Übung zur Vorlesung Grundlagen der Wärmeübertragung

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1 Übung zur Vorlesung Grundlagen der Wärmeübertragung Universität der Bundeswehr München Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Thermodynamik

2 Aufgabe 1: Die Ummantelung eines chemischen Reaktors besteht aus einem Aluminiumaufbau von 20 mm Wandstärke, der von einem Stahlmantel der Dicke 10 mm umgeben ist. a) Wie groß ist der flächenspezifische Wärmewiderstand des Reaktormantels? b) Wie groß wäre dieser Wärmewiderstand pro m 2 Fläche des Reaktormantels, wenn zwischen Aluminiumgehäuse und Stahlmantel ein Luftspalt von 0.01 mm bestünde? Die Ummantelung ist jeweils als eben zu betrachten. Material Aluminium Stahl Luft Wärmeleitfähigkeit k [ ] W m Tabelle 1: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 1 Aufgabe 2: Berechnen Sie den Wärmewiderstand R q,ges pro m 2 der ebenen Außenmauer eines Wohnhauses. Die Mauer ist insgesamt 40 cm dick. Sie besteht aus einer 26 cm starken Ziegelwand, auf die außen eine 10 cm starke Styropor-Isolationsschicht aufgebracht ist. Zum orrosionsschutz ist die Styroporschicht mit einem 0.5 cm dicken unststoffputz versehen. Innen wurde die Ziegelwand mit 3.5 cm Feinputz überzogen. Für den Wärmeübergang auf der Außen- und Innenseite soll pauschal ein Wärmeübergangskoeffizient h = 10 W/(m 2 ) angenommen werden. Skizzieren Sie den Temperaturverlauf. Material Außenputz Styropor Ziegel Feinputz Wärmeleitfähigkeit k [ ] W m Tabelle 2: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 2 1

3 Aufgabe 3: In einem 200 m langen, freiliegenden und nicht isolierten Hochdruckrohr strömt trocken gesättigter Wasserdampf mit einem Druck p = 50 bar und einer Temperatur T = C ein. Der Außendurchmesser des Rohrs beträgt d a = 120 mm, seine Wandstärke s = 10 mm. a) Wieviel Prozent des Wasserdampfs kondensieren in der Leitung, wenn die Umgebungstemperatur T U = 0 C beträgt und der Dampf mit 20 m/s in die Leitung einströmt? Der konvektive Wärmeübergang an der Innenseite des Rohrs wird mit dem Wärmeübergangskoeffizienten h i = 1000 W/(m 2 ), an der Außenseite des Rohrs mit dem Wärmeübergangskoeffizienten h a = 10 W/(m 2 ) beschrieben. b) Begründen Sie durch Rechnung, warum man die Temperaturdifferenz innerhalb der Rohrwand näherungsweise vernachlässigen kann. Wärmeleitfähigkeit k 60 m W Dichte ρ des Wasserdampfs bei T = C 25.4 m kg Verdampfungsenthalpie h fg bei T = C Tabelle 3: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe kj kg 2

