Quantentheorie 2. Carsten Timm. Sommersemester 2013 Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik

Transkript

1 Quantentheorie Carsten Timm Sommersemester 03 Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik

2 Version: 4. Juni 04 L A TEX & Abbidungen: A. Lau und C. Timm

3 Inhatsverzeichnis Einführung 4. Was feht noch? Lehrbücher Formaismus der Quantenmechanik Zustände und Operatoren Dynamik Identische Teichen und zweite Quantisierung 9. Unterscheidbare Teichen N -Teichen-Hibertraum Observabe Dynamik Identische Teichen Symmetrisierte und antisymmetrisierte Zustände Observabe Zweite Quantisierung Besetzungszahdarsteung Operatoren in zweiter Quantisierung Quantenfedoperatoren Festkörpereektronen Der Fermi-See Teichen und Löcher Austausch-Wechsewirkung und Hartree-Fock-Näherung Direkte und Austausch-Wechsewirkung Hartree-Fock-Geichungen Hartree-Fock-Näherung in zweiter Quantisierung Das Wasserstoffmoekü Bosonen Reativistische Quantentheorie Speziee Reativitätstheorie Viererschreibweise und reativistische Mechanik Eektrodynamik Minimae Koppung Die Kein-Gordon-Geichung Freie Teichen Eigenschaften der Kein-Gordon-Geichung Teichen im eektromagnetischen Fed Die Dirac-Geichung Freies Teichen Eigenschaften der Dirac-Geichung

4 3.3.3 Drehimpus und Spin Wahrscheinichkeitsdichte Teichen im eektromagnetischen Fed Kein-Paradoxon Löchertheorie Nichtreativistischer Grenzfa und reativistische Korrekturen Große und keine Komponenten, Paui-Theorie Reativistische Korrekturen, Spin-Bahn-Koppung Feinstruktur des Spektrums des Wasserstoffatoms Graphen Streutheorie Grundagen Teichenzaherhatung und Optisches Theorem Partiaween und Streuphasen Streupotentiae mit endichem Träger Resonanzstreuung Integradarsteung der Streuphasen und Bornsche Näherung Couomb-Streuung Die Rutherfordsche Streuforme Partiaweenzeregung Streuung identischer Teichen Streuung von Teichen aneinander Identische Teichen Mitteung über Spin-Einsteungen Green-Funktions-Methode Integradarsteung der Streuampitude Bornsche Reihe Basisunabhängige Streutheorie Die agemeine Lippmann-Schwinger-Geichung Die S-Matrix Die T -Matrix Verbindung zur Streuampitude Anhang: Zeitabhängige Störungstheorie Bidwechse in der Quantentheorie Fermis Godene Rege Veragemeinerung auf die T -Matrix Fedquantisierung Von der kassischen Mechanik zur Quantenmechanik Lagrange-Formaismus für Feder Kanonische Quantisierung Schrödingersche Weenfunktion Eektromagnetisches Fed

5 Kapite Einführung. Was feht noch? Die Voresung Quantentheorie bidet den abschießenden Tei des Voresungszykus zur Theoretischen Physik im Bacheor-Studium. Zugeich setzt sie die Voresung Quantentheorie fort. Es stet sich die Frage, weche Themen der physikaischen Agemeinbidung durch die Quantentheorie noch nicht abgedeckt wurden. Die Quantentheorie beschäftigt sich mit der Quantenmechanik von einzenen Teichen, die sich mit im Vergeich zur Lichtgeschwindigkeit c keinen Geschwindigkeiten bewegen. Weiter wurden mit Ausnahme von einfachen Tunneprobemen nur gebundene Zustände untersucht. Daraus ergeben sich die fogenden Lücken und Mänge der Beschreibung, die wir zumindest zum Tei beheben werden:. Die Weenfunktion ψr) ist eine Funktion eines Ortes oder, in der Veragemeinerung auf N Teichen, von N Orten, ψr,..., r N ). Der bisher entwickete Formaismus enthät keine Mögichkeit, zeitiche Änderungen der Zah der Argumente von ψ zu beschreiben. Er kann daher die Erzeugung und Vernichtung von Teichen nicht beschreiben, z.b. den β-zerfa n p + e + ν e. Eine soche Beschreibung ist mittes der sogenannten zweiten Quantisierung mögich, die wir in Kap. diskutieren werden.. Die bisherige Theorie Schrödinger-Geichung) ist nicht Lorentz-invariant und ihr kassischer Grenzfa ist daher nicht mit der Spezieen Reativitätstheorie vereinbar. Daher wird die Dynamik von Teichen mit Geschwindigkeiten nahe c nicht korrekt beschrieben. Die vernachässigten reativistischen Effekte sind auch für das Verständnis der Atomniveaus und -spektren wichtig. Die Schrödinger-Geichung ergibt nicht die beobachtete Feinstruktur. Das iegt v.a. an der vernachässigten Spin-Bahn-Koppung. Diese ist auch für die Festkörperphysik von Bedeutung. In Kap. 3 werden wir Lorentz-invariante Formuierungen der Quantenmechanik kennenernen. 3. Während wir gebundene Zustände z.b. in Atomen recht gut verstehen, feht es uns bisher an einer systematischen Theorie für Streuprozesse. Diese sind aber as Basis für zahreiche experimentee Methoden sehr wichtig. In Kap. 4 beschäftigen wir uns mit der Streutheorie. 4. Wir können die Dynamik von Materieteichen quantentheoretisch beschreiben und in der zweiten Quantisierung auch deren Erzeugung von Zerfa. Dagegen kennen wir bisher nur eine kassische Theorien von Federn, insbesondere die Maxwe-Theorie des eektromagnetischen Fedes. Viee Experimente zeigen aber, dass Licht auch Teichencharakter hat, z.b. der photoeektrische Effekt. Eine Quantentheorie von Federn, insbesondere des eektromagnetischen, ist daher erforderich, Grundagen dafür soen in Kap. 5 besprochen werden.. Lehrbücher Aus dem Angebot von Lehrbüchern so hier eine keine und subjektive Auswah erwähnt werden: 4

