Hochschule Bochum. Bochum University of Applied Sciences Fachbereich Wirtschaft GRUNDLAGEN DER WIRTSCHAFTSMATHEMATIK - ANALYSIS -

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1 Hochschule Bochum Bochum University of Applied Sciences Fachbereich Wirtschaft GRUNDLAGEN DER WIRTSCHAFTSMATHEMATIK - ANALYSIS - [ÜBUNGSAUFGABEN & LÖSUNGEN] VON PROF. DR. HANS SCHUMACHER Bochum, März 008

2 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen WIRTSCHAFTSMATHEMATIK (ANALYSIS) - ÜBUNGSAUFGABEN - 1) Ein Produktionsunternehmen hat folgende Kostenfunktion: K() = Für das hergestellte Produkt gelte folgende Preis-Absatzfunktion: 10 p() = + 50 a) Ermitteln Sie die Umsatz- und Gewinnfunktion! a1) In der Normal-Form eines Polynoms zweiten Grades a) In der Scheitelpunktform einer Parabel b) Zeichnen Sie die Umsatz-, Kosten- und Gewinnfunktion in ein Koordinatensystem! c) In welchem Bereich der abgesetzten Menge werden positive Gewinne erzielt, und bei welcher Menge ist der Gewinn maimal?. Gegeben ist folgende lineare Kostenfunktion: K() = a) Wie lauten die Stückkostenfunktionen? a1) Gesamte Stückkosten a) Variable Stückkosten a) Fie Stückkosten b) Charakterisieren Sie den jeweiligen Funktionstyp a1) bis a)! c) Stellen Sie die Gesamt- und Stückkostenfunktionen graphisch dar! d) Geben Sie eine ökonomische Erklärung für den Verlauf der fien Stückkostenkurve! e) Nennen Sie die charakteristischen Eigenschaften einer Hyperbel!. Ermitteln Sie zu der Eponentialfunktion y = die Umkehrfunktion und die entsprechende Wurzelfunktion. Zeichnen Sie diese in ein Koordinatensystem und interpretieren Sie die Lage der beiden Funktionen zueinander! 4. Der Bremsweg (y) - gemessen in Metern (m) - eines Autos ist abhängig von der Geschwindigkeit und bestimmt sich bekanntlich aus der Funktion y =, wobei = Geschwindigkeit in km/h ist. 10 a) Stellen Sie die Funktion graphisch dar und bestimmen Sie den Bremsweg für = 100 km/h! b) Ermitteln Sie die Umkehrfunktion = f(y) und zeichnen Sie diese in das Koordinatensystem ein! c) Welche Geschwindigkeit hatte ein Auto, wenn der gemessene Bremsweg 50 m betrug? 5. Ermitteln Sie zu der Funktion y = die ensprechende Logarithmusfunktion und zeichnen Sie die Bilder dieser beiden Funktionen in ein Koordinatensystem ein! Geben Sie die charakteristischen Eigenschaften einer Logarithmusfunktion an? 6. Ermitteln Sie aus den vorgegebenen Eponentialfunktionen y = e 0,5 bzw. y = 0,5 mittels der logarithmischen Transformation die entsprechende Logarithmusfunktion. Zeichnen Sie die Eponential- und die Logarithmus-Funktionen in ein Koordninatensystem ein und vergleichen Sie beide Funktionen!

3 7. Gegeben sind die beiden Funktionen a) y = b) y = Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen Bilden Sie die erste und zweite Ableitung und zeichnen Sie die Funktion sowie die erste und zweite Ableitung untereinander! Wo liegen die Etremwerte und die Nullstellen der Funktion? 8.Gegeben ist die Funktion y = Bestimmen Sie die Etremstellen der Funktion und prüfen Sie, ob es sich um Minima oder Maima handelt? Bestimmen Sie die Nullstellen! Stellen Sie die Funktion graphisch dar! 9. Die klassische Ertragsfunktion hat folgende Gestalt: E = Bestimmen Sie die Funktion zur Darstellung des a) Durchschnittsertrages und b) des Grenzertrages Wo befindet sich der Wendepunkt, das absolute Ertragsmaimum und das Betriebsoptimum (=Maimum der Durchschnittsertragskurve)? Geben Sie die mathematischen Bedingungen für die Eistenz eines konkaven bzw. konveen Kurvenverlaufs an! In welchem Teilbereich der Ertragskurve liegt ein konkaver bzw. konveer Kurvenerlauf vor? 10. Ein Produktionsverfahren wird alternativ durch folgende Kostenfunktionen gekennzeichnet: a) K() = b) K() = c) K() = 0,001-0, Fragen/Aufgaben: (1) Ermitteln Sie jeweils die Durchschnitts- und Grenzkostenfunktion! () Zeichnen Sie die Kosten-, Durchschnittskosten- und Grenzkostenfunktion! () Zusatzfragen zu Aufgabe 10.b) und 10.c): (.1) Bei welcher Produktionsmenge sind die Grenzkosten minimal? (.) Bei welcher Produktionsmenge sind die Durchschnittskosten minimal? 11. Ein Betrieb stellt ein Produkt her, für das am Markt folgende Preisabsatzfunktion ermittelt wurde: p() = 400-0,1 Fragen/Aufgaben: a) Wie lauten Umsatz- und Grenzumsatzfunktion? b) Wie groß ist die umsatzmaimale Absatzmenge? c) Zeichnen Sie die Umsatz- Preisabsatz- und Grenzumsatzfunktion!

