Mathematik für MolekularbiologInnen

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1 Mathematik für MolekularbiologInnen Vorlesung III- Block 2: Analysis Funktionsanalyse und Differenzialgleichungen A) Funktionen B) Differential und Integralrechnung C) Differentialgleichungen

2 Übersicht-Funktionen 1) Der Funktionsbegriff 2) Eigenschaften von Funktionen 3) Funktionstypen

3 1) Der Funktionsbegriff Was ist eine Funktion? Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung, was bedeutet, dass eine Funktion f jeder Zahl aus der Menge D, für die die Funktion definiert ist, genau eine Zahl y zuordnet. Diese zugeordnete Zahl y heißt Funktionswert von oder Funktionswert an der Stelle. : unabhängige Variable, y: abhängige Variable Eine Funktion ist eine (Rechen)vorschrift/Zuweisung, die Eingabewerten eindeutige Ausgabewerte y zuweist y Eindeutigkeit bedeutet, dass jedem genau ein Wert y zugeordnet werden kann Die eindeutige Zuweisung von Werten ist die hinreichende Bedingung einer Funktion, selbst wenn die Rechenvorschrift nicht bestimmt werden kann.

4 Der Funktionsbegriff Beispiel: Zeigen Sie, dass Temperatur (T) eine Funktion der Zeit (t) ist. Lösung: Man misst die Temperatur und notiert z.b. die Tages-Höchstwerte Datum/ t T min [ C] Diese Zuordnung genügt der Definition einer Funktion, da jeder Tag genau eine Höchst- Temperatur hat Eine Rechenvorschrift y d.h t T ist allerdings nicht bestimmbar! Es handelt sich in diesem Fall um diskrete Eingabewerte Mehrere Tage können dieselbe Temperatur haben, d.h. y muss nicht eindeutig sein

5 Der Funktionsbegriff Mathematische Terminologie für Funktionen Funktionen f werden allgemein auch Abbildungen genannt und in der modernen Mathematik anhand von Mengen definiert: f : D Z d.h. Eine Funktion f bildet eine Definitionsmenge D auf eine Zielmenge Z ab, indem sie jedem Element von D genau ein Element von Z zuweist. f : D y = f () Z - die unabhängige Variable, genannt Funktionsargument ist ein Element von D - die abhängige Variable y, genannt Funktionswert ist ein Element von Z Anders formuliert: Die moderne Definition einer Abbildung löst sich vom Konzept der Rechenvorschrift und setzt an dessen Stelle das allgemeinere Konzept einer Beziehung (Abhängigkeit) von Mengen. In der Analysis (auch in dieser VL) wird jedoch die klassische, algebraische Bedeutung des Funktionsbegriffs hervorgehoben.

6 Der Funktionsbegriff Mathematische Terminologie für Funktionen Der Funktionsterm ist die eigentliche Rechenvorschrift z.b. f : 2 - die Funktion f weist jedem Argument einen Wert zu, indem quadriert wird - 2 ist der Funktionsterm Eine Funktionsgleichung drückt die Abhängigkeit des Funktionswerts y vom Funktionsargument über den Funktionsterm rechnerisch (algebraisch) aus y = f () = 2 Funktionsgleichungen der Art y = 2 enthalten zwei Variablen und haben daher unendlich viele Lösungen: für jedes (kontinuierliche) Argument genau einen Wert y Erst durch Wahl eines diskreten Eingabewerts erhält man eine lösbare Gleichung, z.b. y = f (3) = 3 2 man sagt auch, die unabhängige Variable werde parametrisiert

7 Der Funktionsbegriff Beschreibung und Darstellung von Funktionen Es gibt (mindestens) 4 Arten, eine bestimmte Funktion zu beschreiben numerisch: in Form einer Wertetabelle (siehe Bsp. Temperatur) algebraisch: in Form einer Gleichung bzw. Formel (z.b.: y = f () = 2 ) graphisch: in Form eines Diagramms bzw. einer Kurve verbal: als Beschreibung einer Abhängigkeit zweier Größen mit Worten

