7. Kinematik des Punktes

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1 7. Kinemaik de Punke Kinemaik: Möglich einfache und olländige Bechreibung eine Bewegungablaufe 7. Punkbewegung auf geradliniger Bahn Milere Bahngechwindigkei (3a) m ( ) ( ) ( ) + + Bahngechwindigkei d (3b) lim! Milere Bechleunigung (3a) a m ( ) ( ) ( ) + + Bahnbechleunigung d (3b) a lim! d d d d (3c) a!! Ungleichförmige Bewegung (3a) (3b) (3c) (3d) + a + d anα d anβ a 7. Gleichförmige Punkbewegung Vorauezung: a Or Zei Geez + (33a) ( ) Vereinfachung: Koordinaenurprung o wählen, da und. (33b) ; by Michael Göller

2 7.3 Gleichförmig bechleunige Punkbewegung Vorauezung: a a con (34) a ( ) +, Geez a + +, Geez + + +, Geez a (35) ( ) ( ) (36) ( ) (37) (38) ( ) a + a, Geez Vereinfachungen für ; ; (34a) a (35a) a (36a) (37a) a (38a) a 7.4 Ungleichförmig bechleunige Punkbewegung Gülig ind immer die Gleichungen: (3b), (3c), (3b) 7.5 Allgemeine Punkbewegung Bahnkure, Orekor Orekor x() # (3a) r() y() z() ekoriell (3b) x x() y y() z z() Beräge Differenzekor (3) x x x $$# $# # r r r y y y z z z by Michael Göller

3 Gechwindigkeiekor Milere Bahngechwindigkei (3a) x x x # $# # r r r y y y m z z z $$# Bahngechwindigkei (3b) x dx lim # # x! # $$# r dr y dy lim m lim lim y! p p z z dz! lim Ein Vekor wird differenzier, indem eine Komponenen differenzier werden. Der Gechwindigkeiekor i die. Ableiung de Differenzekor nach der Zei. Seine Richung i angenial zur Bahn. Gechwindigkeiberag $$# (33) + + x y z Bechleunigungekor $$# $$# # # d # (34) a lim lim! # # # # d d dr d r # (35) a r!! (36) (37) d dx dx!! x! x ax # d dy d y a y y ay!!! z z a z d dz dz!!! $$# a a a + a + a Berag on a x y z Der Bechleunigungekor i alo die. Ableiung de Gechwindigkeiekor # nach der Zei oder die. Ableiung de Differenzekor r # nach der Zei. Seine Richung i allgemein nich angenial zur Bahn. Sonderfall: geradlinige Bewegung. by Michael Göller 3

4 Schiefer Wurf (38) (39) (3) (3a) (3b) # () x coα () () Gechwindigkeiekor y inα g # x() r() coα y() in g α g y (an α) x x α x x w co Orekor Wurfparabelfunkion inα Aufreffor g wmax Maximum für α45 g inα (3) Seigzei g (33) y in α h y( ) y Seighöhe g g inα (34) w Wurfzei g Tangenial- und Normalbechleunigung (35) an Normalbechleunigung r d (36) a Tangenialbechleunigung # # # (37a) a an + a Geambechleunigung (37b) n a a + a Berag 7.6 Kreiförmige Punkbewegung Techniche Sonderlöung der allgemeinen Punkbewegung. y y Definiionen Drehwinkelwinkel ϕ [rad] (Bogenmaß) Winkelgechwindigkei ω [ ] Winkelbechleunigung α [ ] ² ϕ x (38) dϕ ωϕ!() Winkelgechwindigkei (39) d ϕ dw a αϕ!!() r Winkelbechleunigung (33) r ω r ϕ!! Bahngechwindigkei (33) a r α r ω! r ϕ!!!! Tangenialbechleunigung (33) r a r r n ω ω Normalbechleunigung by Michael Göller 4

5 7.7 Gleichförmige Kreibewegung (333) Vorauezung: α ; ωω con (334) ϕϕ +ω ( ) Drehwinkel im Bogenmaß (335) r ω con (336) a (337) an r ω con (338) ϕ ϕ ϕ ω ϕ ω Sonderfall: ; ϕ (339) ω n bzw. ω π n T π Drehzahl 7.8 Gleichförmig bechleunige Kreibewegung (34) Vorauezung: αα con Winkelgechwindigkei Zei Geez (34) ωω +α ( ) Drehwinkel Zei Geez (34) ( ) ( ) ϕϕ +ω +α Drehwinkel im Bogenmaß Winkelgechwindigkei Drehwinkel Geez (343) ( ) ω ω αϕ + αϕ Sonderfall: Bewegung au der Ruhe Bedingung ; ω ; ϕ (34a) ωα (34a) ϕ α ω (343a) ω αϕ ϕ N π N Anzahl Umdrehungen by Michael Göller 5

