Physik der Halbleiterbauelemente

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1 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Ahag Lösug dr Übugsaufgab Lösug dr Übugsaufgab zum Buch Physik dr Halblitrbaulmt Es ist wohl icht azuhm, dass all Übugsaufgab, di am Ed dr jwilig Kapitl sth, oh witr Hilf zu lös sid. Dshalb ist s ki Schad, w ma di hir ggb Lösugsvorschläg zu Rat ziht. Wichtig ist jdoch, dass Si dis Lösug icht ifach ur zur Ktis hm, sodr aktiv damit arbit. Als shr hilfrich hat s sich rwis, all Aufgab mittls MATLAB odr im dazu kompatibl Programm (SysQuak odr SysQuakLE für d PC, LyM für d Palmtop) zu rch, auch w s sich ur um kli Problm hadlt. Ersts rwrb Si Frtigkit im Umgag mit dism Programm ud zwits mach Si sichr auch wigr Fhlr, wil Si auf di vorggb Kostat, Paramtr ud vorhad Programm zurückgrif kö. So wird zumidst das Eitipp vo Zahl rhblich rduzirt. Da das Etwickl ud Tst vo solch Programm shr aufwädig ist, hab wir us hir zuächst ur auf MATLAB koztrirt, zumal s das Programm ist, das wohl i dr Igiurmathmatik di größt Vrbritug gfud hat. Villicht wrd im Lauf dr Zit di auf d Wbsit vrfügbar Bibliothk auch och um iig adr Systm rwitrt. Zum Rch mit MATLAB wrd am Schluss och iig Hiwis ggb. Di Lösug dr Übugsaufgab sid übrigs mit d Paramtrsätz brcht word, di i d M-Fils vo MATLAB thalt sid. Dr Wrt vo k B T bi Zimmrtmpratur (300 K) wird ormalrwis mit ausrichdr Gauigkit zu 0,059 V aggomm. Für usr Lösug wird dafür dr Zahlwrt aus dm Programm kostat.m butzt, d ma i dr Form kt = durch Brchug ach dr Vorschrift 3, JK kbt = 300K = J/V rhält. So vil Stll hab atürlich physikalisch ki Si, abr ma blibt bim Rch kosistt irhalb dr MATLAB-Dat. Bim Nachrch mit dm Taschrchr ka s dshalb vorkomm, dass di Ergbiss grigfügig adrs grudt wrd als i d Lösugsvorschläg aggb.

2 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 3 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl Lösug vo Aufgab. Emissio ud Absorptio hc 40 V m 6, λ= = = m. E,8 MV Lösug vo Aufgab. Impuls is fri Elktros Aalog zu Bispil.4 brch wir zuächst di Gschwidigkit ds Elktros: E V 5 v = = = 8,84 0 m/s. m 3 0 9, 0 kg Multiplikatio mit dr Mass m 0 = kg rgibt d Impuls p 0 = m 0 v = 7, kgm/s. Das sid übr zwi Größordug mhr als dr Impuls is Photos mit dr glich Ergi, p = E/c =, kgm/s, dr am Ed vo Abschitt.. brcht wurd. Lösug vo Aufgab.3 Wllläg vo fri Elktro Zur Brchug dr Wllläg bstimm wir am bst zurst di Wllzahl λ = π/k. Di Wllzahl is fri Elktros rhalt wir übr di Ergi gmäß (.0): me 0 9,094 kg 0 V 9,094 kg,60 0 As 0 V k = = = = (, Js) (, Js) 0 kgvas 0 kgvas 0 kg = 6, = 6, = 6, = 4 3 V A s VAs VAs kgm s s 0 =, m. Hiraus rgibt sich sofort di Wllläg zu π π λ= = = 0,44 m. k 0, m Dis Wllläg ist shr kli im Vrglich mit dr vo sichtbarm odr ultraviolttm Licht. Di Wllläg vo fri Elktro spilt dahr i wichtig Roll bim Elktromikroskop, si gibt di Größordug sir Auflösug a. I dr Halblitrtchologi köt di hoh Auflösug für di Elktrostrahl-Lithographi itrssat wrd. 4 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Lösug vo Aufgab.4 Hisbrgsch Uschärfrlatio Di Hisbrgsch Uschärfrlatio lautt x p > =, Js. Wir stz p = m v i ud stz vrsuchswis als Gschwidigkitsuschärf di übrhöht Gschwidigkit vo v = 0 km/h =,8 m/s a: 34 h, Js 38 x = = =,5 0 m. m v 500 kg,8 ms Dr Ort müsst also mit ir Gauigkit vo midsts, m gmss wrd; damit dürft wohl di bst Mssirichtug übrfordrt si. Si hab also schlcht Kart, w Si mit dr Uschärfrlatio argumtir. Bi im Elktro (Mass m 0 = 9, 0-3 kg) siht di Sach scho adrs aus hir rgibt sich i Gschwidigkitsuschärf vo,8 m/s brits bi ir Ortsmssug mit ir Gauigkit vo wigsts 4, 0-5 m, also rud 40 µm. Lösug vo Aufgab.5 Wassrstoffatom a) Di izl Ergiwrt E utrschid sich ur durch d Wrt ds jwilig Elktroradius 4πε a a 0 B, = = B, m 0 Damit ist E = E. b) Zusammhag Frquz Ergi: E E ν= = h 4,3 0 Vs. 5 c) Zusammhag Wllläg Frquz: c λ= = ν 8 30m/s. ν Zahlwrt vgl. Tabll L.. Di Wllläg vo 03 ud m lig im Brich dr Rötgstrahlug, dr Übrgag vo = ach = 3 ligt im Brich ds sichtbar Lichts (Frauhofrsch Lii). Lösug vo Aufgab.6 Priodsystm dr chmisch Elmt a) Gmisams a dr Elktrokofiguratio vo Li, Na ud Ka: Glich Zahl vo Valzlktro (i s-elktro). b) Gmisams a dr Elktrokofiguratio vo Al, Si, P ud S: Glich Zahl vo Elktro auf tifrligd Schal, abr utrschidlich vil Valzlktro.

3 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 5 6 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Tabll L.. Wrt zur Lösug vo Aufgab.5 Übrgag Ergidiffrz (V) Frquz (s ) Wllläg (m) Lösug vo Aufgab.8 Ntzb Di Lösug ist i Abb. L.gzigt. z z = = 0,, = = 3,09, = = 3,89 4, c) Zahl dr Valzlktro: Al: 3, C, Si ud G: 4; As: 5. d) Bi dr Elktrokofiguratio s s p 6 3s 3p hadlt s sich um Silizium. ) Ars hat di Elktrokofiguratio s s p 6 3s 3p 6 3d 0 4s 4p 3, abgkürzt (Ar)3d 0 4s 4p 3. (00)-Eb y x (0)-Eb y Abb. L. Zur Lösug vo Aufgab.8. Ntzb Lösug vo Aufgab.7 Kristallgomtri a) Dr Abstad d vo dr Eck zur Flächmitt is Quadrats rgibt sich ach Pythagoras zu d = a 0. Dahr ist a 0 d = = 0,3840 m für Si ud 0,3997 m für GaAs. Dr Abstad bachbartr Ga- bzw. As-Atom bträgt d =0,3997m. b) Dr Abstad d 0 ächstr Nachbar ist ¼ dr Raumdiagoal, also d0 = 3 a0 = 0, 35 m für Si ud 0,448 m für GaAs. 4 c) Aus dm Volum V EZ = a 0 3 ir Elmtarzll rhält ma di Zahl dr Elmtarzll pro Kubikztimtr zu / V EZ. Galliumarsid hat 4 Galliumatom ud 4 Arsatom pro Elmtarzll; dahr rhalt wir für di Dicht dr Galliumatom (d.h. di Zahl dr Galliumatom pro Kubikztimtr) GaAs = = =, 4 0 cm, 3 V, cm EZ dasslb für As. d) Silizium hat 4 = 8 Atom pro Elmtarzll, dahr: = = = 4,994 0 cm. Si 3 VEZ,609 0 cm Lösug vo Aufgab.9 Eigschaft dr Elmtarzll a) Skizz dr kubisch Elmtarzll vgl. Abb..9, liks Bild. b) Auf i Elmtarzll tfall 4 Atom, davo 8/8 i d Eck ud 6/ i d Flächmitt. c) Di Dicht ρ hägt mit dr Stoffmg ν (= Zahl dr Mol) ud dr molar Mass µ wi folgt zusamm: m νµ ρ= = V V Durch Umstllug ach ν rhalt wir -3 3 ρv 8,885 g cm cm ν = = = 0,40 mol. µ - 63,57 g mol cm 3 thält also 0,40 mol Kupfr. Di Zahl dr Atom pro cm 3 rgibt sich ach Multiplikatio mit dr Avogadro-Kostat N A = 6,0 0 3 mol - zu N = 8, 43 0, di atomar Dicht vo Silizium ist dagg ur halb so groß, ämlich 4,99 0 cm -3 (Abschitt.5.4). d) Di Größ dr Elmtarzll brch wir aalog zu (.4) aus: νµ N µ ρ= = ; V N V A wobi jtzt V icht für i Kubikztimtr, sodr für das Volum dr Elmtarzll stht. N ist di Zahl dr Atom pro Elmtarzll, i usrm Fall sid s vir. Auflös ach V rgibt

