Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung

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1 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung Feli Weninger Kollegstufenjahrgang /3

2 Karlsgymnasium München Kollegstufenjahrgang /3 Facharbeit aus dem Leistungsursfach Mathemati Thema: Verfasser: Kursleiter: Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung Feli Weninger StD Klaus Herber Abgabetermin: 3. Februar 3 Erzielte Note: in Worten: Erzielte Punte: in Worten: Unterschrift des Kursleiters

3 INHALTSVERZEICHNIS. Einführung. Das Problem der Nullstellenbestimmung. Iterationsverfahren. Loalisierung von Nullstellen 4. Einsatz eines Funtionsplotters 4. Das Bisetionsverfahren 5 3. Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung 6 3. Suzessive Approimation (Fipuntiteration) Mathematische Beschreibung Konvergenzgeschwindigeit 3..3 Verallgemeinerung des Iterationsverfahrens 3..4 Einsatzmöglicheiten 3. Das Newtonverfahren 3.. Mathematische Beschreibung 3.. Konvergenz Effizienz, Einsatzmöglicheiten, Einschränungen Das Seantenverfahren (Regula falsi) Mathematische Beschreibung Konvergenz, Vor- und Nachteile Kombination von Newton-Verfahren und Regula falsi Ausblic 7 4. Anwendungsbeispiele 8 4. Polynomfuntion 5. Grades 8 4. Nicht lineare Funtion Funtion mit unendlich vielen Nullstellen 4.4 Parabelgleichung 4.5 Weitere Beispiele ANHANG A. Programmierung 4 B. Literaturverzeichnis 35 C. Erlärung 36

4 Seite. Einführung. Das Problem der Nullstellenbestimmung Aufgabe der Numerischen Mathemati ist es, mathematische Probleme näherungsweise zu lösen, falls eine analytische Lösung nicht möglich oder mit zu großem Aufwand verbunden ist. Ziel ist es, dafür Verfahren zu finden, die der tatsächlichen Lösung mit möglichst wenig Rechenaufwand möglichst nahe ommen. Derartige Verfahren önnen beispielsweise auch in Computerprogrammen eingesetzt werden, um eine aufwändige Programmierung analytischer Algorithmen zu vermeiden. Ein wichtiges Anwendungsgebiet numerischer Verfahren ist folgendes mathematisches Grundproblem: Gegeben sei die Funtion Funtion f, d. h. die Werte f : f ( ) mit D R. Gesucht sind die Nullstellen der D f f, für die die Gleichung f ( ) = erfüllt ist. Die Nullstellen einer Funtion y = f () sind somit identisch mit den Lösungen (auch Wurzeln genannt) der Gleichung f ( ) =. Liegt die Gleichung in der Form f ) = f ( ) vor, lässt sie sich durch eine Äquivalenzumformung auf die ( Form f ( ) = bringen. Die Lösung einer Gleichung und die Bestimmung der Nullstellen einer Funtion lassen sich also auf das gleiche Grundproblem zurücführen. Geometrisch lässt sich das Problem als Berechnung des Schnittpuntes des Graphen einer Funtion y = f () mit der -Achse, deren Funtionsgleichung y = lautet, deuten. Durch Elimination von y erhält man hier ebenfalls die Gleichung f ( ) =. Im Folgenden soll die Lösung dieses Problems bei verschiedenen Arten von Funtionen erläutert und dabei Einsatzmöglicheiten numerischer Verfahren aufgezeigt werden. Bei Polynomfuntionen bis zu vierten Grades eistieren für die Gleichung f ( ) = allgemeine Lösungsformeln, wobei bei Gleichungen dritten und vierten Grades mit Fallunterscheidungen und ompleen Zahlen gerechnet werden muss. Allgemeine Polynomgleichungen fünften und höheren Grades lassen sich formelmäßig nicht mehr lösen. Die einzige Möglicheit einer analytischen Lösung besteht darin, eine Nullstelle zu erraten und Derartige Lösungsformeln finden sich z.b. in [], S. 8ff. [3], S. f.

5 Seite anschließend mithilfe einer Polynomdivision durch ( ) den Grad der Funtion um zu erniedrigen, oder, wie bei einer so genannten 4 biquadratischen Gleichung der Form a + b + c =, die Lösungen durch eine geeignete Substitution zu ermitteln. Für Polynomfuntionen dritten und höheren Grades, die man durch eine der beiden Methoden in ihrem Grad erniedrigen ann, bietet sich der Einsatz von Näherungsverfahren an. Ein weiterer Einsatzbereich von Näherungsverfahren zur Bestimmung von Nullstellen sind Funtionen mit nicht linearen Termen, z.b. Sinus-, Logarithmus- und Eponentialfuntionen, da bei diesen durch Umformung die Gleichung f ( ) = vielfach nicht lösbar ist. Beispiel: Gegeben sei die Funtion f : ln( ) +. Durch algebraische Umformungen ist die Gleichung f ( ) = nicht zu lösen: ln( ) + = ln( ) = + ln( ) e = e = e Erneutes Logarithmieren auf beiden Seiten der Gleichung und beidseitige Division durch führt wieder zur. Zeile zurüc. Die Nullstellen der Funtion f muss man daher durch Annäherung bestimmen.. Iterationsverfahren Die vorgestellten numerischen Verfahren zur Nullstellenbestimmung sind so genannte Iterationsverfahren 3. Bevor einzelne Verfahren zur Annäherung an Nullstellen beschrieben werden, sind daher noch dieser Begriff und andere in diesem Zusammenhang häufig auftauchende Begriffe zu definieren. Ein Iterationsverfahren berechnet aus einem Wert Anwendung einer mathematischen Vorschrift den Wert (Startwert) durch und wiederholt diese Vorschrift bezogen auf, so dass man eine Folge von Werten { }: =,..., erhält. Auf das Problem der Nullstellenbestimmung bezogen, heißt das, dass sich aus einem Näherungswert der Nullstelle weitere Näherungswerte ergeben. Die Iterationsvorschrift wird so lange wiederholt, bis: - die gesuchte Lösung gefunden ist (auf unser Problem bezogen bedeutet das, dass f ( ) = ist); (), 3 lat. iteratio "Wiederholung"

6 Seite 3 - der Unterschied zwischen den in zwei aufeinanderfolgenden Schritten berechneten Näherungslösungen und einen vorher festgelegten Wert ε unterschreitet ( < ε ); () - die gefundene Näherungslösung eine ausreichende Näherung an die tatsächliche Lösung liefert (in unserem Fall ist dies gegeben, wenn f ( ) < ε ) oder (3) - eine bestimmte Anzahl n Wiederholungen durchgeführt wurde. (4) Die Vorschriften (), (), (3) und (4) nennt man Abbruchriterien. Ein einfaches, in der Schule behandeltes Beispiel für ein Iterationsverfahren ist die Berechnung der Quadratwurzel aus reellen Zahlen, die eine Quadratzahlen sind, durch Intervallschachtelung. Eine Folge { } ε in R heißt onvergent 4 gegen einen Grenzwert + zu jedem R ein N gibt, so dass aus c R, wenn es N, stets c < ε folgt. 5 Anschaulich betrachtet heißt das, dass die Folge zwar evtl. anfangs "wild schwant", sich schließlich aber mit immer leineren Abweichungen einem festen Wert c nähert. Iterationsverfahren liefern im Allgemeinen eine unendliche Folge; beim Einsatz von Computerprogrammen wird der Grenzwert c einer onvergenten unendlichen Folge jedoch nach einer endlichen Anzahl Iterationsschritte erreicht, da die Abweichung c leiner als die auftretenden, technisch bedingten Rundungsfehler wird. In dieser Arbeit bezieht sich die Formulierung "Erreichen einer Nullstelle" auf diesen Sachverhalt und ist nicht streng mathematisch zu verstehen. Ein wichtiges Kriterium für die Effizienz eines Iterationsverfahrens ist die Geschwindigeit, mit der sich die gefundenen Werte der tatsächlichen Lösung annähern. Um darüber eine Aussage treffen zu önnen, betrachtet man im Nachhinein (e post) die Abweichung der Werte, die ein Iterationsverfahren liefert, von der tatsächlichen Lösung. Ist das Verhältnis der Abweichungen von zweier aufeinanderfolgender Werte und onstant, gilt + + q = (5). Die positive reelle Zahl q heißt Konvergenzfator. Bei einer onvergenten Folge gilt < q <. Je leiner q ist, desto schneller onvergiert ein Iterationsverfahren. Ein Iterationsverfahren onvergiert jedoch besonders schnell, wenn gilt: p + = q( ) mit p >. Die Größe p nennt man Konvergenzordnung. Für p =, d.h. im zuerst betrachteten Fall, spricht man von linearer Konvergenz, analog für quadratischer Konvergenz. p = von 4 lat. (con)vergens "sich (zu etwas) neigend" 5

