4. Mathematikschulaufgabe

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1 Zeit: 90 Minuten 1.0 Gegeben ist die Parabel p mit der Gleichung y = - x - x + 3 G= x 1.1 Zeichne den Graphen von p in ein Koordinatensystem und ergänze die Zeichnung fortlaufend. Für die Zeichnung: - 5 x 4; - 8 y 7 1. Durch spiegeln der Parabel p an der x-achse erhält man die Parabel p 1. Berechne deren Gleichung und bringe sie auf die Scheitelform. 1.3 Berechne die Fixpunte dieser Abbildung. 1.4 Verschiebe die Parabel p 1 mit dem Vetor v = 0 3. Gib die Gleichung der Bildparabel p an. 1.5 Zeige rechnerisch, daß es eine Abbildung gibt, die p diret auf p abbildet. Gib diese Abbildungsgleichung an..0 Die Punte A(-a+3 / a-3); B(4a+1 / a-1); C(a / 8a-3) und D(-4a+ / 7a-5) mit a spannen Parallelogramme ABCD auf..1 Zeichne die Vierece ABCD für a { -1; 0; } in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 4 x 5; - 6 y 7 1cm = LE. Zeige rechnerisch, daß die Vierece ABCD Parallelogramme sind, und berechne den Diagonalenschnittpunt Z in Abhängigeit von a..3 Berechne die Fläche der Parallelogramme in Abhängigeit von a. Gib die Belegung von a an, für die die Fläche 110 FE groß ist..4 Berechne den Winel, den die Diagonalen der Parallelogramme für a = - 1,5 einschließen..5 Bei welchen Belegungen von a ist das Vierec ABCD ein Rechtec, bei welchen eine Raute? 3.0 Gegeben ist die Parabel p 1 mit der Gleichung y = - 0,5x + 3x -1 mit G= x. p 1 ist aus der Parabel p mit dem Scheitel S(x / - 7) durch eine orthogonale Affinität mit der x - Achse als Affinitätsachse hervorgegangen. y= 0; 3.1 Berechne die Matrix für die Abbildung p p Parabel p. 1 und die Gleichung der 3. Die Parabel p 1 wird an der y - Achse gespiegelt. Berechne die Gleichung der Bildparabel p. 3.3 Die beiden Abbildungen önnen durch eine zentrische Strecung p p ersetzt werden. Berechne und die Koordinaten des Zentrums Z. 3.4 Zeichne die Graphen der Parabeln p, p 1 und p in ein Koordinatensystem und bestätige die Abbildung in 3.3 geometrisch. Für die Zeichnung: - 7 x 7; - 8 y 5 Z; RM_A0014 **** Lösungen 6 Seiten

2 1.0 Die Pfeile ABn = mit + und AD = 15, legen die Ecpunte der 3 Parallelogramme AB n C n D mit A(0/0) fest. 1.1 Zeichne die Parallelogramme AB 1 C 1 D für = 1 und AB C D für = in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 8 x 8; - 1 y 8 1. Stelle die Koordinaten der Ecpunte C n in Abhängigeit von dar und bestimme den Trägergraph g der Ecpunte C n. 1.3 Zeige algebraisch, daß für = ein Rechtec entstanden ist. 1.4 Berechne den Winel C 1 B 1 A = β im Parallelogramm für = Der Trägergraph g der Ecpunte C mit y = x , wird mit der x-achse als Scherungsachse und dem Scherungswinel ϕ = 45 auf g abgebildet. Ermittle die Gleichung von g algebraisch und überprüfe onstrutiv. 