Zug und Druck in Stäben

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1 Zug und Druck in Stäben In diesem Kapite werden zunächst die physikaischen Größen Spannung und Dehnung für den Stab unter Zug- und Druckbeastung (kurz: Zug/Druck-Stab) definiert und anschießend durch das Hookesche Gesetz für inear-eastisches Materiaverhaten verknüpft. Bei den praktischen Berechnungen unterscheiden wir: homogene und in Stabachse inhomogene Spannungs- und Dehnungszustände (wofür die Begriffe homogener und inhomogener Zug/Druck-Stab eingeführt werden), statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme sowie Einzestäbe und Stabsysteme..1 Der homogene Zug/Druck-Stab.1.1 Norma- und Schubspannungen bb..1 zeigt einen geraden Stab mit der Koordinate x in Längsrichtung. Wegen der konstanten Querschnittsfäche (x) = = const handet es sich um einen prismatischen Stab. Die Verbindungsinie der Schwerpunkte S der Querschnittsfächen iefert die Stabachse (oder: Längsachse), siehe z.b. [17]. Der Stab wird an den Enden durch zwei auf der Stabachse iegende, entgegengesetzt gerichtete, betragsmäßig geich große Kräfte beastet. In dem a) b) Schnitt Stabachse y x z x y y P c) d) e) y x y N y x y z z f) N z z P P S z z = dv bb..1. Prismatischer Stab unter reinem Zug: a) Darsteung im Raum, b) Querschnitt mit Schwerpunkt S und beiebigem Punkt P = P (x, y, z), c) reikörperbid mit Normakraft N und d) mit Verauf der Normaspannung σ, e) Voumendifferentia dv mit okaen Normaspannungen, f) vereinfachte Darsteung der Spannungen R. Mahnken, Lehrbuch der Technischen Mechanik Eastostatik, DOI / _, Springer-Verag Berin Heideberg 015

2 10 Zug und Druck in Stäben reikörperbid berechnen wir an der Stee x die konstante Normakraft N(x) =N =. Ist N positiv, iegt reiner Zug, andernfas reiner Druck vor. Zusätzich ordnen wir einem ächeninkrement Δ ein Kraftinkrement ΔN N zu. Mit diesen Größen formuieren wir fogende: Definitionen zur Spannung 1. gemeine Definition: Spannung = Kraft äche. Mittere (technische) Normaspannung: σ = N ΔN 3. Lokae Normaspannung: σ(x, y, z) = im Δ 0 Δ = dn d. (.1) uf der Grundage der agemeinen Definition (.1.1) iefert Definition (.1.) eine mittere Normaspannung. Da diese jedoch keine ussage über die Verteiung auf der äche macht, wird in G.(.1.3) mit dem Grenzübergang Δ 0 die okae Normaspannung σ(x, y, z) an einem Punkt P (x, y, z) eingeführt. Wir formuieren fogende: nnahme zur Normaspannung beim homogenen Zug/Druck-Stab Die Normaspannung σ(x, y, z) ist geichförmig über die äche (x) verteit. (.) Damit fogt wie in bb..1 dargestet für die okae Spannung σ(x, y, z) = σ = const auf der äche (x). Da der Stab zudem prismatisch ist, erfahren ae Punkte des Körpers wegen = N(x)=const die geiche Spannung σ, was einen homogenen Spannungszustand darstet. Bemerkungen.1 1. Der Begriff der Spannung wurde erstmaig von ugustin-louis Cauchy ( ) im Jahre 181 eingeführt.. Definition (.1.1) ist agemeingütig, so dass wir darauf auch in nachfogenden Kapiten zurückgreifen werden. Die Definitionen (.1.) und (.1.3) kommen nur für den Sonderfa in bb..1 mit einem zur Stabachse senkrechten Schnitt zur nwendung. 3. us den Definitionen (.1) erkennt man die Dimension Kraft/äche für die Spannung. Daraus fogt im SI-System die Einheit 1 [ σ] = 1 N/m = 1 Pa, benannt nach Baise Pasca ( ). In der Mechanik wird häufig die Einheit 1 N/mm = 1 MPa verwendet. 4. ür Zahenwerte σ >0 spricht man von einer Zugspannung und für σ <0 von einer Druckspannung. 5. Da in dem Beispie in bb..1 die Normakraft N geich der äußeren Kraft ist, und da die äche bei einem prismatischen Stab konstant ist, fogt aus G.(.1.) σ =. (.3) 6. Die Definitionen (.1.-3) kommen ohne Verwendung von Verformungen aus, die im nachfogenden bschnitt.1. untersucht werden. 7. In der Reaität kommt es unter einer Zugbeastung wie in bb.. dargestet zur Einschnürung des Stabes, so dass die usgangsfäche in die aktuee äche akt übergeht. Neben der technischen Spannung nach Definition (.1.) unterscheidet man

3 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab 11 die wahre Spannung: σ w = N akt. (.4) ür keine Längenänderungen Δ ist die Einschnürung gering. Damit git akt und weiter σ w σ. bb... Einschnürung eines Stabes akt Das Voumendifferentia Um die Darsteung der okaen Spannung an einem Punkt P (x, y, z) zu ereichtern, denkt man sich wie in bb..1.e dargestet an dieser Stee ein Voumendifferentia dv (x, y, z). Es erfährt im Sonderfa des homogenen Spannungszustandes die Spannung σ(x, y, z) = σ = /, die in bb..1.f vereinfacht mit einem Pfei je Schnittfäche dargestet wird. Störungen von Normaspannungen und das Prinzip von de Saint-Venant Der Unterschied zwischen der mitteren und der okaen Normaspannung in den Definitionen (.1) ist immer dann wesentich, wenn es zu Störungen des Spannungsveraufs kommt, so dass nnahme (.) über die konstante Verteiung der Normakraft grob veretzt ist. Mögiche Ursachen dafür sind wie in bb..3 dargestet (gewote) Änderungen der Geometrie, wobei wir kontinuieriche (z.b. konstruktive Kerben und Nuten) sowie diskontinuieriche (aso sprunghafte) Querschnittsänderungen unterscheiden. Zusätzich treten an Krafteineitungssteen Störungen der Spannungsveräufe auf. Weitere Ursachen für Störungen sind (ungewote) geometrische Querschnittsänderungen infoge von Hersteungsfehern oder Änderungen des Materias (z.b. Einschüsse oder Lunker). Die Berechnung okaer Spannungen erfordert die Lösung von Differentiageichungen der zwei- oder dreidimensionaen Eastizitätstheorie aus Kapite 5, was jedoch nicht eementar ist. ür den Stab in bb..3 sind die wesentiche Ergebnisse wie fogt: Die maximae Spannung σ max ist im gemeinen beträchtich größer as die mittere Spannung σ nach G.(.1.). Jedoch kingen die Störungen in einer Entfernung von der Größe der Querschnittsabmessung h ab. Dieser Effekt, der auch durch Experimente beegt ist, wird as Prinzip von de Saint-Venant bezeichnet, nach dhémar Jean Caude Barré de Saint-Venant ( ). Bezeichnen wir in bb..3 nach bzug der reifäche die Restfäche mit n, so können wir anaog zu G.(.1.) auch in Kerbbereichen as reine Rechengröße eine mittere Spannung (oder: Nennspannung) einführen, und es git: = Restfächen n n max h Krafteineitung h homogener Bereich 1 kontinuieriche und diskontinuieriche Querschnittsänderungen homogener Bereich bb..3. Stab mit Störsteen der Normaspannungsveräufe und das Prinzip von de Saint-Venant Krafteineitung

4 1 Zug und Druck in Stäben 1. σ n = n =. α K = σ max σ n > 1. (.5) Der Wert α K wird ormzah (oder: Kerbspannungsfaktor K t ) genannt und kennzeichnet die formbedingte Spannungserhöhung im eastischen Bereich, siehe z.b. [13]. Wir fassen einige wesentiche Ergebnisse zusammen: Regen zu inneren Kräften des Zug/Druck-Stabes 1. Die Normakraft N ist eine Einzekraft (Punktkraft). Sie ist im gemeinen kein geeignetes Maß für einen estigkeitsnachweis.. Die mittere Normaspannung σ ist eine ächenkraft. Bei uftreten von Störsteen (z.b. in Kerbgebieten) ist sie im gemeinen edigich eine Rechengröße und daher kein geeignetes Maß für einen estigkeitsnachweis. 3. Bei einem homogenen Spannungszustand (z.b. unter reinem Zug/Druck) erfahren ae Punkte P (x, y, z) eines Stabes die geiche okae Spannung σ(x, y, z) = σ = const. Nur für diesen Sonderfa ist die mittere Normaspannung σ nach G.(.1.) ein geeignetes Maß für einen estigkeitsnachweis. 4. Ursachen für einen inhomogenen Spannungszustand σ(x, y, z) const sind z.b. geometrische kontinuieriche (Kerben) und diskontinuieriche Querschnittsänderungen, Krafteineitungsbereiche sowie Materiaänderungen. 5. Die okae Normaspannung σ(x, y, z) ist ein Maß für die Beanspruchung in der Umgebung eines Punktes P (x, y, z). 6. In Kerbgebieten berechnet man die maximae okae Spannung (Kerbspannung) gemäß σ max = α K σ n. Dazu erhät man die Nennspannung σ n nach G.(.5.1) und die ormzah α K aus Tabeenwerken, siehe z.b. [13]. (.6) Spannungen in Schrägschnitten Im Unterschied zu dem zur Stabachse senkrecht geführten Schnitt in bb..1 betrachten wir in bb..4 eine durch den Winke ϕ festgeegte Schnittrichtung. Vereinfachend ist nur das inke Stabende dargestet. Eine Zeregung der Schnittkraft N in einen Norma- und einen Tangentiaantei und die Berechnung der um den Winke ϕ gedrehten äche iefern: 1. N n = N cos ϕ,. N t = N sin ϕ, 3. ϕ = cos ϕ. (.7) Gemäß Definition (.1.1) biden wir für beide Kräfte N n und N t den Quotienten mit der neuen äche ϕ und erhaten unter Verwendung der mitteren Spannung σ = N/: Normaspannung: σ ϕ = N n N cos ϕ cos ϕ = ϕ Schubspannung: = N cos ϕ = 1 σ (1 + cos ϕ) τ ϕ = N t N sin ϕ cos ϕ = = 1 N ϕ sin ϕ = 1 σ sin ϕ. (.8) Hierbei sind zusätzich die trigonometrischen Beziehungen (D.1.) und (D.1.3) aus dem nhang berücksichtigt. Damit geten fogende:

5 a) b) N n Nt = N.1 Der homogene Zug/Druck-Stab 13 bb..4. Prismatischer Stab mit Schrägschnitt: reikörperbid mit a) Schnittkräften, b) Spannungen Regen zu Spannungen in Schrägschnitten 1. Es werden zwei Spannungsarten unterschieden: Norma- und Schubspannung.. Deren Zahenwerte hängen im gemeinen von der Schnittrichtung ϕ ab. (.9) Die Normaspannung hat für ϕ =0den Maximawert σ max = σ ϕ (ϕ =0)= σ, die Schubspannung hat für ϕ = π/4 den Maximawert τ max = τ ϕ (ϕ = π/4) = σ/. Beispie.1 Maximae Beastung eines Hozstabes n einem Hozstab mit der Querschnittsfäche hängt wie dargestet ein Steinbock. Berechnen Sie dessen maximae Gewichtskraft G max, damit die zuässige Spannung σ zu nicht überschritten wird. Das Eigengewicht des Hozstabes wird vernachässigt. Bekannt: σ zu = 5 MPa, =50mm. Vorüberegungen: Mit der Gewichtskraft G as äußerer Beastung wird die maximae Gewichtskraft durch Umsteung von G.(.3) unter Berücksichtigung der zuässigen Spannung berechnet. Lösung: Mit den gegebenen Zahenwerten fogt aus G.(.3): bb..5. Zugversuch nach Gaiei σ zu = G max = G max = σ zu =5 50 N mm mm = 150 N =1, 5 kn. Bemerkung: Im Jahre 1636 hat Gaieo Gaiei erkannt, dass die Widerstandskraft gegen Versagen eines Stabes unter Zug proportiona zu seiner Querschnittsfäche jedoch unabhängig von seiner Länge ist. Damit hat Gaiei wesentiche Grundagen der heutigen estigkeitsberechnung von Stäben geschaffen, siehe [30]..1. Dehnungen us der Erfahrung ist bekannt, dass die nnahme eines starren Körpers, wie z.b. in [17] vorausgesetzt, eine Vereinfachung darstet, die für reae estkörper nicht zutrifft. Im ogenden befassen wir uns daher mit Verformungen von estkörpern, ohne dabei deren Ursachen, z.b. Kräfte oder Temperaturänderungen, zu berücksichtigen. Wir betrachten in bb..6.a einen geraden, prismatischen Stab mit der usgangsänge, bei dem das inke Stabende festgehaten wird. Infoge der Kraft am rechten Stabende kommt es zu einer Längenänderung Δ, so dass die aktuee Länge des Stabes +Δ beträgt. Mit diesen Größen formuieren wir die

6 14 Zug und Druck in Stäben a) b) x x x x S bb..6. Längenänderungen von prismatischen Stäben a) der Stabänge, b) der Stabänge / Definitionen zur (technischen) Dehnung 1. gemeine Definition: Dehnung =. Mittere technische Dehnung: ε = Zusätzich verwenden wir fogende: aktuee Länge - usgangsänge usgangsänge ( + Δ) = Δ. (.10) nnahmen zur Kinematik beim homogenen Zug/Druck-Stab 1. Die Längenänderung Δ ist proportiona zur Stabänge. (.11). e Punkte auf der äche (x = ) erfahren die geiche Längenänderung Δ. ür einen zweiten Stab der usgangsänge / in bb..6.b ist bei geicher Beastung die Längenänderung damit Δ/, so dass nach Definition (.10.) git ( ) ε = Δ/ / = Δ = ε. (.1) Ebenso erfährt ein Stabeement der Länge x bei geicher Beastung die Längenänderung Δ x/ und nach Definition (.10.) die Dehnung ε(x) = Δ x x = Δ = ε. (.13) Bei geicher Dehnung ε für beiebig freigeschnittene Stabeemente sprechen wir von einem homogenen Dehnungszustand. Bemerkungen. 1. Definition (.10.1) ist agemeingütig, so dass wir darauf auch in nachfogenden Kapiten zurückgreifen werden. ür Definition (.10.) setzen wir reinen Zug/Druck, prismatischer Stab und homogenes Materia voraus, siehe den nachfogenden bschnitt Mit den Einheiten mm für die Länge fogt aus den Definitionen (.10) für die Einheit einer Dehnung 1 [ε] = 1 mm/mm = 1, d.h. die Dehnung ist dimensionsos. Mutipiziert mit 100 ist die Dehnung ein Prozentwert.

