Physikalisches Anfängerpraktikum 2 Universtität Konstanz, SS 2011 Elektrischer Schwingkreis & Elektrische Schwingungssiebe

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1 Physikalisches Anfängerpraktikum 2 Universtität Konstanz, SS 2011 Elektrischer Schwingkreis & Elektrische Schwingungssiebe John Schneider & Jörg Herbel &

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Ziele der Versuche 4 2 Physikalische Grundlagen Elektrische Widerstände Der ohmsche Widerstand Der kapazitive Widerstand Der induktive Widerstand Der komplexe Widerstand Auf- und Entladung eines Kondensators Elektrische Schwingungssiebe RC -Hoch-/Tiefpass LC -Hoch-/Tiefpass Energie im elektrischen und magnetischen Feld Elektrische Feldenergie eines Kondensators Magnetische Feldenergie einer Spule Der elektrische Schwingkreis Die Schwingungsgleichung der freien Schwingung Schwache Dämpfung bzw. Schwingfall Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Die Schwingungsgleichung der erzwungenen Schwingung Phasenverschiebung zwischen Anregung und Schwingung Das Oszilloskop Versuchsdurchführung Elektrischer Schwingkreis Versuchsteil I Versuchsteil II Versuchsteil III Auswertung Elektrischer Schwingkreis Auswertung I Auswertung II Auswertung III Fehlerdiskussion

3 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 5 Versuchsdurchführung Elektrische Schwingungssiebe Zeitkonstante eines RC-Gliedes RC-Hoch- und -Tiefpass LC-Hoch- und -Tiefpass Auswertung Elektrische Schwingungssiebe Zeitkonstante τ Durchlasskurven der RC- und LC-Kombinationen Phasenverschiebung RC-Kombinationen Phasenverschiebung LC-Kombinationen Fehlerdiskussion Fragen und Aufgaben Elektrischer Schwingkreis 40 8 Anhang Messprotokolle

4 2 Physikalische Grundlagen 1 Ziele der Versuche Im Versuch Elektrischer Schwingkreis soll die Erzeugung elektrischer Schwingungen durch einen Schwingkreis studiert werden. Zunächst wird auf die Umwandlung zwischen elektrostatischer und magnetischer Energie eingegangen, danach wird ein gedämpfter Schwingkreis betrachtet. Zuletzt werden wir erzwungene Schwinungen untersuchen. Im Versuch Elektrische Schwingungssiebe werden die Wechselstromeigenschaften verschiedener Schaltkombinationen aus Kondensatoren, Spulen und ohmschen Widerständen untersucht. Es soll überprüft werden, inwiefern die Signalweiterleitung von Wechselströmen von der Eingangsfrequenz abhängt. 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Elektrische Widerstände Der elektrische Widerstand gibt an, welche Spannung U angelegt werden muss, um einen Strom einer bestimmen Stärke I durch einen Leiter fließen zu lassen. Hierbei gibt es verschiedene Arten von elektrischen Widerständen, welche von unterschiedlichen Bauteilen verursacht werden. Außerdem muss bei der Betrachtung des elektrischen Widerstands zwischen Gleich- und Wechselstrom unterschieden werden Der ohmsche Widerstand Legt man einen elektrischen Leiter eine Spannung an, so fließt durch diesen ein elektrischer Strom. Die experimentelle Erfahrung hat gezeigt, dass dieser Strom I der angelegten Spannung U proportional ist: U I. Die entsprechende Proportionalitätskonstane R heißt ohmscher Widerstand (nach dem deutschen Physiker Georg Simon Ohm), es gilt: R = U, [R] = 1 Ohm = 1 Ω (1) I 4

5 2 Physikalische Grundlagen Hierbei macht es für den ohmschen Widerstand keinen Unterschied aus, ob es sich um einen Gleich- oder um einen Wechselstrom handelt. Für einen homognen Leiter der Querschnittsfläche A und der Länge l berechnet sich R zu R = ϱ l A (2) wobei ϱ spezifischer Widerstand des Leitermaterials heißt und temperaturabhängig ist, weshalb sich auch R selbst mit der Temperatur ändert. Man nennt den ohmschen Widerstand auch Wirkwiderstand, weil er eine Wirkung im Sinne der Umwandlung von elektrischer Energie in Wärme hervorruft: Fließt ein Strom durch einen ohmschen Widerstand, so erwärmt sich dieser Der kapazitive Widerstand Ein kapazitiver Winderstand tritt auf, wenn ein Kondensator in den Stromkreis eingebracht wird. Hierbei muss man im Gegensatz zum ohmschen Widerstand zwischen Gleich- und Wechselspannung unterscheidung. Liegt eine Gleichspannung an, so kann der Strom nur solange fließen, bis der Kondensator der Kapazität C vollständig geladen ist. Danach wirkt derselbe als unendlicher hoher Widerstand im Stromkreis und ein weiterer Stromfluss ist nicht möglich. Liegt jedoch eine Wechselspannung U e an, so wird der Kondensator periodisch ge- und entladen. Es gilt, wobei Q die Ladung des Kondensators sei: U e = Q C du e dt = 1 C dq dt = 1 C I (3) Geht man von einer rein periodischen, maschinellen Wechselspannung der Kreisfrequenz ω aus, so kann man außerdem schreiben: U e = U e (t) = U 0 cos ωt (4) (4) in (3) liefert: d(u 0 cos ωt) dt = 1 C I (5) U 0 ω sin ωt = 1 C I (6) I = C U 0 ω sin ωt (7) 5

6 2 Physikalische Grundlagen Benutzt man nun, dass sin x = cos(x + π ) gilt und dass außerdem 2 C U 0 ω = konst. =: I 0 ist, so erhält man: ( I = I(t) = I 0 cos ωt + π ) 2 (8) Vergleicht man (4) und (8), so stellt man fest, dass Spannung und Stromstärke nicht mehr in Phase sind, sondern um π /2 = 90 phasenverschoben: Abbildung 1: Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis bestehend aus einer Spannungsquelle und einem Kondensator Diese Phasenverschiebung ist genau der Effekt eines kapazitiven Widerstands, der im Gegensatz zum ohmschen Widerstand keine elektrische Energie in Wärme umwandelt, sondern die Energie im System erhält. Man spricht in diesem Zusammenhang auch von einem Blindwiderstand Z C, welcher den Betrag Z C = U 0 /I0 = 1 /C ω hat. Man kann diesen Widerstand auch als komplexe Zahl interpretieren, deren Argument ϕ C dem Winkel entspricht, um den die Spannung der Stromstärke hinterherhinkt : ϕ C = 90. Folglich ist Z C eine rein imaginäre Zahl, für die gilt: Z C = i Z C = i 1 ω C = 1 i ω C (9) Man kann Z C auch als Vektor in der komplexen Ebene darstellen: 6

7 2 Physikalische Grundlagen I(Z C ) (Z C ) ϕ Cc Z C i C = i ω C Abbildung 2: Der kapazitive Widerstand und die Phasenverschiebung in der komplexen Ebene Aus dieser Darstellung kann man ablesen, das man die Phasenverschiebung auch wie folgt darstellen kann: tan ϕ C = I(Z C)/R(Z C ) Der induktive Widerstand Im Fall eines induktiven Widerstands befindet sich eine Spule der Induktivität L im Stromkreis. Auch hier muss man zwischen Gleich- und Wechselspannung unterscheiden. In beiden Fällen erfolgt an der Spule eine Selbstinduktion gemäß dem Faradayschen Induktionsgesetz. Die Spule induziert eine Induktionsspannung U ind in sich selbst, welche gemäß der Lenzschen Regel ihrer Ursache und damit der ursprünglichen Spannung entgegengesetzt ist. Handelt es sich bei dieser ursprünglichen Spannung um eine Gleichspannung, so nähert sich die Stromstärke asymptotisch dem Wert an, den der ohmsche Widerstand des Stromkreises zulässt, weil die Induktionsspannung duch Hemmung der ursprünglich angelegten Spannung ihrer eigenen Ursache entgegenwirkt und somit im Laufe der Zeit verschwindet. Liegt jedoch eine Wechselspannung U e = U e (t) = U 0 cos ωt an, so stellt sich genau wie beim kapazitiven Widerstand ein periodischer Verlauf von 7