1.6 Berechne die Koordinaten des Bildpuntes D, auf den D durch die Scherung abgebildet wird und zeichne D ein. Unter der Schar der Bildparallelogramme AB nc nd mit C n g gibt es Rauten. Berechne die Koordinaten der Ecpunte C n dieser Rauten..0 Eine Gerade g 1 mit der Gleichung y = 1 x wird durch Drehung um den Punt 3 O ( 0/0) auf die Gerade g mit y = x abgebildet..1 Zeichne beide Geraden in ein Koordinatensystem und ermittle rechnerisch den Drehwinel. Für die Zeichnung: - 1 x 11; - 1 y 8. Die Punte A(1,5 /?) g 1, B(? / 3) g 1 und C n g bestimmen Dreiece ABC n. Zeichne das Dreiec ABC 0 mit BAC 0 = 60 in das Koordinatensystem ein. Berechne die Koordinaten von C 0..3 Unter den Dreiecen ABC n gibt es zwei rechtwinlige Dreiece ABC 1 und ABC (rechter Winel bei C 1 bzw. C ). Zeichne beide Dreiece in das Koordinatensystem und berechne die Koordinaten der Punte C 1 und C. 3.0 Gegeben ist eine Schar gleichschenliger Dreiece mit den Schenellängen AC = BC = 5 cm. Das Maß α des Basiswinels ist variabel. 3.1 Zeichne die Dreiece A 1 B 1 C für α 1 = 40 ( B 1 A 1 C) und A B C für α = 65 (gemeinsame Symmetrieachse). 3. Bestimme den Flächeninhalt A der Dreiece ABC in Abhängigeit von α. 3.3 Für welche Belegung von α wird der Flächeninhalt am größten? (Begründung!) 3.4 Für welche Werte von α wird der Flächeninhalt leiner oder gleich,5 cm? 3.5 Die Dreiece rotieren um ihre Symmetrieachse. Ermittle die Oberfläche der entstehenden Kegel in Abhängigeit von α. ( Ergebnis: O(α) = 5 π cosα (cosα + 1)cm ) 3.6 Für welchen Winel wird die Oberfläche 5 π cm groß? (Runde auf zwei Stellen nach dem Komma). RM_A0015 **** Lösungen 5 Seiten

3 3 4 x 5 5 x 1.0 Durch die Abbildungsvorschrift = wird das Dreiec ABC 4 3 y 5 5 y mit A (-/-4), B (5/0) und C(-1/3) auf das Dreiec A, B, C abgebildet. 1.1 Berechne die Koordinaten der Bildpunte A, B und C. 1. Fertige eine Zeichnung an. Platzbedarf: - 4 x 6; - 5 y Bestimme rechnerisch alle Fixpunte der Abbildung und zeichne diese ein. 1.4 Zeige rechnerisch, daß alle Geraden der Geradenschar g(t) mit y = x + t auf sich selbst abgebildet werden.. Einem geraden Kreisegel mit dem Grundreisradius r 0 = 3 cm und der Höhe h 0 = 9 cm werden auf der Spitze stehende gerade Kreisegel einbeschrieben. Die Spitzen aller einbeschriebenen Kegel fallen mit dem Höhenfußpunt des ursprünglichen Kegels zusammen. Der Öffnungswinel eines einbeschriebenen Kegels hat das Maß β, der Grundreisradius mißt x cm und die Höhe h cm. Stelle h, x und das Volumen der einbeschriebenen Kegel in Abhängigeit von β dar. β 3.0 Durch die Vetoren OPn = 1 und OR n = 1 mit \ {0} 4 sind Parallelogramme OP n Q n R n mit O ( 0 / 0 ) festgelegt. 3.1 Zeichne die Parallelogramme für { -3; -1; ; 4 } in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: -7 x 9; -5 y 9 3. Berechne den Trägergraph für die Punte Q n. 3.3 Für welche Werte von entstehen Rechtece? 3.4 Begründe rechnerisch: Unter den Parallelogrammen gibt es eine Raute! 3.5 Berechne das Maß µ des Winels P 4 OR 4 für = Die Punte P werden durch orthogonale Affinität mit der Affinitätsachse y = 0 so auf Punte P abgebildet, daß die Punte P auf der Normalparabel y = x liegen. Berechne den Affinitätsfator a. x x 4. Gegeben ist die Funtion f mit y = cos x und die Abbildung = y y 1 Berechne die Gleichung der Bildfuntion f und zeichne diese. Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden! π RM_A0016 **** Lösungen 7 Seiten

