Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 )

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1 Einführung in die Mathematik (Vorkurs 1 ) Wintersemester 2008/09 Dr. J. Jordan Institut für Mathematik Universität Würzburg Germany 1 Modulbezeichnung 10-M-VKM 1

2 Inhaltsverzeichnis 1 Aussagen und Beweise Aussagenlogik Beweistechniken Quantoren Aufgabentypen Mengen und Abbildungen Mengen Abbildungen Vollständige Induktion Natürliche Zahlen Das Prinzip der vollständigen Induktion Zahlenbereiche 27 2

3 1 Aussagen und Beweise 1.1 Aussagenlogik Die formale Logik stellt die Regeln bereit, nach denen mathematische Aussagen schlüssig und eindeutig formuliert und begründet (bewiesen) werden können. Aussagen Mathematische Aussagen sind immer genau eines von beiden, wahr oder falsch. Jede mathematische Aussage hat also einen eindeutig bestimmten Wahrheitswert, w (für wahr) oder f (für falsch) 1. Aussagen werden oft auch mit Groÿbuchstaben A, B, C... bezeichnet. Um ein paar Beispiele diskutieren zu können, benutzen wir jetzt schon ein paar Begrie nämlich natürliche Zahlen, gerade Zahlen und Primzahlen 2 die aus der Schule bekannt sein sollten, aber später nochmal exakt mathematisch eingeführt werden. Beispiel 1.1 Hier nun ein paar Beispiele zu Aussagen: A: 9 ist eine Primzahl B: Jede Primzahl ist ungerade C: 2 ist eine Primzahl D: Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge Aussage A ist oenbar falsch (denn 3 3 = 9). In der Tat ist 2 eine Primzahl. Also ist Aussage B falsch und Aussage C richtig. Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus Primzahlen p, q, so dass p q = 2 ist. Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder eben nur endlich viele ist unbekannt 3. Trotzdem, D ist entweder wahr oder falsch und damit eine Aussage. Der Satz Wie ist das Wetter heute ist keine mathematische Aussage, weil sein Wahrheitsgehalt weder richtig noch falsch ist. 1 Die Logik der Mathematik ist somit zweiwertig. Es gibt auch mehrwertige oder sogar unscharfe (Fuzzy-)Logik, die in der Technik eine gewisse Rolle spielt (Fuzzy-Regelung... ); diese ist aber zur Grundlegung der Mathematik eher ungeeignet (... obwohl es inzwischen schon Gebiete wie Fuzzy-Topologie, Fuzzy-Analysis, Fuzzy-Wahrscheinlichkeitstheorie usw. gibt!). 2 Der Vollständihgkeit halber: Gerade Zahlen denieren wir als die natürlichen Zahlen, welche durch zwei Teilbar sind. Primzahlen denieren wir als diejenigen natürlichen Zahlen welche ungleich eins sind und nur durch 1 und durch sich selbst teilbar sind. 3 das ist übrigens ein seit langem ungelöstes Problem 3

4 1 Aussagen und Beweise Operationen mit Aussagen Aus einfachen Aussagen gewinnt man durch logische Verknüpfungen kompliziertere Aussagen 4. (a) Konjunktion (und). Wir schreiben A B. Beispiel: Seien A und C die Aussagen aus Beispiel 1.1. Dann bedeutet die Aussage A C : 9 ist eine Primzahl und 2 ist eine Primzahl Das ist eine neue Aussage (und zwar eine falsche). Der Wahrheitswert der neuen Aussage A B ist durch folgende Tabelle (eine sogenannte Wahrheitstafel) deniert: A B A B w w w w f f f w f f f f Durch die folgende Wahrheitstafel werden weitere logische Verknüpfungen deniert. A B A A B A B A B A B w w f w w w w w f f f w f f f w w f w w f f f w f f w w (b) Disjunktion A B (oder) Bemerkung: Das logische oder,, ist nicht, wie meist in der Umgangssprache, als entweder-oder gemeint 5, sondern als einschlieÿendes Oder. 4 Die Aussagenlogik ist kein reines Konstrukt der Mathematik; sie existiert in der Natur! In der Schaltungstechnik werden logische Operationen durch geeignete Schaltkreise realisiert. Dabei bedeutet A wahr bzw. A falsch: A wahr: Der A-Schalter ist geschlossen, d.h. Strom kann ieÿen. A falsch: Der A-Schalter ist oen, d.h. Strom kann nicht ieÿen. Durch eine Reihenschaltung von mehreren Schaltern lassen sich damit Und-Verknüpfungen realisieren, durch eine Parallelschaltung Oder-Verknüpfungen. Die Und, Oder und Nicht- Elemente können mittels Halbleitertechnik realisiert werden; damit können binäre logische Aussagen im Prinzip auch experimentell überprüft (besser: erfahren) werden. 5 Ein ausschlieÿendes Oder (entweder oder) kann durch denieren. A B := (A B) ( A B). 4

5 1 Aussagen und Beweise Beispiel: Betrachte die Aussagen C 1 : Die Zahl 2 ist gerade und die Aussage C 2 : Die Zahl 2 ist eine Primzahl. Die Aussage C 1 C 2 : Die Zahl 2 ist gerade oder eine Primzahl ist auch wahr, da mindestens eine der beiden Aussagen C 1, C 2 wahr ist. Tatsächlich ist sowohl C 1 wie C 2 wahr. (c) Negation (nicht A): A. Beispiel: Die Negation von C ist C : 2 ist keine Primzahl. Die Negation von Alle Studenten wissen das es unendliche Primzahlen gibt ist Es gibt mindestens einen Studenten, welcher nicht weiÿ, das es unendlich viele Primzahlen gibt. Die Aussage B ist Nicht jede Primzahl ist ungerade. Achtung: ein typischer Anfängerfehler wäre B mit Jede Primzahl ist gerade gleichzusetzen. Das kann schon deshalb nicht richtig sein, da ja entweder B oder B richtig sein muss. (d) Implikation (A impliziert B, aus A, folgt B): A B Bemerkung: Eine Implikation A B ist stets wahr, wenn A falsch ist! Aus einer falschen Aussage kann man alles folgern! Beispiel: Die verknüpfte Aussage A D : Ist 9 eine Primzahl dann gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge ist also wahr, obwohl wir nicht wissen, ob die Aussage D wahr ist. (e) Äquivalenz (A ist äquivalent zu B, A genau dann, wenn B): A B Beispiel: Sei q eine natürliche Zahl. Die Aussage q ist eine gerade Primzahl und die Aussage q ist 2 sind äquivalent. Sie sind entweder beide wahr (nämlich wenn q tatsächlich 2 ist) oder beide falsch. Mit Hilfe der Wahrheitstafel kann man nun Regeln verizieren. Z.B. stellt man fast, dass die Aussage A B genau dann wahr ist, wenn B A wahr ist. Die sogenannte Kommutativität von ist also durch die Tabelle A B A B B A w w w w w f f f f w f f f f f f gezeigt. Analog geht man bei der Verikation weiterer Regeln vor. Regel 1.2 (a) Kommutativität: A B B A A B B A. 5