4 Aufgabe 4: Mit einem nach außen isolierten Wärmeübertrager sollen 0.3 kg/s erosin von 30 C auf 60 C erwärmt werden. Das erosin soll dazu in einem dünnwandigen upferrohr mit 20 mm Durchmesser fließen (Wärmewiderstand vernachlässigbar). Der Wärmeübergangskoeffizient auf der Innenseite soll h i = 750 W/(m 2 ) betragen. Im äußeren konzentrischen Rohr fließt Wasser mit einem Massentrom ṁ W = 0.15 kg/s; der Wärmeübergangskoeffizient auf der Außenseite der Trennwand hat den Wert h a = 1500 W/(m 2 ), die Wassereintrittstemperatur beträgt 95 C. Berechnen Sie für Gleich- und für Gegenstrombetrieb die notwendige Länge L des Übertragers. Die Stoffwerte enthält Tabelle 4. erosin Wasser c = 1.98 kg kj c W = 4.18 kg kj Tabelle 4: Benötigte spezifische Wärmekapazitäten für Aufgabe 4 Aufgabe 5: In einem adiabaten Doppelrohr-Wärmeübertrager (DR-WÜT) soll Wasser (Massenstrom ṁ W = 1 kg ) von 0 C und 1.01 bar durch einen ausreichenden Massenstrom s ṁ D eines im Ringspalt bei 1.01 bar strömenden, trocken gesättigten Wasserdampfes auf 10 C erwärmt werden. Der DR-WÜT arbeitet ohne nennenswerte Druckverluste. a) Skizzieren Sie schematisch den DR-WÜT und tragen Sie in den Ein- und Austrittsquerschnitten die maßgeblichen Temperaturen ein. Tragen Sie über der Lauflänge x der wärmeübertragenden Fläche A den Verlauf der Temperaturen T H und T C des Wasserdampfes bzw. des Wassers auf. b) Berechnen Sie die resultierende Leistung Q ges des DR-WÜTs. c) Wie groß ist der mindestens erforderliche Massenstrom ṁ D (der Dampf am Austritt ist gerade vollständig kondensiert)? d) Wie groß muss die Außenfläche A des Innenrohrs sein, wenn der mit dieser Fläche gebildete Wärmedurchgangskoeffizient Rq 1 = 1 kw 0.3 m 2 beträgt? e) Nach welcher Lauflänge nimmt bei einem Außendurchmesser des Innenrohrs von 10 mm das Wasser die Temperatur 5 C an? Die benötigten Stoffdaten des Wassers zeigt Tabelle 5. 3

5 spez. Wärmekapazität von Wasser bei T = 0 C c W = kg kj Verdampfungsenthalpie von Wasser bei 1.01 bar, 100 C r = kj kg Aufgabe 6: Tabelle 5: Stoffdaten zu Aufgabe 5 Alte Prüfungsaufgabe - siehe Aufgabe 6.ppt Aufgabe 7: Ein Rohr mit dem Innenradius r i und dem Außenradius r a wird durch Anlegen einer elektrischen Spannung beheizt. Auf diese Weise wird im Rohr eine konstante volumenspezifische Wärmequelle q el in [W/m 3 ] erzeugt. Die Temperatur im Rohr ändert sich nur in radialer Richtung (eindimensionale Betrachtung). An der Außenseite ist das Rohr ideal wärmeisoliert (adiabat), an der Innenfläche wird die Temperatur konstant auf T i gehalten. Die Wärmeleitfähigkeit k [W/(m )], die Dichte ρ [kg/m 3 ] und die spezifische Wärmekapazität c p [J/(kg )] des Rohrs seien konstant. Es soll im folgenden die Temperaturverteilung im Rohr, insbesondere die Temperatur der äußeren Mantelfläche, bestimmt werden. a) Leiten Sie durch Aufstellen einer Energiebilanz an einem differentiellen Element eine Beziehung für die orts- und zeitabhängige Temperatur T (r, τ) her. b) Vereinfachen Sie diese Beziehung für den Fall, dass die Heizung schon sehr lange eingeschaltet ist (stationärer Zustand). c) Stellen Sie die Beziehung aus b) dimensionslos mit ξ = r r a, Θ = T T i T bez, T bez = T bez (r a, k, q el) (1) dar und leiten Sie damit eine Beziehung für Θ her, d.h. lösen Sie die Differentialgleichung. d) Wie lauten die Randbedingungen? Stellen Sie diese ebenfalls dimensionslos dar, und setzen Sie sie in die Beziehung aus c) ein. e) Skizzieren Sie den dimensionslosen Temperaturverlauf. 4

