Kapitel 2. Exakte Lösungen einfacher Schrödingergleichungen. 2.1 Teilchen im Kasten

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1 Kapite 2 Exakte Lösungen einfacher Schrödingergeichungen 2.1 Teichen im Kasten In unserem ersten Beispie betrachten wir ein Teichen in einer Dimension in einem Potentia, das Nu ist in einem Bereich und dann abrupt zu unendich wechset. Der Hamiton-Operator dieses Systems ist { H = h2 2 0 für 0 x L + V (x) V (x) = 2m x2 sonst Die Weenfunktion Ψ(x) muss an der Stee, an der das Potentia unendich ist, verschwinden. Sonst würde der Beitrag von V (x)ψ(x) unendich werden und damit müsste auch die Energie des Teichens unendich sein. Daraus fogt, dass die Weenfunktion nur in dem Bereich von Nu verschieden ist, in dem das Potentia verschwindet. In diesem Bereich ist der Hamiton-Operator H = h2 2m x, 2 geich dem Hamiton-Operator eines Teichens mit freier transatorischer Bewegung. Die zeitunabhängige Schrödingergeichung für diesen Fa autet 2 h2 Ψ(x) =EΨ(x). 2m x2 Die agemeine Lösung dieser Geichung kann einfach gefunden werden ( ) 1/2 2mE Ψ(x) =A cos kx + B sin kx, k = h

2 Die Werte für die Parameter A und B müssen aus den Anfangsbedingungen, bzw. den Randwertbedingungen bestimmt werden. Diese Funktionen sind nicht quadratintegrabe und deshab in ihrer agemeinsten Form keine physikaischen Lösungen. Mit diesem Probem werden wir uns später befassen. In unserem Fa hier ist das aber kein Probem, da die Form der Lösung nur innerhab der Wände (von 0 bis L) geten so und die Lösung ausserhab dieses Bereiches Ψ(x) = 0 ist. Damit ergeben sich die fogenden Randbedingungen für unser Probem Für die erste Bedingung erhaten wir und aus der zweiten Bedingung Ψ(0) = 0, Ψ(L) =0. Ψ(0) = A 1+B 0=A =0, Ψ(L) =B sin kl =0. Die Lösung B = 0 ist nicht eraubt, da sonst die Weenfunktion übera verschwinden würde und die Wahrscheinichkeitsinterpretation veretzt wäre. Daraus fogt, dass wir sin kl =0erfüen müssen. Dies ist der Fa für k = nπ L n =1, 2,... Wiederum muss der Fa n = 0 ausgeschossen werden. Die Lösungen sind aso quantisiert mit der Quantenzah n. Die eraubten Energien sind 2 h2 Ψ(x) 2m x2 = EΨ(x), h2 2m ( k2 )Ψ(x) = EΨ(x), und wir finden eicht E n = h2 2m k2 = h2 n 2 π 2, 2m L 2 oder E n = n2 h 2 n =1, 2,... 8mL 2 Zuetzt müssen wir noch den Wert für die Konstante B bestimmen. Dies geschieht über die Wahrscheinichkeitsinterpretation der Weenfunktion. Das 25

3 Integra über den gesamten Raum des Quadrates der Weenfunktion muss eins ergeben, da wir sicher sind das Teichen irgendwo anzutreffen. Aso ist 1= L 0 ( nπx ) B 2 sin 2 dx = 1 L 2 LB2 und somit B = 2/L. Die voständige Lösung des Probems autet damit 2 ( nπx ) Ψ(x) = L sin L E n = n2 h 2 n =1, 2,... 8mL Der harmonische Osziator Die kassische Hamitonfunktion eines harmonischen Osziators autet H = 1 2m p mω2 q 2 Wir übersetzen diese Funktion in die quantenmechanische Sprache für eine Dimension und erhaten (q = x) für die zeitunabhängige Schrödingergeichung h2 d 2 2m dx Ψ mω2 x 2 Ψ=EΨ. 26