6 1 Aussagen und Beweise (b) Assoziativität: A (B C) (A B) C A (B C) (A B) C. (c) Distributivität: A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C). (d) Doppelte Negation: ( A) A. (e) de Morgansche Regeln: (A B) A B (A B) A B. (f) Kontraposition: (g) Syllogismus: (A B) ( B A). ((A B) (B C)) (A C). 1.2 Beweistechniken Gegeben seien zwei Aussagen A und B. Man will nun beweisen, dass aus der Aussage A die Aussage B folgt. Wir müssen also zeigen, dass die Aussage B wahr ist falls A wahr ist. Beispiel: Sei q eine natürliche Zahl. Die Aussage A sei q ist eine gerade Primzahl und B sei q ist kleiner als 5. Wir wollen zeigen, dass die Aussage A B : Ist q eine gerade Primzahl, so ist sie kleiner als 5 wahr ist. Man kann nun auf drei Weisen vorgehen: Direkter Beweis: Man nehme an dass A wahr ist und folgere durch eine Kette logischer Schlüsse, dass B wahr ist. Beispiel: Aus A folgt zunächst die Aussage C : q ist 2, denn 2 ist eine Primzahl und jede andere gerade Zahl ist durch zwei teilbar und daher keine Primzahl. Aus C widerum folgt B, denn 2 ist kleiner als 5. 6

7 1 Aussagen und Beweise Beweis durch Kontraposition: Hier nutzt man, die Kontrapositionsregel, d.h. die Tatsache, dass A B genau dann wahr ist, wenn B A wahr ist. Wir nehmen also an dass B falsch ist und versuche, wieder durch eine Kette logischer Schlüsse, zu zeigen, dass dann auch A falsch ist. Beispiel: Ist q gröÿer oder gleich 5 (Es gelte also B), dann ist q auch ungleich 2. Da alle Primzahlen auÿer zwei ungerade sind, ist q ungerade oder keine Primzahl. Es gilt also A. Indirekter Beweis: Hier nutzt man, dass A B äquivalent zu A B ist. Die Negation dazu ist wiederum A B. Um nun zu zeigen, dass A B wahr ist, zeigt man nun, dass A B falsch ist. Sei q eine gerade Primzahl gröÿer oder gleich 5. Als gerade Zahl ist q ein Vielfaches von 2 und damit keine Primzahl. Ein Widerspruch. Eine weitere wichtige Beweistechnik ist die Vollständige Induktion. Dazu kommen wir aber erst in der kommenden Woche. 1.3 Quantoren Mathematische Aussagen hängen oft von Variablen ab. Zum Beispiel hängt die Aussage A(n) : n ist gröÿer als 2n von der Variable n ab. Dabei sind die Variablen meist durch Annahme eines gewissen Denitionsbereiches eingeschränkt. In obigem Beispiel etwa, sei n eine beliebige natürliche Zahl. Wir nehmen hier schon mal die Bezeichnung n N für n aus den natürlichen Zahlen vorweg. Wir schreiben n N : A(n) statt Für alle n gilt die Aussage A(n). Wir schreiben n N : A(n) statt Es existiert ein n, so dass die Aussage A(n) gilt. Die Symbole bzw. ist der sogenannte Allquantor bzw. Existenzquantor. Beispiel 1.3 Die folgenden Aussagen seien für ganze Zahlen n bzw. m erklärt. In obigem Beispiel ist A(n) für alle natürlichen Zahlen n falsch. Wir könnten also schreiben n N : A(n). 7

8 1 Aussagen und Beweise Sei nun B(n) die Aussage n 2 > n. Für gewisse n ist diese Aussage wahr (etwa für n = 3). Wir können also schreiben n N : B(n). Beachten Sie, dass bei einer Negation einer Aussage die Quantoren und ihre Rollen vertauschen, d.h. es gilt ( n N : A(n)) n N : A(n). Oder in Worten ausgedrückt: Ist A(n) nicht für alle n richtig, dann gibt es mindestens ein n, so dass A(n) falsch ist. Analog gilt ( n N : A(n)) n N : A(n). Beispiel 1.4 Die Aussage C(n, m) n ist gröÿer als m hängt von den natürlichen Zahlen n und m ab. Die Aussage D : Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n so dass n > m kann man abkürzend schreiben D : m N n N : C(m, n). Wir stellen zunächst fest, dass D etwas völlig anderes ist wie E : n N m N : C(m, n). In Worten: Es gibt eine natürliche Zahl m so dass für jede natürliche Zahl n die Ungleichung n > m gilt. Man kann also Existenzquantor und Allquantor nicht einfach vertauschen. Aussage D ist wahr, Aussage E ist falsch. E ist aber auch nicht die Negierung von D. Die ergibt sich durch D : m N n N C(m, n). In Worten: Es existiert eine natürliche Zahl m so dass für jede natürliche Zahl n die Ungleichung n m gilt. Warnung: Die Symbole,,,,, und sind oft sehr nützlich, etwa wenn man verschachtelte logische Ausdrücke negieren will. Keinesfalls sollten sie aber im Sinne stenographischer Abkürzungen in einem mathematischen Text (z.b. bei der Bearbeitung von Übungsblättern, Klausuraufgaben oder Bachelorarbeiten) verwendet werden. Ein mathematischer Text sollte immer aus vollständigen Sätzen bestehen. 8