6 Aufgabe 8: Ein wärmeisolierter Behälter enthält 20 dm 3 Wasser, das die Temperatur T W = 20 C besitzt. Zur Zeit t = 0 wird eine erwärmte Stahlkugel mit einem Volumen V S = 1 dm 3 und einer Temperatur T S = 40 C in das Wasserbad eingebracht. a) Berechnen Sie die Temperatur T E, die das adiabate Gesamtsystem für t einnimmt. b) Wie schnell ändert sich die Temperatur der Stahlkugel mit der Zeit zum Zeitpunkt t = 0? c) Bestimmen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Änderung der Temperatur der Stahlkugel für die vereinfachende Annahme, dass die Temperatur des Wassers als konstant angenommen werden kann. d) Bestimmen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Änderung der Temperatur der Stahlkugel für den allgemeinen Fall, dass sich beide Temperaturen T W und T S mit der Zeit ändern. e) Bestimmen Sie die sogenannte Halbwertszeit t H für die Auswertungen nach c) bei der die anfängliche Temperaturdifferenz T S,0 T W,0 auf den halben Wert gefallen ist. Für die Berechnung soll angenommen werden, dass der Behälter eine vernachlässigbar kleine Wärmekapazität besitzt, der Wärmetransfer zwischen ugel und Wasser durch einen konstanten Wärmeübergangskoeffizienten h = 1000 m W 2 beschrieben werden kann, die Wärmeleitvorgänge im Wasser und in der ugel beliebig schnell ablaufen, d.h. dass die Temperaturen T W (t) und T S (t) der beiden Teilsyteme keine Funktionen des Ortes sind. Die benötigten Stoffdaten zeigt Tabelle 6. Material Wasser Stahl St 52 [ ] Dichte ρ kg m [ ] spez. Wärmekapazität c J kg Tabelle 6: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 7 5

7 Aufgabe 9: Eine zylinderförmige erze mit dem Durchmesser d und der Länge L 0 wird zum Zeitpunkt t = 0 angezündet und brennt danach mit der konstanten Geschwindigkeit w ab. Am Ort der Schmelzfläche bei z = L (L 0 L 0) herrscht dabei die zeitlich konstante Schmelztemperatur des Wachses T S. Die Standfläche der erze soll als adiabat angesehen werden. Die erze gibt jedoch Wärme durch onvektion an die Umgebung ab. Weitere Annahmen lauten: Die erze besitzt zum Zeitpunkt t = 0 die Temperatur der Umgebung T U. Temperaturunterschiede über den Querschnitt der erze sind zu vernachlässigen. Der Wärmeübergangskoeffizient h an der Mantelfläche ist konstant. Die Strahlungswechselwirkung mit der Umgebung kann vernachlässigt werden. a) Skizzieren Sie qualitativ den axialen Temperaturverlauf in der erze zu den Zeitpunkten t = 0, t = 1 t, t = 1 t und t = 3 t, wobei t die gesamte Brenndauer der erze ist. b) Stellen Sie die Differentialgleichung für den Abbrennvorgang mit Hilfe einer Bilanz an einem differentiellen Element auf. c) Im Hinblick auf die geringe Abbrandgeschwindigkeit w der erze kann der instationäre Term der Differentialgleichung vernachlässigt werden. Geben Sie die dadurch entstehende gewöhnliche Differentialgleichung an. d) Bringen Sie die Differentialgleichung in eine dimensionslose Form. Wie lauten die auftretenden ennzahlen (Bezugslänge d, Bezugstemperatur T S T U )? e) Geben Sie allgemein die Höhe L der Schmelzfläche als Funktion der Zeit t an. Wie lauten die Randbedingungen an den Stellen z = L und z = 0? f) Lösen Sie die gewöhnliche Differentialgleichung mit Hilfe dieser Randbedingungen. 6

8 Aufgabe 10: Zur Bestimmung der Temperatur T S (t) einer strömenden Flüssigkeit soll eine Messanordnung mit einem konventionellen Quecksilberthermometer als Messglied eingesetzt werden. Bei dieser Messmethode wird die auf dem Thermometer angezeigte Temperatur T stets dem wahren Wert T S der Flüssigkeit nacheilen. Die Temperaturdifferenz T T S ist ein Maß für die Beurteilung der Genauigkeit der Temperaturmessung. Zur Abschätzung der Temperaturdifferenz soll eine adiabate Rohrströmung betrachtet werden, in der das Thermometer ein zylinderförmiger örper mit der Mantelfläche A und der Länge l eingetaucht ist. Die mittlere Dichte des Thermometerkörpers sei ρ und seine mittlere spezifische Wärmekapazität c. Der Wärmeübergangskoeffizient zwischen der Flüssigkeit und der Mantelfläche des Thermometers wurde zu h bestimmt. a) Ermitteln Sie aus einer Energiebilanz die Differentialgleichung für die instationäre Änderung der Temperatur T des Thermometers. b) Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung für den Fall, dass sich die Temperatur der Flüssigkeit zur Zeit t = 0 sprunghaft von T 0 auf T f ändert; die Anfangstemperatur des Thermometers sei gleich T 0. c) Wie groß ist die Halbwertszeit t H für diesen Vorgang? d) Welche geometrische Bedingung muss das Thermometer erfüllen, damit die Halbwertszeit t H und damit der Fehler in der Temperaturmessung möglichst klein wird? 7

