Grundlagen der Hydraulik

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1 Horst-W. Grollius Grundlagen der Hydraulik 7., aktualisierte Auflage

2 18 2 Physikalisches Basiswissen Bei der Bewegung des Kolbens 1umden Weg s 1 nach unten wird das Volumen V 1 ¼ A 1 s 1 verdr ngt, wodurch der Kolben 2umden Weg s 2 nach oben bewegt wird. Mit V 1 ¼ A 1 s 1 ¼ V 2 ¼ A 2 s 2 : ergibt sich ð 2 : 22Þ s 2 ¼ s 1 A 1 A 2 : ð 2 : 23Þ Mit Gl. (2.23) l sst sich das Prinzip der Wegübersetzung verdeutlichen: Ist wie beim Beispiel zur Kraft bersetzung die Fl che A 2 um das Zehnfache grçßer als die Fl che A 1 ð A 2 ¼ 10 A 1 ), so wird s 2 ¼ s 1 A 1 A 2 ¼ 1 10 s 1 : ð 2 : 24Þ Der Weg s 2,den der Kolben 2zur cklegt, ist bei diesem Beispiel also nur ein Zehntel des vom Kolben 1zur ckgelegten Weges s Druck bersetzung Das Prinzip der Druckübersetzung wird durch Bild 2.6 verdeutlicht. Bild 2.6: Zur Druck bersetzung Die beiden reibungsfrei gef hrten und leckfrei abdichtenden Kolben mit den Kolbenfl chen A 1 und A 2 sind durch eine Stange fest miteinander verbunden. Herrscht an der Kolbenfl che A 1 der Druck p 1, wirkt daran die Kraft F ¼ p 1 A 1,die ber die Stange auch an der Kolbenfl che A 2 wirksam ist. Der Druck an der Kolbenfl che A 2 ist p 2 ¼ F = A 2.

3 2.6 Hydraulische Arbeit, Leistung, Wirkungsgrade 19 Mit F ¼ p 1 A 1 ¼ p 2 A 2 wird p 2 ¼ p 1 A 1 A 2 : ð 2 : 25Þ ð 2 : 26Þ Ist beispielsweise die Fl che A 1 doppelt so groß wie die Fl che A 2 ð A 1 ¼ 2 A 2 ), so wird der Druck p 1 auf das Doppelte seines Wertes bersetzt: p 2 ¼ 2 p Hydraulische Arbeit, Leistung, Wirkungsgrade Wird bei der hydraulischen Presse nach Bild 2.5 der Kolben 1(Kolbenfl che A 1 )mit der Kraft F 1 um den Weg s 1 nach unten bewegt, so ist die dabei verrichtete hydraulische Arbeit W 1 ¼ F 1 s 1 ¼ p 1 A 1 s 1 : ð 2 : 27Þ Die bei diesem Vorgang am Kolben 2(Kolbenfl che A 2 )verrichtete hydraulische Arbeit ist W 2 ¼ F 2 s 2 ¼ p 2 A 2 s 2 : Mit V 1 ¼ A 1 s 1 und V 2 ¼ A 2 s 2 erh lt man ð 2 : 28Þ W 1 ¼ p 1 V 1 und W 2 ¼ p 2 V 2 : ð 2 : 29Þ ; ð 2 : 30Þ Wird f r die Bewegung des Kolbens 1umden Weg s 1 die Zeit t 1 bençtigt, ist die hydraulische Leistung P 1 ¼ W 1 t 1 ¼ p 1 V 1 t 1 : ð 2 : 31Þ Mit dem Volumenstrom Q 1 ¼ V 1 = t 1 wird daraus P 1 ¼ p 1 Q 1 : ð 2 : 32Þ Analog gilt f r den Kolben 2inBild 2.5 f r die hydraulische Leistung P 2 ¼ p 2 Q 2 : ð 2 : 33Þ Die hydraulische Leistung ist hier also das Produkt aus Druck und Volumenstrom. F r den Gesamtwirkungsgrad einer Hydropumpe und eines Hydromotors gilt g t ¼ g v g hm : ð 2 : 34Þ

4 20 2 Physikalisches Basiswissen Hinweis: Auf Hydropumpen und Hydromotoren wird in den Kapiteln 6 und 7 noch eingegangen. Auch werden dort die den Wirkungsgraden zugrunde liegenden Definitionen noch ausf hrlich erl utert. In Gl. (2.34) ist g v der volumetrische Wirkungsgrad. Erber cksichtigt die so genannten volumetrischen Verluste, die sich aufgrund von Leckstrçmen ergeben. Der hydraulisch-mechanische Wirkungsgrad g hm ist ein Maß f r Verluste, die sich durch Strömungsverluste und aufeinander gleitende Maschinenteile (Reibung) ergeben. Bild 2.7 soll den Begriff des Gesamtwirkungsgrades g t veranschaulichen. Bild 2.7: Zur Veranschaulichung des Begriffes Gesamtwirkungsgrad Die Wellenleistung (mechanische Eingangsleistung) an der Hydropumpe (Index P) ist P m ; P ¼ T e ; P x P.Diese wird zum berwiegenden Teil in die hydraulische Leistung P e,p ¼ D p P Q e umgewandelt (ein geringer Teil der Wellenleistung wird zur Deckung der in der Hydropumpe auftretenden volumetrischen Verluste und der Strçmungs- und Reibungsverluste bençtigt). Der Gesamtwirkungsgrad der Hydropumpe ist somit g t ; P ¼ P e ; P P m ; P ¼ D p P Q e T e ; P x P ¼ ð p A ; P p E ; P Þ Q e T e ; P x P : ð 2 : 35Þ Die dem Hydromotor (Index M) zur Verf gung stehende hydraulische Leistung P e,m ist wegen des zwischen Hydropumpe und Hydromotor auftretenden Leistungsverlustes D P e,p-m kleiner als die am Austritt der Hydropumpe vorhandene hydraulische Leistung P e,p.esist P e ; M ¼ P e ; P D P e ; P - M : ð 2 : 36Þ