9 1.4 Aufgabentypen 1 Aussagen und Beweise Fast alle Übungsaufgaben lassen sich mit einer der drei folgenden Fragetypen formulieren. Beweisen Sie: aus A folgt B: Dies ist die Standardsitutaion, wie sie in Abschnitt beschrieben ist. Beweisen Sie, dass A und B äquivalent sind: Um eine Äquivalenz zu zeigen, muÿ man beide Implikationen A B und B A zeigen. Beispiel 1.5 Wir beweisen, dass die Aussagen A:n ist gerade und die Aussage B:n 2 ist gerade äquivalent sind. Zunächst zeigen wir A B: Ist n gerade, so gibt es eine natürliche Zahl k so dass n = 2k. Damit ist auch n 2 = 2 2k 2 gerade. Nun zeigen wir B A. Hier probiern wir einen indirekten Beweis: Wir nehmen an n ist nicht gerade, also ungerade. Dann gibt es eine natürliche Zahl k so dass n = 2k 1. Dann ist n 2 = 4k(k 1) + 1 und das ist ungerade. Eigentlich haben wir also A B gezeigt. Wir wissen aber schon, dass das Äquivalent zu B A ist (Kontraposition). Beispiel 1.6 Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: G: Auÿer der 2 läÿt sich jede gerade natürliche Zahl als die Summe zweier Primzahlen schreiben H: Alle natürlichen Zahlen, welche gröÿer als 5 sind, lassen sich als Summe dreier Primzahlen schreiben Bemerkung: Aussage G ist mal wieder eine sehr alte unbewiesene Vermutung 6. Trotzdem können Sie zeigen, dass Aussage G und Aussage H äquivalent sind (Versuchen Sie es). Beweisen oder Widerlegen Sie Aussage A: in Übungsblättern und Klausuren werden Sie heug mit einer Aussage konfrontiert, von der Sie zunächst nicht wissen ob sie wahr oder falsch ist 7. Zunächst sollten Sie schauen ob Sie die Aussage schnell mit einem einfachen Gegenbeispiel widerlegen können. Falls ja, dann ist die Aufgabe gelöst, denn ein Gegenbeispiel ist ein Beweis, nämlich dafür, dass eine Aussage falsch ist. Beispiel: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Für jede natürliche Zahl m gibt es eine natürliche Zahl n so dass n + m = nm 6 Die sogenannte Goldbachsche Vermutung. Seit 1742 haben Mathematiker vergeblich versucht sie zu bewiesen. 7 Im Beruf und in der Forschung ist das der Normalfall. Wenn man schon weiÿ ob die Aussage falsch oder wahr ist, würde man Sie nicht fragen 9

10 1 Aussagen und Beweise Wer es probiert wird schnell ein Gegenbeispiel nden. Die richtige Antwort ist also: Die Aussage ist falsch. Z.B. für m = 1 gibt es kein solches n, denn für jede natürliche Zahl n gilt n + 1 > n 1. Achtung: Ein Beispiel ist kein Beweis! Für gewisse natürliche Zahlen m gibt es ein n so dass n + m = nm. Z.B. für m = 2 wähle man n = 2. Dieses Beispiel liefert aber keinerlei Erkentnis darüber, ob obige Aussage wahr oder falsch ist. 10

11 2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch: x gehöre zu M oder x liegt in M. Ist x kein Element von M so schreiben wir x / M. Eine Menge kann durch Aufzählung ihrer Elemente, z.b. durch M = {a, b, c, d} oder durch Angabe einer Eigenschaft ( Aussageform) beschrieben werden M = {x x hat Eigenschaft E}. Beispiel 2.1 Zunächst benutzen wir Zahlenmengen als Beispiele. Im folgenden spendieren wir diesen die üblichen Bezeichnungen. (1) Die Menge der natürlichen Zahlen N := {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. N enthält mit jeder Zahl n auch die Zahl n + 1. (2) Die Menge der natürlichen Zahlen einschlieÿlich 0: (3) Die Menge der ganzen Zahlen N 0 := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}. Z := {..., 5, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}. Z enthält 0 und mit jeder natürlichen Zahl n auch n. (4) Die Menge der Primzahlen P := {p N p = p 1 p 2 für p 1, p 2 N mit p 1 p 2 impliziert p 1 = 1 < p 2 }, 11

12 2 Mengen und Abbildungen Mengen haben aber nicht unbedingt etwas mit Zahlen zu tun. In kürze werden wir auch mit Mengen aus Mengen, Mengen aus Abbildungen usw. arbeiten. Zwei Mengen M und N sind gleich, d.h. M = N, wenn sie dieselben Elemente haben. D.h. M = N bedeutet (x M x N). Eine Menge M heiÿt Teilmenge von N, d.h. M N, falls jedes Element von M zu N gehört. Hier sei betont, dass die Bezeichnung M N auch erlaubt, dass M = N ist 1. Will man ausdrücken, dass M eine echte Teilmenge von N ist, d.h. M N und M N gilt schreibt man M N. Um zu zeigen, dass eine Menge M Teilmenge einer anderen Menge M ist, muÿ man zeigen, dass für jedes Element x M auch x N gilt. Um zu zeigen, dass zwei Mengen M und N gleich sind, beweist man zunächst M N und dann N M. Die Menge := {x M x x} heiÿt leere Menge. Sie ist eindeutig bestimmt und hängt nicht von M ab. Die leere Menge M ist Teilmenge jeder Menge; enthält selbst kein Element. Die Potenzmenge 2 M von M ist die Menge aller Teilmengen von M : Beispiel M = {N N M}. 2 {0,1} = {, {0}, {1}, {0, 1}}, 2 = { }, 2 2 = {, { }}. Operationen mit Mengen Im folgenden stellen wir einige wichtige Operationen mit Mengen vor: Die Vereinigung Die Vereinigung M N := {x x M x N} zweier Mengen M, N besteht sowohl aus den Elementen von M als auch aus denen von N. Beispiel 2.3 Z = N 0 { n n N}. 1 das ist leider nicht einheiltlich in der Literatur. In manchen Büchern und Vorlesungen werden die Symbole (statt ) bzw. (statt und ) benutzt. 12

13 2 Mengen und Abbildungen Sei allgemeiner S eine Menge, deren Elemente selbst Mengen sind. Die Vereinigung der Mengen aus S ist die Menge M S M := {x M S mit x M}. M S M ist also die Menge der Elemente, die mindestens einem M S angehören. Oft wird das Mengensystem indiziert, d.h., jedem Element von S wird ein eindeutiger Index i aus einer Indexmenge I zugeordnet, d.h., S = {s i i I}. Wir schreiben M i := {x i I mit x M i }. i I Beispiel 2.4 Sei I = N und M i := {i, i + 1,..., 2i} für i N. Dann ist M i = N i I Beweis: Da jede der Mengen M i Teilmenge von N ist, gilt i I M i N. Wir müssen also noch zeigen, dass auch N i I M i gilt. Sei also n ein beliebiges Element aus N, dann ist n M n. Folglich ist n i I M i. Da n beliebig war, gilt N i I M i. Der Durchschnitt Der Durchschnitt zweier Mengen M und N M N := {x x M x N} ist die Menge aller Elemente, die sowohl zu M als auch zu N gehören. Allgemeiner ist M := {x M S gilt x M} M S der Durchschnitt einer nichtleeren Menge S von Mengen. Er besteht aus den Elementen, die zu allen M S gehören. Oder mit Indexschreibweise M i := {x i I ist x M i }. i I Beispiel 2.5 Sei I die Indexmenge I = N und M i := {n N i < n < 4i}. Dann ist M i =. Beweisen Sie diese Gleichheit, ähnlich wie in Beispiel 2.4. i I 13

