Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Transkript

1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler

2 Der zentrale Grenzwertsatz Normalverteilung Die Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung der Summe von Zufalls variablen konvergiert zu einer Normalverteilung wenn deren Anzahl gross wird

3 Weitere Verteilungstypen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Alle mit Mittelwert 60, Standardabweichung 40! Lognormal: f X 2 ln ( x) λ ( x) = exp xζ 2π 2 ζ F X ( x) =Φ ln ( x) λ ζ 0 x λζ, > 0 ζ μ = exp λ p( ( ζ ) σ = μ exp ζ

4 Weitere Verteilungstypen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Alle mit Mittelwert 60, Standardabweichung 40! Gamma: λ λ k f ( x) = exp x X ( x) Γ( k ) ( λ ) ( λ ) Γ( k ) Γ k, x t F ( x) =, Γ ( k, t) = exp k ( u) u du X 0 x 0 k 0 λ > 0 k μ = λ k σ = λ

5 Weitere Verteilungstypen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Alle mit Mittelwert 60, Standardabweichung 40! Gleich: a+ b μ = x a a x b 2 f ( x) = F ( x) = X b a X b a b a ab, σ =

6 Weitere Verteilungstypen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Alle mit Mittelwert 60, Standardabweichung 40! Beta: Γ ( r+ t) ( x a) r ( b x) t ( r t) u ( x a) r ( b x) t a x b Γ + f ( x) = F ( x) = du X Γ() r Γ() t ( b a) r+ t X ab, 0 Γ() r Γ() t ( b a) r+ t a rt, > 0 r μ = a+ ( b a) r + t b a rt σ = r + t r + t

7 Weitere Verteilungstypen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Alle mit Mittelwert 60, Standardabweichung < 40! Beta: Γ ( r+ t) ( x a) r ( b x) t ( r t) u ( x a) r ( b x) t a x b Γ + f ( x) = F ( x) = du X Γ() r Γ() t ( b a) r+ t X ab, 0 Γ() r Γ() t ( b a) r+ t a rt, > 0 r μ = a+ ( b a) r + t b a rt σ = r + t r + t

8 Weitere Verteilungstypen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Alle mit Mittelwert 60, Standardabweichung 40!

9 Bernoulli Versuch und Binomialverteilung Eine Reihe Rih von Experimenten mit nur zwei möglichen ölih und exklusiven Ereignissen nennt man einen Bernoulli Versuch. Typischerweise nennt man die Ereignisse eines Bernoulliversuches Erfolg und Versagen. Zum Beispiel: Autos auf einer Strasse; Abbiegen: Versagen, Wahrscheinlichkeit p Gerade: Erfolg, Wahrscheinlichkeit p Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass von fünf Autos zwei abbiegen? Wahrscheinlichkeit, dass keines (von 5) abbiegt: PY [ = 0 ] = ( p )( p )... ( p ) = ( p ) 5 Wahrscheinlichkeit das zwei (von 5) abbiegen: 2 [ = 2] = ( ) 5 2 PY k p p Binomialverteilung: y p ( y) = p ( p) Y n y n y k = Anzahl Möglichkeiten 2 aus 5

10 Bernoulli Versuch und Binomialverteilung Zum Beispiel: Bi il Autos auf einer Strasse; Wahrscheinlichkeit Abbiegen p = 0.3 Gesucht Wahrscheinlichkeitsdichte für 2 aus 5 biegen ab. n y n y Binomialverteilung: py ( y) = p ( p) y 5 2 p ( 2) 0.3 ( 0.3) 5 2 Y = =

11 Bernoulli Versuch und Binomialverteilung Zum Beispiel: Bi il Autos auf einer Strasse; Wahrscheinlichkeit Abbiegen p = 0.3 y Binomialverteilung: p ( y) = p ( p) Y n y n y p= 0.3; n=

12 Bernoulli Versuch und Binomialverteilung Zum Beispiel: Bi il Autos auf einer Strasse; Wahrscheinlichkeit Abbiegen p = 0.3 y Binomialverteilung: p ( y) = p ( p) Y n y n y Momente: E [ Y] = np Var [ Y ] = np( p) p= 0.3; n=

