Chaos ist überall - Eine Eigenschaft (nicht nur) amorpher Materialien

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1 Chaos ist überall - Eine Eigenschaft (nicht nur) amorpher Materialien Doris Ehrt Otto-Schott-Institut für Glaschemie Friedrich-Schiller-Universität Jena Jena,

2 Was ist Chaos? Unordnung Wirrwarr unberechenbar instabil Ungleichgewicht unsicher Angst negativ Ordnung geregelt berechenbar stabil Gleichgewicht sicher Zuversicht positiv

3 Was ist Chaos? Chaos (griechisch) = Gas In der griechischen Mythologie der ungeordnete Urzustand der Welt, aus dem sich der geordnete Kosmos entwickelt haben soll. Übertragen: wüstes, wirres Durcheinander, Unordnung, Wirrwarr aus dem Ordnung entsteht

4 Was ist Chaosforschung? Untersucht das Verhalten von komplexen Systemen in Abhängigkeit von der Zeit Datenanalyse und Zeitreihen Finden von positiven Unterscheidungsmerkmalen Zufällige oder chaotische Signale Messfehler und Genauigkeit Wie komplex ist das System? Kopplungseffekte nichtlinear

5 Was sind komplexe Systeme? Dynamische Systeme, die aus drei und mehr Komponenten bestehen, die miteinander (nichtlinear) wechselwirken (Rückkopplung) Dreierbeziehung Wetter Wirtschaft Verkehr Mensch Amorphe Zustände, Glas Nichtlineare Optik etc.

6 Stabilität von Systemen Zustand und Zustandsänderungen Zustandsfunktion Z = f (Zustandsvariable) Klass. Thermodynamik: stabil, metastabil, instabil Z (V, U, H, F, G, S); Variable (p, T, x i, O, σ, e u.a.); Zustandspostulat: Partielle Ableitungen der Zustandsfunktionen nach den Zustandsvariablen ergeben unmittelbar die Zusammenhänge zwischen den verschiedenen makroskopischen Eigenschaften des Systems berechenbares System für Gleichgewichtszustände (totales Differential, integrierbar, Variable unabhängig voneinander)

7 Determinismus und Weltsicht Ziel: Vorherwissen (Prognose) (Wahrsager, Zauberer, Priester, Wissenschaftler) Woher Wohin Ursache Wirkung starke Kausalität NEWTON (1687): Mechanik, Natur, Mensch LAPLACE (1776): Naturgesetze deterministisch MARX (19. Jh): Gesellschaft deterministisch mechanistischer Materialismus ~ 300 Jahre Siegeszug (westliche Weltsicht) Welt ist erkennbar und beherrschbar! Ende des 19. Jh. Erste Auflösungserscheinungen (Physik)

8 Zweifel am Determinismus POINCARÉ (1903): Eine sehr kleine Ursache, die wir nicht bemerken, bewirkt einen beachtlichen Effekt, den wir nicht übersehen können, und dann sagen wir, der Effekt sei zufällig. Wenn die Naturgesetze und der Zustand des Universums zum Anfangszeitpunkt exakt bekannt wären, könnten wir den Zustand dieses Universums zu einem späteren Moment exakt bestimmen. Aber selbst wenn es kein Geheimnis in den Naturgesetzen mehr gäbe, so könnten wir die Anfangsbedingungen doch nur annähernd bestimmen. Wenn uns dies ermöglichen würde, die spätere Situation in der gleichen Näherung vorherzusagen dies ist alles, was wir verlangen -, so würden wir sagen, daß das Phänomen vorhergesagt worden ist und daß es Gesetzmäßigkeiten folgt. Aber es ist nicht immer so; es kann vorkommen, daß kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein zufälliges Ereignis.

9 Was ist Zufall? keine periodischen Wiederholungen (z.b. kreisende Kugel, Würfelspiel, Glücksspiele ) LAPLACE (1812): Analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten praktische Anwendung: Statistik MAXWELL, BOLTZMANN: Kinetische Gastheorie statistische Physik, statistische Thermodynamik erfolgreich: Aussagen über Verhalten sehr vieler für einzelne nur Wahrscheinlichkeit (Versicherungen) Normalverteilung keine innere Verbindung Vorgänge irreversibel thermodyn. Gleichgewicht größtmögliche Unordnung Wärmetod