6 W. Noting, Grundkurs Theoretische Physik, Band 5/: Quantenmechanik Methoden und Anwendungen, 6. Auf. Springer-Verag, Berin, 006): Die gesamte Reihe von Lehrbüchern ist empfehenswert. Noting egt reativ großes Gewicht auf das Einüben der Formaismen und weniger auf die ausführiche Diskussion des physikaischen Gehats. Er führt Hereitungen oft im Detai vor, wo andere Autoren nur das Ergebnis angeben. Die Darsteung ist fast immer kar. Die Bücher enthaten viee gute Übungsaufgaben mit Lösungen und Kontrofragen. Format und Layout sind ansprechend. Ein Literaturverzeichnis feht eider. Die reativistische Quantentheorie kommt reativ kurz. A. Messiah, Quantenmechanik, Band,. Auf. de Gruyter, Berin, 99) und Band, 3. Auf. de Gruyter, Berin, 990): Ein empfehenswertes kassisches Lehrbuch in zwei Bänden, wobei wir überwiegend den zweiten Band benötigen. Sehr umfangreich in der Stoffauswah und mit etwas größerem Gewicht auf Prosa as Notings Buch. Die Bücher enthaten Übungsaufgaben ohne Lösungen. L. D. Landau und E. M. Lifschitz, Lehrbuch der theoretischen Physik, Band 3: Quantenmechanik, 9. Auf. Verag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 986/99) und Band 4: Quanteneektrodynamik, 7. Auf. Verag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, 99/009): Teie der kassischen Reihe von russischen Lehrbüchern. Inzwischen etwas atmodisch in der Stoffauswah und der Darsteung. Zwischenschritte werden seten angegeben. Die Bücher enthaten recht schwierige Übungsaufgaben ohne Lösungen. Band 3 umfasst die nicht reativistische Quantenmechanik, die überwiegend schon in der Voresung Quantentheorie behandet wurde, Band 4 die reativistische Quantenmechanik, die Fedquantisierung und, wie der Tite sagt, die Quanteneektrodynamik. Band 4 geht damit deutich über den Stoff der Voresung hinaus. J. J. Sakurai, Advanced Quantum Mechanics Pearson Education, 006): Reevant für die reativistische Quantenmechanik und die Fedquantisierung. Atmodische Formuierung der reativistischen Metrik unter Verwendung der imaginären Einheit i. C. Cohen-Tannoudji, B. Diu und F. Laoë, Quantenmechanik, Band und, 4. Auf. de Gruyter, 00). R. Shankar, Principes of Quantum Mechanics,. Auf., 3. Nachdruck Springer-Verag, 008). Die zweite Quantisierung wird auch am Anfang von vieen Lehrbüchern der Vieteichentheorie und der Quantenfedtheorie diskutiert. Eine ansprechende Darsteung findet sich z.b. in H. Bruus und K. Fensberg, Many-body Quantum Theory in Condensed Matter Physics Oxford University Press, Oxford, 004)..3 Formaismus der Quantenmechanik Wir wiederhoen zunächst Materia aus der Quantentheorie, zur Vorbereitung auf den neuen Stoff..3. Zustände und Operatoren Ein Zustand eines quantenmechanischen Einteichensystems wird durch einen Vektor ψ = 0 aus einem Hibertraum H repräsentiert. Genauer beschreiben zwei Vektoren ψ und c ψ, c C, c 0, denseben Zustand, Zustände werden aso durch ganze eindimensionae, kompexe Unterräume von H Strahen) dargestet. Wir werden i.a. aber nicht zwischen Hibertraum-Vektoren und Zuständen unterscheiden. Ein Hibertraum ist ein Vektorraum über R oder C, für den ein Skaarprodukt ψ ϕ existiert und der bezügich der durch dieses Skaarprodukt induzierten Norm ψ := ψ ψ voständig ist. Der Hibertraum der Quantenmechanik ist genauer ein Vektorraum über C und ist zusätzich separabe. Fogende Begriffe sind wichtig: Voständigkeit: Jede Cauchy-Foge von Eementen aus H konvergiert in H. Eine Cauchy-Foge ψ n ist definiert durch die Bedingung ϵ > 0 : N N : m, n > N : ψ m ψ n ) < ϵ. Voständigkeit garantiert, dass Superpositionen von abzähbar vieen Vektoren aus H in H enthaten sind: c n ψ n H..) n= 5

