Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7

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1 Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7 Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7 Wiederholung aus 5/ Statistische Kenngrößen 0, m Zu Seite a) arithmetische Mittel = =,8 m Spannweite = 0,0 m b) Zentralwert =,8 m Modalwert =,9 m c) Der Modalwert ist ungeeignet, weil zu wenige Daten ausgewertet werden. Außerdem entspricht in diesem Fall der Modalwert dem größten Wert. Da hier aber nach einem mittleren Wert gefragt ist, eignet er sich überhaupt nicht. Der Zentralwert eignet sich schon eher, um den mittleren Wert der Körpergrößen zu beschreiben. Das arithmetische Mittel ist der aussagekräftigere Wert, weil hier über alle Größen gemittelt wird. d) -- Umfragen Zu Seite a) Wenn man nur eine Stichprobe für die Befragung auswählt, kann man nur dann ein aussagekräftiges Ergebnis erwarten, wenn man sicher ist, dass die Stichprobe repräsentativ ist. Ihre Frage ist berechtigt. Da das Ziel ist, die monatlichen Handykosten zu ermitteln, müssen beide Arten berücksichtigt werden. Allerdings ist die Angabe bei Kartenhandys ungenau, da es keine genaue Monatsabrechnung gibt wie bei Vertragshandys. Dies muss man bei der Auswertung der Daten berücksichtigen. Außerdem ist der Fragebogen so aufzubauen, dass beide Gruppen berücksichtigt werden. b) -- c) Man sollte versuchen, etwa gleich viele Mädchen und Buben auszuwählen, das gleiche Verhältnis von Vertrags- und Kartenhandys, den Anteil von Vieltelefonierern oder SMS-Schreibern berücksichtigen. d) -- a) -- b) -- c) Z.B. Unterschiede Grundgebühren, Gesprächskosten; Anteil Telefonkosten SMS-Kosten a) Man erhält die gleichen Werte. b) alle Vertrag Karte Mittelwert 5, 5,98,9 Spannweite,9,9 5,7 Median,9,8,9

2 Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7 c) Klassen A 7,50 0,00 I B 0,0,50 IIII C,5 5,00 IIII I D 5,0 7,50 E 7,5 0,00 I F 0,0,50 G,5 5,00 II Anzahl A B C D E F G Kosten-Klassen Umfragen Stichprobe - Gesamtheit Zu Seite 5 a) - Welche Parteien kämen in den nächsten Bundestag? - Wie viele Prozent der Wählerstimmen bekämen die einzelnen Parteien? - Wie haben sich die Ergebnisse seit der letzten Umfrage verändert? b) Politiker, Wähler, Wirtschaft, ausländische Regierungen c) Es würde zu lange dauern. Zudem sind Aufwand und Kosten zu hoch. d) Die Auswahl muss repräsentativ sein, d.h. die Zusammensetzung der für die Umfrage ausgewählten Personen muss hinsichtlich Alter, Geschlecht, Stadtund Landbewohner, sowie weiterer entscheidender Merkmalen der Gesamtbevölkerung entsprechen. e) Befragte Anteil Auswahl (50) alle (, Mio) CDU/CSU 0 % SPD 7 % (gerundet) FDP 8 % Linke % (gerundet) Grüne 9 % (gerundet) Andere 5 % (gerundet) f) 0 % +,7 % =,7 % 7 %,7 % =, % 0 % -,7 % = 7, % 7 % +,7 % = 9,7 %,7 %-, % = 8, % max. Unterschied 7, %-9,7 % = 7, % min. Unterschied Beide Aussagen können also stimmen. 8,% beschreibt den maximal möglichen Unterschied, 7, % den minimal möglichen. g) Man könnte die Anzahl der Befragten erhöhen (Stichprobe vergrößern) oder die Zusammensetzung der Stichprobe verändern. a) () alle () alle () alle () Stichprobe (5) Stichprobe () alle b) -- Zu Seite a) Einwohnerzahl in Deutschland 8,8 Millionen (Stat. Bundesamt, Dez. 007) 9, Mio =, % 8,8 Mio, % von 09 Personen sind Personen. b) Daten des Statistischen Bundesamtes (Stand Dezember 007): Männer in Deutschland 0,7 Mio. 9 % der Bevölkerung