7 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab Wir bezeichnen G.(.10.) as kinematische Beziehung, da sie die Geometrie des Stabes nach einer Deformation beschreibt. 4. Die Dehnung wird für ε >0positiv. ür ε <0ist sie negativ; man spricht dann auch von einer Stauchung. 5. Definition (.10.1) kommt ohne Verwendung von Kräften oder Spannungen aus, die im vorherigen bschnitt.1.1 untersucht wurden, vg. auch Bemerkung Neben der technischen Dehnung nach Definition (.10) unterscheidet man ( ) + Δ die wahre Dehnung: ε w =n =n(1+ ε) (.14) (oder: Umformgrad). ür eine Tayorreihe mit bbruch nach dem ersten Term (n x x 1, siehe z.b. [4]) fogt für die wahre Dehnung ε w 1+ ε 1= ε, (.15) d.h. für keine Längenänderungen Δ iefern die beiden Definitionen (.10.) und (.14) nahezu geiche Ergebnisse. 7. nnahme (.11.) ist wie nnahme (.) in der Reaität meist nicht ausreichend erfüt. Wie in bb..3 haben auch die Dehnungen Störsteen, z.b. an Kerben oder Krafteineitungssteen, die jedoch wie die Spannungen in ausreichender Entfernung abkingen..1.3 Materiaverhaten im Experiment Die beiden Definitionen (.1) für die Spannung - as Maß für die innere Beastung - und (.10) für die Dehnung - as Maß für die innere Verformung - sind werkstoffunabhängig. Die Erfahrung zeigt darüber hinaus, dass ein,,weiches Materia, z.b. Gummi, bei geicher äußerer Beastung und geicher Geometrie eine größere Verformung as ein,,hartes Materia, z.b. Stah, erfährt. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung wird systematisch in der Materiaprüfung ermittet. Dazu wird häufig der Zugversuch verwendet. a) Zugversuch b) Metaproben c) Kunststoffproben c Bundesanstat für Materiaprüfung (BM), B 5., Berin c Lehrstuh für Technische Mechanik Universität Paderborn c Lehrstuh für Kunststofftechnik Universität Paderborn bb..7. Materiaprüfung: a) Materiaprobe in der Zugprüfmaschine; Materiaproben vor, während und nach dem Versuch b) aus Meta und c) aus Kunststoff

8 16 Zug und Druck in Stäben bb..7.a zeigt eine Materiaprobe in einer Zugprüfmaschine. bb..7.b und bb..7.c zeigen Materiaproben aus Meta und aus Kunststoff vor und nach dem jeweiigen Versuch. In beiden Experimenten ist mit wachsender Beastung eine Einschnürung der Probe zu erkennen: Während dieser Effekt beim Metastab in einer Region verbeibt, breitet er sich im Gegensatz dazu beim Kunststoffstab über die ganze Stabänge aus. Der Zugversuch iefert einen experimenteen Zusammenhang zwischen der Beastung und der Längenänderung Δ des Probestabes. Mit Kenntnis der usgangsfäche und der usgangsänge wird mit den Geichungen (.1.) und (.10.) die gemessene Kraft- Längenänderungskurve in eine Spannungs-Dehnungskurve umgerechnet. Dabei wird ein homogener Spannungs- und Dehnungszustand angenommen, was insbesondere bei der Einschnürung eine starke Vereinfachung ist. In den Spannungs-Dehnungsdiagrammen wird in der Praxis auf die Querstriche bei der Spannung σ und der Dehnung ε verzichtet. Die Diagramme in bb..8 zeigen deutiche Unterschiede im Materiaverhaten verschiedener Werkstoffe. Beim unegierten Stah (z.b. weicher Baustah S35JR (1.0037) nach DIN EN 10005) in bb..8.a werden fogende Spannungen unterschieden: R P ist die Proportionaitätsgrenze. Unterhab von R P git: 1. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung ist inear.. Bei Entastung nimmt der Stab seine ursprüngiche Länge wieder an. Damit ist das Materiaverhaten inear-eastisch. R E ist die Eastizitätsgrenze. Unterhab von R E git: 1. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung ist im gemeinen nichtinear.. Bei Entastung nimmt der Stab seine ursprüngiche Länge wieder an. Das Materiaverhaten ist nichtinear-eastisch. R e ist die ießgrenze (oder: Streckgrenze). Ohne Vergrößerung der Beastung nimmt die Dehnung zu; man sagt: Der Werkstoff beginnt zu fießen. Man unterscheidet die obere Streckgrenze R eh von der unteren Streckgrenze R el. Mit weiterer Lastzunahme steigt die Spannung bis zu dem Maximawert R m ; man sagt: Der Werkstoff verfestigt sich. R m ist die Zugfestigkeit. Danach erfährt der Stab eine okae Einschnürung bis zum Bruch. a) b) c) wahre Spannung w R m R eh RE R el RP Bruch R P,0 Bruch R eh RE RR el P Bruch eastisch pastisch p Entastung okae Einschnürung 0, % beibende Dehnung e p e p e bb..8. Spannungs-Dehnungsdiagramme: a) unegierter Stah, b) hochegierter Stah, c) Kunststoff Bemerkungen.3 1. bb..8.a zeigt, dass das Spannungs-Dehnungsdiagramm für Metae in drei Bereiche eingeteit werden kann: eastisch, pastisch und okae Einschnürung.. Der scheinbare Spannungsabfa zwischen der Maximaspannung R m und der Bruchspannung fogt aus der Tatsache, dass trotz der Einschnürung die Stabkraft auf den

9 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab 17 usgangsquerschnitt bezogen wird. Verwendet man as Bezugsfäche stattdessen die verjüngte Querschnittsfäche akt in der Einschnürzone, erhät man nach G.(.4) die gestrichete Linie in bb..8.a für die wahre Spannung σ w, vg. Bemerkung.1.7. Charakteristisch für σ w ist der Zuwachs vor dem Bruch. 3. Beim hochfesten Stah in bb..8.b feht die ausgeprägte ießgrenze. s Ersatzgröße führt man per Definition die 0, % Dehngrenze ein, die eine 0, % beibende pastische Verformung nach Entastung angibt. Die zugehörige Spannung ist R P,0. 4. Der Kunststoff in bb..8.c zeigt ähnich dem unegierten Stah ausgeprägte Spannungen R P, R E, R el, R eh. Unterschiedich ist dagegen das Verhaten nach Erreichen der Streckgrenze: Eine Verfestigung findet zunächst nicht statt. Diese stet sich erst ein, wenn die Einschnürung beide Enden in der verjüngten Zone erreicht hat. 5. Häufig iegen die Spannungen R P, R E, R el und R eh so dicht beieinander, dass sie in der Praxis geich der ießgrenze R e gesetzt werden. 6. Werden die verschiedenartigen Werkstoffe in bb..8 oberhab von R e bzw. R P,0 entastet, verbeibt eine pastische Dehnung ε p. Man bezeichnet ein derartiges Materiaverhaten as eastisch-pastisch. Die gesamte Dehnung ε kann additiv in einen pastischen ntei ε p und einen eastischen ntei ε e zeregt werden..1.4 Stoffgesetze Der mathematische Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen wird in Stoffgesetzen (oder: Materiageichungen) angegeben. Grundage dazu sind Ideaisierungen des reaen experimenteen Materiaverhatens, von denen einige Beispiee in bb..9 dargestet sind. ür den Sonderfa inear-eastischen Materiaverhatens in bb..9.a git Das Hookesche Gesetz σ = Eε e. (.16) Bemerkungen.4 1. Das nach Sir Robert Hooke ( ) benannte Hookesche Gesetz ist eines der undamentagesetze der estkörpermechanik. Er entdeckte es im Jahr 1678 as inearen Zusammenhang zur Beschreibung des eastischen Verhatens von edern (ut tensio, sic E 1 Entastung Hookesche Gerade R e E 1 e e e e R e R e p p p E 1 a) inear-eastisch b) nichtineareastisch c) inear-eastisch, inear-verfestigend d) starr-pastisch e) inear-eastisch, idea-pastisch bb..9. Ideaisierungen zum eastischen und pastischen Materiaverhaten

10 18 Zug und Druck in Stäben vis = wie die Kraft, so die Streckung). Die Beziehung zwischen Spannung und Dehnung in G.(.16) wurde erst 18 von ugustin Louis Cauchy ( ) eingeführt.. In dem Gesetz (.16) ist der Proportionaitätsfaktor E der Eastizitätsmodu. Er repräsentiert die Hookesche Gerade in bb..9.a und eraubt fogende Interpretation: Die (fiktive) Spannung σ = E korrespondiert zur (fiktiven) Dehnung ε e =1. 3. Der Eastizitätsmodu E ist ein Materiaparameter, der experimente, z.b. in einem Zugversuch, ermittet wird. ür die meisten Materiaien ist E unter Zug und Druck nahezu geich, was für die Streckgrenze R e häufig nicht git. In Tabee.1 sind Zahenwerte von E für einige Materiaien bei Raumtemperatur zusammengestet. 4. Bei Überschreiten der Streckgrenze R e, wie in den bbidungen.9.c-e. ist das Hookesche Gesetz (.16) zu erweitern, was Thema der Pastomechanik ist, siehe z.b. [15]. 5. Da die Dehnung ε e dimensionsos ist, hat der Eastizitätsmodu nach G.(.16) wie die Spannung die Dimension Kraft/äche. 6. Zur Beschreibung nichtinear-eastischen Verhatens in bb..9.b haben Ramberg und Osgood im Jahr 1943 die Beziehung ε e = σ E + K ( σ E ) n (.17) eingeführt. Hierbei sind K und n zwei weitere Materiaparameter, die durch npassung an Versuchsdaten bestimmt werden müssen, siehe z.b. [16]. Thermische Dehnung Wir betrachten in bb..10 einen Stab in statisch bestimmter Lagerung. uf Grund einer Temperaturerhöhung kommt es zu einer Längenänderung Δ T und damit zu einer thermischen Dehnung (oder: Wärmedehnung, Temperaturdehnung) ε T. Experimente zeigen, dass bei geichförmiger Erwärmung ε T proportiona zur Temperaturänderung ΔT ist. Damit git x x bb..10. Temperaturverformung T Das Temperaturdehnungs-Gesetz ε T = α T ΔT. (.18) Der Proportionaitätsfaktor α T heißt thermischer (Längen-)usdehnungskoeffizient (oder: Wärmeausdehnungskoeffizient). Er ist wie der Eastizitätsmodu ein Materiaparameter und hat die Einheit 1/K (nach Wiiam Thomson, 1. Baron Kevin OM, ). In einem begrenzten Bereich kann α T as temperaturunabhängig angesehen werden. Zahenwerte von α T sind für einige Materiaien in Tabee.1 zusammengestet. Bei geichzeitigem uftreten von eastischer und thermischer Dehnung treffen wir auf der Grundage des Botzmannschen Superpositionsprinzips, siehe nhang, die nnahme zur Kinematik ε = Δ = ε e + ε T. (.19) Hierbei ist ε die (gesamte) technische Dehnung nach G.(.10.), ε e wird nach dem Hookeschen Gesetz (.16) und ε T nach dem Temperaturdehnungs-Gesetz (.18) bestimmt.