13 Bernoulli Versuch geometrische Verteilung Zum Beispiel: Bi il Autos auf einer Strasse; Wahrscheinlichkeit Abbiegen p = 0.3 Die Wahrscheinlichkeit, dass das n te Auto abbiegt: n () Bis zum n ten Auto ist noch keines abgebogen: ( p ) (2) Das n te Auto biegt ab: p Geometrische Verteilung: p N ( n) = p( Momente: p p) n p E [ N ] = Var [ N ] = 2 p

14 Inhalt der heutigen Vorlesung Zufallsprozesse Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Poissonprozess Exponentialverteilung, Gammaverteilung Normalprozess Stationarität und Ergodizität Zusammenfassung der bisherigen Vorlesung

15 Zufallsvariablen und Zufallsprozesse Wir haben hb Zufallsvariablen eingeführt um zufällige bzw. unsichere ih Ereignisse i abzubilden, z.b. Eigenschaften von Objekten, Autos welche abbiegen usw. Wenn wir Ereignisse über die Zeit betrachten sprechen wir von Zufallsprozessen. Mit Hilfe von Modellen für Zufallsprozesse können wir die Wahrscheinlichkeit von zufälligen Ereignissen in der Zukunft abschätzen. Bi Beispiele: il Erdbeben mit einer Wiederkehrperiode von 475 Jahren 00 jähriges Hochwasser Maximale Lasten während der Lebensdauer eines Bauwerks

16 Zufallsvariablen und Zufallsprozesse Für viele Ingenieurfragen müssen wir die zufälligen fll Schwankungen über die Zeit spezifischer erfassen können: Hochwasserereignis (diskret) Das zufällige Eintreten von Ereignissen zu diskreten Zeitpunkten (Unfälle, Steinschlag, Erdbeben, Stau, Versagen, usw.) Poissonprozess, Exponentialverteilung, Gammaverteilung Die zufälligen Ausprägungen von Ereignissen, welche kontinuierlich über die Zeit eintreten (Winddruck, Wellendruck, Temperaturen, usw.) Kontinuierliche zufällige Prozesse (Normalprozess) Belastungsschwankungen aufgrund Wellen (kontinuierlich)

17 Zufallsvariablen und Zufallsprozesse Was wir heute näher bt betrachten wollen: Zufallssequenzen: Poissonprozess Wartezeit zwischen zwei Ereignissen: Exponentialverteilung, Gammaverteilung Kontinuierliche Zufallsprozesse: Normalprozess Kriterien für das Extrapolieren von Extremen: Stationarität und Ergodizität

18 Poissonverteilung Poissonprozess Ein Bernoulli Versuch lässt sich ihmit der Binomialverteilung i il beschreiben. n y n y py ( y) = p ( p) y In praktischen Situationen ist es sehr oft der Fall, dass die Anzahl Versuche nicht bekannt ist. Es ist nur bekannt, dass die Anzahl sehr gross ist. Betrachten Sie Fliegen welche bei einer spätsommerlichen Autofahrt auf ihrer Windschutzscheibe aufprallen als zufällige Sequenz und als abstrakten Bernoulli Versuch. Es ist klar, dass wir hier weder die Anzahl Versuche, noch die Aufprallwahrscheinlichkeit ausdrücken können. Betrachten wir einen bestimmten Zeitraum, etwa eine Sekunde, und stellen uns vor, dass Sekunde Autofahren einem Versuch entspricht (eine Stunde entspräche also 3600 Versuchen). Die Wahrscheinlichkeit p ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Sk Sekunde eine Fliege an der Windschutzscheibe h ib aufprallt. Wenn wir p wissen, können wir die Binomialverteilung anwenden

19 Poissonverteilung Poissonprozess Was sind ddie Bedingungen: Die Rahmenbedingungen können für die gesamte Betrachtungsperiode konstant angenommen werden. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als eine Fliege pro Sekunde anprallen ist sehr, sehr klein. Die zweite Bedingung kann entschärft werden, wenn wir die Anzahl Versuche vergrössern, bzw. den Zeitraum verkleinern. n p 0 np = u const. p = u / n n y n y im Limit py ( y) = ( v/ n) ( ( v/ n) n y p X ( x) x u ue x! y u ue y! = Poissonverteilung