8 Temperatur [ C] Der Funktionsbegriff Beispiel I: Wertepaare graphisch auftragen Aufgabe: Stellen Sie die Temperatur-Tabelle (aus Folie 4) graphisch dar Lösung: Man erstellt ein 2-dimensionales Diagramm mit -Achse (Abszisse) für die Definitionsmenge und y-achse (Ordinate) für die Zielmenge. Jedes Wertepaar wird nun als Punkt mittels seiner - und y-koordinaten eingetragen Anmerkung: Für die Darstellung diskreter Zuordnungen wie z.b. bei Messwerten eignet sich ein Diagramm mit epliziten Punkten (konsequenterweise nicht mit Linien verbunden) 23 Zeit [d]

9 Der Funktionsbegriff Beispiel II: Funktionskurve skizzieren Aufgabe: Stellen Sie die Funktionsgleichung y = 2 graphisch dar Lösung: Man wählt erneut ein Koordinatensystem mit - und y-achse und trägt möglichst viele Hilfspunkte ein, um diese dann zu einer Kurve zu verbinden y Anmerkung: Die kontinuierliche Darstellung aller Eingabe- und Ausgabewerte (d.h. der kompletten Mengen) ergibt automatisch einen Funktionsgraphen (Linie oder Kurve) ohne diskrete Punkte

10 2) Eigenschaften von Funktionen Stetigkeit Eine Funktion ist in einem Intervall der Definitionsmenge stetig, wenn es keine Sprünge gibt, d.h. die Funktionswerte kontinuierlich sind Anschaulich: der Funktionsgraph kann ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden y 1-1 π 2π Beispiel: y = sin() ist an jeder Stelle (über die gesamte Definitionsmenge) stetig. für jedes beliebige -Intervall [a,b] nimmt die Funktion jeden Wert des y-intervalls [f (a), f (b)] mindestens einmal an. es gibt daher keine Sprünge

11 Eigenschaften von Funktionen Stetigkeit Eine Funktion ist in einem Intervall der Definitionsmenge stetig, wenn es keine Sprünge gibt, d.h. die Funktionswerte ebenfalls kontinuierlich sind Anschaulich: der Funktionsgraph kann ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden y Gegenbeispiel: Die Signum-Funktion 1 : > 0 y = sgn() = 0 : = 0-1 : < 0 ist an jeder Stelle außer 0 stetig es liegt ein Sprung bzw. eine Diskontinuität vor, da z.b. im -Intervall [-0,1; 0,1] nicht alle Werte des y-intervalls [-1,1] vorkommen

12 Eigenschaften von Funktionen Monotonie y Eine Funktion, die mit steigenden Argument-Werten nur wächst (oder konstant ist) heißt monoton steigend 1 > 0 y 1 y 0 für alle D Beispiel: y y Eine Funktion, die mit steigenden Argument-Werten nur schrumpft (oder konstant ist) heißt monoton fallend 1 > 0 Beispiel: y 1 y 0 für alle D y

13 Eigenschaften von Funktionen Grenzwert Grenzwert gegen einen Wert: Diese Grenzwerte werden meist bei Definitonslücken oder inneren Rändern des Definitionsbereichs bestimmt. Beispiel: 1 : > 0 y = sgn() = 0 : = 0-1 : < 0 lim f ( ) 0 Die Funktionswerte von f() sind beliebig wenig von y 0 entfernt, wenn der Stelle 0 nahe genug gekommen ist. linksseitiger Grenzwert: lim 1 f ( ) 1 rechtsseitiger Grenzwert: lim 1 f ( ) 1 y 0 Grenzwert gegen ± Unendlich : Diese Grenzwerte werden meist bei Kurvendiskussionen ermittelt, wenn die äußeren Ränder des Definitionsbereichs unendlich sind. Beispiel: y = 2 lim f ( ) y Die Funktionswerte von f() sind beliebig wenig von y 0 entfernt, wenn sehr große (bzw. sehr kleine) Werte annimmt. lim f ( ) 0

14 Eigenschaften von Funktionen Kurvenform y 0 konkav konve In einem bestimmten Intervall [ 0, 1 ] von D ist eine Funktion konkav (von unten), wenn die Funktionswerte oberhalb ; und konve (von unten), wenn sie unterhalb der Verbindungsgeraden der Punkte 0 und 1 liegen anders ausgedrückt: - konkav bei Abwärtskrümmung der Kurve - konve bei Aufwärtskrümmung der Kurve

