Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis

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1 Kapitel 2 Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis Zusammenfassung Die in der Kontinuumsmechanik betrachteten Größen sind Skalare, Vektoren und Tensoren, oder allgemeiner Tensoren nter Stufe mit n 0. Um die Einarbeitung in die Grundlagen der Kontinuumsmechanik zu erleichtern, werden nachfolgend nur kartesische Tensoren verwendet. Damit entfällt u.a. eine Unterscheidung von ko- und kontravarianten Basissystemen und von unteren und oberen Indizes. Gleichzeitig wird der Blick für das Wesentliche geschärft. Viele Gleichungen lassen sich besonders übersichtlich in symbolischer Schreibweise formulieren. Für die Durchführung von Tensoroperationen ist aber oft eine Darstellung mit Basisvektoren oder eine verkürzte Indexschreibweise zweckmäßig. Die unterschiedlichen Schreibweisen werden zum besseren Verständnis der Gleichungen häufig parallel verwendet. Abschnitt 2.1 fasst die wichtigsten Bezeichnungen, Definitionen und Rechenregeln zusammen. In den Abschnitten 2.2 und 2.3 folgen die Grundlagen der Tensoralgebra und -analysis. Tensorfunktionen werden in Abschnitt 2.4 behandelt. Weiterführende Literatur ist u.a. mit [3; 5; 4; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 16; 18; 20; 21] gegeben. In Analogie zu diesem Lehrbuch sind in den Büchern [3; 4; 9; 10] durchgerechnete Beispiele zu finden. 2.1 Koordinatenfreie und Indexschreibweise Die Tensorrechnung ist heute ein unverzichtbares Hilfsmittel zur Darstellung der theoretischen Grundlagen der Kontinuumsmechanik sowie bei der Lösung praktischer Aufgaben. Dabei werden zwei Darstellungsweisen verwendet: die direkte (symbolische, koordinatenfreie) Notation und die Index- bzw. Komponentennotation Im ersten Fall werden alle relevanten Variablen, die Skalare, Vektoren oder Tensoren darstellen, im dreidimensionalen Raum definiert. Ein Skalar ist dabei unabhängig von der Orientierung des Raums, Vektoren stellen gerichtete Linienabschnitte dar, 17 H. Altenbach, Kontinuumsmechanik, DOI / _2, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2015

2 18 2 Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis ein Tensor zweiter Stufe ist eine endliche Summe geordneter Vektorpaare usw. In diesem Sinne lassen sich dann auch Tensoren höherer Stufe einführen. Die direkte Notation bedarf lediglich der Festlegung eines Bezugspunktes, jedoch keiner ápriori Einführung eines Koordinatensystems. Sie wird daher in zahlreichen Darstellungen der Kontinuumsmechanik, der Elastizitätstheorie, der Rheologie usw. bevorzugt, vgl. [2; 7; 14; 15; 19]. Die Indexschreibweise basiert auf der ápriorieinführung eines Koordinatensystems. Sie ist auf den ersten Blick benutzerfreundlicher, jedoch kann man schnell feststellen, dass jeder Wechsel des Koordinatensystems zu einer Neuberechnung der Komponenten bzw. Koordinaten führt Darstellungsformen für Skalare, Vektoren und Tensoren Zur Unterscheidung von Skalaren (Tensoren 0. Stufe), Vektoren (Tensoren 1. Stufe) und Tensoren der Stufe n 2 wird folgende symbolische Schreibweise vereinbart 1 Skalare: a,b,...,α,β,...,a,b,..., d.h. kleine oder große Buchstaben im Normaldruck, Vektoren: r,t,...,ρ,τ,..., d.h. kleine Buchstaben im Fettdruck, Tensoren (n 2): A, B,..., Π, Ω, (n) G, (n) F,..., (n) Γ, (n) Φ,..., d.h. große Buchstaben im Fettdruck; der linke obere Index steht für die Tensorstufe und wird nur für Tensoren der Stufe n 3 geschrieben. Will man diese Größen in Indexschreibweise darstellen, ist zunächst in E 3 ein kartesisches Koordinatensystem mit den Basiseinheitsvektoren e 1, e 2, e 3 einzuführen. Dabei wird das System der Basisvektoren so gewählt, dass man ein orthonormiertes System erhält (jeder Basisvektor habe die Länge 1, Basisvektoren mit unterschiedlichen Indizes sind orthogonal zueinander). Skalare Größen werden in Indexschreibweise genauso wie in symbolischer Notation dargestellt. Für einen Vektor r (Tensor 1. Stufe) folgt beispielsweise r i e i = r 1 e 1 + r 2 e 2 + r 3 e 3, i=1 für einen Tensor zweiter Stufe A i=1 j=1 für einen Tensor dritter Stufe (3) B A ij e i e j = A 11 e 1 e 1 + A 12 e 1 e A 33 e 3 e 3, 1 Leider kann man dies nicht konsequent durchsetzen: so wird der Nullvektor nachfolgend als 0 eingeführt und für den Spannungstensor der Technischen Mechanik wird σ verwendet.