8 2 Physikalische Grundlagen Spannung und Stromstärke ein. Es gilt: U e + U ind = 0 und U ind = L di dt = U 0 cos ωt = L di dt di = U 0 L I = U 0 L I = (10) (11) cos ωt dt (12) cos ωt dt (13) U 0 sin ωt (14) }{{} L ω = konst. :=I 0 I(t) = I 0 sin ωt (15) Damit beträgt die Phasenverschiebung zwischen Stromstärke und Spannung bei einem induktiven Widerstand ebenfalls 90 : Abbildung 3: Zeitlicher Verlauf von Spannung und Stromstärke in einem Stromkreis bestehend aus einer Spannungsquelle und einer Spule Wie auch ein Kondensator wirkt eine Spule demnach als Blindwiderstand, welche die elektromagnetische Energie im System erhält. Die Spannung liegt dabei um ϕ L = 90 vor der Stromstärke. Dementsprechend ist der induktive Blindwiderstand Z L ebenfalls 8

9 2 Physikalische Grundlagen eine rein imaginäre Zahl, für die gilt Z L = U 0 I 0 = L ω und Z L = i L ω (16) Elektrotechnische Anwendungen und welche als Vektor wie folgt dargestellt wird: Im(Z) Z L = iωl ϕ L ϕ C ϕl = 90 Re(Z) ϕc = 90 (Z I(Z L ) U e C I U L C =iω Z L =iωl U, I I(t) U(t) Abb Wechselstromkreis mit Kapazität C t Z C = i / ωc Abb Komplexe Darstellung des induktiven und des kapazitiven Widerstandes stand R L durch eine komplexe Zahl Z ausdrücken, deren Betrag gleich R L ist und deren Winkel ϕ gegen die reelle Achse die Phasenverschiebung zwischen ϕallgemeiner L Fall (Z L ) für ϕ = 90 der Realteil von Z null sein. Entsprechend kann man für den Phasenwinkel schreiben: tan ϕ L = I(Z L)/R(Z L ) Wechselstromkreis mit Kapazität Aus der Gleichung Der komplexe Widerstand In diesem du dqabschnitt wird der Fall diskutiert, Jede physikalisch in demsinnvolle die drei Lösungvorangehenden muss natür- Widerstandsarten hintereinander in Reihe geschaltet Eigenschaft linearer sinddifferentialgleichungen und eine Wechselspannung aus: U e anliegt. U = Q/C folgt durch zeitliche Differentiation dt = 1 C dt Mit U e = U 0 cos ωt wird I = ωc U 0 sin ωt = 1 C I. (5.18) = ωc U 0 cos(ωt + 90 ). Der Strom eilt der Spannung um 90 voraus. Der komplexe Widerstand der Kapazität C ergibt sich daher mit I 0 = ωcu 0 zu Z = U I = e i π/2 U 0 I 0 = i 1 ωc = 1 iωc. (5.19) An einen Wechselstromkreis, in dem ein Ohmscher Widerstand R, eine Induktivität L und eine Kapazität C in Serie geschaltet sind, wird eine äußere Wechselspannung U e (t) angelegt (Abb. 5.25). Nach dem Kirchhoffschen Gesetz (Abschn. 2.4) muss die Summe aus äußerer Spannung U e (t) und Induktions- Abbildung 4: Der induktive Widerstand spannung und U Strom und Spannung angibt (Abb. 5.23). Da tan ϕ = die ind = Phasenverschiebung L di/dt gleich dem Spannungs- in der komplexen Im{Z}/ Re{Z} gilt (siehe Ebene Bd. 1, Abschn. A.3.2), muss abfall U 1 + U 2 = I R + Q/C an Widerstand R und Kapazität C sein. Es gilt daher U e = L di dt + Q C + I R. (5.20) Differentiation nach der Zeit ergibt mit dq/dt = I du e = L d2 I dt dt C I + R di dt. (5.21) Wir wählen den komplexen Lösungsansatz U e = U 0 e iωt, I = I 0 e i(ωt ϕ). (5.22) lich reell sein. Wir nutzen jedoch hier die folgende Sind die Funktionen f(t) und g(t) Lösungen von (5.21), so ist auch jede Linearkombination af(t) + U e L C R U, I T I(t) t = ( ϕ / 2π) T U(t) Abb Allgemeiner Fall eines Wechselstromkreises mit Induktivität L, KapazitätC und Ohmschem Widerstand R in Serie Abbildung 5: Ein ohmscher, ein kapazitiver und induktiver Widerstand in Reihe geschaltet, auch LCR-Schaltung genannt. Entnommen aus [2], S t Nach der kirchhoffschen Maschenregel gilt dann, dass die Summe aus U e und U ind gleich der Summe der Spannungen am Kondensator und am ohmschen Widerstand sein 9

10 2 Physikalische Grundlagen muss: U e L di dt = Q C + I R U e = L di dt + Q C + I R (17) Differentiation dieser Gleichung nacht t liefert: du e dt = 1 C I + R di dt + L d2 I dt 2 (18) Um diese Differentialgleichung zu lösen, wählt man den komplexen Ansatz U e = U 0 e iωt, I = I 0 e i(ωt+ϕ). Setzt man in (18) entsprechend ein, so erhält man: d ( U 0 e iωt) dt = 1 C I 0 e i(ωt+ϕ) + R d ( I 0 e i(ωt+ϕ)) dt + L d2 ( I 0 e i(ωt+ϕ)) dt 2 (19) iω U 0 e iωt = 1 C I 0 e i(ωt+ϕ) + iω R I 0 e i(ωt+ϕ) + i 2 ω 2 L I 0 e i(ωt+ϕ) (20) U 0 = i 1 ω C I 0 e iϕ + R I 0 e iϕ + iω L I 0 e iϕ (21) Damit kann man den komplexen Widerstand Z definieren, für den gilt: Z = U I = U ( ( 0 iϕ (21) e = R + i ωl 1 )) e iϕ (22) I 0 ω C Außerdem führt man den Begriff der Impedanz ein, auch Scheinwiderstand genannt, der als Z definiert ist: ( Z = R + i ωl 1 ) ω C = R 2 + ( ωl 1 ω C = sin ϕ+i cos ϕ = e iϕ }{{} sin 2 ϕ+cos 2 ϕ=1 (23) ) 2 (24) Die Impedanz ist der Gesamtwiderstand einer Schaltung, welche aus unterschiedlichen Elementen bestehen kann. Man kann mit ihr wie mit ohmschen Widerständen rechnen. Liegt beispielsweise eine Parallelschaltung von Kondensatoren, Spulen und ohmschen Widerständen vor, verwendet man die bekannten Formeln für Parallelschaltungen ohmscher Widerstände und setzt Z ein. Weiterhin lässt sich Z auch als Vektor in der sogenannten komplexen Widerstandsebene darstellen: 10

