Lineare Algebra und Analytische Geometrie II

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1 Rudolf Fritsch Sommersemester 2000 Lineare Algebra und Analytische Geometrie II 2 Mai Determinanten Takakazu Seki Kowa * Fujioka, Kozuke (Japan) März 1642, Edo (heute: Tokio) , führt in einer Schrift von 1683 determinantenähnliche Ausdrücke ein (in derselben Schrift behandelt er auch magische Quadrate) Gottfried Wilhelm Leibniz, * Leipzig 216/171646, Hannover , erwähnt determinantenähnliche Ausdrücke in einem Brief an den Marquis de l Hospital vom Gabriel Cramer, * Genf , Bagnols-sur-Cèze (dort zur Erholung von den Folgen eines Verkehrsunfalls): Introduction à l analyse de lignes courbes algebriques 1750 Carl Friedrich Gauß: Disquisitiones arithmeticae 1801 Vorbereitung: Das Signum einer Permutation Wiederholung Eine Permutation ist eine Bijektion einer Menge auf sich, das heißt, eine bijektive Abbildung, deren Quelle und Ziel übereinstimmen Ist A eine feste Menge, so bezeichnet man die Permutationen π : A A als Permutationen von A; wir bezeichnen mit Aut(A) die Menge aller Permutationen auf A Eine spezielle Permutation von A ist die Identität von A id A : A A, a a ; die zu einer Permutation von A inverse Abbildung ist wieder eine Permutation von A, ebenso ist die Verkettung von zwei Permutationen von A wieder eine Permutation von A Damit bilden die Permutationen von A mit der Verkettung als Verknüpfung eine Gruppe (Aut(A), ) Ist n N und A {j j N 1 j n }, so sprechen wir von der symmetrischen Gruppe von n Elementen, Bezeichnung: S n Die Gruppe S n hat n! Elemente Schreibweise für Permutationen π S n : ( ) 1 2 n π π(1) π(2) π(n) Beispiel für die Berechnung einer Verkettung: ( ) ( ) ( Manchmal ist es sinnvoll, Permutationen in der anderen Reihenfolge zu multiplizieren; in diesem Fall schreibt die DIN-Norm 5473 (Zeichen und Begriffe der Mengenlehre) das Symbol als Verknüpfungszeichen vor: ( ) ( ) ( ) ) ( ) Definition Eine Permutation heißt Transposition, wenn sie zwei Elemente miteinander vertauscht und alle übrigen festläßt

2 1 DETERMINANTEN 2 Regel Eine Transposition ist zu sich selbst invers, das heißt, ist τ eine Transposition auf A, so gilt: τ 1 τ und damit τ 2 τ τ id A Lemma Jede nichtidentische Permutation in S n besitzt eine Zerlegung in ein Produkt von höchstens n 1 Transpositionen Beweis durch Induktion nach n Der Induktionsanfang bei n 1 ist trivial, da S 1 keine nichtidentische Permutation enthält Zum Induktionsschluß betrachten wir π S n+1 und definieren zunächst τ S n+1 durch τ(j) π 1 (n + 1), für j n + 1, n + 1, für j π 1 (n + 1), j, sonst τ ist entweder die Identität oder eine Transposition und bringt das richtige Element an den (n + 1)-sten Platz Nur definieren wir ρ π τ und bemerken ρ(n + 1) π τ(n + 1) n + 1 ; damit können wir ρ als Permutation von n Elementen auffassen Wir definieren ρ S n durch ρ (j) ρ(j) für alle j {1,, n} Nach Induktionsvoraussetzung ist ρ ein Produkt von höchstens n 1 Transpositionen, ρ τ m τ 1 mit m n 1, wobei jedes τ i S n und zwar eine Transposition ist Die τ i lassen sich nun umgekehrt als Elemente von S n+1 auffassen; wir setzen für i {1,, k} { τ τ i (j) i (j), für j {1,, n}, n + 1, für j n + 1 Dann ist offensichtlich also ρ τ m τ 1 π π τ τ ρ τ τ m τ 1 τ Diese Produktzerlegung ist nicht eindeutig bestimmt, aber es wird sich zeigen, daß die Anzahl der Faktoren entweder immer gerade oder immer ungerade ist Bezeichnung Für n N setzen wir J n {(i, k) (i, k) N 2 1 i < k n } Definitionen Es sei π S n 1 Ein Paar (i, k) J n heißt Fehlstand oder Verstellung von π, wenn π(i) > π(k) ist 2 Das Signum von π ist die Zahl sign π sign (π(k) π(i)) ( 1) f (i,k) J n { +1, falls die Anzahl der Fehlstände von π gerade ist, 1, falls die Anzahl der Fehlstände von π ungerade ist, wobei f die Anzahl der Fehlstände von π bezeichnet 3 π ist eine gerade Permutation, falls sign π 1 ist, sonst eine ungerade Permutation