4 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 4 1. Für die Produktion eines bestimmten Gutes gelte folgende Kostenfunktion: K() = 0,01-1, Wie wird sich ein gewinnmaimierender Unternehmer verhalten, wenn für das Produkt alternativ ein Preis von 5, 18 oder 9 /Stck. gilt? a) Zeichnen Sie die Kosten- und Umsatzfunktion in ein Koordinatensystem ein! b) Zeichnen Sie die Grenz- und Stückkostenkurve, sowie die Grenzumsatzkurve in ein zweites Koordinatensystem! c) Berechnen Sie zu jedem Preis jeweils die gewinnmaimale Absatzmenge! 1. Die Bevölkerung eines Landes ist in den letzten 10 Jahren mit einer stetigen Wachstumsrate von 1,5 % p.a. gewachsen. In 1990 hatte das Land eine Bevölkerung von 50 Mio Einwohnern. Wie hoch wird die Bevölkerungszahl sein im Jahre 00 unter der Annahme einer eponentiellen bzw. stetigen Wachstumsfunktion mit einer jährlichen Veränderungsrate von 1,5 %? 14. Ein Wald enthält gegenwärtig 1701 m³ Holz. Wie groß war der Holzbestand vor 1 Jahren, wenn man von einem jährlichen Zuwachs von % und stetigem Wachstum ausgehen kann? 15. Das Polynom y = hat Nullstellen bei 01 = und 0 =. Bestimmen Sie die restlichen drei Nullstellen! 16. Untersuchen Sie die Funktion y = auf a) Nullstellen b) Polstellen und c) behebbare Unstetigkeitsstellen (Lücken)! 17. Gegeben ist folgende makroökomomische Produktionsfunktion Y= A α K 1 α, wobei A der Arbeitseinsatz und K der Kapitaleinsatz ist. Der Eponent α nimmt den Wert 0, an. Zeigen Sie, dass die Produktionsfunktion homogen vom Grade 1 ist. Hinweis: Eine Funktion ist linear homogen (bzw. homogen vom Grade 1), wenn bei einer proportionalen Erhöhung der Faktoreinsatzmengen A und K um den Faktor λ auch das Produktionsergebnis Y sich auch um diesen Faktor λ erhöht. 18. Bestimmen Sie die 1. bis 6. Ableitung der folgenden Funktion: 5 y = ( ) 19. Auf einem Testmarkt wird ermittelt, dass der Prohibitiv-Preis für ein Konsumgut bei 0 /ME. und die Sättigungsmenge bei 40 Mengenheinheit (ME) liegen. Wie lautet die Preis-Absatzfunktion p()?

5 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 5 0. Gegeben sind die folgenden Funktionen: - Preis-Absatzfunktion: p() = 0-0,5 - Kostenfunktion: K() = 10 + a) Ermitteln Sie die Umsatzfunktion U() (1) analytisch in der Normalform und der Scheitelpunktform und interpretieren Sie die Paramenter/Koeffizienten dieser Funktion! () Wo liegt das Umsatzmaimum und wo liegen die Nullstellen? () Stellen Sie den Sachverhalt graphisch dar! b) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion G() (1) analytisch in der Normalform und der Scheitelpunktform! () Wo liegen die Nullstellen der Gewinnfunktion, wo das Gewinnmaimum? () Stellen Sie den Sachverhalt graphisch dar! Welche ökonomische Bedeutung hat die erste Nullstelle der Gewinnfunktion? 1. Führen Sie für die folgenden Funktionen eine logarithmische Transformation durch: a) y = ka, a > 0 b) y = A n, n > 1 Erstellen Sie für die Ursprungsfunktion und die transformierte Funktion jeweils ein graphisches Abbild im Koordinatensystem (;y) bzw. (*;y*)!. Gegeben sei die Produktionsfunktion mit den unabhängigen Variablen A (Arbeit) und K (Kapital): Y = A α K 1 α mit 0 < α < 1, bzw. α = 0,6. Bestimmen Sie die folgenden daraus ableitbaren Unterfunktionen: a) Pro-Kopf-Produktion y = Y A b) Partielle Grenzproduktivitäten der Faktoren "Arbeit" und "Kapital": Y A bzw Y K. c) Funktionsgleichung für die Isoquante A = f(k) bei gegebenem Produktionsniveau Y o. d) Zeichnen Sie die Isoquante für den Wert Y o = 10 (alternativ für Y 1 = 0 )in ein Koordinatensystem mit der Abszisse A und der Ordinate K ein. e) Welcher Funktionstyp liegt hier vor? Beschreiben Sie die mathematischen Eigenschaften dieser Funktion!. Gegeben ist die Funktion z = 4 - o, - 0,5 y. a) Ermitteln Sie die Schnittgeraden im Koordinatensystem mit den Achsen z, y und! b) Ermitteln Sie aus der o.a. Funktion für alternativ vorgegebene Werte für z = bzw.z = 5 die reduzierte Funktion mit der unabhängigen Variable und der abhängigen Variable y! c) Zeichnen Sie die Funktion in ein Koordinatensystem mit den Achsen y und ein!

6 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 6 4. Bestimmen Sie die 1. Ableitung der folgenden Funktionen: 4 a) y = b) y = 4 5 c) y = Gegeben ist die Funktion: y = a) Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion! b) Bestimmen Sie die Etremstellen der Funktion und überprüfen Sie die gefundenen Etrema auf Vorliegen von Maima oder Minima! 6. Für ein landwirtschaftliches Produkt gelte ein Höchstpreis (Prohibitivpreis) von 100 /ME. Die Sättigungsmenge liegt bei ME pro Jahr. Bei einem Preis von 55 /ME werden ME pro Jahr angeboten. Bei einem Preis von 6,50 /ME beträgt die angebotene Menge ME pro Jahr. a) Stellen Sie die Nachfrage- und Angebotskurven analytisch und graphisch dar! b) Wie groß ist die Gleichgewichtsmenge und der Gleichgewichtspreis auf dem Markt? c) Zur Verbesserung der Einkommenssituation der Landwirtschaft soll vom Staat ein Mindest- Preis festgesetzt werden. Für die Einlagerung der staatlicherseits aufzukaufenden Überschußmengen besteht nur eine Lagerkapazität von ME. Welcher Mindestpreis darf maimal gesetzt werden, wenn die Lagerkapazitäten ausreichen sollen? 7. Ein Produktionsverfahren ist durch folgende Kostenfunktion gekennzeichnet: K = Das erzeugte Produkt kann am Markt für 7 /Stück verkauft werden. a) Wie lautet die Umsatz-, Grenzumsatz- und Grenzkostenfunktion? b) Berechnen Sie die Gewinnschwelle (break-even-point)! c) Stellen Sie die Umsatz- und Kostenfunktion graphisch dar! d) Stellen Sie die Grenzumsatz- und Grenzkostenfunktion graphisch dar! e) Wo liegt die gewinnmaimale Absatzmenge? f) Wie hoch ist der maimale Gewinn? g) Nennen Sie die mathematischen Bedingungen für die Eistenz eines Gewinnmaimum! 8. Ein Ein-Produktion-Unternehmen ermittelte in seiner Kostenrechnung folgende Daten: Monat Oktober November Gesamtkosten K Produktionsmenge Stck a) Wie lautet die Funktionsgleichung der Kostengeraden in der Zwei-Punkte-Form und in der Normalform? b) Wie lautet die Umsatzfunktion, wenn mit einem Stückpreis von 8 gerechnet wird und der Absatz preisunabhängig ist? c) Wie lautet die Gewinnfunktion und wie hoch ist der Gewinn bei einer Absatzmenge von Stück?