14 2 Mengen und Abbildungen Das Komplement Das Komplement einer Menge N in M (oder die Dierenz von M und N) ist die Menge M\N := {x x M x / N}. M\N besteht aus allen Elementen von M, die nicht zu N gehören. Zum Beispiel ist Z\N = {0, 1, 2,... }. Wir halten nun folgende wichtige Zusammenhänge fest. (a) M\M =, M\ = M. (b) M M = M, M M = M. (c) Kommutativität: (d) Assoziativität: M N = N M, M N = N M. (M N) L = M (N L), (M N) L = M (N L). (e) Distributivität: (M N) L = (M L) (M L), (M N) L = (M L) (M L). (f) Für die Teilmengen M, N einer Menge X gilt: (1) (2) X\(X\M) = M. X\(M N) = (X\M) (X\N) X\(M N) = (X\M) (X\N) } de Morgansche Regel. (3) Allgemeiner gilt sogar X\ M S M = M S (X\M) X\ M S M = M S (X\M) } de Morgansche Regel. Wie beweist man solche Regeln? Wir führen dies am Beispiel der zweiten De Morganschen Regel einmal vor: Beweis von X\(M N) = (X\M) (X\N) (i) Zunächst zeigen wir X\(M N) (X\M) (X\N). Sei also x X\(M N). Dann ist x X aber x / M N. Demnach ist x weder Element von N noch 14

15 2 Mengen und Abbildungen Element von M. Also ist x sowohl in X\M wie auch in X\N und damit auch im Schnitt dieser beiden. (ii) Nun zeigen wir X\(M N) (X\M) (X\N). Ist x (X\M) (X\N), dann ist x sowohl in X\M wie auch in X\N. damit ist x weder in M noch in N und damit in X\(M N). Kartesisches Produkt Das geordnete Paar (Tupel) zweier Objekte x, y ist das Objekt (x, y) mit der Eigenschaft (x, y) = (x, y ) x = x und y = y. Insbesondere ist (x, y) (y, x) falls x y. Formal kann man (x, y) als Menge denieren vermöge (x, y) := {{x}, {x, y}}. Man zeigt dann leicht (Übungsaufgabe), daÿ die obige Eigenschaft erfüllt ist. Das kartesische Produkt zweier Mengen M, N ist die Menge M N := {(x, y) x M und y N}. Beispiel 2.6 Die Menge N N besteht aus den Paaren (a, b) mit a N und b N. Also N N = {(1, 1), (1, 2), (2, 1),... }. Analog bildet man das n-fache Produkt M 1 M n := {(x 1,..., x n ) x 1 M 1 x n M n }. Dabei werden die n-tupel (x 1,..., x n ) rekursiv durch deniert mit der Eigenschaft (x 1,..., x n ) := ((x 1,..., x n 1 ), x n ) (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y n ) x 1 = y 1,..., x n = y n. Eigenschaften des Produkts (a) (M 1 M 2 ) N = (M 1 N) (M 2 N). (b) (M 1 M 2 ) N = (M 1 N) (M 2 N). Versuchen Sie mal einer dieser beiden Eigenschaften zu beweisen. Zeigen Sie dazu, dass jedes Element aus (M 1 M 2 ) N auch in (M 1 N) (M 2 N) liegt, und das jedes Element aus (M 1 N) (M 2 N) auch in (M 1 M 2 ) N liegt. 15

16 2 Mengen und Abbildungen Quotienten Sei M eine Menge. Eine Relation auf M ist eine Teilmenge R M M. Wir schreiben: x R y : (x, y) R. Eine Relation auf M heiÿt Äquivalenzrelation, wenn stets gilt: (a) x R x (Reexivität) (b) x R y y R x (Symmetrie) (c) x R y und y R z x R z (Transitivität) Wir lesen x R y als x ist äquivalent zu y bezüglich R. Beispiel 2.7 Betrachte M = N und R = {(a, b) N N a + b gerade}. Dann sind also a und b äquivalent genau dann wenn a und b gerade sind oder wenn a und b ungerade sind. Beispiel 2.8 Betrachte M = N N und die Relation R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Dann sind zum Beispiel die Paare (1, 2) und (3, 4) äquivalent. Jede Äquivalenzrelation auf einer Menge M deniert eine zugehörige Zerlegung von M in disjunkte Teilmengen. Dazu ist für jedes x M die Äquivalenzklasse von x bezüglich R deniert als Teilmenge Kl(x) := {y M x R y}. Satz 2.9 Für jede Äquivalenzrelation R M M gilt: (a) x Kl(x) (b) x R y Kl(x) = Kl(y) (c) Kl(x) Kl(y) Kl(x) Kl(y) =. Beweis: (a) ist klar, wegen x R x. Ist Kl(x) = Kl(y), so gilt y Kl(y) = Kl(x), also y R x. Sei umgekehrt y R x und z Kl(y), so also z R y und y R x z R x. Daher z Kl(x). Da z beliebig war folgt Kl(y) Kl(x). 16

17 2 Mengen und Abbildungen Die Symmetrie besagt y R x x R y. Also gilt ebenfalls Kl(x) Kl(y). Das beweist (b). Für z Kl(x) Kl(y) ist z R x und z R y also x R y Kl(x) = Kl(y). Ist Kl(x) = Kl(y), so gilt Kl(x) Kl(y) = Kl(x), da x Kl(x). Mit Hilfe einer Äquivalenzrelation kann man nun neue Mengen konstruieren. Denition 2.10 Sei R eine Äquivalenzrelation auf der Menge M. Der Quotient M/R von M bezüglich R ist deniert als die Menge der Äquivalenzklassen von R: M/R := {Kl(x) x M}. Beispiel 2.11 Sei wieder M = N und R = {(a, b) N N a + b gerade}. Dann besteht die Menge M/R aus zwei Elementen, nämlich zum einem aus der Menge der ungeraden Zahlen Kl(1) und der Menge der geraden Zahlen Kl(2). Beispiel 2.12 Gegeben sei M = N N und die Relation R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen..., Kl(1, 3), Kl(1, 2), Kl(1, 1), Kl(2, 1), Kl(3, 1),... Wir werden die Konstruktion aus Beispiel 2.12 in Kapitel 4 wiedersehen, wenn wir die ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren. 2.2 Abbildungen Eine Abbildung f einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift, die jedem Element x M jeweils ein eindeutig bestimmtes Element y = f(x) N zuordnet. y = f(x) heiÿt Wert von f an der Stelle x. M heiÿt Denitionsbereich, N der Wertebereich von f. Schreibweise: f : M N, x f(x) Beispiel 2.13 Oft werden Abbildungen durch Terme deniert, z.b.: f : Z Z, z z 2. 17