3 1 DETERMINANTEN 3 Beispiel Die Transposition τ S n vertausche j 0 und j 1, j 0 < j 1 Die Fehlstände sind die Paare (j 0, k) J n mit j 0 < k j 1 und die Paare (i, j 1 ) J n mit j 0 i < j 1 ; dabei tritt das Paar (j 0, j 1 ) zweimal auf Damit ist die Anzahl der Fehlstände 2 (j 1 j 0 ) 1, also ungerade, das heißt, sign τ 1 Lemma Für alle π S n gilt: sign π i<k π(k) π(i) k i Beweis Das Produkt auf der rechten Seite der Gleichung läuft über die Menge J n als Indexmenge Wir setzen z (i,k) π(k) π(i), n (i,k) k i und b (i,k) z (i,k) /n (i,k) für alle (i, k) J Dann ist sign π b (i,k) i<k zu zeigen Für einen Index (i, k) hat der Bruch b (i,k) genau dann einen negativen Wert, wenn (i, k) ein Fehlstand von π ist Also ist das Produkt genau dann negativ, wenn die Anzahl der Fehlstände von π ungerade ist Damit hat das Produkt jedenfalls das behauptete Vorzeichen Es bleibt zu zeigen, daß der Absolutbetrag gleich 1 ist Dazu bemerken wir zunächst, daß die Abbildung f : J n J n, { (π (i, k) 1 (i), π 1 (k)), falls π 1 (i) < π 1 (k), (π 1 (k), π 1 (i)), falls π 1 (i) > π 1 (k) bijektiv ist, denn die Zuordnung { (π(i), π(k)), falls π(i) < π(k), (i, k) (π(k), π(i)), falls π(i) > π(k) liefert eine Umkehrabbildung Damit können wir in dem zur Diskussion stehenden Produkt die Zähler umsortieren und erhalten b (i,k) z f(i,k) n (i,k) i<k Für jeden auf der rechten Seite auftretenden Bruch gilt nun i<k z f(i,k) z f(i,k) n (i,k) k i π(π 1 (k)) π(π 1 (i)) k i 1 Satz Das Signum ist ein Homomorphismus S n ({1, 1}, ) Beweis Wir berechnen für π, ρ S n zunächst: sign π ρ i<k i<k i<k k i k i sign ρ Es bleibt also i<k sign π

4 1 DETERMINANTEN 4 zu zeigen Dazu berechnen wir weiter i<k i<k ρ(i)<ρ(k) i<k ρ(i)<ρ(k) ρ(i)<ρ(k) i<k ρ(i)>ρ(k) i>k ρ(i)<ρ(k) 5 Mai 2000 Folgerungen 1 sign (π 1 ) sign π 2 Ist π Produkt von k Transpositionen, so ist sign π ( 1) k Beweis 1 Wir berechnen 2 trivial sign (π 1 ) sign (π 1 ) sign (π 1 π) (sign (π 1 )) 2 sign π sign π Definition Kern(sign) A n heißt alternierende Gruppe von n Elementen, besteht aus den n!/2 geraden Permutationen Lemma Für jede Transposition τ S n gilt: S n A n A n τ A n τa n Beweis Aus dem vorigen Satz folgt, daß die Mengen A n τ {πτ πτ S n π A n } und τa n {τπ τπ S n π A n } nur ungerade Permutationen enthalten, während A n nur aus geraden Permutationen besteht Also sind die angegebenen Vereinigungen disjunkt Es bleibt zu zeigen, daß jedes π S n \ A n in A n τ und τa n liegt Für ein solches π gilt nun aber wieder nach dem vorigen Satz πτ, τπ A n, also π π (τ τ) (π τ) τ A n τ und π (τ τ) π τ (τ π) τa n

