Skript zur Vorlesung Wertpapieranalyse

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1 Skript zur Vorlesung Wertpapieranalyse Dietrich Baumgarten «11. Juli 2011

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3 Rechtlische Hinweise Das Skript dient ausschlieÿlich Lehrzwecken und wurde von einem unter Einuss von Rotwein stehenden Professor in einsamen Nachtstunden verfasst. Jede darin vertretene Meinung ist unsachlich, alle Aussagen sind falsch, jede Formel ist fehlerhaft. Daher dürfen Sie dieses Skript unter keinen Umständen für nanzielle Entscheidungen heranziehen, die Hochschule Darmstadt und der Autor schlieÿen jede Haftung aus und übernehmen natürlich auch keine Gewähr für die Richtigkeit auch nur einer einzigen Formel dieses Machwerks, denn jeder Fehler ist beabsichtigt und aus wohl durchdachten didaktischen Zwecken eingefügt, um die Aufmerksamkeit des Lesers zu fördern und die Suche nach Fehlern so lustig wie das Finden von Ostereiern zu gestalten. iii

4 Inhaltsverzeichnis 1 Zinsrechnung Grundbegrie Wofür gibt es Zins? Bestimmung des Zinssatzes Zinsrechnung Exponentielle Verzinsung Stetige Verzinsung Einfache Zinsen Einuss der Laufzeit Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz Zinsmethoden ICMA, ISMA und ISDA Die kalendergenaue Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) Die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) Zinsmethoden mit kalendergenauer Tagzählung Beispiele zu ACT/XXX Zinsmethoden mit vereinfachter Tagzählung (30E/360 und 30U/360) Beispiele zu 30/ Zinsmethode nach PAngV Abschlieÿende Bemerkungen Beispiele mit Zinsrechnung Rendite einer verzinsten Anlage Die Zinseszinsformel Die gemischte Verzinsung Beispiele zur gemischten Verzinsung Unterjährige Verzinsung Zinstermin und Zinsperiode Formel der unterjährigen gemischten Verzinsung Beispiele zur unterjährigen gemischten Verzinsung Gestaelte Verzinsung Bundesschatzbriefe Stückzinsen Rückgabe und Verkauf von Bundesschatzbriefen Steuerliche Behandlung Zusammenfassung Zeitmessung iv

5 Inhaltsverzeichnis Zeit nach PAngV Zinsformeln Aufgaben Lösungen Zinsrechnung mit Excel Zinsmethoden Die Excel-Funktion TAGE Die Excel-Funktion BRTEILJAHRE Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) Die Zinsmethode PAngV Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz Das Excel-Feature Zielwertsuche Automatischer Aufruf der Zielwertsuche Gemischte Verzinsung Unterjährige gemischte Verzinsung mit Excel Aufgaben Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Konto Der Barwert Zahlungsstrom Beispiel eines Zahlungsstroms Der Barwert eine Zahlungsstroms Äquivalenz von Zahlungsströmem Die Nettobarwertfunktion Investitionsrechnung Die Kapitalwertmethode Der interne Zinssatz Rendite und Efektivverzinsung Nominale und eektive Zahlungsströme Numerische Berechnung der Rendite Die Vorzeichenregel von Descartes Allgemeine Nettobarwertfunktionen Barwertberechnung mit Excel Zusammenfassung Aufgaben Lösungen Regelmäÿige Zahlungsströme Arithmetische Folgen und Reihen Geometrische Reihen und Folgen Grundbegrie der Rentenrechnung v

6 Inhaltsverzeichnis 4.4 Rentenzahlungen an Zinszuschlagszeitpunkten Nachschüssige Renten Vorschüssige Renten Konstante Renten Konstante nachschüssige Renten Konstante vorschüssige Renten Überperiodische konstante Zahlungen Unterperiodische regelmäÿige Zahlungen Die Barwertfunktion von konstanten Renten Arithmetisch veränderliche Renten Vorschüssig arithmetisch veränderliche Renten Unterperiodische arithmetisch veränderliche Zahlungen Geometrisch veränderliche Renten Ewige Renten Ewige Rente mit konstanten Raten Ewige geometrisch veränderliche Renten Barwertfunktion von geometrisch veränderlichen Renten Zusammenfassung Aufgaben Lösungen Praktikumsaufgabe Anleihen Grundlagen Einteilung Nullkuponanleihen Preisformel für Nullkuponanleihen Treasury Bills (T-Bills) Bubills Finanzierungsschätze des Bundes Spot- und Forward Rates Die Zinskurve Die Diskontierungsfunktion Renten Renten der Bundesrepublik Deutschland Bundesobligationen Bundesanleihen Strippen von Bundesanleihen Vergleich von Renten und Nullkuponanlagen Kaufpreis einer Rente Stückzinsen und Wertstellung Kaufpreisformeln Renditen von Renten Beispiele zur Renditeberechnung von Renten vi

7 Inhaltsverzeichnis Der Current Yield von Renten Kurse von Renten Berechnung der Zinskurve Exakte Berechnung Berechnung durch Regression Arbitrage Zeitliche Preissensitivität von Anleihen Zeitliche Veränderung von Anleihen Die modizierte Duration Die modizierte Duration bei Nullkuponanleihen Die Duration Die modizierte Duration von Portfolios Die Duration als mittlere Bindungsdauer einer Anleihe Die modizierte Duration von Zahlungsströmen Die Duration von Renten Der Durationsansatz bei Renten Die Duration als mittlere Bindungsdauer einer Rente Die modizierte Duration bei nicht acher Zinskurve Zusammenfassung Vermischte Beispiele Aufgaben Lösungen der Aufgaben Moderne Portfoliotheorie (MPT) Rendite und Risiko Einführung in die Portfoliotheorie Das Modell Berechnung der erwarteten Renditen Berechnung der Varianz und der Standardabweichung Berechnung der Kovarianzen Berechnung der Korrelationen Zufallsvektoren Kovarianz- und Korrelationsmatrix Erwartungswert und Varianz von Portfolios Systematisches und unsystematisches Risiko Eziente Portfolios Das Marktportfolio Risikoloser Zinssatz Marktezienz und Gleichgewicht Bestimmung des Marktportfolios Mathematische Herleitung Das Capital Asset Pricing Model (CAPM) Zusammenfassung vii

8 Inhaltsverzeichnis 6.11 Algorithmen Fall Fall Fall Beispiele Aufgaben Lösungen viii

9 Abbildungsverzeichnis 1.1 Vergleich zwischen einfacher (linearer) und exponentieller Verzinsung Konditionen von zwei Bundesschatzbriefen Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) Die Zinsmethode PAngV Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung Berechnung des Endkapitals bei gemischter Verzinsung Berechnung des Endkapitals bei gemischter unterjähriger Verzinsung Ein universelles Formular Die Barwertfunktion Die Nettobarwertfunktion aus Sicht der Bank Die Nettobarwertfunktion als Kapitalwertfunktion Die Nettobarwertfunktion des Beispiels Zielwertsuche mit Excel Zielwertsuche mit Excel Nettobarwertfunktion der Schisinvestition Graph und Nullstellen von f(x) = 0, 5x 4 2x Zeitstrahl einer nachschüssigen Rente Zeitstrahl einer vorschüssigen Rente Zahlungsstrom zum Beispiel Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente Ersatzrente einer unterjährigen, vorschüssigen Rente Barwertfunktion einer konstanten Rente Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente Ersatzrente einer unterjährigen, nachschüssigen Rente Barwertfunktion einer konstanten Rente Typische Formen der Zinskurve Zahlungsstrom einer Rente Ein Formular für Bundesanleihen Arbeitstabelle zur Berechnung der (modizierten) Duration Zahlungsstrom einer Rente Arbeitstabelle zur Berechnung der (modizierten) Duration Arbeitstabelle mit den Zinskurven und Diskontierungsfunktionen ix

10 Abbildungsverzeichnis 5.8 Zwei Zinskurven und zugehörige Diskontierungsfunktionen Arbeitstabelle zur Berechnung der Renditen Risiko-Ertragsdiagramm Arbeitsblatt zur Portfoliotheorie Abweichungen der Renditen vom Erwartungswert Systematisches und unsystematisches Risiko Ezienzgrenze Ezienzgrenze Berechnungen zum Beispiel Arbeitsblatt des Beispiels Arbeitsblatt der Aufgabe Arbeitsblatt der Aufgabe x

11 Tabellenverzeichnis 5.1 Kenndaten einiger Bundesanleihen am 13, Vier Aktien im Vergleich Marktkapitalisierung der drei Aktien xi

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13 1 Zinsrechnung Als Zinsrechnung bezeichnet man alle mathematische Formeln zur Berechnung der Zinsen, die für die Verleihung eines Geldbetrages innerhalb eines Zeitraumes anfallen. Es gibt zwei grundsätzliche Ansätze für die Verzinsung. Der Unterschied besteht in der Behandlung der bereits angefallenen aber noch nicht ausgezahlten Zinsen. Werden die Zinsen immer nur auf das Anfangskapital bezogen, spricht man von einfacher Verzinsung. Werden die Zinsen dagegen nach einer Zinsperiode genannten Zeit dem zu verzinsenden Kapital hinzugeschlagen, erhält der Gläubiger Zinsen auch auf die Zinsen, man spricht von Zinseszinsen. Beide Ansätze können aber auch verknüpft werden, was mit gemischter Verzinsung bezeichnet wird. Zinsen spielen in der Wertpapieranalyse die zentrale Rolle. Über Zinsen werden erzielte Renditen berechnet und der Wert zukünftiger Erträge ermittelt. 1.1 Grundbegrie Bei Geldgeschäften überlässt ein so genannter Gläubiger oder Kapitalgeber dem Schuldner für einen bestimmten als Laufzeit bezeichneten Zeitraum einen Anfangskapital genannten Betrag. Am Ende der Laufzeit wird vom Schuldner das Anfangskapital getilgt und zusätzlich der Zinsbetrag als Belohnung für die Überlassung des Geldes bezahlt. Die Gesamtsumme wird als Endkapital bezeichnet. Der Zinsbetrag ist ein bestimmter Prozentsatz des verliehenen Kapitals. Der auf ein Jahr bezogene Prozentsatz, wofür die Abkürzung p.a. für lateinisch pro anno gilt, wird als Zinssatz r bezeichnet, etwa r = 4%. Die reine Zahl, die vor dem Prozentzeichen steht, wird Zinsfuÿ genannt. Der Zinssatz gibt an, wieviel Prozent des Anfangskapitals nach einem Jahr als Zinsbetrag fällig sind. Bei Anlage von Euro zum Zinssatz von r = 4% werden also am Ende des ersten Jahres 40 Euro als Zinswert gut geschrieben. Der Gläubiger heiÿt so, weil er glaubt, dass der Schuldner am Ende der Laufzeit das entliehene Kapital zuzüglich einer Zinsbetrag genannten Belohnung tilgen kann. Beide Parteien können natürliche oder juristische Personen wie Banken und Unternehmen sein. Zwischen Gläubiger und Schuldner besteht ein Schuldverhältnis, das in der Regel vertraglich abgesichert ist. Eine Bank schlieÿt z.b. einen Darlehensvertrag mit dem Nehmer des Darlehens ab. Typische Geschäfte dieser Art ndet man in den folgenden Finanzbereichen. ˆ Spareinlagen bei einer Bank, der Kunde ist Gläubiger, die Bank Schuldner. ˆ Darlehen von einer Bank, der Kunde ist Schuldner, die Bank Gläubiger. 1

14 1 Zinsrechnung ˆ Anleihen von Staaten oder Unternehmen. Hier sind die Käufer die Gläubiger und die Emittenten (Staat, Unternehmen) die Schuldner. 1.2 Wofür gibt es Zins? Der Zinsbegri ist zentral für alle Bereiche der Finanzen. Zinsen haben etwas anrüchiges, da der Gläubiger sie scheinbar ohne eigene Arbeit erzielt. Zinsen werden aus vier Gründen gefordert: ˆ Inationsausgleich. Der Gläubiger möchte real nach Abzug der Geldentwertung am Ende nicht schlechter als am Anfang da stehen. ˆ Liquiditätsprämie. Der Gläubiger wird für den zeitweisen Verzicht auf die Verfügbarkeit des verliehenen Geldes belohnt. ˆ Risikoprämie. Die Unsicherheit des Gläubigers, ob der Schuldner Zinsen und Tilgung zurückzahlen kann, wird ebenfalls mit den Zinsen bezahlt. ˆ Gewinstreben. Natürlich möchte der Gläubiger durch das Verleihen von Geld auch ein Geschäft machen, das Geld arbeiten lassen, wie es so schön heiÿt. Zur Arbeit verdammt ist aber nur der Schuldner, um Kapital und Zinsen leisten zu können. Inationsausgleich ist ein ehrenwertes Anliegen, die anderen Anliegen stossen dagegen auf wenig Sympathie. Wegen der Risiko- und Zeitabhängigkeit der Zinsen gibt es auch keinen einheitlichen Zinssatz, sondern für jede Risikoklasse und für jede Zeit einen eigenen. Der Zinssatz ist also eine Funktion r = r(t, σ), wobei t der Parameter der Zeit und σ ein noch näher zu kennzeichnendes Maÿ für das Risiko ist. In normalen Zeiten wächst r(t, σ) monoton in t und σ. 1.3 Bestimmung des Zinssatzes Die Höhe des Zinssatzes ist natürlich marktabhängig, berücksichtigt aber auch die Bonität des Schuldners. Nach unseren grundsätzlichen Überlegungen sollte sich der Zinssatz aus vier Komponenten zusammensetzen: r = r I + r L + r R + r G, wobei jede der einzelnen Zahlen Ination, Liquidität, Risiko und Gewinn berücksichtigt. Die beiden ersten Komponenten hängen kaum vom Schuldner ab, während die Risikound die Gewinnkomponente ganz stark dessen Situation widerspiegeln. Generell gilt, dass 2

15 1.4 Zinsrechnung das Gewinnstreben mit eingegangenen Risiko wächst. Je dringender also Geld benötigt wird, umso teurer wird es. So muss im Frühjahr 2009 der Bund vertreten durch den Finanzminister rund 6 Prozent weniger Zinsen zahlen als die krisengeschüttelte Automobilindustrie. Daimler geriet dadurch in eine so verzweifelte Lage, dass einem Investor aus dem Nahen Osten rund 10 Prozent des Aktienkapitals für knapp 2 Milliarden Euro überlassen wurde. 1.4 Zinsrechnung Als Zinsrechnung bezeichnet man alle mathematische Formeln zur Berechnung der Zinsen, die für die Verleihung eines Geldbetrages innerhalb eines Zeitraumes anfallen. Im Verlauf der Zeit wurden zwar viele unterschiedliche Formeln entwickelt, aber immer werden folgende vier Gröÿen berücksichtigt: ˆ Das Anfangskapital K 0, also die verliehene Geldsumme. ˆ Der Zinssatz r, d.h. der Prozentsatz, der den auf das Anfangskapital bezogenen Zinsbetrag für ein Jahr festlegt. ˆ Die Laufzeit t, d.h. den Zeitraum für die Überlassung des Anfangskapitals. Zeiten werden in der Finanzmathematik immer mit der Einheit Jahr angegeben. ˆ Das Endkapital K t, also die am Ende der Laufzeit fällige Geldsumme aus Anfangskapital und Zinsbetrag. Da der Zinssatz inations- und damit zeitabhängig ist, bleibt er nicht für immer konstant. Die Zinsbindung ist die Zeit, wo der Zinsatz unverändert bleibt. Zinssatz und Zinsbindung werden von Gläubiger und Schuldner je nach Marktbedingungen ausgehandelt. Wenn Sie also von einem Freund Euro bei einem Zinssatz von 2 % für vier Jahre leihen, sind K 0 = 5.000, r = 2% und t = 4. Nur das Endkapital kennen wir noch nicht. Es gibt zwei grundsätzliche Ansätze für die Verzinsung. Der Unterschied besteht in der Behandlung der bereits angefallenen aber noch nicht ausgezahlten Zinsen. Werden diese nach einer bestimmten Zeit dem zu verzinsenden Kapital hinzugeschlagen, erhält der Gläubiger Zinsen auch auf die Zinsen, daher rührt die Bezeichnung Zinseszinsen. Werden die Zinsen immer nur auf das Anfangskapital bezogen, spricht man von einfacher Verzinsung. Beide Ansätze können aber auch verknüpft werden, was mit gemischter Verzinsung bezeichnet wird. Für private Geldgeschäfte sind nur einfache Zinsen erlaubt, während Finanzunternehmen wie Banken auch Zinseszinsen gestattet sind. In unserem Beispiel dürfte Ihr Freund also als Zinsbetrag nur viermal zwei Prozent von Euro verlangen, insgesamt 400 Euro. 3

16 1 Zinsrechnung 1.5 Exponentielle Verzinsung Nach diesen grundsätzlichen Überlegungen soll jetzt eine Formel für die Verzinsung gewonnen werden. Diese soll von der Form K t = K 0 f(t) sein, wobei die Funktion f(t) den Wert zum Zeitpunkt t eines zum Zeitpunkt 0 verliehenen Euros darstellt. Der Wert jedes anderen Anfangskapitals muss dazu proportional sein. Diese Funktion muss streng monoton wachsend sein und die Bedingung f(t + s) = f(t)f(s) (1.1) erfüllen, denn die Verleihung von K 0 über den Zeitraum t + s muss zum selben Endwert führen, wie die Verleihung von K 0 über den Zeitraum t und die anschlieÿende Ausleihe des Zwischenbetrags K 0 f(t) über die weitere Zeitspanne s. Bezeichnet man mit r die Zuwachsrate für ein Jahr, so gilt f(1) = 1 + r. (1.2) Die einzige Funktion, die die beiden Gleichungen (1.1) und (1.2) erfüllt, ist durch gegeben. Somit gilt f(t) = (1 + r) t (1.3) K t = K 0 (1 + r) t. (1.4) Denition 1.1. Jede Verzinsung, die nach diesem Gesetz erfolgt, heiÿt exponentielle Verzinsung. Die Zahl r ist der Zinssatz und t die Laufzeit. Der Zinsbetrag Z t ist die Dierenz zwischen End- und Anfangskapital. Wenn Sie also die Euro nicht von einem Freund, sondern von einer Bank zu 2 Prozent für vier Jahre bei exponentieller Verzinsung ausleihen, wird am Ende der Betrag fällig. Der Zinsbetrag ist 412,16 Euro. 1.6 Stetige Verzinsung K t = 1, = 5412, 16 e Die Gleichung (1.4) auf Seite 4 lässt sich durch die Exponential- und Logarithmusfunktion wie folgt umschreiben: K t = K 0 e ln(1+r)t. (1.5) Setzt man so ergibt sich r = ln(1 + r), K t = K 0 e rt. (1.6) Lässt man die Tilde über dem Zinssatz weg, erhält man eine weitere Form der Verzinsung. 4

17 1.6 Stetige Verzinsung Denition 1.2. Werden Anfangs- und Endkapital über die Zinsformel verknüpft, spricht man von stetiger Verzinsung. K t = K 0 e rt (1.7) Diese Form der Verzinsung ist in den USA gebräuchlich, und wird bei Renditerechnungen verwendet. Stetige Verzinsung und exponentielle Verzinsung sind gleichwertig, was in einem Satz festgehalten werden soll. Satz 1.1. Die stetige Verzinsung zum Zinssatz r entspricht der exponentiellen Verzinsung zum Zinssatz e r 1. Umgekehrt entspricht der exponentiellen Verzinsung zum Zinssatz r die stetige zum Zinssatz ln(1 + r). Wegen e r 1 > r für r > 0 führt bei gleichem Zinssatz und sonst gleichen Bedingungen die stetige Verzinsung zu einem höheren Endkapital als die exponentielle. Es sei noch angemerkt, dass in der Literatur der Zinssatz bei exponentieller Verzinsung konform und der bei stetiger Verzinsung kontinuierlich genannt wird. Die stetige Verzinsung selbst wird ebenfalls zuweilen als kontinuierlich bezeichnet. Abschlieÿend ein Beispiel zu den beiden Formen der Verzinsung. Beispiel 1.1. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von Euro zwischen dem und dem bei einem Zinssatz von r = 0, 08 mit exponentieller und stetiger Verzinsung? Wie müsste der Zinssatz der exponentiellen Verzinsung sein, damit sich derselbe Endwert wie bei der stetigen Verzinsung ergibt? Das Kapital wird genau fünf Jahre verzinst. Somit ergibt sich bei der exponentiellen Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 5 = , 08 Euro und bei der stetigen Verzinsung K t = e 0,08 5 = , 70 Euro. Der Endwert von ,70 Euro würde bei exponentieller Verzinsung bei einem Zinssatz von r = e r 1 = e 0,08 1 = 0, erreicht. Bei gleichem Zinssatz ergibt die stetige Verzinsung immer einer höheren Endwert als die exponentielle Verzinsung. 5

18 1 Zinsrechnung 1.7 Einfache Zinsen Die Grundformel der exponentiellen Verzinsung (1.4) würde zur Abwicklung aller Zinsgeschäfte genügen. Die Berechnung ist mit modernen Taschenrechner problemlos möglich, aber in früheren Zeiten nur mit Logarithmentafeln. Daher wurde die Grundformel linearisiert. Denition 1.3. Werden Anfangs- und Endkapital über die Zinsformel verknüpft, spricht man von einfacher Verzinsung. K t = K 0 (1 + rt). (1.8) Trägt man K t über der Zeit ab, ergibt sich eine Gerade, deshalb wird diese Form der Verzinsung auch manchmal lineare Verzinsung genannt. Betrachten wir ein Beispiel mit allen bisher bekannten Zinsformeln. Beispiel 1.2. Welchen Endwert erreicht ein Kapital von Euro zwischen dem und dem bei einem Zinssatz von r = 0, 03 mit exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung? Wie müsste der Zinssatz der stetigen Verzinsung sein, damit sich derselbe Endwert wie bei der exponentiellen Verzinsung ergibt? Das Kapital wird genau zwei Jahre verzinst. Somit ergibt sich bei der exponentiellen Verzinsung und bei der stetigen Verzinsung K t = (1 + 0, 03) 2 = , 00 Euro Bei der einfachen Verzinsung erhält man K t = e 0,03 2 = , 55 Euro. K t = (1 + 0, 03 2) = , 00 Euro. Der Endwert von ,00 Euro würde bei stetiger Verzinsung bei einem Zinssatz von erreicht. r = ln(1 + r) = 0, Bei allen Beispielen habe ich bisher immer als Einheit der Zeit ein Jahr verwendet. Das ist so üblich und sei noch einmal festgehalten. Die Einheit der Zeit ist in der Finanzmathematik in der Regel ein Jahr. 6

19 1.8 Einuss der Laufzeit 1.8 Einuss der Laufzeit Ist die Laufzeit geringer als ein Jahr, führt die einfache Verzinsung zu höheren Zinserträgen als die exponentielle Verzinsung. Bei Laufzeiten ab einem Jahr dreht sich das zunächst langsam und dann mit wachsender Laufzeit immer deutlicher um. Das verdeutlicht die Abbildung 1.1 auf Seite 7, die das erzielte Endkapital einer Anlage von Euro zum Zinssatz von 8 Prozent bei einfacher und exponentieller Verzinsung als Funktion der Laufzeit zeigt. Für kleine Zeitabstände ist der Unterschied zwischen den beiden Formen der Verzinsung gering, daher wird auf dem Geldmarkt, wo die Verleihungszeiten nicht höher als ein Jahr sind, meistens mit linearen Zinsen gerechnet Vergleich von linearer und exponentieller Verzinsung Endkapital Zeit in Jahren Abbildung 1.1: Vergleich zwischen einfacher (linearer) und exponentieller Verzinsung. 1.9 Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz Wir haben bis jetzt drei verschiedene Arten der Verzinsung kennengelernt, und zwar die exponentielle, die stetige und die lineare Verzinsung. Die drei Grundformeln lauten: Exponentielle Verzinsung: K t = K 0 (1 + r) t, (1.9) Stetige Verzinsung: K t = K 0 e rt, (1.10) Einfache Verzinsung: K t = K 0 (1 + rt). (1.11) 7