15 Eigenschaften von Funktionen Kurvenform anders ausgedrückt: - konkav bei Abwärtskrümmung der Kurve - konve bei Aufwärtskrümmung der Kurve Entscheidend für die Krümmung ist die 2. Ableitung (vgl nächste VL). Eine Funktion ist konve an einer Stelle, wenn die zweite Ableitung an dieser Stelle größer als Null ist. Eine Funktion ist konkav, wenn die zweite Ableitung kleiner als Null ist: f konve f () > 0 (Tiefpunkt) f konkav f () < 0 (Hochpunkt)

16 3) Funktionstypen Überblick Analytische Funktionen Nicht-Analytische Funktion - Betragsfunktion y = Rationale (algebraische) Funktionen (Zusammensetzung aus Grundrechenarten und Wurzelziehen) -lineare Funktionen -Potenzfunktionen (quadr., kubische) -Polynomfunktionen -Gebrochen-rationale Funktionen Transzendente Funktionen -Eponential-Funktion und Logarithmus Funktion -Trigonometrische Funktion (periodische Funktionen)

17 a) Lineare Funktionen (linear function) Definition und Eigenschaften Lineare Funktionen beschreiben Zusammenhänge der Form y = f () = k + d (oder: y = m + b) Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade und jede Gerade, die nicht parallel zur y-achse verläuft, wird durch eine lineare Funktion beschrieben Eine Gleichung der Form y = k + d wird daher auch Geradengleichung genannt, hierbei ist k die Steigung der Geraden, d der y-achsenabschnitt y k = 2 k = 1 k = 0,5 y d = 1 d = 0 d = -1,3 Lineare Funktionen sind an jeder Stelle stetig

18 a) Lineare Funktionen Zwei-Punkte-Form von Geraden Geometrisch wird eine Gerade hinreichend durch zwei Punkte beschrieben. Dies gilt auch übertragen auf Graphen linearer Funktionen, wo zwei Punkte Wertepaare im Funktions-Koordinatensystem darstellen. Die Steigung k lässt sich dann aus dem Differenzquotienten bestimmen y y k y 1 0 y 0 y 1 y 0 0 1

19 a) Lineare Funktionen Direkte Proportionalität Man spricht von einem direkt proportionalen Zusammenhang zweier Größen, wenn: y = k mit k 0 Anders gesagt, direkte Proportionalität wird stets durch eine lineare Gleichung beschrieben, die an der Stelle Null den Wert Null hat (kein y-achsenabschnitt, d = 0, Graph durch den Ursprung). Der Funktionsparameter k ist die Proportionalitätskonstante Beispiel: Die Herzmasse einer Säugerart ist direkt proportional zur Körpermasse. Welches ist die Proportionalitätskonstante, wenn bei einem Pferd, dessen Körper 650 kg wiegt, das Herz ein 3,9 kg wiegt? In diesem Beispiel ist y, die Masse des Herzens, eine Funktion von, der Körpermasse m H = f (m K ) = k m K k = m H / m K = 3,9 kg / 650 kg = 0,006

20 a) Lineare Funktionen Konstante absolute Änderungsrate y ist die Änderung einer Funktion, der Quotient y/ die Änderungsrate Da im Fall linearer Funktionen die Steigung k = y/ eine Konstante ist, kann man lineare Funktionen anhand von Wertetabellen leicht identifizieren Aufgabe: Welche der folgenden Wertetabellen entspricht einer linearen Funktion? f () f () f () 2,4 2,2 2,0 1,8 Lösung: a) hat eine konstante Änderungsrate, nämlich 5/1 lineare Funktion b) hat keine konstante Änderungsrate, diese steigt von 6/2 über 10/2 auf 14/2 c) hat eine konstante Änderungsrate, nämlich 0,2/10 lineare Funktion Vgl. Kapitel Statistik Regressionsgerade

21 a) Lineare Funktionen Beispiel I: Gleichungen auf die allgemeine Geraden-Form bringen Aufgabe: a) Bestimmen Sie die Steigung und den y-achsenabschnitt einer Geraden, die durch die Gleichung 7y = 0 beschrieben wird. b) Welchen Wert hat die lineare Funktion an der Stelle = 14? Lösung: Die Gleichung wird zunächst nach y aufgelöst, um die allgemeine Form zu erhalten: 7y = 0 7y + 12 = 2 7y = y a) Die Steigung k der Geraden beträgt -12/7, der y-achsenschnitt d beträgt 2/7 Das Argument = 14 wird nun eingesetzt: y = f (14) = -(12/7) /7 = /7 = -23,7 b) an der Stelle = 14 beträgt der Funktionswert -23,7

