Statistik I im Sommersemester 2006

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1 Statistik I im Sommersemester 2006 Themen am : Univariate Häufigkeitsverteilungen I Darstellung univariater Verteilungen in Häufigkeitstabellen Verteilungsfunktionen und Quantile Grafische Darstellungen metrischer Verteilungen Lernziele: 1. Aufbau und Interpretation von Häufigkeitstabellen 2. Bedeutung und Berechnung von Quantilen aus Rohdaten und gruppierten und ungruppierten Häufigkeitstabellen 3. Stabbiagramme, Histogramme und Dichtedarstellungen 4. Formen von Verteilungen

2 Wiederholung der wichtigsten Inhalte der letzten Sitzung Gegenstand der Statistk: Mathematische Modellierung von Verteilungen Univariate Verteilungen Deskriptive Statistik Verteilungsparameter (Quantile, Lagemaße, Streuungsmaße) Induktive Statistik / Inferenzstatistik Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätzen und Testen Bivariate Verteilungen Multivariate Verteilungen Beschreibung und Prüfung von bivariaten Zuammenhängen Drittvariablenkontrolle Konditionale u. Partielle Effekte Prüfung der Angemessenheit statistischer Modelle Vorlesung Statistik I 2

3 Wiederholung: Warum Statistik? Zur Klärung von empirischen Fragen, Formulierung und Prüfung von Vermutungen benötigen die Sozialwissenschaften empirische Daten. Bei der Analyse der Daten besteht Gefahr von Fehlinterpretationen. Fehlerquellen: - ungenügendes inhaltliches Vorwissen über Forschungsgebiet, - ungenügende Kenntnisse über statistische Datenanalyse. Ziel der Statistikausbildung: Gewinnung von Kenntnissen über statistische Datenanalyse, + um Aussagekraft von empirischen Studien zu beurteilen, + um bei eigenen Analysen aussagekräftige Ergebnisse zu erhalten Vorlesung Statistik I 3

4 Wiederholung: Methoden-Modul 2. Grundlagen sozialwissenschaftlicher Datenanalyse MM2 beinhaltet 2 Veranstaltungen: Workload = 8 Credits a 30 Stunden 1.Vorlesung Statistik I dazu Tutorien zur Vorlesung 2. Übung zu Statistik I A. Statistik mit Excel oder B. Statistik mit SPSS oder C. Statistik mit STATA Abschlussklausur Teil A (90 Minuten) ( 90 Minuten Stoffvermittlung, Fragen, Beispielaufgaben) (90 Minuten Diskussion offener Fragen, Lösung der Übungsaufgaben, bei Bedarf Auffrischung von Mathe-Kenntnissen) Abschlussklausur Teil B (90 Minuten) A. und B. Vermittlung/Vorführung (45 Minuten Vorlesung) + praktische Übung (45 Minuten Tutorium) C. Vermittlung u. Übung (90 Minuten) ohne Tutorium Vorlesung Statistik I 4

5 Wiederholung: Operationalisierung Benennung von Korrespondenzregeln, mit deren Hilfe das Ausmaß des Vorliegens eines durch einen Begriff bezeichneten Sachverhalts festgestellt wird Über Operationalisierung erfolgt also Verbindung zwischen Begriffen und empirisch beobachtbaren Sachverhalten. Forschungsfrage mit Begriffen, die empirische Sachverhalte beinhalten Explikation der Begriffe Formulierung einer Messtheorie mit Korrepondenzhypothesen Formulierung von Korrespondenzregeln Variablen, Ausprägungen und Realisierungen Variable (z.b. Geschlecht ) hat Menge möglicher Ausprägungen (z.b.: {männlich, weiblich] bezieht sich auf Konkretisierung Fälle (z.b. Personen) Element aus der Menge aller Fälle Realisierung bei einem Fall (z.b. Herr X ist männlich) Vorlesung Statistik I 5

6 Wiederholung: Beobachten und Messen (1) Messen im weiteren Sinne bezieht sich auf den Akt der Datenerhebung. In der Sozialforschung spricht man auch von Beobachtung. (2) Messen im engeren Sinne bezieht sich auf die Zuordnung von Zahlen zu den bereits beobachteten empirischen Eigenschaften eines Objekts Messen im engeren Sinne wird technisch auch als Kodierung bezeichnet. Messen in der axiomatischen Messtheorie: Messen ist eine homomorphe Abbildung eines empirischen Relativs in ein numerisches Relativ Interpretierbare Relationen Identität Ränge Abstände Quotienten Nominalskala ja nein nein nein Ordinalskala ja ja nein nein Intervallskala ja ja ja nein Ratioskala ja ja ja ja Intervall- und Ratioskalen werden auch als metrische Skalen bezeichnet. Vorlesung Statistik I 6