4 Wir führen die fogenden dimensionsosen Grössen ɛ, y ein mω E = hωɛ; y = h x. Dann git für u(y) =Ψ u + y 2 u =2ɛu. Wir betrachten zuerst das Verhaten der Funktion u für y. u + y 2 u =0. wobei wir den Term 2ɛu gegenüber y 2 u vernachässigt haben. Diese Geichung hat die Lösungen u (y) = exp[± 1 2 y2 ]. Da die Weenfunktion beschränkt sein muss und die agemeine Lösung asymptotisch gegen u (y) streben sote, machen wir den Ansatz u(y) =e 1 2 y2 w(y). Einsetzen ergibt d 2 w dw 2y +(2ɛ 1)w =0. dy2 dy Für w(y) setzten wir eine Potenzreihe an w(y) = a k y k, k=0 und erhaten aus der obigen Geichung für die Terme von y k die Rekursion (k +2)(k +1)a k+2 2ka k +(2ɛ 1)a k =0 und somit 2k (2ɛ 1) a k+2 = (k +2)(k +1) a k, k =0, 1,... Fas die Foge der Koeffizienten a k nicht abbricht, erhät man für grosse k a k+2 2 k a k Die Reihenentwickung konvergiert aso für ae y, und für grosse y erhät man w(y) e y2, somit u(y) e y2 /2. Deshab muss die Reihe für physikaische Lösungen abbrechen und w(y) wird zu einem Poynom. Die Reihenentwickung bricht genau dann entweder für die geraden oder ungeraden Werte von k ab, wenn ɛ = n + 1, n =0, 1,

5 Setzt man die Werte für die jeweis andere Foge geich Nu, so erhät man für w(y) ein Poynom n-ten Grades für ɛ = n + 1. Die zugehörige Lösung ist 2 u n (y) =e 1 2 y2 H n (y) wobei H n (y) ein Poynom n-ten Grades ist. Nach Einsetzen in die Differentiageichung für w erhaten wir H n 2yH n +2nH n =0 Dies ist die Differentiageichung der Hermite Poynome ( H n (y) =e y2 d ) n e y2 dy (siehe z.b. M. Abramowitz and I.A. Stegun, Handbook of Mathematica Functions, Kapite 22). Tabee 2.1: Hermite Poynome n H n (y) y 2 4y y 3 12y 4 16y 4 48y y 5 160y y 6 64y 6 480y y y y y y 8 256y y y y Differentiageichung: H n 2yH n +2nH n =0 Rekursion:H n+1 =2yH n 2nH n 1 Orthogonaität: H nh n e y2 dy =0 für n n Normierung: H2 ne y2 dy = π2 n n! Die voständige normierte Lösung autet damit E n = hω(n + 1 ); n =0, 1,... 2 u n (y) = = π n 1 2 e 1 2 y2 H n (y) n! y = mω h x 28

6 2.2.1 Eigenschaften der Lösung Abbidung 2.1: Eigenwerte und Weenfunktionen der ersten vier Lösungen des harmonischen Osziators Die wichtigste Eigenschaft der Lösungen des harmonischen Osziators ist, dass die Eigenwerte in konstantem Abstand auftreten. Dies steht in direktem Zusammenhang mit der Symmetrie der Orts- und Impusvariaben, die beide as x 2,bzw.p 2 auftreten. Der Abstand zwischen den Energieniveaus ist inear in der Frequenz des Osziators. Der Abstand ist gross für Systeme mit grosser Kraftkonstante k = ω 2 m und geht gegen Nu für Systeme mit sehr keiner Kraftkonstante. Die Aufenthatswahrscheinichkeit zeigt die geichen Knoten wie die Weenfunktion. Je grösser die Quantenzah desto mehr verschiebt sich die Wahrscheinichkeit das Teichen zu finden gegen die kassischen Umkehrpunkte. Für grosse Quantenzahen steigt auch die Wahrscheinichkeit das Teichen in der kassisch verbotenen Zone zu finden. Wir können ein zweiatomiges Moekü as einen harmonischen Osziator betrachten. Die Kraftkonstante k der Bindung ist dann mit der charakteristischen Frequenz ω verbunden k ω =, m r wobei m r die reduzierte Masse ist m r = m 1m 2 m 1 + m 2. 29

