Übersicht Analytische Geometrie Stand (Die Aufstellung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit!)

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1 Übersicht Analytische Geometrie Stand (Die Aufstellung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit!) F Vektorrechnung Ortsvektoren und Vektorketten a) Mittelpunkt b) Schwerpunkt c) Sonstige (Ergänze zum Parallelogramm; restliche Punkte desquaders ermitteln; Teile Strecke im bestimmten F Verhältnis; d) Zeichnung erstellen F Skalarprodukt a) zur Bestimmung von orthogonalen Vektoren F3 Längen von Vektoren berechnen F5 Besonderes Viereck nachweisen G Geraden und Ebenen im Raum a) PF von Geraden aufstellen G b) Punktprobe Gerade c) Punktprobe Strecke G Lagebeziehung von Geraden a) Schnitt b) windschief c) parallel G7 Punkt an einer Ebene spiegeln Winkel und Abstände, Volumina im Raum Winkel zwischen H a) zwei Vektoren b) zwei Geraden Flächeninhalt / Volumen H a) Dreieck b) Viereck c) Volumen einer Pyramide d) Volumen Quader o. Ä. H4 Abstand Punkt Gerade Übergreifende Aufgaben Lösungen Pyramide mit farbiger Glasplatte Lösungen Flugzeugaufgabe Erste Übungen zur Vektorrechnung F Aufklärungsflugzeug G G F3 H4 G5 F3 F Drachenprisma Fd F3 G Fc H Fc Fa F3 Berechnungen am Tetraeder F, F3, F5, H4

2 F Verschiebungen durch Vektoren sowie Punkte im Raum durch Ortsvektoren und Vektorketten beschreiben und damit realitätsnahe Situationen mathematisch modellieren. Regeln Ein Vektor ist Menge aller Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind. Den Vektor AB kann man als eine Verschiebung interpretieren, die den Punkt A auf den Punkt B abbildet. Im Quader rechts gehören jeweils 4 Pfeile zum gleichen Vektor. Z. B. ist AB EF HG DC D A H E C B F G Allgemein ist ein Vektor eine gerichtete Größe, wobei die Länge des Vektors die Maßzahl der Größe und die Richtung des Vektors die Richtung der Größe angibt. Beispiele: gerichtete Kraft, Bewegungsvektor eines Flugzeuges Zu einem Punkt A nennt man den OA den Ortsvektor von A In der analytischen Geometrie ermittelt man meistens einen Punkt P, indem man den Ortsvektor OP mit Hilfe einer Vektorkette ermittelt, z.b. OP OB BC CP. Unter dem Gegenvektor a eines Vektors a ersteht man den Vektor, der in Länge und Richtung mit a übereinstimmt, aber die entgegengesetzte Orientierung hat. Es gilt AB = BA Dreiecksregel: AB BC AC; Anwendungsbeispiel: OB DC CB =OB CD BC = OB BC CD =OC CD = OD

3 Addition / Subtraktion zweier Vektoren Gegeben sind zwei Pfeile, die jeweils einen Vektor /eine Verschiebung repräsentieren. a b Grafische Addition Es wird der Pfeil zum zweiten Vektor gezeichnet, dessen Fußpunkt an der Spitze des ersten liegt. (Die Verschiebungen werden hintereinander ausgeführt.) Der Summenvektor wird durch den Pfeil repräsentiert, der vom Fußpunkt des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils führt. Ein Vektor wird subtrahiert, indem man den Gegenvektor addiert: a b a ( b) a a b b b b a b a Typische Anwendungsaufgaben Drei Punkte einer Ebene zu einem Parallelogramm ergänzen. Restliche Eckpunkte eines Körpers (z. B. Quaders, Prismas) ermitteln. Überprüfen, ob ein spezielles Viereck vorliegt (Parallelogramm; Raute; Rechteck; Quadrat; Drachenviereck, (symmetrisches) Trapez Überprüfen, ob ein spezielles Dreieck (rechtwinklig, gleichschenklig; gleichseitig) vorliegt. Mittelpunkte, Schwerpunkte bestimmen Beachte: Für den Mittelpunkt M einer Strecke AB gilt: OM (OA! OB), (Koordinaten des Mittelpunktes = jeweils der Durchschnitt der Koordinaten.) Beispiele: A(3 4 ); B(5 6 7) M AB (4,5) ) Für den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC: OS (OA 3 OB OC) (Koordinaten des Mittelpunktes = jeweils der Durchschnitt der Koordinaten der Eckpunkte) A(3 4 ); B(5 6 7); C(4 4 ) S((3+5+4):3 (4 6 4):3 ( +7+):3) S(4 5) Vektorkette beginnt (zunächst) im Ursprung OP O Richtung des Vektors beachten. Beispiel: Die nebenstehende Figur zeigt eine quadratische Pyramide, d. h. das Viereck ABCD ist ein Quadrat. Drücke die Vektoren AB, BC, DA. CD und SD durch die Vektoren SA, SB und SC aus. Lösung AB = SA +SB ; BC = SB +SC ; DA = BC =SB SC ; CD = AB = SA SB ; SD = SC +CD = SC + SA SB ; 3

4 Beispiel: Im Quader rechts sind K und M Mittelpunkte von Kanten, S der Mittelpunkt der seitlichen Fläche. a) Drücke durch a, b und c aus: a O b B (i) AK = (ii) OD = (iii) CS = b) Drücke umgekehrt folgende Vektoren durch Eckpunkte aus: (i) b c (ii) c a (iii) a c,5b A M c C D S G c) Nun sei für den achsenparallelen Quader F(3 5 ) und O( ). Ermittle die Koordinaten der Punkte A, B, C, M, S, K. E K F d) Überprüfe rechnerisch, ob sich die Geraden g(m,s) und h(b,k) schneiden. Lösung: a) AK = b c (ii) OD = a b (iii) CS = a b c b) (i) b c OG (ii) c a= AC (iii) a c,5b OK c) A(3 ), B( 5 ), C( 5), M(3 ), S(,5 5 ), K(3,5 ) 3. Beispiel: In der nebenstehenden Figur sind die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks verbunden. a) Drücke die Vektoren MM a b und MM d c durch die Seitenvektoren a, b, c und d aus. b) Zeige, dass die Strecken M a M b und M d M c parallel und gleich lang sind. d) AD = a b c e) EM CG = c b a Lösung: MM a b = (a b); c d MM = ( c d); Da a b = c d ist, sind die Vektoren gleich, also sind die Strecken parallel und gleich lang. 4

