionanderrorestimationintheniteelement method.preprintsfb393/0001,tuchemnitz,2000. [Kun00c] G. elementmethod. Kunert. Anisotropic PreprintSFB393/00{01,TUChemnitz,January2000. mesh construction and error estimation in theauch: nite [Kun01a] G.Kunert.Alocalproblemerrorestimatorforanisotropictetrahedralniteelement meshes.siamj.numer.anal.,39:668{689,2001. [Kun01b] G.Kunert.AposterioriL2errorestimationonanisotropictetrahedralniteelement meshes.imaj.numer.anal.,21:503{523,2001. [Kun01c] G.Kunert.Robustaposteriorierrorestimationforasingularlyperturbedreactiondiusionequationonanisotropictetrahedralmeshes. 259,2001. Adv.Comp.Math.,15:237{ [Kun01d] G.Kunert. blemonanisotropicniteelementmeshes. Robustlocalproblemerrorestimationforasingularlyperturbedpro- 1109,2001. Math.Model.Numer.Anal.,35:1079{ [Kun02] G.Kunert.Anoteontheenergynormforasingularlyperturbedmodelproblem. Computing,69:265{272,2002. [KV00] G.KunertundR.Verfurth. forlinearniteelementmethodsonanisotropictriangularandtetrahedralmeshes. Edgeresidualsdominateaposteriorierrorestimates Numer.Math.,86:283{303,2000. [P98] Chr.Paum.Fastandrobustmultilevelalgorithms.Habilitationsschrift,Bayerische Julius-Maximilians-UniversitatWurzburg,1998. [PVMZ87] compressibleowcomputation.j.comp.phys.,72:449{466,1987. J.Peraire,M.Vahdati,K.MorganundO.C.Zienkiewicz.Adaptiveremeshingfor [RGK93] W.Rick,H.GrezaundW.Koschel.FCT-solutiononadaptedunstructuredmeshes for simulationwithhigh-performancecomputersi,notesonnum.fluidmechanics, compressible high speed ow computations. In E. H. Hirschel, Hrsg., Flow Bd.38,S.334{438.Vieweg,1993.

26 24 A3Apel/Jung/Kunert [Sim94] R.B.Simpson.Anisotropicmeshtransformationandoptimalerrorcontrol.Applied NumericalMathematics,14:183{198,1994. [SR99] T.SkalickyundH.-G.Roos.Anisotropicmeshrenementforproblemswithinternal andboundarylayers.int.j.numer.methodsengrg.,46:1933{1953, Ergebnisse 2.4.1AdaptiveanisotropeNetzsteuerung AnisotropeFehlerschatzung DieobengenanntenanvisiertenZielekonntenerreichtwerden.Wiegewohnt,konnten globalenfehlerabschatzungennachobensindallevonderform fureinereihevonfehlerschatzernlokaleabschatzungennachuntengezeigtwerden.die GlobalerFehler.AlignmentMeasure Fehlerschatzer DieseStrukturderFehlerschrankewarnachunserenVorarbeitenzuerwarten,siehe z.b.[kun99].dasalignmentmeasuremisstdabeidieausrichtungdesanisotropennetzesmitderanisotropenlosung.furisotropenetzesowiegutausgerichteteanisotrope NetzeistdasAlignmentMeasureinderGroenordnung1(innumerischenExperimenten ).AndieserStellesolldaraufnichtweitereingegangenwerden;wirverweisen auf[kun99]fureineausfuhrlichediskussion. UmdieMethodikzurKonstruktionundzumBeweisderEigenschaftenanisotroperFehlerschatzeraufihreGrenzenzuuntersuchen,wurdenauchweitereAufgabenbetrachtet. ImFolgendenwerdenwesentlicheErgebnisseunddieentsprechendenArbeitenbenannt. FehlerschatzeraufderBasislokalerNeumannprobleme(equilibratedresidualmethod) FurdassingulargestorteReaktions-Diusions-Problem "2 u+2u=f in mitgemischtenrandbedingungenwurdein[ab98]fur"=1einfehlerschatzervorgestellt,deraufisotropennetzenzuverlassigundezientist,wobeidiekonstanteninden AbschatzungenunabhangigvomStorungsparametersind.S.GrosmanhatdiesenFehlerschatzerimKontextanisotroperNetzeuntersucht[Gro02].WesentlicheTeilresultate sind: DenitioneinesFortsetzungsoperators,derdieErgebnissederOriginalarbeitsoverscharft,dassanisotropeElementeverwendetwerdenkonnen, BeweisderZuverlassigkeitdesFehlerschatzers, AnalysederEzienzdesFehlerschatzers,wobeieinFaktor("lokaleMatching-Funktion\)auftritt,derbeistarkanisotropenNetzenanwachsenkann, einnumerischertest,derzeigt,dassderfehlerschatzerdentatsachlichenfehlerwirklichumsostarkeruberschatzt,jegroerdasstreckungsverhaltnisderelementewird, eineanalysedersteigkeitsmatrizenfurdielokalenprobleme,diezeigt,dassdie ProblemeaufstarkanisotropenNetzenschlechtgestelltsind.

27 A3Apel/Jung/Kunert 25 S.Grosmanistesdanngelungen,eineModikationdiesesFehlerschatzersvorzuschlagen undzuanalysieren,derdiemangeldesoriginalenfehlerschatzersuberwindet.auchhier sollendiewesentlichenteilresultateaufgezahltwerden: AnalysederZuverlassigkeit,wobeieinFaktor("globaleMatching-Funktion\)auftritt, BeweisderEzienz, derbereitsausdenarbeitenvong.kunertbekanntistundkontrolliertwerdenkann, einnumerischertest,derzeigt,dassdermodiziertefehlerschatzerbessereergebnissealsderoriginalefehlerschatzerliefert, eineanalysedersteigkeitsmatrizenfurdielokalenprobleme,diezeigt,dassdieseaufstarkanisotropennetzenbessereeigenschaftenimvergleichzumoriginalen In[AGJM01]wurdedieserFehlerschatzermitweiterenFehlerschatzernverglichen. Fehlerschatzerhaben. genanntehierarchischefehlerschatzer.dieserwurdevons.grosmanin[gro04]analy- HierarchischeFehlerschatzer Einbeliebter,weileinfacherFehlerschatzeristderso siert.zurbeschreibungderwesentlichenresultateseienfolgendebezeichnungenein- gefuhrt.seiv1h10()derraumderstuckweiselinearenfinite-element-funktionen undv2=v1 ~V2H10()einangereicherterRaum.ImisotropenFallwirdV1gewohnlichmitdenquadratischenKanten-Blasenfunktionenangereichert,diesesindjedochhiezeichnet. ungeeignet.weiterhinseienmitu12v1undu22v2diefinite-element-losungenbe- WesentlicheTeilresultatesind: diedenitionvongequetschtenblasenfunktionen(squeezedbubbles)zuranreicherungvonv1,sodasseinefehlerreduktionseigenschaft(errorreductionproperty,auch saturationassumption)erfulltistundu2 derbeweiseinerverscharftencauchy-ungleichungfurdieraumev1und~v2,sodass u1einfehlermafuru u1darstellt, esmoglichist,eineglobaleschatzfunktionfurdenfinite-element-fehlerin berechnen, ~V2zu derbeweis,dassdieseglobaldenierteschatzfunktiondurcheinesummelokaluber derbeweisderobengenanntenabschatzungen(lokaleabschatzungvonunten,globaleabschatzungmitalignmentmeasurevonoben)fureinenabgeleitetenlokalen denkantenberechenbareranteileapproximiertwerdenkann, InTestrechnungenzeigtesich,dassdas Fehlerschatzer. KonstantederFehlerreduktionseigenschafteingeht:IstdasNetzunangemessenstark AlignmentMeasure notwendigerweiseindie anisotrop,dannstrebtdasalignmentmeasuregegenunendlichunddiekonstantein derfehlerreduktionseigenschaftgegeneins. Zienkiewicz-ZhuFehlerschatzung beruhenaufeinempostprocessingundsindaufgrundihrereinfachheitundrelativen DiesogenanntenZienkiewicz-ZhuFehlerschatzer ungenugendgeklart.ineinergemeinsamenarbeitmits.nicaise[kn04]wurdenetliche Robustheitrechtbeliebt.DietheoretischeAnalysefuranisotropeNetzewarbishernur penetzeformuliertundanalysiertwerdenkonnte. theoretischefortschritteerzielt,sodasseinzienkiewicz-zhufehlerschatzerfuranisotro-

28 26 A3Apel/Jung/Kunert Konvektions-Diusions-ProblememitdominanterKonvektion zurkonstruktionundzumbeweisdereigenschaftenanisotroperfehlerschatzeraufihre UmdieMethodik Grenzenzuuntersuchen,wurdenauchKonvektions-Diusions-Problememitdominanter Konvektionbetrachtet.Esgelang,diebekanntenisotropenFehlerschatzeraufanisotrope Netzezuubertragen[Kun03b].Dabeistelltesichheraus,dassdieSchwierigkeitenahnlich wieimisotropenfallliegen.siesinddaherauchwenigerdurchdieanisotropennetze bedingt,sondernvorallemdurchdiezugrundeliegendedierentialgleichung.ingewissen AspektenbesitzteineanisotropeDiskretisierungsogarVorteile:z.B.kannmanpraktisch aufeinestabilisierungdernumerischenmethodeverzichten,wenndasanisotropenetz passendgewahltwird. WievonanderenProblemenbekanntundauchhiererwartet,konntenlokaleFehlerschrankennachuntenundglobaleFehlerschrankennachobenbewiesenwerden.Fur diequalitatderfehlerabschatzungistzumeineneineanisotropepeclet-zahlwichtig. IstdieseinderGroenordnungvon1oderkleiner,soentsprechensichdieobereund unterefehlerschranke.andernfallsklatzwischenbeidenschrankeneinelucke.dieses VerhaltenistvollkommenanalogzumisotropenVorbild,d.h.nichtderNetz-Anisotropie geschuldet. ZumanderenhangendieFehlerschatzervonderAnisotropiedesNetzesab,undzwar genausowievonanderendierentialgleichungengewohnt[kun03b,kun99].ausgedruckt wirddiesuberdasschonerwahntealignmentmeasure.fureineausfuhrlichediskussion verweisenwirdeshalbaufdiezitierteliteratur. Frankreich)konnteneineReihevonResultatenfurdasStokes-Problembewiesenwerden Gleichungen InKooperationmitE.CreuseundS.Nicaise(Valenciennes, werdenhiernurdiewesentlichstenerrungenschaftenvorgestellt. [CKN03].DadieStokes-GleichungenausfuhrlichimTeilprojektA11besprochensind, DieVoraussetzungenandieDiskretisierungwurdendetailliertuntersuchtundso Der2D-Fallundderkomplexere3D-Fallwurdenuntersucht. wenigrestriktivwiemoglichformuliert.damitsindvieleelement-paareabgedeckt. KonformeundnichtkonformeDiskretisierungensindanalysiertworden.DerletztereFallistwesentlichtechnischer;betrachtetwurdensogenannteCrouzeix-Raviart VieleElement-Typenwurdenbehandelt(Dreiecke,Vierecke,Tetraeder,Pentaeder, Elemente. Fehlerabschatzungennachobenunduntenkonntenerreichtwerden.Dabeiwardie Hexaeder). AnalysezumTeilwesentlichtechnischeralsvonskalarenGleichungengewohnt(bedingtu.a.durchdieverwendetegemischteFormulierung).InsgesamtsinddieResultateetwaswenigervorteilhaftalsz.B.furdiePoisson-Gleichungaktions-Diusions-ProblemwurdevonG.Kunert,Z.MghazliundS.Nicaiseaucheine FehlerabschatzungenfurFinite-Volumen-Verfahren FurdassingulargestorteRe- Finite-Volumen-DiskretisierungaufanisotropenGitternanalysiert[KMN03].EinResiduenfehlerschatzerwurdevorgeschlagenundanalysiert,wobeiZuverlassigkeitundEzienzbewiesenwerdenkonnten.

29 A3Apel/Jung/Kunert 27 GenerierungadaptiveranisotropeNetze EinenwichtigenPlatznahmendieUntersuchungenzureektivenSteuerungderNetzverfeinerungstechnikeneinmitdemZiel,notwendigeAnisotropieninderlosungsangepasstenAusrichtungzuerhalten.DieErgebnissesollenhierindreiUnterpunktendargestellt werden: ImplementationundTestsmitVierecksnetzen, theoretischeergebnisse, TestsmitDreiecksnetzen. dieadaptiveanisotropenetzsteuerunginformationen TheoretischeErgebnisse WiebereitsinAbschnitt2.3.1dargelegtwurde,erfordert StreckungsverhaltnissederElemente,dieoftauseinerNaherungderHesse-Matrixder uberstreckungsrichtungenund Losunggewonnenwerden.G.Kunertistesin[Kun02]gelungenzuzeigen,dassdie sogeneriertennetzeaucheineezienteundzuverlassigefehlerabschatzungerlauben. DamitwurdedieBerechtigungsowohlderHessian-Strategiealsauchderanisotropen Fehlerschatzer(undderverwendetenMethoden)bestatigt.FurDetailsverweisenwir aufdieoriginalarbeit[kun02]. ObwohladaptiveStrategieninternationalschonseitetwa25Jahrenentwickeltundbenutztwerden,isteinKonvergenzbeweisfuradaptiveStrategienerstindenletztenJahrengelungen[Dor96,MNS00].DabeiwurdenisotropeVernetzungenzugrundegelegt. S.GrosmankonntenundenKonvergenzbeweisaufspezielleanisotropeadaptiveStrategienubertragen.Vonihmkonnteauchgezeigtwerden,dassdiezugrundegelegteadaptive StrategiefureinzelneKlassenvonFunktionenquasi-optimaleNetzeproduziert.Beide ErgebnissewerdeninseinerDoktorarbeitenthaltensein,dieetwaEndedesJahres2004 fertiggestelltseinwird. Netzsteuerung{ImplementationundTestsmitVierecksnetzen einimsfb393seitlangem(weiter-)entwickeltesfinite-elemente-programmzurlosung SPC{PM2Adist vonzweidimensionalenreaktions-diusions-aufgabenundlinearenelastizitatsproblemen,sieheauchabschnitt2.4.4.umeinfachehierarchienderkantenzuerhalten,war seitjeherdieteilungeinesvierecksstetsdiehalbierung{eineviertelungentstehtdurch NacheinanderausfuhrenvonHalbierungenin2Raumrichtungen.Dieskannelegantzur ErzeugungvonanisotropenNetzengenutztwerden,indemderFehlerschatzer/FehlerindikatornichtnureinElementzurVerfeinerung(Teilung)markiert,sonderndurch zusatzlicheuntersuchungfestgelegt,obkante1und3oderkante2und4zuteilensind (oderallevier). BevordervonunsverwendeteAlgorithmusangegebenwird,solljedochzunachstdie werden,dadieseinformationzurteilungsentscheidungbenotigtwird,umdiemarkierten BerechnungeinerNaherungdesHessiansimlokalenElementkoordinatensystemerlautert Elementerichtungsabhangigzuhalbieren.HierzuwirdalsNaherungfurdenHessian ineinemkleinengebiet0ublicherweisediematrix H= Z 0 H(x)v(x)d, Z 0 v(x)d

30 28 A3Apel/Jung/Kunert fureinebeliebigefunktionv(x)2h1(0)vorgeschlagen.dieseistkonstantin0.nach AnwendungdesGauschenSatzeskanndieApproximationder2.Ableitungenentfallen: H= v(n(ru) T+runT)ds Z 0 rvru T+rurvTd 1 A, Z 0 vd: DieseFormwirdvonverschiedenenAutorenmitunterschiedlicherWahlvon0undv benutzt.furdieapproximationvonh(x)imelementkentstehtmitv(x)1und 0=KdieeinfacheFormel Z(nru T+runT)ds=measK; wasmittrapezregelzurintegrationuberdie4kanten~eieinfachberechenbarist: H0= X 4 1 i=1 2j~Eij E?i(ganf;i+gend;i)T;H=1 ~ 2 (H0+HT0) dienacheinerublichengradientenmittelungalsknotenorientiertedatenvorliegen.diese mitganf;iundgend;idennaherungenfurruamkantenanfangs{undkantenendknoten, ApproximationvonHenstehtaberzunachstimglobalenKoordinatensystemundwird nunnochineinnochzudenierendeselementorientierteskoordinatensystemtransformiert. DieFestlegungdieseselementorientiertenKoordinatensystemsmussstabilerfolgenund andererseitsaufdieinternenummerierungderkantenrucksichtnehmen.deshalbsei (gegenuberliegendekantenwerdendereinfachheithalberalsgleichorientiertangenommen): q 1= j~e1+~e3j ~E1+~E3 und q2=q?1 beij~e1+~e3j>j~e2+~e4j andernfalls q2= j~e2+~e4j ~E2+~E4 und q1=q?2 : MitQ=(q1.q2)wirdhiernachHdurchQTHQersetzt.

31 A3Apel/Jung/Kunert 29 ZuradaptivenanisotropenNetzverfeinerunghatsichfolgenderAlgorithmusbewahrt: 1.AufderBasisderanisotropenFehlerschatzerwerdeneinigeElementezurVerfeinerung markiert. 2.ZurTeilungsentscheidungwirdeineNaherungdesHessiansimlokalenElementkoordinatensystemberechnet. 3.Teilungsentscheidung: Istjh212jgrogegenjh11 h22j,dannteileallekanten(elementschlechtausgerichtet) sonst:halbiereso,dassdasstreckungsverhaltnis moglichstmitph11=h22ubereinstimmt. a = j~e1+~e3j=j~e2+~e4j Mit=a2 jh11j=jh22jwurde >3 <13 teilenur E1;E3 sonst: =) teilealle4kanten E2;E4 realisiert. DieseVorgehensweiseerzeugtenahezuidealeNetzverfeinerungenanRandschichten.Die automatischerzeugtenanisotropienlagenimmerinderproblemangepasstrichtigen Groe.DieswirddurchdieExperimentemitkunstlichbeschrankterAnisotropiebestatigt,diemaninihrerGesamtheitauf dokumentiertndet. EswurdehierzuvorrangiganViereckselementendieHessian{StrategiezurEntscheidunguberHalbierungderElemente(mitmoglicherVerdoppelungdes"aspectratio\pro Schritt)untersuchtundpassendzuradaptivenDatenstrukturimplementiert.Analoge ErgebnissefurDreiecksnetzesindbeiweitemschwierigerzuerhalten,weildazuKnotenverschiebungstechnikenoder"Edge{swapping\zurZerstorungwichtigerhierarchischer dassbeirandschichten(z.b.singulargestorterprobleme)dieanisotropennetzegeradezunotwendigsind,umeinenanalogenfehlerverlaufbeiverfeinerungzuerhaltenwiebei klassischenproblemenohnerandschichten.ebensohabendiesetestsdieezienzund RobustheitderneuenanisotropenFehlerschatzervonG.KunertunterBeweisgestellt. Datenstrukturenfuhren.DieExperimentemitViereckselementenzeigeneindrucksvoll, Netzsteuerung{TestsmitDreiecksnetzen hungdesstreckungsverhaltnissesnichtohneweiteresmoglich.bei`roter'teilungistsie BeiDreiecksnetzenistdiebeliebigeErho- ausgeschlossen,beifortgesetzter`gruner'teilungentstehenzwaranisotropeelemente, jedochistderenausrichtungmangelhaft,dadierichtungderkantenimausgangsnetzundnichtdieanisotropiederlosungdiestreckungsrichtungenbestimmt.vieleautorenverwendendeshalbknotenverschiebungenund/oderdassogenannte`edge swapping'.ersteresschlietdiestabileberechnungdesjacobiansdurcheinfachevererbungaus(sieheabschnitt2.4.4),daszweitestehtimwiderspruchzudeneinfachen

32 30 A3Apel/Jung/Kunert hierarchischendatenstrukturen,insbesondereeineskantenbaumeszurnutzunginden Multilevel-Losern. DievonunsentwickelteIdeebestandnundarin,dasGrobnetzeineranisotropenNetz- HierarchienachAnlaufderRechnungaufderBasisderbisdahingewonnenenInformanerungsollsogeschehen,dassdieHierarchieweitgehenderhaltenbleibt.WerdenbetionenuberdieLosungneuzugenerieren,gegebenenfallssogarwiederholt.DieVerfei- derverfeinerungdesnetzesneueknoteneingefugt,soisteine(kleine)abweichungvom MittelpunktderVaterknotenerlaubt. DieVerfolgungdieserIdeefuhrtezuzunachstzuzweiErkenntnissen. DieNeugenerierungvonNetzenaufderBasisvonInformationenuberdiezuapproximierendeLosungisteineanspruchsvolleAufgabe,zuderesinmehrerenGruppen weltweitintensive,oftjahrelangeforschunggibt.mitdenvorhandenenpersonellen MoglichkeitenistesnichtmoglicheinenvergleichbarenNetzgeneratorneuzuentwickeln.WirkonntenjedochzweidieserNetzgeneratorentesten,denvonV.Dolejs DasZulassen,neueKnotennichtimKantenmittelpunkteinzufugen,sondernleicht (Karls-UniversitatPrag)undBAMGvonP.L.George(INRIA,Fankreich). davonabzuweichen,liefertzwarmehrfreiheitenzuroptimierungdesfinite-elemente-netzes,aberdienumerischentestsunserertheoretischenuntersuchungen,wodie neuenknotenpositioniertseinsollten,liefertennichtdiegewunschteverbesserung AlspositivesResultatsollenjetzteinigeTestergebnisseprasentiertwerden,beidenen derapproximation.deshalbhabenwirdieseversuchewiedereingestellt. dasursprunglichuniformestartnetzdurchiterationderschritte 1.BerechnungderFinite-Elemente-LosungderAufgabe 10 6 u+u f = 10 furx<0:3(y+1); 1 anderkantex=0; u = 0 anderkantex=1; andenkanteny=0undy=1; 2.KonstruktioneinesneuenNetzesmitBAMGunterVerwendungderberechneten ineinanisotropesstartnetzfurdieeigentlichefinite-element-rechnunguberfuhrtwurde.tabelle2.1zeigtdieentwicklungderknoten-undelementzahlen.diebilder2.1 LosungaufdemvorherigenNetz, und2.2zeigendielosungunddasnetzambeginnundnachder5.iteration.man erkennt,dassmanmitwenigeniterationeneinesnahezunichtskostendenalgorithmus (manbachtediegeringenknotenanzahlen)einsehrgunstigesanisotropesstartnetzerstellenkann,dasgeeignetist,mithierarchischerweitererverfeinerungbesserelosungen zuproduzieren,alsesmitdemuniformenausgangsnetzmoglichgewesenware. genderhessian-strategie,dassdiesefurdieadaptivegenerierunganisotroperhierar- chischernetzegeeignetist.dabeiwurdensowohlvierecks-alsauchdreiecksnetzeam BeispielvonReaktions{Diusions{AufgabenmitextremenRand-oderinnerenSchichtengetestet.EinVergleichistschwermoglich,dadieverwendetenProgrammesehr Zusammenfassung InsgesamtzeigtendietheoretischenundpraktischenUntersuchun- unterschiedlicheentwicklungsstufenhaben.

33 A3Apel/Jung/Kunert 31 Schritt 0 Knoten 1681 Dreiecke Tabelle2.1:Knoten-undElementzahlenbeiderStartnetz-GenerierungmitHilfevon BAMG - f(x,y) y x 0.8 Abbildung2.1:OszillationsbehafteteLosungundzugehorigesuniformesAusgangsnetz f(x,y) y x 0.8 Abbildung2.2:LosungundanisotropesNetznach5Iterationen 1 0

34 32 A3Apel/Jung/Kunert WeitereErgebnisse despoisson-unddesstokesproblemsingebietenmitkantenwurdein[ans01]veroentlicht. Furdie2004erscheinendeEncyclopediaofComputationalMechanicswurdeTh.Apelgebeten,einenArtikeluberInterpolationinFinite-Element-Raumenzuschreiben.DieArbeit[Ape04]gibteinenUberblickuberverschiedeneInterpolationsoperatorenundlokale AbschatzungendesentsprechendenInterpolationsfehlers.DieDarlegungbeschranktsich aufdieh-versionderfinite-element-methode,diskutiertaberverschiedensteelementtypen(dreiecks-,vierecks-,tetraederundhexaederelemente;aneundnicht-ane Elemente,isotropeundanisotropeElemente,Lagrange-undandereElemente). Uberblicksartikel EinzusammenfassenderArtikeluberanisotropeDiskretisierungen bensichmitalgorithmenzurumwandlungvonhexaeder-intetraedernetzebeschaftigt, TransformationvonHexaeder-inTetraedernetze Th.ApelundN.Duvelmeyerha- wobeikeineneuenknoteneingefuhrtwerden.diebisherbekanntenalgorithmennutzen nurdietopologischestrukturdesnetzes,jedochkeinegeometrischeninformationen. InderentstandenenArbeit[AD03]wirdeinAlgorithmusbeschrieben,dereserlaubt QualitatskriterienfurdieTeilungvonVierecksachenzufordern. ImplementierungderSingularfunktionenmethode merischmitdersingularfunktionenmethodebehandeltwerden.dieideeistdabei,sin- EckensingularitatenkonnennugulareLosungsanteileexplizitindendiskretenRaumaufzunehmen.ImZweidimensionalenistdasseitden70erJahrenbekannt.DawirauchSingularfunktionenzuPolyedereckenimDreidimensionalenberechnenkonnenundweilwirdieHonungaufeinezur FEMmitausschlielicherNetzverfeinerungkonkurrenzfahigeMethodehaben,wurdedie SingularfunktionenmethodevonChr.GayindasvonTh.Apelentwickelte3D-Finite- Element-PaketFEMPS3Dimplementiert[Gay02].S.TrebesiussetztdieArbeitenderzeit fortunduntersuchttheoretischundnumerischentsprechendeaposteriorifehlerschatzer AuosungsverfahrenbeianistropenDiskretisierungen VonJung,SchlomerundSohn(InstitutfurWissenschaftlichesRechnen,TUDresden) wirdeinschnellerloserfurdasrandwertproblem " u+u=fin=(0;1)2und auftreten,mussenlangsdesrandesbeiderfinite-elemente-diskretisierunganisotrope Elementeeingesetztwerden(sieheAbbildung2.3). AufderBasiseinernichtuberlappendenGebietszerlegung,imBeispieleinerZerlegungin neunteilgebiete,wirdeingebietszerlegungsvorkonditioniererkonstruiert.zurlosung derteilproblemeiminnerenderteilgebietewerdenmehrgitterverfahrenangewendet. IndenanisotropvernetztenTeilgebietenkommendabeiLinienglatterzumEinsatz.Bei derkonstruktiondesschurkomplement-vorkonditioniererswerdenideenaus[kw98]genutzt.diebeiderkonstruktiondieseslosersgewonnenerfahrungenbildeneinegrundlagefurdieentwicklungschnellerloserindenadaptivenalgorithmen.dadieentwicklungderspeziellenloserfurdieanisotropendiskretisierungenderzeitnochnicht abgeschlossenist,werdenwirtheoretischeundnumerischeresultateamendederlaufzeitdesteilprojektesprasentieren.

35 A3Apel/Jung/Kunert 33 Abbildung2.3: AnisotropeDiskretisierung verfahrenuntersucht.vonapelundschoberlwurdein[as02]dazueinmehrgitterverfah- renvorgeschlagen,beidemsemicoarseningsenkrechtzurkantemiteinemlinienglatter inkantenrichtungkombiniertwurde.dieoptimalekonvergenzdesverfahrenskonnte bewiesenwerden. InderDiplomarbeit[Sei02]wurdeeineMultilevel-VorkonditionierungfurdasVerfahren derkonjugiertengradientenuntersucht.imvorkonditionierungsschrittmussenstattdes groengleichungssystemsvielekleineregleichungssystemegelostwerden.diesesind zumteilgleich,weshalbauchdirekteverfahrenzurlosunginbetrachtgezogenwerden konnen.furdenvorkonditioniererwurdeindervorliegendendiplomarbeitanalogzu [Zha92]gezeigt,dassdieKonditionszahldesvorkonditioniertenProblemsunabhangig vonderdiskretisierungsschrittweitebeschranktist.wenndiekleinengleichungssysteme mitoptimalerkomplexitatgelostwerdenkonnen(wasnichtklarist),kannalsoauch dasausgangsgleichungssystemmitoptimalerkomplexitatgelostwerden. FuranisotropeVernetzungeninderUmgebungvonKantenwurdenschnelleAuosungs AuosungsstrategienfurVerfahrenhohererOrdnung Vorkonditionierungfurp-VersionsElementmatrixinbeliebigenDimensionen DievonS.BeuchlerimAntragszeitraum1999{2001entwickeltenVorkonditioniererfur dieelementsteigkeitsmatrixk1;2,alsofurd=2,basierenaufinterpretationender MatrixK1;2alsDiskretisierungsmatrixeinesdegeneriertenelliptischenProblemszweiter viertenmatrizenf1undd1moglich: Ordnung.EineanalogeInterpretationistsowohlfurK1;dalsauchfurdiein(2.8)invol- DazubetrachtemandieRandwertaufgabe2.Ordnung: Sucheu2H10((0;1)),sodass a1(u;v)= Z 1 0 u0(x)v0(x)+!2(x)u(x)v(x)= Z 1 0 g(x)v(x) 8v2H10((0;1)) (2.9) gilt. Problem(2.9)wirdmitstuckweiselinearennitenElementenaufdemNetz i n;in 1 ni=1 diskretisiert,wobein=2lundldaslevelderverfeinerungist.alsbasisfunktionen

36 34 A3Apel/Jung/Kunert werdendiehutchenfunktionen (1;l) i (x)= 8 < nx (i 1) : (i+1) 0 nx auf sonst li+1 8i=1;:::;n 1 desl-tenlevelsgewahlt.weiterhinsei Ul=span n (1;l) i on i=1.dannistdiegalerkin- 1 Projektionvon(2.9)aufUlaquivalentzumLosendeslinearenGleichungssystems M!= h h(1;l) (M!+T!=1)u = g; wobei j ;(1;l) i i! i n i;j=1; 1 T!= h h((1;l) j )0;((1;l) i )0i! i n i;j=1 1 mit hu;vi! = Z 1 0!2(x)u(x)v(x)dx alsdasgewichtetel2;!((0;1))-skalarprodukt.in[beu03c]wirdnungezeigt,dass D16n3M!=x und 2nF1T!=1; (2.10) Interpretationalsh-VersionsFinite-Element-Massen-undSteigkeitsmatrix.Furdie d.h.diein(2.8)eingefuhrtenmatrizenf1undd1,vgl.abschnitt2.3.3,habeneine MatrixK1;disteineanalogeInterpretationmoglich.Wirverweisenexemplarischfurdie Falled=2undd=3auf[BSS04]. IneinemweiterenSchrittwirdnuneineMultilevelbasisf kjgklulgesucht,inderdie MatrizenT!=1= h( j0)0;( k0 kj)0i!=1 k;k 0lundM!= h j0; k0 kji! k;k 0lspektralaquivalent zudenbeidendiagonalmatrizendt!=1=diag 22k kl unddm! =diag!2(2 kj) sind,d.h.esgilt kl T!=1DT und!=1 M!DM!: (2.11) InZusammenarbeitmitReinholdSchneider(TUChemnitz,TeilprojekteA7,A12,A13) undchristophschwab(ethzurich)(besuchevonschwabinchemnitz20.{ und7.{ ,beuchlerinzurich8.{ )konntefureinebiorthogonalewaveletbasisf kjgklul,d.h.h kj;~k0 j0i=kk0jj0,undeinegewichtsfunktion!,diedie Annahmen kvk20p1k=1pjjhv; kjij2p1k=1pjjhv;~kjij2 8v2L2((0;1)) kvk 21 X 1 22lX k=1 j jhv; kjij2 8v2H10((0;1)) (2.12) kj2w1;1((0;1)),~kj2w1;1((0;1)) kjxbeix=0,~kjx~beix=0,!(x)xbeix=0,!(x)2w1;1((;1))miteinemgewissen>0,

37 K1;2 = F1D1+D1F1 3n2 T!=1M!=x+M!=xT!=1 3n2 TT!=1Q 1Q TM!=xQ 1+Q TM!=xQ 1Q TT!=1Q 1 = 3n2 TQ T T!=1M!=x+M!=xT!=1 Q 1Q 1 3n2 Q TQ T D T!=1DM!=x+DM!=xDT!=1 Q 1Q 1 = 3n2C 2: A3Apel/Jung/Kunert 35 +> 0:5, +~> 0:5 erfullen,gezeigtwerden,dass M!DM! (2.13) und=1,d.h.alleannahmenerfulltsind,undesstuckweiselinearebiorthogonale gilt.aus(2.12)und(2.13)folgennunsofortdiebeziehungen(2.11),da= ~=1 Waveletbasengibt,diedieverbleibendenBedingungenerfullen.EinBeispielsinddie Waveletfamilien dendenmomentenaufdualerseite.darauslasstsicheinvorkonditioniererfurk1;d 26mit2verschwindendenMomentenaufprimalerund6verschwin- entwickeln.dieherangehensweisewirdambeispield=2erlautertundlasstsichmit MitQbezeichnenwirdieBasistransformationsmatrixzwischenderWavelet-Basisf analogentensorproduktargumentenaufdenallgemeinenfallubertragen. undf(1;l) kjgkl i gn i=1.danngilt 1 (2.14) DieOperationC optimal.analoglasstsichnuneinvorkonditioniererc 2w = rkosteto(nd)=o(pd)arithmetischeoperationen,istalso AufbauendaufdiesemResultatkonntein[Beu03c]mitahnlichenArgumentenauchdie d furk1;dentwickeln. derabschatzungt!=12nf1(1+logn)t!=1ist,vgl.arbeits-undergebnisbericht Spektralaquivalenzbeziehung2nF1T!=1(2.10)gezeigtwerden,dieeineVerscharfung SFB {2001.DieBeziehung(2.10)bewirktauchdieVerscharfungderKonditionszahlabschatzungenin[Beu02]von((MS) 12K2(MS) 12)(1+logp)furdieMultigridvorkonditioniererfurK2auf((MS) 12K2(MS) 12)=O(1).DieResultateaus [Beu03c],[BSS04]bildetennundieGrundlagefurdieDenitioneinesgeeignetenFortsetzungsoperators,welcherin(2.4)dieMatrixK [BS03].DieseKonstruktionlasstsichauchaufden3D-Fallubertragen. I1KIEdurcheineMatrix Eersetzt, zumlosenvonkdu=f,d=2;3mitverschiedenenwaveletvorkonditionierungenmit DieTabellen2.2und2.3zeigenIterationszahlenundRechenzeitendesPCG-Verfahrens diewaveletfamilien einerrelativengenauigkeitvon10 2imitzweiverschwindendenMomentenaufprimalerund 10indervorkonditioniertenEnergienorm.Eswurden 2;4;6verschwindendenMomentenaufdualerSeitebenutzt.InAbbildung2.4istjeweils i= einwaveletderentsprechendenfamilienabgebildet.dievorkonditionierungmitdem ansteigen,diebestenergebnisse.furdaswavelet 22zeigtdabeiinBezugaufRechenzeitundIterationszahlen,diegeringfugig hoch. 26sinddieIterationszahlenrelativ

38 36 A3Apel/Jung/Kunert p Zeitinsek. It Tabelle2.2: IterationszahlenderWavelet-VKfurK2u=f. p ZeitinSek It Tabelle2.3:IterationszahlenderWavelet-VKfurK3u=f Abbildung2.4: Wavelets , ,

39 A3Apel/Jung/Kunert 37 ImplementierungdesDD-Vorkonditionierersin2D WirbetrachtendiePoisson-GleichungineinemGebiet=Snel i6=j.dannlasstsichfurdieinabschnitt2.3.3beschriebenematrixk(1)(2.2)folgender i=1imiti\j=;fur Vorkonditioniererentwickeln. C(1)= IE 0 KEIK III1CS;E 0 CI 0 K IE 1 0 I KIE II : DabeiistCIderVorkonditioniererfurdenLoserderTeilgebiete.AlsWahlmoglichkeiten bietensichdervonsvenbeuchlerimrahmenseinerpromotion[beu03b]entwickelte Multigrid-VorkonditioniererMS,d.h.CI=blockdiag MS nel ckeltewavelet-vorkonditioniererc i=1oderderin(2.14)entwi- 2 an,d.h. CI=blockdiag W nel i=1 mit W =3n2Pblockdiag h C 2 i 4 i=1 PT (2.15) undderpermutationsmatrixp ditioniererdiespektralaquivalenzbeziehungenciai,[beu03c].alsvorkonditionie- rerfursewerdendiein[jk97]beschriebenenvorkonditioniererbenutzt.zusatzlich wurdefurdenblockkvdermatrixkeinyserentant-vorkonditionierermitgrobgitterloserbenutzt,fallseinediskretisierungmittelshp-versionderfemvorliegt.diese Domain-DecompositionVorkonditioniererwurdenvonSvenBeuchlerimBerichtszeitraumindasbestehendeparalleleProgrammSPC-PM-Po2pimplementiertundaufdem ChemnitzerLinuxCluster(CLiC)aufihreEzienzhininverschiedenenBeispielen untersucht.exemplarischseienhierdiebeispiele hufenundqua1aufgefuhrt. ausbeziehung(2.7).danngeltenfurbeidevorkon- Abbil- SFB TU Chemnitz SFB TU Chemnitz hufen - Level 0 qua1 - Level 0 SFB TU Chemnitz 1.3 SFB TU Chemnitz E Abbildung2.5:Beispielehufen(links)undqua1(rechts) hufen - Level 2 du/dx - Level du/dx

40 38 A3Apel/Jung/Kunert p Levelsofrenement p Levelsofrenement Tabelle2.4:IterationszahlendesPCG-VerfahrensbeidenBeispielen qua1(rechts). hufen(links)und tenderlosung,tabelle2.4dieiterationszahlendespcg-verfahrensmiteinerrela- tivengenauigkeitvon10 deranzahlderlevels(gleichmaigeh-verfeinerung).dabeiisteinmoderatesanwach- 5inAbhangigkeitvomPolynomgrad(p-Verfeinerung)und dung2.5zeigtdievernetzungdesgebietesimlevel0(grobnetz)unddasverhalsenderiterationszahlenbezuglichpinallenlevelsfestzustellen.dieursachefurdiesesanwachsenistinderabschatzung(2.3)undindenkonditionszahlabschatzungen (CS;E 12SECS;E 12)(1+logp)mit=1begrundet. WeitereExperimentesindinderArbeit[Beu03a]undunterderHomepage zunden.dabeiisteinahnlichesasymptotischesverhaltenbezuglichanwachsendem PolynomgradwieindenanderenBeispielenfestzustellen,dieabsolutenIterationszahlen sindjedochteilweisesehrverschieden. VorkonditionierungbeientartetenElementenin2D KritischwarenvorallemElemente,dieinihrengeometrischenAbmessungensehrstark vomquadratabweichen,wiez.b.einrechteckmitdenseitenlangenaundbmitab. ImFalledesRechteckesmitdenSeitenlangenaundblasstsichmittels DannieenindieKonditionszahlabschatzungenfurC I1AIdieParameteraundbein. C 2;a;b=3n2 Q TQ T a b DT!=1DM!=x+b a DM!=xDT!=1 Q 1Q 1 diekonditionszahldervorkonditioniertensystemmatrixunabhangigvompolynomgrad anstellevonc 2 (2.14)einoptimalerWavelet-Vorkonditioniererkonstruieren,beidem unddenparameternaundbist,[bss04].

41 A3Apel/Jung/Kunert Software Uberblick InKooperationmitdenTeilprojektenA3{A11{A12{D1(imWesentlichen)sind Programmrealisierungenentstanden,diekonsequentaufgleichartigenGrundbibliothekenbasieren.DieimFolgendenaufgelistetenExperimentalprogrammeunterscheidensich somitlediglichinihrerkonkretenaufgabenverfolgung,nichtaberimaufbauaushochgradiggleichenbausteinen(modul{bibliotheken).deshalbwurdensiemitfolgender Namensgebungbelegt: SPC{ PM furscienticparallelcomputinginchemnitz Name mitderspezikationderleistung. furprogramm{modul ImEinzelnenentstanden: SPC{PM2Ad adaptives2d{fe{programmfurreaktions{diusionsaufgabenundlineareelastizitat SPC{PM3Ad Zusatz:Kontakt,Rissfortschritt,Rotationssymmetrie adaptives3d{fe{programmfurreaktions{diusionsaufgabenundlineareelastizitat SPC{PM2AdNl ParallelversionmitBalancierungausTp.B8 mitnichlinearemmaterialverhalten adaptives2d{fe{programmfurdeformationsprobleme SPC{PMAdSt SPC{PMAdMix adaptives2d{fe{programmfurdasstokes{problem FE{Formulierungen adaptives2d{fe{programmfurallgemeineregemischte SPC{PMAdPl adaptives2d{fe{programmfurdiemindlin{reissner{ SPC{PMPo2p PlattengleichungmitMITC{Elementen nichtadaptives,paralleles2d-programmfurlaplacemit beliebigempolynomgrad DiegeschildertennumerischenExperimentewurdenmitdemProgrammbausteinSPC{ PM2Ad("Programm{Modul2D{adaptiveFEMfurPotential{undElastizitatsprobleme\)durchgefuhrt,der(schonkonzipiertindervorangegangenenPhase,sieheArbeits{ undergebnisberichtsfb {2001)wesentlichweiterverbessertundkomplettiert wurde.neuebestandteilesind: Netzvergroberung{erreichtdurcheinezusatzliche,abersehrsparsameDatenstruktur des"elementebaums\, StabileRechnungauchbeisehrstarkenVerfeinerungen,z.B.anSingularitaten(s.u.), Signorini{KontaktmitbeliebiggeformtenHindernissen(s.Tp.A12), "Risswachstum\{AufreiendesNetzeszumSchlitzgebietunterErhaltderhierarchischenDatenstrukturen(s.Tp.D1).

42 40 A3Apel/Jung/Kunert StabileadaptiveRechnung FurdiehiergeschildertenErgebnisseistinsbesonderedieStabilisierungdernumerischen RechnungbeiextremenVerfeinerungenvonWichtigkeit.ImmerwennGradientenim Elementzuberechnensind,wirdvonderublichenTransformationeinesMasterelements DiestrittunumganglichbeidenElementroutinenauf(GradientenderFormfunktionen aufdasweltelementgebrauchgemachtundderjacobiandieserabbildungbenotigt. ingaupunktenzuberechnen)undimpost{processingv.a.beifehlerschatzern(z.b. Sprungvon(ru) nubereinerelementkante).dieklassischenfiniteelementeroutinen berechnendiesejacobi{matrixmitderformel J= ne X i=1 (rni)x(i)t DabeitretenstetsDierenzenvonKnotenkoordinatenauf(z.B.imeinfachstenFalle ausdenknotenx(i)deselementsunddenformfunktionendesmasterelementsni(^x). neuenknoteneinebitreprasentationihrermantisseerhalten,dieum1bitmehrmit deslinearendreiecksj=(x(2) x(1).x(3) x(1))t).dabeijederkantenteilungdie derihrervaterubereinstimmt,fuhrtdieadaptiveteilungnachetwa20schrittenzu Instabilitaten,weilJwegendrastigerMantissenausloschungnichtmehrgenaugenug berechenbarist. Dieswurdein[Mey03b]furDreieckeundViereckesowiefur3D{Elementebesonders untersucht.eswurdeeine"vererbung\ angegeben,diedieseinstabilitatvollstandigbeseitigt.eineausdehnungaufgekrummte dermatrix J beiderteilungderelemente Randeristin[Mey03a]angefugt. Literaturverzeichnis [AB98] M.AinsworthundI.Babuska.Reliableandrobustaposteriorierrorestimationfor singularlyperturbedreaction-diusionproblems.siamj.numer.anal.,36:331{ 353,1998. [AD03] Th.ApelundN.Duvelmeyer.Transformationofhexahedralniteelementmeshes intotetrahedralmeshesaccordingtoqualitycriteria.computing,71:293{304,2003. [AGJM01] Th.Apel,S.Grosman,P.K.JimackundA.Meyer. sotropicmeshrenementbaseduponerrorgradients.preprintsfb393/01-11,tu Anewmethodologyforani- Chemnitz,2001.ErweiterteFassungerscheintbeiAppl.Numer.Math [ANS01] Th.Apel,S.NicaiseundJ.Schoberl. meshes near edges. In P. Neittaanmaki Finiteelementmethodswithanisotropic Conf.FiniteElementMethods:Three-dimensionalProblems,GAKUTOInternat. und M. Krzek, Hrsg., Proc. Internat. Series,Math.Sci.Appl.,Bd.15,S.1{8,Tokyo,2001.Gakkotosho. [Ape04] Th.Apel.Interpolationinh-versionniteelementspaces.InE.Stein,R.deBorst undt.j.r.hughes,hrsg.,encyclopediaofcomputationalmechanics.wiley,2004. [AS02] Th. SIAMJ.Numer.Anal.,40:1993{2006,2002. Apel und J. Schoberl. Multigrid methods for anisotropic edge renement. [Beu02] S.Beuchler. thodsforp-fem.siamj.numer.anal.,40(3):928{944,2002. Multi-gridsolverfortheinnerproblemindomaindecompostionme-

43 A3Apel/Jung/Kunert 41 [Beu03a] S.Beuchler.ADirichlet-DirichletDDpreconditionerforp-FEM.PreprintSFB ,TechnischeUniversitatChemnitz,July2003. [Beu03b] versionsofthefem.dissertation,technischeuniversitatchemnitz,2003. S.Beuchler. Multi-levelsolversfordegeneratedproblemswithapplicationstop- [Beu03c] S. SFB ,TechnischeUniversitatChemnitz,March2003. Beuchler. Optimal preconditioners for the p-version of the FEM. Preprint [BS03] S.BeuchlerundJ.Schoberl. 2dand3d. TechnicalReport ,JohannRadonInstituteforComputational Extensionoperatorsontensorproductstructuresin AppliedMathematics,Linz,December2003. [BSS04] S.Beuchler,R.SchneiderundC.Schwab. valencesandapplications. Numerische Mathematik,2004.(zurVeroentlichung Multiresolutionweightednormequi- angenommen). [CKN03] E.Creuse,G.KunertundS.Nicaise. problem:anisotropicandisotropicdiscretizations. AposteriorierrorestimationfortheStokes Sci.,2003.(eingereicht). Math.ModelsMethodsAppl. [Dor96] W.Dorer. Numer.Anal.,33:1106{1124,1996. AconvergentadaptivealgorithmforPoisson'sequation. SIAM J. [Gay02] Chr.Gay. TUChemnitz,2002. SolvingofPoissonequationswithsingularities. Projetdend'etudes, [Gro02] S. bedgrosman. reaction-diusion Robustproblem local problem on anisotropic error estimation nite element for ameshes. singularlypreprint pertur- SFB393/02-07,TUChemnitz,2002. [Gro04] S.Grosman. reaction-diusion Therobustnessofthehierarchicalaposteriorierrorestimatorfor Chemnitz,2004. equation on anisotropic meshes. Preprint SFB393/04-02, TU [JK97] S.JensenundV.G.Korneev. hierarchicalp-versionoftheniteelementmethod.comput.methods.appl.mech. Ondomaindecompositionpreconditioninginthe Eng.,150(1{4):215{238,1997. [KMN03] G.Kunert,Z.MghazliundS.Nicaise.Aposteriorierrorestimationforanitevolumediscretizationonanisotropicmeshes.PreprintSFB393/03{16,TUChemnitz, [KN04] G.KunertundS.Nicaise. hedralandtriangularniteelementmeshes. Zienkiewicz{Zhuerrorestimatorsonanisotropictetra- (zurveroentlichungangenommen). Math.Model.Numer.Anal.,2004. [Kun99] G.Kunert.Aposteriorierrorestimationforanisotropictetrahedralandtriangular niteelementmeshes.dissertation,tuchemnitz,1999.logos,berlin,1999. [Kun01] G.Kunert. diusionproblemonanisotropicmeshes. AposterioriH1errorestimationforasingularlyperturbedreaction August2001.IMAJ.Numer.Anal.(eingereicht). PreprintSFB393/01-21,TUChemnitz, [Kun02] G.Kunert. niteelementmethod.numer.meth.pde,18(6):625{648,2002. Towardsanisotropicmeshconstructionanderrorestimationinthe

44 42 A3Apel/Jung/Kunert [Kun03a] G.Kunert.Advancesinaposteriorierrorestimationonanisotropicniteelement discretizations.tuchemnitz,marz2003.habilitationsschrift. [Kun03b] G.Kunert. anisotropicmeshes.math.methodsappl.sci.,26(7):589{617,2003. Aposteriorierrorestimationforconvectiondominatedproblemson [KW98] B.N.KhoromskijundG.Wittum.Robustinterfacereductionforhighlyanisotropic ellipticequations. V,LectureNotesinComputationalScienceandEngineering,Bd.3,S.140{151. InW.HackbuschundG.Wittum,Hrsg.,Multigrid Methods Springer,1998. Stuttgart,Germany,October1{4,1996. ProceedingsoftheFifthEuropeanMulti-GridConferenceheldin [Mey03a] A. SFB393/03-05,TUChemnitz,2003. Meyer. Stable calculation of the Jacobians for curved triangles. Preprint [Mey03b] A.Meyer. meshes.computing,70:359{373,2003. StableevaluationofJacobianmatricesonhighlyrenedniteelement [MNS00] P.Morin,R.H.NochettoundK.Siebert. adaptivefem.siamj.numer.anal.,38:466{488,2000. Dataoscillationandconvergenceof [Sei02] J.Seidel. anisotropereineauosungsmethodefurdasfinite-elemente-gleichungssystembei Chemnitz,2002. Diskretisierung in der Umgebung einer Kante. Diplomarbeit, TU [Zha92] X.Zhang.MultilevelSchwarzmethods.Numer.Math.,63:521{539, OeneFragen/Ausblick DasTeilprojektA3sollindernachstenAntragsperiodenichtwiederbeantragtwerden. DasergibtsichzumeinenausdemWeggangderAntragstellerTh.ApelundG.Kunert, dievorallemaufdemgebietderanisotropendiskretisierugenindenletztenjahren vielarbeitgeleistethaben,dieauchinternationalanerkennunggefundenhat.zum anderenwurdedasteilthemaauosungsstrategienfurverfahrenhohererordnungvor allemvons.beuchlerbearbeitet,derdietuchemnitzebenfallsverlassenhat.derruf vonth.apelaufeineprofessur,diehabilitationvong.kunertunddiepromotion vons.beuchlerbescheinigendemprojekteineerfolgreichearbeit,dievonderbereits abzusehendenpromotionvons.grosmannocherganztwird. NaturlichgibtesnochoeneFragen.NachdererstenArbeitvonGerdKunertzuanisotropenFehlerschatzernbeimStokes-ProblemsollenweitereSystemepartiellerDierentialgleichungenangegangenwerden.DabeiistzunachstaneinsingulargestortesSystem vonzweipartiellendierentialgleichungengedacht,vondeneneine2.ordnungundeine 4.Ordnungist.DazuwirdTh.ApeleinenDFG-Einzelantragstellen,wobeiS.Grosman alsbearbeitervorgesehenist. InteressantistauchdieErweiterungderFehlerschatzerfurdieNavier-Stokes-Gleichungen,dadortebenfallsanisotropeRandschichtenentstehenkonnen.BeibeidenSystemen konntejedochdiebisherigeherangehensweiseanihregrenzenstoen,sodassalternative Methodenuntersuchtwerdensollten. deneinussderalignmentmeasureszubelegen. WeiterhinmussdienumerischeValidierungderFehlerschatzerweitergefuhrtwerden,um

45 Teilprojekt A7 GebietsadaptierteWaveletsundparallele MultiskalenmethodenfurRandintegraloperatoren

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47 A7Schneider/Brunnett TeilprojektA7 GebietsadaptierteWaveletsundparalleleMultiskalenmethodenfurRandintegraloperatoren 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.ReinholdSchneider Prof.Dr.GuidoBrunnett ProfessurScienticComputing ProfessurGrascheDatenverarbeitung UniversitatKiel Christian-Albrechts-Platz4 TechnischeUniversitatChemnitz FakultatfurInformatik 24118Kiel Tel.:(0431) Tel.:(0371) Chemnitz Fax:(0431) Fax:(0371) Projektbearbeiter Dr.HelmutHarbrecht,FakultatfurMathematik,TechnischeUniversitatChemnitz Dr.MarekVanco,FakultatfurInformatik,TechnischeUniversitatChemnitz Dipl.-Math.UlfKahler,FakultatfurMathematik,TechnischeUniversitatChemnitz Dipl.-Math.MaharavoRandrianarivony,FakultatfurInformatik,TechnischeUniversitat Chemnitz 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung EineReihepraxisrelevanterRandwertprobleme,wiebeispielsweiseAuenraumproblemederAkustikundderElektrostatik,sowieRandwertproblemederElastizitatstheorie undderstromungsmechanik,lassensichmittelsrandintegralgleichungsmethodenbzw. durchkombinationvonfinite-element-undrandintegralgleichungsmethodenvorteilhaftbehandeln.solcherandintegralmethodenfuhrenjedochublicherweiseaufvollbesetztematrizen.diebehandlungvollbesetztergrodimensioniertergleichungssysteme verbietetsichnaturgemawegendesenormenbedarfsanspeicherplatzundrechenzeit. ModerneAnsatzewiedasPanel{Clustering{Verfahren[HN],dieschnelleMultipolentwicklung[GR],oderzudiesenverwandteVerfahrenwieH-Matrizen[HK]oderdieAdaptiveCrossApproximation[BR],versprecheneinenAuswegausdieserSituation.Ein weitererzugangsindmultiskalen-oderwaveletapproximationsmethoden[bcr,s],welcheaufderverwendungvonmultiskalenbasenoderbiorthogonalenwaveletbasenzur

48 46 A7Schneider/Brunnett DiskretisierungderIntegralgleichungenberuhen.DiedadurchentstehendenSystemmatrizensindquasi-dunnbesetzt,d.h.sielassensichohneVerlustanGenauigkeitdurch dunnbesetztematrizenersetzen.zudemkonnensieleichtvermittelsdiagonalskalierung vorkonditioniertwerden[dku]. DieAufgabenstellungdiesesTeilprojektesbestanddarin,Wavelet{Galerkin{Verfahren aufkomplexenoberacheneignen.dabeisolltensowohloberachen,dieausstuckweise dahingehendweiterzuentwickeln,dasssiesichzurlosungvonrandintegralgleichungen glattenteilachenbestehen,alsauchpolygonalapproximierteflachenbetrachtetwerden.inderletzterensituationsolltediewavelet{konstruktionnachtausch/whitezum Einsatzkommen. 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1WeiterentwicklungdesWavelet-Galerkin-Verfahrensfur stuckweiseglatteoberachen FurdieAnwendungderWavelet{MatrixkompressionnachSchneideraufProblememit komplexengeometrienwaresnotwendig,diezumantragszeitpunktvorhandenenmethodeninverschiedenerhinsichtweiterzuentwickeln.dabeiwurdeninsbesonderedie folgendenfragestellungenbetrachtet: DenitionvonbiorthogonalenWaveletbasenaufOberachen, EntwicklunggeeigneterKompressionskriterien,dieentscheiden,obeinMatrixkoezientbenotigtwird, EntwicklunggeeigneternumerischerIntegrationsmethodenzurezientenBerechnungderbenotigtenMatrixkoezienten, AdaptiveLosungderRandintegralgleichungen VorverarbeitungderGeometriedaten SollenIntegralgleichungenaufrealistischenGeometriengelostwerden,soistdavonauszugehen,dassdasgeometrischeModellunterEinsatzeineskommerziellenModellierungswerkzeuges(CAD-System)erstelltwurdeundderExportindasSystemzurLosungder Integralgleichung(Solver)ubereinnormiertesAustauschformaterfolgt.DiezentraleAufgabebestandinderRealisierungvonSoftwareprozeduren,diediesenDatentransferautomatisierenunddafursorgen,dassdieexportiertenDatenvomSolverauchtatsachlich verarbeitetwerdenkonnen.furdiesearbeitenwurdedasweitverbreiteteaustauschformatiges(initialgraphicsexchangespecication)ausgewahlt. WeiterefurdieGeometrieverarbeitungbenotigteFunktionenbetreendiegeeigneteDismentierungderOberacheetwaanscharfenKantenkretisierungderFlachenstucke,dieFlachenanpassungandiskreteDatensowiedieSeg-

49 A7Schneider/Brunnett EinWavelet-Galerkin-VerfahrenfurpolygonaleOberachen Verfeinerungsstrategien,wiesiesonstzurKonstruktionvonWaveletsverwendetwerden,lassensichaufpolygonalapproximiertenOberachennichtanwenden.Stattdessen kannmandurchvergroberungsstrategienebenfallseinehierarchieverschiedenerskalen schaen.in[taw]wurdeeinekonkretekonstruktionangegeben,diedieproblematikin beinaheidealerartundweiselost.diesekonstruktionkannaufeineweitgehendbeliebig gegebenediskretisierungangewandtwerdenundliefertbasisfunktionenmitverschwindendenmultipolmomenten,bzw.solche,dieorthogonalaufpolynomenimraumstehen. DasZielbestanddarin,dieseWaveletszukonstruierenundsiealsGrundlagefurein Galerkin{VerfahrenbasierendaufderStandardformzuverwenden.DieentstehendeSystemmatrixwurdevomAntragstellerR.Schneiderbereitseingehenduntersucht[DPS2, DPS3,PS1,S].DieseMatrixistimGegensatzzudeninderRegelvollbesetztenSystemmatrizenvontraditionellenEinskalen{Galerkin{Verfahrenquasi-dunnbesetzt.Dies bedeutet,dasssiemittelsdersogenanntenmatrixkompressionaufeinedunnbesetzte Matrixkomprimiertwerdenkann,ohnedasseszuVerlustenbeiStabilitatoderKonvergenzkommt.DadiebenotigtenKoezientena-prioribekanntsind,mussennurdie nichtverschwindendeneintragedersystemmatrixberechnetwerden.dasaufstellender komprimiertensystemmatrixistjedochkeineswegseinfachzubewerkstelligen.daher wareingroerteilderarbeitdemmoglichstschnellenundeektivenberechnender Systemmatrixgewidmet.DieFragenderKonvergenzdeskomprimiertenVerfahrens,der Vorkonditionierung,sowieentsprechenderAbschatzungen(Approximationseigenschaft undinverseungleichung),wiesiefurbiorthogonalewaveletbasenbekanntundgrundlegendsind[d,s],bedurftenfurdieseneuartigenbasisfunktionenebenfallsnocheiner genauerenuntersuchung. Literaturverzeichnis [BCR] G.Beylkin,R.Coifman,andV.Rokhlin.Thefastwavelettransformandnumerical algorithms.comm.pureandappl.math.,44:141{183,1991. [BR] M. matrices.computing,70,no.1,1{24,2003. Bebendorf and S. Rjasanow. Adaptive low-rank approximation of collocation [CDD1] A.Cohen,W.Dahmen,andR.DeVore.AdaptiveWaveletMethodsforEllipticOperatorEquations{ConvergenceRates,Math.Comp.70,27{75(2001). [CDD2] A.Cohen,W.Dahmen,andR.DeVore.AdaptiveWaveletMethodsII{Beyondthe EllipticCase.,Found.Comput.Math.2,203{245(2002). [D] A.Cohen,I.Daubechies,J.-C.Feauveau,Biorthogonalbasesofcompactlysupportedwavelets,PureAppl.Math.,45:485{560,1992. [DKU] W.Dahmen,A.Kunoth,andK.Urban,Biorthogonalspline-waveletsonthe interval{stabilityandmomentconditions,appl.comp.harm.anal.,6:259{302, [DPS2] W.Dahmen,S.Prodorf,R.Schneider,Waveletapproximationmethodsfor periodicpseudodierentialequations.part2-fastsolutionandmatrixcompression, AdvancesinComputationalMathematics,1,259{335,(1993).

50 48 A7Schneider/Brunnett [DPS3] W. dierentialequationsonsmoothmanifolds,in:proceedingsoftheinternationalcon- Dahmen, S. Prodorf, R. Schneider, Multiscale methods for pseudoferenceonwavelets:theory,algorithms,andapplications,c.k.chui,l.montefusco,l.puccio(eds.),waveletanalysisandapplications,5,academicpress,385{424, (1994). [GR] L.GreengardandV.Rokhlin,Afastalgorithmforparticlesimulation,J.Comput.Phys.,73:325{348,1987. [H] Dimensions,Dissertation,TechnischeUniveritatChemnitz(2001). H.Harbrecht,Wavelet{Galerkin{Schemesforboundaryintegralequationsinthree [HK] W.HackbuschandB.N.Khoromskij,AsparseH-matrixarithmetic,II:Applicationtomulti-dimensionalproblems,Computing,64:21{47,2000. [HN] W.HackbuschandZ.P.Nowak,Onthefastmatrixmultiplicationintheboundaryelementmethodbypanelclustering,Numer.Math.,54:463{491,1989. [PS1] T.vonPetersdorff,C.Schwab,Waveletapproximationofrstkindintegral equationsinapolygon,numer.math.,74,479{516,(1996). [S] R.Schneider,Multiskalen-undWavelet-Matrixkompression:AnalysisbasierteMethodenzurLosunggroervollbesetzterGleichungssysteme,Habilitationsschrift,TH Darmstadt,(1995),AdvancesinNumericalMathematics,TeubnerStuttgart,(1998). [TAW] J.Tausch,J.White,Multiscalebasesforthesparserepresentationofboundary integraloperatorsoncomplexgeometries,siamj.sci.comut.,24:1610{1629, Ergebnisse 2.4.1WeiterentwicklungdesWavelet-Galerkin-Verfahrensfur stuckweiseglatteoberachen dazugefuhrt,dassderenkonstruktionimwesentlichenverstandenundrealisiertist. DiedurchgefuhrtenArbeitenzurThematikvonWaveletbasenaufOberachenhaben UnsereErfahrungzeigt,dassWaveletsmitmoglichstkleinemTrageraufdiebesten KompressionsergebnissefuhrenunddiePerformancedesWavelet{Galerkin{Verfahrens erheblichverbessern.gegenubererstenansatzensindgeradehiergroefortschritte erzieltworden:die(vereinfachten)tensorproduktwaveletsvomtypiiundiiikonnen durcheinwesentlichkleinereswavelet(optimierteswaveletvomtypii)ersetztwerden ohnediemultiskalenraumezuverandern,vergleicheabbildung2.1.furweiteredetails undvergleichsrechnungenseiauf[hs3]verwiesen. Diea-prioriKompressionstrategie,diein[S]entwickeltwurde,istdurcheinezusatzliche a-posteriorikompressionstrategieerganztworden[dhs].wienumerischeergebnisse belegen[dhs,hs1,hs4],verbessertdiesediewavelet{matrixkompressionzusatzlich spielhaftdienumerischenergebnissefurdieeinfachschichtgleichungdeslaplace[dhs] umeinenfaktor2{4.umdieezienzdesverfahrenskurzdarzustellen,fuhrenwirbei-

51 A7Schneider/Brunnett 49 Tensorproduktwavelets WaveletvomTypI WaveletvomTypII WaveletvomTypIII vereinfachtetensorproduktwavelets WaveletvomTypI WaveletvomTypII WaveletvomTypIII optimiertewavelets WaveletvomTypI WaveletvomTypII Abb.2.1:UbersichtzurKonstruktionenderstuckweisebilinearenWaveletsmitvierverschwindendenMomenten.

52 50 A7Schneider/Brunnett kurzauf:aufeinerkugel(parametrisiertvia6patches)bzw.einerkurbelwelle(parametrisiertvia142patches,vergleicheauchabbildung2.3)sindprozeileimdurchschnittnur254bzw.406eintragea-priorirelevant.a-posteriorireduziertsichderen Zahlsogarauf130bzw.139relevanteEintrage,ohnedieGenauigkeitdesGalerkinVerfahrenszubeeintrachtigen.DieseErgebnissewurdenerzieltimFallevon1.6bzw.2.3 Mio.Unbekannten.Abbildung2.2visualisiertzusatzlichinbeidengenanntenFallendas asymptotischeverhaltenderkompressionsstrategie.unsistbislangkeinverfahrenbekannt,dasbeirandintegralgleichungenhinsichtlichderkompressioneinevergleichbare Datenreduktionbietet. nonzero matrix coefficients in per cent 10 2 Matrix compression with respect to the sphere a priori compression a posteriori compression linear complexity nonzero matrix coefficients in per cent 10 2 Matrix compression with respect to the crankshaft a priori compression a posteriori compression linear complexity Abb.2.2:KompressionsratenbezuglichderEinheitssphareundeinerKurbelwelle number of unknowns number of unknowns DergroteAnteilanRechenzeitwirdnachwievorzurBerechnungderrelevantenMatrixeintragebenotigt,dasheitfurdienumerischeQuadratur.ZwaristesinzwischesamtlineareKomplexitatfuhrt,jedochwirdinunserenBeispielendieseAsymptotiknoch verstanden,dasstheoretischjedeexponentiellkonvergentehp{quadraturaufeineinsge- nichterreicht.hinsichtlichderberechnungdermatrixkoezientensehenwirnochverbesserungsbedarf.dieaktuellerealisierungbasiertauftensorprodukt{gau{legendre{ QuadraturformelnkombiniertmitdemDuy{TrickfurdieauftretendensingularenIntegrale[DHS,HS5].Diein[BBDMK]untersuchtenAlternativenscheinenallerdingskeinen groenleistungssprungzuermoglichen.esseiallerdingsauchangemerkt,dasswirseit denerstenergebnissenin[s]bisheuteunserverfahrendurchalgorithmischeundmathematischeverbesserungen(dieverbesserterechentechnikisthierbeiausgeklammert) umeinenfaktor40{50beschleunigthaben. DieVorkonditionierungderSystemmatrizenvonOperatorenpositiverodernegativer OrdnungistmitWaveletsaufgrundderNormaquivalenzeneinfachdurcheineDiagonaltischaberoftmalsunzufriedenstellendenVorkonditionierungistin[HS4]vorgeschlageskalierungdurchfuhrbar.EineVerbesserungdieserzwarasymptotischoptimalen,prak- worden.esdarfandieserstelleauchauf[bss]hingewiesenwerden,indemvermittelswaveletbasensogardegenerierteelliptischeoperatorenerfolgreichvorkonditioniert

53 A7Schneider/Brunnett 51 Abb.2.3:ParametrischeDarstellungderKurbelwelleundadaptiveNetzverfeinerung. wordensind.mithilfedernormaquivalenzenkonnteaucheinmodiziertesverfahren zurregularisierungschlechtgestellteroderinverserproblemeentwickeltwerden.hierzu kanndurcheineselbstregularisierungfuroperatorennegativerordnunggefundenwerden[hps].zurezientenberechnungkanneinwavelet{matrixkompressionsverfahren vorteilhaftangewendetwerden. mussdieregularitatderlosunga-priorinichtbekanntsein.einequasi-optimalelosung ErsteFortschrittebeiderUmsetzungeinesadaptivenWavelet{Galerkin{Verfahrenswurdenin[HS2,HS4]erzielt.ImVergleichzumnichtadaptivenVerfahrenwirdbeiweitaus geringeremaufwanddiegleichegenauigkeiterzielt.allerdingsbenotigtderkonvergenzbeweisbishernochdiesaturationsannahmeunddieoptimalitatdesverfahrensistnicht sichergestellt.aneinereinarbeitungderneuerenentwicklungenvon[cdd1,cdd2] wirdderzeitgearbeitet.eineadaptivenetzverfeinerungbezuglichderkurbelwelleistin Abbildung2.3(rechts)dargestellt. Erwahnenswertistebenfallsdie(Least{Squares{)KopplungvonFinitenElementenund Wavelet{Randelementen,dietheoretischgrundlegenduntersuchtundzumindestin2D auchrealisiertwordenist[hpps1,hpps2,ghs].einerealiserungin3distlangfristig geplant. ErfolgreichwirddasvorliegendeWavelet{Galerkin{VerfahrenzurShape{Optimierung angewandt[eh1,eh2,eh3,eh4,eh5],beiderzurgradienten{undhessiansberechnungdirichlet{oderneumann{datenundfurverfahrenzweiterordnungsogarnoch hohereableitungenderzustandsgleichungezientberechnetwerdenmussen. Zusammenfassendkanngesagtwerden,dassdieMultiskalendiskretisierungvon2Dund 3DRandwertproblemendurchgefuhrtwurde.DieErgebnissespiegelndietheoretischen Resultatewiderundzeigen,dassfurstuckweiseparametrischeGeometriedarstellungen mitbiszu1000einzelnenpatcheseinsehrleistungsfahigeswavelet{galerkin{verfahren enstandenist,daseinewesentlicheeinsparunganspeicherplatzundrechenzeiterbringt.