20 1 Zinsrechnung In jeder Formel sind die vier Gröÿen K t, K 0, r und t beteiligt. Jede Formel lässt sich nach einer der vier Gröÿen auösen. Man kann das Ausgangskapital K 0 wie folgt aus den restlichen Gröÿen berechnen: Die Auösungen nach r folgen jetzt. K 0 = K t (1 + r) t, (1.12) K 0 = K t e rt, (1.13) K 0 = K t 1 + rt. (1.14) r = ( Kt K 0 Als letztes gebe ich die Auösungen nach t an Zinsmethoden ) 1/t 1, (1.15) r = ln(k t) ln(k 0 ), (1.16) t r = K t K 0. (1.17) K 0 t t = ln(k t) ln(k 0 ), ln(1 + r) (1.18) t = ln(k t) ln(k 0 ), r (1.19) t = K t K 0. (1.20) K 0 r In jeder der drei Zinsformeln gehen der Zinssatz r und die Zeit t zwischen Ein- und Auszahlung ein. Die Einheit der Zeit ist ein Jahr. Die Messung der Zeit erfolgt über die Berechnung der Tage zwischen Anfangs- und Enddatum und anschlieÿender Division durch die Anzahl der Tage in einem Jahr. Das scheint banal zu sein, aber trotzdem gibt es viele verschiedene Methoden zur Berechnung von t, die ich jetzt vorstellen werde. Zunächst noch die formale Denition des Begries Zinsmethode. Denition 1.4. Jede Zinstagzählmethode, englisch day count convention, legt fest, wie viel Tage zwischen zwei Daten liegen und welche Zeit t anzurechnen ist. Meist wird nur die verkürzte Bezeichnung Zinsmethode verwendet ICMA, ISMA und ISDA Bei der Beschreibung und Festlegung der Zinsmethoden sind drei internationale Organisationen maÿgeblich beteiligt, deren Abkürzungen auch noch leicht zu verwechseln sind. 8

21 1.10 Zinsmethoden ˆ ICMA: International Capital Market Association. Die International Capital Market Association (ICMA) ist eine selbstregulierende Organisation und Handelsvereinigung, welche Mitglieder aktiv am internationalen Markt vertritt, u.a. globale und lokal tätige Banken, Zentralbanken, Börsen, Fonds- Gesellschaften und Wertpapierhändler. Die Regelwerke und Richtlinien von ICMA werden weltweit beachtet und angewendet. Die ICMA beschreibt sich im Internet wie folgt selbst: It(=ICMA) represents a broad range of capital market interests including global investment banks and smaller regional banks, as well as asset managers, exchanges, central banks, law rms and other professional advisers amongst its member rms. ICMA's market conventions and standards have been the pillars of the international debt market for over 40 years. Der Sitz von ICMA ist in Zürich. Diese Organisation ist wohl die im Zusammenhang mit Zinsmethoden wichtigste. ˆ ISMA: International Securities Market Association Die International Securities Market Association (ISMA) ist eine selbstregulierende Organisation und ein Wirtschaftsverband für den internationalen Wertpapier- Markt. Ihre Hauptaufgabe ist die Beaufsichtigung und Regulierung des sich schnell ändernden Marktes durch die Ausgabe von Richtlinien und Empfehlungen. Die IS- MA wurde 1969 als Association of International Bond Dealers (AIBD) mit der Zielstellung gegründet, einen Rahmen und ein Regelwerk für den grenzüberschreitenden Eurobond-Markt zu schaen, durch das dieser aufstrebende Markt mit der notwendigen Stabilität funktionieren konnte. Heute hat die ISMA über 450 Mitglieder in fast 50 Ländern. Anfang der 90er Jahre reichte die ISMA ihr Regelwerk, d.h. ihre Gesetze, Verordnungen, Richtlinien und Empfehlungen bei der Europäischen Kommission zur Prüfung ein. Im Dezember 1992 stellte die Kommission fest, daÿ die ISMA-Regeln mit dem EU-Recht kompatibel sind. Die Eektivzinsmethode ist Bestandteil der ISMA Rule 25. (Zitiert nach zinsmethoden.de am ) ˆ ISDA: International Swaps and Derivatives Association Die International Swaps and Derivatives Association (ISDA) ist eine Handelsorganisation der Teilnehmer am Markt für OTC-Derivate. Ihr Hauptsitz bendet sich in New York. Die ISDA hat einen standardisierten Vertrag, das ISDA Master Agreement, veröentlicht, die zwei Vertragspartner abschlieÿen, bevor sie miteinander Derivate handeln. OTC steht für over the counter und meint Finanzinstrumente, die direkt zwischen den Vertragspartnern abgeschlossen werden, und somit weder nicht standardisiert sind noch an einer Börse gehandelt werden. (Zitiert nach Wikipedia vom ) Die Bedeutung dieser Organisationen für die Zinsmethoden wird im folgenden drolligen Zitat ersichtlich: The International Capital Markets Association (ICMA) has veried to IS- DA that the Day Count Convention formerly known as ACT/ACT (ISMA) 9

22 1 Zinsrechnung is now known as ACT/ACT (ICMA) and that the two conventions are identical. Ich beschreibe die Zinsmethoden entsprechend des Internetauftritts von ICMA und übernehme deren Bezeichnungen und Abkürzungen Die kalendergenaue Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) Diese Methode wurde also früher ACT/ACT (ISMA) genannt und geistert bis heute unter dieser Bezeichnung durch die Literatur und das Internet. Die Abkürzung ACT steht dabei für actual=taggenau. Hier werden im Anfangsjahr die Tage bis zum Jahresende genau gezählt und dabei der erste Tag mitberechnet und das Ergebnis wird durch die Anzahl der Tage des entsprechenden Jahres geteilt. Dann werden alle ganzen Jahre dazu gezählt. Abschlieÿend werden im Endjahr wieder die restlichen Tage gezählt, das Enddatum aber nicht mit einbezogen, und auch diese Zahl durch die Anzahl der Tage des Endjahrs geteilt. Diese Vorgehensweise berücksichtigt Schaltjahre ohne jede Einschränkung und ist deshalb die einzige in meinen Augen kalendergenaue Zinsmethode. Beispiel 1.3. Betrachten wir die Zeit vom bis zum Das Anfangsjahr ist ein Schaltjahr mit 366 Tagen. In diesem Jahr werden alle 311 Tage einschlieÿlich des gezählt, das ergibt den Bruch 311/366. Danach folgen fünf ganze Jahre. Im Endjahr wird der nicht gezählt, sodass nur 89 Tage zusammenkommen. Somit ist t = = 6, Beispiel 1.4. In einer anderen Variante dieses Ansatzes wird der erste Tag nicht gezählt, aber der letzte. Dann wäre bei unveränderten Daten Weitere Beispiele später. t = = 6, Die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) Diese Zinsmethode wird in einer Excel-Funktion verwendet und in der Beschreibung act/act genannt, ich werde die Bezeichnung ACT/ACT (EXCEL) verwenden, da ihre Implementation nicht mit der beschriebenen Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) übereinstimmt. Die Ausgestaltung von Microsoft ist sehr eigenwillig und wird im Netz heiÿ diskutiert und ist nach meinem Teststand wie folgt. Zunächst werden die Tage k zwischen Anfangs- und Endtermin kalendergenau gezählt. Die Anzahl der Tage y in einem Jahr wird wie folgt berechnet. 1. Liegen Anfangs- und dem Enddatum im gleichen Jahr, ist in einem Schaltjahr y = 366, und sonst ist y =

23 1.10 Zinsmethoden 2. Liegen Anfangs- und Enddatum in verschiedenen Jahren, aber innerhalb einer Dierenz von höchsten einem Jahr, ist y = 366, wenn innerhalb des Zeitraums ein Schalttag, also der fällt, sonst ist y = Liegt zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum mehr als ein Jahr, müssen alle Jahre, einschlieÿlich der angebrochenen gezählt werden, das ergibt eine Zahl n. Dann wird die Gesamtzahl der Schaltjahre gezählt, das ergibt eine Zahl m. Dann ist y = m n. Die Zeit t zwischen Anfangs- und Endatum ist der Bruch t = k/y. Bemerkung 1.1. Wenn Anfangs- und Enddatum innerhalb eines Jahres liegen oder sich dazwischen kein Schaltjahr bendet, liefern die Zinsmethoden ACT/ACT (EXCEL) und ACT/ACT /ICMA) das gleiche Ergebnis. Ich werde die Zinsmethoden ACT/ACT (EXCEL) nur selten in Zinsrechnungen verwenden, erwähne sie aber, weil sie in der Excel-Arbeitsblattfunktion BRTEILJAHRE implementiert und in der Beschreibung leider act/act genannt wird, obwohl sie nicht mit ACT/ACT (ICMA) übereinstimmt Zinsmethoden mit kalendergenauer Tagzählung Bei den zwei nun folgenden Zinsmethoden werden zunächst die Anzahl der Tage zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum kalendergenau berechnet, wobei das Enddatum nicht mitgezählt wird. Diese Zahl wird anschlieÿend durch einen Nenner geteilt, der der Anzahl der Tage in einem Jahr entspricht. Die Anzahl der Tage in einem Jahr wird vereinfacht entweder auf 360 oder 365 auf 365 Tage gesetzt. Dieser seltsame Ansatz stammt aus Frankreich und England. Die Bezeichnungen sind ACT/360 bzw. ACT/365. ˆ Eurozinsmethode: ACT/360. Die Zeit t zwischen Anfangs- und Enddatum ist der Bruch t = k/360, wobei k die Anzahl der kalendergenau gezählten Tage zwischen Anfangs- und Endtermin ist. Diese Zinsmethode wird auch französisch genannt. Diese Zinsmethode wird in Deutschland u.a. bei Floating Rate Notes und am Euromarkt für fast alle Währungen angewandt. ˆ Englische Zinsmethode: ACT/365. Die Zeit t zwischen Anfangs- und Endatum ist der Bruch t = k/365, wobei k die Anzahl der kalendergenau gezählten Tage zwischen Anfangs- und Endtermin ist. Diese in England verbreitete Zinsmethode ist in Deutschland u.a. bei Geldmarktpapieren gebräuchlich Beispiele zu ACT/XXX Die vier Methoden mit kalendergenauer Tagzählung seien jetzt an einigen Beispielen veranschaulicht. 11

24 1 Zinsrechnung Beispiel 1.5. Betrachten wir die Zeit vom bis zum Bei allen Methoden muss zunächst die Anzahl der Tage zwischen Anfangs- und Enddatum kalendergenau gezählt werden. Das sind hier 220 Tage. Anfangs- und Enddatum liegen in einem Jahr, deshalb haben ACT/ACT (ICMA) und ACT/ACT (EXCEL) dasselbe Ergebnis, nämlich 220/366, da der Zeitraum innerhalb eines Schaltjahrs liegt. Bei der Eurozinsmethode muss 220 durch 360 und bei der englischen Methode durch 365 geteilt werden. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA) ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 ACT/ / / / /365 Beispiel 1.6. Betrachten wir die Zeit vom bis zum Das sind wieder 220 Tage. Der Zeitraum liegt innerhalb desselben Jahres, aber nicht in einem Schaltjahr, somit ergibt sich bei ACT/ACT (ICMA) und ACT/ACT (EXCEL) der Wert 220/365. Da weder die Eurozins- noch die französische Methode Schaltjahre berücksichtigen, bleiben die Werte wie im vorigen Beispiel. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA) ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 ACT/ / /36 220/ /365 Beispiel 1.7. Betrachten wir die Zeit vom bis zum Bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) muss der Zeitraum in die Anteile der beiden Jahre aufgeteilt werden. Im Jahr 2000 sind dies 311 Tage, im Jahr 2001 weitere 55, insgesamt 366 Tage, da der zu diesem Zeitraum gehört. Bei der Methode ACT/ACT (EXCEL) wird diese Zahl durch y = 366 geteilt, denn der Zeitraum ist genau ein Jahr und enthält einen Schalttag. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA) ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 ACT/ / / / / /365 Beispiel 1.8. Betrachten wir die Zeit vom bis zum Bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) muss der Zeitraum in die Anteile der beiden Jahre aufgeteilt werden. Im Jahr 2000 sind dies 282 Tage, im Jahr 2001 weitere 55, insgesamt 337 Tage. Der Zeitraum ist geringer als ein Jahr, hat 337 Tage und enthält keinen Schalttag, somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) y = 365. Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA) ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 ACT/ /366+55/ / / /365 Beispiel 1.9. Betrachten wir die Zeit vom bis zum Bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) muss der Zeitraum in die Anteile der beiden Jahre aufgeteilt werden. Im Jahr 2000 sind dies 311 Tage, im Jahr 2001 weitere 56. Der Zeitraum ist nun gröÿer als ein Jahr und hat 367 Tage. Einschlieÿlich der angebrochenen Jahre sind zwei Jahre beteiligt, also ist n = 2. Da 2000 ein Schaltjahr war, ist m = 1 und somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) y = /2. Alle Werte von t zeigt die folgende Tabelle. 12

25 ACT/ACT (ICMA) ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 ACT/ / / /365,5 367/ / Zinsmethoden Beispiel Betrachten wir die Zeit vom bis zum Dieser Zeitraum enthält fünf ganze Jahre und die angebrochenen Jahre 2000 und 2006 mit 311 bzw 89 Tagen. Somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) t = 311/ /365. Der Zeitraum enthält 2226 Tage verteilt auf n = 7 Jahre, wovon m = 2 Schaltjahre sind, nämlich 2000 und Somit ist bei der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) y = ( /7) = 365, Die Werte für t sind deshalb wie in der Tabelle. ACT/ACT (ICMA) ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 ACT/ / / /(365+2/7) 2226/ / Zinsmethoden mit vereinfachter Tagzählung (30E/360 und 30U/360) Bei diesen Methoden wird vereinfacht angenommen, dass ein Jahr 360 Tage mit 12 Monaten mit je 30 Tagen hat. Daher rührt die Bezeichnung 30/360. Trotz des gemeinsamen Ansatzes gibt es zwei Versionen, die jetzt vorgestellt werden. Dabei werde ich folgende Bezeichnungen verwenden: ˆ (D1.M1.Y 1). Das Anfangsdatum t 1 etwa der mit D1 = 11, M1 = 12 und Y 1 = ˆ (D2.M2.Y 2). Das Enddatum t 2 Y 2 = etwa der mit D2 = 1, M2 = 2 und Aus diesen Angaben müssen jetzt Formeln für den zeitlichen Abstand t = t 2 t 1 hergeleitet werden. Obwohl in beiden Fällen jeder Monat mit 30 Tagen und damit das Jahr mit 360 Tagen angesetzt wird, gibt es trotzdem zwei verschiedene Ansätze dazu, ein deutscher (europäischer) und ein amerikanischer. Beide berechnen die Anzahl der Tage wie folgt: k = (Y 2 Y 1)360 + (M2 M1)30 + (D2 D1) Hier sind wie beschrieben die (D1.M1.Y 1) und (D2.M2.Y 2) Anfangs- und Enddatum und D1 sowie D2 Werte, die von D1 und D2 abhängen. Diese Zahl wird durch 360 geteilt und ergibt den Wert der Zeit t, d.h. t = k 360 Deutsche Zinsmethode: 30E/360 = (Y 2 Y 1) + (M2 M1)/12 + (D2 D1)/360 Diese Zinsmethode wird meist 30E/360 genannt. Die beiden Vorschriften zur Berechnung von D1 und D2 sind ganz einfach 13

26 1 Zinsrechnung ˆ Falls D1 gleich 31 ist, setze D1 = 30 sonst setze D1 = D1. Es gilt also D1 = min(30, D1). ˆ Falls D2 gleich 31 ist, setze D2 = 30 sonst setze D2 = D2. Es gilt also D2 = min(30, D2). Der 31. Kalendertag spielt also keine Rolle und wird wie der 30. behandelt. Endet oder beginnt der Vertrag im Februar werden die Tage kalendergenau gezählt, der 28. Februar, bzw. im Schaltjahr der 29. Februar sind also dann tatsächlich erst der 28. bzw. 29. Zinstag. Sobald der Februar aber überschritten ist, zählt auch er wie alle anderen Monate mit 30 Tagen. Diese Methode wird in Deutschland u.a. bei Sparbüchern und Termingeldern angewandt. Amerikanische Zinsmethode: 30U/360 Diese Zinsmethode wird meist 30U/360 genannt. Die beiden Vorschriften zur Berechnung von D1 und D2 sind etwas undurchsichtig: ˆ Setze D1 = 30 falls D1 der letzte Tag des Monats ist. Sonst sei D1 = D1. ˆ Setze D2 = D2. Ist aber D2 gleich 31 und D1 gleich 30, so setze D2 = 30. Die erste Bedingung führt nur im Februar zu unterschiedlichen Werten für D1, denn die Amerikaner setzen das Monatsende im Februar auf den Wert 30, die Deutschen aber nie. Deshalb vergehen nach deutscher Rechnung zwischen dem und dem drei Tage, bei unseren transatlantischen Beschützern aber nur ein Tag. Für D2 ergeben sich unterschiedliche Werte, wenn der Tag des Enddatums die 31 ist, der Tag des Anfangsdatums aber nicht der 30. oder 31. Tag. Also vergehen zinsmäÿig zwischen dem und dem in Europa 89 Tage, in Amerika dagegen 90 Tage. Amerika, du hast es besser, soll Goethe gesagt haben, der allerdings nie dort war Beispiele zu 30/360 Beispiel Betrachten wir die Zeit vom bis zum Hier sind D 1 = 29 und D 2 = 31, M 1 = 2 und M 2 = 3 sowie Y 1 = 2000 und Y 2 = Nach deutschem Ansatz ergeben sich D1 = 29 und D2 = 30, während man in den USA D1 = 30 und D2 = 30 erhält. Somit sind nach der Zinsmethode 30E/360 t = ( ) + (3 2)/12 + (30 29)/360 = 391/360 und nach der Zinsmethode 30U/360 t = ( ) + (3 2)/12 + (30 30)/360 = 390/360 14

27 1.10 Zinsmethoden Beispiel Betrachten wir nun die Zeit vom bis zum Hier sind D 1 = 28 und D 2 = 31, M 1 = 2 und M 2 = 3 sowie Y 1 = 2000 und Y 2 = Nach deutschem Ansatz ergeben sich D1 = 28 und D2 = 30, während man in den USA D1 = 28 und D2 = 31 erhält. Somit sind nach der Zinsmethode 30E/360 t = ( ) + (3 2)/12 + (30 28)/360 = 392/360 und nach der Zinsmethode 30U/360 t = ( ) + (3 2)/12 + (31 28)/360 = 393/ Zinsmethode nach PAngV In Deutschland ist in der so genannten Preisangabeverordnung (PAngV) eine weitere Zinsmethode vorgeschrieben, die zwar umständlich zu erklären, aber besonders bei regelmäÿigen Zahlungen vorteilhaft ist. Allerdings wird diese Formel niemals zur Berechnung von Zinsen verwendet, sondern nur zur Berechnung des Eektivzinssatzes eines Kredits oder der Rendite einer Investition. Die Vorgaben sind wie folgt: Schaltjahre werden nicht berücksichtigt. Monate mit 31 Tage werden auf 30 Tage zurückgestutzt, in diesen Monaten sind dann sowohl der 30. als auch der 31. Tag das Monatsende. Im Februar sind entsprechend bereits die Tage 28 und 29 das Monatsende und erhalten die Nummer 30. Dann werden für die Zeitspanne t zwischen zwei Zeitpunkten zunächst die Monate gezählt, wobei Monate am Tag des Anfangsdatums beginnen. Für den noch verbleibenden Rest werden die Tage gezählt als Bruchteil eines Jahres hinzugefügt. Schauen wir einige Beispiele an. Beispiel a) Zeit vom bis zum bis Hier werden zunächst die 21 Monate vom bis zum veranschlagt, dazu kommt noch ein Tag im Zeitraum vom bis zum , da der letzte Tag selbst nicht mehr zählt. Somit tp = 21/12 + 1/365 = 1, b) Zeit vom bis zum bis Hier werden zunächst die 25 Monate vom bis zum veranschlagt, dazu kommen im Mai die vier Tage vom bis zum , da Monatslängen bei PAngV auf 30 Tage festgelegt sind, und noch 7 Tage im Juni 2002, also tp = 25/ /365 = 2, c) Zeit vom bis zum bis Aus dem wird trotz des Schaltjahrs der , während der auf den gestutzt wird. So kommt man auf volle 27 Monate, also tp = 27/12 = 2,

28 1 Zinsrechnung Die deutsche Zinsmethode PAngV ist wie gesehen für die Rechnung mit Papier und Bleistift ziemlich einfach. Für Excel oder andere Programme wird aber auch eine Formel benötigt, und die sieht schwieriger aus als die der anderen Zinsmethoden. Man geht wie folgt vor: Zunächst wird der Tag von D 1 auf D1 geändert: { D1 D1 < 31 oder D1 < 28 und M 1 = 2 D1 = (1.21) 30 D1 = 31 oder D1 28 und M 1 = 2 Genauso wird D2 berechnet. Die Zeit tp nach PAngV ist dann { Y 2 Y 1 + (M2 M1)/12 + (D2 D1)/365 tp = Y 2 Y 1 + (M2 M1 1)/12 + (D D1)/365 D2 D1 D2 < D1 (1.22) Ich rechne das schon behandelte Beispiel jetzt noch einmal stur nach dieser algorithmischen Vorschrift. Beispiel a) Zeit vom bis zum bis Hier sind D1 = D1 = 27 und D2 = D2 = 28 mit D2 D1. Somit tp = (1 4)/12 + (28 27)/365 = 1, b) Zeit vom bis zum bis Hier sind D1 = D1 = 27 und D2 = D2 = 8 mit D2 < D1. Somit tp = (6 4 1)/12 + ( )/365 = 2, c) Zeit vom bis zum bis Hier sind D1 = 30 und D2 = 30 mit D2 D1. Somit tp = (5 2)/12 + (30 30)/365 = 2, Abschlieÿende Bemerkungen Zum Schluss noch einige Anmerkungen zu den Zinsmethoden. 1. Immer wieder gern wird diskutiert, ob der Anfangs- oder Endtag verzinst wird. Sicher ist nur, dass auf keinem Fall beide Tage eingerechnet werden. Bei Sparbüchern wird in der Regel der letzte Tag und im Wertpapiergeschäft der erste Tag einer Zinsperiode mit verzinst. Bei allen Zinsmethoden mit fester Anzahl von Jahrestagen ist es egal, ob der Anfangs- oder Endtag gezählt wird. Das trit auf alle Zinsmethoden auÿer ACT/ACT (ICMA) zu. 16

29 1.11 Beispiele mit Zinsrechnung 2. Weder die Bezeichnungen noch die tatsächliche Ausgestaltung der Zinsmethoden ist normiert, daher kann sich hinter 30/360 durchaus 30E/360 oder eine exotische amerikanische Sonderform verbergen. Selbstverständlich sind auch die mit Ländernamen versehenen Methoden keineswegs auf diese Länder beschränkt, noch werden in diesen Ländern ausschlieÿlich diese Methoden verwendet. Die deutsche Zinsmethode wird oft auch europäisch genannt, wie an der Bezeichnung 30E/360 zu erkennen ist. 3. Die Zinsmethode nach PAngV wird niemals zur Berechnung von Zinsen verwendet, sondern wird nur für die Bestimmung von Rendite und Eektivzinssatz eingesetzt Beispiele mit Zinsrechnung Wir kennen bis jetzt drei Arten von Verzinsung, die exponentielle, die stetige und die lineare und fünf Zinsmethoden. Bei gleichem Anfangs- und Enddatum und gleichen Zinssatz r führt ein Kapital K 0 zu 15 unterschiedlichen Endwerten K t. Ich werde das an zwei Beispielen zeigen. Beispiel Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger und linearer Verzinsung für ein Kapital von Euro, das im Zeitraum vom bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV. Hier sind D 1 = 12 und D 2 = 31, M 1 = 1 und M 2 = 3 sowie Y 1 = 2000 und Y 2 = Nach deutschem Ansatz ergeben sich D1 = 12 und D2 = 30, während man in den USA D1 = 12 und D2 = 31 erhält. a) ACT/ACT (ICMA). Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Januar einschlieÿlich des Tage, 29 im Februar und 30 im März, also kommen 79 Zinstage zusammen. Diese Zahl muss durch 366 geteilt werden, da das Jahr ein Schaltjahr ist. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung und bei stetiger Verzinsung sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 79/366 = , 55 e, Z t = K t K 0 = , 55 e K t = e 0,08 79/366 = , 71 e, Z t = K t K 0 = , 71 e, K t = (1 + 0, 08 79/366) = , 76 e, Z t = K t K 0 = , 76 e. 17