7 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 7 9. Für einen Testmarkt wird ein Maimalpreis von 50 /Stck. und eine Sättigungsmenge von 1000 Stck. pro Periode ermittelt. a) Ermitteln Sie die Nachfragefunktion! b) Wie hoch sind Gleichgewichtspreis und Gleichgewichtsmenge, wenn im Testmarkt folgende Angebotsfunktion gilt: p() = ,5? c) Welcher staatliche Mindestpreis darf maimal für das Produkt festgelegt werden, wenn ein Angebotsüberhang von 180 Stck. nicht überschritten werden soll? 0. Eine Ein-Produkt-Unternehmung produzierte in er letzten Periode Stück. Die Gesamtkosten der Periode betrugen Davon waren fie Kosten. a) Ermitteln Sie die Kostenfunktionen K() und k()! b) Wie hoch ist der Gewinn, wenn der Verkaufspreis 5 /Stück beträgt und Stück produziert und abgesetzt werden können? c) Was geschieht, wenn der Verkaufspreis unter /Stück sinkt? 1. Bei der Herstellung von 100 Einbauküchen entstehten Gesamtkosten in Höhe von Die variablen Kosten betragen 1500 pro Küche. Der Verkaufspreis beträgt.500 /Stck. a) Ermitteln Sie die Kostenfunktion! b) Wo liegt die Gewinnschwelle unter der Annahme einer linearen Kostenfunktion?. Der Absatzpreis für eine Bierflasche beträgt 90 Pfg. Die fien Kosten der Brauerei betrugen in den vergangenen Abrechnungsperioden pro Monat. Die variablen Kosten wurden mit 40 Pfg/Flasche ermittelt. a) Wieviel Flaschen müssen pro Monat mindestens hergestellt und verkauft werden, damit die Brauerei einen Gewinn erzielt? b) Wie hoch ist der Gewinn, wenn die Brauerei an der Kapazitätsgrenze von Mio Flaschen pro Monat produziert?. Stellen Sie die folgenden Funktionen graphisch dar und berechnen Sie die Nullstellen: a) y = b). y = c) y = d) y = ( + ) 4. Wandeln Sie die folgenden quadratischen Funktionsgleichungen in die Scheitelpunktform um: a) y = + + b) y = c) y = Gegeben sind folgende Preis-Absatzfunktionen: (1) p = () p = 50 () p = a) Ermitteln Sie die jeweiligen Umsatzfunktionen! b) Wie lauten die jeweiligen Grenzumsatzfunktionen? c) Wo liegt das jeweilige Umsatzmaimum?

8 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 8 6. Der Präsident eines Bundesligavereins denkt angesichts steigender Kosten über eine Preisveränderung bei den Eintrittskarten nach. Aus der Vergangenheit weiß man, dass bei einem Eintrittspreis von durchschnittlich 15 pro Spiel im Schnitt Zuschauer kamen. Bei einem Preis von 0 waren es noch Zuschauer. a) Wie lautet die Nachfragefunktion bei Annahme eines linearen Verlaufs? b) Der Preis beträgt im Augenblick 0 pro Karte. Soll der Preis gesenkt oder erhöht werden, wenn das Ziel eine Umsatzsteigerung ist? c) Bei welchem Preis liegt das Umsatzmaimum? 7. Ein Unternehmen stellt Staubsauger her. Die Gesamtkosten berechnen sich wie folgt: 1 K( ) = Zur Feststellung der Nachfrage wurde eine Marktuntersuchung durchgeführt, deren Ergebnis aus folgender Tabelle zu entnehmen ist: p /Gerät Geräte/Woche a) Zeichnen Sie die Nachfragefunktion in ein Diagramm ein und ermitteln Sie die zugehörige Funktionsgleichung! b) Ermitteln Sie die Umsatz- und Gewinnfunktion! c) Wie hoch ist die umsatzmaimale bzw. die gewinnmaimale Absatzmenge? d) In welchem Bereich werden positive Gewinne erzielt? 8. Es gelten folgende funktionalen Zusammenhänge bzgl. der Kosten- und Nachfragefunktionen: Kostenfunktionen Nachfragefunktionen (1) K = p = 0 - () K( ) = p = 5 () K( ) = p= a) Wo liegt jeweils die umsatzmaimale Absatzmenge? b) Ermitteln Sie jeweils die Gewinnschwelle (break-even-point) und die Gewinngrenze! c) Wo liegt jeweils die gewinnmaimale Absatzmenge? 9. Gegeben sind folgende Kostenfunktionen: (1) K = 5 + () K = 10 + o,5 1 () K() 4 = + 0 a) Ermitteln Sie jeweils die Grenz- und Stückkosten-Funktionen! b) Wie hoch sind die variaben und die fien Stück-Kosten?

9 40. Gegeben sind folgende Ausgangsfunktionen: Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 9 (1) y = () y = 1 () y = 1 4 a) Bilden Sie zu diesen Funktionen jeweils die Umkehrfunktionen! b) Warum ist hierbei der formale Variablentausch insbesondere bei ökonomischen Anwendungen problematisch? Verdeutlichen Sie diesen Zusammenhang anhand der Preisabsatz-Funktion p()! 41. Gegeben sind folgende Funktionsgleichungen: 4 (a) 1 = 14 (b) ln(+1) = ln Bestimmen Sie den Wert der Variable! 4. Diskutieren Sie das Krümmungsverhalten der Funktion y = 1 + 8! 5 4. Prüfen Sie die Funktion y = auf Eistenz von Wende- bzw.sattelpunkte! 44. Untersuchen Sie die Funktion a) Nullstellen b) Polstellen c) Etremwerten! y = 7 14 auf die Eistenz von ( 6 ) Untersuchen Sie die Funktion y = a) Nullstellen b) Polstellen c) Lücken (hebbare Unstetigkeitsstellen)! auf die Eistenz von 46. Gegeben ist folgende Preis-Absatzfunktion: p() = Die Kostenfunktion lautet: K() = a) Bestimmen die Umsatzfunktion U() in der Normal- und Scheitelpunktform! Interpretieren Sie die Parameter der Parabel in der Scheitelpunktform! b) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion! c) Bei welcher Absatzmenge liegt das Umsatzmaimum bzw. Gewinnmaimum? Gegeben Sie jeweils die notwendige und hinreichende Bedingung für die beiden Etremwerte an! 47. Gegeben ist die Preis-Absatzfunktion p = ,. Bestimmen Sie den Bereich der Absatzmenge, für welchen die Umsatzfunktion positiv ist! 48. Die Gewinnfunktion lautet: G( ) = Wo liegen die Etremwerte dieser Funktion und welcher dieser Werte repräsentiert das ökonomische sinnvolle Gewinnmaimum?