3 2.1 Koordinatenfreie und Indexschreibweise 19 und für einen Tensor 4. Stufe (4) E i=1 j=1 k=1 i=1 j=1 k=1 l=1 B ijk e i e j e k E ijkl e i e j e k e l Es gilt die Einstein sche 2 Summationsvereinbarung über doppelt auftretende Indizes wird von 1 bis 3 summiert 3 : a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3, ein Index darf in einem Term indizierter Größen nur maximal zweimal auftreten, d.h. a i b i c j = a 1 b 1 c j + a 2 b 2 c j + a 3 b 3 c j, j = 1,2,3, a i b i c i keine Summationsvereinbarung definiert Zur Vereinfachung indizierter Operationen werden zwei Symbole eingeführt: das Kronecker 4 -Symbol und das Levi-Civita 5 -Symbol. Kronecker-Symbol: δ ij = δ ii = 3 { 1 i = j, 0 i j, 1 i,j,k =(1,2,3);(2,3,1);(3,1,2), Levi-Civita-Symbol (Permutationssymbol) ε ijk = 1 i,j,k =(1,3,2);(3,2,1);(2,1,3), 0 i = j bzw. i = k bzw. j = k, ε ijk ε ijk = 6 Zusammenfassend kann man folgende Darstellung kartesischer Tensoren zur Basis e i, i = 1,2,3 geben 0. Stufe: Skalar, z.b. a, 2 Albert Einstein ( ), Physiker und Nobelpreisträger, bedeutende Beiträge zur Relativitätstheorie und zum photoelektrischen Effekt 3 Im verallgemeinerten Sinn ist die Summation bis zur Anzahl der Dimensionen des Raums auszuführen. 4 Leopold Kronecker ( ), Mathematiker, Beiträge zur Algebra und Zahlentheorie 5 Tullio Levi-Civita ( ), Mathematiker, Beiträge zur Tensoralgebra

4 20 2 Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis 1. Stufe: Vektor, z.b. r = r i e i, r i, 2. Stufe: Dyade, z.b. G = ab = a i b j e i e j = G ij e i e j, G ij = a i b j, 3. Stufe (Triade), z.b. (3) B = abc = a i b j c k e i e j e k = B ijk e i e j e k, B ijk = a i b j c k, 4. Stufe (Tetrade), z.b. (4) D = abcd = a i b j c k d l e i e j e k e l = D ijkl e i e j e k e l, D ijkl = a i b j c k d l usw. Schlussfolgerung 2.1. Ein Tensor nter Stufe mit n 1 hat im dreidimensionalen Raum E 3 insgesamt 3 n Komponenten. Ein Tensor 0ter Stufe (Skalar) ist unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems, d.h. invariant gegenüber Drehungen des Koordinatensystems. Für Tensoren gilt bei Drehung eines Koordinatensystems mit den Basisvektoren e i in das Koordinatensystem mit den Basisvektoren e i folgendes Transformationsgesetz für die Koordinaten (s. Abb. 2.1) a i = Q ija j, a i = Q ji a j, G ij = Q ikq jl G kl, G ij = Q ki Q lj G kl,... mit Q ij = cos( x i,x j) und Q ji = cos( x i,x j ). Schlussfolgerung 2.2. Für die 3 n Koordinaten eines Tensors nter Stufe mit n 1 folgen bei Drehung des Koordinatensystems 3 n lineare Transformationsgleichungen. Tensoren 0. Stufe (Skalare) sind gegenüber Koordinatentransformationen invariant. Mit dem Drehtensor Q, der die Eigenschaft Q Q T = I hat (I ist der Einheitstensor), kann man die Transformationsgesetze auch symbolisch wie folgt schreiben a = Q a, a = Q T a, G = Q G Q T, G = Q T G Q,... x 2 x 2 e 2 x 1 Abb. 2.1 Drehung eines kartesischen Koordinatensystems x 1 mit den Basisvektoren e i in das Koordinatensystem x 1 mit den Basisvektoren e i x 3 e 2 e 3 e 1 e 1 e 3 x 3 x 1