5 2.7 Kontinuitätsgleichung 21 Die hydraulische Leistung P e, M steht zum berwiegenden Teil an der Welle des Hydromotors (Index M) in Form von mechanischer Leistung P m, M = T e, M. x (Ausgangsleistung) zur Verf gung (auch im Hydromotor treten volumetrische Verluste und Strçmungs- und Reibungsverluste auf, die von der hydraulischen Leistung zu decken sind). Der Gesamtwirkungsgrad des Hydromotors ist somit g t ; M ¼ P m ; M ¼ T e ; M x M T e ; M x M ¼ : P e ; M D p M Q e ð p E ; M p A ; M Þ Q e ð 2 : 37Þ 2.7 Kontinuit tsgleichung Nach Bild 2.8 strçmt eine Fl ssigkeit durch ein Rohr mit unterschiedlich großen Querschnittsfl chen. Bild 2.8: Konstanz des Volumenstromes inkompressible Fl ssigkeit Da zwischen den mit 1, 2 und 3 gekennzeichneten Querschnittsfl chen kein Verlust an Fl ssigkeit auftritt, gilt f r die durch diese Fl chen hindurch strçmenden Massenströme: _m 1 ¼ _m 2 ¼ _m 3 : ð 2 : 38Þ Mit _m 1 ¼ Q 1 % 1 ¼ A 1 v 1 % 1, _m 2 ¼ Q 2 % 2 ¼ A 2 v 2 % 2 und _m 3 ¼ Q 3 % 3 ¼ A 3 v 3 % 3 wird daraus A 1 v 1 % 1 ¼ A 2 v 2 % 2 ¼ A 3 v 3 % 3 : ð 2 : 39Þ Fl ssigkeiten auch die in der Hydraulik verwendeten Hydrauliköle lassen sich nur geringf gig zusammendr cken. Deshalb gilt % 1 % 2 % 3 : ð 2 : 40Þ Damit erh lt man die als Kontinuitätsgleichung bezeichnete Gleichung A 1 v 1 ¼ A 2 v 2 ¼ A 3 v 3 ¼ konst: ð 2 : 41Þ

6 22 2 Physikalisches Basiswissen 2.8 Bernoulli-Gleichung Die Bernoulli-Gleichung stellt einen Sonderfall der aus der Strçmungsmechanik bekannten Navier-Stokes-Gleichungen dar, die f r dreidimensionale z higkeitsbehaftete Strçmungen g ltig sind. Wird angenommen, dass die Strçmung station r, reibungsfrei (verlustlos), inkompressibel und eindimensional ist, lassen sich die Navier-Stokes-Gleichungen in die nach Bernoulli benannte Gleichung berf hren. Als stationär werden Strçmungen bezeichnet, deren Zustandsgrçßen sich mit der Zeit nicht ndern. Die Bernoulli-Gleichung lautet in der Energieform v 2 2 þ g z þ p ¼ konst:; ð 2 : 42Þ % nach der die sich aus kinetischer Energie, Energie der Lage und Druckenergie zusammensetzende Gesamtenergie einer strçmenden Fl ssigkeit l ngs des Stromfadens erhalten bleibt. Multipliziert man Gl. (2.42) mit 1= g, ergibt sich die vorwiegend verwendete Höhenform v 2 2 g þ z þ p ¼ konst:; ð 2 : 43Þ % g bei der alle Anteile die Dimension der L nge haben. Deshalb werden v 2 = ð 2 g Þ mit Geschwindigkeitshçhe, z mit Ortshçhe und p = ð % g Þ mit Druckhçhe bezeichnet. Wird Gl. (2.42) mit der Dichte % multipliziert, erh lt man die Druckform : % v 2 2 þ % g z þ p ¼ konst: ð 2 : 44Þ Bild 2.9 soll die Anwendung der Gl. (2.43) verdeutlichen. F r das in Bild 2.9 dargestellte System l sst sich f r den Oberwasserspiegel 0 und die Rohrquerschnitte 1, 2 und 3 mit % 0 ¼ % 1 ¼ % 2 ¼ % 3 ¼ % entsprechend Gl. (2.43) formulieren z 0 þ p 0 % g þ v g ¼ z 1 þ p 1 % g þ v g ¼ z 2 þ p 2 % g þ v g ¼ z 3 þ p 3 % g þ v g : ð 2 : 45Þ Werden die Absolutdr cke p 0, p 1, p 2 und p 3 durch die Summe aus Atmosph rendruck und jeweiligem berdruck ersetzt, ergibt sich z 0 þ p amb þ p e0 % g þ v g ¼ ::: ¼ z 3 þ p amb þ p e3 þ v 2 3 % g 2 g ð 2 : 46Þ