22 a) Lineare Funktionen Beispiel II: Geradengleichung anhand von zwei Punkten bestimmen Aufgabe: Bestimmen Sie die Steigung und den y-achsenabschnitt einer Geraden, die durch die Punkte ( 0, y 0 ) = (3, 4) und ( 1, y 1 ) = (5, 7) beschrieben wird. Lösung: Es wird zunächst die 2-Punkte-Form aufgestellt um k zu ermitteln: k y 1 y ,5 Geradengleichung allgemein: y= k +d; y = 1,5 +d ; Einsetzen eines bekannten Punktes z.b. ( 0, y 0 ) = (3, 4) 4= 1,5 3 + d 4 1,5 3 = d d = 4 4,5 = -0,5 der y-achsenabschnitt beträgt -0,5. Die Geradengleichung lautet: y = 1,5 0,5.

23 a) Lineare Funktionen Aufgabe: Bestimmen Sie die Steigung und den y-achsenabschnitt einer Geraden, die durch die Punkte ( 0, y 0 ) = (3, 4) und ( 1, y 1 ) = (5, 7) beschrieben wird. Lösungsvariante : 2 Unbekannte (k, d); 2 Gleichungen: 4 = 3k+d; => d = 4-3k und 7 = 5k+d Einsetzen: Bestimmung von k: 7= 5k + (4-3k) ; Bestimmung von d: d = 4-3k = 4-4,5 = -0,5 7-4 = 5k-3k ; => 3 = 2k; k= 3/2= 1,5. Aufstellung der Geradengleichung: y = 1,5-0,5 Oder: Den y-achsenabschnitt ermittelt man über den Zusammenhang d = f (0), d.h. man ergänzt den Punkt (, y) = (0, d) und löst entsprechend nach y bzw. d auf: d = f(0) = 1,5 0-0,5= -0,5

24 b) Potenzfunktionen (power function) Potenzfunktionen und ihre Graphen Die allgemeine Form von Potenzfunktionen lautet f() = y = a n (oder f() = y= Q() = k p ) mit Proportionalitätskonstante a (k) und Potenz n (p) Die Werte einer Potenzfunktion sind also proportional zu einer konstanten Potenz des Arguments y y 4 2 1/ = -1 3 Asymptoten, (Definitionslücke = 0)

25 Potenzfunktionen und ihre Graphen b) Potenzfunktionen Der Graph einer Potenzfunktion mit positivem Eponent heisst Parabel n-ter Ordnung (Polynomsfunktion n-ten Grades).

26 b) Potenzfunktionen Der Graph einer Potenzfunktion mit negativem Eponent heißt Hyperbel. Pol: An diesem Punkt ist die Funktion nicht definiert. f()= -4 und f()= -3 haben ihren Pol bei (0/0). Asymptote: Als Asymptote bezeichnet man diejenige Achse, an welche sich die Funktion annähert. f()= -4 und f()= -3 : Asymptoten sind -Achse und y-achse

27 Potenzfunktionen Beispiel: Potenzen und Proportionalitätskonstanten erkennen Aufgabe: Ermitteln Sie a (bzw. k) und n (bzw.p) für folgende Funktionen: y= a n 2 1 ( a) y ( b) y ( c) y ( d) y 5 2 ( e) y 3 ( f ) y (4 Lösung: Wurzeln und reziproke Potenzen entsprechen gebrochenen bzw. negativen Eponenten (a) y = 2-5 a (k) = 2 n (p) = -5 (b) y = ½ -1 a (k) = 0,5 n (p) = -1 (c) y = 1/6 1 a (k) = 1/6 n (p) = 1 (d) y = 5 2 a (k) = 5 n (p) = 2 (e) y = 3 ½ a (k) = 3 n (p) = ½ (f) y = 16 6 a (k) = 16 n (p) = 6 3 ) 2

28 c) Polynome (polynomials) Polynome sind zusammengesetzte Potenzfunktionen, nämlich Summen von Potenz-Termen i mit unterschiedlichen Koeffizienten a i Polynome werden nach absteigender Potenz notiert: Der Grad eines Polynoms richtet sich dem Term mit der höchsten Potenz 3. Grades 4. Grades 0, Grades Polynome eignen sich zur Modellierung kompleer natürlicher Funktionen bzw. zum Fitten von Messdaten