10 Deterministisches Chaos kleine Ursache große Wirkung schwache Kausalität starke Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen deterministisch: Wasserscheide zw. Rhóne und Rhein in Schweizer Alpen, Wassertropfen 100 m südlich Mittelmeer 100 m nördlich Nordsee Schwedenkönig OSCAR II. (1887) Preis 2500 Kronen Ist das Sonnensystem stabil? LAGRANGE, LAPLACE, POISSON Beweisversuche gewisse Näherungen für das allgemeine Problem besitzen stabile Lösung POINCARÉ (1890): Über das Dreikörper-Problem und die Gleichungen der Dynamik komplizierte Systeme sind nicht stabil! d.h. die Zukunft ist offen

11 Drei-Körper-Problem Beispiele für Bahnen (Trajektorien) eines Planeten in einem Doppelsternsystem mit zwei gleichschweren Sonnen: Der genaue Verlauf einer solchen Bahn hängt empfindlich von den Anfangsbedingungen ab. Eine geschlossene Lösung der Bewegungsgleichungen für das Drei-Körper-Problem existiert nicht.

12 Wetterprognosen LORENZ (1956) MIT (USA), Meteorologe/Mathematiker Primitivmodell der Konvektion in der Erdatmosphäre, drei nichtlinear gekoppelte Differentialgleichungen Computer (langsam) numerische Lösungen für alle möglichen Startwerte - Abspeichergenauigkeit > Druckgenauigkeit (Δ ~0,000127) minimale Abweichungen langfristig zu total unterschiedlichen Verhalten Schmetterlingseffekt ( Wenn in Hamburg ein Schmetterling mit den Flügeln schlägt, kann das im Indischen Ozean einen Taifun auslösen. ) d.h. empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen Existenz des deterministischen Chaos: Fast alle Systeme mehr als drei Elemente fast immer nichtlineare Relationen keine math. Lösung in geschlossener Form möglich Chaos ist überall

13 Schmetterlingseffekt Wettergeschehen auf der Erde sehr empfindlich von geringsten Störungen abhängig: Der Flügelschlag eines Schmetterlings über Brasilien kann einen Wirbelsturm über Texas auslösen. Symbol: Apollofalter über Wolkenwirbeln ( NASA, Aufnahme von Apollo 17)

14 Definition des Glaszustandes eingefrorene unterkühlte Flüssigkeit definierte Nah- und gestörte Fernordnung erhöhte Entropie und Energie Flüssigkeit mit Relaxationszeit, die nicht mehr beobachtbar KAUZMANN (1948): Im Glaszustand ist die Relaxationszeit einiger Freiheitsgrade im Vergleich mit der Dauer des Experiments groß. Tg (Glasübergangstemperatur) hängt damit wesentlich von der Dauer und der Art des Experiments ab, und was wir mit langer Zeit meinen. Glas ist ein eingefrorener Ungleichgewichtszustand (instabil) starke Abhängigkeit von der Temperatur-Zeit-Vorgeschichte Anfangsbedingungen kleine Änderungen große Wirkungen

15 Glasbildung - Phasenübergang Schmelze Glas Kristall Abkühlung einer Schmelze D (stabil): Kristallisation beim Schmelzpunkt F p Unterkühlung C (metastabil) Glasübergang B (instabil) Tammann sche Kurven (zeitabhängig) Viskosität beim Schmelzpunkt Keimzahl (KZ) Kristallwachstumsgeschwindigkeit (KG)

16 Struktur Glas Kristall Intensitätsverteilung der Röntgenstrahl-Streuung für Stoffe verschiedener Aggregatzustände SiO 4 -Tetraeder-Verknüpfung in amorphen und kristallinen SiO 2 Einbau von Na 2 O in Natriumsilicatglas ZACHARIASEN WARREN (1932/3)

17 Viskosität von Glasschmelzen viscosity ΔTg ~1000 K SiO 2 10 log ( dpa s) B 2 O 3 NS 2 BB Prinzipieller Verlauf (Fensterglas) mit technologischen Bereichen und Fixpunkten SCHOTT Katalog 0-2 Wasser P FP T ( C) Unterschiedliche Zusammensetzungen

18 Entmischung 1µm Elektronenmikroskopische Aufnahmen von entmischten Borosilicatgläsern Ausscheidung von CaF 2 - Mikrokristallen mit SE-Anreicherung in Kristallen

19 Kristallisation- REM Lanthanborate mit SE CuO an OF (metall. Glanz) Zinksilicate und -aluminate

20 Kristallisation - Mikroskopie Zn 2 SiO 4 - Nadeln Germanat-Nadeln OF-Kristalle (FP-Glas) (Ca,Sr) x (AlF y ) z (FA-Glas) TiO 2 (Rutil) Nadeln (OF)

21 Blasenbildung Videoausschnitt aus einer Schmelze bei 1500 C a) bei Unterdruck, 100 mbar b) nach Umschalten auf Normaldruck., 1000 mbar Der Blasenradius verringert sich etwa auf 1/3, das Blasenvolumen auf etwa 1/30.