7 Wiederholung: Messniveau: Zulässige Transformationen Skalen- Zulässige Transformationen Beispiele für erlaubte mathematische niveau Operationen Nominal Alle ein-eindeutigen Transfor- Logarithmieren, Multiplikation, mationen Addition (Subtraktion) einer Konstanten Ordninal Alle positiv-monotonen, die Wenn Ausgangswerte > 0: Rangordnung wahrenden Trans- Quadrieren, Logarithmieren, Wurzelformationen ziehen Intervall Alle positiven linearen Trans- Y = a + b X mit b> 0 formationen Ratio Streckungen und Stauchungen Y = b X mit b> 0 Die axiomatischen Messtheorie nennt als Voraussetzungen Repräsentation, Eindeutigkeit und Bedeutsamkeit, die zur Erreichung eines bestimmten Messniveaus nachgewiesen werden müssen. Vorlesung Statistik I 7

8 Wiederholung: Datenmatrix Untersuchungseinheiten (Fälle) Fall - nummer Merkmale der Untersuchungseinheiten (Variablen) Antwort Frage 1 Antwort Frage 2a Antwort Frage 2b Geschlecht Geburtsjahr ID F1 F2A F2B F3 F In einer Datenmatrix sind die Informationen i.a. so angeordnet, dass jede Zeile die gesamten verfügbaren Informationen (Realisierungen aller Variablen) bei einem Fall enthält, und dass jede Spalte alle Realisierungen einer Variablen über alle Fälle enthält. Vorlesung Statistik I 8

9 Datenmatrix: Kodierkonventionen für ungültige Fälle Bei empirischen Datenanalysen muss für jeden Fall und jede Variable eine Realisierung vorliegen. Wenn z.b. aufgrund von Antwortverweigerungen keine Antworten in einer vorgegebenen Antwortskala vorliegen, werden spezielle Ausprägungen, die sogenannten ungültigen oder fehlende Werte (missing values) verwendet. Dabei haben sich Konventionen eingespielt, die möglichst eingehalten werden sollten: einstellige zweistellige dreistellige Endziffer Variablen Variablen Variablen Verweigerung weiß nicht keine Angabe trifft nicht zu Da die meisten Analysemodelle davon ausgehen, dass es bei den betrachteten Variablen keine fehlenden Werte gibt, werden oft Fälle mit fehlenden Werten bei mindestens einer Variablen aus der Analyse ausgeschlossen (engl: listwise deletion of missing values). Vorlesung Statistik I 9

10 Häufigkeitstabellen Die empirische Verteilung einer Variablen gibt an, wie oft welche Ausprägungen einer Variable in der Datenmatrix (dem Datensatz), d.h. der Menge aller Untersuchungseinheiten, vorkommen. Bei einer nicht zu hohen Anzahl von realisierten Ausprägungen lässt sich eine univariate Häufigkeitsverteilung ohne Informationsverlust in einer Häufigkeitstabelle darstellen. Anteile kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige Anteile völlig unzufrieden eher unzufrieden eher zufrieden sehr zufrieden weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) Vorlesung Statistik I 10

11 Häufigkeitstabellen Anteile kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige Anteile völlig unzufrieden eher unzufrieden eher zufrieden sehr zufrieden weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) Die Tabelle enthält die absoluten Häufigkeiten mit der eine Ausprägung im Datensatz vorkommt. Im Beispiel kommt die 1. Ausprägung ( völlig unzufrieden, Kode 1 ) mit der absoluten Häufigkeit 1 vor, die zweite Ausprägung ( eher unzufrieden ) mit der Häufigkeit 2, die dritte Ausprägung ( eher zufrieden ) mit der Häufigkeit 2, die 4. Ausprägung ( sehr zufrieden ) mit der absoluten Häufigkeit 3, die ungültige Ausprägung weiß nicht mit der absoluten Häufigkeit 1 und die ungültige Ausprägung keine Angabe mit der Häufigkeit 1. Vorlesung Statistik I 11