7 Separabiität: Es existiert eine abzähbare Orthonormabasis { ϕ n }. Daraus fogt, dass sich ae Vektoren aus H as Superpositionen von abzähbar vieen Basisvektoren darsteen assen. Tatsächich haben wir es in der Quantenmechanik oft mit Systemen mit überabzähbar vieen inear unabhängigen Zuständen zu tun. Wir gehen hier nicht auf die zusätzichen mathematischen Kompikationen ein, die soche uneigentichen Zustände, die forma nicht im Hibertraum iegen, mit sich bringen. Im Zweife steen wir uns das System geeignet reguarisiert vor, z.b. durch Einschränkung auf ein großes, aber endiches Voumen, so dass eine abzähbare Basis existiert. Operatoren, genauer ineare Operatoren, sind ineare Abbidungen H H. Ein Operator A kann eindeutig durch seine Matrixeemente ϕ m A ϕ n bezügich einer Orthonormabasis { ϕ n } charakterisiert werden. Zu jedem Operator A existiert ein adjungierter Operator A, definiert durch Wichtig sind insbesondere zwei Typen von Operatoren: ψ Aϕ ψ A ϕ =: ϕ A ψ ϕ A ψ A ψ ϕ..) Hermitesche Operatoren A erfüen A = A, aso ψ Aϕ = Aψ ϕ. Er fogt ψ A ψ = ψ A ψ und damit ψ A ψ R. Observabe werden in der Quantenmechanik durch hermitesche Operatoren dargestet. Unitäre Operatoren U erfüen U = U oder äquivaent UU = U U =. Es fogt Uψ Uϕ = U Uψ ϕ = ψ ϕ,.3) Skaarprodukte und damit insbesondere die Norm von Vektoren sind aso invariant unter unitären Operatoren. Für jeden hermiteschen Operator A ist e ia ein unitärer Operator. In der Quantenmechanik werden viee Transformationen durch unitäre Operatoren dargestet, z.b. Drehungen durch Drehoperatoren e il nα/ħ. Manche Transformationen, z.b. die Zeitumkehr, assen sich nicht durch unitäre Operatoren darsteen. Wichtige Operatoren wie die Auf- und Absteigeoperatoren für Drehimpuse, L ± = L x ± il y, und für den harmonischen Osziator, b und b, sind weder hermitesch noch unitär. Sowoh für hermitesche as auch für unitäre Operatoren A existiert eine Orthonormabasis von Eigenzuständen a H zu Eigenwerten a C, die aso A a = a a.4) erfüen. Diese Orthonormabasis nennen wir die Eigenbasis von A. Eigenwerte von hermiteschen Operatoren sind immer ree, Eigenwerte von unitären Operatoren sind kompexe Zahen vom Betrag eins reine Phasenfaktoren). Nützich sind die Eigenzustände r des Ortsoperators ˆr, ˆr r = r r..5) Die Darsteung der Zustände ψ in der von den r gebideten Orthonormabasis ergibt die zugehörigen Weenfunktionen ψr) := r ψ..6) Da die Ortseigenzustände voständig sind, können wir schreiben d d r r r =.7) d ist die Dimension des Ortsraumes). Damit können wir die Zustandsvektoren durch die zugehörige Weenfunktion ausdrücken: ψ = d d r r r ψ = d d r ψr) r..8) Auch Operatoren assen sich in der Ortsbasis darsteen: A = d d r d d r r r A r r =: d d r d d r Ar, r ) r r..9) 6