54 52 A7Schneider/Brunnett 2.4.2VorverarbeitungderGeometriedaten DiezentraleAufgabederGeometrievorverarbeitungbestehtdarin,eineimIGES-Format derintegralgleichung(solver)aufdieflachenelementedirektzugreifenkann.nachder spezizierteoberachenbeschreibungsoaufzubereiten,dassdassystemzurlosung AnalysederStruktureinesIGES-FileswurdenRoutinenerstellt,dieauseinembeliebigenIGES-FiledierelevantenDatenextrahieren(AnzahlundArtdervorhandenen FlachenstuckeundihreRandkurven,spezizierendeDatenderParametrisierung)und demsolverzufuhren.furalle30elementederentityclass"curveandsurfacegeometry\wurdenauswertungsprozedurenerzeugt,diefureinenpunktimparametergebiet derflache(kurve)denzugehorigenflachenpunkt(kurvenpunkt)unddiezugehorigen Ableitungenzuruckliefern(Beispiel:de-Boor-AlgorithmusfurB-Spline-Flachen).Damit kanndersolverdiedurchigesspeziziertegeometriegrundsatzlichinvollemumfang verarbeiten. EinebesondereSchwierigkeitbeiderRealisierungdieserArbeitstelltedieBehandlung der"trimmedsurfaceentity\(entitytype144)dar.beieinergetrimmtenflache handeltessichumeinebeliebigeflachenparametrisierungubereinemstandardparametergebiet,wobeidurchangabegeschlossenerkurveninnerhalbdesparametergebietes gewissebereicheals"ungultig\erklartsind.dieiges-spezikationerlaubteinebeliebigeanzahlderartigerbegrenzungskurvenunterdervoraussetzung,dasssiekeinedoppelpunktebesitzen,sichgegenseitignichtschneidenundihrinnerespaarweisedisjunkt ist.incadkonstruktionenkommengetrimmteflachenalsresultatvonflachenverschneidungenoderblendingoperationensehrhaugvor. DadieWaveletkonstruktionvonSchneiderdasVorliegendesStandardparametergebietes [0;1]2annimmt,istesnotwendig,dasParametergebieteinergetrimmtenFlacheinTeile zuzerlegen,diesichdieomorphaufdaseinheitsquadratabbildenlassen.dasvonuns entwickelteverfahrenvollziehtsichineinerzerlegungs-undeinerkonstruktionsphase [RBS]. InderZerlegungsphasewerdendieRandkurvendesParametergebieteszunachstdiskretisiert.DasdadurchentstandenemehrfachzusammenhangendePolygonwirddannin mehrerenschrittenzunachstineinemengevoneinfachzusammenhangendenpolygonen,dannineinemengekonvexerpolygoneundschlielichineinemengevierseitiger Polygonezerlegt.Dabeiistdaraufzuachten,dassdieZerlegungsoerfolgt,dassdie nachfolgendeersetzungderpolygonseitendurchdieentsprechendenabschnittederursprunglichengekrummtenkurveninkorrekterweisemoglichwird. InderKonstruktionsphasewirdmitHilfeeinestransnitenInterpolationsschemasfur jedesvierseitigeteilgebiet(mitgekrummtenrandkurven)eindieomorphismusaufdas Einheitsquadratgeneriert.DabeiistesunterUmstandennotwendig,dasvierseitigeTeilgebietweiterzuzerlegen,umzugarantieren,dassdieerzeugteAbbildungtatsachlich eindieomorphismusist.furdenwichtigenspezialfallvonrandkurven,dieinbezierdarstellunggegebensind,wurdenzudiesemzwecknotwendigeundhinreichende BedingungenfurdiezulassigeLagederBezierpunkteabgeleitet[RaB5]. ZudenbenotigtenFunktionenderGeometrieverarbeitunggehortdaruberhinausein WerkzeugzurDiskretisierungderOberachen.In[RaB1]berichtetenwiruberdieEnt-

55 A7Schneider/Brunnett 53 Abb.2.4:ZerlegunginvierseitigeTeilgebiete wicklungeinerderartigenfunktion,diefurbeliebigeimiges-formatspezizierteflachenverbandeeinkonsistentesdreiecksnetzmitfehlerkontrolleerzeugt.hierbeiwird zunachstjedeteilacheuntereinsatzderdelaunay{triangulierungindreieckezerlegt. JedesdieserAusgangsnetzewirdanschlieendunterEinsatzeinerlokalenFehlerfunktion verfeinert.imabschlieendenschrittwerdendieeinzelnennetzezueinemkonsistenten Netzverschmolzen. Abb.2.5:AutomatischeNetzgenerierungfurOberachen FursehrkomplexeModellewirdeineakzeptableLaufzeitdesVerfahrenszurLosungder IntegralgleichungnurdurcheineSimplizierungderOberachenbeschreibungzuerzielensein.EinederartigeVereinfachungwirdaufderAnpassungvonFlachenstuckenan diskretedaten,dievonderoberachederoriginalgeometriegewonnenwurden,basieren.eswurdedeshalbeinverfahrenzuranpassungvonnurbs{flachenandiskrete Datenrealisiert,beidemdieKnotenderSplinedarstellungalsfreieParameterbetrachtet

56 54 A7Schneider/Brunnett werden[rab2].aufgrunddeshohenbedarfsanrechenzeitwurdein[rab3,rab4]eine paralleleimplementierungdiesermethodemitlastbalancierungvorgestellt. BesitztdaszuapproximierendeObjektscharfeKanten,soistesnotwendigdenVerlauf dieserkantenzudetektieren,bevoreineflachenanpassungdurchgefuhrtwerdenkann. Hierzuwurdein[RaBr]einVerfahrenvorgestellt,dasunterEinsatzvonWaveletfunktionenKantenverlaufeindiskretenDatendetektiert EinWavelet-Galerkin-VerfahrenfurpolygonaleOberachen AusgangspunktderBetrachtungenistdieGeometrie,gegebenalsstuckweiselinearapproximierteOberache.SowohlzurKonstruktionderWaveletsalsauchzurUmsetzung deskonzepteshierarchischermatrizenunddermultipol{methodewirdeinehierarchiterbaum.zurgenerierungdesclusterbaumswurdesowohleinehierarchischeraumlichscheunterteilungderpolygonalgegebenenoberachebenotigt,dersogenannteclus- UnterteilungalsaucheineweitereStrategierealisiert,dieaufderZusammenfassung benachbarterelementeindenknotendesbaumsberuht. Abb.2.6:HierarchischeUnterteilungdes'Orbitals' BasierendaufderhierarchischenUnterteilung(Abbildung2.6)lassensichdieWavelets nach nomenimraumstehen,rekursivausstuckweisekonstantenbzw.stuckweiselinearen J. Tausch und J. White[TAW],dieorthogonalaufdenSpurenvonPoly- Ansatzfunktionenerzeugen.BeidieserVergroberungsstrategieensteheninjedemRekursionsschrittWaveletfunktionensowieSkalierungsfunktionen(Abbildung2.7),diezur ErzeugungvonWaveletsaufdemgroberenLevelweiterverwendetwerden. DiejeweiligenMultiwaveletsspaltensichdabeierstdurchdieSingularwertzerlegung lokalermomentenmatrizenab.diesesprinzipwurdeinderdiplomarbeitvont.weber [Webe]durchVerwendungvoneinfachenQR-Zerlegungenverbessert,dadieneuenWaveletfunktionensogareineansteigendeAnzahlvonverschwindendenMultipolmomenten besitzen. DiesoenstandeneMultiwaveletbasis(Abbildung2.8)wurdealsGrundlagefureinGalerkin{Verfahrenverwendet.StellvertretendfurverschiedeneRandintegralgleichungenrea-

57 A7Schneider/Brunnett Abb.2.7:Skalierungs-(links)undWaveletfunktion(rechts)furdasinAbbildung dargestellteorbital 0.3 lisierte U. Kahler[Kah]dasWavelet{Galerkin{VerfahrenfurdieindirekteFormulierungzurLosungderLaplace{Gleichung.DazuwurdendasEinfachschicht-unddas Doppelschichtpotentialin2Raumdimensionenumgesetzt. transformation matrix Abb.2.8:KoezientenmatrixderWaveletsinrekursiver(links)bzw.nachLevelngeordneterStruktur(rechts) Dabeiwerdenmittelsdera-priori{Kompression[HS4]diezuberechenendenEintrage dersystemmatrixbestimmtundanschlieendmithilfeeinerreihenentwicklunganalogzurfast{multipole{methodeberechnet.zurezientenbestimmungderbenotigtenpolynomgradedieserreihenwurdeeina-posteriori{fehlerkriteriumverwendet,das H.HarbrechtinseinerDissertation[H]entwickelthat.Esistzubeachten,dassimGegensatzzuanderenschnellenVerfahrendieSystemmatrixexplizitaufgestelltwird(Abbildung2.9).SiebenotigtjedochdurchihredunnbesetzteStruktur(Abbildung2.10)bei weitemnichtdenspeicherplatzdersystemmatrixeinesklassischeneinskalen-verfahrens. DiefurdiesesVerfahrennotwendigenUntersuchungenderverwendetenWaveletshin-

58 56 A7Schneider/Brunnett Kompressionsraten SLK/DLK Kompressionsraten SLK DLK 10 1 Abb.2.10:VerteilungdernichtverschwindendenEintrageinnerhalbderSystemmatrix N (links)unddiezugehorigenkompressionsratenbzgl.deseinfachschicht-und desdoppelschichtpotentials(rechts) Abb.2.9:SystemmatrixdesWavelet-Galerkin-Schemasinrekursiver(links)bzw.Fingerstruktur(rechts) sichtlichderapproximationseigenschaftundderinversenungleichungwurdein[hks2] furbeliebigvieleraumdimensionendurchgefuhrt.eskonntenhieraberauchdiein[kah] gemachtenaufwandsabschatzungenaufdenallgemeinenn-dimensionalenfallausgeweitetwerden. DazurBestimmungderSystemmatrixeintragebereitsTeiledesFast{Multipole{Verfahrensverwendetwurden,waresnaheliegenddasWavelet{Verfahrenmitdemklassischen Einskalen{VerfahrenunddemMultipol{Verfahrenzuvergleichen.DienumerischenErgebnissezeigendieKonkurrenzfahigkeitdesWavelet{Galerkin{Verfahrensmitanderen schnellenverfahrenundlassendienach-undvorteiledesverfahrenserkennen. skalen{verfahrensgegenuberdenanderenbeidenverfahren.dieabbildungzeigtaber InAbbildung2.11erkenntmandieasymptotischeUnterlegenheitdesklassischenEin- auch,dassdaswavelet{verfahrenindergegenwartigenimplementierungnochetwaum denfaktordreilangsameristalsdasfast{multipole{verfahren.dieursachedafurliegt inderverwendungdermultipole-methodeinnerhalbdeswavelet-verfahrens.abbil-

59 A7Schneider/Brunnett SLK Rechenzeiten 10 4 DLK Rechenzeiten Rechenzeit Rechenzeit Einskalen Verfahren Multipole Verfahren Wavelet Verfahren Abb.2.11:Vergleich 10 1 der Rechenzeiten des 10 1 klassischen Einskalen{Verfahrens, des N N Multipol{Verfahrens Einfachschicht-(links)bzw.Doppelschichtpotential(rechts) und des Wavelet{Galerkin{Verfahrens fur das 10 0 Einskalen Verfahren Multipole Verfahren Wavelet Verfahren Rechenzeit Wavelet Verfahren DLK Vorbereitungszeit Zeit zum Loesen Rechenzeit 10 3 Multipole Verfahren DLK Abb.2.12:VergleichderRechenzeitenzumAufstellenderSystemmatrixunddesanschlieendenLosensdesenstandenenGleichungssystemsimFalldesWavelet{ Galerkin{Verfahrens(links)undVergleichderVorbereitungs-undderIterationsphaseimFallderFast{Multipole{Methode(rechts)furdasDoppelschicht N N potential 10 1 Itterationszeit Vorbereitungszeit dung2.12illustriertdievorteiledeswavelet{galerkin{verfahrensimhinblickaufdas LosenvonRandintegralgleichungenmitverschiedenenrechtenSeiten.DabeimWavelet{ VerfahrenfurjedeneuerechteSeitenureindunnbesetztesGleichungssystemgelostwerdenmuss,istderMehraufwandverschwindendgering.BeimMultipol{Verfahrenwird Iterationsphaseerneutdurchlaufen.Hierbeiistzusatzlichzubeachten,dassbeimMultipolverfahrendiefurdieIterationsphasebenotigteRechenzeitstarkabhangigistvonder dagegen,ahnlichwiebeianderenschnellenverfahren,furjedeneuerechteseitedie KonditionierungdesProblems.

60 58 A7Schneider/Brunnett NeuentstandeneLiteratur [BBDMK] mulasforrenablefunctionsandwavelets,ii.erroranalysis,j.comput.anal.appl. A.Barinka,T.Barsch,S.Dahlke,M.Mommer,M.Konik,Quadraturefor- 4,339{361,2002. [BSS] S.Beuchler,R.Schneider,C.Schwab,Multiresolutionweightednormequivalencesandapplications,PreprintSFB393/02-09,TUChemnitz,2002(erscheintin Num.Math.). [DHS] W.Dahmen,H.Harbrecht,R.Schneider,CompressionTechniquesforBoundaryIntegralEquations{OptimalComplexityEstimates,PreprintSFB393/02-06, TUChemnitz,2002(eingereichtbeiSINUM). [EH1] Problemsusingwavelet-basedBEM,Optim.MethodsSoftw.18,No.1, ,2003. K. Eppler, H. Harbrecht,Numerical Solution of Elliptic Shape Optimization [EH2] TechnicalReport ,PreprintSeriesoftheInstituteofMathematics,TUBerlin, K.Eppler,H.Harbrecht,2ndOrderShapeOptimizationusingWaveletBEM, 2003(eingereichtbeiOptim.MethodsSoftw.). [EH3] K. BEM,TechnicalReport ,PreprintSeriesoftheInstituteofMathematics, Eppler, H. Harbrecht, Exterior Electromagnetic Shaping using Wavelet TUBerlin,2003(eingereichtbeiMath.Meth.Appl.Sci.). [EH4] K.Eppler,H.Harbrecht,SecondorderLagrangemultiplierapproximationfor constrained riesoftheinstituteofmathematics,tuberlin,2003.(erscheintinproceedingsof shape optimization problems, Technical Report , Preprint Se- 21.IFIPTC7Conferenceonsystemmodelingandoptimization). [EH5] Bericht03-9,BerichtsreihedesMathematischenSeminarsderChristian-Albrechts- K. Eppler, H. Harbrecht,Fast wavelet BEM for 3d electromagnetic shaping, UniversitatzuKiel,2003,(erscheintbeiAppl.Numer.Math.). [HKS] H.Harbrecht,M.Konik,R.Schneider,FullyDiscreteWaveletGalerkinSchemes,EngineeringAnalysiswithBoundaryElements27,423{437,2003. [HKS2] H.Harbrecht,U.Kahler,R.Schneider,WaveletGalerkinBEMonunstructuredmeshes,PreprintSFB393/04-06,2004. [HPPS1] H. proximationforthecouplingoffem-bem,num.math.92,325{356,2002. Harbrecht, F.Paiva,C.Perez,R. Schneider,Biorthogonalwaveletap- [HPPS2] H.Harbrecht,F.Paiva,C.Perez,R.Schneider,Multiscalepreconditioning forthecouplingoffem-bem,num.lin.alg.appl.10,197{222,2003. [HPS] H.Harbrecht,S.Pereverzev,R.Schneider,Self-regularizationbyprojection fornoisypseudodierentialequationsofnegativeorder,numer.math.95,123{143, [HS1] H.Harbrecht,R.Schneider,WaveletsfortheFastSolutionofBoundaryIntegral Equations,ProceedingsoftheFifthWorldCongressonComputationalMechanics (WCCMV),July7-12,2002,Vienna,Austria,Editors:Mang,H.A.;Rammerstorfer,F.G.;Eberhardsteiner,J.,Publisher:ViennaUniversityofTechnology,Austria, (nichtreferiertertagungsbeitrag).

61 A7Schneider/Brunnett 59 [HS2] H.Harbrecht,R.Schneider,AdaptiveWaveletGalerkinBEM,inComputationalFluidandSolidMechanics2003,vol.2,editedbyK.J.Bathe,Elsevier,1982{1986, [HS3] mentmethod,preprintsfb393/03-10,tuchemnitz,2003(erscheintinmathema- tischenachrichten). H.Harbrecht,R.Schneider,Biorthogonalwaveletbasesfortheboundaryele- [HS4] equations,preprintsfb393/03-07,tuchemnitz,2003(erscheintinproceedingsof H.Harbrecht,R.Schneider,Waveletbasedfastsolutionofboundaryintegral theinternationalconferenceonabstractandappliedanalysis(icaaa2002)). [HS5] Equations{ImplementationandQuadrature,PreprintSFB393/02-21,TUChemnitz, H.Harbrecht,R.Schneider,WaveletGalerkinSchemesforBoundaryIntegral 2002(eingereichtbeiSISC). [GHS] G.N.Gatica,H.Harbrecht,R.Schneider,LeastsquaresmethodsforthecouplingofFEMandBEM,SINUM41,1974{1995,2003. [Kah] U. kompliziertenoberachen,diplomarbeit,tuchemnitz,2003. Kahler,WaveletbasierteMatrixkompressionfurRandintegralgleichungenauf [RaBr] M. higherorderdiscontinuitiesfromirregularnoisysamples,proceedingconferenceon Randrianarivony, G. Brunnett, A multiresolution method for detecting curveandsurfacetting,saint-malo,nashboropress, ,isbn: , [RaB1] M. rameterizedsurfaces,proceedingconferenceongeometricmodelingandgraphics, Randrianarivony, G. Brunnett,Generatingwellbehavedmeshesforpa- London,IEEEComputerSociety,56-61,ISBN: ,200). [RaB2] M.Randrianarivony,G.Brunnett,ApproximationbyNURBScurveswithfree Knots,Proc.Vision,ModelingandVisualization2002,AkademischerVerlagsgesellschaft, ,ISBN: ,2002. [RaB3] M. structionfromnoisysamples,preprintsonderforschungsbereich393,sfb393/02-15, Randrianarivony, G. Brunnett,Parallelimplementationofcurverecon [RaB4] M.Randrianarivony,G.Brunnett,Parallelimplementationofsurfacereconstructionfromnoisysamples,PreprintSonderforschungsbereich393,SFB393/02-16, [RaB5] M. the Randrianarivony, regularity of a planar G. Coons Brunnett, map, Necessary Preprint Sonderforschungsbereich and sucient conditions393, for SFB393/04-07,2004. [RBS] M.Randrianarivony,G.Brunnett,R.Schneider,Constructingadieomorphismbetweenatrimmeddomainandtheunitsquare,Sonderforschungsbereich393, PreprintSFB393/03-20,(2003),EingereichtzurVeroentlichungConf.onMathematicalMethodsforCurvesandSurfaces,Tromso,2004. [Webe] T.Weber,MultiwaveletPackets,Diplomarbeit,TUChemnitz,2003.

62 60 A7Schneider/Brunnett 2.5OeneFragen/Ausblick EinaugenblicklichaktivesForschungsfeldistdieEinarbeitungderIdeenundEntwicklungenvon[CDD1,CDD2]indenbishervorhandenenadaptivenAlgorithmusfurstuckweise glatteoberachen.realisiertwerdensolleinezienteradaptiveralgorithmus,derohne SaturationsannahmemitoptimalerKomplexitatdiebesten-TermApproximationandie LosungeinerRandintegralgleichungberechnet.GeradehierfuristdieBeschreibungvon GeometrienmitHilfevonCAD{ProgrammenhilfreichundermoglichtdieBehandlung praxisrelevanterprobleme. AusdemPrinzipderseparatenVerarbeitungderTeilachenergibtsich,dassdieAnwendbarkeitdesVerfahrensabhangigistvonderAnzahlgegebenerPatches.Fursehr komplexemodellewirdeineakzeptablelaufzeitdesverfahrensnurdurcheinesimpli- zierungderoberachenbeschreibungzuerzielensein.esistdeshalbgeplanteinclusterverfahrenzuentwickeln,dasabhangigvonanwendungsrelevantenparameterneine ReduzierungderTeilachenanzahldurchZusammenfassungvonPatchesdurchfuhrt. FernerwirdanderRealisierungdesWavelet{Galerkin{VerfahrenszurLosungweiterer Gleichungengearbeitet,wiezumBeispielderHelmholtz{Gleichung.Eineebenfallssehr interessanteaufgabenstellungistdieschnellelosungderradiosity{gleichung.hierbei istallerdingsdieezienteumsetzungdersichtbarkeitsfunktioneinenichttrivialeaufgabe. DerAnsatzvonJ.TauschundJ.WhiteistbishernurfurgeschlosseneOberachen formuliertworden.deshalbsolldasverfahrensomodiziertwerden,dassesfurbeliebigeflachenverbandeeinsetzbarwird.ausdervorliegenden2d-implementierungdes Verfahrensistbekannt,dasseineClusterbildung,dieaufZusammenfassungbenachbarterElementeberuht,derhierarchischenraumlichenUnterteilunguberlegenist.Deshalb sollalsalternativezurhierarchischenraumunterteilungeineclusterstrategieentwickelt werden,diedasprinzipderzusammenfassungvonnachbarelementenaufdieober- achensituationverallgemeinert. schwindendenmultipolmomentederwaveletsaus[webe]beiderreihenentwicklung WirerwarteneineReduzierungderRechenzeitdurcheineBerucksichtigungderver- derverwendetenfast{multipole{methode.durchdiesenreduziertenentwicklungsaufwandkonntedaswavelet{verfahrenimfalledreierraumdimensionenauchweniger RechenzeitbenotigenalsdasschondeutlichgrundlichererforschteMultipol{Verfahren. ImAnschlussandiesequentielleRealisierungdesTausch/White{Verfahrensin3Dist dieparalleleimplementierungdiesesverfahrensvorgesehen.

63 Teilprojekt A11 GemischteFormulierungen:adaptiveanisotropenite ElementeundparalleleLoser

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65 A11Apel/Meyer TeilprojektA11 GemischteFormulierungen:adaptiveanisotropeniteElementeundparalleleLoser 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.ArndMeyer,TUChemnitz,ProfessurNumerischeAnalysis PDDr.ThomasApel,TUChemnitz,anProfessurNumerischeAnalysis ThomasApelistEnde2003ausgeschieden,daereineProfessuranderUniversitatder BundeswehrMunchenangenommenhat Projektbearbeiter PDDr.GerdKunert,ProfessurWissenschaftlichesRechnen(bisSeptember2003) M.Sc.SviatoslavDerezin,ProfessurNumerischeAnalysis M.Sc.AlexanderSmuglyakov(abApril2002),ProfessurNumerischeAnalysis Dipl.-Math.PeterSteinhorst(abOkt.2003),ProfessurNumerischeAnalysis 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung GegenstanddiesesTeilprojektssindgemischteFinite-Elemente-Diskretisierungenfurdas Stokes-unddasReissner-Mindlin-Problem.WirhattenunszumZielgestellt,ezienteSimulationssoftwarezuentwickeln,dieauftheoretischfundiertenezienten,d.h. adaptivenundlosungsangepassten,parallelenlosungsstrategienberuht. BeiderSimulationderStromungviskoserFluideentstehenLosungenmitanisotropem VerhaltendurchKantensingularitatenoderRandschichten.LosungsangepassteDiskretisierungensindfolglichauchanisotrop.UnserZielbestanddarin,Elementepaareauf dereneignungbeidiskretisierungenaufanisotropennetzenzuuntersuchenundaposteriorifehlerschatzerfurdasstokes-problemmitanisotropennetzenherzuleiten. DienumerischeBerechnungderVerformungvonPlattenundSchalenwurdeimSFB 393bishermitdensymmetrischen,positivdenitenFormulierungennachKirchhound Koiteruntersucht.WesentlichakzeptierterimIngenieurbereichistjedochdasReissner- Mindlin-PlattenmodellingemischterFormulierung,wobeiinsbesondereMITC-Elemente undderenstabilisierteversionenverwendetwerden.imrahmendesprojektssolltenfur isotropevernetzungenparalleleauflosungsmethodenmitdembramble-pasciak-ansatz undaposteriorifehlerschatzerentwickeltwerden. problemebezuggenommen. AufdiebeidenTeilaufgabenwirdimFolgendendurchdieKurztitelStokesundPlatten- 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1Stokes Fureziente,losungsangepassteAlgorithmenmussenElementemitbeliebiggroem bishernochunbefriedigendgeklarterfragestellungen.derkenntnisstandzumzeitpunkt Streckungsverhaltnis,anisotropeElemente,zugelassenwerden.DasfuhrtzueinerReihe

66 64 A11Apel/Meyer derantragstellungsowiediedarausfurdasprojektabgeleitetenfragestellungenwerden indenfolgendenabschnittenbesprochen. Stabilitat kreteinf-sup-bedingungerfullen,wobeidiekonstanteimfallanisotropernetzeun- abhangigvomstreckungsverhaltnisderelementevondernullwegbeschranktseinmuss. ZumZeitpunktderAntragstellunggabesdazufurdenzweidimensionalenFalleineReihe geeigneterelementeniedrigerordnung,siehebeckerundrannacher[br95,bec95],und hoherordnung,siehez.b.ainsworth/coggins[ac00]undschotzau/schwab/stenberg [SS98,SSS99].ImDreidimensionalenwaralsElementniedrigerOrdnungnurdasnichtkonformeCrouzeix-Raviart-ElementalspositivesBeispielbekannt,sieheAcosta/Duran [AD99]undApel/Nicaise/Schoberl[ANS01].Erste3D-Ergebnissezuhp-Methodenwurdenin[TS03]angegeben. DieFragestellungimTeilprojektbestanddarinzuklaren,welcheElementepaarefurdas angestrebtezielgeeignetsind,d.h.einestabilediskretisierungauchbeiderverwendung anisotropernetzeliefern. FurdieStabilitatgemischterMethodenmussendieapproximierendenRaumeeinedis- AposterioriFehlerschatzerfurdieStokes-Gleichungen EinewesentlicheAufgabeindiesemTeilprojektistdieHerleitungvonaposterioriFehlerschatzernfurdieStokes-Gleichungen,dieauchaufanisotropenDiskretisierungenzuverlassigundezientsind.InsbesonderefursolcheFinite-Elemente-Paare,furdieStabilitatbewiesenwurde,sollenFehlerschatzerhergeleitetwerden.DieVoraussetzungen andiediskretisierungsollenanalysiertundsowenigrestriktivwiemoglichformuliert werden. BesondereBetonungsollaufeineumfassendeundallgemeineAnalysisgelegtwerden, diesowohldenzwei-alsauchdendreidimensionalenfallsowiekonformeundnichtkonformediskretisierungenumfassensoll.dieelementtypensollenmoglichstdreieckeund Vierecke(in2D)sowieTetraeder,Pentaeder(Prismen)undHexaeder(in3D)beinhalten. VondermethodischenSeitesollmitFehlerschatzernvomResiduentypbegonnenwerden,dadieserelativeinfachundguterforschtsind.InsbesondereexistierenisotroplerschatzersindfurandereDierentialgleichungenu.a.vonKunertentwickeltworden. FehlerschatzerfurdieStokes-Gleichungen.TechnikenzurHerleitunganisotroperFeh- JenachdenErgebnissenwirdsichdieweitereAusrichtungderForschunggestalten. Loser ZurAuflosungvonsymmetrischen,indenitenGleichungssystemen,wiesiebeiderDiskretisierungdesStokes-Systemsentstehen,gibtesimWesentlichenzweiMoglichkeiten. BeimUzawa-AlgorithmuswerdendieGeschwindigkeitsfreiheitsgradeausdemSystem eliminiertundeinpositiv(semi-)denitesgleichungssystemfurdendruckgelost.einen anderenweghabenbrambleundpasciak[bp88]beschrieben,indemsiezeigten,dass maneinpositivdenitessystemineinemangepasstenskalarprodukterhaltenkann. furdiediskretisierungdeslaplace-operatorszurverfugunghat.fureinigekonforme DieserBramble{Pasciak{CGistezient,wennmaneinenoptimalenVorkonditionierer

67 A11Apel/Meyer 65 anisotropediskretisierungenmitelementenniedrigerordnungsindsolchevorkonditioniererbekannt.jenachdem,welchestabilenelementepaarefurdasstokesproblemeingesetztwerdensollen,konnendiesevorkonditioniererverwendetwerdenoderesmussen modiziertevorkonditioniererentwickeltwerden. Implementierung DieangestrebtenUntersuchungenzustabilenElementenfurdasStokes-Problemals PrototypgemischterFEMerforderneinExperimentalprogramm,dasdiewesentlichen indeniten)gleichungssystemeleichtillustrierenkann. EigenschaftenderFehlerschatzer,derNetzsteuerungundderschnellenLosungder(hier 2.3.2Plattenprobleme BeidernumerischenBerechnungvonSchalen-undPlattendeformationenstehtamAnfangeineHypotheseuberdenVerlaufderVerschiebungen(undevtl.Spannungen/Verzerrungen)uberdieDicke.DiesogenanntenhierarchischenModelle wahlenpolynomialeansatze.daseinfachstemodellhieraussetzteinenlinearenverschiebungsverlaufuberdiedickeanundergibtdiereissner-mindlin-formulierung,beizusatzlicher Kirchho-HypotheseentstehtdieKirchho-Platte(4.Ordnung)bzw.dasKoitersche Schalenmodell.FuralledieseModelleliegtdernumerischeVorteildarin,dass(nach Dicken-Integration)einemehroderwenigerkomplizierteDierentialgleichungimZweidimensionalenubrigbleibt.EbenfallsgibtesfuralledieseModelledieublichenUntersuchungenzurKonvergenzvonFinite-Elemente-Naherungenundvieledavonwerdenim Ingenieurbereichextensivgenutzt[Ber96]. AllerdingssinddienumerischenEigenschaftenderresultierendenlinearenGleichungssystemeerheblichungunstigeralsbeivergleichbarenDierentialoperatoren2.Ordnung, sodassfurihreschnellelosungnachwievorkaumetwasbekanntist.ersteergebnisse,diebekanntemultilevel-technikenaufdenfallderkirchho-gleichungbzw.des Koiter-Modellubertragen,wurdenindenvergangenenJahrenauchimSFB393erzielt[Mat97,The98].AllerdingsbezogensichdieseErgebnisseaufeherseltenbenutzte Bogner-Fox-Schmidt-undAdini-Rechteck-Elemente(immerhin12bzw.9FreiheitsgradeproKnotenbeiSchalen,kubischePolynome).EinweitererNachteilimbehandelten HierbringtdieHinwendungzumReissner-Mindlin-ModelldieVorteilevoneinfacheren ModellliegtinderUnmoglichkeit,Randschichtenzureprasentieren. Raumen(2.Ordnung).Esistwiedermoglich,Dreiecksvernetzungenzunutzen.ImGegensatzzueinfachen(nichtimmerstabilen)AnsatzenfurdieFinite-Elemente-Raume, hatsichindenletztenjahrenauchimingenieurbereichdiemitc-elemente-familie alseinerfolgreicheswerkzeugerwiesen[bbf89,cs98,lsv93,ss97].hiermitsind diegewunschtenfehlerabschatzungengarantiert.obwohldiematrixderresultierendengleichungssystemewiederpositivdenitist(mitteilblockenzudenverschiedenenfreiheitsgraden),wurdediesesproblemhieraufgenommen,weildiebeweisedieser FehlerabschatzungenaufaquivalenteSattelpunktsproblemezuruckgreifenmussen.Die ZielstellungfurdasProjektbestanddarin,hierarchischeLosereventuellaufGrundlagedesBramble-Pasciak-CGfurdieeinfachstenMITC-Elementezuentwickelnundzu implementieren. EinweiteresProblembestehtimAuftretenvonRandschichtenbeikleinerPlattendicke.

68 66 A11Apel/Meyer DaheristdieadaptiveArbeitsweisefurdieAuosungderRandschichtenbedeutsam;als ZielstellungsolltemitderHerleitungvonFehlerschatzernbegonnenwerden. adaquatelosungsangepasstediskretisierunganisotropsein.essollteuntersuchtwer- AusderAnalogiemitdersingulargestortenReaktions-Diffusionsgleichungwirdeine den,welcheelementtypensichdafureignen,d.h.,beiwelchenelementendieinf-sup- wegbeschranktist. KonstantegleichmaigbezuglichdesStreckungsverhaltnissesderElementevonderNull Literaturverzeichniszu2.3 (eigenevorarbeitenundfremdliteratur) [AC00] M.AinsworthandP.Coggins. Stokesowonhighaspectratioelements. Thestabilityofmixedhp-niteelementmethodsfor SIAMJ.Numer.Anal.,38:1721{1761, [AD99] G.AcostaandR.G.Duran. conformingelements.applicationtothestokesequations. Themaximumangleconditionformixedandnon- 37:18{36,1999. SIAMJ.Numer.Anal., [ANS01] Th.Apel,S.Nicaise,andJ.Schoberl.Anon-conformingniteelementmethodwith anisotropicmeshgradingforthestokesproblemindomainswithedges. Numer.Anal.,21:843{856,2001. IMAJ. [BBF89] F.Brezzi,K.-J.Bathe,andM.Fortin. Mindlinplates.Int.J.Numer.MethodsEngrg.,28:1787{1801,1989. Mixed-interpolatedelementsforReissner- [Bec95] R.Becker. equationsontime-dependentdomains. AnadaptiveniteelementmethodfortheincompressibleNavier{Stokes delberg,1995. PhDthesis,Ruprecht-Karls-UniversitatHei- [Ber96] M.Bernadou Finiteelementmethodsforthinshellproblems. Wiley,Chichester, [BP88] J.H.BrambleandJ.E.Pasciak.Apreconditioningtechniqueforindenitesystems resultingfrommixedapproximationsofellipticproblems Correctionsin51:387{388,1988. Math.Comput.,50:1{17, [BR95] R.BeckerandR.Rannacher. Stokesequationsonanisotropicallyrenedmeshes.InFastsolversforowproblems, FiniteelementsolutionoftheincompressibleNaviervolume49ofNotesonNumericalFluidMechanics,pages52{62,Wiesbaden,1995. Vieweg. [CS98] D.ChapelleandR.Stenberg.Anoptimallow-orderlocking-freeniteelementmethod forreissner-mindlinplates.math.modelsmethodsappl.sci.,8:407{430,1998. [LSV93] M.Lyly,R.Stenberg,andT.Vihinen. Mindlinplatemodel.Comput.MethodsAppl.Mech.Engrg.,110:343{357,1993. AstablebilinearelementfortheReissner- [Mat97] H. undvorkonditionierungiteratiververfahrenzurlosungvonplatten-undschalenproblemen.phdthesis,tuchemnitz,1997. Matthes. Die nichtuberlappende Gebietszerlegungsmethode zur Parallelisierung [SS97] R.StenbergandM.Suri. Numer.Anal.,34:544{568,1997. AnhperroranalysisofMITCplateelements. SIAMJ.

69 A11Apel/Meyer 67 [SS98] D.SchotzauandCh.Schwab.Mixedhp-FEMonanisotropicmeshes.Math.Models MethodsAppl.Sci.,8:787{820,1998. [SSS99] D.Schotzau,Ch.Schwab,andR.Stenberg. II:Hangingnodesandtensorproductsofboundarylayermeshes. Mixedhp-FEMonanisotropicmeshes 83:667{697,1999. Numer.Math., [The98] M. analysis.numer.linearalgebraappl.,5:401{440,1998. The. Parallel multilevel preconditioners for thin smooth shell nite element [TS03] A.ToselliandC.Schwab.Mixedhp-niteelementapproximationsongeometricedge andboundarylayermeshesinthreedimensions.numer.math.,94:771{801, Ergebnisse 2.4.1Stokes Stabilitat FureingegebenesFinite-Elemente-NetzbezeichnenXhundMhdieFinite-Elemente- RaumezurApproximationvonGeschwindigkeitundDruck.DieGroe h:= inf sup R phdivuh 06=ph2Mh06=uh2Xhjuhj1;kphk0; bezeichnetdie(netzabhangige)inf-sup-konstante,diedurchlosungeineseigenwertproblemsberechnetwerdenkann.stabilitatderdiskretisierungbedeutet,dassdiese netzabhangigegroefurbeliebigefinite-elemente-netzenachuntenvondernullweg beschranktist, 9>0: h> 8h>0: ImFolgendensolldargestelltwerden,furwelcheElementepaareundVernetzungsstrategienwirindenletzendreiJahrenErgebnisseerzielthaben. DastiefgehendsteStabilitatsresultatwahrendderBearbeitungsphasewurdevonApel KonformeElementeniedrigerOrdnungnachFortinundBernardi/Raugel undnicaisefurkonformeelementeniedrigerordnungerzieltundin[an03]veroentlicht.essollimweiterenerlautertwerden. BetrachtetwirdeinzweidimensionalesPolygongebiet,daszunachstgrobmitVierecken unddreieckeninteilgebietezerlegtwird.injedemteilgebietkanneineausdreimoglichenvernetzungsstrategiengewahltwerden,diemanmit(a)keineverfeinerung,(b) anisotropeverfeinerungzueinerkantehin Kantenhinbeschreibenkann.DieseVorgehensweisefolgtderArbeit[SSS99],gehtaber und(c)anisotropeverfeinerungzuzwei insoferndaruberhinaus,dassauch(nicht-ane)trapezelementezugelassenwerden.fur IllustrationenverweisenwiraufdieOriginalarbeit[AN03]. DerRaumzurApproximationderGeschwindigkeitbestehtausstetigenVektorfunktionen,dieelementweisewiefolgtbeschriebenwerdenkonnen.FurDreieckelementeistder Raumneundimensionalunddurch PT:=P21 spanfn(1)23;n(2)31;n(3)12g

70 68 A11Apel/Meyer deniert,wobeiidielinearenansatzfunktionenundn(i)dieauerennormalenandie Dreiecksseitenbezeichnen,i=1;2;3.DerzwolfdimensionaleRaumfurdasViereckselementistanalogaufderBasisvonQ1deniert.ZurApproximationdesDruckswerden jeweilselementweisekonstantefunktionenverwendet.diefreiheitsgradewerdeninder ublichennotationinfolgenderzeichnungdargestellt. DieseRaumegehenaufdieArbeiten[For81]und[BR85]zuruck,weswegenwirdieElementeauchalsBernardi-Fortin-Raugel-Elementebezeichnen. DurchAngabeeinesFortin-OperatorswurdezunachstdieStabilitatlokalinTeilgebietenmitdenVernetzungsstrategien(a)und(b)gezeigt.DarauskonntemitHilfeeiner SubstrukturtechnikdieStabilitatinTeilgebietenmitderVernetzungsstrategie(c)gefolgertwerden.NochmaligeAnwendungderSubstrukturtechnikfuhrtedannzumglobalen Stabilitatsresultat. DasResultatkannnichtmitdergleichenTechnikaufdendreidimensionalenFallverallgemeinertwerden,dasichdiebenotigtenEigenschaftenundGleichungen,dieimZweidimensionalenaufKantengelten,imDreidimensionalenteilweiseaufKantenundteilweise aufseitenachenbeziehen. DiePaareP2 AusdemvonunsgezeigtenStabilitatsresultatfolgtdieStabilitatallerElementpaaremit P0,Q2 Q0undQ02 Q0 demgleichenraumzurapproximationdesdrucksundeinemumfassenderenraumfur diegeschwindigkeit,wiep2 diepaarep2 P0undQ2 Q0bereitsin[SS98,SSS99]untersuchtwurden,dortaber P0,Q2 Q0undQ02 Q0.Dabeiistfestzuhalten,dass keineanisotropentrapezelementezugelassenwurden. DieUntersuchungvonTaylor{Hood-ElementenwurdevonHerrnRandrianarivonyim RahmenseinerMasterarbeitbegonnen[Ran01],weitereErgebnissesindin[AR03]dokumentiert.AufeinigenFolgenvonFinite-Elemente-Netzen(Vernetzungsstrategien)wurdendieobendeniertenGroenhberechnet.DurchAngabevonBeispielen,indenen hgegennullkonvergierte,konntegezeigtwerden,dassdaspaarp2 meinfallnichtstabilist.fureinigederinobenfurdasbernardi-fortin-raugel-element P1imAllge- beschriebenenvernetzungsstrategienkonvergiertehjedochnichtgegennull.esistuns jedochnichtgelungen,einentheoretischenbeweisdafurzunden. DienumerischenUntersuchungenwurdenwahrenddesAufenthaltsvonHerrnApelan derotto-von-guericke-universitatmagdeburginzusammenarbeitmitgunarmatthies auchauftaylor{hood-elementehohererordnungausgedehnt.dabeiergabsicheinahnlichesbild.indenfolgendentabellensindgrenzwertefurhbeiverschiedenennetzverfeinerungsstrategienzusammengefasst:

71 A11Apel/Meyer 69 P2 Paar P3 P1 P Paar 0.25 Q2 Q3 Q1 Q Q4 Q Q5 Q Q6 Q Q7 Q Q8 Q Q9 Q Esseinochbemerkt,dassdasPaarP+2 ElementmiteinerBlasenfunktion(bubble)erweitertwird,inallennumerischenExperimenten(einschlielichderVerfeinerungsstrategien,diefurdasTaylor{Hood-Element Gegenbeispieleliefern)stabilwar(h>>0).EinetheoretischeDurchdringungsteht jedochweiterhinaus. P1,beidemderGeschwindigkeitsrauminjedem ElementehohererOrdnungmitunstetigemDruck Abschlieendseinocherwahnt,dassdieebenfallsvonMatthies(Magdeburg)getesteten ElementpaareP+2 angefuhrtensehrregelmaigenanisotropennetzeninstabilsind,h!0. Pdisc 1,Q2 Pdisc 1 undq+3 Pdisc 2 selbstaufdenindenobigentabellen AlldieseErgebnissewurdenaufverschiedeneninternationalenKonferenzenvorgestellt (z.b.mafelap2003,enumath2003)undhabenzuinteressantengesprachenmit internationalanerkanntenfachkollegenwiefrancobrezzi,rolfstenbergunddavid Silvestergefuhrt. AposterioriFehlerschatzerfurdieStokesGleichungen DieUntersuchungenwurdeninZusammenarbeitmitE.CreuseundS.Nicaise(beide Valenciennes)durchgefuhrt(2002bisAnfang2003).SiemundeteninderPublikation [CKN03],aufdiesichalleweiterenErlauterungenbeziehen.DieseArbeitbildetauch einenwesentlichenteilderhabilitationvonherrnkunert[kun03].insgesamtgestaltetensichdieuntersuchungenteilweiseschwierigeralszunachstangenommen. Esstelltesichschnellheraus,dassdieAnalysevonFehlerschatzernfurgemischteFormulierungenandereVerfahrenerfordertalsfurskalareGleichungen.DaeinDiskretisierungsfehlerindenzweiTermenfurGeschwindigkeitundDruckvorliegt,musstedie Theoriemodiziertwerden. BeieinerkonformenDiskretisierungwarendienotigen dassdieanalysenahezuwiefurskalaregleichungenerfolgenkonnte. Anderungenrelativgering,so BeieinernichtkonformenDiskretisierungdagegensindbedeutendeModikationenerforderlich.Amerfolgversprechendstenerschienes,denGeschwindigkeitsfehlerubereine Helmholtz-Zerlegungaufzuspalten(furisotropeVorbildersiehe[DDP95,CF01]).Diese Helmholtz-Zerlegungistunabhangigdavon,obisotropeoderanisotropeElementeverwendetwerden.Andererseitswurdesiebishernurim2D-Fallverwendetunduntersucht.

72 70 A11Apel/Meyer DeshalbhabenwirdieZerlegungaufden3D-Fallerweitert,wasaberzuqualitativneuen WeiterhinunterscheidetsichdieAnalysisimDetailfurdieunterschiedlichenElement- Phanomenenfuhrte:AusVektorgroenim2D-FallwurdennunMatrixgroenim3D-Fall. Typen(Dreiecke,Vierecke,Tetraeder,Pentaeder,Hexaeder).ImFolgendensollendie Ergebnissevorgestelltwerden. DieDiskretisierungmussnurrelativschwacheVoraussetzungenerfullen: DerdiskreteGeschwindigkeitsraumVVelocmussgrossgenugsein(eektivmanchmaletwasgrosseralssonstublich). BeinichtkonformenDiskretisierungenwerdenCrouzeix-RaviartElementebetrachtet,beidenendasIntegraluberdenSprungderdiskretenGeschwindigkeituber eineflache(in3d)verschwindet: Z vh E E =0: DieElement-PaaresolltenstabilseinfuranisotropeDiskretisierungen,d.h.eine diskretelbb-bedingungerfullen.zubeachtenistallerdings,dassdieseforderung nichtvomfehlerschatzerkommt,sondernvonderforderungnacheinerstabilen Diskretisierung. InsgesamtdecktunsereAnalysisvieleElement-Paareab(sowohlbekanntealsauchgegenwartiguntersuchte)bzw.gibtHinweise,wiesiezumodizierensind[CKN03,Abschnitte5und3.4]. DieerhaltenenFehlerschatzersindallevomResiduentypundbeinhaltendasElementresiduumunddieSprungeubereineKante(2D)/Flache(3D).BeinichtkonformenDiskretisierungenkommtnochderSprungderTangentialableitungentlangeinerKante/Flache hinzu.aufgrunddersehrgroenvielfaltdermoglichendiskretisierungen(2d/3d,konform/nichtkonform,dreiecke...hexaeder)unterscheidensichsowohldiefehlerschatzer alsauchihreanalysismehroderwenigerstark.deshalbwerdenhiernichtalleergebnisse aufgelistet,sondernnurwesentlicheerrungenschaften. AbschatzungderFehlersnachunten WieauchbeianderenDierentialgleichungengewohnt,konntenlokaleAbschatzungen nachuntengezeigtwerden.dieeinzigeausnahmensindnichtkonforme3ddiskretisierungen,dieviereckigeflachenhaben(alsofurpentaeder-/hexaeder-elemente).in diesemfallkonntenureineschwachereglobalefehlerschrankegezeigtwerden.wirvermuten,dassdiesesresultatverbessertwerdenkann. DieglobalenFehlerabschatzungennachobensindallevonderForm AbschatzungderFehlersnachoben GlobalerFehler.AlignmentMeasure Fehlerschatzer DieseStruktur [Kun99].DasAlignmentMeasuremisstdabeidieAusrichtungdesanisotropenNetzes derfehlerschrankewarnachdenvorarbeitenzuerwarten,siehez.b. mitderanisotropenlosung.furisotropenetzesowiegutausgerichteteanisotropenetze

73 A11Apel/Meyer ).AndieserStellesolldaraufnichtweitereingegangenwerden;wirverweisen istdasalignmentmeasureindergroenordnung1(innumerischenexperimenten auf[kun99]fureineausfuhrlichediskussion. FurdieuntersuchtenStokes-GleichungensindjetztmehrereAbweichungenvonderbisherbekanntenTheoriebedeutsam: StatteinesAlignmentMeasurestauchennunmehrereAlignmentMeasuresauf. DieAlignmentMeasuresbeziehensichzumTeilaufFunktionen,vondenenman nurdieexistenzkennt,nichtaberdiekonkretegestalt. BeideUnterschiedesindNachteile.MoglicherweiseerreichtdiebisherigverwendeteMethodikzumHerleitenanisotroperFehlerschatzerihreGrenzen. Loser,Implementierungen DieindenvorherigenAbschnittendargestelltenUntersuchungenzustabilenElementen undzufehlerschatzernfurdasstokes-problemalsprototypgemischterfemerfordern einexperimentalprogramm,dasdiewesentlicheneigenschaftenderfehlerschatzer,der NetzsteuerungundderschnellenLosungder(hierindeniten)Gleichungssystemeleicht illustrierenkann.dieswurdeineinererstenversionalsspc-pm-adst("programm- ModuladaptivStokes\)unterNutzungderimSFBentwickeltenBibliothekenundin VerallgemeinerungvonSPC-Ad2D(vgl.Tp.A3)erhalten.Neuistdabei,dassmehrere dassderloservombekanntenvorkonditioniertenverfahrenderkonjugiertengradienten Elementmatrizenzuberechnensind(wegenderzusatzlichenBilinearformb(p;u))und (PCG)zueinerVerallgemeinerungdesBramble{Pasciak{CG[BP88,MS01]zuandern ist.diesesprogrammbildetdiegrundlagefurdiefolgendenexperimente Plattenprobleme DieBehandlungderReissner{Mindlin{PlattengleichungwurdeindiesesTeilprojektaufgenommen,weilhierebenfallsdieStabilitatgemischterFiniterElementeeinegroeRollespielt.AllerdingshatsichbeiderSichtungderVeroentlichungenderletztenJahre deutlichgezeigt,dassdiesnurfurdiebeweisevongunstigenfe{formulierungenbenutzt wird,nichtaberfurdiewirklichenumerischerechnung. undmundenineine(leichtabgeanderte)positivdenitebilinearformderplattengleichungzuruck: VielmehrfuhrendieArbeitenzumrichtigenVerstandnisderzugrundeliegendenRaume a(w;~ ;v;~#)=t2a1(~ ;~#)+{hrh(rw ~ );Rh(rv ~#)i miteinembesonderenprojektorrh,derdassonstubliche"locking\beseitigt. AusdiesemGrundwurdedieBearbeitungdiesesTeilthemasmodiziertfortgefuhrt. ZumeinenhatsichHerrDerezinaufdieRandschichtenproblematikausanalytischer Sichtkonzentriert.ErhatversuchtverschiedeneaquivalenteFormulierungenzunden, diebesondersgeeignetwareneinrandschicht{verhaltenaufzudecken.gleichzeitigist ineinerdiplomarbeitmitderimplementierungundnumerischenexperimentenzuden MITC3undMITC7{Elementen(furDreiecke)sowieMITC4/9{Elementen(furVierecke) begonnenworden.beidearbeitensindnochnichtabgeschlossen.

74 72 A11Apel/Meyer RandschichtenbeiPlatten EswurdedasProblemderRandschichtenandersalstraditionell(Asymptotikenbezuglich Plattendicke)analysiert. DurchHelmholtz{ZerlegungdesRotationsvektorsbzw.derScherkraft(abhangigvon Randbedingungen)erhaltmaneineReprasentationdurchtransversaleVerschiebungund lokaleverdrehung D42w=p4 +k2 =0 1 : AlsodietransversaleVerschiebungistdurchdiebiharmonischeGleichung,dielokale VerdrehungdurcheineReaktions{Diusions{Gleichungbestimmt.Letzterereprasentiert dierandschichten.diekopplungbeidergeschiehtdurch3randbedingungen. NahezudiegleichenHerangehensweisenfuhrtenBrezzi/Fortin[BF86]zu2elliptischen Gleichungenundeinem(gestorten)Stokes{Problem.UnserSystemistaquivalenthierzu. Beltrami{Michell{Kompatibilitat(siehe[DZ98])erhaltmanexpliziteAbhangigkeitsformelnvonderSpannung("PrimaleGroen\derLosung)alsFunktiondesobigenFeldes MitHilfevonkonstitutivenGleichungenfurdieSpannungensowieeinemAnalogonder musfurrandschichtendienen,dahiermitaufeinfacheweisedasauftretenvonrand- schichten(odernicht)indeneinzelnenkomponentenderbiegungsmomenteundder Scherkrafteaufgedecktwird. ("Randschichten{Funktion\).DieskonntezurSteuerungeinesadaptivenAlgorith- WeitereErgebnisse M.Junghatin[Jun03]dieparalleleLosungvonFinite-Elemente-Gleichungssystemen, diebeiderdiskretisierungeinergemischtenvariationsformulierungdeserstenbiharmonischenrandwertproblemsentstehen,diskutiert.zurdiskretisierungwurdendreidenitenfinite-elemente-gleichungssystemeerfolgtemittelsvorkonditionierterschureckselementemitstuckweiselinearenansatzfunktionengenutzt.dielosungderin- Komplement-CG-Verfahren,CG-VerfahrenvomBramble-Pasciak-TypundMultigrid- Verfahren.In[KNJ03,KNJ04](amInstitutfurWissenschaftlichesRechnenderTU Dresden)wurdedieParallelisierungvondirektenunditerativenLosungsalgorithmenfur verschiedenegemischtevariationsformulierungenvonplattenproblemenuntersucht. Literaturverzeichnis [AN03] Th.ApelandS.Nicaise. mentonanisotropicmeshes.preprintsfb393/03-15,tuchemnitz,2003.erscheint Theinf-supconditionfortheBernardi-Fortin-Raugelele- 2004unterdemTitelTheinf-supconditionforsomeloworderelementsonanisotropicmeshesbeiCalcolo. [AR03] Th. problemonanisotropicmeshes.mathematicsandcomputersinsimulation,61:437{ Apel and H. M. Randrianarivony. Stability of discretizations of the Stokes 447,2003. [AF90] D.N.ArnoldandR.S.Falk.TheboundarylayerfortheReissner{Mindlinplatemodel. SIAMJ.Math.Appl.,21:281{312,1990.

75 A11Apel/Meyer 73 [BR85] C.BernardiandG.Raugel.AnalysisofsomeniteelementsfortheStokesproblem. Math.Comp.,44:71{79,1985. [BP88] J.H.BrambleandJ.E.Pasciak.Apreconditioningtechniqueforindenitesystems resultingfrommixedapproximationsofellipticproblems Correctionsin51:387{388,1988. Math.Comput.,50:1{17, [BF86] F.BrezziandM.Fortin.NumericalapproximationofMindlin{Reissnerplates.Math. Comp.,47:151{158,1986. [CF01] C.CarstensenandS.Funken. discretisationsofincompressiblestationaryowproblems. Aposteriorierrorcontrolinlow-orderniteelement 1381,2001. Math.Comp.,70:1353{ [CKN03] E.Creuse,G.Kunert,andS.Nicaise. kesproblem:anisotropicandisotropicdiscretizations.preprintsfb393/03{01,tu AposteriorierrorestimationfortheSto- Chemnitz,2003.SubmittedtoMath.ModelsMethodsAppl.Sci. [DDP95] E.Dari,R.Duran,andC.Padra.Errorestimatorsfornonconformingniteelement approximationsofthestokesproblem.math.comput.,64:1017{1033,1995. [DZ98] S.V.DerezinandL.M.Zubov.Dislocationsanddisclinationsinelasticplates.Proc. ofthe4thconf.oncontinuummech.,rostvdon,128{132,1998. [For81] M.Fortin. MethodsFluids,1:347{354,1981. Oldandnewniteelementsforincompressibleows. Int.J.Numer. [FD61] K.O.Friedrichs,R.F.DresslerAboundarylayertheoryforelasticplates.Comm.Pure andappl.math.,14:1{33,1961. [Jun03] M. G.R.Joubert,W.E.Nagel,F.J.Peters,andW.V.Walter,eds.,ParallelComputing:Software,Technology,Algorithms,Architectures,andApplications.Proceedings ofthe10thparcoconferenceindresden,2003.(acceptedforpublication). Jung. Fast parallel solvers for fourth-order boundary value problems. In [KNJ03] K.Kulshreshtha,N.Nataraj,andM.Jung. elementimplementationforfourthorderclampedanisotropicplatebendingproblems Performanceofaparallelmixednite indistributedmemoryenvironments.appliedmathematicsandcomputation,2003. (acceptedforpublication). [KNJ04] K.Kulshreshtha,N.Nataraj,andM.Jung.Aparallelmixedniteelementimplementationoffourth-orderplatebendingproblemsindistributedmemoryenvironments. AppliedMathematicsandComputation,2004.(acceptedforpublication). [Kun99] G.Kunert. niteelementmeshes. Aposteriorierrorestimationforanisotropictetrahedralandtriangular LogosVerlag,Berlin,1999. AlsoPhDthesis,TUChemnitz, [Kun03] G.Kunert. discretizations.logos,berlin,2003.habilitationsschrift. Advancesinaposteriorierrorestimationonanisotropicniteelement [MS01] A.MeyerandT.Steidten. typecgformixedproblemsinelasticity. ImprovementsandexperimentsontheBramble-Pasciak PreprintSFB393/01-13,TUChemnitz,

76 74 A11Apel/Meyer [Ran01] M. meshes.master'sthesis,tuchemnitz,2001. Randrianarivony. Stability of mixed nite element methods with anisotropic [SS98] D.SchotzauandCh.Schwab.Mixedhp-FEMonanisotropicmeshes.Math.Models MethodsAppl.Sci.,8:787{820,1998. [SSS99] II:Hangingnodesandtensorproductsofboundarylayermeshes. D.Schotzau,Ch.Schwab,andR.Stenberg. Mixedhp-FEMonanisotropicmeshes 83:667{697,1999. Numer.Math., 2.5OeneFragen/Ausblick InderletztenBearbeitungsphasewurdedieStabilitatvonmehrerenElementepaaren theoretischuntersucht,ohnezueinemabschlieendenbeweiszukommen.dabeihandeltessichumdasbernardi{fortin{raugel-elementimdreidimensionalen,dietaylor{ Hood-ElementeP2 HauptursachefurdenbislangausgebliebenenErfolgliegtsicherdarin,dassdiesesVorhabensehrambitioniertist.EsbleibtauchweiterhineineinteressanteHerausforderung. AnallendreiFragestellungenhatauerHerrnApeldervonderDFGnanziertePro- P1undQ2 Q1unddasP+2 P1-Element(allezunachst2D).Die arbeitermaharavorandrianarivony,derdurchvorarbeitenbestensfurdasprojektein- gearbeitetwar,hatsichkurzfristigwissenschaftlichumorientiertundistalsbearbeiter imteilprojekta7beiderinformatikeingestiegen. DahermusstedieStellekurzfristigausgeschriebenwerden;derneuelangfristigeBearbeiterSmuglyakovabApril2002benotigtenaturlicheinelangereEinarbeitungszeit. DienumerischenUntersuchungenzudenFehlerschatzernbeschrankensichmomentanauf einrelativeinfaches,akademischestestproblem.hierbestehtnochgroerforschungsbedarf,dermitdenpartnerninvalenciennes(e.creuse,s.nicaise)angegangenwerden sollte.insbesonderemussuntersuchtwerden,obderaustheoretischersichtnachteilige EinussmehrererAlignmentMeasuressichauchindernumerischenPraxiszeigt. jektbearbeiteralexandersmuglyakovmitgearbeitet.derursprunglichvorgesehenebe- InderFortfuhrungdiesesTeilprojekteskonnendieseErgebnissefurpraxisrelevantere Simulationsrechnungengenutztwerden.SotrittbeiDeformationsproblemenmit(fast oderinteilen)inkompressiblenmaterialieneinsattelpunktsproblemauf,dasetwagleicheeigenschaftenwiedasstokes{problemhat.deshalbkanndiebisherigeexperimentalsoftware(etwaspc{pmadstundspc{pmadmix,vgl.tp.a3)sofortaufdiesefalle verallgemeinertwerden.

77 Teilprojekt A12 Finite{Elemente{MethodevomNitsche{Typfur nichtkonformegebietszerlegungen

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79 A12Heinrich/Meyer/Schneider TeilprojektA12 Finite{Elemente{MethodevomNitsche{TypfurnichtkonformeGebietszerlegungen 2.1.1Antragsteller Prof.BerndHeinrich Prof.ArndMeyer Prof.ReinholdSchneider AngewandteMathematik NumerischeAnalysis NumerischeMathematik Fak.furMathematik TUChemnitz TUChemnitz Fak.furMathematik TUChemnitz Fak.furMathematik 09107Chemnitz Tel.:(0371) (0371) Chemnitz 2002{September2003 Fax:(0371) (0371) aboktober2003inkiel: tu-chemnitz.de tu-chemnitz.de 2.1.2Projektbearbeiter MitarbeiterderGrundausstattung: Prof.BerndHeinrich Prof.ArndMeyer (AngewandteMathematik) Prof.ReinholdSchneider (NumerischeMathematik,2002bisSept.2003) (NumerischeAnalysis) PDDr.ThomasApel Dipl.-Math.techn.RomanUnger (NumerischeAnalysis) (NumerischeAnalysis,2002bisDez.2003) MitarbeiterderErganzungsausstattung: Dipl.-Math.techn.RomanUnger Dipl.-Math.techn.KorneliaPonitz(2002bisAugust2003) 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung Nitsche{Mortaring FurdieezientenumerischeLosungelliptischerProblememittelsFinite-ElementeMethode(FEM)aufParallelrechnernsindGebietszerlegungsmethodenvonbesonderemInteresse.DiegleichzeitigeAnwendungnichtkonformerTeilgebietstriangulationensowie einerabgeschwachtenundkoppelndenstetigkeitsbedingungandenteilgebietsrandern wirddurchsogenanntemortar-methodenmoglich,diehaugubereinsattelpunktsproblemfurdielosunguderrandwertaufgabeundeinemlagrange-parameterrealisiert werden. AufeinerIdeevonNitsche(1971,cf.[Nit71,Tho97])beruhend,wurdeu.a.durchStenberg(1998,vergl.auch[Ste98,Arn82])einzurMortar-MethodeverwandterZugang zurkopplungnichtkonformertriangulationen(non-matchingmeshes)undunstetiger Finite-Elemente-Ansatzevorgeschlagen,dassogenannte"Nitsche-typemortaring\.DieserZugangbehandeltdieKopplungnichtwiebisheruberNebenbedingungen,sondern

80 78 A12Heinrich/Meyer/Schneider vereinfachendmittelseineskopplungstermes,derdiebilinearformdesausgangsproblemserweitert.dasverfahrenistdannalsgalerkin-verfahrenfurdiedurchdenkopp- Funktioneninterpretierbar.DieFinite-Elemente-MethodevomNitsche-Typsollteindrei lungstermmodiziertevariationsgleichunguberdemraumunstetigerfinite-elemente- wesentlichenlinienbehandeltwerden. 1.AnalysederFE-SchematanachNitschealsFE-Approximationaufnichtkonformen Teilgebietstriangulationen,insbesonderebezuglichStabilitatundKonvergenzraten dernaherungslosung,beischwierigenundanwendungsrelevantenparametersituationen: nichtkonformekopplungunregelmaigernetzemitlokalverfeinerten(graduierten)sowieanisotropennetzen. 2.BehandlungvonAufgabendeselastischenKontaktes,unterbesondererBerucksichtigungdesKoppeltermsundderezientenAuflosungderDiskretisierungsschemata,auchunterEinbeziehungderFE-MethodevomNitsche-Typ. 3.VerallgemeinerungderNitsche-MethodeaufdenFallderschwachenKopplungder angulation(discontinuousgalerkinmethod),einschlielichmethodenderezien- tenauflosungderlinearengleichungssystememittelsmultiskalenmethoden. NaherungslosungaufdemSkelettallerElementkanteneinergegebenenGebietstri- Kontaktsimulation DienumerischeSimulationreibungsfreierKontaktproblemezwischeneinemelastischen Variationsungleichungen,z.B.mittelsStrafmethoden,ausgefuhrt. KorperundeinemstarrenHinderniswirdmeistduchdieLosungderresultierenden KernpunktunsererForschungwardieEntwicklunggeeigneterProjektionsmethodenzur LosungdesfolgendenProblemsim2D-Fall. dassdielamegleichungmitlame-konstanten,unddemspannungstensor Problem1GesuchtistdasVerschiebungsfeldu(x)fureinenelastischenKorper,so u (+)graddivu=f (u) n u(x) = gd gn auf auf DN erfulltwird,undallepunktevonauerhalbeinesvorgegebenenstarrenhindernisses verbleiben(sieheabbildung2.1)

81 A12Heinrich/Meyer/Schneider 79 N D Abbildung2.1:DasKontaktproblem OBSTACLE 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1Teilaufgabe:AnalysedesNitsche-Mortaringfurverschiedene EinwesentlichesZieldieserTeilaufgabebestandinderAnalysederFinite-Elemente- elliptischerandwertaufgaben MethodenachNitsche(Nitsche-Mortaring).FurverschiedeneModellaufgabenmitelliptischerDierentialgleichungzweiterOrdnungwardasFinite-Elemente-Schemanach NitschealsnichtkonformeFinite-Elemente-ApproximationaufnichtkonsistentenTeilgebietstriangulationenzuentwickelnundausderSichtderNumerischenAnalysismathematischzubehandeln.DabeiwarenschwierigeundanwendungsrelevanteParametersituationenderRandwertaufgabe,wieEcken,springendeKoezientenundkleine Parameter(singulareStorungen)zuberucksichtigen,dieStabilitatsowiedieoptimaleKonvergenzderNaherungslosungzugarantieren.DieDurchfuhrbarkeitundVorteile sowiedieanwendungsbreitedermethodewarentheoretischunddurchdienumerische RealisierungrelevanterBeispieleaufzuzeigen.Vorarbeitenbestandenu.a.darin,bekannteAussagenzudenklassischenMortar-Methoden(vergl.etwa[BD98,BDW99,Bel99, BMP90,LW03,Woh98,Woh99a,Woh99b,Woh00])sowiezurRegularitatstheorieder betrachtetenrandwertaufgaben,einschlielichdesbesonderenverhaltensderlosung inderumgebungvonecken,kantenundrandschichten,inderliteraturzusichten. WeiterwarendiemodiziertenVariationsgleichungennachNitsche,bisherfurdiePoissongleichungbzw.verwandteProblemebekannt(vergl.[ABCM00,Arn82,BH,BH99, BHS03,Ste95,Ste98]),furandereelliptischeProblememitkomplizierterenParametern UngleichungenundSpursatze)warenaufentsprechendeKlassenanisotroperundgraduierterNetze,inKopplungmitisotropenNetzen,zuubertragen,dieFehlerwarenin H1-ahnlichenNormenundinderL2-Normabzuschatzen.WeiterhinwarenImplementierungenderNitsche-Mortar-Methodezurealisieren,Testbeispielezuentwickelnund numerischeexperimentedurchzufuhren. DiebisherbetrachtetenProblemklassenumfassten: passendzuerweitern.diehilfsmittelfurfehlerabschatzungen(unterandereminverse diepoissongleichungmitdirichlet'schenrandbedingungen, diepoissongleichungmitgemischtenrandbedingungenuberpolygonalengebieten, InterfaceproblememitunstetigenKoezienten, singulargestortereaktions-diusions-probleme.