12 Häufigkeitstabellen Anteile kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige Anteile völlig unzufrieden eher unzufrieden eher zufrieden sehr zufrieden weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) Aus der Tabelle ist auch ersichtlich, dass es neben den vier gültigen Ausprägungen zwei Ausprägungen gibt, die als ungültig deklariert sind. Ob eine Ausprägung als ungültig bewertet wird, hängt von der jeweiligen Fragestellung ab. Dies Festlegun ungültiger Werte hat Auswirkungen auf die Berechnung der Anteile (relativen Häufigkeiten), die sich aus der Divison der absoluten Häufigkeiten durch die Gesamtzahl berechnen. Anteile können sich auf die gesamte Fallzahl (4. Spalte) oder nur auf die Zahl der Fälle mit gültigen Antworten (5. Spalte) beziehen Vorlesung Statistik I 12

13 Häufigkeitstabellen Anteile kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige Anteile völlig unzufrieden eher unzufrieden eher zufrieden sehr zufrieden weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) In der letzten Spalte werden die relativen Häufigkeiten der gültigen Fälle aufsummiert. Die Zahl in der Zeile mit dem Kode 2 eher unzufrieden ist also die Summe der Anteile, die diesen oder einen kleineren Wert aufweisen, hier also die Summe der völlig unzufriedenen (Anteil = 0.125) plus der eher unzufriedenen (Anteil = 0.250) Personen: = Kumulierte Anteile machen nur bei ordinalem oder höherem Messniveau Sinn. Vorlesung Statistik I 13

14 Konventionen Zur Darstellung in Formeln gibt es eine Reihe von Konventionen, mit denen Variablen, Ausprägungen und Realisierungen, gemessene Werte und Transformationen gekennzeichnet werden. Variable X, Y, Z, V 2 Ausprägung x, y, z, v 2 Anzahl der Fälle n Realisation des i-ten Falles (i=1,2,...,n) der Variablen X x i Realisation des i-ten sortierten Falles (Rangplatz) x (i) Mittelwert der k-ten Gruppe bei gruppierten Daten m (k) Ausprägung k (k=1,2,...,k) der Variablen X x k, x (k) Anzahl der Fälle mit der Ausprägung x k n k, n (k) Anteil der Fälle mit der Ausprägung x k p k, p (k) Prozent der Fälle mit der Ausprägung x k p k % = p k 100 Vorlesung Statistik I 14

15 Häufigkeitstabellen: Berechnung von Anteilen p Anteile kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige Anteile völlig unzufrieden eher unzufrieden eher zufrieden sehr zufrieden weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) n p1 = n/n 1 = 1/10= 0.1 k = p = n /n = 2/10= 0.2 k n Bei der Indizierung wird manchmal auch die zugeordnete Ausprägung als Indexwert verwendet. n k p k p k cp k = p k 2 2 p3 = n 3/n = 2/10= 0.2 p4 = n 4/n = 3/10= 0.3 p5 = n 5/n = 1/10= 0.1 p = n /n = 1/10= 0.1 alternativ: = p 8 = n 8 / n = p 9 = n 9 / n Bei geordneten (sortierten) Werten 6 6 wird immer die Rangnummer verwendet, d.h. im Beispiel p (5), aber nicht p (8) für die fünfte der Größe nach geordnete Kategorie. Vorlesung Statistik I 15

16 Häufigkeitstabellen: Berechnung von Anteilen n (k) p (k) p (k) cp (k) = p (k) Anteile kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige Anteile völlig unzufrieden eher unzufrieden eher zufrieden sehr zufrieden weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) In Häufigkeitstabellen sind die Ausprägungen stets geordnet. Die Summe der Anteile über alle (berücksichtigten) Kategorien ist stets 1.0. Abweichungen kann es nur als Folge von Rundungsfehlern geben, Prozentuierung auf der Basis der gültigen Fälle: p(1) = n (1) / n = 1/ 8 = p(2) = n (2) / n = 2/8 = p(3) = n (3) / n = 2/8 = p = n / n = 3/ 8 = (4) (4) p (k) = n (k) n Vorlesung Statistik I 16