11 2 Physikalische Grundlagen (Z) Z = Z L + Z C + R Z L Z C i ϕ (Z) ) R ω L 1 ω C Abbildung 6: Der komplexe Widerstand in der komplexen Widerstandsebene. Der Wirkanteil ist auf der R-, der Blindanteil auf der I-Achse abgetragen, durch Vektoraddition ergibt sich daraus Z. Für den Phasenwinkel ϕ gilt entsprechend: tan ϕ = I(Z) R(Z) = ωl 1 R ωc (25) Aus dieser Beziehung kann man ablesen, dass es möglich ist, die Schaltung so zu konstruieren, dass keine Phasenverschiebung auftritt. Dazu muss folgende Bedingung erfüllt sein: ϕ = 0 tan ϕ = 0 ωl = 1 /ωc. 2.2 Auf- und Entladung eines Kondensators Sind ein Kondensator der Kapazität C, ein ohmscher Widerstand R und eine Gleichspannungsquelle, welche die Spannung U e liefert, in Reihe geschaltet (RC -Schaltung), so gilt nach der kirchhoffschen Maschenregel: U e = U R (t) + U C (t) (26) = R I(t) + Q(t) C = R Q(t) + Q(t) C Q ist hierbei die Ladung des Kondensators. Diese Differentialgleichung wird gelöst (27) (28) 11

12 2 Physikalische Grundlagen durch U(t) = U 0 (1 e t RC ) (29) wobei U 0 = U e ist. Dieser Zusammenhang beschreibt die Aufladung eines Kondensators mittels Gleichstrom. Für die Entladung setzt man U e = 0, wodurch sich Gl. (28) vereinfacht zu R Q(t) + Q(t) C = 0 (30) Die Lösung für den Entladungsvorgang lautet dementsprechend: U(t) = U 0 e t RC (31) In diesem Fall steht U 0 für die Anfangsspannung des Kondensators. Der Term R C in den Gl. (29) und (31) heißt Zeitkonstante τ der RC -Schaltung. Ist seit Beginn der Auf- bzw. Entladung des Kondensators die Zeit τ vergangen, so ist der Auf- bzw. 4. Versuche zur Elektrizitätslehre Entladungsvorgang bis auf den 1 /e-ten Teil abgeschlossen. 1.0 Ladekurve U/U 0 1-1/e 0.5 1/e RC Entladekurve Zeit t.9.1: Schaltbild zur Ladung und Entladung eines Kondensators sowie ekurve. Dieses Abbildung Schaltbild 7: dient Aufauch und zur Entladung Bestimmung eines der Kondensators Zeitkonstante mit eines der eingezeichneten Zeitkonstanten τ. Entnommen aus [8] kirchhoffschen Gesetz ( Maschenregel, siehe z. B. Seite 456) müssen die in folgender Beziehung zueinander stehen: U Quelle = U R + U C (4.9.5) Q(t) = U Quelle = R Q(t)+. (4.9.6) Elektrische Schwingungssiebe C sind Spannungsteilerschaltungen für Wechselströme. Eine einfache Differentialgleichung Spannungsteilerschaltung für die zeitlich ist eine veränderliche Reihenschaltung Ladungaus Q(t) verschiedenen auf elektrischen Bausator, die durch geeignete Exponentialfunktionen gelöst wird: 1 vorgang: 2.3 Elektrische Schwingungssiebe ( U(t) =U 0 1 e t R C ) 12 (4.9.7) U 0 =angelegteladespannung, R = ohmscher Widerstand,

13 2 Physikalische Grundlagen teilen, an denen eine angelegte Eingangsspannung unterschiedlich abfällt und dadurch in 4.9 Elektrische Schwingungssiebe: Hoch- und Tiefpass 487 verschiedene Einzelspannungen aufgeteilt wird, die parallel abgegriffen werden können. RC-Hoch/Tiefpass 2.3.1EinRC RC-Hoch- -Hoch-/Tiefpass oder -Tiefpass ist nichts anderes als ein Spannungsteiler, der mit Wechselspannung betrieben wird. Man legt das Eingangssignal an die Reihenschaltung aus Ein RC ohmschem -Hoch-Widerstand bzw. Tiefpass R und istkondensator eine RC -Schaltung (Kapazitätmit C) und angelegter greift die Wechselspannung. Ausgangsspannung entweder über dem ohmschen Widerstand (Hochpass) oder über dem Kondensator (Tiefpass) kapazitiveab. Widerstand Die Schaltbilder der Schaltung sind in Abbildung nach Gl (9) dargestellt. von der Da Frequenz der kapazitive der Ein- Da der gangsspannung Blindwiderstand abhängt, des Kondensators ist auch die nach Spannung, Gleichung welche (4.9.48) man frequenzabhängig am Kondensator ist, wird oder dasam ohmschen Verhältnis Widerstand von Ausgangssignal der Schaltung zu Eingangssignal abgreifen kann, ebenfalls frequenzabhängig. von der Frequenz Dies abhängen, ermöglicht so dass man je nach Anwendungszweck entweder tiefe oder hohe Frequenzen bevorzugt es, Frequenzen weiterleiten unterschiedlicher und die anderen Frequenzen Höhe entweder unterdrücken zu unterdrücken kann. oder weiterzuleiten. Abbildung 4.9.2: Schaltbilder für den RC-Hochpass und den RC-Tiefpass. Abbildung 8: Schaltbild eines RC -Hoch-/Tiefpass aus [8] Es gilt für den Hochpass RC -Hochpass: Beim RC -Hochpass U 3 wirdrdie Spannung am ohmschen Widerstand = (4.9.64) abgegriffen. Für das Verhältnis von Ausgangs- U 1 R + Xund C Eingangssignal gilt: R = + 1 (4.9.65) U 3 R iωc (9) R = U 3 = U 1 R U 1 = + Z C R R + 1 (32) R + 1 iωc (4.9.66) iωc U 3 1 U 1 = 1 = 1 + ( 1+ ( ) (33) 1 2 ) (4.9.67) ωrc 1 2 Anund Gl. für (33) denerkennt Tiefpassman, dass U 4 X C = (4.9.68) U 1 R + X lim U 3 C 1 ω 0 U 1 = 0 und lim U 3 iωc ω U = 1 = 1 (34) R + 1 (4.9.69) iωc gilt, es werden also hohe Frequenzen U 4 weitergeleitet 1 U 1 = und tiefe unterdrückt. Das Eingangsund das Ausgangssignal sind phasenverschoben, für den Phasenwinkel ϕ gilt: iωc R + 1 (4.9.70) iωc 1 =. (4.9.71) tan ϕ = I 1+(ωRC) (U 3 /U1 ) 2 R ( U 3 /U1 ) = 1 (35) ω R C ωrc Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 81, Date: :38: (Mi, 04 Mai 2011) Gesamtversion: kompiliert am 9. Mai 2011 um 17:28 Uhr