7 Abbidung 2.2: Der harmonische Osziator as Mode für die Schwingungen eines zweiatomigen Moeküs. Tabee 2.2: Einige Übergangsfrequenzen für die n =0zun = 1 Schwingungen in zweiatomigen Moeküen und die dazugehörigen Kraftkonstanten. Die Kraftkonstanten wurden nicht mit dem harmonischen, sondern mit dem Morse Potentia gerechnet, weches im Bereich des Minimums gut mit einem harmonischen Potentia übereinstimmt. Deshab git hier nicht genau (2πν) 2 m r = k. Moekü Frequenz [10 13 Hz] Kraftkonstante [N/m] HF HC HBr HI CO NO

8 Abbidung 2.3: Obere Abbidung: Eigenwerte, Weenfunktionen und Aufenthatswahrscheinichkeiten der ersten vier Lösungen des harmonischen Osziators. Untere Abbidung: Vergeich der Aufenthatswahrscheinichkeit für ein Quantenteichen und ein kassisches Teichen mit der seben Energie. 31

9 2.2.2 Das Viriatheorem Wir betrachten einen Operator ˆΩ, der nicht expizit von der Zeit abhängt ˆΩ t =0. Die Abeitung des Erwartungswertes nach der Zeit ergibt d Ω dt = d dt Ψ ˆΩ Ψ = ( Ψ t ) ˆΩΨdτ + Ψ ˆΩ ( ) Ψ dτ. t Unter Verwendung der Schrödingergeichung erhaten wir ( ) ( ) ( ) Ψ 1 1 Ψ ˆΩ dτ = Ψ ˆΩ ĤΨdτ = t i h i h Ψ ˆΩĤΨdτ und ( Ψ t ) ( ) 1 ) ( ) 1 ˆΩΨdτ = (ĤΨ ˆΩΨdτ = i h i h Ψ Ĥ ˆΩΨdτ, wobei wir davon gebrauch gemacht haben, dass der Hamiton-Operator Hermite sch ist (aso Ĥ = Ĥ git). Somit erhaten wir ( ) d Ω 1 ( = Ĥ dt i h ˆΩ ˆΩĤ ) = ī [Ĥ, ˆΩ] h Betrachten wir nun den Operator ˆΩ =p r erhaten wir d dt p r = ī [Ĥ,p r]. h In einer Dimension (es ist eicht, das geich Resutat auch in drei Dimensionen herzueiten) ist somit d dt p xx =2 T x dv dx, wobei wir von den Kommutatoreigenschaften der kinetischen und potentieen Energieoperatoren gebrauch gemacht haben. Der Zeitmittewert ist 1 τ τ 0 d dt p xr dt = 1 τ τ 0 32 ( 2 T x dv ) dx dt.

10 Der Integrand der rechten Seite ist unabhängig von der Zeit und das Zeitmitte der inken Seite verschwindet, deshab git p x r τ 0 =2 T xdv dx =0, und wir erhaten 2 T = x dv dx = xf x. Das entsprechende Resutat in drei Dimensionen ist 2 T = r F, wobei wir die Kraft F as Abeitung des Potentias nach dem Ort definiert haben. Wenn das Potentia von der Form V = ax s ist, ergibt sich T = 1 2 s V. 2.3 Drehimpus-Operatoren Definitionen Der kassische Drehimpus-Vektor ist fogendermassen definiert: = r p =(x, y, z ) x = yp z zp y y = zp x xp z z = xp y yp x Nach dem Äquivaenzprinzip konstruieren wir die quantenmechanischen Operatoren in der Ortsdarsteung: ˆx = h ( y i z z ) y ˆy = h ( z i x x ) z ˆz = h ( x i y y ) x Für das Betragsquadrat des Gesamtdrehimpus erhaten wir kassisch: 2 = = 2 x + 2 y + 2 z und quantenmechanisch: ˆ2 = ˆ 2 x + ˆ 2 y + ˆ 2 z = ˆ xˆx + ˆ yˆy + ˆ zˆz 33