17 Häufigkeitstabellen: Berechnung der kumulierten Anteile Anteile kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige Anteile völlig unzufrieden eher unzufrieden eher zufrieden sehr zufrieden weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) ( ) cp = p X x = p = (k) (k) j j= 1 cp = p = = 1/8 (1) (1) (2) (1) (2) (3) (1) (2) (3) k (4) (1) (2) (3) (4) k j= 1 n n (j) ( ) cp = p + p = = = 1+ 2 /8 n (k) p (k) p (k) cp (k) = p (k) ( ) ( ) cp = p + p + p = = = /8 cp = p + p + p + p = = 1 = /8 Vorlesung Statistik I 17

18 Häufigkeitstabellen: Berechnung von Prozenten n (k) p (k) p (k) p (k) % Anteile Anteile Ausprägung Kode Häufigkeit insgesamt nur gültige in Prozemt völlig unzufrieden % eher unzufrieden % eher zufrieden % sehr zufrieden % weiß nicht keine Angabe Summe (gültige Fälle: 8; fehlende Fälle 2) Anstelle von Anteilen werden oft Prozentwerte verwendet. Prozentwerte sind Anteilswerte mal 100: p% = p 100 p = k k k p % k 100 p % = p 100 = = 12.5 (1) (1) p % = p 100 = = 25.0 (2) (2) p % = p 100 = = 25.0 (3) (3) p % = p 100 = = 37.5 (4) (4) Vorlesung Statistik I 18

19 Häufigkeitstabellen bei gruppierten Daten Wenn eine Variable sehr viele Ausprägungen hat, werden aus Gründen der Übersichtlichkeit Ausprägungen zu Klassen (oder Gruppen) zusammengefasst. Messtheoretisch gesehen ist jede Klassenbildung eine unzulässige Trandformation. Die Zusammenfassung von Ausprägungen einer Variablen zu Klassen bedeutet grundsätzlich einen Informationsverlust. Regeln für die Definition der Klassen: 1. Die Klassengrenzen dürfen sich nicht überschneiden, d.h. jede Ausprägung darf nur einer einzigen Klasse zugeordnet werden. 2. Die Klassen sollen lückenlos aufeinander folgen, d.h. jede Ausprägung muss einer Klasse zugeordnet werden können ( exakte Klassengrenzen), 3. Die Klassenbreiten sollen möglichst jeweils gleich sein. (Ausnahmen: ungleiche Klassenbreite bei erster oder letzer Klasse, wenn diese sonst sehr gering besetzt wären; Klassen werden manchmal aber so gebildet, dass sie in etwa gleich stark besetzt sind. Als Folge sind die Klassenbreiten dann i.a. unterschiedlich.) Vorlesung Statistik I 19

20 Häufigkeitstabellen bei gruppierten Daten Tabelle 3.5: Häufigkeitstabelle für gruppierte Altersangaben u (k) o (k) m (k) n (k) p (k) cp (k) Ausprägung in Jahren Kode = Gültige Kumulierte (exakte Klassengenzen) Klassenmitte Häufigkeit Prozente Prozente Prozente 17.5 bis < bis < bis < bis < bis < keine Angabe Missing Total Gültige Fälle: 3512 Fehlende Fälle: 6 (Quelle: Allbus 1996) (nach Kühnel/Krebs 2006: 49) Als Wert (Kode) der Ausprägungen gruppierter Variablen wird oft die Klassenmitte m (k) einer Klasse berechnet, das ist der Durchschnittswert aus Oberund Untergrenze einer Klasse: m (k) = u (k) + o 2 (k) (1) (5) ( ) m = / 2 = 23.5 ( ) m = / 2 = 84.5 Vorlesung Statistik I 20

21 Verteilungsfunktion und Quantile Häufigkeitstabelle für die Bewertung der allgemeinen Wirtschaftslage Gültige Kumulierte Ausprägung Kode Häufigkeit Prozente Prozente Prozente sehr gut gut teils/teils schlecht sehr schlecht weiß nicht Missing Verteilungs Total funktion Gültige Fälle: 3494 Fehlende Fälle: 24 (Daten: ALLBUS 1996) Quelle: Kühnel/Krebs, 2006: 44 x (k) n (k) p (k) p (k) cp (k) Die empirische Verteilungsfunktion ˆF(X) gibt an, welcher Anteil der Realisationen kleiner oder gleich diesem Wert sind: n i ˆF( X x() i ) = n ( ) i= 1 k n k (j) (k) (j) (j) j= 1 n j= 1 ˆF X x = = p = cp In der Häufigkeitstabelle ist diese Information in der letzten Spalte mit den kumulierten Anteilen (cp (k) ) aufgelistet. Vorlesung Statistik I 21