9 Aufgabe 11: Zur Messung der Luftgeschwindigkeit in einem Hochtemperatur-Windkanal wird senkrecht zur Strömungsrichtung ein mit Gleichstrom beheizter Draht aufgespannt. Der Draht besitzt einen Durchmesser d = 0.1 mm und eine Länge L = 10 mm; an ihn ist eine Gleichspannung von U = 6 V bei einer Stromstärke von I = 50 ma angelegt. Wie groß ist die Luftgeschwindigkeit w, wenn sich bei einer Lufttemperatur T L = 260 C eine Drahttemperatur T D = 340 C einstellt? Für den Wärmeübergang am quer angeströmten Rohr mit dem Durchmesser d soll die Beziehung Nu d = 1.1 Re 0.4 d Pr 0.75 (2) gelten. Die mittleren Stoffwerte für Luft sind in Tabelle 7 gegeben. Dichte ρ 0.62 m kg Wärmeleitfähigkeit k m W spez. Wärmekapazität c p 1.05 kg kj kinematische Viskosität ν 6 m s Tabelle 7: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 11 8

10 Aufgabe 12: Durch ein frei im Raum verlegtes horizontales Stahlrohr von 20 mm Innendurchmesser und 2 mm Wandstärke strömt ein Wasserstrom ṁ = 0.5 kg/s mit einer Temperatur Tw in = 80 C. Das Stahlrohr ist mit einer 30 mm dicken Steinwolleschicht isoliert. Wieviel Wärme gibt das Rohr auf den ersten 5 Metern an den Raum ab, wenn es mit einer Geschwindigkeit w = 10 m/s von der Raumluft der Temperatur T L = 20 C quer angeströmt wird? Für den Wärmeübergang vom Wasser an die Rohrwand gilt die mittlere Nußelt-Zahl Nu di = Re 4/5 d i Pr 1/3, (3) die ebenso wie die Reynolds-Zahl auf den Rohrinnendurchmesser d i bezogen ist, und für den äußeren Wärmeübergang (ein quer angeströmtes zylindrisches Rohr) gilt die Beziehung Nu da = 1.1 Re 2/5 d a Pr 3/4, (4) bezogen auf den Außendurchmesser d a. Die benötigten Stoffdaten sind in Tabelle 8 zusammengefasst. Wärmeleitfähigkeit k in [ ] W [ ] m Dichte ρ in kg m 3 [ ] spez. Wärmekapazität c p in kj kg kinematische Viskosität ν in [ ] m 2 s Luft Wasser Stahl Steinwolle Tabelle 8: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 12 9