29 d) Eponentialfunktionen (eponential functions) Definition der Eponentialfunktion Die allgemeine Form von Eponentialfunktionen lautet: f() = y = E() = b = k 0 b - E ist die Eponentialfunktion von zur Basis b (vgl. VL ph-wert, Zellwachstum) Die anschauliche Bedeutung der Eponentialfunktion besteht darin, dass sie eponentielles Wachstum bzw. eponentiellen Zerfall beschreibt - Parameter k 0 ist die Startgröße entsprechend E (0) = k 0 b 0 = k 0 - Parameter b ist der Faktor, um den sich E verändert, wenn um 1 wächst Wichtig: Lineare Funktionen haben konstante absolute Änderungsraten Eponentielle Funktionen haben konstante relative (prozentuelle) Änderungsraten

30 d) Eponentialfunktionen Die allgemeine Form von Eponentialfunktionen lautet: f() = y = E() = b = k 0 b Bei eponentiellen Wachstum mit der Zeit entsprechend: f(t) = k 0 b t k 0. Startmenge (bei =0) b Wachstumsfaktor Bestimmung von gesuchten Größen einer Eponentialfunktion f() = k 0 b k 0 b f ( ) b f ( ) k 0 f ( ) log k0 t log b

31 d) Eponentialfunktionen Die allgemeine Form von Eponentialfunktionen lautet: f() = y = E() = b = k 0 b Eponentielles Wachstum liegt vor, wenn b > 1 Eponentieller Zerfall liegt vor, wenn 0 < b < 1 (z.b. 0,1 2 =0,01; 0,1 3 =0,001 ) - Will man die relative (prozentuale) Veränderung r hervorheben, dann gilt: b = 1 ± p/100 = 1 + r bzw. r = b-1 z.b.: Zinssatz von 2 %: b = 1 +(2/100) = 1,02 mit r = +2% => r = 0,02 Wertverminderung durch Inflation von 1,2 %: b = 1 -(1,2/100) = 0,988 mit r = -1,2% => r = -0,012 Vermögungsvermehrung des Startkapitals K: K(t)=K 0 (1+p/100) t Beispiel: Ihre Bank bietet Ihnen Sonderkonditionen mit 5% Verzinsung über eine Laufzeit von 4 Jahren an. Ihr Startkapital beträgt Wieviel erwarten Sie am Ende der Laufzeit? Lösung: K(t)=K 0 (1+p/100) t =5000 (1+5/100) 4 =5000*1,05 4 = 6077,53. Sie können mit rund 6077 Euro am Ende der Laufzeit ihres Sparbuches rechnen (ohne KeST etc).

32 d) Eponentialfunktionen Eponentielles Wachstum Graphen von Eponentialfunktionen mit einer Basis größer eins haben eine verwandte Kurvenform (stetig, monoton steigend, konve) y = b y b = 10 b = e b = b = 1,

33 d) Eponentialfunktionen Beispiel I: relative Änderungsrate bei eponentiellem Wachstum Aufgabe: In den Jahren wurde die Population einer Spezies in einem abgegrenzten Areal wissenschaftlich erfasst, indem die Zahl N der Individuen gezählt wurde: t N Welches ist die Wachstumsrate der Population, und wie lautet die zugrundeliegende Funktion (bezogen auf t 0 = 2000, t in Jahren)? Lösung: t N N / N t-1-1,074 1,072 1,073 Erkennen einer Eponentialfunktion aus tabellarischen Werten: Verhältnis der y-werte für gleiche Änderungen der - Werte bleibt konstant. Offensichtlich handelt es sich bei N = f (t) nicht um eine lineare Wachstumsfunktion, da die absolute Änderungsrate ( N / t) nicht konstant ist, sondern steigt. Wir ermitteln den relativen Zuwachs als Quotienten zweier aufeinanderfolgender Werte (N / N t-1 )

34 d) Eponentialfunktionen Beispiel I: relative Änderungsrate bei eponentiellem Wachstum Der relative Zuwachs ist annähernd konstant (1,073) b = 1 ± p/100 = 1 + r bzw. r = b-1 entsprechend r = b 1 = 7,3% Eine konstante relative Änderungsrate ist das Kennzeichen eponentieller Funktionen, sie ist in der Basis der Eponentialfunktion (b) impliziert. Mit k 0 = N (0) = 570 ergibt sich also für N = f (t): y = k 0 b : N (t) = E (t) = 570 1,073 t Es handelt sich bei der Zahl der Individuen um eine Eponentialfunktion der Zeit zur Basis 1,073. Die relative Änderungsrate beträgt 7,3%.