10 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen Ein Angestellter hat vor 5 Jahren seine berufliche Laufbahn begonnen. Sein Anfangsgehalt betrug damals p.a. Heute liegt sein Jahresgehalt bei Wie hoch war die jährliche Steigerungsrate seines Einkommens in diesem Zeitraum von t = 1,,..., 5 bzw. wie lautet die Einkommensfunktion E(t) bei folgenden alternativen Annahmen: (a) linearer Verlauf seiner Einkommenskurve, d.h. mit jährlich Gehaltszuwächsen, die jeweils mit a absolut gleich hoch sind: Et = E + at (b) geometrischer Anstieg der Einkommenskurve: E = E ( + w) (w = jährliche Zuwachsrate) (c) Stetiger Verlauf der Einkommenskurve: Et = E 0 e (r = stetige Zuwachsrate) Das Polynom y = hat die Nullstellen 1 = und =. Bestimmen Sie die restlichen Nullstellen! 51. Gegeben sind die beiden Punkte p(/y) mit P 1 (/1) und P (5/8). Ermitteln Sie die entsprechende Eponentialfunktion y = c a, die diese beiden Punkte abbildet! 5. Für die Produktion eins Gutes gilt die Gesamtkostenfunkton K = + +. a) Geben Sie die Funktion der variablen und fien Gesamtkosten an! b) Leiten Sie die Funktion der Grenzkosten, der variablen und totalen Durchschnittskosten ab! c) Berechnen Sie die Mengen, bei denen die Grenzkosten und die variablen Durchschnittskosten minimal sind, sowie den Schnittpunkt dieser beiden Kurven! d) An welcher Stelle hat die Gesamtkostenfunktion ihren Wendepunkt? 5. Die Grenzkostenfunktion bei der Produktion eines Gutes lautet K = 0,5. Das Unternehmen hat eine Kapazitätsgrenze von = 8. a) Wie lautet die Gesamtkostenfunktion K()? b) Bei welcher Menge liegt das Gewinnoptimum, wenn der Marktpreis mit p = 5 festliegt und keine Kapazitätsbegrenzung vorhanden ist? c) Wie hoch dürfen die Fikosten höchstens sein, damit das Unternehmen bei Vollauslastung der Anlagen und einem Preis von p = 5 langfristig am Markt anbieten kann? d) Welche Mengen werden kurzfristig und langfristig angeboten, wenn der Preis nun auf p = sinkt und die Fikosten K f = 10 betragen? t rt t

11 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen Bilden Sie die 1. Ableitung der folgenden häufig vorkommenden Funktionen!: 1. y = n. y = c = const.. y = a + b 4. y = a + b + c 5. y = 1 6. y = 1 n 7. y = 1 f ( ) 8. y = n 9. y = 10. y = y = f ( ) 1. y = ln 1. y = ln( n ) 14. y = ln f ( ) 15. y = log a 16. y = log a f ( ) 17. y = e 18. y = a 19. y = 0. y e f ( = ) 1. y a f ( = ) 55. Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung für folgende Funktionen vom Typ y= f(,z)! 1. y = ³ + 0,5 z². y = ²z³ + + z. y = 5 ² 4 z² 4. y= 10A 0, 5 K 0, 5

12 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen Ein Betrieb stellt ein Produkt her und ist auf dem Absatzmarkt mit der Preisabsatzfunktion p() = 0 - konfrontiert. Die Kostenfunktion hat die Gestalt: K() = a) Ermitteln Sie mit Hilfe der 1. und. Ableitung die Absatzmenge u, bei der der Umsatz maimal ist! Wie hoch ist der maimale Umsatz U ma? b) Ermitteln Sie die Gewinnfunktion in der Scheitelpunktform G() = m(-a)² + b und interpretieren Sie das Ergebnis hinsichtlich der gewinnmaimalen Absatzmenge G und der Höhe des Gewinnmaimums G ma! c) Ermitteln Sie das Intervall [ 1 ; ] der Absatz=Produktionsmengen, innerhalb dessen der Betrieb mit (positiven) Gewinnen arbeitet! 57. Auf einem Gütermarkt gelten folgende Funktionen: (1) Nachfragefunktion: p() = 50-0,1 n ( Angebotsfunktion: p() = ,5 a a) Ermitteln Sie die Preise p G und die Mengen G im Marktgleichgewicht! b) Welcher staatliche Administrations-Preis p ma (Höchstpreis) müßte fiiert werden, wenn der Nachfrageüberhang maimal 10 Mengeneinheiten [] betragen darf? Untersuchen Sie die Funktion y = 6 auf Eistenz von Etremwerten! Gegeben ist folgende Nachfragefunktion: p() = und die Kostenfunktion K() = a) Bestimmen Sie die Umsatzfunktion U() in der Normal- und Scheitelpunktform! b) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G()! c) Bei welcher Absatzmenge liegt das Umsatzmaimum bzw. das Gewinnmaimum? Nennen Sie jeweils die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Eistenz der jeweiligen Etremwerte! 60. Gegeben ist die "klassische" Produktionsfunktion y = , mit y = Produktionmenge und = Faktoreinsatzmenge. a) Ermitteln Sie analytisch (1) die Grenzertragsfunktion y = f (), y () die Durchschnittsertragsfunktion y =, b) Bei welcher Faktoreinsatzmenge () liegen die folgenden charakteristischen Punkte? Geben Sie jeweils die mathematischen Bedingungen für diese Punkte an! (1) Wendepunkt der Ertragsfunktion y = f() () Etrempunkt e1 (Minimum oder Maimum?) der Ertragsfunktion y = f() () Etrempunkt e (Minimum oder Maimum?) y der Durchschnittsertragsfunktion y =. c) Gegeben Sie die Intervalle der Faktoreinsatzmengen an, in denen die Ertragsfunktion y = f() für > 0 und y > 0 einen konveen bzw. konkaven Verlauf annimmt!