7 Seite 4. Loalisierung von Nullstellen Zur Anwendung der in Abschnitt 3 beschriebenen Verfahren ist es zunächst notwendig, sich einen Überblic über die Lage und Art der Nullstellen zu verschaffen. Weiterhin werden je nach Verfahren ein oder mehrere Startwerte benötigt, wobei jedes Verfahren desto schneller zum Ziel ommt, je näher die Startwerte bereits an der Nullstelle liegen. Eine gute Loalisierung trägt daher wesentlich zur Effizienz der Iterationsverfahren bei. Im Folgenden werden ein anschauliches und ein analytisches Verfahren aufgezeigt, die diese Aufgabe erfüllen.. Einsatz eines Funtionsplotters Ein Funtionsplotter ist ein Computerprogramm, das den Graphen einer Funtion in einem Intervall [ a;b] zeichnet. Beispielsweise sind alle Graphenzeichnungen onret bestimmter Funtionen in dieser Arbeit mit einem solchen Programm erstellt worden. Der Funtionsplotter berechnet im gegebenen Intervall die Funtionswerte f ( a + d) in einem festgelegten Abstand d, bis a + d = b ( =,,,...; d R ). Dabei werden jeweils die Punte P ( a d f ( a + d )) ( a + ( +) d f ( a + ( + ) d )) P + miteinander verbunden. + und Aus dieser Funtionsweise ergibt sich das Problem, dass bei nicht stetigen Funtionen, z. B. f ( ) =, nicht vorhandene Nullstellen suggeriert werden önnen, indem die zwei Punte rechts und lins der Unstetigeitsstelle verbunden werden. Bei der Loalisierung von Nullstellen mit einem Funtionsplotter ist daher besonders der Definitionsbereich der Funtion zu beachten. Beispiel: Gegeben ist die Funtion f : ln( + 4) sin( ) +, 5. Es sind möglichst enge Intervallgrenzen der Nullstellen im Intervall [-5;5] zu bestimmen. Übergibt man die Funtion an einen Funtionsplotter, ergibt sich Bild.. Die Nullstellen von f liegen in den Intervallen [-4 ; -3,8] und [3,8 ; 4].

8 Seite 5 Bild.: Ausgabe eines Funtionsplotters. Das Bisetionsverfahren Dieses Verfahren bietet eine analytische Methode, um die Nullstellen einer Funtion in beliebig leinen Intervallen einzugrenzen. Es beruht auf dem so genannten Satz von BOLZANO, der auch Zwischenwertsatz genannt wird: Ist die Funtion f stetig in [a;b] und gilt f ( a) f ( b) <, d.h. f(a) und f(b) besitzen verschiedenes Vorzeichen, so eistiert mindestens ein ; mit f ( ) =. [ a b] (6) Sind die Voraussetzungen des Satz von BOLZANO in einem Intervall erfüllt, und liegt im betrachteten Intervall tatsächlich genau eine Nullstelle, ann man zur Bestimmung genauerer Intervallgrenzen der Nullstelle folgende mathematische Vorschrift anwenden, die als Bisetionsverfahren 6 beannt ist:. Man teilt das Ausgangsintervall [ a ;b ] in zwei Hälften, wobei für den a + b Mittelpunt des Intervalls gilt: =.. Wenn nun nicht zufällig f ( ) = und somit die Nullstelle gefunden ist, ann die Nullstelle für f ( ) wegen der genannten Voraussetzungen nur in genau einem der beiden Teilintervalle liegen. Man prüft nun die 6 lat. bini "je zwei", sectio "Unterteilung, Abschnitt"

9 Seite 6 Voraussetzungen von Satz (6) jeweils für die Intervalle [ a ; ] und [ ;b ], um zu ermitteln, in welchem der beiden Teilintervalle die Nullstelle liegen muss. 3. Ist a ) f ( ), so setzt man a = und =. Ist dagegen f ( < a f ( ) f ( b ) <, so setzt man a = und b = b. Das Intervall [ a ;b wird nun erneut halbiert, wobei für dessen Mittelpunt analog zu oben gilt: a + b =. Wiederholt man die Schritte und 3, erhält man nach Wiederholungen ein Intervall a ; b ], für dessen Länge a b = a b gilt, da das [ Ausgangsintervall [ a ;b ] mal halbiert wurde. Unter der Voraussetzung, dass sich im Ausgangsintervall tatsächlich genau eine Nullstelle befindet, ist das Bisetionsverfahren stets onvergent, da die Intervallgrenzen immer leiner werden und die Intervalle, mit denen das Verfahren wiederholt wird, die Nullstelle immer einschließen (ein streng analytischer Beweis würde den Umfang dieser Arbeit sprengen). Durch das Verfahren nach dem "trial-and-error"-prinzip ist die Konvergenzgeschwindigeit jedoch eher langsam, Nullstellen mit unendlich vielen Dezimalstellen önnen nur in einer sehr großen Anzahl Iterationsschritte erreicht werden. Dennoch bietet das Bisetionsverfahren eine gute Möglicheit, das Intervall, innerhalb dessen sich eine gesuchte Lösung befindet, weiter einzugrenzen. b ] 3. Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung 3. Suzessive Approimation (Fipuntiteration) 3.. Mathematische Beschreibung Die betrachtete Gleichung f ( ) = lässt sich durch eine geeignete Umformung in die Form f ( ) = f ( ) bringen. Für das beschriebene Verfahren ist es besonders pratisch, f ) = zu setzen, wodurch die Gleichung in der Form ( = f ( ) g( ) vorliegt. Geometrisch betrachtet, wird das Problem dadurch auf die Suche nach den Schnittpunten der Geraden y = und dem Graphen der Funtion y = g() zurücgeführt. Diese Punte nennt man Fipunte der Funtion g(), weshalb das Verfahren auch Fipuntiteration heißt.