18 2 Mengen und Abbildungen Ein anderes Beispiel ist g : N N n g(n) und g(n) sei die kleinste Primzahl gröÿer als n. Im zweiten Beispiel ist nicht unbedingt klar, ob die Abbildung g wohldeniert ist, d.h. ob jedem Wert aus dem Denitionsbereich auch ein eindeutiger Wert aus dem Bildbereich zugeordnet wird. Gibt es zu jedem n N immer eine eindeutige kleinste Primzahl die gröÿer ist als n? Die Frage kann man bejahen, wenn man weiÿ, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Zwei Abbildungen f 1 : M 1 N 1, f 2 : M 2 N 2 heiÿen gleich wenn gilt (i)m 1 = M 2, N 1 = N 2 und (ii) f 1 (x) = f 2 (x) für alle x M 1 = M 2. Ist beides erfüllt schreiben wir f 1 = f 2. Beispiel 2.14 Betrachten Sie die Abbildungen f : Z Z, z z 2, g : N Z, z z 2 und h : N Z, h(z) :=gröÿte natürliche Zahle kleiner als z Obwohl f(z) = g(z) für alle z Z gilt, ist f g. Andererseits sind die Abbildungen g und h gleich. Wir führen nun eine Reihe wichtiger Bezeichnungen ein: a) Der Graph einer Abbildung f : M N ist die Teilmen- Denition 2.15 ge Γ f := {(x, f(x)) x M} M N. b) Das Bild einer Teilmenge A M unter f : M N ist die Teilmenge f(a) := {f(x) x A}. f(m) heiÿt Bildmenge von M. c) Das Urbild einer Teilmenge B N ist die Teilmenge f 1 (B) := {x M f(x) B}. d) Die Faser eines Elementes y N unter f ist das Urbild f 1 ({y}) := {x M f(x) = y}. Oft schreibt man auch f 1 (y) statt f 1 ({y}). e) Sei A eine Teilmenge von M. Dann nennt man f A : A N, x f(x) die Einschränkung von f auf A. 18

19 2 Mengen und Abbildungen Beispiel 2.16 Es sei f : N N, n { 1 falls n 4, n 2 falls n < 4. Weiter sei P N die Menge der Primzahlen. Das Bild von P unter f ist f(p) = {1, 4, 9}, denn f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9 und f(n) = 1 für alle n 4. Das Urbild von P N unter f ist f 1 (P) =, denn f(n) ist für kein n N eine Primzahl. Die Faser des Elementes 4 ist f 1 ({4}) = {2}. Denition 2.17 Eine Abbildung f : M N heiÿt (a) injektiv, wenn für alle x 1, x 2 M gilt f(x 1 ) = f(x 2 ) x 1 = x 2. Eine äquivalente Denition ist, dass die Faser f 1 ({y}) für jedes y N höchstens ein Element hat. (b) surjektiv, wenn f(m) = N. Eine äquivalente Denition ist, dass die Faser f 1 ({y}) für jedes y N mindestens ein Element hat. (c) bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Eine äquivalente Denition ist, daÿ die Faser f 1 ({y}) für jedes y N genau ein Element hat. Beispiel 2.18 Betrachten Sie die Abbildungen f : Z Z, z z 2 und g : N N, g(z) = z 2. f ist weder injektiv (denn f( 1) = f(1)) noch surjektiv (denn für alle z Z ist f(z) 1). Die Abbildung g ist injektiv, denn f(z 1 ) = f(z 2 ) impliziert z 1 = z 2. g ist aber nicht surjektiv, denn das Bild von f(n) ist echt kleiner als der Wertebereich N. Für alle z N gilt z.b. f(z) 3. Es gelten die folgenden Regeln für Bild- und Urbildmengen. Satz 2.19 Für jede Abbildung f : M N und Teilmengen A, A 1, A 2 M, B 1, B 2 N gilt: (a) (b) (c) (d) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) 19

20 2 Mengen und Abbildungen (e) A f 1 (f(a)) Beweis: Wir zeigen hier nur eine der Aussagen. Dafür sehr ausführlich. Der Rest ist Übung für Sie. Sei zunächst x f 1 (B 1 B 2 ), d.h. f(x) B 1 B 2. Ist f(x) B 1 so ist x f 1 (B 1 ). Ist f(x) B 2 so ist x f 1 (B 2 ). In beiden Fällen gilt x f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) und damit f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). Wir müssen also noch f 1 (B 1 B 2 ) f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) zeigen. Ist x f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) dann ist f(x) entweder in B 1 oder in B 2. Es gilt also f(x) B 1 B 2 und damit x f 1 (B 1 B 2 ). Bemerkung: liest man die Aussagen (d) und (e), dann fragt man sich sofort, ob denn nicht auch Gleichheit anstelle der Inklusion gilt. Überlegen Sie sich Beispiele welche belegen, dass die Gleichheiten nicht gelten. Denition 2.20 Die Zusammensetzung oder Komposition der Abbildungen f : M N und g : N P ist die Abbildung g f : M P, x g(f(x)). (Lies: g nach f.) Falls Denitionsbereich und Wetrebereich gleich sind (also f : M M) schreiben wir auch f 2 statt f f. Die Abbildung id M : M M, x x ist die identische Abbildung (auf der Menge M). Regel 2.21 Kompositionen gehorchen den evidenten Gesetzen: (a) Für je drei Abbildungen f : M N, g : N P, h : P Q gilt h (g f) = (h g) f (b) Für jede Abbildung f : M N gilt: Assoziativität. id N f = f = f id M Einheitsgesetz Satz 2.22 Eine Abbildung f : M N ist genau dann bijektiv, wenn es eine Abbildung g : N M gibt mit g f = id M und f g = id N. Ein solches g ist eindeutig bestimmt durch f. g heiÿt auch Umkehrabbildung von f und man setzt g = f 1. Beweis: Ist f bijektiv, so gibt es für jedes y N genau ein x M mit f(x) = y. Man setzt dann g(y) := x und erhält eine Abbildung g : N M; mit den bekannten Eigenschaften. Zur Umkehrung sei g : N M Abbildung mit g f = id N, f g = id N. Aus f g = id N folgt f(g(n)) = id N (N) = N. Also N = f(g(n)) f(m) N und daher f(m) = N. Also ist f surjektiv. Aus g f = id N folgt analog die Injektivität von f. Denn sei f(x) = f(y) für x, y M. Dann ist x = g(f(x)) = g(f(y)) = y, was zu zeigen war. 20

