Reglerentwurf nach dem Betragsoptimum

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1 eglerentwurf nach dem Betragsoptimum. Grundlegende Überlegungen eglerentwurf nach dem Betragsoptimum In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit einem einfachen Entwurfsverfahren für egler, das ein hervorragendes ührungsverhalten des egelreises liefert. Vorerst untersuchen wir, welche ührungsübertragungsfuntion W (s sich ergibt, wenn wir ein IT-Element in einen egelreis (K einbauen: W(s - s ( + st X(s Abb..: IT -Element mit Gegenopplung Als ührungsübertragungsfuntion W (s erhalten wir: W (. + s ( + st T s + s Aus der trutur des Ergebnisses von Gl.. erennen wir, dass der geschlossene K ein PT -Element mit der tationärverstärung darstellt. Um ein möglichst schnelles Ausregeln des K zu erzielen, streben wir an, dass der Betrag der ührungsübertragungsfuntion bis zu möglichst hohen requenzen ungefähr bleibt: W ( jω T ( ω + ( ω T + 4 T ω ω + ω Dies önnen wir dadurch erzielen, dass wir die quadratischen Glieder von ω unter der Wurzel gleich Null setzen: (. T ω + ω 0 (.3 Daraus erhalten wir T / bzw. T (.4 ür die chleifenübertragungsfuntion (s gilt im Bereich des -0dB/De. Abfalls näherungsweise: ( jω ω (.5 Betragsoptimum.doc eite von 6 Vane, 00707

2 eglerentwurf nach dem Betragsoptimum etzen wir (.4 in (.5 ein, erhalten wir ω ωk ( j ω T ω ω (.6 wobei ω K die Kreisfrequenz des Knics zwischen -0dB/De. und -40dB/De. Asymptote bedeutet. etzen wir nun ω ω K erhalten wir: ( ω ω K (.7 Dies bedeutet, dass der der Asymptotennic des IT -Elements bei einer Verstärung von ½ zu liegen ommt. Nun wollen wir die Natürliche Kreisfrequenz ω n und den Dämpfungsgrad D des geschlossenen K untersuchen, indem wir (.4 in (. einsetzen und danach einen Koeffizientenvergleich mit der beannten Übertragungsfuntion des PT -Elements (siehe Merblatt der T durchführen: W (.8 + T s + T D s + s + s ω ω n n D T ω n T ω n D T ω T n T 0,707 Aus dem Dämpfungsgrad erennen wir, das der K mit D 0,707 gedämpft ist. Die Überschwingweite ü eines derart gedämpften PT beträgt ca. 4,3%, was in der Praxis in vielen ällen wünschenswert und nützlich ist. Beim pratischen eglerentwurf werden wir wie folgt vorgehen: Wir wählen die trutur des eglers und seine Knicfrequenzen derart, dass der egler die vorgegebene trece zu einer chleifenübertragungsfuntion mit IT -Chararateristi ergänzt, indem er die bei niedrigen requenzen liegenden Knice der trece ompensiert: : PI : PID : P : PT : PT 3 : IT : IT : IT : IT Danach wählen wie die Verstärung des eglers so, dass der verbleibende Knic der chleifenübertragungsfuntion bei einer Verstärung von ½ zu liegen ommt und erhalten somit ein mit D 0,707 gedämpftes Verhalten des K. Betragsoptimum.doc eite von 6 Vane, 00707