5 4. Beispiel: (aus Zentralabitur) Gegeben sind A(3 5 3), B ( 3 ), C (5 3 7) und S (3 9) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte P 6 und P 8 des abgebildeten Würfels, falls die Eckpunkte des Oktaeders auf den Mittelpunkten der Seitenflächen liegen. Lösung: OP6 OS SP 6 OS AB P 6 ( 9 7) OP8 OS SP 8 OS AB P 8 (5 7 ) 5

6 F Das Skalarprodukt (SP) zweier Vektoren berechnen und damit entscheiden, ob die Vektoren zueinander orthogonal sind. Regeln Rechnerische Ermittlung des SP: a d b e ad be cf c f Skalarprodukt = Vektoren stehen senkrecht aufeinander. Bei Formulierungen wie senkrecht oder orthogonal sollte man immer an diesen Satz denken. Typische Anwendungsaufgaben Zeige, dass das Viereck ein Rechteck ist / ein Drachenviereck ist. (Beim Drachenviereck stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander (und die eine halbiert die andere).) Zeige, dass sich zwei Geraden senkrecht schneiden. Beachte: Das Skalarprodukt ergibt (im Unterschied zum Vektorprodukt) immer eine Zahl, nie einen Vektor.. Beispiel:( Skalarprodukt = Vektoren senkrecht ausnutzen.) Gegeben sind: A( 8 4 ), B( 4 ), C( 6 ) und D( 8 6 ) Untersuche, ob ABCD ein besonderes Viereck ist. Lösung: DC Zusätzlich gilt: = AB ABCD ist ein Parallelogramm. AB AD 8 4 = ABCD ist ein Rechteck. Zusätzlich gilt: AC BD ABCD ist kein Quadrat. 6

7 F3: Längen von Strecken im Raum und den Betrag von Vektoren berechnen. Regeln Die Länge/der Betrag eines Vektors berechnet sich mit a a = b a b c im IR 3 a bzw. a = a b b c im IR. Tipp: Das Vorzeichen der Komponenten spielt keine Rolle, da jeweils quadriert wird. Deshalb gibt man besser nur nichtnegative Zahlen in den TR eingeben. 5 Beispiel: 3 5 3, statt ( 5) 3 ( ) ; Falsch ist die Eingabe 5 3 Wenn man einen Vektor a durch seine Länge dividiert, erhält man den Einheitsvektor a, d.h. denjenigen Vektor, der mit a in Richtung und Orientierung übereinstimmt, aber die Länge hat. a a a. (Normierung eines Vektors) Entsprechend ist k a ein Vektor, der mit a in Richtung und Orientierung übereinstimmt, aber die Länge k hat. Typische Anwendungsaufgaben Untersuche, ob ein Quadrat (ein regelmäßiges Sechseck, eine Raute, ein Trapez, ein Rechteck, ein Drachenviereck, ) vorliegt. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig/gleichseitig ist. Einen Vektor n normieren (auf die Länge bei gleicher Richtung bringen): n = n n Zu einem Vektor a einen Vektor b mit gleicher Richtung, aber der Länge k finden. b = Geschwindigkeit v bei einer Fluggeraden x p t u bestimmen: v = u LE ZE k a a. Beispiel: Gegeben sind die Punkte A( 5 4), B(3 8 7), C(8 5 6). a) Überprüfe, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist, d.h. gleich lange Seiten hat. b) Bestimme D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist. c) Untersuche, ob der Mittelpunkt M AC gleich dem Mittelpunkt M BD ist. d) Bestimme den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. e) E teilt BC von B aus im Verhältnis 3:. Ermittle E. 7

8 Lösung: a) 8 AB ; 3 Alle Seiten sind verschieden lang. 5 5 b) OD OA BC = c) AC,5 OM,5 5 ; BD 3 4 3,5 OM,5 5 3 AC 7 ; D( 3) Die beiden Mittelpunkte sind gleich, 5 BC 3 95 d.h. die Diagonalen halbieren sich. Damit ist das Viereck ein Parallelogramm. d) OS (OA OB OB) = 5 / 3 S( ) 7 / 3 e) 3 5 6, OE OB BC 8 3, ,5 ; E(6,75,75 6,5) B 3 E C.Beispiel: Wir betrachten den geradlinigen Horizontalflug eines Sportflugzeuges. Von einem Tower (Koordinatenursprung) aus wird die Flugbewegung beobachtet. Zum Zeitpunkt t = (Sekunden) befindet sich das Flugzeug am Punkt P ( 7 3 4), Sekunden später in P ( 6 4 4) (Angaben in m). a) Stelle eine Geradengleichung x(t) für die Bewegung des Flugzeuges auf, wobei t die Sekunden seit dem Punkt P angibt. b) Ermittle die Geschwindigkeit v des Flugzeuges in km/h sowie die Entfernung d zum Tower zum Zeitpunkt t=. c) An welcher Position P befand sich das Flugzeug Minuten vor t=? d) Nach Minuten wird der Pilot aufgefordert, auf eine Flughöhe von 3 m Höhe zu wechseln. Er behält seine Horizontalgeschwindigkeit bei (d. h. x und y Koordinate des Bewegungsvektors bleiben unverändert) und sinkt zusätzlich um 5 m/s. Ermittle die Sinkfluggerade y(t), die Koordinaten der Punkte B zu Beginn und E zu Ende des Sinkfluges sowie die Dauer des Sinkfluges. 7 8 Lösung: a) x(t) P P P 3 t 6 ; t in Minuten 4 b) v = 8 6 m/s = m/s = 36 km/h. d(o, P ) = c) min = 6 s; x( 6) km 8,6 km ; P( ) 8

9 d) min = s; OB = x() B( ); y(t) = Der Sinkflug dauert :5 s = s. Ende des Sinkfluges: OE = y() E(5 8 3) t Beispiel: Für jedes t sind die Punkte A( ), B(5 6 ) und S(t 3 t); gegeben. Berechne t so, dass die Seiten AS und BS gleich lang sind. Lösung: AS BS (t ) 9 4t (t 5) 9 4t (t ) =(t 5) (da beide Radikanden positiv sind) t t+=t t+5 8t=4 t=3 4. Beispiel: A( 8 4 ), B( 4 ), C( 6 ) und D( 8 6 ) Untersuche, ob ABCD ein besonderes Viereck ist. Lösung: DC = AB ABCD ist ein Parallelogramm. AB AD 8 4 = ABCD ist ein Rechteck. AB 4 AD 644 ABCD ist kein Quadrat. 5. Beispiel: Gegeben sind zwei Flugbahnen 53 h : y(t) 4 t 3 43,75 4, g : x(t) 55 t 8,75,5 t in min seit. Uhr, x(t),y(t) in m. a) Berechne die Positionen P und Q, in denen sich die beiden Flugzeuge um.5 Uhr befinden. b) Berechne außerdem den Abstand der beiden Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt. Lösung: a) P( ,75) Q( ,75) b) PQ ,3 [m] 9