14 2 Physikalische Grundlagen RC -Tiefpass: Beim RC -Hochpass wird die Spannung am Kondensator abgegriffen. Für das Verhältnis von Ausgangs- und Eingangssignal gilt in diesem Fall: U 4 = Z 1 C (9) iωc = U 1 R + Z C R + 1 (36) iωc U = 1 4. Versuche zur Elektrizitätslehre(37) 1 + (ω R C) 2 U 1 Als Grenzfrequenz 12 bezeichnet man den Wert ω Es erfolt gr für die Kreisfrequenz, bei dem der Wert daseine Verhältnis Weiterleitung von Ausgangsspannung entegengesetzt zuzum Eingangsspannung Tiefpass: gerade 1 2 beträgt. Aus den Gleichungen (4.9.67) und (4.9.71) kann man sofort herleiten, dass hierfür lim U 4 ω 0 U 1 = 1 und lim U 3 ω U 1 = 0 (38) ω gr = 1 (4.9.72) RC Für gelten denmuss. Phasenwinkel Die Grenzfrequenz ϕ gilt hier: ist also der Kehrwert der schon von der Kondensatoraufund -entladung bekannten Zeitkonstante tan ϕ = I τ = RC. (U 4 Das Ausgangssignal ist gegenüber dem Eingangssignal /U1 ) R ( U 4 /U1 ) = ω phasenverschoben. R C Für den Winkel δ der Phasenverschiebung ergibt sich unter Verwendung von Gleichung (4.9.65) beim (39) Hochpass Sowohl für den Hoch- als auch für den Tiefpass definiert man die Grenzfrequenz ω gr durch tan δ = Im(U 3/U 1 ) (4.9.73) Re(U 3 /U 1 ) = ω gr = 1 1 R C = 1 (4.9.74) ωrc (40) τ und unter Verwendung von Gleichung (4.9.69) beim Tiefpass Bei diesem Wert stehen Ausgangs- und Eingangssignal im Verhältnis 1 / 2. tan δ = Im(U 4/U 1 ) (4.9.75) Re(U 4 /U 1 ) = ωrc. (4.9.76) LC -Hoch-/Tiefpass LC-Hoch/Tiefpass Beim LC -Hoch- bzw. Tiefpass wird eine Wechselspannung an eine LC -Schaltung (Reihenschaltung aus einer Spule der Induktivität L und einem Kondensator der Kapazität Man kann natürlich auch andere RLC-Kombinationen als Frequenzfilter verwenden. Eine recht wichtige einfache Variante darunter ist die Reihenschaltung aus Spule (Induktivität C) angelegt. L) undkondensator(kapazität Auch hier ist das Ausgangssignal C). Die Schaltbilder natürlich sind in frequenzabhängig. Abbildung dargestellt. Abbildung 4.9.3: Schaltbilder für den LC-Hochpass und den LC-Tiefpass. Abbildung 9: Schaltbild eines LC -Hoch-/Tiefpass aus [8] 12 Eigentlich müsste es Grenzkreisfrequenz heißen, aber wie auch häufig sonst wird hier der kürzere wenn auch nicht ganz korrekte Ausdruck mehrheitlich bevorzugt. Solange man das Formelzeichen ω benutzt, ist die Verwechslungsgefahr gering. 14 Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 81, Date: :38: (Mi, 04 Mai 2011) Gesamtversion: kompiliert am 9. Mai 2011 um 17:28 Uhr

15 2 Physikalische Grundlagen LC -Hochpass: Die Spannung wird an der Spule abgegriffen, es gilt: U 5 Z L (9),(16) = Z L + Z C = U 1 U 5 = U 1 ω 2 LC i ω L i ω L + 1 iωc (41) (42) Hohe Signale werden weitergeleitet, tiefe unterdrückt: lim ω 0 U 5 U 1 = 0 und lim ω U 5 U 1 = 1 (43) LC -Tiefpass: Die Spannung wird am Kondensator abgegriffen, es gilt: 1 U 6 Z C (9),(16) iωc = = U 1 Z L + Z C i ω L + 1 iωc U 6 = 1 1 ω 2 L C U 1 (44) (45) Dadurch werden tiefe Signale weitergeleitet während hohe Frequenzen unterdrückt werden: lim ω 0 U 6 U 1 = 1 und lim ω U 6 U 1 = 0 (46) Im Idealfall tritt sowohl beim Hoch- als auch beim Tiefpass keine Phasenverschiebung im Bereich der weitergleiteten Frequenzen auf. Bei Frequenzen, die unterdrückt werden, liegt der Phasenwinkel bei ϕ = 180. In der Realität ist der Verlauf jedoch flacher. Die Grenzfrequenz ist beim LC -Hoch-/Tiefpass gegeben durch ω gr = 1 L C (47) Für diese Frequenz gilt: lim ω ωgr U 5 /U1 = lim ω ωgr U 6 /U1 =, das Ausgangssignal wird stark überhöht. Da obige Gleichungen für den LC -Hoch-/Tiefpass allerdings nur unter Vernachlässigung sämtlicher ohmscher Widerstände der Schaltung gelten, tritt diese Überhöhung in der Realität nur schwächer auf oder verschwindet sogar komplett. 15

16 2 Physikalische Grundlagen 2.4 Energie im elektrischen und magnetischen Feld Elektrische Feldenergie eines Kondensators Um die Energie, welche im elektrischen Feld eines Kondensators der Kapazität C gespeichert ist, zu ermitteln, betrachtet man den Entladungsvorgang dieses Kondensators über einen ohmschen Widerstand R. Es fließt der Entladungsstrom I(t) = U(t) R (31) = U 0 R t e RC (48) Dieser Strom sorgt dafür, dass die gesamte im Kondensator gespeicherte Energie W in Wärme im Widerstand R umgewandelt wird, welche sich berechnet zu W el = = = I}{{} 2 R dt (49) elektr. Lstg. 0 U 2 2t 0 R e 0 [ U 2 0 R Wegen lim x e x = 0 erhält man für W el : RC dt (50) ( R C ) ] e 2t RC 2 0 (51) W el = 1 2 C U 2 0 (52) Magnetische Feldenergie einer Spule Um die Energie im Magnetfeld einer Spule zu ermitteln, untersucht man zunächst den Stromverlauf, der sich einstellt, wenn eine stromdurchflossene Spule der Induktivität L von der Spannungsquelle abgetrennt wird, sodass sich außer der Spule selbst nur noch ein ohmscher Widerstand R im Stromkreis befindet. Durch die Änderung des magnetischen Feldes der Spule aufgrund des Abtrennens der Spannungsquelle ensteht eine Induktionsspannung U ind an der Spule. Dadurch fließt ein Strom und die am Widerstand R anliegende Spannung ist der Induktionsspannung gleich: I R U ind = 0 = I R + L I (53) 16

17 2 Physikalische Grundlagen Diese Differentialgleichung hat unter den Anfangsbedingungen U(t=0) = 0, I(t=0) = I 0 die Lösung I(t) = I 0 e Rt L (54) Analog um Vorgehen im vorherigen Abschnitt betrachtet man wieder die am Widerstand entstehene Wärme, welcher der magnetischen Feldenergie gleich sein muss: W magn = = = 0 0 I 2 R dt (55) I 2 0 R e 2Rt L dt (56) [ I 2 0 R ( L ) ] e 2Rt L 2R 0 (57) = 1 2 L I2 0 (58) 2.5 Der elektrische Schwingkreis Ein elektrischer Schwingkreis ensteht, wenn ein Kondensator über eine Spule entladen wird. Der Stromfluss durch die Spule erzeugt ein magnetisches Feld, es wird elektrische Feldenergie (Gl. (52)) in magnetische Feldenergie (Gl. (58)) umgewandelt. Ist der Kondensator vollständig entladen, so bricht der Stromfluss ab, das Magnetfeld der Spule ändert sich und es entsteht eine Induktionsspannung an der Spule. Gemäß der Lenzschen Regel ist diese Spannung ihrer Ursache, nämlich dem Stromrückgang, entgegengerichtet, der Strom fließt also in die gleiche Richtung weiter. Dadurch wird der Kondensator mit umgekehrter Polung erneut soweit aufgeladen, wie es seine Kapazität zulässt. Ist dieser Punkt erreicht, bricht der Stromfluss ab und beginnt durch die Entladung des Kondensators wieder in die umgekehrte Richtung. Der gesamte Vorgang wiederholt sich also mit veränderten Vorzeichen. 17