10 Seite 7 Die Abszissen der Fipunte der Funtion g() sind gleich den Abzissen der Nullstellen der Funtion f (), falls die verwendeten Umformungen äquivalent sind (vgl. Bild 3.). Anderenfalls (z. B. durch Radizieren und Quadrieren) önnen durch die Umformung Fipunte verloren gehen, insbesondere dann, wenn der Definitionsbereich von g () nicht mit dem der Funtion f () übereinstimmt. Beispiel: Gegeben ist die Funtion 5 f ( ) = 3 +. Durch Umformung der Gleichung = erhält man z. B. folgende Gleichung: = + = mit R. (7) 3 4 Eine andere Umformung liefert jedoch = 3 und somit = 4 3 mit R \ ; 3. (8) Die Umformung (7) ist äquivalent, (8) auf Grund des Radizierens nicht. 5 + Zeichnet man die Funtionsgraphen : = G y und G 4 : y = 3 (vgl. 3 Bild 3.), erennt man, dass der erste Graph die Gerade y = dreimal schneidet, der zweite Graph jedoch nur zweimal; durch die nichtäquivalente Umformung ist ein Fipunt verloren gegangen. Bild 3.: Übereinstimmung von Nullstellen- und Schnittpuntsabszissen Bild 3.: Verlust von Fipunten durch nichtäquivalente Umformung Die Iterationsvorschrift des allgemeinen Iterationsverfahrens lautet, ausgehend von einer Umformung der Gleichung f ( ) = nach = g(), wie folgt: = g( + )

11 Seite 8 Beginnend mit einem Startwert, den man z.b. mit einem der in Kapitel erläuterten Verfahren bestimmen ann, erhält man die unendliche Folge von Werten, = g( ), = g( ), K, = g( ). Wie im vorigen Abschnitt { } : = n n gezeigt, erhält man aus einer Gleichung f ( ) = mehrere Umformungen der Form = g(). Es gilt nun, solche Terme g() zu bestimmen, für die die Folge { } gegen den Fipunt von g() onvergiert. Dazu betrachten wir die geometrische Veranschaulichung des Verfahrens (Bild ). Den Gleichungen = g ), = g ), = g ) usw. entspricht ( ( 3 ( folgende Konstrution: Wir zeichnen die Gerade = parallel zur y-achse bis zu ihrem Schnittpunt ( mit der Kurve y = g() ; durch ziehen wir y ) die Gerade y = parallel zur -Achse bis zu ihrem Schnittpunt y ) mit der Geraden y P ( y =. Anschließend zeichnen wir die Gerade =, die den Graphen von g() im Punt y ) schneidet, usw. Die Abszissen der ( Schnittpunte entsprechen somit der unendlichen Folge von Werten, die das Iterationsverfahren liefert. 7 Unterscheiden wir nach den Wertebereichen, die die Ableitung Intervall um den Fipunt annimmt, ergeben sich folgende vier Fälle: g' ( ) im y g() y y= g() y= 3 Bild 3.3.: alternierende Divergenz für g '( ) < 3 Bild 3.3.: alternierende Konvergenz für < g '( ) < 7 vgl. [], S. 48f.

12 Seite 9 y y= y g() y= g() ' ' ' Bild 3.3.3: rechts- bzw. linsseitige Konvergenz für < g'( ) < ' ' ' 3 Bild 3.3.4: rechts bzw. linsseitige Divergenz für < g' ( ) Aus Bild erennen wir einen Zusammenhang der Steigung der Funtion g(), also der Ableitung g'(), und der Konvergenz des Verfahrens. Steigt oder fällt G stärer als die Gerade y =, d.h. ist die Ableitung g'() dem g Betrage nach >, ist das Verfahren divergent (Bild 3.3., 3.3.4). Umgeehrt gilt: Ist g'() dem Betrage nach <, so onvergiert das Iterationsverfahren (Bild 3.3., 3.3.3). Damit haben wir folgende hinreichende Konvergenzbedingung gefunden: Eine onvergente Iterationsformel = g( ) liegt dann vor, wenn in einer + Umgebung um den Fipunt von die Ungleichung erfüllt ist und der Startwert d.h. wenn gilt: ( '( ) p < g() g '( ) p < aus dieser Umgebung ausgewählt wird, g [ h; + h] ) [ h + h] + ; ; h, p R. (9) Man spricht in diesem Falle auch von einem ontrativen 8 Fipunt. Auf eine mathematisch eate Herleitung dieser Tatsache wie in [3] soll hier verzichtet werden; eine solche analytische Betrachtung würde im Übrigen zu einer schwächeren Konvergenzbedingung führen, nämlich dass nicht die Ableitung g'(), sondern der Differenzenquotient für alle beschränt sein muss 9. Der Nachweis, dass dies im Einzelfall gilt, ist jedoch u. U. sehr schwierig, daher werden wir im Folgenden die hinreichende Konvergenzbedingung (9) verwenden, von der auch [], [] und [4] ausgehen. 8 lat. contrahere "anziehen" 9 vgl. [3], S.

13 Seite 3.. Konvergenzgeschwindigeit Um eine Aussage über die Konvergenzgeschwindigeit (vgl..) zu treffen, a; b, in wenden wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung auf das Intervall [ ] g ξ dem und liegen, an und erhalten und '( ) = g( ) g( liegt. Damit und aus der Iterationsvorschrift ergibt sich: ), wobei ξ zwischen + = g( ) = g( ) + ( g( ) g( )) = g( ) + g'( ξ ) ( ). () Da der Schnittpunt der Funtion g() mit der Geraden y= ist, gilt g( ) = ; da rechts oder lins des Fipuntes liegen ann, erhalten wir aus (): + = g' ( ξ ) (). Vergleichen wir die Gleichung () mit der Aussage über die Konvergenzgeschwindigeit eines Iterationsverfahrens (5), erhalten wir für den Konvergenzfator q: q = g' ( ξ ). Da bei einer onvergenten Folge q < gelten muss, haben wir eine weitere Bestätigung für die Forderung an die Ableitung schneller onvergiert, je leiner g' gefunden. Zudem erennen wir, dass das Verfahren um so g '( ) ist Verallgemeinerung des Iterationsverfahrens In manchen Fällen ist es nicht möglich, eine Gleichung der Form = g() zu finden, die der Konvergenzbedingung (9) genügt. In diesen Fällen ann man auf eine Umformung der Form g ) = g ( ) zurücgreifen und ermittelt den Wert aus der Umehrfuntion ( g ( ), wobei durch die Benutzung der Umehrfuntion das Problem vermieden wird, dass sich mehrere Lösungen pro Iterationsschritt ergeben, wie es sonst z.b. für g ( = der Fall wäre. Es ergibt sich somit folgende Iterationsvorschrift: + = g ( g ( Es lässt sich zeigen, dass diese Vorschrift genau dann onvergiert, wenn g ) > g ( ) im einer Umgebung um die gesuchte Nullstelle gilt und der ( Startwert )) ) aus dieser Umgebung gewählt wird. Auf eine ausführliche Herleitung soll hier verzichtet werden, als Verifiation sei jedoch folgender Zusammenhang erwähnt: Setzen wir g ( ) =, erhalten wir aus g ( ) > g( ) die beannte Konvergenzbedingung g ( ). > Gilt übrigens g '( ) m >, ann man, wenn möglich, auf die Umehrfuntion ' g zurücgreifen, deren Ableitung ( g ) = sicher genügt. der Konvergenzbedingung g' vgl. [4], S. 387