3 Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7 Frauen in Deutschland,9 Mio. 5 % der Bevölkerung Man kann z.b. den Anteil der Mädchen und Jungen genauso wählen, in beiden Jahrgangsstufen jeweils 9 Jungen und 5 Mädchen. Man kann aber auch aus allen Jungen nur 9 und aus allen Mädchen 5 auswählen. Dann muss man aber etwa gleich viele aus der. und aus der 7. Klasse nehmen. c) -- a) Man sollte die Stichprobe möglichst gleichmäßig über die ganze Lieferung verteilen. 00 : 8 = 00 Man muss also jeden 00. Becher entnehmen oder von jeder zweiten Palette einen. b) fehlerhafte Becher in 8! 00 = 00 fehlerhafte in der gesamten Lieferung 5 a) () Dresdner Bürger werden nicht genauso abstimmen wie z.b. Kölner oder Münchner Bürger (nicht repräsentativ). Die Umfrage muss Bürger aus ganz Deutschland berücksichtigen. () Der Notenschnitt berücksichtigt alle Kinder in der Klasse. Vielleicht sind die Enkelkinder überdurchschnittlich gut in Mathematik (nicht repräsentativ)? () Der Mittelwert stimmt für diese drei Angaben. Man muss prüfen, ob es noch mehr Anbieter gibt, man sollte die Stichprobe vergrößern. a) Arithmetisches Mittel = =, 0 b) Der Notenschnitt hängt vom Notenschlüssel ab, aber vermutlich hat er Recht. c) Note Punkte Anzahl Note Anzahl Stichproben - Kundenkredite Zu Seite 7 a) Kunden-Nr. Gew./Verl. in Kunden-Nr. Gew./Verl. in + 90, ,00 + 0, ,00-0, ,00 + 5,00 + 0, ,00 + 5,00-0,00-0,00 7-0,00

4 Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7 b) Alle Werte (mit richtigem Vorzeichen) zusammenzählen und durch teilen ergibt durchschnittlich 0,00 Gewinn c) 0! = Gewinn d) Weil zu viele Kunden nicht rechtzeitig zahlen, ist der durchschnittliche Gewinn zu gering. Bei einer Kreditsumme von 8 00 beträgt der Gesamtgewinn nur 90, das sind lediglich, %. e) Man muss aufpassen, dass die monatlichen Rückzahlraten nicht mehr sind als man sich leisten kann. Außerdem ist es eine langjährige Verpflichtung. Passiert etwas Unvorhergesehenes, ist vielleicht nicht genügend Geld da, um zu reagieren. Boxplots Zu Seite 8 a) Kleinster Wert: 5 größter Wert: Spannweite: Zentralwert (Median): 0. Quartil: 7. Quartil: b) Sechs von Werten liegen in der Box, das sind 50 %. c) Drei Werte liegen auf der unteren Antenne, drei auf der oberen. Das sind jeweils 5 % der Werte. () 5; 8; ; ; 5; 5; ; 9; 0; () Zentralwert: 5 () Minimum: 5 Maximum: (). Quartil:. Quartil: 9 (5) a) Boxplot B gehört zu Stefan, Boxplot C zu Jenny. b) Spannweite Zentralwert. Quartil. Quartil A 0 8 = 5 8 B 0 = 9 0 C 0 8 = 8 9 D 0 = ,5 Zu Seite 9 a) 7A: 7B:

5 Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7 5 b) =MEDIAN(A:A7) c) =MEDIAN(B8:B) d) 5 a) Die Liste ist repräsentativ, wenn aus dem ganzen Einzugsbereich im richtigen Verhältnis Schüler dabei sind. 8,8 km b) arithmetisches Mittel = =,8 km 8 Median = (,8 +,) km : =,0 km Minimum = 0, km Maximum = 5 km Spannweite =,7 km c) Klassen Häufigkeit Bruchteil Winkel 0 km km 80 9, km km , km km 0, km 8 km , 0 km 8 0 0, km km 8 0 7, km km , km km Anzahl Entfernungs-Klassen d) Der Boxplot stellt die meisten Informationen zur Verfügung, da man viele statistische Informationen entnehmen kann. Die Spannweite wird veranschaulicht, der Median ist ablesbar und die Streuung der meisten Werte wird dargestellt. Will man nur die Anteile veranschaulichen, so eignet sich das Kreisdiagramm. Für einen Vergleich der einzelnen Werte der festgelegten Klassen eignet sich das Balkendiagramm. Der Boxplot zeigt, dass es Ausreißer nach

6 Erfassen und Auswerten von Daten Klasse 7 -- oben und unten gibt, die meisten Werte aber zwischen, km und 5,7 km liegen. e) () B: kurze Wege, Antenne kurz () C: Wege etwas länger und obere Antenne lang () A: hohe Streuung, Zentralwert auch groß

7 Wahrscheinlichkeit Klasse 7 7 Wahrscheinlichkeit Klasse 7 Wiederholung aus 5/ Einfache Zufallsexperimente Zu Seite 0 a) Mögliche Ergebnisse: weiß; rot; blau b) -- c) Die relative Häufigkeit für blau sollte etwa 0%, die für rot 0% und die für weiß etwa 50% betragen. a) Mögliche Ereignisse: (Wappen, Zahl); (Wappen, Wappen); (Zahl, Zahl) b) (Wappen, Wappen) und (Zahl, Zahl) sollten etwa gleich häufig auftreten, (Wappen, Zahl) dagegen etwa doppelt so häufig. Wahrscheinlichkeit Zu Seite a) Die Aussage stimmt nicht, da die Stichprobe nicht repräsentativ ist. Linkshändigkeit vererbt sich. b) -- c) -- d) Echte Linkshänder etwa 0% - 5% der Bevölkerung, aber viele nützen für verschiedene Tätigkeiten einmal die rechte und einmal die linke Hand. ( Alles mit links - Das Rätsel der Linkshändigkeit aus scinexx Das Wissensmagazin; aufgerufen am ) () -- (),7 % ()? je nach Können des Schülers () 00 % (5) 0 % () 0 % a) Die Wahrscheinlichkeit ist =,7 %. Sie ist unabhängig, was vorher gewürfelt wurde. b) Man hat zwei Möglichkeiten, entweder eine oder eine. Daher ist die Wahrscheinlichkeit =, %. a) Schätzung vielleicht 50 %? b) Auch 50 % c) -- Gesetz der großen Zahlen Zu Seite a) --- b) Wenn man viele Schulaufgaben zusammen betrachtet, gibt es alle Noten etwa gleich häufig. Aber bei einer einzelnen Schulaufgabe (mit vielleicht 5 Kindern in der Klasse) können z.b. auch einmal sehr viele Vierer und ganz wenige Einser herauskommen.