11 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab 19 Werkstoff E in 10 3 MPa ρ in kg/m 3 α T in 10 6 /K Re in MPa Rm in MPa Baustah (S35JR) Beton (C5/30) 30, (D),, 6 (Z) uminium Eiche faserparae Eiche radia 1, Kohenfaser , 1 (ängs) 3500 Epoxidharz (EP) Tabee.1. Materiaparameter einiger Werkstoffe, (D) und (Z) bei Beton kennzeichnen Druck und Zug..1.5 Ingenieuraufgaben zur Gebrauchsfähigkeit Zur Reaisierung einer Konstruktion muss der Ingenieur im Hinbick auf eine geforderte Gebrauchsfähigkeit verschiedene Kriterien erfüen. Zwei Beispiee sind: 1. Das estigkeits- (oder: Spannungs-)kriterium: Die betragsmäßig größte Spannung σ max einer Konstruktion darf eine zuässige Spannung σ zu nicht überschreiten.. Das Verformungskriterium: Die betragsmäßig größte Verformung f max einer Konstruktion darf eine zuässige Verformung f zu nicht überschreiten. Ein weiteres Kriterium betrifft die Stabiität der Konstruktion, worauf wir jedoch erst in Kapite 9 eingehen werden. uf der Grundage der gewähen Kriterien werden in Tabee. fünf in der Praxis häufig auftretende Ingenieuraufgaben unterschieden. ünf Ingenieuraufgaben zur Gebrauchsfähigkeit einer Konstruktion 1. Gebrauchsfähigkeitsnachweis: Geg.: Materia, bmessungen, Lastgruppe = { 1,,...}, Sicherheit. Ges.: Nachweis der Gebrauchsfähigkeit.. Dimensionierung (Bemessung): Geg.: Materia, Längenabmessungen, Lastgruppe, Sicherheit. Ges.: Querschnittswerte. 3. Bauteisicherheit: Geg.: Materia, bmessungen, Lastgruppe. Ges.: Vorhandene Bauteisicherheit. 4. Maximae Gebrauchsast: Geg.: Materia, bmessungen, Lastgruppe und Sicherheit. Ges.: Lastfaktor λ max, so dass die Konstruktion für λ max gebrauchsfähig ist. 5. Materiaauswah: Geg.: bmessungen, Lastgruppe, Sicherheit. Ges.: Materia für Gebrauchsfähigkeit der Konstruktion. Tabee.. Ingenieuraufgaben zur Gebrauchsfähigkeit einer Konstruktion Bemerkungen.5 1. s Beispie für einen Gebrauchsfähigkeitsnachweis müssen für gegebene Sicherheiten S σ und S f ein Spannungsnachweis und ein Verformungsnachweis erfüt sein: 1. σ max σ zu,. σ zu = σ krit S σ, 3. f max f zu, 4. f zu = f krit S f. (.0)

12 0 Zug und Druck in Stäben Dabei ist σ krit die kritische Spannung, z.b. die (experimente ermittete) ießgrenze R e oder die Bruchspannung R m. f krit ist die (z.b. vom Bautei abhängige) kritische Verformung. Die Sicherheitsfaktoren S σ,s f > 1 berücksichtigen Unsicherheiten und Streuungen bei den Materiaien, den Lastannahmen und den bmessungen, siehe z.b. [14].. Bei der Dimensionierung (oder: Bemessung) werden zunächst zwei Querschnittswerte getrennt, aus den Bedingungen für die Einhatung der zuässigen Spannung und der zuässigen Verformung, bestimmt. Der erforderiche Querschnittswert ist der größere der beiden Werte (siehe as Beispie die Geichungen (.9) im nachfogenden bschnitt). 3. Zur estegung der Bauteisicherheit ermitten wir zunächst getrennt, für die Spannung und die Verformung, das Verhätnis des kritischen zum betragsmäßig größten Wert. Der keinere der beiden Verhätniswerte definiert die vorhandene Bauteisicherheit: 1. S σ = σ krit σ max,. S f = f krit f max = 3. S B =min{s σ,s f }. (.1) 4. Zur Berechnung des Lastfaktors für die maximae Gebrauchsast berechnen wir zunächst getrennt, für die Spannung und die Verformung, das Verhätnis des zuässigen Wertes zum betragsmäßig größten Wert. Der keinere der beiden Verhätniswerte ist maßgebend: 1. λ σ = σ zu σ max,. λ f = f zu f max = 3. λ max =min{λ σ,λ f }. (.) Dabei git für eine Lastgruppe nur im inearen a das fogende Superpositionsprinzip: = { 1,,...} = σ(λ )=λσ( ), f(λ )=λf( ). (.3) 6. Bei der uswah des Materias müssen z.b. fogende Kriterien erfüt werden: 1. σ krit > σ max S σ,. f krit > f max S f. (.4).1.6 Der homogene Zug/Druck-Stab: Voraussetzungen und nnahmen Bevor wir uns der praktischen Berechnung des sogenannten homogenen Zug/Druck-Stabes zuwenden, fassen wir die bisher eingeführten Voraussetzungen und nnahmen zusammen: Voraussetzungen zum homogenen Zug/Druck-Stab 1. Prismatischer Stab: Die Querschnittsfäche ist entang der Stabachse konstant.. Homogenes Materia: Die Materiaparameter E und α T sind im gesamten Stab konstant. 3. Geichförmige Erwärmung: ΔT ist im gesamten Stab konstant. 4. Reiner Zug/Druck: s äußere Beastung treten nur Stabendkräfte auf. (.5) Die nnahmen (.11) und (.19) werden zur Kinematik und nnahme (.) zur Verteiung der Normaspannungen über die äche vorausgesetzt. Bei der praktischen Berechnung von homogenen Zug/Druck-Stäben müssen fogende spekte berücksichtigt werden: 1. Es werden statisch bestimmte und statisch unbestimmte Systeme unterschieden.. Mehrere Einzestäbe sind zu einem Stabsystem, z.b. einem achwerk, verbunden. 3. Mehrere Einzestäbe sind durch starre Körper, z.b. mit Biegemomenten beanspruchte starre Baken, verbunden.

13 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab Praktische Berechnung von statisch bestimmten, homogenen Zug/Druck-Stäben Der Einzestab: bb..11 zeigt einen Stab, der am inken Ende festgehaten wird. Geichgewicht am Gesamtsystem und am freigeschnittenen Teisystem der Länge x sowie Berücksichtigung von (.1.), (.16), (.18), (.19) iefern vg. die Übersicht in (1.4) die Grundgeichungen zum statisch bestimmten, homogenen Zug/Druck-Einzestab 1. Geichgewicht: H = N =. Spannung: σ = N 3. Kinematik: ε = Δ = ε e + ε T 4. Stoffgesetze: ε e = σ (.6) E, ε T = α T ΔT 5. Statische Randbedingung: N(x = ) =. Da die Reaktionskraft H und die Normakraft N nach G.(.6.1) aein aus Geichgewicht berechnet werden können, ist das System statisch bestimmt. us G. (.6.1) und G. (.6.) erkennen wir, dass die Temperatur für den statisch bestimmten Stab keinen Einfuss auf Normakraft und Spannung hat. Zur Berechnung der Längenänderung Δ setzen wir die Geichungen (.6.1), (.6.) und (.6.4) in G.(.6.3) ein: 1. ε = Δ H x N(x) T -x T bb..11. Der statisch bestimmte, homogene Zug/Druck-Stab = E + α T ΔT =. Δ = E + α T ΔT. (.7) Das Produkt E wird as Dehnsteifigkeit des Stabes bezeichnet, und E/ ist die edersteifigkeit des Stabes. ür den Stab ohne Temperaturänderung beträgt die Längenänderung Δ = (,,ea-orme ). (.8) E Durch Umsteungen von G.(.3) und G.(.8) erhät man die erforderiche äche zur Dimensionierung eines homogenen Zug/Druck-Stabes gemäß Bemerkung.5.: 1. σ = σ zu,. f = EΔ zu = 3. erf =max{ σ, f }. (.9) Beispie. Bauteisicherheit eines Einzestabes mit Gewicht n einem dünnen Stab aus Stah S35JR mit der Querschnittsfäche ist wie dargestet ein Gewicht aufgehängt. Berechnen Sie 1. die Sicherheit S σ gegen ießen und. die Sicherheit S f für die Stabverängerung Δ gegenüber der kritischen Längenänderung krit = / Wie groß ist die Bauteisicherheit S B? Bekannt: Länge =70cm, äche =60mm, Gewichtskraft G = 10 kn, Baustah S35JR: E = MPa, R e = 35 MPa. G bb..1. Einzestab mit Gewicht

14 Zug und Druck in Stäben Lösung zu 1: Die Gewichtskraft G stet eine äußere Beastung dar. Mit den gegebenen Zahenwerten fogt somit aus G.(.6.1) und G.(.6.): N = = G = σ = G N = 60 mm = 166, 67 MPa = σ max. Damit beträgt die Sicherheit gegen ießen nach G.(.1.1) S σ = σ krit σ max = R e σ = 35 MPa =1, 41 > , 67 MPa Lösung zu : Nach G.(.8) berechnet man die Stabverängerung: Δ = G Nmm mm = E Nmm =0, 56 mm = Δ max. Damit berechnen wir die Sicherheit für die Verformung anaog zu G.(.1.): krit = 700 mm = =1, 4 mm = S f = krit = 1, 4 =, 5 > Δ max 0, 56 Lösung zu 3: Die Bauteisicherheit nach G.(.1.3) beträgt S B =min{s σ,s f } = 1,41. Stabsysteme: Mehrere homogene Zug/ Druck-Stäbe, die wie in bb..13.a geenkig zu einem Stabsystem verbunden sind, biden ein achwerk. Die Berechnung von statisch bestimmten achwerken wird z.b. ausführich in [17] behandet. In bb..13.b sind mehrere Zug/Druck-Stäbe über einen starren Baken verbunden. a) b) starr bb..13 Zug/Druck-Stabsysteme: a) achwerk, b) Zug/Druck-Stäbe und starrer Baken Die wesentichen Lösungsschritte für statisch bestimmte, homogene Zug/Druck-Stäbe sind in Tabee.3 zusammengefasst und werden anhand des nachfogenden Beispies eräutert. Lösungsschritte für statisch bestimmte, homogene Zug/Druck-Stabsysteme 1. Statisches System: Ideaisierung der reaen Konstruktion, ufteiung in n Einzestäbe. Zusätziche Baken werden as starr angenommen.. Stabkräfte: us Geichgewichtsbedingungen erhät man die Kräfte N i, i =1,..., n: a) bei achwerken: knotenweise (Knotenpunktverfahren) b) bei Systemen mit Baken: stabweise (Kräfte- und Momentenbedingungen). 3. Normaspannungen: Nach G.(.6.) git für jeden Stab: σ i = N i / i, i =1,..., n. 4. Längenänderungen: Nach G.(.7.) git für jeden Stab: Δ i = N i i + α T (E) i ΔT i i, i =1,..., n. i 5. Verschiebungen von Stabendpunkten: Die Stabendverschiebungen werden mit einer kinematischen Methode (siehe z.b. [17]) in einem Verschiebungspan zur Berücksichtigung der Kompatibiität grafo-anaytisch ermittet. 6. Weitere ufgabensteungen: Siehe z.b. die Ingenieuraufgaben in Tabee (.). Tabee.3. Lösungsschritte zur Berechnung von statisch bestimmten, homogenen Zug/Druck-Stabsystemen

15 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab 3 Beispie.3 Dimensionierung eines Stabsystems Ein geenkig verbundenes Stabwerksystem besteht aus Baustah S35JR. Die Querschnitte haben die rechteckigen ächen i = dh i, i =1,, 3 mit geicher Dicke d. a) Berechnen Sie die erforderichen Höhen h 1,erf und h,erf der Stäbe 1 und, so dass bei einer Sicherheit von S σ =, 4 kein ießen auftritt. b) Wie groß ist dann die Sicherheit S f für die Gesamtverschiebung f max des Geenkpunktes C gegenüber f krit = /500? Bekannt: = 0 kn, Dicke der Stäbe d =15mm, d Baustah S35JR: E = MPa, R e = bb..14. Stabsystem 35 MPa, Sicherheit S σ =,4, =5m. Vorüberegungen: Es werden die Lösungsschritte in Tabee.3 abgearbeitet. Dabei erfogt die Berechnung der erforderichen Größen h 1,erf und h,erf durch Umsteung von G.(.6.). Die Sicherheit für die Verformung S f wird nach G.(.1.) berechnet. Lösungen: 1. Statisches System: Durch Ideaisierung entsteht das achwerk mit drei Stäben in bb Stabkräfte: Stab 3 ist ein Nustab. uf Grund der Ähnichkeit der Dreiecke in bb..15 für die drei Stäbe im Lagepan und die drei Kräfte für den Punkt C im Kräftepan erhät man S 1 = 4 (Zug) und S =5 (Druck). 3 m 3 B 1 4 m 3 m 5 m starr 3 B 1 3 h S LP 1 S 3 4 m h 1 5 m C 1 3 C h, h 1 KP S = 4 3 S = 5 bb..15 Statisches System as achwerk, Lagepan (LP) und Kräftepan (KP) für Punkt C 3. Spannungen: Durch Geichsetzen der zuässigen Spannung in G.(.0.) mit G.(.6.) erhät man mit σ krit = R e und N = S i für die erforderichen Höhen beider Stäbe: σ zu = σ krit S σ = R e S σ = N i = S i dh i = h i,erf = S i S σ dr e, i =1,. Die Beträge berücksichtigen, dass Stabkräfte as Druck oder as Zug auftreten können. Mit den gegebenen Zahenwerten erhät man die erforderichen Querschnittshöhen: , 4 Nmm h 1,erf = mm N =54, 47 mm, h,erf = Damit ist der ufgabentei a) beantwortet , 4 =68, 09 mm

16 4 Zug und Druck in Stäben 4. Längenänderungen: us G.(.8) fogt für beide Stäbe Δ 1 = S 1 1 E 1 = Δ = S E = Nmm , 47 N Nmm , 09 N =1, 86 mm =, 33 mm. 5. Verschiebungen von Stabendpunkten: Die sich ergebende Lage des Punktes C bestimmt man grafo-anaytisch (hab-graphisch, hab-rechnerisch) in dem Verschiebungspan in bb..16. Um die Kompatibiität der Verschiebungen zu erhaten, müssen sich gemäß bb..16.a der verängerte Stab 1 und der verkürzte Stab im Schnittpunkt C der Kreise um und B mit den Radien 1 + Δ 1 und Δ schneiden. Wie z.b. in [17] erkärt, können wir für keine Verformungen ( Δ i ) die Kreisbögen durch ihre Tangenten annähern. Damit erhät man den Verschiebungspan in bb..16.b. Um die horizontaen und vertikaen Verschiebungen u 1,u und v 1,v infoge der Längenänderungen Δ 1,Δ übersichticher erkennen zu können, werden diese in bb..16.c (Stab starr, Δ =0) und in bb..16.d (Stab 1 starr, Δ 1 =0) zunächst getrennt ermittet. Durch Superposition erhät man anschießend wieder die gesamten Verschiebungen u = u 1 + u und v = v 1 + v gemäß bb..16.b. u = u 1 + u = Δ 1 +0=1, 86 mm v = v 1 + v = Δ 1 tan α + Δ sin α =1, 86 mm4 3 +, 33 mm5 =6, 36 mm 3 = f = u + v = 1, 86 +6, 36 = 6, 6 mm = f max. 6. Weitere ufgabensteungen: Die Sicherheit S f bestimmt man nach G.(.1.): f krit = 5000 mm = =10mm = S f = f krit = 10 =1, 51 > f max 6, 6 a) 1 1 b) 1 B C C ' u 1 f v 1 v c) 1 d) u 1 =0 starr v 1 + starr =0 1 u = 0 v bb..16 Verschiebungspan: Konstruktion durch a) Kreisbögen, b) Tangenten, c) und d) Superposition