82 80 A12Heinrich/Meyer/Schneider 2.3.2Teilaufgabe:DiscontinuousGalerkinMethode KonstruktionvonunstetigenMultiwaveletbasenaufhierarchischenTriangulationen,die geeignetfurdg-methodensind,einschlielichihreruntersuchungundanwendungauf RandwertaufgabenimRahmendesnichtkonformenZugangsnachNitsche.DieunstetigenMultiwaveletbasensollenorthogonaloderimwesentlichenorthogonalbezuglichdes (gebrochenen)h1-skalarproduktessein. denkoppelrandernzubeweisen,diederschlusselfurdenezienteneinsatzderwaveletbasensind.diemethodenundresultatezumnitsche-typemortaringsindaufihre VerallgemeinerbarkeitfurdenFallzuuntersuchen,dasseineschwacheStetigkeitsbedin- gungaufallenelementkantenmoglichist,sodassdamitderzusammenhangzudg- Methodenhergestelltwerdenkann. DaruberhinaussindfurdieVorkonditionierungNormaquivalenzenfurdieSpurenauf 2.3.3Teilaufgabe:Kontaktbehandlung ProjektionsmethodenfurhangendeKnoten DiegrundlegendeIdeezurNutzungvonProjektionsmethodenstammtausdemProblem, ineinemadaptivenfem-algorithmushangendeknoteneektivzubehandeln. FureektiveVorkonditioniererwerdenhierarchischeNetzegebraucht,beiVerwendung vonrot-grun-verfeinerungstechnikengehtdiehierarchiedurchentfernunggrunerelementevordernachstenverfeinerungjedochverloren. EinWeg,diesesProblemzuumgehen,istmitdenhangendenKnotenzuarbeitenund mittelsprojektionstechnikenkorrektelosungenzuerzwingen. AlseineinfachesBeispielbetrachtemandiefolgendeAbbildung. k j Abbildung2.2:EinBeispielfurhangendeKnoten i DerEinbaudieserInformationindenGleichungssystemloserwirdmiteinemgeeignet DerWertimMittelknotenujistnichtfrei,sondernduchdieWerteinuiundukfestgelegt. deniertenprojektor P= 2 64 I I mit12andenspalteniundksowie0inallenanderenspaltenderzeilejvorgenommen. 3 75

83 A12Heinrich/Meyer/Schneider 81 WirdsolcheinProjektorindenVorkonditioniererdesCG-Loserseingebaut,alsodie BerechnungdesKorrekturvektorswvon w:=c 1r zu w:=pc 1Ptr (u02im(p)),soliegenauchalleiteriertenukundsomitdielosunguinim(p). abgeandert [Mey99] und auerdem sichergestellt, dass die Startlosung konform ist ZueinerdetailliertenBeschreibungdieserMethodezurBehandlunghangenderKnoten siehe[mey99,mey02]. ImFolgendensolldieErweiterungdieserIdeezurBehandlungeinigerArtenspezieller RandbedingungenundRuckfuhrungdesKontaktproblemsaufeinProblemmitderartigenRandbedingungenbeschriebenwerden. ProjektorenfurverschiendeneArtenvonRandbedingungen EinigeArtenvonRandbedinguingensinddurchProjektorenbehandelbar,sozumBeispielperiodischeRandbedingungenmituleft=urightamlinkenundrechtenRandbereich inabbildung2.3 uleft=uright Abbildung2.3:Periodische gen Randbedingun- Abbildung2.4:Rutschrandbedingungen EineandereArtvonRandbedingungensinddiesogenannten"Rutschrandbedingungen\(slip-boundary-conditions),beidenenimGegensatzzurDirichletbedingung u(x) nichtvolligxiertist,sonderngefordertwird,dassderzugehorigeknotenineinemeindimensionalenunterraumzuverbleibenhatunddortseineenergieminimaleposition einnimmt.(siehedazuabbildung2.4) DieseArtvonRandbedingungenwirdzurBehandlungdesKontaktesgenutzt. DerRutschrandistdurchFixierungeinesPunktess0undeinerRichtungswohldeniert (jjsjj=1).dieverschiebunguwirdinzweiorthogonalekomponenten~uentlang verstanden. desrandesund^uorthogonalzumrandzerlegtunddierandbedingungals^u=0 s0 x s ~u ^u u x+u

84 82 A12Heinrich/Meyer/Schneider u ~u = sstu ~u ^u =) P= 2 4I sst I 3 5 (2.1) SomitistfuralleKnotenxiaufdemRutschrandderProjektoreineBlockdiagonalmatrix mit2 2BlockenssT,wobeisdieRutschrichtungdesKnotensxiist. EbeneHalbraumhindernisse AnalogzudenRutschrandbedingungenlassensichdurchAngabeeinesPunktess0und DieBehandlungdesKontaktesbestehtauszweiTeilen,demErkennendesEindringens einerrichtungsmitjjsjj=1halbraumhindernissedenieren. vonknotenindashindernissowiederkorrekturderverschiebungenfurdieseknoten durchgezielteseinschaltenvonprojektoren. Hindernissesunda:=(x+u) SeixeinkontaktverdachtigerKnotenaufdemRandvon,ndieinnereNormaledes s0. x x+u x+u +u() s0 s n Abbildung2.5:Halbraumhindernis s1 OBSTACLE s2 Abbildung2.6:EndlichesebenesHindernis DerEindringungstestbestehtausderBerechnungvonhn;ai (x+u) dringtein, hn;ai>0 (2.2) IstdieserTesterfullt,musseinerseits(x+u)zu(x+u)mit =hs0 hu;ni x;ni DiesebeidenSchrittedesgesamtenAlgorithmuserzwingen,dasskeineKnotenindas korrigiert,sowiederentsprechendeprojektoranalog(2.1)eingeschaltetwerden. Hinderniseindringen;eskannjedochpassieren,dassandenEndender(aprioriunbekannten)KontaktzoneKnoten"eingefangen\werden. Umdieszuverhindern,schlietsichnachdemLosendesFE-Gleichungssystemsmit aktivenprojektoreneinweiterertestan.

85 coarse mesh / task infos coarse mesh / task infos refinement informations mesh refinement new element matrices solver (1) (2) (3) refinement informations mesh refinement new element matrices solver (1) (2) switch on: P correct u 0 i A12Heinrich/Meyer/Schneider 83 EineeinfacheMoglichkeitbestehtdarin,denKontaktdruckinderaktuellenKontaktzone zuberechnenundalleknotenfreizugeben(alsodiezugehorigenprojektorenauszuschalten),furdiesicheinnegativerkontaktdruckergibt. Manbeachte,dassderPCGM-LosermiteinemzulassigenStartvektorbeginntunddurch dieprojektionenfurdiekontaktknotennurzulassigekorrekturenbestimmt.dadurch bleibtauchdielosungzulassig. error error (4) (4) Abbildung2.7:NormalerLosungszyklus estimator estimator Abbildung2.8:DergesamteZyklus DergesamteAlgorithmusmitEindringungstest,SchaltenderProjektorenundTesten ZyklusfureinenadaptivenFE-Algorithmusaufgefuhrt. deskontaktdruckesistinabbildung2.8zusehen,inabbildung2.7istdernormale EndlicheebeneHindernisse UmnebendenHalbraumhindernissenauchendlicheebeneHindernissebehandelnzu konnen,(sieheabbildung2.6)mussderalgorithmusnureinwenigimeindringungstest abgeandertwerden. NurfurKnotenzwischendenEndens1unds2desHindernissesdarfderTestdasErgebnis"Knoten AlleanderenTeiledesAlgorithmusbleibenunverandert. eingedrungen\liefern. InAbbildung2.22isteinBeispielfureinendlichesHinderniszusehen. BeschreibungdesHindernissesmitimplizitenFunktionen EineBeschreibungdesHindernissesmitimplizitenFunktionenermoglichtdieBearbeitungkrummlinigberandeterHindernissebeigleichzeitigsehreinfachenEindringungstests. (3) cont. press. < 0 : switch off: P i

86 84 A12Heinrich/Meyer/Schneider SeiF:R2!ReinegegebeneFunktionvonx2.DasHindernisistdanndeniert durch 8< F(x) =0 aufdemhindernisrand : <0 >0 innerhalbdeshindernisses auerhalbdeshindernisses SomitkanndurchEinsetzenvonx+uinF Knotensvorliegtodernicht. getestetwerden,obeineindringendes FallsderKnoteneindringt,istdurchLosungeinereindimensionalen,nichtlinearenGleichung :=F(x+u)=0 (2.3) einparameterzubestimmen,sodassx+uaufdenranddeshindernisseskommt. Dieskannz.B.mittelsBisektionerfolgen,gutgeeigneteStartwertesinddabei=0und =1,weildieseWerteunterschiedlicheVorzeichenvongarantieren. MitdiesemParameterwirdeineindimensionaler(aner)UnterraumfurdenzugehorigenKnotendeniertundgefordert,dasseraufderTangenteimPunktx+uaufdem Hindernisrandverbleibt. InderImplementierungwirddieseTangente(ausrF(x+u)berechnet)analogzu einemhalbraumhindernisfurdieseneinenknotenbehandelt. ZuberechnetenBeispielensieheAbbildungen2.23und2.24 HindernisbeschreibungmitSplinekurven ImpliziteFunktionenermoglichenzwareineeinfacheImplementierung,sindabernicht sehrgutgeeignetumpraktischrelevantekonturen,z.b.vonumformwerkzeugen,zu modellieren.furdiesezweckebessergeeignetisteinebeschreibungdeshindernisses durchsplinekurven. Denition1(Splinekurve) KontrollpunkteundseienindenPunkten(x1;x12)und(xn1;xn2)geeigneteRandbedingungenfestgelegt. MitdiesenWertenundeinemParametert2[0;1]sindzweikubischeSplinesS1(t)und S2(t)xiert. Seif(x1;x12);(x21;x2):::(xn1;xn2)geineMengegegebener SomitdeniertdieAbbildung :[0;1]!R2 mit (t):= S1(t) S2(t) (2.4) inderebeneeinesplinekurve. SokanneineWerkzeugkonturmitAngabeeinigerKontrollpunkteundRandbedingungen imerstenundletztenkontrollpunktfestgelegtwerden. BeiVerwendungvonSplinekurvenzurBeschreibungdesHindernissesist,wieauchin denbisherigenfallen,eineindringungstestdurchzufuhren,wobeidietangentenrichtung wiedernebenbeiabfallt.

87 u S(t) x Thepointwithx+ 0u=S(t0) u? Abbildung2.9: EindringungstestundBerechnungdesRandpunktes A12Heinrich/Meyer/Schneider 85 Hierzuseidiefolgende(nichtlineare)AbbildungR2!R2 (;t):= (x1+u1) (x2+u2) S1(t) S2(t) (2.5) mitknotenkoordinatenx=[x1;x2]t,verschiebungu=[u1;u2]tunddersplinekurve S(t)=[S1(t);S2(t)]Tdeniert. SomitistdieBerechnungdesSchnittpunktesdesHindernisrandesmitderVerschiebungsrichtungdesKnotensxeinNullstellenproblemvon. MitderLosung[0;t0]wo(0;t0)=0kanndieEntscheidung,obderKnoteneindringt folgendermaengetroenwerden. Furt0<0odert0>1gibteskeinenSchnittzwischenderLiniex+uunddem HindernisundderKnotendringtsomitnichtein.IndiesemFallegibtesnichtszu tun,undderwertvon0mussnichtbeachtetwerden. Fur0>1istderKnotenauerhalbdesHindernissesundmussnichtkorrigiert werden Fur0<1dringtderKnotenein,dieVerschiebungumusszuu:=x+0u korrigiertundderprojektoreingeschaltetwerden.alszurdenitiondesprojektors benotigtenormalen-undtangentenrichtungenamhindernisrandkonnendabei diebereitsberechnetenableitungendersplinekurveverwendetwerden.( h_s1(t0);_s2(t0) i T) s= Prinzipiellistesmoglich,dasnichtlineareNullstellenproblemfurdiebeidenUnbekanntentundmittelsVoriterationdurcheinigeSchritteeinerGradientenmethodeund anschlieendernewtoniteraitonzulosen.miteinigenannahmenandenhindernisrandpunktkannesjedochinein(nichtlineares)1d-problemtransformiertwerden.

88 86 A12Heinrich/Meyer/Schneider Literaturverzeichniszu2.3 [ABCM00] D.N.Arnold,F.Brezzi,B.Cockburn,andD.Marini.DiscontinuousGalerkinMethodsforEllipticProblems. editors,discontinuousgalerkinmethods,volume11oflecturenotesincomputationalscienceandengineering,pages89{101.springerverlag,berlin,heidelberg, InB.Cockburn,G.E.Karniadakis,andC.-W.Shu, [Arn82] D.N.Arnold ments.siamjournalonnumericalanalysis,19(4):742{760,1982. Aninteriorpenaltyniteelementmethodwithdiscontinuousele- [BD98] D.BraessandW.Dahmen. Methodfor3-DimensionalProblems. StabilityEstimatesoftheMortarFiniteElement East-WestJ.Numer.Math.,6(4):249{264, [BDW99] D.Braess,W.Dahmen,andCh.Wieners.AMultigridAlgorithmForTheMortar [Bel99] FiniteElementMethod.SIAMJournalonNumericalAnalysis,37(1):48{69,1999. F.BenBelgacem. NumerischeMathematik,84:173{197,1999. TheMortarniteelementmethodwithLagrangemultipliers. [BH] R. DiusionProblemswithArbitraryPecletNumber.Enumath99. Becker and P. Hansbo. Discontinuous Galerkin Methods for Convection- [BH99] R.BeckerandP.Hansbo. withnon-matchinggrids.technicalreportinria3613,1999. AFiniteElementMethodforDomainDecomposition [BHS03] R. DecompositionwithNon-matchingGrids. Becker,P. Hansbo and R.Stenberg. A Finite M2ANElement Math. Model. Method Numer. for Domain 37:209{225,2003:287{303,1999. Anal., [BMP90] C.Bernardi,Y.Maday,andA.T.Patera. Domain Decomposition: The Mortar Element ANewNonconformingApproachto Lions,editors,NonlinearPartialDierentialEquationsandTheirApplications. Method. In H. Brezis and J. L. [LW03] B.B.LamichhaneandB.I.Wohlmuth. Pitman,1990. blems.berichteians,univ.stuttgart,preprint2003/001. Mortarniteelementsforinterfacepro- [Nit71] J.Nitsche. VerwendungvonTeilraumen,diekeinenRandbedingungenunterworfensind.AbhandlungausdemMathematischenSeminarenderUniversitatHamburg,36:9{15, UbereinVariationsprinzipzurLosungvonDirichlet-Problemenbei [Ste95] 1970/1971. R.Stenberg. niteelementmethod.j.comput.appl.math.,63(1-3):139{148,1995. Onsometechniquesforapproximatingboundaryconditionsinthe [Ste98] R.Stenberg. ande.dvorkin,editors,computationalmechanics,newtrendsandapplications. MortaringbyamethodofJ.A.Nitsche. InS.Idelsohn,E.Onate, [Tho97] Barcelona,1998. V.Thomee. Verlag,Berlin,NewYork,1997. GalerkinFiniteElementMethodsforParabolicProblems. Springer [Woh98] B.I.Wohlmuth.AnalysisandParallelImplementationofAdaptiveMortarFinite [Woh99a] ElementMethods.East-WestJ.ofNumer.Math.,6:223{248,1998. B.I.Wohlmuth. ElementMethodswithLagrangeMultipliers.SIAMJ.Numer.Anal.,36:1636{1658, HierarchicalAPosterioriErrorEstimatorsforMortarFinite [Woh99b] B.I.Wohlmuth cretizations.numer.mathematik,84:143{171,1999. Aresidualbasederrorestimatorformortarniteelementdis- [Woh00] B.I.Wohlmuth. LagrangeMultiplier.SIAMJournalonNumericalAnalysis,38(3):989{1012,2000. AMortarFiniteElementMethodUsingDualSpacesforthe

89 A12Heinrich/Meyer/Schneider Ergebnisse 2.4.1Teilaufgabe:AnalysedesNitsche-Mortaringfurverschiedene Einleitendseibemerkt,dassdieHauptbearbeiterindieserTeilaufgabe,FrauK.Ponitz, elliptischerandwertaufgaben wegenschwangerschaft/mutterschaftsurlaubnurimzeitraumjanuar2002bisaugust 2003anderProjektarbeitteilnehmenkonnte.DieDokumentationderindieserZeiterzieltenResultateliegtausdiesemGrundnurpartiellvor.DieResultatezurTeilaufgabe sindin[hp02,hn03,hei02,hei03,hp03,poe04]dargelegt. DieHerangehensweisesowieeinigeResultatewerdenhiernochmalsinskizzierterForm dargelegt.wirbetrachtendasnitsche-mortaringanhandderpoissongleichungmitgemischtenrandbedingungen.beidenweiterenaufgabenstellungenwirddannnurnoch aufbesonderheitenundneuerungeneingegangen.dieresultatezudengemischten RandbedingungenuberdeckendenFallderRandbedingungen1.Art,derin[HP02]beschriebenist.NachfolgendwirddieBezeichnungHs(X)(XeinGebiet,H0=L2)fur SobolevraumederOrdnungs2Rbenutzt,k:ks;X:=k:kHs(X)bzw.j:js;X:=j:jHs(X) bezeichnendiedazugehorigennormenundseminormen.diekonstantecwirdgenerell alsgenerischeundvondemdiskretisierungsparameterhunabhangigekonstanteverwendet,mitdersymbolikabdieaquivalenzimsinnederungleichungenc1abc2a. GemischteRandbedingungen DiePoissongleichungmitgemischtenRandbedingungen(homogenenDirichlet-undinhomogenenNeumannrandbedingungen)wirduberbeschranktenGebietenR2mit u u 0f auf = g auf (2.6) N; wobeimit entsprechendderneumanrandbezeichnetwird( D@derRandabschnittmitDirichletrandbedingungenundmit D[ N =@und D\ N N@ Weiterhinsei D6=;,f2L2()undg2H12( j)furallegeradlinigenrandsegmente =;). DasGebietwirdentsprechenddernichtuberlappendenGebietszerlegungsmethodein j N. disjunkteteilgebietezerlegt,dieselbstwiederpolygonalseien.dereinfachheithalber gilt.derschnittrandderbeidenteilgebietewirdmit werdennurzweiteilgebiete1und2betrachtet,sodass=1[2und1\2=; EskannnuneinezuProblem(2.6)aquivalenteAufgabeuberdeneinzelnenTeilgebieten bezeichnet: =1\2. formuliertwerden,wobeiandenschnittachen(interfaces)kompatibilitatsbedingungen (Interfacebedingungen,Transmissionsbedingungen)zuformulierensind.Gesuchtistu= (u1;u2)(verallgemeinertim'gebrochenen'h1),sodass ui ui 0f auf@i\ ini; D; = g auf@i\ N; i=1;2 u1 u2 = auf ; (2.7)

90 88 A12Heinrich/Meyer/Schneider MitdieserAufgabewirdeinediskreteVariationsformulierungassoziiert,diedieStetigkeitsforderungu1=u2auf Losungudeniert.DazuseinurapproximativberucksichtigtundeineNaherunguhder Vi h:=fvi2h1(i):vit2pk(t) 8T2Ti h; D=0g (2.8) dergewohnlichenfinite-elemente-raummitpolynomgrad Ti h:=th(i)(i=1;2)bestehendausdreieckent.derraumvhseideniertdurchvh= kuberdertriangulation V1 h V2 mussendabeinichtzusammenpassen,esentstehenfurth:=t1 h.dieknotenderdreieckedertriangulationent1 hundt2 haufdemschnittrand,,non-matchingmeshes\. h[t2 h sogenannte DieFE-ApproximationnachNitscheistdeniertdurch(u1h;u2h)=uh2Vh,sodass Bh(uh;vh) = Fh(vh) 8vh2Vh (2.9) gilt.diebilinearformbh(:;:)unddielinearformderrechtenseitefh(:)sinddabeiwie folgtdeniert: Bh(uh;vh) = X 2 i=1 ruih;rvih i v2h (2.10) u2h +X E2E h h E 1 u1h u2h;v1h v2h E duktfurx2fi;egundh:;:i undfh(vh)=p2i=1 (f;vih)i+hg;vihi@i\ N.Esbezeichnet(:;:)XdasL2-Skalarpro- EhZerlegungdesInterfaces das(h 12;H 1 2 )-Dualitatsproduktauf inintervallee,hedielangeeineselementese2eh,1.weiterhinsei: und2(0i1,1+2=1)zweiparameter,einehinreichendgroepositivekonstante.einemotivationfurdiesenansatzwirdbei(2.15){(2.17)fureineallgemeinere ParameterkonstellationimHauptteildesOperatorsgegeben. Eswurdegezeigt,dassdieVariationsformulierungkonsistentmitderLosunguderRandwertaufgabeist,d.h.esgilt:Bh(u;vh)=ringnichtzuden\innerenPenalty-Verfahren",denenesaufdenerstenBlickahnelt.Die 8vh2Vh.SomitgehortdasNitsche-Morta- nichtvonhab,kannaberinabhangigkeitvondergestaltsregularitatdernetzelemente KonstanteinderBilinearform(2.10)dientderStabilisierungdesVerfahrens,hangt aminterfaceabgeschatztwerden. FurdieweiterenBetrachtungenwirdeinenetzabhangigeNormeingefuhrt.Diesewird mitk:k1;hbezeichnetundistfurvh2vhfolgendermaendeniert: kvhk21;h:= X 2 rvih20;i+x i=1 E2E h h E1v1h v2h20;e: (2.11) DieBilinearformistbezuglichdieserNormgleichmaigVh-elliptischundVh-beschrankt, wobeifurdiegultigkeitdervh-elliptizitatderparametergenugendgrogewahlt stammtdabeiausderungleichung(typeinerinversenungleichung) werdenmuss,genauergesagt:>ci,aberunabhangigvonhist.diekonstanteci X E2Eh h 2 0;ECI 2X i=1 rvih20;i 8vh2Vh (2.12)

91 A12Heinrich/Meyer/Schneider 89 h?e he Abbildung2.10:BeispielefurCI(links:CI=2,Mitte:CI= 4p3,rechts:CI=4) tionenundeh undkannleichtbestimmtwerden.zumbeispielgiltfurdenfalllineareransatzfunk- CI=2sup h<h0max = Eih (EinschrankungvonTi h auf )sowie i = 1fur i 2 f1;2g: E2Eih h?e he,wobeihedielangederdreiecksseiteeundh?ediehohedes DreiecksTEuberdieserSeitebezeichnet,sieheAbbildung2.10. FurdieGultigkeitderUngleichung(2.12)sowiederspaterenFehlerabschatzungenwird nocheinelokalwirkendevertraglichkeitsannahmedertriangulationenti legungehvon vorausgesetzt(aufdiehiernichteingegangenwird,sieheetwa[hp02, hmitderzer- HN03]),dieabernochgewissenichtquasi-uniformeNetze,wiez.B.graduierteNetzein derumgebungvonecken,zulasst. Singularitatenaufweist.JedochkanndieLosungineinenregularenundeinensingularen Esistbekannt,dassdieLosungvonAufgabe(2.6)uberpolygonalenGebietenlokale Anteilzerlegtwerden,wobeiderGradderSingularitatvondenInnenwinkeln!und von(2.6)giltu=ure+usimitdemregularenanteilure2h2()unddemsingularen derartderanliegendenrandbedingungenandeneckenpabhangt.furdielosung Losungsanteilusi2H1+ (0;). (),wobei2(0;1)dersingularitatenexponentist,2 E Singularitatsexponenten 12 =2 L2(E)gilt,werdenfur 2 L2(E),falls > 12 standzureckep ist.ebenfallslasstsichr wh2l2(e)fur +undrderab- kannfurdiebeimmortaringnachnitschezubetrachtendendualitatsproduktefur < 12 zeigen.damit 2 den,alsoj;12 E wh0;e. Wiebekannt,vermindertdiegeringereRegularitatderLosungvonProblemenmitEckensingularitatendieKonvergenzordnungundvergroerti.a.auchdenlokalenFehlerder Finite-Elemente-Approximation.ZurKompensationgibtesmehrereMoglichkeiten,von denenhierdieverwendunglokalgraduierternetzebetrachtetwird.diesewerdenmit HilfeeinesreellenParameters2(0;1]beschrieben,undzwarderart,dassfurden h?e he he h?e

92 90 A12Heinrich/Meyer/Schneider 1 P 2 Abbildung2.11:GraduiertesNetz DurchmesserhTderElementeTderTriangulationendieBeziehung ht 8 < : r1 h1 furrt=0 Thh fur0<rt<rj furrtrj gilt.hierbezeichnetrt RJ denradiusdessektorsumdieeinspringendeecke,indemdasnetzverfeinert denabstanddeselementest vondereinspringendenecke, wird.derparametergibtdengradderlokalennetzverfeinerungan.fur=1 istdasnetznichtgraduiertundquasi-uniform,undfur0<<1wirddielokale auch[ape99,hei96,hnw00]. MaschenweitezureinspringendenEckehinimmerkleiner,sieheAbbildung2.11,vergl. uh2vhgema(2.9),mitpolynomgradk=1aufgraduiertendreiecksnetzen,wurdedie FurdenVerfahrensfehlerku uhk1;hderfinite-elemente-approximationnachnitsche Abschatzung ku uhk1;hc(h;) kfk0;+kgk12; unterdervoraussetzungu2h1+ ()bewiesen,miteinervonhunabhangigenkonstantecundderfunktion N (h;):= 8 >< > : h fur<1 hjlnhj12 h fur= (2.13) fur0<<<1: DabeiisthderDiskretisierungsparameter(hh0),derSingularitatsexponentund dergraduierungsparameterdesnetzes. SomitwerdenbeimMortaringnachNitschedieselbenKonvergenzratenwiebeiklassischenFinite-Elemente-MethodenaufkonformenTriangulationenundbeiregulareneGraduierung(=1),wiebeiEckensingularitatenzuerwarten,nurvonderOrdnung Losungu2H2()erreicht.InsbesondereistderApproximationsfehlerfurNetzeohnungO(h)angenommen. O(h).FurausreichendgraduierteNetze(<)wirdhingegendieoptimaleFehlerord- DieAbschatzungdesFehlersku ZuerstwirdahnlichwiebeimLemmavonCeaderApproximationsfehlergegenden uhk1;hkanninmehrereteilschrittegegliedertwerden. Interpolationsfehlerbeschrankt,allerdingsineinerweiterennetzabhangigenNorm,die

93 A12Heinrich/Meyer/Schneider 91 y 1 a!= {z N } b a x Abbildung2.12:Berechnungsgebiet Abbildung2.13:Losunguaufnichtgraduiertemh3-Netz y 0 1 x dienormalenableitungdesinterpolationsfehlerslangs jeweilsfurdenregularenunddensingularenlosungsanteil(ureundusi)abgeschatztund enthalt.diesenormwirddann furdenumgangmitgewichtetennormenbenotigt,wiesiebeispielweiseauchin[hn03] schlielichgegendiedatenbeschrankt.indenbeweisenwurdennocheinigehilfssatze gezeigtwurden. DerFehleru uhwurdeebenfallsinderl2-normabgeschatzt;esgilthier ku uhk0;c2(h;) kfk0;+kgk12; N ; erwartetundauchinnumerischenexperimentenbeobachtet,doppeltsoraschwieder mit(h;)wiein(2.13)gegeben.derfehlerinder L2-Normkonvergiertalso,wie Fehlerinderk:k1;h-Norm. DasBerechnenderSystemsteigkeitsmatrixerfordertdieBerechnungvonGebietsintegralenwiebeimklassischenGalerkin-Verfahren,wegenderMortar-TermeinderBilinearformzusatzlichauchvonKurvenintegralenlangs ebenfallssymmetrischundpositivdenit,unddiekonditionszahlistvonderordnung.dieentstehendematrixistaber O(h 2),auchfurdiehierbetrachtetennichtkonsistentenundgraduiertenNetze. DieErgebnissevonexperimentellenTestswerdenhieramBeispielderAufgabe(2.6) uberdemgebiet=( N= (x;y)2r2:y=0;x2( a;a) (0;b)R2(a=b=1)mitNeumannrandbedingungen aufdemubrigenrand,alsoauf D=@n a;0) undhomogenendirichletrandbedingungen funddieranddatengsogewahlt,dassfurdieexaktelosung N,dargestellt.DabeiseiendierechteSeite u=4(x2 a2)(y b)rsin(') gilt,wobei(r;')diepolarkoordinatenandemsingularenpunktp = 2!=12gelte,sieheAbbildung2.12und2.13. =(0;0)sindund ( FurdieMortar-MethodenachNitschewirddasGebietinzweiTeilgebiete1 a;0) (0;b)und2=(0;a) (0;b)zerlegt,dieunabhangigvoneinandervernetztwerden,sodassAnfangsnetzemitdemDiskretisierungsparameterh0,wieinAbbildung2.14 = dargestellt,entstehen,derenknotenaufderschnittkante diedurchgefuhrtenberechnungenwerdendieseanfangsnetzeverfeinert,indemderdiskretisierungsparameterhjeweilshalbiertwird.beidennetzenmitlokalergraduierung nichtzusammenfallen.fur ' r exakte Lösung u

94 92 A12Heinrich/Meyer/Schneider Abbildung2.14:Anfangsnetz(h0-Level) Abbildung2.15:Netz mit Graduierung (h3-level) Fehler u uh in verschiedenen Normen λ λ 1,h-Norm L -Norm L2-Norm L2-Norm Anzahl der Elemente N (N = O(h 2 )) Anzahl der Elemente N (N = O(h 2 )) Abbildung2.16:FehlerinverschiedenenNormenaufNetzenohneGraduierung(links) undmitgraduierung(rechts)(=7,1=1,eh=e1h) wirdnebendergewohnlichenviertelungderdreieckeauerhalbdesgraduierungsgebietes,innerhalbmit=0:9=0:45graduellverfeinert(sieheabbildung2.15). DadieLosunguexplizitbekanntist,konnenderFehleru verschiedenennormenangegebenunddiekonvergenzratebezuglichhnaherungsweise uhdernaherunguhin inderl2-undl1-normuberderanzahlnderdreieckselementet2thabgetragen. berechnetwerden.inabbildung2.16istderfehleru uhindernormk:k1;hsowieauch DieeingezeichnetenDreieckesollendieAnstiegederFehlerkurvenverdeutlichenund ExperimentbeobachtetenKonvergenzrateninderNormk:k1;hundderL2-Normgut ermoglichendasablesenderkonvergenzordnungbezuglichh.manerkennt,dassdieim mitdentheoretischbewiesenenubereinstimmen.dasheit,furnichtgraduiertenetze undindernormk:k1;hhatderexponentderkonvergenzrateo(h)ungefahrden O(h)inderL2-Normsindjeweilsdoppeltsogro,also2=1(ohneGraduierung) Wert=0:5undfurNetzemitGraduierunggilt1.DieKonvergenzraten und2(mitgraduierung). InAbbildung2.17wirdderEinussderSingularitatunddieVerringerungdesabsoluten FehlersbeiVerwendungvongraduiertengegenuberquasiuniformenNetzenebenfallsgut sichtbar. Fehler u uh in verschiedenen Normen 1,h-Norm L -Norm

95 A12Heinrich/Meyer/Schneider 93 punktweise Fehler u uh Abbildung2.17:PunktweiseFehleraufdreimalverfeinertenNetzen(linksohneund y x y x rechtsmitgraduierung) SingulargestorteReaktions-Diusions-Probleme In[HP03]wirddasNitscheMortaringfursingulargestorteDiusions-Reaktionsprobleme vomtyp ist.dasbeikleinemparameter"(0<"1)entstehenderandschichtgebietrder "2 u+cu=fin,u=0auf@,entwickelt,wobeieinrechteckgebiet BreiteO("jln"j)wirdmitanisotropenDreieckenvernetzt,dasRestgebietnRmit isotropendreiecken.aminterface desgebietesvomrandschichtbereichrtrennt,stoenisotropeundanisotropedreiecke dergebietszerlegung,dasdeninnerenteilnr werdenfinite-elemente-naherungenderrwavomnitsche-typausdersichtdernumerischenanalysisbegrundet.dieresultateundderzugangzumnitsche-mortaring, aneinander.furdiesekombinationennichtkonsistenterisotroperundanisotropernetze dieimfolgendenskizziertwerden,sindin[hp03]furrechteckesowieregularelosungenu2h2()dargelegtundwerdendurchnumerischebeispieleillustriert. BetrachtetwirddasModellproblemeinerReaktions-DiusionsGleichungaufeinem Rechteckwiefolgt: Lu:= "2 u+cu = f inr2 glattsei,mindestensf2l2().furkleinewertevon",0<"1,zeigtdielosungu Dabeiwirdangenommen,dass0<"<1and0<c0c(x)(x2)gelten,fhinreichend i.a.randschichtverhalten.dasgebietwirdwiederinnichtuberlappendeteilgebiete1 und2zerlegt,sodassdierwaaquivalentzufolgenderaufgabeist.findeu=(u1;u2) derart,dassdiegleichungen = fi ini; ui = 0 auf@i\@; furi=1;2; erfulltsind,wobeinidieauennormalean@i\ folgendv:=v1 V2,wobeiVi:= vi:vi2h1(i);vij@\@i=0 fur@\@i6=;, (i=1;2)ist.wirverwendennach- Vi:=H1(i)fur@\@i=;deniertist.DannkanndiefolgendeVariationsgleichung punktweise Fehler u uh u = 0 on@: = 0 auf ; u1 = u2 auf ; (2.15)

96 94 A12Heinrich/Meyer/Schneider notiertwerden, 2X i=1 Z i"2 rui;rvi dx+ Z icuvdx = 2X Z i=1 ifividx 8v2V: (2.16) Wegen@u1 2X i=1 Z i " 2 rui;rvi dx+ Z i cuvdx v2 u2 + Z u1 u2 v1 v2 ds= 2 X i=1 Z i f ividx: (2.17) Nullsind,inderApproximationnichtverschwindenundkunstlichausfolgendemGrund Esseibemerkt,dassdiezweizusatzlichenTerme,dieu1 u2enthalten,hierbeidegleich derdiskretisierung)densprungdernaherungslosungundgarantiertdiestabilitatim eingefuhrtwordensind.dererstebewirktdiesymmetrie,derzweitepenalisiert(nach FalleinergeeignetgewahltenGewichtsfunktion>0.DieFinite-Elemente-Methode nachnitscheistdurchdiediskretisierungderobigengleichunggegeben.dabeiwirdein UnstetigkeitendernitenElementelangs Finite-Elemente-UnterraumVhvonV benutzt,dernichtkonformetriangulationenund angesetzt,wobei>0einehinreichendgroekonstanteist,h(x)einemaschenparameterfunktionauf DerFinite-Elemente-RaumVi. zulasst.diefunktionwirdmit"2h 1(x) folgteingefuhrt:vi h:=fvi2h1(i):vijt2pk(t) h(unterraumvonvi)vonfunktionenviaufiwirdwie VhdurchVh:=V1 h V2 h=fvh=(v1h;v2h):v1h2v1 h;v2h2v2 8T2Ti hgdeniert.furdieapproximationvonuaufvhxierenwireinepositivekonstantesowiereelleparameter1,2 h; vij@i\@=0g,derraum undfuhrendiebilinearformbh(:;:)aufvh VhunddieLinearformFh(:)aufVhwie folgtein: Bh(uh;vh) := X 2 i=1 " 2 ruih;rvih i+ cuih;vih i v2h u2h +"2E2Eh Xh E 1 u1h u2h;v1h v2h E; Fh(vh) := X 2 i=1 f;vih i: (2.18) garantierendiestabilitatdermethode,fallshinreichendgrogewahltwird(>ci). DieGewichteimviertenTermvonBhapproximierendieFunktion="2h 1(x)und (u1h;u2h)2v1 DieNitsche-Finite-Elemente-ApproximationuhderLosunguistdeniertdurchuh= h V2 halslosungvon Bh(uh;vh)=Fh(vh) 8vh2Vh: (2.19)

97 kvhk21;h= X 2 i=1 " 2rvih20;i+pcvih20;i +"2X E2E h h E1v1h v2h20;e: (2.20) bezuglich"undhbewiesenwerden.diefehlerabschatzungenbasierenaufderin[hp03] IndieserNormkonnenStabilitatundBeschranktheitderBilinearformgleichmaig bewiesenenungleichung ku uhk1;hcku Ihukh;; (2.21) mitcunabhangigvonvonh2(0;h0]und"2(0;1).hierwirdeinezweitediskrete Normk:kh;verwendet,dievonderBilinearformBh(:;:)abgeleitetist: kvk2h; = X 2 "2rvi20;i+pcvi20;i+"2X i=1 E2E h h 2 0;E! +"2X E2E h h E1v1 v220;e: (2.22) A12Heinrich/Meyer/Schneider 95 ZuroptimalenApproximationderLosunginderRandschichtwerdenanisotropeDreieckebenutzt([AN98,Ape99]).DieGebietszerlegungkannsogewahltsein,dassanisotrope undisotrope(gestaltsregulare)dreieckenichtkonsistentaneinanderstoen.dieungleichung(2.12)giltimfallisotropernetzeunverandert.imfallanisotropernetzebleibt DreiecksseitenFmitKontaktzumInterface dieseungleichungebenfallsgultig,fallsdievoraussetzunghf=h?f erfulltist.furdetailssiehe[hp03].zur C <1furalle HerleitungderStabilitatderBilinearformBh(:;:)fuhrenwirdiediskreteEnergie-ahnlicheNormk:k1;hein,dievon"2,c(x)undvomNetzabhangt: UnterderAnnahmerealistischerGlattheitsvoraussetzungenuberdieLosunguinAbhangigkeitvon",vergl.etwa[Ape99],kanndiefolgendeAbschatzungfurdenFehleru (uhvon(2.19))bewiesenwerden,diezugleichdiekonvergenzgleichmaigbezuglichdes Parameters"ausweist: ku uhk21;hc "jln"j3h2+h4 : DieKonstanteCistunabhangigvonh2(0;h0]und"2(0;1). ZurIllustrationdertheoretischenResultatezurKonvergenzwirdin[HP03]folgendes Randwertproblembetrachtet: "2 u+u=0 in; u= e x" e y" on@; (2.23) wobeidurch=(0;1)2r2gegebenist.dasgebietwirdwieinderabbildung ersichtlichvernetzt.dieexperimentezeigen,dassselbstfursehrkleinewertevon" dietheoretischbewiesenenkonvergenzratenerreichtwerden,wenndiebreitederrandschichtadaquatgewahltwird. InterfaceProbleme In[HN03](sieheauch[Hei03]fureinekurzeUbersicht)wirddieMortar-Methodenach NitschefurInterfaceproblememitunstetigenKoezientenundTransmissionsbedingungenbetrachtet.DieInterfacesfurGebietsdekompositionunddieTransmissionsbedingungdurfenhierzusammenfallen.DieTransmissionsbedingungenlassenimAllgemeinen

98 96 A12Heinrich/Meyer/Schneider 0 exact solution u Abb.2.18:Losunguaufdemh3-Netz y fur"= x Abb.2.19:h1-Netz,Randschichtbreitea a pointwise error uh u Abb.2.20:PunktweiserFehleruh ufur"=10 2undfurEh=E2h(2=1)aufNetzen x y x y mita="jln"j(links)unda=2"jln"j(rechts) pointwise error uh u 10 0 L -norm 10 0 error u uh in different norms ,h-norm L2-norm Abbildung2.21:BeobachteterFehleru uhinderl2-,l1-undk:k1;h-normfur"= error u uh in different norms L -norm 1,h-norm L2-norm number of elements N (N = O(h 2 )) number of elements N (N = O(h 2 )) 10 5,a=0:5(links)unda="jln"j(rechts)

99 A12Heinrich/Meyer/Schneider 97 nurlosungenudesrandwertproblemszu,furdiegilt:u2h1+(),>0,beliebig.in SobolevraumemitPotenzgewichtenr(reell)angewendetundneueWerkzeuge(Fehlerfunktionale,Spursatze)furdieFehlerabschatzungentwickelt.Diesefuhrenauchbei verminderterglattheitderlosungzuoptimalenfehlerabschatzungenineinerdiskreten H1-ahnlichenundderL2-Norm.SokonnenfurstuckweiselineareAnsatze,dieunstetig aufpolygonaleminterface werden.imergebnisnumerischerexperimentewerdenaussagenzudenkonvergenz- 62L2( Interface) ratengemacht,dieinguterubereinstimmungmitdentheoretischenresultatenliegen. DieMethodereagiertaufdieWahlvon(oberhalbdestheoretischenMinimalwertes: >CI)nichtsensitiv,derVerfahrensfehleristfursehrgroeBereichevonfastkonstant Teilproblem:Discontinuous{GalerkinMethode DerbetreuendeBearbeiterdiesesTeilthemas,Prof.Schneider,konntewegenRufannahmeinKielnurimZeitraum2002{September2003inChemnitzimSFBmitarbeiten.ImBerichtszeitraumisteineDiplomarbeitentstanden,diesichmitderRealisierungderimAntragvorgeschlagenenMultiwaveletsbeschaftigte.Gemeinsammitden GastenProf.AihuiZhouundDr.LivonderChinesischenAkademiederWissenschafteninPekingwurdeimBerichtszeitrauminderArbeitsgruppeSchneiderebenfallsan DiscontinuousGalerkinundgeeignetenMultiwaveletbasengearbeitet.DieDiplomandin ClaudiaFrankenhatinihrerDiplomarbeit[Fra03]anstelleeinesDiscontinuous-Galerkin- AnsatzesmitstuckweiselinearenAnsatzfunktioneneineschwacheKopplungzwischen denelementenanalogzudenmortarmethodenverwendet.indiesemfallistesimprinzipsogarmoglichdiekopplungsnebenbedingungzueliminieren,manendetdannbei Crouzieux-Raviart-Elementen,wovonaberkeinGebrauchgemachtwurde.VondenvorgeschlagenenMultiskalenbasensindunterWeglasseneinesTypesalleBasisfunktionen orthogonalbezuglichderdurchdengebrochenenlaplace-operatordeniertenbilinearform,d.h.innerhalbderelemente.diekopplungsnebenbedingungenbestimmenjedoch diekonditiondessystems.diesekopplungsnebenbedingungenmusstenexplizitauch konnteeinevorkonditionierungrealisiertwerden,dienoch(wiedienumerischenergebnissebelegen)aufeinlogarithmischeswachsenhindeutet.diesevorkonditionierunghat sichjedochbislangnochnichtaufdasdiscontinuousgalerkinubertragenlassen.auch hinsichtlichdertheoriekonntediesituationbislangnichtgeklartwerden.dasweglassendeseinenbasistypserforderterneutdennachweiseeinerdiskretenlbb-bedingung furdieverwendetenansatzraume.hierliegtnunaufgrunddermultiskalenbasiseine ubereinemultiskalenbasisuberdemskelettderelementkantenrealisiertwerden.so veletbasengibtesbisdatokeinedernormaquivalenzentsprechendenaussagen,sodass vollkommenneuartigesituationvor,diebislangnochnichtbehandeltist.furmultiwa- diebehandlungelliptischerrandwertprobleme,insbesonderedievorkonditionierungmit unstetigenmultiwaveletsimzusammenhangmitdiscontinuousgalerkin,bislangnoch zeigen,dassdiesituationhierdurchausschwierigerist.zusammenfassendmussgesagt nichtgeklartist.erfahrungenundergebnissehinsichtlichmultigridlosernvonkamschat werden,dassersteresultateerzieltwurden,esaberhierbeinochnichtganzgelungen ist,allegrundlegendenproblemezulosen. WahrendeinesGastaufenthaltesvonProf.AihuiZhouwurdemitderFragederaposte-

100 98 A12Heinrich/Meyer/Schneider riorifehlerschatzerbegonnen.apriorifehlerschrankenfurdiscontinuousgalerkinsind hinlanglichbekannt.auchdieentwicklungvonaposteriorifehlerschatzernistrelativ klarvorgezeichnet,alssummelokalerresiduenpluskantensprungendernormalableitung,unddasistdiebesonderheitbeidiscontinuousgalerkin,sprungederlosung selbst.diewesentlicheschwierigkeitistabernundasexpliziteauftretendernormalenableitung,dieinnahmekonntedannezienzundverlasslichkeitdesfehlerschatzersgezeigtwerden. 1=2abgeschatztwerdenmusste.UntereinerkleinenZusatzan- DieseArbeitschlietLuckeneinerArbeitvonBeckerundHansbo.Zusatzlichwurden lokaleabschatzungengezeigt.furdieresultatesiehe[sxz04] Teilproblem:Kontakt DiefolgendenGrakensollendieErgebnissederVorgehensweiseausAbschnitt2.3.3 illustrieren. EbeneHindernisse 1.5 obstacle net net+u Abbildung2.22:BeispielfureinendlichesHindernis

101 A12Heinrich/Meyer/Schneider 99 HindernissemitimplizitenFunktionen obstacle net net+u circ-edge Abbildung2.23:HindernisbeschreibungmitimplizitenFunktionen obstacle net net+u Abbildung2.24:HindernisbeschreibungmitimplizitenFunktionen

102 100 A12Heinrich/Meyer/Schneider HindernissemitSplinekurven 4 obstacle net net+u obstacle net net+u HindernismitSplinekurven obstacle net net+u -1.2 obstacle net net+u HindernismitSplinekurven Insgesamtmussbemerktwerden,dassdieEinbettungdesKontaktalgorithmusindie adaptivefiniteelementetechnikeinensehrrobustengesamtalgorithmusliefert.wie folgenderplotdesfehlerschatzersuberdiefreiheitsgradezeigt,entstehtinsgesamtein Aufwand,derkaumgroeristalsbeieinemeinfachenlinearelastischenDeformationsproblemohneKontakt. 100 error versus N e-05 1e-06 3-l-rg 3-l-Bg 3-l-hn 4-l-hn 3-q-rg 3-q-Bg 3-q-hn 4-q-hn slope

103 A12Heinrich/Meyer/Schneider 101 Literaturverzeichnis [AN98] Th.ApelandS.Nicaise.Theniteelementmethodwithanisotropicmeshgrading forellipticproblemsindomainswithcornersandedges. 21:519{549,1998. Math.MethodsAppl.Sci., [Ape99] Th.Apel.Anisotropicniteelements:Localestimatesandapplications.Advances innumericalmathematics.teubner,stuttgart,1999.habilitationsschrift. [Hei96] B.Heinrich.TheFourier{nite{element{methodforPoisson'sequationinaxisymmetricdomainswithedges. 1911,1996. SIAMJournal onnumerical Analysis,33(5):1885{ [Hei02] B.Heinrich. larities.pamm,1:522{523,2002. Nitsche-typeniteelementmethodforellipticproblemswithsingu- [Hei03] B. larities. Heinrich.Nitsche-typeniteelementmethodforellipticproblemswithsingu NumericalMathematicsandApplications,pp.837{845, SpringerVerlag [HN03] B.HeinrichandS.Nicaise.Nitschemortarniteelementmethodfortransmission problemswithsingularities.imaj.numer.anal.,23:331{358,2003. [HNW97] B.Heinrich,S.Nicaise,andB.Weber.Ellipticinterfaceproblemsinaxisymmetric domains.parti:singularfunctionsofnon-tensorialtype.math.nachr.,186:147{ 165,1997. [HNW00] B.Heinrich,S.Nicaise,andB.Weber. tric domains. Part II: The fourier-nite-element Ellipticinterfaceproblemsinaxisymme- singularities.adv.math.sci.appl.,10(2):571{600,2000. approximation of non-tensorial [HP02] B.HeinrichandK.Pietsch.Nitschetypemortaringforsomeelipticproblemwith cornersingularities.computing,68:217{238,2002. [HW96] B.HeinrichandB.Weber.Fourier-nite-elementApproximationofEllipticInterfaceinAxisymmerticDomains.Math.MethodsintheAppliedSciences,19:909{931, [Mel02] J.M.Melenk. Verlag,2002. hp-finiteelementmethodsforsingularpertubations, Springer- [Mey99] A.Meyer. mentprocedures.preprintsfb tuchemnitz. ProjectedPCGMforHandlingHangingNodesinAdaptiveFiniteEle- [Mey02] A.Meyer. Nodes andprojectiontechniquesembeddedinthepcgmforhandlinghanging B.H.V.ToppingandZ.Bittnar,(Eds.)Saxe-CoburgPubl.,Stirling,Scotland,147- Boundary Restrictions. in: Engeneering Computational Technology, 165. [MeUn04] A.MeyerandR.Unger. PreprintSFB TUChemnitz. Projectionmethodsforcontactproblemsinelasticity. [HN99] B.HeinrichandB.Nkemzi. tionsinaxisymmetricdomains.preprintsfb393/99-36,tuchemnitz,1999. TheFourier-Finite-ElementMethodforLameEqua-

104 102 A12Heinrich/Meyer/Schneider [HP03] B. reaction-diusionproblems.preprintsfb tuchemnitz,2003. Heinrich and K. Ponitz. Nitsche type mortaring for singularly perturbed [Fra03] C.Franken. beit,fakultatfurmathematik,tuchemnitz,2003. Multi-Wavelet-Basenfurnicht-konformeFinite-Elemente. Diplomar- [Pie00] K.Pietsch.Finite-Elemente-MortaringnacheinerMethodevonNitschefurelliptischeProblemederEbene.Diplomarbeit,FakultatfurMathematik,TUChemnitz, [Poe04] K.Ponitz.Nitsche-Finite-Elemente-MethodefurdiePoissongleichungmitgemischtenRandbedingungenPreprintSFB393,TUChemnitz,2004,inVorbereitung. [SXZ04] R.Schneider,Y.XuundA.Zhou. nuousgalerkinmethodsadvancesincomputationalanalysis,toappear2004. OnAPosterioriErrorEstimatesforDisconti- 2.5OeneFragen/Ausblick Kontaktsimulation DiegutenErgebnisseder2D{SimulationlegendieVerallgemeinerungins3{Dimensionale nahe,wasauchbeianwendungenimingenieurbereichdieeigentlicheherausforderung darstellt.technischerfordertdieskeinewesentlichenanderungen,weildieprojektionsoperatorenanalogalsi Hindernis). nntdeniertwerdenkonnen(mitnderlokalennormalenam Wesentlichkomplizierterstelltsichder2{Korperkontakt(alsodeformierbaresHindernis) dar.wahrenddieprojektorenrelativleichtverallgemeinerbarsind,istinsbesondereder DurchdringungstestvonwesentlichhoheremAufwand.DiessollteinFortsetzungdieses Projektesaufgenommenwerden. Nitsche-Mortaring a)fursingulargestortediusions-reaktionsproblemevomtyp "2 u+cu=fin, Nitsche-TypfurGebietszerlegungenimFallallgemeinerpolygonalerGebieteausder SichtderNumerischenAnalysiszubegrunden,etwaunterNutzungvonRegularitatsresultatenaus[Mel02].HiersinddannEckensingularitatenundzugleichRandschichten derlosungzugelassen.dazuwarenkombinationenvonnichtkonsistentenisotropenund anisotropennetzenzubetrachten,mitlokalverfeinertennetzeninderumgebungder Ecken.UnterdiesensehrschwachenundanwendungsrelevantenVoraussetzungeninterformennitenElementeherbekanntsindessiertderNachweisvonKonvergenzraten,wiediesevonregularenLosungenundkon- b)furdielame'schengleichungenmitgemischtenrandbedingungen nenpolygonalengebieten R2waredieFinite-Elemente-MethodevomNitsche- uberallgemei- Typ(Nitsche-Mortaring)ausderSichtderNumerischenAnalysiszubegrunden(erste Ansatzedazuliegenvor)undaufihreEignungfurKontaktaufgabenzuuntersuchen.Die kanntsind,musstenaufdenfallderlame'schengleichungenubertragenwerden,auch wesentlichenungleichungen/abschatzungen,diefurdenfallderpoissongleichungbe-

105 A12Heinrich/Meyer/Schneider 103 unterdervoraussetzung,dassdieverwendetennetzeaminterface gungnichtquasi-uniformsind.gleichzeitigwarenlosungssingularitaten,bedingtdurch dergebietszerle- KnickpunktedesRandesbzw.durchgemischteRandbedingungen,mittelsgraduierter formennitenelementenherbekannt{nachgewiesenwerdenkonnen. Netzesozubehandeln,dassKonvergenzraten{wievonregularenLosungenundkon-

106 104 A12Heinrich/Meyer/Schneider

107 Teilprojekt A13 RandkonzentrierteFinite{Elemente{Methoden

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109 A13Hackbusch/Melenk/Schneider TeilprojektA13 RandkonzentrierteFinite{Elemente{Methoden 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.W.Hackbusch DirektoramMPI furmathematiki.d. Naturwissenschaften Inselstr.22{ Leipzig Tel.:(0341) Fax:(0341) PDDr.J.M.Melenk Deptaretmentof Mathematics TheUniversityofReading POBox220 Reading,RG66AX,UK Tel.:+44(118) Fax:+44(118) Prof.Dr.R.Schneider ProfessurScientic Computing UniversitatKiel Christian-Albrechts-Platz4 D-24118Kiel Tel.:(0431) Fax:(0431) Projektbearbeiter Dipl.-Math.techn.TinoEibner(seitSeptember2002) 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung EineVielzahlvonProblemenindenNaturwissenschaftenundderTechnikwerdenals elliptischerandwertaufgabenformuliert.ihreezientenumerischelosungistdeshalb einwichtigesforschungsgebiet.diewichtigstenvertretervonlosungsmethodensinddie Finite-Elemente-Methode(FEM)unddieRandelementmethode(BEM)[Hac95,Ste03]. WahrendbeierstereineDiskretisierungdesgesamtenbetrachtetenGebietesRd BEMnurMannigfaltigkeitenderDimensiond 1diskretisiertwerdenmussen,kann diebemezienteralsdieklassischefemsein.einweiterervorzugderbemistdie Moglichkeit,Auenraumproblemezubehandeln.EinklassischerNachteilderBEMbestehtdarin,dassdieSteigkeitsmatrixapriorivollbesetztist,sodassKompressionstechniken(Wavelets[Sch98a],PanelClustering[HN89],multipoleexpansions[GR97]und neuerdingsh-undh2-matrizen[hac99,gh03,hks00])zumeinsatzgebrachtwerden mussen.weiterhinbautdiebemaufeinerumformulierungeinesrandwertproblemsauf diefundamentallosung/singularfunktionderdierentialgleichungexplizitbenotigt;da inderpraxisdiesenurfurdierentialgleichungenmitkonstantenkoezientenbekannt ist,istdiebemnichtbeibeidierentialgleichungmitvariablenkoezienteneinsetzbar. DierandkonzentrierteFEM,[KM03]verbindetdieFlexibilitatderklassischenFEMmit denguteneigenschaftenbzgl.komplexitatderbem.zieldesteilprojektsa13ist, dieseneuemethodegenauerzuuntersuchen.insbesonderesollzumeineneinbesseres VerstandnisderApproximationseigenschaftenderMethodeerarbeitetwerdenundzum anderensollenfragenihrerezientenimplementierungbeantwortetwerden.

110 108 A13Hackbusch/Melenk/Schneider Dirichlet problem snow flake 10 1 relative error local H 1 error 10 4 local L 2 error N 1.2 energy norm N Abbildung2.1: BeispieleinesrandkonzentrierenGittersunddesFehlerverhaltens N 2.3Forschungsaufgaben/Methoden KonvergenzderFEMkannprinzipiellaufmehrereArtenerzieltwerden:Mankanndie ApproximationsordnungfesthaltenundKonvergenzdurchGitterverfeinerungerreichen festhalten(p-fem).wirdsowohldasgitter(zumindestlokal)verfeinertalsauchdie (h-fem);andererseitskannmandieapproximationsordnungerhohenunddasgitter Approximationsordnungerhoht,sosprichtmanvonderhp-FEM,[Sch98b,KS99].Bei derrandkonzentriertenfemliegteinevariantederhp-femvor:eswirdinrandnahe dasgitterverfeinertunddieapproximationsordnungniedriggehalten;iminnerendes RechengebieteswirddasGitterfestgehaltenundKonvergenzdurchErhohenderApproximationsordnungerzielt.ImFallvonDierentialgleichungenmitanalytischenKoezientenkonntein[KM03]gezeigtwerden,dassdiegeeigneteGitterwahlundVerteilung derapproximationsordnungfolgende,einfachebedingungenerfullenmussen: Approximationsordnung,dieaufElementKverwendetwird.FureintypischesGitter HierstehtKfureinElementdesGitters,hKfurseinenDurchmesserundpKfurdie verweisenwiraufabb.2.1;manbeachte,dassdiebedingung(2.1)dazufuhrt,dass einquasi-uniformesgittermitmaschenweitehinrandnahevorliegt.derparameter manmitvndenhp-femraum,deraufsolchengitternundpolynomgradverteilungenbasiert,sokonnteinderarbeit[km03]furelliptischeprobleme(mitanalytischen Koeziente)in2Dgezeigtwerden,dassgilt: >0,derin(2.2)auftritt,mussproblemabhangiggeeignetgewahltwerden.Bezeichnet wobeidielosungu2h1+(),>0,angenommenwird.drucktmandiekonvergenz als\fehlergegenproblemgroe"aus,sosiehtmaneinkonvergenzverhalten,wieman hk pk h+dist(k;@); log(hk=h): (2.2) (2.1) N = dimvnh 1 ku unkh1() CN ; Gitterpunkteauf@; (2.3) (2.4)

111 A13Hackbusch/Melenk/Schneider 109 esvoneinerbemkennt.alsfemhatdierandkonzentriertefemz.b.dieeigenschaft geerbt,dunnbesetztzusein:dadermaximalepolynomgradpmax=o(jlnhj)=o(lnn) ist(vgl.2.2),ergibtsichin2d,dassjedezeiledersteigkeitsmatrixhochstenso(ln2n) Eintragehat Implementierung,schnelleLoser, hp-adaptivitat WieimAntrag[Ant01]furdiePeriode2002{2004beschrieben,sollteineinemersten SchrittdieMethodevorerstin2Dimplementiertwerden.Dabeisolltenichtnurder Fragenachgegangenwerden,wiedieGitterzuerzeugenseien,sondernessollteauch untersuchtwerden,wieezientequadraturenaufdreiecken(mitdermoglichkeitder ErweiterungaufTetraeder)zubewerkstelligensind.DiesistvonInteresse,dabeider hp-femtypischerweisediequadraturenbeimaufstellendersteigkeitsmatrixeinen erheblichenanteilandengesamtkostenhaben.furreferenzelemente,dietensorproduktstrukturhaben(z.b.dasquadratin2dunddenwurfelin3d),wurdebereits in[mgs01]einalgorithmusvorgestellt,mitdeminoptimalerkomplexitatdiestei- gkeitsmatrix(hinreichendgenau)bestimmtwerdenkann.einanalogeralgorithmus furdreieckeundtetraedersollteimrahmendiesesprojektsentwickeltunduntersucht werden. KonvergenzverhaltenO(N Die\Formel"(2.2)mitdemgeeignetzuwahlendenParameterstelltdasoptimale undderpolynomgradverteilungistdennochvoninteresse:zumeinenistdiegenauewahl )in(2.4)sicher.eineadaptivestrategiezurwahldergitter desparametersapriorinichtbekannt,zumanderenistdieoptimalewahldesgitters undderpolynomgradverteilungproblemabhangig.diefragenachhp-adaptivitatsollte deshalbinbetrachtgezogenwerden. WeitersollteindemZeitraum2002{2004dieFrageezienterLoserangegangenwerden. HierkonnensowohldirektewieauchiterativeVerfahrenzumZugekommen.Eskonnte bereitsin[yse99,km03]gezeigtwerden,dassbeidirichletproblemendiekonditionszahldersteigkeitsmatrixnurpolylogarithmischvonderproblemgroeabhangt.das GleichungssystemistsomitgutkonditioniertundeinfacheIterationsverfahrenwiedas CG-Verfahrenreichenaus.BeianderenRandbedingungenwirdjedochVorkonditionierungbzw.einMultilevelansatzbenotigt LokaleFehleranalyse ImRahmendesProjektziels,dieEigenschaftenderrandkonzentriertenFEMbesserzu verstehen,stehteineanalyseihreslokalenverhaltens.alsmotivationfursolchefragestellungenmogenocheinmalderobengemachtevergleichmitdergalerkin-bem dienen.beidergalerkin-bemistbekannt,dasseinsetzenderbem-losungindie GreenscheDarstellungsformelzupunktweisenApproximationenimGebietfuhrt,die imwesentlichendoppeltsoschnellkonvergierenwiediebeminderenergienorm(siehe z.b.abb.2.1,2.5).einesolcheverdopplungderkonvergenzgeschwindigkeitininneren PunktenbeobachtetmanauchbeiderrandkonzentrierenFEM,undsowohldienumerischealsauchtheoretischeUntersuchungdiesesPhanomenswarTeilderForschungim Antragszeitraum.

112 110 A13Hackbusch/Melenk/Schneider Literaturverzeichniszu2.3 (eigenevorarbeitenundfremdliteratur) [Ant01] SFB393-NumerischeSimulationaufmassivparallelenRechnern. antrag2002{2003{2004,tuchemnitz,2001. Finanzierungs- [GH03] L.GrasedyckandW.Hackbusch.ConstructionandarithmeticsofH-matrices.Computing,70:295{334,2003. [GR97] L.GreengardandV.Rokhlin. Laplaceinthreedimensions. InActaNumerica1997,pages229{269.Cambridge Anewversionofthefastmultipolemethodforthe UniversityPress,1997. [Hac95] W.Hackbusch IntegralEquations.TheoryandNumericalTreatment. Birkhauser, [Hac99] toh-matrices.computing,62:89{108,1999. W.Hackbusch.AsparsematrixarithmeticbasedonH-matrices.PartI:Introduction [HKS00] W.Hackbusch,B.Khoromskij,andS.A.Sauter. R.Hoppe,andC.Zenger,editors,ProceedingsofthesymposiumorganizedbytheSFB OnH2-matrices. InH.Bungartz, 438ontheoccasionofKarl-HeinzHomann's60thbirthday,pages9{29.Springer- Verlag,2000. [HN89] W.HackbuschandZ.P.Nowak. elementmethodbypanelclustering.numer.math.,54:463{491,1989. Onthefastmatrixmultiplicationintheboundary [KM03] B.N.KhoromskijandJ.M.Melenk.Boundaryconcentratedniteelementmethods. SIAMJ.Numer.Anal.,41(1):1{36,2003. [KS99] G.E.KarniadakisandS.J.Sherwin.Spectral/hpElementMethodsforCFD.Oxford UniversityPress,1999. [MGS01] J.M.Melenk,K.Gerdes,andC.Schwab. Comput.Meths.Appl.Mech.Eng.,190:4339{4364,2001. Fullydiscretehp-FEM:fastquadrature. [Sch98a] R.Schneider. thodenzurezientenlosunggroervollbesetztergleichungssysteme. Multiskalen-undWavelet-Matrixkompression:AnalysisbasierteMe- NumericalMathematics.Teubner,1998. Advancesin [Sch98b] C.Schwab.p-andhp-FiniteElementMethods.OxfordUniversityPress,1998. [Ste03] O. FiniteElementeundRandelemente.Teubner,2003. Steinbach. Numerische Naherungsverfahren fur elliptische Randwertprobleme: [Yse99] H.Yserentant. mericalalgorithms,21:387{392,1999. Coarsegridsspacesfordomainswithacomplicatedboundary. Nu- 2.4Ergebnisse 2.4.1Implementierung,schnelleLoser, hp-adaptivitat Implementierung DieImplementierungderrandkonzentriertenFEMin2DwurdeindemPaketBC- FEM2Drealisiert.