8 Wahrscheinlichkeit Klasse 7 8 c) Der Würfel hat zwei verschieden große Flächen. Auf der größeren Fläche wird er häufiger liegen bleiben, daher werden die Zahlen auf diesen Flächen auch häufiger vorkommen. Die Einser und Sechser werden gleich selten sein, während die anderen Noten öfter vorkommen werden. d) Für jeweils eine Schulaufgabe betrachtet, ist die Anzahl der Würfe zu gering, dass sich in b) eine Gleichverteilung der Noten ergeben wird. Nur für viele Würfe kann man davon ausgehen, dass die einzelnen Noten gleich oft auftreten werden. Bei c) kann man noch weniger voraussagen, weil man nicht weiß, welches Verhältnis sich zwischen Zahlen auf kleinen und auf großen Flächen bei vielen Würfen einstellen wird. a) siehe Kopiervorlage K am Ende des Lösungsheftes Für jedes Zufallsgerät soll eine Tabelle ausgefüllt werden. In die erste Zeile kommt das eigene Ergebnis, die weiteren Zeilen sind für Teilaufgabe b) gedacht. Hier könnte in Gruppen bis zu sechs Kindern gearbeitet werden. In die letzte Zeile kann dann das Gesamtergebnis der ganzen Klasse eingetragen werden. b) siehe a) c) -- d) Die relative Häufigkeit pendelt sich auf einen bestimmten Wert ein. e) -- Zu Seite a) Spalte A: Versuchsnummer Spalte B: Ereignis Kopf liegt oben ja () oder nein (0) Spalte C: Summe der bisher aufgetretenen Ereignisse Kopf liegt oben Spalte D: Aus Spalte A und C berechnete relative Häufigkeit für das Ereignis Kopf liegt oben b) -- c) Addiere zur alten absoluten Häufigkeit (C) eine 0 oder eine, je nachdem ob Kopf oben liegt oder nicht. d) = C / A e) Die relative Häufigkeit nähert sich dem Wert 0,5 = 50 % an. Diesen Wert kann man erwarten, da bei einer Münze Kopf oder Zahl gleich wahrscheinlich auftreten. f) -- a) -- b) -- c) Das Ereignis Kante ist bei manchen Deckeln häufiger und bei anderen sehr selten. Das Ergebnis ist abhängig von der Breite und der Oberflächenbeschaffenheit der Kante. Laplace Wahrscheinlichkeit Zu Seite a) Beide Aussagen sind richtig. Bei einer Münze kann man von einer Wahrscheinlichkeit von 50 % für das Ergebnis Kopf ausgehen, aber bei Flaschendeckeln muss man probieren. b) Beim Würfeln oder beim Ziehen von Kugeln aus einer Urne (mit anschließendem Zurücklegen der Kugel) kann man die Wahrscheinlichkeit schätzen. Beim

9 Wahrscheinlichkeit Klasse 7 9 Werfen von Reißnägeln oder unregelmäßig geformten Zufallsgeräten (z.b. Quader) kann man keine Voraussagen machen. a) Im rechten Bild ist ein Ikosaeder, also ein Körper mit 0 Flächen abgebildet, nicht, wie man vermuten könnte, ein Körper mit 8 Flächen. Ereignis Würfel Ikosaeder 5 P = =,7 % P = = 5 % 0 kleiner als 7 P = = 00 % P = = 0 % 0 gerade Zahl P = = 50 % P = 0 = 50 % 0 größer als P = =, % P = = 80 % 0 Teiler von 8 P = =, % P = = 0 % 0 Da der nächste Wurf unabhängig von den vorausgegangenen Würfen ist, kann man keine Aussage über den nächsten Wurf machen. Alle Zahlen können gleich wahrscheinlich auftreten. a) P = =, % 9 b) Ja, das stimmt. Drei Mathematikstunden pro Woche und 5 Schulwochen ergeben etwa 00 Stunden im Schuljahr. Es ist zwar unwahrscheinlich, weil vermutlich jeder drei bis vier Mal gezogen wird, aber es ist möglich. Zu Seite 5 5 a) Anzahl der Schüler = Gesamtzahl der Striche = 0 b) Rot: P = =,7 % 0 Gelb: P = = 0 % 0 7 Blau: P = =, % 0 c) Die relative Häufigkeit wird sich für jede Farbe dem Schätzwert von, % annähern. Blau Gelb Rot d) gelbe Kugel: P = = 0, =, % keine gelbe Kugel: P = = 0, =,7 % (zwei andere Möglichkeiten) a) () ; ; 5; () ; ; ; ; 5; () ; ; ;