17 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab Praktische Berechnung von statisch unbestimmten, homogenen Zug/Druck-Stäben Der Einzestab: Der beidseitig festgehatene T H Einzestab in bb..17 erfährt infoge der BH Temperaturänderung ΔT die Lagerkräfte H und B H an den Stabenden. us Geichgewicht am x -x Gesamtstab sowie am freigeschnittenen Teisystem der Länge x fogt N = H = B H. Damit N(x) B H erhät man aus den Geichungen (.1.), (.16), bb..17. Der statisch unbestimmte, homogene Zug/Druck-Einzestab (.18), (.19) vg. die Übersicht in (1.4) die Grundgeichungen zum statisch unbestimmten, homogenen Zug/Druck-Einzestab 1. Geichgewicht: N = H = B H. Spannung: σ = N 3. Kinematik: ε = Δ = ε e + ε T 4. Stoffgesetze: ε e = σ (.30) E,ε T = α T ΔT 5. Kompatibiität: Δ =0. Im Gegensatz zu G.(.6.1) kann man aus der Geichgewichtsbedingung (.30.1) die zwei Lagerreaktionen H und B H nicht bestimmen, womit das System einfach statisch unbestimmt ist. Nur mit Hife der Kompatibiitätsbedingung (.30.5) wird eine Lösung erhaten. Dazu setzen wir G.(.30.) und G.(.30.4) in G.(.30.3) ein und bestimmen zunächst: 1. ε = Δ = N E + α T ΔT =. Δ = N E + α T ΔT. (.31) Mit Δ =0aus G.(.30.5) erhät man die Kräfte aus (.30.1) und die Spannung aus (.30.): 1. N = H = B H = Eα T ΔT,. σ = Eα T ΔT. (.3) Das Minuszeichen bringt zum usdruck, dass der Stab bei einer Temperaturerhöhung (ΔT > 0) auf Druck und bei einer Temperaturabnahme (ΔT < 0) auf Zug beansprucht wird. Beispie.4 Eingespannter Stab mit Temperaturänderung Ein beidseitig eingespannter Stab aus Stah S35JR erfährt eine Temperaturänderung ΔT. Berechnen Sie die Sicherheit S σ gegen ießen. Bekannt: äche = 100 mm, E = MPa, R e = 35 MPa, α T = /K, ΔT =30K. H T bb..18. Eingespannter Stab mit Temperaturänderung Lösung: Mit den gegebenen Zahenwerten git für die Normaspannung in G.(.3.) σ = E α T ΔT = N 1 mm K K = 75, 6 N mm. Mit σ krit = R e und σ max = σ beträgt die Sicherheit gegen ießen nach G.(.1.1) S σ = σ krit = R e σ max σ = 40 MPa =3, 17 > 1. 75, 6 MPa B H

18 6 Zug und Druck in Stäben Stabsysteme: Zur Berechnung von n s -fach statisch unbestimmten, aus n Einzestäben zusammengesetzten, Systemen werden zusätzich zu den Geichgewichtsbedingungen weitere Bedingungen benötigt. Dazu formuiert man für ae Stäbe die Geichungen (.7.) bzw. (.8) für die Längenänderungen Δ i. nschießend werden ggf. mit Hife von Po- und Verschiebungspan (siehe z.b. [17]) n s Kompatibiitätsbedingungen der orm Δ j = f(δ i ) aufgestet, siehe Tabee.4. ür die äe a) und b) in bb..19 mit je zwei Stäben git 1) Reihenschatung : Δ 1! = Δ, ) Paraeschatung : Δ 1! = Δ. (.33) ür die zwei Stäbe, die in bb..19.c mit einem starrem Baken verbunden sind, erhät man mit dem Po (3) im estager wie fogt eine Kompatibiitätsbedingung:! a Δ 1 = aδϕ, Δ = bδϕ = Δ 1 = Δ b. (.34) Statische Systeme a b 1 1 3(starr) d = 1 1 Verschiebungspäne a) b) c) = = (3) 1 bb..19. Beispiee für Kompatibiitätsbedingungen von Stäben: a) Reihenschatung, b) Paraeschatung, c) Verbindung mit starrem Baken (oben: statische Systeme, unten: Verschiebungspäne) Lösungsschritte für statisch unbestimmte, homogene Zug/Druck-Stabsysteme 1. Statisches System: Ideaisierung der reaen Konstruktion, ufteiung in n Einzestäbe. Zusätziche Baken werden as starr angenommen.. Geichgewichtsbedingungen: a) bei achwerken: knotenweise (Knotenpunktverfahren). b) bei Systemen mit Baken: stabweise (Kräfte- und Momentenbedingungen). 3. Grad der statischen Unbestimmtheit n s : a) Vergeich von nzah der Unbekannten mit den Geichgewichtsbedingungen. b) ternativ: Verwendung von bzähformen, siehe z.b. [17]. 4. Kompatibiitätsbedingungen: Mit den Längenänderungen für jeden Stab Δ i = N i i + α T (E) i ΔT i i, i =1,..., n i werden ggf. mit Hife eines Popanes und eines Verschiebungspanes n s Kompatibiitätsbedingungen der orm Δ j = f (Δ i ), j =1,..., n s aufgestet. 5. ufösung des Geichungssystems: us den Geichgewichts- und Kompatibiitätsbedingungen berechnet man die unbekannten Stabkräfte N i, i =1,..., n. 6. Weitere ufgabensteungen: Siehe z.b. die Ingenieuraufgaben in Tabee (.). Tabee.4. Lösungsschritte zur Berechnung von statisch unbestimmten, homogenen Zug/Druck-Stabsystemen

19 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab 7 Beispie.5 aserverstärkter Kunststoffstab unter Temperaturbeastung Bei einem faserverstärkten Kunststoffstab sind die Kohenstofffasern (C-asern) geichmäßig parae zur chsrichtung angeordnet. Deren ächenantei beträgt 30%. Somit hat die Matrix 70% ächenantei. Der gesamte Stab wird einer Temperaturänderung ΔT ausgesetzt. Weche Spannungen entstehen dadurch in der Matrix (M) und in den asern (C)? Bekannt: C-asern: E C = MPa, C = 30 cm, α T C = 0, /K, Kunststoffmatrix (Epoxidharz): E M = 000 MPa, M = 70 cm, α T M =70, /K, ΔT =40K. Vorüberegungen: Es werden die Lösungsschritte in Tabee.4 abgearbeitet. Lösung: 1. Statisches System: Wir ersetzen den Verbundstab in bb..0.b durch zwei Einzestäbe C und M mit bstand d 0 in Paraeschatung.. Geichgewichtsbedingungen: Durch Geichgewicht am,,knoten B in bb..0.b fogt: : N C + N M =0 = N C = N M. (1) x, T z, bb..0. aserverstärkter Kunststoffstab C x M C = M NC B y, = 0 N = 0 M bb..0.b. Statisches System und Kräfte am Knoten B 3. Grad der statischen Unbestimmtheit: G.(1) stet eine Geichung für die zwei Unbekannten N C und N M dar. Damit ist das System einfach statisch unbestimmt. 4. Kompatibiitätsbedingungen: G.(.31.) wird auf die asern und die Matrix angewendet. us der Kompatibiitätsbedingung für Paraeschatung (.33.) fogt Δ C = N C C! + α T (E) C ΔT C = Δ M = N M M + α T C (E) M ΔT M. () M 5. ufösung des Geichungssystems: Durch Einsetzen von G.(1) in G.() und Berücksichtigung von C = M erhät man nach ufösung (E) C (E) M N C = ΔT (α T M α T C ) = N M, (E) C +(E) M d.h. je größer der Unterschied der thermischen usdehnungskoeffizienten ist, desto größer werden die inneren Kräfte. 6. Weitere ufgabensteungen: ür die Spannungen in beiden Stäben git nach G.(.30.) σ C = N C, σ M = N M. C M Mit den gegebenen Zahenwerten erhät man N C =40 (70, 0 ( 0, 1)) KN KN =38803 N σ C = N C = N C mm =1, 93 MPa, σ M = N M = N M mm = 5, 54 MPa. d 0

20 8 Zug und Druck in Stäben Beispie.6 Hozstab unter Druckbeastung Ein Hozstab wird durch zwei Gewichte jeweis der Masse m auf Druck beansprucht. Zur Entastung wird er durch eine eder eastisch gehaten. Berechnen Sie 1. die Spannung in dem Hozstab. die Längenänderung des Hozstabes. Bekannt: Masse je Gewicht: m =50kg, g = 10 m/s, Hozstab: E H = MPa, H = 1,5 m, H = 00 mm, edersteifigkeit: C = 000 N/mm. Vorüberegungen: Es werden die Lösungsschritte in Tabee.4 abgearbeitet. Lösung: 1. Statisches System: Wir ersetzen das reae System in bb..1.b durch zwei Einzestäbe und H in Reihenschatung.. Geichgewichtsbedingungen: us Geichgewicht am freigeschnittenen Knoten C in bb..1.b fogt : N H + N G =0. (1) 3. Grad der statischen Unbestimmtheit: G.(1) stet eine Geichung für die zwei Unbekannten N und N H dar, d.h. das System ist einfach statisch unbestimmt. g m C C m bb..1. Hozstab unter Druckbeastung C H G C N G = mg N H bb..1.b. Statisches System und Kräfte am Knoten C 4. Kompatibiitätsbedingungen: G.(.31.) wird für ΔT =0auf den Hozstab und die eder angewendet. us der Kompatibiitätsbedingung für Reihenschatung (.33.1) fogt Δ H = N H H (E) H! = Δ = N (E) = N C (). Hierbei wurde der Quotient (E) / durch die edersteifigkeit C ersetzt. 5. ufösung des Geichungssystems: us den Geichungen (1) und () und Berücksichtigung von H = erhät man nach ufösung N H = G 1 C H = N = 464, 9 N C (E) H Weitere ufgabensteungen: Die Spannung im Hozstab beträgt nach G.(.30.) σ H = N H 464, 9 N = H 00 mm =, 3 MPa. us G.() fogt für die Längenänderung des Hozstabes Δ H = N H H 464, = = Nmm = 0, 7 mm. (E) H N H H

21 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab 9 Beispie.7 Horizontaer Träger an zwei Zugstäben Ein Träger ist an einem Ende geenkig geagert und wird an dem anderen Ende mit einer vertikaen Einzeast beansprucht. 1 Um die horizontae Lage zu sichern, wird kein Verbund er von zwei unter 45 geneigten Zugstäben aus Baustah S35JR mit unterschiedichen 3, starr ächen 1 und gehaten. Berechnen Sie unter der nnahme eines starren Trägers a) die Spannungen in den Zugstäben bb... Horizontaer Träger an zwei Zugstäben b) die Verdrehung des Trägers. Bekannt: Beastung = 15 kn, = 3 m, Zugstäbe: 1 = 10 mm, = 100 mm, Baustah S35JR: E = MPa. Vorüberegungen: Es werden die Lösungsschritte in Tabee.4 abgearbeitet. a) b) c) 1 S S 1 S S 1 3 H (3) starr S S1 V v 1 v 1 1 bb..3. a) Statisches System, b) reikörperbid und c) Verschiebungspan Lösung: 1. Statisches System: Wir ersetzen das reae System in bb.. durch das statische System in bb..3.a. Der Träger 3 ist wie in der ufgabensteung vorgegeben starr.. Geichgewichtsbedingungen: Wir zeregen beide Stabkräfte S 1 und S in dem reikörperbid in bb..3.b in die horizontaen und vertikaen nteie. Die Momentengeichgewichtsbedingung bzg. des Punktes autet ( ) S S1 : + =0. (1) 3. Grad der statischen Unbestimmtheit: Mit G.(1) iegt eine Geichung für die zwei Unbekannten S 1 und S vor. Bei der mögichen weiteren ufsteung von zwei Kräftegeichgewichtsbedingungen in horizontaer und vertikaer Richtung müssten die zwei unbekannten Lagerkräfte H und V berücksichtigt werden, so dass die nzah der Unbekannten stets um eins größer as die nzah der Geichungen beiben würde. Damit ist das System einfach statisch unbestimmt. Bemerkung: Der Grad der statischen Unbestimmtheit kann aternativ mit einem statischen bzähkriterium berechnet werden, siehe z.b. [17]. ür die drei estager (je r = kinematische Bindungen), zwei Geenke (je z =Zwischenbindungen) und n =3Stäbe in bb.. erhät man für den Grad der statischen Unbestimmtheit

22 30 Zug und Druck in Stäben n s =(r + z) 3 n =(3 + ) 3 3=10 9=1> 0, d.h. das System ist, wie bereits festgestet, einfach statisch unbestimmt. 4. Kompatibiitätsbedingungen: Mit G.(.31.) werden zunächst die Längenänderungen der beiden Stäbe berechnet: Δ 1 = S 1 (E) 1, Δ = S. () (E) Die Kompatibiität zwischen den Stäben und dem Träger an den ufhängepunkten wird mit Hife des Verschiebungspanes in bb..3.c untersucht: Da beide Stäbe eine Neigung von 45 haben, git für die vertikaen Verschiebungen der Geenke: v 1 = Δ 1, v = Δ. (3) Das estager ist geichzeitig Po (3) des Trägers, so dass für keine Verformungen ein einfacher Zusammenhang zwischen der Winkeverdrehung Δϕ des Trägers und den Verschiebungen v 1,v besteht, (siehe z.b. [17]). Mit G.(3) fogt: v 1 = Δϕ, v = Δϕ (4) = v 1 =v = Δ 1 =Δ. (5). 5. ufösung des Geichungssystems: Einsetzen von G.() in G.(5) iefert: S 1 = S = S = 1 (E) S 1. (6) (E) 1 (E) (E) 1 Nach Einsetzen von G.(6) in G.(1) erhät man nach ufösung S 1 = S = 4 (E) 1 = 4 1 = 4(E) 1 +(E) kn =17, 56 kn (7) (E) = = 4(E) 1 +(E) kn =7, 3 kn (8) 6. Weitere ufgabensteungen: a) Nach G.(.30.) betragen die Spannungen in beiden Stäben: σ 1 = S 1 1 = 17, N 10 mm = 146, 3 N mm, σ = S = 7, N 100 mm =73, 1 N mm. b) us G.() fogt mit den Ergebnissen der Geichungen (7) und (8) Δ 1 = S 1 = 17, Nmm (E) =, 96 mm 10 N Δ = S = 7, Nmm (E) =1, 48 mm. 100 N us G.(4) erhät man mit G.(3) schießich die Winkeverdrehung des Trägers Δϕ= v = Δ 1, 48 mm = 3000 mm =6, [ ]=6, π =0, 040.