4 1 x Gegeben ist die Funtion f mit y = 3 +. G= x 1.1 Gib die Definitions- und Wertemenge an. 1. Erstelle eine Wertetabelle für x [ - 4; 3 ] mit x = Zeichne die Funtion f in ein Koordinatensystem. - 5 < x < 5; - 6 < y < Der Graph der Funtion f wird durch orthogonale Affinität mit der x-achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsfator a = - 0,5 abgebildet. Berechne die Gleichung von f und zeichne f ins KOS ein. ( Ergebnis: 1 x 1 y = 3 1 ) Die Punte A n auf dem Graphen zu f und die Punte B n auf dem Graphen zu f haben die gleiche Abszisse x. Berechne AnBn ( x ) und bestimme anschließend den Wert x 0 so, daß A0B0 = 4 LE gilt. 1.6 Ermittle rechnerisch die nach y aufgelöste Gleichung der Umehrfuntion f -1 und zeichne diese ins Koordinatensystem ein. 1.7 Die Funtion f wird durch Puntspiegelung an Z (1/) auf die Funtion f * abgebildet. Berechne die nach y aufgelöste Gleichung von f *..0 Die Pfeile OA 4 sin α = und OC = 1 mit α ] 0 ; 90 ] 1 sin α spannen Parallelogramme OABC mit O (0/0) auf..1 Berechne die Koordinaten der Pfeile OA für α { 15 ; 65 }. Zeichne die zugehörigen Parallelogramme in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 3 < x < 4; - 1 < y < 6. Stelle die Koordinaten der Ecpunte B in Abhängigeit von α dar. 1 ( Ergebnis: B( 4sin α + 1) ) sin α.3 Unter den Parallelogrammen OABC gibt es ein Rechtec. Ermittle die zugehörige Belegung von α. Trage das Rechtec in die Zeichnung ein..4 Die Ecpunte A liegen auf dem Graphen der Funtion y = 4. Ermittle durch x Rechnung die Gleichung des Graphen f, auf dem die Ecpunte B liegen. ( Ergebnis: f ` mit y 4 = + 1 ) x+.5 Weise durch Rechnung nach, daß der Graph f durch Parallelverschiebung mit dem Vetor v = aus dem Graphen f entsteht. 1.6 Zeige, daß sich der Flächeninhalt A der Parallelogramme OABC wie folgt in Abhängigeit von α darstellen läßt: A(α) = ( 4 sinα + sinα ) FE. Berechne dann diejenigen Belegungen von α, zu denen Parallelogramme OABC mit dem Flächeninhalt 6 FE gehören..7 Stelle die Länge OA der Parallelogrammseite [OA] in Abhängigeit von α dar und bestimme OA für α = 45. Berechne dann das Maß des Winels AOC für α = 45. RM_A0017 **** Lösungen 6 Seiten

5 1.0 Eine Abbildung hat die folgende Abbildungsvorschrift: x = - 0,6 x + 0,8 y y = 0,8 x + 0,6 y 1.1 Ermittle rechnerisch alle Fixpunte der Abbildung. 1. Stelle die Abbildungsvorschrift in der Matrixform dar, und gib an, um welche Abbildung es sich handelt. 1.3 Berechne die Koordinaten des Urpuntes A zum Bildpunt A (-5/3). 1.4 Überprüfe anhand des Winels QPR mit Q (/4), P (/-1) und R(-1/3), ob die Abbildung wineltreu ist.. Im Dreiec ABC mit A (-/1) und B (4/-) hat der Winel BAC das Maß α = 70, die Seite [AC] hat die Länge 4,5 LE. Berechne die Koordinaten des Puntes C (auf zwei Stellen nach dem Komma runden). 