Aufgabenblatt 6: Erwartungen

Transkript

1 Aufgabenblatt 6: Erwartungen Lösungsskizze Bitten beachten Sie, dass diese Lösungsskizze lediglich als Hilfestellung zur eigenständigen Lösung der Aufgaben gedacht ist. Sie erhebt weder Anspruch auf Vollständigkeit noch auf Richtigkeit. Es handelt sich zudem ausdrücklich nicht um eine Musterlösung im Sinne einer mit voller Punktzahl bewerteten Klausuraufgabe. Aufgabe 1 (Erwartungen und Geldpolitik, Klausuraufgabe SoSe 2008 ) Betrachten Sie eine Ökonomie, in der die gesamtwirtschaftliche Produktion in Periode t entsprechend der Lucas-Angebotsfunktion Y t = Y n + π t π e t, (1) erfolgt, wobei Y n den strukturellen Output und π e t die Inflationserwartung der Haushalte bezeichnet. Die Inflationsrate π t wird von der Zentralbank bestimmt. Die Zentralbank ist bestrebt die Abweichungen von ihren Zielen zu minimieren. Die Verlustfunktion lautet mit Y z als Zielwert für den Output, Y z > Y n. (a) Erläutern Sie die Lucas-Angebotsfunktion. M t = (π t ) 2 + (Y t Y z ) 2, (2) Wenn die aktuelle Infaltion in der betrachteten Volkswirtschaft die den gewerkschaftlichen Lohnverhandlungen zugrunde liegende erwartete Inflaionsrate übertrifft (π t > π e t ), werden Unternehmen aufgrund der resultierenden relativen Produktionskostenverbilligung den Arbeitseinsatz erhöhen und somit ihren Output über das strukturelle Niveau hinaus erhöhen (Y t > Y n ). 1

2 (b) Berechnen Sie die optimale Inflationsrate der Zentralbank in Abhängigkeit von der Inflationserwartung. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert der Verlustfunktion in Abhängigkeit der Inflationserwartung. Einsetzen von (1) in (2) gibt: M t = (π t ) 2 + (Y n + π t π e t Y z ) 2 (3) Differenzieren von (3) nach π t erbringt dann die B.E.O.: 2π t + 2(Y n + π t π e t Y z )! = 0 bzw. nach Umformung: π t = 1 2 [Y z Y n + π e t ] (4) einsetzen von (4) in (3): M t = 1 2 [Y z Y n + π e t ] 2 (5) (c) Berechnen Sie die optimale Infaltionsrate und den Wert der Verlustfunktion für eine Inflationserwartung in Höhe von Null (π e t = 0). Wie erklären Sie sich das Ergebnis? Gehen Sie bei Ihren Erläuterungen insbesondere auch auf die Rolle des Outputziels der Zentralbank ein. Direktes einsetzen von π e t = 0 in (4) und (5) erbringt: π t = 1 2 [Y z Y n ] bzw. M t = 1 2 [Y z Y n ] 2 Die Zentralbank nutzt die falsche Erwartungshaltung der Haushalte um ihre Verlustfunktion zu minimieren, d.h. sie nimmt für eine Annäherung an ihr Outputziel eine positive Inflationsrate in Kauf um die Unternehmen zu einer Ausweitung ihrer Produktion veranlassen zu können. Je höher das Outpuziel der Zentralbank, umso gewichtiger wäre der Verlust aus einer abweichenden aktuellen Produktion und desto höher somit die gewählte Inflation um die Produktion zu stimulieren. (d) Nehmen Sie an, die Zielfunktion der Zentralbank ist allgemein bekannt und berechnen Sie die gleichgewichtige Inflationsrate bei korrekten Preiserwartungen. Bestimmen Sie den entsprechenden Wert der Verlustfunktion. Stellen Sie das Gleichgewicht in einer geeigneten Graphik dar und geben Sie anschließend eine kurze ökonomische Erklärung für das Resultat. 2