30 1 Zinsrechnung b) ACT/360. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 360 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung und bei stetiger Verzinsung sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 79/360 = , 09 e, Z t = K t K 0 = , 09 e K t = e 0,08 79/360 = , 56 e, Z t = K t K 0 = , 56 e K t = (1 + 0, 08 79/360) = , 56 e, Z t = K t K 0 = , 56 e. c) ACT/365. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 360 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung und bei stetiger Verzinsung sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 79/365 = , 83 e, Z t = K t K 0 = , 83 e K t = e 0,08 79/365 = , 84 e, Z t = K t K 0 = , 84 e K t = (1 + 0, 08 79/365) = , 07 e, Z t = K t K 0 = , 07 e. d) 30E/360. Bei dieser Zinsmethode ist t = 360 ( ) + 30 (3 1) + (30 12) 360 = Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 78/360 = , 69 e, Z t = K t K 0 = , 69 e 18

31 1.11 Beispiele mit Zinsrechnung und bei stetiger Verzinsung sowie bei linearer Verzinsung e) 30U/360. Bei dieser Zinsmethode ist K t = e 0,08 78/360 = , 43 e, Z t = K t K 0 = , 43 e K t = (1 + 0, 08 78/360) = , 33 e, Z t = K t K 0 = , 33 e. t = 360 ( ) + 30 (3 1) + (31 12) 360 Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung = und bei stetiger Verzinsung sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 79/360 = , 09 e, Z t = K t K 0 = , 09 e K t = e 0,08 79/360 = , 56 e, Z t = K t K 0 = , 56 e K t = (1 + 0, 08 79/360) = , 56 e, Z t = K t K 0 = , 56 e. Die Unterschiede sind wegen der kurzen Laufzeit noch eher gering. Unabhängig von der Zinsmethode ist der Zinsertrag bei stetiger Verzinsung höher als bei einfacher Verzinsung, diese wiederum führt zu einem höheren Zinsbeitrag als die exponentielle Verzinsung. Nun betrachten wir ein Beispiel mit langer Laufzeit. Beispiel Man berechne den Endwert bei exponentieller, stetiger und linearer Verzinsung für ein Kapital von Euro, das im Zeitraum vom bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle Zinsmethoden auÿer PAngV. a) ACT/ACT (ICMA). Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Jahr 2001 einschlieÿlich des insgesamt 306 Tage und im Jahr 2001 ohne den weitere 319 Tage. Dazu kommen 6 volle Jahre. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung K t = (1 + 0, 08) (306/ /366) = , 20 e 19

32 1 Zinsrechnung und bei stetiger Verzinsung sowie bei einfacher Verzinsung K t = e 0,08(306/ /366) = , 21 e K t = (1 + 0, 08(306/ /366)) = , 27 e. b) ACT/360 Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, das ergibt 2816 Tage, die dann durch 360 geteilt werden, also t = 2816/360 = 7, Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung und bei stetiger Verzinsung sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 2816/360 = , 31 e K t = e 0, /360) = , 60 e K t = (1 + 0, /360) = , 78 e. c) ACT/365 Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, das ergibt 2816 Tage, die dann durch 365 geteilt werden, also t = 2816/365 = 7, Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung und bei stetiger Verzinsung sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 2816/360 = , 64 e K t = e 0, /360) = , 48 e K t = (1 + 0, /360) = , 48 e. d) 30E/360 und 30U/360. Hier sind D 1 = 1 und D 2 = 15, M 1 = 3 und M 2 = 11 sowie Y 1 = 2001 und Y 2 = Nach deutschem und amerikanischen Ansatz ergeben sich D1 = 1 und D2 = 15 Bei beiden Zinsmethoden ist somit t = 360 ( ) + 30 (11 3) + (15 1) 360 Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung = K t = (1 + 0, 08) 2774/360 = , 41 e 20

33 1.12 Rendite einer verzinsten Anlage und bei stetiger Verzinsung K t = e 0, /360) = , 26 e sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, /360) = , 44 e. Die Laufzeit ist jetzt gröÿer als ein Jahr, daher hat die Wahl der Zinsmethode eine gröÿere Auswirkung auf den Zinsertrag. Unabhängig von der Zinsmethode ist der Zinsertrag bei einfacher Verzinsung immer deutlich geringer als bei exponentieller. Den gröÿten Zinsertrag liefert die stetige Verzinsung Rendite einer verzinsten Anlage Die verschiedenen Arten der Verzinsung und der Zinsmethoden sind für Laien undurchsichtig, da der angegebene nominale Zinssatz nicht der tatsächlich erzielten Rendite entspricht. Die Berechnung der Rendite ist in Deutschland innerhalb der bereits erwähnten Preisangabeverordnung (PAngV) geregelt. Es sei angenommen, dass der Anleger einmalig am Anfangstermin einen Betrag von K 0 einzahlt, der bis zum Endtermin auf K t angewachsen ist. Dann ist die Rendite der Zinssatz r, der bei exponentieller Verzinsung ebenfalls von K 0 auf den Endbetrag K t geführt hätte, wobei die Zeitdierenz zwischen Anfangs- und Endtermin nach der Zinsmethode der PAngV berechnet wird. Nach Formel (1.15) auf Seite 8 gilt somit ( ) 1/tP Kt r = 1, (1.23) K 0 wobei tp die Laufzeit nach PAngV ist. Die Rendite wird auch als konformer Zinssatz bezeichnet. Die Rendite wird in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben. Beispiel Eine Bank bietet Ihnen einen so genannten abgezinsten Sparbrief an. Man legt Euro am an und erhält Euro am zurück. Welche Rendite wird erreicht? Bei Renditerechnungen wird immer die Zinsmethode PAngV eingesetzt. Die Zeit tp zwischen den beiden Terminen berechnet sich nach tp = (7 1 1)/12 + ( )/365 = 1, Damit folgt für die Rendite r = ( ) 1/1, = 0, , 49 %

34 1 Zinsrechnung 1.13 Die Zinseszinsformel Die exponentielle Verzinsung war zwar in vergangenen Zeiten für nicht ganzzahlige Werte von t schwer zu berechnen, nicht aber für t = n N. Dann gilt nämlich K n = K 0 (1 + r) n = K 0 (1 + r) (1 + r) (1 + r) }{{} n mal (1.24) Diese Form der Verzinsung wird sehr anschaulich Zinseszinsformel genannt, da sich nach einem Jahr die angesammelten Zinsen mit verzinsen, während bei linearer Verzinsung die Zinsen immer nur auf die Anfangsschuld berechnet werden. Das bereits angesammelte Kapital erhöht sich von Jahr zu Jahr um den Faktor q = (1 + r), (1.25) der deshalb Aufzinsungsfaktor genannt wird. Die Zinseszinsformel stimmt mit der exponentiellen Verzinsung für alle ganzzahligen Werte überein, dazwischen liefert sie aber keinen Wert Die gemischte Verzinsung Daher kam man auf die geniale Idee, lineare Verzinsung mit Zinseszinsen zu mischen. Dafür wird die Zeitspanne zwischen Anfangs- und Enddatum in drei Teile zerlegt: ˆ Zwischen dem Anfangszeitpunkt und dem Ende des ersten Jahres liege die Zeit t A. ˆ Danach folgen n volle Jahre. ˆ Im letzten Jahr vergehe dann noch die Zeit t E bis zum Endzeitpunkt t. Das Kapital verzinst sich dann wie folgt: K t = K 0 (1 + rt A ) (1 + r) n (1 + rt E ). (1.26) Zur Bestimmung der Zeiten t A und t E muss eine der vorgestellten Zinsmethoden verwendet. Zunächst werden im Anfangs- und Endjahr Tage k 1 und k 2 entsprechend der Zinsmethode berechnet und dann durch die Gesamttage y 1 und y 2 der jeweiligen Jahr geteilt. Damit geht die Gleichung (1.26) über in ( K t = K r k ) ( 1 (1 + r) n 1 + r k ) 2, (1.27) y 1 y 2 Denition 1.5. Wird ein Kapital wie geschildert verzinst, spricht man von gemischter Verzinsung. 22

35 Beispiele zur gemischten Verzinsung 1.14 Die gemischte Verzinsung Die beiden Grundformeln (1.26) und (1.27) seien an zwei Beispielen verdeutlicht. Beispiel Welchen Endwert erreicht ein Kapital von Euro zwischen dem und dem bei einem Zinssatz von r = 0, 05 mit gemischter und exponentieller Verzinsung, wenn die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) verwendet wird? Wie hoch sind die jeweiligen Renditen? ˆ Exponentielle Verzinsung. Die Zeitspanne t setzt sich aus zwei ganzen Jahren und den unterjährlichen Anteilen von 2004 und 2007 zusammen. Vom bis zum Jahresende vergehen bei genauer Zählung k 1 = = 306 Tage, da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im Jahr 2007 kommen k 2 = = 104 Tage zusammen, denn der Auszahlungstag wird jetzt nicht mit gezählt. Für die exponentielle Verzinsung wird die Zeitspanne t = 306/ /365 = 3, benötigt. K t = , 05 t = , 21 Euro. Für die Rendite muss zunächst die Zeit tp nach PAngV bestimmt werden. Vom bis zum vergehen 37 Monate, dazu kommen weitere 14 Tage im April 2007, d.h. tp = 37/ /365 = 3, Damit folgt für die Rendite r = ( ) 3, , 21 1 = 0, , 00 % Nach PAngV muÿ die Rendite in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden, somit ist r = 5, 00 Prozent. ˆ Gemischte Verzinsung. Mit den obigen Werten für k 1 und k 2 ergibt sich wegen y 1 = 366 und y 2 = 365 ( K t = , ) ( 1, , ) = , 56 Euro Die Rendite berechnet sich somit aus ( ) 3, , 56 r = 1 = 0, , 01 % Nach PAngV muÿ die Rendite in Prozent mit zwei Nachkommastellen angegeben werden, somit ist r = 5, 01 Prozent. Beispiel Man berechne den Endwert bei gemischter Verzinsung für ein Kapital von Euro, das im Zeitraum vom bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle Zinsmethoden. 23

36 1 Zinsrechnung a) ACT/ACT (ICMA). Die Zeitspanne t setzt sich aus sechs ganzen Jahren und den unterjährigen Anteilen von 2001 und 2008 zusammen. Vom bis zum Jahresende vergehen bei genauer Zählung k 1 = = 306 Tage, da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im Jahr 2008 kommen k 2 = = 319 Tage zusammen, denn der Auszahlungstag wird jetzt nicht mit gezählt. Somit ergibt sich K t = (1 + 0, 08(306/365)) 1, 08 6 (1 + 0, 08(319/366)) = , 19 e b) ACT/360). Bei allen Zinsmethoden ist die Anzahl n der ganzen Zinsperioden gleich. Die Tagzählungen für k 1 und k 2 unterscheiden sich nicht zwischen den drei verschiedenen Methoden ACT/XXX, nur die Werte von y 1 und y 2, diese sind bei ACT/360 immer 360. Somit ergibt sich K t = (1 + 0, 08(306/360)) 1, 08 6 (1 + 0, 08(319/360)) = , 97 e c) ACT/365). Es müssen nur die Werte für y 1 und y 2 auf 365 verändert werden. K t = (1 + 0, 08(306/365)) 1, 08 6 (1 + 0, 08(319/365)) = , 67 e d) 30E/360. Die Zeitspanne t setzt sich aus sechs ganzen Jahren und den unterjährigen Anteilen von 2001 und 2008 zusammen. Vom bis zum Jahresende vergehen der Zinsmethode 30E/360 k 1 = = 300 Tage, da wir den 1.3. mit zählen wollen. Im Jahr 2008 kommen k 2 = = 314 Tage zusammen, denn der Auszahlungstag wird jetzt nicht mit gezählt. Somit ergibt sich K t = (1 + 0, 08(300/360)) 1, 08 6 (1 + 0, 08(314/360)) = , 41 e 1.15 Unterjährige Verzinsung Der wesentliche Unterschied zwischen einfacher Verzinsung und Zinseszinsen liegt in der Behandlung der bereits angesammelten Zinsen. Werden diese nach einem Jahr dem Kapital gut geschrieben und danach mitverzinst, erhöht sich der Endbetrag bei längeren Laufzeiten beträchtlich. Dieser Eekt kann noch gesteigert werden, wenn die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr erfolgt. Man spricht dann von unterjähriger Verzinsung Zinstermin und Zinsperiode Wir benötigen zunächst zwei neue Begrie. Denition 1.6. Der Tag, an dem bei gemischter Verzinsung die Zinsgutschrift dem Kapital zugeschlagen und danach mitverzinst wird, heiÿt Zinstermin. Der Zeit zwischen zwei Zinsterminen wird als Zinsperiode bezeichnet. 24

37 1.15 Unterjährige Verzinsung Bis jetzt gab es immer nur einen Zinstermin pro Jahr, und zwar am Jahresende. An den Zinsterminen werden die angesammelten Zinsen dem Kapital zugeschlagen und danach mit verzinst. Zwischen zwei Zinsterminen gibt es nur einfache Zinsen. Auf Sparbüchern, bei Hypothekenverträgen und Sparverträgen sind die Zinstermine immer das Ende eines Jahres, bei festverzinslichen Wertpapieren ist der erste Zinstermin der Tag der Emission, z.b. der 5. Mai Bei unterjährig verzinslichen Anlagen gibt es mehr als einen Zinstermin im Jahr, die Zinsperiode ist somit kleiner als ein Jahr. Man bezeichnet mit m die Anzahl von Zinsperioden innerhalb eines Jahres, die Länge einer Zinsperiode ist daher 1/m. Die üblichen Werte für m stelle ich nun vor. ˆ m = 1. Die Länge einer Periode ist genau ein Jahr. Dies ist in Deutschland bei festverzinslichen Wertpapieren üblich, wobei die Zinstermine immer genau im Jahresabstand auf den Tag der Emission folgen, z.b. immer am 5. Mai eines Jahres liegen. ˆ m = 2. Halbjährliche Zinsperioden sind für Anleihen in Groÿ-Britannien und den USA weit verbreitet. ˆ m = 4. Vierteljährliche Zinsperioden sind bei Anleihen selten, werden aber von Bausparkassen und Hypothekenbanken gerne für Hypothekenkredite verwendet. ˆ m = 12. Monatliche Zinsperioden sind sehr selten. ˆ m =. Lässt man die Anzahl der Zinsperioden pro Jahr gegen gehen, ergibt sich als Grenzfall die bereits bekannte stetige Verzinsung. Der Name rührt daher, dass die Zinsen zu jedem Zeitpunkt sofort dem Kapital zugeschlagen und dann mitverzinst werden Formel der unterjährigen gemischten Verzinsung Auch bei der unterjährigen gemischten Verzinsung wird ein so genannter nomineller Jahreszinssatz r angegeben. Bei m Zinsperioden pro Jahr gilt dann für den tatsächlichen Periodenzinssatz r rel : r rel = r m. Bis jetzt wurde bei der gemischten Verzinsung immer innerhalb des angebrochenen Anfangs- und des angebrochenen Endjahres mit einfacher Verzinsung gerechnet, während für alle vollen Jahre die Zinseszinsformel verwendet wurde. Diese Vorgehensweise wird beibehalten, aber der Zeitraum der einfachen Verzinsung wird auf die erste bzw. letzte Zinsperiode begrenzt und die Zinseszinsformel erfolgt für die Anzahl der vollen 25

38 1 Zinsrechnung Zinsperioden, wobei als Zinssatz der tatsächliche Periodenzinssatz r/m verwendet wird. Damit ergibt sich die Grundformel der unterjährigen gemischten Verzinsung wie folgt. Hier sind ( K t = K 0 (1 + rt A ) 1 + m) r n (1 + rte ). (1.28) ˆ K 0 das Anfangskapital zum Zeitpunkt 0, ˆ r der nominelle Jahreszinssatz, ˆ m die Anzahl von Zinsperioden pro Jahr, ˆ t A die Zeit zwischen dem Anfangszeitpunkt und dem ersten Zinstermin, ˆ t E die Zeit vom letzten Zinstermin bis zum Endzeitpunkt und ˆ n die Anzahl der vollständigen Zinsperioden. Auch hier muss wieder eine Zinsmethode gewählt und entschieden werden, ob der erste oder letzte Tag in die Verzinsung eingeht. Wieder sei verabredet, den ersten Tag zu zählen. Bei den meisten Zinsmethoden spielt es aber sowieso keine Rolle. Die Zeit t A ergibt sich wieder als Bruch der Form k 1 /y 1. Dabei ist k 1 die Anzahl von Tagen bis zum nächsten Zinstermin und y 1 die Anzahl der Tage im Jahr entsprechend der Zinsmethode. Genauso wird t E berechnet. Die Gleichung (1.28) geht dann über in ( K t = K r k ) ( r ) ( n 1 + r k ) 2, (1.29) y 1 m y 2 Leider gibt es noch eine weitere Form der Zinsmethode ACT/ACT, welche ACT/ACT (ISMA) genannt wird. Hier gilt y 1 = m Länge der ersten angebrochenen Periode. Genauso wird mit y 2 verfahren. Ist etwa m = 4, so hat das erste Quartal in gewöhnlichen Jahren eine Periodenlänge von 90 Tagen, fällt der Anfangszeitpunkt in dieses Quartal, ist y 1 = 4 90 = 360. Das letzte Quartal hat dagegen eine Länge von 92 Tagen, somit wird y 1 = 4 92 = 368 falls der Anfangszeitpunkt in dieses Quartal fällt. Bei m = 12 schwankt y 1 zwischen = 336 und = 372. Denition 1.7. Wird ein Kapital wie geschildert verzinst, spricht man von unterjähriger gemischter Verzinsung. 26

39 1.15 Unterjährige Verzinsung Beispiele zur unterjährigen gemischten Verzinsung Die unterjährige gemischte Verzinsung möchte ich an zwei Beispielen verdeutlichen. Beispiel Welchen Endwert erreicht ein Kapital von Euro zwischen dem und dem bei einem Zinssatz von r = 0, 08 bei vier Zinsterminen pro Jahr? Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden. Die Zinsmethoden spielen nur bei den zwei Faktoren der einfachen Verzinsung eine Rolle. Die Anzahl der vollständigen Perioden ist immer gleich. Da vier Zinstermine vorhanden sind, gilt m = 4, also 1 + r/m = 1, 02. Der nächste Zinstermin nach der Einzahlung wird der sein, der letzte Zinstermin vor dem Ende ist der Im Jahr 2001 gibt es drei Zinsperioden, dazu kommen sechs volle Jahre und noch die drei Zinsperioden des Jahres 2008, das ergibt n = = 30. Dieser Teil der Lösung ist unabhängig von der Zinsmethode. ˆ ACT/ACT (ICMA). Bei beiden Methoden werden die Tage in den nicht vollständigen Perioden kalendergenau gezählt. Hier sind k 1 die genauen Tage bis zum ersten Zinstermin nach der Einzahlung, das sind k 1 = 31 Tage. Vom letzten Zinstermin vor der Auszahlung, also dem bis zum Tag der Auszahlung, also dem vergehen k 2 = = 45 Tage. Bei jeder der beiden Methoden ACT/ACT hat das erste Jahr die Länge y 1 = 365 und das letzte die Länge y 2 = 366. Damit ergibt sich als Endbetrag somit ( K t = , ) ( 1, , ) = , 64 Euro ˆ ACT/ACT(ISMA). Bei dieser Zinsmethode müssen die Tage und die Längen der Perioden kalendergenau gezählt werden. Die Zinsperiode vom bis zum hat die Länge p 1 = = 90 Tage, somit ist y 1 = 4 90 = 360 und somit t A = 31/360. Die Zinsperiode vom bis zum hat die Länge p 2 = = 92, somit ist y 2 = 4 92 = 368 und somit t E = 45/368. Der Endbetrag wird somit ( K t = , ) ( 1, , ) = , 76 Euro ˆ ACT/360. Hier werden die Tage k 1 und k 2 durch 360 geteilt: ( K t = , ) ( 1, , ) = , 25 Euro. 27

40 1 Zinsrechnung ˆ ACT/365. Hier werden die Tage k 1 und k 2 durch 365 geteilt: ( K t = , ) ( 1, , ) = , 79 Euro. ˆ 30E/360 und 30U/360. Bei beiden Methoden vergehen vom bis zum k 1 = 30 Tage und vom bis zum k 2 = = 44 Tage. Damit ergibt sich als Endbetrag somit ( K t = , ) ( 1, , ) = , 49 Euro Beispiel Welchen Endwert erreicht ein Kapital von Euro zwischen dem und dem bei einem Zinssatz von r = 0, 08 bei zwei Zinsterminen pro Jahr? Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden. Die Zinsmethoden spielen nur bei den zwei Faktoren der einfachen Verzinsung eine Rolle. Die Anzahl der vollständigen Perioden ist immer gleich. Da es nur zwei Zinstermine gibt, gilt m = 2, also 1 + r/m = 1, 04. Der nächste Zinstermin nach der Einzahlung wird der sein, der letzte Zinstermin vor dem Ende ist der Im Jahr 2001 gibt es noch eine vollständige Zinsperiode, dazu kommen sechs volle Jahre und noch eine Zinsperiode im Jahr 2008, das ergibt n = = 14. Dieser Teil der Lösung ist unabhängig von der Zinsmethode. ˆ ACT/ACT (ICMA) und (EXCEL). Bei beiden Methoden werden die Tage in den nicht vollständigen Perioden kalendergenau gezählt. Hier sind k 1 die genauen Tage bis zum ersten Zinstermin nach der Einzahlung, das sind k 1 = = 122 Tage. Vom letzten Zinstermin vor der Auszahlung, also dem bis zum Tag der Auszahlung, also dem vergehen k 2 = = 137 Tage. Bei jeder der beiden Methoden ACT/ACT hat das erste Jahr die Länge y 1 = 365 und das letzte die Länge y 2 = 366. Damit ergibt sich als Endbetrag somit K t = ( 1 + 0, ) 1, ( 1 + 0, ) = , 27 Euro. ˆ ACT/ACT(ISMA). Bei dieser Zinsmethode müssen die Tage und die Längen der Perioden kalendergenau gezählt werden. Die Zinsperiode vom bis zum hat die Länge p 1 = = 181 Tage, somit ist y 1 = = 362 und somit t A = 122/362. Die Zinsperiode vom bis zum hat die Länge p 2 = = 184, somit ist y 2 = = 368 und somit t E = 137/368. Der Endbetrag wird somit K t = ( 1 + 0, ) 1, ( 1 + 0, ) = , 08 Euro. 28

41 1.16 Gestaelte Verzinsung ˆ ACT/360. Hier werden die Tage k 1 und k 2 durch 360 geteilt: ( K t = , ) ( 1, , ) = , 34 Euro ˆ ACT/365. Hier werden die Tage k 1 und k 2 durch 365 geteilt: ( K t = , ) ( 1, , ) = , 14 Euro ˆ 30E/360 und 30U/360. Bei beiden Methoden vergehen vom bis zum k 1 = 120 Tage und vom bis zum k 2 = = 134 Tage. Damit ergibt sich als Endbetrag somit ( K t = , ) ( 1, , ) = , 04 Euro Gestaelte Verzinsung Bis jetzt war der Zinssatz r während der gesamten Zeit der Geldanlage fest. Es gibt aber Anlageformen mit zeitlich wechselnden Zinssätzen, meistens im jährlichen Abstand mit steigenden Zinssätzen, um den Kunden langfristig zu binden. Das gilt für Bundesschatzbriefe und vielen Sparbriefe von Banken. Aber auch auf normalen Sparbüchern wird die Verzinsung von Sparguthaben an die marktüblichen Zinssätze angepasst. Formelmäÿig ist so zu rechnen, als ob am ersten Tag, an dem der neue Zinssatz gilt, das bisher erzielte Guthaben abgehoben und dann sofort wieder eingezahlt wird. In jedem Zeitraum mit festen Zinsen wird die ausgewählte Zinsformel vewendet. Das folgende Beispiel behandelt wechselnde Zinssätze auf einem Sparbuch. Beispiel Ein Anleger zahlt am bei einem Zinssatz von 3 Prozent Euro auf ein Sparbuch ein. Die Bank senkt den Zinssatz am auf 2 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde am bei der Auösung seines Sparbuchs erhält. Verwendet sei die Zinsmethode 30E/360 mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne ferner die Rendite r der Anlage nach der PAngV. Zunächst wird die Entwicklung der Anlage vom bis zum bei gemischter Verzinsung mit einem Zinssatz von 3 Prozent ausgerechnet: ˆ Einschlieÿlich des gibt es 2002 k 1 = = 282 Zinstage. ˆ Dazu kommt das ganze Jahr