3.0 Rauten ABCD haben die Ecpunte A (x/ 0 ) und C(x/ x+). Für die Diagonalen gilt AC = BD. 3.1 Zeichne die geometrische Ortslinie der Ecpunte C, sowie die Rauten, die sich für x 1 = 3 und für x = 1 ergeben. Platzbedarf: - x 9; - 1 y 8 3. Bestimme algebraisch die Gleichung der geometrischen Ortslinie der Punte B. ( Ergebnis: y = 0,4 x + 0,8 ) 3.3 Es gibt eine Raute, deren Ecpunt B auf der Geraden mit der Gleichung y = - 3x + 4 liegt. Zeichne die Raute ein und berechne die Koordinaten ihrer Ecpunte (auf zwei Stellen nach dem Komma runden). 4.0 Von einem Drachenvierec ABCD sind die Ecpunte B (4/-1,5) und D(-/6,5) gegeben. BD ist Symmetrieachse. Das Drachenvierec ist bei A und C rechtwinlig. Die Diagonale AC verläuft durch O (0/0). 4.1 Zeichne das Drachenvierec ABCD in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 5 x 7; - 3 y 8 4. Berechne die Koordinaten der Ecpunte A und C. ( Ergebnis: A ( - / - 1, 5 ) ; C ( 5, 6 8 / 4, 6 ) ) 4.3 Berechne die fehlenden Innenwinel des Drachenvierecs ABCD. RM_A0018 **** Lösungen 9 Seiten

6 1.0 Von einem Parallelogramm ABCD sind gegeben: die Ecpunte A (1/) und B (5/0), der Winel BAD mit dem Maß α = 55, sowie die Seitenlänge [BC] = 8 cm. 1.1 Zeichne das Parallelogramm ABCD in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 1 x 13; - 1 y 7 Längeneinheit 1 cm 1. Berechne die Koordinaten der Punte C und D..0 Die Punte A (0/0) und C (6/4) sind Ecpunte von Drachenvierecen AB n CD n mit AC als Symmetrieachse. Der Punt B liegt auf der Geraden g mit y = 0,5x Zeichne ins Koordinatensystem die Gerade g sowie die drei Drachenvierece AB 1 CD 1 mit B 1 (/?), AB CD mit B (3/?) und AB 3 CD 3 mit B 3 ( 4 /? ) jeweils auf der Geraden g. Für die Zeichnung: - x 9; - y 8 Längeneinheit 1 cm. Begründe, daß alle Punte D n auf einer Geraden liegen. Ermittle sodann rechnerisch die Gleichung dieser Geraden. ( Ergebnis: y = 1,34x + 1,6 ).3 Berechne die Koordinaten der Ecpunte B 0 und D 0 des Drachenvierecs AB 0 CD 0, das beim Punt D 0 einen rechten Winel besitzt..4 Der Ecpunt D* des Drachenvierecs AB*CD* soll auf der Parabel p mit der Gleichung y = x - x +1 liegen. Ermittle die Lage der möglichen Ecpunte D* und B* zeichnerisch und durch Berechnung ihrer Koordinaten. 3.0 Die Spitzen C von gleichschenligen Dreiecen ABC mit 6 cm langen Scheneln liegen auf der y-achse, die Basis [AB] auf der x-achse. Der Basiswinel BAC hat das Maß α. 3.1 Zeichne die Dreiece A 1 B 1 C 1 für α 1 = 0 und A B C für α = 70, und zeichne jeweils das Lot vom Koordinatenursprung auf die Seite [AC] ein. 3. Berechne den Abstand d(α) des Koordinatenursprungs von der Seite [AC] in Abhängigeit von α. ( Ergebnis: d(α) = 6 sinα cosα cm ) 3.3 Für welches Winelmaß α* erhält man die Lotstrece mit maximaler Länge d*? Berechne d*. 3.4 Die Dreiece ABC rotieren um ihre Symmetrieachse OC mit O (0/0). Berechne den Flächeninhalt A(α) der von der jeweiligen Lotstrece überstrichenen Fläche in Abhängigeit von α (Kegelmantelfläche). ( Ergebnis: A(α) = 36 π sin 3 α cos α cm ) 3.5 Untersuche mit Hilfe des Taschenrechners, ob sich für den größten Abstand d* aus 3.3 auch für den Flächeninhalt A(α) in 3.4 ein Extremwert ergibt. Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden! RM_A0019 **** Lösungen 6 Seiten