14 Seite 3..4 Einsatzmöglicheiten Auf Grund der Kompleität der Konvergenzbedingung sind die Einsatzmöglicheiten des Verfahrens star eingeschränt. Insbesondere müsste für die Berechnung von Nullstellen mit einem Computerprogramm für eine vollautomatische Funtionalität ein ompleer Algorithmus entwicelt werden, der einen Funtionsterm f () analytisch in die Form = g() umwandelt, die Ableitung g' ( ) analytisch oder näherungsweise bestimmt, damit die Konvergenzbedingung prüft und ggf. eine neue Umformung findet. Das verwendete Computerprogramm (siehe Anhang A) erwartet daher die Eingabe einer geeigneten Umformung vom Benutzer. 3. Das Newtonverfahren Das allgemeine Iterationsverfahren beschreibt, wie wir im letzten Kapitel erannt haben, geometrisch betrachtet eine Annäherung an den Fipunt einer Funtion über Geraden, die parallel zu den Koordinatenachsen sind. Im Folgenden sollen Verfahren beschrieben werden, die eine Annäherung über gegen die Koordinatenachsen geneigte Geraden liefern. Eines dieser Verfahren ist das so genannte NEWTONsche Verfahren. 3.. Mathematische Beschreibung Die Grundidee dieses Verfahrens besteht darin, eine Funtion f(), für die in einem Intervall [ a;b die Voraussetzungen des Zwischenwertsatzes (6) erfüllt ] sind, durch eine lineare Funtion zu ersetzen. Eine solche lineare Funtion erhält man sehr einfach, indem durch den Punt P f ( )) mit [ a; b auf dem Funtionsgraphen eine Tangente an die ( ] Kurve legt, wobei eine Näherungslösung der Gleichung f ( ) = ist. Für diese Tangente lässt sich unter Verwendung des Ableitungswertes y f ( ) folgende Gleichung angeben: t : = f '( ) (). f '( ) Die Nullstelle der Funtion (), die zugleich eine weitere Näherung für ist, f ( ) f ( ) ergibt sich aus y = = zu =. Somit lässt sich für f '( ) f '( ) das NEWTONsche Verfahren folgende Iterationsvorschrift angeben: Sir Isaac NEWTON, englischer Mathematier und Physier (643-77)

15 Seite + = f ( f '( ) ) Bild 3.4 zeigt die geometrische Veranschaulichung des Newton-Verfahrens. y 3 f() Bild 3.4: Newton-Verfahren. Bereits nach dem vierten Iterationsschritt wird im Beispiel die Nullstelle in guter Näherung erreicht. Aus dem Term der Iterationsvorschrift erhalten wir bereits zwei Bedingungen: f () muss im betrachteten Intervall stetig differenzierbar sein und f '( ) darf dort nicht den Wert Null annehmen, d.h. f () muss streng monoton sein. Streng mathematisch betrachtet, önnen wir von beiden Bedingungen die Nullstelle selbst zwar ausschließen, da diese erst "nach unendlich vielen Iterationsschritten" erreicht wird, aus dem in. genannten Grund gilt diese Ausnahme beim Einsatz eines Computers nicht. Um dennoch eine Suche nach mehrfachen Nullstellen, die zugleich loales Etremum sind, zu ermöglichen, muss das Programm eine Division durch Null abfangen. 3.. Konvergenz Aus der Iterationsvorschrift, die wir für das NEWTON-Verfahren angegeben haben, erennen wir, dass es sich um eine abgewandelte Form der suzessiven f ( ) Approimation mit g( ) = handelt. Daher muss sich deren f '( )

16 Seite 3 Konvergenzbedingung (9) auch auf das NEWTON-Verfahren anwenden lassen. Die Ableitung g' ( ) wird Ungleichung g '() < erhalten wir Konvergenzbedingung : ( f '( ) ) f ( ) f ''( ) f ( ) f ''( = ( f '( ) ) ( f '( ) ) ). Aus der f ( ) f ''( ) ( f '( ) ) < und somit analog zu (9) die ( f ( ) f ''( ) ( f '( ) ) p < [ h; + h] ) [ h + h] + ; ; h, p R. g' ( ) von ist unter der Voraussetzung der zweifachen stetigen Differenzierbareit f () und wegen der genannten Bedingung f '( ) stetig. Auf Grund des in 3.. Gesagten gilt zudem f ( ) = und damit g'( ) =. Daher gibt es stets [ h ; + h] eine Umgebung I h =, in der für alle I h die genannte Konvergenzbedingung erfüllt ist, d.h. der Startwert muss lediglich nahe genug an der Nullstelle liegen. 3 Diese Eigenschaft des Verfahrens macht allerdings eine gute Loalisierung der Nullstelle notwendig Effizienz, Einsatzmöglicheiten, Einschränungen Die Konvergenzordnung (vgl..) des NEWTON-Verfahrens ist für f ''( ) gleich, d.h. die Abweichung von der gesuchten Lösung hängt quadratisch vom alten Fehler ab. Bei der Suche nach mehrfachen Nullstellen geht die quadratische Konvergenz jedoch verloren (vgl. 4.4). Für den Beweis sei auf [3] verwiesen. Aus dem Vorommen der. Ableitung f'() in der Iterationsvorschrift ergibt sich eine wesentliche Einschränung, da diese in jedem Iterationsschritt neu berechnet werden muss. Soll ein Computerprogramm verwendet werden, müsste dieses entweder den Term der Ableitung selbstständig bestimmen, was einen aufwändigen Algorithmus erfordert, oder in jedem Iterationsschritt ein Näherungsverfahren für die Berechnung des Wertes f '( ) anwenden, was die Konvergenzgeschwindigeit des Verfahrens u. U. erheblich verlangsamt. Weiterhin muss wegen der Forderung f '( ) bei der Suche nach mehrfachen Nullstellen, für die beanntlich f '( ) = gilt, die Iteration vor Erreichen der Nullstelle abgebrochen werden, um einen Programmfehler zu vermeiden. vgl. [], S vgl. [3], S. 9

17 Seite Das Seantenverfahren (Regula falsi) 3.3. Mathematische Beschreibung Auch bei diesem Verfahren ersetzt man die Funtion f, die im Intervall zwischen zwei Näherungslösungen [ ; ] stetig ist, durch eine lineare Funtion, deren Nullstelle eine verbesserte Näherung der Nullstelle der Funtion f liefert. Statt einer Tangente an die Funtion wählt man jedoch eine Gerade durch die Punte P f ( )) und P f ( )), d.h. eine Seante der Funtion f. Die Nullstelle der Seante liefert den neuen Punt P f ( )). Durch diesen und den Punt 3 usw. ( P ( ( legt man eine neue Seante mit der Nullstelle Da bei diesem Verfahren anders als beim Newton-Verfahren die Funtion durch eine Gerade durch zwei auf dem Graphen der Funtion liegende Punte ersetzt wird, spricht man auch vom Verfahren der linearen Interpolation. Die Steigung der Seanten P P Funtionsgleichung lässt sich somit man s( ) =, erhält man ergibt sich zu y f ( s : und somit der -Wert einer Näherungslösung f ( ) f ( ) m =, als ihre ) f ( ) f ( ) = angeben. Setzt f ( ) ( ) =. Die Nullstelle der Funtion s f ( ) f ( ) wird f ( ) ( ) =. f ( ) f ( ) Eine Iterationsvorschrift des Seantenverfahrens lässt sich somit als f ( ) ( ) + = mit =,,3,... angeben. f ( ) f ( ) Diese Iterationsvorschrift ann auch als eine Abwandlung des Newton- Verfahrens, bei der die Ableitung f '( ) durch den Differenzenquotienten f ( ) f ( ) ersetzt wurde, betrachtet werden. Bringt man den Term der rechten Seite auf einen Nenner, erhält man nach Vereinfachung als numerisch günstigere Iterationsvorschrift 4 : f ( ) f ( ) + =. f ( ) f ( ) 4 vgl. [3], S. 39