10 Wahrscheinlichkeit Klasse 7 0 b) Man muss jeweils zählen, wie viele Felder mit Eins belegt sind und wie viele Möglichkeiten es überhaupt gibt. () P = =, % () P = =,7 % () P = = 5 % c) -- d) Vorgehensweise wie bei b) () P = =, % () P = = 50 % () P = = 75 % e) Vorsicht: ist keine Primzahl! () P = =,7 % () P = = 50 % () P = = 50 % 7 a) eine rote Dame (von zwei möglichen): P = =,5 % ein Ass (von vier möglichen): P = =,5 % 8 eine Herz-Karte (von 8 möglichen): P = = 5 % b) : Eine ganz bestimmte Karte, z.b. die Karo 7 = : Vier Karten mit einer gleichen Eigenschaft, z.b. vier Könige 8 = : Karten mit einer gleichen Eigenschaft, z.b. alle roten Karten 8 Gesamtzahl der Enten = = 5 blau : P = = 8,9 % grün : P = 7 = 50 % rot : P = =, % Vermischte Übungen Zu Seite a) Gelb: P = 5% = 50 % b) P = : Eine von drei Kugeln ist blau oder zwei von sechs Kugeln oder P = : Zwei von drei Kugeln sind blau oder vier von sechs Kugeln oder P = : Eine von vier Kugeln ist blau oder zwei von acht Kugeln oder Über die Gesamtzahl der Kugeln kann man nichts aussagen, nur über das Verhältnis von blauen Kugeln zur Gesamtzahl der Kugeln. Bei drei Losen wären zwei Lose ein Gewinn und eine Niete. Daher ist die Gewinnchance P = =,7 %. a) rot: von 58 Stück = 8 Stück grün: 0 Stück gelb: von 58 Stück = Stück weiß: von 58 Stück = Stück

11 Wahrscheinlichkeit Klasse 7 orange: Rest = = Stück P = = 7,8 % 58 8 b) Anzahl gelb oder grün = + 0 = 8 Stück P = =, % 58 7 c) Anzahl nicht roter Bärchen = 58 8 = 7 P = =,7 % 58 P() =, also sind drei von sechs Feldern mit einer Eins belegt. P() =, also ist ein von sechs Feldern mit einer Zwei belegt. P() =, also sind zwei von sechs Feldern mit einer Drei belegt. 5 a) Die Räder () und () sind Laplace-Zufallsgeräte, weil die einzelnen Felder jeweils gleich groß sind und deswegen die Wahrscheinlichkeit für die einzelnen Ereignisse gleich wahrscheinlich ist. b) () P = =,7 % () P = = 5 % () P 5 8% (Winkel des Kreissektors im Verhältnis zu 0 ) 0 c) P(Eins) = 0 % 0% von 0 = 08 P(Zwei) = % % von 0 = 9, P(Drei) = % % von 0 =, Dr ei Eins a) Marina braucht eine Zwei. Zwei Würfel: P = =,7 % Quader: P = (00 % % 8 %) : = 0 % Der normale Würfel liefert mit größerer Wahrscheinlichkeit eine Zwei. b) Bei einer Sechs ist der Quader besser mit einer Wahrscheinlichkeit von % anstelle von,7 % beim Würfel. c) Um ins Haus zu kommen, benötigt Marina eine Vier, Fünf oder Sechs. Würfel: P = = 50% Quader: P = 8 % + 0 % + % = 50 %. Es ist egal, welchen Würfel sie benutzt. Die Chancen des Torwarts beim Elfmeter Zu Seite 7 Umrechnung der Geschwindigkeit: 90 km/h = m : 00 s = 5 m/s Der Ball fliegt in einer Sekunde 5 m weit, also in einer halben Sekunde mehr als m. Daher hat der Torwart keine Zeit mehr, sich zu bewegen.

12 Wahrscheinlichkeit Klasse 7 a) Stefan: P = = 5% Leonie: P = = 0 % 5 b) Antwort C ist richtig. Die Breite der ausgestreckten Arme ist ungefähr so groß wie die Körpergröße. Nimmt man eine Körpergröße von etwa,80 m an, deckt der Torwart eine Fläche von etwas weniger als,8² m² ab, das ergibt etwa m². Fläche des Tores = 7, m, m 8 m² P = = 7% 8 c) gefoulter Spieler: P = 7 = 7% verwandelt, also 7 % gehalten 0 anderer Spieler: P = 550 = 75% verwandelt, also 5 % gehalten 7 Stefans Prognose liegt am nächsten an der Realität. Leonie und Benedikt sind zu pessimistisch.