Abiturprüfung 1999 MATHEMATIK. als Grundkursfach. Arbeitszeit: 180 Minuten

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1 Abiturprüfung 1999 MATHEMATIK als Grundursfach Arbeitszeit: 180 Minuten Der Fachausschuss wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten GM1, GM und GM zur Bearbeitung aus.

2 - - GM1. INFINITESIMALRECHNUNG I. 8 0 Gegeben ist für RI mit maximalem Definitionsbereich + die Schar von Funtionen f : x D. Der Graph von x a x + f wird mit bezeichnet. 1. a) Geben Sie D sowie die Nullstelle von f an und untersuchen Sie das Verhalten der Funtion an den Grenzen des Definitionsbereichs. b) Ermitteln Sie das Monotonieverhalten von f und bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunte von G. zur Kontrolle: x f (x) = G ( x + ) ( x + ) c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, auf der die Extrempunte aller Graphen G liegen. Im Folgenden sei = 1.. a) Ermitteln Sie eine Gleichung der schiefen Asymptote des Graphen G 1 und zeigen Sie, dass diese den Graphen nicht schneidet. b) Zeichnen Sie den Graphen G 1 unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse zusammen mit seinen Asymptoten und der Geraden g im Bereich < x < (Längeneinheit 1 cm). Berücsichtigen Sie dafür auch, dass der Graph G 1 symmetrisch zum Punt ( 1 ) ist (Nachweis nicht erforderlich). c) Geben Sie eine Beziehung zwischen f 1 ( 1 + t) und ( 1 t) für t 0 an, welche die in Teilaufgabe b genannte Puntsymmetrie algebraisch beschreibt. 1. a) Zeigen Sie, dass F: x a x + x ln(x + 1) für x > 1 Stammfuntion von f 1 ist. b) Der Graph G 1, die y-achse und die zwei Geraden mit den Gleichungen y = x + 1 sowie x = u (u > 0) schließen ein Flächenstüc vom Inhalt A(u) ein. Bestimmen Sie A(u) und berechnen Sie u so, dass A(u) = 1 ist. f 1

3 Gegeben ist die Funtion 1 a mit maximalem Definitions- x (1 ln x) G bezeichnet. bereich f : x D f. Ihr Graph wird mit II. f 1. a) Bestimmen Sie D f und ermitteln Sie das Verhalten von f an den Grenzen des Definitionsbereichs. (Hinweis: lim ( x ln x) = 0 darf ohne Beweis verwendet werden.) x > b) Zeigen Sie, dass in D f gilt: f (x) = 0 [ f (x)] ln x Ermitteln Sie damit das Monotonieverhalten der Funtion f. Bestimmen Sie ohne Verwendung der zweiten Ableitung die Lage und Art des Extrempunts von G f. + Gegeben ist nun zusätzlich die Funtion h : x a mit D h = RI. Ihr Graph x wird mit G h bezeichnet.. a) In welchem Punt S(x s ys ) schneiden sich G f und G h? Berechnen Sie die Steigung der Tangenten an G und G im Punt S. Ermitteln Sie daraus den Schnittwinel dieser beiden Tangenten (auf Grad genau). [zur Kontrolle: x s = e ] b) Fertigen Sie eine Zeichnung der Graphen G f und G h im Bereich 0 < x < (Längeneinheit cm) unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse.. a) Zeigen Sie, dass die Funtion F : x a ln (1 ln x) für 0 < x < e eine Stammfuntion von f ist. b) Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücs, das die Graphen von f und h sowie die Gerade mit der Gleichung x = 1 einschließen. Um wie viel Prozent weicht dieser ab vom Inhalt des Dreiecs mit den Ecpunten ( 1 ), ( 1 1) und S (vgl. Teilaufgabe a)? f h