42 1 Zinsrechnung ˆ Im Jahr 2004 fallen k 2 = = 312 Zinstage an, da der nicht mehr zählt. Somit besteht am ein Guthaben von ( K 1 = , ) ( 1, , ) Vom bis zum vergehen folgende Zeiträume ˆ k 1 = = 48 Tage vom bis ˆ Das ganze Jahr = 1.081, 61 Euro. ˆ k 2 = = 110 Tage vom bis zum , denn der letzte Tag zählt nicht mehr. Als Endkapital ergibt sich also 1.112,95 Euro. Nach PAngV vergeht zwischen dem und dem die Zeit tp = (4 3)/12 + (21 19)/365 = 4, , die Rendite beträgt somit ( ) (1/4, ) 1.112, 95 r = 1 = 0, % Anzugeben wären nach PAngV nur zwei Stellen nach dem Komma, d.h. r = 2, 65 Prozent. Beispiel Welchen Endwert erreicht ein Kapital von Euro, das zunächst zwischen dem und dem bei einem Zinssatz von r = 0, 04 und danach noch bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 03 bei gemischter Verzinsung angelegt wurde? Der einzige Zinstermin ist jeweils das Jahresende, die Zinsmethode sei 30E/360. Danach berechne man die Rendite. Vom bis zum vergehen nach der Zinsmethode 30E/360 insgesamt k 1 = 330 Tage. Danach folgen zwei ganze Jahre. Ab 2004 wechselt der Zinssatz auf 3 Prozent. Der Zeitraum beginnt mit drei vollen Jahren und schlieÿt mit k 2 = = 194 Tagen. Somit gilt K t = 1000(1 + 0, /360)(1, 04) 2 (1, 03) 3 (1 + 0, /360) = 1.245, 04 Nach PAngV vergeht zwischen dem und dem die Zeit von tp = 6 + 5/ /365 = 6, Somit ergibt sich aus Formel (1.23) ( ) 1/6, , 04 r = 1 = 3, 45%

43 1.17 Bundesschatzbriefe 1.17 Bundesschatzbriefe Das bekannteste Beispiel von gestaelter Verzinsung sind die Bundesschatzbriefe. Man unterscheidet bei den Bundesschatzbriefen zwei Varianten: ˆ Typ A mit sechs Jahren Laufzeit und jährlicher Zinsausschüttung. ˆ Typ B, bei dem Zinsen und Tilgungsleistung erst am Ende der Laufzeit von sieben Jahren in einer Summe ausgezahlt werden. Bundesschatzbriefe werden in verschiedenen Ausgaben verkauft. Dabei existiert kein fester Emissionsrhythmus. Vielmehr werden immer dann neue Bundesschatzbriefe ausgegeben, wenn die Renditen der laufenden Ausgabe nicht mehr den Marktgegebenheiten entsprechen. Steigen zum Beispiel die Renditen für zehnjährige Bundesanleihen deutlich an, werden auch die Nominalzinssätze und Renditen der Bundesschatzbriefe angepasst. Das heiÿt konkret: es wird eine neue Ausgabe mit entsprechend höherer Verzinsung ausgegeben. So heiÿt es launig im Prospekt. Natürlich werden Bundesschatzbriefe immer dann ausgegeben, wenn unsere ewig klamme Bundesregierung frisches Geld braucht. Der Zinssatz und damit die Rendite steigen bei beiden Bundesschatzbrief-Typen über die Laufzeit hinweg an. In der folgenden Abbildung sind die Konditionen der Anfang 2010 ausgegebenen Bundessschatzbriefe zu sehen. Typ A läuft nur sechs Jahre, wobei A B C D E F ,25% 1, , ,25% ,00% 1, , ,62% ,75% 1, , ,00% ,75% 1, , ,43% ,50% 1, , ,84% ,00% 1, , ,20% ,00% 1, , ,45% Abbildung 1.2: Konditionen von zwei Bundesschatzbriefen. die Zinsen jährlich immer zum 1.3. ausgeschüttet werden. Typ B läuft dagegen sieben Jahre und sammelt die Zinsen an, am Ende der Laufzeit, d.h. am erhält der treue Kunde für je 100 Euro Nennwert 118,50 Euro ausgezahlt. Man kann aber zu jedem Zeitpunkt das Papier weiterverkaufen. In der Spalte C stehen die jährlichen Zinsen r 1, r 2,..., r 7 die von lächerlichen 0,25 % zwischen 2010 und 2011 auf 4 % zwischen 2015 und 2016 anwachsen. In der Spalte D sind die jährlichen Aufzinsungsfaktoren q 1 = r 1, q 2 = r 2,..., q 7 = r 7 zu sehen. In der Spalte E benden sich die Produkte der Aufzinsungsfaktoren p 1 = q 1, p 2 = q 1 q 2,..., p 7 = q 1 q 2 q 7. Diese Zahlen sind die Werte eines Euro, der bis zum Ende des jeweiligen Jahres angelegt wird. Die bis dahin erzielten Renditen sind in der Spalte F zu sehen. Sie ergeben sich aus der Formel r i = (p i ) 1/i. 31

44 1 Zinsrechnung Stückzinsen Bei Bundesschatzbriefen liegen die Zinstermine immer auf dem Tag der Emission, bei dem betrachteten Beispiel also immer auf dem 1.3. eines Jahres. Als Zinsmethode wird ACT/ACT (ICMA) verwendet. Wird ein Bundesschatzbrief nicht an einem Zinstermin erworben, muss der Käufer dem Verkäufer einen Teil der zum nächsten Zinstermin ausgeschütteten Zinsen erstatten, die sogenannten Stückzinsen. Das liegt daran, dass der Bund zum Zinstermin dem dann aktuellen Eigentümer des Bundesschatzbriefes den Zinsertrag der gesamten Zinsperiode ausschüttet; Stückzinsen sind also gerade der Anteil an diesem Zinsertrag, der beim Kauftermin bereits angefallen war. Betrachten wir den Bundesschatzbrief vom Typ A und nehmen als Kauftermin den an. Der Käufer möchte einen Nennwert von Euro erwerben. Zwischen dem 1.3. und dem 1.6. liegen nach ACT/ACT (ICMA) 92 Tage, somit fallen Stückzinsen im Wert von 92 Sz = , 0025 = 0, 63 Euro 365 an. Der Käufer zahlt somit 1.000,63 Euro und erwirbt den Bundesschatzbrief zum Nennwert von Euro. Die bereits vorgeleisteten Zinsen von 63 Cent werden durch die vollständige Ausschüttung des Zinsertrages von 2,50 Euro am ausgeglichen. Meist wird aber anders vorgegangen. Der Käufer gibt den Anlagebetrag vor, etwa Euro. Dieser Betrag setzt sich aus den Stückzinsen und dem Nennwert zusammen. Sei B der Anlagebetrag und N der Nennwert sowie Sz die Stückzinsen, so gilt B = N + Sz, Sz = N r k1 y1 d.h. B N = 1 + r k1/y1, wobei hier k1 die kalendergenau gezählten Tage zwischen dem letzten Zinstermin und dem Kaufdatum sind und y1 die genaue Anzahl von Tagen des entsprechenden Jahres. In unserem Beispiel erwirbt der Käufer bei einem Anlagebetrag von Euro in den Bundesschatzbrief Typ A von 2010 zum einen Nennwert von N = , /365 = 1998, 74 Euro. Auf diesen Nennwert beziehen sich die folgenden Zinserträge und die Rückerstattung des Kapitals. Dieser Bundesschatzbrief vom Typ A wird am Jahr auslaufen, der Käufer erhält dann seinen Nennwert von 1998, 74 erstattet und bekommt zusätzlich vom bis zum Zinsen auf diesen Nennwert, wobei die Zinssätze in der Spalte C der auf Seite 31 abgebildeten Excel-Tabelle stehen Rückgabe und Verkauf von Bundesschatzbriefen Bundesschatzbriefe dürfen im ersten Jahr nach Ausgabe nicht zurückgegeben werden. Der Bund sichert sich damit den sehr niedrigen Anfangszinssatz. Nach einem Jahr darf 32

45 1.17 Bundesschatzbriefe der jeweilige Inhaber einen Betrag von Euro zurückgeben, egal wie lange er oder sie das Papier schon besitzt. Nach Ablauf von 30 Tagen dürfen weitere Euro zurückgegeben werden, usw. Hat man also Euro investiert, benötigt man 600 Tage zur vollständigen Rückgabe eines Bundesschatzbriefes. Man kann die Verfügbarkeit erhöhen, wenn man die Anlage auf mehrere Konten mit einer Höchstanlage von Euro verteilt. Auch bei der Rückgabe von Bundesschatzbriefen müssen Stückzinsen berücksichtigt werden. Sei wieder der bereits vertraute Bundesschatzbrief vom Typ A vom betrachtet und angenommen, dass der Inhaber am den Betrag von Euro angelegt hat und am das Papier an den Bund zurückgibt. Die Rechnung sieht wie folgt aus: 1. Berechnung des Nennwerts Zwischen dem und dem liegen k1 = 257 Tage, das Jahr 2012 ist ein Schaltjahr mit y1 = 366 Tagen, der Zinssatz des Jahres 2012 ist r = 0, 0175, somit beträgt der Nennwert N = , /366 = 3951, 44 Euro. 2. Berechnung des Rückgabewerts am Rückgabetermin Sowohl 2014 als auch 2015 sind keine Schaltjahre. Zwischen dem und dem liegen 324 Tage, der Zinssatz hat die Höhe von 0,035 erreicht, der Nennwert verzinst sich einfach auf den Wert 3951, 44 RG = = 4.074, 41 Euro , /365 Dieser Betrag wird dem Verkäufer gutgeschrieben. Nun sei dieselbe Aktion für eine Bundesschatzbrief vom Typ B durchgerechnet, d.h. angenommen, dass am für Euro ein Bundesschatzbrief vom Typ B gekauft am an den Bund zurück gegeben wird. 1. Berechnung des Nennwerts Bundesschatzbriefe vom Typ B schütten vor dem Ende der Laufzeit keine Zinsen aus, sondern sammeln diese an. Der gesuchte Nennwert N hat am den Wert ZW = N 1, , 01 = N 1, Zwischen dem und dem liegen k1 = 257 Tage, das Jahr 2012 ist ein Schaltjahr mit y1 = 366 Tagen, der Zinssatz des Jahres 2012 beträgt r = 0, 0175, der Zwischenwert ZW vergröÿert sich somit auf Damit ergibt sich N = = ZW (1 + 0, /366) = 3902, 56 Euro. 1, (1 + 0, /366) 33

46 1 Zinsrechnung 2. Berechnung des Rückgabewerts am Rückgabetermin Die Jahre 2014 und 2015 sind keine Schaltjahre. Zwischen dem und dem liegen 324 Tage, der Zinssatz hat die Höhe von 0,035 erreicht, der ursprüngliche Nennwert von N = 3902, 56 hat sich zwischenzeitlich bis zum auf den Wert W = 3902, 56 1, , 01 1, , 0275 = 4131, 16 Euro. erhöht. Dieser Wert wird nun einfach bis zum Kauftermin verzinst und erreicht dann den Rückgabewert RG = 4131, 16(1 + 0, /365) = 4.259, 72 Euro. Dieser Betrag wird dem Verkäufer gutgeschrieben. Der Rückgabewert ist höher als beim Typ A, weil anders als beim Typ A zwischenzeitlich keine Zinsgutschriften erfolgten. Bundesschatzbriefe dürfen aber privat veräuÿert werden. Der Kaufpreis ist dann natürlich anders als bei der Rückgabe an den Bund frei verhandelbar und richtet sich nach dem allgemeinen Zinsniveau. Bundesschatzbriefe können wegen ihrer hohen Sicherheit auch beliehen werden. Der Bank oder einem anderen Gläubiger dient der Bundesschatzbrief als Sicherheit, der Gläubiger wird aber in der Regel einen höheren Sollzinssatz verlangen als die Zinssätze des Bundesschatzbriefes Steuerliche Behandlung Zinserträge müssen versteuert werden. Sie fallen beim Bundesschatzbrief vom Typ A jährlich an und müssen entsprechend jährlich versteuert werden. Da für Erträge aus Kapitaleinkünften ein Freibetrag von 801 Euro gilt, ist die jährliche Ausschüttung meist vorteilhaft, zumal bei den derzeitig niedrigen Zinssätzen. Beim Bundesschatzbrief vom Typ B erhält man sechs Jahre lang keine Zinsen, dafür am Ende des siebten Jahres alle angesammelten Zinsen einschlieÿlich des eingesetzten Kapitals auf einen Schlag. Im Beispiel des Bundesschatzbriefes vom Typ B mit Erstausgabe am muss bei einer Anlage im Nennwert von Euro ein Zinsertrag von , = , 10 Euro versteuert werden. Diese Art der gesammelten Ausschüttung bietet sich an, wenn man weiÿ, dass zum Zeitpunkt der Ausschüttung nur geringe andere Einkünfte zu erwarten sind, etwa bei einem Selbstständigen, der sich ein Jahr Pause von der Arbeit gönnt oder ganz zu arbeiten aufhört. 34

47 1.18 Zusammenfassung 1.18 Zusammenfassung Zeitmessung In der Finanzmathematik wird die zeitliche Entwicklung von Guthaben betrachtet. Am Anfang stehen daher Methoden zur Berechnung der Zeit. Im folgenden werden folgende Bezeichnungen verwendet: Bezeichner Bedeutung D 1 Anfangstag M 1 Anfangsmonat Y 1 Anfangsjahr D 2 Endtag M 2 Endmonat Y 2 Endjahr t 1 = (D 1, M 1, Y 1 ) Anfangsdatum t 2 = (D 2, M 2, Y 2 ) Enddatum Nact(t 1, t 2 ) Kalendergenaue Zahl von Tagen zwischen t 1 und t 2, wobei immer der erste Tag zählt und der letzte nicht. y 1 Anzahl der Tage im Jahr Y 1 y 2 Anzahl der Tage im Jahr Y 2 k 1 Anzahl der Tage im Jahr Y 1 bis zum Jahresende, d.h. k 1 = Nact(t 1, 1.1.Y 1 + 1) k 2 Anzahl der Tage im Jahr Y 2 vom Jahresanfang bis t 2, d.h. k 2 = Nact(1.1.Y 2, t 2 ) n die Anzahl der ganzen Jahre zwischen t 1 und t 2 D1/E min(30, D1) D2/E min(30, D2) D1/U 30 falls D1 der letzte Tag des Monats ist. Sonst D1/U = D1 D2/U D2 wenn D2 < 31 oder D1/U < 30. Sonst D2/U = 30. Vereinfachte Tagzählung nach 30E/360 (deutsch) N360E = (Y 2 Y 1)360 + (M2 M1)30 + (D2/E D1/E) Vereinfachte Tagzählung nach 30U/360 (amerikanisch) N360U = (Y 2 Y 1)360 + (M2 M1)30 + (D2/U D1/U) Die Zeit t wird damit wie in der folgenden Tabelle berechnet Zeit nach PAngV Zunächst wird der Tag von D 1 auf D1 geändert: { D1 D1 < 31 oder D1 < 28 und M 1 = 2 D1 = 30 D1 = 31 oder D1 28 und M 1 = 2 (1.30) 35

48 1 Zinsrechnung (ICMA) ACT/ACT { ACT/360 ACT/365 30E/360 30U/360 Nact/y 1 Y 2 = Y 1 k 1 /y 1 + n + k 2 /y 2 Y 2 > Y 1 Nact/360 Nact/365 N360E/360 N360U/360 Genauso wird D2 berechnet. Die Zeit tp nach PAngV ist dann { Y 2 Y 1 + (M2 M1)/12 + (D2 D1)/365 tp = Y 2 Y 1 + (M2 M1 1)/12 + (D D1)/ Zinsformeln D2 D1 D2 < D1 (1.31) Exponentielle Verzinsung: K t = K 0 (1 + r) t (ExpV) Stetige Verzinsung: K t = K 0 e rt (SteV) Einfache Verzinsung: K t = K 0 (1 + rt) (EinV) ) n ( 1 + r d 2 Gemischte Verzinsung: ) K t = K 0 (1 + r d 1 (1 y 1 + r m (GemV) Renditeformel: r = (K t /K 0 ) 1/tP 1 (RenF) Hier sind K 0 und K t das Anfangs- und Endkapital zu den Zeiten 0 und t. r der nominelle Jahreszinssatz Zinssatz. t die Laufzeit entsprechend der gewählten Zinsmethode. tp die Laufzeit nach PAngV. r die Rendite. m die Anzahl von Zinsperioden pro Jahr. d 1 die Anzahl von Tagen vom Anfang bis zum ersten Zinstermin. y 1 die Anzahl der Tage im ersten Jahr. d 2 die Anzahl von Tagen vom letzten Zinstermin bis zum Ende. y 2 die Anzahl der Tage im letzten Jahr. n die Anzahl der vollständigen Zinsperioden. Dabei müssen die Werte von d 1, y 1, d 2 und y 2 gemäÿ der verwendeten Zinsmethode berechnet werden. y 2 ) 36

49 1.19 Aufgaben 1.19 Aufgaben Aufgabe 1. Für die folgenden Zeiträume berechne man für alle vorgestellten Zinsmethoden die jeweils verstrichene Zeit: bis zum , bis zum , bis zum und bis zum Aufgabe 2. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von Euro, das im Zeitraum vom bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite. Aufgabe 3. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von Euro, das im Zeitraum vom bis zum bis bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite. Aufgabe 4. Der Zinssatz r bei stetiger Verzinsung sei so, dass aus 100 Euro innerhalb eines Monats bei der Zinsmethode 30E/ Euro werden. a) Welchen Wert hat r? b) Welchen Wert hat ein Anfangskapital von Euro nach zwei Jahren? c) Wie groÿ ist die Rendite r nach PAngV? Aufgabe 5. Eine Freundin verleiht Ihnen Euro für vier Monate und verlangt Euro zurück. Sie behauptet, ihre Rendite sei nur 3 Prozent. Wie sehen Sie das? Aufgabe 6. Eine Bank bietet einen so genannten abgezinsten Sparbrief wie folgt an: Der Kunde zahlt einmalig 900 Euro und erhält nach Ablauf von drei Jahren Euro zurück. Wie hoch ist die Rendite? Aufgabe 7. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz von 8 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an. a) Warum ist keine Zinsmethode angegegeben? b) Wie hoch ist der Endbetrag? c) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? d) Durch welchen Zinssatz r würde man mit exponentieller Verzinsung diesen Endbetrag erreichen? Aufgabe 8. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz von 8 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an, wobei die Zinsmethode 30E/360 verwendet wird. 37

50 1 Zinsrechnung a) Wie hoch ist der Endbetrag? b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? c) Durch welchen Zinssatz würde man auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung diesen Endbetrag erreichen? Rechnen Sie mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und einem Zinstermin am Jahresende. Aufgabe 9. Jemand legt auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung und einem Zinstermin am Jahresende zu einem jährlichen Zinssatz von 8 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an. a) Wie hoch ist der Endbetrag bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)? b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? c) Welcher Zinssatz ρ würde bei stetiger Verzinsung mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) zum selben Endbetrag führen? Aufgabe 10. Man berechne das Endkapital bei gemischter Verzinsung für ein Kapital von , das im Zeitraum vom bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Verwenden Sie die alle Zinsmethoden und rechnen Sie mit einer, zwei und vier Zinsperioden. Aufgabe 11. Jemand legt auf ein Bausparkonto zu einem jährlichen Zinssatz von 2 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an. Rechnen Sie mit vier Zinsperioden und der Zinsmethode 30E/360. a) Wie hoch ist der Endbetrag? b) Wie groÿ ist die Rendite r nach PAngV? c) Welcher Zinssatz würde bei gleicher Zinsmethode aber nur einer Zinsperiode pro Jahr zum selben Endbetrag führen? Aufgabe 12. Ein Betrag von Euro wird zwei Jahre zu einem Nominalzinssatz von 6 Prozent mit monatlicher Zinsperiode angelegt. Man berechne den Kapitalendwert und die Rendite! Aufgabe 13. Ein Bausparer zahlt am Euro auf ein Bausparkonto mit vier Zinsperioden. Nach genau vier Jahren hat er ,85 Euro auf seinem Konto. Man berechne den Nominalzinssatz und die Rendite. Aufgabe 14. Herr XY zahlt am auf ein besonders günstiges Sparbuch einer niederländisch-türkischen Bank Euro ein und erhält bis zum einen Zinssatz von 4 Prozent, von da an bis zum Vertragsende am einen Zinssatz von 6 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde dann erhält. Verwendet sei die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne ferner die Rendite r der Anlage nach der PAngV. 38

51 1.19 Aufgaben Aufgabe 15. Frau XY hatte am einen Betrag von Euro auf ein Sparbuch einer Bank mit Sitz auf den Cayman-Inseln eingezahlt, und am wieder abgehoben. Der Sparzins betrug anfänglich 4 und stieg danach auf 6 Prozent. Frau XY wollte eine Rendite nach deutscher Rechnung von 5 Prozent erzielen. An welchem Tag musste dafür der Zins gewechselt werden? Die Zinsmethode war ACT/ACT (ICMA). Aufgabe 16. Frau XY kaufte am einen Bundesschatzbrief des Typs B im Wert von Euro zu den in Abbildung 1.2 auf Seite 31 gezeigten Konditionen. a) Welchen Anteil am Kaufpreis nehmen die Stückzinsen ein, wie hoch ist der Nennwert des erworbenen Bundesschatzbriefes? b) Am gerät Frau XY in Geldnot und muss den Bundessschatzbrief verkaufen. Wie viel würde der Bund sofort zurücknehmen, wie wäre der weitere Verlauf der Rückgabe an den Bund? c) Der Exmann von Frau XY nutzt deren Notlage aus und kauft den Bundesschatzbrief zu einem Kaufpreis, der ihm eine Rendite von 6 Prozent garantiert, wenn er das Papier bis zum Ende der Laufzeit hält. Wie hoch ist der Kaufpreis? Welche Rendite hat die unglückliche Frau XY erzielt? Wie ist ihre steuerliche Situation? Aufgabe 17. Ein Portfoliomanager verkündet, dass er in den letzten 10 Jahren durchschnittlich 20 Prozent Rendite erzielt hat. Wieso ist diese Aussage nur bedingt wertvoll? 39

52 1 Zinsrechnung 1.20 Lösungen Aufgabe 1. Für die folgenden Zeiträume berechne man für alle vorgestellten Zinsmethoden die jeweils verstrichene Zeit: bis zum , bis zum , bis zum und bis zum Die Lösungen sind im folgenden Excel-Arbeitsblatt zu nden: A B C D E F G PAngV ACT/ACT ICMA ACT/ACT EXCEL ACT/360 ACT/365 30/360E 30/360U Nact= 1297 ( )+ (3-8-1)/12+ ( )/ / / /(365+2/5) 1297/ / Nact= 213 ( )+ (3-8)/12+ (30-30)/ / / / / / Nact= 579 ( )+ (3-8)/12+ (30-29)/ / / /(365+1/3) 579/ / Nact= 762 ( )+ (3-2)/12+ (30-30)/ / / /(365+1/3) 762/ /365 ( ) + (3-8)/12+ (13-24)/360 ( ) + (3-8)/12+ (30-30)/360 ( ) + (3-8)/12+ (30-29)/360 ( ) + (3-2)/12+ (30-28)/360 ( ) + (3-8)/12+ (13-24)/360 ( ) + (3-8)/12+ (30-30)/360 ( ) + (3-8)/12+ (31-29)/360 ( ) + (3-2)/12+ (31-28)/360 Aufgabe 2. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von Euro, das im Zeitraum vom bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite. a) PAngV. Für die eigentliche Verzinsung wird diese Zinsmethode nie verwendet, sie ist aber in Deutschland zur Berechnung der Rendite zwingend vorgeschrieben. Es ergibt sich tp = = 19/12. b) ACT/ACT (ICMA). Hier müssen die Tage kalendergenau gezählt werden, also im Jahr 2000 einschlieÿlich des insgesamt 277 Tage und im Jahr 2001 ohne den weitere 303 Tage. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung K t = (1 + 0, 08) (277/ /365) = , 26 e Z t = K t K 0 = , 26 e. ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 02 % K 0 40

53 1.20 Lösungen und bei stetiger Verzinsung K t = e 0,08(277/ /365) = , 66 e Z t = K t K 0 = , 66 e ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 35 % K 0 sowie bei einfacher Verzinsung K t = (1 + 0, 08(277/ /365) = , 41 e Z t = K t K 0 = , 41 e ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 7, 84 % K 0 c) ACT/360. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 360 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 580/360 = , 71 e Z t = K t K 0 = , 71 e. ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 15 % K 0 und bei stetiger Verzinsung K t = e 0,08 580/360 = , 72 e Z t = K t K 0 = , 72 e. ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 48 % K 0 sowie bei einfacher Verzinsung K t = (1 + 0, /360) = , 89 e Z t = K t K 0 = , 89 e ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 7, 96 % K 0 d) ACT/365. Die Zinstage müssen auch hier kalendergenau gezählt werden, das Jahr aber wird nur mit 365 Tagen angesetzt. Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung K t = (1 + 0, 08) 580/365 = , 59 e Z t = K t K 0 = , 59 e. ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 03 % K 0 41