8 Man kann jede Basis nehmen, z.b. von Eigenzuständen k des Impusoperators ˆp, die die Geichung ˆp k = ħk k.0) erfüen. Mit r k = / V) e ik r V ist das d-dimensionae Voumen des Systems) fogt k ψ = d d r k r r ψ = d d r e ik r ψr).) V Das ist offenbar die Fourier-Transformierte von ψr). Mögiche Ergebnisse der Messung einer Observaben, dargestet durch einen hermiteschen Operator A, sind die Eigenwerte von A. Der Mittewert der Messwerte für viee Messungen von A für denseben Anfangszustand ψ konvergiert gegen den Erwartungswert ψ A ψ. Dieser ist i.a. kein Eigenwert. Der Zustand ψ ässt sich natürich) in der Eigenbasis von A darsteen: ψ = a a a ψ. Damit können wir für den Erwartungswert schreiben ψ A ψ = ψ a a A a a ψ = ψ a a δ a a a ψ = a ψ a..) a,a a,a a a ψ ist die Wahrscheinichkeit für das Auftreten des Messwertes a bei einer Einzemessung. Nach der Messung wissen wir, dass das System im Zustand a ist wir nehmen der Einfachheit haber an, dass der Eigenwert a nicht entartet ist). Dieser scheinbar unstetige Übergang des Zustands von ψ in a Koaps ) während der Messung war und ist immer noch Gegenstand der Diskussion über die Interpretation der Quantenmechanik. Das Probem wird teiweise durch eine quantenstatistische Beschreibung vermieden..3. Dynamik Die Zeitentwickung eines Zustandes wird durch die Schrödinger-Geichung iħ d ψ = H ψ.3) dt mit dem Hamiton-Operator Hamitonian) H bestimmt. H ist ein hermitescher Operator auf H. Ist H zeitunabhängig, so autet die formae Lösung ψt) = e iht t0)/ħ ψt 0 ) =: Ut, t 0 ) ψt 0 ),.4) wie man durch Einsetzen sieht. Hier ist Ut, t 0 ) = e iht t 0)/ħ der Zeitentwickungsoperator, der offenbar unitär ist und daher insbesondere die Norm des Zustands erhät. Für einen zeitabhängigen Hamitonian schreibt man ψt) = Ut, t 0 ) ψt 0 ), aber der Zeitentwickungsoperator Ut, t 0 ) hat eine kompiziertere Form. Wir nehmen im Fogenden den Hamitonian aber as zeitunabhängig an. Eine besonders nütziche Basis wird von den Eigenzuständen des Hamitonians gebidet: H ν = E ν ν.5) ν steht für einen geeigneten voständigen Satz kompatiber Quantenzahen). Das ist die zeitunabhängige Schrödinger-Geichung. Die Zustände ν sind voständig, was sich as ν ν =.6) ν schreiben ässt. Die Eigenfunktionen von H sind die zu den Eigenzuständen gehörenden Weenfunktionen, u ν r) = r ν..7) Diese erfüen die zeitunabhängige Schrödinger-Geichung in der agemeinen Ortsdarsteung d d r Hr, r ) u ν r ) = E ν u ν r)..8) 7

9 Für den Einteichen-Hamitonian autet die Ortsdarsteung Hr, r ) = δr r ) H = ˆp + V ˆr).9) m ] [ ħ m + V r).0) der Hamitonian ist aso oka) und die zeitunabhängige Schrödinger-Geichung nimmt die bekannte Form ] [ ħ m + V r) u ν r) = E ν u ν r).) an. Man sote nicht vergessen, dass die Ortsdarsteung von H nicht dassebe ist wie der basisunabhängige) Operator H. Die Darsteung eines beiebigen Zustands in der Eigenbasis autet ψ = ν ν ν ψ = ν ν ψ ν.) }{{} Zahen und für die Weenfunktion ψr) = ν r ν ν ψ = ν ν ψ u ν r)..3) Die Eigenzustände ändern sich mit der Zeit nur in ihrer Phase, so dass sich die Form der Weenfunktion nicht ändert, νt) = e iht t0)/ħ νt 0 ) = e } ieνt t0)/ħ {{} νt 0 ),.4) Zahenfunktionen u ν r, t) = } e ieνt t0)/ħ {{} u ν r, t 0 )..5) unabhägig von r 8

10 Kapite Identische Teichen und zweite Quantisierung In diesem Kapite geht es um Systeme aus mehreren Teichen. Wir wiederhoen den zentraen Begriff identischer Teichen. Es wird sich heraussteen, dass eine Beschreibung von Systemen mit mehreren identischen Teichen im bisherigen Hibertraum-Bid mögich aber unpraktisch ist, sofern die Teichenzah erhaten ist. Die Erzeugung und Vernichtung von Teichen kann in diesem Bid gar nicht beschrieben werden. Der Ausweg ist der Formaismus der zweiten Quantisierung.. Unterscheidbare Teichen Zwei Teichen nennen wir unterscheidbar, wenn wir sie im Prinzip experimente eindeutig unterscheiden können. Das bedeutet, dass sie bezügich mindestens einer erhatenen Messgröße unterschiediche Messwerte iefern müssen, z.b. können sie unterschiediche Ladung oder Ruhemasse oder unterschiedichen Spin haben. Unterscheidbare Teichen tragen gewissermaßen ein Etikett. Wir können z.b. eindeutig sagen, dass Teichen auf Detektor A trifft und Teichen auf Detektor B; das ist eine andere Aussage as die, dass Teichen auf Detektor A trifft und Teichen auf Detektor B. N > nennen wir unterscheidbar, wenn sie paarweise unterscheidbar sind. Wir betrachten zunächst nur unterscheidbare Teichen... N -Teichen-Hibertraum Für mehr as ein Teichen brauchen wir eine zusätziche Annahme darüber, wie wir Zustände des Gesamtsystems beschreiben woen. Die formae Frage autet: Was ist der Zustandsraum für mehrere Teichen? Eine naheiegende Antwort ist fogende: Für zwei unterscheidbare Teichen ist der Hibertraum das direkte Produkt der Hiberträume der einzenen Teichen, H = H Teichen H Teichen..) Diese Geichung drückt aus, dass jedes der beiden Teichen in jedem Einteichenzustand sein kann, ganz geich in wechem Zustand sich das andere Teichen befindet. Jedes der Teichen hat einen voständigen Einteichen- Hibertraum zur Verfügung. Wir brauchen für jedes Teichen einen voständigen Satz kompatiber Einteichen- Quantenzahen, um den Vieteichenzustand eindeutig zu beschreiben. Das bedeutet nicht, dass die Zustände der beiden Teichen unkorreiert sind. Woen wir z.b. nur die Bewegung der Teichen im d-dimensionaen Raum beschreiben, so sind die beiden Einteichen-Hiberträume identisch obwoh die Teichen nicht identisch sind) und wir haben spezie H = H H. Die Veragemeinerung auf N Teichen autet offenbar Man kann zeigen, dass der Raum H N ein separaber Hibertraum über C ist. H N = H... H H }{{} N..) N-ma 9