23 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab ufgaben zu bschnitt.1 ufgabe.1 (Schwierigkeitsgrad SG =, Bearbeitungszeit BZ = 0 min) Ein starrer Stab (Masse m S, Gewicht G S ) wird an einem estager und einem masseosen Sei gehaten. Bestimmen Sie die horizontae und die vertikae Verschiebung (u und v) des Punktes C. Bekannt: G S = 00 kn, =3m, Sei: E = 39 GPa, =1cm, α =40 o,β=0 o. 1,5 C g 1,5 m S ufgabe. (SG=,BZ=0min) Eine Lampe ist wie dargestet an zwei Ketten 1 und aufgehängt. Bestimmen Sie die horizontae und die vertikae Verschiebung (u und v) des ufhängepunktes. Bekannt: G =10N, Kette: E =10kN. 4 m 3 m 1 3 m G ufgabe.3 (SG=1,BZ=10min) Bestimmen Sie für die technische Dehnung ε und die wahre Dehnung ε w die reative bweichung e =(ε ε w )/ε für einen Stab der Länge = 50 mm für drei verschiedene Längenänderungen: 1. Δ =0, 5 mm,. Δ =5mm, 3. Δ =50mm. ufgabe.4 (SG=,BZ=0min) Die rbeitsbühne einer Umzugsfirma wird durch das g D dargestete statische System 60 o vereinfacht. Der Stab D wird C as starr angenommen. a 1. Wie groß ist die Sicherheit gegen ießen im Stab BC? B. Bestimmen Sie die horizontae und vertikae Ver- 1,5a schiebungen (u und v) des ufhängepunktes C. Bekannt: = 00 kn, a = 5 m, Stab BC: E = 10 GPa, =36cm, R e = 35 MPa. 4a 3a

24 3 Zug und Druck in Stäben ufgabe.5 (SG=,BZ=15min) Das ufsteen eines Containers wird für eine momentane Lage durch das dargestete statische System vereinfacht. Die Stäbe B and CD werden as starr angenommen. Bestimmen Sie die horizontae und vertikae Verschiebung (u und v) der Punkte und B. Bekannt: G =5kN, a=50cm, Kette: E = 1000 kn. g C starr K 1 K D starr B _G _G 1,5a 1,5a 4a ufgabe.6 (SG=3,BZ=40min) Ein Gerberträger wird durch zwei Zugaschen 3 und 4 gehaten. Berechnen Sie die Spannung und die Längenänderung in der Lasche 3 für drei Lastfäe: 3 T 3 q s Einzeast und Streckenast 1 q Punkt D 3. Temperaturerhöhung ΔT im Stab 4.. Stützensenkung Δs im Bekannt:, q = /, Δs, ΔT, α T, (E) 3 =(E) 4, 3 =, 4 =3/4, die Träger 1 und sind starr. C ufgabe.7 (SG=3,BZ=0min) Zwei starr angenommene Baken C und BC eines Dachstuhs werden durch ein eastisches Zugband verbunden. Berechnen Sie mit den nnahmen eines Geenkes im Punkt C, eines estagers im Punkt und eines Losagers im Punkt B C B a h 1. die Längenänderung des Zugbandes. die Verschiebung des Punktes B 3. die bsenkung des Punktes C. Bekannt:, h, a = h/,. reibungsfrei / /

25 .1 Der homogene Zug/Druck-Stab 33 ufgabe.8 (SG=1,BZ=10min) Die Überdachung eines PKWs wird aus einem starr angenommenen Hozrahmen und einem Stahstab gefertigt. Berechnen Sie die bsenkung des Gewichts. Bekannt: m, a, b, h, Stahstab: (E). h g m 1, starr a b ufgabe.9 (SG=3,BZ=30min) Der faserverstärkte Kunststoffstab in Beispie.5 wird durch eine uminiumpatte verstärkt. Der faserverstärkte Kunststoff besteht zu 30 Vo-% aus Kohestofffasern und zu 70 Vo-% aus Matrixmateria. Der gesamte Stab wird einer Temperaturänderung ΔT ausgesetzt. Weche Spannungen entstehen dadurch in der Matrix (M), in den Kohestofffasern () und im uminium ()? Matrix (M) asern () Bekannt: C-asern: E = MPa, =30cm, α T = 0, /K, Kunststoffmatrix (Epoxidharz): E M = 000 MPa, α T M =7, /K, uminium: E =70GPa, α T = /K, d = 5 mm, b = 50 mm, ΔT =40K. x, b T z, d 4 d d 4 y, ufgabe.10 (SG=3,BZ=30min) ür die Vorbemessung einer Brückenkonstruktion soen die erforderichen Querschnitte von drei Brückenpfeiern abgeschätzt werden. Dazu wird der Überbau as starr angenommen. Berechnen Sie infoge der Einzeast G für ae drei Pfeier 1. die Normakräfte. die Längenänderungen. h 1 3 Bekannt: G, (E) 1 =(E) =(E) 3 = E,, h. Hinweis: Beachten Sie, dass der Po für die Verschiebungsfigur im gemeinen nicht über einem der Pfeier iegt. G starr

26 34 Zug und Druck in Stäben ufgabe.11 (SG=1,BZ=6min) Die Betonpatte eines Wohnhauses wird bei einer Temperatur von 15 C hergestet. nschießend erfährt sie eine Temperaturerhöhung von ΔT =50K. 1. Berechnen Sie die Längenänderung, wenn diese nicht behindert wird.. Berechnen Sie die Normaspannung in der Patte, wenn die Längenänderung vokommen behindert wird. Bekannt: E =30GPa, =5m,d =cm,b = 1,5 m, ΔT =50K,α T =1, /K. starr T Betonpatte b starr x, d ufgabe.1 (SG=3,BZ=30min) Zwei starre Patten 3 sind mit einer vorgespannten Schraube 1 verbunden. Die Vorspannung wird erreicht, indem ein Zyinder der usgangsänge d mit Hife der Patten 3 um die Länge δ verkürzt wird. nschießend wird die Verbindung Schraube/Zyinder mit dem Gewicht G beastet. Berechnen Sie 1. die Verkürzung δ, so dass die Schraube für G = 0 die Vorspannung σ 0 hat. die Spannung in der Schraube für G 0 3. die Gewichtskraft G, so dass die Spannung in der Schraube verschwindet. Bekannt: E 1 = 10 GPa, E = 10 GPa, 1 = 100 mm, =70mm, d =5cm, σ 0 = 30 MPa. G 3, starr 1 3, starr d ufgabe.13 (SG=,BZ=0min) Drei Stäbe sind spannungsfrei geagert und werden um die Temperatur ΔT = 150 K erwärmt. Wie groß sind die auftretenden Kräfte und Spannungen in den drei Stäben? Bekannt: 1 = = 3 =1m, 1 = 3 = 50 mm, = 800 mm,α 1 = α 3 = /K,α = /K, E 1 = E 3 = N/mm,E = N/mm. 1 3 T T starr a a ufgabe.14 (SG=1,BZ=5min) Die Beschreibung nichtinear-eastischen Materiaverhatens so nach der Ramberg-Osgood Beziehung erfogen. Weche Dehnung stet sich für die Spannung σ =10MPa ein? Bekannt: E =1GPa, K =1 10 5,n=3.

27 ufgabe.15 (SG=,BZ=0min) Zwischen zwei starren Wideragern und B sind spannungsfrei angeordnet: inks ein uminiumrohr mit Stahkern, rechts ein uminiumstab. Der uminiumstab wird auf einer Länge von 15 cm um ΔT erwärmt. Zu berechnen sind: 1. die Kräfte und. die Spannungen in den Bauteien..1 Der homogene Zug/Druck-Stab St T Bekannt: uminium: E =0, N/mm,α = K 1, Stah: E St = N/mm, ΔT =50K. B 4 10 [cm] St ufgabe.16 (SG=,BZ=0min) 5 15 In dem dargesteten System wird ein [cm] Stahstab (Index St) umδt erwärmt, der 1 sich daraufhin auszudehnen versucht. Die 10 St starr as starr angenommene Wippe überträgt die Längenänderung auf die hintereinander geschateten uminiumstäbe (Index 30 3 T ). Gesucht sind die Spannungen in aen Stäben. Bekannt: uminium: E = N/mm, 1 =cm, =4cm, Stah: E St = N/mm, α St = K 1, St =1cm. ufgabe.17 (SG=3,BZ=30min) Gegeben ist das nebenstehende Stabsystem. Berechnen Sie die Spannungen in den horizontaen Stäben, die sich nach einer Erwärmung des Stahstabs (Index St) um ΔT ergeben. Bekannt: E = N/mm, E Cu = N/mm, E St = N/mm, α St = K 1, 1 =10cm, = 0 cm, 1 =40cm, =0cm, 3 =40cm, ΔT = 00 K starr Cu St 4 T 3 a a

28 36 Zug und Druck in Stäben ufgabe.18 (SG=,BZ=0min) In einer stähernen Kessetromme sind zwei Rohre aus Kupfer eingeschweißt. Bei 0 C ist der Kesse spannungsfrei. Während die Rohre auf eine Temperatur von 450 C erwärmt werden, erwärmt sich die Tromme nur auf 00 C. 1. Wie groß ist die Differenz Δ Cu Δ St der St Längenänderungen in den Rohren zu der Tromme bei unbehinderter usdehnung? [mm]. Weche Spannung tritt in den Rohren bzw. in der Tromme auf, wenn die Böden as starr angenommen werden? Bekannt: Kupfer: E Cu = N/mm, α Cu = K 1, Cu =8cm, Stah: E St = N/mm, α St = K 1, St =0cm. Cu starr 800 ufgabe.19 (SG=,BZ=0min) Eine Kupfersäue der Länge 0 befindet sich mittig und spannungsfrei für die Temperatur T 0 zwischen zwei paraeen, starren Patten, die durch 4 Stahstifte fixiert sind. 1. Bestimmen Sie die Kräfte in den Stiften, wenn das System auf T 1 erwärmt wird.. Bei wecher Temperatur T wird die zuässige Spannung σ zu = 100 N/mm in den Stahstiften erreicht? 1 4 St St 0 Cu, Cu Bekannt: Kupfer: E Cu = N/mm, α Cu = K 1, Cu =5cm, Stah: E St = N/mm, α St = K 1, St =, 5 cm, 0 =1m, T 0 = 0 C, T 1 =0 C. ufgabe.0 (SG=,BZ=15min) In einem Druckversuch für Beton wird wie dargestet ein nichtinear-eastisches Materiaverhaten festgestet. Bestimmen Sie 1. für den quadratischen nsatz σ = Bε + Cε die Konstanten B und C aus den Versuchsdaten (ε m,r m ). für den dargesteten Druckstab die Kraft infoge der Verschiebung u. Bekannt: R m,ε m,,,u. R m horizontae Tangente quadratisch m u

29 . Der inhomogene Zug/Druck-Stab 37. Der inhomogene Zug/Druck-Stab..1 Voraussetzungen und nnahmen Wir betrachten den einaxia beasteten Stab in bb..4 und formuieren fogende: Voraussetzungen zum inhomogenen Zug/Druck-Stab 1. Längs der Stabachse treten geometrisch (Querschnitt (x)), stoffich (Materia E(x),α T (x)), mechanisch (Streckenast n(x)) und thermisch (Temperaturbeastung ΔT (x)) kontinuieriche Änderungen auf.. Die Querschnittsfäche (x) ist schwach veränderich, d.h. der Winke α zwischen Querschnittskurventangente und Stabachse ist stets kein, siehe bb..4. Damit sind z.b. Kerben wie in bb..3 ausgeschossen. 3. Die Materiakonstanten E(x),α T (x) und die Temperaturänderungen ΔT (x) sind innerhab der Querschnittsfäche konstant. nnahmen zur Kinematik beim inhomogenen Zug/Druck-Stab 1. Die Querschnitte beiben während der Beastung eben.. Die Querschnitte verschieben sich nur in Stabängsrichtung. (.35) (.36) nnahme zur Normaspannung beim inhomogenen Zug/Druck-Stab Die Normaspannung σ(x, y, z) ist geichförmig über die äche (x) verteit. (.37) Im ogenden zeigen wir, dass die Voraussetzungen (.35) und die nnahmen (.36), (.37) im Unterschied zum homogenen Zug/Druck-Stab in bschnitt.1 auf Differentiageichungen für Kräfte und Verformungen führen... Die Geichgewichtsbedingung bb..4.b zeigt ein reikörperbid des Stabdifferentias der Länge dx an der Stee x. Die beidseitig auftretenden Normakräfte sind N(x) und N(x+dx). Mit Hife der inearen Näherung in G.(B.) schreiben wir N(x + dx) = N(x)+dN und erhaten mit der Gesamtresutierenden der Streckenast n(x)dx fogende Geichgewichtsbedingung an dem Stabdifferentia: : N(x)+(N(x)+dN)+n(x)dx =0. (.38) ufösung von G.(.38) nach dn und Teien durch dx iefert schießich Die Geichgewichtsbedingung für den inhomogenen Zug/Druck-Stab dn(x) = N (x) = n(x). (.39) dx a) b) c) H T(x) x n(x) N(x) N(x) E(x), (x) (x) dx n(x) N(x+dx) =N(x)+dN bb..4. a) Der inhomogene Zug/Druck- Stab, b) reikörperbid eines Stabdifferentias an der Stee x, c) Spannungsverteiung