54 1 Zinsrechnung und bei stetiger Verzinsung K t = e 0,08 580/365 = , 01 e Z t = K t K 0 = , 01 e. ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 36 % K 0 sowie bei einfacher Verzinsung K t = (1 + 0, /365) = , 29 e Z t = K t K 0 = , 29 e ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 7, 85 % K 0 e) 30E/360 und 30U/360. Hier sind D 1 = 30 und D 2 = 31, M 1 = 3 und M 2 = 10 sowie Y 1 = 2000 und Y 2 = Nach deutschem und amerikanischen Ansatz ergeben sich D1 = 30 und D2 = 30. Bei beiden Zinsmethoden ist t = 360 ( ) + 30 (10 3) + (30 30) 360 Das ergibt dann bei exponentieller Verzinsung = K t = (1 + 0, 08) 570/360 = , 28 e Z t = K t K 0 = , 28 e. ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 00 % K 0 und bei stetiger Verzinsung K t = e 0,08 570/360 = , 61 e Z t = K t K 0 = , 61 e. ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 8, 33 % K 0 sowie bei linearer Verzinsung K t = (1 + 0, /360) = , 67 e Z t = K t K 0 = , 67 e ( ) 1/tP Kt r = 1 = 1, /19 = 7, 82 % K 0 42

55 1.20 Lösungen Aufgabe 3. Man berechne den Endwert und den Zinsbetrag bei exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung für ein Kapital von Euro, das im Zeitraum vom bis zum bis bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Man verwende alle vorgestellten Zinsmethoden, bis auf die nach PAngV und berechne jeweils auch die Rendite. Die Lösungen sind im folgenden Excel-Arbeitsblatt zu nden: A B C D E F G K_0 r Anfang Ende ,00 8,00% ACT/ACT ICMA ACT/ACT EXCEL ACT/360 ACT/365 30/360E 30/360U Laufzeitformel 249/ / ( ( /(365+1/3) 641/ /365 4)/12+(28-27)/360 4)/12+(28-27)/360 Laufzeit 1, , , , , , Expon. Verz , , , , , ,30 Stet Verz , , , , , ,44 Einf. Verz , , , , , ,22 Zeit nach PAngV: (1-4)/12+(28-27)/360 = 1, Expon. Verz 8,01% 8,01% 8,13% 8,02% 8,00% 8,00% Stet Verz. 8,34% 8,34% 8,47% 8,35% 8,33% 8,33% Einf. Verz 7,78% 7,78% 7,89% 7,79% 7,77% 7,77% Aufgabe 4. Der Zinssatz r bei stetiger Verzinsung sei so, dass aus 100 Euro innerhalb eines Monats bei der Zinsmethode 30E/ Euro werden. a) Welchen Wert hat r? Ein Monat entspricht t = 1/12. Zu lösen ist die Gleichung 101 = 100e r 12 d.h. r = 12 ln ( ) 101 = 11, 94 Prozent 100 b) Welchen Wert hat ein Anfangskapital von Euro nach zwei Jahren? K 2 = 1.000e 2r = 1.000e 2 0,1194 = 1.269, 73 Euro c) Wie groÿ ist die Rendite r nach PAngV? Innerhalb von zwei Jahren werden aus Euro 1.269, 73 Euro. Für die Rendite ergibt sich nach Gleichung (1.23) auf Seite 21 r = (1, 26973) 1/2 1 = 12, 68 Prozent. Aufgabe 5. Eine Freundin verleiht Ihnen Euro für vier Monate und verlangt Euro zurück. Sie behauptet, ihre Rendite sei nur 3 Prozent. Wie sehen Sie das? 43

56 1 Zinsrechnung Die Formel (1.23) auf Seite 21 für die Rendite ergibt hier wegen tp = 1/3 und damit 1/tP = 3 ( ) r = 1 = 1, = 3, 03 Prozent Die Freundin hat bei einfacher Verzinsung tatsächlich nur 3 Prozent Zinsen verlangt. Da unterjährig aber die einfache Verzinsung etwas günstiger für den Gläubiger ist als die exponentielle Verzinsung, ergibt sich der etwas höhere Wert für die Rendite. Aufgabe 6. Eine Bank bietet einen so genannten abgezinsten Sparbrief wie folgt an: Der Kunde zahlt einmalig 900 Euro und erhält nach Ablauf von drei Jahren Euro zurück. Wie hoch ist die Rendite? Die Rendite beträgt r = ( ) 1/ = 0, = 3, 57 %. 900 Aufgabe 7. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz von 8 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an. a) Warum ist keine Zinsmethode angegegeben? Da Anfangs- und Endtermin am Jahresanfang liegen, ergeben sich bei jeder Zinsmethode genau fünf Jahre als Verzinsungszeitspanne. b) Wie hoch ist der Endbetrag? R E = 1.000e 0,08 5 = 1491, 82 DM. c) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? Zwischen beiden Terminen liegen genau fünf Jahre. Die Formel (1.23) auf Seite 21 für die Rendite ergibt deshalb ( ) 1/ , 82 r = 1 = 8, 33 Prozent d) Durch welchen Zinssatz r würde man mit exponentieller Verzinsung diesen Endbetrag erreichen? Da es sich um volle Jahre handelt, ist die Auösungsformel (1.15) auf Seite 8 der exponentiellen Verzinsung identisch mit der Renditeformel, also ergibt sich r = r = 8, 33 Prozent Aufgabe 8. Jemand legt bei stetiger Verzinsung zu einem jährlichen Nominalzinssatz von 8 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an, wobei die Zinsmethode 30E/360 verwendet wird. 44

57 1.20 Lösungen a) Wie hoch ist der Endbetrag? Bei der Zinsmethode 30E/360 ist t = 5, 25, für den Endbetrag ergibt sich R E = 1.000e 0,08 5,25 = 1.521, 96 DM. b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? Zwischen den beiden Terminen liegen nach PAngV genau 5,25 Jahre. Die Rendite r ist deshalb Lösung der Gleichung: ( ) 1/5, , 96 r = 1 = 8, 33 Prozent c) Durch welchen Zinssatz würde man auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung diesen Endbetrag erreichen? Rechnen Sie mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und einem Zinstermin am Jahresende. Bei einer Anlage auf dem Sparbuch zählt der erste Tag, aber nicht der letzte. Im Anfangsjahr sind daher der 30.6 und die kompletten Monate von Juli bis Dezember anzusetzen, also = 185 Tage. Im Endjahr sind dagegen nur = 272 Zinstage vorhanden. Es ergibt sich in DM: 1.521, 96 = ( r ) (1 + r) 4 ( r Diese Gleichung muss numerisch gelöst werden, etwa mit der Zielwertsuche von Excel. Es ergibt sich r = 8, 30 Prozent. Aufgabe 9. Jemand legt auf einem Sparbuch mit gemischter Verzinsung und einem Zinstermin am Jahresende zu einem jährlichen Zinssatz von 8 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an. a) Wie hoch ist der Endbetrag bei der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA)? Bei einer Anlage auf dem Sparbuch zählt der erste Tag, aber nicht der letzte. Im Anfangsjahr sind daher der 30.6 und die kompletten Monate von Juli bis Dezember anzusetzen, also = 185 Tage. Im Endjahr sind dagegen nur = 180 Zinstage vorhanden. Es ergibt sich in DM: ( R E = , ) (1, 08) 4 ( , ). ) = 1.471, 50. b) Wie groÿ ist die Rendite nach PAngV? Zwischen den beiden Terminen liegen nach PAngV genau 5 Jahre. Die Rendite r ist deshalb Lösung der Gleichung: ( ) 1/ , 50 r = 1 = 8, 03 Prozent

58 1 Zinsrechnung c) Welcher Zinssatz ρ würde bei stetiger Verzinsung mit der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) zum selben Endbetrag führen? Zwischen beiden Terminen liegen bei dieser Zinsmethode genau fünf Jahre. Nach Formel (1.16) auf Seite 8 gilt für den gesuchten Zinssatz ρ: ρ = ln(1.471, 50) ln(1.000) 5 = 7, 73 Prozent. Aufgabe 10. Man berechne das Endkapital bei gemischter Verzinsung für ein Kapital von , das im Zeitraum vom bis zum bei einem Zinssatz von r = 0, 08 angelegt wurde. Verwenden Sie die alle Zinsmethoden und rechnen Sie mit einer, zwei und vier Zinsperioden. Ich habe das Arbeitsblatt von Abbildung 2.6 auf Seite 60 um die Berechnung der Rendite erweitert. Eingestellt sind vier Zinsperioden, die Werte für eine und zwei Zinsperioden stehen darunter A B C D E F K 0 Anfang Ende r m Eingaben , ,00% 4 ACT/ACT (ICMA) ACT/360 ACT/365 30E/360 30U/360 Zinstermin k y n Zinstermin k y n gesamt K gemischt , , , , ,63 Renditen Zeit nach PAngV ( )+ (8-8-1) /12 +( )/365 5, ,2492% 8,2536% 8,2495% 8,2456% 8,2456% m= , , , , ,32 8,0251% 8,0449% 8,0265% 8,0254% 8,0254% m= , , , , ,55 8,1717% 8,1820% 8,1730% 8,1662% 8,1662% Aufgabe 11. Jemand legt auf ein Bausparkonto zu einem jährlichen Zinssatz von 2 Prozent vom bis zum ein Kapital von DM an. Rechnen Sie mit vier Zinsperioden und der Zinsmethode 30E/360. a) Wie hoch ist der Endbetrag? Der nächste Zinstermin beginnt am , bis dahin vergehen nach der Zinsmethode 30E/360 noch k 1 = 70 Tage. Der letzte Zinstermin vor dem Endtermin ist der , dazwischen liegen n = 20 Zinsperioden. Vom bis zum Ende 46

59 1.20 Lösungen vergehen noch k 2 = 90 Tage, denn der wird auf den degradiert und zählt nicht mit. Der Endwert ist somit K t = 1000(1 + 0, )1, ( , ) = 1.110, 98 Euro. 360 b) Wie groÿ ist die Rendite r nach PAngV? Zwischen dem und dem verging nach PAngV die Zeit Die Rendite beträgt deshalb tp = (7 4)/12 + (30 21)/365. r = (1, 07131) 1/5, = 2, 0153 %. c) Welcher Zinssatz würde bei gleicher Zinsmethode aber nur einer Zinsperiode pro Jahr zum selben Endbetrag führen? Gesucht ist der Zinssatz i, welcher die Gleichung 1.110, 98 = 1000(1 + i )(1 + i)4 (1 + i ) löst. Durch geschickte Raterei kommt man schnell auf die brauchbare Näherung i = 2, 0134 Prozent. Aufgabe 12. Ein Betrag von Euro wird zwei Jahre zu einem Nominalzinssatz von 6 Prozent mit monatlicher Zinsperiode angelegt. Man berechne den Kapitalendwert und die Rendite! Hier ist K t = (1 + 0, 06/12) 24 = 1.127, 16 Euro, also r = (1, 12716) 1/2 1 = 0, , 17 %. Aufgabe 13. Ein Bausparer zahlt am Euro auf ein Bausparkonto mit vier Zinsperioden. Nach genau vier Jahren hat er ,85 Euro auf seinem Konto. Man berechne den Nominalzinssatz und die Rendite. Anfangs- und Endtermin liegen auf einem Zinstermin, dazwischen liegen n = 16 Zinsperioden. Somit gilt für den Nominalzinssatz die Gleichung , 85 = (1 + r/4) 16 = , d.h ( ) r = 4 (12.996, 85/12.000) 1/16 1 = 0, 02. Für die Rendite erhält man also r = 2, 02 Prozent. r = (12.996, 85/12.000) 1/4 1 = 0,

60 1 Zinsrechnung Aufgabe 14. Herr XY zahlt am auf ein besonders günstiges Sparbuch einer niederländisch-türkischen Bank Euro ein und erhält bis zum einen Zinssatz von 4 Prozent, von da an bis zum Vertragsende am einen Zinssatz von 6 Prozent. Berechnen Sie den Betrag, den der Kunde dann erhält. Verwendet sei die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) mit einem Zinstermin am Jahresende. Man berechne ferner die Rendite r der Anlage nach der PAngV. Es wird so gerechnet, als werde zunächst vom bis zum ein Betrag von Euro zum Zinssatz von 4 Prozent angelegt. Das ergibt als Zwischenergebnis K z = 8.000(1 + 0, )1, 04 2 ( , ) = 9.179, 51 Euro. 365 Dieser Betrag wird jetzt vom bis zum Ende mit 6 Prozent verzinst. Daraus folgt 0, K t = 9.179, 51(1 + )1, , (1 + ) = , 98 Euro Zwischen dem und dem liegen nach PAngV genau sechs Jahre, die Rendite von Herrn XY beträgt deshalb r = (10.624, 98/8.000) 1/6 1 = 0, Da Renditen als Prozentwert mit zwei Nachkommastellen ausgezeichnet werden müssen, ergibt sich r = 4, 84 Prozent. An diese Gepogenheiten sind ausländische Geldinstitute nur gebunden, wenn das Angebot in Deutschland erfolgt. Aufgabe 15. Frau XY hatte am einen Betrag von Euro auf ein Sparbuch einer Bank mit Sitz auf den Cayman-Inseln eingezahlt, und am wieder abgehoben. Der Sparzins betrug anfänglich 4 und stieg danach auf 6 Prozent. Frau XY wollte eine Rendite nach deutscher Rechnung von 5 Prozent erzielen. An welchem Tag musste dafür der Zins gewechselt werden? Die Zinsmethode war ACT/ACT (ICMA). Die Frauen mit ihren Sonderwünschen. Zwischen dem und dem liegen nach PAngV genau fünf Jahre. Die Renditeformel aufgelöst nach K t ergibt r = (K t /K 0 ) 1/tP 1 K t = K 0 (1 + r) tp, woraus der von Frau XY gewünschte Endbetrag K t = (1, 05) 5 = 10210, 25 Euro folgt. Der Zinswechsel muss im Jahr 2002 oder im Jahr 2003 erfolgen. Ich versuche es mit dem Jahr 2002 und nenne den unbekannten Tag x mit 1 x 365. Dann gilt K t = K 0 (1 + 0, )1, 04( , 04 x x )(1 + 0, 04 )1, 06 2 ( , )

61 1.20 Lösungen Dies ist eine quadratische Gleichung für x mit der Lösung x = 269, Da nur ganze Zahlen in Frage kommen, wähle ich x = 269, also den Der tatsächliche Endbetrag ist dann sogar ,35 Euro. Aufgabe 16. Frau XY kaufte am einen Bundesschatzbrief des Typs B im Wert von Euro zu den in Abbildung 1.2 auf Seite 31 gezeigten Konditionen. a) Welchen Anteil am Kaufpreis nehmen die Stückzinsen ein, wie hoch ist der Nennwert des erworbenen Bundesschatzbriefes? b) Am gerät Frau XY in Geldnot und muss den Bundessschatzbrief verkaufen. Wie viel würde der Bund sofort zurücknehmen, wie wäre der weitere Verlauf der Rückgabe an den Bund? c) Der Exmann von Frau XY nutzt deren Notlage aus und kauft den Bundesschatzbrief zu einem Kaufpreis, der ihm eine Rendite von 6 Prozent garantiert, wenn er das Papier bis zum Ende der Laufzeit hält. Wie hoch ist der Kaufpreis? Welche Rendite hat die unglückliche Frau XY erzielt? Wie ist ihre steuerliche Situation? Aufgabe 17. Ein Portfoliomanager verkündet, dass er in den letzten 10 Jahren durchschnittlich 20 Prozent Rendite erzielt hat. Wieso ist diese Aussage nur bedingt wertvoll? Unerfahrene Kunden nehmen an, dass der Wert des Portfolios in den letzten 10 Jahren um den Faktor (1, 2) 10 = 6, 1917 gestiegen ist. Es gilt aber nur, dass das arithmetische Mittel r a r a = r 1 + r r 10 = 0, 2, 10 also 20 Prozent beträgt. Der tatsächliche Vermögenszuwachs ergibt sich aber aus dem geometrischen Mittel: (1 + r g ) 10 = (1 + r 1 )(1 + r 2 )...(1 + r 10 ). Wie sich zeigen lässt, gilt r g r a, wobei Gleichheit nur dann auftritt, wenn alle r i r 1 = 100 Prozent, r 2 = 50 Prozent ergibt gleich sind. Das klassische Beispiel r g = 0, r a = 25. Durchschnittlich wurde in den zwei Jahren eine Rendite von 25 Prozent erzielt, aber kein Wertzuwachs. 49

62 2 Zinsrechnung mit Excel In diesem Kapitel zeige ich, wie Excel in der Zinsrechnung eingesetzt werden kann. Es werden die für die Finanzmathematik wichtigen Arbeitsblattfunktionen vorgestellt und das Excel-Feature Zielwertsuche beschrieben. Mit diesen Hilfsmitteln lassen sich alle Verfahren der Zinsrechnung in Formeln von Excel umsetzen. 2.1 Zinsmethoden Die Excel-Funktion TAGE360 Wegen der groÿen Bedeutung der beiden Zinsmethoden 30E/360 und 30U/360 gibt es in Excel eine Funktion, die die Zinstage berechnet. Diese Funktion hat drei Parameter, der erste ist das Anfangsdatum, der zweite das Enddatum und der dritte ist eine logische Variable mit den Werten WAHR oder FALSCH. Soll nach der Zinsmethode 30E/360 gezählt werden, muss der dritte Parameter den Wert WAHR bekommen, während für 30U/360 FALSCH zu wählen ist. Steht etwa in der Zelle A1 als Datumswert und in der Zelle B1 als Datumswert , so liefern die Formeln =TAGE360(A1:B1;WAHR und =TAGE360(A1:B1;FALSCH die Werte 13 und Die Excel-Funktion BRTEILJAHRE Nun benötigt man meistens die Zeitspanne zwischen zwei Datumsangaben und nicht nur die Anzahl der Zinstage. Die Entwickler von Excel haben deshalb eine Funktion namens BRTEILJAHRE geschrieben, welche die Zeitdierenz entsprechend der vorgestellten Zinsmethoden mit Ausnahme von PAngV und ACT/ACT (ICMA) berechnet. Diese Funktion wird in der Hilfe von Excel wie folgt beschrieben. BRTEILJAHRE(Ausgangsdatum;Enddatum;Basis) Wichtig Datumsangaben sollten mithilfe der Funktion DATUM oder als Ergebnisse anderer Formeln oder Funktionen eingegeben werden. Verwenden Sie z. B. für den 23. Mai 2008 DATUM(2008;5;23). Es können Probleme auftreten, wenn Datumsangaben als Text eingegeben werden. ˆ Ausgangsdatum: ist ein Datum, das dem Anfangsdatum entspricht. ˆ Enddatum: ist ein Datum, das das Enddatum angibt. ˆ Basis: gibt an, welche Zinsmethode verwendet wird. Es sind fünf Werte möglich. 50

63 2.1 Zinsmethoden Lässt man den dritten Parameter ganz weg oder 0: 30U/360 (amerikanisch), 1: ACT/ACT (EXCEL), 2: ACT/360 (Eurozins), 3: ACT/365 (Englisch), 4: 30E/360 (Deutsch). Faszinierend an Microsoft-Produkten ist, dass sich nie etwas ändert, auÿer der verdammten neuen Oberäche mit den Multifunktionsleisten. Diese Funktion liefert die nutzlose Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL), aber nicht die international normierte Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und bleibt auch die in Deutschland häug gebrauchte Zinsmethode nach PAngV schuldig Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) wurde von den amerikanischen Entwicklern von Excel nicht berücksichtigt. Ich gebe deshalb in der abgebildeten Tabelle ein Schema zur Berechnung an A B C D E F G H I t 1 t 2 k 1 y 1 n k 1 y 2 Formel t / /365 1, / /365 2, / /365 2, / /365 0, / /366 7, Abbildung 2.1: Die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) In den Zellen A2 und B2 stehen Anfangs- und Enddatum. In den Zelle C2 bis G2 benden sich die Formeln zur Berechnung von k 1, y 1, n, k 2 und y 2. Für die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) müssen die Tage im Anfangsjahr ermittelt werden. Die Formel steht in der Zelle C2 und lautet =MIN(B2-A2;DATUM(JAHR(A2)+1;1;1)-A2) Liegt das Enddatum im selben Jahr wie das Anfangsdatum, vergehen im Anfangsjahr nur B2 A2 Tage, sonst aber müssen alle Tage einschlieÿlich des Jahresendes gezählt werden. Diese Zahl k 1 muss durch die Gesamtzahl y 1 der Tage des ersten Jahrs geteilt werden =DATUM(JAHR(A2);12;31)-(DATUM(JAHR(A2)-1;12;31)) In der Zelle E2 steht die Anzahl n der ganzen Jahre, also die Formel =MAX(0;JAHR(B2)-JAHR(A2)-1) 51

64 2 Zinsrechnung mit Excel Die Tage des Endjahrs stehen in der Zelle F2 und ergeben sich aus der Formel =WENN(JAHR(B2)>JAHR(A2);B2-DATUM(JAHR(B2);1;1);0) Die Tage des letzten Jahres müssen durch die Gesamtzahl der Tage dieses Jahrs geteilt werden, d.h durch =DATUM(JAHR(B2);12;31)-(DATUM(JAHR(B2)-1;12;31)) Die Formel für die Zeitdauer nach ACT/ACT (ICMA) lautet damit =C2/D2+E2+F2/G2 und steht in Zelle I2. Die drei Formeln lassen sich zu einer einzigen Mammutformel vereinigen, die ohne Zwischenergebnissen auskommt. Dafür muss in der letzten Formel jeder Bezug auf C2, D2, E2, F2 und G2 durch die entsprechende Formel ersetzt werden, was man am besten auÿerhalb von Excel mit einem Editor durchführt. Es ergibt sich dann folgende Monsteranweisung: =WENN(JAHR(B2)-JAHR(A2)=0; (B2-A2)/(DATUM(JAHR(A2);12;31)-DATUM(JAHR(A2)-1;12;31)); JAHR(B2)-JAHR(A2)-1+ (DATUM(JAHR(A2)+1;1;1)-A2) /(DATUM(JAHR(A2);12;31)-DATUM(JAHR(A2)-1;12;31)) +(B2-DATUM(JAHR(B2);1;1)) /(DATUM(JAHR(B2);12;31)-DATUM(JAHR(B2)-1;12;31))) Alle Formeln lassen sich am Ausfüllkästchen bequem nach unten ziehen. Nur für Excel-Füchse sei bemerkt, dass ich mir auch die in der Zelle H2 stehende Formel von Excel habe bilden lassen. Diese Formel ist aus der Sicht von Excel eine Zeichenfolge. Excel erlaubt, zwei Zeichenfolgen durch den Operator & zu verbinden. Die Formel für die Zelle H2 lautet somit: =C2&"/"&D2&"+"&E2&"+"&F2&"/"&G Die Zinsmethode PAngV Die deutsche Zinsmethode nach PAngV wurde von den amerikanischen Entwicklern von Excel nicht berücksichtigt. Ich gebe in der abgebildeten Tabelle ein Schema zur Berechnung an. In den Zellen A2 und B2 stehen Anfangs- und Enddatum. In den Zelle C2 und D2 benden sich die Formeln zur Berechnung von D1 bzw. D2. =WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2)) (*) =WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) (**) In der Zelle E2 steht die Formel zur Berechnung der Zeitdierenz, in der Zelle F2 der zugehörige Wert. =WENN(D2>=C2;JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2))/12+(D2-C2)/365; JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2)-1)/12+ (D C2)/365) 52