20 Poissonverteilung Poissonprozess Poissonverteilung: px ( x) = x ue x! u Momente: E[ X] = u Var[ X ] = u Nh Nehmen wir an Fliegen prallen mit u = 0 pro Minute auf

21 Poissonverteilung Poissonprozess Wie sieht es für 0 Minuten aus: 3 pro Minute > 30 pro 0 Minuten u ist skalierbar über die Zeit: u = vt Poissonverteilung: p ( x) X ( vt) x u ue e = = x! x! x vt E[ X] = u = vt x x [ ] Var X = u = vt Die Abfolge von Ereignissen welche sich mit einer Poissonverteilung beschreiben lassen nennt man Poissonprozess

22 Poissonverteilung Poissonprozess Ein Poissonprozess unterliegt folgenden Annahmen: Stationärität: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses in einem beliebigen kleinen Zeitintervall [ tt, + h[ ist vh für alle t. Die Wahrscheinlichkeit von zwei oder mehr Ereignissen in einem kleinen Intervall sind vernachlässigbar klein. Die auftretenden t Ereignisse i sind voneinander unabhängig

23 Poissonprozess Exponentialverteilung Die Wahrscheinlichkeit von keinem Ereignis in einem gegebenen Zeitintervall (0,t[ ist sehr oft von Interesse in Ingenieurproblemen. Kein ernsthafter Sturm in 0 Jahren. Kein Strukturversagen in 00 Jahren. Kein Erdbeben nächstes Jahr. Diese Wahrscheinlichkeit wird folgendermassen erhalten: Die Wahrscheinlichkeit von keinem Ereignis in Abhängigkeit gg von t. Poissonverteilung: p ( 0) X ( vt) 0 vt e = = e 0! Die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis in Abhängigkeit von t. ( ) ( ) vt F t = p 0, t = e T X vt Exponentialverteilung

24 Poissonprozess Exponentialverteilung Exponentialverteilung: Die Wahrscheinlichkeit von einem Ereignis in Abhängigkeit von (der Wartezeit) t. F t = e T ( ) vt f ( t) = ν exp( ν t) T ft () t ν = F () t T f T () t F () t T

25 Zufallssequenzen: Exponentialverteilung Die Exponentialverteilung t il wird idoft benutzt, t um Wartezeiten zu modellieren: Zeit bis zu einem Versagen Zitbi Zeit biszumnächsten äht Edb Erdbebenb Zeit bis zum nächsten Unfall f ( t) = ν exp( ν t) T Der Erwartungswert und die Varianz einer exponentiell illverteilten Zufallsvariable fll ibl T sind gegeben als: ET [ ] = VarT [ ] = / ν

26 Zufallssequenzen: Gammaverteilung Oft ist auch die Zeit T bis zum n ten Ereignis von Interesse im Ingenieurwesen: Überschwemmungsereignisse Eintreffen von Fahrzeugen an einer Strassenkreuzung Zeit bis zu notwendigen Unterhaltsarbeiten Wenn T i, i2 i=,2,..n unabhängige, exponential verteilte tilt Wartezeiten sind, dann folgt ihre Summe T T = T + T Tn + Tn einer Gammaverteilung f T () t ν ν = ( n-) ( t) exp( νt) ( n )! Diese folgt aus der wiederholten Anwendung des Resultats der Verteilung der Summe aus zwei Zufallsvariablen

27 Zufallssequenzen: Gammaverteilung Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Gammaverteilung f T () t ν = n= n= Exponential Gamma t

28 Kleine Denkaufgabe 7 7. Sie dürfen als Gewinner einer TV Quizsendung zwischen 3 verschlossenen Türen wählen. Hinter einer der Türen befindet sich der Hauptgewinn, hinter den anderen beiden Türen sind Nieten versteckt. Sie haben nun eine der Türen gewählt, diese bleibt aber verschlossen. Um die Sache für die Zuschauer spannend zu machen öffnet der Quizmaster eine der anderen beiden Türen hinter ihr befindet sich eine Niete. Sie bekommen nun nochmals die Möglichkeit sich um zu entscheiden. Was ist die beste Strategie? wechseln erste Wahl egal

29 Kleine Denkaufgabe 7 7. Lösung Was ist die beste Strategie? Wechseln Wechseln Sie das Tor, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das Tor mit dem Gewinn gewählt zu haben, von /3 auf 2/3! Erklärung : Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, besteht eine Wahrscheinlichkeit von /3, dass dort der Preis ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich der Preis hinter einem der anderen beiden Tore befindet beträgt 2/3.