113 A13Hackbusch/Melenk/Schneider 111 IneinemerstenSchrittwurdedieErzeugunggeeigneterGitterinAngrigenommen. ImPrinzipgibtesmehrereZugangsmoglichkeiten,z.B.Verfahren,dieauf basierenundverfahrenvomadvancingfronttyp.implementiertunduntersuchtwurden Quadtrees GitterausgehendvoneinerTriangulierungdesRandeserzeugt,wobeidiegewunschte zweiverschiedenetechniken:zumeinenwurdenmiteinem advancing frontalgorithmus GroederzugenerierendenElementeinderfrontmitHilfevon(2.1)gesteuertwird;zum anderenwurdengitterdurchverfeinerungeinesgrobgitterserzeugt.letztere,schnellere Technik,fuhrtzudeminnaturlicherWeiseaufHierarchienvonGittern,die(2.1)erfullen. IneinemzweitenSchrittwurdedanndiehp-FEMvariablerOrdnungrealisiert;variable Ordnungbedeutethier,dassjedemElementKseinindividuellerPolynomgradzugewiesenwerdenkannunddieErzeugungvonH1-konformenFormfunktionenimRahmen derassemblierungsichergestelltwird.verschiedenewahlenvonpolynombasenwurden zugelassen,insbesonderesolche,dieaufintegriertenlegendrepolynomenundsolche,die auflagrangescheninterpolationspolynomen(z.b.ingau-lobatto-punkten)basieren. EinerderGrunde,warumBasisfunktionen,dieaufLagrangeschenInterpolationspolynomenberuhen,berucksichtigtwurden,wardiedadurchgegebeneMoglichkeit,dienumerischeQuadraturwesentlichzubeschleunigen.In[MGS01]wurdedieseOptionfur ReferenzelementemitTensorproduktstrukturuntersucht.Dortwurdegezeigt,dassman, fallsdieformfunktionenalslagrangeinterpolationspolynomeindenquadraturpunkten gewahltwerden,optimalekomplexitatfurdasaufstellendersteigkeitsmatrixerhalt. EswurdefurskalareelliptischeProblemezweiterOrdnunggezeigt,dassexponentielle Konvergenz,diebeiexakterAuswertungallerIntegraleerzieltwerdenkann,auchhier DieGrundideeistdabeifolgende:DieQuadraturaufeinemDreieckwirdmitHilfeder gewahrleistetist.imrahmendestpa13wurdendieseideenaufdreieckeubertragen. sog.duy-transformationaufeinegewichtetequadraturaufeinemviereckuberfuhrt; furdiesequadraturaufdemviereckwerdendanntensorproduktquadraturformelnvom TypGau-Lobatto/Gau-Jacobi-Lobatto(aufgrunddesGewichtes)eingesetzt.DieVerwendungvonLagrangeinterpolationspolynomenindenzugehorigenQuadraturpunkten liefertdannwiedereinemethodeoptimalerkomplexitat.fureinenezienteneinsatzin einemhp-fem-codemitvariablempolynomgradsindnochweiteretechnikenwiez.b. ErgebnissedieserImplementierung.Verglichenwirddie\Standardquadratur",welche sum factorizationvonkarniadakis/sherwin[ks99]vonnoten.abb.2.2zeigterste in2dkomplexitato(p6)hat,mitderbeschleunigungstechnikder diekomplexitato(p5)hat,sowiemitderneuenroutine,diedieoptimalekomplexitato(p4)erreicht.andieserstellesollteerwahntwerden,dassderneuealgorithmus einenansatzraumverwendet,dermehr\innereformfunktionen"benutzt(imwesentlichenwerdensovieleformfunktionenverwendetwieaufeinemviereck).dadieseinnerenfreiheitsgradetypischerweisemithilfevonstatischerkondensationbereitsauf Elementebeneentferntwerden,wurdedieRechenzeitfurdiestatischeKondensationin sum factorization, nenalgorithmusauftetraederistprinzipiellmoglich.dieseerweiterungsowiegenauere Abb.2.2zuVergleichszweckenebenfallsaufgefuhrt.DieErweiterungdesvorgeschlage- UntersuchungenwerdenBestandteilderDissertationvonTinoEibner[Eibit]sein.WeiterhinwurdeninzwischendieDatenstrukturendesCodessoangelegt,dassExperimente zuhp-adaptivitatimverlaufdesjahres2004durchgefuhrtwerdenkonnen.

114 112 A13Hackbusch/Melenk/Schneider cost per element, triangle in 2D standard quadrature sum factorization adapted shape fcts static condensation time in sec Abbildung2.2: 10 0 VerschiedeneQuadraturverfahrenimVergleich polynomial degree p gemischte Randbed. Dirichlet Randbed. Konditionszahl Abbildung2.3: Links:Gebiet.Rechts:KonditionszahleninAbhangigkeitvonRandbedingungen N Loser Wiebereitsin[Yse99,KM03]bemerkt,wachstbeiDirichletproblemendieKonditionszahlnurpolylogarithmisch,d.h.=O(logN),wobei0vondergenauenWahl derpolynombasisabhangt.furandererandbedingungenmussmiteinemo(nlogn) ImRahmendesProjekteswurdein[KM02]furzweidimensionaleProblemeeindirekter gerechnetwerden.dasverschiedeneverhaltenwirdinabb.2.3illustriert. Loservorgestellt.DaswesentlicheElementdesvorgeschlagenenProllosersisteinAlgorithmuszurNummerierungderUnbekanntenmitderEigenschaft,dassderSpeicherbedarfO(Nlog4N)unddieRechenzeitfurdieCholesky-bzw.dieLU-Faktorisierung O(Nlog8N)betragt.FurdenspeziellenFallp=1vereinfachensichdieAufwandsabschatzungenzuO(Nlog2N)undO(nlog4N);diesewurdennumerischin[KM02] Esistgeplant,dieMoglichkeiteneinesezientenMultilevel-Loserszuuntersuchen.We- getestet;einbeispielndetsichinabb.2.4.

115 A13Hackbusch/Melenk/Schneider 113 Work Cholesky factorization for clover leaf 10 4 clover leaf N log 4 (N) time [sec.] Abbildung2.4: CPU-ZeitinSekundengegenProblemgroefurFaktorisierennachgeeigneterNummerierungderUnbekannten N sentlichevorarbeitensindhierfurbereitsgetatigt:wieobenbeschriebenkanneinegeschachteltegitterhierarchievonrandkonzentriertengitternerzeugtwerden,welchedie Moglichkeitbietet,ezienteLoserfurdenFallstuckweiselinearerApproximationenzu moglicherglatterimkontextvonhp-femkonnteimlosenvonlokalenproblemenauf konstruieren.hierbestehenengefachlicheanknupfungspunkteantpa12.eineinfacher menknotenteilen)sein.zumindestimzweidimensionalenfall(mitelementenvariabler uberlappenden Patches(d.h.derVereinigungvonElementen,diesicheinengemeinsa- Ordnung)konntein[EM04]daswesentlicheWerkzeugfurdieAnalysedieserGlatters, dieexistenzvonstabilenzerlegungen,bereitgestelltwerden. derbeiderrandkonzentriertenfementstehendengleichungssystemegemacht.numerischeexperimentezeigen,dassdieberechneteh-matrix-inversesehrschnellmitdem BlockrangkgegendieexakteInversekonvergiert.DieErweiterungdesResultatsvonBe- WeiterhinwurdenersteErfahrungenmitderVerwendungvonH-MatrizenzumLosen (stuckweiselineareansatzfunktionen,quasiuniformegitter)erklart,aufdenvorliegendenfallhoherapproximationsordnungundnichtquasiuniformergitteristbeabsichtigtbendorf/hackbusch[bh03],welchesdiesesverhaltenfurdenfallderklassischenfem 2.4.2LokaleFehleranalyse BeiderGalerkin-BEMistbekannt,dassdurchAuswertungvonlinearenFunktionalen wiepunktauswertungenoderauswertungenvonableitungeniminnerendesgebietes eineverdopplungderkonvergenzgeschwindigkeiterhotwerdenkann.erstenumerische undabb.2.5).indentheoretischenuntersuchungenin[em04]konntedannfurdirichletproblemeaufkompaktenteilmengegenzordnunggezeigtwerden.genauer:esexistiertein>0undeince;k>0,sodass ErgebnissezeigeneinahnlichesVerhaltenderrandkonzentriertenFEM(vgl.Abb.2.1 etatsachlicheineverbessertekonver-

116 114 A13Hackbusch/Melenk/Schneider 10 0 local error behavior, H 2 solution 10 5 error error at int. point derivative error at int. point O(N 2 ) Abbildung2.5: lokaleskonvergenzverhalteneinerlosungmith2-reglaritat N imfallevonenergienormkonvergenzku unkh1()cn gilt: max Resultatesseiangemerkt,dassdieklassischendualitatsbasiertenArgumente,dieauf NumerischbeobachtetmanindenAbbildungen2.1,2.5sogar=.ZumBeweisdieses H2-Regularitatund(lokalen)ApproximationseigenschaftendesAnsatzraumesbasieren, nichtausreichen,dennimvorliegendenfallliegtzwarh2-regularitatiminnerendes undeinenpolynomgradpk=o(logn).damitisteinfaktorn Gebietesvor,jedochhabennach(2.1),(2.2)dieElementeKedieGroehK=O(1) UmdiesesProblemzuumgehen,wurdein[EM04]mitgeeignetenGewichtsfunktionen nichtzuerreichen. gearbeitet,wasjedochdeneinsatzvonhardyungleichungenerforderlichmachte.die VerwendungletztereristderGrundfurdieRestriktionaufDirichletprobleme. Literaturverzeichnis [Ant01] Sfb393-numerischesimulationaufmassivparallelenrechnern.Finanzierungsantrag 2002{2003{2004,TUChemnitz,2001. [Ber01] Sfb393-numerischesimulationaufmassivparallelenrechnern.Arbeits-undergebnisbericht1999{2000{2001,TUChemnitz,2001. [BH03] M.BebendorfandW.Hackbusch.ExistenceofH-matrixapproximantstotheinverse FE-matrixofellipticoperatorswithL1-coecients.Numer.Math.,95(1):1{28,2003. [Eibit] Arbeit). T.Eibner.AlgorithmikderrandkonzentriertenFEM.PhDthesis,TUChemnitz,(in [EM04] T.EibnerandJ.M.Melenk.Localerroranalysisoftheboundaryconcentratedfem. TechnicalReport04-05,SFB393,2004. Keku unkwk;1(k)ck;e(logn)2k+2n : (2.5)

117 A13Hackbusch/Melenk/Schneider 115 [KM02] B.N.KhoromskijandJ.M.Melenk.AnecientdirectsolverfortheboundaryconcentratedFEMin2D.Computing,69:91{117,2002. [KM03] B.N.KhoromskijandJ.M.Melenk.Boundaryconcentratedniteelementmethods. SIAMJ.Numer.Anal.,41(1):1{36,2003. [KS99] G.E.KarniadakisandS.J.Sherwin.Spectral/hpElementMethodsforCFD.Oxford UniversityPress,1999. [MGS01] J.M.Melenk,K.Gerdes,andC.Schwab. Comput.Meths.Appl.Mech.Eng.,190:4339{4364,2001. Fullydiscretehp-FEM:fastquadrature. [Yse99] H.Yserentant. mericalalgorithms,21:387{392,1999. Coarsegridsspacesfordomainswithacomplicatedboundary. Nu- 2.5OeneFragen/Ausblick VerschiedeneAspektederrandkonzentriertenFEM,wiez.B.ihreezienteImplementierungunddasLosenderentstandenenGleichungssysteme,wurdeninAngrigenommen. Erkenntnisse,dieinsbesonderederProjektbearbeiterTinoEibnerbeimEntwickelnund UntersuchenderMethodegewonnenhat,konnensehrgutinandereTeilprojekteeinie- Kontaktproblemeeingesetztwerden.BeiKontaktproblemen(linear)elastischerKorper en.z.b.konnenvariantenderrandkonzentriertenfemfurdieintpa12betrachteten isteinerelativhoheauosungderlosunginrandnahehilfreich,umdiegenauekontakt- achezunden;iminnerenderelastischenkorperistdielosungtypischerweiseglatt,so dasshoheapproximationsordnungensehrezientsind.mankannalsoerwarten,dassdie randkonzentriertefemhiergutfunktioniert.wenndiegenauekontaktacheimlaufe diefragestellungenderhp-adaptivitatgutein.inhinblickaufeineverstarkteanwendungderrandkonzentriertenfeminbereichenwiekontaktproblemenwareeinausbau dervorhandenenimplementierungauf3dsehrwunschenswert.diesbetritsowohldie ErzeugungderGitteralsauchdasezienteAufstellenderSteigkeitsmatrizen. WieinAbschnitt erwahnt,istdieErfahrungmitMultilevellosernausTPA3 deriterationgefundenwird,reichtnaturlicheinelokaleverfeinerung.hiergliedernsich WeitereProblemstellungen,indiediegewonnenenErkenntnissederrandkonzentrierten wichtigfurdieentwicklungvonschnellenlosernfurdierandkonzentriertefem. AnknupfungspunkteanTPA15. FEMeinieenkonnen,sindKontrollproblememitRandkontrolle;hiergibtesnaturliche

118 116 A13Hackbusch/Melenk/Schneider

119 Teilprojekt A14 FeinstrukturderResonanzenim Bernoulli{Anderson{Modell

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121 A14Romer/Stollmann TeilprojektA14 FeinstrukturderResonanzenimBernoulli{Anderson{Modell 2.1.1Antragsteller PDDr.RudolfA.Romer Prof.Dr.PeterStollmann ProfessurTheoretischePhysikIII (TheorieungeordneterSysteme) ProfessurAnalysis InstitutfurPhysik TechnischeUniversitatChemnitz TechnischeUniversitatChemnitz FakultatfurMathematik D-09107Chemnitz Tel.:(0371) Tel.:(0371) D-09107Chemnitz Fax:(0371) Fax:(0371) Projektbearbeiter Dipl.-Math.SteenKlassert 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung DerEektvonVerunreinigungeninFestkorpernistvonfundamentalerBedeutungfur diephysik,sowohlinpraktischeralsauchintheoretischerhinsicht.diebahnbrechendenarbeitenvonp.w.anderson[and58]sowien.f.mottundw.d.twose[mt61] wurdenaufgrundihrerprinzipielleneinsichtindiesenthemenkreismitdemnobelpreis gewurdigt. oderwenigerdrastischeverringerungdermobilitat,d.h.eineunterdruckungderma- AbhangigvonderDimensionddesSystemserwartetmandurchUnordnungeinemehr kroskopischentransporteigenschaften[km93].dabeigehtmanbeid=1,2vonlokali- sierung(keintransport)undfurd3voneinemmetall-isolator-ubergang(miu)aus. Letzteresbedeutet,dassessowohlEnergiebereichemitlokalisiertenalsauchsolchemit ausgedehntenzustandengibt. DierigoroseanalytischeBehandlungdiesesPhanomensistsehrschwierig.FurdasAuftretenvonEnergiebereichenmitgutemTransportgibtesnochkeinenmathematischen Anhaltspunkt,obwohlsowohldieexperimentellenalsauchdienumerischenDaten[KM93] sheidt,molchanovundpastur[gmp77]ineinerdimensionundfrohlichundspencer uberwaltigendehinweisedaraufgeben.dieerstenlokalisierungsbeweisegehenaufgold- ind2[fs83]zuruck.dabeimussmaninletzterersituationeineauerstschwierige sierungnochaus.furdenaktuellen,mathematischenkenntnisstandverweisenwirauf Multi-Skalen-Analysebemuhen.FurvielewichtigeModellestehtderBeweisfurLokali- [Sto01].

122 120 A14Romer/Stollmann DieBeschreibungungeordneterFestkorpererfolgttypischerweiseimRahmenderQuantenmechanikunterVerwendungvonHamiltonoperatorenderForm dieinl2(rd)(kontinuierlich)bzw.l2(zd)(diskret)wirken.dereinfachheithalberbeschrankenwirunsinderfolgendenkurzenbeschreibungaufletzterenfall.dabeiisth0 derdiskretelaplaceoperator, H(!)=H0+V!; (2.1) H0u(n)= X jk nj=1 u(k); u2l2(zd); (2.2) beidemanjedempunktnurdereinussdernachstennachbarneinerollespielt. DaszufalligePotentialV!reprasentiertdieVerunreinigungbzw.dieUnordnung.Der Zufallsparameter!durchlauftdabeieinenWahrscheinlichkeitsraum,dessenMawir mitpbezeichnen.inderzuordnung!7!v!wirddasspeziellemodellderunordnung kodiert.eshandeltsichalsoinwirklichkeitumeineganzeklassevonmodellen,denndie WahrscheinlichkeitsverteilungvonV!(0)kanndurcheinbeliebigesMagegebensein.Ein besonderswichtigesmodellistdasanderson-modell,beidemdiewertevonv!anden einzelnengitterpunktenunabhangigundidentischverteiltsind.gebrauchlichisthier parametrisiert.wirbezeichnendiesesmodellimfolgendenalsgleichverteiltesanderson- diegleichverteilungaufdemintervall[ W=2;W=2],wobeiWdieStarkederUnordnung Modell(GAM). EinbesondersattraktivesModellzurBeschreibungvonKristallenmitDefektenodervon metallischenlegierungenergibtsich,wennmanfurv!(0)nurzweiwerteannimmt,o.e. amgitterpunktkkeindefekt-ionsitzt.dadiefolgederv!(k),k2zdindiesemfall 1und0,mitjeweilsWahrscheinlichkeit1=2.DabeibedeutetV!(k)=0gerade,dassz.B. einenbernoulli-prozessdarstellt,sprichtmanvombam,welchesinderphysikalischen LiteraturauchunterdenStichwortenbinaresAnderson-ModellundbinareUnordnung zundenist. EinwichtigerSchrittinLokalisierungs-BeweisenistunterdemNamen gleichungbekannt[weg81]undbedeuteteineabschatzung,dassingewissenenergie- Wegner-Un- IntervallendiezufalligenEigenwertenurmoderateResonanzenaufweisen.Diesisteng miteinergewissenglattheitderzustandsdichteverbunden.solcheungleichungensind furdasgamleichtzuzeigen[sto00],furdasbamind=1abersehrschwer[ckm87, SVW98].Furd2warkeinsolcherBeweisbekannt.DieswarderAusgangspunktdes vorliegendenantrags,beidemdurchnumerischesimulationdiegrundlagefureinen rigorosenbeweisgeschaenwerdensoll. DabeimerstkurzlichgelungenenBeweisvonLokalisierungfurdaskontinuierlicheBAM ineinerdimension[dss04]festgestelltwurde,dassresonanteausnahmeenergienmit ausgedehntenzustandenauftretenkonnen,bestanddiefrage,obsolcheresonanzender integriertenzustandsdichteauchinhoherendimensionenauftretenkonnen. DieseFragesollteunterEinsatznumerischerSimulationeninVerbindungmitanalytischenTechnikengeklartwerden. 2.3Forschungsaufgaben/Methoden EssolltenimRahmendesvorliegendenTeilprojektsdurcheineAbschatzungvonSpitzeninderZustandsdichtedienumerischenGrundlagenuntersuchungenfureinenmathe-

123 A14Romer/Stollmann 121 matischrigorosenbeweisvonlokalisierung(oderebendelokalisierunginbestimmten DashabenwirimAntraginfolgendeEinzelzielegegliedert: Energiebereichen)mitHilfederWegner-Ungleichungdurchgefuhrtwerden. Numerische GultigkeitderWegner-Ungeichung(unddamitvonLokalisierung)imdiskreten UberprufungderGrundlagenzueinemanalytischenBeweisfurdie BAMind=2;3. EntwicklungundParallelisierungeinesneuenVerfahrenszurBerechnungderEigenwertverteilungdesBAMundVergleichmitdenbereitsfurdasGAMverwendetenparallelenAlgorithmen. Gibtesind=2;3resonanteAusnahmeenergienund/oderausgedehnteZustande? FallsessolcheausgedehntenZustandegibt,konnendieseeinSpektrumtragen, d.h.,kannmanwellenpaketekonstruieren,diezueinemendlichentransportvon Ladungfuhren? WelcheUnterschiedeergebensichzwischendiskretemundkontinuierlichemBAM? FuhrendiesezuanderenAussagenbzgl.derLokalisierungseigenschaften? HierbeisindindenverschiedenenPunktenanalytischeundnumerischeFragenkombiniert.AusgehendvonbekanntenundbewahrtenVerfahrensollteeineneueMethodezur ezientenparallelenberechnungdereigenwerteimbamentwickeltwerden,die,wie imantragbeschrieben,diespeziellestrukturdesbamnutzt.gleichzeitigwaresdas Traumziel,ausdensogewonnenenEinsichtenuberdieStrukturderEigenwertverteilung imbameinenrigorosenbeweisfurlokalisierungzuerhalten. Literaturverzeichnis(eigeneVorarbeitenundFremdliteratur) [And58] P.W. 109:1492{1505,1958. Anderson. Absence of diusion in certain random lattices. Phys. Rev., [CKM87] R.Carmona,A.Klein,andF.Martinelli. othersingularpotentials.commun.math.phys.,108:41{55,1987. AndersonlocalizationforBernoulliand [DSS04] D.Damanik,R.Sims,andG.Stolz. Bernoulli{Andersonmodels.J.Funct.Anal.,208:423{445,2004. Localizationforonedimensional,continuum, [FS83] J.FrohlichandT.Spencer.AbsenceofdiusionintheAndersontightbindingmodel forlargedisorderorlowenergy.commun.math.phys.,88:151{184,1983. [GMP77] I.Ya. Schrodingeroperatorhaspurepointspectrum.Funktsional.Anal.iPrilozhen,11:1{ Goldsheidt, S.A. Molchanov, and L.A. Pastur. Typical one-dimensional 10,1977. [KM93] B.KramerandA.MacKinnon. Phys.,56:1469{1564,1993. Localization:theoryandexperiment. Rep.Prog. [MT61] N.F.MottandW.D.Twose.Thetheoryofimpurityconduction.Adv.Phys.,10:107{ 163,1961.

124 122 A14Romer/Stollmann [Sto00] P.Stollmann. 75:307{311,2000. AshortproofofaWegnerestimateandlocalization. Arch.Math., [Sto01] P.Stollmann. ston,2001. Caughtbydisorder:boundstatesinrandommedia. Birkhauser,Bo- [SVW98] C.Shubin,R.Vakilian,andT.Wol. byanderson{bernoullimodels.geom.funct.anal.,8:932{964,1998. Someharmonicanalysisquestionssuggested [Weg81] 44:9{15,1981. F.Wegner. Boundsonthedensityofstatesindisorderedsystems. Z. Phys. B, 2.4Ergebnisse BereitsimerstenJahrdesBerichtszeitraumes,Oktober2002,hatPDR.Romereinen RufandieUniversityofWarwickangenommen,wasdieSchwerpunkteimvorliegenden Teilprojekterheblichverschobenhat.Erhat,wieimAntragausgefuhrt,mageblichdie numerischekompetenzeingebrachtundseinfehlenhatdiearbeitandiesemteilstark verzogert. NumerischeErgebnisse ZuuntersuchenistdieEigenwertverteilung(Zustandsdichte)desBernoulli-Anderson- ModellsinDimensionend=1;2;3.EssinddieEigenwerteeinerMatrixzuberechnen,die durcheinschrankungeineszufalligendiskretenschrodingeroperatorsaufeinenwurfel mitkantenlangelentsteht.zuranwendungsollteniterativeverfahrenwiez.blanczos, DesweiterenwurdendirekteLoserbenotigt.HierfurwurdeSuperLUeingesetzt.ZurVerringerungdereektivenMatrixgroensollteeindiskretesBirmann-Schwinger-Prinzip zuranwendungkommen. DasProgrammierproblemistin3Schritteunterteilt: Arnoldikommen.HierfurwurdedienumerischeFunktionsbibliothekArpackeingesetzt. BerechnungderEigenwertedesBAM-ModellsmitHilfederimplicityrestarted ArnoldiMethod(Arpackstandardmode) BerechnungderEigenwertedesBAM-ModellsmitHilfederimplicityrestarted ArnoldiMethod(Arpackshiftandinvertmode) BerechnungderEigenwertedesBAM-ModellsmitHilfederobengenanntenVerfahrenunddesBirmann-Schwinger-Prinzips DieProgrammierarbeitenfurdenerstenSchrittsindweitgehendabgeschlossen.Das ProgrammistlauahigaufdenHP-UXundLinuxRechnern(PIII500MHz)derPhysik sowieaufdemitaniumia64basierten4prozessorsystemderfakultatfurmathematik. DiemaximaleMatrixgroe,furdiedasProgrammErgebnisseliefert,liegtinAbhangigkeitvondergewahltenAnzahlderzuberechnendenEigenwerteundderAnzahlder verwendetenlanczos-basisvektorenbeica DiesentsprichteinemBAM- ModellmitKantenlangeL=20. DadieimplicityrestartedArnoldiMethodnurandenRanderndesSpektrumsezientrechnet,wurdeimzweitenSchrittdieimplicityrestartedArnoldiMethodimshift andinvertmodeverwendet.hierwerdenbeliebigeportionendesspektrumsanden

125 A14Romer/Stollmann 123 Randgeshiftet,berechnetundwiederzurucktransformiert.FurdieseMethodewerden Funktionenbenotigt,dieMatrix-Vektor-MultiplikationendurchfuhrenundGleichungssystemelosen.HierfurwurdedieFunktionsbibliothekSuperLUbenutzt.AlsGrundlage dientehierdasprogrammausschritt1. WirkonnenmitdieserMethodeErgebnisseerzielenfurMatrixgroen DiesentsprichtetwaeinemdreidimensionalenModellmitKantenlangeL=33.Hierist jedochzuerwarten,dassmandurcheinigesystematischeanderungenimprogrammund durchdenaustauschderfunktionsbibliotheksuperlugegenumfpackauchgroere Modelleberechnenkann. FurdieRealisierungdesdrittenProgrammierschritteswurdendieProgrammeausSchritt 1und2benotigt.HierwurdengrundlegendenumerischeundanalytischeUberlegungen zurnumerischenrealisierungdesdiskretenbirmann-schingerprinzipsangestellt.durch anfanglichmassiveproblememitderfunktionsbibliotheksuperluunddurchdenwechselvonpdr.romerandieuniversityofwarwickimoktober2002hatsichderzeitplan verschoben.daheristdieserprogrammteilzurzeitnochnichteinsetzbar. EswarenumfangreicheProgrammieraufgabenzuerledigen,diesichineinigentausend ZeilenCodesubstantiieren.ZurIllustrationmogeneinigeBeispielsamplesdienen,diein denabbildungengraphischdargestelltsind.hierbeisindverschiedenerealisierungen deszufallspotentialsgerechnetworden.dieberechnungensowiedieauswertungderergebnissewerdengemademursprunglichenantragweitergefuhrtundindiedissertation [Klang]vonS.Klasserteinieen. Abbildung2.1:EineDimension,Kantenlange1000

126 124 A14Romer/Stollmann Abbildung2.2:DreiDimensionen,Kantenlange10,Realisierung1 Abbildung2.3:DreiDimensionen,Kantenlange10,Realisierung2

127 A14Romer/Stollmann 125 Abbildung2.4:DreiDimensionen,Kantenlange10,Realisierung3 Abbildung2.5:DreiDimensionen,Kantenlange20

128 126 A14Romer/Stollmann WeitereErgebnissesindin[PRS03]veroentlicht.MitdenanalytischenGrundlagenzu Wegner-UngleichungenundLokalisierungsinddieArbeiten[dMS03a,dMS03b,dMSS04, BKS03,Stont]befasst.DieKooperation,diezumTeildiesenArbeitenzugrundeliegt, wurdeinnerhalbdessfbgefordert. EinSchrittindieRichtung,geeigneteStetigkeitsaussagenderintegriertenZustandsdichtefursingulareMaezuerhalten,wurdeinderArbeit[HKN+04]geleistet. DasspektakularsteErgebnisimZusammenhangmitdemhiervorliegendenTeilprojekt wurdeaberauerhalbdessfberzielt.mitj.bourgain(tragerderfields-medaille)und C.KenighabenzweiherausragendeMathematikerdiepositiveLosungdesProblems LokalisierungfurkleineEnergienvor. angekundigt,[bk04]:auchind2liegtimkontinuierlichenbernoulli-anderson-modell Literaturverzeichnis [BK04] J.BourgainandC.Kenig. modelinhigherdimensions.submitted,2004. OnlocalizationinthecontinuousAnderson-Bernoulli [BKS03] S.Bocker,W.Kirsch,andP.Stollmann.Spectraltheoryfornonstationaryrandom models.preprint,2003. [dms03a] A. randomsurfacemodels.arch.math.,80:87{97,2003. Boutet de Monvel and P. Stollmann. Dynamical localization for continuum [dms03b] A.BoutetdeMonvelandP.Stollmann. ofdirichletforms.j.reineangew.math.,561:131{144,2003. Eigenfunctionexpansionsforgenerators [dmss04] A.BoutetdeMonvel,P.Stollmann,andG.Stolz. typesforcertainnonstationaryrandommodels.preprint,2004. Absenceofcontinuousspectral [HKN+04] D.Hundertmark,R.Killip,S.Nakamura,P.Stollmann,andI.Veselic. thespectralshiftfunctionandthedensityofstates.preprint,2004. Boundson [Klang] S.Klassert.SpektraleigenschaftendiskreterSchrodinger-Operatorenmitzufalligem Potential.Doktorarbeit,TUChemnitz,inVorbereitung. [PRS03] I.Plyushchay,R.A.Romer,andM.Schreiber. modeloflocalizationwithbinaryrandompotential.phys.rev.b68,064201,2003. Thethree-dimensionalAnderson [Stont] P.Stollmann.Localizationanddelocalizationfornonstationarymodels.InP.BlanchardandG.Dell'Antonio,editors,MultiscaleMethodsinQuantumMechanics: TheoryandExperiment,Boston,inprint.Birkhauser. 2.5OeneFragen/Ausblick EsstehennochAntwortenaufeinigederFragenausdemzugrundeliegendenAntragaus. NachBehebenderProblemeimZusammenhangmitderProgrammierungsollennundie durchbourgainundkenigbleibenwichtigefragenoen,dadortausschlielichdas geplantenproduktionslaufestattnden.auchnachderlosungdesausgangsproblems kontinuierlichemodellbehandeltwurde.

129 Projektbereich B Hard-undSoftwarearchitekturen

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131 Teilprojekt B8 ParallelisierungirregularernumerischerAlgorithmen

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133 B8 Runger TeilprojektB8 ParallelisierungirregularernumerischerAlgorithmen 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.GudulaRunger ProfessurPraktischeInformatik FakultatfurInformatik 09107Chemnitz TechnischeUniversitatChemnitz Tel.:(0371) Fax:(0371) Projektbearbeiter Dipl.Inf.JudithHippold,ProfessurPraktischeInformatik,Projektstelleseit01/2002 Dipl.Inf.RobertReilein-Ru,ProfessurPraktischeInformatik,Grundausstattung Dr.KlausHering,ProfessurPraktischeInformatik,Grundausstattungbis10/ Ausgangsfragestellung/Einleitung GegenstanddesTeilprojektesistdieezienteparalleleRealisierungirregularerAlgorithmenaufRechnernmitverteiltemSpeicher,ClusternoderClusternvonSMPs(symmetricmultiprocessor).DieKlassederirregularenAlgorithmenumfasstdabeiProblememitunregelmaigenoderlaufzeitabhangigenBerechnungs-undKontrollstrukturen, furdiestandardparallelisierungstechniken,wiedatenparalleleoderspmd-abarbeitung, nichtdiegewunschteezienzundskalierbarkeitaufweisenoderdiesicheinersolchen regelmaigenparallelisierungganzentziehen.grundefurirregularesverhaltensind vielfaltigundumfassendunn-besetzte,blockstrukturierte,adaptiveoderhierarchische AnwendungsproblemeundAlgorithmenmitsehrunterschiedlichendynamischenEigenschaftenderzuGrundeliegendenDaten-undBerechnungsstrukturen.Entsprechendder AuspragungderIrregularitatvariierenauchdieParallelisierungsmethodenfurdiejeweiligeAnwendungsklasse,dievomEinsatzalternativerProgrammiermodellemitplanbaren EigenschaftenbishinzuvollstandigdynamischenAbarbeitungskonzeptenzurLaufzeit reichen. ZieldesProjekteswares,dieParallelisierungirregularerAlgorithmeninsbesonderehinsichtlichderMoglichkeitenzurezientenRealisierungderlaufzeitabhangigenKomponentenaufRechnernmitverteiltemAdressraumzuuntersuchenundhierbeidieAspekte geeigneterdatenstrukturenundanalysefunktionen,deneinsatzvontaskpoolsfurdas SchedulingundLastverteilungsowieKommunikationsoptimierungschwerpunktmaig zuberucksichtigen.nebenderentwicklungdieserkonzepteundihrereinbettungin diejeweiligeanwendungsolltenmethodenentwickeltwerden,dieeigenschafteneines speziellenanwendungsalgorithmuszurezienzverbesserungindieparallelesoftwareerstellungerganzendeinbringenkonnen.alsanwendungsalgorithmensolltendashierar-

134 132 B8 Runger chischeradiosity-verfahren,adaptivegitterbasiertelosungsverfahrenfurpartielledifferentialgleichungen,strukturiertirregulareproblemesowieberechnungenimzusammenhangmitnichtlinearendynamischensystemenuntersuchtwerden,wobeiletztere alskooperationenmitanderenteilprojektenangesiedeltsind.dieuntersuchungdieser AnwendungsklassenmundetindieTeilaufgaben: Daten-undKommunikationsschichtfuradaptiveAlgorithmen, TaskPoolTeamszurParallelisierunghierarchischerAlgorithmen, BibliotheksunterstutzungfurhierarchischeMulti-ProzessorTasks, KommunikationsbibliothekfurorthogonaleProzessorgruppen, ParallelisierungimBereichnichtlinearerdynamischerSysteme. 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1TaskPoolTeamszurParallelisierunghierarchischer ZurParallelisierunghierarchischerAlgorithmenoderbaumartigerBranch&BoundAlgorithmenwurdedasKonzeptderTaskPoolTeamsentwickelt,modularrealisiertund aufverschiedeneanwendungsalgorithmenundparalleleplattformenangewendet.als konkretesbeispielwurdeinsbesonderederhierarchischeradiosityalgorithmus,ein globalesbeleuchtungsverfahrendercomputergrakzursimulationderbeleuchtung3- dimensionalerszeneningeschlossenenraumen,betrachtet.aufgrunddeshierarchischen BerechnungsansatzeserfolgteineunregelmaigeVerfeinerungderzuGrundeliegenden Datenstrukturen,diestarkvonderEingabeszenedesAlgorithmusabhangtundeineparalleleUmsetzungerschwert.FurArchitekturenmitgemeinsamemSpeichersindbereits paralleleimplementierungenerfolgt[wot+95,kr02,prr98,kr04].dabeiwurdeder AlgorithmusinBerechnungsaufgaben,sogenannteTasks,unterteiltunddiesemitTask Pools[But97,RR00c,SHT+95]abgearbeitet.TaskPoolswerdenzurdynamischenRebalancierungderLasteingesetzt.DieTaskPoolDatenstrukturdienthierbeizumSpeichern undverwaltendertasks.einefesteanzahlvonthreadskannausdempooltasksentnehmenunddynamischneuetaskseinstellen.beientsprechendemschedulingdertasks aufdieprozessorenerfolgteineezienteauslastung,danachabarbeitungeinestasks automatischeinneuertaskausdempoolentnommenwird.jenachanwendungsproblem konnenverschiedeneinterneumsetzungendertaskpoolsvonnutzensein.gangigsind PoolsmiteinerzentralenTaskqueueaberauchmitmehrerenTaskqueues.Vorteilhaft beimeinsatzmehrerertaskqueuessinddiefehlendenzugriskoniktedurchgleichzeitig zugreifendethreads.umhierjedochlastbalancierungzuerreichen,sindzusatzlichemechanismen,z.b.taskstealing,beidemnachdemleerlaufendereigenentaskqueueein ThreadversuchtausanderenTaskqueuesTaskszustehlen,notwendig.Eindetaillierter LeistungsvergleichverschiedenerImplementierungenistin[KR02,KR04]zunden. EineImplementierungfurRechnermitverteiltemSpeichergestaltetsichkomplexer,da diedynamischendatenzugrismustervariierenundauchzugrieaufdatenimspeicher- Algorithmen tionsmusternfuhrt.furhybridearchitekturen,wiez.b.smp-cluster,erscheintdaher bereichandererprozessorennachsichziehenkonnen,waszuirregularenkommunika- einhybridesprogrammiermodellgeeignet,beidemdiekommunikationmittelsmessage- PassingnurzwischendenClusterknotenerfolgt,SMP-internjedochmehrereThreads

135 B8 Runger 133 verschiedenetasksuberderselbendatenmengebearbeiten.damitergibtsichdieanforderungderrealisierungvonmulti-threaded,asynchronenkommunikationsroutinen undzusatzlichen,geeigneten,verteiltenverwaltungsdatenstrukturenfurdieeziente IdentikationvonDateninentfernten(remoten)Speicherbereichen Daten-undKommunikationsschichtfuradaptive AdaptiveProblemezeichnensichdurchsichdynamischverfeinernde,unregelmaigeGit- Algorithmen terstrukturenaus,aufdenenberechnungenausgefuhrtwerden,diediedynamischever- feinerunghervorrufen.eintypischesanwendungsbeispielsindadaptivefiniteelemente Methoden(FEM).EineHaupt-HerausforderungderparallelenRealisierungadaptiver gitterbasierterlosungsverfahrenfurpartielledierentialgleichungenbildetdiedurch eineverteilungderadaptivengitterstrukturenaufdieprozessorennotwendigeorganisationeinesezientendatentransfers.datenstrukturbestandteiledesgitters,diesich (bzw.derenuber-oderuntergeordnetestrukturen)nacheinerverteilungimspeicherbereichverschiedenerprozessorenbenden,erfordernzumeisteineglobaleinheitlichesicht, variierenabergleichzeitigdurchdieadaptiveanpassungdesgittersindenlokalenspeichern.alsbesonderskostenintensivhabensichhierbeikomplexstrukturiertegitterin dreidimensionenmithangendenknotenherausgestellt.hiersindfurdieresultierendeunregelmaigekommunikationgeeignetekommunikationsprotokolleundgeeignete verteilteverwaltungsdatenstrukturennotwendig,diedieaufkommendenkommunikationsanforderungenrealisieren,verringernundoptimieren.daraufaufbauendwerdenmechanismenzurlastbalancierungbenotigt,dieeineumverteilungderdatenberechnen undvornehmen.erstereskannaufdasnp-vollstandigegraphpartitionierungsproblem zuruckgefuhrtwerden,furdaseinereihevonalgorithmen[kl70,psw93,psl90, KK99,KK98,HL93a,SKK00]undWerkzeuge[KK95,HL93b,KSK02]existieren.Die tatsachlicheezienteumverteilunganhandderneuberechnetenpartitionenliegtdann meistinderverantwortungdesanwendungsprogrammierers. MitHinblickaufdievariableEinsetzbarkeitadaptivergitterbasierterLosungsverfahren bieteteingekapseltimplementierterlosungsansatzobengenannterproblemeerhebliche Vorteile.SokonnenErweiterungenundOptimierungenleichtereingebracht,PlattformunabhangigkeiterzieltundderAnwendungsprogrammierervonderRealisierungezienterKommunikationmechanismenundverteilterDatenstrukturenentlastetwerden. SystememitUnterstutzungirregularerAnwendungendurchAufsetzeneinesglobalen AdressraummodellssindbeispielsweiseTitanium[YSP+98]oderTreadMarks[ACD+96]. DieSichtaufeinenverteiltenAdressraumfurdenAnwenderzuerhalten,bietetjedoch durchausvorteile,davomanwendungsprogrammiereranwendungs-spezischedetails undoptimierungenspeziellfurverteilteberechnungeneingebrachtwerdenkonnen.zudemexistiertmeistbereitseinesequentielleprogrammversion,diemitnichtzuumfangreichenmodizierungenaufverteiltenspeicherportiertwerdenkann KommunikationsbibliothekfurorthogonaleProzessorgruppen ObwohldieparalleleProgrammierungimSPMD-StilmitStandardkommunikationsbibliothekenwieMPIoderPVMfurunregelmaigeAnwendungsproblemehaugzuguten ParallelisierungsergebnissenaufRechnernmitverteiltemSpeicherfuhrt,kanndiesauf

136 134 B8 Runger MaschinenmitsehrgroerProzessoranzahlSkalierbarkeits-undEzienzproblemeverursachen,insbesonderewennkollektiveKommunikationsoperationeneingesetztwerden,etwafurKonvergenztestsoderzurAkkumulationlokalerTeilergebnisse.EinGrundistdie AusfuhrungszeitkollektiverKommunikationsoperationen,dielogarithmischoderlinear inderanzahlderteilnehmendenprozessesteigt,sodasskommunikationaufkleineren TeilgruppenvonProzessorenausgefuhrtwerdensollte,wenndiesausalgorithmischen Grundenmoglichist.EinesolchealgorithmischeEigenschaftweisenAlgorithmenmit zwei-oderhoher-dimensionalentaskgitternauf,indenenberechnungs-undkommunikationsphasenderabarbeitungsostrukturiertsind,dasstasksjeweilsnurmittasks innerhalbeines(oderweniger)teilgitterskooperierenundkommunizieren.hierkann eszuerheblichenezienzgewinnenkommen,wenndiezuordnungvontaskszuprozessorendieseeigenschaftdurchkommunikationaufteilgruppenvonprozessorenwiderspiegelt[rr00b].dasprogrammiermodellderorthogonalenprozessorgruppenstellt einzwei-oderhoher-dimensionalesprozessorgitterbereit,furdaseinefesteanzahlvon Prozessorpartitionenbetrachtetwird,diejeweilsdisjunktenmehrdimensionalenTeilgitternentsprechen.EinentsprechendesMappingvonTaskszuProzessorenfuhrtsozu Berechnungs-undKommunikationsphasenaufdenalternativzurVerfugungstehenden PartitionenimGruppen-SPMD-Stil.ZurProgrammierungsolcherProgrammstrukturenwirdeinekomfortableProgrammierumgebungbenotigt,dieeinerseitseineleichte SpezikationderTask-,Partitions-undMappingstrukturerlaubtundandererseitsdie benotigtengruppen,kommunikatorenundzuordnungenimhintergrundezientaufbautundverwaltet BibliotheksunterstutzungfurhierarchischeMulti-Prozessor Multi-Prozessor-Tasks(M-Task)bezeichnenTeilaufgabeneinesAnwendungsalgorithmus,diejeweilsaufmehrerenProzessorenausgefuhrtwerdenkonnen.Dergesamte Tasks AlgorithmuskannauseinerMengevonsolchenMulti-Prozessor-Tasksbestehen,die miteinanderkooperierenundsodiegesamtstrukturdesprogrammsbestimmen.die M-Task-StrukturkanngewisseunregelmaigeStrukturenaufweisenundspiegeltmodulareEigenschaftenderAnwendungwieder,dieineinenM-Task-GraphenmitAbhangigkeitendargestelltwerdenkonnen.Solche,auchalsstrukturiertirregularbezeichnete, StrukturenndensichingroengekoppeltenAnwendungsalgorithmen,aberauchin neuenparallelenlosungsverfahrenfurgewohnlichedierentialgleichungssystemeoder ingrobkornigenhierarchischenalgorithmenwiederstrassen-multiplikation.jenach AnwendungliegteineM-Task-StrukturstatischfestundkanndurchSchedulingund LaufzeitvorhersagemechanismenzurPlanungeinerezientenRealisierunggenutztwerden,wobeiauchhierSkalierbarkeitundEzienzdurchProzessorteilgruppenerreicht Fx[SSOG93,SY97],Paradigm[BCG+95,RSB97],Braid,OpusundOrca[BH98].Einen werdenkonnen.zurprogrammierungwerdeneinereihevonansatzenvorgestellt,u.a. renhilfegeeigneteimplementierungengewahltwerdenkonnen.dabeikonnenschedu- lingalgorithmenfurmultiprozessor-task-schedulinggenutztwerden[twy92,tlw+94, RR96,RR00a]. EineweitereHerausforderungistdiedynamischeEntstehungvonM-Task-Strukturen, Uberblickgibt[BH98].DieAnsatzehabenspezischeintegrierteKostenmodellemitde- beispielsweisebeihierarchischenalgorithmen.hierfurmussdiekreierungundabarbei-

137 B8 Runger 135 tungvonm-tasksmitabhangigkeitenzurlaufzeitmoglichsein,wasdiedynamische KreierungvonProzessorteilgruppenundKommunikationsstruktureneinschliet ParallelisierungimBereichnichtlinearerdynamischer InKooperationmitTeilprojektC8wurdedieParallelisierungeinessequentiellvorliegendenProgrammszurBestimmungvonLyapunovexponentenund-vektoreningroen nichtlinearendynamischensystemenbetrachtet.diegrobestrukturdesanwendungsprogrammsbestehtindersimultanenintegrationzweiergroersystemevonlinearen bzw.nichtlinearengewohnlichendierentialgleichungen,derenintegrationszeitschritte periodischdurchnotwendigereorthogonalisierungendervektorenunterbrochenwird. GenaudieserReorthogonalisierungsschrittstelltimsequentiellenProgrammdenzeitaufwendigstenAnteildar,sodassdieAusnutzungparallelerAbarbeitunginsbesondereim HinblickderLosunggroererProblemewesentlichist.DieAufgabender ineineezienteparallelebearbeitungumfassendieprogrammtechnischeanalysedes Uberfuhrung Systeme sequentiellenalgorithmussowiediedaraufaufbauendemodulareparallelisierung,was diereorthogonalisierungselberalsauchdieparalleleschnittstellezumintegrationsteil, alsodieperiodischwiederkehrendekopplungverschiedenerprogrammierparadigmen, beinhaltet.wichtigeraspektisthierbeidielastbalancierungimintegrationsteil,die ParallelisierungsstrategiederReorthogonalisierungunddiemoglicherweisemitKommunikationverbundeneGestaltungderSchnittstellegegeneinanderabzuwagen,umzueiner persistentenleistungzugelangen. Literaturverzeichniszu2.3 (eigenevorarbeitenundfremdliteratur) [ACD+96] C. andw.zwaenepoel. Amza, A. L. Cox, TreadMarks:SharedMemoryComputingonNetworksof S. Dwarkadas, P. Keleher, H. Lu, R. Rajamony, W. Yu, Workstations.IEEEComputer,29(2):18{28,1996. [BCG+95] P. S.Ramaswamy,andE.Su.TheParadigmCompilerforDistributed-MemoryMulticomputers.IEEEComputer,28(10):37{47,1995. Banerjee, J. Chandy, M. Gupta, E. Hodge, J. Holm, A. Lain, D. Palermo, [BH98] H.BalandM.Haines. IEEEConcurrency,6(3):74{84,1998. ApproachesforIntegratingTaskandDataParallelism. [But97] D.R.Butenhof.ProgrammingwithPOSIXThreads.Addison-Wesley,1997. [HL93a] B.HendricksonandR.Leland. TechnicalReport ,SandiaNationalLab,Albuquerque,NM,1993. AMultilevelAlgorithmforPartitioningGraphs. [HL93b] B ,SandiaNationalLab,Albuquerque,NM,1993. Hendrickson and R. Leland. The CHACO User's Guide. Technical Report [KK95] G.KarypisandV.Kumar. MatrixOrderingSystem. TechnicalReporthttp:// METISUnstructuredGraphPartitioningandSparse [KK98] G.KarypisandV.Kumar. Graphs.JournalofParallel&DistributedComputing,48:96{129,1998. Multilevelk-wayPartitioningSchemeforIrregular

138 136 B8 Runger [KK99] G. PartitioningIrregularGraphs.SIAMJournalofScienticComputing,20(1):359{ Karypis and V. Kumar. A Fast and Highly Quality Multilevel Scheme for 392,1999. [KL70] B.KernighanandS.Lin.AnEcientHeuristicProcedureforPartitioningGraphs. BellSystemTechnicalJournal,29:291{307,1970. [KR02] M.KorchandT.Rauber. ParallelIrregularAlgorithms. EvaluationofTaskPoolsfortheImplementationof timetechniquesforparallelcomputing(crtpc02),pages597{604,vancouver, InProc.ofICPP:WorkshoponCompile&Run- Canada,2002. [KR04] M.KorchandT.Rauber.AComparisonofTaskPoolsforDynamicLoadBalancing ofirregularalgorithms.concurrencyandcomputation:practiceandexperience, 16(1):1{47,2004. [KSK02] G.Karypis,K.Schloegel,andV.Kumar. andsparsematrixorderinglibrary,version3.0. ParMetis,ParallelGraphPartitioning Minnesota,DepartmentofComputerScienceandEngineering,ArmyHPCResearchCenter,Minneapolis,MN,2002. Technicalreport,Universityof [PRR98] A.Podehl,T.Rauber,andG.Runger. HierarchicalRadiosityMethod. TheoreticalComputerScience,196(1-2):215{240, AShared-MemoryImplementationofthe [PSL90] A.Pothen,H.D.Simon,andK.P.Liou.PartitioningSparseMatriceswithEigenvectorsofGraphs.SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications,11:430{452, [PSW93] A.Pothen,H.D.Simon,andL.Wang. Report CS-92-01, Computer Science, Pennsylvania SpectralNestedDissection. State University, University Technical Park.PA,1993. [RR96] T.RauberandG.Runger. mentations.inproc.ofthe4thint.conf.onparallelarchitectures&compilation TheCompilerTwoLfortheDesignofParallelImple- Techniques(PACT96),pages292{301,Boston,MA,1996. [RR00a] T.RauberandG.Runger.ATransformationApproachtoDeriveEcientParallelImplementations.IEEETransactionsonSoftwareEngineering,26(4):315{339, [RR00b] T.RauberandG.Runger.DerivingArrayDistributionsbyOptimizationTechniques.JournalofSupercomputing,15(3):271{293,2000. [RR00c] T.RauberandG.Runger Parallele und Verteilte Programmierung. Springer, [RSB97] S.Ramaswamy,S.Sapatnekar,andP.Banerjee.AFrameworkforExploitingTask anddataparallelismondistributed-memorymulticomputers.ieeetransactions onparallel&distributedsystems,8(11):1098{1116,1997. [SHT+95] J.P.Singh,C.Holt,T.Totsuka,A.Gupta,andJ.Hennessy. anddatalocalityinadaptivehierarchicaln-bodymethods:barnes-hut,fast LoadBalancing Multipole,andRadiosity.JournalofParallel&DistributedComputing,27(2):118{ 141,1995.

139 B8 Runger 137 [SKK00] K.Schloegel,G.Karypis,andV.Kumar.AUniedAlgorithmforLoad-balancing AdaptiveScienticSimulation.TechnicalReport00-033,DepartmentofComputer Science,UniversityofMinnesota,Minneapolis,MN,2000. [SSOG93] J.Subhlok,J.Stichnoth,D.O'Hallaron,andT.Gross.ExploitingTaskandData ParallelismonaMulticomputer. onprinciples&practiceofparallelprogramming(ppopp93),pages13{22,san InProc.ofthe4thACMSIGPLANSymposium Diego,CA,1993. [SY97] J.SubhlokandB.Yang.ANewModelforIntegratingNestedTaskandDataParallelProgramming.InProc.ofthe6thACMSIGPLANSymposiumonPrinciples &PracticeofParallelProgramming(PPOPP97),pages1{12,LasVegas,Nevada, [TLW+94] J.Turek,W.Ludwig,J.Wolf,L.Fleischer,P.Tiwari,J.Glasgow,U.Schwiegelshohn,andP.Yu. Time.InProc.ofthe6thACMSymposiumonParallelAlgorithms&Architecture SchedulingParallelizableTaskstoMinimizeAverageResponse (SPAA94),pages200{209,CapeMay,NewJersey,1994. [TWY92] J.Turek,J.L.Wolf,andP.S.Yu. allelizabletasks. InProc.ofthe4thACMSymposiumonParallelAlgorithms& ApproximateAlgorithmsforSchedulingPar- Architecture(SPAA92),pages323{332,SanDiego,CA,1992. [WOT+95] S. Programs:CharacterizationandMethodologicalConsiderations. C. Woo, M. Ohara, E. Torrie, J. P. Singh, and A. Gupta. The InProc.ofthe SPLASH-2 22ndAnnualInt.SymposiumonComputerArchitecture,pages24{36,1995. [YSP+98] K.A.Yelick,L.Semenzato,G.Pike,C.Miyamoto,B.Liblit,A.Krishnamurthy, P.Hilnger,S.L.Graham,D.Gay,P.Colella,andA.Aiken. PerformanceJavaDialect.Concurrency:PracticeandExperience,10(11{13):873{ Titanium:AHigh- 877, Ergebnisse 2.4.1TaskPoolTeamszurParallelisierunghierarchischer ZurparallelenAbarbeitungdeshierarchischenRadiosityVerfahrensundahnlicherAlgorithmenwurdedashybrideProgrammiermodellderTaskPoolTeamsentwickelt.Task PoolTeams[HR03a,Hip01]stelleneinProgrammierkonzeptfurverteiltenAdressraum bzw.hybridenadressraumdarundkonnenalseineerweiterungundverallgemeinerung destaskpoolkonzeptesverstandenwerden.demnutzerwerdentaskpoolteamsuber eineeinfacheschnittstellezurverfugunggestellt.dashybrideprogrammiermodell[hr] kombiniertshared-memoryprogrammierungmittelsvonmitpthreadsrealisiertentask PoolsundMessage-PassingProgrammierungdurchbereitgestellteasynchroneKommunikationsroutinen.DasKonzeptderTaskPoolswirdfurPlattformenmitgemeinsamem SpeicherzurdynamischenRebalancierungderLasteingesetztwerden.TaskPoolTeams stellenverschiedenetaskpoolrealisierungen(zentrale,verteiltetask-schlangen,li- FO/FIFOZugrisprinzipfurdieTask-Schlangen,Taskstealingmechanismen)zurAus- Algorithmen wahl,diejenachanwendungsproblemausgewahltwerdenkonnen.

140 138 B8 Runger DaandieKommunikationinTaskPoolTeamsAnforderungenwiemulti-threadedund asynchrongestelltwerdenunddiesedurchdiemeistenimplementierungendesmpibzw. MPI-2Standardsnichtunterstutztwerden,Plattformunabhangigkeitabererzieltwerdensoll,wurdedurchdenEinsatzeinesexplizitenKommunikationsthreadsdiebenotigteFunktionalitathergestelltunduberentsprechendeSchnittstellenfunktionenanden Nutzerweitergegeben.AlsImplementierungsbasisdienteineKombinationausPthreads undmpi.durchdenexplizitenaufrufderkommunikationsroutinenkonnendietaskverarbeitendenthreadsdatenanforderungenoderinformationenantaskpoolsaufanderenclusterknotensenden.diesewerdenvondenkommunikationsthreadsnachnutzervorgabenermitteltundruckgesendetbzw.verarbeitet.esstehenverschiedenekommunikationsprotokollezurauswahl,diedenanforderungenderunterschiedlichenanwendungengerechtwerdensollen[hr03b]. TaskPoolTeamswurdenbereitsfureineUmsetzungdeshierarchischenRadiosityAlgorithmusundeinesbaumartigenglobalenOptimierungsverfahrenaufverteiltenSpeicher eingesetzt[hr02].zurerfassungderdynamischvariierendenkommunikationsmuster wurdenzusatzlichverteilteverwaltungsdatenstrukturenentwickeltundindenradiosityalgorithmuseingebracht.dadurchkonntendiedurchtaskpoolteamsbereitgestelltenkommunikationsroutinen,z.b.durchvorgezogenesladenvonspaterbenotigten InformationenoderdieZusammenfassungvonDatenanforderungen,ezientausgenutzt werden.alsweitereanwendungs-spezischeoptimierungwurdeeinsoftware-cacheimplementiert,derentferntedatenmithohenzugrisratenimlokalenspeicherdupliziert undinfestgelegtenabstandenaktualisiert Kommunikations-undDatenverteilungsschichtfuradaptive ImTeilprojektwurdeeineDatenverteilungs-undKommunikationsschichtentwickelt,die Algorithmen dieverteilteadressraumsichtfurdenanwendererhalt,undinzusammenarbeitmitprojektbereichaaneineradaptivenfemmithexaedrischenelementengetestet[hmr04]. Diesoftware-technischenPrinzipienderDatenverteilungsschicht[HR04a]zurErzeugung sogenannterkoharenzlistenbasierenaufdenbereitsbeidenverteiltenverwaltungsdatenstrukturendeshierarchischenradiosityalgorithmuseingesetztenmethoden.die KoharenzlistenspiegelndieInteraktionzwischendenenimSpeicherbereichverschiedenerProzessorenbendlichendupliziertenDatenstrukturenwiderundermoglicheneine ezienteremoteidentikationdieserdatenstrukturen.dieinternerealisierungderlistenistvollstandiggekapselt,durchdennutzeraberubereineschnittstellezugreifbar. DiedynamischeAnpassungaufgrundadaptiverVerfeinerungerfolgtausSichtdesAnwendersautomatischundwirddurchSchnittstellenaufrufedesNutzersausgelost.Intern werdendurchdieschnittstellenaufrufekorrektheitserhaltendeveranderungenderdatenstrukturenvorgenommen.diekoharenzlistenenthaltenweitereinformationenuber diesichdynamischanderndenhierarchienzwischendendatenstrukturen. DerAustauschvonDatenistineinegekapselteKommunikationsschichteingebettet. DurchdiebereitgestelltenSchnittstellenfunktionenzumSendenundEmpfangenvon DatenkannderNutzerDatenzwischendenverschiedenenProzessenaustauschen,ohnesichumderenVerteilungaufdieProzessorenundihreIdentikationkummernzu mussen.diebenotigteninformationenfurdatentransferswerdenausdenkoharenzlisteninnerhalbderkommunikationsschichtermittelt.

141 B8 Runger 139 DiegesamteKommunikations-undDatenverteilungsschichtwurdehinsichtlichderFunktionalitatsogestaltet,dasseventuelle,zurLastverteilungnotwendigeUmverteilungen moglichsind.dieparalleleabarbeitungderfemimplementierungwirdinsbesondereaufsmpclusterndurcheinevielzahlvonhardwareundanwendungs-spezischeentscheidungenwurdendiesefaktorenundihreabhangigkeitenermittelt[hr04b]. Faktorenbeeinusst.ZurezientenAusfuhrungundfurdynamischeRebalancierungs KommunikationsbibliothekfurorthogonaleProzessorgruppen ZurezientenImplementierungvonAlgorithmen,dieinFormeineszwei-odermehrdimensionalenTaskgittersspeziziertwerdenkonnen,wurdedasProgrammiermodell OrthogonaleProzessorgruppenentwickelt[RRR01a,RRR04]undalsBibliothekumgesetzt[RRR01b].AlgorithmenkonnenunterVerwendungderBibliotheksfunktionenin AbschnittemitorthogonalerTaskstrukturzerlegtwerden,indenenjeweilsausgewahlte TeilgitterdeszuGrundeliegendenTaskgittersaktivsind.DieAbschnittewerdenzur AusfuhrungaufHyperebeneneinesProzessorgittersabgebildet,wobeidieAuswahlder HyperebenendurcheinentsprechendesSchnittstellendesignunterstutztwird.DieBibliothekbeinhaltetdafurFunktionenzumAufbauvonorthogonalenZerlegungendes ProzessorgittersundfurdieZuordnungvonTaskszuProzessoren.DieSchnittstelleder ORTBibliothekistandenPthreadStandardangelehnt.SiebietetsodemBenutzerdie MoglichkeitderStrukturierungdesAlgorithmusdurchdieSpezikationvonAbschnitten mitorthogonalertaskstrukturalsseparatefunktionen. AnhandeinerVariantederLU-Zerlegungundeinesexplizit-iteriertenRunge-KuttaVersatzmoglichkeitenderBibliothekuntersuchtundfurverschiedeneparallelePlattformefahrenszurLosungvongewohnlichenDierentialgleichungssystemenwurdendieEin- mitverteiltemspeichergetestet[rrr01c].furbeidebeispielekonnteeinedeutliche herkommlichenparallelenimplementierungenberuhen. VerbesserungderLaufzeitgegenuberImplementierungenerreichtwerden,welcheauf 2.4.4Bibliotheksunterstutzungfurhierarchische ZurAbarbeitungmodularerProgrammemithierarchischstrukturiertendynamischent- Multiprozessor-Tasks stehendenm-taskswurdedielaufzeitbibliothektlibentwickelt[rr02].dasbereitge- stelltebibliotheks-apibietetimwesentlichenzweiartenvonfunktionenan:funktio- nenzurdynamischenerzeugungvonhierarchischenprozessorgruppen,wobeiverschiede- ne,gleichzeitigexistierendehierarchienfurdieselbeprozessormengemoglichsind,sowie FunktionenzurKoordinationundKooperationparalleler,geschachtelterM-Tasks.Ein IneinanderschachtelnvonFunktionenbeiderGruppenistmoglich,d.h.neueerzeug- tem-taskskonnenwiederumgruppen-splittingsinitiieren,aufdenenwiederumm- Tasksausgefuhrtwerden.EbensowerdendurchdendynamischenCharakterrekursive Gruppen-Splittingsermoglicht,sodassrekursiveAlgorithmenoderDivide&Conquer- VerfahreninnaturlicherWeiseausgedrucktundentsprechendparallelabgearbeitetwerdenkonnen.DerdabeientstehendeVerwaltungsoverheadistmarginal.AlsAnwenduntrachtet[RR04]sowiehierarchischeStrukturenbeiunterschiedlichenVerfahrenzurpargenwerdenneuereVerfahrenzurLosunggewohnlicherDierentialgleichungssystemebeallelenMatrix-Matrix-Multiplikation[HRR04b,HRR04a],diedasderzeitschnellstepar-

142 140 B8 Runger alleleverfahrenanezienzubertreen.grundlagederprogrammierungmitm-tasks isteineinharentem-task-struktur,diejedochdurchausaufverschiedeneartenineinem parallelenprogrammrealisiertwerdenkann.diegestaltungvonm-task-programmen kanndurcheinevorgeschaltetespezikationsphaseerganztwerden.in[orr04]wird einfunktionaleransatzvorgestellt,derdieauszunutzendemodularestrukturzunachst wiedergibt,umdanneineezienteabbildungaufm-tasksvorzubereitenunddurch Transformationenbereitzustellen.DieprinzipielleVorgehensweiseeinessolchenTransformationsansatzeswirdin[OR04]vorgestellt ParallelisierungimBereichnichtlinearerdynamischer Systeme fahreninisolationunddereneinbindungindieprogrammumgebung,wobeiverschiede- nevariantenentworfen,realisiertundgetestetwurden.zurorthogonalisierungwurden paralleleversionendergram-schmidtorthogonalisierungundderqr-dekomposition realisiert,indieezientebasisoperationenausblaseingebundenwurden.zumvergleichwurdenalgorithmenausbibliothekenwiescalapackherangezogen.dieparallelenvariantenunterscheidensichhinsichtlichderdatenaufteilungeninspalten-und/oder zeilenweiseblockverteilungdereingabematrixaufeinemlogischzweidimensionalenprozessorgitter.dieeinbindungderreorthogonalisierungskomponentebenotigtjenachdatenverteilungeinennichtunerheblichenkommunikationsaufwandzurerhaltungeiner DatenverteilungsvariantefurdiekorrekteProgrammabarbeitung.JenachKommunikationsoverheadderSchnittstelleundparallelerKostenderReorthogonalisierungkannauch DiedurchgefuhrtenArbeitenkonzentriertensichaufparalleleOrthogonalisierungsver- StarkbeeinusstwirddiesauchdurchdiegenutzteparalleleHardwareundeswurdendaherExperimenteaufverschiedenenRechnerndurchgefuhrt,demBeowulf-Cluster CLiC,einemDual-XEON-ClusterunddemIBMRegatta-SystemdesNIC[RRSY04]. DieentstandeneBibliothekvonparallelenOrthogonalisierungsverfahrenundzugehorigenSchnittstellen[Sch04]erlaubteineexible,modulareZusammensetzungdesGesamtprogrammszurezientenNutzungderHardware. einesuboptimaleorthogonalisierungskomponentezurbestengesamtleistungfuhren. Literaturverzeichnis ReferierteZeitschriftenbeitrage [HRT04] K.Hering,G.Runger,andS.Trautmann. titioningprocessesforparallellogicsimulation,erscheintin:specialissue:int. ModularConstructionofModelPar- JournalofComputationalScienceandEngineering,Inderscience,2004. [KRR04] Simulations,Erscheintin:SpecialIssue:Int.JournalofComputationalScienceand C.Koziar,R.Reilein,andG.Runger. LoadImbalanceAspectsinAtmosphere Engineering,Inderscience,2004. [OR04] J.O'DonnellandG.Runger. Addition Circuit, Erscheint in: DerivationofaLogarithmicTimeCarryLookahead UniversityPress,2004. Journal of Functional Programming, Cambridge

143 B8 Runger 141 [RR04b] T.RauberandG.Runger.Program-BasedLocalityMeasuresforScienticComputing,Erscheintin:Int.JournalofFoundationsofComputerScience,WorldScientic,2004. [RRR04] T.Rauber,R.Reilein,andG.Runger. processorgroups.concurrency:practiceandexperience,16(2{3):173{195,2004. Group-SPMDprogrammingwithorthogonal Buchbeitrage [RR04a] T.RauberandG.Runger.ParallelImplementationStrategiesforAlgorithmsfrom tationalmaterialsscience,frombasicprinciplestomaterialproperties,series: ScienticComputing. InHergertW.,ErnstA.,andDaneM.,editors,Compu- LectureNotesinPhysics,Vol.642.SpringerVerlag,2004. ReferierteKonferenz-undWorkshopbeitrage [HMR04] J.Hippold,A.Meyer,andG.Runger.AnAdaptive,3-Dimensional,HexahedralFiniteElementImplementationforDistributedMemory.InJ.J.DongarraM.Bubak, G.D.vanAlbada,editor,Proc.ofInt.Conf.onComputationalScience(ICCS04), LNCS3037,pages149{157.SpringerVerlag,Poland,Krakau,2004. [HR03a] J. AlgorithmsonClustersofSMPs. Hippold and G. Runger. A Communication InJ.Dongarra,D.Laforenza,andS.Orlando, API for Implementing Irregular editors,proc.ofthe10theuropvm/mpi2003,lncs2840,pages455{463.springer Verlag,Venedig,Italien,2003. [HR03b] J.HippoldandG.Runger.TaskPoolTeamsforImplementingIrregularAlgorithms onclustersofsmps. Symposium(IPDPS03),(CD-ROM),Nizza,Frankreich,2003. InProc.ofthe17thInt.Parallel&DistributedProcessing [HR04a] J.HippoldandG.Runger. Adaptive,HexahedralFEM.Erscheintin:Proc.ofEuro-Par2004,Pisa,Italien, ADataManagementandCommunicationLayerfor LNCS,SpringerVerlag,2004. [HR04b] J.HippoldandG.Runger.InteractionofCache,Communication,andLoadIncrease onsmpclustersforparalleladaptivefem,angenommenfur:para04,workshop onstate-of-the-artinscienticcomputing,lyngby,danemark,2004. [HRR04a] cationoncluster. S.Hunold,T.Rauber,andG.Runger. Erscheintin:Proc.ofInt.Conf.onSupercomputing(ICS04), MultilevelHierarchicalMatrixMultipli- Saint-Malo,Frankreich,2004. [HRR04b] S.Hunold,T.Rauber,andG.Runger. BasedonMultiprocessorTasks. InJ.J.DongarraM.Bubak,G.D.vanAlbada, HierarchicalMatrix-MatrixMultiplication editor,proc.ofint.conf.oncomputationalscience(iccs04),lncs3037,pages 3{11.SpringerVerlag,Poland,Krakau,2004. [ORR04] J.O'Donnell,T.Rauber,andG.Runger. EnvironmentsforMixedParallelism.InProc.ofIPDPS:6thWorkshoponAdvances FunctionalRealizationofCoordination inparallel&distributedcomputationalmodels(apdcm04),(cd-rom),santa Fe,NewMexico,2004. [RR02] T.RauberandG.Runger.LibrarySupportforHierarchicalMulti-ProcessorTasks. In USA,2002. Proc. of ACM/IEEE Supercomputing Conf. (SC02), (CD-ROM), Baltimore,

144 142 B8 Runger [RR04] T.RauberandG.Runger. scheintin:proc.ofeuro-par2004,pisa,italien,lncs,springerverlag,2004. ExecutionSchemesforParallelAdamsMethods.Er- [RRR01a] T.Rauber,R.Reilein,andG.Runger. PassingPrograms.InProc.ofHPCNEurope2001,LNCS2110,Amsterdam,Niederlande,pages363{372.SpringerVerlag,2001. OrthogonalProcessorGroupsforMessage- [RRR01b] T.Rauber,R.Reilein,andG.Runger. Groups.InProc.ofthe13thACMSymposiumonParallelAlgorithms&Architectures(SPAA),pages316{317,Kreta,Griechenland,2001.ACMPress. LibrarySupportforOrthogonalProcessor [RRR01c] T.Rauber,R.Reilein,andG.Runger. thogonalprocessorgroups.inproc.ofacm/ieeesupercomputingconf.(sc01), ORT{ACommunicationLibraryforOr- (CD-ROM),Denver,USA,2001. [RRSY04] G.Radons,G.Runger,M.Schwind,andG.Yang. DeterminationofLyapunovCharacteristicsofLargeNonlinearDynamicalSystems, ParallelAlgorithmsforthe Angenommenfur:PARA04,WorkshoponState-of-the-ArtinScienticComputing, Lyngby,Danemark,2004. EingereichteZeitschriftenbeitrage [HR] J.HippoldandG.Runger. ImplementingIrregularAlgorithmsonClusterofSMPs,EingereichtalsZeitschriftenbeitrag. TaskPoolTeams:AHybridProgrammingModelfor InterneBerichteundArbeiten [Hip01] J.Hippold.DezentraleTaskpoolsaufRechnernmitverteiltemSpeicher.Diplomarbeit,TU-Chemnitz,2001. [HR02] onclustersofsmps.sfb-bericht02-18,tuchemnitz,sfb393,2002. J.HippoldandG.Runger. TaskPoolTeamsforImplementingIrregularAlgorithms [Sch04] M.Schwind Diplomarbeit,VoraussichtlicheFertigstellung:2004. TU-Chemnitz, 2.5OeneFragen/Ausblick DieBetrachtungundUntersuchungverschiedenerirregularerAlgorithmenhinsichtlich ihrerezientenparallelisierungaufrechnernmitverteiltemspeicherbzw.clustern oderclusternvonsmpshatzurentwicklungderobenaufgefuhrtenprogrammierumgebungen,-komponentenund-bibliothekengefuhrt,diejeweilscharakteristischemerkmaleinderparallelisierungunterstutzen.dabeikonntenverschiedeneklassenvonirregularenanwendungenidentiziertwerden,derenjeweiligergradanirregularitatin dieentsprechendesoftwareentwicklungsstrategieeingeossenist,etwainformspeziellerkommunikationsprotokolleoderzusatzlicherverwaltungsdatenstrukturen,wodurcreitgestelltwurde.dietatsachlichresultierendeezienzhangtzuletztjedochimmer furjedeklassediemoglichkeitzurentwicklungezienterparallelerprogrammebe- nochvomjeweiligenanwendungsalgorithmusunddemverwendetenparallelenhardwaretyp,jasogarderspeziellenparallelenmaschine,ab.beidentaskpoolteamsetwa hatdiecachestruktureinussaufdiezuverwendendetaskqueue-varianteoderbei

145 B8 Runger 143 adaptivenverfahrenistdienetzgeschwindigkeitfurlastbalancierungeinzubeziehen. EbensohatdieNetzwerk-undProzessorgeschwindigkeitAuswirkungenfurdieezienteM-Task-ProgrammierungunddieAusnutzungvonM-Tasks.Diesgiltauchfurdie dargestellteeinbindungvonorthogonalisierungsalgorithmeninkomplexegesamtalgorithmen.ausfuhrlichetestshabendieseundweiterephanomenegezeigtundzumtuning derjeweiligenanwendungmitderpassendenprogrammierumgebungbzw.-bibliothek gefuhrt.eineweiterfuhrendefragestellungistnun,wiediesejeweilsseparatdurchgefuhrtentuningschritteinsoftwareentwicklungsumgebungen,-werkzeugeund-komponenten aufgenommenwerdenkonnen. Software,diecharakteristischeMerkmaleeinerparallelenPlattformzunachstermittelt unddannfureineezienteabarbeitungnutzt,wirdauchselbstadaptierendgenannt undwurdebishereherfurregelmaigeproblemeeingesetzt,etwazurcacheausnutzung. SelbstadaptierendeSoftwarefurirregulareProblemebzw.furauszuwahlendeTeilklassen stellthiereineherausforderungdar.adaptivesverhaltendersoftwaresolltespeicherhierarchienundparallelitatberucksichtigenundistmitdemhierarchischenundadaptivenverhaltendeseigentlichenalgorithmusabzustimmen.besonderewichtigkeitkommt adaptiversoftwareaufheterogenparallelenplattformenzu.