18 2 Physikalische Grundlagen L C + + ) + ) Abbildung 10: Schematische Darstellung der Umwandlung zischen elektrischer und magnetischer Feldenergie beim Schwingkeis aus [2], S Bei einer idealen Spule und idealen Leitungen würde sich ein unendlicher Umwandlungszyklus zwischen elektrischer und magnetischer Feldenergie einstellen. In der Realität jedoch wird die Spule aufgrund ihres ohmschen Widerstand mit der Zeit warm, auch an den Leitungen geht Energie verloren, wodurch die Schwingung abklingt. Die beim Schwingkreis erzeugten elektromagnetischen Schwingungen können mit beliebigen mechanischen Schwingungen wie etwa mit einem Pendel verglichen werden. Dann würde beispielsweise die Energie im Kondensator der potentiellen, die Energie in der Spule der kinetischen Energie des Pendels entsprechen Die Schwingungsgleichung der freien Schwingung Nachfolgend soll die Schwingungsgleichung eines Schwingkreises bestehend aus einem Kondensator der Kapazität C, einer Spule der Induktivität L und einem ohmschen Widerstand R untersucht werden. Nach der kirchhoffschen Maschenregel gilt, dass die Summe der Spannungen an den einzelnen Bauteilen gleich der Summe der angelegten Spannung, also null, sein muss: U L (t) + U }{{} R (t) + U }{{} C (t) = 0 (59) }{{} =L I(t)=L Q(t) =R I(t)=R Q(t) = 1 C Q(t) = Q(t) + R L Q(t) + 1 LC Q(t) = 0 (60) 18

19 2 Physikalische Grundlagen Die Ladung Q ist hierbei die Anfangsladung des Kondensators. Man definiert: R := β (Dämpfungs- oder Abklingkonstante) (61) 2L 1 := ω 0 (Eigenfrequenz bei ungedämpfter Schwingung) (62) L C und erhält folgende, homogene Differentialgleichung: Q(t) + 2β Q(t) + ω 2 0Q(t) = 0 (63) Als Lösungsansatz wählt man eine Exponentialfunktion Q(t) = Q 0 e λt mit dem zugehörigen charakteristischen Polynom λ 2 + 2βλ + ω0 2 = 0 λ 1,2 = β ± β 2 ω0. 2 Die allgemeine Lösung von Gl. (63) lautet damit: Q(t) = A Q 0 e λ 1t + B Q 0 e λ 2t (64) mit A, B, λ 1, λ 2 C konstant. Q 0 steht für die Anfangsladung des Kondensators, A und B werden durch die Anfangsbedingungen am Kondensator bestimmt. An der Diskriminante D = β 2 ω0 2 erkennt man, dass drei verschiedene Fälle auftreten können: D < 0, D = 0 und D > 0. Schwache Dämpfung bzw. Schwingfall In diesem Fall ist β 2 < ω0, 2 die Dämpfung ist also schwach genug, um eine Schwingung zuzulassen. Wegen β > 0 nimmt die Amplitude jedoch im Lauf der Zeit ab. Es handelt sich daher um eine periodische Bewegung im Sinne von gleichen Nulldurchgängen in den gleichen Zeitintervallen. Da D < 0 ist, ergeben sich für λ 1,2 die Werte λ 1,2 = β ± i ω 0 2 β 2. Daraus liest man die Kreisfrequenz ω g = ω0 2 β 2 der gedämpften Schwingung ab. Die allgemeine Lösung von Gl. (63) lautet im Schwingfall: Q(t) = A Q 0 e βt+i ωgt + B Q 0 e βt i ωgt (65) Durch Wahl der Anfangsbedingungen erhält man: Q(t) = Q 0 }{{} e βt (a sin(ω g t) + b cos(ω g t)) (66) Einhüllende Hierbei ist zu beachten, dass a R A und b R B gilt. Die Einhüllende sorgt als 19

20 2 Physikalische Grundlagen Dämpfungsterm in der Gleichung für die Amplitudenabnahme. Da sich die Spannung am Kondensator sowie die Stromstärke direkt aus Q(t) errechnen lassen, verlaufen auch diese Größen periodisch. Aperiodischer Grenzfall Im aperiodischen Grenzfall gilt β 2 = ω0. 2 Die Dämpfung ist gerade groß genug, um keine Schwingung mehr zuzulassen. Es ist maximal ein Nulldurchgang möglich ( Unterschwinger ). Weiterhin gilt: λ 1,2 = β. Da Gl. (63) von 2. Ordnung ist, wird eine weitere, linear unabhängige Lösung benötigt, die man über den Ansatz Q(t) = Q 0 D(t) e λt mit dem zeitabhänigen Faktor D(t) erhält. Als allgemeine Lösung ergibt sich damit: Q(t) = Q 0 (d 1 t + d 2 ) e βt (67) Kriechfall Die Dämpfung ist in diesem Fall noch stärker, selbstverständlich ist nun auch keine Schwingung möglich, sondern das System kriecht nach einer Auslenkung langsam in seine Ruhelage zurück. Wegen β 2 < ω 2 0 sind λ 1,2 R, ebenso die Vorfaktoren. Als allgemeine Lösung erhält man hier: Q(t) = Q 0 e βt ( ) β a e 2 ω0 2 + b e β 2 ω0 2 (68) Die Schwingungsgleichung der erzwungenen Schwingung Im vorangehenden Abschnitt wurde das System zu Beginn der Bewegung einmalig aus der Ruhelage ausgelenkt und war danach frei. In diesem Abschnitt wird der Fall diskutiert, in dem das System beständig mit einer äußeren, sinusförmigen Erregerspannung U err (t) = U 0 sin(ω err t) angetrieben wird. Dies geschieht im Versuch Elektrischer Schwingkreis mittels induktiver Kopplung. In die Spule, die Teil des Schwingkreises ist, wird mittels einer zweiten, externen Spule eine Spannung induziert. 20

21 2 Physikalische Grundlagen Abbildung 11: Schaltbild zur Erzeugung erzwungener Schwingungen mittels induktiver Kopplung Dadurch finden zunächst zwei sich überlagernde Schwingungen statt: Zum einen die freie, gedämpfte Schwingung des System, die entsprechend der Einhüllenden (s. Gl. (66)) abklingt und die erzwungene Schwingung. Ist der Einschwingvorgang vorüber und die freie Schwingung abgeklungen, schwingt das System mit der Erregerfrequenz ω err. Die zugehörige Differentialgleichung entsteht aus Gl. (63) und ist inhomogen: Q(t) + R L Q(t) + 1 LC Q(t) = U err(t) L (69) Die Spannung U C am Kondensator lässt sich dann schreiben als U C (t) = U C0 sin(ω err t ϕ) (70) Die Anfangsspannung U C0 am Kondensator ist hierbei gegeben durch U C0 = U err0 }{{} Ampl. d. Erregersp. ω 2 0 (ω 2 0 ωerr) β 2 ωerr 2 (71) Für den Phasenwinkel ϕ, um den U C und U err phasenverschoben sind, gilt: tan ϕ = 2βω err ω 2 0 ω 2 err (72) Phasenverschiebung zwischen Anregung und Schwingung Wie man an Gl. (70) ablesen kann, sind die Amplituden von Erregerspannung und der Spannung am Kondensator im allgemeinen phasenverschoben. Diese Phasenverschiebung hängt sowohl von der Dämpfung als von der Erregerfrequenzabhängig. 21