4 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 7 8 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Nµ 4 63,57 g mol 3 3 V = = = 4, 75 0 cm. 3 3 N ρ 6,0 0 mol 8,885 g cm A Daraus folgt i Katläg vo 3,6 0-8 cm odr 0,36 m. ) Mass is Kupfratoms: A µ 63,57 g mol m = = =,06 0 g. N 3 6, 0 0 mol Lösug vo Aufgab.0 Ntzb a dr Kristallobrfläch Wir grif ur di Atom hraus, di zu ir Elmtarzll ghör, di Struktur stzt sich atürlich priodisch fort:. a 0 a) a 0 a 0 b) I ir Elmtarzll vo Silizium sid 8 Atom thalt (vgl. Lösug vo Aufgab.7), das hißt, i Elmtarzll wigt 8 4, g = g, das tspricht i atomar Massihit 4,8 u. Bim GaAs hab wir 4 Galliumatom ud 4 Arsatom, folglich ist m EZ = (4 µ Ga + 4 µ As )/N A = ( gmol ,9 gmol - )/N A = = 578,6 gmol - /N A = 578,6 u odr g. Lösug vo Aufgab. Zahl dr Atom i im Kilogramm Um di Zahl dr Atom N i kg Silizium zu brch, gh wir vo dr Koztratio dr Atom Atom aus ud schrib: m Atom N = Atom V = Atom = m ρ ρ Das Vrhältis vo Tilchdicht zu Massdicht Atom /r lässt sich auch schrib als Vrhältis vo Avogadro-Kostat N A (Zahl dr Tilch i im Mol) zu molarr Mass: 3 Atom NA 6,0 0 mol 5 N = m= m= kg=,4 0. ρ µ 8,g mol Das Volum, das i Kilogrammstück iimmt, ist b) m kg 3 V = = = 49, cm. ρ 3,33 gcm Ei Kugl mit dism Volum hat d Radius a V r = = 4,68 cm. 4π (00) (0) Abb. L. Zur Lösug vo Aufgab.0: Aordug vo Atom a dr Obrfläch is Kristalls. Ob (a) für i kubisch-flächztrirt Kristall, ut (b) für i kubischraumztrirt Kristall. Liks jwils di (00)-Obrfläch, rchts di (0)-Obrfläch Lösug vo Aufgab. Atommass a) Da i im Mol stts N A Atom bzihugswis Molkül thalt sid, rgibt sich di atomar Mass ifach als m A = µ/n A. µ ka aus dm Priodsystm tomm wrd, zum Bispil ist für Silizium µ = 8, g/mol. Daraus folgt m A = 8, gmol - / 6,0 0 3 mol - = 4, g, i Aalogi zu (.5). Lösug vo Aufgab.3 Kristallstruktur Di Lösug tspricht Abb..7 aus dm Buch. Lösug vo Aufgab.4 Mischkristall Ga 0,3 I 0,6 As thält 30 % Gallium ud 60 % Idium als Volumatil i dr IIIr-Kompot. Um di Massprozt auszurch, müss zuächst di rlativ Atommass (molar Mass) aus dm Priodsystm tomm wrd: µ Ga = 69,7 g/mol, µ I = 4,8 g/mol, µ As = 74,9 g/mol. I Alhug a di Lösug vo Aufgab. brch wir zuächst di Mass ir Elmtarzll m EZ = (0,3 4 µ Ga + 0,6 4 µ I + 4 µ As )/N A = 658,9 u. Dr Massatil ir Atomsort, zum Bispil Gallium, ist da

5 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 9 0 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab mga 0,3 4 µ Ga 83,7 u = = = 0,7 =,7 %, mez mez 658,9 u aalog rrcht sich dr Massatil vo Idium zu 4,8 % ud dr vo Ars zu 45,5 %. Lösug dr MATLAB-Aufgab Lösug vo Aufgab.5 Zusammhag Ergi Impuls Dis listt das MATLAB-Programm E_ubr_k.m. Lösug vo Aufgab.6 Räumlich Darstllug is kubisch Kristalls Programm cubic.m mit zughörig Utrprogramm sphr_.m ud lii.m. Da di bid wichtig Fuktio lii.m ud sphr_.m scho ggb war, ist di Aufgab icht mhr allzu schwr. Ma muss ur darauf acht, di Lag dr izl Gittrpukt (= Kugl) richtig zu rfass ud darf ki Katlii vrgss. Das MATLAB-Programm cubic.m ka als Lösugsvorschlag gomm wrd.wichtig sid di dri ltzt Bfhl, di für glich Achsitilug sorg ud di Bluchtugsrichtug sowi d Btrachtugswikl agb. (Es ght abr auch oh Agab vo viw ; da wird i Dfault-Wrt agomm.) Das Schö a dm Ergbis ist, dass ma im Figur -Fstr vo MATLAB durch Klick auf das tsprchd Symbol d Btrachtugswikl vrädr ud dadurch di Kristallstruktur vo all Richtug btracht ka. Das ist isbsodr bi komplizirtr Gbild shr sivoll. I Abb. L.3 ist das Ergbis vo cubic.m dargstllt. Lösug vo Aufgab.7 Räumlich Darstllug dr Elmtarzll is kubisch-flächztrirt Kristalls ud ir Zikbldstruktur Programm fcc_struktur.m ud zikbld.m mit d zughörig Utrprogramm fcc.m, sphr_.m, fccgittr.m, bid.m, ttradr.m ud lii.m. Lösug vo Aufgab.8 Btrachtug vo Elmtarzll aus utrschidlich Prspktiv Bi viw(90,45) siht ma di (0)-Eb (Azimutwikl 90, Polarwikl 45 ), bi viw(90,90) siht ma di (00)-Eb (Azimutwikl 90, Polarwikl 90 ) Abb. L.3 Zur Lösug vo Aufgab.6: Kristallstruktur is ifach-kubisch Kristalls, produzirt mit dm Programm cubic.m c ch,998 0 m s 4,36 0 Vs,40 0 Vm λ= = = =. ν Eg Eg Eg Das mschlich Aug ist irhalb ds Spktralbrichs vo twa 400 bis 770 m mpfidlich (vgl. Tabll L..). Tabll L.. Zur Lösug vo Aufgab. Badabstad i V Wllläg i m Si, 07 (ifrarot) G 0, (ifrarot) GaP,6 549 (grü) GaAs, (ahs Ifrarot) ISb 0, (frs Ifrarot) SiC 3,0 43 (violtt) GaN 3, (ultravioltt) L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl Lösug vo Aufgab. Badabstad i Halblitr-Mischrih Di Lösug rfolgt ach dr glich Bzihug wi i Aufgab.: Lösug vo Aufgab. Badabstad Aus c = λν folgt mit E g = hν:

6 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab 6, 40 0 Vm E g =. λ Zu jdr Wllläg λ wird dr rfordrlich Midst-Badabstad brcht ud aus dr Abbildug das zughörig Mischugsvrhältis rmittlt: λ = 548 m (grü) E g =,6 V ud x =0,96 λ = 580 m (glb) E g =,4 V ud x =0,78 λ = 60 m (rot) E g =,0 V ud x =0,44 Lösug vo Aufgab.3 Frmi-Vrtilug Idm ma d Ausdruck auf i Nr schribt ud durch di Expotialfuktio kürzt, rhält ma: E EF xp kbt fh( E) = f( E) = = =. E E xp F E E xp F E E xp F kbt kbt kbt Das ist brits das gsucht Ergbis. Für shr idrig Ergi (E ^ E F ) ist dr Expot positiv ud shr groß, so dass sich rgibt: E E f F h ( E) = = xp ; E E xp F E E xp F k B T + kbt k B T für shr hoh Ergi (E p E F ) dagg wird dr Expot kli ud ka ggübr dr Eis im Nr vrachlässigt wrd, so dass wir rhalt: f h l. I dism Fall ist also dr btrffd rgtisch Zustad vorausgstzt, r ist übrhaupt vorhad mit Sichrhit vo im Loch bstzt. Lösug vo Aufgab.4 Effktiv Zustadsdicht Brchugsbispil für di ffktiv Zustadsdicht N c für Silizium 3/ 3/ 3/ 3/ mk BT m T mk 0 B 300 K Nc = ν = ν. π m0 300 K π Das Hrauslös dr ffktiv Mass ud ds Tmpraturvrhältisss ist für vil Fäll zwckmäßig. Eistz dr Zahlwrt lifrt: 3/ 3/ 3 3/ T 9, 0 kg 0,059 V Nc = 6 ( 0,3) 300 K 34 = π (,054 0 Js) 3/ 3 3/ 9, 0 kg 0,059 V = ( 0,3) = 34 π Vs(,054 0 ) m kgs V s, / = (0,3),5 0 cm =,73 0 cm. (I dr gschwift Klammr stht di Umrchug vo Joul i V.) Aalog rhalt wir di übrig Ergbiss dr Tabll.3. Lösug vo Aufgab.5 Itrisisch Ladugsträgrkoztratio Di itrisisch Ladugsträgrkoztratio i für di Halblitr Si, G ud GaAs bi 300 K ist i dr ltzt Spalt dr Tabll.3. aggb Hiwis: Bi dr Brchug dr Expotialfuktio i Eg i = NcNv xp. kbt sollt Si am bst d Wrt vo k B T i Elktrovolt vrwd (k B T = 0,059 V), da sich da di Maßihit mit dr vo E g sofort kürz lässt. Noch i Hiwis ist agbracht: Bi dr Brchug vo Expotialausdrück mach sich Rudugsugauigkit shr stark im Ergbis bmrkbar. E g lässt sich icht allzu gau mss, ud di Tmpratur ka auch licht variir. Ma darf sich dahr icht wudr, w sich licht utrschidlich i -Wrt i Abhägigkit vo dm jwils gwählt E g odr dr jwils gwählt Tmpratur rgb. Lösug vo Aufgab.6 Ei adrr Ausdruck für di Elktrokoztratio Wir gh aus vo (.0) ud form um: ( EF E ) ( Ec E ) = N i i c xpkbt = N c xp = kbt ( Ec E i ) EF E i EF E = N xp xp xp i c = i. kbt kbt kbt Das ist scho das gsucht Ergbis. Nachträglich schit di Hrlitug doch gaz ifach zu si...