65 2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung A B C D E F t 1 t 2 D1 D2 Formel t (1-4)/12+(28-27)/365 1, (5-2-1)/12 + ( )/365 2, (5-2)/12+(30-30)/365 2, (10-10)/12+(30-1)/365 0, Abbildung 2.2: Die Zinsmethode PAngV. Die drei Formeln lassen sich zu einer einzigen Mammutformel vereinigen. Dafür muss in der letzten Formel jeder Bezug auf C2 durch die mit (*) markierte Formel ersetzt werden und jeder Bezug von D2 wird durch die Formel (**) überschrieben. Dann ergibt sich folgende Monsteranweisung: WENN(WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30; TAG(B2))>= WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30; TAG(A2));JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2))/12 + (WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) - WENN(ODER(TAG(A2)=31; UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2))) / 365; JAHR(B2)-JAHR(A2)+(MONAT(B2)-MONAT(A2)-1)/12 + (WENN(ODER(TAG(B2)=31;UND(TAG(B2)>27; MONAT(B2)=2));30;TAG(B2)) WENN(ODER(TAG(A2)=31;UND(TAG(A2)>27; MONAT(A2)=2));30;TAG(A2)))/365) Alle Formeln lassen sich am Ausfüllkästchen bequem nach unten ziehen. Nur für Excel-Füchse sei bemerkt, dass ich mir auch die in der Zelle E2 stehende Formel von Excel habe bilden lassen. Diese Formel ist aus der Sicht von Excel eine Zeichenfolge. Excel erlaubt, zwei Zeichenfolgen durch den Operator & zu verbinden. Die Formel für die Zelle E2 lautet: = JAHR(B2) & "-" & JAHR(A2) & "+(" & WENN(D2>=C2; MONAT(B2)&"-" & MONAT(A2)& ")/12+(" & D2& "-" & C2& ")/365"; MONAT(B2)&"-" & MONAT(A2)& "-1)/12 + (" & D2& "+30-" & C2& ")/365") 2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung Werden diese drei Verzinsungsarten mit den einschlieÿlich ACt/ACT (EXCEL) sechs unterschiedlichen Zinsmethoden kombiniert, erhält man 18 Formeln zur Berechnung des Endkapitals bei gegebenen Werten von Anfangskapital, Zinssatz sowie Anfangs- und Enddatum, diese Plackerei überlässt man besser einem Excel-Arbeitsblatt. Die kalendergenauen Tage zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum, die in den Zellen B2 und C2 stehen, werden mit der Formel = C2-B2 53

66 2 Zinsrechnung mit Excel A B C D E F G Anfang Ende r K , ,00 Werte ACT/ACT (ICMA) ACT/ACT (EXCEL) ACT/360 ACT/365 30E/360 30U/360 t 7, , , , , , t excel 7, , , , , Index K exp , , , , , ,41 K stetig , , , , , ,26 K einf , , , , , ,44 Tage Jahre Schaltjahre Anfangstage Ganze Jahre Endtage Schaltjahr1 Schaltjahr Abbildung 2.3: Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung. in der Zelle A13 berechnet. Dieser Wert ist der Zähler für die Zeiten in den Zellen C5 bis E5. Für die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) wird die Gesamtzahl von beteiligten Jahren benötigt. Dieser Wert steht in Zelle B13 und wird über die Formel =JAHR(C2)-JAHR(B2) + 1 bestimmt. Die Anzahl der Schaltjahre steht in der Zelle C12, die Berechnung erfogt über zwei Zwischenergebnisse. In der Zelle B15 bendet sich das erste auf das Anfangsjahr folgende Schaltjahr. Die Formel lautet: =JAHR(B2)-REST(JAHR(B2)-1;4) + 3 Schaltjahre sind durch vier teilbar. Die Excel-Funktion REST liefert den ganzzahligen Rest bei Division. Im Beispiel hat JAHR(B2) den Wert 2001 und somit ist JAHR(B2) 1 = 2000, der Rest nach Division von 2000 durch 4 ist 0. Wird 0 3 zu 2001 hinzugefügt ergibt sich das nachfolgende Schaltjahr In der Nachbarzelle C15 steht das letzte Schaltjahr vor dem Jahr des Anfangsdatums. Die Formel lautet: =JAHR(C2)-REST(JAHR(C2);4) Die Anzahl der Schaltjahre zwischen dem Anfangs- und Endjahr ergibt sich dann aus der in der Zelle C13 stehenden Formel =WENN(UND(B15<=JAHR(C2);C15>=JAHR(B2));(C15-B15)/4+1;0) Für die Zeit nach der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) erhält man die in der Zelle B5 bendliche Formel =A13/(365+C13/B13) 54

67 2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung Für die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) müssen die Tage im Anfangsjahr ermittelt werden. Die Formel steht in der Zelle E13 und lautet =MIN(C2-B2;DATUM(JAHR(B2)+1;1;1)-B2) Liegt das Enddatum im selben Jahr wie das Anfangsdatum, vergehen im Anfangsjahr nur C2 B2 Tage, sonst aber müssen alle Tage einschlieÿlich des Jahresendes gezählt werden. Die Tage des Endjahrs stehen in der Zelle G13 und ergeben sich aus der Formel =WENN(JAHR(C2)>JAHR(B2);End-DATUM(JAHR(C2);1;1);0) In der Zelle F13 steht die Anzahl der ganzen Jahre, also die Formel =MAX(0;JAHR(C2)-JAHR(B2)-1) Die Tage in den angebrochenen Jahre müssen durch die Gesamtzahl der Tage des jeweiligen Jahrs geteilt werden. Zählt man diese Brüche zur Anzahl der ganzen Jahre, ergibt sich in der Zelle C5 die längliche Formel für die Zeit entsprechend der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) =E13/(DATUM(JAHR(B2);12;31)-(DATUM(JAHR(B2)-1;12;31))) +F13+G13/(DATUM(JAHR(C2);12;31)-(DATUM(JAHR(C2)-1;12;31))) Die beiden Formeln für die Zeit nach den Methoden ACT/360 bzw. ACT/365 benden sich in den Zellen D5 und E5 und lauten =A13/360 =A13/365 Für die deutsche und amerikanischen Zinsmethoden werden nicht die kalendergenauen Tage, sondern wie beschrieben je eine Form der 30/360 Methode benötigt. Die Excel Funktion TAGE360 rechnet die Tage nach dieser Methode aus, Sie müssen dann noch durch 360 teilen. Für die deutsche Zinsmethode 30E/360 habe ich in der Zelle F5 die Formel =TAGE360(B2;C2;WAHR)/360 eingegeben und für die amerikanische Zinsmethode 30U/360 in die Zelle G5 =TAGE360(A2;B2;FALSCH)/360 Ich habe hier zu Übungszwecken die Zinsmethoden ACT/ACT (EXCEL), ACT/360, ACT/365 und 30E/360 sowie 30U/360 ohne die dafür maÿgeschneiderte Funktion BR- TEILJAHRE erstellt. In der Zeile 6 habe ich diese Funktion verwendet. Sie liefert dieselben Ergebnisse wie die direkte Rechnung in der Zeile darüber, mit Ausnahme der Zinsmethode ACT/ACT (ICMA). Achten Sie auf den dritten Parameter der Funktion, da dieser die Zinsmethode auswählt. In der Zeile 6 stehen somit die Formeln =BRTEIL- JAHRE(B2;C2;i), wobei i die Werte der Zeile 7 hat, in den Zellen B6 bis G6 stehen also nacheinander =BRTEILJAHRE(B2;C2;1) bis =BRTEILJAHRE(B2;C2;4) und dann noch =BRTEILJAHRE(B2;C2;0). Die Zinsmethoden ACT/ACT (ICMA) und PAngV müssen aber selbst gestrickt werden. Nach der Quälerei mit der Zeit kommen jetzt die drei Grundformeln der Verzinsung. Für die exponentielle Verzinsung in Zelle B7 sorgt die Formel 55

68 2 Zinsrechnung mit Excel =$D$2*(1+$E$2)^B6 denn in der Zelle $D$2 steht das Anfangskapital, in B6 die Zeit und in der Zelle $E$2 der Zinssatz. Die Dollarzeichen sorgen dafür, dass diese Formel nach rechts gezogen werden kann, in der Zelle C7 steht dann =$D$2*(1+$E$2)^C6 Das kann dann bis zur Spalte G fortgesetzt werden. Die Grundformeln für die stetige und einfache Verzinsung lauten =$D$2*exp($E$2)*B6) =$D$2*(1+$E$2)*B6) und stehen in den Zellen B8 und B9 und können wie beschrieben am Ausfüllkästchen bis zur Spalte G nach rechts gezogen werden. =WENN(JAHR(EDat)-JAHR(ADat)=0;(EDat-ADat)/ (DATUM(JAHR(ADat);12;31)-DATUM(JAHR(ADat)-1;12;31)); JAHR(EDat)-JAHR(ADat)-1+(DATUM(JAHR(ADat)+1;1;1)-ADat)/ (DATUM(JAHR(ADat);12;31)-DATUM(JAHR(ADat)-1;12;31)) + (EDat-DATUM(JAHR(EDat);1;1))/ (DATUM(JAHR(EDat);12;31)-DATUM(JAHR(EDat)-1;12;31))) Auösungen nach Anfangskapital, Zeit und Zinssatz Die drei Zinsformeln kann man nach jeder einzelnen Gröÿe auösen. ich werde dies an einigen Beispielen zeigen. Beispiel 2.1. Welches Kapital ist nötig, um im Zeitraum vom bis zum bei linearer Verzinsung und einem Zinssatz von 4 Prozent zu einem Endkapital von Euro zu gelangen? Verwenden Sie die Zinsmethode 30E/360. Ich möchte der nützlichen Excel-Funktion BRTEILJAHRE die Berechnung der Zeit überlassen. Also schreibe ich in ein Excel-Arbeitsblatt in die Zellen A1 und B1 die beiden Datumswerte und gebe in die Zelle C1 die Formel =BRTEILJAHRE(A1;B1;4) ein. In die Zelle D1 kommt dann nach der Formel (1.14) von Seite 8 =4200/(1+0,04*C1) Ihr Arbeitsblatt sollte dann die folgenden Werte aufweisen. A1 B1 C1 D , ,66 Man benötigt also 3.993,66 Euro für den geforderten Endwert. 56

69 2.2 Exponentielle, stetige und einfache Verzinsung Beispiel 2.2. Bei welchem Zinssatz wächst ein Kapital von Euro im Zeitraum vom bis zum bei stetiger Verzinsung auf ein Endkapital von Euro an? Verwenden Sie die Zinsmethode ACT/360. Die Zellen A1 und B1 bleiben unverändert, wegen der Zinsmethode ACT/360 steht aber jetzt in der Zelle C1 die Formel =BRTEILJAHRE(A1;B1;2) In die Zelle D1 kommt dann nach der Formel (1.16) von Seite 8 =(LN(4200)-LN(4000))/C1 Ihr Arbeitsblatt sollte dann die folgenden Werte aufweisen. A1 B1 C1 D , , Der Zinssatz ist also ungefähr 3,729 Prozent. Beispiel 2.3. Wie muss das Enddatum gewählt werden, damit ein am angelegtes Kapital von Euro bei einem Zinssatz von 5 Prozent bei exponentieller Verzinsung auf ein Endkapital von Euro anwächst? Verwenden Sie die Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL). Diesmal habe ich ein etwas aufwändigeres Arbeitsblatt angelegt, siehe Abbildung 2.4 auf Seite 57. Abbildung 2.4: Berechnung des Endkapitals bei verschiedenen Formen der Verzinsung. In die Zelle A2 kommt das Anfangsdatum, also der In die Zelle B2 schreibe ich eine erste Vermutung. Da Euro in einem Jahr 200 Euro Zinsen abwerfen, wird der Zeitraum ungefähr 1,5 Jahre sein, also setze ich in die Zelle B2 das Datum Wegen der Zinsmethode ACT/ACT (EXCEL) steht jetzt in der Zelle C2 die Formel 57

70 2 Zinsrechnung mit Excel =BRTEILJAHRE(A1;B1;1) Excel berechnet dafür den Wert 1, In die Zelle H2 kommt dann nach der Formel (1.18) von Seite 8 =(LN(F2)-LN(E2))/LN(1+D2) Dann ergibt sich in dieser Zelle der Wert 1, Die Schätzung war nicht schlecht, aber noch zu hoch, daher muss ich den Wert solange um einen Tage verkleinern, bis die Zelle C2 den Wert der Zelle H2 hat. Die beste Übereinstimmung ergibt sich für den Dann hat die Zelle C2 den Wert 1, Eine bessere Übereinstimmung ist nicht zu erzielen, der wird das Enddatum sein. Das dann erreichte Endkapital ist aber nicht genau Euro, sondern K t = , 05 1, = Euro. 2.3 Das Excel-Feature Zielwertsuche Nun werden Sie einwenden, dass die Sucherei ziemlich umständlich ist, vor allem wenn man nicht schon am Anfang gut geraten hat. Das haben auch die Entwickler von Excel bedacht und für solche Probleme eine Lösung bereit gestellt, die so genannte Zielwertsuche. Dafür wird ein kleiner Dialog benötigt, der in den älteren Versionen von Excel über die Menüfolge Extras Zielwertsuche geönet wird. Ab der Version Excel 2007 klicken Sie auf der Registerkarte Daten in der Gruppe Datentools auf Was wäre wenn Analyse und wählen dann Zielwertsuche. In der Abbildung 2.4 auf Seite 57 ist dies zu sehen. Es önet sich das abgebildete Dialogfeld Zielwertsuche mit seinen drei Eingabefelder. Die Zielzelle ist die Zelle, die einen bestimmten Wert erhalten soll, das ist hier die Zelle C2. Der gewünschte Zielwert ist der Wert der Zelle H2, hier 1, Die veränderbare Zelle ist die Zelle, die den Wert der Zielzelle bestimmt, das ist hier die Zelle B2 mit dem Enddatum. Um es Excel nicht zu leicht zu machen, habe ich hier mit dem sehr ungenau geraten, daher liegen die Werte in den Zellen C2 und H2 noch weit auseinander. Nach Drücken der Schaltäche OK ermittelt Excel denjenigen Wert von B2, der in der Zelle C2 zum gewünschten Wert führt, in diesem Fall den :57:25. Excel versucht die Lösung genau zu ermitteln und gibt neben dem Datum noch eine Tageszeit an. Die Lösung selbst muss aber ein reines Datum sein, in Frage kommen nur der und der Der liefert mit dem Endwert von 4.300,13 Euro die beste Näherung an den gewünschten Endwert von Euro Automatischer Aufruf der Zielwertsuche Mit VBA lässt die Zielwertsuche auch automatisieren. Önen Sie über Alt + F11 den Visual Basic Editor und suchen im Navigationsfenster den Eintrag Tabelle1. Önen Sie dann das Ereignis SelectionChange und schreiben folgenden Code. 58

71 2.4 Gemischte Verzinsung Private Sub Worksheet_SelectionChange(ByVal Target As Range) Range("C2").GoalSeek Goal:=Range("H2").Value, _ ChangingCell:=Range("B2") End Sub 2.4 Gemischte Verzinsung A B C D E F K 0 Anfang Ende r , ,08 Werte ACT/ACT ACT/360 ACT/365 30E/360 30U/360 k y t A 0, ,85 0, , , n k y t E 0, , , , , K gemischt , , , , ,41 Abbildung 2.5: Berechnung des Endkapitals bei gemischter Verzinsung. Auch die öde Rechnerei der gemischten Verzinsung kann Excel erleichtern. Ich gehe zunächst von einem Zinstermin am Jahresende aus. Die wichtigsten Formeln des abgebildeten Arbeitsblatts gebe ich nun an. In der Zelle B5 stehen die Tage im Anfangsjahr. Stimmt dieses mit dem Endjahr überein, gibt es nur die Tage D2 C2, sonst alle restlichen Tage des Jahres. Dieselben Werte stehen in den Zellen C5 und D5. =WENN(JAHR(D2)-JAHR(C2)=0;(D2-C2);DATUM(JAHR(C2)+1;1;1)-C2) In der Zelle E5 stehen die Tage im Anfangsjahr, wobei nach deutscher Zinsmethode gezählt wird, das übernimmt die Excel-Funktion TAGE360 mit drittem Parameter WAHR. In der Zelle F5 steht die gleiche Formel, nur hat hier der dritte Parameter den Wert FALSCH. =WENN(JAHR(D2)-JAHR(C2)=0;TAGE360(C2;D2;WAHR); TAGE360(C2;DATUM(JAHR(C2)+1;1;1);WAHR)) In der Zelle B6 werden die kalendergenauen Tage des Anfangsjahrs ermittelt. 59

72 2 Zinsrechnung mit Excel = DATUM(JAHR(C2);12;31)-DATUM(JAHR(C2)-1;12;31) Ähnliche Formeln stehen in den Zellen B9 und B10. Die Formel der Zelle B8 berechnet die Anzahl vollständiger Jahre. =MAX(0;JAHR(D2)-JAHR(A2)-1) In der Zelle B12 steht dann die Formel der gemischten Verzinsung. Um sie nach rechts ziehen zu können, wurden die Dollarzeichen für die Variablen des Anfangskapitals und des Zinssatzes verwendet. =$A$2*(1+$E$2*B5/B6)*(1+$E$2) B8*(1+$E$2*B9/B10) 2.5 Unterjährige gemischte Verzinsung mit Excel Für die unterjährige gemischte Verzinsung habe ich das auf Seite 60 abgebildete Arbeitsblatt angelegt. Die Zellen B2 bis F2 enthalten die Eingaben. Zur besseren Lesbarkeit der Formeln habe ich diesen Zellen Namen gegeben, und zwar Anf und End für die Zellen C2 und D2 mit Anfangs- und Enddatum und m für die Zelle F2, wo die Anzahl der Perioden steht A B C D E F K 0 Anfang Ende r m Eingaben , ,00% 1 ACT/ACT (ICMA) ACT/360 ACT/365 30E/360 30U/360 Zinstermin k y n Zinstermin k y n gesamt K gemischt , , , , ,32 Renditen 8,0251% 8,0449% 8,0265% 8,0254% 8,0254% Zeit nach PAngV 5, Abbildung 2.6: Berechnung des Endkapitals bei gemischter unterjähriger Verzinsung. Bei unterjähriger Verzinsung muss zunächst der nächste Zinstermin gefunden werden. Bei m Zinsperioden hat jede Zinsperiode die Länge 12/m, bei vier Zinsperioden ist etwa 60

73 2.6 Aufgaben jede Zinsperiode drei Monate lang. Die Anfangstage der Perioden sind dann der 1.1, 1.4, 1.7 und 1.10, die Monatszahl verringert um 1 ist glatt durch die Periodenlänge 12/m teilbar und der Anfangstag ist der erste dieses Monats. Die beiden Bedingungen lauten für sich TAG(Anf) = 1 REST(MONAT(Anf)-1;12/m) = 0 und müssen durch die UND-Funktion verbunden werden und bilden dann das erste Argument der WENN-Funktion =WENN(UND(TAG(Anf)=1;REST(MONAT(Anf)-1;12/m)=0);Anf;XXX) An die Stelle von XXX kommt die Anweisung für den nächsten Zinstermin, wenn das Anfangsdatum nicht auf den Periodenanfang fällt. Diese Anweisung ist ziemlich lang: DATUM(JAHR(Anf)+WENN(m-1 < MONAT(Anf)*m/12;1;0); WENN(m-1 <MONAT(Anf)*m/12;1; 1+AUFRUNDEN(MONAT(Anf)*m/12;0)*12/m);1) Wird dies anstelle von XXX in die obige WENN-Anweisung eingesetzt, ergibt sich dann die Formel für den Anfangstermin =WENN(UND(TAG(Anf)=1;REST(MONAT(Anf)-1;12/m)=0);Anf; DATUM(JAHR(Anf)+WENN(m-1 < MONAT(Anf)*m/12;1;0); WENN(m-1 <MONAT(Anf)*m/12;1; 1+AUFRUNDEN(MONAT(Anf)*m/12;0)*12/m);1)) Die Formel für den letzten Zinstermin vor dem Enddatum ist wesentlich einfacher: =DATUM(JAHR(C2);1+ABRUNDEN((MONAT(C2)-1)*m/12;0)*12/m;1) Der restlichen Formeln des Arbeitsbaltts überlasse ich Ihnen als Übung. 2.6 Aufgaben Aufgabe 1. An welchem Tag ist jeweils bei exponentieller, stetiger und einfacher Verzinsung ein bei einem Zinssatz von 5 Prozent am angelegtes Kapital von Euro auf Euro angewachsen? Die Zinsmethode sei 30E/360. Wie hoch ist der tatsächliche Endbetrag jeweils? Aufgabe 2. Praktikumsaufgabe: Erstellen Sie ähnlich wie in Abbildung 2.1 auf Seite 51 ein Excel-Arbeitsblatt, das die Zinsmethode 30E/360 erzeugt. Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse an einigen Beispieldaten mit der Funktion BRTEILJAHRE. 61

74 2 Zinsrechnung mit Excel Aufgabe 3. Praktikumsaufgabe: Erstellen Sie die Funktion LAUFZEIT(Ausgangsdatum;Enddatum;Basis) mit Visual Basic. Hier sind ˆ Ausgangsdatum: ist ein Datum, das dem Anfangsdatum entspricht. ˆ Enddatum: ist ein Datum, das das Enddatum angibt. ˆ Basis: gibt an, welche Zinsmethode verwendet wird. Es sind sieben Werte möglich. Lässt man den dritten Parameter ganz weg oder 0: 30U/360 (amerikanisch), 1: ACT/ACT (EXCEL), 2: ACT/360 (Eurozins), 3: ACT/365 (Englisch), 4: 30E/360 (Deutsch), 5: ACT/ACT (ICMA), 6: PAngV. Diese Funktion stimmt also für die Parameterwerte 0 bis 4 mit der Excel-Funktion BRTEILJAHRE überein. Im Visual Basic Code werden Arbeitsblattfunktionen mit ihrem englischen Bezeichner aufgerufen, hier Excel.WorksheetFunction.YearFrac. Aufgabe 4. Praktikumsaufgabe für Cracks: Erstellen Sie das abgebildete Excel-Arbeitsblatt, dass für exponentielle, stetige und einfache Verzinsung und sämtlichen Zinsmethoden bei Angaben von drei Gröÿen die vierte liefert. Der von der Schaltäche ausgelöste Code soll bei Auösung nach der Zeit durch Aufruf der Zielwertsuche das gewünschte Enddatum liefern A B C D E F Zeit Zins K_0 K_t Zinsmethode 0, , , , , , ,00 Verzinsung 3 Anfang Ende t Auflösung nach , Zeit Enddatum berechnen Abbildung 2.7: Ein universelles Formular 62

75 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Zinsen haben zwei Rollen, sie legen fest, wie sich ein heute investiertes Kapital entwickeln wird, das ist die Aufzinsungsfunktion, wofür die bereits vorgestellte Zinsrechnung entwickelt wurde. Über Kalkulationszinssätze werden aber auch die heutigen Werte von Zahlungen ermittelt, die erst in Zukunft fällig werden. Der heutige Wert einer erst später fälligen Zahlung wird als deren Barwert bezeichnet. Der Barwert ist immer geringer als der in der Zukunft fällige Betrag. Der Abschlag wird umso höher sein, je weiter in der Zukunft entfernt die Zahlung erfolgt und je höher das Ausfallsrisiko ist. Der Abschlag wird durch einen der Situation angemessenen Zinssatz berechnet, das ist die Abzinsungsfunktion der Zinsrechnung. Zinsen und Barwert hängen also eng miteinander zusammen. Während bislang lediglich eine einmalige Kapitalanlage in ihrer Wertentwicklung beobachtet wurde, sollen nun auch mehrfache Zahlungen, so genannte Zahlungsströme betrachtet sein. Renditeberechnungen und Anlageentscheidungen werden dann komplexer und erfordern neue mathematische Ansätze. Dabei hat sich die Nettobarwertmethode besonders bewährt, wobei Investitionen bezüglich ihres gegenwärtigen Wertes verglichen werden. Der Nettobarwert eines Zahlungsstroms ist die Summe seiner mit einem Kalkulationszinssatz r ermittelten Einzelbarwerte. 3.1 Konto Eine Geldanlage wird als Konto geführt. Ein Konto erfasst den Wert und die Zeit von Geschäftsvorfällen in Tabellenform, wobei Zu- und Abgänge auf zwei getrennten Spalten verbucht werden, die als Soll und Haben bezeichnet werden. Dadurch werden negative Zahlen vermieden. Der Einfachheit seien bei einer Anlage die Zugänge mit positiven und die Abgänge mit negativen Vorzeichen versehen, d.h. die Habenseite des Komtos besteht aus Zahlungen mit positiven und die Sollseite aus solchen mit negativen Vorzeichen. Ein Konto fängt mit einem Anfangsbestand an, dann folgen zu ebenfalls verbuchten Zeitpunkten Zu- uns Abüsse, die in ihrer Summe den Endbestannd ergeben. In der klassischen Buchführung werden Soll- und Habenseite getrennt summiert, die Saldo genannte Dierenz und ergibt den Endbetrag. Die Bilanz eines Unternehmens hat genau wie ein normales Konto zwei Spalten, die Aktiva und Passiva genannt werden. Die Aktiva bilden die linke Spalte mit der wertmäÿigen Erfassung aller Vermögenswerte des Unternehmens. Die Passiva bilden die rechte Spalte mit der wertmäÿigen Erfassung aller Verbindlichkeiten des Unternehmens. Das 63