10 F5 Überprüfen, ob ein besonderes Viereck (Parallelogramm, Rechteck, Raute, Quadrat, (symmetrisches) Trapez, Drachenviereck) vorliegt. Vierecke werden über Längen, Orthogonalität oder Parallelität definiert. (Siehe Formelsammlung) Diese Eigenschaften lassen sich mit Hilfe der entsprechenden Vektoren (Länge von Seitenvektoren; Skalarprodukt gleich null; Kollinearität) nachweisen: Ein Viereck ABCD ist genau dann ein(e) Parallelogramm, falls AB DC oder AD BC ist (Nachweis einer Gleichung genügt!) Rechteck, wenn es ein Parallelogramm ist und zusätzlich gleich lange Diagonalen besitzt. [Alternative: Rechteck, wenn es ein Parallelogramm ist und einen rechten Winkel besitzt.] Trapez, falls zwei Seitenvektoren kollinear sind. Raute, wenn es ein Parallelogramm ist und zwei aneinander liegende Seitenvektoren gleich lang sind. [Alternative: Raute, wenn es ein Parallelogramm ist und die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen.] Quadrat, wenn es eine Raute ist und einen rechten Winkel besitzt. [Alternative: Quadrat, wenn es eine Raute ist und die Diagonalen gleich lang sind.] Drachenviereck, wenn jeweils zwei nebeneinanderliegende Seiten gleich lang sind. Beispiele siehe F 3. Beispiel und 5. Beispiel

11 G Parameterdarstellungen für Geraden aus zwei gegebenen Punkten ermitteln sowie überprüfen, ob ein Punkt auf einer gegebenen Gerade liegt (Punktprobe) und die Ergebnisse im Sachzusammenhang interpretieren. Regeln Parameterform einer Geraden durch A und B: g(a,b): x OA r AB, r IR. Punktprobe: ein Punkt C liegt auf g, wenn OC OA r AB erfüllt ist, d.h. wenn es einen Wert für den Parameter gibt, so dass alle drei Koordinatengleichungen erfüllt sind. Spezialfall: liegt ein Punkt auf einer Strecke? Ein Punkt C liegt auf AB, wenn OC OA r AB für r erfüllt ist.. Beispiel: Liegt der Punkt M( 4 ) auf der Geraden Lösung: x r 4 t 4 4 t=,5 t=,5 [ t =] M liegt nicht auf g.?

12 G Geraden auf ihre gegenseitige Lage untersuchen und möglicherweise vorhandene Schnittpunkte bestimmen. Regeln Mögliche Lagen von Geraden zueinander: echt parallel, identisch, schneidend oder windschief Vorgehen, um die Lage von g: x a r b und h : x c r d zueinander zu untersuchen: Sind die RV kollinear (das kann man i. A. ohne Rechnung sehen), so sind die Geraden parallel. Die zusätzliche Punktprobe c a r b zeigt dann, ob sie echt parallel oder identisch sind. Sind die RV nicht kollinear, so versucht man den Schnittpunkt zu ermitteln: hat das LGS aus 3 Gleichungen und Unbekannten eine Lösung, so schneiden die Geraden sich, ansonsten verlaufen sie windschief. Beachte: 3. Gleichung muss kontrolliert werden. Typische Anwendungsaufgaben Fluggeraden ermitteln Untersuchen, ob sich die Bahnen kreuzen Untersuchen, ob es (trotzdem nicht) zu einem Zusammenstoß kommt. Untersuchen, ob sich Diagonalen/Strecken in einem Körper schneiden. Unnötige Arbeit: Obwohl nur Parallelität nachgewiesen werden soll, wird auch noch untersucht, ob sogar Identität vorliegt. Beachte: Bei der Untersuchung von zwei Geraden müssen ggf. die Parameter unterschiedlich benannt werden..beispiel: Untersuche die Lagebeziehung zwischen g und h und berechne ggf. den Schnittpunkt S. 53, h : y(r) 4 r 3 g : x(t) 55 t 8,75,5 Lösung: RV sind nicht kollinear (=( ) (,); 4 (-) (,5)) g h:,t r= 47 t+3r=4,5t 4r= 85 t=7 r= 4=4 Die Geraden schneiden sich im Punkt S(93 3,75)..Beispiel: 43,75 4 Gegeben sind die Flugbahnen zweier Flugzeuge, 53 g : x(t) 55 t 8,75,5 ; h : y(t) 4 t 3 43,75 4 ; t in min; x(t) und y(t) in km, gleiche Zeitrechnung a) Zeige, dass die Flugbahnen sich kreuzen. b) Begründe, ob es zu einem Zusammenstoß beider Flugzeuge kommt.

13 Lösung: a) Einen Parameter umbenennen, z. B. x(r)! LGS aus den ersten beiden Gleichungen (TR):r=7 t= 3. Gleichung 3,75=3,75 S(93 3,75) b) Das erste Flugzeug erreicht den Schnittpunkt nach 7 Minuten, das zweite nach. Es besteht keine Kollisionsgefahr. 3. Beispiel: Untersuche die Lagebeziehung von g, h und k 3,5 g : x r Lösung: 5 ; h: x s 4 ; k:,5 x 3 r u, u und u3 seien die Richtungsvektoren der drei Geraden g, h und k. Man sieht, dass u u, u3 3 u ist. die RV sind kollinear und damit sind die Geraden g, h und k parallel. Gilt g=h? 3 r 4 5 Gilt g=k? 3,5 3 r Gilt h=k?,5 3 r r= r= 3 4 r= 3 r= 5 6 r= 3 r= 3 g und h sind echt parallel. g und k sind echt parallel. h und k sind echt parallel. 3

14 G7 Die Koordinaten eines gespiegelten Punktes bestimmen. Regeln Wird ein Punkt P wird an einem Punkt Z gespiegelt, so gilt OP' OP PZ. Zur Kontrolle: Z muss der Mittelpunkt der Strecke PP sein. Bei Spiegelung an Koordinatenebenen wechselt nur eine Koordinate ihr Vorzeichen: Beispiel: P( 3 5) (Spiegelung an der xy Ebene) P ( 3 5) Bei Spiegelung an Koordinatenachsen wechseln zwei Koordinaten ihr Vorzeichen: Beispiel: P( 3 5) (Spiegelung an der y Achse) P ( 3 5) Allgemein gilt: Ist F der Lotfußpunkt des Lotes von P auf eine Gerade g / eine Ebene E, so ist OP' OP PF OF PFder Ortsvektor des Bildpunktes. Die eigentliche Arbeit besteht i. A. darin, den Lotfußpunkt zu bestimmen. Lösung: d(e,o)= 6 3,46 LE 3 4