5 1 DETERMINANTEN 5 Existenz und Eindeutigkeit der Determinante Karl Weierstraß, * Ostenfelde (Westfalen) , Berlin Motivation Volumen für Parallelogramme, -epipede, -otope Begründung für das Vorzeichen Definition Eine Abbildung det : K n,n K heißt Determinante, falls gilt: 1 det ist linear in jeder Zeile ; 2 det ist alternierend, das heißt die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Zeilen verschwindet; 3 det ist normiert, das heißt, es gilt det E n 1 Eigenschaften Ist det eine Determinante, so gilt für und B K n,n : A (α ij ) 4 det(λ A) λ n det A für alle λ K Beweis also det(λa) det a 2 a i λa (λα ij ) λ λa 2 λ i det λ det λa i λ a 2 a i λ 5 a i 0 für ein i {1,, n} det A 0;, λ λa 2 λa i λ λa 2 λa i λ, ) λ 2 det ) λ n det a 2 a i a 2 λa i λ ) )

6 1 DETERMINANTEN 6 Beweis A a 2 0 a a Entsteht B K n,n aus A K n,n durch eine Zeilenvertauschung, so gilt: Beweis Es sei det B det A (i 0, k 0 ) J n {(i, k) (i, k) N 2 1 i < k n } B entstehe aus A durch Vertauschung der i 0 -ten und der k 0 -ten Zeile Dann gilt: det a i0 + a k0 a i0 a k0 0 det det + det a i0 + a k0 a i0 + a k0 a i0 + a k0 a i0 a i0 +det a i0 a k0 +det a k0 a i0 +det a k0 a k0 0+det A+det B+0 7 Entsteht B K n,n aus A K n,n durch die Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, so gilt: det B det A Beweis Es seien (i 0, k 0 ) {1,, n} mit i 0 k 0 und λ K B entstehe aus A durch Addition des λ-fachen der k 0 -ten Zeile zur i 0 -ten Zeile Dann gilt: a i0 + λa k0 det B det det a k0 a i0 a k0 + λ det a k0 a k0 det A beim Ausräumen einer Matrix mittels elementarer Zeilenumformungen (Transformieren auf Zeilenstufenform) ändert sich das Verschwinden oder Nichtverschwinden einer Determinante nicht Beweis Folgende Zeilenumformungen kommen vor:

7 1 DETERMINANTEN 7 (a) Vertauschung von zwei Zeilen; dies ändert das Vorzeichen, aber nicht das Verschwinden (b) Multiplikation einer Zeile mit einem von Null verschiedenen Skalar; die Determinante ändert wegen der Homogenität in dieser Zeile um denselben Skalar und wegen der Nullteilerfreiheit von K ändert dieser Prozeß das Verschwinden nicht (c) Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile; dies ändert die Determinante nicht 9 det(e π(i) ) sign π für alle π S n Beweis Jede Permutation ist eine Hintereinanderausführung von Transpositionen Jede einzelne Transposition bewirkt eine Zeilenvertauschung und damit einen Vorzeichenwechsel Die Anzahl der verwendeten Transpositionen ist gerade oder ungerade, je nachdem, ob die sign π positiv oder negativ ist 10 A (obere oder untere) Dreiecksmatrix det A n i1 α ii Beweis Fall 1: Es gebe i 0 mit α i0 i 0 0 Dann läßt sich A durch elementare Zeilenumformungen, die den Betrag der Determinante nicht ändern, in eine Matrix  (â i) mit â n 0 überführen Damit gilt: det A det  0, also det A 0 α i0 i 0 n α ii Fall 2: α ii 0 für alle i 1,, n Sei  ˆα ij gegeben durch ˆα ij α ij /α ii Dann gilt: n det A α ii det  i1 Die Matrix  läßt sich durch elementare Zeilenumformungen, die den Wert einer Determinante nicht ändern, in die Einheitsmatrix E n überführen, woraus sich det  1 ergibt i1 9 Mai det A 0 (,, ) linear abhängig Beweis : Sei det A 0 Durch elementare Zeilenumformungen, die den Rang der Matrix und das Verschwinden oder Nichtverschwinden einer Determinante nicht ändern, werde in eine Matrix  von Zeilenstufenform überführt Dabei handelt es sich zunächst um eine untere Dreiecksmatrix Aus det  0 folgt nun, daß mindestens ein Diagonalelement von  verschwindet Damit ist der n-te Zeilenvektor von  der Nullvektor, also rang A rang  < n, und das bedeutet, daß die Zeilenvektoren linear abhängig sind : Sei n i1 λ ia i 0, aber nicht λ i 0 für alle i 1,, n; ohne wesentliche Einschränkung sei λ 1 0 Dann gilt n i1 λ ia i a 2 0 det λ 1 det A, woraus unmittelbar det A 0 folgt

8 1 DETERMINANTEN 8 12 det A 0 A GL(n, K) 13 det(a B) det A det B Beweis Fall 1: rang A < n rang A B < n det(a B) 0 0 det B det A det B Fall 2: rang A n A ist Produkt von r Elementarmatrizen Λ l mit nichtverschwindender Determinante: A Λ r Λ 2 Λ 1, wobei jedes Λ l entweder die Form S i0 (λ) (Multiplikation der i 0 -ten Zeile) mit λ 0 oder die Form Q k 0 i 0 (λ) (Addition des λ-fachen der k 0 -ten Zeile zur i 0 -ten Zeile) hat: 1 Für i 0 {1,, m}, und λ K ist die Elementarmatrix S i0 (λ) (λ ij ) K m,m durch 1, i j i 0, λ ij λ, i j i 0, 0, sonst, definiert 2 Für i 0, k 0 {1,, m} mit i 0 k 0 ist die Elementarmatrix Q k 0 i 0 (λ) (λ ij ) K m,m durch 1, i j, λ ij λ, i i 0 und j k 0, 0, sonst, definiert Der weitere Beweis ergibt sich nun durch Induktion nach r r 1: a) A Λ 1 S i0 (λ) det(a B) λ det B det Λ 1 B det A det B b) A Λ 1 Q k 0 i 0 (λ) det(a B) det B det Λ 1 det B det A det B Schluß von r auf r + 1: A Λ r+1 Λ r Λ 2 Λ 1, Â Λ r Λ 2 Λ 1 det(a B) det(λ r+1  B) det Λ r+1 det(â B) det Λ r+1 det  det B det(λ r+1 Â) det B 14 Für A GL(n; K) gilt det(a 1 ) (deta) 1 Beweis Aus dem Multiplikationssatz folgt: det(a 1 ) det A det(a 1 A) det E n 1 15 det(a + B) det A + det B im allgemeinen Hauptsatz Zu jedem n N gibt es genau eine Determinante det A π S n sign π α 1π(1) α nπ(n) Beweis 1, 3 trivial 2 Sei A (a i ) mit a i0 a k0, 1 i 0 < k 0 n, und sei τ die Transposition, die i 0 und k 0