11 2.3.2 Vertauschungsreationen Für zwei Komponenten: ( ˆxˆy f = h 2 y z z )( z y x x ) f z ( = h 2 yz 2 f z x + y f x f yx 2 z 2 f 2 z2 y x + zx 2 f ) y z ) ˆyˆx f = h 2 ( zy 2 f x z + x f y xy 2 f z 2 z2 2 f x y + xz 2 f z y Differenzen ( (ˆ xˆy ˆ yˆx )f = h 2 y f ) x x f y = i h h ( x f i y y f ) x = i hˆ z f Kommutator-Geichungen: [ˆ z, ˆ x ] = i hˆ y Für eine Komponente und das Betragsquadrat: [ˆ x, ˆ 2 ] = ˆ xˆ2 ˆ 2ˆx = ˆ x (ˆ xˆx + ˆ yˆy + ˆ zˆz ) (ˆ xˆx + ˆ yˆy + ˆ zˆz )ˆ x = (ˆ xˆy )ˆ y +(ˆ xˆz )ˆ z ˆ y (ˆ yˆx ) ˆ z (ˆ zˆx ) = (i hˆ z + ˆ yˆx )ˆ y +( i hˆ y + ˆ zˆx )ˆ z ˆ y ( i hˆ z + ˆ xˆy ) ˆ z (i hˆ y + ˆ xˆz ) = 0 [ˆ x, ˆ 2 ]=[ˆ y, ˆ 2 ]=[ˆ z, ˆ 2 ]=0 Wei das Betragsquadrat des Drehimpuses jeweis mit einer Komponente vertauscht, git keine Unschärfereation zwischen den beiden und es ist mögich das Betragsquadrat und eine ausgewähte Komponente geichzeitig scharf zu messen. Zwei Komponenten können dagegen jedoch nie geichzeitig scharf gemessen werden, wei die entsprechenden Operatoren nicht vertauschen. 34

12 Zentrafedprobeme: Das Potentia V (r) ist kugesymmetrisch und hängt nur von dem Abstand r vom Ursprung ab. Dann git [ˆ x, ˆT ]=[ˆ y, ˆT ]=[ˆ z, ˆT ]=0 [ˆ x, ˆV (r)] = [ˆ y, ˆV (r)] = [ˆ z, ˆV (r)] = 0 [ˆ x, Ĥ] =[ˆ y, Ĥ] =[ˆ z, Ĥ] =0 [ˆ 2, Ĥ] =0 Bei Zentrafedprobemen haben Ĥ,ˆ 2 und ˆ z einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen. Jeder stationäre Zustand ist durch scharfe Erwartungswerte für Ĥ,ˆ 2 und ˆ z gekennzeichnet Drehimpus-Operatoren und Hamiton-Operator in Kugekoordinaten Aufgrund ihrer sphärischen Symmetrie werden Zentrafedprobeme am besten in Kugekoordinaten (R, θ, φ) geöst, wobei die Operatoren entsprechend transformiert werden müssen: (x, y, z) (R, θ, φ). Dabei sind die Regen der Differentiarechnung zu beachten, insbesondere die Kettenrege. Ergebnisse (ohne Hereitung): Demnach ist ˆz = h i ˆ2 φ [ 1 = h 2 sin θ [ 2 Ĥ = h2 2m ˆz ˆ2 Ĥ ( sin θ ) + 1 θ θ r r ] 2 φ 2 sin 2 θ ] + ˆ 2 r 2mr + V (r) 2 eine Funktion von φ θ, φ r, θ, φ Das heisst wir können einen gemeinsamen Satz von Eigenfunktionen Ψ(r, θ, φ) zu diesen drei Operatoren finden. Dabei ist φ ˆz θ ein unabhängiger Antei aus einem Eigenwertprobem für ˆ2 r Ĥ 35