22 gilt. Die Amplitude hinkt also hinter der Kraft her. Das Maximum der Auslenkung wird erst nach dem Maximum der Kraft erreicht. Für ω = ω 0 ist unabhängig von 2 Physikalische Grundlagen β ϕ stets gleich π 2.BeimungedämpftenOszillatorspringtϕ an der Stelle ω = ω 0 unstetig von 0 auf π.mitβ =/ 0 wird ϕ eine stetige Funktion von ω. ϕ β = 0 ω0 ω π 2 β β π β = 0 Abb Phasenverschiebung zwischen der Schwingungsamplitude des harmonischen Oszillators und der erregenden Kraft als Funktion der Frequenz der periodischen äußeren Kraft Abbildung 12: Die Phasenverschiebung ϕ = ϕ als Funktion der Erregerfrequenz ω err = ω. Der2.3.9 Verlauf Beliebige der eindimensionale, Phasenverschiebung ortsabhängige wird Kraftmit größerer Dämpfung linearer. Wir Istwollen β = als0, letztes so einfaches springtproblem die Phasenverschiebung der Dynamik den Fall einerfür an sich ω beliebigen, Entnommen aber eindimensionalen aus [6], unds. lediglich 166. ortsabhängigen Kraft = ω 0 unstet auf π. diskutieren: F = F(x). (2.198) Ebenso wie die Phasenverschiebung ist auch die Amplitude von ω err abhängig. Sie In einem solchen Fall lässt sich ein allgemeines Verfahren zur Lösung der Bewegungsgleichung wird für eine bestimmte Resonanzfrequenz ω res maximal und geht für zu große Erregerfrequenzen gegen 0. mẍ = F(x) (2.199) angeben, das letztlich das Problem auf so genannte Quadraturen,d.h.aufdasexplizite Auswerten von wohldefinierten Integralen, reduziert. Dieses Verfahren führt auf A zunächst rein mathematisch definierte Hilfsgrößen (z. B. Integrationskonstanten), die dann später fundamentale physikalische Bedeutung erlangen werden, wie Energie, β = 0 Potential, Arbeit, Leistung,... Wir multiplizieren (2.199) mit ẋ: mẍ ẋ = F(x)ẋ. Dies kann man dann offensichtlich auch wie folgt schreiben: d ( m dt 2 ẋ2) = d dt V(x) (, 1/ ω 2 ) (2.200) f /k 2β 2 >ω 0 2 β ω 0 ω Abbildung 13: Resonanzverhalten der Amplitude A für verschiedene Dämpfungen in Abhängigkeit von ω err = ω. Entnommen aus [6], S ω res lässt sich bestimmen, indem man die Amplitude, also Gl. (71), nach ω err differen- 22

23 2 Physikalische Grundlagen ziert und null setzt (Extremwertbestimmung): U C0 ω0 2 = U err0 ω err ω err (ω 2 0 ωerr) β 2 ωerr 2 (73) = U err0 2 ω2 0 ω err (ω 2 0 ω err 2β 2 ) ((ω 2 0 ω 2 err) 2 + 4β 2 ω 2 err) 3 2 (74)! = 0 (75) Dies kann für feste β und ω 0 erfüllt werden durch ω err = 0, in diesem Fall findet keine Schwingungen statt und es liegt ein Minimum vor, oder für ω 2 0 ω err 2β 2 = 0. Diese Bedingung liefert ein Maximum für ω err = ω res = ω 2 0 2β 2 (76) 2.6 Das Oszilloskop Da wir in beiden Versuchen ein Oszilloskop verwenden, soll im folgenden kurz dessen Funktionsweise beschrieben werden. Das Oszilloskop ist ein Messgerät, welches Spannungsverläufe grafisch darstellt. Es werden mittels eine Glühkathode freie Elektronen erzeugt, welche durch eine Spannung beschleunigt und mittels eines Wehnelt-Zylinders zu einem Elektronenstrahl fokussiert werden. Dieser Strahl trifft auf einen Leuchtschirm und hinterlässt dort einen ablesbaren Punkt. Unterwegs passiert der Strahl noch zwei weitere Kondensatoren, welche dazu dienen, den Strahl in x- und in y-richtung abzulenken und dadurch Messungen ermöglichen. Hierbei gibt es 2 Möglichkeiten: Entweder beide Kondensatoren werden mit Eingangssignalen gespeist, dann wird der Signalverlauf y(x) dargestellt. Will man eine Spannung im Verlauf der Zeit messen, so wird diese an den y-kondensator angelegt während der x-kondensator dann von einem Kippgenerator mit einer Sägezahnspannungen versorgt wird, die für die nötige horizontale Ablenkung sorgt, sodass y(t) dargestellt wird. Das von uns verwendete Gerät ist ein digitales Speicheroszilloskop, d.h., die analogen Eingangssignale werden zunächst digitalisiert, wodurch der Signalverlauf abgespeichert werden kann und danach dargestellt. 23

24 ausgeübt wird. Diese Kraft beschleunigt die Elektronen in Richtung Anode. Nach Durchtritt durch die durchbohrte Anode treffen die Elektronen auf den Leuchtschirm L, wo sie beim Auftreffen abgebremst werden 3 Versuchsdurchführung und den Phosphor des Schirms Elektrischer zur Fluoreszenz Schwingkreis anregen. Dadurch entsteht ein sichtbarer Leuchtfleck, dessen Größe mit Hilfe der Spannung U F an der Fokussiereinheit F minimiert wird. U y U x U H ~ K W F A - UW + U + U F A L Abb. 1: Schematischer Aufbau einer Elektronenstrahl-Oszilloskopröhre. Bezeichnungen siehe Text. Die strichpunktierte Abbildung 14: grüne Schematischer Linie gibt schematisch Aufbau eines die Bahn analogen der Elektronen Oszilloskops im Fall aus U X = [1] U Y = 0 an. Mit Hilfe einer negativen Spannung U W am WEHNELT-Zylinder W kann die Intensität des Leuchtpunktes variiert werden. Das durch U W hervorgerufene elektrische Feld E W ist zum Feld E A entgegen gerichtet und bremst die Elektronen. Nur Elektronen ausreichender kinetischer Energie können die Anode erreichen. Frage 1: - Ließe sich mit U W die Intensität des Leuchtpunktes steuern, wenn alle von der Kathode emittierten Elektronen die gleiche kinetische Energie hätten? Welche qualitative Aussage lässt sich demnach über die Häufigkeitsverteilung der kinetischen Energien der emittierten Elektronen machen? Die X- und Y-Ablenkplatten (blau in Abb. 1) bilden paarweise je einen Plattenkondensator und dienen zur horizontalen 3 Versuchsdurchführung und vertikalen Ablenkung des Elektrischer Elektronenstrahls. Wird Schwingkreis an die Y-Ablenkplatten die Ablenkspannung U Y angelegt, so entsteht zwischen den Platten bei einem Plattenabstand d Y ein elektrisches Feld E Y vom Betrag Der Versuch ist in drei unabhängige Teile gegliedert, welchen jeweils ein unterschiedlicher Aufbau zuugrunde lag. Y (3) EY, d 3.1 Versuchsteil I Y durch das auf die Elektronen während ihres Durchflugs eine Kraft F Y vom Betrag Der Schaltplan zum Versuchsaufbau ist in Abbildung 15 dargestellt. Es galt zu untersuchen, FY ewie EY sich e eine langsame, gedämpfte Schwingung verhält. Hierzu verwendeten d UY (4) Y wir ein normales Gleichspannungsnetzgerät (10 V), eine Spule mit hoher Induktivität L 0 = 630 H (n = Windungen, R Spule 280 Ω), zwei bipolare Kondensatoren C 0 = 20 µf und einen y-t-schreiber zur Aufzeichnung der Schwingung. Zudem wurde ein Umschalter eingebaut, mit dem man das Netzgerät mit dem Schwingkreis verbinden konnte. Wir begannen nun zuerst, die Kondensatoren über das Netzgerät aufzuladen. Daraufhin legten wir den Schalten um, sodass der Schwingkreis gesondert betrachtet werden konnte. Möglichst exakt beim Umlegen des Schalters starteten wir auch den y-t-schreiber, um die gedämpfte Schwingung aufzunehmen. Wir wiederholten den Versuch ein zwei- 24