76 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Saldo ist der letzte Eintrag auf der Passivseite, es ist die Dierenz zwischen der Summe aller Vermögenswerte und der Summe aller Werte der Verbindlichkeiten. 3.2 Der Barwert Die Zinsrechnung ermittelt wie sich ein heute angelegtes Kapital im Laufe der Zeit entwickeln wird. Man möcht aber auch umgekehrt wissen, welchen Wert eine erst zum Zeitpunkt t fällige Zahlung C t heute hat. Man nennt diesen Wert den Barwert, englisch present value, abgekürzt PV. Aus dieser Denition des Barwerts geht nicht hervor, wie er zu berechnen ist. Sicher ist nur, dass für alle Zahlungen in der Zukunft ein Abschlag erfolgt, Euro heute sind wertvoller als Euro, die etwa eine Lebensversicherung in einem Jahr bezahlt, was wiederum wertvoller ist als eine Auszahlung desselben Betrags in zwei Jahren. Die Bewertung des in einem Jahr fälligen Betrages geschieht über die Überlegung, welcher heutige Betrag P V dann bei einem Zinssatz r auf Euro angewachsen ist, wobei bei Barwertberechnungen immer exponentielle Verzinsung und zumindest in Deutschland immer die Zinsmethode PAngV verwendet wird. Damit folgt für den Barwert eines in einem Jahr ausgezahlten Betrags von Euro P V (1 + r) = , P V = r. Damit ist das Problem aber immer noch nicht gelöst, denn es bleibt die Frage, welcher Zinssatz r in die Gleichung einzusetzen ist. Dieser Zinssatz wird sich an den gängigen Marktzinsen für Bundesanleihen orientieren und je nach Risiko der Zahlung einen Aufschlag erhalten. Im allgemeinen Fall bezieht sich der Barwert auf einen zum zukünftigen Zeitpunkt t fälligen Betrag C t. Der Barwert hängt also von der Höhe des Betrags und dem Zeitpunkt seiner Fälligkeit ab, er ist deshalb eine Funktion des Paars (C t, t). Der Barwert ist eine rein kalkulatorische Gröÿe und wird wie folgt berechnet: ˆ Es wird ein Zinssatz r gewählt, der dem mit der Zahlung C t verbundenen Risiko entpricht. ˆ Der Barwert P V (r) ist der Wert, der bei exponentieller Verzinsung zu diesem Zinssatz von heute an bis zum Zeitpunk t auf C t anwachsen würde: P V (r) = (1 + r) t C t. (3.1) Dabei wird international die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) und national die Zinsmethode PAngV benutzt. Der Barwert ist also der mit dem Zinssatz r diskontierte Wert von C t. 64

77 3.3 Zahlungsstrom Der Barwert ist eine Funktion r P V (r) vom Rechnungszinssatz r. Es gilt P V (0) = C t, (3.2) lim P V (r) = 0 (3.3) r Beispiel 3.1. Berechnen Sie die Barwerte einer in eimem halben Jahr fälligen Zahlung von Euro für die Diskontierungszinssätze von r = 0, 02 und r = 0, 08. P V (0, 02) = , 02 1/2 = , 54, P V (0, 08) = , 08 1/2 = , 45 Die beiden Barwerte unterscheiden sich also um rund Euro. 3.3 Zahlungsstrom Ein Anlagekonto wird nanzmathematisch durch einen so genannten Zahlungsstrom dargestellt. Ein Zahlungsstrom ist eine Folge von Zahlungen und den Zeitpunkten ihrer Verbuchung, also eine Folge von Paaren (C i, t i ), wobei C i der zum Zeitpunkt t i verbuchte Wert der i-ten Zahlung ist. In der tatsächlichen Kontoführung würde der Zahlungsstrom in zwei Zahlungsströme aufgeteilt, wobei der eine alle Zahlungen mit positiven und der andere alle Zahlungen mit negativen Vorzeichen umfasst. Die Zeitpunkte t i sind bei einem Konto Datumswerte wie der , in der Finanzmathematik oft aber schon Zahlen, die den Abstand zu einem Ausgangsdatum darstellen. Bemerkung 3.1. Bei einem Zahlungsstrom wird immer stilschweigend vorausgestzt, dass die Folge der Zeiten t i aufsteigend in der Form t 0 < t 1 <... < t n angeordnet ist Beispiel eines Zahlungsstroms Betrachten wir ein Versicherungsunternehmen, das für Groÿkunden deren betriebliche Altersvorsorge renanziert. Die mathematische Abteilung geht dabei innerhalb der nächsten drei Jahre von folgenden Zahlungsverpichtungen aus. Bereits nach eimem halben Jahr sind 100 Mio. Euro fällig, nach anderthalb weitere 150 Mio. Euro und nach drei Jahren noch 400 Mio. Euro. Der Zahlungsstrom ist also C = [(100, 1/2), (150, 3/2), (400, 3)]. Man kann ihn sich in Tabellenform oder auf einem Zeitstrahl veranschaulichen / /2 2 5/ t 65

78 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen 3.4 Der Barwert eine Zahlungsstroms Man muss sich wie in dem obigen Beispiel zunächst eine Übersicht über alle Ein- und Auszahlungen sowie deren Zeitpunkten verschaen. Der Zahlungsstrom wird dann auf einem ein Zeitstrahl oder mit einer Tabelle dargestellt. Die Zeitpunkte werden dabei als Zeitspannen, d.h. als Abstände zu einem Bezugspunkt, dargestellt. Der Barwert des Zahlungsstroms ist die Summe aller Barwerte. Es wird also ein Kalkulationszinssatz r gewählt, mit dem alle Zahlungen diskontiert werden, d.h P V (r) = n (1 + r) t i C i. (3.4) i=0 In unserem Beispiel ergibt sich in 100 Mio. Euro P V (r) = 100 (1 + r) 0, (1 + r) 1, (1 + r) 3. Die Barwertfunktion ist streng monoton fallend, wenn alle Zahlungen positiv sind. Es gilt lim r P V (0) = n C i, (3.5) i=0 P V (r) = 0 (3.6) Den Graph dieser Funktion sehen Sie in der nächsten Abbildung: P V ( r ) ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Zinssatz r Abbildung 3.1: Die Barwertfunktion Das Versicherungsunternehmen muss für die künftigen Zahlungsverpichtungen in der Passivseite der Bilanz eine Rückstellung ausweisen. Dazu muss ein Wert für r gewählt werden. Je nach Gröÿe von r schwankt die Rückstellung dann zwischen 650 Mio. und 0 Mio. Euro. In der Abbildung 3.1 sind noch völlig unrealistische Zinssätze bis 60 Prozent 66

79 3.5 Äquivalenz von Zahlungsströmem zu sehen. Der Gesetzgeber schreibt den Versicherungsunternehmen einen Rechungszinssatz vor, den ich r z nennen will und dessen Wert 0,03 sei. Die Rückstellung des Unternehmens beträgt deshalb in Mio. Euro P V Z := P V (r z ) = 100 (1, 03) 0, (1, 03) 1, (1, 03) 3 = 608, 08. Wenn das Unternehmen diesen Betrag zurückstellt und ein halbes Jahr zum Rechnungszins bei exponentieller Verzinsung anlegt, verfügt es dann über 617,14 Mio. Euro, wovon 100 Mio. Euro abgehen. Der verbleibende Rest erhöht sich durch die Zinsen bis zum Zeitpunkt 1,5 auf 532,65 Mio. Euro, wovon die Zahlung über 150 Mio. Euro getragen wird. Der Rest von 382,65 Mio. Euro erhöht sich in den letzten 1,5 Jahren genau auf die nun fälligen 400 Mio. Euro. Der Rechnungszins wird sehr vorsichtig angesetzt und liegt in der Regel unterhalb des tatsächlich zu erzielenden Marktzins, den ich mit r m bezeichne und dessen Wert 5 Prozent sei. Wenn es dem Versicherungsunternehmen mit Aktivgeschäften gelingt, diesen Marktzins zu erzielen, wird die tatsächlich benötigte Rückstellung geringer ausfallen, nämlich P V M := P V (r m ) = 100 (1, 05) 0, (1, 05) 1, (1, 05) 3 = 582, 54, d.h. das Versicherungsunternehmen hat eine stille Reserve von 25,54 Mio. Euro, die nach den drei Jahren auf 29,57 Mio. Euro angewachsen ist, wenn das Versicherungsunternehmen bei Geldanlagen den Marktzins erzielt. Man sieht das auch durch Verfolgung des Kassenbestandes des Versicherungsunternehmens. Der zurückgestellte Betrag von 608,08 Mio. Euro wächst in einem halben Jahr bei exponentieller Verzinsung zum Marktzins auf 623,10 Mio. Euro an, wovon 100 Mio. Euro abgehen. Der verbleibende Rest erhöht sich durch die Zinsen bis zum Zeitpunkt 1,5 auf 549,25 Mio. Euro, wovon die Zahlung über 150 Mio. Euro getragen wird. Der Rest wächst bis zum Ende auf 429,57 Mio. Euro, wovon nach Abzug der fälligen 400 Mio Euro der schon errechnete Überschuss bleibt. 3.5 Äquivalenz von Zahlungsströmem Der einfache Bankkunde möchte entweder Geld anlegen oder leihen. Die Konditionen der Banken unterscheiden sich meistens nach Zeitpunkten und der Höhe der Zahlungen. Bei einer Anlage wird der Kunde zunächst eine Reihe von Einzahlungen leisten und danach das angesammelte Kapital auf einen Schlag oder als eine Folge von Zahlungen zurück erhalten. Bei einem Kredit sieht es genau umgekehrt aus, zunächst leiht die Bank einen Betrag und fordert danach Rückzahlungen. Ähnlich sieht es bei Investitionen eines Unternehmens aus. Zunächst wird über eine bestimmte Zeitspanne in eine neue Anlage investiert, was zu Geldabüssen A j zu den Zeitpunkten t j führt. Der Investition folgen dann Einnahmen E k zu den Zeitpunkten t k. Der Vergleich von zwei Zahlungsströmen ist also eine wichtige Aufgabe der Finanzmathematik. Dabei gibt es zwei Ansätze, man vergleicht entweder die Barwerte oder 67

80 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen die Endwerte. Beim Barwertvergleich wählt man einen sinnvollen Kalkulationszinssatz r und berechnet die jeweiligen Barwerte. Beim Endwertvergleich wird eine der vorgestellten Verzinsungsarten gewählt und dann werden die sich nach den Regeln der Zinsrechnug ergebenden Endwerte verglichen. Zwei Zahlungsströme sind als gleichwertig anzusehen, wenn sie denselben Barwert oder deselben Endwert haben. Die formale Denition lautet: Denition 3.1. Seien A = (A j, t j ) und B = (B k, t k ) zwei Zahlungsströme. Sie heiÿen äquivalent zum Zinssatz r, wenn sie bezüglich dieses Zinssatzes denselben Barwert haben. Ist der Endwert identisch, werden sie äquivalent zum Endwert genannt. Zwei äquivalente Zahlungsströme haben also nach dieser Denition bezüglich des gewählten Zinssatzes denselben Barwert, das heiÿt aber nicht, dass sie auch zu diesem Zinssatz denselben Endwert haben. Das trit nur zu, wenn die Verzinsung exponentiell ist. Satz 3.1. Zwei zum Zinssatz r äquivalente Zahlungsströme A = (A j, t j ) und B = (B k, t k ) haben bei exponentieller Verzinsung auch denselben Endwert. Vergeht zwischen dem Anfangs- und dem Enddatum die Zeitspanne t, so gilt für den Endwert E t eines Zahlungsstroms E t = (1 + r) t P V (r) Sind alle Zahlungen positiv und die beiden Zahlungsströme nicht identisch, so gibt es genau einen Zinssatz zu dem sie äquivalent sind. In der Praxis geht man meist umgekehrt vor. Man legt eine der beiden Zahlungsströme fest, einigt sich auf einen Zinssatz r und erzwingt dann Äquivalenz. Beispiel 3.2. Ein treusorgender Vater möchte seinem Spröÿling eine unbeschwerte Studienzeit ermöglichen. Er vereinbart mit seiner Bank Einzahlungen von je Euro sofort, ein halbes Jahr danach und am Ende des ersten Jahres. Die Bank zahlt vom Ende des zweiten bis zum Ende des fünften Jahrs eine Rate R. Beide Zahlungsströme sollen zum Zinssatz r = 0, 03 äquivalent sein. Welchen Wert R hat der jährliche Scheck des glücklichen Sohnes? Zur Einübung formaler mathematischer Kompetenz seien zunächst die beiden Zahlungsströme angegeben: A = [(20.000, 0), (20.000, 1/2), (20.000, 1)], B = [(R, 2), (R, 3), R, 4), R, 5)]. Der Barwert von A zum Kalkulationszinssatz r ist P V A(0, 03) = ( 1, , , 03 1) = , 06 Euro. Der Barwert des zweiten Zahlungsstroms ist P V B(0, 03) = R ( 1, , , , 03 5) = 3, R, also R = , 06/3, = , 15 Euro. 68

81 3.6 Die Nettobarwertfunktion Nach Satz 3.1 sind die beiden Zahlungsströme auch zum Endwert bezüglich des Zinssatzes r = 0, 03 äquivalent, wenn als Verzinsungsart die exponentielle Verzinsung gewählt wird. Der Endwert beider Zahlungsströme zum Endzeitpunkt t = 5 ist E t = (1 + r) , 06 = , 99 Euro. Wird aber gemischte Verzinsung gewählt, sind beide Zahlungsströme nicht äquivalent zum Endwert, denn die Endwerte unterscheiden sich beim Zinssatz r = 0, 03 geringfügig. E A = ( 1, , , , 03 4) = , 49, E B = , 15 ( 1, , , , 03 ) = , 99. Der etwas höhere Endwert des ersten Zahlungsstroms liegt daran, dass bei sonst gleichen Bedingungen die gemischte Verzinsung immer etwas günstiger als die exponentielle Verzinsung ist 3.6 Die Nettobarwertfunktion Bei diesem Beispiel stellt sich die Frage, warum es überhaupt zum Geschäftsabschluss kam. Der Vater könnte das Geld ja zunächst selber anlegen und dann die erforderlichen Raten abzweigen. Aus seiner Sicht nimmt ihm die Bank den Aufwand der Geldanlage ab, er muss sich um nichts kümmern und hätte vielleicht als Amateur nicht einmal eine Rendite von 3 Prozent erzielt. Ganz anders wird das bei der Bank gesehen. Hier sind Pros am Werk, die sich zutrauen, das ihnen anvertraute Geld zu einem höheren Zinssatz als 3 Prozent zu vermehren. Nehmen wir an, die Anlagepros erzielen bei exponentieller Verzinsung einen Zinssatz von r = 5 Prozent. Das bedeutet für die Bank einen Gewinn, der Nettobarwert oder Kapitalwert genannt wird. Diesen werde ich jetzt genau denieren. Denition 3.2. Ein Zahlungsstrom C = (C i, t i ) heiÿt vollständig, wenn er alle Zahlungen einer Anlage oder Schuld umfasst. Die Einnahmen erhalten dabei ein positives und die Ausgaben ein negatives Vorzeichen. Der Barwert eines vollständigen Zahlungsstroms heiÿt Nettobarwert und berechnet sich durch NP V (r) = n (1 + r) t i C i. (3.7) i=0 Ich möchte noch darauf hinweisen, dass nur ich die Bezeichnung vollständig für wie in dieser Denition beschriebene Zahlungsströme verwende. Der Zahlungsstrom von Beispiel 3.2 auf Seite 68 ist vollständig, der Zahlungsstrom der Verpichtungen des Versicherungsunternehmens im Abschnitt auf Seite 65 ist es nicht, da hier nur die Ausgaben, nicht aber die zuvor erfolgten Einnahmen zu sehen sind. Ein vollständiger Zahlungsstrom besteht aus zwei Zahlungsströmen A = (A j, t j ) und E = (E k, t k ), wobei der erste Zahlungsstrom die Ausgaben und der zweite die Einnahmen beschreibt. 69

82 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Die Ausgaben werden im vollständigen Zahlungsstrom dann mit negativen Vorzeichen verbucht. Die Nettobarwertfunktion kann auch durch die Zahlungsströme der Ausgaben und Einnahmen ausgedrückt werden: NP V (r) = K J (1 + r) t k E k (1 + r) t j A j. (3.8) k=0 j=0 Zur besseren Übersicht werde ich vollständige Zahlungsströme in Tabellenform ausgeben, wobei in der ersten Zeile die Zeiten stehen. Dann folgen die Zahlungsströme der Ausgaben, Einnahmen und der vollständige Zahlungsstrom. Im Beispiel des fürsorglichen Vaters benden sich die aus der Sicht der Bank vorhandenen Zahlungsströme in der folgenden Tabelle. Zeit 0 1/ Einnahmen Ausgaben vollständig Für die Nettobarwertfunktion folgt also NP V (r) = (1 + (1 + r) (1 + r) 1 ) , 15((1 + r) 2 + (1 + r) 3 + (1 + r) 4 + (1 + r) 5 ) Den Graph dieser Funktion zeigt die Abbildung N P V ( r ) ,05 0,1 0,15 0,2 Zinssatz r Abbildung 3.2: Die Nettobarwertfunktion aus Sicht der Bank. Am Graph dieser Funktion lässt sich ablesen, wie der Gewinn der Bank von dem Zinssatz abhängt, womit die Bank die Einzahlungen des Vaters selber vermehren kann. 70

83 3.7 Investitionsrechnung Ist der Wiederanlagezinssatz geringer als die mit dem Vater vereinbarten 3 Prozent, macht die Bank Verluste. Der sogeannte break-even-point tritt genau bei 3 Prozent ein, die Bank macht weder Verlust noch Gewinn. Gelingt es ihr, die Einlagen mit 5 Prozent zu vermehren, so winkt ein Gewinn von NP V (0, 05) = 3.238, 15 Euro. Bei 10 Prozent ist der Wert ungefähr und bei 20 Prozent fast Euro. Aus der Sicht des Vaters sieht alles spiegelbildlich aus. Hätte er selbst die drei Raten von Euro zu 5 Prozent anlegen können, hätte er 3.238,15 Euro gespart und trotzdem seinen Sohnemann mit den vier Raten von ,15 Euro beglücken können. 3.7 Investitionsrechnung Die Nettobarwertfunktion kann sehr gut bei Investitionsentscheidungen verwendet werden. Eine Investition ist eine mittel- bis langfristige Anlage von Finanzmitteln in Sachanlagen wie Gebäude und Inneneinrichtungen, Maschinen oder Fahrzeuge mit der Aussicht auf zukünftige Erträge. Im Rahmen der Finanzmathematik versteht man unter dem Begri Investition aber auch den Kauf von Wertpapieren. Investitionen in Sachanlagen erscheinen in der Bilanz eines Unternehmens in der Seite der Aktiva, ihre Finanzierung belastet die Passivseite. Sachgüter haben eine bestimmte Nutzungsdauer und werden in dieser Zeit steuerlich abgeschrieben, können aber natürlich bei gutem Zustand auch über diese steuerliche Nutzungsdauer hinaus im Unternehmen verwendet werden. Investitionen in Wertpapiere können nicht abgeschrieben werden, aber die Mittel zur Finanzierung gelten als Werbungskosten. Finanzmathematisch ist jede Investition mit einem Zahlungsstrom verbunden, der alle mit ihm zusammenhängenden Ein- und Auszahlungen und deren Zeitpunkte erfasst. Dabei werden neben den Anschaungskosten auch alle Kosten für Reparaturen und Wartungsarbeiten und neben den Erträgen auch der Verkaufspreis am Ende der Nutzungsdauer berücksichtigt. Investitionsrechnungen sollen die Vor- und Nachteile von Investitionen beleuchten, Vergleiche von Investitionen ermöglichen und dienen damit der Entscheidungsndung, welche Investition getätigt werden soll. Die statische Investitionsrechnung vernachlässigt den tatsächlichen Zeitpunkt der Zahlungen und rechnet diese in Durchschnittsgröÿen um, die in allen Perioden der Nutzungsdauer anfallen. Dieser mathematisch wenig anspruchsvolle Ansatz soll hier nicht weiter verfolgt werden. Dynamische Verfahren erfassen den tatsächlichen zeitlichen Anfall der Zahlungen, daher bietet sich als Basis der Investitionsentscheidung die Nettobarwertfunktion an. Die Nettobarwertfunktion wird dann als Kapitalwertfunktion bezeichnet, der Nettobarwert bei einem gegebenen Diskontierungssatz heiÿt Kapitalwert Die Kapitalwertmethode Die Kapitalwertmethode erstellt also die hier Kapitalwertfunktion genannte Nettobarwertfunktion und berechnet für einen bestimmten Kalkulationszinssatz r den Kapitalwert genannten Nettobarwert. Es wird also vorausgesetzt, dass der vollständige Zahlungsstrom der Investition vorliegt und ein sinnvoller Kalkulationszinssatz gefunden wer- 71

84 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen den kann. Der Kalkulationszinssatz ist der für die betrachtete Investition vorgegebene Mindestzinssatz. Oft wird auch ein Zinssatz eingesetzt, den alternative Investitionen erwirtschaften. Weiter wird unterstellt, dass alle mit der Investition verbundenen Zahlungen und deren Zeitpunkte festliegen. Bei Finanzinvestitionen ist dies beim Kauf von festverzinslichen Wertpapieren wie etwa den Bundesschatzbriefen tatsächlich der Fall, aber schon der Kauf von Aktien ist schwierig einzuschätzen. Die Zahlungsströme von Investitionen in Sachgüter sind ähnlich schwer vorherzusehen. Die Zahlungsströme sind dann eigentlich nur Schätzungen und deshalb umso unsicherer, je weiter die Zahlungen in der Zukunft liegen. Wir setzen aber voraus, dass ein sinnvoller Kalkulationszinssatz gefunden wurde und der Zahlungsstrom festliegt. Dann wird der zum Kalkulationszinssatz gehörige und als Kapitalwert bezeichnete Nettobarwert berechnet. Ist der Kapitalwert positiv, so ist die Investition günstig im Vergleich zu einer Investition, die als Verzinsung nur den Kalkulationszinssatz hat. Der Kapitalwert ist der Mehrgewinn im Vergleich mit einer Anlage zum Kalkulationszinssatz. Hat der Kapitalwert den Wert 0, so ist die Investition genauso günstig wie eine alternative Anlage zum Kalkulationszinssatz. Bei negativem Kapitalwert sind Anlagen zum Kalkulationszinssatz vorteilhafter. Beim Vergleich alternativer Investitionen ist diejenige mit dem gröÿten Kapitalwert die relativ beste. Ich betone noch einmal, dass der Kapitalwert nicht den Gewinn oder Verlust einer Investition berechnet, sondern einen zusätzlichen Gewinn oder Verlust bezogen auf eine Anlage zum Kalkulationszinssatz. Bei einem positiven Kapitalwert wird anders gesagt nicht nur der mit dem Kalkulationszinssatz verbundene Mindestgewinn, sondern noch ein Zusatzertrag in Höhe des Kapitalwerts erzielt. Beispiel 3.3. Für eine neue Fabrikhalle werden im ersten Jahr gleich am Anfang Euro und ein halbes Jahr später weitere Euro fällig. Am Ende des zweiten Jahres kann die Fabrikhalle dann für Euro verkauft werden. Alternativ können mit anderen Anlagen 7 Prozent Zinsen erwirtschaftet werden. Berechnen Sie den Kapitalwert der Investition und schätzen damit deren Vorteilhaftigkeit ein. Der vollständige Zahlungsstrom (C i, t i ) besteht aus dem Zahlungsstrom (A j, t j ) der Ausgaben und dem Zahlungsstrom (E k, t k ) der Einnahmen. Die Ausgaben werden im vollständigen Zahlungsstrom dann mit negativen Vorzeichen verbucht. Die drei Zahlungsströme benden sich in der folgenden Tabelle Zeit 0 1/2 2 Ausgaben Einnahmen 300 vollständig Die zugehörige Nettobarwertfunktion lautet NP V (r) = (1 + r) 0, (1 + r) 2, 72