22 Grafische Darstellung der Verteilungsfunktion 1.0 Anstieg um p (5) =0.066 Anstieg um p (4) =0.311 Kumulierte Häufigkeiten Anstieg um p (1) =0.009 Anstieg um p (2) =0.124 Anstieg um p (3) =0.489 Gültige Kumulierte X Anteile Anteile Bewertung der allgemeinen Wirtschaftslage (X) In der grafischen Darstellung ist die empirische Verteilungsfunktion eine Treppenfunktion, die bei jeder Ausprägung der Variablen um die relative Häufigkeit dieser Ausprägung ansteigt. Vorlesung Statistik I 22

23 Quantile Gültige Kumulierte X Prozente Prozente Quantile teilen eine Verteilung in zwei 13.3% Teilmengen auf: % 13.3% = 86.7 % > Kumulierte Häufigkeiten % 13.3% = 86.7 % > % Bewertung der allgemeinen Wirtschaftslage (X) Vorlesung Statistik I 23

24 Quantile: Quantilwert und Quantilanteil Gültige Kumulierte X Prozente Prozente Der Quantilwert Q gibt die Trennstelle α = 13.3% an, an der die Teilung erfolgt. Q = Kumulierte Häufigkeiten Q =2 α = 13.3% 13.3%-Quantil: Q 13.3% = Q = 2 Der Quantilanteil α gibt den Anteil an, der im unteren Teilbereich liegt Bewertung der allgemeinen Wirtschaftslage (X) Vorlesung Statistik I 24

25 Quantile Gültige Kumulierte X Prozente Prozente Der Quantilwert Q α ist der kleinste Wert für den gilt, dass mindestens ein Anteil α von allen Realisierungen kleiner oder gleich diesem Wert ist Kumulierte Häufigkeiten Bewertung der allgemeinen Wirtschaftslage (X) Q 0.90 = 4? Q 0.50 = 3? Q 0.25 = 3? Q 0.10 = 2? Vorlesung Statistik I 25

26 Quantile: Berechnung aus Häufigkeitstabellen ungruppierter Daten Wenn eine Häufigkeitstabelle ungruppierter Daten vorliegt, können die Quantilwerte direkt aus der Häufigkeitstabelle abgelesen werden: Der Quantilwert ist die Ausprägung, bei der in der Spalte mit den kumulierten Anteilen bzw. kumulierten Prozentwerten erstmals der Quantilanteil erreicht oder überschritten wird: Gültige Kumulierte X Prozente Prozente Q 0.10 = Q 10% =? 0.9% < 10 % Q 10% > % > 10 % Q 10% 2 2 ist die kleinste Ausprägung, für die gilt, mindestens 10% aller Fälle sind 2 Q 0.1 = 2. Gültige Kumulierte X Prozente Prozente Q α=0.0% bis Q α=0.9% = 1 Qα >0.9% bis Q α=13.3% = 2 Q α>13.3% bis Q α=62.2% = 3 Q α>62.2% bis Q α=93.4% = 4 Q α>93.4% bis Q α=100% = 5 Vorlesung Statistik I 26

27 Quantile: Berechnung aus geordneten Messwerten Quantilwerte können auch direkt aus den Messwerten berechnet werden, wenn die Messwertreihe vorher der Größe nach sortiert wurde. Untersuchungseinheiten (Fälle) Fall - nummer Merkmale der Untersuchungseinheiten (Variablen) Antwort Frage 1 Antwort Frage 2a Antwort Frage 2b Geschlecht Geburtsjahr ID F1 F2A F2B F3 F Nach Größe sortiertes Geburtsjahr (ohne missing values) Fall Rang F 4(i) Wert 8 1 f 4(1) f 4(2) f 4(3) f 4(4) f 4(5) f 4(6) f 4(7) f 4(8) f 4(9) Vorlesung Statistik I 27