18 Seite 5 Besonders ist natürlich zu beachten, dass f ) f ( ) gelten muss, da sonst ( eine Division durch Null auftritt. Bei achsensymmetrischen Funtionen heißt das, dass die beiden Startwerte nicht gleich weit von der Symmetrieachse entfernt sein dürfen. Wie aus der geometrischen Veranschaulichung (Bild 3.5) deutlich wird, onvergiert das Verfahren auch dann, wenn die Nullstelle von f außerhalb des Intervalls [ ; ] liegt (im Bild für =). Allerdings önnen nach einem solchen "Fehlgriff", d.h. einer Seante, deren Nullstelle nicht im Ausgangsintervall enthalten ist, einige Iterationsschritte notwendig sein, um wieder in die Nähe der gesuchten Lösung zu ommen. y 4 3 Bild 3.5: Regula falsi f() Hier setzt eine leicht veränderte Version des Verfahrens an, bei der nach jedem Iterationsschritt überprüft wird, ob im Intervall [ ; ] die Voraussetzungen des Satzes von BOLZANO (6) noch erfüllt sind, d.h. ob f ( ) und f ( ) entgegengesetztes Vorzeichen besitzen. Bezeichnet man mit n die größte Zahl n mit n <, für die f ( ) f ( ) < gilt, so lautet die N Iterationsvorschrift dieser abgewandelten Form: n + = f ( ) f ( n ) f ( f ( n n ) )

19 Seite 6 Damit dieses Verfahren angewendet werden ann, muss die gesuchte Nullstelle zwischen den Startwerten und liegen, damit ein Wert für eistiert. Inonsequenterweise bezeichnen einige Quellen (z. B. [], [3]) die erste Version des Verfahrens als Regula falsi 5 und die zweite als deren Primitivform, andere die erste als Seantenverfahren und nur die zweite als Regula falsi; im Folgenden werden wir die erstere Terminologie benutzen Konvergenz, Vor- und Nachteile Über die Konvergenz lassen sich mit den bisherigen Feststellungen eine Aussagen treffen. Die Konvergenzordnung der Regula falsi liegt laut [3] bei,6, die der Primitivform bei. Die lassische Regula falsi hat den Vorteil, dass eine genaue Loalisierung der Nullstelle entfallen ann, da die Nullstelle nicht im Anfangsintervall enthalten sein muss. Das Verfahren onvergiert für jeden beliebigen Startwert gegen eine Nullstelle, es sei denn, dass der Definitionsbereich der Funtion f verlassen wird (vgl. Beispiel in 4.) oder bei nicht stetigen Funtionen eine Seante durch zwei Punte gelegt wird, zwischen denen sich eine Unstetigeitsstelle befindet. Es ist allerdings ggf. auch möglich, dass man bei ungeeigneten Startwerten die "falsche" Nullstelle berechnet, falls in der Umgebung der gesuchten Nullstelle weitere Nullstellen vorhanden sind. Für die Primitivform der Regula falsi ann eine, wenn auch nur lineare, Konvergenz gegen eine Nullstelle garantiert werden. Ebenso wie das Newtonverfahren büßt die Regula falsi einen großen Teil ihrer Konvergenz ein, wenn es sich um eine mehrfache Nullstelle handelt (vgl. 4.5) Kombination von Newton-Verfahren und Regula falsi Wir beginnen wieder mit zwei Startwerten, d.h. Näherungslösungen der ' gesuchten Nullstelle, und. Gehen wir z.b. davon aus, dass für die Konvergenzbedingung des Newton-Verfahrens erfüllt ist, önnen wir dieses f ( ) auf anwenden und erhalten die verbesserte Näherung =, f '( ) ' während wir gleichzeitig auf und die Regula falsi anwenden und eine Näherung ' f ( ) = f ( f ( ) ' ' ' ) f ( ) erhalten. Nun wenden wir erneut auf n das 5 lat. "Regel des Falschen" 6 vgl. [3], S. 39f.

20 Seite 7 ' Newton-Verfahren und auf und die Regula falsi an, so dass wir zwei Werte f ( ) = und f '( ) ' ' ' f ( ) f ( ) = erhalten. ' f ( ) f ( ) Durch wiederholte Anwendung dieser Vorschrift erhalten wir zwei Folgen von ' ' ' ' Werten {,,...,,...} und {,,,...,,...}, die sich der gesuchten, n n ' Nullstelle von beiden Seiten annähern, falls im Intervall [ ; ] f ''( ) gilt (ein Wendepunt würde evtl. eine alternierende Konvergenz des Newton- Verfahrens bedingen). Dies hat den Vorteil, dass man eine sehr einfache Überprüfung durchführen ann, wie "gut" die gefundenen Näherungslösungen ' sind: Wenn nämlich bei den Werten und mehrere Dezimalstellen ' übereinstimmen, muss die Nullstelle, die zwischen und liegt, dieselben Dezimalstellen haben. 7 Weiterhin haben wir hiermit einen Kompromiss zwischen einem durchschnittlich schnell, aber i. A. stets onvergierenden und einem sehr schnell, aber nicht immer onvergierenden Verfahren gefunden. y f() ' ' ' Bild 3.6: Seanten-Tangenten-Verfahren Bild 3.6 zeigt die geometrische Veranschaulichung dieses Verfahrens, das auch unter dem Namen Seanten-Tangenten-Verfahren beannt ist. 3.4 Ausblic Es gibt noch zahlreiche andere Näherungsverfahren, die zum Teil auf den bereits beschriebenen Verfahren basieren. Sie hier herzuleiten und ihre Vorund Nachteile zu erörtern, würde den Umfang dieser Arbeit erheblich 7 vgl. [], S. 487

21 Seite 8 sprengen. Hier sind z.b. das vereinfachte Newtonverfahren, bei dem der Ableitungswert nur einmal berechnet wird und man somit mit parallelen Geraden arbeitet, zu nennen. Weiterhin eistieren ein modifiziertes Newtonverfahren und eine modifizierte Regula falsi, bei denen jeweils die hohe Konvergenz bei vielfachen Nullstellen erhalten bleibt. Auch völlig andere Verfahren, wie die Verfahren von STEFFENSEN, von ANDERSON-BJÖRCK und von KING erlauben eine numerische Nullstellenbestimmung Anwendungsbeispiele Als Abrundung der Arbeit soll mit den drei wichtigsten der beschriebenen Verfahren eine Nullstellenbestimmung bei einigen ausgewählten, jeweils für einen Funtionstyp repräsentativen, Funtionen durchgeführt werden. 4. Polynomfuntion 5. Grades Gegeben sei die Funtion 5 f ( ) =, 9 (vgl. Bild 4.). Die Funtion besitzt drei Nullstellen in den Intervallen [-; -,9], [-,3; -,] und [;,]. Eine Umformung für die suzessive Approimation ist = g( ) = 5, ; g' ( ) wird [ 4,; ] 4, 4 5 ; es gilt g '( ) < für, d.h. in Näherung für [,67;, 67]. Diese Umformung ann daher nur zur Bestimmung der "mittleren" Nullstelle verwendet werden. Die für das Newton-Verfahren notwendige Ableitung ist f '( ) = 5. Bild 4.: Polynomfuntion 5. Grades Für den Startwert =, liefert die suzessive Approimation die Werte aus Tab. 4., im 6. Iterationsschritt wird die dem Betrag nach leinere negative Nullstelle mit der (bei Verwendung von Datentypen gängiger 8 vgl. [3], S. 5 9 vgl. [], S. 483 f.