9 1 DETERMINANTEN 9 vertauscht Dann gilt S n A n A n τ und damit det A sign π α 1π(1) α nπ(n) π S n sign π α 1π(1) α nπ(n) + π A n + sign π α 1π(1) α nπ(n) π A n τ sign π α 1π(1) α nπ(n) + π A n + sign (πτ) α 1πτ(1) α nπτ(n) π A n sign π α 1π(1) α nπ(n) π A n sign π α 1πτ(1) α nπτ(n) π A n sign π (α 1π(1) α nπ(n) α 1πτ(1) α nπτ(n) ) π A n Weiter gilt n n α iπ(i) i1 n α iπτ(i) i1 α iπ(i)(α i0π(i0)α k0π(k0) α i0πτ(i0)α k0πτ(k0)) i1 i i 0,k 0 n α iπ(i)(α i0π(i0)α k0π(k0) α i0π(k0)α k0π(i0)) 0, i1 i i 0,k 0 da aufgrund der Voraussetzung a i0 a k0 α i0 π(i 0 ) α k0 π(i 0 ) und α k0 π(k 0 ) α i0 π(k 0 ) ist Abkürzung α 11 α 1n α n1 α nn det α 11 α 1n α n1 α nn Spezialfälle n 1: A (α 11 ) A α 11 n 2 ( ) α11 α A 12 A α α 21 α 11 α 22 α 12 α Sarrussche Regel (Anstelle einer Homepage: Pierre-Frédéric Sarrus, geboren 10 März 1798 in Saint-Affriques im Departement Aveyron (Süd-Frankreich), 1815 als Student nach Montpellier, 1821 dort Promotion - mit einer stark ins Physikalische gehenden Arbeit -

10 1 DETERMINANTEN agrégé des sciences (eine Art Prüfung zum gymnasialen Oberlehrer oder eine Art Habilitation war) zuvor 1822 Lehrer für Mathematik und Physik am Gymnasium in Pezenas, 1827 Lehrer nur für Mathematik in Perpignan, 1829 Mathematik-Professor an der Fakultät der Akademie in Straßburg - die Universität Straßburg wurde 1790 aufgehoben und 1803 als Akademie für protestantische Theologie wiedergegründet und erst 1872 wieder zur Universität oder 1840 Dekan bis 1852, 1840 Ritter der Ehrenlegion, 1858 emeritiert, am 20 November 1861 in Saint-Affriques verstorben) A α 11 α 12 α 13 α 21 α 22 α 23 α 31 α 32 α 33 Satz det A det A t Beweis Berechne A α 11 α 22 α 33 + α 12 α 23 α 31 + α 13 α 21 α 32 α 13 α 22 α 31 α 11 α 23 α 32 α 12 α 21 α 33 det A t und beachte sign π sign π 1, sowie π S n sign π α π(1)1 α π(n)n α π(1)1 α π(n)n α 1π 1 (1) α nπ 1 (n), 12 Mai 2000 woraus sich ergibt det A t π 1 S n sign π 1 α 1π 1 (1) α nπ 1 (n) det A Lemma Für zusammengesetzte Matrizen gilt ( ) A1 C det det A 0 A 1 det A 2 2 Beweis A 1 K n 1,n 1, A 2 K n 2,n 2, n 1 + n 2 n Für die Berechnung von det A sind nur solche Permutationen relevant, die die Menge {1,, n 1 } in sich überführen: Ist π S n gegeben mit π(i 0 ) > n 1 für ein i 0 n 1, so gibt es ein i 1 > n 1 mit π(i 1 ) n 1, also α i1 π(i 1 ) 0 und damit wird α 1π(1) α nπ(n) 0 Es sind also nur die Permutationen zu berücksichtigen, die im Bild der injektiven Abbildung Φ : S n1 S n2 S n liegen, die gegeben ist durch { π1 (i), 1 i n Φ(π 1, π 2 )(i) 1 n 1 + π 2 (i n 1 ), n 1 < i n Wir setzen Φ 1 : S n1 S n, Φ(π 1 )(i) { π1 (i), 1 i n 1 i, n 1 < i n, Φ 2 : S n2 S n { i, 1 i n1 Φ 2 (π 2 )(i) n 1 + π 2 (i n 1 ), n 1 < i n