13 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen Auf einem Testmarkt werden zur Bestimmung der gesuchten Nachfragekurve die Sättigungsmenge mit 50 ME (Mengeneinheiten) und der Prohibitivpreis mit 5 GE (Geldeinheiten) ermittelt. Die Angebotsfunktion ist mit p() = 4 + o, vorgegeben. a) Ermitteln Sie den Gleichgewichtspreis p G und die Gleichgewichtsmenge G, d.h. jene Marktsituation, bei der Angebot und Nachfrage zum Ausgleich kommen! b) Wie hoch ist das mengenmäßige Marktungleichgewicht (Angebotsüberschuß bzw. Nachfrageüberschuß), wenn auf dem Markt ein Mindestpreis von 15 GE gesetzt wird? c) Wie hoch darf der Mindestpreis höchstens gesetzt werden, wenn das Überschußangebot die HöchstMenge von 14 ME nicht überschreiten darf? 6. Ein Unternehmen arbeitet mit folgender Produktionsfunktion: = 100A 0, 8 K 0, Die Kosten für den Einsatzfaktor A betragen 0 GE/ME und für den Einsatzfaktor K 10 GE/ME. Die Produktionsmenge ist mit Einheiten fest vorgegeben. Ermitteln Sie das optimale Produktionsprogramm unter der Annahme, dass die Kosten minimiert werden sollen! Welche ökonomische Bedeutung hat in diesem Zusammenhang die Hilfsvariable λ? 6. Gegeben ist die folgende quadratische Funktion: y = ² a) Leiten Sie daraus die Scheitelpunktform y = m(-a)² + b her und interpretieren Sie die Parameter m, a, und b bezüglich der geometrischen Form der Parabel! b) Führen Sie mit Hilfe der Differentialrechnung eine Kurvendiskussion (Steigung, Etremwerte und Wendepunkte) für die oben angegebene Funktion durch! 64. Gegeben ist die Preis-Absatzfunktion p() = und die Kostenfunktion K() = a) Wo liegt die umsatzmaimale Absatzmenge u? b) Bestimmen Sie den Wendepunkt w der Kostenfunktion! c) Wie lauten die Funktionen der gesamten(totalen), variablen und fien Stückkosten? d) Ermitteln Sie den Etremwert der Funktion der variablen Stückkosten k v! Prüfen Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für ein Etremum und entscheiden Sie, ob hier ein Maimum oder Minimum vorliegt. e) Wo liegt die gewinnmaimale Absatzmenge g, und der gewinnmaimale Absatzpreis p g,? Wie hoch ist der dabei realisierte Gewinn G ma insgesamt? 65. Eine Unternehmensleitung setzt Facharbeiter und Hilfsarbeiter ein. Der wöchentliche Output z bei Einsatz von Facharbeiterstunden und y Hilfsarbeiterstunden ist durch die folgende Produktionsfunktion gegeben: z = z(,y) = y + 0 y - ² - y². Der Facharbeiterlohn beträgt 6 Geldeinheiten pro Stunde [GE/h], der Hilfsarbeiterlohn 4 GE/h. Zur Entlohnung der Arbeitskräfte stehen der Abteilung pro Woche 84 GE zur Verfügung. Folgende drei Fragestellungen sind zu beantworten: a) Mit welchen Zeiten pro Woche soll die Abteilung Facharbeiter bzw. Hilfsarbeiter einsetzen, damit die Produktionsmenge möglichst groß wird? b) Wie hoch die optimale Produktionsmenge z ma? c) Geben Sie eine ökonomische Interpretation für die Hilfsvariable λ im Zusammenhang mit der obigen Aufgabenstellung!

14 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen Zeigen Sie, dass die Preisabsatzfunktion p = 100/ im gesamten Funktionsverlauf eine konstante Preiselastizität von ε = -1 hat, dass also hier eine sogenannte isoelastische Nachfragefunktion vorliegt! 67. Zeigen Sie dass auf dem Markt mit einer isoelastischen Nachfragekurve p = 1000/ der erzielbare Marktumsatz unter sonst gleichen Umständen konstant ist, d.h. eine relative Preiserhöhung jeweils durch einen ebenso hohen relativen Mengenrückgang kompensiert wird. Welche Höhe hat der Markt- Umsatz? Geben Sie eine kurze Begründung für diesen Tatbestand mit Hilfe der Preiselastizität. 68. Gegeben ist die Preisabsatzfunktion p = a) Zeigen Sie, dass zwischen den 1. Ableitungen der Funktion p() und der daraus ableitbaren 1 Umkehrfunktion (p) eine inverse Beziehung besteht: p =. b) Für welche Absatzmenge hat die Preiselastizität den Wert -1? c) In welchem Mengenbereich lässt sich mit einer Preiserhöhung eine Umsatzsteigerung erzielen, bzw. in welchem Mengenbereich führt die Preiserhöhung sogar zu einem Umsatzrückgang? Wie hoch sind in diesen Intervallen die absoluten Beträge der Preiselastizitäten? 69. Die Marktforschung ermittelt, dass die Nachfrage nach Pkw s seit der letzten nachhaltigen Erhöhung der Benzinpreise um 10 % um % zurückgegangen ist. Die Nachfrage nach Fahrrädern ist im gleichen Zeitraum dagegen um 15 % gestiegen. Mit welchem Elastizitätsbegriff kann dieser Sachverhalt charakterisiert werden, und welchen Wert haben die jeweiligen Elastizitäten unter den oben dargestellten Bedingungen? 70. Die gesamtwirtschaftliche Nachfrage nach elektrischem Strom (S) in Abhängigkeit von der Höhe des Bruttosozialprodukts (Y) in einer Volkswirtschaft lässt sich durch folgende Funktion beschreiben: S = 1000 Y. a) Ermitteln Sie die Steigung dieser Funktion! b) Wie hoch ist die Einkommenselastizität der Stromnachfrage? c) Gegeben Sie eine ökonomische Deutung der 1. Ableitung der Funktion und vergleichen Sie diese in ihrem Aussagegehalt mit der Einkommenselastizität! d) Im nächsten Jahr wird ein Anstieg des BSP (Y) nach Meinung des Sachverständigenrates in Höhe von,5 % erwartet. Welche Auswirkungen hat das unter den gegebenen Umständen auf den Stromabsatz? 0, 0, Gegeben ist die Produktionsfunktion vom Cobb-Douglas-Typ mit Y = 1000 A K. a) Welcher ökonomische Sachverhalt wird durch den Begriff der Produktionselastizität zum Ausdruck gebracht, und welche Höhe haben diese Elastizitäten für die o.a. Funktion? b) Bestimmen Sie den Homogeniätsgrad der o.a. Produktionsfunktion und geben Sie eine ökonomische Interpretation hinsichtlich dessen Höhe im vorliegenden Falle!

15 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 15 1) a1) U() = + WIRTSCHAFTSMATHEMATIK (ANALYSIS) - LÖSUNGEN ZU DEN ÜBUNGSAUFGABEN a) U()= + ( 7, 5) 4687, 5 b) Gewinn im Intervall [15,45]; G=ma bei = 0. ) a1) k() = K 00 = + 5 a) k v = 5 a) k f = 00 b) a) = konstante Fkt; a1) und a) Hyperbel d) Fikostendegression, Gesetz der Massenproduktion e) stetig, punkt- und achsensymetrisch, Asymptote (kein Schnittpunkt mit y-achse) keine Nullstellen. ) y = ; Umkehrfunktion zu y = (spiegelsymetrisch zur 45 Grad-Linie) 4) a) Für = 100 km/h beträgt der Bremsweg y = 100 m. b) Umkehrfunktion = 10 y c) y = 50 m entspricht = 70,7 km/h 5) y = log = log log ; Eigenschaften: stetig, Asymptote zur y-achse für -> o, Nullstelle für =1 steigend für a > 1 und fallend für o < a < 1; also für a = steig. 6) y* = lny = ln + 0,5 y* = lny = log 0,5 + * mit ln = * 7) a) y = und y"= - --> Maima bei =; Nullstellen bei o =,7 und 1 = 0,68 b) y`= - 6 und y" = + --> Minima bei =; keine Nullstellen 8) a) y = und y" = 0-0 Nullstellen der 1. Abl. sind: 1/ = ±1,6444; /4 = ±0,549 y"(1,6444) =... > 0 Minimum y"(-1,6444) =... < 0 Maimum y"(0,549) =... < 0 Maimum y"(-0,549) =... > 0 Minimum b) Nullstellen der Fkt. y = f(): 01 = 0; 0/0 = ± ; 04/05 = ±1. 9) a) E = b) E = c) Wendepkt (E" = 0) bei = ; abs. Ertragsmaimum (E =0) bei = 4,6;