7 1.0 Auf der Diagonalen [AC] des Parallelogramms ABCD mit A (0/-), B (5/0,5), C(6/10) und D(1/7,5) liegen die Punte P und Q. Es gilt stets AP = CQ, so daß sich Parallelogramme PBQD ergeben. 1.1 Gib die Koordinaten der Punte P und Q in Abhängigeit vom Abszissenwert x des Puntes P(x/y) auf [AC] an. ( Ergebnis: P ( x / x - ) ; Q ( 6 - x / x ) ) 1. Das Parallelogramm P 1 BQ 1 D erhält man, wenn von B und D aus jeweils das Lot auf die Diagonale [AC] gefällt wird. Berechne die Koordinaten der Punte P 1 und Q Bestimme die Koordinaten der Ecpunte P und Q des Rechtecs P BQ D..0 Der Koordinatenursprung O ( 0 / 0 ) ist die Spitze eines gleichschenligen Dreiecs OPQ mit [PQ] als Basis. Es hat an der Spitze O den Winel POQ mit 45. Außerdem sollen der Punt P auf der Geraden g mit der Gleichung y = 0,5x - 1 und der Punt Q auf der Geraden h mit der Gleichung y = x + liegen..1 Zeichne die Geraden g und h in ein Koordinatensystem. Trage dann die gleichschenligen Dreiece OP 1 Q 1 mit P 1 (/-0,5), OP Q mit P (4/0) und OP 3 Q 3 mit P 3 (6/0,5) ein, für die jeweils P n OQ n = 45 gilt. Für die Zeichnung: - 1 x 11; - y 9 Längeneinheit 1 cm. Die Ecpunte Q 1, Q und Q 3 der Dreiece aus.1 liegen auf einer Geraden g. Zeichne g in das Koordinatensystem ein und ermittle die Gleichung zu g durch Rechnung. ( Ergebnis: y = 5 x 4 ) Berechne nun die Koordinaten der Ecpunte P und Q des in.0 beschriebenen Dreiecs OPQ, und zeichne es in das Koordinatensystem ein. 3.0 Gegeben ist das Dreiec ABC mit A (-4/0), B (13/0) und C(13/8,5). Die Ecpunte P n gleichschenlig-rechtwinliger Dreiece P n Q n R n liegen auf der Dreiecsseite [AC]. Die Basisstrecen [P n R n ] verlaufen parallel zu AB. Die Spitzen Q n liegen auf der Dreiecsseite [AB]. 3.1 Zeichne das Dreiec ABC sowie das Dreiec P 1 Q 1 R 1 mit P 1 (1/y 1 ) in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: DIN A4-Blatt in Querformat - 6 x 14; - 1 y Ermittle durch Konstrution das gleichschenlig-rechtwinlige Dreiec P*Q*R*, das dem Dreiec ABC einbeschrieben ist. 3.3 Bestimme durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen für die Punte R n, und berechne sodann die Koordinaten der Punte P*, Q* und R*. 3.4 Spiegelt man jedes gleichschenlig-rechtwinlige Dreiec P n Q n R n an der zugehörigen Basis [P n R n ], so erhält man Quadrate P n Q n R n S n. Ergänze im Koordinatensystem die beiden gezeichneten Dreiece jeweils zum Quadrat und ermittle durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen der Punte S n. RM_A000 **** Lösungen 6 Seiten