11 Aufgabe 13: Die Wohnungen für Mitarbeiter einer Groß-Ziegelei sollen über das Heißdampfsystem (HDS), das für das Energiemanagement der Ziegelei eingerichtet wurde, beheizt werden. Im HDS zirkuliert Nassdampf bei einem Druck von p D = 4.76 bar und einer Temperatur T D = 150 C. Die Mitarbeiter wohnen in Häusern mit je 10 Wohnungen, jede Wohnung hat einen maximalen Heizenergiebedarf Q max = 10 kw. Im eller jedes Wohnhauses soll das Warmwasser-Heizungssystem der Wohnungen über einen nach außen wärmeisolierten Doppelrohr-Wärmeübertrager (WÜT) vom HDS mit Heizwärme versorgt werden. Durch das innere Rohr des WÜT strömt eine ausreichende Menge des Nassdampfes. Im konzentrischen Ringspalt zirkuliert das Wasser der Hausheizung. Eine Pumpe im Heizwasser vor dem WÜT sorgt für einen kontinuierlichen Wasserstrom V = 1.0 dm 3 /s. Der WÜT soll so ausgelegt werden, dass er bei maximalem Heizbetrieb eine Vorlauftemperatur T V = 80 C sicherstellt. a) Mit welcher Temperatur fließt das Wasser bei Maximallast in den WÜT ein? b) Berechnen Sie die erforderliche Länge des WÜT für die Maximallast, wenn das innere Rohr einen Durchmesser d i = 40 mm und das äußere Rohr einen Durchmesser d a = 50 mm besitzt. Die Wandstärken sollen dabei vernachlässigt werden. Für den turbulenten Wärmeübergang des Wassers auf der Innenseite des Ringspalts gilt für Re > 10 4 die mittlere Nusselt-Zahl Nu m,t,i (siehe VDI-Wärmeatlas, Seite Gb 3) Nu m,t,i Nu Rohr = 0.86 Nu Rohr = mit ξ = ( di ) 0.16 (5) d a ξ Re Pr 8 ( ξ 8 Pr 2/3 1 ) 1 + ( dh L ) 2/3 (6) 1 {1.8 log 10 (Re) 1.5} 2. (7) Reynolds-Zahl und Nußelt-Zahlen sind dabei mit dem hydraulischen Durchmesser d h = d a d i zu bilden. Die Stoffwerte des Wassers können der folgenden Tabelle (aus dem VDI-Wärmeatlas) entnommen werden. 10

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13 Aufgabe 14: Eine horizontal angeordnete, gekühlte upferplatte hat eine Oberflächentemperatur T, die um T = 10 unter der Gefriertemperatur von Wasser (T G = 0 C) liegt. Zum Ausgefrieren von Eis strömt Wasser über die Platte (oordinate x). Es bildet sich dabei in Richtung der Normalen zur Plattenoberfläche (oordinate y) eine allmählich wachsende Eisschicht, die zu jedem Zeitpunkt über die gesamte Plattenlänge gleich dick ist. a) Skizzieren Sie diese Anordnung bestehend aus den Systemen Wasser, Eis und upferplatte für den Vorgang der Eisbildung. Tragen Sie den Temperaturverlauf für den Fall ein, dass die Temperatur der upferplatte T zeitlich und räumlich konstant bleibt und die Wassertemperatur T W > 0 C ist. b) Stellen Sie die Differentialgleichung für das Wachstum der Eisschicht normal zur Plattenoberfläche y = y(t) mit Hilfe einer Energiebilanz auf. c) Wie dick ist die Eisschicht für T W = 0 C nach einer Stunde Betriebszeit, wenn die Schichtdicke zu Beginn gleich null ist (y(t = 0) = 0)? d) Wann stellen Sie den Betrieb der Anordnung ein, wenn als Entscheidungskriterium das Absinken der Wachstumsgeschwindigkeit der Eisschicht unter 10 mm/h zugrunde gelegt wird? Die Stoffdaten von Eis enthält Tabelle 9. Wärmeleitfähigkeit k 20 m W Dichte ρ E 920 m kg Erstarrungswärme r E 333 kj kg Wärmekapazität c pe 1,93 kg kj Tabelle 9: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 14 Aufgabe 15: Zwei ebene, parallele Platten von 10 m 2 Fläche tauschen Wärme allein durch Strahlung aus, wobei eine Platte gekühlt wird. Platte I besitzt eine Emissionszahl ε 1 = 0.8 und befindet sich auf einer Temperatur T 1 = 1000 C. Wie groß darf die Emissionszahl ε 2 der Platte II höchstens sein, wenn bei einer ühlleistung von 200 kw die Plattentemperatur 500 C nicht überschreiten soll? Vernachlässigen Sie bei dieser Rechnung Randeffekte. Die Platten sollen als graue Strahler betrachtet werden. 12