16 Betriebsopt. Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 16 E = 0 bei = 10) Lösungstabelle zu Aufgabe 10) Kostenfunktion K() Aufgabe 10 a) Aufgabe 10 b) Aufgabe 10 c) ,001-0, Grenzkosten GK = K 0,0 0,00-1, + 10 Durchschnittskosten DK=k = K ,001-0, GK = K min konstant linear K = 0,006-1, = 0 (1) GK = K = 0 steigend = 00 ()GK =K > 0 (Min.) DK =k min (1) k = 0 () k" > 0 (Min) Hyperbel; Optimum an der Kapazitäts-Grenze k = = = 70, 71 k = = 0 Newton Verfahren 10, 8 11) a) Umsatzfunktion: U() = 400-0,1 Grenzumsatz U () = 400-0, b) U = ma! wenn U () = 0 oder = 000 1) a) Grenzkosten = GK = K = 0,0 ² -, Durchschnittskosten =DK = k = 0,01 ² - 1, variable Kosten/ME = VDK = k v = 0,01 ² - 1, + 50 b) Grenzumsatz U = p [Der Preis ist ein Markt-Datum] c) Notwendige Bedingung für ein Gewinn-Maimum: U = K oder p = K p = 5: G1 = 0 und G = 50 G"(0) = 0,6 > 0 Minimum G"(50) = - 0,6 < 0 Maimum p = 18: G(50) = G1 = 16,91 u. G = 6,09 G"(16,91) = 1,9 > 0 Minimum G"(6,09) = -1,9 < 0 Maimum G(6,09) = -5,67 p = 9: G1 = 10 und G = 70 G"(10) = 1,8 > 0 Minimum G"(70) = - 1,8 < 0 Maimum G(70) = 80

17 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 17 1) B 00 = 91,1 Mio 14) W o = W 1 = e -1(0,0) = 11868,87 15) y = hat neben den vorgegebenen Nullstellen 1 = und = noch die.nullstelle = 0; Polynom-Division durch (-)(-)(-0) = Restpolynom liefert die beiden restlichen Nullstellen 4 = - und 5 = -. 16) Nullstelle bei = ; Polstelle bei = -; hebbare Unstetigkeitsstelle bei = 1 und = 0. 17) λ r Y= ( λa) α ( λ K) 1 α = ( λ α A α )( λ 1 α K 1 α ) = ( λ α λ 1 α ) A α K 1 α =λ 1 Y --> r = 1 18) y = ; y = ; y = + y = 19) y = 0-0,5 70 ; y = 70 ; y = ; y = 0) a1) U() = p() = 0-0,5 = -0,5 (-0) + 00 a) U(ma) = 00; U () = 0 - = 0 = 0 60 ; Nullstellen: U() = 0, d.h. - 0,5 + 0 = 0 mit 1 = o oder = 40 b1) G() = U - K = - 0, = -0,5 ( - 18) + 15 b) Nullstellen 1 = 5,455 oder = 0,5645 G(ma) = 15; G () = 0 für =18 b) Nullstelle = 0,5645 (=break-even-point) 1) y* = ln y = ln k + (lna) y* = ln y = ln A + n * mit * = ln ) a) Pro-Kopf-Produktion y = Y 1 α A = A α 1 K 1 α K K = = α A 1 A b) 1 α Y α 1 1 α K K = αa K = α = α α A A 1 A 1 α o, 4 K = o,6 A α Y α α K K K = ( 1 α) A K = ( 1 α) = ( 1 α) o α K A A =, 4 A α 1 α o, 4 K = A Y Y c) Y o = A α K 1 α A = K( α o o,6 ) ; für α=0,6 gilt: A = K( o ) K K d) Hyperbel (stetig, asymptotischer Verlauf zur Y- und A-Achse, Höhe von Y o bestimmt die die Entfernung der Hyperbel vom Koordinatenursprung. ) a) =0: z = 4-0,5 y; z=0: y= 8-0,6 ; y=0: z = 4-0, b) Isohöhenlinie für z = 1: y = 6 - o,6 Isohöhenlinie für z = : y = 4 - o,6 o, 6

18 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 18 4) Ausgangsfunktion 1. Ableitung: 4 8 a) y = y = b) y = y = c) y = 8 y = 6 6 5) a) Nullstellen = 0 und = 4 b) Etremwerte für y = 0 y = y" = - 8; prüfen auf Minima bzw. Maima: y" (4) = 4 > 0 Minimum y"(4/)= -4 < 0 Maimum 8 + 8= 0; also für = 4 und = 4. 6) a) Nachfragefunktion: p = 100-0,001 Angebotsfunktion p = 4,5 + 0,0005 b) Gleichgewichtspreis p G = 54 ; G = c) A - N = (= maimale Angebotsüberschußmenge) = p [ p] p = 60 = Mindestpreis 7) a) U() = 7 ; U ()= 7 ; K () = 0, b) Break-Even-Point (U = K): 1 = 0 und = 50; d.h. 1 = 0 = Gewinnschwelle e) Gewinnmaimale Absatzmenge: G=ma = 5. f) G(ma) = G(5) =,5 g) Notwendige Bedingung für Gewinnmaimum: Grenzumsatz = Grenzkosten! K ) a) = (Zweipunkte-Form); K = (Normalform) b) U = 8 c) G = ; G(5000) = ) a) p = 50-0,5 b) p G = 180 und G = 80 c) Höchstpreis = 10 /Stck. 0) a) K() = bzw. k() = b) G(70000) = c) p = ist die absolute Preisuntergrenze; für p < sollte die Produktion eingestellt werden. 1) a) K() = b) Gewinnschwelle bei = 10 ) a) Gewinnschwelle bei = Flachen/Monat b) G(000000) = ) Nullstellen a) =0 b) =0 c) keine Nullstelle d) = -