30 38 Zug und Druck in Stäben..3 Inhomogene Spannungen ängs der Stabachse Gemäß nnahme (.37) verwenden wir an der Stee x in bb..4.c die mittere Spannung nach Definition (.1.) (zur Vereinfachung der Darsteung ohne Querstrich): 1. σ(x, y, z) =σ(x) = N(x) (x) =. N(x) =σ(x)(x). (.40) Bemerkungen.6 1. G. (.40.) wird auch as Äquivaenzbedingung bezeichnet, siehe ebenso bschnitt Es sei ausdrückich erwähnt, dass die Normaspannung nach nnahme (.37) wie in bb..4.c dargestet edigich über die Querschnittsfäche homogen verteit ist. Längs der Stabachse kann sie dagegen inhomogen sein, wenn z.b. die Normakraft N(x) oder die äche (x) entang der Stabachse veränderich sind...4 Inhomogene Dehnungen ängs der Stabachse bb..5 zeigt einen nichtprismatischen Stab in der unverformten und der verformten Lage. n der Stee x wird ein Stabdifferentia der Länge dx eingeführt. Da jeder Querschnitt nach den nnahmen (.36) eben beibt und sich nur ängs der Stabachse verschiebt, ist eine kinematische Variabe, die Verschiebung u(x), zur Beschreibung der Verformung ausreichend. Der Querschnitt an der Stee x + dx erfährt somit die Verschiebung u(x + dx). Mit Hife der inearen Näherung G.(B.) git u(x + dx) = u(x)+du. Damit ist die aktuee Länge des Stabdifferentias Dx= dx+u(x+dx) u(x) = dx+du. (.41) a) x dx Nach Definition (.10.1) git für die Dehnung Dx dx ε(x) = dx und wir erhaten = dx+du dx, (.4) dx b) x,u u(x) u(x+dx)=u(x)+du Die örtiche (technische) Dehnung ε(x) = du dx = u (x). (.43) Bemerkungen.7 Dx bb..5. Zur Hereitung der örtichen Dehnung: a) unverformte und b) verformte Lage 1. G.(.43) besagt, dass die Dehnung durch Differentiation der Verschiebung entsteht.. Bei den Verschiebungen unterscheiden wir zwei Sonderfäe: a) Mit den Bezeichnungen in bb..6 git für eine ineare Verschiebungsverteiung: u(x) = Δ x = ε = u (x) = Δ = ε = const, (.44) d.h. es iegt ein homogener Dehnungszustand nach G.(.13) vor.

31 b) ür eine konstante Verschiebungsverteiung git:. Der inhomogene Zug/Druck-Stab 39 u(x) =const = ε =0. (.45) In diesem a iegt eine Starrkörperverschiebung vor. 3. Ist die Dehnung ε(x) bekannt, so kann die Verschiebung durch (z.b. unbestimmte) Integration ermittet werden. Durch Umsteung von G.(.43) fogt: du = ε(x)dx = u(x) = ε(x)dx + C. (.46) Dabei ist C eine Integrationskonstante, die durch usnutzung kinematischer Randbedingungen berechnet wird. ür eine homogene Dehnung ε = const git z.b.: u(x) = εx+c. Mit der Randbedingung u(0) = 0 fogt C =0und somit u(x) = εx. Wir fassen einige wesentiche Erkenntnisse kurz zusammen: Regen zu Verformungen in inhomogenen Zug/Druck-Stäben 1. Die Verschiebung u(x) ist ein Maß für die absoute bstandsänderung eines Körperpunktes an der Stee x bzg. seiner usgangsage.. Die örtiche Dehnung ε(x) ist ein Maß für die reative bstandsänderung von zwei Körperpunkten entang der Stabachse in der Umgebung von x. 3. Bei einem homogenen Dehnungszustand erfahren ae freigeschnittenen Stabeemente und Stabdifferentiae die geiche Dehnung ε = const. 4. Bei einer Starrkörperverschiebung u(x) =const erfahren ae freigeschnittenen Stabeemente und Stabdifferentiae keine Dehnung, d.h. ε(x) =0. (.47)..5 Stoffgesetze In Ergänzung zum Hookeschen Gesetz (.16) und dem Temperaturausdehnungs-Gesetz (.18) formuieren wir die fogenden: Stoffgesetze für inhomogene Spannungen, Dehnungen und Temperaturänderungen 1. Das Hookesche Gesetz σ(x) = E(x)ε e (x). Das Temperaturausdehnungs-Gesetz ε T (x) =α T (x)δt (x). (.48) Bemerkungen.8 1. Ein Werkstoff ist homogen, wenn das Materiaverhaten unabhängig vom Ort x ist. Damit git z.b. für den Eastizitätsmodu E = const und den thermischen usdehnungskoeffizienten α T = const. Der Werkstoff ist inhomogen, wenn das Materiaverhaten örtich unterschiedich ist, siehe auch Definition (5.44) in Kapite 5.. In den Geichungen (.48) nehmen wir nach den Voraussetzungen (.35) stets an, dass der Werkstoff innerhab des Querschnitts homogen ist, entang der Stabachse kann er inhomogen sein. Dann git z.b. für den Eastizitätsmodu E = E(x) const oder den thermischen usdehnungskoeffizienten α T = α T (x) const.

32 40 Zug und Druck in Stäben 3. Stäbe, die zusätzich innerhab des Querschnitts inhomogen sind, werden in Kapite 10 über Hybridstrukturen behandet. as geichzeitig eine eastische Dehnung ε e und eine thermische Dehnung ε T auftreten, treffen wir nach dem Superpositionsprinzip anaog zu dem homogenen Stab in G.(.19) die nnahme zur Kinematik ε(x) =u (x) =ε e (x)+ε T (x). (.49) ε(x) ist die gesamte örtiche Dehnung nach G.(.43), ε e (x) wird nach dem Hookeschen Gesetz (.48.1) und ε T (x) nach dem Temperaturausdehnungs-Gesetz (.48.) berechnet...6 Die Grundgeichungen des inhomogenen Zug/Druck-Stabes ür einen Stab an der Stee x können wir die Geichungen (.39), (.40.), (.49), (.48.1), (.48.) zusammenfassen und erhaten as Sonderfa der Übersicht in (1.4) Die Grundgeichungen des inhomogenen Zug/Druck-Stabes 1. Geichgewicht: N (x) = n(x). Äquivaenzbedingung: N(x) =σ(x)(x) 3. Kinematik: ε(x) =u (x) =ε e (x)+ε T (x) 4. Stoffgesetze: ε e (x) = σ(x) E(x), ε T (x) =α T (x)δt (x) 5. Rand- und Übergangsbedn.: siehe Tabee.5 (.50) Bei den Rand- und Übergangsbedingungen in Tabee.5 unterscheiden wir die kinematischen Bedingungen für die Verschiebung u(x) von den statischen Bedingungen für die Normakraft N(x). a Bezeichnung kinematische statische und Symbo RB/ÜBn. für u RB/ÜBn. für N = Eu 1. estager N u =0. reies Ende mit Einzeast N(x) u N = 3. Punkt mit Einzeast N I I II N II I II u I = u II N I = N II + u I = u II Tabee.5. Kinematische und statische Rand- und Übergangsbedingungen für den Zug/Druck-Stab

33 . Der inhomogene Zug/Druck-Stab uswertung der Grundgeichungen Zur uswertung der Grundgeichungen (.50) setzen wir die Stoffgesetze (.50.4) in die kinematische Beziehung (.50.3) ein und ösen das Ergebnis nach der Spannung auf: σ(x) =E(x)(ε ε T )=E(x)(u (x) α T (x)δt (x). (.51) Einsetzen von G.(.51) in die Äquivaenzbedingung (.50.) iefert N(x) =(E)(x)u (x) (E)(x)α T (x)δt (x). (.5) G.(.50.) aufgeöst nach σ(x) und G.(.5) aufgeöst nach u (x) iefern zusammenfassend fogende: ormen für den inhomogenen Zug/Druck-Stab Normaspannung: 1. σ(x) = N(x) (x) (.53) Verschiebung:. u (x) = N(x)+N ΔT (x), N ΔT (x) =(E)(x)α T (x)δt (x). (E)(x) Hier haben wir zweckmäßig die Temperaturkraft N ΔT (x) eingeführt. Mutipikation von G.(.53.) mit der Dehnsteifigkeit (E)(x), Differenzieren nach x und Einsetzen von G.(.50.1) in das Ergebnis iefert die Differentiageichung der Verschiebung des inhomogenen Zug/Druck-Stabes 1. ((E)(x)u (x)) = n(x)+((e)(x)α T (x) ΔT (x)) bzw.. Eu (x) = n(x), für E = const und ΔT = const. (.54) G.(.54.) fogt aus G.(.54.1) für konstante Dehnsteifigkeit E und konstante Temperaturdehnung α T ΔT. Beide Geichungen sind gewöhniche Differentiageichungen. Ordnung...8 Praktische Berechnung von statisch bestimmten, inhomogenen Zug/Druck-Stäben Der Einzestab: s Beispie untersuchen wir den Einzestab in bb..6, der am rechten Ende mit einer Einzekraft und in Stabachse mit einer Streckenast n(x) beansprucht wird. Zusätzich tritt eine Temperaturänderung ΔT (x) auf. Wir suchen zunächst den Verauf der Normakraft N(x). Wie z.b. in [17] im Kapite über Schnittgrößen beschrieben, gibt es dazu für statisch bestimmte Systeme zwei Mögichkeiten: H (x) x n(x) dx bb..6 Der statisch bestimmte inhomogene Zug/Druck-Stab T(x)

34 4 Zug und Druck in Stäben 1. Mögichkeit: Geichgewicht am freigeschnittenen Teisystem bb..7 zeigt einen reischnitt an der Stee x für das System in bb..6. Die Gesamtresutierende der Streckenast an dem rechten Teisystem bestimmen wir zu ζ=x n(ζ)dζ. Zwecks Unterscheidung zur Koordinate x, weche den reischnitt kennzeichnet, wird die Integrationsvariabe mit ζ bezeichnet. us der Geichgewichtsbedingung in horizontaer Richtung fogt H n(x) x N(x) N(x) ( ) n( ) bb..7 Geichgewicht am Teisystem : N(x)+ + n(ζ)dζ =0 = N(x) = + n(ζ)dζ. (.55) ζ=x ζ=x Da und n(x) bekannt sind, kann N(x) direkt ermittet werden, d.h. das System in bb..6 ist statisch bestimmt (siehe z.b. [17]).. Mögichkeit: Lösung der Differentiageichung (.39) us der Geichgewichtsbedingung (.39) erhät man durch Integration N(x) = x ζ=0 n(ζ)dζ + C. (.56) Die Integrationskonstante C wird mit einer statischen Randbedingung (RB) berechnet. ür das Beispie in bb..7 fogt mit der Randbedingung N() = nach Tabee.5, a : N() = = N(x) = ζ=0 x ζ=0 n(ζ)dζ +C = = C = + n(ζ)dζ+c = 0 ζ=x n(ζ)dζ+ + ζ=0 ζ=0 n(ζ)dζ n(ζ)dζ = ζ=x (.57) n(ζ)dζ +, d.h. wir erhaten die geiche Lösung wie in den Geichungen (.55). Mit der Lösung für die Normakraft N(x) können Spannung und Verschiebung nach den ormen (.53) berechnet werden. Die Verschiebung an der Stee x und die gesamte Längenänderung des Stabes betragen: x ( ) N(ζ)+NΔT (ζ) 1. u(x)= dζ,. Δ= u(). (.58) E(ζ)(ζ) ζ=0 ür konstante Werte der Dehnsteifigkeit E, der Temperaturdehnung α T ΔT und der Normakraft N = erhät man G.(.7.) für den homogenen Zug/Druck-Stab. Stabsysteme: Mit den ormen (.53) werden über die gesamte Stabänge kontinuieriche Spannungs- und Dehnungszustände berechnet. Im gemeinen treten auch diskontinuieriche Zustände auf. Ursachen dafür sind geometrisch (Querschnitt), statisch (Einzekräfte) oder stoffich (Materia) sprunghafte Änderungen. Die Berechnung von Spannungen und Verformungen geschieht dann in einer Mehrbereichsaufgabe: Dazu wird die gesamte Konstruktion in Einzestäbe aufgeteit, für die jeweis die ormen (.53) geten.

35 . Der inhomogene Zug/Druck-Stab 43 ür den Einzestab wissen wir aus den Geichungen (.56) und (.57), dass die Lösung der Differentiageichung (.39) eine statische Randbedingung erfordert. ür n Bereiche werden aso n statische Randund/oder Übergangsbedingungen erforderich. ür das Beispie mit zwei Stäben in Reihenschatung in bb..8 auten diese gemäß Tabee.5, a 3 und a N 1 (x 1 = 1 )=N (x =0)+ 1 N (x = )=. (.59) Statisches System 1 1 x 1,u 1 x,u 1 Kräfte an den Knoten 1 N 1( 1 ) N (0) N ( ) bb..8. Statische Rand- und Übergangsbedingungen für zwei Stäbe in Reihenschatung Tabee.6 fasst die Lösungsschritte zusammen. Lösungsschritte für statisch bestimmte, inhomogene Zug/Druck-Stäbe 1. Statisches System: Ideaisierung der reaen Konstruktion, ufteiung in n Einzestäbe, Eintragen der Koordinaten. Zusätziche Stäbe werden as starr angenommen.. Schnittgrößen: Dazu unterscheiden wir zwei Methoden (siehe z.b. [17]): a) Geichgewicht an freigeschnittenen Teisystemen. b) Lösung der Differentiageichung (.39) unter Beachtung von 1 n Rand- und Übergangsbedingungen für N(x), vg. Tabee Querschnittswerte: Berechnung der äche (x) für ae Stäbe. 4. Normaspannungen: Nach G.(.53) git: σ(x) = N(x) (x). 5. Verschiebungen: Unter Beachtung von 1 n Rand- und Übergangsbedingungen für u(x) in Tabee.5 Integration der Differentiageichung u (x) = N(x)+N ΔT (x). (E)(x) 6. Weitere ufgabensteungen: Spannungs- und Verformungsnachweis, Dimensionierung, maximae Gebrauchsast, Bauteisicherheit etc., siehe auch Tabee (.). Tabee.6. Lösungsschritte zur Berechnung von statisch bestimmten, inhomogenen Zug/Druck-Stäben Bemerkungen.9 1. Der wesentiche Unterschied zu den Lösungsschritten im späteren bschnitt..9 für statisch unbestimmte Stabsysteme (siehe Tabee.7) besteht darin, dass die Normakraft aein aus Geichgewicht berechnet werden kann.. Zur Vereinfachung der Darsteung haben wir in Tabee.6 auf den Index i, z.b. für Spannung und Normakraft in dem i-ten Einzestab, verzichtet. 3. Da bei einer Dimensionierungsaufgabe die äche (x) in Tabee.6, Schritt 3 nicht bekannt ist, wird für diesen a eine entsprechende Modifikation der Lösungsschritte in Tabee.6 erforderich.