8 1.0 Die Punte C(6/6) und B n ( -3 +/-) sind Ecpunte von Rauten A n B n CD n, deren Diagonalen [A n C] auf dem Graphen zu y = x liegen. 1.1 Zeichne für { 0; 1; ; 3; 4; 5; 6 } die Punte B n und für { 4; 5 } die zugehörigen Rauten in ein Koordinatensystem. Für die Zeichnung: - 1 x 11; - 3 y 8 Längeneinheit 1 cm 1. Gib die Koordinaten der Ecpunte D n in Abhängigeit von an. 1.3 Für welchen Wert von * enthält die Rautenschar A n B n CD n ein Quadrat A*B*CD*? Berechne hierfür *. 1.4 Ermittle durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen aller Punte B n sowie aller Punte D n. Gib in beiden Fällen die Gleichung in der Form y = T(x) an. x 0 x 9.0 Gegeben ist folgende Abbildungsgleichung: = y 0 y 3.1 Berechne die Koordinaten des Fixpuntes F dieser Abbildung. Um welche Art der Abbildung handelt es sich?. Die Gerade g mit y = - x + 3 wird durch die Abbildung aus.0 auf die Gerade g abgebildet. Bestimme durch Rechnung die Gleichung der Geraden g..3 Zeige rechnerisch, daß die Gerade h mit y = 0,5x -,5 durch die Abbildung aus.0 auf sich selbst abgebildet wird. 3.0 Die Punte A ( 0 / 1 ), B ( 6 / 3 ) und C ( 3 / 5 ) sind die Ecpunte des Dreiecs ABC. 3.1 Zeichne das Dreiec ABC in ein Koordinatensystem und berechne den Flächeninhalt des Dreiecs. Für die Zeichnung: - 1 x 8; - 1 y 8 3. Der Punt C bewegt sich so, daß der Flächeninhalt der Dreiece ABC n onstant bleibt. Zeichne die Dreiece ABC 1 mit C 1 (7/y 1 ) und ABC mit C (0/y ) ins KOS ein. Ermittle durch Rechnung die Gleichung des Trägergraphen für die Punte C n. 3.3 Die Dreiecsschar ABC n enthält zwei rechtwinlige Dreiece mit AC n B = 90. Bestimme diese beiden rechtwinligen Dreiece durch Konstrution. Berechne weiterhin die Koordinaten der zugehörigen Punte C* und C**. 4.0 Das Rechtec ABCD mit den Seitenlängen [AB] = a cm und [BC] = a cm ist Grundfläche einer Pyramide ABCDS mit der Höhe h= a 3 cm. Die Spitze S liegt senrecht über dem Mittelpunt M der Strece [AD]. Eine Ebene APQD mit P [BS] und Q [CS] schneidet aus der Pyramide gleichschenlige Trapeze APQD aus. Der Punt R ist der Mittelpunt der Strece [PQ]. Der Winel RMS hat das Maß ϕ. 4.1 Zeichne das Schrägbild der Pyramide ABCDS und ein Trapez APQD. Trage den Winel ϕ ein. Für die Zeichnung: a = 6 cm; ω = 45 ; q = 0,5; Rißachse ist CD. 4. Berechne die Trapezhöhe MR = x cm in Abhängigeit von a und ϕ. 4.3 Berechne die Strecenlänge PQ in Abhängigeit von a und ϕ. 4.4 Für welchen Wert von ϕ wird PQ = 1, a cm lang? RM_A001 **** Lösungen 6 Seiten

9 1.0 Die Punte A ( - 3 / - 1 ), B (/-5) und C(9/3) legen Drachen AB CD mit der Symmetrieachse AC fest. 1.1 Zeichne die Drachen für { -1; 3; 7 } Platzbedarf: - 5 x 10; - 6 y 9 1. Bestimme die Gleichung der Ortslinie der Punte D und gib die Koordinaten aller Punte D an. 1.3 Für welchen Wert von entartet der Drachen zu einem Dreiec? 1.4 Konstruiere die bei B rechtwinligen Drachen. 1.5 Bestimme durch Rechnung die Koordinaten der Ecpunte D aller rechtwinligen Drachen. 1.6 Berechne von dem Drachen der für = 1 entsteht, das Maß des Winels α ( = BAD ) 1.7 Bestimme so, daß der Drachen eine Raute ist. 1.8 Stelle die Flächeninhalte der Drachen als Funtion von dar..0 Das Dreiec ABC ist festgelegt durch [AB] = c = 8,4 cm; α = 60 ; β = 75. Parallelen zu AB schneiden [BC] in P und [AC] in Q. Winel PAQ = ϕ..1 Zeichne das Dreiec ABC mit ϕ = 30.. Berechne die Maße folgender Dreiecsgrößen: a, b, h c, r i (Inreisradius) und r u (Umreisradius)..3 Gib die Maße der Innenwinel des Trapezes ABPQ an..4 Stelle die Strecen [AP] und [PQ] als Funtion von ϕ dar. sin ( Zwischenergebnis: PQ 13,5 ϕ = cm ) sinϕ+ cosϕ.5 Für welchen Wert von ϕ gilt : PQ = 53, cm? 3.0 Gegeben ist ein Tetraeder mit der Grundfläche ABC und der Spitze S. 3.1 Zeichne ein Schrägbild des Tetraeder mit der Kantenlänge 9 cm, q = 0,5 und ω = Der Winel zwischen Grundfläche und Seitenfläche sei δ. Der Winel zwischen Grundfläche und Seitenante sei ϕ. Berechne die Maße von δ und ϕ. 3.3 Die Dreiece ABP n mit P n [CS] schließen mit der Grundfläche ABC Neigungswinel mit den Maßen ε n ein. Die Kantenlänge a des Tetraeders beträgt 9 cm. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecs ABP 1 für ε 1 = 50. Für welchen Wert von ε wird der Flächeninhalt des Dreiecs ABP minimal? Berechne ε 3, wenn [P 3 C] = 5 cm ist. RM_A00 **** Lösungen 9 Seiten

10 1.0 Gegeben ist die Funtion f mit y = log 05, ( x 1 ) = G x 1.1 Zeige, daß f in die Form y = log ( x 1 ) + c gebracht werden ann. 1. Berechne die Nullstelle der Funtion. 1.3 Ermittle rechnerisch den Schnittpunt des Graphen von f mit der Geraden y = Tabellarisiere f für x { 1,5; 1,5; ; 3; 6; 9 } und zeichne den Graphen in ein Koordinatensystem. Platzbedarf: - 1 x 10; - 9 y Gib die Definitionsmenge, Wertemenge und die Gleichung der Asymptoten an. 1.6 Zeige, daß die Umehrfuntion f -1 x in die Form y = gebracht werden ann. 1.7 Berechne die Nullstellen von f -1 und f. 1.8 Ermittle rechnerisch den Schnittpunt von f -1 mit der Geraden y = 8..0 Die Pfeile OA = und OB = legen Parallelogramme OA B C fest..1 Wie lautet die Gleichung des Trägergraphen der Punte C?. Zeichne die Parallelogramme für { 1; ; 4 } und berechne den Winel ϕ zwischen OA und OC für = 4..3 Für welche Werte von entstehen Rechtece, Rauten und Quadrate?.4 Stelle die Flächeninhalte der Parallelogramme als Funtion von dar..5 Für welche Werte von ist der Flächeninhalt > 6 FE?.6 Für welche Werte von sind die Pfeile OA und OC parallel? 3. [AB] mit A (-/-3) und B (6/3) ist eine Seite des Rechtecs ABCD. [BC] = 5 LE. Berechne die Koordinaten von C und D. 4.0 Bestimme die Lösungsmenge folgender goniometrischer Gleichungen: 4.1 cos ( α ) + sin ( α ) = - 0,5 G = [ 0 ; 360 [ 4. sin α + cos ( 90 - α ) = 1 G = [ 0 ; 360 [ 5.0 Vereinfache folgende Terme möglichst weit: 5.1 T ( ϕ ) = ( 1 sin(90 ϕ) tanϕ ) ( cos(90 ϕ ) + 1) 1 cos(90 α) 5. T( α ) = :tanα 1 sin α Für welche Belegung von α hat der Term T (α) den Wert? RM_A003 **** Lösungen 10 Seiten

11 1.0 Gegeben ist die Funtion f mit y = log (x+) Gib die Definitions- und Wertemenge von f an. 1. Erstelle eine Wertetabelle für x [ -1; 6 ] mit x = Zeichne den Graphen der Funtion f in ein Koordinatensystem ein. Platzbedarf: - 3 x 7-6 y Der Graph der Funtion f wird durch orthogonale Affinität mit der x-achse als Affinitätsachse und dem Affinitätsfator = - abgebildet. Berechne die Gleichung von f und zeichne f in das Koordinatensystem ein. ( Ergebnis: f : y = - log (x+) + 6 ) 1.5 Für x < 6 sind Rauten ABCD festgelegt mit A n f und C n f. Die Punte A n und C n haben die gleiche Abszisse x. Für die Punte B n und D n gilt: [ B n D n ] = cm. Zeichne die Rauten ABCD für x 1 = 0 und x = in das Koordinatensystem ein. 1.6 Berechne den Flächeninhalt der Rauten in Abhängigeit von x. ( Ergebnis: A(x) = 9-3 log (x+) ) 1.7 Berechne den Wert für x so, daß sich ein Quadrat ergibt. 