19 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 19 = ) a) y ( ) = + 1 b) y ( ) = + 9 c) y ( ) 5) (1) () () a)umsatz U()= b) Grenzumsatz U ()= c) U=ma bei = 5 Kap.Grenze 7,5 6) a) p = 60-0,001 b) Preis muss erhöht werden, wenn der Umsatz gesteigert werden soll. c) U = ma bei einem Preis von 0. 7) a) Nachfragefunktion p () = 50-10/ b) Umsatzfunktion U() = 50-10/ 11 Gewinnfunktion G( ) = c) Umsatz = ma bei = 7,5 Gewinn = ma bei = 0 d) Gewinnbereich [5;55] 8) (1) () () a) U = ma bei = 7,5 Kap.-Grenze,5 b) Gewinnbereich [;10] [7;17] [0,5;,4] c) G = ma bei = 6 1 1,9 9) (1) () () a) Grenzkosten K ()= 0,5 0,5 5 Stückkosten k() = , b) Var. Stck.Ko.: k v ()= 0,5 0, fie Stck-Ko.: k f ()= 40) (1) () () a) Umkehrfunktion y = 4 b) wg. der ökonom. Bedeutung der Variablen(namen) (z.b. p=preis und = Menge). 41) a) = 1,469 b) = 1 7 4) y = - 1 und y = 6 Konveer Verlauf für > 0; konkaver Verlauf für < 0. 4) Wendepunkte bei = + und = ; Sattelpunkt bei 1 = 0 44) a) Nullstelle bei 1 = b) Polstelle bei = c) Etremwert = 1 (rel. Minimum, da y (1) > 0)

20 45) a) Nullstelle bei 1 = 8 b) Polstelle bei = c) Lücke bei = Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen ) a) U() = bzw. U() = ( ) b) G() = bzw. G() = ( ) c) U = ma bei = 5 und G = ma bei = 47) Nullstellen sind 1 = 0 und = 78,15 48) G = ma bei = 7,40 49) a) Linearer Verlauf: a = E t = = 600 Et = E t = t b) Geometrisches Wachstum: E n n E = E ( 1+ w) ( 1+ w) = n ( 1+ w) = 5 w = 0, 057 n 0 E 0000 Somit gilt: E t = 0000( 1, 057) c) Stetiges Wachstum: E rn r5 r5 5 E = E e E = E e e = = 4 r = 0, n 0 5 o E Somit gilt: E t = 0000e 0, 05545t t o o E t E 5 Et = E t E t = E ( 1, 057 ) o t E o 0 5 t

21 50. = 0 ; 4 = - ; 5 = a = und c = 0,5 ; y = (0,5) Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 1 5. a) K v = ³ - ² + und K f = b) K = ² k v = ² - + k = ² / c) k v = - = 0, d.h. = 1 (Minimum, da k v = > 0) K = 6-4 = 0. d.h. =/ (Minimum, da K = 6 >0 ) d) K = 6-4 = 0, d.h. = / ist Wendepunkt der Kostenfunktion 5. a) K() = 0,5 ² + K f b) p = K d.h. = 10 c) p = k, dh. K f = 4 d) kurzfristig: p = K oder 0,5 =, dh. = 6 Ergebnis: k(6) = 19/6, dh Verlust pro Stck von 1/6 (p - k v ) = ( - 1,5 ) = 1,5 = Deckungsbeitrag pro Stck. langfristig: p = k (Vollkostendeckung) ist nicht möglich unter den gegebenen Annahmen! Grund: k = min liegt bei = 6,; k(6,) =,16: der Preis liegt bei p = 54. Die 1. Ableitungen der folgenden häufig vorkommenden Funktionen lauten: 1. y = n y = n n 1. y = c = const. y = 0. y = a + b y = a 4. y = a + b + c y = a + b 5. y = 1 1 y = 6. y = 1 n y = + 7. y n = 1 f ( ) 8. y = y = n 9. y = y = n 1 y = f ( ) ( f ( )) 1 n 10. y = 1 1 y = 11. y = f ( ) f ( ) y = f ( ) 1. y = ln 1 y = 1. y = ln( n ) n y = 14. y = ln f ( ) y = f ( ) f ( ) y = log a y = ln a 1 n n 1

22 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen y = log a f ( ) y = ln a 17. y = e y = e 18. y = a y = a ln a f ( ) f ( ) 19. y = y = ( 1 + ln ) 0. y e f ( = ) 1. y a f ( = ) y = f ( ) e f ( ) y = f a f ( ) ( ) ln a y = 9 und y = z. y = z + 1 und y = z + 1 z z. y = 40z und y = 40 z 4. = K y 5 A A 0, 5 z 0, 5 K 5 und = A y K 56. a) u = 7,5 und U ma = 11,5 b) G = -(-6)²+ mit S( 6/) d.h. g = 6 und G ma = c) Gewinnintervall [;10] 57. a) p g = 450 und g = 700 b) p hö = Nullstellen bei = 0; = 6 und = -6 (notwendige Bedindung) y (6) = 16 >0 d.h. rel. Minimum y (-6) = - 16 < 0 d.h. rel. Maimum y (0) = 0 mit y (0) = -6 d.h. bei = 0 liegt ein Sattelpunkt vor. 59. a) Umsatzfunktion U() = -10 ² Scheitelpunktform U () = -10(-5)²+50 b) Gewinnfunktion G() = -10(-)²+40 c) U ma = 50 bei = 5 G ma = 40 bei = 60. a) Grenzertragsfunktion y = -9²+6+1 y Durchschnittsertragsfunktion y = = -²+18+1 b) Wendpunkte bei = ; Etremwerte der Ertragsfunktion bei = 4, (Ma.)und der Durchschnittsertragsfunktion bei = (Ma.) c) Konveer Verlauf im Intervall (0 ; ) und konkaver Verlauf ( ; 4,). 61. a) g = 0 und p g = 10 b) Angebotsüberschuß = 5 ME c) Preis p 1