28 Quantile: Berechnung aus geordneten Messwerten Die Berechnung erfolgt in drei Schritten: Schritt 1: Multiplikation des Quantilanteils mit der Fallzahl: i = n α Schritt 2: Falls i keine ganze Zahl ist, sondern Nachkommastellen hat, Aufrunden zur nächsten ganzen Zahl j, anderenfalls: j=i. Schritt 3: Der Quantilwert Q α ist der Wert der Variablen auf dem j-ten Rangplatz: x (j). Beispiel: Q 50% =? bei ungerader Fallzahl Schritt 1: i = n α = = 4.5 X Fall Rang Schritt 2: Aufrunden zur nächsten ganzen Zahl: j = Schritt 3: Q 50% = x (5) = Wert auf Rangplatz 5: x (5) = Fallzahl n = 9. der Datensatz enthält n=9 Fälle mit gültigen Altersangaben Vorlesung Statistik I 28

29 Quantile: Berechnung aus geordneten Messwerten Die Berechnung erfolgt in drei Schritten: Schritt 1: Multiplikation des Quantilanteils mit der Fallzahl: i = n α Schritt 2: Falls i keine ganze Zahl ist, sondern Nachkommastellen hat, Aufrunden zur nächsten ganzen Zahl j, anderenfalls: j=i. Schritt 3: Der Quantilwert Q α ist der Wert der Variablen auf dem j-ten Rangplatz: x (j). Beispiel: Q 50% =? bei geraden Zahlen Schritt 1: i = n α = = 4 X Rang Schritt 2: keine Aufrunden notwendig: j = i = Schritt 3: Q 50% = x (4) = Wert auf Rangplatz 4: x (4) = Fallzahl n = 8. Der Datensatz enthält n=8 Fälle Vorlesung Statistik I 29

30 Bedeutung von Quantilen Wozu werden Quantile benötigt? Quantile geben Informationen über eine Verteilung: So besagt das 50%-Quantil, bei welchem Wert die Mitte einer Verteilung in etwa liegt, Die Differenzen des 5%- und des 95%-Quantils geben an, in welchen Grenzen die mittleren 90% aller Fälle liegen. Die Gesamtheit aller Quantile enthält alle Informationen über eine Verteilung. Besondere Namen: Das 25%-, das 50-% und das 75%-Quantil werden auch als Quartile bezeichnet, weil sie die Verteilung in vier gleich stark besetzte Klassen aufteilen; entsprechend werden das 10%-, 20%-, 30%-,..., 90%-Quantil als Zentile bezeichnet, weil sie die Verteilung in 10 gleich stark besetzte Klassen aufteilen; das 1%-, 2%-,..., 98%-, 99%-Quantil werden analog als Perzentile bezeichnet. Messniveau: Voraussetzung für die Berechnung von Quantilen ist mindestens ordinales, besser metrisches Skalenniveau. Bei ordinalen Skalenniveau sind Quantilwerte Ausprägungen von Rangplätzen (Kategorien). Vorlesung Statistik I 30

31 Hinweise zu Quantilen Die vorgestellte Berechnungsweise ergibt die sogenannten empirischen Quantile der empirischen Verteilungsfunktion. Darüber hinaus gibt es weitere Berechnungsformeln, die zu leicht unterschiedlichen Ergebnissen führen. Ursache ist die Unstetigkeit der empirischen Verteilungsfunktion bei ungruppierten Daten. X Rang Kumulierte Häufigkeiten So ist bei den links wiedergegebenen n=10 Fällen das 50%-Quantil Q 0.50 = 3. In zwei Hälften mit jeweils 50% (=5) Fällen kann die Verteilung aber durch jede beliebige Zahl zwischen 3 und kleiner 4 eingeteilt werden Bewertung der allgemeinen Wirtschaftslage (X) Vorlesung Statistik I 31

32 Quantilberechnung bei gruppierten Daten Wenn wie bei metrischen Variablen mit sehr vielen Ausprägungen Klassen gebildet worden sind, werden die Quantilwerte über lineare Interpolation innerhalb der Klasse ermittelt, die das Quantil enthält. Tabelle 3.5: Häufigkeitstabelle für gruppierte Altersangaben u (k) o (k) m (k) n (k) p (k) cp (k) Ausprägung in Jahren Kode = Gültige Kumulierte (exakte Klassengenzen) Klassenmitte Häufigkeit Prozente Prozente Prozente 17.5 bis < bis < bis < bis < bis < keine Angabe Missing Total Gültige Fälle: 3512 Fehlende Fälle: 6 (Quelle: Allbus 1996) (nach Kühnel/Krebs 2006: 49) So ist das 25%-Quantil der Altersverteilung der Befragten aus dem Allbus 1996 in der Klasse von 29.5 bis unter 44.5 Jahren, da die kumulierten Prozentwerte in dieser Klasse das erste Mal größer oder gleich 25% sind. Vorlesung Statistik I 32