36 44 Zug und Druck in Stäben Beispie.8 Dimensionierung eines dickwandiges Rohres n einem dickwandigen Rohr mit Innenradius r i ist ein Metabock mit einer Gewichtskraft G aufgehängt. a) Wie muss der ußenradius r(x) variiert werden, damit an jeder Stee x des Rohres die Spannung σ 0 auftritt? b) Wie groß ist die Verschiebung des Metabockes? Bekannt: r i,,ρ,g, Erdbescheunigung g. Vorüberegungen: Da es sich um eine Dimensionierungsaufgabe handet, werden die Lösungsschritte in Tabee.6 entsprechend geändert. Wir ösen die Teiaufgabe a) unter Verwendung der Geichungen (.50). Die Verschiebung in Tei b) wird mit den Geichungen (.58) berechnet. Lösung zu a): Infoge des Eigengewichts entsteht am Differentiaeement der Länge dx in bb..9.b die Streckenast n(x) = ρg(x). us der Geichgewichtsbedingung (.50.1) fogt: dn(x) = n(x), wobei n(x) = ρg(x) dx = dn(x) = ρg(x)dx. us Definition (.50.) fogt bei konstanter Spannung σ 0 = N(x) (x) = const = dn(x)=σ 0d(x)= ρg(x)dx. Durch Trennung der Variaben und Integration erhät man d(x) (x) = ρg σ 0 dx = x 0 d(ζ) (ζ) = x 0 ρg σ 0 dζ, und die uswertung des Integras ergibt: n (x) n (0) = ρg x = (x) =(0) exp σ 0 g r i G x r(x) bb..9. Dickwandiges Rohr mit konstanter Spannung g N(x) N(x)+dN ( ρg σ 0 r(x) n(x) x dx bb..9.b. Kräfte am Differentiaeement ) x. (1) Die Konstante (0) bestimmen wir aus der Bedingung, dass an der ufhängung die konstante Spannung σ 0 voriegt. Nach uswertung von G.(1) für x = fogt mit N() =G: ( ) ρg ()=(0) exp = σ 0 = N() σ 0 () = G ( ) ρg (0) exp = (0)= G ( ) ρg exp. σ 0 σ 0 σ 0 Mit diesem Ergebnis, der Beziehung (x) = π(r(x) ri ) sowie G.(1) fogt durch ufösung nach dem ußenradius r(x) schießich r(x) = ri + G ( ) ρg exp ( x). πσ 0 σ 0 Lösung zu b): us den Geichungen (.58) fogt für die Verschiebung an der Stee x = Δ = u() = x=0 N(x) E(x) dx = x=0 σ 0 E dx = σ 0 E.

37 . Der inhomogene Zug/Druck-Stab Praktische Berechnung von statisch unbestimmten, inhomogenen Zug/Druck- Stäben Der Einzestab: Der beidseitig festgehatene Einzestab in bb..30 erfährt infoge der Streckenast n(x) und der Temperaturänderung ΔT (x) die Lagerkräfte H und B H an den Stabenden. Der Unterschied zu dem System in bb..6 iegt in den Randbedingungen: Bei dem beidseitig festgehatenen Stab in bb..30 sind beide Reaktionskräfte H und B H unbekannt, so dass auch keine statischen Randbedingungen angegeben werden können. ogich ist die Konstante C in dem unbestimmten Integra (.56) nicht berechenbar: Das System ist einfach statisch unbestimmt. H (x) x N(x) n(x) T(x) B H dx n(x) N(x+dx) =N(x)+dN bb..30. Der statisch unbestimmte, inhomogene Zug/Druck-Stab ür statisch unbestimmte Stäbe wird die Lösung der Differentiageichung (.54) erforderich. Dazu werden die Integrationskonstanten den kinematischen und statischen Randbedingungen in Tabee.5 angepasst. ür den beidseitig eingespannten Einzestab in bb..30 auten die zwei kinematischen Randbedingungen 1. u(x = 0)= 0,. u(x = ) = 0. (.60) Mit der Lösung u(x) werden aus den ormen (.53) Normakraft und Spannung berechnet: 1. N(x) =E(x) u (x) N ΔT (x),. σ(x) = N(x) (x). (.61) Stabsysteme: Mit den Grundgeichungen (.50) werden über die gesamte Stabänge kontinuieriche Spannungs- und Dehnungszustände berechnet. Wie bei statisch bestimmten Systemen treten im gemeinen auch diskontinuieriche Zustände auf. Zu deren Berechnung wird die gesamte Konstruktion in Einzestäbe aufgeteit und as Mehrbereichsaufgabe behandet. Dabei geten für jeden Einzestab die Grundgeichungen (.50) und somit die Differentiageichung. Ordnung (.54). ür den Einzestab wissen wir aus den Geichungen (.60), dass zwei Randbedingungen erforderich sind. ür n Bereiche werden aso n (statische und/oder kinematische) Rand- und/oder Übergangsbedingungen erforderich. ür zwei häufig auftretende äe mit zwei Stäben in bb..31, a) Reihenschatung und b) Paraeschatung, ergeben sich gemäß Tabee.5 fogende 4 Rand- und Übergangsbedingungen: Reihenschatung Paraeschatung 1. u 1 (x 1 =0)=0 u 1 (x 1 =0)=0. u (x = )=0 u (x =0)=0 (.6) 3. u 1 (x 1 = 1 )=u (x =0) u 1 (x 1 = 1 )=u (x = ) 4. N 1 (x 1 = 1 )=N (x =0)+ N 1 (x 1 = 1 )+N (x = )=.

38 46 Zug und Druck in Stäben Im a c) in bb..31, Verbindung von zwei Stäben mit starrem Baken, erhät man mit dem Po (3) im estager wie fogt eine Verträgichkeitsbedingung: u 1 (x 1 = 1 )=aδϕ, u (x = )=bδϕ = u 1 (x 1 = 1 )=u (x = ) a b. (.63) a) b) c) Statische Systeme 1 x 1,u x,u 1 x 1,u 1 1 x,u 1 1 = d 0 a b 3 (starr) x x,u 1,u Verschiebungspäne Kräfte an Knoten u 1( 1)= u (0) N 1( 1 ) N (0) u 1( 1)= u ( ) N 1( 1) N ( ) (3) u 1( 1) u ( ) bb..31. Beispiee für kinematische und statische Übergangsbedingungen: a) Reihenschatung, b) Paraeschatung, c) Verbindung mit starrem Baken Tabee.7 fasst die Lösungsschritte zusammen. Da bei einer Dimensionierungsaufgabe die äche (x) in Schritt nicht bekannt ist, wird ggf. eine Modifikation erforderich. Lösungsschritte für statisch unbestimmte, inhomogene Zug/Druck-Stäbe 1. Statisches System: Ideaisierung der reaen Konstruktion, ufteiung in n Einzestäbe, Eintragen der Koordinaten. Zusätziche Stäbe werden as starr angenommen.. Querschnittswerte: Berechnung der äche (x) für ae Stäbe. 3. Verschiebungen: Unter Beachtung von n Rand- und Übergangsbedingungen für u(x),n(x) in Tabee.5 für jeden Einzestab Integration von (.54) ((E)(x)u (x)) = n(x)+((e)(x)α T (x) ΔT (x)) Eu (x) = n(x), bzw. für E = const und ΔT = const. 4. Weitere ufgabensteungen: Z.B. Normakraft- und Spannungsverauf N(x) =Eu (x), σ(x) = N(x) (x). Spannungs- und Verformungsnachweis, Dimensionierung, maximae Gebrauchsast, Bauteisicherheit etc., siehe auch Tabee (.). Tabee.7. Lösungsschritte zur Berechnung von statisch unbestimmten, inhomogenen Zug/Druck-Stäben

39 . Der inhomogene Zug/Druck-Stab 47 Beispie.9 Stahbetonstütze unter Eigengewicht und Temperatur Eine beidseitig eingespannte Stahbetonstütze wird durch ihr Eigengewicht und eine konstante Temperatur beansprucht. Bestimmen Sie a) die vertikae Verschiebung u(x) und b) die Normakraft N(x) und die Spannung σ(x). Bekannt:,, ρ, α T,ΔT,E, Erdbescheunigung g. Vorüberegungen: Es werden die Lösungsschritte in Tabee.7 abgearbeitet. Lösungen: 1. Statisches System: Wir ideaisieren das reae System as statisches System in bb..3.b.. Querschnittswerte: Die äche ist in der ufgabensteung gegeben. 3. Verschiebungen: Mit der Streckenast infoge Eigengewicht n(x)=ρg(x) fogt aus der Differentiageichung (.54.): Eu (x) = n(x), wobei n(x) =ρg(x) = u (x) = ρg E. Durch zweimaige Integration erhät man g x T bb..3. Stahbetonstütze unter Eigengewicht und Temperatur x n(x) T bb..3.b. Statisches System u (x) = ρg E x + C 1 = u(x) = 1 ρg E x + C 1 x + C. Zur Berechnung der Integrationskonstanten C 1 und C verwenden wir die kinematischen Randbedingungen an den Steen x =0und x = nach Tabee.5, a 1: u(0) = 0 = C =0, u() =0 = C 1 = ρg E. Damit auten die Geichungen für die Verschiebung und deren erste beitung u(x) = ρg ( x x ), u (x) = ρg ( x). E E Damit ist ufgabentei a) geöst. 4. Weitere ufgabensteungen: Die Normakraft und die Spannung erhät man abschießend aus den Geichungen (.61): 1. N(x) =E(x)(u (x) α T ΔT ) n = ρg ( x) Eα T ΔT. σ(x) = N(x) = ρg ( x) Eα T ΔT. Damit ist ufgabentei b) geöst.

40 48 Zug und Druck in Stäben..10 Zusammenfassung zum Zug/Druck-Stab Wir fassen zwei wesentiche Ergebnisse dieses Kapites kurz zusammen: Regen zu praktischen Berechnungen des Zug/Druck-Stabes 1. ür den homogenen Zug/Druck-Stab werden keine Lösungen von Differentiageichungen erforderich.. ür den inhomogenen Zug/Druck-Stab werden im gemeinen Lösungen von Differentiageichungen erforderich. (.64)..11 ufgaben zu bschnitt. ufgabe.1 (SG=1,BZ=15min) s Reißänge bezeichnet man diejenige Länge R, bei der ein Stab der Dichte ρ unter seinem Eigengewicht wegen Überschreiten der maximaen Zugspannung R m abreißen würde. Bestimmen Sie R für die Werkstoffe Baustah (S35JR), Beton (C5/30), uminium, Eiche faserparae, Eiche radia, Kohenfaser und Epoxidharz (EP) mit den Materiaparametern aus Tabee.1. g R ufgabe. (SG=3,BZ=0min) Ein kreisförmiger Betonturm besteht aus zwei Bereichen. Im oberen Bereich hat der ußenradius den konstanten Wert r 0, und im unteren Bereich ist der ußenradius veränderich. h 1 x 1 x r 0 g (x) 1. Wie groß muss der ußenradius r(x ) im unteren Bereich sein, damit an jeder Stee eine konstante Spannung σ 0 auftritt?. Wie groß ist die vertikae Verschiebung am Querschnittsübergang? h Bekannt: r 0,ρ,h 1,h, Erdbescheunigung g.

41 . Der inhomogene Zug/Druck-Stab 49 ufgabe.3 (SG=3,BZ=40min) Ein senkrecht stehender, beidseitig eingespannter Stahbetonpfeier mit zwei Bereichen wird durch sein Eigengewicht und eine konstante Temperatur beansprucht. Bestimmen Sie 1. die Spannung σ(x) und. die vertikae Verschiebung u(x). Bekannt: 1 =, =, 1 =, = /, ρ,α T,ΔT 0,E, Erdbescheunigung g. g x x T ufgabe.4 (SG=3,BZ=5min) Ein Stahbetonbrückenpfeier hat eine von der Koordinate x abhängige äche (x). g x 1. Berechnen Sie die Spannung σ(x).. Berechnen Sie Verschiebung u(x). Bekannt: (x) = 0 (1 + x/(h)), h, 0,ρ, Erdbescheunigung g. (x) h Bidquee: wiki/stahbeton, ufgabe.5 (SG=3,BZ=0min) n dem Laufrad eines Ventiators sind Schaufen mit Rechteckquerschnitt angebracht. 1. Berechnen Sie die Spannung σ(x).. Wie groß ist die Normaspannung an der Verbindung x = r infoge der Rotation? h b x r Dicke t y z t Draufsicht b z Bekannt: Drehzah des Ventiators n = 1000 min 1, h = 400 mm, b = 150 mm, t = 6 mm, r =30mm,ρ = 700 kg/m 3. Hinweis: Die Zentrifugakraft n(x) je äche (x) infoge einer Winkegeschwindigkeit ω ist: n(x) =ω xρ(x), wobei ω = nπ/60, [n] =min 1, siehe z.b. [18]. y

42 50 Zug und Druck in Stäben ufgabe.6 (SG=3,BZ=0min) Das System eines Leuchtturms wird wie dargestet vereinfacht. Der Schacht im Inneren des Turmes hat einen konstanten Radius r 0. Das Gewicht G der Kanze wird geichmäßig in dem oberen Querschnitt mit ußenradius r 1 eingeeitet. Leuchtturm,,Roter Sand : c sokaeiko / pixeio.de h x G r 1 1. Wie groß muss r 1 sein, damit an dieser Stee eine Spannung σ 0 nicht überschritten wird?. Wie groß muss der ußenradius r(x) an der Stee x sein, damit übera eine konstante Spannung σ 0 auftritt? 3. Wie groß ist die vertikae Verschiebung an der Stee x =0? Bekannt: G, r 0,ρ,h, Erdbescheunigung g. ufgabe.7 (SG=3,BZ=0min) Ein beidseitig eingespannter Stahbetonstab mit inear verändericher Querschnittsfäche erfährt eine geichmäßige Temperaturänderung. Berechnen Sie in Stabmitte 1. die Normaspannung. die Norma- und die Schubspannung unter einem Winke von α = ür weche Winke α werden die Norma- (x) T und die Schubspannung maxima? x Bekannt: E,, ΔT, (x) = 0 (1 x/(3)). r 0 (x) r(x) g r 0 r(x) ufgabe.8 (SG=3,BZ=0min) Ein Kühturm besteht aus zwei Bereichen. Die Wanddicke d ist konstant. Im oberen Bereich hat der Innenradius den konstanten Wert r 1, und im unteren Bereich ist er entang der Koordinate x veränderich. Das Materia ist homogen und hat die Dichte ρ. r 1 d x 1 h 1 g 1. Wie groß muss der Innenradius r(x ) im unteren Bereich sein, damit an jeder Stee x eine konstante Spannung σ 0 auftritt?. Wie groß ist die vertikae Verschiebung am Übergang der beiden Bereiche? r(x ) d x h Bekannt: r 1,ρ,d,h 1,h,σ 0, Erdbescheunigung g.