14 Aufgabe 16: Eine Bierflasche der Anfangstemperatur T a = 25 C soll auf die Temperatur T e = 12 C abgekühlt werden. Sie wird dazu zur Zeit τ = 0 in einen ühlschrank mit der konstanten Innenlufttemperatur T L = 4 C gelegt. Für die Berechnung des Abkühlvorgangs soll von den folgenden Annahmen ausgegangen werden: Die Temperaturunterschiede innerhalb des Bieres und des Glases sollen ebenso wie der Wärmeübergangswiderstand zwischen Bier und Glas vernachlässigt werden. Der Wärmeleitwiderstand des Glases ist wesentlich kleiner als der Wärmeübergangswiderstand zwischen Glas und Luft und kann daher ebenfalls vernachlässigt werden. Als abstrahierendes Modell der geometrischen Form der Bierflasche soll ein Zylinder vom Durchmesser d a = 7 cm und der Länge L = 21 cm dienen. Die Stirnflächen des Zylinders sollen als adiabat angenommen werden. Der Gitterrost, auf dem die Flasche liegt, soll die onvektion nicht beeinflussen. a) Bestimmen Sie den örtlich gemittelten Wärmeübergangskoeffizienten h zwischen Zylinderwand und Umgebung in allgemeiner Form. b) Wie groß ist der maximale Wert h max dieses Wärmeübergangskoeffizienten h? c) Geben Sie den Wärmeübergangskoeffizienten h als Funktion des maximalen Wertes h max und der dimensionslosen Temperaturdifferenz an. Θ T T L T a T L (8) d) Bestimmen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Änderung der Temperaturdifferenz Θ aus einer Energiebilanz. e) Lösen Sie diese Differentialgleichung unter Berücksichtigung der genannten Anfangsbedingung. f) Nach welcher Zeit hat das Bier die gewünschte Temperatur? Für die freie onvektion am horizontalen Zylinder gilt die Nußelt-Beziehung Nu l = (Gr l Pr) 1/4 (9) mit der charakteristischen Länge l = 1 U, wobei U den Umfang des Zylinders bezeichnet. Die benötigten Stoffdaten enthält Tabelle

15 Bier Glas Luft Masse m B = 0.5 kg m G = 0.3 kg spez. Wärmekapazität c B = 4.2 kj kg c G = 0.84 kj kg Wärmeleitfähigkeit kinematische Viskosität Temperaturleitfähigkeit k L = W m 6 m2 ν L = s 6 m2 α L = s Tabelle 10: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 16 Aufgabe 17: Bei der Messung von Gastemperaturen zeigen Temperaturfühler wie z.b. Thermoelemente eine zu niedrige Temperatur an, wenn sie durch Strahlung Energie an die Umgebung, die eine niedrigere Temperatur als das Gas besitzt, abgeben. a) Bestimmen Sie für den stationären Fall den Absolutwert der Fehlmessung für ein Pt/PtRh-Thermoelement, mit dem die Temperatur in einer heißen Luftströmung gemessen wird. Mit Hilfe von berührungslosen Messverfahren wurde die Temperatur der Gasströmung am Ort des Thermoelements zu T L = 1000 C, die der Versuchskammerwand zu T W = 100 C und die Geschwindigkeit der Anströmung zu w L = 10 m/s bestimmt. b) Wie groß ist der Messfehler, wenn die Oberfläche des Thermoelements oxidiert ist und der Emissionskoeffizient dann ε = 0.6 beträgt? Für die Lösung dieser Aufgabe soll das Thermoelement als Zylinder mit dem Durchmesser d = 0.5 mm, der Länge l = 100 mm und im Teil a) mit dem Emissionskoeffizienten ε = 0.1 betrachtet werden, der im Strömungskanal quer angeströmt wird. Die Zylinderstirnflächen können bei Berechnung sowohl der konvektiven Wärmeübertragung als auch des Strahlungsaustausches vernachlässigt werden. Für den quer angeströmten Zylinder gilt die mittlere Nußelt-Zahl (nach Hilpert) Nu d = Re 1/2 bei 1 < Re < 4000 (10) Die benötigten Stoffwerte für Luft bei p = 1 bar und T L = 1000 C sind in Tabelle 11 gegeben. 14