5 2.1 Koordinatenfreie und Indexschreibweise 21 In den Abschnitten 2.2 und 2.3 werden wichtige Rechenregeln beispielhaft für Tensoren 0. bis 2. Stufe formuliert. Neben der Definition eines kartesischen Tensors 2. Stufe über seine Koordinatentransformation kann dieser als linearer Operator einer Vektortransformation definiert werden. Im Falle der Vektoren a und b gilt dann b = A a mit A als der entsprechenden Dyade. Für den Sonderfall eines Tensors 2. Stufe können die Koordinaten auch elementar als (3, 3) Matrizen geschrieben werden a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 G 11 G 12 G 13 [G ij ]=[a i b j ]= a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 = G 21 G 22 G 23 a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 G 31 G 32 G 33 Die Werte der Koordinaten sind von der Wahl des Koordinatensystems abhängig. Es gelten die nachfolgenden Manipulationsregeln für indizierte Größen Substitution: a i = U ij b j, b i = V ij c j Mit b j = V jk c k folgt a i = U ij V jk c k = W ik c k mit W ik = U ij V jk. Kontraktion (Verjüngung): T ij Gleichsetzen von 2 Indizes T ii = T 11 + T 22 + T 33 Faltung (Überschiebung): einfache Faltung A ij B kl = A ij B jl, doppelte Faltung A ij B kl = A ij B ji Faktorisierung: T ij n j λn i = 0, n i δ ij n j (Identität), T ij n j λδ ij n j = 0 = (T ij λδ ij )n j = 0

6 22 2 Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis δ ij -Manipulationen: δ ij a j = a i, δ ik T kj = T ij, δ ik δ kj = δ ij, δ ik δ kj δ jl = δ il ε ijk -Manipulationen: ε ijk a j a k = 0, ε ijk T jk = 0,... ε ijk ε imn = δ jm δ kn δ jn δ km, ε ijk ε ijn = 2δ kn, ε ijk ε ijk = 3! = Vektoren und Tensoren Zur Beschreibung physikalischer Vorgänge eignen sich Tensoren in besonderer Weise, da sie neben den Informationen über den Zahlenwert und die Einheit auch noch Informationen über Orientierungen im Raum enthalten. Nachfolgend werden Tensoren und ihr wichtigster Sonderfall (Vektoren) eingeführt Polare und axiale Vektoren In der Mechanik muss bei der Definition von Vektoren darauf geachtet werden, dass es unterschiedliche Vektoren gibt. Die erste Gruppe bilden die polaren Vektoren, für die die meist verwendete Standarddefinition gilt (s. auch Abb. 2.2). Definition 2.1 (Polarer Vektor). Ein polarer Vektor ist im Euklid schen Raum als ein gerichtetes gerades Liniensegment, gekennzeichnet durch Länge und Richtung, gegeben. Die Länge des Vektors a wird dabei mit a a bezeichnet, wobei... die Norm 6 oder den Betrag des Vektors bezeichnet. Die Norm des Vektors a berechnet sich mit Hilfe des Skalarproduktes a = a a. Folgende Eigenschaften gelten für Normen: a Abb. 2.2 Grafische Veranschaulichung eines polaren Vektors e a 6 Für die Norm wird auch... als Symbol verwendet.