3 Bei korrekten Preiserwartungen werden die Haushalte ihre Inflationserwartung entsprechend der Zielfunktion der Zentralbank anpassen, d.h.: π t = π e t. Einsetzen in (4) und (5) erbringt dann: π t = Y z Y n bzw. M t = 2[Y z Y n ] 2 (6) Je höher die Inflationserwartung, desto höher auch die gewählte Inflation der Zentralbank. Eine umso höhere Inflation ruft jedoch auch einen immer größeren Verlust relativ zu einer konstanten Outputabweichung hervor. Bei korrekten Preiserwartungen kennen die Haushalte nun die Zielfunktion der Zentralbank und werden somit deren Anreiz zur inflationsbasierten Produktionssteigerung auch richtig vorhersehen. Im Gleichgewicht wird dann letztlich keine Produktionsstimulierung erreicht, jedoch bei höherer Inflation als die Zentralbank eigentlich gerne hätte. Der Grund liegt im Zeitinkonsistenzproblem der Geldpolitik: Die Ankündigung einer wohlfahrtsminimalen Nullinflation ist nicht glaubwürdig wenn die Zielfunktion den Haushalten bekannt ist. Graphische Lösung: s. Übung Anmerkung: Im Gleichgewicht wird genau jenes Inflationsniveau realisiert, welches zum Gesamtverlust der Zentralbanksfunktion denselben Beitrag leistet wie die weiterhin bestehende Outputabweichung. Eine höheres Inflationsniveau lohnt sich für die Zentralbank dann nicht mehr, da der daraus resultierende Verlustbeitrag relativ zu der Verlustreduktion aufgrund der induzierten Outputannäherung an die Zielvorgabe dann zu hoch wäre glaubwürdiges Inflationsniveau! (e) Bestimmen Sie die gleichgewichtige Inflation bei korrekten Erwartungen, wenn die Zentralbank darauf abzielt den Output möglichst auf dem natürlichen Niveau zu halten (Y z = Y n ). Erklären Sie ihr Ergebnis auch in einfachen Worten. Einsetzen von Y z = Y n in (6) bringt π t = 0 und M t = 0. Das Problem der Zeitinkonsistenz der Geldpolitik entsteht durch die über der strukturellen Output hinausgehende Produktionsabsicht in der Zielfunktion der Zentralbank. Tritt dies nicht auf wenn als Zielvorgabe das strukturelle Outputniveau festgesetzt wird, so verschwindet das Problem und die Zentralbank kann glaubhaft versichern das sie eine Inflationsrate von 0 setzen wird. Dies ist dann die verlustminimierende Inflationsrate in der Zielfunktion der Zentralbank, die den Haushalten bei korrekten Erwartungen ja bekannt ist rational πt = 0 zu erwarten kein Verlust im Gleichgewicht! 3

4 Aufgabe 2 (Real- und Nominalzins) Ein Anleger hat die Wahl, einen Geldbetrag W entweder in mit i nominalverzinste Anleihen oder in Kapitalgüter, die einen Realertrag von r abwerfen, investieren zu können. (a) Stellen Sie für beide Anlageformen die erwartete nominale Auszahlung in einer Periode dar. Erwartete, nominale Auszahlung der Anleihen in einer Periode: E A = (1 + i)w Erwartete, nominale Auszahlung der Investition in Kapitalgüter in einer Periode: E K = p e t+1(1 + r)w/p t Anlage eines Betrages W erbringt W/p t Einheiten des Kapitalguts, dessen Verzinsung gemäß r erfolgt. Für einen Vergleich mit dem Ertrag einer nominalen Anlagemöglichkeit muss der Wert der realen Anlage jedoch noch zum erwarteten Preis des Kapitalguts der nächsten Periode (p e t+1) wieder in nominelle Einheiten übergeführt werden. (b) Die Forderung der Arbitragefreiheit verlangt, dass die erwartete Rendite zweier Finanzanlagen gleich sein muss (bei risikoneutralen Investoren). Unterstellen Sie diese Form der Arbitragefreiheit und leiten Sie anhand Ihres Ergebnisses aus (a) die Fishersche Zinsgleichung her. Arbitragefreiheit: Anlageformen müssen den selben Ertrag erbringen: E A = E K bzw. (1 + i)w = (1 + r)w pe t+1 p t (7) erwartete Inflationsrate: π e t := pe t+1 p t p t pe t+1 p t = 1 + π e t (8) Einsetzen von (8) in (7) gibt: (1 + i) = (1 + r)(1 + π e t ) Logarithmieren erbringt dann: ln(1 + i) = ln(1 + r) + ln(1 + π e t ) Benutzen der Näherungsformel ln(1+x) x (für kleine x) liefert dann: Fisher sche Zinsgleichung: i = r + π e t Für gegebenen realen Ertrag einer Kapitalgüteranlage muss bei einer pos. Inflationserwartung die Anlage in Anleihen dementsprechend eine höhere nominale Verzinsung bieten, so dass Arbitragefreiheit erfüllt ist. 4