11 1 DETERMINANTEN 11 und erhalten sowie Φ(π 1, π 2 ) Φ 1 (π 1 ) Φ 2 (π 2 ), sign Φ(π 1, π 2 ) sign π 1 sign π 2 Damit ergibt sich det A in der gewünschten Form Bezeichnungen Es seien n N mit n > 1, A K n,n, i, j {1,, n} A i j bezeichnet die Matrix in K n 1,n 1, die aus A durch Streichen der i -ten Zeile und j -Spalte entsteht Ferner definieren wir A i j (α ij) K n,n durch α ij, für i i und j j, α ij 1, für i i und j j, 0, sonst Es gilt det A i j ( 1)i +j det A i j Beweis Durch i 1 Zeilenvertauschungen und j 1 Spaltenvertauschungen entsteht aus A i j die Matrix ( ) A i j Damit gilt ( ) det A i j +j 1 0 ( 1)i det 0 A i ( 1) i +j det A i j j Definition Es sei A K n,n Die zu A komplementäre Matrix à ( α ij) K n,n ist gegeben durch α ij det A ji Bezeichnung Weiter setzen wir für A (,, ) K n,n, j {1,, n} und b K n : A(j, b) (,, a j 1, b, a j +1,, ), das heißt A(j, b) entsteht aus A, in dem die j -te Spalte durch b ersetzt wird Dann gilt für alle i {1,, n} det A(j, e i ) det A i,j Beweis A i j entsteht aus A(j, e i ), in dem man von den j-ten Spalten, j j jeweils α i je i abzieht Damit ändert man die Determinante nicht Pierre Simon Laplace, * Beaumont-en-Auge 28 März 1749, Paris 5 März 1827, 1799 Innenminister, Förderer des Dezimalsystems Laplacescher Entwicklungssatz Für jedes A K n,n, i, j {1,, n} gilt: det A ( 1) i +j α i j det A i j j1 (Entwicklung nach der i -ten Zeile) und det A ( 1) i+j α ij det A ij i1

12 1 DETERMINANTEN 12 (Entwicklung nach der j -ten Spalte) Beweis Wir beweisen den Satz für die Entwicklung nach der j -ten Spalte Der andere Fall ergibt sich durch Transponieren Zunächst bemerken wir: a j k α ij e i, woraus wegen der Linearität der Determinante in der j -ten Spalte folgt: det A α ij det A(j, e i ) α ij det A ij Satz Für alle A K n,n gilt: i1 i1 i1 à A A à det A E n Beweis Wir berechnen die (i, k)-te Komponente von à A: α ij α jk α jk det A ji j1 j1 α jk det A(i, e j ) j1 det A(i, α jk e j ) j1 det A(i, a k ) δ ik det A Beispiel für den Laplaceschen Entwicklungssatz Entwicklung nach der zweiten Zeile Entwicklung nach der dritten Spalte Mai 2000 Anwendung auf Geichungssysteme: Cramersche Regel Für die eindeutige bestimmte Lösung c (γ 1,, γ n ) A 1 b des Gleichungssystems Ax b mit A GL(n, K) und b K n gilt: γ i det A(i, b) det A Beweis Aus dem vorherigen Satz folgt A 1 1 det AÃ, außerdem haben wir b β j e j ; j1