33 Verteilungsfunktion bei gruppierten Daten: Die Summenkurve Ausgangspunkt ist die Summenkurve, bei der in jeder Klasse eine Gerade zwischen Unter -und Obergrenze der Klasse gezogen wird. k u (k) o (k) m (k) p (k) cp (k) < < < < < Kumulierte Häufigkeiten Jahre 19.2 % 15 Jahre 15 Jahre 30.5 % 26.9 % 15 Jahre 18.2 % 19 Jahre % Bei exakten Klassengrenzen berühren sich die Geraden und bilden zusammenhängend die Summenkurve, die eine Annäherung an die empirische Verteilungsfunktion der ungruppierten Daten ist. Vorlesung Statistik I 33

34 Quantilberechnung bei gruppierten Daten über die Summenkurve Der Quantilwert Q α bei gruppierten Daten ist dann der Wert von X, an der eine horizontale Gerade auf der Höhe α die Summenkurve schneidet. k u (k) o (k) m (k) p (k) cp (k) < < < < < Kumulierte Häufigkeiten % = cp (2) o (2) = 44.5 (Obergrenze der zweiten Klasse) α = 25 % Q % = % = cp (1) 0.1 o (1) = 29.5 (Obergrenze der ersten Klasse) Vorlesung Statistik I 34

35 Quantilberechnung bei gruppierten Daten: Interpolation innerhalb der Quantilklasse 0.5 o (1) = 29.5 o (2) = p 0.3 (2) = 30.5 % α = 25 % % 19.5% cp (1) = 19.2 % x Q 25% = k u (k) o (k) m (k) p (k) cp (k) < < < < < cp Q = o + o o ( ) (1) 0.25 (1) (2) (1) p(2) 25% 19.2% x = 30.5% Q25% = ( ) = x = 2.85 α cp (k 1) Qα = o(k 1) + ( o(k) o(k 1) ) p (k) wobei k die Klasse ist, in der das gesuchte Quantil liegt. Vorlesung Statistik I 35

36 Anwendung von Quantilen bei gruppierten Daten Fragestellung: In welchen Bereich um das 50%-Quantil liegen 90% aller Fälle einer Altersverteilung? Daten: Häufigkeitstabelle für gruppierte Altersangaben Ausprägung in Jahren Kode = Gültige Kumulierte (exakte Klassengenzen) Klassenmitte Häufigkeit Prozente Prozente Prozente 17.5 bis < bis < bis < bis < bis < keine Angabe Missing Total Gültige Fälle: 3512 Fehlende Fälle: 6 (Quelle: Allbus 1996) (nach Kühnel/Krebs 2006: 49) Das 50%-Quantil teilt die Verteilung in eine obere und eine untere Hälfte. Wenn 90% um das 50%-Quantil verteilt sind, liegen jeweils 45% unterhalb und oberhalb dieses Werts. Der gesuchte Bereich wird daher durch das 5%-Quantil (5% = 50% 45%) und durch das 95%- Quantil (95% = 50% + 45%) begrenzt. Vorlesung Statistik I 36

37 Anwendung von Quantilen bei gruppierten Daten Fragestellung: In welchen Bereich um das 50%-Quantil liegen 90% aller Fälle? Kumulierte Häufigkeiten % 95% % aller Befragten sind zwischen 20.6 und 75.2 Jahre alt. 5% Q 5% = 20.6 Q 95% = 75.2 Vorlesung Statistik I 37

38 Quantilberechnung bei gruppierten Daten: Interpolation innerhalb der Quantilklasse α cp Q = o + o o ( ) (k 1) α (k 1) (k) (k 1) p(k) k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 Tabelle 3.5: Häufigkeitstabelle für gruppierte Altersangaben u (k) o (k) m (k) n (k) p (k) cp (k) Ausprägung in Jahren Kode = Gültige Kumulierte (exakte Klassengenzen) Klassenmitte Häufigkeit Prozente Prozente Prozente 17.5 bis < bis < bis < bis < bis < keine Angabe Missing Total Gültige Fälle: 3512 Fehlende Fälle: 6 (Quelle: Allbus 1996) (nach Kühnel/Krebs 2006: 49) Da cp (1) = 19.2% > 5% liegt das 5%-Quantil in der ersten Klasse cp Q = o + ( o o ) = ( ) = p.192 (1 1) 0.05 (1 1) (1) (1 1) (1) Vorlesung Statistik I 38