21 2 Mengen und Abbildungen Sind f : M N, g : N P bijektive Abbildungen, so ist auch das Kompositum g f : M P bijektiv und für die entsprechenden Umkehrabbildungen gilt: (g f) 1 = f 1 g 1. Man überzeuge sich davon, dass die vertauschte Reihenfolge richtig ist. 21

22 3 Vollständige Induktion 3.1 Natürliche Zahlen In den vorherigen Kapiteln haben wir die Menge der natürlichen Zahlen schon mehrfach als Beispiel benutzt. Das Konzept der natürlichen Zahlen erscheint uns einfach, da wir es schon lange kennen. Der Mathematiker L. Kronecker ( ) sagte einst Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. In der tat werden wir die Existenz der natürlichen Zahlen zusammen mit einigen wenigen grundlegenden Eigenschaften einfach fordern. Danach werden wir aus den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen, und die rationalen Zahlen konstruieren. Wie man von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen kommt ist nicht so leicht (und wird auch erst in Analysis I behandelt). Von den reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen ist es wieder sehr einfach. Nun aber zu den natürlichen Zahlen. Diese führen wir axiomatisch ein. D.h. wir fordern gewisse Eigenschaften, die eine Menge, die wir dann natürlichen Zahlen nennen, erfüllen sollte. Denition 3.1 (Peano Axiome) Ein Paar (M, p) bestehend aus einer Menge M und einer Abbildung p : M M nennen wir natürliche Zahlen, wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: 1) Es gibt ein Anfangselement, d.h. ein Element e M, so dass p(n) e für alle n M. 2) p ist injektiv, d.h., p(n) = p(m) impliziert n = m. 3) Für jede Teilmenge T M mit (i) e T (ii) Aus t T folgt p(t) T gilt T = M. Sind alle Bedingungen für (M, p) erfüllt schreiben wir 1 := e und N := M. Das Element p(n) nennen wir Nachfolger von n, oder n + 1 := p(n) (hier wird also deniert was man unter plus eins versteht). Diese Denition deckt sich mit dem, was wir von den natürlichen Zahlen, so wie wir sie gewohnt sind, kennen. In Zukunft werden wir einfach von der 22

23 3 Vollständige Induktion Menge der natürlichen Zahlen sprechen. Jede natürliche Zahl n hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger (nämlich n + 1). Beginnt man mit der 1 so kann man durch fortgesetztes Bilden eines Nachfolgers jede andere natürliche Zahl erreichen (diesen Vorgang nennt man zählen). Auf den natürlichen Zahlen denieren wir uns eine Abbildung + : N N N die wir Addition nennen werden. Das Paar (a, b) N N wird hierbei auf die Zahl p b (a) = p p... p(a). Statt +(a, b) schreiben wir einfach a + b. }{{} b mal Auch die Multiplikation : N N N wird durch die Abbildung p deniert. Das Paar (a, b) N N wird hier auf die Zahl abgebildet, welche durch b-maliges Anwenden der Abbildung s a : N N, n n + a entsteht. Verschiedene natürliche Zahlen a, b kann man vergleichen. Wir sagen, dass a gröÿer als b ist falls es ein c N gibt, so dass a + c = b ist. Wir schreiben a < b. Andernfalls sagen wir a ist kleiner als b (a < b). 3.2 Das Prinzip der vollständigen Induktion Vollständige Induktion ist eine sehr wichtige Beweismethode welche wir in allen mathematischen Disziplinen benutzen werden. Betrachten Sie die Aussagen und A := Für alle n N ist die Zahl 2 2n + 1 eine Primzahl B := Für alle n N ist die Zahl 2 2n 1 durch drei teilbar Sind die Aussagen wahr? Man könnte vermuten, dass A wahr ist, denn man rechnet leicht nach, dass 2 2n +1 für n = 1, 2, 3 eine Primzahl ist. Mit etwas Aufwand sieht man auch das eine Primzahl ist. Es gilt aber = und das ist durch 641 teilbar. Die Aussage A ist hiermit also widerlegt. Die Aussage B ist allerdings wahr. Wieder könnte man anfangen, die Aussage für möglichst viele natürliche Zahlen n zu testen. Im Gegensatz zu oben werden Sie kein Gegenbeispiel nden. Die Aussage ist damit aber noch nicht beweisen, da Sie ja, egal wie schnell Ihr Computer ist, nur endlich oft testen können. Die Vollständige Induktion ist nun eine Methode, die es ermöglicht Aussagen wie B zu beweisen. Satz 3.2 (Prinzip der vollständigen Induktion) Für jede natürliche Zahl n N sei eine Aussage B(n) gegeben. Es gelte: (A) B(1) gilt, d.h. die Aussage stimmt für n = 1 (Induktionsanfang). (S) B(n) B(n + 1) gilt, d.h. gilt die Aussage für eine Zahl n N, so auch für n + 1 (Induktionsschluÿ). Dann stimmt die Aussage B(n) für alle n N. 23

24 3 Vollständige Induktion Beweis: Betrachte die Menge M := {n N B(n) ist erfüllt }. ist eine Teilmenge von N und erfüllt (i) und (ii) in obiger Denition. Also ist M = N. Ein Induktionsschluÿ funktioniert nach dem Dominoprinzip (A) = (S) B(1) = (S) B(2) = (S) (S)... = B(n) = (S) B(n + 1) = (S)... B(1) gilt wegen (A) B(2) gilt wegen (S) und n = 1 B(3) gilt wegen (S) und n = 2 Induktionsschritt (S) immer wieder anwenden Bemerkung: Aus dem Prinzip der vollständigen Induktion lassen sich leicht verallgemeinerte Induktionsprinzipien ableiten: Z.B. gilt: Korollar 3.3 Sei n 0 Z = {0, ±1, ±2,... } fest gewählt. Um eine Aussage B(n) für alle n Z mit n n 0 zu beweisen, reicht es zu zeigen: (A) B(n 0 ) gilt (Induktionsanfang) (S) Für beliebiges n Z mit n n 0 B(n + 1) (Induktionsschritt). gilt: Falls B(n) richtig ist, so auch Beweis: Setze C(n) := B(n 0 n + 1) und wende das Prinzip der vollständigen Induktion auf C(n) an. Anwendung 1: Mit Hilfe des Induktionsprinzips, können wir rekursiv denieren. Summe: n a k deniert durch 1 a k := a 1 und n+1 a k := n a k + a n+1 k=1 k=1 k=1 k=1 Produkt: n a k deniert durch 1 a k := a 1 und n+1 a k := n a k a n+1 k=1 k=1 k=1 k=1 Fakultät: n! deniert durch 0! := 1 und (n + 1)! := n! (n + 1) 24