146 144 B8 Runger

147 Projektbereich C SimulationundAnwendungeninderPhysik

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149 Teilprojekt C1 LokalisierungelektronischerZustandeinamorphen Materialien

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151 C1 Schreiber/Romer TeilprojektC1 LokalisierungelektronischerZustandeinamorphenMaterialien 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.MichaelSchreiber PDDr.RudolfA.Romer ProfessurTheoretischePhysikIII ProfessurTheoretischePhysikIII (TheorieungeordneterSysteme) TechnischeUniversitatChemnitz (TheorieungeordneterSysteme) 09107Chemnitz 09107Chemnitz TechnischeUniversitatChemnitz Tel.:(0371) Fax:(0371) Tel.:(0371) Fax:(0371) Dr.RomeristEndeSeptember2002ausgeschieden,daereineunbefristeteStelleals Prof.SchreiberwarvonFebruar2002bisJanuar2003beurlaubt,umeineProfessuran LectureranderUniversitatWarwickangenommenhat. derinternationaluniversitybremenwahrzunehmen Projektbearbeiter PhilippCain Dr.ViktorCerovski AlexanderCroy RajkumarBrojenSingh SambasivaRaoChinnamsetty Dr.InnaPlyuchshay Dr.AhmedJellal M.Sc.MacleansNdawana Dr.HassanSatori 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung GegenstanddiesesTeilprojektesistdiecomputergestutzteUntersuchungdesdurchUnrialien.DasAuftretendesPhasenubergangsunddaskritischeVerhalteninseinerNahordnunginduziertenMetall-Isolator-UbergangsinungeordnetenundamorphenMate- wirddurchhochstprazisenumerischemethodenanalysiertundcharakterisiert.eswurdendiefolgendenphysikalischenfragestellungenuntersucht:andertsichdasuniverselle VerhaltenfurungeordneteSysteme,wennmandaszuGrundeliegendeAnderson-Modell dengitterseineneinuss?gibtesabweichungenvondenuniversellenvorhersagen derlokalisierungverandert?habenanderungendertopologiedeszugrundeliegen- dertheoriederzufallsmatrizen,wennmansichdemphasenubergangnahert?wie wirktsichvielteilchenwechselwirkungzwischendenelektronischenzustandenaufdie

152 150 C1 Schreiber/Romer LokalisierungseigenschafteninungeordnetenSystemenaus?Wielassensichthermische undanderetransportgroenimanderson-modellnumerischberechnen?lasstsichder Lokalisierungs-Delokalisierungs-UbergangbeimganzzahligenQuanten-Hall-Eektmit denvonunsbeimanderson-ubergangbenutztenmethodenbeschreiben? DienumerischeCharakterisierungderelektronischenZustandegeschiehtdurchBestim- mungderlokalisierungslangenunddeskritischenexponentendurchdietransfer-matrix- Methodemitanschlieendem\nite-size-scaling",durchUntersuchungendesmultifraktalenundstatistischenVerhaltensderWellenfunktionsamplitudensowiedurchAnalyse derenergieniveaustatistiken,wofurdieeigenwerteundeigenzustandemitdemlanczos- Algorithmusbestimmtwerden.DerEinussderWechselwirkungwirdebenfallsmitexaktenDiagonalisierungsverfahren,aberauchmiteinerspeziellenDezimationsmethode undmitrenormierungsgruppen-methodenbehandelt.derrenormierungsgruppenansatzwirdauchbeiderbeschreibungdesquanten-hall-eektesbenutzt.diedirekte BerechnungderthermischenTransportgroengeschiehtmitHilfederlinearenAntwort- Theorie. 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1Teilaufgabe\TestundEntwicklungvonAlgorithmen" WiewirbereitsindervergangenenForderperiodegezeigthatten,lasstsichderHamilton- OperatordesAnderson-ModellsderLokalisierungsehreektivdurchdenLanczos-AlgorithmusinderCullum-Willoughby-Implementationdiagonalisieren.ObwohlverschiedeneandereAlgorithmengetestetwurden,hatsichderLanczos-Algorithmusbisherals diebestezurverfugungstehendemethodebewahrt.furwechselwirkendeelektronen musstenaufwandigerealgorithmenentwickeltwerden Teilaufgabe\AnisotropeSystemeundSchichtsysteme" ImAnderson-ModellwirddenTransferintegralen,diedasHupfenderElektronenzwischenbenachbartenGitterplatzenbeschreiben,ublicherweiseeinkonstanterWertzugewiesen.DieAbweichungvomkristallinen,perfektgeordnetenSystemwirddanndurch diezufalligewahlderpotentiellenenergienandengitterplatzenmodelliert.imrahmendieserteilaufgabehabenwirdiefrageuntersucht,inwieweitsichdielokalisierungseigenschaftenandern,wennwiranderephysikalischmindestensgenausorelevante ArtenvonUnordnungoderStorungenderTransferintegraleimSystemberucksichtigen.DabeiwurdenzunachstanisotropeperiodischeSystemeuntersucht,beidenendie TransferintegraleineineroderinzweiRichtungenwesentlichkleineralsindenverbleibendenRichtungengewahltwerden.DadurchwerdenschwachgekoppelteEbenenbzw. schwachgekoppeltekettensimuliert.diesistvonexperimentellerrelevanz,daeinereihevonmessungenzumkritischenverhaltenuniachsialedruckveranderungnutzten,was anderemdiefrage,obdurchgenugendschwachekopplungzwischendenebenenein anisotropenanderungendertransferintegraleentspricht.interessantisthierbeiunter quasi-zweidimensionalesverhaltenerreichtwerdenkann.diesistvonbesondererrelevanz,umdenphasenubergangzubeschreiben,derexperimentellinzweidimensionalen Systemengefundenwurde.IndiesemZusammenhangstelltsichnaturlichauchdieFrage,

153 C1 Schreiber/Romer 151 obeinderartigerphasenubergangimanderson-modellbeobachtetwerdenkann,wenn manschichtstrukturenendlicherdickesimuliert Teilaufgabe\NichtdiagonaleUnordnung" DasAnderson-ModellmitzufalliggewahltenTransferintegralenmodelliertsehrgutdie unterschiedlichenhupfratenaufgrundvariableratomabstandeinamorphensubstanzen.imentsprechendenzweidimensionalenmodellohnepotentialunordnungistdielokalisierungslangederelektronischenzustandeimthermodynamischenlimeswesentlich groeralsimfallreinerpotentialunordnung.indermittedesbandesdivergiertdie Lokalisierungslangesogar,esergibtsicheinkritischerZustand,derjedochbereitsdurch kleinezusatzlichepotentialunordnunglokalisiertwird Teilaufgabe\TopologischeUnordnung" QuasiperiodischeSystemestehengewissermaenzwischengeordnetenKristallenund ungeordnetenstrukturen,dasiedeterministischaufgebautsind,aberkeinetranslationsinvarianzzeigen.diesetopologischeunordnunghateinussaufdielokalisierungseigenschaftenderelektronischenzustande,beispielsweisetretenandenbandkantenvergleichsweiseausgedehntezustandeauf,wahrendinderbandmitteextremlokalisierte Zustandegefundenwerden.DieEnergieniveaustatistikvonzweidimensionalenquasiperiodischenSystemenzeigtbereitskritischesVerhalten,ohnedassPotentialunordnung eingefuhrtwerdenmuss Teilaufgabe\WechselwirkendeSysteme" DerinzweidimensionalenElektronensystemenmithoherLadungstragerbeweglichkeit Wechselwirkunginduziert,denneineeinfacheAbschatzungderrelevantenEnergieskalenergibtbereits,dassdiecharakteristischeCoulomb-Energiewesentlichgroeralsdie Fermi-Energieist.DieFrage,obdieCoulomb-WechselwirkungzwischenzweiElektro- experimentellgefundenemetall-isolator-ubergangwirdvermutlichdurchdiecoulombzweidimensionalensystemeneinmetall-isolator-ubergangauftritt,istindervergangennenzueinervergroerungderlokalisierungslangefuhrtunddamitmoglicherweiseiheitkontroversdiskutiertworden.interessantsindindiesemzusammenhangaucheinigequasiperiodischesysteme,beideneneinmetall-isolator-ubergangbereitsfurnichtwechselwirkendeelektronenaufeindimensionalenstrukturenauftritt. FursehrgroeSysteme,insbesondereimthermodynamischenGrenzfall,erscheintjedoch dieuntersuchungvonzweiwechselwirkendenteilchenuninteressant,vielmehrstelltsich diefrage,wiesicheinegroezahlwechselwirkenderteilchenverhalt.dadieanzahlder VielteilchenzustandeinderartigenSystemenallerdingsmitderZahlderbetrachteten Teilchenstarkanwachst,istdieGroederSysteme,dienumerischbehandeltwerden konnen,starkeingeschrankt Teilaufgabe\Transporteigenschaften" DieThermokraftisteinBeispieleinerTransportgroe,derenVerhaltenamAnderson- Ubergangnochnichtgutverstandenist,obwohlzahlreicheexperimentelleResultate

154 152 C1 Schreiber/Romer vorliegen.dietemperaturabhangigkeitderthermokraftkannebensowiedietemperaturabhangigkeitderleitfahigkeitimrahmenderlinearenantwort-theoriebeschrieben werden. FureindimensionaleStrukturenkannmanTransporteigenschaftenleichtmitHilfeder Transmissionswahrscheinlichkeititerativbestimmen.DieshabenwirfurdenMagnetotransporteinesmesoskopischenSystemsvonineinerKetteangeordnetenRingstrukturen benutzt Teilaufgabe\Quanten-Hall-Eekt" DerunordnungsgetriebeneLokalisierungs-Delokalisierungs-Ubergangbeimquantisierten ganzzahligenhall-eektkanndurchdasnetzwerkmodellvonchalkerundcoddingtonsimuliertwerden.mithilfeeinesrenormierungsgruppenansatzesberechnenwirdie StatistikvonTransmissionsamplituden.DieMotivationderUntersuchungbasiertauf experimentellenarbeiten,indenenabweichungenvomerwartetenskalenverhaltengefundenwurden.insbesonderestelltsichdiefrage,obderartigeabweichungendurch makroskopischeinhomogenitateninnerhalbderprobehervorgerufenwerden Teilaufgabe\StatistikderWellenfunktionenvonseltenen DieVerteilungderWellenfunktionsamplitudenimmetallischenBereichdesAnderson- Zustanden" ModellsistnaherungsweisedurchdiePorter-Thomas-Verteilunggegeben.Siefolgtaus derannahme,dassdiequantenlokalisierung,diemitwachsenderunordnungschlielich zumphasenubergangfuhrt,vernachlassigbarist.furendlichewertedesunordnungsparametersgibtesnaturlichabweichungenvonderporter-thomas-verteilungauchim metallischenbereich.auerdemtretensogenannteanormalezustandeauf,dielokalisierungzeigenundsichstarkvondentypischenausgedehntenwellenfunktionenunterscheiden.sieverursachengroerelativeabweichungenindenauslaufernderverteilungsfunktionen.daszielunsererentsprechendenuntersuchungenistes,durchvergleich dernumerischendatenmitanalytischenvorhersagendiemikroskopischeelektronenbewegunginungeordnetenmetallenbesserzuverstehen.dieanalytischenvorhersagenberuhenaufdemnicht-linearensigma-modell,dasdenelektronentransportsemiklassisch beschreibt,wobeisichdieelektronenlokaldiusivbewegen,aberderquantenlokalisierungunterliegen. 2.4Ergebnisse 2.4.1Teilaufgabe\TestundEntwicklungvonAlgorithmen" WirfuhrtennocheinigeabschlieendeArbeitenzurParallelisierungdurch[CMRS01, CMRS02,cmrs01,s02c,skc+02].UntersuchungenvonMehrgitterverfahrenzeigtenerneut,dasseinederartigeiterativeHerangehensweisemitdenderzeitvorhandenenGlattungsverfahrenkeinenezientenErsatzfurdenLanczos-Algorithmusermoglicht.Zur BeschreibungvonVielteilchensystemenmitWechselwirkungisteinDiagonalisierungsverfahrenentwickeltworden[SV03],dasnureineTeilmengederenergetischgunstigsten

155 C1 Schreiber/Romer 153 Zustandeberucksichtigt,aberdieWechselwirkungzwischendiesenZustandendannexaktenthalt. EineneuartigeTransfer-Matrix-Methode,beiderdieKonvergenzdurchvielfachesBetrachtendesselbenungeordnetenquasieindimensionalenSystemsereichtwird,habenwir entwickelt,umlangreichweitigkorrelierteunordnungspotentialeimanderson-modell verwendenzukonnen[nrs04,nrs03a].aufdieseweiseistesmoglichgeworden,die AbhangigkeitdeskritischenExponentenvonderPotenz,mitderdieKorrelationsstarke despotentialsabfallt,zubestimmen.eszeigtsich,dassfurfesteunordnungeinkritischerwertdieserpotenzexistiert,oberhalbdessenderkritischeexponentdemdesmodellsmitunkorrelierterunordnungentspricht,wasmitdemerweitertenharris-kriterium DieublicherweiseverwendeteTransfer-Matrix-MethodehabenwirandererseitserweitertaufeindreidimensionalesAnderson-ModellmitzweiBandern,wobeieinbinares Unordnungspotentialbenutztwurde,ummitexperimentellenErgebnissenfuramorphe metallischelegierungenvergleichenzukonnen[prs03]. ubereinstimmt[nrs03b,nrs04a]. SM02]. EinenUberblickauchuberdiemethodischenAspektegebendieUbersichtsartikel[RS03, 2.4.2Teilaufgabe\AnisotropeSystemeundSchichtsysteme" BeidenUntersuchungendesMetall-Isolator-UbergangsimAnderson-ModellderLokaliparameterskalenhypothesebestatigt.DieAbhangigkeitderMobilitatskantevonderAnisierungmitanisotropenTransferintegralenwurdeinallenFallendieGultigkeitderEinsotropiewurdebestimmt[MRS01,smr01,sr02,s02b].DabeiwurdennebenderNiveau- AbstandsverteilungauchdieVarianz,diedieglobalespektraleSteifheitmisst,undderen AbleitungzurBeschreibungdesPhasenubergangsundzurBestimmungderkritischen Exponenteneingesetzt[NRS02,NRS03,nrs01,nrs02]. SchichtstrukturenunterschiedlicherDickewurdenmitHilfederTransfer-Matrix-Methode untersucht[sk01,sk02,sk04].dabeiwurdebereitsfurrelativdunneschichtenein Metall-Isolator-Uberganggefunden Teilaufgabe\NichtdiagonaleUnordnung" standsdichteunddiemultifraktaleneigenschaftendereigenzustandeaufzweidimen- FurdasAnderson-ModellmitzufalliggewahltenTransferintegralenwurdendieZusionalenQuadratgitternberechnet[ers02a].DabeiwurdeauchderSpezialfalleinesbipartitenSystemsanalysiert,derindiesogenanntechiraleUniversalitatsklassefallt [ERS01a].DurchSkalierungderZustandsdichteinderBandmittewurdedieBestimmungdeskritischenExponentenineinemModellmitzufalligemmagnetischemFluss vorgenommen[cer01],wasdiebishereinzigequantitativeabschatzungderdivergenz derlokalisierungslangeinderbandmittefurdiesesmodellist.eineskalierungderlokalisierungslangenfuhrtedabeinichtzueinergenauerenbestimmungdeswertesdes Exponenten,dadieLokalisierungslangensehrgrowerden.TrotzdemkonntedasPhasendiagrammdesModellsinzweiDimensionenbestimmtwerden[Cer01].

156 154 C1 Schreiber/Romer 2.4.4Teilaufgabe\TopologischeUnordnung" DieEnergiespektrenundEigenzustandevonquasiperiodischenSystemenwurdenmit HilfederMultifraktalanalyseundderEnergieniveaustatistikbeschrieben[s01c],wodurch sichdieuniverselleneigenschaftenderspektrennachweisenlieen[gs03,gs03].indreidimensionalensystemendeutenersterechnungenzurpropagationvonwellenpaketen [CGS04,cgs03,cgs04,s01b]moglicherweiseaufeineMobilitatskantehin Teilaufgabe\WechselwirkendeSysteme" FurdasProblemvonzweiwechselwirkendenTeilchenineinemZufallspotentialaufeiner linearenkettehabenwirdiedezimationsmethodebenutzt.wirkonntenzeigen,dasseinewechselwirkungsinduziertevergroerungderlokalisierungslangenauftritt,dassdie StarkederDelokalisierungjedochwenigerdramatischistalsinanalytischenAbschatzungenvermutet[s02a].DienumerischsehranspruchsvolleErweiterungdieserArbeiten aufzweidimensionalesystemezeigteeinevollstandigedelokalisierungderzweiteilchen- LokalisierungslangenfurbestimmteZustande[RSV01,rsv01]. AuchinquasiperiodischenSystemen,dieeinenMetall-Isolator-Ubergangschonineiner Dimensionaufweisen,wiedieAubry-Andre-Kette,habenwirdieLokalisierungseigenschaftenmitHilfederDezimationsmethodeuntersucht[ERS01b,ERS02,ers02b,ers03, srs02].eineanderungdeskritischenverhaltenswurdedabeinichtbeobachtet.diesgilt auchfurentsprechendeuntersuchungenmithilfeeinesdichtematrix-renormierungsgruppen-ansatzes,mitdemesmoglichist,eineendlichedichtevonwechselwirkenden Teilchenzubeschreiben[SRS02,SRS03,erss01]. EinandererZugangzurBeschreibungderLokalisierungvonwechselwirkendenVielteilchensystemen,derindervergangenenForderperiodeimRahmendesnichtweitergefuhrtenTeilprojektesC2entwickeltwordenwar,beruhtaufderexaktenBerechnung derniederenergetischenvielteilchenzustande[eks+01,vs01,svm01].diebisherigen UntersuchungenzumQuanten-Coulomb-Glas[mrs01],beidemdieWechselwirkungsehr vielerelektronenuntereinandermitunordnungkonkurriert,wurdenaufsystememit BerucksichtigungdesSpinsausgedehnt[VS01].DabeiwurdenauchdieTransporteigenschaftenbestimmt[EKS+01].Eshatsichgezeigt,dassimstarklokalisiertenBereich diewechselwirkungenzurerhohungderleitfahigkeitfuhren,wogegensiefurschwache schreibungvonmehrerenwechselwirkendenelektroneninquantenpunkteneingesetzt UnordnungdieLeitfahigkeitverringern.DieseMethodewurdenunauchfurdieBe- [SSV01a,SSV01b,SSV01c,s01a,ssv01,svs01] Teilaufgabe\Transporteigenschaften" MitHilfederGreensfunktionsmethodekonntenwirdiethermoelektrischenTransporteigenschaftenvonamorphenSystemeninderNahedesMetall-Isolator-UbergangsuntersuchenundderenkritischesVerhaltenbeschreiben[VRSM01,crms04,vrsm01a].Alle kinetischenkoezientenderlinearenantwort-theorielassensichdurcheinerekursive FormulierungderMethodeberechnen[VRSM01,rsvm01,vrsm01b,vrsm02]. EinandererZugangwurdebenutzt,umMagnetotransportaufmesoskopischenStrukturenzubeschreiben,wobeiderTransmissionskoezientberechnetwurde[CRS03,crs02, crs03].

157 C1 Schreiber/Romer Teilaufgabe\Quanten-Hall-Eekt" DerPhasenubergangbeimganzzahligenquantisiertenHall-EektwurdefureinlangreichweitigkorreliertesUnordnungspotentialbeschrieben[CRSR01,crrs01,crs01].Zur CharakterisierungdesUbergangswurdeauchdieEnergieniveaustatistikbenutzt[crrs02, crrs03a,crsr02].dabeiwurdewiedereinrenormierungsgruppenansatzverwendet[crsr03, crs04,crrs03b] Teilaufgabe\StatistikderWellenfunktionenvonseltenen WirhabendieVerteilungvonWellenfunktionsamplitudenimAnderson-Modelluntersucht[UMS01].DabeiwurdenauchKorrekturenzudenausderZufallsmatrizentheorie gewonnenenresultatenberucksichtigt.insbesonderewurdedergultigkeitsbereichvon storungstheoretischenkorrekturenanalysiert[urs02].inihrenauslaufernkanndie VerteilungderIntensitatenderEigenzustandeinquasieindimensionalenSystemengut durchdiezufallsmatrizentheoriemitdenerwahntenkorrekturenwiedergegebenwerden, inzweidimensionalensystemenstimmtdieverteilungmitergebnissendermethodeoptimalerfluktuationenuberein[ums01].furdreidimensionalesystemezeigennumerische UntersuchungenebenfallsdieGultigkeitderMethodeoptimalerFluktuationen[NC02], obwohlnurkleinesystemgroenimmetallischenbereichuntersuchtwurden. DieraumlicheStrukturderanormalenlokalisiertenZustandegroerdreidimensionaler Systemewurdeebenfallsnumerischbestimmt[UMS02,umrs01,rusm01],dabeiwurden insbesonderedieintensitatenauerhalbdesanormalenbereichesuntersuchtundmit analytischenresultatenverglichen.eszeigtsich,dassdereinussvonballistischeneffektenaufdiestatistischeneigenschaftenderwellenfunktioneninquasieindimensionalen Systemenwichtigseinkann[UMS01]. Zustanden" Literaturverzeichnis [Cer01] V. two-dimensional Z. Cerovski. square Critical lattice exponent and anomalous of the random critical uxstates. modelphys. on anrev. innite 64:161101(R)/1{4,2001. B, [CGS04] V.Z.Cerovski,U.Grimm,andM.Schreiber. silver-meanquasicrystalsin1;2;and3dimensions.phys.rev.b,2004.(submitted Spectralanddiusivepropertiesof forpublication). [CMRS01] tingfortheandersonmodeloflocalization. P.Cain,F.Milde,R.A.Romer,andM.Schreiber.Applicationsofclustercompu- Physics,ed.S.G.Pandalai.(TransworldResearchNetwork,Trivandrum,Indien), inrecentresearchdevelopmentsin 2:171{184,2001. [CMRS02] P.Cain,F.Milde,R.A.Romer,andM.Schreiber. theandersonmodeloflocalization.comp.phys.comm.,147:246{250,2002. Useofclustercomputingfor [CRS03] A.Chakrabarti,R.A.Romer,andM.Schreiber. andquasiperiodicarraysofmesoscopicrings.phys.rev.b,68:195417/1{9,2003. Magnetotransportonperiodic

158 156 C1 Schreiber/Romer [CRSR01] P.Cain,R.A.Romer,M.Schreiber,andM.E.Raikh. transitioninthepresenceofalong-range-correlatedquencheddisorder.phys.rev. IntegerquantumHall B,64:235326/1{9,2001. [EKS+01] F.Epperlein,S.Kilina,M.Schreiber,S.Uldanov,andT.Vojta. calization,returnprobability,andconductanceofdisorderedinteractingelectrons. Fockspacelo- PhysicaB,296:52{55,2001. [ERS01a] A.Eilmes,R.A.Romer,andM.Schreiber. inthebipartiteandersonmodelwitho-diagonaldisorder.physicab,296:46{51, Exponentsofthelocalizationlengths 2001.PhysicaB324:429,2002(Erratum). [ERS01b] A.Eilmes,R.A.Romer,andM.Schreiber.Localizationpropertiesoftwointeractingparticlesinaquasi-periodicpotentialwithametal-insulatortransition.Eur. Phys.J.B,23:229{234,2001. [ERS02] A.Eilmes,R.A.Romer,andM.Schreiber. actingparticlesinaquasi-periodicpotentialwithametal-insulatortransition, Localizationpropertiesoftwointer- Proc.26thInt.Conf.PhysicsofSemiconductors(ICPS26),Edinburgh2002,ed. in A.R.LongandJ.H.Davies.Inst.Phys.Conf.Ser.(Inst.ofPhysics,Bristol), 171:P9/1{8,2002. [GS03] U. tight-bindinghamiltonians, Grimm and M. Schreiber. inquasicrystals{structureandphysicalproperties, Energy spectra and eigenstates of quasiperiodic ed.h.-r.trebin.(wiley-vch,berlin,2003)pages210{235. [MRS01] F.Milde,R.A.Romer,andM.Schreiber. tropicsystems, inproc.25thint.conf.physicsofsemiconductors(icps25), Metal-insulatortransitioninaniso- Osaka2000,ed.N.MiuraandT.Ando.ProceedingsinPhysics(Springer,Berlin, Heidelberg),87:148{149,2001. [NC02] B.K.NikolicandV.Z.Cerovski.Structureofquantumdisorderedwavefunctions: weaklocalization,fartails,andmesoscopictransport.eur.phys.j.b,30:227{238, [NRS02] M.L.Ndawana,R.A.Romer,andM.Schreiber. compressibilityattheandersontransition.eur.phys.j.b,27:399{407,2002. Finite-sizescalingofthelevel [NRS03] M.Ndawana,R.A.Romer,andM.Schreiber.Scalingofthelevelcompressibility attheandersonmetal-insulatortransition J.Phys.Soc.Japan,72:A131{A132, [NRS04] M.L.Ndawana,R.Romer,andM.Schreiber. theandersonmetal-insulatortransition. Europhys.Lett.,2004. Eectsofscale-freedisorderon publication). (submittedfor [PRS03] I.V.Plyushchay,R.A.Romer,andM.Schreiber.Thethree-dimensionalAnderson modeloflocalizationwithbinaryrandompotential.phys.rev.b,68:064201/1{9, [RS03] R.A.RomerandM.Schreiber.NumericalinvestigationsofscalingattheAndersontransition, Coherence,andElectronCorrelations,ed.T.BrandesandS.Kettemann.Lecture inandersonlocalizationanditsramications{disorder,phase NotesinPhysics(Springer,Berlin,Heidelberg),630:3{19,2003.

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160 158 C1 Schreiber/Romer [VS01] T.VojtaandM.Schreiber.LocalizationandconductanceinthequantumCoulomb glass.phil.mag.b,81:1117{1129,2001. Konferenzbeitrage: [cgs03] V.Z.Cerovski,U.Grimm,andM.Schreiber.Anomalousdiusionoftheoctonacci quasicrystalsind=1;2,and3. stals"chemnitz,10/03. Workshop\ElementaryExcitationsinQuasicry- [cgs04] V.Z.Cerovski,U.Grimm,andM.Schreiber. diusion in octonacci quasicrystals. Spring Meeting Spectralpropertiesandanomalous Regensburg,03/04. German Physical Society, [cmrs01] P.Cain,F.Milde,R.A.Romer,andM.Schreiber.ApplicationsofclustercomputingfortheAndersonmodeloflocalization.Conf.ComputationalPhysics(CCP) 2001,Aachen,09/01. [crms04] A.Croy,R.A.Romer,A.MacKinnon,andM.Schreiber.Thermoelectricpropertiesofdisorderedsystems.SpringMeetingGermanPhysicalSociety,Regensburg, 03/04. dito:cmmp04,cond.matterandmaterialsphysicsconf.,warwick,04/04. [crrs01] P.Cain,M.E.Raikh,R.A.Romer,andM.Schreiber.Localization-delocalization quantumhalltransitioninthepresenceofaquencheddisorder. Conf.StatisticalPhysics(STATPHYS21),Cancun,Mexico,07/01. 21stIUPAPInt. [crrs02] P.Cain,M.E.Raikh,R.A.Romer,andM.Schreiber.EnergylevelspacingdistributionatthequantumHalltransition.DPG-FruhjahrstagungdesAKFestkorperphysik,Regensburg,03/02. dito:26thint.conf.physicsofsemiconductors,edinburgh,uk,08/02. dito:23rdint.conf.onlowtemperaturephysics,hiroshima,japan,08/02. [crrs03a] dito:apsmarchmeeting,indianapolis,usa,03/02. dito:spp-kolloquiumquanten-hall-systeme,badhonnef,01/03. [crrs03b] P.Cain,M.E.Raikh,R.A.Romer,andM.Schreiber. approachtoenergylevelstatisticsattheintegerquantumhalltransition. Renormalizationgroup FruhjahrstagungdesAKFestkorperphysik,Dresden,03/03. DPG- [crs01] P.Cain,R.A.Romer,andM.Schreiber.Localization-delocalizationquantumHall transitioninthepresenceofaquencheddisorder.int.symp.quantum-hall-eect andheterostructures(266.weh-seminar),wurzburg,12/01. [crs02] A.Chakrabarti,R.A.Romer,andM.Schreiber. andquasiperiodicarraysofmesoscopicrings. APSMarchMeeting,Indianapolis, Magneto-transportinperiodic [crs03] USA,03/02. dito:dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik,dresden,03/03. dito:cmmp03,cond.matterandmaterialsphysicsconf.,belfast,04/03. dito:workshopo-shelleectsinquantumtransport,mpipksdresden,05/03. [crs04] P.Cain,R.A.Romer,andM.Schreiber.RenormalizingintothemesoscopicquantumHallinsulator.SpringMeetingGermanPhysicalSociety,Regensburg,03/04.

161 C1 Schreiber/Romer 159 [crsr02] P.Cain,RA.Romer,M.Schreiber,andM.E.Raik. butionatthequantumhalltransition.12thint.winterschoolnewdevelopments Energylevelspacingdistri- insolidstatephysics,mauterndorf, dito:19theps/cmdconference,brighton,grossbritannien,04/02. Osterreich,03/02. dito: rence,tokyo,japan,08/02. Localisation2002:Int.Conf.onQuantumTransportandQuantumCohe- [crsr03] P.Cain,R.A.Romer,M.Schreiber,andM.E.Raikh.RenormalizationgroupapproachtoenergylevelstatisticsattheintegerquantumHalltransition.CMMP03, Cond.MatterandMaterialsPhysicsConf.,Belfast,04/03. dito:workshopo-shelleectsinquantumtransport,mpipksdresden,05/03. [ers02a] A.Eilmes,R.A.Romer,andM.Schreiber. intheandersonmodelwitho-diagonaldisorder.dpg-fruhjahrstagungdesak Exponentsofthelocalizationlengths Festkorperphysik,Regensburg,03/02. dito:apsmarchmeeting,indianapolis,usa,03/02. dito: rence,tokyo,japan,08/02. Localisation2002:Int.Conf.onQuantumTransportandQuantumCohe- [ers02b] A.Eilmes,R.A.Romer,andM.Schreiber.Localizationpropertiesoftwointeractingparticlesinaquasi-periodicpotentialwithametal-insulatortransition.26th Int.Conf.PhysicsofSemiconductors,Edinburgh,UK,08/02. [ers03] dito:dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik,regensburg,03/02. dito:workshopo-shelleectsinquantumtransport,mpipksdresden,05/03. [erss01] A.Eilmes,R.A.Romer,C.Schuster,andM.Schreiber.Twoandmoreinteracting particlesatametal-insulatortransition.21stiupapint.conf.statisticalphysics (STATPHYS21),Cancun,Mexico,07/01. [gs03] U. tight-binding Grimm andhamiltonians. M. Schreiber. Joint Energy Colloquium spectra and GDR-CINQ eigenstates andofspqk, quasiperiodic Frankreich,05/03. Nancy, [mrs01] A.Mobius,U.K.Rossler,andM.Schreiber. lombglasswithoutdisorder. Conf.HoppingandRelatedPhenomena2001,Tel PhasetransitioninthelatticeCou- Aviv,Israel,09/01. [nrs01] M.Ndawana,R.A.Romer,andM.Schreiber.FinitesizescalingofthelevelcompressibilityattheAndersontransition.DPG-FruhjahrstagungdesAKFestkorperphysik,Hamburg,01/01. dito: dorf, 12thInt.WinterschoolNewDevelopmentsinSolidStatePhysics,Mautern- [nrs02] dito:dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik,regensburg,03/02. Osterreich,03/02. dito:apsmarchmeeting,indianapolis,usa,03/02. dito:19theps/cmdconference,brighton,grossbritannien,04/02. dito:26thint.conf.physicsofsemiconductors,edinburgh,uk,08/02. dito: rence,tokyo,japan,08/02. Localisation2002:Int.Conf.onQuantumTransportandQuantumCohe- [nrs03a] M.Ndawana,R.A.Romer,andM.Schreiber.TheAndersonmodeloflocalization withscale-freedisorder. Belfast,04/03. CMMP03,Cond.MatterandMaterialsPhysicsConf., dito:dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik,dresden,03/03.

162 160 C1 Schreiber/Romer [nrs03b] M.Ndawana,R.A.Romer,andM.Schreiber. scale-freedisorderinthe3dandersonmodeloflocalization. Theextended-Harriscriterionand meeting,warwick,12/03 IOPTCMgroup [nrs04a] dito:springmeetinggermanphysicalsociety,regensburg,03/04. dito:cmmp04,cond.matterandmaterialsphysicsconf.,warwick,04/04. [rsv01] R.A.Romer,M.Schreiber,andT.Vojta. inlow-dimensionalquantumsystems. 21stIUPAPInt.Conf.StatisticalPhysics Disorderandtwo-particleinteraction (STATPHYS21),Cancun,Mexico,07/01. [rsvm01] R.A.Romer,M.Schreiber,C.Villagonzalo,andA.MacKinnon. transportpropertiesinamorphousmaterialsatthemetal-insulatortransition.21st Thermoelectric IUPAPInt.Conf.StatisticalPhysics(STATPHYS21),Cancun,Mexico,07/01. [rusm01] R.A.Romer,V.Uski,M.Schreiber,andB.Mehlig.Anexact-diagonalizationstudy ofrareeventsindisorderedconductors.mar01marchmeetingaps,seattle,usa, 03/01. [s01a] M.Schreiber.ApplicationoftheHartree-Fockbaseddiagonalizationalgorithmto thequantumcoulombglassandtoquantumdots. Dresden,06/01. DynamicsDaysEurope2001, [s01b] M. SommerschuleDynamicsofComplexSystems:ClassicalandQuantumAspects, Schreiber. Computer simulations of dynamical processes. WE-Heraeus- Wittenberg,08/01. [s01c] M.Schreiber.LokalisierungelektronischerZustandeinquasiperiodischenGittern. SPP-KolloquiumQuasikristalle:StrukturundphysikalischeEigenschaften,Irsee, 03/01. [s02a] M.Schreiber. thefrequencyandtimedomains,badkleinkirchheim, Correlatedelectrons. 3rdTMRWorkshopQuantumtransportin Osterreich,01/02. [s02b] M.Schreiber.Localizationofelectronicstatesindisorderedsystems.Alexandervon HumboldtSeminarTheScienticCommunityinRussiaandEuropeanIntegration, Moskau,Russland,09/02. [s02c] M.Schreiber. deredmaterials.clamvseminar,internationaluniversitybremen,10/02. Numericalinvestigationsofthemetal-insulatortransitionindisor- [skc+02] M.Schreiber,U.Kleinekathofer,P.Cain,I.Kondov,andR.A.Romer.Simulation ofelectrontransferprocessesindisorderedsystemsandinmolecularaggregateson largepcclusters. Honnef,08/ WE-Heraeus-SeminarScienceonClusterComputers,Bad [smr01] M.Schreiber,F.Milde,andR.A.Romer.Spatialstatisticsandmultifractalityof wavefunctionsindisorderedmaterialsatthemetal-insulatortransition.2ndconf. SpatialStatisticsandStatisticalPhysics,Wuppertal,03/01. [sr02] M.SchreiberandR.A.Romer.NumericalinvestigationsoftheAndersontransition.283.WE-Heraeus-SeminarLocalisation,QuantumCoherenceandInteraction, Hamburg,09/02.

163 C1 Schreiber/Romer 161 [srs02] C.Schuster,R.A.Romer,andM.Schreiber. insulatortransition.dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik,regensburg, Interactingparticlesatametal- 03/02. dito: rence,tokyo,japan,08/02. Localisation2002:Int.Conf.onQuantumTransportandQuantumCohe- [ssv01] M.Schreiber,J.Siewert,andT.Vojta.Interactingelectronsinparabolicquantum dots.mar01marchmeetingaps,seattle,usa,03/01. [svm01] M.Schreiber,T.Vojta,andA.Mobius.TheHartree-Fockbaseddiagonalization anecientalgorithmfortheexacttreatmentofmanyinteractingdisorderedelectronsinsolidstatephysics.3rdimacsseminarmontecarlomethodsmcm2001, Salzburg, Osterreich,09/01. [svs01] M.Schreiber,T.Vojta,andJ.Siewert.Interactingelectronsinparabolicquantum dotsandquantumdotstructures.dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik, Hamburg,03/01. [umrs01] V.Uski,B.Mehlig,R.A.Romer,andM.Schreiber. ofrareeventsindisorderedconductors.dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik,hamburg,03/01. dito:21stiupapint.conf.statisticalphysics(statphys21),cancun,mexico, 07/01. Exact-diagonalizationstudy [ums01] V.Uski,B.Mehlig,andM.Schreiber. statisticsoftheandersonmodel.dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik, Deviationsfromuniversalityinspectral Hamburg,03/01. [vrsm01a] C.Villagonzalo,R.A.Romer,M.Schreiber,andA.MacKinnon. thermopowerinamorphousmaterialsatthemetal-insulatortransition. Behaviorofthe MarchMeetingAPS,Seattle,USA,01/01. MAR01 [vrsm01b] C.Villagonzalo,R.A.Romer,M.Schreiber,andA.MacKinnon. trictransportpropertiesinamorphousmaterialsatthemetal-insulatortransition. Thermoelec- DPG-FruhjahrstagungdesAKFestkorperphysik,Hamburg,01/01. [vrsm02] thermoelectric C. Villagonzalo, transport R. A. Romer, properties M. Schreiber, the microscopic and A. way. MacKinnon. APS March Calculating Indianapolis,USA,03/02. Meeting, 2.5OeneFragen/Ausblick DiebisherigenUntersuchungensollenfortgesetztunderweitertwerden.InzweidimensionalenundquasizweidimensionalenSystemensolldasWechselspielzwischenderTopologiedesGitters,derSchichtdickeundderAnisotropiegenaueranalysiertwerden,dabei solleninsbesondereauchsystememiteinemmagnetfeldparallelzudenschichtenbeschriebenwerden.diebisherigenuntersuchungenzuschichtenendlicherdickekommen wahrscheinlichzufalschenergebnissen,dadiefurdas\nite-size-scaling"benutzten Rohdatenwahrscheinlichnichtkonvergiertwaren,bzw.vielzukleineSystemeberechnet wurden.anderetopologischestrukturen,beispielsweisedasmodelleinesnetzwerkesfur eine\kleinewelt",indemeinbestimmteranteildertransferintegralezwischenden

164 162 C1 Schreiber/Romer nachstennachbarndurchlangreichweitigetransfertermezuzufalligausgewahltengitterplatzenersetztwird,solleninzukunftebenfallsbetrachtetwerden.mitwachsender ZahlderartiglangreichweitigerVerbindungenimNetzwerkisteinewachsendeDelokalisierungderEigenzustandezuerwarten,sodassdasSystemmoglicherweiseineinen Phasenuberganggetriebenwerdenkann.GenauerenumerischeUntersuchungenfurdie verschiedenenvariantendesanderson-modellssindgeplantfurdieenergieniveaustatistikandermobilitatskanteundderenabhangigkeitvonderverteilungderzufallig gewahltenmatrixelemente. EinegenauereAnalysederUmstande,diezumAuftretenderanormalenlokalisierten sodasseinvergleichmitverschiedenenanalytischenresultatenmoglichwird.furdie Zustandeerforderlichsind,sollzueinerbesserenquantitativenBeschreibungfuhren, CharakterisierungderTransporteigenschaftensollendiediusivenEigenschaftenbeider DynamikvonWellenpaketenberechnetwerden,insbesonderedieanormaleDiusion, dieimkritischenbereichdesdelokalisierungsubergangsauftritt.inquasiperiodischen SystemenzeigtsichhiereinUbergangzwischenballistischemunddiusivemVerhalten, dersicherlichdurchdiehinzunahmevonpotentialunordnungbeeinusstwerdenkann, wobeidieunordnungentwederdurchstorstellenoderauchtopologisch,alsodurchphasoneneingefuhrtwerdenkannbungdeskritischenverhaltensamphasenubergangwesentlicheszielunsererzukunftigen InallenFallenwirddieCharakterisierungderelektronischenZustandeunddieBeschrei- Untersuchungensein.

165 Teilprojekt C3 SimulationundModellierungderRelaxationkomplexer SystememittelsParallelrechnern

166

167 C3Homann TeilprojektC3 SimulationundModellierungderRelaxationkomplexerSystememittelsParallelrechnern 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.KarlHeinzHomann ProfessurfurTheoretischePhysik,insbesondereComputerphysik InstitutfurPhysik FakultatfurNaturwissenschaften 09107Chemnitz TechnischeUniversitatChemnitz Telefon:(0371) Fax:(0371) Projektbearbeiter Prof.Dr.K.H.Homann,Computerphysik Dr.P.Blaudeck,Computerphysik Dipl.-Phys.A.Fischer,Computerphysik Dr.A.Franz,Computerphysik Dipl.-Phys.F.Heilmann,Computerphysik Dipl.-Phys.A.Nemnes,Computerphysik Dr.S.Schubert,Computerphysik Dr.C.Schulzky,Computerphysik Dr.S.Seeger,Computerphysik 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung DasProjektbefasstsichmitdemRelaxationsverhaltenkomplexerSysteme[Pal82,Hof99]. DiesesinddurcheinenZustandsraumcharakterisiert,dervielelokaleMinimaderEnergiefunktionenthalt,dieihrerseitsdurchenergetischeBarrierenunterschiedlicherHohe getrenntsind.zudemwirddiebewegungimzustandsraumnichtnurdurchdieseenergetischenbarrieren,sondernauchdurchdiekonnektivitatderzustandeunddamitdurch diemobilitatzwischenverschiedenenzustandsraumbereichenbeschrankt. DieseEinussebestimmendasthermischeRelaxationsverhaltenderkomplexenSysteme, welchesalshupfenzwischendenzustandenbeschriebenwerdenkann.diezeitskalen, aufdenensolcheprozesseablaufen,sindsehrgroverglichenmitdentypischen,furexperimentelleuntersuchungenverwandtenzeiten.diesfuhrtzueinervielzahlinteressanter experimentellerbefunde;insbesonderewerdennichtgleichgewichtsphanomenebeobachtet.inspin-glaserndruckensichdiesebesondersdurchdassogenannteaging-verhalten aus[lsnb83,gsn+88,sgn+87,hlo+92,vho+97,jvh+98,mjn+02,jyn02]. ZieldiesesTeilprojektesistes,u.a.dieseNichtgleichgewichtsphanomeneaufderBasiskomplexerZustandsraumezumodellieren.WegenderextremhohenAnzahlvon

168 166 C3Homann ZustandenselbstrelativkleinerSystemekanneineerfolgreicheModellierunginderRegelnichtimvollstandigenZustandsraumerfolgen.Stattdessenhatessichalsfruchtbar erwiesen,diesenaufeinehandhabbareanzahlsogenannterclusterzuvergrobern.dies sindzusammenfassungensehrvielerenergetischdichtbeieinanderliegenderbenachbarterzustande,dieuntereinanderschnellinsgleichgewichtkommen. BeiderModellierungvonAging-PhanomeneninsogenanntenTemperature-Step-Experimenten[VHO91,GSN+88,LHOV94,HSS97]zeigteessich,dassdieBerucksichtigung Zustandsraumwiedergeben.UmdiedurchdieKonnektivitatenbedingtenRelaxationseigenschaftenbessermodellierenzukonnen,habenwirunsereForschungenzurRelaxation inselbstahnlichen,fraktalenstrukturenvertieft.beidiesenistdierelaxationnichtdurch dieenergielandschaft,sondernausschlielichdurchdietopologiedeszustandsraumes bestimmt. BasierendaufeinerschonfruherentwickeltenBeschreibungvonFraktalen,dieeineeektivrandloseSimulationderDiusionvonZufallswanderernmoglichmacht,implementiertenwirnuneineparalleliserteVariante,diedieGrundlagedesLangzeitstudiumsder DiusionaufFraktalenbildet.SokonntenwirdieanomalenDiusioneigenschaftensehr genaucharakterisieren. vonkinetischenfaktorennotwendigist,dieinvergroberterweisediekonnektivitatenim 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1TeilaufgabeZustandsraumstrukturundlangsameRelaxation beispinglasernundanderensystemen DieStrukturdesZustandsraumskomplexerSystemebildetdieBasisfurdiedynamische BeschreibungsolcherSysteme.DabeiwirdderZustandsraumhaugdurcheinEnergiekalischrelevanteModellsystemswieIsing-Spinszuanalysieren,warzentralesZielunseregebirgevisualisiert[Hof02,HS02].DieseZustandsraumstrukturfurausgewahlte,physi- Untersuchungen,dasieinVerbindungmitweiterenEinussenUrsacheeinerReihevon thermodynamischennichtgleichgewichtsphanomenenist. DieindenvorhergehendenBewilligungsperiodenbegonnenenArbeitenzurZustandsraumstrukturvonIsing-Spinglasernwurdenfortgesetzt.DabeiwurdeninsbesondereSpinglasermitgleichverteiltenWechselwirkungenbenutzt.ZielunsererUntersuchungenwar diecharakterisierungdurchenumerationimniedrigenergetischenbereichunddiegewinnungvonzustandsdichtenauchfurhohereenergiensowiediefrageeinerangemessenenvergroberungzurbeschreibungderdynamik. WichtigesTeilzielwardabei,denZugriaufdieglobaleZustandsdichtekomplexerSystemezuverbessern.Unbekanntistz.B.diegenaueEnergieabhangigkeitinSpinglasernmit verschiedenenwechselwirkungen.hierzuentwickeltenwireinenparallelenalgorithmus, derdieubergangsmatrixeinessystemssukzessiveapproximiert.unsereimplementation Mittelseinesrekursiven,spezielldemProblemangepasstenBranch-and-Bound-Verfah- istbesondersgutfurrechner-clustergeeignet. rens,dasindieserantragsperiodeweiteroptimiertwurde,katalogisiertenwirdieniedrig- energetischenteiledeszustandsraumsundermitteltensoseinestruktur.insbesondere beiunserenforschungenzurvergroberungvonzustandsraumenkonntenaufdieseweise realistischerebilderderkonnektivitatenundenergieabhangigkeitengezeichnetwerden.

169 C3Homann 167 BeiderVergroberungvonZustandsraumentreteneineganzeReihevonProblemenauf, dahierbeieinerseitsezienz(starkereduktionderfreiheitsgrade),andererseitsaber Wirkungsgleichheit(imdynamischenVerhalten)einanderwidersprechendeForderungen sind.alsbasishierzukonntenwirmithilfederneugewonnenendatendiebarrierenstrukturvonspinglaserncharakterisierenundaussagenzurverteilunglokalerminimatreen.diesversetzteunsdannindielage,eineautomatischevergroberungdes Zustandsraumszuimplementieren.HierbeiergabensicheineReiheinteressanterErkenntnisse,dieinsbesonderezuverbessertenModellenkomplexerZustandsraumefuhren werden. ZurErganzungstudiertenwirauchdenZustandsraumkontinuierlicherSysteme.Beider AnalysedesZustandsraumessolcherSystemebestehtdieGrundideedarin,dieBereichedesZustandsraumeszudenieren,dieinternsoschnellrelaxieren,dasssiealsein diskreterzustandineinemmoglichsteinfachensystemsolcherdiskreterzustandebehandeltwerdenkonnen.dabeiistnaturlichzuberucksichtigen,dassauchhiereineganze HierarchievonRelaxationszeitenauftritt. ZunachstwerdentypischerweisedielokalenMinimaderEnergieimZustandsraumaufgesucht.DieEinzugsbereiche(Energietaler)dieserMinimawerdendanndadurchcharakterisiert,dassSattelpunktederEnergieachebestimmtwerden,diedenPassender Energielandschaftentsprechen[DWB90,HKQ91].IneinervorhergehendenArbeithatten wirsodieoptimaleabkuhlungeinesclustersystemsuntersucht,dasdurchvergroberung deszustandsraumseinesargon-19-clustersentstandenwar[kbhb98]. BendetsichdasSystemineinemsolchenMinimum,dannkannseinVerhaltenin AbhangigkeitvonderTemperaturweiteruntersuchtwerden.Dadurchgelingteserstens,dieHohenderBarrierenfurdenUbergangzuNachbarzustandenzu"messen\.Die furdiesenubergangbenotigtemittlerezeitcharakterisiertaberauerdemaucheinevon kinetischegroenundzusammenhangsverhaltnissenabhangigeubergangswahrscheinlichkeit.unterbenutzungdieserdatenkannnundiedynamikdessystemsmodelliert werden.zielunsereruntersuchungenwares,unterverwendungderschonentwickelten ProgrammedieseFragenfuramorpheHalbleiterzuanalysieren TeilaufgabeRelaxationsverhaltenaufFraktalen DieDynamikeinesSystemswirdnichtnurdurchenergetischeBarrieren,sondernauch vonderzusammenhangsstrukturdeszustandsraumsselbstwesentlichbeeinusst.infolgedessensetztenwirunserearbeitenzuruntersuchungvonrelaxationsvorgangenauf Fraktalenfort.DiesedieneneinerseitsalsZustandsraummodelleineskomplexenSystems,andererseitsalsRealraummodellz.B.poroserMaterialien.DiebesondereArtvon KonnektivitatzwischendenZustandenverlangsamti.Allg.dieBewegungvonZufallswanderernbzw.dieDiusionvonTeilchen. ImMittelpunktunsererUntersuchungenstanddieAufgabe,dieseanomaleDiusion moglichstexaktzucharakterisieren.technischstandenwirvorderfrage,wiesichdie vonunsimplementierten,bishernurseriellenalgorithmeneektivparallelisierenlassen. UmdieDynamikderWahrscheinlichkeitsdichteverteilungaufverschiedenenSierpinski- Teppichenzuberechnen,musseneektivrandloseFraktaleverwendetwerden.DiesgelangunsdurcheinenAlgorithmus,indemnurdieschonmitWahrscheinlichkeitbelegten mussdiebeschrankungdurchspeicherausbauundcpu-leistungumgangenwerden. TeiledesFraktalsgespeichertwerden.UmnunLangzeitstudiendurchfuhrenzukonnen,

170 168 C3Homann HierzubietetsichdieBenutzungvonCompute-Clusternan.AuchbeiderVerfolgung vonrandomwalkerstretenahnlicheproblemeauf;wirerwarteten,dieseaufeineanalogeweiselosenzukonnen. Jedochzeigtesich,dassdieParallelisierungunseresAlgorithmushochstkomplexist.Dies resultiertausdernotwendigkeit,sehrengmiteinanderverochtenedaten{generatoren undenthaltenewahrscheinlichkeiten{zusynchronisieren,dieaberaufeinevielzahl voncompute-nodeseinerdistributed-memory-architekturverteiltsind.diesgelingtim MomentnurdurcheinengroenKommunikationsaufwand,derdasSpeedup-Verhalten verschlechtert TeilaufgabeModellierungvonAging{Experimentenin ZurBeschreibungvonSpinglas-Aging-ExperimentensindbisherzumeinenClustermodelleundzumanderenhierarchischorganisierteModelleverwendetworden.Geradedie letzterenwareninderlage,einigederwichtigeneigenschaftenderexperimentezureproduzieren.dabeiwurdensehrvereinfachtebaummodellemiteinermastergleichungsdynamikversehen,diezumteilsogareineanalytischelosungzulieen.zusammenmit Spinglasern sponsetheorienotwendigeninformationenuberdiemagnetischeneigenschaftendessys- temsenthalt,konntensodieeinfachenagingexperimentemitihremcharakteristischen BuckelinderRelaxationsrateangenahertwerden. Unklaristimmernoch,inwieweitdieverwendetenBaummodellediewirklicheZustandsraumstrukturreprasentieren.Sicherist,dasseinigeEigenschaftenderExperimentenicht richtigodernichtvollstandigwiedergegebenwerden.typischerweisesteigenz.b.die theoretischenkurvenwiederan,wahrenddieexperimentellendiesnichttun.esistunbekannt,wiediesereektvermiedenwerdenkann. EineinteressanteKlassevonExperimentensindsolche,beidenendieTemperaturinder Wartezeitverandertwird.Diesesogenannten"temperature-cycling\Arbeitenzeigen verschiedeneverhaltensweisen,furdieunklarist,obsieimrahmenderhierarchischen Baummodellemodelliertwerdenkonnen. einermodellierungdermagnetischenuberlappfunktion,dieallefurdeneinsatzderretennb-clusteringaging-experimentezumodellieren.wirhabendazuausdemrealraumhamiltonianeinzustandsraummodellabgeleitetundaufdieserbasiseinigederan denheuristischenbaumstrukturendurchgefuhrtenmodellierungenwiederholt[sh04]. DabeikonntenwirdurchdendirektenZusammenhangzwischenderuntersuchtenvergrobertenZustandsraumstrukturunddemzugrundeliegendenRealraumhamiltonianeinesIsing-SpinglasesdiegrundsatzlicheRichtigkeitderhierarchischenBaummodellezeigen,esbietensichaberauchAnsatzpunktefureineReihevonFortentwicklungen.Diese ZielunsererUntersuchungenwardaher,mitdemvonunsentwickeltenundobenerwahnlierungderverbliebenen,nochnichtbehandeltenac-Suszeptibilitatsexperimente. ArbeitensindwichtigerBestandteildernocherforderlichenVorarbeitenfurdieModel-

171 C3Homann 169 Literaturverzeichniszu2.3 [DWB90] H.L.Davis,D.J.Wales,andR.S.Berry.Exploringpotentialenergysurfaceswith transition-statecalculation.j.chem.phys.,92(7):4308{4319,1990. [GSN+88] P.Granberg,L.Sandlund,P.Norblad,P.Svedlindh,andL.Lundgren.Observation ofatime-dependentspatialcorrelationlengthinametallicspinglass. B,38(10):7097{7100,1988. Phys.Rev. [HKQ91] D. PotentialEnergyLandscapes.Springer-Verlag,Heidelberg,1991. Heidrich, W. Kliesch, and W. Quapp. Properties of Chemically Interesting [HLO+92] J.Hamman,M.Lederman,M.Ocio,R.Orbach,andE.Vincent.Spin-glassdynamics{relationbetweentheoryandexperiment{abeginning. 4):278{294,1992. PhysicaA,185(1{ [Hof99] K.H.Homann. mization.comp.phys.comm., (1-3):30{33,1999. Slowrelaxationdynamics{fromspinglassestostochasticopti- [Hof02] K.H.Homann. to optimization. In Thestatisticalphysicsofenergylandscapes:Fromspinglasses Statistical Physics, chapter K. H. Homann 4, pages 57{76. and M. Springer Schreiber, Verlag, editors, Berlin, Computational st edition, [HS02] K. SpringerVerlag,Berlin,2002. H. Homann and M. Schreiber, editors. Computational Statistical Physics. [HSS97] K.H.Homann,S.Schubert,andP.Sibani. relaxationmodelsforspin-glassdynamics.europhys.lett.,38(8):613{618,1997. Agereinitializationinhierarchical [JVH+98] K.Jonason,E.Vincent,J.Hammann,J.P.Bouchaud,andP.Nordblad.Memory andchaoseectsinspinglasses.phys.rev.lett.,81:3243{3246,1998. [JYN02] P.E.Jonsson,H.Yoshino,andP.Nordblad.Symmetricaltemperature-chaoseect 89(9):097201/1{097201/4,2002. withpositiveandnegativetemperatureshiftsinaspinglass. Phys.Rev.Lett., [KBHB98] noscaleparticles:fromcoarse-graineddynamicstooptimizedannealingschedules. R.E.Kunz,P.Blaudeck,K.H.Homann,andS.Berry. Atomicclustersandna- J.Chem.Phys.,108(6):2576{2582,1998. [LHOV94] F.Leoch,J.Hammann,M.Ocio,andE.Vincent.Spinglassesinamagneticeld: phasediagramanddynamics.physicab,203:63{74,1994. [LSNB83] L. relaxation-timespectruminacumnspin-glass. Lundgren, P. Svedlindh, P. Nordblad, andphys.rev.lett.,51(10):911{914, P. Beckman. Dynamics of the [MJN+02] R.Mathieu,P.E.Jonsson,P.Nordblad,H.ArugaKatori,andA.Ito. andchaosinanisingspinglass.phys.rev.b,65(1):012411/1{012411/4,2002. Memory [Pal82] R.G.Palmer.Brokenergodicity.Adv.Phys.,31(6):669{735,1982. [SGN+87] P.Svedlindh,P.Granberg,P.Nordblad,L.Lundgren,andH.S.Chen.Relaxation inspinglassesatweakmagneticelds.phys.rev.b,35(1):268{273,1987.