7 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 3 4 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Lösug vo Aufgab.7 Frmi-Ergi bi p Aus (.0) ud (.) rhält ma durch Logarithmir ud Umstll p EF Ec = kbtl ud Ev EF = kbt l. Nc Nv Da di Größ E C ud E V izl icht bkat sid, muss ma zu im Trick grif ud di bid Glichug voiadr subtrahir. Dadurch blibt ur och di Summ vo E C ud E V sth, ud wir bkomm ach Divisio durch Ec + Ev kbt p EF = + l l. Nc N v Um d Ausdruck twas zu vrschör, loht s sich, utr Vrwdug dr Logarithmgstz umzuform, ud ma rhält schlißlich Amrkug : Di Zahl dr Elktro im Bad brcht sich laut (.3) ach dr Forml E 8 45mV ND B 9 0 kt 6,59mV 4 3 = Nc =,73 0 0,036 cm = =,08 0 cm das ist ur twa i Hudrtstl dr durch di Doator igbracht Elktro. Amrkug : Tmpratur vo 30 K ka ma übrigs mit flüssigm No rzug, dss Sidpukt bi 7 K, also 46 C ligt. E D E F Ec + Ev kbt Nv kbt EF = + l + l. Nc p Dr ltzt Trm ist i Korrkturglid, das bi = p vrschwidt. Dis Forml gibt di Lag dr Frmi-Ergi i dotirt Halblitr abr ur da richtig widr, w all Ladugsträgr fri sid ud ki Elktro odr Löchr mhr auf d Störstllivaus sitz. Abb. L.4 Zur Lösug vo Aufgab.8. Lag ds Frmi-Nivaus Lösug vo Aufgab.8 Frmi-Ergi i dotirt Halblitr Offsichtlich ka ma bi 30 K vom Fall idrigr Tmpratur ausgh, bi dm di Störstll ur tilwis ioisirt sid (Störstllrsrv). Das Frmi-Nivau E F rwart wir twa i dr Mitt zwisch Litugsbadrad ud Störstllivau. Als Forml butz wir di Bzihug (.3), di wir wg E = E C E D umschrib kö zu kbt ND Ec ( Ec ED) kbt ND E E F = l + = l + Ec +. Nc N c Das rgibt mit dr Bidugsrgi 45 mv ud dr Doatorkoztratio N D =0 8 cm -3 : 8 kbt ND E,59 mv 0 45 mv EF Ec = l + = l = N 9 c,73 0 0,036 =,95 mv ( 0,546),5 mv = 0,707 mv,5 mv = 3, mv, wobi für N c atürlich dr Wrt bi 30 K zu vrwd war: 3/ 30 K 9 3 Nc = Nc(300K) =, , 036 cm 300 K Als Nullpukt dr Ergiskala wurd hir dr Litugsbadrad gwählt (E c = 0). Abb. L.4 vrdutlicht di Lag ds Frmi-Nivaus.. Lösug vo Aufgab.9 Koztratio frir Ladugsträgr i dotirt Halblitr Bor ist Akzptor, d.h. N + A = N A = p =0 4 cm -3. a) Bi 300 K (vgl. Aufgab.3 odr Tabll L..) sid N c =, cm -3 ud N v =, cm -3. Daraus brcht ma i = 6,7 0 9 cm -3 ud 9 6 i i 4,50 0 cm 5 3 = = = = 4,50 0 cm, p N 4 3 A 0 cm dis ist also gaz ubdutd. b) Bi 500 K ist 500 K kbt = 0, 059 V = 0, 043 V. 300 K Daraus folgt (Bacht Si, dass icht ur dr Expotialfaktor, sodr auch N c ud N v tmpraturabhägig sid!) Eg kbt i NcNv 5,860 cm,30 cm 5, = = = = 7,00 0 cm, ud damit i = 8, cm -3.

8 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 5 6 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Eistz i + + A A A A i i N N N N p = + + = + + lifrt: p =, cm -3. Das führt zu 0 ρ / Ωcm 4 ρ T i 7, 00 0 cm = = = 4, 75 0 cm. p, 47 0 cm 0,4 0, ρ T 3 Lösug vo Aufgab.0 Bgi dr Eiglitug i dotirt Halblitr Aus Abb..7 list ma ab: - T = 600 K für Si, - T = 40 K für G. Amrkug: Ma köt dk, das Problm liß sich auch lös, idm di Glichug Eg i = NcNv xp kbt ifach ach T im Expot umgstllt wird. Diss Vrfahr vrsagt jdoch, da sowohl i als auch N c ud N v tmpraturabhägig sid. Dahr ka ma di Lösug ur umrisch mit im Nullstllsuchvrfahr bstimm. Bmrkug: Halblitrbaulmt kö sich im Btrib mrklich aufhiz. W da zu d durch Störstll igbracht Litugsbadlktro och Ladugsträgr durch Eiglitug hizukomm, vrädr sich di lktrisch Eigschaft bträchtlich. Für solch Baulmt, für di äußrst Tmpraturstabilität gfordrt wird, müss dshalb Halblitrsubstaz mit möglichst britr vrbotr Zo gsucht wrd, d j britr das Gap, dsto grigr wirkt sich di Eiglitug aus. Wi wir i bi dr Lösug dr Aufgab sah, ist Silizium scho tmpraturstabilr als Grmaium. Noch gigtr sid GaAs ud isbsodr SiC, da dr Gap och größr ist. Dm stht allrdigs tgg, dass di Siliziumtchologi hut am bst bhrrscht wird ud priswrtr ist. Lösug vo Aufgab. Tmpraturabhägigkit dr Bwglichkit Di Darstllug i Abb..8 ist dopplt logarithmisch. Dahr ka di Stigug dr Gradbrich dirkt als Expot i dr Bzihug ρ ~ T itrprtirt wrd. I Abb. L.5 sid dis Grad igzicht. Für idrig Tmpratur rgibt sich i Proportioalität ρ ~ T -3/, ud wg µ ~ /ρ folgt daraus µ ~ T 3/ Diss Problm wird ausführlich diskutirt i: McClusky F P, Grzybowski R ad Podlsak T (d.) (997) High Tmpratur Elctroics. CRC Prss, Boca Rato, Nw York, Lodo, Tokyo. 0, 0, T/K Abb. L.5 Zu Aufgab. Bwglichkit (i dr Litfähigkitsthori bkat für Struug a ioisirt Störstllrümpf); für hoh Tmpratur fid wir dagg ρ ~ T 3/ ud somit µ ~ T -3/ (i dr Litfähigkitsthori bkat für Struug a Gittrschwigug). Lösug vo Aufgab. Litfähigkit ud p häg übr das Masswirkugsgstz mitiadr zusamm, dahr ist σ = µ i hp+ µ =µ h + µ. Durch Diffrzir rgibt sich dσ = µ i h + µ. d D Miimalwrt rhält ma durch Nullstz dr. Ablitug, also µ h µ = i ud p = i. µ µ

9 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 7 8 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Lösug vo Aufgab.3 Nochmals zur Litfähigkit a) Bor ist Akzptor, bi Zimmrtmpratur ist dshalb p = N A = 0 7 cm -3. Di Elktrokoztratio ist wg = i /p shr vil klir, ihr Bitrag zur Litfähigkit ka dahr vrachlässigt wrd. Di Bwglichkit thm wir aus Abb.. ud ls ab: µ h = 330 cm /Vs. Damit rgibt sich σ = σ h = µ h p =, As 330 cm /Vs 0 7 cm -3 = 5,30 Ω - cm -. b) Im udotirt Silizium ist = p = i = 6,7 0 9 cm -3. Di Bwglichkit vo Elktro ud Löchr bi disr Koztratio kö aus Abb.. durch Extrapolatio gwo wrd, da utrhalb vo 0 5 cm -3 di Kurv µ(n A ) fast kostat sid (Ursach: µ hägt bi idrig Dotirug icht mhr vo dr Störstllkoztratio ab): µ = 350 cm /Vs; µ h = 480 cm /Vs. Wir kö dshalb jtzt schrib σ = σ + σ h = (µ + µ h ) i =, Ω - cm -. c) Durch Umstllug vo (.44) rhalt wir 6 h jh I 0 A vd = = = = 0,064 cm/s, p Ap ,00 cm,60 0 As 0 cm das ist zimlich lagsam di Wirkug ds lktrisch Stroms, zum Bispil bim Eischalt, britt sich jdoch shr vil schllr aus. Lösug vo Aufgab.4 Pauschal Aussag zur Litfähigkit vo Halblitr Wir wähl als Bispil Doatordotirug. I dism Im Fall wird di Litfähigkit durch di Elktro bstimmt. Ausghd vo (.49) rhalt wir σ = µ = µ ( T, ND). Aus Abb..0 ud Abb.. sah wir, dass µ tatsächlich i Fuktio sowohl dr Tmpratur als auch dr Störstllkoztratio ist. Di Ladugsträgrkoztratio (i usrm Fall ) wird übr wit Brich durch di Dotirug bstimmt, ud zwar durch di Zahl dr vo d Störstll frigstzt Elktro ( = N D + ). Disr Zusammhag drückt sich i Abb..7 aus, wobi das Platau dr Kurv für jd Dotirug utrschidlich ist. Bi hoh Tmpratur dagg (Brich 4 i Abb..7) ist ährugswis durch di tmpraturabhägig Eiglitugskoztratio (.3) bstimmt, also ist bfalls i Fuktio dr Tmpratur. Lösug vo Aufgab.5 Widrstad i itgrirt Schaltkris Zuächst brch wir di Litfähigkit: σ= µ =,60 0 As 0 cm 358 cm V s =,76 0 Ω cm. Damit i Widrstad R = 00 kω rricht wird, muss bi ir Fläch A = µm di Läg 5 l = Rσ A= 0 Ω,76 0 Ω cm µ m = 0,435 µ m btrag. Lösug vo Aufgab.6 Ermittlug dr Gaprgi aus Litfähigkitsmssug Durch Logarithmir vo Eg Eg σ= µ = µ NCNV xp axp kt B kt B rhält ma, w ma di Glichug für zwi vrschid Wrtpaar (T, σ ) ud (T, σ ) aufschribt: Eg l σ l σ =. kb T T Aus dr Kurv timmt ma d Astig Eg l σ l σ l 0 = = = 3838 K. k 3 B 0,6 0 K T T Daraus rgibt sich E g =k B 3838 K = 8, VK K = 0,66 V. Lösug vo Aufgab.7 Frmi-Ergi bi hohr Dotirug Wir butz Gl. (.94): 8 0 η c = U = U = U (,8 ). N 7 c 4,5 0 Di Umkhrug ds Frmi-Itgrals U (x) kö wir am bst mit dr MATLAB-Fuktio rz_frmi.m brch, otfalls ka ma di Wrt auch aus Abb..9. abls, s rgibt sich η c = U (x) =,66. Daraus rhalt wir EF Ec = kbt η c = 5,9 mv,66 = 43,0 mv. Mit dr Boltzma-Vrtilug hätt wir i vil zu kli Frmi-Ergi bkomm, ämlich ur F c B c B l E E = k T η = k T = N 5,9 mv 0,8545 =, mv. c