30 Kleine Denkaufgabe 7 7. Lösung Was ist die beste Strategie? Wechseln Wechseln Sie das Tor, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das Tor mit dem Gewinn gewählt zu haben, von /3 auf 2/3! Erklärung 2: Gedankenexperiment mit00türen Türen.

31 Kleine Denkaufgabe 7 7. Lösung Was ist die beste Strategie? Wechseln Wechseln Sie das Tor, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das Tor mit dem Gewinn gewählt zu haben, von /3 auf 2/3! Erklärung 3: Satzvon Bayes Es sind die Ereignisse definiert: M A : Der Moderator hat das Tor A geöffnet G A : Der Gewinn ist im Tor A analog für die Indizes B und C Tor A gewählt, Moderator öffnet Tor B. P( M ) ( ) B GC P G C 2 P( G ) 3 C MB = = = P( M ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B GA P GA + P MB GB P GB + P MB GC P GC

32 Kleine Denkaufgabe 7 7. Lösung Was ist die beste Strategie? Wechseln Wechseln Sie das Tor, erhöht sich die Wahrscheinlichkeit, das Tor mit dem Gewinn gewählt zu haben, von /3 auf 2/3! Erklärung 4: Ereignisbaum

33 Zusammenfassung des Vorlesungsinhaltes

34 Warum Statistik und Wahrscheinlichkeits rechnung im Ingenieurwesen? Entscheidungsprobleme betreffen Zustände der realen Umwelt: Mögliche Einflussgrössen bezüglich Gewicht Beton Stahl Boden Wasser Wind Steine Verkehr Schnee Temperatur Beschreibung der Phänomene durch Modelle Physik Chemie Mathematik

35 Modellierung von Risiken Ziel: Daten Modellbildung Probabilistisches Modell Wahrscheinlichkeit von Ereignissen Konsequenzen von Ereignissen Risiken Entscheidungsfindung

36 Beschreiben von Datenmengen

37 Beschreiben von Datenmengen Mittelwerte: Arithmetisches Mittel: Median: Modalwert: Streuungsmasse: Varianz / Standardabweichung: Variationskoeffizient : Andere Masse: Schiefekoeffizient: Kurtosis: Schwerpunkt der Stichprobe mittlerer Wert einer Stichprobe am häufigsten vorkommender Wert Verteilung um den Mittelwert Variabilität relativ zum Mittelwert Schiefe relativ zum Mittelwert Wölbung um den Mittelwert Masse für Korrelation: Kovarianz: Tendenz für paarweise beobachtete Eigenschaften Korrelationskoeffizient : Normalisierter Koeffizient zwischen und

38 Beschreiben von Datenmengen Ein dimensionales Streudiagramm Zwei dimensionales Streudiagramm Histogramm Quantil Plot Tukey Boxplot Q Q Plot Mittel über Differenz Plot Veranschaulicht den Bereich und die Verteilung von Datenreihen entlang einer Achse, und zeigt Symmetrie. Veranschaulicht den paarweisen Zusammenhang von Daten. Stellt die Verteilung von Daten über einem Bereich von Datenreihen dar, zeigt Modalwert und Symmetrie. Stellt Median, Verteilung und Symmetrie dar. Stellt Median, obere/untere Quartile, Symmetrie und Verteilung dar. Vergleicht zwei Datenreihen, relatives Bild. Vergleichtzwei Datenreihen, relativesbild Bild

39 Beschreiben von Datenmengen Ein dimensionales Streudiagramm Veranschaulicht den Bereich und die Verteilung von Datenreihen entlang einer Achse, und zeigt Symmetrie. Mittelwert =