15 H Den Flächeninhalt eines Dreiecks und das Volumen von Pyramiden und Prismen (auch nach elementaren Methoden) bestimmen. Regeln Es gibt mehrere Formeln zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks. Je nach Gegebenheiten sollte man sich die günstigere aussuchen. Falls keine Besonderheiten vorliegen, wird (IV) der schnellste Weg sein. (I) A = g h (halbes Produkt aus einer Grundseite und zugehöriger Höhe) (II) A = a b sin (halbes Produkt zweier Seitenlängen mal dem Sinus des eingeschlossenen Winkels) Beachte: Es gibt drei verschiedene Grundseiten und drei zugehörige Höhen. Eine Grundseite muss nicht unten liegen. Bei rechtwinkligen Dreiecken nimmt man eine Kathete als Grundseite, die andere Kathete ist dann die zugehörige Höhe. Bei gleichschenkligen Dreiecken trifft die eine Höhe mitten auf die Basis. Für die Höhe h gilt also h = MABC, falls AB die Basis des Dreieck ist. (Kommt häufig vor, wenn eine quadratische, gerade Pyramide gegeben ist.) H4 Den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g: a r u berechnen.. Man setzt den Lotfußpunkt F variabel an (Gerade als einen Vektor schreiben), bildet den variablen Vektor PF= a ru OP, fasst a OP zusammen und ermittelt den Parameter mit Hilfe der Bedingung,dass PF senkrecht auf dem RV der Geraden stehen muss: ( a ru OP ) u =. Man setzt den Lotfußpunkt F wie in. variabel an (Gerade als einen Vektor schreiben), bildet den variablen Vektor PF und berechnet seine Länge in Abhängigkeit vom Parameter. Zu dieser Abstandsfunktion berechnet man mit Mitteln der Differentialrechnung das Minimum. Da die Abstandsfunktion die Wurzel aus einer quadratischen Funktion ist, genügt es die Parabel unter der Wurzel zu minimieren. Typische Anwendungsaufgaben Höhe in einem Dreieck, Parallelogramm berechnen Abstand einer Kirchturmspitze / Flugballons / von einer Flugbahn Länge von senkrecht verlaufenden Stützstäben. Beispiel Bestimme den Abstand der Flugbahn, g : x(t) 55 t 8,75,5 vom Tower in T( 8 ) sowie den Punkt F der Flugbahn, an dem der Pilot dem Tower am nächsten kommt 5

16 Lösung: (Methode ),t TF 55 t,75,5t ;, TF,5 = +,t t 33,5+,5t = 486,6t= 5644,5 t 6,7; Einsetzen in TF ergibt d [LE]. OF, 55 6,7 8,75,5 F(88,39 3,54 54,65) Lösung: (Methode ),t TF 55 t,75,5t = (,t) (t 55) (,75,5) d (t) = 486,6t 88,5t ,56; d (t)= 97t 88,t = t 6,7 OF g(6,7) F(88,39 3,54 54,65); d min d(6,7) =,4. Beispiel Zum Dreieck ABC mit A(4 ); B(.8 9); C(4 ) soll die Länge der Höhe auf BC berechnet werden. Lösung: Die Länge der Höhe ist gleich dem Abstand von A zur Geraden g(b,c). g: 4 6 x(t) t 8 ; d(t) = 8 6t 8t x(t) OA 8t 36t 64t 3t 4 64t 3t 4 = 64t 64t 8 ; d (t) = 38t+64= t = 8 4, (Absolutes Minimum, da d eine nach oben geöffnete Parabel ist.) d( ),33 [LE]; 8 OF 8 4 F(,83,56,56) Kontrolle: 8,7 AF,44,33,44 6

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18 Übergreifende Aufgaben Berechnungen an einem Tetraeder Gegeben sind die Punkte A(9 4 ), B( 3 8 ), C( 3 4 ), P(3 4) und Q( 3 ). a) Zeige rechnerisch, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. b) Berechne den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC. c) Das Dreieck ABC bildet mit dem Punkt D(9 8 ) eine dreiseitige Pyramide. Untersuche, ob die Pyramide ein regelmäßiges Tetraeder ist. (Dreiseitige Pyramide, in der alle Seitendreiecke gleichseitig sind.) d) () Ermittle die Koordinaten des Eckpunkts W des Würfels. () Ermittle zu allen 4 Kanten des Tetraeders die Mittelpunkte M AB, M BC, M CD und M DA. (3) Untersuche, welche speziellen Eigenschaften das Viereck M AB M BC M CD M DA hat. (4) Ermittle den Abstand des Punktes T(3 4) von der Kante AD. Lösungen nächste Seite 8

19 Lösungen zu Berechnungen an einem Tetraeder a) Alle drei Seiten(vektoren) sind LE lang; b) S( ) (arithmetisches Mittel der Eckpunktkoordinaten) c) Die Seitenlängen AD, BD und CD betragen alle 88 = LE. d) () OW OMCD AB W( 3 8 ) (Achtung! Man kann W aus der Zeichnung ablesen, wenn man nachweist, dass die Kanten des Würfels parallel zu den Achsen verlaufen.) () M AB (3 ); M BC ( 3 4); M CD (3 ); M DA (9 4); 6 6 (3) MABM BC ; MDAMCD Das Viereck ist ein Parallelogramm. 6 6 MABM CD = MBCMDA Diagonalen mit LE gleich lang Rechteck. 6 MABMDA 6 6 = MABM BC benachbarte Seiten sind gleich lang Quadrat (4) T(3 4) ist der Mittelpunkt der Strecke AW und somit der Mittelpunkt des Würfels. Daher ist der gesuchte Abstand eine halbe Würfellänge: d(t, AD) = 6 LE. 9