7 2.1 Koordinatenfreie und Indexschreibweise 23 Sie ist positiv definit, d.h. a 0. Für a = 0 folgt a = 0 a + b a + b. αa = α a. Die Richtung e a erhält man wie folgt: e a = a/ a. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie in ihrer Länge übereinstimmen und die gleiche Richtung haben. Der Nullvektor 0 hat die Länge 0. Polare Vektoren werden u.a. zur Beschreibung von translatorischen Bewegungen, von Kräften usw. verwendet. In der Mechanik treten neben translatorischen auch rotatorische Bewegungen auf, neben Kräften gibt es auch Momente. Man erkennt, dass sich rotatorische Bewegungen und Momente nicht durch polare Vektoren beschreiben lassen, da beispielsweise die Bewegung um eine Achse zu charakterisieren ist. Damit werden Spinorvektoren eingeführt, d.h. gerichtete kreisförmige Liniensegmente. Derartige Vektoren lassen sich durch axiale Vektoren repräsentieren, wobei zur Unterscheidung auch der Doppelpfeil Anwendung findet (s. Abb. 2.3). Definition 2.2 (Axialer Vektor). Ein axialer Vektor 7 ist im dreidimensionalen Euklid schen Raum als gerichtetes geradliniges Liniensegment gegeben, dessen Länge der Länge des kreisförmigen Liniensegments entspricht und dessen Richtung sich aus der rechte-hand-regel ergibt. Aus der letzten Aussage folgt, dass die Orientierung des Referenzsystems von Bedeutung ist. Es ist offensichtlich, dass man die Überlegungen zu polaren und axialen Vektoren auf Tensoren beliebiger Stufe erweitern kann. In der Physik wird die Unterscheidung zwischen polaren und axialen Vektoren über die Punktspiegelung definiert. Für polare Vektoren tritt in diesem Fall eine Richtungsumkehr ein, für Spinorvektoren und folglich axiale Vektoren kommt es zu keiner Richtungsumkehr. Beim Rechnen mit polaren und axialen Vektoren muss man sorgfältig sein. Währendeinfache Rechenoperationenwie die Addition unddie Subtraktion den Charakter von Vektoren nicht ändern, gilt dies beispielsweise bei Multiplikationen nicht immer. Dabei dürfen im ersten Fall nur polare (axiale) Vektoren zu polaren (axialen) Vektoren addiert (subtrahiert) werden. Man kann jedoch beispielsweise einen axialen mit einem polaren Vektor vektoriell multiplizieren. Das Kreuzprodukt zweier polarer oder zweier axialer Vektoren ist ein axialer Vektor, das Kreuzprodukt eines axialen mit einem polaren Vektor ist ein polarer Vektor. Ein bekanntes Beispiel aus der Starrkörperdynamik ist die Berechnung der translatorischen Geschwindigkeit (polarer Vektor) eines Punktes bei einer Bewegung um eine a Abb. 2.3 Grafische Veranschaulichung eines axialen Vektors e a 7 Man findet hierfür auch den Begriff Pseudovektor.

8 24 2 Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis Achse aus dem Vektorprodukt der Winkelgeschwindigkeit (axialer Vektor) mit dem Positionsvektor (polarer Vektor) Tensoren zweiter Stufe Die Definition für Tensoren 2. Stufe wird in der Literatur unterschiedlich gegeben. Hier wird den Ausführungen in [16] gefolgt. Gegeben sei ein Vektorraum mit den Vektoren a, b, c usw. Aus diesen Vektoren wird eine Summe aus n formalen Produkten gebildet T = ab + cd + ef +... (2.1) Anmerkung 2.1. Das formale Produkt ab wird als Dyade bezeichnet, wobei auch die Schreibweise a b verwendet wird (s.a. Definition 2.8). Definition 2.3 (Tensor 2. Stufe). T wird als Tensor 2. Stufe bezeichnet, wenn folgende Äquivalenzbedingungen erfüllt sind Kommutativgesetz Die formale Summe hängt nicht von der Reihenfolge der Summanden ab, d.h. beispielsweise ab + cd = cd + ab Distributivgesetz Das Distributivgesetzes regelt die Umwandlung einer Summe in ein Produkt (Ausklammern oder Herausheben) (a + b)c = ac + bc, a(b + c)=ab + ac Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet. Dabei ist zwischen rechts- und linksdistributiv zu unterscheiden. Die Multiplikation mit einem Skalar lässt sich wie folgt ausdrücken α(ab)=(αa)b = a(αb) Es gilt ab ba für den Fall, dass b λa ist Tensoren höherer Stufe Basierend auf den bisherigen Ausführungen können folgende mathematische Objekte eingeführt werden: Skalare α werden als Tensoren 0. Stufe bezeichnet. Die Summe der Vektoren a k a = a k k