4 - - GM. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG/STATISTIK III. Vroni hat zu ihrer Geburtstagsparty Freundinnen und Freunde eingeladen. 1. Die Partygäste Max und Peter ommen erfahrungsgemäß (unabhängig voneinander) mit den Wahrscheinlicheiten 0 % bzw. 0 % zu spät. Berechnen Sie die Wahrscheinlicheit dafür, dass zu Vronis Party a) beide zu spät ommen, b) mindestens einer zu spät ommt.. Bei dem Spiel Flaschenglücsrad sitzen alle 8 Jugendlichen in einem Kreis um eine am Boden liegende Flasche. Die Flasche wird gedreht und zeigt anschließend zufällig auf einen der Mitspieler, der dann ein Pfand abgeben muss. Die Wahrscheinlicheit, getroffen zu werden, ist für jeden Mitspieler 81. a) Wie groß ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass Peter bei 1-maligem Andrehen der Flasche mindestens zwei Pfandstüce abgeben muss? b) Wie oft muss die Flasche mindestens angedreht werden, damit Vroni mit einer Wahrscheinlicheit von mehr als 9 % wenigstens ein Pfandstüc abgeben muss?. Für eine Pantomime werden aus den 8 Jugendlichen auf zufällige Weise ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass Vroni und Peter zusammen in der ausgewählten Gruppe sind?. Auf der Tanzfläche tanzen nur Paare aus jeweils einem Mädchen und einem Jungen. Wie viele verschiedene Zusammenstellungen der Paare auf der Tanzfläche gibt es, wenn a) alle 8 Teilnehmer der Party mittanzen, b) von den jungen Männern nur Max und Peter tanzen? (Fortsetzung nächste Seite)

5 Bei einem Würfelspiel beobachten Max und Peter, dass ein Würfel auffällig oft die Zahl zeigt. Sie vermuten, dass der Würfel gezint ist, und beschließen, einen Test durchzuführen. Dazu werfen sie den Würfel 100-mal. Die Wahrscheinlicheit dafür, den Würfel irrtümlich als gezint einzustufen, soll höchstens % betragen. Ermitteln Sie die Entscheidungsregel.. Vroni hat für die Partyteilnehmer 8 Törtchen gebacen. In den Teig hat sie Glücsbringer gerührt, die dadurch zufällig auf die 8 Förmchen verteilt worden sind. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit dafür, dass Peter in seinem Törtchen genau einen Glücsbringer findet?

6 - - IV. Eine Firma stellt Billig-Glühlämpchen her. Dabei entstehen erfahrungsgemäß 10 % Ausschuss. Die nicht ontrollierten Lämpchen werden in Kartons zu 0 Pacungen mit je 0 Stüc abgepact. 1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass in einer 0er Pacung mehr als drei Lämpchen defet sind? [Ergebnis: 1, %] b) Mit welcher Wahrscheinlicheit ist in einem 0er Karton höchstens eine 0er Pacung mit mehr als drei defeten Lämpchen?. Dem Eletrogeschäft Krötl wurde eine Serie von 0er Pacungen mit jeweils genau defeten Lämpchen geliefert. a) Ein Kunde auft 10 Lämpchen, die gleichzeitig einer vollen 0er Pacung entnommen werden. Mit welcher Wahrscheinlicheit sind unter diesen zehn Lämpchen genau defet? b) Auf wie viele Arten ann man defete und 8 intate, sonst nicht unterscheidbare Lämpchen als Lichterette in einer Reihe anordnen, wenn (1) eine weiteren Bedingungen vorliegen, () die defeten Lämpchen nicht nebeneinander liegen sollen? c) Ein weiterer Kunde möchte drei Lämpchen aufen. Der Veräufer entnimmt ein Lämpchen aus einer vollen 0er Pacung mit defeten Lämpchen und prüft es. Ist es defet, wirft er es weg, sonst gibt er es dem Kunden und entnimmt der Pacung das nächste zu prüfende Lämpchen. Mit welcher Wahrscheinlicheit ist das vierte vom Veräufer geprüfte Lämpchen das dritte intate?. Aufgrund eines zunächst unerannten Defets hat eine Maschine Lämpchen mit 0 % Ausschuss produziert. Diese Lämpchen wurden so wie oben beschrieben verpact. Um die Kartons mit Lämpchen höherer Ausschussquote nachträglich auszusondern, wird folgendes Testverfahren durchgeführt: (Fortsetzung nächste Seite)