43 .3 Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Zug/Druck-Stäbe 51.3 Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Zug/Druck-Stäbe.3.1 Der Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens In den vorherigen bschnitten haben wir zur Lösung statisch unbestimmter Systeme die fehenden Geichungen mit Hife kinematischer Bedingungen erhaten. Man kann diese Vorgehensweise durch Einführung unbekannter Kraftgrößen in eine aternative Methode, das Kraftgrößenverfahren (KGV), überführen. Dabei werden geichzeitig Geichgewichtsund Verformungsberechnungen an statisch bestimmten Systemen durchgeführt. a) usgangssystem b) 0-System c) 1-System X = C X = C C (0) (0) -u = - u C (1) (1) C = + (0) (1) B B bb..33. Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens: a) statisch unbestimmtes System mit gegebener äußerer Beastung; statisch bestimmtes Hauptsystem mit b) äußerer Beastung und c) statisch Unbestimmte X Der Grundgedanke des Kraftgrößenverfahrens ist beispiehaft in bb..33 für ein Stabsystem mit zwei homogenen Zug/Druck-Stäben 1 und dargestet: bb..33.a zeigt das statisch unbestimmte System mit einer Einzeast an dem Übergang. Die unbekannte Kraftgröße sei die Lagerkraft X = C am oberen Lager C. Man entfernt zunächst gedankich das Lager, womit in bb..33.b das sogenannte statisch bestimmte Hauptsystem entsteht. Die nach unten gerichtete Verschiebung des Lagers C ist geich der Längenänderung des Stabes infoge der Druckkraft, die nach G.(.8) (,,ea-orme ) berechnet wird: u (0) C = Δ(0) = E. (.65) Der obere Index (0) kennzeichnet das 0-System an dem die reae Beastung angreift. Das Minuszeichen berücksichtigt, dass wir positive Verschiebungs- und Kraftgrößen am Lager C nach oben gerichtet annehmen woen. Die sogenannte statisch Unbestimmte X muss nun gerade so groß sein, dass die Verschiebung u (0) am Lager C aufgehoben wird. Wie bb..33.c zeigt, setzt sich die durch X C erzeugte Verschiebung in C aus den Längenänderungen der Stäbe 1 und zusammen: u (1) C = Δ(1) 1 + Δ (1) = X 1 + X ( 1 = X + E 1 E E 1 E ). (.66)

44 5 Zug und Druck in Stäben Der obere Index (1) (nicht zu verwechsen mit dem Index für Stab 1) kennzeichnet das 1-System, an dem die unbekannte Kraftgröße X angreift. s Kompatibiitätsbedingung fordern wir, dass die gesamte Verschiebung u C am Lager C verschwindet. ür inear-eastisches Verhaten fogt durch Superposition u C = u (0) C + u(1) C = ( 1 + X + ) =0. (.67) E E 1 E Nach ufösung dieser Geichung erhät man die statisch Unbestimmte X 1. us Geichgewicht am Gesamtsystem kann ferner die zweite Lagerreaktion ermittet werden: 1 E X = E 1 + = C = B = C = (.68) E 1 E E 1 E.3. Lösungsschritte für das Kraftgrößenverfahren Man kann das Kraftgrößenverfahren auf n s fach statisch unbestimmte Systeme veragemeinern. Dazu wird das reae System durch Entfernen von n s kinematischen Bindungen Lösungsschritte für das Kraftgrößenverfahren für homogene Zug/Druck-Stäbe 1. Grad der statischen Unbestimmtheit n s : a) Vergeich der nzah von Unbekannten und Geichgewichtsbedingungen. b) ternativ: Verwendung einer bzähforme, siehe z.b. [17].. Wah eines statischen Hauptsystems: Durch Entfernen von n s Bindungen entsteht ein statisch bestimmtes Hauptsystem. Bei achwerken werden i.d.r. Stäbe (innere Bindungen) entfernt; es können auch ufager (äußere Bindungen) entfernt werden. Um die Verformungen des Hauptsystems zu verhindern, die im usgangssystem unmögich sind, wird für jede geöste Bindung eine statisch Unbestimmte X i eingeführt. 3. Berechnung am 0-System: ufbringen der gegebenen äußeren Beastung auf das Hauptsystem. Berechnung von Kraftgrößen (z.b. Kräfte, Schnittgrößen) und Längenänderungen Δ (0) j, j =1,..., n. Hierbei ist n geich der nzah der Stäbe. 4. Berechnungen an den i-systemen: ufbringen der Kraftgrößen X i auf das Hauptsystem. Berechnung von Kraftgrößen (z.b. Kräfte, Schnittgrößen) und Längenänderungen Δ (i) j, j =1,..., n, i =1,..., n s. 5. Kompatibiitätsbedingungen: Mit Hife der gesamten Längenänderungen Δ j = Δ (0) j + n s i=1 Δ(i) j, j =1,..., n werden n s Kompatibiitätsbedingungen formuiert, die ein ineares Geichungssystem darsteen. 6. Lösung des Geichungssystems: Durch Lösung des inearen Geichungssystems erhät man die tatsächich auftretenden Kraftgrößen X i, i =1,..., n s. 7. Berechnung weiterer Größen: Mit den bekannten Kraftgrößen X i berechnet man durch Superposition aer n s +1Lastfäe z.b. Spannungen und Verformungen. Tabee.8. Lösungsschritte für das Kraftgrößenverfahren

45 .3 Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Zug/Druck-Stäbe 53 (oder Stäben) auf ein statisch bestimmtes System zurückgeführt, das anschießend getrennt für n s +1Lastfäe untersucht wird: In dem 0-System wirkt die gegebene äußere Beastung, und in den i-systemen (i =1,,..., n s ) wirkt jeweis eine Kraftgröße X i in Richtung der entfernten kinematischen Bindung. ür ae (n s +1)statisch bestimmten Lastfäe werden die Längenänderungen der Stäbe ermittet und zur ormuierung von n s Kompatibiitätsbedingungen verwendet. Man erhät n s Geichungen für die n s unbekannten Kraftgrößen X i. Die übrigen Stabkräfte können anschießend durch Superposition der Lastfäe berechnet werden. Tabee.8 fasst die Lösungsschritte für das Kraftgrößenverfahren zur Berechnung von statisch unbestimmten, homogenen Zug/Druck-Stäben zusammen. Beispie.10 Horizontaer Träger an zwei Zugstäben Lösen Sie die ufgaben in Beispie.7 mit dem Kraftgrößenverfahren. Vorüberegungen: Es werden die Lösungsschritte in Tabee.8 abgearbeitet. a) Reaes System b) 0-System c) 1-System 3 1 Schnitt = + X1 X1 X1 S (0) (0) (1) S S1 (0) S S (1) S (1) X1 1 1 (3) v v 1 1 (0) (0) =0 1 (1) (1) 1 bb..34. a) Statisch unbestimmtes System und Verschiebungspan, b) 0-System mit reikörperbid und Verschiebungspan, c) 1-System mit reikörperbid und Verschiebungspan Lösung: 1. Grad der statischen Unbestimmtheit n s : ür das statische System in bb..34.a fogt nach dem statischen bzähkriterium n s =(r+z) 3n (Lagerbindungen r =++=

46 54 Zug und Druck in Stäben 6, Zwischenbindungen z =+=4, nzah der Teikörper n =3): n s = =1> 0, d.h. das System ist einfach statisch unbestimmt.. Wah eines statischen Hauptsystems: Wir entfernen die innere Bindung im Stab 1. Das bedeutet nicht, dass der Stab ganz außer cht geassen werden darf, da die innere Kraft X 1 im Lösungsschritt 4 paarweise auftritt. 3. Berechnung am 0-System: ür die gegebene äußere Beastung fogt aus Geichgewicht am freigeschnittenen statisch bestimmten Hauptsystem in bb..34.b: : S (0) =0 = S (0) =. (1) Die Längenänderungen der Stäbe 1 und an dem 0-System betragen (,,ea-orme ) Δ (0) 1 =0, Δ (0) = S(0) = 4. () (E) (E) 4. Berechnung am 1-System: ür die unbekannte Kraftgröße X 1 fogt aus Geichgewicht am freigeschnittenen statisch bestimmten Hauptsystem in bb..34.c: : S (1) + X 1 =0 = S (1) = X 1 (3) Die Längenänderungen der Stäbe 1 und an dem 1-System betragen für die Stabkraft S (1) = X 1 (,,ea-orme ) Δ (1) 1 = X 1 (E) 1, Δ (1) = S(1) = X 14. (4) (E) (E) 5. Kompatibiitätsbedingungen: Die gesamten Längenänderungen der Stäbe 1 und sind Δ 1 = Δ (0) 1 + Δ (1) 1 = X 1, Δ (E) = Δ (0) + Δ (1) = 4 X 14. (5) 1 (E) (E) Die Kompatibiität zwischen den Stäben und dem Träger an den ufhängepunkten wird in dem Verschiebungspan in bb..34.a untersucht: Da beide Stäbe eine Neigung von 45 haben, git für die vertikaen Verschiebungen an den ufhängepunkten v 1 = Δ 1, v = Δ. (6) Das estager ist geichzeitig Hauptpo (3) des Trägers. ür keine Verformungen fogt bei einer Winkeverdrehung Δϕ des Trägers und unter Berücksichtigung von (6) (siehe z.b. [17]): v 1 = Δϕ, v = Δϕ (7) = v 1 =v = Δ 1 =Δ. (8). 6. Lösung des Geichungssystems: Durch Einsetzen von (5) in (8) erhät man: X 1 ( 4 = X ) 14 4 (E) 1 = X 1 =. (E) 1 (E) (E) 4(E) 1 +(E) Dieses Ergebnis stimmt mit der Stabkraft S 1 in Beispie.7 überein.

47 .3 Das Kraftgrößenverfahren für statisch unbestimmte Zug/Druck-Stäbe Berechnung weiterer Größen: Mit der bekannten Kraftgröße X 1 berechnet man durch Superposition der Lastfäe weitere Kraft- und Verformungsgrößen. Beispiehaft erhät man: S 1 = S (0) 1 + S (1) 1 =0 +X 1 = S = S (0) + S (1) = X 1 = Δ 1 = Δ (0) 1 + Δ (1) 1 =0 + X 1 (E) 1 Δ = Δ (0) + Δ (1) = 4 (E) 4X 1 (E) = 4 (E) 1 4(E) 1 +(E) (E) 4(E) 1 +(E) = S1 8 = (E) 1 4(E) 1 +(E) 4 = Δ 1 4(E) 1 +(E). Durch Umsteung von G.(7) und Einsetzen der Geichungen (6) fogt schießich die Winkeverdrehung des Trägers: Δϕ = v = Δ. Diese Ergebnisse stimmen mit den Ergebnissen in Beispie.7 überein. Die zugehörigen Zahenwerte können Beispie.7 entnommen werden..3.3 ufgaben zu bschnitt.3 ufgabe.9 (SG=3,BZ=0min) Bearbeiten Sie ufgabe.6 mit dem Kraftgrößenverfahren. ufgabe.30 (SG=3,BZ=0min) Bearbeiten Sie ufgabe.9 mit dem Kraftgrößenverfahren. ufgabe.31 (SG=3,BZ=0min) Bearbeiten Sie ufgabe.10 mit dem Kraftgrößenverfahren. ufgabe.3 (SG=3,BZ=0min) Bearbeiten Sie ufgabe.11. mit dem Kraftgrößenverfahren. ufgabe.33 (SG=3,BZ=0min) Bearbeiten Sie ufgabe.17 mit dem Kraftgrößenverfahren.

48 56 Zug und Druck in Staben Bidaufnahme im Phaeno Wofsburg Die beiden bbidungen zeigen ein Hoztragwerk mit zwei verschiedenen nordnungen von drei geenkig verbundenen achstäben. Damit können wie dargestet zwei unterschiediche Geometrien für den Querschnitt erhaten werden, wobei die Gesamtfäche in beiden ächen jedoch geich ist. Infoge der Beastung mit einer Person erfährt das inke Tragwerk eine größere Verformung, was offensichtich auf die nordnung der Teifächen zurückzuführen ist. Mathematisch wird die nordnung der ächen durch sogenannte ächenmomente höherer Ordnung ausgedrückt. Im ogenden befassen wir uns insbesondere mit ächenmomenten. Ordnung.