13 und wir können wieder einen Separationsansatz wähen Ψ(r, θ, φ) =R(r)Θ(θ)Φ(φ). }{{} ˆz }{{} ˆ2 }{{} Ĥ Eigenwertprobem für den Operator ˆ z ˆz Φ(φ) = h i φ Φ(φ) = zφ(φ) Die Eigenfunktionen Φ(φ) assen sich eicht angeben: Φ(φ) =Ce imφ ˆz Φ(φ) = h i imceimφ = m hφ(φ) Konstanten C, m Eigenwert m h Randbedingungen: Φ(φ) =Φ(φ +2π) Ce imφ = Ce im(φ+2π) = Ce imφ e im2π e im2π =1 Periodizität m ganzzahig Normierung: 2π 0 2π 2π Φ Φdφ = C 2 e imφ e imφ dφ = C 2 dφ =2πC 2 =1 0 C = (2π) 1/2 Φ(φ) = (2π) 1/2 e imφ Die z- Komponente des Drehimpuses kann die Werte m h annehmen (m ganzzahig) Eigenwertprobem für den Operator ˆ 2 Eigenfunktionen Y (θ, φ) und Eigenwerte λ h 2 ˆ2 Y (θ, φ) = h 2 [ 1 sin θ = λ h 2 Y (θ, φ) Y (θ, φ) = Θ(θ)Φ(φ) ( sin θ ) + 1 θ θ sin 2 θ 36 0 ] 2 Y (θ, φ) φ 2

14 Im Produktansatz sind die Eigenfunktionen Φ(φ) vonˆ z bekannt. Einsetzen iefert: h 2 [ 1 sin θ ( sin θ ) + 1 θ θ sin 2 θ 2 φ 2 2 φ Φ(φ) 2 = m2 Φ(φ) ] Θ(θ)Φ(φ) =λ h 2 Θ(θ)Φ(φ) Φ(φ) ässt sich kürzen, da der Operator nicht mehr von φ abhängt. Man erhät eine Differentiageichung für Θ, die sich ähnich wie die Geichung für den harmonischen Osziator ösen ässt. Substitution x =cosθ Potenzreihenansatz Rekursionsforme Konvergenzuntersuchung, i.a. treten Divergenzen auf Divergenzen assen sich nur bei bestimmten Werten von λ vermeiden, Abbruch der Potenzreihe. Wir erhaten λ = ( + 1) mit ganzzahigem 0 und m. DasBetragsquadrat des Drehimpuses kann nur die Werte ( +1) h 2 annehmen ( =0, 1, 2, 3,... und m ) Drehimpus-Eigenfunktionen Y m (θ, φ) Kugefunktionen Y m (θ, φ) in Produktschreibweise: Y m (θ, φ) =Θ(θ)Φ(φ) Der θ-abhängige Antei Θ(θ) ist proportiona zu den Legendreschen Poynomen P für m = 0 und den assoziierten Legendreschen Funktionen P m für m 0. Es git: x =cosθ P (x) = 1 d 2! dx (x2 1) ( =0, 1,...) P m (x) =(1 x 2 m /2 d m ) dx P (x) m ( m =0, 1, 2,...,) 37