11 Ausgehend von einer beiebigen Basis { ν } des Einteichen-Hibertraums H können wir eine Basis des Vieteichen-Hibertraums H N konstruieren, nämich die Produktbasis bestehend aus den Vektoren ν, ν,..., ν N := ν ν ν N..3) ν,..., ν N sind voständige Sätze von kompatiben Einteichen-Quantenzahen für die Teichen,..., N. Bezügich dieser Produktbasis können wir die Zustände aus H N zeregen: ψ = ν,..., ν N ν,..., ν N ψ = ν,..., ν N ψ ν,..., ν N..4) ν,...,ν N ν,...,ν N Wir definieren auch agemeine Produktzustände: Fas sich die Koeffizienten in der Form mit c n) ν n C schreiben assen, so fogt ν,..., ν N ψ = c ) ν c N) ν N.5) ψ = ν c ) ν ν ν N c N) ν N ν N..6) Aso ist ψ ein Produkt von Einteichenzuständen ψ n = ν n c n) ν n ν n und wir nennen ψ separabe oder einen Produktzustand. Ist ψ nicht separabe, so nennen wir ψ verschränkt. Für zwei Spins / ist z.b. ψ = )/ ein verschränkter Zustand. Wir müssen auch ein Skaarprodukt auf H N definieren. Die Standarddefinition für Produktvektorräume ergibt für Eemente der Produktbasis N ν,..., ν N ν,..., ν N := ν n ν n..7) Dies egt das Skaarprodukt für beiebige Eemente von H N eindeutig fest. Die Definition ist physikaisch pausibe, da verschiedene unterscheidbare Teichen nicht interferieren. Spezie können wir die Ortsbasis von H N einführen: r }{{} im. H r }{{} im. H n= r 3 r N =: r, r,..., r N H N..8)... Die zum Zustand ψ gehörende Vieteichen-Weenfunktion ist seine Darsteung bezügich dieser Basis: Dann ist ψr, r,..., r N ) := r, r,..., r N ψ..9) ψr, r,..., r N ) d d r d d r N.0) die Wahrscheinichkeit, Teichen in d d r um r, Teichen in d d r um r usw. zu finden. Wenn wir die Einteichen-Weenfunktionen der Zustände ν mit u ν r) := r ν bezeichnen, dann autet die Vieteichen-Weenfunktion ψr, r,..., r N ) = r, r,..., r N ψ = r, r,..., r N ν, ν,..., ν N ν, ν,..., ν N ψ ν,...,ν N = r ν r ν r N ν N ν, ν,..., ν N ψ ν,...,ν N = ν, ν,..., ν N ψ u ν r ) u ν r ) u νn r N )..) }{{} ν,...,ν N Zahen Hier haben wir die Definition.7) des Skaarproduktes in H N verwendet. Abschießend sei betont, dass die Wah des Produktraums mit dem Standardskaarprodukt as Zustandsraum H N für N Teichen nicht aus der Einteichen-Quantenmechanik fogt und fogen kann). Viemehr hat die Definition von H N den Charakter eines weiteren Postuats, das sich im Vergeich mit Experimenten bewähren muss. 0