39 Quantilberechnung bei gruppierten Daten: Interpolation innerhalb der Quantilklasse α cp Q = o + o o ( ) (k 1) α (k 1) (k) (k 1) p(k) k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 Tabelle 3.5: Häufigkeitstabelle für gruppierte Altersangaben u (k) o (k) m (k) n (k) p (k) cp (k) Ausprägung in Jahren Kode = Gültige Kumulierte (exakte Klassengenzen) Klassenmitte Häufigkeit Prozente Prozente Prozente 17.5 bis < bis < bis < bis < bis < keine Angabe Missing Total Gültige Fälle: 3512 Fehlende Fälle: 6 (Quelle: Allbus 1996) (nach Kühnel/Krebs 2006: 49) Da cp (4) = 94.8% < 95% liegt das 95%-Quantil in der fünften Klasse cp Q = o + ( o o ) = ( ) = p.052 (5 1) 0.95 (5 1) (5) (5 1) (5) Vorlesung Statistik I 39

40 Grafische Darstellung univariater Verteilungen Grafische Darstellungen vermitteln einen Eindruck von der Form einer Verteilung. Darstellungen metrischer Daten: Stabdiagramm 6 5 Häufigkeiten Alter in Jahren In Stabdiagrammen werden die absoluten oder relativen Häufigkeiten der Ausprägungen als senkrechte Linien symbolisiert. Dies ergibt einen schnellen Überblick über die Form einer Verteilung. Vorlesung Statistik I 40

41 Grafische Darstellung univariater Verteilungen: metrische Variablen Empirische Dichte Histogramm Alter in Jahren empirische Dichte: fˆ (k) p (k) ( o(k) u(k) ) Die Balkenhöhe ist gleich der empirischen Dichte im Intervall. Diese ist der Quotient aus der relativen Häufigkeit p (k) in einem Intervall geteilt durch die Intervallbreite (o (k) u (k) ) = In Histogrammen wird die Häufigkeitsverteilung durch einander berührende Balken dargestellt. Histogramme sind besonders für die Darstellung der Verteilung bei gruppierten Daten sinvoll, da sie das Prinzip der Flächentreue berücksichtigen: Die Fläche eines Balkens entspricht der relativen Häufigkeit in dem durch die Balkenbreite definierten Intervall. Vorlesung Statistik I 41

42 Grafische Darstellung univariater Verteilungen: metrische Variablen Kern-Dichte-Schätzer Empirische Dichte Alter in Jahren In Abhängigkeit von der verwendeten Formel und der Länge des berücksichigten Abstands um den jeweiligen Wert, für den die emprische Dichte geschätzt wird, sind die resultierenden Kurvenverläufe glätter oder zerklüfteter. Die Form eines Histogramms hängt allerdings nicht nur von der Verteilung, sondern auch von den Intervallbreiten und der gewählten Untergrenze für das erste (ganz links angeordnete) Intervall ab. Um dieses Problem zu umgehen, sind Kern-Dichte-Schätzer entwickelt worden. Diese berechnen die empirische Dichte einer Verteilung an jedem beliebigen Punkt, wobei jeweils alle Realisierungen in einem vorgegebenen Abstand berücksichtigt werden und der Einfluss eines Wertes auf die berechnete Dichte mit steigendem Abstand sinkt. Werden die Dichten der Punkte verbunden, ergibt sich eine Kurve, die die Form einer Verteilung besser wiedergibt, als die Balken eines Histogramms. Vorlesung Statistik I 42

43 Grafische Darstellung univariater Verteilungen: metrische Variablen unimodal, linksschief bzw. rechtssteil unimodal, symmetrisch unimodal, rechtsschief bzw. linkssteil unimodal, steil ansteigend, symmetrisch uförmig bimodal, symmetrisch unimodal, flach ansteigend symmetrisch Mit Hilfe von Kern-Dichte-Schätzern bzw. Histogrammen lassen sich Verteilungen nach kennzeichnenden Charakteristika, wie Schiefe, U-Förmigkeit etc. beschreiben. Vorlesung Statistik I 43