20 LK M*. Vektorrechnung Aufgabe 6 Der Punkt A(5 3 ) [A( 5 )] wird um v v 5 verschoben. 4 Bestimme mit Vektorrechnung jeweils die Koordinaten des Bildpunktes A. Aufgabe : Der Punkt A ( 3) [A ( 3 6 )] ist der Bildpunkt von A bei einer Verschiebung um 3 v 4 v 4. Ermittle die Koordinaten von A. 7 Aufgabe 3 Welcher Verschiebungsvektor bildet den Punkt P auf den Punkt P ab? a) P(3 ), P (5 4 6) b) P(,6 3,8 6,) P ( 3,5 4,,9) Aufgabe 4: Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten P (3 ), P ( 4 ), P 3 (4 5 ). Das Dreieck ist die Grundfläche eines geraden Prismas, von dessen Deckfläche der Punkt Q ( 4 9) bekannt sei. a) Gib den Verschiebungsvektor und die Koordinaten der anderen Eckpunkte an. b) Welche schiefen Prismen lassen sich bilden, wenn Q irgendein Eckpunkt der Deckfläche sein soll? Gib die Koordinaten der betreffenden Eckpunkte an. Aufgabe 5 Bestimme AB und BA. a) A( ), B( 3) b) A(3 4 5), B( ) c) A( -3-4), B(-5 3-4) d) A(3-4 5), B( -6) Aufgabe 6 a) Gegeben seine 4 Punkte P, Q, R und S. Beweise: Wenn PQ PR QS. b) Was bedeutet die Aussage geometrisch? RS gilt, dann ist auch Aufgabe 7 Prüfe, ob ABCD ein Parallelogramm ist. a) A( 5 ), B( 4), C( ), D( 4 ) b) A(3 ), ( ), C( ), D( 4 6 ) Aufgabe 8 (siehe Abbildung Quader rechts) Es sei A( ), a AB, b AD, c AE ; X,Y und Z seien die Mittelpunkte von AB, CG und HG. a) Gib mittels der Vektoren a, b und c an: () AG () XG (3) XY (4) XH (5) YZ () BZ (3) YE (4) YX b) M sei der Mittelpunkt der Strecke HX. (i) Bestimme den Punkt P so, dass G der Mittelpunkt der Strecke MP ist. (ii) Gib den Vektor CP mit Hilfe von a, b und c an. E A X H D F B Z G Y C

21 Lösungen Arbeitsblatt Vektorrechnung Aufgabe Der Punkt A wir um 6 in x Richtung, um in y Richtung und um 4 in z Richtung verschoben; A ( )=A ( 5 3); 5 6 A ' 5 Aufgabe 3 Aufgabe 3: a) ; kurz: A ' A A ' v 4 3 b) v PP' 4 6 ( ) 7 b) A ' 5 5 ; A( 3 ) b) 3 3 A 6 4 3,5,6 6, v PP' 4, ( 3,8) 8,9 6, 4, ; A( ) Aufgabe 4 Wenn das Prisma, dessen Grundfläche in der xy Ebene liegt (da alle z Koordinaten sind) gerade sein soll, muss Q das Bild von P sein, denn der Verschiebungsvektor ist v P Q 9, d. h. alle z Koord. werden um 9 vergrößert: Q (3 9); Q 3 (4 5 9) b) () Q könnte das Bild von P sein v PQ ; Verschiebung der Punkte um Die Bildpunkte sind ( 3 8 9) und ( 9 9) () Q könnte das Bild von P 3 sein v P3Q ; die Bildpunkte sind in diesem Fall ( 9) und ( 4 3 9) 3 6 Aufg. 5 AB Aufgabe 6a) PQ 3 3 ; BA 3 b) AB 4 5 c) AB 6 d) AB : ; BA 6 RS OQ OP OS OR / +OP OS OQ OS OP OR PR QS b) Geometrische Bedeutung: Aus der Vektordefinition folgt: PQ RS PQ II RS; da auch PR QS gilt, ist das Viereck ein Parallelogramm. 6 Aufgabe 7 () AB DC () AB DC In beiden Fällen Parallelogramm. 4 Aufgabe 8 a) AG a b c YZ c a ; BZ b c a ; YE c a b XG a b c YX XY ( a b c) a b c XH a b c ; MH a b c ; b) 4 3 MG a b c a a b c = 4 4 GP ; CP c GP = 3 a b+ 3 4 c A XY a b c ; XH a b c ; E M X H D F B Z G Y C P

22 Lk Q M Analytische Geometrie: Flug eines Aufklärungsflugzeuges Eine Aufklärungsflugzeug befindet sich zum Zeitpunkt in P( 35 5 ) und nach min in Q( 35 ). (Angaben in km; Ursprung ist der Tower eines Flughafens; der Flug wird als geradlinig bei konstanter Geschwindigkeit angenommen.) a) Gib zu weiteren Zeiten weitere Positionen des Flugzeuges an (Wertetabelle). b) Ist das Flugzeug im Landeanflug? c) Wie schnell fliegt das Flugzeug? d) Wie weit ist es zu Beginn vom Tower entfernt? e) Wie viel Prozent ist es nach Minuten näher am Tower als zu Beginn? f) Wie weit ist das Flugzeug nach t Minuten vom Tower entfernt? Entwickle eine Formel in Abhängigkeit von t und überprüfe die Ergebnisse aus d) und e) g) Nach wie viel Minuten der Abstand minimal? Wie hoch ist dieser Abstand dann? h) Als das Flugzeug in Q( 35 ) ist, bekommt es die Anweisung innerhalb von 5 Minuten geradlinig auf die Position R( 8) zu wechseln. (i) Gib eine Vektorgleichung für die neue Sinkfluggerade s (t) an. Wähle den Zeitpunkt, zu dem das Flugzeug in Q ist, als Zeitpunkt null. (ii) Um wie viel Prozent erhöht oder senkt das Flugzeug seine Geschwindigkeit? (iii) Die Geschwindigkeit eines Flugzeuges, die es parallel zum Boden zurücklegt, heißt Geschwindigkeit über Grund. Wie hoch ist dies Geschwindigkeit? (iv) Wie hoch ist die Sinkgeschwindigkeit. (v) Der Pilot vergisst im Punkt R den Kurs wieder zu korrigieren und bleibt auf im Sinkflug. Wie lange hat er noch Zeit, seinen Fehler zu korrigieren und wo auf der Erde sollte man sich vorsichtshalber nicht aufhalten? i) Nach dem Sinkflug fliegt der Pilot parallel zum ersten Kurs und mit der gleichen Geschwindigkeit wie im ersten Teil weiter. Stelle für die neue Fluggerade eine Vektorgleichung v (t) auf. j) Als das Flugzeug in P ist, kommt Wind auf. Die Richtung und wird durch den Vektor w 8 8 beschrieben, die Länge des Vektors gibt die Windgeschwindigkeit in km/h an. (i) Berechne die Windgeschwindigkeit. (ii) Auf welchen Kurs u(t) treibt der Wind das Flugzeug ab? (iii) Welchen v(t) Kurs müsste der Pilot steuern, damit er durch die Windeinwirkung auf dem ursprünglichen Kurs bleibt? Wie ändert sich seine Geschwindigkeit?