172 170 C3Homann [SH04] S.SchubertandK.H.Homann. acceptedforpublicationineurophysicsletters,2004. Aginginenumeratedspinglassstatespaces. [VHO91] E.Vincent,J.Hammann,andM.Ocio. complexsystems.saclayinternalreportspec/91-080,centred'etudesdesaclay, Slowdynamicsinspinglassesandother OrmedesMerisiers,91191Gif-sur-YvetteCedex,France,October1991. RecentProgressinRandomMagnets,D.H.Ryaneditor. alsoin [VHO+97] E.Vincent,J.Hammann,M.Ocio,J.-P.Bouchaud,andL.F.Cugliandolo. dynamicsandaginginspinglasses. InMiguelRubandConradoPerez-Vicente, Slow 492,pages184{219.Springer,1997. editors,lecturenotesinphysics:complexbehaviourinofglassysystems,volume 2.4Ergebnisse 2.4.1TeilaufgabeZustandsraumstrukturundlangsameRelaxation diskretersysteme FurdieUntersuchungderZustandsraumstrukturvonIsing-SpinglasernmitNachster- Nachbar-WechselwirkungverwendetenwirimWesentlichenzweiAlgorithmen.Erstens wurdeninderumgebunglokalerminimaderenergiediezustandekatalogisiert;dazu implementiertenwireinenaufeinemumgekehrtensintut-verfahrenbasierendenparallelenalgorithmus.damitwurdedielokalezustandsdichtebestimmbar:wirkonnten zeigen,dassdiesemitderenergiesubexponentiellzunimmt. ZweitensbenutztenwirrekursiveBranch-and-Bound-Methoden,umalleZustandeunterhalbeinerfestgelegtenoberenSchrankederEnergiezunden.Dabeiwerdenauchdie Zustandegefunden,diedurchBarrierengetrenntsind,diehoheralsdieserMaximalwert sind.imunterschiedzuobigemalgorithmuswirddieglobalezustandsdichteermittelbar.aufbasisdersogewonnenendatenkonntenwirschonfruherzeigen,dassdiese unterexponentiellanwachst[ksh98]undbisdahinvertreteneanderslautendemeinungenwiderlegen[ss94,sib98]temsbeiunendlichertemperaturbekanntodergutapproximiertist[ahm+88].sie DieglobaleZustandsdichteistauchberechenbar,wenndie UbergangsmatrixdesSys- ergibtsichdannalsrechtereigenvektorzumeigenwert1.aufdieserbasisimplementiertenwireinenparallelenalgorithmus,dersehrgutskalierbarist[hh04].dieserso genannteparq-algorithmusbenutzteinensemblevonzufallswanderern,dieaufbeliebigvielerechenknoteneinescompute-clustersverteiltwerdenkonnen:abb.2.1zeigt dasspeedup-verhaltenaufzweicompute-clusternmitunterschiedlichvielenrandom Walkers. nutztendiesenalgorithmuszunachst,umferromagnetischeising-spinsystemezuunter- suchen.furdieseexistierteinvonbealegeschaenesmathematica-programm[bea96], dasfurzweidimensionaleising-gitterexaktezustandsdichtenberechnetunddeshalb zuvergleichenherangezogenwerdenkann.unseralgorithmusistmindestenssoperformantwiediebestenzurzeitexistierendenkonkurrenzalgorithmen(z.b.[wl01]). HierzuwirdinAbb.2.2dieAuswirkungvonverschiedenenAnzahlenvonSweepsfur MitsteigenderSchrittzahllieferndieseimmerbessergenaherteMatrixeintrage.Wirbe- einen32 32-IsingferromagnetenaufdieGutederberechnetenZustandsdichtevergli-

173 C3Homann Mean execution time / s RW 20 RW 100 RW Speedup RW 20 RW 100 RW (a) processors processors Execution time / s fit to first 150 data points fit of modified expected execution time Speedup (b) 0 Abbildung2.1: ternencluster(a)undaufdemclic(b).unterschiedlichezahlenvon LaufzeitenundSpeedupunseresparQ-Algorithmusaufdemgruppeninten.InTeilabbildung(b)sindzweiverschiedeneFitsandieRohdaten RandomWalkers(RW)fuhrenzuunterschiedlichemSkalierungsverhal- durchgefuhrtworden. chen.mitsteigenderanzahlverkleinertsichderrelativefehlerinbezugaufdieexakt berechnetezustandsdichte. ZurdetailliertenUntersuchungenergetischerBarrierenundKonnektivitatenentwickeltenwireinVerfahren,welchesdenZustandsraumeinesSystemsvergrobert(Coarse Graining).DazuwerdenZustandsraumbereiche,dieleichtmiteinanderinsGleichgewicht kommen[hof99],zusogenanntenno-barrier-clusternzusammengefasst[sh04b]. HierzuwerdendieZustandeeinesSpinglas-Edwards-Anderson-HamiltonianmitNahbereichswechselwirkung H=X <i;j> Jijsisj X i Hsi (2.1) inreihenfolgeaufsteigenderenergiebetrachtetundentsprechendihrernachbarschaftsrelationzuallenzustandengeringererenergieindynamischerzeugteclustereingeord processors corresponding speedup corresponding speedup processors

174 172 C3Homann sweeps sweeps sweeps sweeps Log(DoS) exact sweeps sweeps sweeps sweeps Relative error Energy per spin Energy per spin Abbildung2.2: lativerfehlerinbezugaufdieexaktezustandsdichteinabhangigkeit Zustandsdichteapproximationeines32 32-Isingferromagnetenundre- derdurchgefuhrtensweeps. net.dabeisindsdiespinsundjijdiewechselwirkungskonstantenzwischendiesen,h isteinaueresmagnetfeld,dasentsprechendderexperimentellenvorgehensweisegesteuertwird.dieentstehendevergrobertestruktur,bestehendaussogenannten"local werden,umz.b.aging-phanomenenachzubilden.dazuwurdeauchdiedynamikselbst minimumclusters\und"barrierclusters\,kanndurcheinemastergleichungbeschrieben vergrobert,indemeektivekinetischefaktorenausdermikroskopischendynamikabgeleitetwurden,diedie DabeiistdiemittlereEnergiedesClustersals UbergangsratenzwischenbenachbartenClusternbeschreiben. ^Ep= 1ln p X j2cp e Ej 1 A (2.2) unddereektivekinetischefaktorzwischendenclusterncpundcqals ^Tpq= P j2cq;i2cptijmin e Ej;e Ei min e ^Ep;e ^Eq (2.3) deniert,wobeidieinversetemperatur,eidieenergiedeszustandesi,^npdieanzahl derzustandeimclustercpsowietijeinkinetischerfaktorist. MitHilfedieserVorgehensweiselassensichdetaillierteInformationengewinnenundin denvergrobertenzustandsraumubertragen.diesistz.b.dieanzahldervomglobalenminimumauserreichbarenlokalenminima,wenneinegewissebarrierenhohenicht dergroe8 8. uberschrittenwerdendarf;abb.2.3zeigteinemittelunguber88spinglasrealisationen EbenfallswurdedieDichtederentstehendenClusteruntersucht.DieseistvonBedeutung furdieeinschatzungdergutevonz.b.hierarchischenmodellenfurzustandsraume

175 C3Homann 173 Accessible local minima Barrier energy E Abbildung2.3: einebarrieregroerebzuuberqueren.diegestrichelteliniemarkiert LokaleMinima,dievomglobalenMinimumauserreichbarsind,ohne b einenfite3:9 b Number of clusters local minima barriers Energy E Abbildung2.4: kleinere,diehierrelativzurenergiedesglobalenminimumsgemessen AnzahlderlocalminimumclustersundbarrierclustersmitEnergie wurde. EnergiedargestelltundeinsubexponentiellerAnstiegnachgewiesen. HierzuwirdinAbb.2.4dieAbhangigkeitderAnzahlderzweiClusterartenvonder DieobenschonangesprochenenkinetischenFaktorenhabenwirgleichfallssehrdetailliert untersucht.zurabhangigkeitdieserfaktorenvonderenergiedierenzzweiercluster zeigtabb.2.5diemittlerenkinetischenfaktorenvon131spinglasrealisationen.energetischkurzeverbindungensindnachweislichstarker.diegroestandardabweichungwird nichtdurcheinenbreitenpeakumdenmittlerenwertverursacht,sonderndurchdie VerteilungderVerbindungenselbst,s.Abb.2.6.DieseErgebnissebestatigendiebisherigenArbeiten,insbesondereaberdieRichtigkeiteinigerAnnahmenzudenhierarchischen Modellen.[HS88,SH91,UHS95]. mittlerenkinetischenfaktorszwischenzweiclusterngegendieenergiedierenzaufge- EinnochdetaillierteresErgebniszeigtAbb.2.7:HierhabenwirdieAbhangigkeitdes

176 174 C3Homann Average kinetic factor T Energy difference Ε Abbildung2.5: MittlerekinetischeFaktorenzwischenzweiClusternalsFunktionihrer Energiedierenz. Number of connections Ε = 1 Ε = 2 Ε = 3 Ε = Kinetic factor T Abbildung2.6: netischenfaktorsimenergieintervall( E; E+0:25).DiebreiteVer- teilungistursachedergroenstandardabweichungeninabb.2.5. AnzahlderVerbindungenzwischenzweiClusternalsFunktiondeski- tragen,wobeiderclustermitgeringererenergiezueinemgewissenenergiebandgehort. Wirfanden,dassimMitteldieVerbindungenbeikleinerenglobalenEnergienstarker sindalsdiebeigroerenglobalenenergien.diesereigenschaftwirdbisherinheuristischenmodellennichtrechnunggetragen,konnteabereineverbessertemodellbildung zurfolgehaben. DerAusgangspunktbeiderUntersuchungdesdynamischenVerhaltenskontinuierlicher SystemewardieGrundidee,denkontinuierlichenZustandsraumaufeinendiskreten Raumabzubilden.DieseAufgabewurdedurcheinebereitsimvorhergehendenBericht grundlegendbeschriebeneparallelemaster-slave-implementierunggelost,beidersystematischderzustandsraumdurchwandertundanvielenstellendurchslave-prozessegenaueruntersuchtwird.dieseimplementierungwurdeindiesemberichtszeitraummehrfachoptimiertundzuranwendungsreifegebracht.eineentscheidendebedeutungbesitzt indiesemalgorithmusdiesogenannteescape-zeit,diedassystembeieinerbestimmten

177 C3Homann Average kinetic factor s 80 0 < E lower < 1 1 < E lower < 2 2 < E lower < 3 3 < E lower < 4 4 < E lower < 5 5 < E lower < 6 All connections Energy difference Ε Abbildung2.7: ihrerenergiedierenz,wobeidieenergiedestieferliegendenclustersim MittlererkinetischerFaktorzwischenzweiClusterninAbhangigkeit angegebenenintervallliegt. TemperaturimMittelbenotigt,umauseinemlokalenMinimumderpotentiellenEnergiezuentkommen.DieseEscape-ZeiterlaubteineAbschatzungderTiefeeineslokalen Minimums. AufdieseWeiseentstehteineStatistikvonMinimamitbestimmtenEigenschaften,die sichkatalogisierenundingruppeneinordnenlassen.esgelang,diesfureineinden letztenjahrenbesondersinteressanteklassevonsystemen,dieamorphenhalbleiter, zurealisieren.eswurdeeineoptimalestrategiefurdasaufsuchenvonbesonderstief liegendenminimaderpotentiellenenergievonsystemenmitgegebeneratomarerzusammensetzunggefunden.abbildung2.8zeigtbeispielhaftdasergebnisfureinencluster ausamorphemkohlensto,nachdemdessenwesentlicheeigenschaftendeszustandsraumesaufeinedurchbarrierenverbundenestrukturvondiskretenzustandenabgebildet werdenkonnte[bh03].diemethodeistohneweiteresauchaufsystemeausanderen AtomsortenmitanderenWechselwirkungspotentialenubertragbar TeilaufgabeRelaxationsverhaltenaufFraktalen UmdenEinussderKonnektivitatenimZustandsraumeineskomplexenSystemsauf dessenthermischesrelaxationsverhaltenzuverstehen,habenwirunsereuntersuchungen derdiusionauffraktalenfortgesetzt.wirbeschranktenunsaufsierpinski-teppiche, dahierfursowohleinvonunsentwickelterezienteralgorithmuszursimulationder komplementaremethodenzurbestimmungderrandom-walk-dimensionsolcherstruk- Diusionauf"nitelyramied\Teppichenexistiert[SFSH01],andererseitsaberauch turenzurverfugungstehen.dieteppichewerdeninunseremalgorithmusfolgender- maenrealisiert:nurdergeneratorwird,verbundenmiteinerhierarchischennotation derkoordinatendeswalkers,gespeichert.dasentstehendefraktalwirddabeidynamischerzeugtundwachstimverlaufdersimulation.damitwerdenimgegensatzzu herkommlichen,bitmap-orientiertenalgorithmenrandeektevermiedenundwesentlich dieentstehungeines"nitelyramied\teppichsvonstufe1bis3. genauerewertefurdierandom-walk-dimensionermittelbar.alsbeispielzeigtabb.2.9

178 176 C3Homann A E(Hartrees) A B B sorted structures Abbildung2.8: weils32systemen,neuentwickeltestrategie(sterne)imvergleichmit Links:StatistikderpotentiellenEnergientiefliegenderMinimavonje- vorhergewonnenenresultaten(quadrate).rechts:kohlenstocluster (A:amorph,B:graphitahnlichbeibesondersgeringerpotentiellerEnergie) Abbildung2.9: markierendieverbindungenzumrestderstruktur. EntstehungeinestypischenSierpinski-Teppichs.DiekleinenQuadrate DieParallelisierungdesAlgorithmusfurCompute-ClusterwurdevonunsindervergangenenPeriodeinAngrigenommen.DabeiergabensichmehrereHerausforderungentenhaltungimplementiertwerden.DazuhabenwirdiedynamischgeneriertenFraktalteileineinerverteiltenListeabgelegt.ZweitensmussenalleCompute-Nodesdaruber Erstensmussteeineeektive,ubermehrereCompute-NodesverteilbaredynamischeDa-

179 C3Homann 177 GenerierungeinesneuenTeilsumfangreiche,prozessgruppenweiteKommunikationen informiertwerden,wowelcherteildesteppichsverwaltetwird.hierzumussennach stattnden,umdiedatenaufallenknotenzusynchronisieren.drittensdarfeinneu zugenerierenderteilnichtgleichzeitigmehrfacherzeugtwerden:diesesproblemtritt z.b.indenzeitschrittenauf,indenenrandomwalkers,dieinverschiedenenrichtungen umeineporedesfraktalsherumwanderten,sichwiedertreen. BeispielhaftzeigtAbb.2.10,wiediesichausbreitendeWahrscheinlichkeitsdichteauf einemfraktalnachundnachdieerzeugungneuerfraktalteilenotwendigmacht.ausgehendvomzentrumdesfraktalslauftdiesebreit,jedochexistierteinevorzugsrichtung (hierdiex-achse),aufderdiesschnellergeschehenkann.daheristdasentstehende (Pseudo)-FraktalindieseRichtungweiterausgedehnt. Abbildung2.10: lichkeitsdichteentstehendesfraktal.jehellerderteil,destospaterwur- dedieserindieschonbestehendestruktureingefugt. DurchBreitlaufeneinerursprunglichscharfkonzentriertenWahrschein- DieseAspektemachtenesnotwendig,striktzwischendenTeilenGenerationvonneuen Teppichteilen,SchrittausfuhrungderRandomWalkerundKommunikationzuunterscheidenundeinAusfuhrungsschemazuentwickeln,welchesdieDatensynchronhalt. AlledreiTeilesindabersehrengmiteinanderverknupftundbedingenteilweiseeinander. DerdadurchentstehendegroeKommunikationsaufwandbietetunseinenAnsatzpunkt furweitereverbesserungen.inzusammenarbeitmitfrankmietkeausdemneubeantragtentpb10wurdeeinezeitmessungdurchgefuhrt,dieinabb.2.11dargestelltist. HieristderrelativeAnteilderKommunikationviaMPIanderGesamtlaufzeitalsFunktiondesIterationsschritteswahrendderBerechnungeinerDichteverteilungaufeinem Fraktaldargestellt. DaruberhinauswurdenvonunserganzendeMethodenzurBestimmungderRandom- Walk-Dimensionuntersucht,angewandtundweiterentwickelt:IterationderMastergleichungundResistanceScaling.ZurUntersuchungderDiusionmittelsMastergleichung

180 178 C3Homann Anteil MPI-Kommunikation Iteration Abbildung2.11: einerwahrscheinlichkeitsdichteberechnungalsfunktiondesiterationsschrittes. RelativerAnteilderKommunikationviaMPIanderGesamtlaufzeit gorithmus,derdiezeitabhangigewahrscheinlichkeitsverteilungaufdemuntersuchten entwickeltenwirbasierendaufder"exactenumerationmethod\[hba87]einenal- Fraktaldynamischspeichert[FSSH00].AuchhierverfolgtenwirdasZiel,diesenzuparallelisierenundeinefurCompute-ClusteroptimalangepassteImplementationzunden, umspeicherplatzbeschrankungenzuumgehen.unsereideewar,nurdiebesuchtenteile desfraktalszuspeichern.hiertretenimprinzipdiegleichenproblemeaufwieauch schonbeiderobenbeschriebenenparallelimplementationderrandom-walk-variante. Eskommtabernochhinzu,dassCPU-LastundKommunikationsaufwandmitderLaufzeitsteigenkonnen.DieKonnektivitatzwischendenTeilendesFraktalsmussdeshalb besonderssorgfaltigmitderinter-node-kommunikationverknupftwerden,umausreichendeezienzzugewahrleisten.auerdemmusseineleistungsfahigelastverteilung kreiertwerden.zurzeitgibteseineersteimplementation. AnalytischeUntersuchungenstartetenmitderEinsicht,dassdieBrownscheBewegung aufeinemsubstratundderstromussdurcheinentsprechendeswiderstandsnetzwerk enggekoppeltsind[fsh01].skalierungsuntersuchungendesgesamtwiderstandserlaubenberechnungenderrandom-walk-dimensionmitbeliebigergenauigkeit.dieswurde miteinementsprechendenmathematica-programmumgesetzt[sfh00]undfurdieberechnungchemischerdimensionenerweitert[fsh02].diesedreimethoden{verfolgung vonrandomwalkers,iterationdermastergleichung,widerstandsskalierung{wurden gegenubergestelltineinerzusammenfassung[fssh02]. DieMoglichkeiteinerKontinuumsbeschreibungderDiusionaufFraktalenwurdeauch indervergangenenantragsperiodeweiteruntersucht.nebeneinerreihevonschonexistierendenarbeiten[hes98,esfh00,sed+00,des+01,eds+01],jedochistdiesefrage imwesentlichenungeklartundweiterhingegenstandintensiverforschung ModellierungvonAging{ExperimenteninSpinglasern NachdeminderVergangenheithierarchischeBaummodelleverwendetwurden,umAlterungseektebeiSpinglasernzuerklaren,habenwireinenerstenVersuchunternommen, umeinemodellierungzunden,diedirektaufdemrealraumhamiltonianeinesising-

181 Relaxation Rate S(t) t w = 100 t w = 1000 t w = C3Homann 179 Spinglasesaufbaut[SH04a].AusgehendvondenDatendesenumeriertenZustandsraumes fuhrtenwireinevergroberungdeszustandsraumesdurch,beiderauchdiemagnetischen Eigenschaftenberucksichtigtwurden.DasvonunsentwickelteNB-Clustering-Verfahren liefertedanneinenmesoskopischenzustandsraum,aufdemmittelsmastergleichungsdynamikdaszeitlicheverhaltenmitundohnemagnetfeldmodelliertwerdenkonnte.im EinzelnenkonntensoSimulationendurchgefuhrtwerden,diedenAging-Experimenten entsprachen. EinederdamituntersuchtenexperimentellenSituationenistdasZFC-Experiment.DabeiwirddasSystemohneaueresMagnetfeldabgekuhltundkannanschlieendfureine Zeittwrelaxieren.Danachwirdeinkleines,konstantesMagnetfeldeingeschaltetunddie zeitlicheentwicklungdermagnetisierunggemessen.dabeibetrachtenwirzurbesseren tionsratebezeichnet,s(t)=dm(t)=dlog(t),wobeit=0derzeitpunktdereinschaltens UbersichtdieAbleitungderMagnetisierungnachdemLogarithmusderZeit,alsRelaxa- gilt.daswiederumbedeutet,dassmanausdemzeitverlaufderrelaxationsratedasalter desmagnetfeldesist.ausabb.2.12gehtdabeiklarhervor,dassjeweilssmaxs(ttw) desuntersuchtensystemsableitenkann log 10 (t) Abbildung2.12:RelaxationsrateS(t)=dM(t)=dlog(t),gemitteltuber500RealisierungendesvergrobertenSpinglases.DasSystemwirdabgekuhlt,undnach VerstreichenderWartezeittwlegtmaneinkonstantesschwachesMagnetfeldanundmisstdenZeitverlaufderMagnetisierung.Dabeindet man,dassdiezeitpunktedermaximaderrelaxationsrategenauwie imexperimentmitdenwartezeitenkorrespondieren. EineModikationdiesesExperimentesistdasZFC-ExperimentmitTemperaturstufe. DerprinzipielleAblaufdiesesExperimentesistgleichdemobigenmitdemkleinenaber wesentlichenunterschied,dassdietemperaturwahrendderwartezeittwum TniedrigeralszurMesszeittist.DerEektderTemperaturstufeist,dassdieErgebniskurven mitniedrigerertemperaturwahrendderwartezeitjungererscheinen,d.h.dasmaximumderrelaxationsrateistnachlinksverschoben,wieabbildung2.13deutlichzeigt. TechnischgesehenistdiescheinbareWartezeitoderdasscheinbareAltereinesSystems durchdiepositiondesmaximumderrelaxationsratedeniert.stelltman,wieinabbildung2.14,diescheinbarewartezeitalsfunktiondertemperaturstufe Tdar,ndet maneineexponentielleabhangigkeit,wobeiderbetragdeskoezientenmitsteigender

182 180 C3Homann Relaxation Rate S(t) Τ = 0.00 Τ = 0.02 Τ = 0.04 Τ = 0.06 Τ = 0.08 log 10 (t W ) = log 10 (t) Abbildung2.13:Relaxationsrate TemperaturstufeunterdemEinussunterschiedlicherTemperaturabsenkung T wir,dassdiezeitpunktedermaximaderrelaxationsratemitsteigen- wahrendkonstanterwartezeittw=1000.dabeinden S(t) = dm(t)=d log(t)deszfc-experimentesmit dem T geringeresscheinbaresalterverstehenkann. nachlinksverschobenwerden,eineektdenmanauchals Wartezeitzunimmt. exponentiellenverhalten.dieseresultierenausdenubergangsraten,welchefurdiedynamikwahrendderwartezeitbenutztwerden.wieausdengleichungen(2.2)und(2.3) hervorgeht,istdievergroberungderdynamiktemperaturabhangig;ausgrundender DurchfuhrbarkeitwurdenaberdiegleichenParametersowohlwahrendderWartezeit alsauchwahrenddermesszeitverwendet.furkleine TistdieseVereinfachungaber moglich,undwirndeneinesehrguteubereinstimmungmitexperimentellenbefunden [GSN+88]. Dabeizeigensichfurgroe T,insbesonderebeilangenWartezeiten,Abweichungenvom Literaturverzeichnis EigenereferiertePublikationen: [AHM+88] B.Andresen,K.H.Homann,K.Mosegaard,J.Nulton,J.M.Pedersen,andP.Salamon. problems.j.phys.france,49:1485{1492,1988. Onlumpedmodelsforthermodynamicpropertiesofsimulatedannealing [BH03] P.BlaudeckandK.H.Homann.Groundstatesforcondensedamorphoussystems: Optimizingannealingschemes.Comp.Phys.Comm.,150(3):293{299,2003. [DES+01] M.Davison,C.Essex,C.Schulzky,A.Franz,andK.H.Homann.Clouds,bres andechoes:anewapproachtostudyingrandomwalksonfractals. Math.Gen.,34(20):L289{L296,2001. J.Phys.A: [EDS+01] C.Essex,M.Davison,C.Schulzky,A.Franz,andK.H.Homann.Thedierential 34(41):8397{8406,2001. equationdescribingrandomwalksonthekochcurve. J.Phys.A:Math.Gen.,

183 C3Homann log 10 (t w app /t w ) log 10 (t w ) = 2 log 10 (t w ) = 3 log 10 (t w ) = Τ Abbildung2.14:LogarithmusderscheinbarenWartezeittwappalsFunktionderTempezeitistdurchdasMaximumderRelaxationsratedeniert,welchesiraturstufe TfurverschiedeneWartezeitenTw.DiescheinbareWarte- ist.dielinienreprasentierenlinearetrends;imfallevontw=10000 ExperimentenmitTemperaturstufezukurzerenZeitenhinverschoben wurdendabeiausimtextgenanntengrundennurwerte T0:04 berucksichtigt. [ESFH00] C.Essex,C.Schulzky,A.Franz,andK.H.Homann.TsallisandRenyientropies infractionaldiusionandentropyproduction.physicaa,284(1-4):299{308,2000. [FH02] A.FranzandK.H.Homann.OptimalannealingschedulesforamodiedTsallis statistics.j.comput.phys.,176(1):196{204,2002. [FH03] A.FranzandK.H.Homann. Tsallisstatistics.Appl.Math.Lett.,16(1):27{31,2003. Thresholdacceptingaslimitcaseforamodied [FHS01] A.Franz,K.H.Homann,andP.Salamon. groundstates.phys.rev.lett.,86(23):5219{5222,2001. Bestpossiblestrategyfornding [FSH01] A.Franz,C.Schulzky,andK.H.Homann. ramiedsierpinskicarpets.nonlinearity,14(5):1411{1418,2001. TheEinsteinrelationfornitely [FSH02] A.Franz,C.Schulzky,andK.H.Homann. determinethechemicaldimensionofnitelyramiedsierpinskicarpets.sigsam Usingcomputeralgebramethodsto Bulletin,36(2):18{30,2002. [FSSH00] A.Franz,C.Schulzky,S.Seeger,andK.H.Homann.Anecientimplementation 8(2):155{161,2000. oftheexactenumerationmethodforrandomwalksonsierpinskicarpets.fractals, [FSSH02] A.Franz,C.Schulzky,S.Seeger,andK.H.Homann. ecientalgorithmstocomputetherandomwalkdimension. Diusiononfractals{ A.K.Evans,andM.J.Turner,editors,FractalGeometry:MathematicalMethods, InJ.M.Blackledge, Algorithms,Applications,IMAConferenceProceedings,pages52{67.HorwoodPublishingLtd.,Chichester,WestSussex,2002. [FSTH01] A.Franz,C.Schulzky,S.Tarafdar,andK.H.Homann. Sierpinskicarpets.J.Phys.A:Math.Gen.,34(42):8751{8765,2001. Theporestructureof

184 182 C3Homann [HES98] K. production.j.non-equilib.thermodyn.,23(2):166{175,1998. H. Homann, C. Essex, and C. Schulzky. Fractional diusion and entropy [HFS02] K.H.Homann,A.Franz,andP.Salamon. forndinggroundstates.phys.rev.e,66:046706,2002. Structureofbestpossiblestrategies [HH04] calculatingthedensityofstates.submittedtoparallelcomputing,march2004. F.HeilmannandK.H.Homann.TheparQmethod:aparallelizedalgorithmfor [HHS04] F.Heilmann,K.H.Homann,andP.Salamon.Bestpossibleprobabilitydistributionoverextremaloptimizationranks.Europhys.Lett.,66(3):305{310,2004. [Hof99] K.H.Homann. mization.comp.phys.comm., (1-3):30{33,1999. Slowrelaxationdynamics{fromspinglassestostochasticopti- [Hof02] K.H.Homann. to optimization. In Thestatisticalphysicsofenergylandscapes:Fromspinglasses Statistical Physics,chapter4,pages57{76.SpringerVerlag,Berlin,1stedition, K. H. Homann and M. Schreiber, editors,computational [HS88] K.H.HomannandP.Sibani.Diusioninhierarchies.Phys.Rev.A,38(8):4261{ 4270,1988. [HS02] SpringerVerlag,Berlin,2002. K. H. Homann and M. Schreiber, editors. Computational Statistical Physics. [HS03] K. energylandscapes.submittedtoeurophysicsletters,december2003. H. Homann and J. C. Schon. Kinetic features of preferential trapping on [KSH98] T.Klotz,S.Schubert,andK.H.Homann. spinglasses:thedensityofstates.eur.phys.j.b,2(3):313{317,1998. Thestatespaceofshort-rangeIsing [LED+03] X.Li,C.Essex,M.Davison,K.H.Homann,andC.Schulzky.Fractionaldiusion, irreversibilityandentropy.j.non-equilib.thermodyn.,28(3):279{291,2003. [SED+00] C.Schulzky,C.Essex,M.Davison,A.Franz,andK.H.Homann.Thesimilarity groupandanomalousdiusionequations. 5511,2000. J.Phys.A:Math.Gen.,33(31):5501{ [SFH00] C.Schulzky,A.Franz,andK.H.Homann. dimensionsfornitelyramiedsierpinskicarpets. Resistancescalingandrandomwalk SIGSAMBulletin,34(3):1{8, [SFSH01] S.Seeger,A.Franz,C.Schulzky,andK.H.Homann. ramiedsierpinskicarpets.comp.phys.comm.,134(3):307{316,2001. Randomwalksonnitely [SH91] P.SibaniandK.H.Homann.Relaxationincomplexsystems:Localminimaand theirexponents.europhys.lett.,16:423,1991. [SH02] S.SeegerandK.H.Homann. Maxwellgases.ContinuumMech.Thermodyn.,14(2):321{335,2002. Thecumulantmethodappliedtoamixtureof [SH04a] S.SchubertandK.H.Homann. acceptedforpublicationineurophysicsletters,2004. Aginginenumeratedspinglassstatespaces. [SH04b] S.SchubertandK.H.Homann. spaces.acceptedbycomputerphysicscommunications,2004. Thestructureofenumeratedspinglassstate

185 C3Homann 183 [TFSH01] S.Tarafdar,A.Franz,S.Schulzky,andK.H.Homann. turesbyrepeatedsierpinskicarpets.physicaa,292(1-4):1{8,2001. Modellingporousstruc- [UHS95] C.Uhlig,K.H.Homann,andP.Sibani.Relaxationinselfsimilarhierarchies.Z. Phys.B,96:409{416,1995. AndereZitate: [Bea96] P.D.Beale. Phys.Rev.Lett.,76(1):78{81,1996. ExactDistributionofEnergiesinthetwo-dimensionalIsingmodel. [GSN+88] P.Granberg,L.Sandlund,P.Norblad,P.Svedlindh,andL.Lundgren.Observation ofatime-dependentspatialcorrelationlengthinametallicspinglass.phys.rev. B,38(10):7097{7100,1988. [HBA87] S. 36(6):695{798,1987. Havlin and D. Ben-Avraham. Diusion in disordered media. Adv. Phys., [Sib98] P.Sibani.Localstatespacegeometryandthermalrelaxationincomplexlandscapes:thespin-glasscase.PhysicaA,258(3{4):249{262,1998. [SS94] P.SibaniandP.Shriver. micsofshort-rangeisingspinglasses.phys.rev.b,49(10):6667{6671,1994. Localphase-spacestructureandlow-temperaturedyna- [WL01] F.WangandD.P.Landau. tocalculatethedensityofstates.phys.rev.lett.,86(10):2050{2053,2001. Ecient,Multiple-RangeRandomWalkAlgorithm 2.5OeneFragen/Ausblick klarungalsauchderspinglasmodellierunggibtesweiterhineinereiheoenerfragen: DieArbeitenindiesemTeilprojektdauernan;sowohlbezuglichderZustandsraumauf- KanneineMethodeimplementiertwerden,diewahlweisemehroderwenigerdetailliertdenZustandsraumeinesSpinglasesvergrobert?WiemussdieinnereStruktur sehrgroerclusterbeschaensein,damitdiesmoglichwird? WiekonnteeinesolcheMethodeeektivparallelisiertwerden?Hierzukonnten sichschemataanbieten,dieeinegebietszerlegungimzustandsraumbenutzen, umbenachbartezustandezusammenzufassen. Istesmoglich,denZustandsraumvonSpinglaserninderUmgebunglokalerMinima soweitzuenumerieren,dasseinegroereanzahlvonspinipserforderlichist,um diesenbereichzuverlassen? WiekanndasunterexponentielleWachstumderZustandsdichteambestencharakterisiertwerden? AuchzudenForschungenaufdemGebietderFraktaleergebensicheineReihevon interessantenfragestellungen: WiewirktsichdieMischungvonunterschiedlichenFraktalgeneratorengleicher Random-Walk-DimensionaufdieDimensiondeserzeugtenZufallsfraktalesaus?

186 184 C3Homann Wasgeschieht,wennnunmehrGeneratorenverschiedenerDimensionverwendet werden? AucheineEnergiefunktionkannaufFraktalendeniertsein.DannexistierenVorschenRandom-Walk-DimensionundEnergiefunktionzucharakterisierenzugsrichtungenfurZufallswandereraufdiesen.WieistdanndasWechselspielzwi- ImBereichderModellierungvonSpinglasexperimentenverbleibenz.B.folgendeProbleme: KannmanmitHilfederlinearenResponse-Theoriedieac-SuszeptibilitatderhierarchischenModellefurdieneuerenExperimentemitTemperaturrampebestimmen, unddaraufaufbauenddieexperimentellbeobachteteneektereproduzieren? Lasstsichhierzu,basierendaufdenKenntnissenuberdieTemperaturabhangigkeitderEigenwertederUbergangsmatrix,derPropagatorfureinekontinuierliche Temperaturrampeermitteln? EineausfuhrlicheDarstellungdergeplantenProjekteistimFinanzierungsantrag2005{ 2007,TeilprojektC3,enthalten.

187 Teilprojekt C7 ZweistugeParallelisierungeinesBandstrukturprogramms undmassivparalleleanwendungauf AmorphisierungsphanomeneaninnerenGrenzachen

188

189 C7Schreiber/Kostlmeier TeilprojektC7 ZweistugeParallelisierungeinesBandstrukturprogrammsundmassivparalleleAnwendungaufAmorphisierungsphanomeneaninnerenGrenzachen 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.MichaelSchreiber Dr.SibylleGemming ProfessurTheoretischePhysikIII InstitutfurPhysikalischeChemie (TheorieungeordneterSysteme) FakultatfurPhysik undelektrochemie TechnischeUniversitatChemnitz TechnischeUniversitatDresden FakultatfurNaturwissenschaften 09107Chemnitz Tel.:(0371) (0351) Dresden Fax:(0371) (0351) Prof.SchreiberwarvonFebruar2002bisJanuar2003beurlaubt,umeineProfessuran derinternationaluniversitybremenwahrzunehmen. Dr.SibylleGemming(geb.Kostlmeier)warvonAugust2001bisMarz2002sowievon Oktober2002bisSeptember2003inMutterschutzbzw.Elternzeit.SeitJanuar2004ist 2004anderTechnischenUniversitatChemnitzeingereicht. sieandertechnischenuniversitatdresdenbeschaftigt.siehatihrehabilitationimmai 2.1.2Projektbearbeiter Dr.IgorChaplygin(04/02{07/03) Dr.RebeccaJanisch(09/03{12/03) 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung GegenstanddesTeilprojektsistdieUntersuchungvonStrukturbildungs-undAmorphi- Bandstruktur-RechnungenaufeinergestuftparallelenPlattformausmehrerensharedmemory-Compute-Servern,dieuntereinandermiteinemschnellen,internenNetzwerk verbundensind.mitdreihp9000n4000enterprise-servernmitje8prozessorenverfugt diearbeitsgruppeubereinegeeignetetestplattform,unddiegegenwartigenentwicklungendercomputertechnikhinzumehrprozessor-rechnernbestatigendaherdengewahltenansatz.dasteilprojektverbindetinformatisch-methodischeaspektemitphysikalischenundmaterialwissenschaftlichenfragestellungen:insbesonderesollgeklartwerden, wiesichdieinharentestrukturdesphysikalischenproblemsoptimalaufeineadaptiveparallelisierungfurhomogeneclusterausmehrprozessor-rechnernabbildenlassen kann,sodasssichgroemodellsysteme(mitbiszu500atomen)genauundezient behandelnlassen,waseinersteigerungaktuellbehandelbarersystemgroenumetwa sierungsvorgangenanmetall-halbleiter-grenzachenmithilfevondichtefunktional- einenfaktorvon10entspricht.

190 188 C7Schreiber/Kostlmeier DazumusstendiefolgendenFragenbeantwortetwerden:WiekannalleindurchRestrukturierungdesphysikalischenProblemseineausgewogenereLastverteilungzwischen denclusterknotenerreichtwerden?anwelchenstellenkonnendiebereitsimsonderforschungsbereichentwickeltenparallelenroutinendirekteingesetztwerden,undwo bedurfensieeineranpassung?diegrundlegendeparallelisierungsstrategiewares,die StutzstellendernumerischenBrillouinzonen-IntegrationaufverschiedeneClusterknotenzuverteilen,dasmitgroeremKommunikationsaufwandverbundeneEigenwertproblemanjederStutzstelleaberlokalaufeinershared-memory-Mehrprozessormaschine mitparallelensolvernzulosenundsoeinezweistugeparallelisierungzuerzielen.diese StrategiesollteimProjektverlaufgepruftwerden,indemauchandere,potentielleParallelisierungsmoglichkeitenevaluiertwerdensollten. AlskonkreteAnwendungdesparallelenRechnenswurdedieDichtefunktional-Bandstruktur-UntersuchunginnererGrenzachenzwischenSiliziumundTitanbzw.Vanadiumgeplant.BeiderHerstellungdieserGrenzachendurchMolekularstrahlepitaxie bildensichamorphebereiche,diesichzukristallinenpolymorphenumformen.ausdiesenbeobachtungenergabensichfolgendematerialwissenschaftlichefragestellungen,die mithilfevondichtefunktional-rechnungenzugeeignetenmodellsystemenzuklaren waren:welchestrukturellstabilen,binarensilizidphasenexistieren,undwieistderzusammenhangzwischendengebildetensilizid-polymorphenunddertemperatur?gibtes charakteristische,immerwiederkehrendelokalestrukturelemente,welcheauchinamorphenbereichenimmerwiederbeobachtetwerden?welchewechselwirkungendominieren andertitan-silizium-grenzachevordertemperatur-induziertensilizidbildung?welchewechselwirkungistderhauptgrundfurdiebildungamorpherund/oderkristalliner Silizid-PolymorpheanderGrenzache?WiebeeinusstdiereaktivePhasedieGrenz- achenstabilitat?undwelcheauswirkungenhatsieaufdieelektronischeneigenschaften dergesamtengrenzache? 2.3Forschungsaufgaben/Methoden DieTeilaufgaben2.3.1bis2.3.3sindverbundenmitdenmaterialwissenschaftlichenFragestellungen,denDichtefunktional-Bandstruktur-RechnungenzurStrukturbildungund WechselwirkunganreaktivenMetall-Halbleiter-Grenzachen.Teilaufgabe2.3.4istein Beispieldafur,wiephysikalischeundinformationstechnischeAspektezurezientenParallelisierungkombiniertwerdenkonnen.DieTeilaufgaben2.3.5und2.3.6widmensich hingegenmehrderkonkretenprogrammentwicklung Teilaufgabe\BinarekristallineundamorpheModikationen" DerMitarbeiterderErganzungsaustattungsolltesichmitHilfekleinererSystemeindie physikalischengrundlageneinarbeitenundeinenuberblickuberdieprogrammstruktur erhalten.dazudientendieelement-volumenkristalleunddiekristallinenmodikationentisi(b27oderag)undv3si(a15)mitjeweilsachtatomenindereinheitszelle, umadaquatepseudopotentialeundkonvergenzparameterfurrealistischevalidierungstestsbereitzustellen.alsvalidierungundalsbenchmarkwarenauchkomplexerekristallstrukturenwietisi2(c54undc49,12atome),vsi2(c40,9atome)undti5si3 oderv5si3(d88,16atome)sowieamorphemodikationenzuberechnen.dazuwer-

191 C7Schreiber/Kostlmeier 189 den-analogzumvorgehenbeideruntersuchungvonquasiperiodischenstrukturencharakteristischestrukturelementederamorphenmodikationingroerensuperzellen periodischwiederholt.durchsukzessivevergroerungdieserperiodischenapproximantenunddurchmittelunguberverschiedenekongurationensollendieeigenschaftender ungeordneten,amorphenstrukturgenahertbeschriebenwerden.dabeimusseneigenwertproblememitgroerenmatrizenanwenigenk-punktengelostwerden,sodassdiese Fragestellungeserlaubt,diePerformancevonMaschinenmitverteiltemSpeicherund vonshared-memory-architekturenzuvergleichen Teilaufgabe\AusgangsstrukturderTi(0001)jSi(111)- Ausgangs-undReferenzpunktesinddieGrenzachenzwischendenElementkristallen Grenzache" Si(111)/Ti(0001)undSi(111)/V(0001),sowiedieGrenzachenvonTi(0001)undV(0001) zueinermodellstrukturfuramorphessilizium.furdieserechnungenwerdenschichtmodelleingroensuperzellenperiodischwiederholt,undsomitdiegrenzachenals unendlichausgedehnteplanaredefektebeschrieben.dadiemeistenexperimentellbeobachtetensystemediesestypsdiefestphasen-amorphisierungdurchlaufen,gibtes bislangwenigedatenzurstabilitat,zurlokalengeometrischenstruktur,oderzuden elektronischenwechselwirkungenandiesergrenzache.dahermussendiesedatenaus molekularstatischenmodellrechnungendessystemsvorderamorphisierunggewonnen werden.nebendenbereitserwahntenaspektengebendieserechnungenauchaufschluss tivitatsunterschiedvontiundsi,dereinenegativierungdersilizium-ionenunddamit uberdietriebkraftderstrukturumwandlung.moglichefaktorensindderelektronega- einesilizid-bildungbevorzugt.demgegenuberstehtdiefehlpassungdergitterkonstantenvonsiliziumundtitan(odervanadium),welcheungunstigeelastischewechselwirkungenandergrenzacheinduziert Teilaufgabe\Silizid-BildunganderTi(0001)jSi(111)- DieBildungderNiedertemperatur-PolytypenM3SiundM5Si3(M=Ti,V)kannmitHilfederDichtefunktional-Molekulardynamik-Methodestudiertwerden.Dabeifolgendie KernedenklassischenNewton'schenBewegungsgleichungenaufderBorn-Oppenheimer- Oberache,diedurchdiequantenmechanischeWechselwirkungdesElektronensystems bestimmtist.sokannmithilfegeeigneterstrukturmodelleuntersuchtwerden,wiesich dierelevantenwechselwirkungsparameter,dieelektronegativitatunddieelastischeverspannungmitzunehmendertemperaturverandern,undabgewogenwerden,welcher FaktorbeiwelcherTemperaturdominiert. DaTiSi2undVSi2alsEndstufedesAuslagernsimhoherenTemperaturbereich(etwa K)gebildetwerden,solltenauchvondiesenPolymorphenGrenzachenzuSilizium bzw.zumjeweiligenmetalluntersuchtwerden.eineerweiterungaufgrenzachenmit denniedertemperatur-polytypenti3si,v3si,ti5si3undv5si3wurdezunachstaufgrund desenggestecktenzeitrahmensdesteilprojektsnichtgeplant,dadieimprojektverlauf gesammeltendatenausreichendsind,umausdemhochtemperaturverhaltenauchauf Grenzache" dentemperaturbereichvon kruckschlussezuerlauben.

192 190 C7Schreiber/Kostlmeier 2.3.4Teilaufgabe\VerbessertesLoad-Balancingder UnterVerwendungperiodischerRandbedingungentrittbeiderBerechnungderGesamtenergieundderdavonabgeleitetenGroenmitHilfedesKohn-Sham-Formalismuseine IntegrationuberdieersteBrillouin-Zoneauf,welchedurchDiskretisierungaufeinemge- ParallelisierunguberdieIntegrationsstutzstellen" dabei,dasshinreichendvieledieserstutzstellen,derk-punkte,verwendetwerden,und eignetgewahltengitterausintegrationsstutzstellenausgewertetwird.entscheidendist dasssiedenreziprokenraummoglichstisotropabdecken,umdiewechselwirkungenin allendreiraumrichtungengenauundgleichmaigzubeschreiben.diekonkreteposition dieserstutzstellenistdahernichtdirektphysikalischmotiviert,sondernbieteteinenansatzpunktfurdieprogrammoptimierung.instandardverfahrenfurserielleprogramme wurdeversucht,eineoptimaleintegrationmitmoglichstwenigendieserstutzstellenzu erreichen,daanjedemk-punktdaszeitintensivekohn-sham-eigenwertproblemgelost aberdazu,dassaussymmetriegrundennichtanjederstutzstellegleichvielebasisfunktionenberucksichtigtwerdenmussen,sodassdiegroedesmatrix-eigenwertproblems imextremfallanjederstutzstelleandersist.beiderbislangseriellausgefuhrtenberechnungstelltdieskeinproblemdar,furdieverteilungderbrillouinzonen-integrationauf verschiedeneparalleleprozessorenistesjedochvonnachteil.derezienzgewinn,der werdenmuss.diewahlspeziellerk-punkteunddazugehorendergewichtsfaktorenfuhrt wirdindiesemfalldurchdenk-punktmitdemgrotenzulosendeneigenwertproblem durchdiegleichzeitigebehandlungmehrereroderallerstutzstellenerzieltwerdenkann, (oderderniedrigstensymmetrieimreziprokenraum)dominiert.furextremheterogeneparallelearchitekturenkanndieseinlosungsansatzfureineoptimalelastverteilungsstrategiesein.furclusterausgleichenshared-memory-maschinenmussjedoch AnsatzedafursindLastverteilungsalgorithmenuberTaskschlangen,wiesieimSFBentwickeltwerden,oderdieWahleinesmoglichsthomogenenStutzstellennetzes,dasnoch diephysikalischenanforderungenhinsichtlichdichteundisotroperverteilungerfullt. dierechenlastmoglichstgleichmaigaufdieclusterknotenverteiltwerden.mogliche 2.3.5Teilaufgabe\ParallelisierunguberdieBander" WiebereitsinTeilaufgabe2.3.4beschrieben,istanjederderIntegrationsstutzstellen einmatrix-eigenwertproblemmithilfeeinesselbstkonsistenzverfahrenszulosen,das diegesamtenergie,diekrafteaufdiekerneimpotentialderelektronen,aberauchdas elektronischespektruminkohn-sham-naherungliefert.nebendemindexkfurdieintegrationsstutzstelletrittdeshalbauchderlaundexnauf,derdieenergieeigenzustande bzw.banderdurchzahltunddiegroedeszulosendeneigenwertproblemsbestimmt.es bietetsichdeshalban,auchuberdiesenindexzuparallelisieren,wobeiaufgrunddeszu erwartendenhohenkommunikationsaufwandeswahrenddesselbstkonsistenzzykluseine parallelebearbeitungnuraufeinershared-memory-maschineaussichtsreicherscheint Teilaufgabe\AlternativeParallelisierungsansatze" NebendenbeidenParallelisierungsansatzengibtesalternativeAnsatzpunkte,insbesonderefurdieParallelisierungfurdieshared-memory-Architektur.DaverschiedeneTeile desphysikalischenproblemsimorts-oderimimpulsraumgelostwerden,mussendie

193 C7Schreiber/Kostlmeier 191 ErgebnissedurchFourier-Transformationmiteinanderverbundenwerden.Deshalbistzu prufen,obdielokaleparallelisierungderfouriertransformationmithilfederimsfb entwickeltenparallelenalgorithmeneinebessereezienzsteigerungbewirktalsdieparallelisierunguberdenbandindex.einekombinationderbeidenalternativenverfahren erscheintwegendeszusatzlichenkommunikationsaufwandesnichtsinnvoll. 2.4Ergebnisse InderlaufendenForderperiodeerfolgtedieoptimierendeParallelisierungdesPseudopotential-Bandstruktur-Programms,dasfurdieBerechnungderstrukturellenundelektronischenEigenschaftenderMetall-Halbleiter-Grenzacheneingesetztwird.Sokann auchdiegitterfehlanpassung,diedurchdieunterschiedlichengitterkonstantenvontitanbzw.vanadiumundsiliziumanderm(0001)jsi(111)-grenzacheauftritt,adaquat mitgroensuperzellenmitvertretbaremnumerischemaufwandmodelliertwerden.dazuwurdedieindennumerischenalgorithmendesprogrammsvorliegendemehrstuge ParallelitatuberdieStutzstellenbeiderk-Raum-Integration,uberdieBanderundbei derfouriertransformationzwischenorts-undimpulsraumgenutzt Teilaufgabe\BinarekristallineundamorpheModikationen" ZunachstwurdendiestrukturellenundelektronischenEigenschaftenderverschiedenen Silizid-ModikationeninAnalogiezufruherpubliziertenDatenreproduziert[g03a,g03b, gcs03a,gcs03b].dieseergebnissesinddiereferenzdatenfurdieberechnungdergrenzziertensilizidbildung.siedienenaberauchfurdieparametrisierungeineseinfachen achenstabilitatsowieweitererthermodynamischergroenbeidergrenzachenindu- tight-binding-modells,mitdemeinschneller,qualitativerzugangzuapproximantenfur dieamorphenmodikationenundzumhochtemperaturverhaltendervolumenkristalle erschlossenwurde[gcs04b,gcs03b,g03a,g03b,g03c].damitkonntenmehrerepikosekundenlangetrajektorienfurdenstrukturellenphasenubergangvonderelektrisch schlechterleitendenc49-modikationdestisi2zurgewunschten,gutleitendenc52- ModikationbeierhohtenTemperaturensimuliertwerden[GCS04,gcs04a,gcs04b].DieserPhasenubergangistunterParinello-Rahman-RandbedingungenmiteinergeringfugigenVeranderungderGitterparameterverbunden.DierelevantenAbschnittederTrajektorienwerdenzurZeitmitHilfedesDichtefunktional-Bandstrukturprogrammsnachgerechnet,sodasseineMittelwertbildungaufvollerDichtefunktional-Basiserhalten wird.diesearbeitensindthematischeingebettetinuntersuchungenzurstrukturbildungundthermodynamikinbinarenmischverbindungen.sokonntez.b.auchgezeigt werden,dasssichdasmischungsverhaltenbinarerverbindungenaufdernanometerskalagrundlegendvondenverhaltnissenimausgedehntenvolumenkristallunterscheidet[gs03b,gss04,gss04a,gss04b,gss04c,g03a].ineinemhauptgruppen-silizidder gleichenstochiometriewiediehierrelevantenverbindungen,demcasi2,wurdeferner nachgewiesen,dasssichdaszintl-konzeptderstrukturbildungauchaufnanostrukturen ubertragenlasst[gs03a,gs03a,gs03b,gs03c].

194 192 C7Schreiber/Kostlmeier (a) (b) Abbildung2.1:DasGrenzachensystemTi(0001)jSi(111):(a)SchematischerAufbaudes Konturen: elec./au 2 ModellsystemsundersteSchrittedertemperatur-induziertenSilizidbildung.(b)BindungsladungsdichtevorderGrenzachenreaktionineiner Schnittebeneparallelzur[100]-RichtungdesSi,indersichdiemeisten bindendentitan-silizium-kontakteergeben.abgebildetistdiedierenz derelektronendichtedesgesamtsystems,die17konturlinienreichen von tronenverarmung,helleeinerelektronenanreicherung. 0.08bis+0.08e /bohr2.dunklebereicheentsprecheneinerelek Teilaufgabe\AusgangsstrukturderTi(0001)jSi(111)- DaraufaufbauendwurdenDichtefunktional-Bandstruktur-RechnungenzuSuperzellen Grenzache" durchgefuhrt,welchediegrenzacheti(0001)jsi(111)vor,wahrendundnachdersilizidbildungreprasentieren.aufgrunddergitterfehlanpassungzwischentitan(a0=2.95 A)undSilizium(a0=3.85A)beinhaltengleicheBereichederTi(0001)-undSi(111)- OberacheneineunterschiedlicheAnzahlanAtomenmiteinemVerhaltnisvonTi: Sivonetwa16:9.DeshalbwurdenSuperzellengewahlt,welcheparallelzurGrenz- ache4a0(ti)3a0(si)grosindundsenkrechtdazusechslagentitanundacht LagenSilizium(invierDoppellagen)enthalten(sieheAbbildung2.1).VorderSilizidbildungbetragtdieEnergiederreinenGrenzachenur0.28J/m2[GS04,gcs04a, g04,gcs03a,gcs03b,g03a].diesdeutetdaraufhin,dassdiewechselwirkungvorder GrenzachenreaktionnurschwachattraktivistundvondenwenigendirektenTi-Si- Bindungenvermitteltwird.FureinkleineresSuperzell-Modell,beidemstarkeexpansiveKrafteaufSiliziumundkontraktiveKrafteaufTitanwirken,istdasSystemsogar nichtbindend[gcs03b].diesebefundestehenimeinklangmitfruherendichtefunktional- UntersuchungenzurTitan-Spinell-Grenzache,anderohnestrukturelleRelaxationdie korrosiveoxidationdertitanschichtschonfurniedrigesauerstogehalteeinversagen dergrenzacheprognostiziertwird,welches-nebenelektronischenfaktoren-wieander Titan-Silizium-GrenzacheaufungunstigeelastischeWechselwirkungenzuruckzufuhren ist.[ek01,ke01,gsc03,cgs02,ge01]. DieGeometrieoptimierungderGrenzachefuhrtzueinerVerbiegungderTitan-Ebene andergrenzacheum0.09a.durchdiesedeformationgleichensichdieti-si-abstande

195 C7Schreiber/Kostlmeier 193 furdieverschiedenenadhasionsplatzeandergrenzacheeinanderan,sodasssieim Intervall2.6bis2.7Aliegen.DieSiliziumlageanderGrenzachezeigthingegenkeinesignikanteAufrauung,aberderAbstandzurdarunterliegendenSiliziumlageistum 0.21Avermindert.DadurchbildendiebeidenSiliziumlagenzusammennichtmehreinen idealencyclohexyl-artigenausschnittausdemdiamantgitter,sonderneineleichtabge- achtegewelltesechseckstruktur,dieauchinschichtartigensilizidenwiecasi2vorliegt [GS03a].DadurchkommendieindenLuckendererstenSiliziumlagestehendenSi-Atome derzweitenlageinnaherenkontaktmitdertitanschichtundkonnensichanderwechselwirkungmitdemtitanbeteiligen[gs04,gcs04a,g04,gcs03a]. DieDierenzderElektronendichtedesGesamtsystemsundderder DichtenderbeideneinzelnenTeilschichtenistebenfallsinAbbildung2.1gezeigt.Der Uberlagerungder Schnittentlangder[100]-Richtung,indersichdiemeistenTitan-Silizium-Kontaktebilden,zeigt,dassdieTitanschichtvonderWechselwirkungmitdemSiliziumnurimunmittelbarenBereichderGrenzachebetroenist,wahrendindermittlerenTitanlage vollstandigeabschirmungauftritt.imhalbleitendensiliziumistdieabschirmungwenigerstark,sodassdieelektronenanhaufungandensi-atomendergrenzache(imbild: hellebereiche)eineetwasweiterreichendeladungsumordnunginderdarunterliegenden Schichtverursacht.InsgesamtbestatigtdieAnalysederelektronischenStrukturabereineTendenzzurSilizidbildungdurchdieElektronegativitatsunterschiedederbeteiligten Komponenten[GS04,gcs04a,g04,gcs03a] Teilaufgabe\Silizid-BildunganderTi(0001)jSi(111)- Dichtefunktional-Molekulardynamik-SimulationenaufderBorn-Oppenheimer-Hyperachezeigtenferner,dasssichanderGrenzacheamorpheStrukturenbeiTemperaturen ausbilden,beidenendievolumenkristallenochnichtschmelzen(sieheabbildung2.1). DieGrenzachenreaktionfuhrtzueinerAngleichungundReduktionderKomponenten deselastischenspannungstensors,durchdendiefehlanpassungausgeglichenwird.durch diesenvorgangerhohtsichdiebindungsenergiesignikantauf0.52j/m2.imeinklang mitexperimentellenbefundenwurdebeobachtet,dasssiliziumdiemobilerespezies andergrenzacheist.vorlaugeergebnissefurdiegrenzachenti TiSi2 Silassen Grenzache" beititanerfolgt[gcs04a,g04,gcs04b]. daraufschlieen,dassdiefurkobaltberechnetestabilisierungdurchsilizidbildungauch 2.4.4Teilaufgabe\VerbessertesLoad-Balancingder DurchdenProgrammablaufunddieDatenstrukturbedingt,erfordertdieParallelisierunguberdiek-PunktewenigerInformationsaustauschzwischenparallelenKnotenals dieparallelisierunguberdiebander,dieprok-punktanfallt.deshalbwurdedieein- ParallelisierunguberdieIntegrationsstutzstellen" mitverteiltemspeichervorzusehen,undfurdiezweitestufemehrprozessor-rechner gangsbeschriebenestrategieverfolgt,nurdiek-punkt-parallelisierungfurmaschinen mitgemeinsamemspeichereinzusetzen.auerdemsolltezunachstdavonausgegangen werden,dassdieverschiedenenparallelknotenvongleichemtypsind,sodassdieoptimierungdesprogrammsaufeinemoglichstgleichmaigeverteilungderrechenlast hinauslauft.

196 194 C7Schreiber/Kostlmeier Furdiek-Punkt-ParallelisierungwardiesaufeinfacheWeisemoglich,indemgemaden ArbeitenvonMorenoundSolerdiek-Punkt-Netzemoglichstgutgleichverteiltgewahlt wurden.dabeiwirdeinebasistransformationderdreidimensionalperiodischwiederholtensuperzelledurchgefuhrt,sodassdiedazukomplementarezelleimimpulsraum Basisvektorenhat,diemoglichstgenauganzzahligeVielfacheeinerEinheitslangesind. DiesfuhrtzueinemezientenSamplingdesImpulsraumesmitwenigenStutzstellen, dawechselwirkungeninallendreiraumrichtungengleichgutbeschriebenwerdenund nichtdierichtungmitdemschlechtestensamplingdienumerischegenauigkeitdesverfahrensvorgibt.furdiehierzulosendeoptimierungsaufgabebietetdasgleichverteilte SamplingaberauchnochdenVorteil,dassdieEigenwertgleichungen,dieprok-Punkt zulosensind,inetwagleichgroematrizenbeinhalten.damitistdieforderungnach einermoglichstgleichmaigenverteilungderrechenlastfurdeneinsatzvonhomogenen Architekturenerfullt.DiezusatzlicheImplementationvonLastverteilungsalgoritmenist deshalbfurdiesestufederparallelisierungaufhomogenenrechnerclusternnichterforderlichgewesen Teilaufgabe\ParallelisierunguberdieBander" DieParallelisierunguberdenBandindexwurdevorerstzuruckgestellt.EineAnalyse derdaten-undkommunikationsstrukturzusammenmitdenprojektpartnernausder Informatikzeigte,dassdieParallelisierungderFourier-TransformationdervielversprechendereAnsatzfurdielokaleParallelisierunginnerhalbeinesshared-memory-Knotens ist Teilaufgabe\AlternativeParallelisierungsansatze" FurdiezweiteStufederParallelisierungderFourier-TransformationwerdenderzeitverschiedeneAlgorithmenzusammenmitdenProjektpartnernausderFakultatfurInformatikerprobt. Literaturverzeichnis [EK01] C.Elsasser,S.Kostlmeier. Phys.Chem.Chem.Phys.3:5140{5144,2001. Oxidativecorrosionofadhesiveinterlayers. [GCS04] S.Gemming,I.Chaplygin,M.Schreiber. metal-semiconductorinterfaces.eingereichtbeiphys.rev.b. High-temperaturebehaviourof [GS03a] S.Gemming,G.Seifert.NanotubeBundlesfromCalciumDisilicide-aDFT study.phys.rev.b68: ,2003. [GS03b] S.Gemming,M.Schreiber. Metallkd.75:213{218,2003. AlloyinginmixedAgnAu1 nnanowires. Z. [GS04] S.Gemming,M.Schreiber.Density-functionalstudyoftheTi(0001)jSi(111) interface.eingereichtbeij.phys.:condens.matter. [GSS04] S.Gemming,G.Seifert,M.Schreiber. AgAuandPdAunanowires.Phys.Rev.B68: ,2004. Density-functionalstudyofalloyed

197 C7Schreiber/Kostlmeier 195 [KE01] S.Kostlmeier,C.Elsasser. adhesionenergeticsatmetal/oxideheterophaseboundaries. Inuenceofinterfacialexcessoxygenonthe 30:251{256,2001. Trans.JWRI Beitrage zu wissenschaftlichen Veranstaltungen: [cgs02] I.Chaplygin,S.Gemming,M.Schreiber.OxidationofthinTilms.EuroConference\Interfaces",KlosterIrsee,08/02. [g02] S.Gemming.DFTforInterfaces.SeminaroftheMaterialsResearchLaboratory, U.C.SantaBarbara,SantaBarbara(CA),U.S.A.,09/02. [g03a] S.Gemming. sionality.seminar\quantumchemistry",mpi-pksdresden,10/03. Density-functionalinvestigationsforsystemswithreduceddimen- [g03b] S.Gemming.Bandstructurecalculationsfornovelmaterials.SeminarPhysikalischeChemieundElektrochemie,TUDresden,07/03. [g03c] S.Gemming. scheskolloquium,tuchemnitz,05/03. TheoretischeUntersuchungenzuinnerenGrenzachen. Physikali- [g04] S.Gemming. \Modelling and DFTinvestigationoftheTi-Siheterophaseboundary. Simulation in Molecular Systems, Mesoscopic Structures, Workshop MaterialScience",TUChemnitz,04/04. and [gcs03a] S. TitaniumInterface.WorkshopPhysik-Kolloquium,UniversitatChouaibDoukkali, Gemming, I. Chaplygin, M. Schreiber. Phase Formation at the Silicon- El-Jadida,Marokko,10/03. [gcs03b] S.Gemming,I.Chaplygin,M.Schreiber. TitaniumInterface. EuroConferenceonInterfacesinNanostructuredMaterials- PhaseTransformationsattheSilicon- MovingInterfaces,KlosterIrsee,08/03. [gcs04a] S.Gemming,I.Chaplygin,M.Schreiber.ReactiveMetal-SemiconductorInterfaces.103.Bunsen-Tagung,Dresden,05/04. [gcs04b] S.Gemming,I.Chaplygin,M.Schreiber.StructureandreactivityattheTitanium- Siliconinterface. 03/04. DPG-FruhjahrstagungdesAKFestkorperphysik,Regensburg, [ge01] S.Gemming,C.Elsasser. gung,stuttgart,05/01. OxidativeCorrosionofTi-Interlayers. 100.Bunsenta- [gs03a] S.Gemming,G.Seifert.DFTstudyofbundlesfromcalciumdisilicide.Conference onfunctionalnanostructures,cfnkarlsruhe,10/03. dito:17thinternationalwinterschoolontheelectronicstructureofnovelmaterials.kirchberg/tirol, Osterreich,03/03. [gs03b] S.Gemming,M.Schreiber. desakfestkorperphysik,dresden,03/03. AlloyingontheNanoscale. DPG-Fruhjahrstagung [gs03c] S. Gemming, G. Seifert. Metallic MX2 Festkorperphysik,Dresden,03/03. tubes. DPG-Fruhjahrstagung des AK

198 196 C7Schreiber/Kostlmeier [gsc03] S.Gemming,M.Schreiber,I.Chaplygin.Initialoxidationstagesinthintitanium lms.dpg-fruhjahrstagungdesakfestkorperphysik,dresden,03/03. [gss04a] S.Gemming,M.Schreiber,G.Seifert. tures.103.bunsen-tagung,dresden,05/04. DFTInvestigationofBinaryNanostruc- [gss04b] S.Gemming,G.Seifert,M.Schreiber.DFTinvestigationsofalloyedbinarynanostructures.18thInternationalWinterschoolontheElectronicStructureofNovel Materials.Kirchberg/Tirol, Osterreich,03/04. [gss04c] S.Gemming,G.Seifert,M.Schreiber. nowires. 13thInternationalWinterschoolonNewDevelopmentsinSolidState Density-functionalstudyofalloyedna- Physics,Mauterndorf, Osterreich,03/ OeneFragen/Ausblick InderlaufendenForderperiodewurdendiemikroskopischenMechanismenaufgeklart, welchezurausbildungamorpherundkristallinermodikationenanreaktivenmetall- Halbleiter-Grenzachenfuhren.DieseErgebnissezuStrukturundThermodynamikdienenalsAusgangspunktfurdieweitergehendeUntersuchungdeselektronischenTransports Si(111)drei,teilweisekomplementaretheoretischeAnsatzeverfolgtwerden:dieDichte- ubermetall-halbleiter-grenzachen.konkretsollenfurdassystemti(0001)j funktional-storungstheorie,mitderdieantwortdessystemsaufeinexterneselektri- schesfeldoderaufdieverschiebungvonatompositionenberechnetwerdenkann,die BeschreibungderZweiteilchen-StreuungamGrenzachenpotentialdurchdieLosungder entsprechendenbethe-salpeter-gleichungundeinverfahrenzurwellenpaket-dynamik aufdenbereitsberechnetenpotentialhyperachen,mitdemdereinussdesphononischenhintergrundsaufdenelektronentransportmodelliertwerdenkann. MitdiesenUntersuchungensollendreiexperimentelleBeobachtungenerklartwerden, welchefurdieanwendungvonfruhenubergangsmetallenalshaftvermittleranmikroundnanoelektronischengold-silizium-kontaktenvonbedeutungsind:warumzeigtnur einederbeidenniederenergetischenkristallinenmodikationendestisi2einengeringen KontaktwiderstandundwieverandertsichderWiderstand,wenn(pseudo-)amorphe TransportuberdieGrenzache?UndwieverandertsichderTransport,wennanstelle StrukturenanderGrenzfachevorliegen?WieverstarkenDotieratomewieNiobden vontitaneinevanadiumlageverwendetwird,beiderebenfallssilizidbildungerfolgt? grammeingesetztwerden,dessenparallelisierunginderlaufendenforderperiodefur FurRechnungenmitderDichtefunktional-StorungstheoriesolldasBandstrukturpro- homogenearchitekturenerfolgtist,unddessenweitergehendeoptimierungfurkomplexererechner-architektureninzusammenarbeitmitdenteilprojektenausderinformatikgeplantist.furdieanderenansatzesolleninderarbeitsgruppeentwickelte, zumteilparalleleroutinenadaptiertundaufeineweitereparallelisierbarkeitgetestet werden.

199 Teilprojekt C8 LangzeitverhaltengroerdynamischerSysteme

200

201 C8Radons/Just/Latz TeilprojektC8 LangzeitverhaltengroerdynamischerSysteme 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.G.Radons PD.Dr.W.Just PD.Dr.A.Latz ehemals TheoretischePhysikI TheoretischePhysikI TheoretischePhysikI ehemals (KomplexeSystemeund NichtlineareDynamik) (KomplexeSystemeund NichtlineareDynamik) (KomplexeSystemeund Fak.furNaturwiss. Fak.furNaturwiss. NichtlineareDynamik) TUChemnitz TUChemnitz TUChemnitz Fak.furNaturwiss Chemnitz Tel.:(0371) (0371) Chemnitz (0371) Chemnitz Fax:(0371) (0371) (0371) tu-chemnitz.de tu-chemnitz.de tu-chemnitz.de WegenderderzeitigenhochschulpolitischenSituation,dieinsbesonderefurdenwissenschaftlichenNachwuchsstarkeUnwagbarkeitenmitsichbringt,sahensichzweiderAntragsteller,dieaufzeitlichbefristetenStelleneingestelltwaren,gezwungen,vorzeitigaus demsfbauszuscheiden.umdenneuenbeschrankungen,diedas5.hochschulrahmengesetzmitsichbrachte,zuentgehen,wurdedasarbeitsverhaltnismitpddr.arnulflatz imgegenseitigeneinverstandnisnochvorablaufdesjahres2001aufgehoben.herrdr. LatzkonntedaraufhineinelangerfristigeAnstellungamFraunhoferInstitutfurTechnoundWirtschaftsmathematik,Kaiserslautern,antreten.EbenfallsvorzeitigundimgegenseitigenEinverstandniswurdedasArbeitsverhaltnismitPDDr.WolframJustEnde September2003aufgehoben,derdaraufhineineunbefristeteStellealsLecturerimBereichAppliedMathematicsamQueenMaryCollegederUniversityofLondonantreten konnte.beideprojektleiterstandenundstehenweiterhinberatendzurverfugung Projektbearbeiter Prof.Dr.GunterRadons PDDr.WolframJust PDDr.ArnulfLatz Dr.HongliuYang Dr.BennoRumpf(seit1/2004) Dipl.Phys.ChristianDrobniewski(seit4/2004) Dipl.Phys.AndreasFichtner(seit11/2003) MichaelSchwind(Informatik,B8) Prof.Dr.GudulaRunger(Informatik,B8)

202 200 C8Radons/Just/Latz 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung DieTheoriedernichtlinearenDynamikverknupftdeterministischeBewegungsgleichungenmitchaotischen,scheinbarstochastischenPhanomenen.FureinfacheniedrigdimensionaleSystemelasstsicheinestatistischeBeschreibungausdynamischenEigenschaftenohneprobabilistischeAnnahmenbegrunden.ErgodischesundmischendesVerhalten vontrajektorienherleiten[k79].wahrendniedrigdimensionalesystemeaufdieseweiseintensivuntersuchtwordensind[er85],istdasverstandnisvonhochdimensionalen Systemennochimmerunzureichend[CH]. DaslangfristigeZieldiesesTeilprojektsistes,eintieferesVerstandnisstatistischerProzesseinhochdimensionalenSystemenmitMittelndernichtlinearenDynamikzuerhalten.DabeiwirdeineVerbindungzwischendemLyapunov-SpektrumunddenLyapunov- Vektoren,diemikroskopischdieInstabilitatencharakterisieren,unddenmakroskopischenSystemeigenschaftenwiedenTransportkoezientengesucht.DieGausscheThermostatenmethodevonNose,Hoover,Evans,Morrissetal.[E90,H91,H99]undeinige ArbeitenvonGaspardundNicolis[G98,D99]konnteneinenderartigenZusammenhang bereitsnachweisen. UnserbesonderesInteressegiltdabeiglasartigenZustanden[A95,DS01],dietrotzihrer praktischenrelevanzimmernochnichtausreichendverstandensind[m01].dabeierwartenwirinsbesonderedurchnumerischenichtlinearestabilitatsanalysenneueeinsichten. undderzerfallvonzeitkorrelationenlassensichdabeiausderdynamischeninstabilitat lationdermolekularendynamikvonglaserngeltenkann[k95,k96,k00,s96,dst00]. WiruntersuchendiebinareLennard-Jones-Mischung,diealsderPrototypfurdieSimu- Wirerwartendabei,dassUnordnungsphanomeneamGlasubergang,sowieauchAlterungsprozessevonGlasernimLyapunov-SpektrumundindenLyapunov-Vektorender mikroskopischendynamikerkennbarsind. 2.3Forschungsaufgaben/Methoden 2.3.1NichtlineareundmolekulareDynamik MitmolekulardynamischenMethodenlassensichdieStrukturunddieDynamikvon unterkuhltenflussigkeitenundglasernuntersuchen[at87].dabeiwerdendienewtonschenbewegungsgleichungenderatomenumerischintegriert.trotzderimvergleichzu sensichdadurchanalytischnichtzuganglicheeigenschaftenermitteln.dielyapunov- realensystemenkleinenzahlnvonatomenundderrelativkurzensimulationszeitlas- ExponentensindhierbeidaswichtigsteMittelzurCharakterisierungderchaotischen Dynamik. MolekulardynamischeSimulationenfurdenGlasubergangineinemd-dimensionalenLennard-Jones-SystemmitNTeilchen(N=100 einelyapunov-analysederinstabilitatenerganztwerden.dieezientestemethodezur 1000)solltenindiesemProjektteildurch BerechnungvonLyapunov-ExponentenundLyapunov-Vektoreninhochdimensionalen lineareund2dnnichtlinearegewohnlichedierentialgleichungensimultanintegriert,um SystemenstammtvonBenettinundShimada[BGS76,SN79].Dabeiwerden2dN 2dN diedynamikder2dntangentialraumvektorenunddertrajektoriezugewinnen. ZurBerechnungderLyapunov-ExponentenundVektorenmussendieVektorenperiodischorthogonalisiertwerden.DasgeschiehtentwedermitdemGram-Schmidtschen

203 C8Radons/Just/Latz 201 OrthogonalisierungsverfahrenoderdurcheineQR-Zerlegung.DieErgebnissewerdenanpunktdernachstenOrthogonalisierungliefert.DieSimulationaufhinreichendlangeschlieendderIntegrationsroutinederMolekulardynamikubergeben,diedenAusgangs- ZeitskalenerfordertdieImplementierungdesAlgorithmusaufeinemParallelrechner. DiewiederholteOrthogonalisierungbenotigtdabeidengrotenTeilderRechenzeitund erfordertbeiderprogrammentwicklungbesonderesorgfalt.auerdemerfordertineinem ClustervonRechnernderwiederholteWechselzwischenderOrthogonalisierungs-und derintegrationsroutinezusatzlicheanstrengungeninbezugaufzuweisungvonrechenzeitundspeicherkapazitat.dieparallelimplementierungdesprogrammssolltedeshalb inzusammenarbeitmitprojektb8durchgefuhrtwerden.diesesprogrammkonnteerfolgreichumgesetztwerden JedemderLyapunov-ExponentenisteinzeitabhangigerLyapunov-Vektorzugeordnet [O68].AbgesehenvoneinigenfruhenUntersuchungen[PPP84,GP91,PP98,PEME00, MPH98]wurdedieseszustandsabhangigeorthogonaleVektorsystemlangeZeitlediglich alshilfsmittelzurberechnungvonlyapunov-spektrenangesehen.dassdiesegroen interessantestrukturelleunddynamischeinformationenenthalten,isterstneuerdings entdecktworden[ph00,fhph04,h02],allerdingswarendieseresultateaufhartkugelsystemebeschrankt.erstdurcheinfuhrungeinerneuenmethode,diestatischeunddynamischekorrelationenderdichteuktuationenderlyapunov-vektorenbestimmt,konnte einekontroversezurexistenzhydrodynamischerlyapunov-modeninsoft-potential- Systemen[PH00,FHPH04,H02]gelostwerden.DiesevonunseingefuhrtenKorrelationsfunktionenstelleneinwesentlichesWerkzeugfurdiegetatigtenundnochanstehenden Untersuchungendar Entwicklungraum{zeitlicherDynamiknachperiodischen Orbits,AlternundanomalerTransport DieIdeediesesProjektteilsbestanddarin,dieMoglichkeitenderPeriodic-Orbit-Theorie aneinfachenmodellsystemenauszulotenunddasanomalezeitverhaltenungeordneter dynamischersystemezuuntersuchen.dieseuntersuchungenanidealisiertensystemen solltendieforschungsergebnissedervielkomplexerennichtlinearendynamikvonmonoatomarenundbinarenlennard-jones-flussigkeitenvoneinerkomplementarenseite beleuchtenunderganzen.diezuuntersuchendenmodellsystemesinddurchungeordnete iterierteabbildungengegeben.inspezialfallen,furdiemarkov-partitionenexistieren, konnendiesemodelleaufbekanntesystemederstatistischenmechanikabgebildetwerden.vonletzterenistbekannt,dasssienichtgleichgewichtsphanomenewiealternund anomalentransportzeigen.imruckschlussgiltdiesauchfurdiezugeordnetendynamischensysteme,unddaruberhinausfureinenochvielgroere,nochnichtklardenierteklassevondynamischensystemen,dienichtnotwendigerweisemarkov-partitionen besitzen.dieserletztepunktistallerdingsbisherkaumuntersuchtworden.wegender WichtigkeitdieserNichtgleichgewichtsphanomeneistjedocheintiefergehendesVerstandnisgefragtundsollteindiesemProjektteilerarbeitetwerden.