10 L. Lösug dr Aufgab zu Kapitl 9 0 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Lösug vo Aufgab.8 Zustadsdicht i i- ud zwidimsioal Halblitr Wir start mit Gl. (.4): g(ε)dε = g(k) 4πk dk. I (.4) stllt 4πk dk das Volumlmt dar, s war im Dridimsioal i Kuglschal. Für d zwidimsioal Fall müss wir s durch i Krisrig πkdk ud für d idimsioal Fall durch zwi ifach Stückch dr Läg dk im k-raum rstz (zwi Stückch dshalb, wil wir positiv ud gativ k-wrt rfass müss). Außrdm ist di Zustadsdicht im k-raum g(k) jtzt ur für zwi bzihugswis i Dimsio zu vrwd. Damit rgibt sich g(ε)dε a) für d zwidimsioal Fall mit g( k) = ( π) als m m m g( k) π kd k = g( k) π d ε = π dε = d ε, ( π) π a) für d idimsioal Fall mit g( k) = ( π) als m m m g( k) d k = g( k) dε = d ε = d. m ε k π ε π ε Di sid gau di Forml (.5) ud (.6). Lösug dr MATLAB-Aufgab Lösug vo Aufgab.9 Itrisisch Ladugsträgrkoztratio als Fuktio dr Tmpratur Di Ergbiss sid i Abb. L.6 dargstllt. Dr Programmvorschlag i i_tmp.m ist so ghalt, dass di Ausgab durch ifach Umstllug ds Qulltxts (Etfr ud Hizufüg vo Kommtarzich) als ormal odr halblogarithmisch Darstllug twdr übr T odr übr /T ausggb wrd ka. Durch Ädr dr Substazdat (Erstz ds Aufrufs silizium durch grmaium, GaAs usw.) lässt sich das Programm auch für adr Halblitr vrwd. Wi zu rwart, ist di itrisisch Trägrkoztratio um so klir, j größr das Badgap ds Halblitrs ist. Bmrkug: Um och zusätzlich di Tmpraturabhägigkit vo E G zu brücksichtig, stht das Programm i_tmp.m zur Vrfügug. Lösug vo Aufgab.0 Bgi dr Eiglitug i dotirt Halblitr Programm itris_tmp.m mit i.m ud vtl. Eg_Si.m Das Programm arbitt mit dm MATLAB-Nullstllsuchprogramm fzro. Als Startwrt wird 600 K butzt. Di Fuktio, dr Nullstll zu such ist, wird hir als Fuktios-Utrprogramm i.m aufgruf. Ggbfalls ka di Tmpraturabhägigkit ds Gaps durch di Fuktio Eg_Si.m brücksichtigt wrd. Abb. L.6 Tmpraturabhägigkit dr itrisisch Ladugsträgrkoztratio i Silizium, brcht mit dm MATLAB-Programm i_tmp.m Lösug vo Aufgab. Dotirugskoztratio aus Strommssug Wir brch zuächst di Litfähigkit σ aus d aggb Zahlwrt: Il, ma cm 0 cm σ= = = Ω. AU 0,5 mm 5 V Aus Glichug (.49) für σ lässt sich icht umittlbar ausrch, da µ implizit bfalls vo abhägt. Nur bi idrig Koztratio ist µ ahzu kostat. Im allgmi Fall ist i ichtliar Glichug zu lös. Hirzu butz wir di MATLAB- Fuktio fzro. Etwdr durch Eigab vo dr Kommadozil aus (als Startwrt dr Itratio ka z.b. i Dotirug vo 0 7 cm -3 gomm wrd) odr mittls ds Programms dot_strom.m fidt ma di Lösug N D =, cm -3. W ma zur Lösug ährugswis di Bwglichkit bi idrig Dotirug vrwdt, rgibt sich ur i grigfügig klirr Wrt, ämlich,0 0 5 cm -3. Bi größr Ström tsprchd höhr Dotirug ist dis Nährug für µ kaum och brauchbar tst Si das mit ir Stromstärk vo z.b. 0, A! L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl 3 Lösug vo Aufgab 3. Liars Dotirugsprofil a) Vrlauf dr lktrisch Fldstärk (qualitativ): Da di Fldstärk das Itgral übr di Raumladug ist, wlch liar astigt, muss sich für E i Parabl rgb (Abb. L.7). Si ligt utrhalb dr x-achs. Das muss auch so

11 L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl 3 Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab si, d di Fldlii zig vom Gbit positivr Raumladug zum Gbit gativr Raumladug, also vo rchts ach liks, tgg dr Richtug dr x-achs. E εε0 ND 7 xp = UD=,9 0 cm. NA( NA + ND) Daraus folgt für di Sprrschichtbrit b = x + x p =,9 0-4 cm +,9 0-7 cm λ,9 µm. x Dr Bitrag aus dm p-gbit ist also zu vrachlässig. b) Vrlauf ds lktrisch Pottials: W brits di Fldstärk durch i Parabl. Grads bschrib wird, muss das Pottial (ochmalig Itgratio!) durch i Parabl 3. Grads bschrib wrd. Ihr Vrlauf ählt drjig, di bi abrupt Raumladugsgrz (Abb. 3.4 ut) auftritt, ist allrdigs tsprchd dr 3. Ordug twas mhr gkrümmt. Lösug vo Aufgab 3. Aussag aus dr Ergibadstruktur Ggübr dm i 3.., Abb. 3.5, bhadlt Fall sid di rcht ud di lik Sit, also - ud p-dotirts Gbit, grad vrtauscht. Im -dotirt Gbit ist di Ergi ds Litugsbads idrigr als im p-dotirt Gbit, so dass sich dort di Elktro samml kö; im p-dotirt Gbit ist di Ergi ds Valzbads groß, somit samml sich dort di Löchr (si stig wi Blas ach ob ). Di lktrisch Fldlii zig dahr jtzt vo liks ach rchts, ud das Fld ist positiv, das hißt, di Spitz ist icht wi i Abb. 3.4 (Mitt) ach ut, sodr ach ob grichtt. Lösug vo Aufgab 3.3 Diffusiosspaug ud Sprrschichtbrit Diffusiosspaug für i usymmtrisch Siliziumdiod (N A = 0 7 cm -3, N D = 0 4 cm -3 ) Brit dr Raumladugszo im -Gbit: Aalog im p-gbit: -x p x Abb. L.7 Zur Lösug vo Aufgab 3.. Liars Dotirugsprofil 3 kbt NAND 0 UD = l 0,059 V l 0,675 V. 9 = i (7 0 ) = εε0 NA 4 x = UD =,9 0 cm. ND( NA + ND) Lösug vo Aufgab 3.4 Nochmals: Diffusiosspaug ud Sprrschichtbrit sowi Raumladug a) Diffusiosspaug kbt NAND 4 UD = l 0,059 V l (8,88 0 ) 0,89 V. = = i Brit dr Raumladugsgbit: εε0 N x D p = UD = 0,85 m, NA( NA + ND) εε0 N x A = UD = 0,34 µ m. ND( NA + ND) b) Raumladug Q + ud Q am p-übrgag: Q+ = Q = ( π r ) xnd = =,60 0 As( π 6,5 0 cm ) 3,4 0 cm 0 cm = 0 =,07 0 C. Lösug vo Aufgab 3.5 Diffusiosspaug aus dr Frmi-Ergi Aus Abb. L.8 ls wir ab p UD = Ec Ec = p = Ec Eg µ h µ. Di Diffrz zwisch Litugsbadrad ud Frmi-Ergi auf dr -Sit hab wir mit µ = E F E v p bzicht, aalog di zwisch Valzbadrad ud Frmi-Ergi auf dr p-sit mit µ h = E c E F. Dis bid Größ häg mit dr Elktro- bzihugswis Löchrkoztratio i ihrm jwilig Gbit übr (.0) ud (.) zusamm. Wir lös dis bid Glichug ach µ ud µ h auf ud stz i obig Glichug i:

12 L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab N N N N U = E E k T l k T l = E E k T l. p D A p D A D C g B B C g B NC NV NCNV Dabi hab wir für das -Gbit = N D ud für das p-gbit p = N A igstzt. Das Produkt N c N v im Nr rstz wir durch di itrisisch Ladugsträgrkoztratio mit Hilf dr Bzihug C N N V Eg =, xp kt i B di wir aus (.3) gwo hab. Damit rgibt sich p NDNA Eg UD = Ec Eg kbt l + l xp. i kt B Lösug vo Aufgab 3.6 Spzifischr Widrstad am p-übrgag Im -litd Gbit wird dr Strom praktisch alli durch di Elktro gtrag, A σ = µ =, 0, Vcm daraus folgt dr spzifisch Widrstad zu ρ = / σ = 0,5 Ω cm. Dabi wurd dr Wrt µ = 48 cm /Vs für di Bwglichkit bi dr Elktrokoztratio = N D = 0 6 cm -3 butzt. Disr Wrt wurd aus dm obr Zwig vo Abb.. tomm. Aalog ist dr Strom im p-litd Gbit praktisch i rir Löchrstrom: A σ h = µ hp = 54,5 Vcm mit µ h = 85 cm - /Vs bi p = N A = cm -3 (utrr Zwig vo Abb..). Daraus folgt ρ h = 0,045 Ω cm. Trotz grigrr Bwglichkit dr Löchr rgibt sich durch ihr vil größr Koztratio also i höhr Litfähigkit vrglich mit dr dr Elktro im -litd Gbit. Dr rcht Logarithmus ud di Expotialfuktio hb sich auf, somit rgibt sich schlißlich p D A D EC B i U = kt l N N W wir jtzt d Nullpukt dr Ergiskala a d Litugsbadrad E C p lg, was ja immr rlaubt ist, ud durch dividir, rhalt wir di us brits bkat Bzihug (3.). E C p E V p p-gbit E -Gbit U D µ h µ Abb. L.8 Ergibädr zur Lösug vo Aufgab 3.5 E C E F E V x Lösug vo Aufgab 3.7 Diffusiosspaug i vrschid Matriali Für Grmaium gilt: G kbt NAN U D D = l, G ( i ) für Silizium schrib wir Si kbt NAN U D D = l ( Si i ) Für di Diffrz bidr Diffusiosspaug rgibt sich utr Ausutzug dr Logarithmgstz: Si G Si kbt NAND NAN D kbt U i D UD = l l = l. G Si G ( i ) ( i ) i Di bid Diffusiosspaug utrschid sich also. W wir di Zahlwrt istz, rhalt wir 9 G Si 6,99 0 cm -3 UD UD = 0,059 V l = 47 mv. 3,0 0 cm -3 Bi blibigr, abr jwils glichr, Dotirug ist di Diffusiosspaug im Grmaium um 47 mv klir als im Silizium. Lösug vo Aufgab 3.8 Diffusiosspaug ud Dotirug Aus (3.) rhalt wir durch Umstll

13 L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab UD ND = NA = ixp kt B 6 3,5 V 6 3 =,58 0 cm xp =,03 0 cm. 0,059V Lösug vo Aufgab 3.9 Diffusiosspaug ud Litfähigkit Durch Umstllug vo (.49) rhalt wir -, 5 Scm 5 3 = σ = =,00 0 cm ; µ 9,60 0 As 3900 cm V s aalog rhalt wir p =,0 0 7 cm -3. Hirmit folgt 5 7 kt B NDN A,0 0 0 UD = l = 0,059 V l = 0,34 V 3 i (,4 0 ) Lösug vo Aufgab 3.0 Dimsiosbtrachtug zur Diffusiosläg Dr Diffusioskoffizit ist das Produkt aus Bwglichkit ud thrmischr Ergi, dividirt durch di Elmtarladug, D = µ (( k B T) ). Mss wir di thrmisch Ergi i Elktrovolt, so ist di Eihit vo ( k B T) das Volt (dshalb hißt dis Größ oft auch Tmpraturspaug). Di Eihit dr Bwglichkit ist cm /(Vs). Da fid wir k T cm = τ = µ τ = Vs = cm. Vs [ L ] D B [ ] [ ] Lösug vo Aufgab 3. Brit dr Raumladugszo Phosphor ist im Silizium Doator, Gallium ist Akzptor. a) Aus (3.6) folgt x NA = ND = 00 0 cm = 0 cm. xp b) Aus (3.) rhalt wir 5 7 kt B NDNA 0 0 UD = l = 0,059 V l = 0,73 V. 9 i (6,7 0 ) c) Di Sprrschichtbrit ist proportioal zu U D U, dahr ädrt si sich gmäß b UD U U 0,5 = = = = 0,79 b UD UD 0,80 auf das 0,79-fach, dmach um %. Wil di aglgt Spaug gmäß Abb. 3.6 i Durchlassspaug ist, wird di Raumladugszo schmalr. Lösug vo Aufgab 3. Sprrschichtbrit i Abhägigkit vo äußrr Spaug Gmäß (3.8) gilt εε 0 ND + NA b = UD U. NDNA Di Sprrschichtbrit oh äußr Spaug wir b 0 ud schrib b UD U U = =. b0 UD UD Das Raumladugsgbit wird schmalr, w i Durchlassspaug (U > 0) aligt. Aufglöst ach U rgibt sich für dis Fall b 3 U = UD 0,65 V 0,65 V 0,4875 V. b = = = 0 4 Für b = b 0 rhalt wir dagg ( ) U = 0,65V = 0,65V ( 3) =,95V. Damit wird bstätigt, was wir scho wiss: Damit sich di Raumladugszo vrbritrt, muss i Sprrspaug (U < 0) aglgt wrd. Lösug vo Aufgab 3.3 Sprrstrom Diffusioskoffizit dr Mioritätsträgr (Bwglichkit aus Abb.. tomm): D D kt = 360 cm V s 0,06 V = 35, cm s bi = 0 cm, B =µ NA kt = 70 cm V s 0,06 V =,8 cm s bi = 0 cm. B h =µ h ND Da wir ach dm Sprrstrom gfragt hab, musst di Bwglichkit dr Elktro bi ir Akzptorkoztratio vo 0 4 cm -3 (also auf dr p-sit) igstzt wrd, aalog di Bwglichkit dr Löchr bi ir Doatorkoztratio vo 0 9 cm -3, also auf dr - Sit. Diffusiosläg: L = D τ = 59,3 mm ud L = D τ = 3,4 mm. h h h

14 L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Sprrstrom: - Dh D 9 35, cm s 5-3 js = p0 + 0=,60 0 As 4,9 0 cm L -3 h L 5,93 0 cm - = 4,65 0 A/mm. Dabi ka hir dr rst Trm i dr Klammr wg 0 = i /N A = 4,9 0 5 cm -3 p p 0 = 4,9 cm -3 vrachlässigt wrd. Lösug vo Aufgab 3.4 Litwrt, Sprrschichtbrit ud Kapazität a) Dr Strom ist ggb durch I = I s = A j = A,37 0 A/mm U U kt kt B B 5 s Gsamt diffrtill Kapazität: C = Cs + CD = 45,3 pf + 96 pf = 96 pf. Lösug vo Aufgab 3.5 Strom-Spaugs-Klii ud Sättigugsstrom a) Wg N A p N D kö wir vrifach: U U U D Dh kt D B h kt D B h i kt B j = 0 + p0 = p0 = L Lh Lh Lh ND Daraus folgt, dass dr Vrlauf dr Strom-Spaugs-Klii tsprchd Abb. L.9 skizzirt wrd ka:. j höhr Dotirug tsprchd 3,7 µa für mm Qurschittsfläch. Daraus folgt dr diffrtill Litwrt zu I 4 = = 9,5 0 Ω r kbt ud damit dr Widrstad zu r =,09 kω bi U = 0,4 V. b) Diffusiosspaug: idrigr Dotirug U Abb. L.9 Zur Strom-Spaugs- Klii. Im gativ Brich ist di Diffrz übrtrib gzicht; i Wirklichkit fall bi glich Achsmaßstäb für positiv ud gativ Spaug di Klii dort ahzu zusamm. kbt NDN U A D = l 0,794 V. = i Wir bötig auch d Wrt U D U = 0,794 V 0,4 V = 0,394 V. Di Brit dr Sprrschicht ist da ( N N )( U U) εε 0 A + D D 3 b= = 3,549 0 UD U=,3 µ m NAND NA c) Sprrschichtkapazität: εε CS = A = = 0,4 8,854 0 As Vm mm 45,3 pf b,3 µ m für i Fläch vo mm. Diffusioskapazität: CD = Iτ h = 96 pf. kt b) Für dis Tilaufgab rhalt wir D h ND j L h ND j D h N N D D L h = = 0. Di Ström spigl das Vrhältis dr Koztratio widr; i Brücksichtigug dr Dotirugsabhägigkit vo D ud L hätt ki wstlich Ädrug gbracht. Lösug vo Aufgab 3.6 Nochmals: Strom-Spaugs-Klii ud Sättigugsstrom a) Strom i Vorwärtsrichtug U U D Dh k T B k T B I = A 0 + p0 I0 L L = h 4 0,4V = 0 A xp = 0 A 5,09 0 = 5,09 0 A. 0,059V