12 .. Observabe Observabe soten weiterhin durch hermitesche Operatoren darstet werden, aber nun durch Operatoren auf H N. Wir betrachten zunächst Observabe A n) N, die sich nur auf ein Teichen n beziehen, etwa seinen Ort oder Impus. Der Subskript N so andeuten, dass A n) N auf H N definiert ist. Fas sich die Teichen in einem Produktzustand befinden, soten Messungen von A n) N an irgendeinem Teichen nicht von den Zuständen der übrigen beeinfusst werden. Dies erfordert für die Matrixeemente von A n) N bezügich einer Produktbasis ν, ν,..., ν N A n) N ν, ν,..., ν N = ν ν ν n ν n ν n A n) ν n ν n+ ν n+ ν N ν N = δ ν ν δ ν n ν n ν n A n) ν n δ νn+ ν n+ δ ν N ν N,.) wobei A n) der zur Observaben gehörende Operator auf dem Einteichen-Hibertraum von Teichen n ist. Durch diese Matrixeemente ist der Operator aber eindeutig festgeegt, A n) N = ) n ) A n) n+) N),.3) wobei n) der identische Operator auf dem Einteichen-Hibertraum von Teichen n ist. Damit ist die Wirkung von A n) N auf beiebige Zustände, nicht nur Produktzustände, festgeegt. Es ist übich, wenn auch ungenau, die Operatoren A n) N und An) miteinander zu identifizieren. Wir werden daher i.a. den Subskript N wegassen. Aus der Darsteung fogt sofort, dass Observabe zu unterschiedichen Teichen kommutieren, [A n) N, ) Bn N ] = 0 für n n. Observabe, die sich auf mehr as ein Teichen beziehen, müssen entsprechend durch hermitesche Operatoren repräsentiert werden, die in mindestens zwei Faktorräumen vom identischen Operator verschieden sind. Weiter gibt es keine prinzipieen Einschränkungen. As Beispie betrachten wir die Couomb-Energie von zwei Teichen n < n mit den Ladungen q und q. Der entsprechende Operator ist V n,n ) C = qq d 3 s n d 3 s n 4πϵ 0 s n s n ) n ) s n s n n+) n ) s n s n n +) N)..4) Wie im Fa von Einteichenoperatoren ist es offensichtich vorteihaft, die Identitäten zu unterdrücken. Daher schreiben wir V n,n ) C = qq d 3 s n d 3 s n 4πϵ 0 s n s n s n s n s n s n..5) Um zu zeigen, dass dieser Operator vernünftige Ergebnisse iefert, betrachten wir seinen Erwartungswert in einem Produktzustand. Wir betrachten nur zwei Teichen n =, n =, die Zustände der übrigen spieen ja keine Roe. Den Produktzustand schreiben wir in der Ortsbasis as ψ ψ = d 3 r d 3 r ψ r ) ψ r ) r r..6) Dann autet der Erwartungswert ψ ψ V,) C ψ ψ = qq d 3 r d 3 r d 3 s d 3 s d 3 r d 3 r 4πϵ 0 r r s s s s ) r r = qq 4πϵ 0 = qq 4πϵ 0 d 3 r d 3 r d 3 s d 3 s d 3 r d 3 r ψ r ) ψ r ) ψ r ) ψ r ) s s ψ r ) ψ r ) ψ r ) ψ r ) s s r s s r r s s r d 3 r d 3 ψ r ) ψ r ) r,.7) r r wobei wir mehrfach die Orthonormaitätsreation r r = δr r ).8)

13 für Ortseigenzustände verwendet haben. Das Ergebnis für Produktzustände ist jedenfas das erwartete Couomb- Gesetz, was zeigt, dass der kassische Grenzfa korrekt ist. Für verschränkte Zustände ergibt sich dagegen kein kassisch verständiches Ergebnis...3 Dynamik Soange die N Teichen nicht wechsewirken, sote die Dynamik eines Teichens von aen anderen unabhängig sein. Fas sich die Teichen in einem Produktzustand ψ = ψ ψ ψ N befinden, sote für jedes Teichen n =,..., N die Einteichen-Schrödinger-Geichung iħ d dt ψ n = H n) ψ n.9) mit dem Hamitonian H n) geten. Wie sieht dann der Hamitonian H des N-Teichen-Systems aus? H ist ein Operator auf H N, der im Faktorraum zu Teichen n wie H n) wirkt. Aber H n) hat keine Wirkung auf die anderen Teichen. Die Antwort autet forma H = N ) n ) H n) n+) N)..0) n= Jeder Term in der Summe hat wieder die Form einer Einteichenobservaben, die auf den gesamten N-Teichen- Hibertraum trivia ausgedehnt wurde. Wie im vorigen Abschnitt ist es übich, den Operator H n) auf H stischweigend mit dem Operator ) n ) H n) n+) N) auf H N zu identifizieren und einfach zu schreiben N H = H n)..) Für Produktzustände ψ ist die Schrödinger-Geichung n= äquivaent zu den N Geichungen.9). Beweis:. ) Unter der Voraussetzung von.9) git iħ d dt ψ = iħ d dt ψ ψ ψ N iħ d ψ = H ψ.) dt = n = n = n ψ ψ n iħ d dt ψ n ) ψ n+ ψ N ψ ψ n H n) ψ n ) ψ n+ ψ N H n) ψ ψ ψ N = H ψ..3). ) Aus.) fogt ψt) = e ih t t 0)/ħ ψt 0 ) = exp [ i ħ n ] H n) t t 0 ) ψ t 0 ) ψ N t 0 )..4) Nun kommutieren H m) und H n) für m n miteinander und daher ist ψt) = [ exp i ] ħ Hn) t t 0 ) ψ t 0 ) ψ N t 0 ) = n n [ ] e ihn) t t 0 )/ħ, ψ n t 0 )..5) Wir können aso ψt) schreiben as ψt) = ψ t) ψ N t).6)