25 3 Versuchsdurchführung Elektrischer Schwingkreis tes Mal mit halbierter Windungszahl der Spule (n = 5100). Dadurch verändern sich auch Widerstand und Induktivität der Spule. Da R n und L n 2 ist, ergeben sich: R 2 = 140 Ω und L 2 = 157, 5 H. Die Aufzeichnungen des Schreibers sind im Anhang zu 4.8 Elektrischer Schwingkreis 473 finden. 10 V + Drahtspule L 0 R Spule C 0 C 0 yt-schreiber Abbildung 4.8.1: Schaltbild zum langsamen elektromagnetischen Schwingkreis mit Spule hoher Induktivität. Abbildung 15: Schaltplan zum langsamen elektromagnetischen Schwingkreis [9] 3. Zeichnen Sie den zeitlichen Verlauf der Kondensatorspannung U C mit dem yt- Schreiber auf. Sinnvolle Einstellungen der Zeitablenkung des yt-schreibers liegen zwischen 0.1 s und 1 s. Notieren Sie die Skalierung der Achsen, vor allem der cm cm t-achse, auf dem Schreiberausdruck. Markieren Sie auch die Schreiberstellung für U C =0V(vollständig entladener Kondensator). 3.2 Versuchsteil II 4. Wiederholen Sie die Messung für mindestens einen anderen Wert von (L C). Schließen Sie zum dazuzweiten z. B. nurversuchsteil eine Hälfte der istspule in Abbildung und/oder nur 16einen visualisiert. der Kondensatoren Wieder war es Der Schaltplan an. unser Ziel, die gedämpfte Schwingung des elektromagnetischen Schwingkreises zu untersuchen. Versuchsteil Diesmal stand II: angestoßene uns jedochgedämpfte ein Speicheroszilloskop Schwingungen zur Beobachtung Verfügung. mit Zudem demwurde das Gleichspannungsnetzgerät Oszilloskop durch einen Sinusgenerator abgelöst, den wir auf eine Rechteckspannung Hinweis: Insbesondere mit einr diefrequenz digitalen Speicheroszilloskope von 850 Hz einstellten. verleitenaußerdem dazu, bei der kamen Messung folgende viel Zeit mit digitalen Spielereien zu verbringen, z. B. beim Ablesen von Zeitintervallen Bauteile mit zum Hilfe der Einsatz: einstellbaren ein Kondensator Cursor auf dem(c Bildschirm. = 0, 01 µf), In sehreine vielenspule Fällen(L kann eine 10 mh), geschickte Vorwiderstand Abschätzung (R V nicht = nur 10 kω) mit durchaus und einvergleichbarer regelbarer Widerstand Genauigkeit, sondern (R = zudem Ω). ein fester noch um ein Vielfaches schneller durchgeführt werden. Beim Aufbau galt es besonders darauf zu achten, dass die Erdung des Stromkreises stets Lassen Sie sich hierzu im Zweifelsfall Tipps von Ihrer Betreuerin bzw. Ihrem Betreuer so angeschlossen geben. war, dass Funktionsgenerator und Oszilloskop den gleichen Masseanschluss haben. 5. Verbinden Sie die Bauteile nach dem Schaltbild in Abbildung Verwenden Sie Nachdem wir dazuuns den mit Kondensator dem Oszilloskop mit C =0.01 vertraut µf undeinespulemitl gemacht hatten, 10bestimmten mh (der genaue wir die Wert der Induktivität L soll experimentell bestimmt werden). R ist der einstellbare Periodendauer der Schwingung und das Dämpfungsverhältnis k zweier aufeinander folgender Maxima für jeweils unterschiedliche R (0 Ω, 75 Ω, 150 Ω). Wir nahmen dabei Widerstand. für Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 79, Date: :03: (Mi, 20 Apr 2011) Gesamtversion: kompiliert am 9. Mai 2011 um 17:28 Uhr

26 3 Versuchsdurchführung Elektrischer Schwingkreis je zwei verschiedene Peaks die Messwerte auf, um eine höhere Genauigkeit zu erzielen. Die Messwerte 474 sind im Messprotokoll vermerkt. 4. Versuche zur Elektrizitätslehre R V R C Oszilloskop L Abbildung 4.8.2: Schaltbild zur Erzeugung angestoßener elektromagnetischer Schwingungen. Abbildung Hinweis: 16: Schaltplan Beachten Sie zumbitte, elektromagnetischen dass das Massesymbol Schwingkreis am unteren mit Funktionsgenerator eingezeichnet und Oszilloskop ist. aus Die[9] Massekontakte der BNC-Anschlüsse von Funkti- Zweig des Schaltbildes onsgenerator und Oszilloskop sind auch ohne weitere Verkabelung schon verbunden, sobald die Netzkabel angeschlossen sind. Würde man einen Anschluss des Vorwiderstandes an Masse legen, so wäre also auch dessen anderer Anschluss mit Masse verbunden und der Vorwiderstand wäre gänzlich ohne Funktion. 3.3 Versuchsteil III Achtung: Es ist wichtig, dass Funktionsgenerator und Oszilloskop den gleichen Masseanschluss haben, d.h.dieabschirmungenderbnc-anschlüsse Die Schaltung zu diesem Versuchsteil ist in Abbildung 17 dargestellt. Mit diesem Aufbau verbunden sind. Dies geht nur dann, wenn die Masse wie im Schaltbild eingezeichnet lassen sich angeschlossen erzwungene wird! Schwingungen Andernfallsuntersuchen. funktioniert diewir Schaltung verwendeten überhaupt hierzu nicht. die Dieses gleichen Problem tritt auch bei anderen Messaufbauten mit Oszilloskopen häufig auf. Fragen Bauteile wie im Versuchsteil II. Lediglich der Vorwiderstand wurde weggelassen und eine Sie im Zweifelsfall Ihre Betreuerin bzw. Ihren Betreuer. weitere Spule (ebenfalls mit einer Induktivität von 10 mh) wurde so eingebaut, dass 6. Wählen Sie am Funktionsgenerator eine Rechteck -Spannung mit einer Frequenz diese mit der zwischen bereits 500vorhandenen Hz und 1000 HzSpule aus. induktiv gekoppelt war. Über diese Kopplung lies sich dann auch der Schwingkreis anregen. Am Funktionsgenerator stellten wir eine 7. Stellen Sie das Signal am TTL-Ausgang des Funktionsgenerators auf dem ersten sinusförmige Kanal Spannung des Oszilloskops ein. dar, benutzen Sie es auch zur Triggerung. Stellen Sie das Signal am Kondensator des Schwingkreises auf dem zweiten Kanal des Oszilloskops Wir maßen nun mittels Oszilloskop die Amplitude A der Wechselspannung am Kondensator und die Fragen Zeitdifferenz Sie unbedingt tihre zwischen Betreuerin/Ihren dem Ausgangspeak Betreuer, wenn und Siedem nichterzwungenen verstehen, wie Peak dar. für jeweils das zehn Oszilloskop verschiedene zu bedienen Frequenzen ist, oder (5 was khz, die 7,5 Anzeigen khz, 10 bedeuten. khz,... Die 27,5 Nutzung khz), des woraus Oszilloskops als Messinstrument ist ein wesentliches Lernziel dieses Versuchs! sich die Phasenverschiebung ϕ errechnen lässt. Dies wiederholten wir für je drei unterschiedliche Schwingzeit Widerstände: T und das R 1 Dämpfungsverhältnis = 0 Ω, R 2 = 500 Ω, k zweier R 3 = aufeinander 1000 Ω. Die folgender WerteMa- sind im 8. Bestimmen Sie für 3 verschiedene (sinnvoll gewählte!) Werte von R jeweils die Messprotokoll xima. aufgeführt. Sinnvoll gewählt heißt, dass die Werte zu einem deutlich unterschiedlichen Verhalten des Schwingkreises führen sollen. Machen Sie dazu ein paar Vor- Messungen, indem Sie den Wert von R schnell über einen weiten Bereich ändern, und dabei das Signal am Oszilloskop beobachten, ohne gleich Werte aufzuschreiben. Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 79, Date: :03: (Mi, 20 Apr 2011) Gesamtversion: kompiliert am 9. Mai 2011 um 17:28 Uhr 26