3 eglerentwurf nach dem Betragsoptimum. Einstellregeln für PT -trece und PI-egler Im olgenden wollen wir die so genannten Einstellregeln für PT -trece und PI-egler ableiten. Die trece habe die Übertragungsfuntion ( + st ( + st (. und der egler habe + ( + stn st. (. N stn Wir ompensieren die größere Zeitonstante T der trece durch die Nachregelzeit T N des eglers indem wir T N T (.3 setzen. Die chleifenverstärung ergibt sich dann zu Daraus erhalten wir für die -0dB/De. - Asymptote. (.4 st ( + st ( jω (.5 ωt Aus dem vorigen Kapitel wissen wir bereits, dass für ω /T gelten soll (s ½. Daraus folgt T (.6 T bzw. T (.7 T Die Gleichungen (.3 und (.7 werden als Einstellregeln für PT - trece und PI-egler bezeichnet. Diese Einstellregeln sowie auch Einstellregeln für andere Kombinationen von trece und egler finden ie im Merblatt für T. 3. Große Zeitonstanten, leine Zeitonstanten, ummenzeitonstante Wir haben gesehen, dass wir bei einer PT - trece die große Zeitonstante durch die Zeitonstante des PI-eglers ompensieren, die leine Zeitonstante der trece wird zur Zeitonstante der resultierenden IT-chleifenübertragungsfuntion. Wenn wir nun eine PT n - trece mit mehr als Zeitonstanten haben, önnen wir mit einem PI egler wieder nur eine Zeitonstante sinnvoller Weise die große Zeitonstante Betragsoptimum.doc eite 3 von 6 Vane, 00707

4 eglerentwurf nach dem Betragsoptimum ompensieren. Alle weiteren Zeitonstanten die leinen Zeitonstanten τ genannt addieren wir zu einer ummenzeitonstante T Σ und setzen sie anstelle von T in (.7 ein: T Σ τ + τ τ n (3. T (3. TΣ In dieser Näherung ersetzen wir die PT n trece durch eine PT trece, bei der wir die große Zeitonstante T übernehmen und als leine Zeitonstante T Σ verwenden. Hinweis: Mit einem PID egler önnen wir zwei Zeitonstanten ompensieren, man sagt, die trece besitzt große Zeitonstanten. Alle verbleibenden Zeitonstanten werden wieder als die leinen Zeitonstanten bezeichnet und zu T Σ aufsummiert. Ein und dieselbe PT n trece besitzt also große Zeitonstante, wenn sie mit einem PI egler geregelt wird, und große Zeitonstanten, wenn sie mit einem PID egler geregelt wird. Das folgende Beispiel soll die Brauchbareit der Näherung mit der ummenzeitonstante zeigen: 4. Beispiel für den eglerentwurf nach dem Betragsoptimum Es sei eine PT trece mit der Übertragungsfuntion gegeben, d.h. T Σ T 4. 5 ( 0s( + (4. + 4s Mit (.7 bzw. mit (3. erhalten wir für den egler: 0,5; T N 0 Nun simulieren wir den K in ANA (4. 0s Abb. 4.: Blocschaltbild PI egler und PT - trece und erhalten bei Ausgang y 5 als prungantwort den erwarteten mit D 0,707 gedämpften Einschwingvorgang: Betragsoptimum.doc eite 4 von 6 Vane, 00707

5 eglerentwurf nach dem Betragsoptimum Abb. 4.: PI egler und PT trece: Antwort auf einen prung der ührungsgröße Nun wollen wir die folgende PT 4 trece betrachten: T Σ T + T 3 + T 4 4 ( + 0s( +,5s( + s( + 0,5s (4.3 Mit (3. erhalten wir für die eglereinstellungen dieselben Werte wie bei vorangegangenen Beispiel mit der PT trece. Die imulation in ANA Abb. 4.3: Blocschaltbild PI egler und PT 4 - trece ergibt für Ausgang y 7 folgende prungantwort: Betragsoptimum.doc eite 5 von 6 Vane, 00707

6 eglerentwurf nach dem Betragsoptimum Abb. 4.4: PI egler und PT 4 trece: Antwort auf einen prung der ührungsgröße Wenn wir Abb. 4.4 mit Abb. 4. vergleichen erennen wir, dass die prungantworten pratisch gleich sind. Dies bedeutet, dass die Näherung mit der ummenzeitonstante durchaus sinnvoll ist und gute Ergebnisse liefert. Betragsoptimum.doc eite 6 von 6 Vane, 00707

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