23 Lösungen a) In Minuten erfährt das Flugzeug eine Verschiebung um den Vektor ( 35) 5 v = 35 5 = 5 ; Man kann den Punkt Q um diese Verschiebung (mehrfach) weiterbewegen, also die x Koordinate um 5 erhöhen und die y Koordinate um 5 senken: Zeit t Position P( 35 5 ) ( 35 ) ( 5 ) ( 5 ) (5 ) (4 5 ) Man muss den Bewegungsvektor pro Zeiteinheit mit der Anzahl der Zeiteinheiten multiplizieren und zum Ortsvektor der Position zum Zeitpunkt addieren: ,5 x(r) 5 r 5 (r in min) oder x(t) 5 t,5 b) Nein, da die Höhe (z Koordinate) unverändert bei km bleibt. 5 c) Länge des Bewegungsvektors für Minuten: Die Geschwindigkeit beträgt 6,=7,6 [km/h] (t in min) 5 45, [km] Allgemein: Ist u der Richtungsvektor auf einer geradlinigen Flugbahn, so gibt u LE die Geschwin- ZE digkeit an (LE= Längeneinheit des Koordinatensystems; ZE= Zeiteinheit für den u. c) Gesucht ist die Länge des VektorsP : d) Entfernung des VektorsOQ : 35 P 5 OQ 35 = 385 6,85 [km] = 75 4,53 [km]; Was hinter als steht, kommt in den Nenner! 75 = 67,6%; % 67,6%= 3,84%. 385 Die Entfernung hat sich um 33 Prozent verringert. Binomische Formeln! 3

24 f) Im Unterschied zu d) und e) muss jetzt die Entfernung allgemein in Abhängigkeit von t berechnet werden: Allgemeiner Positionsvektor nach t Minuten ist : 35,5 35 t,5 x(t) 5 t,5 5,5t Länge dieses Vektors: 35 t,5 5 t (,5) = (,5t 35) (5,5t) = 4,5t 55t 385 [Kontrollmöglichkeit: die allgemeine Formel muss für die Spezialfälle in d) und e) das schon errechnete Ergebnis erbringen: d() = 385 und d() = 75 stimmen exakt mit den Werten in d) und e) überein. ] f) Das Minimum der Abstandsfunktion d(t) muss berechnet werden. d(t) = 4,5t 55t 385 wird minimal, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) minimal wird. Also genügt es die Zeit zu bestimmen, an der d (t)= 4,5t 55t 385 minimal wird. (d ) =9t 55 = t = 8 3 ; (d ) = 9 > Minimum (absolutes Min. da einziger Extremwert) Der Abstand ist nach 8 min s minimal. Einsetzen dieser Zeit in die Abstandsfunktion: Der Abstand beträgt d(8 3 ) = 4,5(8 ) ,58 [km] 3 3 [Zusatz: Das Flugzeug befindet sich dann im Punkt ( ,5 5 8,5 ) = (7,5 7,5 ) 3 Der zugehörige Positionsvektor ist 35,5 7,5 x(8 ) 5 8,5 7,5) 3 3 g) (i) Richtungsvektor für die 5 Minuten Sinkflug : QR = R Q 5 ; 3 s(t) Q t QR 35 t 5 (t in 5 min) 3 s(r) 35 r 5 / 3.] /5 (r in min) Allgemein: Sind A und B zwei Punkte einer Geraden, so ist x(t) A t AB eine vektorielle Gleichung dieser Geraden (Punkt Richtungsform der Geraden). Den Richtungsvektor AB kann man durch ein beliebiges Vielfaches von AB austauschen (Bei einem Flugzeug würde man dadurch nur die Zeiteinheit ändern (s.o.), die Flugbahn bleibt dieselbe.) Den Stützvektor A kann man durch einen beliebigen anderen Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden austauschen. (Für das Flugzeug bedeutet dies nur, dass man die Position ändert, an der man mit der Zeitrechnung beginnt.) 4

25 h) (ii) Länge des Richtungssvektors für 5 Minuten: , [km] Die Geschwindigkeit beträgt 4 39, 56,4 [km/h]; 56,4: 7,6=,9 Die Geschwindigkeit erhöht sich um ca. 3%. 3 g) (iii) Die Bewegung in z-richtung (nach unten) zählt nicht: , [km/h] Ist v = v v v v v = 3 der Richtungsvektor auf einer geradlinigen Flugbahn pro Zeiteinheit, so gibt v v = v v die Geschwindigkeit über Grund in dieser Zeiteinheit an. g) (iv) Es zählt nur die z Komponente: in 5 Minuten sinkt das Flugzeug um km Sinkgeschwindigkeit von 8 km/h. Ist v = v v v 3 der Richtungsvektor einer geradlinigen Flugbahn pro Zeiteinheit, so gibt v 3 die Sinkgeschwindigkeit in dieser Zeiteinheit an. g) (v) Einfachste Lösung: Der Pilot fliegt 8 km hoch ( z Koordinate von R) und sinkt pro Viertelstunde um km er hat noch Stunde Zeit. Wenn man vom dem Zeitpunkt ausgeht, an dem sich das Flugzeug in Q befindet, so würde der Absturz nach 5 min + h = 5 5 min erfolgen. Setzt man in die Gleichung 3 3 s(t) Q t QR 35 t 5 für t den Wert 5 ein, erhält man s(5) = Man sollte sich nicht in S(3 9 ) aufhalten. Alternative: Beim Aufschlagpunkt muss die z Koordinate null sein, d. h. +t ( ) = t=5 Setzt man t= 5 ein, so erhält man die obigen Koordinaten. Um den Schnittpunkt einer Geraden x(t) A t AB = 3 3 mit der xy Ebene zu erhalten, setzt man die z Koordinate gleich [a 3 +t v 3 = ], löst die Gleichung nach t auf und setzt den Wert in die Geradengleichung ein. a a a v t v v 9. 5