14 mit ψ n t) = e ihn) t t 0 )/ħ ψ n t 0 ),.7) was äquivaent zu G..9) ist. Agemeine, nicht unbedingt separabe, Zustände ψ können wir nach einer Produktbasis { ν ν ν N } entwicken. Die Zeitentwickung jedes Einteichenzustands ν n ist durch.9) bestimmt, so dass auch die Zeitentwickung von ψ eindeutig bestimmt ist. Wird sie agemein durch die Vieteichen-Schrödinger-Geichung.) korrekt beschrieben? Ja, denn sonst ieße sich in der Entwickung nach der Produktbasis zumindest ein Produkt-) Zustand finden, der.) nicht erfüt. Wir hatten aber gezeigt, dass.) für Produktzustände aus.9) fogt. Es ergibt sich ein Widerspruch. Bisher haben wir wechsewirkungsfreie Teichen betrachtet. Jetzt nehmen wir eine Wechsewirkung hinzu. Mit Wechsewirkung meinen wir, dass die Dynamik eines Teichens von den Zuständen der übrigen abhängt. Der Hamitonian für ein wechsewirkendes System muss von der Form H = n Hn) abweichen, denn diese ist, wie eben gezeigt, äquivaent zu unabhängiger Dynamik der einzenen Teichen. Der Hamitonian für ein wechsewirkendes N-Teichen-System hat aso agemein die Form H = N n= H n) 0 + V,.8) wobei V 0 ein hermitescher Operator auf H N ist, der in mehr as einem Faktorraum generisch in aen Faktorräumen) vom identischen Operator verschieden ist. As Beispie nehmen wir die Couomb-Wechsewirkung. Gemäß.5) autet die Couomb-Energie von N Teichen geicher Ladung q, V C = V n,n ) C = q d 3 s n d 3 s n 4πϵ 0 s n s n s n s n s n s n n<n n<n = q d 3 s n d 3 s n 4πϵ 0 s n s n s n s n s n s n..9) n n Die Beschränkung auf n < n bzw. der Faktor / verhindern Doppezähung. Mehrteichensysteme mit Wechsewirkung assen sich nur in sehr einfachen Fäen exakt ösen.. Identische Teichen Bei der Diskussion der Quantenmechanik für Mehrteichensysteme sind wir nicht auf Hinweise dafür gestoßen, dass diese Beschreibung unvoständig sein könnte. Es sei aber daran erinnert, dass die Konstruktion des N- Teichen-Zustandsraums Postuatcharakter hat und daher einer experimenteen Überprüfung bedarf. Und dabei zeigen sich Schwierigkeiten: Die Spektren von Atomen und Ionen mit mehreren Eektronen assen sich nur unter der Annahme verstehen, dass zwei Eektronen nicht in aen Quantenzahen übereinstimmen können Paui-Prinzip), wobei eine zusätziche zweiwertige Quantenzah der Spin) auftritt. Ein soches Verbot fogt nicht aus der bisher entwicketen Theorie. Eektronen in Metaen tragen für hinreichend niedrige Temperaturen typischerweise bis oberhab von Zimmertemperatur!) vernachässigbar zur spezifischen Wärme bei. Das ist nicht zu verstehen, wenn Eektronen unterscheidbare Teichen im Sinne des vorigen Abschnitts sind. Das Phänomen der Bose-Einstein-Kondensation, z.b. in katen Gasen, ässt sich mit der bisherigen Theorie nicht verstehen. Die Probeme treten auf, wenn mehrere Teichen derseben Art vorhanden sind. Das ist ein Hinweis darauf, dass wir die Annahme der Unterscheidbarkeit hinterfragen müssen. 3

15 In Umkehrung der Definition unterscheidbarer Teichen nennen wir zwei Teichen identisch, wenn wir sie experimente aus Prinzip nicht eindeutig unterscheiden können. Das bedeutet, dass die Teichen in aen invarianten Eigenschaften übereinstimmen. Invariante Eigenschaften sind soche, die sich nicht zeitich ändern. Aso sind Ort und Impus eines Teichens sicher keine invarianten Eigenschaften. Ruhemasse, Ladung und Spin sind es hingegen. Dies zeigt aber, dass die Ununterscheidbarkeit von Teichen nicht unabhängig von der experimenteen Situation ist: Zwei Atomkerne desseben Nukids im Grundzustand sind ununterscheidbar. Wenn wir aber mit Gammastrahung hinreichend hoher Energie einen der Kerne anregen, so dass er z.b. einen anderen Kernspin erhät, werden sie unterscheidbar. Eementare Teichen wie Eektronen sind dagegen ununterscheidbar, soange sie überhaupt existieren. Man kann bei einem Streuexperiment mit zwei Eektronen aus Prinzip nicht entscheiden, weches herauskommende Eektron wechem ursprüngichen entspricht. e e e e Das ist ähnich zum Doppespatexperiment. Dort ergibt sich die eektronische Weenfunktion hinter dem Doppespat durch die Interferenz der von den beiden Spaten ausgehenden Ween. Das git aber nur, wenn wir nicht messen, durch wechen Spat die Eektronen fiegen. Aso: Wenn wir nicht zwischen den beiden Wegen unterscheiden obwoh wir es hier könnten), ist die Lösung der Schrödinger-Geichung die Superposition der Lösungen für die beiden Wege. Per Anaogieschuss vermuten wir, dass die Lösung für die Streuung zweier Eektronen aneinander, in wechem Fa wir gar nicht zwischen den beiden Wegen unterscheiden können, ebenfas die Superposition der beiden Mögichkeiten ist: e e = + e e Weche Konsequenzen hat die Ununterscheidbarkeit für die Weenfunktion? Der Zustand muss geich beiben, wenn zwei Teichen vertauscht werden. Die Weenfunktion darf sich dabei aso nur um einen Zahenfaktor λ C ändern: ψr,..., r k,..., r j,..., r N ) = λ ψr,..., r j,..., r k,..., r N )..30) j k Zweimaige Vertauschung ist, zumindest in drei oder mehr) Raumdimensionen, die Identitätsoperation, aso git ψr,..., r j,..., r k,..., r N ) = λ ψr,..., r j,..., r k,..., r N )..3) j k 4