27 4.8 Elektrischer Schwingkreis Auswertung Versuchsteil III: Elektrischer erzwungene Schwingungen, Schwingkreis Resonanzkurven und Phasenverschiebung R ~ L C Oszilloskop Abbildung 4.8.3: Schaltbild zur Erzeugung erzwungener elektromagnetischer Schwingungen. Abbildung 17: Schaltplan zum erzwungenen elektromagnetischen Schwingkreis aus [9] 9. Verbinden Sie die Bauteile nach dem Schaltbild in Abbildung Verwenden Sie wieder die gleichen Bauteile wie in Versuchsteil 2: den Kondensator mit C =0.01 µf, eine Spule mit L 10 mh und den einstellbaren Widerstand R.ImKästchen mit der Spule ist noch eine weitere Spule untergebracht. Beide sind durch ihre gegenseitige Nähe schwach induktiv gekoppelt 6, so dass eine der Spulen bei Anschluss an den Funktionsgenerator dazu verwendet werden kann, den Schwingkreis mit der zweiten Spule zu erzwungenen Schwingungen anzuregen. 4 Auswertung Elektrischer Schwingkreis Jeder Versuchsteil 10. Wählen Sie wird amim Funktionsgenerator Folgenden einzeln die Kurvenform betrachtet Sinus aus. und ausgewertet. 11. Messen Sie für 3 verschiedene 7 Werte von R die Amplitude der Wechselspannung am Kondensator und ihre Phasenverschiebung ϕ zur angelegten Spannung im ganzen 4.1 Auswertung Frequenzbereich I von 5 khz 30 khz. Nehmen Sie dabei jeweils etwa 10 Messpunkte für jeden Wert von R auf. Zunächst bestimmen Messen Sie die wir Frequenz die Periodendauer jeweils über diet amaus Oszilloskop den aufgenommenen abgelesene Periodendauer Bildern des y- t-schreibers. derdazu Wechselspannung. mitteln wir DiejeAnzeige über des zwei Funktionsgenerators aufeinanderfolgende ist i. A. Perioden viel zu ungenau. und gehen Tipps zur Messung der Phasenverschiebung: von einer Ableseungenauigkeit von ±0, 10 cm aus. Um den Ablesefehler zu minimieren, nehmen wir die a) Stellen Nulldurchgänge Sie das Signal alssymmetrisch Bezugspunkte. um die Die Null-Linie Ungenauigkeit dar, damit der SiePeriodendauer nicht die Position der relativ flachen Maxima schätzen müssen, sondern den genauer verringert sich durch ablesbaren die Mittlung Nulldurchgang auf nutzen δt = 0, können. 07 s. Aus der Periodendauer lässt sich nun auch die Frequenz b) Bestimmen samt maximalem Sie mit der Messfunktion Fehler bestimmen: des Oszilloskops (die beiden Cursor entsprechend einstellen) sowohl die Periodendauer als auch die zeitliche Verschiebung der Sinussignale, um daraus dann später die Phasenverschiebung zu berechnen. Notieren Sie aber f = 1 Rohdaten! (77) 6 Das heißt ein von der einen Spule erzeugtes Magnetfeld T ( durchdringt ) auch die andere Spule und erzeugt 2 dort eine entsprechende Induktionsspannung. f 7Wählen Sie wieder solche Werte, dass δf sich = ein jeweils T deutlich δt unterschiedliches Verhalten ergibt. (78) Die Ergebnisse für die Periodendauern, sowie die Frequenzen sind in Tabelle 1 aufgeführt. Physikalisches Anfängerpraktikum der Universität Konstanz zum internen Gebrauch bestimmt Diese Anleitung ersetzt NICHT den Grundlagenteil Ihres Praktikumsberichtes! Haben Sie Verbesserungsvorschläge? Dieser Abschnitt: Revision: 79, Date: :03: (Mi, 20 Apr 2011) Gesamtversion: kompiliert am 9. Mai 2011 um 17:28 Uhr Als nächstes bestimmen wir das Dämpfungsverhältnis k zweier aufeinander folgender Maxima. Hierzu betrachten wir jeweils die ersten drei Maxima A 1, A 2, A 3 und bilden 27

28 4 Auswertung Elektrischer Schwingkreis den Mittelwert: k = i=1 A i A i+1 (79) Als Fehler nehmen wir die empirische Standardabweichung σ k an. Der Ergebnisse mitsamt Standardabweichung sind in Tabelle 1 niedergeschrieben. Nun lässt sich aus der Periodendauer und dem Dämpfungsverhältnis auch die Dämpfungskonstante β berechnen: β = Λ T = ln k f (80) Da sowohl k als auch f fehlerbehaftet sind, lässt sich der Fehler δβ nach den Regeln der Fehlerfortpflanzung bestimmen: ( ) 2 ( ) 2 β β δβ = σ k + δf (81) k f Aus der Dämpfungskonstante lässt sich unter Einbeziehung der Induktivität der Spule schlussendlich noch der gesamte ohmsche Widerstand R ges des Schwingkreises berechnen. Den Widerstand und dessen Fehler erhält man über folgende Formeln: R ges = 2βL (82) δr ges = 2L δβ (83) Die Ergebnisse des ersten Versuchsteil sind gesammelt in Tabelle 1 aufgeführt. n T [s] f [Hz] k β [Hz] R ges [Ω] Spule ,98±0, 01 1,02±0, 01 1,93±0, 35 0,67±0, ,48±244, 53 Spule ,48±0, 01 2,11±0, 06 2,25±0, 09 1,71±0, ,04±42, 43 Tabelle 1: Die gesamten Ergebnisse aus dem ersten Versuchsteil 4.2 Auswertung II Zu Beginn berechnen wir aus den Messwerten die Periodendauer T und das Dämpfungsverhältnis k. Da wir jede Messung doppelt durchgeführt haben, können wir die 28

29 4 Auswertung Elektrischer Schwingkreis Ergebnisse mitteln. Für die Periodendauer erhielten wir stets das gleiche Ergebnis. Das Dämpfungsverhältnis schwankt leicht, weswegen wir hier auch die Standardabweichung berechnen. Aus den Messwerten sollen wir nun die Selbstinduktivität der Spule bestimmen. Diese erhalten wir durch Umformung der Thomson-Kirchhoffschen Schwingungsgleichung: ω 0 = 1 LC L = 1 C ω 2 0 (84) Die Kapazität des Kondensators ist uns bekannt, es gilt also noch die Eigenfrequenz des Schwingkreises zu bestimmen. Hierfür wird zunächst analog zu Versuchsteil I die Dämpfungskonstante β berechnet. Zudem gilt: ω = 2π T (85) Mit: Und für die Eigenfrequenz des Schwingkreises gilt: δω = 2π δt (86) T 2 ω 0 = ω 2 + β 2 (87) Mit: ( ω0 δω 0 = T ) 2 δt (88) Nun lässt sich nach Gleichung (84) die Induktivität berechnen. Der Fehler zur Induktivität lässt sich über folgende Formel bestimmen: ( ) 2 L δl = δω 0 = 2 ω 0 Cω 3 0 δω 0 (89) Wie auch schon im ersten Versuchsteil, soll auch der gesamte Widerstand des Schwingkreises R ges bestimmt werden. Diesen erhält man nach Gleichung (82). Alle Ergebnisse sind in Tabelle 2 zusammengefasst. 29