35 Eponentieller Zerfall d) Eponentialfunktionen Graphen von Eponentialfunktionen mit einer Basis kleiner eins haben ebenfalls eine verwandte Kurvenform (stetig, monoton fallend, konve) Eponentieller Zerfall liegt vor, wenn 0 < b < 1 (z.b. 0,1 2 =0,01; 0,1 3 =0,001 ) y 1,0 y = b b = 0,95 0,5 b = 0,8 0,0 b = 0,5 b = 0,

36 d) Eponentialfunktionen Beispiel II: Gleichung für eponentiellen Zerfall ermitteln Aufgabe: Der Pharmokokinetik des Wirkstoffs Ampicillin liegt ein eponentieller Abbau durch den Metabolismus zugrunde. Nach Gabe von 250 mg Ampicillin werden folgende Mengen der Substanz im Blutkreislauf gemessen: a) Stellen sie die Gleichung der Funktion m = f (t) auf b) Wann ist die Menge Ampicillin unter 10 mg gesunken? Lösung t [h] m [mg] Es wird wiederum eine relative Rate, hier das Verhältnis m / m t-1 ermittelt Es folgt: t m / m t-1-0,6 0,6 0,6 a) m (t) = 250 0,6 t r= b-1 = 0,6-1= -0,4 d.h. Ampicillin wir mit einer Rate von 40% pro Stunde abgebaut.

37 d) Eponentialfunktionen Beispiel II: Gleichung für eponentiellen Zerfall ermitteln zu b) Wann ist die Menge Ampicillin unter 10 mg gesunken? : Wir wissen dass für den gesuchten Zeitpunkt t gelten muss: 250 0,6 t = 10 0,6 t = 0,04 {b = y log b (y) = } t = log 0,6 (0,6 t ) = log 0,6 (0,04) Nun können wir uns mit der Rechenregel log b () = log c ()/ log c (b) behelfen (vgl. VL 2) und z.b. den dekadischen Logarithmus (lg) heranziehen, der mit dem Taschenrechner berechenbar ist: t = lg (0,04) / lg (0,6) = 6,3 oder Lösungsvariante durch Einsetzen in die Formel: f ( ) log k t log b 10 log 250 log 0,6 0 6,3 b) Nach t > 6,3 h wird die Menge von 10 mg Ampicilin im Blutkreislauf unterschritten.

38 d) Eponentialfunktionen Der natürliche Logarithmus Der natürliche Logarithmus ln einer Zahl gibt an, mit welcher Zahl die Basis e (Eulersche Zahl, Wert: 2,71828,natural base)) potenziert werden muss, um zu erhalten y = log e () = ln () : e y = e ln() = Durch Verkettung des natürlichen Logarithmus mit der natürlichen Eponentialfunktion erhält man das Argument zurück y e ln() Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der natürlichen Eponentialfunktion

39 d) Eponentialfunktionen Basis e zur Beschreibung eponentieller Funktionen y = b Je nach relativer Änderungsrate erhält man unterschiedlich parametrisierte Eponentialfunktionen, um Wachstums- oder Zerfallsprozesse zu beschreiben z.b. y = k 0 1,073 t (7,3%) oder y = k 0 0,6 t ( 40%) Durch Einführung einer kontinuierlichen Wachstumskonstante k werden Eponentialfunktionen zur Basis b auf die einheitliche Basis e normiert. Man definiert zu diesem Zweck: k:= ln(b) b = (e ln(b) ) := e k Sei b = 1/b eine reziproke Basis gemäß einer ep. Zerfallsfunktion, dann: k := ln(b ) = ln(1/b) = -ln(b) = -k Zerfallskonstante k < 0 b = (1/b) = (e ln(b) ) := e k Anmerkung zur naturwissenschaftlichen Schreibweise - Für die natürliche Eponentialfunktion wird statt e meist ep() geschrieben - in der Natur eponentielle Beziehungen meist Funktionen der Zeit, so dass man generell das Argument t verwendet. - Eine allgemeine Eponentialfunktion natürlicher Prozesse lautet: N (t) = N 0 ep (kt)