40 Beschreiben von Datenmengen Zwei dimensionales Streudiagramm Veranschaulicht den paarweisen Zusammenhang von Daten

41 Beschreiben von Datenmengen Histogramm Stellt die Verteilung von Daten über einem Bereich von Datenreihen dar, zeigt Modalwert und Symmetrie

42 Beschreiben von Datenmengen Quantile Plot Tukey Boxplot Stellt Median, Verteilung und Symmetrie dar. Stellt Median, obere/untere Quartile, Symmetrie und Verteilung dar. Box Plot Durchbiegung gen grosse Klammern kleine Klammern

43 Mengenlehre Der Ereignisraum und die Ereignisse können mit Venn Diagrammen dargestellt werden: Ereignis Ω Ein Ereignis ist eine Untermenge des Ereignisraumes. Wenn die Untermenge leer ist, ist das Ereignis unmöglich. Wenn die Untermenge alle möglichen Beobachtungen enthält, ist das Ereignis sicher

44 Mengenlehre Aus den Kommutativ, dem Assoziativ und dem Distributivgesetz können die De Morgan s Gesetze abgeleitet werden: E E = E E 2 2 E ( E E ) = ( E E ) E E E = E E E ( E E ) = ( E E ) E E E2 = E E E ( E E ) = ( E E ) ( E E ) E ( E E ) = ( E E ) ( E E )

45 Interpretationen von Wahrscheinlichkeit Prinzipiell gibt es drei Interpretationen von Wahrscheinlichkeit: - Frequentistisch P ( A ) lim für n exp N A = n exp - Klassisch P ( A) = n A n tot - Bayes PA ( ) = Grad der persönlichen Überzeugung, dass das Ereignis A eintreten wird

46 Die drei Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie Die Wahrscheinlichkeitstheorie baut auf den drei Axiomen von Kolmogorov auf: Aiom 0 PE Axiom : ( ) Axiom 2: P( Ω ) = Axiom 3: n i = i= P E P( Ei) i= n wenn E, E 2, E n sich gegenseitig ausschliessen

47 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes Sei der Ereignisraum Ω aufgeteilt in n sich gegenseitig ausschliessende Ereignisse E, E 2,, E n ( ) ( ) ( )... ( ) PA= PA E + PA E + + PA E = 2 n ( ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) PAE PE + PAE PE + + PAE PE = 2 2 n n Satz der totalen Wahrscheinlichkeit ( ) i= 47 n PAE PE ( ) i i

48 Bedingte Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes Aus P( A E) = PAE ( ) PE ( ) = PE ( APA ) ( ) i i i i Likelihood Prior folgt PE ( A) i PAE ( i) PE ( i) PAE ( i) PE ( i) = = n PA ( ) PAE ( ) PE ( ) i= i i Posterior Bayes Rule Reverend Thomas Bayes ( )

49 Unsicherheiten bei Problemen im Ingenieurwesen Verschieden Typen von Unsicherheiten h i beeinflussen die Entscheidungsfindung. Unsicherheiten infolge natürlicher Variabilität (Zufall) Aleatorische Unsicherheit h i Unsicherheiten infolge von unvollständigem Wissen Epistemische Unsicherheit

50 Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsdichte und kumulative Verteilungsfunktionen Die Wahrscheinlichkeit, dass die Realisation einer diskreten Zufallsvariablen X kleiner als x ist wird durch die kumulative Verteilungsfunktion beschrieben P ( x) = p ( x ) x X X i x < x i Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine diskrete Zufallsvariable ist definiert durch: x p ( x ) = P ( X = x ) p X i i P x (x) p x (x) Summe muss ergeben A B

51 Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeitsdichte und kumulative Verteilungsfunktionen Die Wahrscheinlichkeit, dass die Realisation einer kontinuierlichen Zufallsvariablen X kleiner als x ist wird durch die kumulative Verteilungsfunktion beschrieben F x = P X < x x X ( ) ( ) Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für eine kontinuierliche Zufallsvariable ist definiert durch: f X x ( ) F () X x x = x Fx (x) fx (x) Integral muss ergeben A B