15 Eigenwert-Geichungen: ˆ2 Y m (θ, φ) =( +1) h 2 Y m (θ, φ) ( =0, 1,...) ˆz Y m (θ, φ) =m hy m (θ, φ) ( m ) Kugefunktionen: Y m (θ, φ) = [ π Einige speziee Kugefunktionen ] 1/2 ( m )! P m (cos θ)e imφ ( + m )! ( ) 1/2 1 Y0 0 = s 4π ( ) 1/2 3 Y1 0 = cos θ p 4π ( ) 1/2 3 Y 1 ±1 = sin θe ±iφ p 8π ( ) 1/2 5 Y2 0 = (3 cos 2 θ 1) d 16π ( ) 1/2 15 Y 2 ±1 = sin θ cos θe ±iφ d 8π ( ) 1/2 15 Y 2 ±2 = sin 2 θe ±2iφ d 32π zu reeen Kuge- Linearkombinationen von kompexen Kugefunktionen Y m funktionen S (m). S (m) (θ, φ) =,Y m { 1 [ 2 Y m (θ, φ)+y m (θ, φ) ] m>0 [ Y m (θ, φ) Y m (θ, φ) ] m<0 1 i 2 Das Paar Y m unterscheidet sich ausschiessich durch den Faktor e imφ,e imφ. Anwendung der Euerschen Formen: cos mφ = 1 [ e imφ + e imφ] 2 m>0 sin mφ = 1 i [ e imφ e imφ] 2 m<0 38

16 iefert dann unter der Berücksichtigung der Definitionsgeichung für Y m reeen Funktionen die { S (m) (θ, φ) =N m P m cos mφ m > 0 (cos θ) sin mφ m < 0 39

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18 2.3.7 Starrer Rotator Hamiton-Operator in Kugekoordinaten [ Ĥ = h2 2 2m r + 2 ] + ˆ 2 2 r r 2mr + V (r) 2 Starrer Rotator: Keine Radiabewegung (r = R, konstant), kräftefrei (V = 0). Der erste und dritte Term faen daher weg: Ĥ rot = ˆ2 2mr = ˆ 2 2 2I I = mr 2 Trägheitsmoment Das Eigenwertprobem für Ĥrot ist bereits geöst, da Ĥrot proportiona zu ˆ 2 ist: Ĥ rot Y m (θ, φ) = E rot Y m (θ, φ) ( +1) h2 E rot = 2I Quantenzahen und m, wobeie rot nur von abhängt: (2 +1)-facheEntartung der Energien, wegen m Wasserstoffatom Das Wasserstoffatom besteht aus einem Proton der Masse m p und einem Eektron der Masse m e. Reduktion des Zweiteichenprobems auf ein Einteichenprobem durch Abseparation der Schwerpunktsbewegung: 3 Schwerpunktskoordinaten (Transation) 3 innere Koordinaten (Reativbewegung) As Foge dieser Separationgit für die Reativbewegung die reduzierte Masse: µ = m em p m e + m p = m e m e Ĥ = h2 2µ 2 + V (r) Formuierung der Reativbewegung in Kugekoordinaten (r, θ, φ), Zentrafedprobem, Couomb-Potentia: V (r) = Ze2 r 41

19 Kernadungszah Z = 1 beim Wasserstoffatom Agemeiner Ansatz: Ĥ(r, θ, φ)ψ(r, θ, φ) =EΨ(r, θ, φ) Ψ(r, θ, φ) =R(r)Y m (θ, φ) Der Winkeantei der Eigenfunktionen ist durch die Kugefunktionen Y m (θ, φ) gegeben. Einsetzen des Ansatzes für die Weenfunktion in die Schrödingergeichung und unter Berücksichtigung der Eigenwertgeichung für ˆ 2 iefert die radiae Schrödingergeichung für das Wasserstoffatom [ h2 2 2µ r + 2 ] ( +1) h2 R(r)+ R(r) Ze2 R(r) =ER(r) 2 r r 2µr 2 r Lösung der radiaen Schrödingergeichung Einführung einer neuen Radiafunktion u(r) =rr(r) h2 d 2 u(r) + 2µ dr 2 [ ( +1) h 2 ] Ze2 u(r) =Eu(r) 2µr 2 r Untersuchung des asymptotischen Verhatens für r und r 0 führt zu fogendem Ansatz κ ist ree für E<0. u(r) =(κr) +1 e κr w(κr) 2µE κ = h 2 Einsetzen dieses Ansatzes in die radiae Schrödingergeichung ergibt die Laguerresche Differentiageichung für w(κr). Lösung dieser Differentiageichung durch einen Potenzreihenansatz (Rekursionsforme). Die Potenzreihe divergiert nur für bestimmte Werte von E nicht: Quanteung der Energie. Ze 2 κ 2 E = k + +1=n k,, n ganzzahig; k 0, 0,n> 42