22 Seite 9 Programmiersprachen) größtmöglichen Genauigeit von 5 signifianten Ziffern erreicht Tab. 4. Für [,6;,6] wird dieselbe Lösung jeweils + im 7. oder 8. Iterationsschritt erreicht, der Startwert ist für die Konvergenz also relativ unerheblich. Auch für dem Betrag nach noch größere Werte wird die Nullstelle auf Grund des in 3.. Gesagten trotz der verletzten Konvergenzbedingung erreicht. Das Newtonverfahren dagegen liefert für =, bereits im. Schritt die genannte Lösung, für =, 3 werden dagegen vier Iterationsschritte benötigt. Für =,7 onvergiert das Verfahren jedoch im. Schritt gegen die dem Betrag nach größere negative Nullstelle -, Hier zeigt sich die Notwendigeit einer guten Nullstellenloalisierung beim Einsatz des Newtonverfahrens. Beim Einsatz der Regula falsi mit den anschaulich bestimmten Intervallgrenzen als Startwerten erhalten wir jeweils eine recht schnelle Konvergenz gegen die "richtige" Nullstelle. Setzen wir jedoch z.b. =, 5 und =,5, erhalten wir im vierten Schritt einen "Fehlgriff" nach wird erst im 35. Iterationsschritt erreicht Nicht lineare Funtion (Logarithmusfuntion) 7,6, und die positive Nullstelle Gegeben sei die Funtion f ( ) ln( ) - mit = ;+. = ] [ D f Die Funtion hat zwei Nullstellen in den Intervallen ];,] und [,4;,6]. Nach Umformung erhalten wir = e g( ). Aus der Abbildung 4. erhalten wir ein Intervall [-; ], in dem die suzessive Approimation sicher gegen die dem Betrag nach leinere Nullstelle onvergiert. Aufgrund der Achsensymmetrie von g () erhält man für = a und ' = a Ergebnisse. Für vgl. [4], S. 384 jeweils die gleichen = ± ergibt sich Bild 4.: Nicht lineare Funtion f() und Umformung g()

23 Seite nach Iterationen der Wert, Für = ±,5 und = ±, benötigt man jeweils Wiederholungen. Sogar wenn man die bereits gute Näherung =,4 als Startwert verwendet, sind 9 Schritte erforderlich. Das Newtonverfahren arbeitet hier wesentlich effizienter und erreicht die Nullstelle nach 5 Iterationen für =, und =,, nach 8 Iterationen für =,3. Bemerenswert ist, dass das Newtonverfahren z.b. für =, 4 versagt, da mit,4 der Definitionsbereich von f () verlassen wird; für =,7 ergibt sich sogar 39,7. Der Grund dafür ist im loalen Minimum zwischen den beiden Nullstellen zu sehen, das "flache" Tangenten bedingt. Für Startwerte wie =,8 strebt das Verfahren die Nullstelle, an. Der Einsatz der Regula falsi ist problematisch. Das loale Maimum und die dortige stare Krümmung erschweren die Seantenonstrution für die Bestimmung der "linen" Nullstelle sehr, da schon die Nullstelle der ersten Seante vielfach nicht in liegt. So ist nur für gut loalisierte Startwerte, z.b. =,5 und D f =,, eine Bestimmung der ersten Nullstelle möglich. Die "rechte" Nullstelle ist dagegen mit der Regula falsi sehr einfach und in meist weniger als Iterationsschritten zu bestimmen, solange die Startwerte jenseits des loalen Etremums liegen. Dies liegt wohl an der dortigen geringen Krümmung. 4.3 Funtion mit unendlich vielen Nullstellen (Sinusfuntion) Gegeben sei die Funtion f () = sin( ). Diese besitzt unendlich viele Nullstellen, deren Abszissen sich zu = π mit Z ergeben. Eine Umformung für die suzessive Approimation ergibt = g( ) = sin( ) +, wobei g' ( ) = cos( ) +. Mit dieser ann nur nach den Nullstellen = π für ungerades gesucht werden, da nur hier die Bedingung g' ( ) < erfüllt ist (vgl. Bild 4.3). Beispielsweise erhält man bei der Suche nach der Nullstelle = π für = 3 die Werte aus Tab Bild 4.3: Fipunte von g ( ) = sin +

24 Seite Die Iterationsvorschrift onvergiert hierbei auch für Startwerte nahe bei oder π gegen = π, beispielsweise für =, im 8., für =, im 5. und für = 6, im 9. Iterationsschritt. Das Newtonverfahren onvergiert für Werte, die 3, in der Nähe von = π liegen, sehr gut gegen 3, die jeweilige Nullstelle, beispielsweise ergibt 3 3, Tab. 4.3 sich für =,3 im dritten Iterationsschritt 3 =. Für =, dagegen ergeben sich zunächst zahlreiche sehr leine Werte, aber = wird erst im 3. Iterationsschritt erreicht. Für Werte, die "irgendwo in der Mitte" zwischen zwei Nullstellen liegen, onvergiert das Newton-Verfahren zwar, allerdings z.b. für = 5 gegen = 3π im sechsten Iterationsschritt (statt gegen die näher liegende Nullstelle = π ) und für = 8 gegen = 5π im fünften. Die Regula falsi onvergiert stabil jeweils gegen die Nullstelle, die zwischen den beiden Startwerten liegt, beispielsweise wird = π für = und 5 trotz der sehr großen Intervallgrenze im 8. Iterationsschritt erreicht. Befinden sich mehrere Nullstellen im Ausgangsintervall, wird das Ergebnis unvorhersehbar, wobei die Konvergenz jedoch erhalten bleibt: Für = und = strebt das Verfahren gegen = π, für = und = aber gegen = π. 4.4 Parabelgleichung + Gegeben sei die Funtionenschar f ( ) a mit a R. Obwohl hier eine a = analytische Bestimmung der Nullstellen sehr einfach ist ( = ± Iterationsverfahren zur Nullstellenbestimmung dazu eingesetzt werden, eine Näherung der Quadratwurzel von a zu bestimmen. Eine Umformung für die suzessive Approimation ergibt sich folgendermaßen: a a a a = = = + = + g( ). Für die Konvergenz gilt: a a g' ( ) = < < a a für > : < > a a a a a für < : < 3 > a >, d.h. Konvergenz für >. 3 3 a + a Die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens wird + = = / = a ), ann ein vgl. [], S. 78

25 Seite und entspricht somit der der suzessiven Approimation. Die Iterationsvorschrift = + a + nennt man auch Quadratwurzeliteration. Als Startwert ann man z. B. einfach = a setzen. In Tab. 4.4 wird die hierbei für die Berechnung verschiedener Quadratwurzeln nötige Anzahl der Iterationsschritte einer Berechnung mit der Regula falsi mit = und = a gegenübergestellt. a n für Quadratwurzeliteration n für Regula falsi Tab. 4.4: Effetivität der Berechnung von Quadratwurzeln (auf 5 signifiante Ziffern) mit Iterationsverfahren Für a = besitzt die Funtion eine doppelte Nullstelle im Ursprung. Hierbei stoßen alle drei Verfahren auf große Probleme. Beide Verfahren liefern unabhängig vom Startwert zwar ständig leinere Werte, bei denen eine Konvergenz gegen = erennbar ist, jedoch wird dieser Wert in den ersten Schritten nicht erreicht. Sieht man sich die Iterationsvorschrift der Quadratwurzeliteration genauer an, erennt man, dass wegen a = das Newtonverfahren bzw. die suzessive Approimation auch lediglich eine Halbierung der Werte vornehmen. 4.5 Weitere Beispiele Das erste Beispiel macht den Verlust der Konvergenzordnung p > bei Regula falsi und Newtonverfahren deutlich, falls mehrfache Nullstellen berechnet werden: Gegeben sei die Funtion f () = ( ) 4 mit f '( ) = 4( ) 3. Erwartet wird genau eine vierfache Nullstelle. / / 3 / 4 = Eine Tabellierung der Werte würde wenig Sinn machen, da beide Verfahren nach jeweils Iterationsschritten den erwarteten Wert nicht erreichen. Beim Newtonverfahren ist jedoch immer noch eine höhere Konvergenz festzustellen, wie man aus Tabelle 4.5 (Startwerte =,, =, 8 ) ersehen ann.