9 2.2 Tensoralgebra 25 ist ein Tensor erster Stufe. Die Summe der formalen Produkte der Vektoren a k b k (d.h. der Dyaden) T = k a k b k ist ein Tensor zweiter Stufe. Die Summe der formalen Produkte der Vektoren a k b k c k (3) T = k a k b k c k ist ein Tensor dritter Stufe, die Summanden selbst werden als Triaden bezeichnet. Die Summe der formalen Produkte der Vektoren a k b k c k d k (4) T = k a k b k c k d k ist ein Tensor vierter Stufe, wobei die Summanden als Tetraden bezeichnet werden. Diese Definitionen kann man beliebig fortsetzen. In jedem Fall müssen aber Äquivalenzbedingungen wie in Abschnitt beschrieben, gelten. Anmerkung 2.2. Im Falle von Tensoren muss zumindest auch zwischen axialen und polaren Tensoren unterschieden werden, bei Tensoren in der Schalentheorie, die auf Flächen definiert sind, kommt noch die n-orientierung (n ist die Normale zur Fläche) hinzu. Hier wird darauf nicht speziell eingegangen und auf die Spezialliteratur, z.b. [1], verwiesen. 2.2 Tensoralgebra Nachfolgend werden wichtige Aussagen der Tensoralgebra zusammengefasst. Diese sind zum Verständnis der im Rahmen des Buches benutzten Darstellungen notwendig. Es wird sich auf die Definitionen für Tensoren 1. und 2. Stufe (Vektoren und Dyaden) beschränkt, um den Umfang nicht zu groß werden zu lassen. Verallgemeinerungen bereiten jedoch keine Schwierigkeiten Rechenregeln für Vektoren Addition Definition 2.4 (Addition zweier Vektoren). Zwei Vektoren a und b vom gleichen Typ ergeben den Vektor c

10 26 2 Mathematische Grundlagen der Tensoralgebra und Tensoranalysis a + b = c In Komponenten lautet dieser Zusammenhang a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 + b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 = (a 1 + b 1 )e 1 +(a 2 + b 2 )e 2 +(a 3 + b 3 )e 3 = c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3, für Koordinaten gilt a i + b i = c i Für die Addition haben das Kommutativgesetz das Assoziativgesetz a + b = b + a, (a + b)+c = a +(b + c) sowie die Existenz eines neutralen Elementes a + 0 = a Gültigkeit. 0 ist der Nullvektor, d.h. ein Vektor mit der Länge 0 = 0. Multiplikation mit einem Skalar Definition 2.5 (Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar). Für einen beliebigen Vektor a und einen beliebigen Skalar α führt die Multiplikation zu Es gilt für die Länge des Vektors b: αa = b b = b b = αa αa = α 2 a a = α a Mit α>0 fallen die Richtungen von a und b zusammen, mit α<0 sind die Richtungen von a und b entgegengesetzt, mit α > 1wirdagestreckt, mit α < 1wirdagestaucht, mit α = 1 bleibt a in seiner Länge erhalten (a und b sind kongruent) und mit α = 0wirdausader Nullvektor. Für die Koordinaten gilt αa i = b i Folgende Beziehungen sind gültig α(a + b)=αa + αb, (α + β)a = αa + βa Subtraktion Die Subtraktion zweier Vektoren vom gleichen Typ kann jetzt mit Hilfe der Re-

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