7 - - 0 Ein Karton wird ausgesondert, wenn von zufällig entnommenen Lämpchen mehr als defet sind. (Rechnen Sie im Folgenden wie bei Ziehen mit Zurüclegen.) a) Mit welcher Wahrscheinlicheit wird bei diesem Test ein Karton nicht ausgesondert, obwohl er Lämpchen erhöhter Ausschussquote enthält? b) Mit welcher Wahrscheinlicheit wird bei diesem Test ein Karton irrtümlich ausgesondert? c) Aus Sicht der Firma wird ein Karton mit zu großer Wahrscheinlicheit irrtümlich ausgesondert. Für einen verbesserten Test sollen den Kartons jeweils 0 Lämpchen entnommen werden. Die Wahrscheinlicheit, einen Karton irrtümlich auszusondern, soll höchstens % betragen. Ermitteln Sie die Entscheidungsregel.

8 - 8 - GM. ANALYTISCHE GEOMETRIE V. 0 Gegeben sind in einem artesischen Koordinatensystem die Punte A( 10 10), B(0 0 0), C( 1 10), D( 8 19 ). 1. a) Zeigen Sie, dass sich die Geraden AC und BD im Punt M( 9,,) unter einem rechten Winel schneiden. b) Die Punte A, B, C und D bilden das Vierec ABCD. In welchem Verhältnis teilt der Punt M die Diagonalen [ AC ] und [ BD ] dieses Vierecs? [Teilergebnis: BM : MD = 1: 1] c) Welche Symmetrieeigenschaft lässt sich für das Vierec ABCD aus den bisherigen Ergebnissen folgern? d) Weisen Sie nach, dass es einen Kreis mit Mittelpunt M gibt, auf dem die Punte A, B und D liegen. Wie groß ist demzufolge der Winel )< BAD? (Begründung!) e) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Vierecs ABCD. [zur Kontrolle: A 00] Vierec ABCD = Durch das Vierec ABCD ist eine Ebene E bestimmt.. a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform an. [mögliches Ergebnis: E: 11x1 + x 10x = 0 ] b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden g an, die die Ebene E im Punt A senrecht schneidet. Zeigen Sie, dass der Punt S( 1 0) auf der Geraden g liegt. c) Berechnen Sie den Rauminhalt der Pyramide ABCDS. d) Bei der Anfertigung eines Netzes der Pyramide ABCDS wird die Seitenfläche ADS in die Ebene E nach außen gelappt. Dabei fällt S auf den Punt S. Bestimmen Sie die Koordinaten von S.

9 - 9-0 VI. In einem artesischen Koordinatensystem sind die Punte A( ), B( 1 ) und D( 0) gegeben. Die Punte A, B und D legen eine Ebene E fest. 1. a) Bestimmen Sie eine Gleichung von E in Normalenform. [mögliches Ergebnis: : x + x + x 0] E 1 = b) Zeigen Sie, dass das Dreiec ABD gleichschenlig, aber nicht gleichseitig ist. c) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punts C so, dass das Vierec ABCD eine Raute bildet, und berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunts M. [Teilergebnis: M ( ) ] d) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Raute und damit den Abstand zweier gegenüberliegender Seiten der Raute. Geben Sie den Radius r ihres Inreises an.. Gegeben ist weiter der Punt S (10 1 ). a) Berechnen Sie den Fußpunt F des Lots von S auf die Ebene E. [Ergebnis: F=M] b) Die Raute ABCD bildet zusammen mit dem Punt S die Pyramide ABCDS. Bestimmen Sie den Winel < ) BAS auf 0,1 genau. Zeichnen Sie das Dreiec ABS. c) Geben Sie eine Gleichung der Ebene H an, die den Punt S enthält und auf der Geraden AB senrecht steht. [mögliches Ergebnis: : x x + 8x 0 ] H 1 = d) Berechnen Sie den Abstand d des Punts A von der Ebene H. Kennzeichnen Sie in Ihrer Zeichnung aus Teilaufgabe b die Strece, deren Länge Sie soeben mit dem Abstand d berechnet haben. e) Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Seitenfläche der Pyramide ABCDS.