26 Seite 3 Newton-Verfahren Regula falsi,3,4346 Tab. 4.5: Konvergenzverlust bei mehrfachen Nullstellen Ein interessantes Verhalten des Computerprogramms für die Regula falsi zeigt sich im Übrigen in der Anwendung auf die Eponentialfuntion f ( ) = e. Erwartet wird hier als einzige Nullstelle = ln. Setzt man geeignete, d.h. relativ gut loalisierte Startwerte, erhält man den orreten Wert nach wenigen Iterationsschritten. Für = 5 und = 5 beispielsweise bleibt das Iterationsverfahren jedoch bei einem -Wert stehen, der nicht die Nullstelle ist. Dieses Phänomen lässt sich dadurch erlären, dass im zweiten Iterationsschritt eine Seante durch zwei Punte, deren -Koordinaten bei 4,86 bzw. 4,73 liegen und zwischen denen die Steigung sehr lein ist, onstruiert wird. Die Nullstelle dieser Seante liegt bei einem großen -Wert ( 3 37). Der 3 Funtionswert ist jedoch bei so groß (im Bereich von ), dass die nächste Seante in guter Näherung eine Parallele zur y-achse darstellt, der Abszissenwert ihrer Nullstelle also dem im vorletzten Iterationsschritt bestimmten Wert 4,73 entspricht. Somit entspricht auch die wiederum nächste Seante in guter Näherung der vorherigen usw.; das Iterationsverfahren bleibt trotz der theoretisch gegebenen Konvergenz wegen der stets vorhandenen geringfügigen Rundungsfehler des Computers stehen.

27 Seite 4 ANHANG A. Programmierung A. Allgemeine Hinweise Das auch für die Berechnungen im Hauptteil verwendete Computerprogramm implementiert die Verfahren Suzessive Approimation, Newton-Verfahren und Regula falsi. Es ist in der Programmiersprache Perl verfasst. Perl bietet eine sehr einfache Möglicheit, auch "verschachelte" Funtionsterme mit nicht linearen Bestandteilen (Trigonometrische Funtionen, Eponential- und Logarithmusfuntionen usw.) an jeder beliebigen Stelle zu berechnen, eine Aufgabe, die in den meisten anderen Sprachen nur mit sehr großem Aufwand zu lösen ist. Perl ist eine Sriptsprache, mit dem Vorteil, dass die erstellten Programme nicht ompiliert werden müssen. Die Ausführungsgeschwindigeit ist dabei wesentlich höher als die herömmlicher Interpretersprachen wie QBASIC, da die Programme intern vor der Ausführung in einen binären Zwischencode übersetzt werden, aus dem beispielsweise auch manche Visual-Basic- Programme bestehen. Perl ist freie Software und befindet sich zusammen mit dem Programm auf der beigelegten CD-ROM. Beim Einlegen der CD-ROM öffnet sich unter Windows ein Fenster, über das die wichtigsten Funtionen der CD gestartet werden önnen. A. Bedienung und Funtionalität Ist die Programmiersprache Perl (befindet sich auf der CD-ROM im Verzeichnis Software) installiert, lässt sich das Programm in der Windows- Eingabeaufforderung bzw. Uni- (Linu-) Shell im Verzeichnis Programm auf der CD starten. Die Bedienung erfolgt hier über UNIX-artige Kommandozeilenparameter: --verf={appro newton regfalsi} legt fest, welches Verfahren benutzt werden soll --=<Wert> legt den Startwert fest --=<Wert> legt den. Startwert fest

28 Seite 5 --funtion=<funtionsterm> --umformung=<funtionsterm> --ableitung=<funtionsterm> --n={,,...} (nur für Regula falsi) legt den Funtionsterm f() fest (nicht erforderlich für suzessive Approimation) legt eine Umformung g() fest (nur für suzessive Approimation) gibt die. Ableitung der Funtion an (nur fuer Newton-Verfahren) legt die maimale Anzahl Iterations schritte fest, Standard ist Die Reihenfolge der Parameter ist dabei egal. Beispielsweise berechnet perl facharbeit.pl --verf=newton --funtion=sin() --ableitung=cos() --=3 --n= (in einer Zeile eingegeben) die Nullstelle der Funtion von = 3 in der Nähe in Iterationsschritten mit dem Newton-Verfahren. Ohne Parameter oder falls erforderliche Parameter fehlen, gibt das Programm einen Bedienungshinweis aus. Je nach Betriebssystem ann man das perl am Anfang auch weglassen. Wichtig ist in jedem Fall, dass in den Funtionstermen ein Leerzeichen vorommen darf. Unter Linu ist es erforderlich, die Parameter in einfache Anführungszeichen zu setzen, falls Klammern im Funtionsterm vorommen, z.b. '--funtion=sin()'. f ( ) = sin( ) Bild A.: Bedienung des Programms in der Kommandozeile (Windows )

29 Seite 6 Bild A.: Screenshot des Browser-Interfaces des Programms Ein Browser-Interface zur bequemeren Bedienung des Programms ist unter zu finden. Dieses ist nur über einen Webserver lauffähig und ann daher auch nicht ohne Weiteres von der CD gestartet werden. Die Installation von Perl ist für die Benutzung des webbasierten Interface nicht notwendig. Beide Interfaces sind im selben Programm implementiert. In jedem Fall erwartet das Programm eine Angabe des Funtionsterms, eines geeigneten Startwertes und der maimalen Anzahl Iterationsschritte. Diese Abbruchbedingung (vgl..) ist notwendig, da die im Programm implementierte Abbruchbedingung = auf Grund der Rundungsfehler evtl. nicht erfüllt wird, obwohl die Nullstelle bereits mit maimaler Genauigeit gefunden ist. Eine Abbruchbedingung f ( ) = ommt ebenfalls auf Grund der eingeschränten Präzision des Computers nicht in Frage, da diese evtl. zu früh erfüllt wird und die Iteration abgebrochen wird, obwohl die Nullstelle noch nicht so genau wie möglich bestimmt ist.

30 Seite 7 Daneben sind jeweils für die suzessive Approimation ein Funtionsterm g(), für das Newton-Verfahren der Term der Ableitung f '( ) und für die Regula falsi ein zweiter Startwert anzugeben. Wenn ein Funtionsterm der Ableitung angegeben wird, verwendet das Programm den f ( + h) f ( ) Differenzenquotienten für h = als Näherung. h Die Eingabe aller Funtionsterme hat in Perl-Synta zu erfolgen, d. h. im n Besonderen, dass als n geschrieben werden muss und das Argument für Funtionen wie sin() in Klammern stehen muss. Die Berechnung allgemeiner Logarithmusfuntionen wie log ( ) ist nur durch Basisumwandlung möglich. Das Problem einer Division durch Null beim Newton-Verfahren und der Regula falsi wird vom Programm abgefangen; die Iteration wird in diesem Fall beendet. Eine derartige Prüfung bei der suzessiven Approimation findet nicht statt. Da Perl jedoch im Allgemeinen bei derartigen Laufzeitfehlern die Programmausführung nicht abbricht, stellt dies ein Problem dar. A.3 Programmlisting Abschließend ein vollständiges Listing der Datei facharbeit.pl. #!/usr/bin/perl use CGI; 3 use Math::Trig; 4 # Funtionswert berechnen 5 sub f { 6 my $func = shift; 7 my $ = shift; 8 # ggf. in Perl-Synta umwandeln 9 $func =~ s/ln/log/g; $func =~ s/e\\/ep()/g; $func =~ s/arcsin/asin/g; $func =~ s/arctan/atan/g; 3 $func =~ s/arccos/acos/g; 4 $func =~ s/ep/ehoch/g; 5 $func =~ s//($)/g; 6 $func =~ s/ehoch/ep/g; 7 return eval($func); 8 } 9 # Näherungswert für Ableitung berechnen sub ddy { my $func = shift;