52 Zufallsvariablen Momente der Zufallsvariablen und der Erwartungswertoperator Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Wahrscheinlichkeitsdichte und kumulative Verteilungsfunktionen) können durch ihre Parameter oder ihre Momente beschrieben werden. F X ( x, p) ( x, p) f X Parameter Die Parameter können zu den Momenten in Beziehung gesetzt werden und umgekehrt

53 Zufallsvariablen Momente der Zufallsvariablen und der Erwartungswertoperator Das i te Moment m i einer diskreten Zufallsvariable X ist definiert durch: n j= i m = i x j p X ( x j ) Der Erwartungswert E[X] einer diskretenzufallsvariable X entspricht dem ersten Moment und ist definiert durch: μ [ ] X j X j j= n = = E X x p ( x )

54 Zufallsvariablen Momente der Zufallsvariablen und der Erwartungswertoperator Das i te Moment m i einer kontinuierlichen Zufallsvariable X ist definiert durch: i m = i x f X ( x ) dx Der Erwartungswert E[X] einer kontinuierlichen Zufallsvariable X ist entsprechend dem ersten Moment definiert durch: μ X [ ] ( ) = E X = x fx x dx

55 Werkzeuge zur Modellierung von Unsicherheiten Erwartungswert Varianz Multivariate Verteilungen ( ) = ( ) F x P X x X x X X x 2 2 n n [ c ] = c [ ] = ce[ X ] [ a + bx ] = a + be[ X ] [ g ( X ) + g ( X )] = E[ g ( X )] E[ g ( X )] E c = E cx E E [ ] = ( μ ) Var X E X μx 2 2 = E X + μx 2μXX + E X 2μ E [ X ] 2 2 = μx = μx + E X 2μX = E X μx p(x, y) y 20 X x

56 Werkzeuge zur Modellierung von Unsicherheiten Eigenschaften des Erwartungswertoperators Anhand ddesdes Ergebnisses [ ] Var X = E ( X μx) = E X + μx 2μXX = E X μx ist erkennbar, dass grundsätzlich gilt: E [ g( X) ] g( E[ X]) für konvexe / konkave Funktionen JENSEN'S Ungleichheit!! Gleichheit i gilt ausschließlich h für lineare Funktionen!

57 Werkzeuge zur Modellierung von Unsicherheiten Die kumulative Verteilungsfunktion für die Summe zweier Zufallsvariablen Vorausgesetzt, die Summe ist Y X + X 2 und = X X2 Somit können wir zuerst die Dichtefunktion für bestimmen, unter der Annahme, dass X gegeben gg ist, z.b. durch f X 2 X ( x 2 x Wir erhalten: ) = f f ( x, x ), 2 Y = x + X 2,X ( x,x ) 2 f ( yx f ( x ) ) = f ( y x 2 x) YX X X X 2 X f ( yx, ) = f ( y x x ) f ( x ) = f ( y x, x ) YX, X X X X, X

58 Werkzeuge zur Modellierung von Unsicherheiten Die kumulative Verteilungsfunktion für Funktionen von Zufallsvariablen Falls g() x monoton fallend ist, kann die Realisation von Y nur dann kleiner als y 0 sein, wenn die Realisation von X größer als x 0 iti ist. In diesem Fll Fall muss das Vorzeichen vertauscht werden: man erhält: F ( y) = F ( g ( y)) Y X x fy( y) = fx( x) y Grundsätzlich folgt daraus für monoton ansteigende oder fallende Funktionen: x x fy( y) = fx( x) y

59 Werkzeuge zur Modellierung von Unsicherheiten Die kumulative Verteilungsfunktion für Funktionen von Zufallsvariablen Falls die Elemente eines Zufallsvektors Y= ( YY, 2,.. Y) T n als eineindeutige Darstellung der monoton steigenden oder fallenden Funktionen g i, i=,2,.. n der Elemente des Zufallsvektors X= (,,.. ) T angenommen werden können, Y i = g ( X ) i X X2 X n ergibt sich: fy() y = J fx() x x x... y yn Mit J als Betrag der Determinante von J = xn xn... y n