16 Wärmeleitfähigkeit kinematische Viskosität k = W m 4 m2 ν = s Aufgabe 18: Tabelle 11: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 17 Die Leistung eines upferdampf-lasers soll mit Hilfe einer einfachen Anordnung gemessen werden: Dazu wird eine 10 cm x 10 cm große, senkrecht stehende upferplatte (grauer Strahler mit spektralem Absorptionsgrad α = 0.3 der upferoberfläche bei der Laserwellenlänge) in den Laserstrahl eingebracht. Gleichzeitig wird durch geeignete Maßnahmen dafür gesorgt, dass die Luft in der Umgebung der Platte ruht. Die absorbierte Leistung des Laserstrahls erwärmt die Platte gegenüber der ungestörten Luft, so dass im stationären Fall eine Temperaturdifferenz T zwischen Platte und Luft mit Hilfe eines Thermoelements gemessen werden kann. a) Berechnen Sie die Leistung des Lasers, wenn sich eine Temperaturdifferenz von T = 25 einstellt. Die hohe Wärmeleitfähigkeit des upfers bewirkt, dass sich die Platte homogen erwärmt. Berücksichtigen Sie dabei zunächst nicht, dass die erwärmte Platte auch über Strahlung Energie an die Umgebung abgibt. b) Schätzen Sie durch Rechnung den Fehler ab, der sich durch die Nichtberücksichtigung der Energieabgabe durch Strahlung ergibt. Nehmen Sie dafür an, dass die Umgebungsflächen sehr groß gegenüber der Plattenoberfläche sind. Die Temperatur der ruhenden Luft der Umgebung beträgt 300. Für den Wärmeübergang durch freie onvektion an der vertikalen Platte gilt die mittlere Nußelt-Zahl Nu l = (Gr Pr) 1/4 (11) Die mittleren Stoffwerte für die Luft, die als perfektes Gas betrachtet werden kann, sind in Tabelle 12 zusammengestellt. Dichte ρ = 0.62 m kg spez. Wärmekapazität c p = 1.05 kg kj Wärmeleitfähigkeit k = m W kinematische Viskosität 6 m2 ν = s Tabelle 12: Benötigte Stoffdaten für Aufgabe 18 15

17 Aufgabe 19: Ein kugelförmiger Behälter mit dem Innendurchmesser 0.4 m und einer Wandstärke von 3 mm enthält flüssiges Helium bei einem Druck von p s = 1 bar (T s = 4.25 ). Der Behälter ist konzentrisch von einer zweiten ugel mit dem Innendurchmesser 0.45 m und einer Wandstärke von 3 mm umgeben, welche eine Temperatur von T = 300 besitzt. Der Raum zwischen den ugeln ist vollständig evakuiert. Die Emissionszahl der vakuumseitigen ugelflächen beträgt ε = 0.1. a) Wie lange dauert es, bis das Helium durch eine dünne Leitung nach außen verdampft ist? b) Wie groß ist diese Zeitspanne der Verdampfung, wenn zwischen Außen- und Innenkugel äquidistant drei Strahlungsschutzschilde mit der Emissionszahl ε s = 0.05 angebracht sind? Die Wärmeleitung über das Röhrchen nach außen und über die Halterungen der Innenkugel soll vernachlässigt werden. Die benötigten Stoffdaten für Helium bei 4.25 enthält Tabelle 13. Verdampfungsenthalpie Dichte von flüssigem Helium r He = 20.3 kj kg ρ = m kg 3 Tabelle 13: Stoffdaten für flüssiges Helium bei T = 4.25 ; Aufgabe 20 Aufgabe 20: Wieviel Prozent der elektrisch zugeführten Leistung strahlt der Glühfaden einer Halogenbirne bei einer Fadentemperatur von T = 3300 im Bereich des sichtbaren Lichts (λ = µm) ab, wenn man annehmen kann, dass die Fadenoberfläche die gesamte elektrisch zugeführte Energie als schwarzer Strahler emittiert? Wie groß ist dieser Prozentsatz bei Xenon-Fahrzeugscheinwerfern, bei denen von einer Lichtbogentemperatur von ca ausgegangen werden kann? 16