204 202 C8Radons/Just/Latz Literaturverzeichniszu2.3 (eigenevorarbeitenundfremdliteratur) [A95] C.A.Angell,FormationofGlassesfromLiquidsandBiopolymers,Science,267, Princeton,1997) (1995);P.Debenedetti,Metastableliquids(PrincetonUniversityPress, [AT87] M.P.AllenandD.J.Tildesley,Computersimulationofliquids(ClarendonPress, Oxford1987). [BGS76] G.Benettin,L.GalganiandJ.M.Strelcyn,KolmogorovEntropyandNumerical Experiments,Phys.Rev.A14, (1976). [CH] M.C.CrossundP.C.Hohenberg,PatternFormationoutsideofEquilibrium,Rev. Mod.Phys.65, ,1993. [D99] J.P.Dorfman,AnIntroductiontoChaosinNonequilibriumStatisticalMechanics (CambridgeUniversityPress,Cambridge,1999). [DS01] P.G.DenenedettiandF.H.Stillinger,SupercooledLiquidsandtheGlassTransition,Nature410, (2001). [DST00] C. EquilibriumandAgingDynamicsofSupercooledLiquids,Phys.Rev.Lett.85, Donati, F. Sciortino, and P. Tartaglia, Role of Unstable Directions in the (2000). [E90] D.J.Evans,G.P.Morriss,StatisticalMechanicsofNonequilibriumLiquids(Academic,NewYork,1990). [ECM90] D.J.Evans,E.G.D.CohenandG.P.Morriss,ViscosityofaSimpleFluidfromits MaximalLyapunovExponents,Phys.Rev.A42, (1990). [EG00] J.-P. InvariantSystems,J.Stat.Phys.98, (2000). Eckmann and O. Gat, Hydrodynamic Lyapunov Modes in Translation- [ER85] J.-P.Eckmann,D.Ruelle,ErgodicTheoryofChaosandStrangeAttractors,Rev. Mod.Phys.57, (1985);E.Ott,ChaosinDynamicalSystems(Cambridge UniversityPress,Cambridge1993). [FHPH04] Ch.Forster,R.Hirschl,H.A.PoschandWm.G.Hoover,PerturbedPhase-space DynamicsofHard-diskFluids,PhysicaD187, (2004). [G98] P.Gaspard,Chaos,Scattering,andStatisticalMechanics(CambridgeUniversity Press,Cambridge,1998). [GLS94] W.Gropp,E.Lusk,andA.Skjellum,UsingMPI:PortableParallelPrograming withthemessagepassinginterface(mitpress,cambridge,1994). [GP91] G.GiacomelliandA.Politi,Spatio-temporalChaosandLocalization,Europhys. Lett.15, (1991). [H91] Wm.G.Hoover,ComputationalStatisticalMechanics(Elsevier,NewYork,1991). [H99] Wm.G. Scientic,Singapore,1999). Hoover, Time Reversibility, Computer Simulation, and Chaos (World [H02] Wm.G.Hooveretal.,LyapunovModesofTwo-DimensionalMany-BodySystems; SoftDisks,HardDisks,andRotors,J.Stat.Phys.109, (2002).

205 C8Radons/Just/Latz 203 [K79] versitypress,princeton,1979). N.S.Krylov,WorksontheFoundationsofStatisticalMechanics(PrincetonUni- [K95] W.KobandH.C.Andersen,TestingMode-couplingTheoryforaSupercooled BinaryLennard-JonesMixtureI:thevanHoveCorrelationFunction,Phys.Rev. E51, (1995). [K96] W.Kob,C.Donati,S.J.Plimpton,P.H.PooleandS.C.Glotzer, HeterogeneitiesinaSupercooledLennard-JonesLiquid, Phys.Rev.Lett.79, Dynamical (1997). [K00] W.Kob,SupercooledLiquidsandGlasses,p inM.E.CatesandM.R. Evans(Hrsg.),SoftandFragileMatter,NonequilibriumDynamics,Metastability andflow(instituteofphysics,london,2000). [KY79] J.KaplanandJ.A.Yorke,ChaoticBehaviorofMultidimensionalDierenceEquations,inFunctionalDierentialEquationsandApproximationofFixedPoints, SpringerLectureNotesinMathematics730,p (1979). [M01] M.Mezard,StatisticalPhyaicsoftheGlassPhase,arXiv:cond-mat/ [MNM01] S.McNamaraandM.Mareschal,OriginoftheHydrodynamicLyapunovmodes, Phys.Rev.E64, (2001);M.MareschalandS.McNamara,Lyapunov HydrodynamicsintheDiluteLimit,PhysicaD187, (2004). [MPH98] Lj. dimensionalfluids:harddumbbells,chaos8, (1998). Milanovic, H.A. Posch, and Wm.G. Hoover, Lyapunov Instability of Two- [O68] V.I.Oseledec,AMultiplicativeErgodicTheorem:LjapunovCharacteristicNumbersforDynamicalSystems, Trans.Mosc.Math.Soc.19, (1968). [P04] H.A.Posch,talkgivenatDPG-Fruhjahrstagung;Regensburg,8-12March2004, Ch.ForsterandH.A.Posch,inpreparation. [PEME00] W.Pesch,D.A.Egolf,I.V.MelnikovandR.E.Ecke,MechanismofExtensiveSaptiotemporalChaosinRayleigh-BenardConvection,Nature404, (2000). [PF04] H.A. Systems,p ,Eds.G.Radons,W.Just,andP.Haussler(Springer,Berlin, Posch, Ch. Forster, in Collective Dynamics of Nonlinear and Disordered 2004),inprint. [PH88] H.A.PoschandWm.G.Hoover,LyapunovInstabilityofDenseLennard-Jones Fluids,Phys.Rev.A38, (1988). [PH00] H.A. p , PoschinHard and R. Ball Hirschl, Systems Simulation and theoflorentz Billiards Gas,EMS and of Hard Vol.101,Ed. Body Fluids, Szasz(Springer,Berlin,2000). D. [PP98] A.PikovskyandA.Politi,DynamicLocalizationofLyapunovVectorsinSpacetimeChaos,Nonlinearity11, (1998);A.PikovskyandA.Politi,DynamicLocalizationofLyapunovVectorsinHamiltonianLattices,Phys.Rev.E63, (2001). [PPP84] Y.Pomeau,A.Pumir,andP.Pelce,IntrinsicStochasticitywithManyDegrees InformationFlowinCoupledMapLattices,PhysicaD23, (1986). offreedom,j.stat.phys.37,39-49(1984);k.kaneko,lyapunovanalysisand

206 204 C8Radons/Just/Latz [S96] S.Sastry,LyapunovSpectra,InstantaneousNormalModeSpectra,andRelaxationintheLennard-JonesLiquid,Phys.Rev.Lett.76, (1996). [SN79] I.ShimadaandT.Nagashima,ANumericalApproachtoErgodicProblemof DissipativeDynamicalSystems, Prog.Theor.Phys.61, (1979). [TM02] T.TaniguchiandG.P.Morriss,StepwiseStructureofLyapunovSpectraforMany- ParticleSystemsusingaRandomMatrixDynamics,Phys.Rev.E65, (2002). [TM03a] T.TaniguchiandG.P.Morriss,BoundaryEectsintheStepwiseStructureofthe 1-18(2003). LyapunovSpectraforQuasi-one-dimensionalSystems,Phys.Rev.E68, [TM03b] T.TaniguchiandG.P.Morriss,LocalizedBehaviorintheLyapunovVectorsfor Quasi-one-dimensionalMany-hard-diskSystems,Phys.Rev.E68, (2003). [WB] A.S.deWijnandH.vanBeijeren,GoldstoneModesinLyapunovSpectraofHard SphereSystems,arXiv:nlin.CD/ Ergebnisse 2.4.1NichtlineareundmolekulareDynamik DieGrundlagenfurdiesenProjektteilwurdenbereitsinunserenVorarbeitenzuzufallig gekoppeltenphasenoszillatoren[sr98,sr00]gelegt.dortwurdegezeigt,dasssichnichtgleichgewichtsphasenubergangeauseinerdynamischungeordnetenphaseineinespinglasartigephasemiteingefrorenerunordnungklarimlyapunov-spektrumniederschlagt. InSpezialfallen,wiedemKuramoto-Modell,konnenfurderartigeSystemeauchexakteanalytischeErgebnissefurdieLyapunov-Spektrengewonnenwerden[R04b].Das theoretischeverstandnisdeszuuntersuchendenglasubergangswurdeindenarbeiten [L00,L01,L02]geschaen.VondiesemHintergrundausgehendwurdeinderlaufenden ForderperiodedieLyapunov-InstabilitatvonLennard-Jones-Flussigkeitenuntersucht. BasisfurdieseUntersuchungenwardieErstellungeinesumdieTangentialraumdynamik erweitertenmolekulardynamikprogramms,dasaufdemkonventionellenmd-codevon WalterKobaufsetzt.Zielwares,furdiebinareMischungeinecharakteristischeVeranderungz.B.derLyapunov-Spektrenzudetektieren.DieErgebnisseeinigerTestlaufedieses ProgrammsineinerdreidimensionalenbinarenLennard-JonesMischungmit100TeilchensindinAbbildung2.1dargestellt.DabeiverwendenwirdievonKobundAnderson zursimulationvonunterkuhltenflussigkeitenundgaseneingefuhrteparametrisierung [K95].EineAbschatzung[K95]ergibtindiesemModelleinenModenkopplungsubergang beit=0:435.esistbereitsgezeigtworden,dasssichdassystemverhaltenandiesem Punkterheblichandert,obwohlhierkeinklassischerPhasenubergangspunktineinen glasartigenzustandvorliegt[ds01]. AusdenSimulationenfandenwir,dasssichdasgesamteLyapunov-SpektrumfursinkendeTemperaturennachuntenverschiebt.Dasistvermutlichaufdiemitsinkender TemperatursinkendeKollisionsratezuruckzufuhren.DieSymmetrieeigenschaftendes SpektrumssindzudemeinBelegfurdieFunktionsfahigkeitunseresProgramms.Mit

207 C8Radons/Just/Latz 205 λ (α) λ (α) /λ (1) T=0.2 T=0.3 T=0.466 T=0.7 T=1.0 T=1.5 T= Abbildung2.1:Das Lyapunov-Spektrum α (links) und das 301-α Spektrum()=(1)(rechts)fureinbinares3dLennard-Jones-System normierte LyapunovtemgroeistL=4:36. beiverschiedenentemperaturen.dieteilchenzahlistn=100undsys- sinkendertemperaturwirddasspektrummehrundmehrgekrummt.unterhalbvon T=0:466andertsichdasnormierteSpektrumnurwenigmitderTemperatur.AnscheinendspiegeltdergroteLyapunov-Exponent(1)imWesentlichendiekinetischeEnergie deratomewieder,wahrenddasgesamtespektrumdiekongurationderatomewiedergibt.diekrummungdesspektrumsfolgtausderseparationderschnellenzeitskalader AtomvibrationenundderlangsamenZeitskaladerRelaxationderAtomkonguration. BeiderdurchdieBerechnungaufnureinemProzessormoglichenSystemgroeund SimulationsdauersindendgultigeSchlussfolgerungennochnichtmoglich.Insbesondere beiniedrigentemperaturentretennocherheblichefluktuationenauf.esmusstedaher ersteineparallelisierteversiondesprogrammserstelltwerden u (α) (r,t) λ (α) α: index of LEs Abbildung2.2:Momentaufnahme LV-Dichte 400 r u()(r;t) 600 fur 800 eine 1-d 1000 Flussigkeit(N=100),wobeiderLyapunov-Exponent(96)naheNull Lennard-Jonesliegt.DieAuslenkungenu() aufgetragenundzeigeneinewellenartigestruktur.auerdemistderpositivezweigdeslyapunov-spektrumsdargestellt. i sindvertikaluberderteilchenpositionri UnsereErgebnissefurbinareLJ-Systemedeutetenan,dassdasLyapunov-Spektrumal-

208 206 C8Radons/Just/Latz leinnichtgenugendaussagekraftigseinwurde,daeszuunsensitivaufdaseinfuhrenvon Unordnungreagiert.DieseTatsachebrachteunszuderEinsicht,dassdieUntersuchung derzugehorigenlyapunov-vektorendieproblematiklosenkonnte.undindertatzeigenschonsehreinfachegroen,wiediepartizipationsverhaltnisse(participationratios) derlyapunov-vektoren,charakteristischeunterschiedezwischensystemenmitundohneunordnung.dieseunterschiedebetreenstarklokalisiertelyapunov-vektoren,diezu denmaximalenlyapunov-exponentengehoren.interessantersindjedochdielyapunov- Vektoren,diezuLyapunov-ExponentennahederNullgehoren,dadiesefurdasVerstandnisvonLangzeitphanomenenwichtigsind.DieskonntebereitsdurchSimulationeneinkomponentigerLennard-Jones-Flussigkeitengezeigtwerden,waszudemnichttrivialeResultatehervorbrachte.FurHartkugelsystemewurdekurzlichdieinteressanteEntdeckung gemacht,dasslyapunov-vektoren,derenexponentennahebeinullliegen,einewellenartigestrukturaufweisen[ph00].diesesogenanntenhydrodynamischenmodenverhaltensichsehrverschiedenvondentypischerweiselokalisiertenlyapunov-vektoren,diezu dengrotenlyapunov-exponentengehoren[ppp84,gp91,mph98].infolgearbeiten [FHPH04,EG00,MNM01,WB,TM02]wurdendieseModenanhandvonvereinfachtenModellenaufderBasisvonZufallsmatrizen[EG00]untersucht,siesindaberimmer nochnichtausreichendverstanden.beispielsweiseexistiertediedurchplausibleargumenteunterstutztemeinung,dasssolchehydrodynamischenmodennurinflussigkeitenmithartenpotentialenexistieren,nichtaberinvielteilchensystemenmitweichen Wechselwirkungspotentialen[PH00,FHPH04,H02].AuchinmolekulardynamischeSimulationenvonSoft-Potential-SystemenmitWCA-Wechselwirkungenwurdenzunachst keinehydrodynamischenlyapunov-modendetektiert.derenexistenzinsystemenmit weichenpotentialenkonnteerstdurchunserearbeitennachgewiesenwerden. S (αα) (k) log 10 λ (α) Abbildung2.3:HohenlinienderstatischenKorrelationsfunktion log 10 (k/2π) Lennard-Jones-Flussigkeit(N=100,L=1000).DerKammbeikleinen S()(k)fureine1-d k ExistenzhydrodynamischerLyapunov-Moden. und Werten(angedeutetdurchdiegestrichelteLinie)zeigtdie UmhydrodynamischeLyapunov-ModenimLennard-Jones-Systemdetektierenzukonnen, fuhrtenwirstatischeunddynamischekorrelationsfunktionenfurdieraumlichendichten derlyapunov-vektorenein.dabeiistdieraumlichedichtederlyapunov-vektorenals u()(r;t)=pni=1u() i (t)(r Ri(t))deniert,wobeiRi2RdderOrtdesi-tenTeilchens 0

209 C8Radons/Just/Latz λ (α) ρ=1/2 Τ=0.2 ρ=1/4 Τ=0.2 ρ=1/6 Τ=0.2 ρ=1/8 Τ=0.2 ρ=1/10 Τ=0.2 ρ=1/15 Τ=0.2 ρ=1/20 Τ=0.2 ρ=1/30 Τ=0.2 ρ=1/40 Τ=0.2 ρ=1/2 Τ=0.3 ρ=1/4 Τ=0.3 ρ=1/6 Τ=0.3 ρ=1/8 Τ=0.3 ρ=1/10 Τ=0.3 ρ=1/2 Τ=0.4 ρ=1/4 Τ=0.4 ρ=1/6 Τ=0.4 ρ=1/8 Τ=0.4 ρ=1/10 Τ= Abbildung2.4:Dispersionsrelation(k)derhydrodynamischenLyapunov-Moden,dar- k max /2π gestelltfurverschiedeneteilchendichtenundtemperaturen.diedisper- sionsrelationistubereinenweitenparameterbereichunabhangigvonder Temperatur. WieinAbbildung2.2furL=1000undT=0;2gezeigtist,uktuiertu()(r;t)inder undu() i (t)derraumlicheanteildes-tenlyapunov-vektorsfurdasi-teteilchenist. ZeitundimRaum. DieraumlichenKorrelationenwerdendurchS()(k),diegleichzeitigenKorrelationen derfourierkomponentenu()(k;t)vonu()(r;t)erfasst.zurvereinfachungdiskutieren wirzunachstdieresultatefureineeindimensionalelennard-jones-flussigkeit,furdie nenundk.dementsprechendbedeutetdieentsprechendedispersionsrelation S()(k)eineskalareGroeist.Abbildung2.3zeigteinenGrat(gestrichelt)beiklei- dassdielyapunov-moderaumlichoszillatorischesverhaltenzeigt.inabbildung2.4ist (k), uberkmax=argmaxks(;k)fursystememitverschiedenendichtenundtemperaturenaufgetragen.diedispersionsrelation(k)istweitgehendunabhangigvondieseon(k)istlinearinderdoppellogarithmischendarstellung,woraussicheinskalengesetz GroenindemBereich,indem(k)wohldeniertist.DiegemeinsameDispersionsrelati- (k)kmit=1;2 0;1ergibt.AllerdingskannmanausdiesenDatenaucheine linearedispersionsrelationmitquadratischenkorrekturennichtausschlieen.diesere- sultatezeigeneindeutigdieexistenzhydrodynamischerlyapunov-modeninlennard- Jones-Flussigkeiten. GenauereInformationenkonnenausderdynamischenLV-KorrelationsfunktionS()(k;!) gewonnenwerden,diemandurchzeitlichefouriertransformationausdenungleichzeitigenkorrelationenf()(k;)derfluktuationenu()(k;t)erhalt.diesefunktion enthaltnebenstrukturellenauchzeitlichekorrelationen.durchfrequenzintegration S()(k)=RS()(k;!)d!kannwiederdiestatischeKorrelationsfunktion gewonnenwerden.inabbildung2.5isteintypischesbeispielderkorrelationsfunktui- S()(k) mumundschulterformigenseitlichenstrukturen,diederdynamischenstrukturfunktion ons()(k;!)dargestellt.siebestehtauseinemzentralen\quasi-elastischen"maxi- ApproximationderLaplace-TransformationvonF()(k;)gewonnenwerden,waseinem S(k;!)vonFlussigkeitenahneln.DiedynamischeInformationkanndurcheine3-Pol- FitderFunktionS()(k;!)durchLorentz-Funktionenbei!=0undbei!=!(k)ent-

210 208 C8Radons/Just/Latz S (αα) (k,ω) k=2π/l ω u ω u Abbildung2.5:DynamischeKorrelationsfunktionS()(k;!)fur=96undk=2=L ω DiedurchgezogeneLiniefolgtauseinemFitfurdie3-Pol-Approximation. AuerdemistdieZerlegungindreiLorentz-Kurvendargestellt.Diekleine AbbildungvergleichtdieFitsfurk=2=L,4=L,und8=L(vonoben). rechtgenau.mithilfedieserfitskonnendiedispersionsrelationen spricht.diesefits(abbildung2.6)beschreibendiefrequenzabhangigkeitvons()(k;!) derhydrodynamischenlyapunov-modenmitdemindex gewonnenwerden.diese!()(k)furjede charakterisiert.weild! Lyapunov-ModensinddurchdieWellenlange2=k()unddietypischeFrequenz!(k()) vor.dieherkunftderfrequenz!(k())istnochnichtvollstandigaufgeklart.vermut- dkungleichnullist,liegenpropagierendewellenartigeanregungen lichspiegeltsiedierotationdesorthogonalenbezugssystems e()(t) umdierefe- renztrajektoriewieder.dievollstandigelv-dynamikistdagegennochkomplizierter. Beispielsweisendenwir,dassdiekoharentewellenartigeBewegungintermittentauftritt.DiesesPhanomenistvermutlichdieUrsachefurdieBreiteder"inelastischen" DieseResultatezeigendieMachtigkeitdervonunseingefuhrtenLV-DichtekorrelationsfunktionbeiderQuantizierungraumzeitlicherPhanomeneimZusammenhangmit Lyapunov-Vektoren.Dadurchisteserstmaligmoglich,hydrodynamischeLyapunov- ModenundderenDynamikinSystemenmitweichenPotentialenzubestimmen.Wir schlieendaraus,dasslyapunov-modenuniversellundunabhangigvonderspeziellenwechselwirkunginchaotischentranslationsinvariantenvielteilchensystemenauftreten.dieserschlusswirdauchdurchdiebeobachtungvonhydrodynamischenmodenin ein-undzweidimensionalenflussigkeitenmiteinerweeks-chandlers-anderson(wca) Wechselwirkunguntermauert[P04]. ImGegensatzzudenSystemenaushartenKugeln,indenendieLyapunov-Modenzuerstentdecktwurden,istdasLyapunov-SpektrumimLennard-Jones-Systemnichtstu- PeaksvonS()(k;!)bei!=!(k). DieLyapunov-VektorenenthaltenimVergleichzumLyapunov-SpektrumwesentlichdetailliertereInformationen,wobeidiehydrodynamischenLyapunov-Modenoensichtlicfenformig,obwohldiebetreendenModenauchhierexistieren(sieheAbbildung2.2). einrobustesunduniversellesphanomendarstellen.folglichsinddielyapunov-vektoren 10-5

211 C8Radons/Just/Latz 209 ω u Width of central peak e-05 0 Abbildung2.6:Dispersionsrelationen!()(k)(oben)unddiek AbhangigkeitderBreite 0.01 k/2π deszentralenpeaks(unten)furverschiedenelyapunov-vektoreninder 3-Pol-Approximation.DieverschiedenenZeitskalensindklarvoneinandergetrenntskopischenBeschreibungenvonVielteilchensystemen. wesentlichfurunseresuchenachverbindungenzwischenmikroskopischenundmakro- UmdenMechanismusderhydrodynamischenLyapunov-Modenweiteraufzuklaren,betrachtetenwirzusatzlicheinfachegekoppelte,chaotischeAbbildungen(CML,coupled maplattice).anhanddiesermodellekonntenwireinerseitsdasgenerischeunduniverselleverhaltenderhydrodynamischenlyapunov-modenuberprufen.andererseitskonnen CMLseinfachsimuliertundmodiziertwerden,wasinsbesonderefurdieVorbereitung vonnumerischenexperimenteninkomplizierterensystemenuntergutkontrollierten Bedingungennutzlichist.UnserevorlaugenResultatezeigen,dasshydrodynamische [RUN04,RU04a,RU04b]legennahe,dassauchpartielleDierentialgleichungenhydrodynamischeLyapunov-Modenaufweisenkonnen.DasBeispielzeigt,dassunsCMLsauch inzukunft,insbesonderebeideruntersuchungvonunordnungseekten,nutzlichsein durften. InZusammenarbeitmitderArbeitsgruppevonProfessorRunger(TPB8)konvertierten wirdaszuvorerstelltesequentielleprogrammzurberechnungvonlyapunov-spektren ineineparallelisierteversionunterverwendungvonmpi[gls94].indiereorthogonalisierung,diederrechenzeitaufwandigsteteildersimulationist,implementierenwirdrei Algorithmen:PCGSisteineparallelisierteklassischeGram-Schmidt-Orthogonalisierung, PICGSisteinnumerischstabilerGram-Schmidt-AlgorithmusundPBQRisteinQR- AlgorithmusfurBlockmatritzen.AlleParallelrechnungenbasierenaufeinemzweidimensionalenProzessorengittermiteinerentsprechendenblockzyklischenDatenverteilungderMatrixderOset-Vektoren.ZeilenzyklischeundspaltenzyklischeVerteilungen entsprechenderblockgroe,dieapproximativgewahltwerdenkann.dasprogramm wurdesorgfaltigmodularaufgebaut,umauchfureinfachesequentielleoperationendie Prozessor-undKnotenarchitekturoptimalausnutzenzukonnen.DasInterfacezwischen parallelerreorthogonalisierungundintegrationmusseineinvariantedatenverteilung Lyapunov-ModenauchinCMLsexistieren(sieheAbbildung2.7).DiesunddieArbeiten gewahrleisten.umverschiedeneparallelalgorithmenzurorthogonalisierungzusammen

212 210 C8Radons/Just/Latz a) b) c) 209 α PEB FRB FIB Abbildung2.7:ErgebnissederSimulationendergekoppeltenKreisabbildungenfur k k =2:3.a)HohenlinienvonS() max λ (α) vonkmax,c)daslyapunov-spektrum.inb)sinddieergebnissefurfeste u (k),b)indexderlvalsfunktion (FIB),freie(FRB)undperiodische(PEB)Randbedingungendargestellt. DieSystemgroeistL= Runtime CLIC PCGS PICGS PBQR %PCGS %PICGS %PBQR runtime [s] Percent Orthogonalisation Abbildung2.8:Rechendauer(abfallendeKurven)undOrthogonalisierungsgrad(ansteigendeKurven)alsFunktionderProzessorenzahlfurdasparallelisierte ProgrammimClusterCLICderTUChemnitzfureineSimulationei- ner3dbinarenlennard-jones-flussigkeitmit80a-teilchenund20b- Teilchen P mitdemintegrationsalgorithmusezientnutzenzukonnen,kanneineautomatischedatenumverteilungnotigsein.dieabsichtdabeiistes,durcheineezientekombination vonstandardroutinenundparallelenorthogonalisierungsroutineneineoptimaleausnutzungvonprozessoren,knotenundnetzwerkzuerreichen.dadurchkanndieberechnungvonlyapunov-vektorenundspektrensoezientdurchgefuhrtwerden,dassauch SimulationeninsehrgroenSystemenmoglichsind.DieRechengeschwindigkeitwurdeaufeinemBeowulf-Cluster(Dual-Xeon-Knoten)undeinerIBMSP4amNICJulich bestimmt.solchetestssindauchwichtig,damitdasparallelprogrammzurberechnung derlyapunov-instabilitatauchvonanderenarbeitsgruppenaufanderenrechenanlagen ezientgenutztwerdenkann.

213 C8Radons/Just/Latz 211 DasinderlaufendenForderperiodeentwickelteparallelisierteProgrammwirdauchin dernachstenantragsperiodevonerheblicherbedeutungsein.erstdiesesprogramm ermoglichtunsaussagekraftigeundextensiveuntersuchungendurchzuverlassigeberechnungeninzwei-unddreidimensionalensystemenmitausreichendgroerteilchenzahl.insbesonderenichtgleichgewichtsprozesse,wiedienichtlinearealterungsdynamik, konnennunzuverlassiguntersuchtwerden.derprojektbearbeiterherrdr.yangarbeitetmomentanherrndipl.phys.christiandrobniewskiindiethematikein,derihn dannimfortgangdesprojektsunterstutzensoll Entwicklungraum{zeitlicherDynamiknachperiodischen InderlaufendenForderperiodekonntedieserTeildesTPC8aufgrundderreduzier- Orbits,AlternundanomalerTransport tenmittelbewilligung(eswurdenureinevonzweibeantragtenpersonalstellenbewil- ligt)lediglicheingeschranktmitmittelndergrundausstattungbearbeitetwerden.in denentsprechendenarbeitenwarensomitimwesentlichendieantragstellerinvolviert [R04a,J04,R04b,RJH04,MKJ01,MKJ02,BASJ02].ZudemkonnendieDiplomarbeitenvonHerrnFichtner[F03,FJR04]undFrauHallerberg[HJR04]alsBeitragzu diesemthemenkreisgerechnetwerden.seitende2003arbeitetsichherrfichtnerals wissenschaftlichermitarbeiter,ubereinehaushaltsstelle(bisende2004)nanziert,in periodefundiertbearbeitenzukonnen. diekonkretenfragestellungendiesesprojektteilsein,umihninderkommendenforder- AufgrundunsererArbeitenkanndiefolgendenZwischenbilanzgezogenwerden.Erstens konnteninzwischenderausgangspunktunddiemoglichenperspektivendiesesprojektteilsneudeniertundklarausgearbeitetwerden[r04a].insbesonderediemoglichkeiten derspektralanalysederinteressierendendynamischensystemeunddesescape-rate- Formalismuswurdenin[R04a]ausgelotet.Damitwurdez.B.dieWichtigkeitderZustandsdichteamRandedesSpektrums(Lifshitz-tails)furdasLangzeitverhaltendieser Systemeaufgezeigt.DarausresultierteauchdieErkenntnisuberdenengenZusammenhangdieserProblematikmitdeninA14behandeltenmathematischenProblemender ZustandsdichtefurdasAnderson-Modell.ZweitenswarursprunglichvorgesehendieMethodenderPeriodic-Orbit-Theorieeinzusetzen.IndiesemZusammenhangistauchdie abgeschlossenediplomarbeitvonherrnfichtnerzusehen,inderersichmitdemaundenundderstabilsierungvonperiodischenorbitsmittelsruckkopplungbeschaftigthat [FJR04]unddienochlaufendeDiplomarbeitvonFrauHallerbergzurPeriodic-Orbit- ErgebnissezudenSpektrendesFrobenius-Perron-OperatorsfurungeordneteSysteme TheoriederZeta-FunktionanPhasenubergangen[HJR04].Esstelltesichaufgrundder [R04a]allerdingsauchheraus,dassdiePeriodic-Orbit-Theorienichtbesondersgeeignet zuseinscheintoderzumindestzugroeproblememitsichbringt,umdiebeschreibung derraum-zeitlichendynamikungeordnetersystemevorteilhaftzuerfassen.dahersoll deransatzderperiodic-orbit-theorieinderkommendenperiodenichtweiterverfolgt werden.drittenshatherrfichtnerbereitserstelauahigevarianten(eineruntermenge)derprogrammpaketeerstellt,dieinderkommendenforderperiodezumeinsatz kommensollen. DerwissenschaftlicheAusgangspunktfurdiesenProjektteilbestandinderErkenntnis, dassschoneinfacheiterierteabbildungenmiteingefrorenerunordnungeinerseitsanomaletransporteigenschaften,wiedynamischelokalisierungundanomalverlangsamtedrift,

214 212 C8Radons/Just/Latz aufweisenkonnen[r96a,r99],undandererseitsengdamitverbundenalterungsphanomeneauftreten[r99,r04a].dieseeinsichtbasiertaufdemengenzusammenhangvon ausgedehntendynamischensystemenmitmarkov-modellenfurrandomwalks,falls ersteresogenanntemarkov-partitionenbesitzen[r96b,r95].diesimpliziertfernerdie AnwendbarkeitvonfortgeschrittenenMethoden,z.B.desThermodynamischenFormalismusinbeidenSystemklassen[R95,SSR95].DamitlassensichetwaGleichgewichtseigenschaftenfurRandomWalksinRandomEnvironments,diemanfurendlicheSysteme giltfurnichtgleichgewichtseigenschaftenwiedasalternoderdenanomalentransport auchanalytischberechnenkann[r98],aufdynamischesystemeubertragen.dasselbe [R04a,R04b].ExemplarischkonntediesandenspektralenEigenschaftendesFrobenius- Perron-Operatorsdeutlichgemachtwerden λ (α) α Abbildung2.9:DasSpektrumeinesdynamischenSystemvomSinai-Typ.DieEigenwerte clusternbei=1(undaussymmetriegrundenauchbei= wurdendurchdiagonalisierungderubergangsmatrixgewonnen. 1).Sie Abbildung2.9zeigtdasSpektrum () diesesoperatorsfureineinfachesungeordnetesdynamischessystemmitmarkov-partition.dieentsprechendeubergangsmatrixdes sogenanntensinai-modellskannmiteinemlokalisierungsproblemderquantenmechanikungeordnetersystemeinverbindunggebrachtwerden.furdaslangzeitverhalten desdynamischensystemsistdasclusterndereigenwertebei UnsereUntersuchungenzeigtendasentsprechendesingulareVerhaltenderZustandsdichteauf.DiesesistallerdingsvondenbetrachtetenModellklassenabhangig.Esgibt zudemeinenzusammenhangmitderentweichrateeinesgeeignetkonstruiertenoenen Systems,derauchnurfurdenSpezialfalldesSinai-Modellsverstandenist.Dadiese =1verantwortlich. menerelevantsind,istesnotwendigdieseeigenschaftengenauerzuuntersuchen.sol- chezusammenhangebzw.analogienzwischensystemenderstatistischenphysikund dernichlinearendynamikwurdenindervonunsimjahr2002organisiertenheraeus- Sommerschulethematisiertundsindin[RJH04]dokumentiert.AusdiesenArbeiten folgtejedochauch,dassdiephanomenologiedernichtlinearendynamischensysteme wesentlichreicheristalsdiederbekanntenmodellederstatistischenphysik.diesenoch unbekanntenaspektedynamischersysteme,insbesondereinbezugaufalternundan- EigenschaftensowohlfuranomaleTransporteigenschaftenalsauchfurAlterungsphanoomalenTransport,bildendiezentralenFragestellungen,diezukunftigvonHerrnFichtner

215 C8Radons/Just/Latz 213 indiesemprojektteilbearbeitetwerdensollen. Literaturverzeichnis [BASJ02] N. layedfeedbackcontrolbyspatio-temporalltering,phys.rev.lett.89, Baba, A. Amann, E. Scholl, and W. Just; Giant improvement of time de- (2002). [F03] A.Fichtner,ChaoskontrollemitzeitlichoszillierenderzeitverzogerterRuckkopplung,Diplomarbeit,TUChemnitz,Oktober2003. [FJR04] A.Fichtner,W.Just,andG.Radons,Analyticalinvestigationofmodulatedtimedelayedfeedbackcontrol.J.Phys.A37, (2004). [HJR04] S.Hallerberg,W.Just,andG.Radons,AnalyticPropertiesoftheRuelleZeta FunctionforMean-FieldModelsofPhaseTransitions,inVorbereitung. [J04] W.Just,OnSymbolicDynamicsofSpace-TimeChaoticModels,p ,in [RJH04]. [L00] A.Latz,Non-EquilibriumModeCouplingTheoryforSupercooledLiquidsand Glasses,J.Phys.Cond.Mat12, (2000). [L01] A.Latz,Universalpropertiesofaginginstructuralglasses,arXiv:cond-mat/ [L02] A.Latz,Non-EquilibriumProjectionOperatorforQuenchedThermostattedSysteme,J.Stat.Phys.109, (2002). [MKJ01] E.FerrettiManra,H.Kantz,andW.Just;Periodicorbitsandtopologicalentropyofdelayedmaps,Phys.Rev.E63,046203(2001). [MKJ02] E.FerrettiManra,W.Just,andH.Kantz;Invariantdensitiesofdelayedmaps inthelimitoflargetimedelay,phys.rev.e65,016211(2002). [R95] G.Radons,ThermodynamicAnalysisofRandomWalksinInhomogeneousEnvironments:LocalizationandPhaseTransitions;Phys.Rev.Lett.75, (1995). [R96a] G.Radons,SuppressionofChaoticDiusionbyQuenchedDisorder.Phys.Rev. Lett.77, (1996). [R96b] G.Radons,TheThermodynamicsofRandomWalkswithApplicationstoFractals andchaos.in:nonlinearphysicsofcomplexsystems-currentstatusandfuture Trends,LectureNotesinPhysics,J.Parisiet.al.(Hrsg.),S ,Springer- Verlag,Berlin,1996. [R98] G.Radons,OntheEquilibriumStateofRandomWalkersinRandomEnvironments:AnalyticalResults.J.Phys.A31, (1998). [R99] G.Radons,DisorderPhenomenainChaoticSystems.Adv.SolidStatePhysics 38,S (1999). [R04a] G.Radons,AnomalousTransportinDisorderedDynamicalSystems.PhysicaD 187,3-19(2004).

216 214 C8Radons/Just/Latz [R04b] G.Radons,DisorderedDynamicalSystems,p ,in[RJH04]. [RJH04] G.Radons,W.Just,andP.Haussler(Hrsg.),CollectiveDynamicsofNonlinear anddisorderedsystems(springer,berlin,2004),imdruck. [RRSY] G.Radons,G.Runger,M.Schwind,andH.L.Yang,Parallelalgorithmsforthe determinationoflyapunovcharacteristicsoflargenonlineardynamicalsystems. ProceedingsofPARA04,WORKSHOPONSTATE-OF-THE-ARTINSCIEN- TIFICCOMPUTING,Lyngby,June20-23,2004,erscheintinLectureNotesof ComputerScience(Springer,Berlin,2004). [RUN03] B.Rumpf,A.C.Newell,Localizationandcoherenceinnonintegrablesystems, PhysicaD184, (2003). [RUN04] B.Rumpf,A.C.Newell,Intermittencyasaconsequenceofturbulenttransport innonlinearsystems,phys.rev.e69, (2004) [RU04a] B.Rumpf,Simplestatisticalexplanationforthelocalizationofenergyinnonlinear latticeswithtwoconservedquantitiesphys.rev.e69, (2004). [RU04b] B.Rumpf,Intermittentmovementoflocalizedexcitationsofanonlinearlattice, Phys.Rev.E70,imDruck(2004). [RY04a] G.RadonsandH.L.Yang,StaticandDynamicCorrelationsinMany-Particle LyapunovVectors,nlin.CD/ ,eingereichtbeiPhys.Rev.Lett. [RY04b] G.RadonsandH.L.Yang,LyapunovModesinCoupledMapLattices,Vorabdruck. [SR98] J.StillerandG.Radons,DynamicsofRandomlyCoupledPhaseOscillators.Phys. Rev.E58, (1998). [SR00] J.StillerandG.Radons,Self-AveragingofanOrderParameterinRandomly CoupledLimit-CycleOscillators.Phys.Rev.E61, (2000). [SSR95] R.Stoop,W.-H.Steeb,andG.Radons,ANewCharacterizationofDeterministicDiusion:Diusion-RelatedEntropyFunctions;Phys.Lett.A202, (1995). [YR03a] HongliuYangandG.Radons,LyapunovInstabilityofOne-dimensionalLennard JonesSystems,23thEuropeanDynamicsDays,24th-27thSept.2003,Palmade Mallorca,Spain. [YR03b] HongliuYangandG.Radons, DresdnerHerbstseminardesArbeitskreisesNichtlinearePhysik,MPIPKSDresden,9th-12thNov DynamicalStructuresofLyapunovVectors,4. [YR04] H.L. nlin.cd/ ,wirdinphys.rev.everoentlicht. Yang and G. Radons, Lyapunov instability of Lennard Jones uids, 2.5OeneFragen/Ausblick 1.ImBereichderNichtlinearenDynamikvonLennard-Jones-Flussigkeitensindu.a. nochdiefolgendenfragenzuuntersuchen:

217 C8Radons/Just/Latz 215 Wirhabenbereitsgezeigt,dasshydrodynamischeLyapunov-ModenineinerDimensionineinkomponentigenLennard-Jones-Systemenexistieren,wobeiwirdas VerhaltendurchLV-Korrelationencharakterisierthaben.DiesePhanomenebedurfeninzweiunddreiDimensionennocheinergenauerenUntersuchung. DurchwelchenMechanismusundunterwelchenUmstandentretenhydrodynamischeLyapunov-Modenauf? WiewerdendieLyapunov-ModendurchstatischeUnordnungoderdynamisches Rauschenbeeinusst? WiebeeinusstdasnichtergodischeVerhaltenimglasartigenZustanddieLyapunov- Moden?WieverandertsichdasLyapunov-SpektrumbeimUbergangvomergodischenindennicht-ergodischenZustand? BisherhabenwirLennard-Jones-FlussigkeitenimGleichgewichtszustanduntersucht.WelcheAuswirkunghatdiePraparationdesSystemsineinemNichtgleichgewichtszustand(Alterungsprozess)aufdasLyapunov-SpektrumunddieLyapunov- Vektoren? KanndienumerischeAlgorithmiknochezientergemachtwerden,z.B.durch kontinuierlicheorthogonalisierungsverfahren? 2.ImBereichderNichtlinearenDynamikdesAlternsunddesanomalerTransports sindu.a.nochdiefolgendenfragenzuuntersuchen: WelcheSystemklassenvonungeordnetendynamischenSystemen(iteriertenAbbildungen)existieren?WieunterscheidensiesichinBezugaufdieAlterungsdynamik unddietransporteigenschaften? WieistdassingulareVerhaltenderZustandsdichtedesSpektrumsdesFrobenius- Perron-OperatorsindenverschiedenenKlassenzucharakterisieren? WelchenEinusshabenRandbedingungenaufdiespektralenEigenschaften? LassensichdassingulareVerhaltenbeweisenundentsprechendeExponentenauch analytischberechnen? GibtesimmereinenZusammenhangmitderSystemgroenabhangigkeitderEntweichrate?UnsereUntersuchungendeutendaraufhin,dassineinfachenSystemen eineinfacherzusammenhangexistiert,furkomplexeremodellezumindestdieser einfachenichtmehr.hiersindsystematischeuntersuchungennotwendig. DieModellereprasentierendieDynamikvonZustandenineingefrorenen,ungeordnetenUmgebungen.WelcheAuswirkungenhabendynamischeFluktuationender ungeordnetenumgebung? EineausfuhrlicheDarstellungdergeplantenVorhabenistimFinanzierungsantrag ,TeilprojektC8,enthalten.

218 216 C8Radons/Just/Latz

219 Projektbereich D SimulationundAnwendungeninderKontinuumsmechanik

220

221 Teilprojekt D1 EzienteparalleleAlgorithmenzurSimulationdes DeformationsverhaltensvonBauteilenaus elastisch-plastischenmaterialien

222

223 D1Kreiig/Meyer/Kuna TeilprojektD1 EzienteparalleleAlgorithmenzurSimulationdesDeformationsverhaltensvonBauteilenauselastisch-plastischenMaterialien 2.1.1Antragsteller Prof.Dr.R.Kreiig ProfessurFestkorpermechanik InstitutfurMechanik FakultatfurMaschinenbau TUChemnitz Prof.Dr.A.Meyer ProfessurNumerischeAnalysis FakultatfurMathematik TUChemnitz Prof.Dr.M.Kuna FakultatfurMaschinenbau,Verfahrens-undEnergietechnik InstitutfurMechanikundFluiddynamik TUBergakademieFreiberg 2.1.2Projektbearbeiter Dr.U.Benedix ProfessurFestkorpermechanik InstitutfurMechanik FakultatfurMaschinenbau TUChemnitz Dr.M.Scherzer FakultatfurMaschinenbau,Verfahrens-undEnergietechnik InstitutfurMechanikundFluiddynamik TUBergakademieFreiberg Dr.A.Bucher InstitutfurMechanik ProfessurFestkorpermechanik FakultatfurMaschinenbau TUChemnitz DIF.Rabold InstitutfurMechanikundFluiddynamik FakultatfurMaschinenbau,Verfahrens-undEnergietechnik TUBergakademieFreiberg

224 222 D1Kreiig/Meyer/Kuna 2.2Ausgangsfragestellung/Einleitung DieAnwendungnumerischerVerfahrenzurBerechnungdesmechanischenVerhaltens vonbauteilenundkonstruktionenhateinewesentlicheezienzsteigerungderentwicklungsprozessebewirkt.insbesonderedieablosungaufwandigerversuchsreihendurch numerischefallstudienundexperimenteaufderbasiscomputergestutztersimulationstechnikenhatdazugefuhrt,dassdereinsatzderfinite-elementmethode(fem) mittlerweilezumstandardinnahezuallenindustriebereichengewordenist.daneben gewinntdiefemimmerstarkerinforschungsgebietenwiez.b.derbiologieundmedizinanbedeutung,indenenbisdahinwegenderkomplexitatderproblemstellungen nurvereinzeltnumerischesimulationenanwendungfanden. BeiderEntscheidungfureinespezielleSoftwaresteheninderPraxiszweiKriterien besondersimblickpunkt{eektivitat(zeitersparnis)undgenauigkeit.dieuntersuchungenimrahmendessfbzeigendenengenzusammenhangdiesermerkmale.inden erstenbeidenforderungsperiodenstanddieeektivitatssteigerungnumerischersimulationendurchkonsequenteparallelisierungderalgorithmenimvordergrund.dieerzielte ZeiteinsparungermoglichteineApproximationdesrealenBauteilverhaltensdurchkomplexereModelle,womitdieGenauigkeitderBerechnungenverbessertwird.DieEntwicklungundNutzungmoderneradaptiverVernetzungsstrategien,denenindervergangenen undderlaufendenforderungsperiodeverstarkteaufmerksamkeitgewidmetwurde,sind anschaulicherbeweisfurdasstrebennacheinemsinnvollenkompromisszwischeneffektivitatundgenauigkeiteinernumerischensimulation.dastritbesondersaufnichtlineareproblemstellungenzu,dieeineimmergroerepraxisrelevanzerhalten. EineFE-ModellierungbestehtimWesentlichenausdreigroenKomplexen{derGeometriebeschreibungeinschlielichVernetzung,derDenitionvonRand-undAnfangsbedingungensowiederApproximationdesrealenWerkstoverhaltensdurchMaterialmodelle. InderPraxiszeigtsich,dassgeradedieAuswahlgeeigneterkonstitutiverBeziehungen unddieidentikationdarinenthaltenerparameterproblematischsind,undinungunstigenfallenzuerheblichenfehlernimsimulationsergebnisfuhrenkonnen. DieEntwicklungzweckmaigerMaterialgesetzederElastoplastizitatbeikleinenund groenverzerrungensowiezuverlassigeralgorithmenzurnumerischenbestimmungvon WerkstokenngroensindseiteinerreichlichenDekadeGegenstandderForschungenam LehrstuhlFestkorpermechanikderTUChemnitz.IndenBereichenMathematikund InformatikderTUChemnitzwerdenseitmehrerenJahrenUntersuchungenzumAufbauundTransportezienterDatenstrukturensowiezureektivenLosunggrodimensionierterlineareralgebraischerGleichungssystemedurchgefuhrt.Basierendaufdiesen EntwicklungenwaresdasZiel,imTPD1desSFBeinFEM-ProgrammzurLosunggeometrischundphysikalischnichtlinearerAufgabenderFestkorpermechanikfursequenzielleundparalleleAnwendungenzurealisierenundschrittweisefurPraxisanwendungen vorzubereiten.immittelpunktstanddabeizunachstdieentwicklungezienterzeitdiskretisierungsverfahrenundgleichungsloser.einweitereszielderuntersuchungenim Teilprojektwar,durchEinbettungdesFEM-ProgrammesineinenOptimierungsalgorithmusdieAnpassungvonMaterialmodellenangemesseneinhomogeneVerschiebungsfelder undsomiteineverbessertematerialparameteridentikationzuerreichen.abderzweiten ForderungsperiodewurdendieseBerechnungsmethodenfurdienumerischeSimulation unddieparameteroptimierungdurcheinbeziehungdertubergakademiefreibergauf ProblemederSchadigungs-undBruchmechanikerweitert.

225 D1Kreiig/Meyer/Kuna 223 WahrendschnelleLoserbei2D-und3D-Elastizitatsproblemenmithierarchischenoder BPX-TechnikenseitlangererZeitbekanntundinverschiedenenProgrammrealisierungen dessfbintegriertsind(vgl.tpa3),konntedieeignunghierarchischertechnikenfur ProblemederebenenElastoplastizitaterstmalsimRahmenvonArbeitenderDFG- Forschergruppe Scientic Parallel ComputinggezeigtundmitdemProgrammSPC- PMEPinderzweitenForderungsperiodedesSFBverfugbargemachtwerden.Damit wurdeeineprogrammentwicklungfurdiebearbeitungelastisch-plastischerprobleme mitisotroper,kinematischerundformatiververfestigungbeikleinenverzerrungenin einerparallelenversionrealisiert,dieauchsequenziellabgearbeitetwerdenkann. DergroeAnteilrechenintensiverProzesse,dieunabhangigvoneinanderanunterschiedlichenOrtenderGeometriebearbeitetwerdenkonnen(z.B.wahrendderAssemblierung indenintegrationsstutzstellenderelemente),bewirktdienaturlicheezienzsteigerung einerfe-berechnungdurchderenparallelisierung.besondersdeutlichwirddieservorteilgegenuberdersequenziellenvorgehensweisebeidersimulationnichtlinearermodelle mittelsinkrementell-iterativeralgorithmenundderlosungvonoptimierungsproblemen mitdermehrfachenwiederholungvollstandigervorwartsrechnungen.indiesemzusammenhangkonntedasprogrammspc-pmeperfolgreichfurdiematerialparameteridentikationdurchanalyseinhomogenerverschiebungsfeldergenutztwerden. RealeProblemstellungenimBereichderElastoplastizitatsowiederBruch-undSchadigungsmechanik(z.B.SimulationvonUmformvorgangen,Crashu.a.),lassensichinder RegelnichthinreichendzuverlassigmitgeometrischlinearenModellenbeschreiben.Im RahmenderweiterenUntersuchungenzumTeilprojekterfolgtesomitkonsequenterweisedieRealisierungeinesFEM-ProgrammeszurBerechnunggroerelastisch-plastischer Verzerrungen{desProgrammesSPC-PMHP.DabeiwurdeeinphanomenologischesMaterialmodellunterBerucksichtigungeinerSubstrukturentwickeltundimplementiert,das einemakroskopischebeschreibungvonvorgangenaufdermikroebeneermoglicht.basierendaufdenannahmenderrationalenthermodynamikergibtsichindiesemzusammenhangeinsatzvonevolutionsgleichungenfurinnerevariablenzurbeschreibung einerallgemeinenplastischenanisotropie,derfurdenfallkleinerverzerrungenindie GleichungenderklassischenElastoplastizitatubergeht. VonihrerStrukturhersinddieentwickeltenEvolutionsgleichungenderassoziierten FlietheoriedierenzialalgebraischeGleichungen(DAE).DieDAEszurBeschreibung deselastisch-plastischenmaterialverhaltensbeigroenverzerrungensindvergleichbar mitdenentsprechendenbeziehungenimgeometrischlinearenfall.daherkonntebeider EntwicklungvonSPC-PMHPaufdenalgorithmischenGrundstrukturenvonSPC-PMEP aufgebautwerden.zurlosungdesglobalensteigkeitssystemswurdendieaktuellen,ef- zientensolver-entwicklungenausdemtpa3genutzt.dielinearisierungstechniken zurbehandlungderdaesberuhenwiebeikleinenverzerrungenaufderverwendung implizitereinschrittverfahren.zurverbesserungdesglobalenundlokalenkonvergenzverhaltenserwiessichdieentwicklungundimplementierunggeeigneterdampfungsalgorithmenfurdielinearisierungsverfahrenalssinnvoll.diematerialschnittstelleist wiebeispc-pmepsoallgemeinundumfassendgestaltet,dassneuentwicklungenim BereichderKonstitutivgleichungenohnemassiveEingrieindieProgrammstrukturimplementiertwerdenkonnen.DieserUmstandwurdebereitsfurdieEinbeziehungvon MaterialmodellenderduktilenSchadigungsmechanikerfolgreichgenutzt.DieUntersuchungenzumelastisch-plastischenMaterialverhaltenbeigroenVerzerrungenwurden letztendlichinderzweitenforderungsperiodedurchdieubertragungundanpassungder

226 224 D1Kreiig/Meyer/Kuna AlgorithmenzurMaterialparameteridentikationaufdengeometrischnichtlinearenFall erweitert.somitstandzubeginndeslaufendenberichtszeitraumseinfem-programm mitmodernen,ezientennumerischenalgorithmenundeinerexiblenmaterialschnittstellezurverfugung. NebenderAuswahlgeeigneterMaterialmodellehangteinerealistischenumerischeSimulationdesmechanischenVerhaltensvonBauteilenundBaugruppenauchvonder ArtderVernetzungdesGebietesab.UmeinegeforderteGenauigkeitbeiderLosung desanfangsrandwertproblemszuerreichen,isteszweckmaig,ingebietenmitgroen SpannungsgradientenmitfeinerenNetzenzuarbeiten,wahrenddiesinRegionenmit kleinerengradientennichtunbedingtnotwendigist.dadielageundgroederkritischengebieteinderregelnurqualitativfestliegtund/odersichwahrenddesbelastungsvorgangesverandernkann,istdieerstellungvonaprioriangepasstennetzennicht immermoglich.ausdiesemgrundhabenadaptivevernetzungsstrategienimletzten JahrzehnteineimmergroereBedeutungerlangt.Hierbeiistzuerwahnen,dassglobaleNeuvernetzungsansatzewegendeskomplettenDatentransfersaufdasneueNetz untereinbeziehungvonsuchstrategiengewohnlichnichtsehreektivundzudemmit Fehlernbehaftetsind.LeistungsfahigereMethodensindlokale,adaptiveStrategienzur Netzverfeinerungund-vergroberungspeziellimFallvonnichtlinearen,inkrementellen Losungsverfahren. FureineeektiveModellierungmechanischerProblemebeigroenVerzerrungenistes gunstig,diefe-berechnungmiteinemrelativgrobennetzzubeginnen.imweiteren BelastungsverlaufwirddasNetzinAbhangigkeitvondenvorhandenenSpannungsgradienten,dieuberspezielleFehlerschatzerangezeigtwerden,angepasst.DieMoglichkeitzur adaptivennetzanpassungisteinmerkmalhoherleistungsstarkevonfem-programmen. AusdiesemGrundstandimlaufendenForderungszeitraumdieWeiterentwicklungadaptiverVernetzungs-undLosungsstrategienfurnichtlineareProblemeimMittelpunktder UntersuchungendesTeilprojektes.WeiterhinsolltediePraxisrelevanzderFEM-Software durcheineezientemodellierungdeskontaktsgegenstarrehindernisse,verbundenmit deradaptivenvorgehensweise,wesentlichverbessertwerden. DieadaptiveNetzverfeinerung,welchez.B.beiderAnalyseeinessichschlieendenKontaktsunddergenauenErfassungplastischerZonensowievonGebietenmitgroenGradientenindenFeldvariablenerforderlichist,wurdebereitsimvergangenenForderungszeitrauminengerZusammenarbeitmitdemTPA3furlineareElastizitatrealisiert. BeiderBehandlungnichtlinearerAufgabenstellungenwirddieauereLastineinzelnen Schrittenaufgebracht.EserfolgteineortlicheundzeitlicheDiskretisierungmiteinerjeweilsiterativenLosung.InjedemLastschrittmussdasMaterialgesetzaufderEbeneder Gaupunkteintegriertwerden.DabeisetzendieverfugbarenZeitdiskretisierungsverfahrenfurdaslokaleAnfangswertproblemdasVorhandenseinderFeldgroenwerteausdem vorangegangenenlastschrittindenstutzstellenvoraus.somitistesbeideradaptiven Netzanpassungerforderlich,eineentsprechende UbertragungderZustandsgroenvom altenaufdasneuenetzzugewahrleisten.aufdergrundlagederarbeitenzuezienten SolvernundadaptivenTechnikeninA3unddesinSPC-PMHPrealisiertenMaterialmodellsfuranisotropeselastisch-plastischesWerkstoverhaltenwurdedasnichtlineare, adaptivefem-programmspc-pm2adnlentwickelt.indiesemzusammenhangkonntenneuartigealgorithmenzur UbertragungderFeldgroenrealisiertwerden,dieauf einerzusatzlichenlosungdesanfangswertproblemsindenelementknotenbasieren. BeispielsweiseimFalleinessichonendenKontakts,sichbewegenderKontaktregionen

227 D1Kreiig/Meyer/Kuna 225 undveranderlicherplastischenzonenistesimsinneeinereektivendiskretisierung notwendig,dasnetzwiederzuvergrobern.aufdergrundlagehierarchischerdatenstrukturenwurdenezientevergroberungsstrategieneinschlielichdererforderlichen beierreichungeinesbestimmtenschadigungsgradesunddasauftrennenvonelementen Ubertragungsalgorithmenentwickeltundimplementiert.DasAusloschenvonElementen beimrisswachstumverkorpernweitereaufgabenstellungendesteilprojektsimrahmen derrissbruchmechanik. DieklassischenFehlerschatzerund-indikatorenzuradaptivenNetzanpassung(MinimierungderUnstetigkeitderFeldgroenangemeinsamenElementrandern)eignensichfur diesimulationderausbreitungplastischerzonensowiedeswachsensvonrissenund Schadigungszonennurbedingt.SiewurdendeshalbdurchlosungsabhangigeIndikatoren erganzt. ImRahmenderBehandlungderKontaktaufgabeerfolgteinZusammenarbeitmitdem TPA12dieBetrachtungdes2D-ProblemsbeieinemstarrenZielkorper.Beginnendmit derbegrenzungdurcheinegeradeodereinekurvezweiterordnungwurdediebeschreibungderkontakthindernisseimverlaufederbearbeitungdesteilprojektesunter BerucksichtigungkonkreterpraktischerErfordernisseaufkubischeSplineserweitert.Die zunachstnurfurdenbeginnderforderungsperiodevorgesehenebeschrankungaufreibungsfreievorgangewurdeebenfallsauspraktischenerwagungenfurdenbetrachteten ebenenfallbeibehalten.sukzessiveerweiterungen,besondersauf3d-probleme,sollten imrahmeneinesweiterenforderungszeitraumesvorgenommenwerden. 2.3Forschungsaufgaben/Methoden EinHauptzielderArbeitenindenbeidenerstenForderungsperiodendesTeilprojekteslaginderEntwicklung,ImplementierungundpraktischenNutzungvonMaterialmodellenderElastoplastizitatbeikleinenundgroenVerzerrungeneinschlielichder Materialparameteridentikation.EinebesondereAufmerksamkeitgaltdabeiderModellierungeinerplastischenAnisotropie. ZurBerucksichtigungspezielleranisotroperVerfestigungseektewurdenzunachstfur kleineelastisch-plastischeverzerrungenfliebedingungenunterverwendungkubischer Ansatze[GK01]undvonMehrachenmodellen[KK00]untersucht.Bucher[Buch98], [Buch01b]gelangdieHerleitungeinesthermodynamischvollstandigkonsistentenMaterialmodellsdernitenElastoplastizitatunterBerucksichtigungeinerSubstruktur.Mit diesemkonzeptwirdeinephanomenologische,makroskopischebeschreibungmikrostrukturellervorgangeangestrebtunddieerfassungisotroper,kinematischerundformativer VerfestigungimRahmeneinerquadratischenFliebedingungermoglicht. DasMaterialmodellmitSubstrukturwurdeimRahmeneinerverallgemeinerteninkrementell-iterativenStrategiezurLosungnichtlinearerAnfangsrandwertproblemenumerischrealisiert([MM98],[GBKM00b],[Mich01]).DiealgorithmischeVorgehensweisebasiertaufeinemgedampftenNewton-Raphson-VerfahrenmitkonsistenterLinearisierung undeinfacherlastschrittkontrollezurnumerischenlosungderrandwertaufgabe.das thermodynamischkonsistentematerialmodellliegtalssystemvondierential-undalgebraischengleichungen(dae)vor.diediskretisierungdesanfangswertproblemserfolgt unterverwendungvoneinschritt-standard-verfahren.zurlosungderlokalen,nichtlinearenalgebraischengleichungssystemedienengedampftenewton-methoden[buch01b].

228 226 D1Kreiig/Meyer/Kuna DieallgemeineStrukturderentwickeltenMaterialmodelleermoglichtedieDenition analogerformulierungen.aufdiesergrundlagekonntenbeispielsweisedieschadigungsmodellevongursonundrousseliererfolgreichimplementiertwerden[ms01].auerdem ndendieuntersuchtenmaterialmodelleundnumerischenverfahrenpraktischeanwendungimrahmenderparameteridentikationdurchauswertunginhomogenerverschiebungsfelder([krei98a],[krei98b],[kgk98],[kbg00],[gbk01],[sk03]). DieerwahntenMaterialmodellewurdenzunachstindas(nichtadaptive)FEM-Programm SPC-PMHPfurgroeelastisch-plastischeVerzerrungenimplementiert.Gleichzeitigfan- einereinheitlichenschnittstelle([buch01a],[bgk01]),dieoenistfureinevielzahl KontaktmodellierungimFallderlinearenElastizitatstatt.InkonsequenterFortsetzung deninverschiedenenteilprojektendesbereichesauntersuchungenzuradaptivitatund deraufgabenstellungendessfb393bestanddaszieldesteilprojektsd1imlaufendenberichtszeitraumdarin,zurverbesserungderpraxisrelevanzderprogrammedie adaptivenmethodeneinschlielichderkontaktalgorithmenmitdernichtlinearenmaterialmodellierung,derrissausbreitungundderschadigungssimulationzukombinieren AdaptiveVernetzungsalgorithmenzurElementteilungund FurvieleAufgabenderRissbruchmechanik(Risswachstum,Rissablenkung,Rissstopp) Kantenverdopplung sindanalytischelosungennichtverfugbar,weshalbdieanwendungnumerischermetho- dennotwendigist.zurnumerischensimulationvonrisswachstumhatsichdiefinite- Elemente-MethodealsgeeignetesWerkzeugetabliert.BeiderSimulationvonRissausbreitungentstehtalgorithmischundimplementierungstechnischdasProblemderBildungneuerbelastungsfreierOberachen.DerStandderForschungwirduberwiegend durchingenieurmaige,pragmatischealgorithmencharakterisiert[tw03,fr2003],die eineverschiebungderrissspitzeundeineangepassteneuvernetzunginihrerumgebungrealisieren.inverbindungmitadaptivenlosungs-undvernetzungsalgorithmen erweistsichdiemodellierungvonrisswachstumjedochalseinanspruchsvolles,schwierigesproblem,dasbishernochwenigbehandeltwurde.insbesonderewennmoderne LosermitMulti-Level-Strukturverwendetwerdensollen,darfbeiderElementteilung undkantenverdopplungdiehierarchiedeskantenbaumsnichtverlorengehen,damit dieleistungsfahigkeitdesiterativenpgcm-loserserhaltenbleibt[mrs04].durchanwendungeinerspeziellenprojektionstechnikkonnteimrahmenderprojektbearbeitung einneuerlosermitmulti-level-strukturentwickeltwerden,derbeirisswachstumeffektiveingesetztwerdenkann AdaptiveAlgorithmenundKriterienzurSimulationder IndermodernenFestigkeitsanalysenimmtdieBewertungdesBruchverhaltensvonWerkstoenundBauteileneinezentraleRolleein.DieBruchmechanikbildetdeshalbeinen eigenenforschungszweigderfestkorpermechanik,umdiephanomenevonrissinitiierung,rissausbreitungundbruchinbauteilenzuverstehenundzubewerten.dasziel istdieentwicklungvonmaterialienundbauteilen,dieeinehohewiderstandsfahigkeit undsicherheitgegenuberbruchvorgangenaufweisen.dabeispieltdiesimulationvon Rissausbreitung RissausbreitungeineentscheidendeRolle.