6 8. Kineik de Maenpunke und de Körper Kineik: Ermilung de Zuammenhang zwichen den auf einen Körper wirkenden Kräfen und der uner Einflu dieer Kräfe ich ergebenden Bewegungen. 8. Newonche Grundgeeze (344). Newonche Axiom (Trägheiaxiom) Jeder Körper bleib im Zuand der Ruhe oder der geradlinigen Bewegung, wenn er nich durch Kräfe zur Änderung diee Zuande gezwungen wird. (345). Newonche Axiom Die an einem Körper angreifende Kraf und die durch ie herorgerufene Bechleunigung ind # # gleichgeriche und einander proporional. F m a (345a) m N kg ² Einhei der Kraf # # (346) FG m g bzw. FG m g (347) g m m 9,8665 9,8 (348) 3. Reakionaxiom Wirkung und Gegenwirkung zweier Körper aufeinander, ind einander gleich. (Acio Reacio) (349) 4. Newonche Axiom Die Bechleunigung eine Maenpunke i der Reulierenden der an ihm angreifenden Kräfe proporional und gleichgeriche. Der Proporionaliäfakor i die räge Mae m. Grundgeez gil in einem Inerialyem. Komponenenform Kareiche Koordinaen (35) ΣFxi m!! x # # # FR Fi Σ Fyi m!! y m a ΣF m!! z zi Beräge (35a) Σ Fxi m!! x Σ F m!! y yi Σ F m!! z zi Naürliche Koordinaen F Σ Fi m!! m a (35b) Fn Σ Fni m m an ρ Gekrümme Bahn: F n Gechwindigkeiänderung: F by Michael Göller 6

7 Polarkoordinaen (35c) r ri ϕi (!!! ) F Σ F m r r ϕ (!!!!) F Σ F m rϕ + rϕ ϕ 8. Prinizp on d Alember (77 783) Kineiche Gleichgewichbedingungen # # # # # F m a F + F (35) ( ) i i F (35a) (35b) (35c) Σ Fix + m(!! x) Σ F + m(!! y) iy Σ F + m(!! z) iz Σ F + m( a ) i Σ F + m( a ) in iϕ Σ Fir + m(!! r + r ϕ! ) Σ F + m( r ϕ!! r! ϕ! ) n Karheiche Koordinaen naürliche Koordinaen Polarkoordinaen Zenrifugal- und Zenripedalkraf # # Flieh- oder Zenrifugalkraf (fugere fliehen) FF m ( an ) # # Normal- oder Zenripedalkraf (pedere ziehen) Fn ΣFF Beide Kräfe ind einander engegengeriche, im Berag und Wirkunglinie aber gleich. (35a) F F m a m Allgemeine Bahn ρ n F n (35b) F F m m r r n F ω Kreibewegung by Michael Göller 7

8 8.3 Arbei, Leiung, Energie, Wirkunggrad Arbei Allgemein # (354) W F F F coα (354a) Einhei: Nm J W Kraf auf beliebiger Bahn Kraf-Or-Kure bei allgemeiner Bewegung (355a) (355b) p # # W F() dr p W F() d Linieninegral der Kraf (355c) (355d) Die Arbei i da Weginegral über die Bahnkomponene der Kraf p p p W F dx + F dy + F dz x y z p p p Reibarbei (356a) ( ) ( ) ( ) ( ) W F F µ F µ m g F R n Sonderfall: ; (356b) WF F FR µ Fn µ m g Hubarbei (357) ( ) W F z z F h m g h F G by Michael Göller 8