15 L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab b) Im Ausdruck für d Sättigugsstrom stht D L D + h 0 0 Lh dari ist dr rst Trm, dr 0 = i /N A thält, vil klir als dr zwit Trm mit p 0 = i / N D, d s war ja N A >> N D vorausgstzt. Dr Sättigugsstrom wird also durch di Mioritätsträgrkoztratio p 0 im -dotirt, also im schwächr dotirt Gbit bstimmt! Dis schwächr Dotirug ist dr Flaschhals, dr d gsamt Strom bgrzt. Lösug vo Aufgab 3.7 Vrglich vo Durchlass- ud Sprrstrom Aus dr Shockly-Glichug (3.47) folgt durch Umstllug Lösug vo Aufgab 3.8 Folgrug aus dr Sprrschichtkapazität Da di äußr Spaug ach rchts mit gativm Vorzich aufgtrag wurd, stllt di Grad d Sprrspaugsbrich dar. Di Auftragug vo /C s ist shr vortilhaft, da si i liar Darstllug übr dr Sprrspaug rmöglicht. a) A dr Stll U = 0 ls wir ab: /C s = 0,0 pf - =, 0 F -. (Dr xakt Wrt wär 0,007 pf -.) Daraus rgibt sich b) Di Brit dr Sprrschicht b 0 rhalt wir, w wir ach b 0 auflös: p s xp( U I I k ) = BT, 8 kbt I + I0 0 U = l = 0,058 V l = 0,3 V. I 0 0 C s0 = F = 9,657 pf., 0 εε C 0 s0 = A b0 As, 4 8,854 0 εε b = A = = = µ 9,657 0 F 0 0 Cs0 Vm 0, mm, m, 045 m. Wir fid bstätigt, dass sich di Brit dr Sprrschicht vrgrößrt, w i Sprrspaug aglgt wird da da /C s größr wird; im umgkhrt Fall vrklirt sich di Sprrschichtbrit. c) Di Größ dr Diffusiosspaug rgibt sich durch Extrapolatio dr Kurv ach ull: U D =0,867V. d) Koztratio dr Doator: εε 0 ND + NA ND NA εε0 b0 = ( UD 0 ) UD. NDNA ND Durch Auflös ach N D rhalt wir εε N 0 D = U D b0 As,48,8540 Vm 5 3 = 0,867 V =,0 0 cm. 9 6,60 0 As,045 0 m Lösug vo Aufgab 3.9 Brit ds Raumladugsgbits i Abhägigkit vo dr Dotirug Wir vrwd (3.9) als Ausdruck für di Brit dr Sprrschicht, dr allrdigs och vo dr Diffusiosspaug U D abhägt. Dis drück wir durch (3.) aus ud rhalt b = Für N A = N D bkomm wir ( ) εε 0 ND + NA kbt N l DNA. N DNA i εε0 kbt ND εε0 kbt N b = l = l D. N D i ND i Jtzt stz wir x = N D / i ud bkomm i Trm dr Form Trm ght mit wachsdm x gg ull, also εε0 kbt lx b = 0; i x ( lx) x ; i solchr das Raumladugsgbit wird dmach mit stigdr Dotirug tatsächlich schmalr. Eistz dr Zahlwrt lifrt x =, ud 7 lx 5 b =,6 0 V cm 0,059 V =,47 0 cm. 9 6,99 0 cm x

16 L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Lösug vo Aufgab 3.0 Arbitspukt ir Diod Di Lösug ist i Abb. L.0 dargstllt, als Zahlwrt thm wir U = 0,4 V ud I = 0,00 A. Strom / 0-3 A. 0.8 Numrisch Ermittlug ds Arbitspukts 3 Arbitsgrad Eistz dr Zahlwrt lifrt kbt I U U = l = 5,9 mv l0 = 59,6 mv bi 300 K I sowi 80 U U = 59,6 mv = 55,7 mv bi 80 K Diodklii Spaug / V Abb. L.0 Zur Lösug vo Aufgab 3.0: Diodklii Lösug dr MATLAB-Aufgab Lösug vo Aufgab 3. Diffusiosspaug übr Dotirugskoztratio a) Di Lösug wird durch das Programm diffsp0.m ggb. Damit wird i Bild gmäß Abb. L. rzugt. Lösug vo Aufgab 3. Tmpraturssor a) I dr Shockly-Glichug kö wir wi bi d voraggag Aufgab di Eis, also d Atil ds Sättigugsstroms, strich ud rhalt da für di bid p- Übrgäg U U = () s kbt = () s kbt I I ud I I. Divisio ud Logarithmir lifrt () I I s l = ( U () U). I I s kbt W wir ach dr Spaugsdiffrz auflös, rhalt wir schlißlich () kbt I I s U U = l l. I () I s W di p-übrgäg vollkomm idtisch sid, sid auch di Sättigugsström glich, ud dr zwit Logarithmustrm wird zu ull. Abb. L. MATLAB-Plots ds Programms diffsp0.m (zur Lösug vo Aufgab 3. a)

17 L.3 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab b) Für di Brchug dr Diffusiosspaug vo vir vrschid Substaz muss twas mhr Aufwad gtrib wrd. I dr Bispillösug diffsp.m ist vo Strig- Arrays Gbrauch gmacht word, sih Abb. L.. Abb. L.3 MATLAB-Plot ds Programms strom_spa.m. (zur Lösug vo Aufgab 3.3: Strom-Spaugs-Klii ir Diod) Abb. L. MATLAB-Plot ds Programms diffsp.m (zur Lösug vo Aufgab 3. b) Lösug vo Aufgab 3.3 Brchug ud Darstllug ir Diodklii Das Programm strom_spa.m lifrt di Lösug (vgl. Abb. L.3). Lösug vo Aufgab 3.4 Numrisch Bstimmug ds Arbitspukts Das Programm arbitspkt.m lifrt di Lösug, wi si i Abb. L.4 gzigt ist. Ergbis: Für di Spaug am Arbitspukt rhalt wir im Ergbis dr Itratio scho ach wig Schritt d Wrt U D = 0,40 V, für d Strom rgibt sich I D = A =,099 ma. Lösug vo Aufgab 3.5 Apassug ir Diodklii Natürlich ka ma i Expotialfuktio icht durch i Grad approximir, sodr ur d Logarithmus disr Fuktio (Abb. L.5). Abb. L.4 Zur Lösug vo Aufgab 3.4 (Arbitspukt)

18 L.4 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab U I = I S xp kt wird da zu U l I = l IS +. kt Das Apassugsprogramm ist fit_diod.m. Ergbis: Sättigugsstrom I S = 9, A, Expotialfaktor =,48; dr Shockly- Bzihug würd xakt = tsprch. hν' hν' I ( ) ( ) sp = cost ' hν' xp hν' xp. kt B kt B kt B Dis Ausdruck stz wir ull ud bkomm kt B hν ' =. Diss Ergbis wird auch durch di MATLAB-Übug Aufgab 4.9 bstätigt. Lösug vo Aufgab 4. Mischkristall-Tuig Aus dr gfordrt Wllläg rhalt wir di tsprchd Gaprgi ach Forml (4.): hc 40 V m E = = = V. λ λ Mit dism Wrt kö wir aus Abb. 4.4 mit iigr Gauigkit di Gittrkostat rmittl. Mittls (4.) ud d Wrt dr Gittrkostat für di Grzsubstaz aus Tabll.. (a AlP = 0,5464 m ud a IP = 0,5869 m) rhält ma durch Auflös ach x sofort das Mischugsvrhältis 0,86 l 0,9. Ei Ergbis i dr glich Größordug rgibt sich dirkt übr di im Aufgabtxt aggb Forml für E g, ämlich x = 0,96. Hiwis: I dr Forml im Buch fhlt das Mischugsvrhältis x. Richtig muss s hiß E g = (,34 +,3 x) V. Lösug vo Aufgab 4.3 DH-Lasr aus Ga x Al x As a) Aus Abb. 4.5 ls wir ab E G (x = 0,3) =,798 V; ggübr dm E G -Wrt vo GaAs E G (x = 0) =,44 V gibt das di Diffrz 0,37 V. Dis ist um mhr als das 0-fach größr als di thrmisch Ergi, s ist dahr shr uwahrschilich, dass Elktro ud Löchr dis Schwll übrsprig. b) Aus dm lik Til dr Abbildug bkomm wir Abb. L.5 Zur Lösug vo Aufgab 3.5 (Apassug dr Diodklii) L.4 Lösug dr Aufgab zu Kapitl 4 Lösug vo Aufgab 4. Maximum dr Lumiszz i dirkt Halblitr Zur Abkürzug schrib wir hν' = hν E g, das hißt, di Photorgi wird auf d Badrad bzog. Um das Maximum zu fid, diffrzir wir (4.6) ach hν' ud rhalt x 3,39 si θ= = = 0,943, 3,59 0 das tspricht im Wikl vo 70 º. Lösug vo Aufgab 4.4 Lichtstärk ud Strahlstärk Di Strahlstärk häg mit d Lichtstärk übr (4.0) zusamm Iv( λ ) = I( λ) V( λ) Vmax = I( λ) V( λ) 683lm/W. Di zur jwilig Wllläg ghörig Wrt dr spktral Empfidlichkit V(λ) thm wir dm Diagramm i Abb. 4.9: V(635 m) = 0,; V(430 m) = 0,0. Wir rhalt damit