22 Schlierenbildung Homogenitätsprüfung von Laborschmelzen (Fluorid-Phosphat-Gläser) mit Schattenverfahren

23 Photoaktive Gläser (OSI) Laser- und Verstärker- Gläser (fs, Petawatt) (Er, Yb, Nd) Photolumineszenz Eu3+ Eu2+ Tb3+ fs-laser-writing (Wellenleiter) UV-Laser induzierte Nano- Partikel (Mikrolinsen)

24 Strömungen Turbulenzen Mischen zäher Flüssigkeiten Behälter mit Glycerin + Tropfen einer grünen und roten Fl. Chaotische und nichtchaotische Strömungen durch Parallelverschiebung der Behälterwände Perioden Dehn- und Faltmuster: rot: chaotisch grün: nichtchaotische Insel Muster einer turbulenten Strömung Streifenmuster in Magmagestein (Vulkan) Diffusionsprozesse sehr langsam

25 Chaos und Fraktale Die Repräsentation der Dynamik eines chaotischen Systems im Zustandsraum ist eine fraktale geometrische Struktur. Selbstähnlichkeit : Vergrößerung einer Teilstruktur bringt stets wieder die ursprüngliche Struktur zum Vorschein z.b. Cantor-Menge (D = 0,631), Koch-Kurve (D = 1,262), Sierpinski-Dreieck (D = 1,585) Skalierungsgesetz a = s D (a Anzahl, s Skalierung, D Dimension) D = log a/log s (bei klass. Fraktal ist D gebrochene Zahl) Iteration

26 Wachstum von Fraktalen durch diffusionsbegrenzte Anlagerung Zn-Ablagerung in elektrolyt. Zelle Viskoses Verästelungsmuster einer Luftblase in Glycerin Zn-Cluster bei erhöhter Spannung (elektrolyt. Zelle) Elektrisches Entladungsmuster (Lichtenberg-Figur)

27 Computer-Simulation diffusionsbegrenzte Anlagerung ~ Teilchen wachsen zu Cluster Nicht-Gleichgewichtsprozess keine Umordnung

28 Gewöhnliches Chaos Dynamische Systeme: Wetter, Klima, Wirtschaft, Verkehr, biologische Systeme (Herzschlag-Herztod, Populationsdynamik Räuber-Beute-Zyklus, Denken), chemische Reaktionen, etc. Kleinste Unterschiede in den Ursachen können zu größten Unterschieden in den Wirkungen führen Vorhersagen über reale dynamische Systeme prinzipiell unmöglich! Strukturbildung weitab vom Gleichgewicht (Selbstorganisation, Dissipation = Entropieproduktion) PRIGOGINE: Ordnung durch Fluktuationen (Schwankungen)

29 Beispiele für dissipative Prozesse Kinetische Phasenübergänge, z.b. Glasbildung, spinodale Entmischung, Keimbildung u. Kristallisation Bildung wabenartiger Strukturen an OF einer Flüssigkeit (Konvektionszellen) Oszillierende chemische Reaktionen Biologische Strukturen EIGEN (1971) Evolution als Problem struktureller Stabilität Fluktuationen chemischer Prozesse Ohne Chaos keine komplexen Systeme, keine Evolution und kein Leben

30 Schlussfolgerungen - allgemein Wissenschaftliche Methode Iteration (kleine Schritte!) Alle komplexen Systeme verhalten sich chaotisch Vorhersagbarkeit eingeschränkt aber kausale Zusammenhänge offenbahrt, wo man vorher keine vermutet hat Chaos als versteckte Ordnung Komplexe Betrachtung gegen Reduktionismus Chaotisches Verhalten ist die Regel

31 GÖDELs Unvollständigkeitssatz Keine Theorie, die die gesamte Mathematik umfasst, ist a) endlich beschreibbar, b) widerspruchsfrei und c) vollständig KURT GÖDEL (24 Jahre, Doktorand)

32 To every complex problem, there is a simple solution. And it s always wrong. H. L. Mencken Journalist and satirist PHOTONICS SPECTRA Nov: 1998

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34 Iteration (lat. Wiederholung) Mathematisch = schrittweises Rechenverfahren zur Annäherung an exakte Lösung Zeitreihen logistische Gleichung od. Verlustgleichung: y = ax ax 2 Oszillationen (Fluktuationen) Variation von a Übergang von linearen, zu nichtlinearen zu chaotischen Verhalten