40 Eponentialfunktionen Definition von Verdopplungszeit und Halbwertszeit (siehe auch letzte VL) Für die Funktion N = N 0 e kt suchen wir eine Zeit d, so dass N = 2N 0 Wie man sieht gilt: N = N 0 e k(t+d) = N 0 e kt e kd := N 0 e kt 2 = 2N (Potenzrechenregeln b h b k = b (h+k) ) mit der Zeit d verdoppelt sich N, dies gilt für jedes t und unabhängig von N 0 d = t 2 ist die Verdopplungszeit Analog sei für Zerfallsfunktionen N = N 0 e kt eine Zeit d, so dass e kd = ½ : N 0 e -k(t+d) = N 0 e -kt e -kd := N 0 e -kt ½ = ½ N mit der Zeit d halbiert sich N, dies gilt für jedes t und unabhängig von N 0 d = t ½ ist die Halbwertszeit

41 Eponentialfunktionen Zusammenhang zwischen Halbwertszeit und Zerfallskonstante Den Wert der Halbwertszeit in Anhängigkeit von k erhält man durch Einsetzen von ½ N 0 in die Zerfallsgleichung: N 0 ep(-kt ½ ) = ½ N 0 ep(-kt ½ ) = ½ -kt ½ = ln(½) kt ½ = -ln(½) = ln(2) t 1/ 2 ln(0,5) k bzw. t 1/ 2 ln(2) k Verdopplungszeit und Wachstumskonstante haben denselben Zusammenhang (vgl. letzte VL), d.h. wenn der Betrag der jeweiligen Konstante derselbe ist, ist auch die Zeitdauer bis zum entsprechenden Ereignis dieselbe! Hinweis: welche der beiden Formeln man verwendet, ist beliebig. Wichtig: t ½ ist sinnvollerweise positiv, d. h. Vorzeichen in Zähler und Nenner sind gleich. (Man kann aber mit negativer Zeit auf die Verdoppelung bzw. Halbierung zurückrechnen

42 Eponentialfunktionen Beispiel III: Halbwertszeit berechnen Aufgabe: Eine radioaktive Substanz zersetzt sich mit einer Rate von 6,0% pro Jahr. a) Welches ist die kontinuierliche Zerfallsrate, d.h. die Zerfallskonstante? b) Welches ist die Halbwertszeit des Stoffes? Lösung: Zunächst muss auf die natürliche Eponentialfunktion umgerechnet werden, um die Zerfallskonstante zu erhalten r = 6% = 0,06 b = 1 + r = 0,94; ( d.h. E (t) = N 0 0,94 t ) k = ln(b) = ln(0,94) = 6, ( d.h. N(t) = N 0 ep( 0,06188 t) ) a) Die Zerfallskonstante beträgt etwa 6, (6,2%) Hinweis: sie wird als Betrag (also positiv) angegeben, da das negative Vorzeichen bereits in der Zerfallsgleichung berücksichtigt ist! t ½ = ln(0,5) / k = 0,693 / 0,06188 = 11,2 b) Die Halbwertszeit der Substanz beträgt etwa 11 Jahre

43 e) Periodische Funktionen (periodic functions) Sinus, Cosinus und der Einheitskreis Der Einheitskreis ist in ein rechtwinkliges Koordinatensystem eingebettet. Der Ursprung dieses Koordinatensystems fällt mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammen. Der Radius hat den Wert 1. Der Umfang ist 2π. Winkel im Einheitskreis können auf zwei Arten, dem Gradmaß und dem Bogenmaß, gemessen werden. Winkel im Einheitskreis werden durch einen Zeiger dargestellt, der seinen Ursprung im Mittelpunkt hat und am Kreisrand endet. Im Gradmaß gehen die Winkel vom Anfangswinkel 0 bis zum vollem Winkel von 360. Im Bogenmaß von 0 rad bis 2π rad. Beachten Sie diese Einstellung in ihrem TR! 360 = 2 π. Umrechnung: Bogenmass Gradmass Quelle:

44 e) Periodische Funktionen (periodic functions) Sinus, Cosinus und der Einheitskreis v Der -Wert des Punktes P ist gleich dem Kosinus des Winkels im Gradmaß (Kosinus der Bogenlänge im Bogenmaß, blau). Der y-wert von P ist gleich dem Sinus des Winkels im Gradmaß (Sinus der Bogenlänge im Bogenmaß, rot). Der Tanges des Winkels (bzw. Bogens) ist gleich dem Verhältnis des y-wertes zum -Wert von P. (Streckt man das "Sinus-Kosinus"-Dreiecke so, dass die "Kosinusseite" zu eins wird, wächst die "Sinusseite" zu einer Länge, die dem Tangens entspricht). Quelle: Landesbildungsserver Baden-Württemberg