19 L.4 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Iv(635m) 6mcd I(635m) = = = V(635m) Vmax 0, 683cd sr / W mw mw = 0, ud I(430m) =,9. sr sr (Di Agab bzih sich auf d Raumwikl!) Di tatsächlich Itsität pro Raumwikl ist also bi dr rot Strahlug mit 635 m Wllläg grigr, obwohl si dm Aug mit 6 mcd hllr rschit als di blau Strahlug mit 8, mcd. Ei Photo dr Wllläg 635 m hat di Ergi hc 40V / m Eph (635m) = = =,95 V λ 635m 9 Ws 9 =,95,600 = 3,0 Ws. V Di Zahl dr pro Skud ud Raumwikl ausgsadt Photo ist da di Ergi dr ausgsadt Strahlug, gtilt durch di Ergi is Photos, I(635m) 0,mW/sr 4 Nph = = = 3,85 0 Photo/(s sr). E 9 ph (635m) 3, 0 Ws Für di blau LED mit λ = 430 m rgibt sich E ph =,88 V = 4,6 0-9 Ws; daraus rgibt sich i Photofluss vo, pro Skud ud Stradiat. Dis LED strahlt mit höhrr Gsamtrgi, ud di Zahl dr ausgsadt Photo ist größr als bi dr rot LED. Lösug vo Aufgab 4.5 Noch imal Lichtstärk ud Strahlstärk Di Strahlstärk ud di Lichtstärk häg gmäß ((4.0)) übr d spktral Hllmpfidlichkitsgrad mitiadr zusamm: Iv( λ ) = I( λ) V( λ) 683lm/W. Bild wir für zwi Wllläg das Vrhältis, so rhalt wir I (646 m) v(646 m) (590 m) = I V I(590 m) V(646 m) Iv(590 m) Di visull Größ (di Lichtstärk) soll ach Vorausstzug glich si, also fall si hraus. Di spktral Hllmpfidlichkitsgrad thm wir dr Abb. 4.9 ud rhalt da I(646 m) V(590 m) 0,76 = = = 5,8. I(590 m) V(646 m) 0,3 Di Strahlstärk dr rot LED muss also um i Faktor 5,4 größr si, damit si dm Aug glich hll wi di glb rschit. Lösug vo Aufgab 4.6 Absorptio a) Di Litfähigkit ds icht blichtt Halblitrs ist cm σ= µ = NDµ =, 60 0 As 0 cm 33 Vs = 0,05 Ω cm. Ei Stück Silizium vo 0,0 mm Qurschittsfläch ud mm Läg hätt da i Widrstad R = l/(σ A) vo 4,7 kω. Das ist i zimlich hohr Wrt, abr di Prob ist ja auch ur schwach dotirt. b) Di Ergi is izl Photos ist hc 40 V m E = = =,97 V. λ 63,8 m W wir di igstrahlt Ergi Pt = (= Listug mal Zit) durch dis Wrt dividir, rhalt wir di Zahl dr absorbirt Photo: Pt Pt λ mw 0µ s 0 Nph = = = = 3,7 0. E hc 9,97 V,60 0 J/V Dis Photo wrd i im Volum vo cm cm absorbirt ud rzug utr dr Aahm, dass für jds Photo i Elktro rzugt wird, i zusätzlich Elktrosowi Lochdicht vo N 0 ph 3, = p = ph = = = 3,7 0 cm. A cm cm Di rhöht Trägrdicht vrursacht jtzt i Litfähigkitsädrug um d Faktor 0 3 σ 3,7 0 cm 3 = = = = 3,7 0 0,3 %. σ N 3 3 D 0 cm Lösug vo Aufgab 4.7 Photodiod a) Im Lrlauf ist dr Gsamtstrom ull. Aus dr modifizirt Shockly-Glichug (4.50) rhalt wir da: UL opt 0 kbt 0 0 = j + j j. Nach wig Umstllug rgibt sich UL jopt + j0 kbt =, j0 woraus durch Logarithmir sofort di gsucht Glichug (4.5) folgt.

20 L.4 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab b) Di Llaufspaug rgibt sich aus dr Bzihug kbt jopt 0 UL = l + = 5,9 mv l j + 8 0,49 0 = = 5,9 mv l 8,03 0 = 0,53 V. 8 ( ) Di Eis i dr Klammr kö wir dabi vrachlässig. Di Lrlaufspaug immt bi fstghaltr optischr Argug logarithmisch zu, w di Sättigugsstromdicht abimmt. Lösug vo Aufgab 4.8 Solarzll a) Füllfaktor IoptimUoptim 8,9 ma 0,455 V F = = = 0,809. IKUL 0,0 ma 0,53 V Das ist brits i shr gutr Wrt. I üblich Solarzll ligt dr Füllfaktor bi 0,7. b) W jd Zll maximal Listug abgb soll, müss wir di i Aufgab 4. brcht Wrt U optim = 0,455 V ud I optim = 8,9 ma vrwd. U gs V NR = = = 6,4. Uoptim 0,455 V Di Rihschaltug muss also 7 Zll thalt. c) W jd Zll maximal Listug abgb soll, müss wir di i Aufgab 4.7 brcht Wrt U optim = 0,455 V ud I optim = 8,9 ma vrwd. Pgs 00 W N = = = 430,7. N 3 RP 7 8,6 0 W Di Paralllschaltug muss aus 43 Rih bsth; isgsamt ist also i Array vo 43 7 = 637 Zll rfordrlich. Lösug dr MATLAB-Aufgab Lösug vo Aufgab 4.9 Itsität dr Lumiszz i dirkt Halblitr a) Programm miss_dirkt_a.m. Es rgibt sich Abb b) Programm miss_dirkt_b.m. Es ruft di rziprok Frmi-Fuktio rz_frmi.m auf. Im Bild (vgl. Abb. L.6) wird di Liiform mit Boltzma-Nährug zum Vrglich gstrichlt ausggb. Di Brchug dr Liiform i idirkt Halblitr ist vil schwirigr ud führt für us zu wit, da ma all möglich Kombiatio dr Quasiimpuls vo Elktro ud Löchr zu brücksichtig hat ud mhrr Fallutrschidug trff muss. Ldiglich dr Fall shr hohr Tmpratur (zum Bispil Zimmrtmpratur) ud shr tifr Tmpratur (T = 0) lässt sich och iigrmaß hadhab. Abb. L.6 MATLAB-Plot ds Programms miss_dirkt_b.m. (zur Lösug vo Aufgab 4.9 b) Lösug vo Aufgab 4.0 Gwi i dirkt Halblitr Das Programm gai0.m gibt d Gwi für i hrausggriff Elktrokoztratio aus. Etwas allgmir ist das Programm gai.m, s brücksichtigt mhrr Elktrokoztratio. Lösug vo Aufgab 4. Photo- ud Elktrodicht ud Lasrschwll Wir schrib (4.8) i dr Form j = Bph b + τ ud (4.9) als (A.) 0 = B ph + C. (A.) τph Um di Schribarbit zu vrifach, führ wir di Rkombiatiosrat dr Elktro a ud dr Photo b durch a = / τ, b= / τph. i ud kürz witrhi s = j/(b) ab. (A.3)

21 L.4 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab W wir jtzt (A.) ach ph auflös ud i (A.) istz, rhalt wir ach iig Umformug i Glichug für di Elktrodicht : ( ) ab BC ( ab + sb) + sb = 0. (A.4) Aalog ka ma (A.) ach auflös ud i (A.) istz, um i quadratisch Glichug für di Photodicht zu bkomm: Di gsamt Prozdur ist i dm Programm solar_listug_.m zusammgfasst. Variat : Dirkt Miimumsuch. Bi Vrwdug is Mathmatik-Tools ist s mist ifachr, das Miimum dirkt zu such. Hirfür stht i MATLAB di Fuktio fmi zur Vrfügug. Wir butz si i dr Form U0 = fmi('p', 0., UD,[0],jopt,js); Dafür müss wir i Utrprogramm p.m schrib: ph ph 0. bb + ( ab sb) sc = Di Lösug disr quadratisch Glichug lass sich wi folgt schrib: ab + sb ab + sb sb =, ab BC 4 ab BC ab BC (A.5) (A.6) fuctio p = p(u,jph,js) % Ablitug dr Listug bi dr Solar-Strom-Spaugs-Klii kostat; j = jph + js.* (xp(u/kt) - ); % Gsamtstrom p = j.* U; ab sb ab sb sc ph = +. bb 4 bb bb (A.7) Das zughörig MATLAB-Programm ist lasr.m. Si Ergbiss sid i Abb. 4.5 gzigt. Lösug vo Aufgab 4. Spaugsvrlauf a ir Photodiod Programm lrlaufsp.m Lösug vo Aufgab 4.3 Optimirug dr Solarzll mittls MATLAB Dr Btrag ds Produkts aus Strom ud Spaug U B opt 0 ( kt p ju j j ) = = + U soll maximal si, das Produkt slbst wg ds gativ Vorzichs also miimal. Das Miimum disr ichtliar Fuktio als Fuktio dr Spaug U ka ma u ach vrschid Mthod bstimm: Variat : Miimumsuch ach dr Schulmthod. Wir bild di rst Ablitug dr Fuktio ud stz dis glich ull: U U dp dj! kt kt U = j+ U = jopt + j0 + j0 = du du kbt B B ( ) 0. Für dis Fuktio schrib wir das Fuktios-Utrprogramm diffp.m ud brch di Nullstll. Für di Nullstllsuch vrwd wir di MATLAB-Fuktio fzro i dr Form U0 = fzro('diffp', [0. UD],optimst('disp','off'),jopt,js); Das Programm aus Variat ist da zu modifizir, s rsultirt das M-Fil solar_listug_.m. Variat 3: Dirkt Miimumsuch, oh Utrprogramm Will ma auf di Vrwdug is Utrprogramms vrzicht, so ka ma auch das Maximum/Miimum ir Fuktio durch fi Itrvallbildug vo Had bstimm. Dis gschiht i dm Programm solar_listug_3.m. I dism Programm wird di Kurvform graphisch dargstllt. I all dri Fäll rhalt wir di glich Ergbiss, ud zwar di Wrt U optim =0,455V; j optim = 8,9 ma/cm - tsprchd I optim = 8,9 ma; Listug P = 8,6 0-3 VA. L.5 Lösug dr Aufgab zu Kapitl 5 Lösug vo Aufgab 5. Stromvrstärkug aus Substazdat Wir fid di Lösug mit Hilf ds Ausdrucks (5.8), dr für di Stromvrstärkug i Emittrschaltug gilt: µ BNELE NE β = 0, µ ENBw NB d wir ach dm Vrhältis N E /N B umstll. Da di Bwglichkit sich icht um Größordug utrschid ud wir ichts bssrs wiss, stz wir si i grobr Nährug als glich a, so dass wir NE β = = 00 NB 0 rhalt. Di Dotirug ds Emittrgbits muss also um zwi Größordug höhr si als di dr Basis.