1.8 Berechne die Gleichung des Trägergraphen f der Punte B n..0 Gegeben sind folgende Abbildungen: v= 5 Z( / 1); = 5, 3 P P P.1 Gib die Abbildungsgleichungen der beiden Abbildungen in Matrixschreibweise an.. Berechne die Gleichung der Ersatzabbildung, die den Punt P diret auf P abbildet. (Ergebnis: x,5 0 x = ) y 0,5 y 0,5.3 Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Fixpuntes dieser Abbildung..4 Weise durch Rechnung nach, daß die Gerade g mit y = - 0,6x + 0, Fixgerade bezüglich der Ersatzabbildung ist. 3.0 Der Punt A (-4/-) ist gemeinsamer Ecpunt von Drachenvierecen AB n C n D n. Die Ecpunte D n (x/ x+5) mit x > - 5 liegen auf der Geraden g mit der Gleichung y = x + 5. Die Ecpunte C n liegen auf der Ursprungsgeraden h durch den Punt A. Die Gerade h ist Symmetrieachse der Drachenvierece AB n C n D n. Die Mittelpunte M n der Diagonalen [ B n D n ] liegen stets im Inneren der Drachenvierece. Dabei gilt: [ M n C n ] = 0,5 [ M n D n ]. 3.1 Zeichne die Gerade g, das Drachenvierec AB 1 C 1 D 1 für x 1 = - 3,5 und das Drachenvierec AB C D für x = 0 in ein Koordinatensystem ein. Platzbedarf: - 5 x 6-5 y 6 3. Ermittle rechnerisch die Gleichung des Trägergraphen der Punte B n. 3.3 Berechne die Koordinaten der Punte C n in Abhängigeit von der Abszisse x der Punte D n. 3.4 Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Puntes C 3 des bei D 3 rechtwinligen Drachenvierecs AB 3 C 3 D 3. Alle Ergebnisse auf zwei Stellen nach dem Komma runden! RM_A004 **** Lösungen 6 Seiten

12 1.1 Es gibt Dreiece ABC mit a = 5cm und b = 7cm. Gib die Seite c in Abhängigeit von α an. Verwende hierzu den Kosinussatz. (Ergebnis: c = (7cosα± 49cos α 4) cm ) 1; 1. Berechne c für α = 30 unter Einbeziehung des Ergebnisses aus Berechne mit Hilfe der Disriminante (quadratische Gleichung) das größte mögliche Winelmaß α max..0 Löse folgende trigonometrische Gleichungen:.1 5sinε cosε - 3sinε = 0,5 ε [0 ; 160 ]. cosα 7 = cosα 3 α [0 ; 360 ] 3.1 Zeichne die Punte P 1 und P auf der Geraden h: 3x + 4y - 1 = 0 mit folgender Bedingung: P 1 und P haben jeweils von der Geraden g 1 : y + = 0 und g : 3x - y - 11 = 0 den gleichen Abstand. Platzbedarf: - 5 x 10; - 1 y 7 3. Berechne die Koordinaten der Punte P 1 und P. 3.3 Berechne die Abstände d 1 und d der Punte P 1 und P von den Geraden g 1 und g (in 3.1 einzeichnen). 4.1 Ein Punt P(x/y) wird durch Drehung um O(0/0) mit dem Drehwinel α = 00 auf den Punt P (0/4,) abgebildet. Stelle die Abbildungsgleichung in Matrixform auf und berechne die Koordinaten von P. 4. Der Punt P(-3/,7) wird auf den Punt P (3,7/1,6) gedreht. Drehpunt ist O(0/0). Berechne den Drehwinel α. RM_A0173 **** Lösungen 6 Seiten