85 3.8 Der interne Zinssatz Der Kapitalwert ist der Nettobarwert dieser Investition und ergibt sich demnach durch Einsetzen von r = 0, 07, woraus sich ein Kapitalwert von 5.357,97 Euro ergibt. Die Investition lohnt sich also und ermöglicht einen zusätzlichen Ertrag von 5.357,97 Euro im Vergleich zu der alternativen Anlage. Der Graph der bei Investitionen Kapitalwertfunktion genannten Nettobarwertfunktion ist in der Abbildung 3.3 zu sehen. 3.8 Der interne Zinssatz 40,00 30,00 20,00 N 10,00 P 0,00 V 0 r -10,00 )Zinssatz 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 r -20,00 ( -30,00-40,00 Abbildung 3.3: Die Nettobarwertfunktion als Kapitalwertfunktion. Die Berechnung des Kapitalwerts ist die beste Methode, um die Rentabilität einer Investition zu berechnen, da der Mehrgewinn bezogen auf Alternativanlagen bestimmt wird. Eine weitere Methode zur Einschätzung von Investitionen ist eng damit verwandt, sie heiÿt Methode des internen Zinssatz (internal rate of return = IRR). Bei dieser Methode wird einfach der Zinssatz r bestimmt, der für die Nettobarwertfunktion eine Nullstelle ist. Für einen vollständigen Zahlungsstrom C i ergibt sich somit der interne Zinssatz r als Lösung der Gleichung: n (1 + r) t i C i = 0. (3.9) i=0 Der Zahlungsstrom wird so eingerichtet, dass eingehende Zahlungen positiv und Ausgaben negativ sind. Werden diese Zahlungsströme wieder (A j, t j ) und (E k, t k ) genannt, folgt aus (3.9) J K (1 + r) t j A j = (1 + r) t k E k. (3.10) j=0 Die interne Zinssatz ist also genau der Zinnsatz r, bei dem die Zahlungsströme der Ausgaben und Einnahmen äquivalent sind, also denselben Barwert haben. k=0 73

86 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Es wird später gezeigt, dass die Gleichung (3.9) genau eine Lösung mit r > 1 hat, wenn die Zahlungen nur einmal das Vorzeichen wechseln, wenn also die ersten k Zahlungen positiv und die restlichen negativ sind oder umgekehrt. Diese Gleichung kann mit einem geeigneten Iterationsverfahren gelöst werden. Im Beispiel der Fabrikhalle ergibt sich der interne Zinssatz r als Lösung einer der beiden gleichwertigen Gleichungen (1 + r) 0, (1 + r) 2 = 0, (1 + r) 0,5 = (1 + r) 2. Das ergibt r = 8, 23 Prozent. Dies ist genau der Nulldurchgang des Graphen der Nettobarwertfunktion, wie Sie an Abbildung 3.3 erkennen können. Die Anhänger der Methode des internen Zinssatzes haben eine einfache Entscheidungs- ndung: Berechne den internen Zinssatz und vergleiche ihn mit den Opportunitätskosten, in unserem Beispiel 7 Prozent. Die Investition ist genau dann lohnend, wenn der interne Zinssatz die gröÿere der beiden Zahlen ist. Die Nettobarwertmethode hat den Vorteil, dass man nicht nur weiÿ, ob die Investition lohnend ist, sondern auch die Höhe des Mehrgewinns kennt Rendite und Efektivverzinsung Der interne Zinssatz eines vollständigen Zahlungsstroms wird bei einer Investition Rendite r genannt, bei einem Kredit spricht man dagegen von der Eektivverzinsung r eff. Die Zeitpunkte t i werden nach PAngV oder ACT/ACT (ICMA) berechnet. Bei einem Kredit muss in Deutschland der Vomhundertsatz des Eektivzinses auf zwei Dezimalstellen angegeben werden. Im Kapitel über Zinsrechnung war uns der Begri der Rendite schon begegnet. In der einfachen Zinsrechnung bestehen die Zahlungen aus dem zum Zeitpunkt 0 eingesetzten Kapital K 0 und dem nach einer der Zinsformeln am Endzeitpunkt berechneten Endwert K t. Wird als Zinsmethode PAngV verwendet, so ist der zugehörige Zahlungsstrom ( K 0, 0), (K t, tp ), wobei tp die Zeitdauer nach PAngV bezeichnet. Die Nettobarwertfunktion dieses Zahlungsstroms lautet NP V (r) = K 0 + K t (1 + r) tp. (3.11) Die Nullstelle r dieser Funktion ist die Rendite. Es ergibt sich in Übereinstimmung mit der Formel (1.23) auf Seite 21 r = ( Kt K 0 ) 1/tP 1, (3.12) 3.9 Nominale und eektive Zahlungsströme In der Finanzmathematik hat man es bei einer Aufgabenstellung oft mit zwei Zahlungsströmen zu tun, einem nominalen und einem eektiven. Bei Darlehen zahlen Banken 74

87 3.9 Nominale und eektive Zahlungsströme nicht den Nennwert des Darlehens aus, sondern nur einen um das so genannte Disagio verringerten Betrag. Andere Bezeichnungen für das Disagio sind Disagio oder Abgeld. Das Disagio wirkt wie eine bereits vorweg gezahlte Zinsleistung und senkt damit den Nominalzinssatz, der sich auf den Nennwert des Darlehens bezieht. Das Disagio kann kann als Betrag oder als Prozentsatz angegeben sein. Das Disagio kann auch durch einen Auszahlungskurs bestimmt sein. Werden von einem Darlehen mit Nennwert Euro nur Euro ausgezahlt, ist der Auszahlungskurs 90 Prozent, der Disagiosatz 10 Prozent und das Disagio Dadurch unterscheiden sich der Nennwert des Darlehens und die tatsächliche Auszahlung, die Zinsberechnungen und Tilgungsraten richten sich aber immer am Nennwert der Schuld aus. Daher gibt es einen nominalen Zahlungsstrom und einen eektiven, der die tatsächlichen Zahlungen erfasst. Der interne Zinssatz wird immer aus dem eektiven Zahlungsstrom ermittelt, daher die Bezeichnung eektiver Zinssatz bei Darlehen. Ich stelle die wichtigsten Begrie zusammen: ˆ Der Auszahlungskurs gibt an, wie viel Prozent des Nennwerts des Darlehens tatsächlich ausgezahlt werden. ˆ Das Disagio oder Abgeld oder Damnum ist die Dierenz zwischen Nominalschuld und der tatsächlichen Auszahlung. ˆ Der Disagiosatz ist der Prozentsatz, der festlegt, welcher Teil des Nennwerts des Darlehens als Disagio einbehalten wird. ˆ Das Agio oder Aufgeld ist ein Betrag, der in der Regel bei Vertragsende zusätzlich zu leisten ist. Der nominale Zahlungsstrom wird in der Regel durch eine der vorgestellten Verzinsungsarten bestimmt, wobei alle Zinsberechnungen auf den Nennwert des Darlehens zu beziehen sind. Die Zahlen des folgenden Beispiels stammen von [4]. Beispiel 3.4. Ein Gläubiger gibt am einen Kredit von nominal DM zu 5 Prozent Nominalzins und einem Kurs von 90 Prozent aus. Die Tilgung soll am gesamtfällig erfolgen. Bis dahin muss der Schuldner einfache Zinsen bei halbjährlichen Zinsterminen am Jahresende und in der Jahresmitte zahlen. Bestimmen Sie den nominalen und den tatsächlichen Zahlungsstrom. Geben Sie dann die Nettobarwertfunktion aus Sicht des Gläubigers an. Dieser kalkuliert bei seinen sonstigen Kreditvergaben mit einem Zinssatz von 12 Prozent. Lohnt sich dieser Kredit für ihn? Wie hoch ist seine Rendite? Der Schuldner hat ein alternatives Angebot für den Kredit vorliegen, dessen eektiver Zinssatz 16 Prozent ist. Wie soll er sich entscheiden? Zunächst muss also der nominale Zahlungsstrom ermittelt werden. Die nominale Schuld ist DM und wird am ausgezahlt. Der Nominalzinssatz von 5 Prozent bezieht sich auf ein Jahr, halbjährlich sind 2,5 Prozent Zinsen zu zahlen. Am und am sind somit 25 DM bzw. 50 DM einfache Zinsen fällig und am kommt 75

88 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen zu weiteren 50 DM einfache Zinsen die vollständige Tilgung der nominellen Schuld von DM. Man beachte, dass hier zwei Zinstermine vereinbart waren. Der eektive Zahlungsstrom ist damit fast identisch, nur ieÿen wegen des Auszahlungskurses von 90 Prozent nur DM tatsächlich in die Taschen des Schuldners. Die tatsächlichen Leistungen von Gläubiger und Schuldner sowie die Zeitabstände sind in folgender Tabelle dargestellt, wobei in der letzten Zeile die beiden Zahlungsströme zu einem vollständigen Zahlungsstrom aus Sicht des Gläubigers stehen. In der letzten Zeile steht der nominale Zahlungsstrom. Da alle Zahlungen mit Datum angegeben sind, müssen die zeitlichen Abstände durch eine Zinsmethode ermittelt werden, in Deutschland ist dafür PAngV zu verwenden, international die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA). Datum PAngV 0 0, 25 0, 75 1, ACT/ACT (ICMA) Gläubiger Schuldner vollständig nominal Der vollständige Zahlungsstrom setzt sich aus den Leistungen zweier Partner, wie Bank und Kunde, oder allgemein Gläubiger und Schuldner zusammen. Die Leistung des Gläubigers besteht aus einer einzigen Zahlung, die sich nominal und eektiv unterscheiden. Die Leistungen des Schuldners, also dessen Zins- und Tilgungsbeträge, sind nominal und eektiv gleich. Richtet man sich an der Zinsmethode nach PAngV, erhält man für die Nettobarwertfunktion folgende Funktion: NP V (r) = (1 + r) 0, (1 + r) 0, (1 + r) 1,25. Der entsprechende Graph ist in der Abbildung 3.4 zu sehen. Für r = 0, 12 ergibt sich ein Nettobarwert von 49, 45 DM. Im Vergleich zu einer Anlage zu 12 Prozent, ist dies der Mehrgewinn. Wäre umgekehrt der Schuldner nur bereit eektiv 12 Prozent Zinsen zu zahlen, müsste der Investor seinen Auszahlungsbetrag um 49, 45 DM erhöhen. Die Rendite r ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, also gilt die folgende Gleichung: 0 = (1 + r) 0, (1 + r) 0, (1 + r) 1,25, deren Lösung bei r = 14, 51 Prozent liegt. Aus der Sicht des Schuldners ist dieser Wert die Eektivverzinsung r eff. Von diesem Wert an wird die Nettobarwertfunktion negativ. Im Vergleich zu einer Anlage zum Zinssatz von 16 Prozent ergibt sich ein Mindergewinn 76

89 3.10 Numerische Berechnung der Rendite 400,00 300,00 N P V ( r ) 200,00 100,00 0,00-100,00-200,00 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4-300,00-400,00 Zinssatz r Abbildung 3.4: Die Nettobarwertfunktion des Beispiels 3.4. von 28, 31 DM. Für den Schuldner, dem nur ein Angebot von 16 Prozent vorliegt, ist das die Einsparung gegenüber diesem Angebot. Bei sonst gleichen Bedingungen würden bei einem Eektivzinssatz von 16 Prozent statt der DM sogar nur 1.771,69 DM ausgezahlt werden. International wird die Zinsmethode ACT/ACT (ICMA) verwendet. Dann lautet die Nettobarwertfunktion NP V (r) = (1 + r) (1 + r) (1 + r) Für r = 0, 12 ergibt sich ein Nettobarwert von 49, 05 Euro. Die Rendite r ist die Nullstelle der Nettobarwertfunktion, also gilt die folgende Gleichung: 0 = (1 + r) (1 + r) (1 + r) deren Lösung bei r = 14, 48 Prozent liegt. Aus der Sicht des Schuldners ist dieser Wert die Eektivverzinsung r eff. Der Grund für den horrenden Unterschied zwischen Nominalzinssatz und eektivem Zinssatz liegt in dem hohen Disagio. Aber auch die halbjährlichen Zinstermine verteuerten dieses Darlehen, wenn auch deutlich geringer. Normale Bankkunden können das Zusammenspiel von hohem Damnum und scheinbar niedrigen nominalen Zinsen nicht durchschauen, daher müssen Banken bei Krediten den Eektivzinssatz angeben, um dem Kunden Vergleiche von Angeboten zu ermöglichen Numerische Berechnung der Rendite Dieser Abschnitt ist nur für mathematisch interessierte Leser. 77

90 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Die Berechnung der Rendite entspricht mathematisch der Suche nach der Nullstelle der Nettobarwertfunktion NP V (r) = n (1 + r) t i C i. i=0 Sollte t 0 > 0 sein, wird die Nettobarwertfunktion durch den Term (1 + r) t 0 geteilt. Die so veränderte Funktion hat dieselben Nullstellen wie die Nettobarwertfunktion, ich kann also t 0 = 0 voraussetzen. Nullstellen von Funktionen müssen in der Regel numerisch gefunden werden. Das bekannteste Verfahren ist das das Newtonsche Näherungsverfahren, auch als Newton- Raphsonsche Methode bezeichnet, (benannt nach Sir Isaac Newton 1669 und Joseph Raphson 1690). Ich übernehme hier ganz leicht verändert die Darstellung des deutschen Wikipedia vom April Im Falle einer Gleichung mit einer Variablen lassen sich zu einer gegebenen stetig dierenzierbaren Funktion f : R R Näherungswerte zu Lösungen der Gleichung f(x) = 0, d. h. Näherungen der Nullstellen dieser Funktion nden. Die grundlegende Idee dieses Verfahrens ist, die Funktion in einem Ausgangspunkt zu linearisieren, d. h. ihre Tangente zu bestimmen, und die Nullstelle der Tangente als verbesserte Näherung der Nullstelle der Funktion zu verwenden. Die erhaltene Näherung dient als Ausgangspunkt für einen weiteren Verbesserungsschritt. Diese Iteration erfolgt bis die Änderung in der Näherungslösung eine festgesetzte Schranke unterschritten hat. Das Iterations-Verfahren konvergiert im günstigsten Fall asymptotisch mit quadratischer Konvergenzordnung, die Zahl der korrekten Dezimalstellen verdoppelt sich dann in jedem Schritt. Die abstrakte Form des Verfahrens mit Benutzung der Ableitung stammt von Thomas Simpson. x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Das Newton-Verfahren ist ein so genanntes lokal konvergentes Verfahren. Die Konvergenz der in der Newton-Iteration erzeugten Folge zu einer Nullstelle ist also nur garantiert, wenn der Startwert, d. h. das 0-te Glied der Folge, schon ausreichend nahe an der Nullstelle liegt. Es gibt aber auch globale Konvergenzkriterien. Eines davon beschreibt der folgende Satz. Satz 3.2. Im Intervall I = (a, b) gelte durchweg f < 0 sowie f > 0 oder umgekehrt durchweg f > 0 sowie f < 0 und f(a)f(b) < 0. Dann gibt es in I genau eine Nullstelle ξ der Funktion f(x). Liegt der Startwert x 0 I = (a, b) links von der Nullstelle ξ I, so konvergiert die Folge im Newton-Verfahren stets, und zwar streng monoton wachsend. 78

91 3.10 Numerische Berechnung der Rendite Alle Voraussetzungen des Satzes 3.2 treen auf die Barwertfunktion N P V (r) im Intervall (0, ) zu, wenn C 0 > 0 und C i < 0 für i > 0 mit n C 0 < C i i=1 gelten. Es gilt dann wegen der Voraussetzungen n NP V (0) = C 0 + C i < 0 i=1 NP V ( ) = C 0 > 0 n NP V (r) = C i t i (1 + r) t1 1 > 0 NP V (r) = i=1 n C i t i (t i + 1) (1 + r) t1 2 < 0 Im umgekehrten Fall C 0 < 0 und C i > 0 für i > 0 sowie n C 0 < i=1 betrachtet man einfach N P V (r), wofür der eben geführte Beweis gilt. Der Startwert muss nur die Bedingung r 0 < r erfüllen, also sehr klein gewählt werden, ich wähle immer r 0 = 0. Für den Zahlungsstrom [( 1.800, 0), (25, 0, 25), (50, 0, 75), (2.050, 1, 25)] des Beispiels 3.4 auf Seite 75 wähle ich somit als Startwert des Newton-Verfahrens r 0 = 0. Die nächsten Werte sind 0, , 0, sowie 0, Wie der Satz 3.2 sagt, nähern sich die Zwischenwerte der Nullstelle streng monoton wachsend von unten an die Nullstelle Die Vorzeichenregel von Descartes Nicht immer besteht eine Investition nur aus einer positiven und sonst lauter negativen Zahlungen, aber sehr oft besteht ein vollständiger Zahlungsstrom aus einer Folge von zunächst ausschlieÿlich negativen Zahlungen gefolgt von ausschlieÿlich positiven oder umgekehrt, abhängig davon, ob eine Investition oder ein Kredit vorliegt. In diesem Fall hat der Zahlungsstrom nur genau ein Vorzeichenwechsel bei den Zahlungen. Die Anzahl der Vorzeichenwechsel eines Zahlungsstroms beeinussen die Anzahl der möglichen Nullstellen. Es gibt eine von dem französischen Mathematiker und Philosophen Descartes stammende und nach ihm benannte Regel über die Anzahl von Nullstellen von Polynomen. Ich übernehme wieder von Wikipedia den folgenden Satz. Satz 3.3. Die Anzahl aller positiven Nullstellen eines reellen Polynoms ist gleich der Zahl der Vorzeichenwechsel seiner Koezientenfolge oder um eine gerade natürliche Zahl kleiner als diese. Wobei jede Nullstelle ihrer Vielfachheit entsprechend gezählt wird. i=1 C i 79

92 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen Als wichtige Folgerung ergibt sich: Wenn ein reelles Polynom nur einen Vorzeichenwechsel hat, dann hat es genau eine einfache positive Nullstelle. Man beachte, dass ein Vorzeichenwechsel den Übergang von positiv zu negativ oder umgekehrt meint, die Zahl 0 selbst bedeutet noch keinen Vorzeichenwechsel. Dieses Ergebnis lässt sich auch auf die Nettobarwertfunktion übertragen. Die Zeiten t i sind alle rational, somit gibt es einen gemeinsamen Nenner N mit t i = k i /N und k 0 < k 1 <... < k n. Damit hat die Nettobarwertfunktion die Form NP V (r) = n (1 + r) ki/n C i. i=0 Setzt man x = (1 + r) 1/N, so hat die Nettobarwertfunktion die Form NP V (x) = n C i x k i. i=0 Somit gilt die Vorzeichenregel von Descartes auch für Nettobarwertfunktionen, wenn man x = (1 + r) 1/N betrachtet. Man sieht sofort, dass x genau dann positiv ist, wenn r > 1 gilt, also bedeutet eine einziger Vorzeichenwechsel in der Koezientenfolge genau eine Nullstelle der Nettobarwertfunktion im Bereich r > 1. Gilt darüberhinaus s C i < i=0 n i=s+1 C i, (3.13) wobei der Vorzeichenwechsel beim Index s + 1 erfolgt, so liegt die Nullstelle im Bereich r > 0, denn NP V (0) und NP V ( ) haben verschiedenes Vorzeichen. Die gesammelten Informationen über Nettobarwertfunktionen fasse ich in einem Satz zusammen. Satz 3.4. Eine Nettobarwertfunktion hat genau eine positive Nullstelle, wenn es es bei der Folge der Zahlungen nur einen Vorzeichenwechsel gibt und die Bedingung (3.13) gilt. Tritt der Vorzeichenwechsel unter dieser Voraussetzung direkt nach der ersten Zahlung C 0 ein, konvergiert das Newtonverfahren mit jedem nichtnegativen Startwert gegen diese Nullstelle Allgemeine Nettobarwertfunktionen Sobald die Folge der Zahlungen mehrmals das Vorzeichen wechselt, gibt es keine globalen Konvergenzkriterien, denn die Nettobarwertfunktion kann in diesen Fällen mehr als eine Nullstelle haben, wie etwa der Zahlungsstrom [(1.000, 0), ( 2.150, 1), (1.155, 2)]. Hier werden am Anfang und am Ende des zweiten Jahres Einnahmen in Höhe von Euro und Euro erzielt, während am Ende des ersten Jahres Euro abieÿen. Die Barwertfunktion lautet NP V (r) = (1 + r) (1 + r) 2 80

93 3.11 Allgemeine Nettobarwertfunktionen und hat die Nullstellen 0, 05 und 0, 01. Das können sie ohne Numerik nachvollziehen, denn aus NP V (r) = 0 folgt mit v = (1 + r) 1 eine quadratische Gleichung für v. In den meisten Anwendungen der Finanzmathematik hat die Nettobarwertfunktion nur einen Vorzeichenwechsel in der Koezientenfolge. Es gibt aber auch Investitionen in Betriebsstätten, die neben den anfänglichen Kosten zum Erwerb auch auch beim Abriss oder Stillegung am Ende der Betriebszeit wieder Geldabüsse nach sich ziehen. Man denke dabei etwa an Atomkraftwerke, wobei deren Inhaber diese Belastungen gerne an den Staat weitergeben. Dann hat der Zahlungsstrom mindestens zwei Vorzeichenwechsel. Ich zeige dies an einem Beispiel. Beispiel 3.5. Mister Burns erwirbt ein mit Chemikalien verseuchtes Gelände für zwei Mio. Dollar. Er lässt das Gelände von einem Bauunternehmer sanieren und bebauen, wofür er pauschal nach einem Vierteljahr acht Mio. Dollar zahlt. Nach einem Jahr stöÿt er die entstandene Siedlung für 16 Mio. Dollar ab und rechnet in vier Jahren mit Entschädigungszahlungen von sieben Mio. Dollar. Die Zahlungsströme sehen Sie in einer Tabelle, alle Angaben in Mio. Dollar. Zeit 0 1/4 1 4 Ausgaben Einnahmen 16 vollständig Hier lautet die Nettobarwertfunktion in Mio. Dollar NP V (r) = 2 8 (1 + r) 0, (1 + r) 1 7 (1 + r) 4. Die Koezientenfolge dieser Nettobarwertfunktion hat zwei Vorzeichenwechsel, es gibt daher zwei oder keine Nullstellen mit r > 1. Die obere Kurve der Abbildung 3.8 ist der Graph dieser Nettobarwertfunkton, es sind zwei Nullstellen zu erkennen. Zwischen ungefähr 11 und 53 Prozent ist die Nettobarwertfunktion positiv. Die untere Kurve ist der Graph der folgenden Nettobarwertfunktion NP V (r) = 2, 5 8 (1 + r) 0, (1 + r) 1 7 (1 + r) 4. Sie unterscheidet sich nur durch die höhere Zahlung am Anfang. Diese verhindert, dass die Nettobarwertfunktion jemals positiv wird, die Nettobarwertfunktion hat somit keine Nullstelle. Bleiben wir beim ursprünglichen Wert von zwei Mio. Dollar Erwerbspreis. Die Nettobarwertfunktion wird erst ab etwa 11 Prozent positiv, Mister Burns ist aber dank vortreicher Mitarbeiter wie Homer Simpson an Renditen von 20 Prozent gewöhnt. Er lässt seinen treuen Verehrer Waylon Smithers den Kapitalwert von Dollar ausrechnen und geht das Geschäft ein, zumal er mit einem Alter von 104 Jahren um die Entschädigungen herumkommen kann. Nach vier Jahren wird dieser Kapitalwert bei einer Verzinsung von 20 Prozent auf ,61 Dollar angewachsen sein, der Mehrverdienst im Vergleich zum üblichen Atomkraftwerksgeschäft. 81

94 3 Barwert und Rendite von Zahlungsströmen 0,5 N P V ( r ) 0-0, ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7-1,5-2 Zinssatz r Abbildung 3.5: Zielwertsuche mit Excel Waylon Smithers rechnet zur Probe auch noch mal anders, alle Angaben in Mio. Dollar. Der Kaufpreis beträgt 2, die Sanierungskosten in einem Vierteljahr 8, diese mit 20 Prozent abgezinst ergeben die Anschaungskosten von 9, Dieser Betrag würde im Kerngeschäft der Kernkraft mit 20 Prozent jährlichem Zugewinn am Ende des vierten Jahres auf 19, angewachsen sein. Stattdessen wird in einem Jahr 16 kassiert und zu 20 Prozent ins Atomkraftwerk gesteckt. Nach drei Jahren ist dieser Betrag dann auf 27,648 angewachsen, wovon 7 abgezogen wird. Die Dierenz zwischen den verbliebenen 20,648 und 19, ist dann exakt wieder der Mehrgewinn von 0, Barwertberechnung mit Excel Abbildung 3.6: Zielwertsuche mit Excel 82