20 Aufösen nach E n 1 ganzzahig, n> E n = Z2 µe 4 2 h 2 n 2 Energien E n = Z2 e 2 1 2a n 2 (n =1, 2, 3,...) a = h2 µe 2 Bohrscher Radius = Å Es gibt unendich viee gebundene Zustände mit E n < 0. E = 0 entspricht Proton und Eektron in unendicher Entfernung. E>0 sind ungebundene Zustände mit zusätzicher kinetischer Energie. Grundzustand im Wasserstoffatom (Z = 1,n = 1): E 1 = e2 2a 13.6eV Angeregte Zustände im Wasserstoffatom (Z =1,E n 1 n 2 ): E 2 3.4eV, E 3 1.5eV, E eV Jeder Zustand Ψ nm wird durch drei Quantenzahen charakterisiert, die Energie hängt jedoch nur von n ab. n m Notation Zustände Entartung s s 1 1-1,0,1 2p s 1 1-1,0,1 3p 3 2-2,-1,0,1,2 3d 5 9 Die Energien sind n 2 -fach entartet Radiafunktionen beim Wasserstoffatom R n (r) = [ (n 1)! 2n[(n + )!] 3 ( 2Z na ) 3 ] 1/2 ( 2Zr na 43 ) e Zr na L 2+1 n+ ( 2Zr na )

21 Laguerresche Poynome L p (x) =e x dp dx p ( x p e x) Veragemeinerte Laguerresche Poynome L q p(x) = dq dx q L p(x) Expizite Formen ρ = Zr na R 10 =2 ( ) 3/2 Z e ρ 1s a R 20 =2 1/2 ( Z a ) 3/2 (1 ρ)e ρ 2s R 21 =6 1/2 ( Z a ) 3/2 ρe ρ 2p R 30 = R 31 = R 32 = ( ) 3/2 Z (3 6ρ +2ρ 2 )e ρ 3s a ( ) 3/2 Z (2ρ ρ 2 )e ρ 3p a ( Z a ) 3/2 ρ 2 e ρ 3d 44

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23 Eektronendichteverteiung: Aufenthatswahrscheinichkeit im Voumeneement dτ: Ψ nmψ nm dτ =Ψ nm(r, θ, φ)ψ nm (r, θ, φ)r 2 sin θdrdθdφ Wahrscheinichkeit, ein Eektron zwischen r und r + dr anzutreffen, unabhängig von Winke (θ, φ): P n (r)dr = RnR n r 2 dr Y m (θ, φ)y m (θ, φ)sinθdθdφ Das Integra ist geich Eins (Normierung). Für reee R n erhät man für die radiae Wahrscheinichkeitsdichte P n (r) =R 2 nr 2 Wahrscheinichkeit ein Eektron im Raumwinke dω (zwischen θ und θ + dθ, φ und φ + dφ) anzutreffen, unabhängig vom Abstand (r): W n (θ, φ)dω =Y m (θ, φ)y m (θ, φ)dω R n (r)r 2 dr Das Integra ist geich Eins (Normierung). Mit den bekannten Formen für die Kugefunktionen Y m fogt: W n (θ, φ) =Nm[P 2 m (cos θ)] 2 = W m (θ) Die Winkeverteiung der Wahrscheinichkeitsdichte ist bei den Eigenfunktionen des Wasserstoffatoms unabhängig von φ und daher rotationssymmetrisch zur z-achse. 46

24 Grösse Einheit Werte in a.u. Werte in SI-Einheiten Ladung Eementaradung e =1 e= C Masse Eektronenmasse me =1 me = kg Drehimpus Pancksche Konstante h h =1 h = Js Länge Bohrscher Radius a0 = h2 mee 2 =1 a0 = m Energie 2 E1(H) mit µ = me Hartree= mee4 = 1 Hartree = J h 2 47