23 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen 6. Optimierungsansatz: K = 0 A + 10 K Zielfunktion Min A 0, 8 K 0, = 0 Nebenbedingung Lagrange-Funktion: F = 0 A + 10 K + λ[ A 0, 8 K 0, ] (1) F A 0, 0, 1 A = λ A K = λ = K () F 0, 8 0, 8 1 K = λ A K = λ = K A () F λ = A 0, 8 K 0, = 0 0, 0, 8 einsetzen! A = K Die Auflösung des Gleichungssystems ergibt folgende Lösungswerte: K = 57,4 ME A = 114,87 ME λ = 0,8717 Ergebnis: Das Einsatzverhältnis von A zu K beträgt zu 1 (optimales Faktoreinsatzverhältnis für die Entwicklung entlang des Epansionsphades.) Bei einer vorgegebenen Produktionsmenge von ME betragen die minimalen Kosten 871,70 GE mit den o.a. Inputs. Die Hilfsvariable λ = 0,8717 gibt an, um welchen Betrag die Kosten sich insgesamt erhöhen, wenn die vorgegebene Kapazitätsgrenze um 1 Einheit erhöht wird. [Hinweis: Formal gilt: F λ = =0,8717] 6. a) y = ( - )² + 1 m > 0 d.h. Parabel ist nach oben geöffnet (Min. im Scheitelpunkt) Koeffizienten a und b bilden die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel S( ; 1) mit a =, d.h. Verschiebung um Einh. in Richtung der pos. -Achse b = 1, d.h. Verschiebung um 1 Einheit in Richtung der pos. y-achse b) (1) Etremwerte y = 4-8 = 0 d.h. = y = 4 >0. dh. bei = liegt ein Minimum vor. () Steigung (zu überprüfen an y = 4-8) Steigung positiv für > Steigung negativ für < Steigung gleich Null für = 0 () Wendepunkt Fkt. hat keinen Wendepunkt, da y > 0 für alle -Werte, d.h. y kann nicht Null werden; somit liegt auch kein Wendepunkt vor.

24 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen a) U = ² U = = 0 d.h. u = 50 b) K = ² K = - 40 = 0 d.h. w = 0 c) (1) gesamte Stückkosten k = 1/ ² / () variable Stückkosten k v = 1/ ² () fie Stückkosten? k f = 60000/ d) k v = min bei = 0, denn k v = / - 0 = 0 für = 0 und k v!= />0 (Min.) e) Ansatz: U = K für Gewinnmaimum! = ² ² = 500 bzw. = +50 oder = - 50 Gewinnmaimale Menge: g, = 50 Gewinnmaimaler Preis: p g, = 1000 Gewinn G ma =., GE 65. Optimierungsansatz: Zielfkt.: z = y + 0 y - ² - y².= ma.! Nebenbed.: 84 = y optimale Lösung: = 6 (Facharbeiterstunden pro Woche) und y = (Hilfsarbeiterstunden pro Woche. b) z ma = Produktionseinheiten pro Woche c)der λ-wert von 118 bringt die Sensitivität des optimalen Lösungswertes z ma in Bezug auf eine Veränderung der Kostenbudget-Restriktion um 1 Einheit zum Ausdruck. Wenn das Kosten- Budget von 84 GE auf 85 GE angehoben würde, so hätte das (ceteris paribus) eine Veränderung der optimalen Produktionsmenge um 118 ME zur Folge. Der λ-wert stellt somit einen Schattenpreis oder die Opportunitätskosten der gewählten Kosten-Restriktion dar. 66. (p) = 100/p, d.h. = - 100/p² und /p = 100/p², somitgilt: ε = = : = 1. p p p 67. U = p = = = kons tan t für alle - und p-werte. D.h. der Umsatz kann durch eine Preisveränderung nicht beeinflußt werden, weil die mengenmäßige Nachfrage im entsprechenden Umfang reduziert wird. Die Verbraucher haben ihre Nachfrage niveaumäßig budgetiert und reagieren isoelastisch auf eine entsprechende Preisstrategie der Unternehmen. Die Preiselastizität von - 1 auf diesem Markt bringt zum Ausdruck, dass z.b. eine 5 %-ige Preiserhöhung eine 5 %-ige Mengenreduzierung zur Folge hat und damit das Volumen der Gesamtnachfrage sich nicht verändert.

25 Schumacher - Übungsaufgaben Analysis mit Lösungen a) p () = mit p = - ; Umkehrfunktion (p) = 50-0,5 p mit = - 0,5. Daraus folgt unmittelbar die Behauptung. b) Absatzmenge = 5. c) Umsatzfunktion U = p() = ² Grenzumsatz U = du = > 0 < 5; d Ergebnis: Für Absatzmengen < 5 ist die Umsatzfunktion steigend. Bei = 5 hat sie ein Maimum und für > 5 nimmt der Umsatz ab. Die Preiselastizitäten sind in den entsprechenden Intervallen: Für < 5 gilt: ε > 1 mit U > 0 Für = 5 gilt: ε = 1 mit U = 0 Für > 5 gilt: ε < 1 mit U < Kreuzpreiselastizitäten - Pkw-Nachfrage in Bezug auf Benzinpreise: ε = < 0 (Komplementäre Güter) 10 - Fahrrad-Nachfrage in Bezug auf Benzinpreise: ε = + > 0 (Substitutive Güter) 70. a) Steigung = 1. Ableitung: S = 500 Y b) Einkommenselastizität ε = + 1 s, y c) Grenznachfrage nach Strom (S ) wird durch die 1. Ableitung angegeben. Die 1. Ableitung mißt den Strombedarf einer zusätzlichen Einkommenseinheit; sie ist zwar positiv, nimmt aber mit steigendem Y stetig ab. Die Einkommenselastizität gibt unabhängig von der absoluten Höhe des Einkommens oder der Stromnachfrage das relative Verhältnis der Veränderung beider ökonomischer Größen an. Die Verhältniszahl 0,5 bringt zum Ausdruck, dass die relative Veränderung der Stromnachfrage halb so hoch ausfällt als die relative Veränderung des Sozialprodukts einer Volkswirtschaft. d) Aus der Definition der Einkommenselastizität folgt der Ansatz: ds dy = ε S s, y Y ds ( ) S = 1 0, 05 = 0, 015, d.h. der Stromabsatz wird nur um 1,5 % steigen, wenn das Sozialprodukt um,5 % wächst. 0, 7 0, 8 Y Y A K 71. a) Produktionselastizitäten σ A = : A A = 00,, 1000A K = , 0, Y Y A K und σ K = : K K = 800,, 1000A K = b) Homogenitätsgrad r ist zu bestimmen: r 0, 0, 8 Yλ = 1000( Aλ) ( Kλ) r 0, 0, 0, 8 0, 8 0, 0, 8 0, 0, 8 Yλ = 1000A λ K λ = 1000A K ( λ λ ) r 0, 0, 8 0, + 0, 8 1, 1 Yλ = Y( λ λ ) = Yλ = Yλ r = 1,1, d.h die Produktionsfunktion ist homogen vom Grade 1,1. r =1,1 > 1 bringt zum Ausdruck, dass eine gleich hohe proportionale Erhöhung beider Inputfaktoren zum Beispiel um 5 % bewirkt, dass der Output sich insgesamt um den Faktor (1,05) 1,1 = 1,0551 erhöht, d.h., die Zuwachsrate des Outputs beträgt unter den gegebenen Umständen 5,51 %. Dieser Effekt kann z.b. durch die Wirksamkeit von technischen Fortschritt erklärt werden.