13 1 DETERMINANTEN 13 also gilt: γ i j1 1 det A 1 det A 1 det A α ijβ j β j det A ji j1 β j det A(i, e j ) j1 det A(i, b) det A Bemerkungen Für größere n ist die Bestimmung der Lösung eines linearen Gleichungssystems mit Hilfe der Cramerschen Regel, wenn überhaupt möglich, so doch im allgemeinen viel aufwendiger als das Gaußsche Elimminationsverfahren Aber die Cramersche Regel hat im Falle des Grundkörpers R eine tieferliegende Konsequenz: Sind die Koeffizienten der erweiterten Matrix eines quadratischen Gleichungssystems stetige oder differenzierbare Funktionen von irgendwelchen Veränderlichen, so hängt auch die Lösung stetig oder differenzierbar von diesen Veränderlichen ab, solange nur die Koeffizientenmatrix invertierbar ist Aus den Eigenschaften der Determinante ergibt sich: GL(n, R) det 1 (R \ 0) ; damit ist GL(n, R) als Teilmenge von R n2 offen Aus der bewiesenen Eigenschaft der komplementären Matrix folgt dann, daß die Abbildung GL(n, R) R n2, A A 1 unendlich oft stetig partiell differenzierbar, ja sogar ein C -Diffeomorphismus ist GL(n, R) GL(n, R) Lemma und Definition Es seien V ein K-Vektorraum mit dim V End(V ) Für ein beliebiges Koordinatensystem Φ : K n V sei n < und f det f det(φ 1 f Φ) gesetzt Dann ist der Wert von det f unabhängig von der Wahl von Φ; er wird als Determinante von f bezeichnet Beweis Es sei Ψ ein weiteres Koordinatensystem für V und A Φ 1 Ψ Dann gilt: det(ψ 1 f Ψ) det((φ A) 1 f (Φ A)) det(a 1 (Φ 1 f Φ) A) det(a 1 ) det(φ 1 f Φ) det A (det A) 1 det A det(φ 1 f Φ) det(φ 1 f Φ) Bemerkung Für einen Endomorphismus f : R n R n gibt det f die durch f bewirkte Inhaltsveränderung an Der von den Einheitsvektoren e 1 aufgespannte Kubus wird in das von den Vektoren f(e 1 ),, f(e n ) aufgespannte Parallelotop abgebildet, dessen Inhalt gleich dem Betrag von det(f(e 1 ),, f(e n )) ist

14 1 DETERMINANTEN 14 Definition Es sei V ein reeller Vektorraum mit dim V n < Die Basen {v 1,, v n } und B {ṽ 1,, ṽ n } von V heißen gleichorientiert, wenn die Determinante der Transformationsmatrix des Basiswechsels, das heißt die darstellende Matrix der Abbildung Φ 1 B Φ B, positiv ist Andernfalls heißen B und B entgegengesetzt orientiert Lemma gleichorientiert ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge aller Basen von V mit genau zwei Äquivalenzklassen Beweis 1 Reflexivität: Die Transformationsmatrix ist E n, hat also die Determinante 1 2 Symmetrie: Die in Frage stehenden Transformationsmatrizen sind invers zueinander, haben also gleiches Vorzeichen 3 Transitivität: Das Produkt zweier Transformationsmatrizen mit positiver Determinante hat positive Determinante Zwei zu einer Basis entgegengesetzt orientierte Basen haben bezüglich dieser Transformationsmatrizen mit negativer Determinante; deren Produkt hat dann aber wieder positive Determinante Definitionen Es sei V ein reeller Vektorraum mit dim V n < Eine Äquivalenzklasse gleichorientierter Basen heißt Orientierung von V ; die Angabe einer Orientierung erfolgt im allgemeinen durch Angabe eines Repräsentanten Ein orientierter Vektorraum ist ein Paar (V, or), bestehend aus einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum V und einer Orientierung or von V Die positive Orientierung von R n ist die Orientierung, die die kanonische Basis enthält Zu gegebenen Vektoren v (λ 1, λ 2, λ 3 ) und w (µ 1, µ 2, µ 3 ) definiert man das Vektorprodukt als die formale Determinante e 1 e 2 e 3 v w λ 1 λ 2 λ 3 µ 1 µ 2 µ 3 λ 2 λ 3 µ 2 µ 3 e 1 λ 1 λ 3 µ 1 µ 3 e 2 + λ 1 λ 2 µ 1 µ 2 e 3 (λ 2 µ 3 λ 3 µ 2 )e 1 + (λ 3 µ 1 λ 1 µ 3 )e 2 + (λ 1 µ 2 λ 2 µ 1 )e 3 Lemma Sind v und w linear unabhängige Vektoren des R 3, so ist (v, w, v w) eine zur kanonischen Basis gleichorientierte Basis von R 3