26 (i) Da die Richtung und die Geschwindigkeit des Flugzeuges gleich bleiben, kann man den Richtungsvektor der ersten Geradengleichung übernehmen, Als Stützvektor nimmt man den Ortsvektor von R, weil dieser ein Punkt der neuen Flugbahn ist. P Q j) (i) 5 v(t) t 5 8 (t in min) oder ,4 [km/h] 8 j) (ii) Am Flugzeug ziehen pro Minute die Kräfte,5 v(t) t,5 8 Die resultierende Kraft ergibt sich als Addition dieser Vektoren: Neue Flugbahn des Flugzeuges Beschreibt der Vektor Gleiche Zeiteinheit beachten!,5,5 35,7 u(t) 5 t,8,3 (t in min), und 8,3 6 8,3 (t in min) v W Richtung und seine Länge die Geschwindigkeit des Windes und der Vektor v E die Richtung, in der das Flugzeug gesteuert wird, sowie die Länge von v E die Eigengeschwindigkeit des Flugzeuges, so beschreibt der Vektor v G = v E,5,5 +,,3,3 =,7,8,3 + v W die tatsächliche Richtung und seine Länge die tatsächliche Geschwindigkeit des Flugzeuges. Die nachfolgende Skizze beschreibt diesen mit Winddreieck benannten Zusammenhang: V W R V E V E v G v E v G V W Winddreieck v S Zum Vergleich: ein Schwimmer, der einen Fluss überqueren will und geradewegs auf das gegenüberliegende Ufer mit einer bestimmten Geschwindigkeit zuschwimmt, wird von der Strömung abgetrieben werden, seine tatsächliche Richtung und Geschwindigkeit wird durch v G wiedergegeben. j) (iii) Der Pilot wird nicht tatenlos zusehen, wie ihn der Wind vom gewünschten Kurs wegtreibt. Da er in der Schule bei der Vektorrechnung aufgepasst hat und in seiner Ausbildung das Winddreieck kennengelernt hat, wird er seinen Kurs und seine Geschwindigkeit v E so bestimmen, 6

27 dass G genau mit seinem gewünschten Richtungsvektor,5,5 übereinstimmt: v G = E W,5,5 = E +,3,,3 E =,,3,3 ;,3,,3,79 km/min = 7,67 km/h (Das Flugzeug hat also eher Rückenwind und kann seine Geschwindigkeit um ca. km/h drosseln, um mit der alten Geschwindigkeit in die gewünschte Richtung zu fliegen.) 7

28 Aufgabe (Drachenprisma) Gegeben sind die Punkte A(4 ), B(7 ), C(4 7 3), D( ) und F(3 6). F I a) Zeichne zunächst das Viereck ABCD in ein Standard Koordinatensystem. b) Zeige rechnerisch, dass die Dreiecke ABD und BCD G gleichschenklig sind. c) Berechne den Schnittpunkt M der Geraden g(b,d) und h(a,c). A D H Welche besondere Lage hat M? d) Bestimme den Punkt E so, dass BEDA ein M Parallelogramm ist. Welches besondere Parallelogramm liegt vor? e) Untersuche rechnerisch, ob der Punkt P(4 3 ) B auf der Geraden h(a,c) liegt. C f) Ermittle den Flächeninhalt des Vierecks ABCD. g) Durch das Viereck ABCD und den Punkt F wird ein Prisma festgelegt (siehe Zeichnung; die Flächen ABCD und FGHI sind parallel). Bestimme die Koordinaten der Punkte G, H und I und trage die Punkte in deine Zeichnung ein. Verbinde so wie in der Skizze zu einem Prisma. h) Ermittle die Koordinaten des Mittelpunkts der Strecke BH. i) Untersuche, ob das Viereck BCHG ein Rechteck ist. j) Um wie viel Prozent ist die Strecke AM kürzer als die Strecke AC? Lösung Aufgabe Drachenprisma a) Zur Kontrolle: Koordinaten der Punkte im xy Koordinatensystem: A ( 3 ); B (,5 3,5); C (5 5); D (,5,5); F (,5 4,5) b) AB 4 ; AD 4 ; BC 6 54 ; DC c) Nach b) ist ABCD ein Drachenviereck, sodass M auf der Mitte von BD liegt M(4 ) d) OE OB AD = 3 ; E(4 3 ). DA ABED ein Parallelogramm ist und zudem nach Aufgabe b) AB AD gilt, muss ABED (mindestens) eine Raute sein. Ist das Viereck sogar ein Quadrat? Dazu müssten zusätzlich die Diagonalen gleich lang sein: 6 AE 4 BD 6 ABED kein Quadrat. e) Da das Viereck ABCD ein Drachenviereck ist, und P gleich E ist, muss der P auf der Diagonalen liegen. f) A Drachenviereck = e f (halbes Produkt der Diagonalen): A = AC BD = 8 6 = 3 8 6,83 FE 8

29 g) Alle Punkte des Drachens werden mit dem Vektor AF = verschoben: 5 OG OB AF ; G(6 5) ; OH OC AF ; H(3 8 ) ; OI OD AF ; I( 5) h) M BH (5 4,5 ) 4 i) BH 7 69 j) AC 8 (s. o.); CG 5 93 Diagonalen verschieden lang kein Rechteck 8 AM 5 ; 5,5 ; AM ist um 75% kürzer als AC. 8 Lösungen zu Aufgabe Berechnungen an einem Tetraeder a) Alle drei Seiten sind LE lang; b) S((9 3 3):3 ( 4+8 4):3 ( +):3) = S( ) c) Die Seitenlängen AD, BD und CD betragen alle 88 = LE. d) () OW OMCD AB W( 3 8 ) (Achtung! Man kann W aus der Zeichnung ablesen, wenn man nachweist, dass die Kanten des Würfels parallel zu den Achsen verlaufen.) () M AB (3 ); M BC ( 3 4); M CD (3 ); M DA (9 4); (3) MABMBC 7 = MDAM CD Das Viereck ist ein Parallelogramm. Diagonalen: MABMCD MBCM SDA Rechteck; benachbarte Seitenlängen: MABMAD MABMBC Quadrat M M = BC DA Diagonalen mit LE gleich lang Rechteck. MABMCD 6 M M 6 MABMCD (3) AB BC 6 M M Das Viereck ist ein Parallelogramm. 6 M M Diagonalen mit LE gleich lang Rechteck. ; DA CD = BC DA 6 MABMDA 6 6 = MABM BC benachbarte Seiten sind gleich lang Quadrat 9

30 (4) T(3 4) ist der Mittelpunkt der Strecke AW und somit der Mittelpunkt des Würfels. Daher ist der gesuchte Abstand eine halbe Würfellänge : d(t, AD) = 6 LE. 3