22 L.5 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab Lösug vo Aufgab 5. Bwglichkitsvrhältis bi p- ud pp-trasistor I im p-trasistor ist µ B /µ E durch das Vrhältis vo Elktro- zu Lochbwglichkit bstimmt, i im pp-trasistor umgkhrt. Aus Abb.. thm wir h µ B 58 µ B 447 = = 8,98 (p-trasistor) ud = =,8 (pp-trasistor). h µ E 40 µ E 45 Im p-trasistor ist das Vrhältis also größr, trotz glichr Dotirugskoztratio. Lösug vo Aufgab 5.3 Korrktur dr Stromvrstärkug bi hoh Dotirug a) Di Rchug ist shr ifach, si folgt gau dm Bispil 5.: 9 3 µ BNELE 60cm V s 0 cm 5µ m 4 β= = = 6 3 4,85 0. µ ENBw 64,9cm V s 0 cm µ m Es rgibt sich also i richlich hohr Wrt, dr i dr Praxis icht rricht wird. b) Di Vrrigrug vo E G muss i Vrädrug ds Wrts i im Masswirkugsgstz ach sich zih. Wir schrib für di itrisisch Ladugsträgrkoztratio: Eg Eg Eg kbt kbt i = C V = i,0, N N i,0 ist dr Wrt oh Gapschrumpfug, im Silizium also 6,7 0 9 cm -3. Di Korrktur rgibt jtzt mit Eg = 74,3 mv Eg kbt i = i,0 = 6,7 0 cm 4, =,8 0 cm. Di Mioritätsträgrkoztratio brcht sich jtzt ach dm Masswirkugsgstz 0 3 (,8 0 cm ) E i 3 p0 = = = 79,7 cm. N 9 3 E 0 cm Mit i,0 im Masswirkugsgstz hätt wir dagg ur i Mioritätsträgrkoztratio vo 4,50 cm -3 rhalt, also fast das 0-fach klir (gaur: 7,7-fach). Das Masswirkugsgstz i dr vrwdt Form gilt allrdigs, w ma s gau immt, bi hoh Dotirug auch icht mhr i dr vrwdt Form. Für i Abschätzug richt s jdoch allmal. c) Di Forml für di Stromvrstärkug gmäß (5.5) thält igtlich di Mioritätsträgrkoztratio. Zwar vrwdt ma wi häufig auch di Majoritätsträgrkoztratio (zum Bispil i (5.8)), abr das kö wir hir icht tu. Somit schrib wir B B 4 µ B0LE µ B0LE β 4,85 0 β korr = = = = = 740. E E µ Ep0w µ E 7,7 p0,iw 7,7 7,7 Auch für β rgibt sich i Rduktio um d Faktor 7,7: Lösug vo Aufgab 5.4 Emittrwidrstad is Trasistors Wir schrib (3.66) i dr Form Y = = AjE = IE. r kbt kbt ud kö mit k B T/ = 5 mv ud I E = ma sofort das Ergbis rhalt: r = 5 mω. Lösug vo Aufgab 5.5 Kapazität is Trasistors Di Sprrschichtkapazität ist ach (3.5) durch dislb Forml bschribbar, ach dr sich auch di Kapazität is Plattkodsators brch lässt. Wir rhalt dshalb, w wir di Brit dr Raumladugszo mit b = 0, µm ud di Fläch mita = 00 µm astz: εε0 Cs = A= 0,0 pf. b Für di Diffusioskapazität gh wir vo (3.63) aus, CD = τ h jha= τhi. kt B kt B Lösug vo Aufgab 5.6 Vrstärkug is Trasistors (5.8) lautt B DB0LE µ BNEL β= = E. E DEp0w µ ENBw E Di Diffusiosläg rmittl wir aus L E = D E τ E mit D E = µ h ( kb T ). Bi ir Koztratio vo 0 8 Doatoratom pro cm 3 im Emittrgbit rgibt sich dr Diffusioskoffizit zu E kbt cm cm DE =µ h = 40,07 0,0585V = 3,6. Vs s Daraus rsultir folgd Diffusiosläg: cm 8 4 LE = DEτ E = 3,6 0 s =,909 0 cm =,9µ m für τ= 0 µ s bi Til a), s cm 6 3 LE = DEτ E = 3,6 0 s =,909 0 cm = 9µ m für τ= s bi Til b). s a) Bi ir Lbsdaur vo τ = µs rgibt sich da

23 L.5 Lösug dr Aufgab zu Kapitl Physik dr Halblitrbaulmt Ahag : Lösug dr Übugsaufgab cm cm,9 µ m µ BNEL β= E = Vs = 853,6. µ ENBw cm cm µ m Vs b) W jdoch di Lbsdaur 0 s bträgt, wird di Diffusiosläg mit 9 µm brits größr als di Emittrbrit, somit darf i dr obig Forml statt L E jtzt ur och di Brit ds Emittrgbits w E sth, ud wir rhalt cm cm 3µ m µ BNEw β= E = Vs = 350. µ ENBw cm cm µ m Vs Di Erhöhug dr Lbsdaur schlägt sich also wg dr zu grig Emittrbrit icht mhr vollkomm i ir Vrbssrug vo β idr. Lösug vo Aufgab 5.7 Ebrs-Moll-Glichug Da s sich hir um d Fall hadlt, bi dm dr lik p-übrgag i Durchlass-, dr rcht i Sprrrichtug vorgspat ist (sogat aktiv Btribsart), ka ma all Trm wglass, di xp(u CB /k B T) thalt. Auch b dm Expotialausdruck, dr U EB thält, ka wgfall (Fall () i 5.3.4). Damit rhalt wir U EB E DB B DE E kt D B B B j = 0 coth a+ p0 0, LB L E LBsih a U EB C DB B kt D B B B DC C j = coth a+ p0. LBsih a LB LC Di Kollktor-Basis-Spaug wird also übrhaupt icht bötigt. Witrhi sh wir, dass jwils dr Trm oh di Expotialfuktio ki Chac gg d vil größr mit dm -Faktor hat ud dshalb bfalls wgglass wrd ka. Eistz dr Zahlwrt lifrt somit E 5,8 cm s 3 3,6 cm s 3 j =,7 0 cm coth 0,0+ 4,53 0 cm cm 40 cm 0,6 V 0,059 V = 3,75 0 cm s + 4,03 0 cm s,03 0 = 6,889 0 A/cm ; { } dm tspricht bi ir Fläch vo 0-3 cm i Emittrstrom vo 6, A das gativ Vorzich kommt durch di gwählt Stromrichtug zustad, d dr Strom flißt bi im i Durchlassrichtug gpolt p-trasistor aus dm Emittr hraus. Aalog rhalt wir für d Kollktorstrom mit dr Stromdicht 0,6 V C 5,8 cm s 3 0,059 V j =,7 0 cm 3 50 cmsih0,0 = 6,879 0 A/cm. d Wrt 6, A. Durch Divisio bkomm wir i Stromvrstärkugsfaktor α = 0,9985; dis Wrt hätt ma atürlich auch dirkt aus (5.37) odr (5.40) rmittl kö. Lösug vo Aufgab 5.8 Basisbrit aus gfordrtr Stromvrstärkug Di ifachst Mthod zur Brchug dr Basisbrit rgibt sich durch Vrwdug dr Forml (5.8): E Da wir jdoch aus dr Diskussio im Abschitt wiss, dass Gl. (5.39) odr zumidst di Nährugsbzihug (5.4) bssr gigt sid, vrsuch wir, damit i twas gaur Lösug zu rhalt. (5.4) rgibt i quadratisch Glichug für a = w/l B : mit dr Lösug B µ BNELE 350 cm V s 5 0 cm 40 µ m w = = = 0, 478 µ m. µ N β 367 cm V s 0 cm 400 a + reba = 0 β 3 a = reb + reb + = 0, 6 + 0, 6 + = 9,39 0, β 400 ud damit w = al B = 0, µm. Di xakt Lösug utr Vrwdug dr Hyprblfuktio wär dagg ur umrisch möglich. Wir köt (5.39) umform ud di Nullstll dr Fuktio f( x) = (cosha+ r siha ) β EB mittls MATLAB als Ili-Fuktio such:» f=ili('(cosh(a) *sih(a) - ) * ') f = Ili fuctio: f(a) = (cosh(a) *sih(a) - ) * 400 -» a = fzro(f, 0.) Zro foud i th itrval: [-0.056, 0.380]. a = Damit rgibt sich das glich Ergbis wi ob aus dr quadratisch Glichug.