25 3 Vollständige Induktion Anwendung 2: Viele wichtige Sätze, lassen sich durch vollständige Induktion beweisen. Wir zeigen nun drei Beispiele dafür. Satz 3.4 Für alle natürlichen Zahlen n N gilt n k = k=1 n(n + 1). 2 Beweis: Wir betrachten also die Aussage A(n) = n k=1 k = n(n+1) 2. (A) Zunächst müssen wir zeigen, dass die Aussage A(1) wahr ist. Das ist leicht, denn 1 k=1 k = 1 = (S) Nun müssen wir zeigen, dass A(n) A(n+1) wahr ist, d.h., falls n k=1 k = n(n+1) gilt muss auch n+1 2 k=1 k = n+1(n+2) gelten. Sei also A(n) wahr, dann 2 gilt n+1 k = k=1 = n k + n + 1 = k=1 n(n + 1) + 2(n + 1) 2 Die Aussage A(n) A(n + 1) ist also wahr. n(n + 1) 2 = + n + 1 (n + 1)(n + 2) 2 Satz 3.5 Seien A und B Mengen mit n Elementen. Die Anzahl der Bijektionen f : A B ist n!. Beweis: Wir wollen zeigen, dass die Aussage C(n) = Die Anzahl der Bijektionen f : A B ist n! für alle n N wahr ist. Der Induktionsanfang ist wieder leicht. Es gibt genau eine Abbildung f : A B falls A und B nur ein Element haben. Diese Abbildung ist bijektiv. Insbesondere gilt also C(1). Nun nehmen wir an dass C(n) wahr ist. Induktionsschluÿ (n n + 1): Seien A = {a 1,..., a n+1 }, B = {b 1,..., b n+1 } Mengen mit n + 1 Elementen. Ist f : A B Bijektion, so nimmt f(a n+1 ) genau einen der n + 1 möglichen Werte b 1,..., b n+1 an. Ferner ist f A\{an+1 } : A \ {a n+1 } B \ {f(a n+1 )} Bijektion zwischen nelementigen Mengen. Hier benutzen wir nun, dass C(n) wahr ist. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es genau n! Bijektionen A \ {a n+1 } B \ {b i }, i = 1,..., n + 1. Daher gibt es zu jedem i = 1,..., n + 1 genau n! Bijektionen A B mit a n+1 b i. Also gibt es insgesamt genau (n + 1)n! = (n + 1)! Bijektionen A B. 25

26 3 Vollständige Induktion Satz 3.6 (Bernoullische Ungleichung.) Für x 1 und n N gilt stets (1 + x) n 1 + nx. Diesmal schreiben wir die vollständige Induktion etwas schneller auf: Beweis: Induktionsanfang: Für n = 1 stimmt die Behauptung (1 + x) x. Induktionsschluÿ: (1 + x) n+1 = (1 + x) (1 + x) n (1 + x)(1 + nx) }{{}}{{} 0 1+nx = 1 + (n + 1)x + }{{} nx (n + 1)x. 0 26

27 4 Zahlenbereiche Die natürlichen Zahlen (zusammen mit der Addition und der Multiplikation) wurden in Kapitel 3 axiomatisch eingeführt. Aus den natürlichen Zahlen kann man nun die ganzen Zahlen Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } die rationalen Zahlen, die reellen Zahlen und auch die komplexen Zahlen (zusammen mit den jeweiligen Additionen und Multiplikationen) konstruieren. Die mit Abstand aufwendigste Konstruktion ist die der reellen Zahlen. Das wird aber erst Teil der Vorlesung Analysis sein. Wir führen hier nur exemplarisch vor wie man aus den natürlichen Zahlen die ganzen Zahlen konstruiert. Ganze Zahlen Gegeben seien also die natürlichen Zahlen (zusammen mit der Addition und der Multiplikation). Wir betrachten nun wieder die Äquivalenzrelation aus Beispiel Es sei also M = N N und R die Relation R := {((a, b), (c, d)) a + d = c + b}. Die Element des Quotienten M/R sind die Klassen..., Kl(1, 3), Kl(1, 2), Kl(1, 1), Kl(2, 1), Kl(3, 1),.... Wir denieren nun eine Addition auf M/R via Kl(a, b) Kl(c, d) = Kl(a + c, b + d). Man beachte, dass die neue Abbildung nur aus der bekannten Operation + in N hervorgeht. Problematisch ist, dass das Ergebnis der Addition Kl(a, b) Kl(c, d) anscheinend von der Wahl der Repräsentanten (a, b) Kl(a, b) bzw. (c, d) Kl(a, b) abhängt 1. Man muss also noch die wohldeniertheit der Abbildung testen. Sei also (ã, b) ein Elemente aus der gleichen Äquivalenzklasse wie (a, b) und ( c, d) ein Elemente aus der gleichen Äquivalenzklasse wie (c, d), dann ist Kl(ã, b) Kl( c, d) = Kl(ã + c, b + d). Wegen a + b = b + ã und c + d = d + c gilt aber Kl(ã + c, b + d) = Kl(a + c, b + d). 1 Klar was gemeint ist? Sowohl (1, 2) wie auch (2, 3) sind ja Elemente der gleichen Äquivalenzklasse Kl(1, 2). Trotzdem muss die Summe eindeutig sein. 27