45 e) Periodische Funktionen (periodic functions) Sinus, Cosinus und der Einheitskreis Quelle:

46 e) Periodische Funktionen (periodic functions) Sinus, Cosinus und ihre Eigenschaften Periodische Funktionen wie sin() wiederholen sich in Zyklen. Kennt man den Funktionsgraph einer Periode, dann kennt man den gesamten Verlauf. y 1 sin() y 1 cos() -1 Periode π A 2π Eine Periode entspricht dem -Intervall, in dem ein Zyklus von Funktionswerten genau einmal durchlaufen wird Die Amplitude A entspricht der halben Differenz zwischen Maimum und Minimum, also der Oszillation relativ zur Grundlinie Das Argument ist im Einheitskreis ein Winkel, der im Gradmass oder im Bogenmass gemessen wird. 360 = 2 π. Umrechnung: -1 π Bogenmass Gradmass 360 2π 2 180

47 e) Periodische Funktionen Allgemeine Form, Variation der Parameter Die trigonometrischen Funktionen sin und cos sind Funktionen des Winkels beim Durchlaufen eines Kreises, daher ist A = 1 und die Periode beträgt 2π (360 ) In natürlichen Prozessen sind periodische Beziehungen meist Funktionen der Zeit, und man verwendet allgemeine, parametrisierte Formen von sin und cos y = f (t) = A sin (Bt) + C und y = f (t) = A cos (Bt) + C mit: A = Amplitude; C = Verschiebung entlang y-achse, y-lage der Grundlinie 2 1 B = 2π f [s -1 ] (2 π Frequenz) = Periodendauer T B f A = 1 B = 4 π (N = 2) A = ½ t t B = 2 π (N = 1)

48 Nyquist Theorem: e) Periodische Funktionen Nyquist Theorem (Nyquist-Shannon Abtasttheorem): ein kontinuierliches, periodisches Signal mit einer Frequenz f signal muss mit einer Frequenz größer als 2 f signal abgetastet werden, damit man aus dem so erhaltenen zeitdiskreten Signal das Ursprungssignal wieder rekonstruieren kann: f abtast > 2f signal Wichtige Anwendung in der Meßtechnik (Digitalisierung) : Die Abtastfrequenz, (Sampling-rate), also die Frequenz mit der Messpunkte gezogen werden, muss doppelt so groß sein, wie die zu untersuchende Frequenz. 3 cos(6) 2,5 2 1,5 1 0, dh. die Kurve unterliegt einem undersampling, damit erscheint die Kurve als hätte sie eine geringere Frequenz.

49 f) Zusammengesetzte Funktionen (composite function) Verkettung von Grundfunktionen Verkettung bedeutet, dass der Funktionswert y einer inneren Funktion g das Argument einer äußeren Funktion f ist y = g (); z = f (y) z = f (g ()) Beispiel 1: Wachstum einer Kreisfläche mit der Zeit - der Radius eines Kreises wachse zeitlich linear, z.b. r = g (t) = 0,5 t bekanntlich gilt für die Fläche A: A = f (r) = r 2 Die Flächen-Funktion ist die äußere Funktion f (r), somit ergibt sich durch Einsetzen der inneren Funktion (für r): A = f (r) = f (g (t)) = (0,5 t + 1) 2

50 f) Zusammengesetzte Funktionen Skalierung Ein konstanter Faktor (Parameter) vor einer Grundfunktion skaliert jeden Funktionswert, so dass der resultierende Graph gestreckt oder gestaucht sein kann (vgl. k bei linearen Funktionen, Amplitude periodischer Funktionen) Handelt es sich um einen negativen Wert, so resultiert zusätzlich Spiegelung an der -Achse (vgl. k bei linearen Funktionen)

51 f) Zusammengesetzte Funktionen Verschiebung Die Addition eines konstanten Wertes (Parameters) zu einem Funktionswert verschiebt den Graphen entlang der y-achse (vgl. d bei linearen Funktionen) Die Addition eines konstanten Wertes (Parameters) zum Funktionsargument verschiebt den Graphen entlang der -Achse 2 2 ( 1) 2 2 2