9 Bechleunigungarbei (358a) W m F d Sonderfall: ; ; ; (358b) W m Spannarbei (Feder) c Federkonane (359) Ff c c (36a) WF F() d c d ( ) Sonderfall: ; c (36b) WF a) Spannen einer Feder b) Kraf-Verchiebung-Kure der Feder Energie Poenielle Energie der Lage (36a) Eph G z m g z p # # z (36b) W F dr G dz G z m g z E p # # (36c) W F dr F d E E p Poenielle Energie der Feder c (36a) Epf (36b) W F d E E Kineiche Energie (363) Ek m pf pf ph ph ph Arbeiaz: Die Differenz der kineichen Energien i gleich der on außen am Maenpunk angreifenden Kräfe auf dem Wege on nach. (364a) E E F d W k k (364b) Ek + Ep Ek + Ep con Energieerhalungaz by Michael Göller 9

10 Leiung Leiung i die Ableiung der Arbei nach der Zei. W W W (365a) P Milere Leiung dw (365b) P für Leiung momenan Die Leiung einer Kraf F # i da Produk au einer Bahnkomponene (F ) und deren Bahngechwindigkei. (365c) P F Einheien (366a) (366b) W Leiung Nm J Nm 6 kwh 36 3,6 Nm Arbeierbrauch Diagramme Arbei Zei Diagramm Seigung i ein Maß der Leiung Leiung Zei Diagramm (367a) W P (367b) W W P Da Zeiinegral der Leiung zwichen und, enprich der in dieem Zeiinerall erricheen Arbei. Wirkunggrad Wn Wz W W (368a) η W W W z z z Pn Pz P P (368b) η P P P (368c) z z z P η η η η n ge 3 Pz by Michael Göller

11 9. Drehung eine Körper um eine fee Ache 9. Grundgeez für die Drehbewegung, Maenrägheimomene Grundgeez der Drehung um eine fee Ache (385) Mz Jz ϕ!! Jz α Maenrägheimomene einfacher Körper Maenrägheimomen um die Schwerpunkache: (386) Jz r dm (387) (388) a + ri r Jz m Hohlzylinder ra Jz m Vollzylinder Maenrägheimomene um parallele Drehache (Seiner cher Saz) (389) z J J J + r m by Michael Göller

12 9. Arbei, Energie, Leiung und Impulmomen bei der Drehbewegung Arbei Allgemein (39a) W M( ϕ) dϕ ϕ ϕ Fläche uner der Kure enprich der Arbei. ϕ (39b) ϕ W M dϕ M dϕ M( ϕ ϕ) ϕ ϕ Tangenialkaf in P erzeug Arbei. Kineiche Energie Energiegehal de Maeeilchen m i ω (393) Ek Jz Arbeiaz (394a) (394b) ϕ ω ω W M( ϕ)dϕ Jz Jz ϕ %&' %&' Ek Ek ϕ W M( ϕ)dϕ Ek Ek ϕ Reduziere Maenrägheimomene (395) ω ωn red n ω ω J J J... J n nn red n n n J J J... J J J + J + J J red 3 n i i i i i... in M J α (396) red (398) ω π Jred m m n Leiung (399a) dw P F F r ω M ω (399b) P M π n by Michael Göller

13 . Mahemaiche Grundlagen. Geomerie Umrechnung: Gradmaß Bogenmaß 8 b α π α b π b α 8 Rechwinklige Dreieck A α Grundformeln: H G G in α H A co α H G inα anα A coα coα A coα co α G inα anα π ( + ); in x co( x ) co x in x π co x + in x H A + G by Michael Göller 3

14 Anhang und Tabellen Vorazzeichen da Deka d Dezi - h Heko c Zeni - k Kilo 3 m Milli -3 M Mega 6 µ Mikro -6 G Giga 9 n Nano -9 T Terra p Piko - P Pea 5 f Femo -5 E Exa 8 a Ao -8 Griechiche Buchaben α Α Alpha η Η Ea ν Ν Ny τ Τ Tau β Β Bea ϑ,θ Θ Thea ξ Ξ Xi υ ϒ Ypilon γ Γ Gamma ι Ι Joa ο Ο Omikron ϕ,φ Φ Phi δ Dela κ Κ Kappa π Π Pi χ Χ Chi ε, Ε Epilon λ Λ Lambda ρ Ρ Roh ψ Ψ Pi ζ Ζ Zea µ Μ My σ Σ Sigma ω Ω Omega Naurkonanen π 3, Kreikonane e, Eulerche Zahl m g 9,8665 ² Fallbechleunigung Umrechnungen m km Gechwindigkei: 3,6 h Seigung: α arcan(seigung) (Seigung in % Angeben) Gegenüberellung der Größen und Gleichungen für die geradlinigebewegung und die Drehbewegung by Michael Göller 4