28 4 Zahlenbereiche Ähnlich wird nun auch eine Multiplikation auf M/R deniert. Nämlich Kl(a, b) Kl(c, d) = (ac + bd, ad + bc). Man beachte, dass für jedes Element Kl(c, d) M/R sowohl Kl(1, 1) Kl(c, d) = Kl(1+c, 1+d) = Kl(c, d) wie auch Kl(1, 1) Kl(c, d) = Kl(c+d, c+d) = Kl(1, 1) gilt. Das Element Kl(1, 1) nennen wir ab jetzt 0. Die Elemente Kl(1, 2), Kl(1, 3),... nennen wir 1, 2,... und die Elemente Kl(2, 1), Kl(3, 1),... nennen wir 1, Auÿerdem schreiben wir in Zukunft Z statt M/R, a + b statt a b und ab statt a b. Wir haben also auf einer neuen Menge Z eine neue Addition und eine neue Multiplikation deniert. Man kann nun nachrechnen, dass sämtliche aus der Schule bekannten Rechenregeln auch auf unserer Menge Z stimmen. Insbesondere gelten alle Rechenregeln von N auf Z eingeschränkt auf 1, 2, 3. Deshalb stellt man sich auch weiterhin N als Teilmenge von Z vor (obwohl N in unserer Konstruktion formal etwas anderes ist). Rationale Zahlen und reelle Zahlen Im Gegensatz zum Zahlenbereich N läÿt sich jede additive Gleichung a + x = b mit a, b Z lösen. Andererseits läst sich nicht jede multiplikative Gleichung ax = b mit a, b Z in Z lösen. Daher betrachtet man die Rationalen Zahlen, also die Brüche { n } Q := m n Z, m N. Auch hier müÿte man nun die Menge Q zusammen mit einer Addition und einer Multiplikation formal aus N und Z konstruieren. Auch hier werden wieder passende Äquivalenzklassen gebildet. Diese Konstruktion wird im Prpädeutikum zum Thema Äquivalenzrelationen nachgeholt. In der linaren Algebra werden Sie lernen was ein Körper ist. Hier sei schon einmal gesagt, dass Q (genau wie R und C) ein Beispiel für einen Körper ist, N und Z aber nicht. Für jetzt reicht uns die Erkenntnis, dass Q bezüglich Addition und Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. für alle p, q Q ist q + p Q und pq Q. Ich hoe Sie erinnern sich noch daran wie man eine solche Addition bzw. Multiplikation durchführt. Nämlich nach den Formeln a b + c d = ad + bc bd bzw a b c d = ab cd. Um vernünftig Mathematik betreiben zu können reicht die Menge der rationalen Zahlen noch nicht aus. Z.B. ist die Gleichung x 2 = 2 in Q nicht lösbar. Trotzdem kann man sich Probleme vorstellen, deren Lösung eben genau die Bedingung x 2 = 2 erfüllt 2. Daher erweitert man die rationalen Zahlen noch auf die 2 Z.B. die Frage, wie lange ist die Diagonale eines rechtwinkligen Dreiecks dessen Katheten beide die Länge 1 haben. Wenn wir eine Mathematik nur in Q aufziehen wollten dann wäre die Antwort: So ein Dreieck gibt es nicht. 28

29 4 Zahlenbereiche reellen Zahlen. Wie das genau geht werden Sie in der Vorlesung Analysis erfahren. Veranschaulichen kann man sich die reellen Zahlen aber als die Punkte auf einer Geraden. Sowohl auf Q wie auch auf R gibt es eine Ordnungsrelation > bzw.. Auch hier verzichten wir auf eine formale Konstruktion. Für Q und R führen wir noch ein paar Bezeichnungen ein: Sei F = Q oder F = R und a, b F mit a < b. Das abgeschlossene Intervall [a, b] sei deniert durch [a, b] := {x F a x b}. Analog denieren wir oene Intervalle ]a, b[:= {x F a < x < b}. Desweiteren sei [a, b[ := {x F a x < b}, ]a, b] := {x F a < x b}, ]a, [ := {x F a < x}, [a, [ := {x F a x}, ], a[ := {x F x < a}, [, a[ := {x F x a} Die Gleichung X = 0 besitzt keine Lösung in reellen Zahlen. Um diese Gleichung aber trotzdem lösen zu können, führen wir eine neue Zahl i = 1 als Lösung dieser Gleichung ein: i = 0; diese Zahl heiÿt auch imaginäre Einheit. Wir haben noch nicht richtig erklärt, was denn nun eigentlich i = 1 für eine Zahl sein soll. Wir führen dazu die komplexen Zahlen geometrisch als Punkte in der Gauÿschen Ebene ein. Satz und Denition 4.1 Die Menge C := R 2 aller Paare reeller Zahlen versehen mit der Addition und der Multiplikation (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ) ist ein Körper, der sogenannte Körper der komplexen Zahlen. Hierbei ist (0, 0) das Nullelement (0, 0) und (1, 0) das Einselement (1, 0). Die komplexe Zahl heiÿt imaginäre Einheit. i := (0, 1) Oenbar gilt i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0). Also ist i 2 das additiv Inverse des Einselements. 29

30 4 Zahlenbereiche Jede komplexe Zahl (x, y) läÿt sich eindeutig zerlegen, als Summe aus dem 1- Anteil (den sogenannten Realanteil) und dem i-anteil (den sogenannten Imaginäranteil), d.h. (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy. Für das praktische Rechnen in komplexen Zahlen ist diese Schreibweise auch geeigneter. Man veriziert leicht: (a+ib)+(c+id) = (a+c)+i(b+d), (a+ib) (c+id) = (ac bd)+i(ad+bc); hierbei haben wir in der zweiten Gleichung die Gleichung i 2 = 1 ausgenutzt. Das multiplikativ Inverse von a + ib C \ {0} berechnet sich wie folgt: 1 a + ib = 1 a + ib a ib a ib = a ib a 2 + b = 2 a a 2 + b + i b 2 a 2 + b. 2 Zu einer komplexen Zahl z = a + ib heiÿt a der Realteil von z und wird mit Re z bezeichnet und b heiÿt der Imaginärteil von z und wird mit Im z notiert. Zu z = a + ib bezeichnet z = a ib die zu z konjugierte komplexe Zahl (bei der Berechnung des Inversen von z 0 haben wir also mit dem Konjugierten von z erweitert). Es gilt z = Re z + i Im z, Re z = 1 2 (z + z), Im z = 1 (z z). 2i Komplexe Zahlen lassen sich gut in der Gauÿschen Zahlenebene darstellen: i Im z +ib a + ib ib a a ib Re z Für z = a + ib C ist z z = (a + ib)(a ib) = a 2 + b 2 eine nicht-negative reelle Zahl, und für z 0 ist diese Zahl positiv. Wir setzen z = zz und nennen dises Zahl den Absolutbetrag der komplexen Zahl z. Geometrisch misst z den Abstand von z zum Ursprung 0 in der Gauÿschen Zahlenebene (Pythagoras). Es gilt die Dreiecksungleichung z + w z + w. 30

31 4 Zahlenbereiche Die komplexen Zahlen haben sehr schöne analytische und algebraische Eigenschaften: Z.B. ist C algebraisch abgeschlossen, d.h. jede algebraische Gleichung über C besitzt eine Lösung (Fundamentalsatzes der Algebra). Ferner gibt es eine Verbindung zu den trigonometrischen Funktionen. (Dazu später mehr!) 31