229 D1Kreiig/Meyer/Kuna 227 Modelldaten / Steuerparameter Netzverfeinerung / vergröberung Netzanpassung für neue Risskonfiguration Generierung/Anpassung der Steifigkeitsmatrix u. rechten Seite Bestimmung von Größe und Richtung des inkre mentellen Rissfortschritts Startvektor definieren PCG Solver Simulationsstop nein ja Risswachstum? Fehlerschätzer Berechnung der bruch gut Bewertung der schlecht mechanischen Kennwerte Vernetzung Abbildung2.1: Programmschema VernachlassigtmandynamischeEekte,soistRisswachstumalseineFolgevonlinearisiertenquasi-statischenRandwertproblemenmodellierbarundmittelsFEMalseineSequenzvonEinzelrechnungenfurunterschiedliche(d.h.stuckweisewachsende)Risslangen simulierbar.diebelastungkanndabeischrittweiseaufgebrachtwerden.nachjedem Schrittisteserforderlich,dieentsprechendenBedingungenfurRissfortschrittander Rissspitzezuprufen.SinddieseBedingungenerfullt,wirdderRissumdieinkrementelle Lange aineinevorgegebenerichtungverlangert.dabeisind aunddierichtungvorzugebendeparameter,derengroenauskontinuumsmechanischersichtvommaterial undimallgemeinenvonderkonkretenproblemstellungabhangen. PrinzipiellerfordertdieFE-SimulationdesRisswachstumsdiewiederholteAbarbeitung folgenderteilschritte: 1.FE-AnalysederStrukturmitRiss 2.BerechnungderbruchmechanischenKenngroen 3.BerechnungderGroenfurdeninkrementellenRissfortschritt 4.NeuvernetzungderverandertenRisskonguration(weitermitPunkt1) einemfe-programm.somitentstandeinezienteswerkzeugzursimulationvonriss- EinZielderProjektbearbeitungwardievollstandigeIntegrationdieserTeilschrittezu wachstum,indessenrahmenadaptiveundbruchmechanischgesteuertevernetzungs- strategienimverbundmitmodernenhierarchischengleichungssolvernangewendetwer- den.dasentwickelteprogrammschemaistinabbildung2.1zusehen. FolgendeTeilaufgabenmusstendazubearbeitetwerden:

230 228 D1Kreiig/Meyer/Kuna WeiterentwicklungdervorhandenenadaptivenVernetzungs-undLosungsalgorithmen,dieeineeektiveSimulationvonRissausbreitungermoglichen ErarbeitungvongeeignetenFEM-TechnikenzurBestimmungderbruchmechanischenBeanspruchungsparameter Festlegung/FindungeinesgeeignetenKriteriumszurRissausbreitung ErarbeitungeinerbruchmechanischgesteuertenVernetzungsstrategie EinbauundErprobungdererarbeitetenTechnikeninadaptiv-hierarchischeLoser 2.3.3RealisierungvonAlgorithmenzurUbertragungvon BeigeometrischundphysikalischnichtlinearenProblemenwirddieauereBelastung ZustandsgroenbeiadaptiverNetzverfeinerung ineinzelnenlastschrittenaufgebracht.wegenderabhangigkeitvonderbelastungsgeschichteistesbeieinernetzanpassung(verfeinerungund/odervergroberung)im RahmendernichtlinearenFEMerforderlich,dieZustandsgroen(Spannungen,innereVariablen)vomaltenaufdasneueNetzzuubertragen.JedeseinzelneLastinkrement kannimsinneeineradaptivenstrategiealsseparatesteilproblemangesehenwerden, dasfolgendeschrittebeinhaltet: LosungdesAnfangsrandwertproblems Fehlerschatzung Netzanpassung UbertragungderFeldgroen InAbbildung2.2istdieadaptiveVorgehensweisefurlineareundnichtlineareProbleme schematischdargestellt,wiesieindenfem-programmenspc-pm2ad(lineareelastizitat)undspc-pm2adnl(simulationgroerelastisch-plastischerverzerrungen)des SFB393realisiertwurde. VoralleminderElastoplastizitatgroerDeformationen(Umformtechnik)hatsichein Anwendungndet[Orti91,Four95]: Ubertragungsalgorithmusbewahrt,derbesondersbeieinervollstandigenNeuvernetzung L2-ProjektionderZustandsgroenvondenGaupunktenaufdieKnotendesbisherigenNetzes GenerierungeinesneuenNetzes,ErmittlungderlokalenKoordinatenderKnoten desneuennetzesimaltennetz(suchprozess,inverseisoparametrischeabbildung) BestimmungderZustandsgroenindenKnotendesneuenNetzesdurchInterpolationmitdenFormfunktionensowiedenZustandsgroenindenKnotendesalten Netzes InterpolationmitdenFormfunktionendesneuenNetzeszurBerechnungderZustandsgroenindenGaupunktendesneuenNetzes

231 D1Kreiig/Meyer/Kuna 229 Ò ÖÓ ØØ Ö»ÎÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÖÙÒ ¹ ËÝ Ø Ñ Ñ Ð Ö Ò»ËØ ÖØÚ ØÓÖ»È ¹ÄĐÓ Ö Ö ÒÙÒ Ð Ú Ö Ð»Î Ù Ð ÖÙÒ Ã ÒØ ÒÑ Ö ÖØ Ð Ö Đ ØÞ Ö ĐÙÖÍÒØ ÖØ ÐÙÒ Æ ØÞÚ Ö Ò ÖÒ»Ú Ö ÖĐÓ ÖÒ ËØÓÔ Ù ÖÓ ØØ Ö ĐÙÖÐ Ò Ö Ð Ø Å Ø Ö Ð Ò ÖÓ ØØ Ö»ÎÓÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÖÙÒ Ñ ØÖ Ü Ä Ø Ö ØØ Ð Ö Ø ÖÙÒ Ê Ò Û ÖØÔÖÓ Ð Ñ µ ÁØ Ö Ø ÓÒ Ð ÞÙÖ Ò Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ò ¹ Æ ÛØÓÒ¹Ê Ô ÓÒ¹Î Ö Ö Òµ ËØ ÖØÚ ØÓÖ ĐÙÖÈ Ö ĐÙÐÐÙÒ Ð Û Ø ÄĐÓ ÙÒ Ò Ò Û ÖØÔÖÓ Ð Ñ È ¹ÄĐÓ Ö ÞÙÖËÝ Ø Ñ Ñ Ð ÖÙÒ Ä Ø Ö ØØ Ù Ø Ö ÖØ ÄĐÓ ÙÒ Ò Ò Û ÖØÔÖÓ Ð Ñ Ò ØÙ Ð ÖÙÒ Î Ö ÙÒ Ò ØØ Ö ÒÓØ Ò ĐÙÖ Ð Ö Đ ØÞ Ö Ù Ý¹ËÔ ÒÒÙÒ Òµ à ÒØ ÒÑ Ö ÖØ Ð Ö Đ ØÞ Ö Ï Ö ÓÐ ÄË ĐÙÖÍÒØ ÖØ ÐÙÒ Æ ØÞ ÔØ Ø ÓÒ Î Ù Ð ÖÙÒ Ö ÒÙÒ Ð Ú Ö Ð» ÆĐ Ø ÖÄË ËØÓÔ Abbildung2.2:Allgemeine (links),nichtlinearesproblem(rechts). Schemata adaptiver FE-Algorithmen: Lineares Problem BeidenausderLiteraturbekanntenadaptivenVorgehensweisenerfolgtdieUbertragung vomaltenaufdasneuenetzgewohnlichmittelsspeziellerextrapolationsalgorithmen. ZusatzlichwirdangemeinsamenKnotenunterschiedlicherElementeeineGlattungder elementbezogenenfeldgroendurchgefuhrt[ss03]. InderlaufendenForderungsperiodewurdezur projektd1eineneuestrategieentwickelt.sieunterscheidetsichvonherkommlichen UbertragungderFeldgroenimTeil- Vorgehensweisenhauptsachlichdadurch,dassdasAnfangswertproblemnichtnurinden Gaupunktenintegriertwird,sondernauchindenElementknoten.Damitwerdendie FeldgroenindenKnotenkonsistentzudenenindenStutzstellenmitdergleichenGenauigkeitermittelt.MitHilfederFormfunktionenerfolgtanschlieendihreUbertragung aufdieneuenknotenundgaupunktedesverfeinertennetzes.dieermitteltenknotenundgaupunktwertewerdenelementbezogenabgespeichert.die UbertragungderZustandsgroenfuhrtzurVerletzungdesGleichgewichtsundmoglicherweisezulokalnicht ausreichendguterfulltenfliebedingungenaufdemneuennetz. ErfolgtkeineWiederholungdesLastschrittes,basiertdieweitereBerechnungaufeiner chungenvonhabrakenundcescotto[hab90]ergebenhaben,kannderfehlerdabei vomfehlerschatzeralszuungenauidentiziertenlosung.wiebeispielsweiseuntersu- erheblichsein.zureinstellungdesgleichgewichtslasstsichdemnachstenlastschritt einiterationsprozessvorschalten[han99],dereinenentsprechendennumerischenaufwanderfordert.weiterhinistesauchmoglich,das\gestorte"residuumimnachsten ImRahmenderinD1verfolgtenStrategiewirdderaktuelleLastschritt[tn;tn+1]generellmitdemverfeinertenNetzwiederholt,wenndieFehlerschatzungeineunzureichende GutederLosungzumZeitpunkttn+1ergibt.ImRahmenderverwendetenimpliziten Lastschrittzuberucksichtigen. EinschrittverfahrenzurZeitdiskretisierungmussendaherdieWertederFeldvariablenzu

232 230 D1Kreiig/Meyer/Kuna teubertragenwerden.zusatzlichwirdzurverbesserungdeskonvergenzverhaltensdes BeginndesLastschrittes(beitn)aufdieKnotenundGaupunktederneuenElemen- RandwertproblemseineNachiterationzurZeittnunterkonstanterauererBelastung durchgefuhrt AdaptiveAlgorithmenzurVergroberungvonVernetzungen BeiadaptiverNetzverfeinerungwerdenElementteilungeninGebietenvorgenommen,die durchdiefehleranalysealskritischidentiziertwurden.andere,homogenereregionen konnenmitgroberennetzenanalysiertwerden.inbestimmtenfallenkannsichdielagederzonenmitgroerengradientenwahrendderbelastungandern(abrollvorgange, Kontaktprobleme,Risswachstum,Schadigungszonen).UmnichtunnotigfeineNetzebeizubehalten,gibtesinSPC-PM2AdNldieMoglichkeit,invorangegangenenSchrittenunterteilteElementewiederzusammenzufugenunddamitdasNetzanwenigerkritischen Stellenzuvergrobern. SohnelementenunterschiedlicheKnotenwerteaufeinander.MitdemarithmetischenMittelundderMethodederkleinstenFehlerquadratewurdenzweiVerfahrenuntersucht, siezusammenzufugen. BeiderVergroberungtreenandenEckknotenderKantenzwischendenursprunglichen 2.3.5FehlerschatzungbeinichtlinearenProblemen ImTeilprojektA3wurdenindenbisherigenForderungsperiodenunterschiedlicheFehlerschatzerentwickeltundgetestet.ImRahmenderlinearenElastizitatwurdedabei insbesonderederresidualeaposteriorienergienorm-fehlerschatzeruntersucht: 2Th2T D Z T jdiv(u h)+fhj2dt+ X E2@ TD h T E Z j[(u h)ne]j2dse (2.1) EineverbesserteVersiondiesesFehlerschatzersbezuglichanisotroperElementewurde ElementresiduumvernachlassigtwerdenkannundsomitalleindieKantensprungebestimmendsind[KV00].DieseAussagegiltbeiniterElastoplastizitatnurnochfurdie in[ku00a]veroentlicht.weiterhinwurdegemeinsammitverfurthgezeigt,dassdas VerwendungvonElementenmitlinearenFormfunktionen.DaherergibtsichbeiElementansatzenhohererOrdnungundgroenelastisch-plastischenVerzerrungendieNotwendigkeit,beideAnteiledesFehlerschatzerszuberucksichtigen. InderlinearenElastizitatwirddiematerialabhangigeKonstanteDgewohnlichmit demelastizitatsmodulapproximiert[amw93,gkzb83].eineexakteangabefurdiese InterpolationskonstanteistimnichtlinearenFallnichtmoglich.Esistaberzuerwarten, dasssieindergleichengroenordnungwiebeilinearenproblemenliegt.daherwird Elastizitatsmodulangenahert.DadieFehlerauswertungrelativzueinervorgegebenen auchimrahmendesvorgestelltenmodellsdernitenelastoplastizitatddurchden Schrankeerfolgt,spieltbeihomogenemMaterialdieGroederInterpolationskonstante keinerollefurdienetzanpassung.tretenimbetrachtetengebietbeispielsweiseelastischeundplastischeregionengleichzeitigauf,wirdmitdergenanntenapproximationvon DderFehlerfurplastizierteElementeunterschatzt.Ausgleichenddazuwurdedeshalb zusatzlicheinfehlerindikatorbezuglichdererfullungderfliebedingungimplementiert.

233 D1Kreiig/Meyer/Kuna BearbeitungdesKontaktproblemsunterBerucksichtigung vonadaptivitatundreibung BeimKontaktproblemmussdasVerschiebungsfeldgeeignetengeometrischenKontaktbedingungensowieReibungsrandbedingungengenugen.DiemathematischeFormulierungfuhrtgewohnlichaufVariationsungleichungen.SiewerdendiskretisiertmitFinite- Element-[Kiku88]undRand-Element-Methoden,letzterevorwiegendfurdenelastischen Kontakt.FurdieLosungderbeidenAnsatzewerdenunterschiedlicheVerfahrenwie aktive-mengen-strategien[kara89],fixpunktiterationen[neca80,hasl83],penalty-und Newton-MethodensowiedieMethodederLagrange-Multiplikatoren[Gwin83,Wrig85, Curn88,Chris99]undauchdieMethodederquadratischenOptimierung[Klar86]eingesetzt.ImFalledeselastisch-plastischenMaterialverhaltenserfolgtedieAnwendungvon adaptivenfinite-element-methoden[wrig95],beispeziellenaufgabenaberauchder Rand-Element-Methode[Hues94].DieKombinationvonKontaktlosernundadaptiver UnterdemBegriKontaktkinematikwerdendiePenetrationsfunktionundderrelative FEMwirdausfuhrlichin[CSW99]behandelt. GleitzustandbeimreibungsbehaftetenKontaktzusammengefasst.ZurBeschreibungdes KontakteszweierKorperwerdendieseineinenKontakt-undeinenZielkorpereingeteilt, wobeiuberpruftwird,obknotendeskontaktkorpersindenzielkorpereindringen.unter EinfuhrungeinerAbstandsfunktion(Ungleichungsnebenbedingung)kannzwischenden Fallen\keinKontakt",\perfekterKontakt"und\Penetration"unterschiedenwerden. VondeneingangsbeschriebenenLosungsmethodenwerdenimRahmenkommerzieller ProgrammezumeistPenalty-VerfahrenoderdasVerfahrenderLagrange-Multiplikatoren eingesetzt.indiesenfallenwerdendieungleichungsnebenbedingungenalsgleichungsnebenbedingungen,diesichwahrenddesinkrementellenvorgehensandern,dargestellt. AusderVariationsungleichungentstehtdanneineVariationsgleichungmitKontaktbeitragenfurdieaktiveKontaktzone. AlsneueVariantefurdenFalldesreibungsfreienKontaktproblemseineselastischen furdienumerischelosungeinprojektionsverfahrenentwickelt.diesesnutztdieimplementiertenprojektionsmethodenfurhangendeknoten[mey99]undspezielleklassen KorpersmiteinemfestenHinderniswurdeinderlaufendenForderungsperiodeimTPA12 vonrandbedingungen[mey02]sowiedieeinbettungindieadaptivenetzverfeinerung aus(siehedazuauchdieausfuhrungenzumtpa12).imzusammenwirkenmiteektivenvorkonditionierernzurlosungdesresultierendensystemsergibtsichaufdiese WeiseeinezienterAlgorithmusfurdaslineareElastizitatsproblem,deroenistfur ErweiterungenaufgeometrischundphysikalischnichtlineareModelle AdaptiveAlgorithmenzurSteuerungundSimulationder AusbreitungvonSchadigungszonen IndenvergangenenzehnJahrenwurdenverschiedeneschadigungsmechanischeModellefurdieBeschreibungdesduktilenVersagensmetallischerWerkstoeentwickelt.Am bekanntestensinddiemodellevongurson-tvergaard-needlemanundrousselier,die dieentstehung,daswachstumunddiekoaleszenzvonmikroporenbiszurmakroskopischenanrissbildungalsfolgederplastischenverformungundspannungsmehrachsigkeit beschreiben.diesemodellewurdenbereitserfolgreichaufdiesimulationvonumformprozessen(blechumformung,massivumformung,crashsimulation)undvonduktilem,

234 232 D1Kreiig/Meyer/Kuna stabilenrisswachstumeingesetzt.voralleminderzahbruchmechanikkonntendamit wichtigefragendeseinussesdermehrachsigkeitaufdieduktilenrisswiderstandskurveninbruchprobenundbauteilengelostwerden.einekombinationvonadaptiver VernetzungundSchadigungsmechanikwurdebishernurinwenigenPublikationen(siehez.B.[Gel98])vorgenommen,wobeiessichumdasublicheRemeshingnachgroen NetzverzerrungeninderMassivumformunghandelt. DabeideSchadigungsmodelleimvorigenAntragszeitrauminSPC-PMHPimplementiert wurdenunddiestrukturdermaterialgleichungenmitdenjenigenderelasto-plasto- Mechanikanalogist,konnendiedafurimTeilpropjektentwickeltenadaptivenTechniken sinngemaubernommenundeektivangewandtwerden.Damitist esmoglich,inabhangigkeitvomlosungsverhalteneinesschadigungsmechanischenproblems,denlokalenfehleraposteriorizuschatzenunddasfe-netzentsprechendzu verfeinernbzw.wiederzuvergrobernundauchdieschadigungsmechanischenzustandsvariablenzuubertragen.dieseaufgabedesprojektesbendetsichz.z.inintensiver BearbeitungundsollbisMittedesJahresabgeschlossensein.AufdieserBasissindAnwendungsrechnungenfurProblememitgeringenGradientendurchfuhrbar,z.B.inder Umformtechnik,umdieAusbreitungvonSchadigungsgebietenezientzuberechnen. SchwierigerverhaltsichdieSachehingegenbeiderSimulationderduktilenAusbreitung vonrissen,woinderschadigungszonestarkefeldgradientenauftreten,dieinverbindungmitdenentfestigendenschadigungsgesetzenzulokalisierungen,zumverlustder selbstmitregularisierungsverfahrenaufbasisnichtlokalerintegralerodergradientenmethodennichtvollstandigvermeidbarsind,siehez.b.[sr00,jk03,reu03].deshalb mussennebennumerischenfehlerkriterienauchwerkstomechanischeindikatorenfur dienetzanpassungformuliertwerden.dasbedeutetimeinfachstenfalldievorgabeeinereinheitlichen,nachuntenbeschranktenelementgroeinderschadigungszoneam Riss,diemiteinerphysikalischenWerkstostrukturlangekorreliert.VomStandpunkt derkontinuumsmechanikundnumerikwareesrichtiger,aberauchweitauskomplizierter,beimerreichendeslokalenversagensineinemmaterialpunktvorderrissspitze, dasz.b.durchdieindenitheitdesakustischentensorsangezeigtwird,denbruchprozessdurchtrennungdeskontinuumsauchimnumerischenmodellzuvollziehen.dafur bietensichdiein2.3.1erarbeitetenalgorithmenzurelementteilungundkantenverdopplungan.eswirdangestrebt,dieseaufgabennochbisendedesprojektzeitraums zulosen. Elliptizitat[SMS94]undsomitzurNetzabhangigkeitdernumerischenLosungfuhren,die Literaturverzeichniszu2.3 [AMW93] T.Apel,R.MuckeandJ.R.Whiteman. witha-priorimeshgrading. Report9,BICOMInstituteofComputationalMathematics,1993. Anadaptiveniteelementtechnique [BGK01] A.Bucher,U.-J.GorkeandR.Kreiig.Developmentofageneralizedmaterial 38/01:9423{9436,2001. interfaceforthesimulationofniteelasto-plasticdeformations.int.j.sol.struct.,

235 D1Kreiig/Meyer/Kuna 233 [Buch98] A.Bucher.ThermodynamischkonsistentekonstitutiveGleichungenzurBeschreibungniterelasto-plastischerDeformationen.In:ModellierungundIdentikation,S.Hartmann,P.HauptandV.Ulbricht(Eds.),Tagungsbandzum2.WorkshopderGraduiertenkollegsIdentikationvonMaterial-undSystemeigenschaften (Kassel)undKontinuumsmechanikinelastischerFestkorper(Dresden/Chemnitz), Gesamtschul-BibliothekKassel,1998. [Buch01a] A. FEM-Programm Bucher. Realisierung zur Berechnung eines allgemeinen groer elastisch-plastischer Materialteils fur ein Deformationen. \paralleles" In: Material-undSystemeigenschaften(Kassel)undKontinuumsmechanikinelastischerFestkorper(Dresden/Chemnitz),Gesamtschul-BibliothekKassel,2001. Tagungsband zum 3. Workshop der Graduiertenkollegs Identikation von [Buch01b] A.Bucher.Deformationsgesetzefurgroeelastisch-plastischeVerzerrungenunterBerucksichtigungeinerSubstruktur.Dissertation,TUChemnitz,Institutfur Mechanik,Bericht4/01,2001. [Chris99] blems,eccm,1999. P.W.ChristensenandA.Klarbring. Newton'smethodforfrictionalcontactpro- [CSW99] bodiesincontact.siamjournalonscienticcomputing,20/99:1605{1626,1999. C.Carstensen,O.ScherfandP.Wriggers. Adaptiveniteelementsforelastic [Curn88] friction.j.mech.theor.appl.,7/88:67{82,1988. A.CurnierandP.Alart.Ageneralizednewtonmethodforcontactproblemswith [Four95] cationtoformingprocesses.int.j.num.meth.engng.,38/95:469{490,1995. L.FourmentandJ.L.Chenot.Errorestimatorsforviscoplasticmaterials,Appli- [FR2003] inrealstructures.keyengineeringmaterials,251/252:79{84,2003. M.FullanandH.A.Richard.Finite-element-basedfatiguecrackgrowthsimulation [GBK01] U.-J.Gorke,A.BucherandR.Kreiig.EinBeitragzurMaterialparameteridenti- kationbeinitenelastisch-plastischenverzerrungendurchanalyseinhomogener VerschiebungsfeldermitHilfederFEM.TUChemnitz,PreprintSFB393/01{03, [GBKM00b] Anfangs-Randwert-ProblemeneinschlielichderMaterialmodellierungbeiniten U.-J.Gorke,A.Bucher,R.KreiigandD.Michael.EinBeitragzurLosungvon elastisch-plastischen SFB393/00{09,2000. Verzerrungen mit Hilfe der FEM. TU Chemnitz, Preprint [Gel98] ProcessingTechnology,80/81:24{32,1998. J.C.GelinModellingofdamageinmetalformingprocesses.JournalofMaterials [GK01] G.GrewollsandR.Kreiig.Anisotropichardening-numericalapplicationofa cubicyieldtheoryandconsiderationofvariabler-valuesforsheetmetal.eur.j. Mech.(A/Sol.),20/01:585{599,2001. [GKZB83] J.P.Gago,D.Kelly,O.C.ZienkiewiczandI.Babuska.A-posteriorierroranalysis andadaptiveprocessesintheniteelementmethod.parti:erroranalysis.part II:Adaptiveprocesses.Int.J.Num.Meth.Engng.,19/83:1593{1656,1983. [Gwin83] elasticity.math.meth.appl.sci.,11/83:447{458,1983. J.Gwinner.Apenaltyapproximationforaunilateralcontactprobleminnonlinear

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238 2T=X ET hek[n]k2l2(e) (2.2) 236 D1Kreiig/Meyer/Kuna 2.4Ergebnisse 2.4.1AdaptiveVernetzungsalgorithmenzurElementteilungund WeiterentwicklungdervorhandenenadaptivenVernetzungs-und Kantenverdopplung Losungsalgorithmen DassingulareLosungsverhaltenanderRissspitzeerfordertimmereineVerfeinerungdes NetzesinderenUmgebung,welchemitHilfeeineradaptivenautomatischenVerfeinerungstechnikrealisiertwird.HierzuwirdeinfehlergesteuertesVerfahrenangewandt,das DerallseitsbekannteresiduumbasierteFehlerschatzer aucheinespaterenetzvergroberungermoglicht,wennsichdierissspitzeweiterbewegt. kommtalsfehlerindikatorfurjedesniteelementtzumeinsatz.ermisstdiegroe desspannungssprungs[n]entlangderkanteeeineselements.imfalleisotroper niterelementeistdiewichtunghegleichdemverhaltnisderkantenlangezumelastizitatsmodul.danngibt = X 8T 2T! 1=2 (2.3) einenaherungfurdietotaleh1-fehlergroe(bisaufeineunbekanntekonstante)an. FolglichwirdeinElementTmit 2T>rene 2 (2.4) verfeinert,bzw.falls 2T<coarse 2 (2.5) wirrefine gilt,wirddasnetzinderumgebungdeselementestvergrobert.imfolgendenwahlen Verfeinerunggefundenwerden,wirdrefineschrittweiseauf0.05reduziert.InAbbildung 0:8undcoarse 10 3.FallsnichtgenugendElemente( 10%)zur 2.3sinddiebeidenimplementiertenVariantenzurTeilungvonDreieckelementenzu sehen. BeideradaptivenHerangehensweiseentstehteineFolgevonNetzen.Furjedesdieser NetzemusseinlinearesGleichungssystemiterativgelostwerden.Deshalbwurdeeinsehr zeitezienteslosungsverfahrenangestrebt,dasinfolgenderweisecharakterisierbarist [MRS04,MeRaS04]: FurjedesElementwerdennurdieElementmatrizenzusammenmitdenElementdatengespeichert.DerZusammenbauirgendeinerGesamtsteigkeitsmatrixistnicht

239 D1Kreiig/Meyer/Kuna 237 Abbildung2.3:Elementteilungsvarianten:"grune\ Teilung(links)und"rote\Teilung (rechts) notwendig.derlosungsalgorithmus,beruhendaufdervorkonditioniertenkonjument.dasbesitztdenvorteil,dassnurfurneueelemente,diewahrenddesverfeinerungsprozessesentstehen,elementmatrizengeneriertwerdenmussengiertengradientenmethode(pcgm),"multipliziert\einfachelementfurele- DerVorkonditionierernutztdiehierarchischeDatenstruktur,diedurchdieUnterteilungderKantendesNetzesentsteht.FurebeneProblemstellungenfuhrt dereinfache"hierarchischebasis\-vorkonditionierer(hb)[yser90]zueinemsehr schnellensolver,weil: a)alleinformationenzurimplementierungdeshb,welchevondernetzverfeinerunggenutztwerden,im"kanten-unterteilungsbaum\enthaltensind. b)dieanzahlderarithmetischenoperationengleich3nfurnunbekannteim c)einerseitsdiekonditionszahldervorkonditioniertensteigkeitsmatrix(gleich vorliegendennetzist. derkonditionszahldernitenelementsteigkeitsmatrixinbezugaufdiehierarchischebasisdesansatzraumes)wie(logn)2wachst.andererseitsliegtein eingebettetwird(nurhochfrequentefehler).diesfuhrtzueinerfastkonstantenanzahlvoniterationenwahrendderverfeinerung. sehrguterstartvektorvor,derindieadaptiveschleifeaufjederneuenlosung Rissausbreitungmittelsadaptiv-iterativerTechniken DurchdiebruchmechanischeAuswertungderFE-LosungerhaltmandienotigenInformationenfurdasinkrementelleRisswachstum,d.h.eineRichtungundeineLange a, durchdiedieneuerissspitzedeniertwird.damitwirdimaktuellennetzvonderaktuellenrissspitzepzurneuenrissspitzepneueinestreckel(jlj6 a)erzeugt,ander dieneuerissachegeneriertwerdensoll.dazusindneueknoten(undsomitauchneue Kanten)entlangderStreckeLzudenieren.SiekonnenzweierleiArtvonFreiheitsgradenbesitzen,diedenVerschiebungenfurdieRissachenu+undu Rissuferelement,welches"{\-Freiheitsgradeenthalt,wirddannals"{\-Elementbezeichnet.Entsprechendenthalten"+\-ElementeandergegenuberliegendenneuenRissache entsprechen.ein "+\-Freiheitsgrade. und"+\-elementedurcheineteilungallerelemente,diedurchdiestreckelgeschnittenwerden.dabeiwirdfurjedegeschnittenekantee=(a,b)(mita;b2r2alsdie EndknotenderKante)desaktuellenNetzesfolgenderAlgorithmusabgearbeitet: DerersteSchrittzurModellierungderRissausbreitungistdieGenerierungsolcher"{\- EswirdderSchnittpunktQderStreckeLmitderKanteEberechnet,furdendie

240 238 D1Kreiig/Meyer/Kuna Beziehunggilt: Q=a+(1 )b: (2.6) Wenn1,dannwirdderEndknoten verschoben.ist0,wirdderendknotenbnachqverschoben.tritkeinedieser aderkanteeaufdenschnittpunktq beidenbedingungenzu,dannwirddiekanteeindiezweikantene1=(a,q)und E2=(Q,b)geteilt. DurchdasVerschiebenderEndknotenderKantezumPunktQwerdenungunstigeElementformen,diedurchdiefolgendeElementteilungentstehen,vermieden.AlleElemente, beidenenzweikantendurchdiestreckelgeschnittenwerden,sinddurcheinegewohnliche"rot\-teilungzuverfeinern.eine"grun\-teilungerfolgtfurdieelemente,welchenur aneinerelementkantegeschnittenwerden.dierestlichenelementebleibenunverandert. DurchdieseneinfachenAlgorithmuserzeugtmanentlangderStreckeLimNetzneue manandenneuenknotenentlangderstreckeldie"+\-und"{\-freiheitsgrade. Kanten.InAbbildung2.4isteinentsprechendesBeispielzusehen.Abschlieenddeniert BisjetztistdiehierarchischeDatenstrukturdurchdenTeilungsbaumderKantenvorgegeben.DurcheineKantenverdopplungentlangderStreckeLwurdedieseDatenstruktur zerstortwerden,sodasskeinezienterhierarchischervorkonditioniererzurverfugung stunde.deshalbwerdennurdiekantenentlangderstreckeldeniert,dieaufdie "{\-Knotenverweisen.Furjeden"{\-KnotenexistiertdanneineKopieals"+\-Knoten inderknotenlistemiteinemgegenseitigenverweis.ebensoverweistein"{\-element weisenaufgewohnlicheoder"+\-knoten.durchdiezusatzlichedenitionvon"{\-und aufdenfreiheitsgradeinesgewohnlichenoder"{\-knotensunddie"+\-elementever- "+\-KnotenerhaltmaninsgesamtfolgendeUnbekannte: nknotenmit2ngewohnlichenknotenfreiheitsgraden d"{\-knotenmit2dknotenfreiheitsgradenund d"+\-knotenmitzusatzlichen2dknotenfreiheitsgraden. FurdasaktuelleNetzhatdaslineareGleichungssystem,welchesnungelostwerden muss,n=2(n+d+d)knotenfreiheitsgrade.derhierarchischevorkonditioniererc [Yser90],verfugbardurchdieInformationendesKantenbaums,funktioniertjedochnur1 fur2(n+d)knotenfreiheitsgrade.furdieentwicklungeineseektivenlosersdurfen + P 1 2 a L Q 3 4 b 5 P neu P Abbildung2.4: NetzbehandlungentlangderStreckeL:Element1wird"grun\,Elemente 2,3"rot\undElemente4,5wieder"grun\geteilt,nachdemderKnoten verschobenwurde P neu

241 D1Kreiig/Meyer/Kuna 239 diesehierarchischeninformationennichtverlorengehen(wieobenerklart).deshalbwird einrestriktionsoperatorrmit R= 1 2I O 12I I O O O O I 1 A: (2.7) realenraummit2(n+2d)knotenfreiheitsgradenab.somitkannderresultierende deniert.erbildetdenktivenraummit2(2n+2d)knotenfreiheitsgradenaufunseren Vorkonditionierermittels R C 1 O C O1 RT: (2.8) VorgehensweisefuhrtzuriterativenMinimierungderResidueninnerhalbdesPCGM: inzweifacheranwendungvonc 1furdasRisswachstumeingesetztwerden.Diefolgende Esseir= rt0;rt ;rt+ T Gradienten-AlgorithmusmitdenTeilvektorenr0,r derresiduen-vektorinderk-teniterationimkonjugierten "{\-Knotenund"+\-Knotengehoren.DerVorkonditioniererermitteltdasvorkonditionierteResiduumwals undr+,diezudennormalensowie w=r C 1 O C O1 RTr; (2.9) daszwei"vorkonditionierungsaufrufe\enthalt: w0; w :=C 112r0 r (2.10) und(nachdemkopierenderr+zuden"{\-daten) w0;+ w+ :=C 112r0 r+ : (2.11) DadurchwerdenzweiverschiedeneWertefurdieResiduenandennormalenKnoten berechnet.dasendresiduuminnerhalbderbehandelteniterationergibtsichdannals derenmittelwert: w= 1 2(w0;++w0; ) 1 w+ A: (2.12) DiezweiSolverin(2.10)and(2.11)sinddieeinfachstenhierarchischenBasis-Vorkonditionierer,angewandtaufdieKnotenfreiheitsgrade,welchevondenKantendaten(hierarchischeStruktur)bezogenwerden.SomitistimRahmeneinesiterativenGleichungssolvers Risswachstummodellierbar,ohnedieHierarchiederDatenstrukturzuzerstoren.Dieser SolveristeektivfurbruchmechanischeAufgabeneinsetzbar.

242 240 D1Kreiig/Meyer/Kuna 2.4.2AdaptiveAlgorithmenundKriterienzurSimulationder Rissausbreitungskriterium Rissausbreitung BeiderBetrachtungebenerProblemederRissausbreitungsindnurdieModenIund IIvonBedeutung,ModeIIIentfallt.DerkritischeZustand(d.h.Bruch)anderRissspitzefolgtausdemZusammenwirkendieserbeidenebenenModen.ZurModellierung vonrisswachstumexistiereneinereihevonhypothesen,diesichjenachbetrachtetem Materialbzw.Versagensmechanismusvoneinanderunterscheiden.FurisotropeselastischesMaterialverhaltenundebenegemischteBeanspruchungeneignetsichdasklassische KriteriumdermaximalenUmfangsspannungvonErdoganundSih(1963)[ES63].EsbestimmtdienotwendigenParameter(GroeunddieRichtungderRissausbreitungsowie diekritischerissbelastung)anhandderannahme,dasssichderrisssenkrechtzurmaximalenumfangsspannung'max='('0)ausbreitenwird,wennderkorrespondierende dierissausbreitungsrichtung'0mit SpannungsintensitatsfaktordenWertvonKIc(Materialparameter)erreicht.Somitist '0=2arctan 1 p1+8k2! 4k ; k= KII KI: (2.13) deniert.'0hangtvomverhaltnisderbeidenk-faktorenabunddierissausbreitungsbedingunglautet 1 4 K I 3cos'0 2 +cos3'0 2 KII 3sin'0 2 +3sin3'0 2 KIc=0: (2.14) LetztendlichmussendieSpannungsintensitatsfaktorenKIundKIIbestimmtunddie miteinemgegebenen adieneuerissspitze. Rissausbreitungsbedingung(2.14)gepruftwerden.(2.13)liefertdanninZusammenhang BestimmungderK-Faktoren ZurBestimmungderbruchmechanischenBeanspruchungsparameterKIundKIIwurdenZugangeverwendet,dieihreErmittlungunhabhangigvonderStrukturderRissvernetzung(z.B.bezuglichvonSymmetrien,Elementgroen,Knotenpositionen)gestattet. UmeineweitgehendnetzunabhangigeundsehrgenaueBestimmungderK-Faktorenzu erreichen,bietetsichdieberechnungdesj-integralsan.dabeiistzubeachten,dass diedirekteanwendungderj-integraltechnikfurmixed-modebelastungendieauswertungderspannungs-undverschiebungsfelderdirektanderrissspitzenotwenditotischenverhaltenswerdendiesefeldermittelsfemimmerungenauwiedergegeben. macht(x2-komponentedesj-integrals).ohneberucksichtigungdeskonkretenasymp- SelbstdurcheineintensiveadaptiveNetzverfeinerungumdieRissspitzeherumkann diequalitatderapproximationnichtentscheidendverbessertwerden.deshalbkam dieinteraction-integral-technikzumeinsatz.beiminteraction-integralwerdenderfe- Losung(Index(1))unterschiedlicheasymptotischeLosungen(Index(2))uberlagertund nurdiex1-komponenteverwendet.somitkonnendieebenbeschriebenenproblemevermiedenwerden,daeinej-integral-konturdirektbiszurrissspitzenichtmehrnotwendig

243 D1Kreiig/Meyer/Kuna 241 ist,d.h.dasrissspitzennahfeldwirdvonderauswertungausgeschlossen.manerhaltdie BestimmungsgleichungenfurdieK-FaktorenderFE-Losung: K(1) Z h C ij"(2) (1) ij1k (1) i;1 (2) i;1 i nkdc (2.15) I = 2K(2) E? iku(2) iku(1) I K(1) II = 2K(2) E? Z h II C ij"(2) (1) ij1k (1) iku(2) i;1 (2) iku(1) i;1 i nkdc: (2.16) In(2.15)undin(2.16)werdenjeweilsentsprechenddieModeI-Eigenlosungunddie ModeII-EigenlosungalsReferenzlosung(Index(2))verwendet(E?=E=(1 ebenenverzerrungszustand). 2)-fur BruchmechanischeVernetzungsstrategie DasFE-NetzsolltewahrendderSimulationentsprechenddergefordertenGenauigkeit derbruchmechanischenergebnisseoptimiertsein.dadasj-integralvondervernetzungstopologieeherunabhangigist,spieltnurdienetzfeinheiteineentscheidenderolle. DieGenauigkeitderLosunganderRissspitzekann,nebendemverwendetenElement- Fehlerschatzer,uberdieAuswertungderWegunabhangigkeitdesJ-Integralsbeurteilt werden.hierbeihandeltessichumeinglobalesfehlerma.dasnetzwirdbiszudem Niveauverfeinert,beiwelchemdierelativeAbweichungdesJ-Integrals J=3MAX J(a);J(b);J(c) MIN J(a);J(b);J(c) J(a)+J(b)+J(c) (2.17) entlangderdreiunterschiedlichenkonturen(a),(b)und(c)(sieheabbildung2.5)kleiner ZurErhohungderGenauigkeitwurdeversuchsweisedasNetzinnerhalbderBerechnungskonturfurdasJ-Integralzwingendverfeinert.Eszeigtesichaber,dassdienormale alseinvorgegebenerwertist. adaptiveverfeinerungumdierissspitzeoftausreichendist. c b a Abbildung2.5: Finite-Element-NetzmitJ-Integral-Konturen

244 u 20 KIc a 450MPapmm E 2:5mm 2 105MPa = 0: u 10 Abbildung2.6: SymmetrischeZugprobe D1Kreiig/Meyer/Kuna RissfortschrittineinersymmetrischbelastetenProbe ImFolgendenwerdeneinigeTestrechnungenvonRissausbreitungssimulationenvorgestellt. Abbildung2.7: PhasenderRissausbreitunguntersymmetrischerBelastung DasersteTestbeispielbetritRissfortschrittineinersymmetrischbelastetenProbe [RMSK04].InAbbildung2.6sinddieGeometrie,dieStartvernetzungsowiedieverwendetenMaterialparameterzusehen.DieProbewirddurcheinegleichmaigeVerschiebung vonu=0.05mmanderlinkenseitederprobebelastet.dieaufgebrachtebelastungruft

245 D1Kreiig/Meyer/Kuna K I /K Ic number of iterations number of iterations Abbildung2.8: AnderungdesSpannungsintensitatsfaktorswahrenddesRisswachstums a [mm] einsofortigesrisswachstumhervorundderrisswachstkontinuierlichbiszumrissstopp. InderAbbildung2.7sinddieadaptivverfeinertenVernetzungenderProbefurverschiedeneRisslangenzusehen.DieZahlunterdenBilderngibtdieAnzahlderrealisierten FE-RechnungenbiszurerreichtenRisslangean.NetzverfeinerungundNetzvergroberungwahrenddesRisswachstumssindausdenBildernersichtlich.Manerkennt,dass dievernetzunganstellen,dievonderrissspitzeerreichtwurden,wiedervergrobert wird,wenneinbestimmterabstandzuraktuellenrissspitzeuberschrittenist.dasviertebildinabbildung2.7zeigtdieendgultigepositionderrissspitzefurdievorgegebenen MaterialparameterundBelastung,d.h.derRisshatangehalten.InAbbildung2.8istdie AbhangigkeitdesSpannungsintensitatsfaktorsbezuglichderRisslangegezeigt (a)= Abb.2.9: (b)=10 3 accumulated number of PCGM-solutions accumulated number of PCGM-solutions AnzahlderIterationendesPCGM-SolversproFE-Losungfurverschiedene EineinteressanteEigenschaftdesPCGM-SolversistinAbbildung2.9azusehen,inder dieanzahlderiterationenfurjedefe-losungwahrendderrissforschrittssimulation dargestelltist.diemarkiertenpunktekennzeichnendiefe-losungdirektnacheinerinkrementellenrissverlangerung.manerkennt,dassdersolvermehriterationenbenotigt, wenndierissspitzeweiterbewegtwirdunddasfe-netzentsprechendderneuenrissoberacheangepasstwird.aufderanderenseitefuhrteinefolgendenetzverfeinerung

246 244 D1Kreiig/Meyer/Kuna zueinemraschenabfallderiterationszahlen.diesersachverhaltzeigtdiehoheezienz derangewandtentechniken. ErhohtmandiegeforderteGenauigkeitvon=10 feinerevernetzungumdierissspitzeerzeugt.daszulosendegleichungssystementhalt 2auf=10 3,sowirdeinenoch nochmehrfreiheitsgradeundistdemzufolgenochaufwandigerzulosen.dieentwicklungderbenotigteniterationenzurlosungdiesergroerengleichungssystemeistinabbildung2.9bzusehen.imunterschiedzurabbildung2.9asteigendiepcgm-iterationen furdenerstenlosungsschrittnachderinkrementellenrissverlangerungungefahrumdas Doppelte.FurdiefolgendenVerfeinerungsschrittefalltjedochdieAnzahlderIteratiospitzen"derBilder2.9aund2.9bherabzusetzen,istdiekorrekteasymptotischeLosunnenaufdasgleicheNiveauwieinAbbildung2.9azuruck.Umzukunftigdie\Iterations- [SM96,Sch97,Sch99,Sch04]indenhierarchischenLosereinzubeziehen. ErmudungsrisswachstumineinerQuerkraftbiegeprobe entsprechendenschwingbreitenderk-faktoren KI, KIIsowie Kth,solassensich ErsetztmanbeieinervorgegebenenzyklischenBelastungKI,KIIundKIcdurchdie diegleichungen2.13und2.14auchaufermudungsrisswachstumanwenden.allerdings konneneektewierissschlieendabeinichtberucksichtigtwerden.alssimulationsbeispielwurdediequerkraftbiegeprobeaus[twb03]gewahlt,dahierfurentsprechende experimentellevergleichsergebnissefurdasermudungsrisswachstumvorliegen.diegeometrieunddieverwendetenmaterialparametersindinabbildung2.10zusehen.furden Schwellwert KthwirdeinsehrkleinerWertvorgegeben,sodassesinjedemFallzum RisswachstumwahrendderSimulationkommt. InAbbildung2.11sinddieErgebnissefurverschiedeneRisslangenunddenzugehorigen,adaptiverzeugten,FE-Netzenzusehen.NetzverfeinerungundNetzvergroberung wahrenddesrisswachstumssinddeutlichzuerkennen.dievergroberungtrittvorallem imbereichderlocherauf,aberauchandenrissanken,kurznachdemdierissspitze sichweiterbewegthat.imgegensatzzumvorhergehendenbeispielkanndievernetzungentlangdesentstandenenrissesnichtbiszurstartvernetzungzuruckvergrobert ElementkantendesAusgangsnetzeswachst.DurchdieTeilungvonElementenbeiminkrementellenRisswachstumwirdeineVergroberungblockiert,dadieseElementenicht werden.diesistindertatsachebegrundet,dassderrissnichtentlangvorhandener wiederzusammengefugtwerdendurfen q Kth a 1MPapmm q 3mm 100Nmm 1 E 2 105MPa = 0: Abbildung2.10: Querkraftbiegeprobe 135

247 D1Kreiig/Meyer/Kuna 245 DerVergleichdesberechnetenRisspfadesmitdemexperimentellermitteltenwirdinAbbildung2.12dargestellt.DieSimulationzeigteinesehrguteUbereinstimmungmitdem Experiment.DiegeringenAbweichungensindaufeinenzugrogewahltenParameter azuruckzufuhren Abbildung2.11: PhasendesErmudungsrisswachstumsinderQuerkraftbiegeprobe simulation test crack y [mm] x [mm] 30 Abbildung2.12: VergleichvonSimulationmitExperiment

248 246 D1Kreiig/Meyer/Kuna 2.4.3RealisierungvonAlgorithmenzurUbertragungvon DieIntegrationdesMaterialmodellserfolgtimRahmendervorgestelltenAlgorithmen ZustandsgroenbeiadaptiverNetzverfeinerung nichtnurindengaupunktensondernzusatzlichauchindenelementknoten.diesevorgehensweiseerleichtertdie UbertragungderKnoten-undGaupunktwertevom Vater-aufdieSohnelementeerheblich.In[GBKM00a]und[GBK03]werdendieinSPCfangswertproblemsfurelastisch-plastischesMaterialverhaltenbeigroenVerzerrungen PM2AdNlrealisiertenimplizitenProjektionsalgorithmenzurlokalenLosungdesAn- ausfuhrlichdargestellt. AllgemeinlauftdieVerfeinerungfurallerealisiertenTeilungsartenfolgendermaenab: 1.BildungderSohnelemente(DenitionderKantenundKnoten). 2. denenvater-undsohnknotenexaktzusammenfallen. UbernahmederKnotenwertevomVater-aufdieSohnelementefurdiePunkte,bei 3.BerechnungderKnotenwertefurdieneuhinzugekommenenSohnknotenmittels derformfunktionendesvaterelements.dieubertragungderknotenverschiebungen u Sonj(;)= X Nel k=1 hk(;)ufath k (2.18) fuhrtauffunktionen,dieuberdieelementkantenhinwegkontinuierlichsind.fur alleanderenfeldvariablenyimity=(y1;y2;:::;yn)t(auerdemverzerrungstensorimebenenverzerrungszustand(evz))istdieubertragungsvorschrift ysonj(;)= X Nel k=1 hk(;)yfath k (2.19) verschiebungenfuhrtdertransfervon einesinnvolleinterpolationsmethode.imgegensatzzurubertragungderknoten- stetigefunktionen. y entlangderelementgrenzenaufnicht 4.NachderUbertragungderKnotenwertefurdieSohnelementewerdendieWertein ihrengaupunktenmithilfederformfunktionendieserneugeneriertenelemente bestimmt. DiedetaillierteBeschreibungderElementteilungsprozedurenkann[BMGK04b]entnommenwerden.AndieserStelleseinocheinSekundarergebnisinZusammenhangmitder diesevorgehensweisesindnebendenverschiebungenauchlokaleknotenvariablen(ver- zusatzlichenlosungdesanfangswertproblemsindenelementknotenerwahnt.durch zerrungen,spannungen,innerevariablen)aprioriverfugbar.daswurdezueinemver- gleichunterschiedlicherquadraturformelnfurdiebenotigtenvolumenintegralegenutzt. NebendeminderRegelverwendetenGau-SchemagibtesvereinzelteFEM-AnwendungendessogenanntenGau-Lobatto-Verfahrens.Dieseszeichnetsichdadurchaus, dassdiegrenzeneineseindimensionalenintegrationsgebietesalsstutzstellenvorgegeben

249 ¹ ¹ D1Kreiig/Meyer/Kuna 247 sind.dieanzahlundpositionweitererintegrationspunktesowiedieintegrationsgewichtewerdeninabhangigkeitvonderzuerrreichendengenauigkeitoptimiert.folglich liegenbeimgau-lobatto-verfahreneinzelnestutzstellenaufdenkanteneinesfiniten Elementes.InsbesonderefallendieEckknotenimmermitderPositionvonIntegrationspunktenzusammen.DamitreduziertsichdieAnzahlderStutzstellenimInnerendes Integrationsgebietes.WiejedochinAbbildung2.13amBeispieleinesvollstandigintegrierten8-Knoten-Viereckelementesdeutlichzusehenist,nimmtdieGesamtzahlder StutzstellengegenuberdemGau-VerfahrenbeigleicherApproximationsgutefurdie BerechnungderIntegralezu(16IntegrationspunktebeiGau-Lobattogegenuber9bei Gau). Abbildung2.13:PositionderIntegrationsstutzstellen()undElementknoten()eines Lobatto-Schema(links),Gau-Quadratur(rechts). 8-Knoten-Viereckelementes bei vollstandiger Integration: Gau- NumerischeBeispielrechnungenmitdeninAbbildung2.13gezeigtenElementenhaben einesehrguteubereinstimmungdersimulationsergebnissegezeigt.dieverwendungeinesreduziertengau-lobatto-schemasfuhrtezugroerenlosungsfehlern(vergleichbar wiederummitreduziertergau-integration).demvorteilderverbesserteneektivitat (achtstutzstellenfallenmitdenelementknotenzusammen,lediglicheinintegrationspunkt{imursprungdeslokalenelementkoordinatensystems{warezusatzlichzubearbeiten)stehtindiesemfalldienichtakzeptablegenauigkeitgegenuber.andererseits istdieverwendungdergau-lobatto-quadraturbeivollstandigerintegrationsogar miteinemzusatzlichenaufwandverbunden,dadasanfangswertproblemininsgesamt 20PunktenimElementzulosenist(gegenuber17beimGau-Verfahren).Dabeiistzu berucksichtigen,dassimrahmendervorgestelltenadaptivenstrategieknotenvariablen immerelementbezogen(undsomitbisaufwenigeausnahmenmehrfach)berechnetund gespeichertwerden.dieunstetigkeitenindenvariablenwerdensomitbeideren tragungaufneueelementebewusstbeibehalten,umfehlerdurchglattungsalgorithmen Uber- zuvermeiden AdaptiveAlgorithmenzurVergroberungvonVernetzungen DasFE-ProgrammSPC-PM2AdNlerlaubtnurdasVergrobernsolcherElemente,die auseinerfruherenunterteilunghervorgegangensind.dasbedeutetnichtsanderes,als dassindemelementbaum,mitdessenhilfediegeschichtedernetzanpassungunddie

250 248 D1Kreiig/Meyer/Kuna damitverbundeneentwicklungderelementanzahlnachvollzogenwerdenkann,vonden BlatternzudenZweigenzuruckgegangenwird(vgl.Abb.2.14) Abbildung2.14:Elementbaum:ZweigeundBlatter.ErsteElementverfeinerung-rot, nachfolgendeunterteilungen-grun.ziern:elementnummern. Knotengehoren,wiederzusammengefugtwerden.FurdieArtundWeiseder BeimVergrobernmussenKnotenwerteverschiedenerElemente,diezueinunddemselben tragungdersohnwerteaufdasneuevaterelementexistierenverschiedenemethoden. Uber- Hierwurdendiefolgendenzweiverwendet: DieUbertragungderSohnwerteaufdasVaterelementunddasdamitverbundene ZusammenfugenderFeldvariablenverschiedenerElementeineinunddemselben fachsteartderubertragung. KnotenerfolgtuberdasarithmetischeMittel.DieseVorgehensweiseistdieein- DurchAnwendungderMethodederkleinstenQuadratekanneinverbesserterAlgorithmuszurBestimmungderVaterknotenwerteabgeleitetwerden.BeidieserVerfahrensweiseistesmoglich,auchWertevonSohnknotenmiteinieenzulassen, dieimweiterendurchdieelementvergroberunggeloschtwerden.diesesvorgehen istzweckmaiger,damehrinformationenfurdiebestimmungdervaterknotenwerteausgewertetwerden. EinweitererwichtigerSchrittdesVergroberungsalgorithmusistdieBerechnungderFeldgroenindenGaupunktendesneugebildetenVaterelements.DieseWertewerdenwie beiderelementverfeinerungbasierendaufdenformfunktionendesneuenelementsermittelt. DieentwickeltenVergroberungsalgorithmenfurVier-undDreieckelementewurdenin [BMGK04b]ausfuhrlichdargestellt.

251 D1Kreiig/Meyer/Kuna FehlerschatzungbeinichtlinearenProblemen FehlerschatzerbezuglichdesGleichgewichts FurdieSimulationdesnichtlinearenWerkstoverhaltens,basierendaufdeninSPC- PM2AdNlrealisiertenMaterialmodellenderanisotropenElastoplastizitatunterBerucksichtigungeinerSubstruktur(siehedazuu.a.[Buch01b],[BGK04])wirdderresidualea posteriorifehlerschatzergemagleichung(2.1)verwendet. KantenorientierteFehlerschatzerEbezuglichderUnstetigkeitderResidualkraftean Elementeberechnet.EinwichtigerAnteileineselementorientiertenFehlerschatzersfur daselementtistdiesummederfehleruberallekantene,diedieelementberandung 2TE= X E2@ T 2E = X E2@ Dk[n]k2L2(E) T h T = X E2@ TD h T E Z j[(u h)ne]j2dse = X E2@ T h T DE Z ([(u h)ne];[(uh)ne])dse; (2.20) (vgl.[ku97,ku00a,ku01a,ku01c])mitdemkantensprungderspannungen[n].im WeiterenkannderkantenorientierteFehlernachAnwendungderMittelpunktsregelfur dieintegrationvereinfachtwerdenzu 2E= 1Dj E? j2 j xm: (2.21) HierbeisindxMdieKoordinatendesKantenmittenknotens.DerVektorE?istentlang derkantenauennormalegerichtet.seinbetragentsprichtderkantenlange. AnKantenmithangendenKnotenexistierengleichzeitigeineVaterkante zueinemungeteiltenelementgehort)undihrebeidensohnkanteneson1undeson2, EFath(die diezudenneuentstandenensohnendesnachbarelementesgehoren.diebestimmung vonfehlerschatzernansolchenkantenerforderteinebesonderebehandlung,daander VaterkantebezuglichderSeitenmittenknotenderSohnekeineWertefurdieSpannungen vorliegen.durcheinegeeigneteapproximationmussendiesenaherungsweiseermittelt FurdieBerechnungderFehlerschatzerfurdieseVater-undSohnkantenwirdwiefolgt werden(siehegroenffs1undffs2inabbildung2.15). verfahren:derfehlerschatzerdervaterkantelautet 2EFath = htfath = htfath D lefath D D k[n]k2l2(efath) Z EFath j[n]j 2dsEFath Z EFath j[n]j 2dsEFath (2.22)

252 Ø Ç Ë½ ËÓÒ¾ ˾ Á ˾ ËÓÒ½ Í Ê Ë½ 250 D1Kreiig/Meyer/Kuna Abbildung2.15:KantenkrafteanhangendenKnoten. MitlESon1=lESon2=lESon=12lEFathkannGleichung(2.22)auchgeschriebenwerden als 2EFath = Z 2lESon D = 2lESon D 8 < Z : EFath j[n]j 2dsEFath ESon1 j[n]j 2dsESon1+ Z ESon2 j[n]j 2dsESon2 9 = ; (2.23) DurchAnwendenderMittelpunktsregelentsteht 2EFath = 2D 2ESon1+2ESon2 (2.24) BeiRandkantenmitvorgegebenenVerschiebungsrandbedingungenwirdkeinlokalerFehlerbetrachtet.DerlokaleresidualeFehleranKantenmitKraftrandbedingungenwird ausdemsprungderinnerenundauerenkrafteberechnet. FehlerindikatorbezuglichderFliebedingung tionvondmitdemelastizitatsmodulderfehlerinvollstandigoderteilweiseplasti- ziertenelementenunterschatzt.ausdiesemgrundwurdezusatzlicheinfehlerindikator bezuglichderfliebedingunginspc-pm2adnlimplementiert,derbesonderssensibel aufdieentwicklungderplastischenzonenreagiert. BeiderthermodynamischkonsistentenHerleitungdesMaterialmodellsdernitenElastoplastizitatergibtsichunteranderemdiesogenannteKuhn-Tucker-Bedingung: Wiebereitserwahnt,wirddurchdenobenbeschriebenenFehlerschatzerbeiApproxima- F = 0 (2.25) Wahrendwegen=0imelastischenFall,beiEntlastungundneutralerBelastungdie Bedingung(2.25)immergultigist,fuhrendieverwendetenimplizitenIterationsverfahren furdielosungdesanfangswertproblemsbeibelastungimplastischenfallnichtzu

253 D1Kreiig/Meyer/Kuna 251 einerexaktenerfullungderfliebedingungimrahmenihrerfe-approximation WiegenaudieplastischeZoneimaktuellenFE-Netzabgebildetwird,kannmitHilfedes Fh. Fehlerindikators 2KT=kF hfhk2l2()=khfhk2l2() (2.26) katorsfuhrtinsbesondereandenrandernderplastischenzonezueinernetzverfeine- rung,wahrendinderenkernnetzvergroberungenbishinzumausgangsgitterauftreten konnen. bezuglichderbedingung(2.25)angegebenwerden.dieverwendungdiesesfehlerindi- StrategienzurFehlerauswertung InSPC-PM2AdNlwurdenzweiStrategienzurFehlerauswertungrealisiert: kantenorientiertbzw. elementorientiert. WahrendderGleichgewichtsfehlerschatzerimRahmenbeiderStrategieneingesetztwerlerauswertunggeeignetdenkann,istderFliebedingungfehlerindikatorlediglichfurdieelementorientierteFeh- BeiderkantenorientiertenVorgehensweisewirdausschlielichderKantensprunganteil desgleichgewichtsfehlersausgewertet.allekanten,diediebeziehung 2ETol ~2 (2.27) erfullen,werdenfureineunterteilungmarkiert.alsvergleichswert~werdendermaximalekantenfehler ~=max 8E E (2.28) oderalternativdiefehlersumme ~=X E E (2.29) genutzt.dieartderelementteilungistabhangigvonderanzahlundlagedermarkiertenkantenimelement. ImGegensatzzurkantenorientiertenStrategiewerdenbeiderelementorientiertenMethodedieElementemarkiert.HierbeikonnenderFehlerschatzerTinderDenition(2.1abhangigvoneinander)ausgewertetwerden.MarkiertwerdenalleElemente,derenFehler undderfehlerindikatorktnach(2.26)wahlweiseeinzelnodergemeinsam(jedochun- folgendebeziehungenerfullen: 2TTolT ~2T; 2KTTolKT ~2KT: (2.30) EntsprechendderVorgehensweisebeimkantenorientiertenFehlerschatzerkonnen bzw.~ktdensummenfehleroderdenmaximalfehleruberalleelementedarstellen. ~T

254 Æ ÑÑ ¾ÌÑ Ü ½¼ ½¼¼ ½¼½ ½¼¾ ½¼ ¾½ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÔØ Ú Æ ØÞ ÓÐ ÖÓ ØØ Ö ½ Ð Ñ ÒØ µ Ð Ñ ÒØÖ ÙÙÑ Ã ÒØ Ò ÔÖĐÙÒ ¼ ¾Ú Ð Ñ ÒØÖ ÙÙÑ Ã ÒØ Ò ÔÖĐÙÒ Ä Ø Ö ØØ ½¼ ½¾ ½ ½ ½ ¾¼ 252 D1Kreiig/Meyer/Kuna Beispiele DerTestderbeschriebenenadaptivenVernetzungsalgorithmenwurdeamBeispieleiner gezogenenscheibemitlochumfassendin[bmgk04b]dokumentiert. DerresidualeFehlerschatzergemaGleichung2.1beinhaltetnebendemAnteilfurdie KantensprungezusatzlicheinenElementresiduumsanteil.BeilinearenElementenentfallt dieseranteilwegen beiquadratischenelementansatzenkannernichtapriorivernachlassigtwerden.inabbildung2.16istdieverteilungderbeidenanteilefurdasproblemderscheibemitloch dargestellt.beieinergleichbleibendenvernetzungentwickelnsichdieanteileproportionalzueinander,beiadaptivernetzanpassungschwanktdasverhaltnis.inbeidenfallen div=0; (2.31) uberwiegtdaselementresiduumklar. Abbildung2.16:ScheibemitLoch.EntwicklungderFehleranteileElementresiduumund KantensprungbeimGrobgitterundbeiadaptiverVerfeinerung(1330 Elementeim20.LS).VerschiebungdesoberenScheibenrandesproLastschrittum10 2mm. DieEzienzadaptiverVernetzungsalgorithmenwirdanhandderAbbildung2.17verdeutlicht.Esistleichtzuerkennen,dassbeideradaptivenVorgehensweiseeinedrastische FehlerreduzierungbereitsmitwesentlichwenigerElementenimVergleichzuglobalen Verfeinerungenerreichtwerdenkann.

255 Æ ÑÑ ¾ÌÑ Ü ½¼ ½¼¼ ½¼½ ½¼¾ ½¼ ¾½ ÐÅ ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ ÐÐ ÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐÐ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅ ÖÓ ØØ Ö Ð Ñº ÐÓ ÐÚ Ö Ò ÖÙÒ ½ Ð Ñ ÒØ ÔØ Ú Î Ö Ò ÖÙÒ ÐŽ½¾ Ð Ñ ÒØ ¼ Ð Ñ ÒØ ¼ ¾ Ä Ø Ö ØØ ½¼ ½¾Ú ¾ ½ Ð Ñ ÒØ ½ ¼ Ð Ñ ÒØ ¾¼ºÄ˵ Ð Ñ ÒØ ½ºÄ˵ ½ ½ ½ ¾¼ D1Kreiig/Meyer/Kuna 253 Abbildung2.17:ScheibemitLoch:EntwicklungdesmaximalenGesamtfehlers unterschiedlichenvernetzungen 2T bei 2.4.6BearbeitungdesKontaktproblemsunterBerucksichtigung ZuBeginnderBehandlungdesKontaktserfolgtedieBetrachtungdes2D-Problems vonadaptivitatundreibung beieinemstarrenzielkorperunterdervoraussetzungvonreibungsfreiheit.furdas nichtlinearematerialverhaltenwurdendabeidieimtpa12furdaslineareelastizitatsproblementwickeltenhochezientenkontaktalgorithmenangepasst.derentheoretische undalgorithmischegrundlagensindimberichtsteilzua12undin[meun04]ausfuhrlich dargestellt. ImRahmendergewahltenVorgehensweisewirdzuBeginneinesjedenLastschrittsfur allenochfreienknotenaufkanten,diealsmoglichekontaktranderinfragekommen, gepruft,obdieseindashinderniseingedrungensind.hierzuwurdealsstarrerzielkorper zuerstderhalbraummitkonstantemnormalenvektorbetrachtet.weiterhinerfolgtedie EinarbeitungvongekrummtenHindernissenin2DalsquadratischeForm(F(x1;x2)0) undalssplinekurve. PenetrierteKnotenwerdenexaktaufdenZielkorperzuruckgezogen.AnschlieendwerdendieVerschiebungendieserKnotenmiteinemProjektoraufspezielleTeilraume(z.B. ErfulllungvonhomogenenDirichlet-Randbedingungen)inRichtungderlokalenTangentialebeneamKontaktpunktsolangerestringiert,wiederKontaktfallvorliegt.InAbbil-

256 254 D1Kreiig/Meyer/Kuna dung2.18istbeispielhaftderkontakteinergestauchtenscheibemiteinemdurchsplines begrenztenhindernisdargestellt. 2 obstacle net Abbildung2.18:StaucheneinerRechteckscheibegegeneingekrummtes,starresHinder nis.vernetzungeinerhalftedesscheibenquerschnittsmit64elemen- tenundgeometriedesmitsplinesbeschriebenenhindernisses(links). Vertikalverschiebungenbei40%StauchungimFalldesreibungsfreien Kontakts(rechts). DurchdieProjektionpenetrierterKnotenaufdasHindernisunddiedamitverbundene lichen,deutlichenverletzungdeszubeginndeslastschrittesinderregelnichtaus- iteriertengleichgewichts.zurvermeidungvonoszillationendurchwechselweiseslosen undpenetrierenwahrenddergleichgewichtsiterationen(dieimextremfalleinekonvergenzderlosungdesrandwertproblemsverhindernkonnen)werdenknoten,die AnderungeinzelnerKomponentendesVerschiebungsvektorskommteszueinerzusatz- gesamtenlastschrittalsinkontaktbendlichmarkiertunddurchdenprojektorim erstmals(bzw.erneutnachzwischenzeitlicherfreigabe)inkontaktkommen,furden PCG-LoseraufdemHindernisgehalten.DiesereinfacheundezienteAlgorithmuszur iterativeneinstellungdesgleichgewichts,verbundenmiteinerentsprechendenkorrekturderpositionallerinnerennetzknoten,hatsichbeimoderatenlastschrittgroenals auerordentlichstabilerwiesen.diegroederbelastungsinkrementeistjedochbeikontaktproblemenohnehinzurvermeidungderpenetrationinnerernetzknotenbegrenzt. FurKnoten,diesichbereitsinKontaktmitdemZielkorperbenden,wirdamVorzeichen dernormalkraftzubeginndeslastschrittesuberpruft,obsichdieseunterumstanden wiedergelosthaben.indiesemfallwerdendieverschiebungsrestriktionenaufgehoben undimverlaufderweitereniterationendesrandwertproblemsimbelastungsinkrement nehmenfreigegebeneknotenihregleichgewichtslageein. ZumweiterenVorgehenbeiderRealisierungderKontaktmodellierungimgeometrisch undphysikalischnichtlinearenfallwirdaufdenabschnitt\oenefragen/ausblick" verwiesen.