5 Aufgabe 3 (Erwartungen und Investitionen) Gehen Sie von folgender realer Gewinnfunktion eines Unternehmens in monopolistischer Konkurrenz aus: Π = p(y )Y w p N (i + δ)k + πe K, mit Y = F (K, N) als Output und p(y ) als dem realen Absatzpreis des Unternehmens. Gehen Sie bei der Beantwortung der Fragen davon aus, dass das Unternehmen bei seinen Entscheidungen seinen eigenen Einfluss auf das gesamtwirtschaftliche Preisniveau p und die erwartete Inflation π e ignoriert. (a) Leiten Sie die Bedingung für die optimale Einsatzmenge des Kapitals unter Berücksichtigung der Preiselastizität der Nachfrage (η = Y p her (Grenzproduktivitätsregel). Die gewinnmaximale Einsatzmenge des Kapitals ergibt sich durch Nullsetzen der Ableitung der Gewinnfunktion nach K: Π K = p(y )F K + p Y F KF (K, N) i δ + π e = 0 Umformen und Einsetzen von η ergibt: ( p(y )F K 1 1 ) = i + δ π e η Einsetzen der Fisher-Gleichung liefert die Grenzproduktivitätsregel: ( p(y )F K 1 1 ) = r + δ η Der Wert des Produktivitätszuwachses durch einen höheren Kapitaleinsatz muss im Gewinnmaximum gerade dem Kostenanstieg entsprechen (Kapitalnutzungskosten ohne Steuern entsprechen r + δ). (b) Mit einer Investition in t erhöht sich der Kapitalbestand in der Folgeperiode. Berechnen Sie den Barwert der zukünftigen Erträge einer zusätzlichen Einheit Kapitals. Gehen Sie von statischen Erwartungen und einer Fixierung des Kapitalbestands auf dem erhöhten Niveau durch Abschreibungen aus. Der Barwert zukünftiger Erträge einer weiteren Einheit Kapital ist: P V = 1 Π e t r K + 1 Π e t+2 (1 + r)(1 + rt+1) e K p Y )

6 Bei statischen Erwartungen gilt: Πe t+n K = Π K, n und re t+n = r, n. Der Barwert kann hiermit dann geschrieben werden als: P V = Π ( ) K 1 + r 1 + r + 1 (1 + r) Wird der Barwert über unendlich viele Perioden gebildet, ergibt sich: ( ) P V = Π 1 1 K 1 + r 1 1 = Π 1 K r 1+r (c) Leiten Sie aus den Ergebnissen von (a) und (b) eine geeignete Entscheidungsregel für die Durchführung von Investitionen her und erläutern Sie kurz. Welchen Effekt hätte hier eine Zunahme des Wettbewerbs auf die Investitionsentscheidung? Einsetzen des Ergebnisses aus Aufgabenteil (a) in den Barwert ergibt: ) p(y )F K (1 1 δ η P V = 1 r Mit q := p(y )F K(1 η) δ 1 kann der Barwert einer zusätzlich investierten r Einheit Kapital dann geschrieben werden als: P V = q 1 Eine Investition ist also rentabel, wenn q > 1, also wenn der Nettoertrag der Investition den herrschenden Realzins übersteigt. Wenn also die Investitionsentscheidungen der Unternehmen vom Barwert der zukünftigen Eträge abhängen (I = I(P V )), dann steigen die Investitionen mit q, bzw. sinken mit r. Steigender Wettbewerb drückt sich hier in einem Ansteigen der Preiselastizität der Nachfrage aus (Vollkommene Konkurrenz: η =. Beachten Sie zudem, dass für ein Gewinnoptimum des Monopolisten η > 1 sein muss). Je größer η, desto geringer ist die Preiseinbuße für die nächste produzierte Einheit Y bzw. desto geringer ist der Anreiz durch eine Verknappung des Angebotes den Preis hoch zu halten. Dadurch ist die outputsteigernde Wirkung einer weiteren Einheit Kapital bei gleichen Kosten umso wertvoller. Der Nettoertrag einer zusätzlichen Einheit Kapital steigt also mit der Preiselastizität der Nachfrage und damit q. Die Investitionen nehmen also mit Wettbewerb am Markt zu. 6