31 Aufgabe Ein Architekturbüro entwirft für ein Museum eine dreiseitige Pyramide, die durch eine farbige Glasplatte unterbrochen wird. Die Pyramide OPQS ist gegeben durch O( ), P(6 6 ), Q( 8 ) und S(4 6 ) [Angaben in m], S die Glasplatte durch P(6 6 ), Q( 8 ) und den Mittelpunkt A der Strecke OS. a) Berechne die Koordinaten vom A. b) Zeige, dass das Dreieck PQA gleichschenklig, aber nicht rechtwinklig ist und bestimme den Flächeninhalt der Glasplatte sowie deren Kosten, falls m A 5 kostet. d) Der Punkt F( 6) liegt in der Dreiecksebene PQA. (Nachweis nicht nötig.) Zeige: FS ist eine Höhe der Pyramide OPQA ist. e) In welchem Verhältnis unterteilt die Glasplatte das Volumen der Pyramide? f) Bei Dunkelheit wird die Pyramide durch einen Strahler angestrahlt, wobei das Licht in Richtung 3 v 5 fällt. Berechne den Schattenpunkt S* der Pyramidenspitze S auf dem Boden. h) Zeige, dass S* auf der Verlängerung der Pyramidenkante PQ liegt. Beschreibe anhand der Grafik oben, wo S* liegt. O P Q 3

32 Lösungen a) A=M OS A( 3 5) 4 b) AP 3 5 ; 5 A= PQ M PQA = AQ 5 5 ; (gleichschenkliges Dreieck); = 45 5 m ; Die Kosten betragen 5. d) FS 4 ; SF AP= ( 5)= und SF AQ = ( 5)=; da SF auf zwei Seiten 4 des Dreiecks senkrechts steht, steht der Vektor senkrecht auf der Dreiecksfläche, damit ist h= SF = 6 die Länge der Höhe der Pyramide APQS. e) Obere Pyramide: V APQS = [m3 ] Die gesamte Pyramide OPQA hat das Dreieck OPQ aus Grundfläche und da diese Grundfläche in der xy Ebene liegt, ist der z Wert von S die Höhenlänge, also h =. Das Grunddreieck ist nicht gleichschenklig, also muss man die Höhe (z.b.) von O auf PQ berechnen, indem man den Punkt G auf g(p,q) bestimmt, für den OG PQ ist. 6 4 OG 6 r ; ,6 6 r = +r = r =,6; h= OG = 7, A OPQ = 8 5 = 8 [m ]. V OPQA = = 6 [m3 ]. Die Glasplatte halbiert die Pyramide. 4 3 g) Schattengerade: g: x 6 t 5 z= 5t= t= S*( 4 ); 6 4 h) Punktprobe: h(pq): x 6 t ; Für den Punkt S* auf dem Boden gilt ; S* h t 4 wenn man PQ über P hinaus um PQ verlängert, erhält man S*. t= ; =

33 33

34 Aufgabe Vom Tower eines Flughafens aus wird die Bewegung der Flugzeuge beobachtet. Ihre Positionen werden anhand der Koordinaten eines dreidimensionalen Koordinatensystems beschrieben, dessen Ursprung im Tower liegt. Alle Koordinaten sind in der Einheit m angegeben. a) Ein Flugzeug bewegt sich geradlinig im Horizontalflug. Es durchfliegt zunächst den Punkt P( ) und Sekunden später den Punkt Q(49 4 4). i) Stellen Sie eine vektorielle Gleichung der Geraden g auf, die die Bewegung des Flugzeugs beschreibt. ii) Welche Geschwindigkeit in m/s hat das Flugzeug über Grund? iii) Wie viel Kilometer ist das Flugzeug im Punkt P vom Tower entfernt? b) Der Pilot bekommt die Anweisung, auf Sinkflug zu gehen. Dieser soll eine Minute nach Durchfliegen des Punktes Q beginnen und innerhalb von,5 Minuten geradlinig auf die verminderte Höhe 8m führen. Dabei soll die Horizontalgeschwindigkeit unverändert bleiben. Ermittle die Koordinaten des Punktes R, den das Flugzeug mit dem Ende des Sinkfluges erreicht. c) Beim Durchfliegen des Punktes R(- 77 4) beginnt die letzte Phase des Landeanfluges. Der Zeitmesser des Bordcomputers wird in R auf Null gesetzt und das Flugzeug bewegt sich auf der,7 Geraden h mit der Gleichung x 77 t,6 4,8 (t = Zeit in Sekunden). Während dieses Landeanfluges startet eine andere Maschine im Punkt V(-7 3 ) ; sie bewegt sich geradlinig und mit konstanter Geschwindigkeit und erreicht nach 5 Sekunden den Punkt W(-3 93 ). i) Kreuzen sich beide Flugbahnen? Wenn ja, in welchem Punkt? ii) Der Start der zweiten Maschine geschieht Sekunden nach dem Zeitpunkt, in dem die erste Maschine die Position R durchfliegt. Warum gibt es keine Kollision? iii) Wie groß ist der geringste Abstand beider Maschinen? iv) Unter welchem Winkel startet die zweite Maschine? 34

35 Lösungen a) (i) Geradengleichung: 5 g : x(t) P t PQ P t v 44 t 6,8 4 ; (ii) Geschwindigkeit: v v 6,8, m /s = m/s [= 4356 km/h!!!] (iii)abstand zum Tower: P d P , ,7 m 67,54 km b) Beginn des Sinkfluges: T P 6 v T(9-65, 4). Sinkgeschwindigkeit: in,5 min = 5 s von 4 m auf 8 m =^ LE in 5 s Sinkgerade s : x(r) OT r w T r 6,8 ; Ende des Sinkfluges:,8 98 R x(5) R( ). 7, c) (i). Maschine auf k : x(r) V r VW 3 r,6 ; 5,4 h k:,7t,r 75,6t,6r 54,8t,4r 4 t=3 r=4; Schnittpunkt S( ,6) c)(ii) Keine Kollision, da das erste Flugzeug S nach 3 s, das zweite aber nach 4+=4 s, also s später erreicht. c)(iii) Minimaler Abstand: Einheitliche Zeitmessung:,7 3,7 k : y(r ) 77 (r ),6 7 r,6 4,8 6,8 ; Es genügt, den quadratischen Abstand d zu minimieren. 5,8r d (r) = x(r) y(r) 6 (5,8r) 6 (,r 6) =,6544r 7,84r +37 6,r d (r) =,388t 7,84 = t 3,3 ; d (3,3)> Min. d(3,3) 6,5 =^ 6,5 m 7, Alternative: Zeitrechnung von F : F s zurück: F : x 83 t,6 4,4 35

36 d(t) = g(r) h(r) = 85,8 6 t 8, = ( 85,8t) 36 (8,t) Es genügt f(t)=d (t) zu minimieren. f(t)=,6544t 37,7t+3545; f (t)=,388t 37,7= t 3,3 d(3,3) 6,5 [ m] = 6,5 m (iv) Dreieck VW W mit W ( 3 93 ) tan = 5 9 3,76 36