31 Seite 8 my $ = shift; 3 my $d =.; 4 return (f($func, $ + $d) - f($func, $)) / $d; 5 } 6 # Interface 7 sub formular { 8 my $methode = shift; 9 = ("Suzessive Approimation", "Newton-Verfahren", "Regula falsi"); 3 my $i = ; 3 print <<FORM 3 <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4. Transitional//EN"> 33 <html> 34 <head> 35 <lin rel="stylesheet" href="/arbeit/style.css" type="tet/css"> 36 <meta http-equiv="content-type" content="tet-html; charset=iso "> 37 <title>numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung</title> 38 </head> 39 <body> 4 <h align="center">numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung</h> 4 <h align="center">programm zur Facharbeit von Feli Weninger</h> 4 <br><br> 43 <form method="post" action="/cgi-bin/facharbeit.pl"> 44 <div align="center"> 45 <table style="border: p solid rgb(55,8,); bacground-color: rgb(55,55,);" border="" cellpadding="5" width="6%"> 46 <tr><td> 47 <p><b>verfahrensauswahl</b></p> 48 <ul> 49 FORM 5 ; 5 foreach (@a) { 5 print "<li>"; 53 print (($methode == $i)? "<b>$_</b>" : "<a href=\"facharbeit.pl?methode=$i\">$_</a>"); 54 print "</li>"; 55 $i++; 56 } 57 print "<input type=\"hidden\" name=\"methode\" value=\"$methode\">\n"; 58 print <<FORM 59 </p> 6 </td></tr> 6 </table> 6 <br> 63 <p><i>hinweis: Zur erforderlichen Synta siehe Abschnitt A. der Facharbeit.</i></p> 64 <table style="border: p solid rgb(55,8,); bacground-color: rgb(55,55,);" border="" cellpadding="5" width="6%"> 65 FORM

32 Seite 9 66 ; 67 if ($m!= ) { 68 print "<tr><td width=\"4%\">funtionsterm <i>f()</i>:</td><td width=\"6%\"><input type=\"tet\" size=\"3\" name=\"funtion\"></td></tr>\n"; 69 } 7 print "<tr><td>startwert <i></i>:</td><td><input type=\"tet\" size=\"3\" name=\"\"></td></tr>"; 7 $z = "<tr><td>"; 7 $z.= "Umformung <i>g()</i>:" if ($methode == ); 73 $z.= ". Ableitung <i>f'()</i>:<br><span style=\"font-size: 8pt;\">Wenn Sie hier nichts eingeben, wird die Ableitung näherungsweise berechnet, was evtl. zu Konvergenzverlangsamung führt.</span>" if ($methode == ); 74 $z.= ". Startwert <i></i>:" if ($methode == 3); 75 print "$z</td><td><input type=\"tet\" size=\"3\" name=\"special\"></td></tr>\n"; 76 print <<FORM 77 <tr><td>ma. Iterationsschritte <i>n</i>:</td><td><input type="tet" name="n" value="" size="5"></td></tr> 78 </table> 79 </div> 8 <p align="center"><input type="submit" value="berechnen"></p> 8 </form> 8 </body> 83 </html> 84 FORM 85 ; 86 } 87 sub usage { 88 print <<USAGE 89 Numerische Verfahren zur Nullstellenbestimmung - Facharbeit Feli Weninger 9 Benutzung des Programms: 9 facharbeit.pl <Optionen> 9 Optionen: 93 --verf={appro newton regfalsi} legt fest, welches Verfahren benutzt 94 werden soll 95 --=<Wert> legt den Startwert fest 96 --=<Wert> legt den. Startwert fest 97 (nur fuer Regula falsi) 98 --funtion=<funtionsterm> legt den Funtionsterm f() fest 99 (nicht erforderlich f. suz. Appro.) --umformung=<funtionsterm> legt eine Umformung g() fest (nur fuer suzessive Approimation) --ableitung=<funtionsterm> gibt die. Ableitung der Funtion an 3 (nur fuer Newton-Verfahren) 4 --n={,,...} legt die maimale Anzahl Iterations- 5 schritte fest, Standard ist

33 Seite 3 6 Weitere Bedienungshinweise finden Sie im Abschnitt A. der Facharbeit. 7 USAGE 8 } 9 sub ausgabe { print <<HTML <!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD HTML 4. Transitional//EN"> <html> 3 <head> 4 <lin rel="stylesheet" href="/arbeit/style.css" type="tet/css"> 5 <meta http-equiv="content-type" content="tet-html; charset=iso "> 6 <title>ergebnisse</title> 7 </head> 8 <body> 9 <h>ergebnisse</h> <table width="3" border=""> HTML ; 3 my $i = ; 4 foreach(@_) { 5 $i++; 6 $_ =~ s/e(\-)([-9])/e$$/g; 7 $_ =~ s/e([\--9]+)/ <sup>$<\/sup>/g; 8 print "<tr><td>_$i</td><td>$_</td></tr>\n"; 9 } 3 print "</table> 3 <p><a href=\"javascript:history.bac();\">zurüc</a></p> 3 </body> 33 </html> 34 "; 35 } 36 sub ausgabe_tet { 37 my $i = ; 38 foreach(@_) { 39 $i++; 4 print "$i\t$_\n"; 4 } 4 } 43 # Einzelne Verfahren 44 #. Suzessive Approimation 45 sub appro { 46 my $ = shift; 47 my $umformung = shift; 48 my $n = shift;

34 Seite 3 49 my ($i, $, $); 5 5 $ = $; 5 for ($i = ; $i <= $n; $i++) { 53 $ = f($umformung, $); 54 last if ($ - $ == ); 55 $; 56 $ = $; 57 } } 6 #. Newton-Verfahren 6 sub newton { 6 my $funtion = shift; 63 my $ = shift; 64 my $ableitung = shift; 65 my $n = shift; 66 my ($i, $, $); $ = $; 69 for ($i = ; $i <= $n; $i++) { 7 $zaehler = f($funtion, $); 7 unless ($ableitung) { 7 $nenner = ddy($funtion, $); 73 } 74 else { 75 $nenner = f($ableitung, $); 76 } 77 last if ($nenner == ); # Division durch Null abfangen 78 $ = $ - $zaehler / $nenner; 79 last if ($ - $ == ); 8 $; 8 $ = $; 8 } } 85 # 3. Regula falsi 86 sub regfalsi { 87 my $funtion = shift; 88 my $ = shift; 89 my $ = shift; 9 my $n = shift; 9 my ($i, $, $3, $4); 9 93 $ = $; 94 $3 = $; 95 for ($i = ; $i <= $n; $i++) { 96 $zaehler = f($funtion, $3) $ - f($funtion, $) $3; 97 $nenner = f($funtion, $3) - f($funtion, $); 98 last if ($nenner == ); 99 $4 = $zaehler / $nenner; last if ($4 - $3 == );