16 Damit ergeben sich λ = λ = ±.3) as einzige Mögichkeiten. Die N-Teichen-Weenfunktion muss demnach entweder symmetrisch in aen Paaren von Argumenten tota symmetrisch) oder antisymmetrisch in aen Paaren von Argumenten tota antisymmetrisch) sein. Für λ = + symmetrischer Fa) nennen wir die Teichen Bosonen, für λ = antisymmetrischer Fa) Fermionen. In zwei Raumdimensionen git das übrigens nicht: Hier bewegt sich bei der zweimaigen Vertauschung jedes Teichen genau einma um das andere herum. In zwei Dimensionen kann man die Bahnen, die die beiden Teichen beschreiben, nicht stetig so verformen, dass sie nicht mehr umeinander herum aufen. Dazu müsste man eine Bahn durch das andere Teichen hindurch schieben, was eine quaitative Änderung der Bahnen darstet. Daher ist in zwei Dimensionen die Anzah der zweifachen Vertauschungen eine topoogische Invariante sie kann durch stetige Verformung der Bahnen nicht geändert werden. Das ist in drei und mehr) Dimensionen anders, hier kann man die Bahnen immer zu einem Punkt zusammenziehen. Daher muss in zwei Dimensionen der Zustand, der durch zweifache Vertauschung entsteht, nicht mit dem ursprüngichen Zustand identisch sein. Dann fogt, dass λ zwar aufgrund der Normiertheit der Zustände den Betrag eins haben muss, aber eine beiebige Phase haben kann. Man spricht von Anyonen. In einer Dimension kann man ebenfas keine Einschränkungen an den Faktor λ hereiten, außer die aus der Normiertheit fogende Bedingung λ =. In einer Dimension müssen sich Teichen bei der Vertauschung mindestens einma an demseben Ort befinden, man kann daher keine topoogischen Argumente anwenden. Das wichtige Spin-Statistik-Theorem, das wir hier nicht beweisen, zeigt, dass die Symmetrie oder Antisymmetrie der Weenfunktion in drei Raumdimensionen mit dem Spin der Teichen zusammenhängt: Bosonen: λ = +, ganzzahiger Spin S = 0,,,..., Fermionen: λ =, habzahiger Spin: S =, 3, 5,... Lorentz-Invarianz ist eine der Voraussetzungen des Spin-Statistik-Theorems, es kann schon deshab nicht im Rahmen der bisher entwicketen nicht reativistischen Quantenmechanik bewiesen werden. Eementare Materieteichen sind Fermionen: Quarks und Leptonen. Eementare Bosonen vermitten Wechsewirkungen Photonen, W ± und Z 0, Guonen, hypothetische Gravitonen) und treten as Anregungen des Higgs- Fedes auf, dass im Zusammenhang mit den Teichenmassen postuiert wurde. Zusammengesetzte Materieteichen können Fermionen z.b. Baryonen) oder Bosonen z.b. Mesonen) sein. Effektive Anregungen in kondensierter Materie haben oft, aber nicht immer, bosonischen Charakter Phononen, Magnonen)... Symmetrisierte und antisymmetrisierte Zustände Die oben gefundene Darsteung ψr, r,..., r N ) = ν,...,ν N ν, ν,..., ν N ψ u ν r ) u νn r N ).33) ist für identische Teichen probematisch. Diese Weenfunktion erfüt i.a. weder die fermionische noch die bosonische Reation für Vertauschungen der r j. Diese Reationen führen auf Nebenbedingungen für die Koeffizienten ν, ν,... ν N ψ. Es ist wünschenswert, diese Bedingungen geich in die Basis einzubauen. Das kann man durch Anti-) Symmetrisierung erreichen: Wir definieren u ν r ) u ν r ) u ν r N ) Ŝ ± u ν r ) u νn r N ) := N! n! n N! u ν r ) u ν r ) u ν r N )......,.34) u νn r ) u νn r ) u νn r N ) ± wobei N! n! n N!) / ein Normierungsfaktor dazu geich mehr) und... die Determinante ist: Ŝ u ν r ) u νn r N ) = N! n! n N! 5 p S N sgnp) u ν r p ) u νn r pn ),.35)

17 wobei S N die Gruppe aer Permutationen p, p,..., p N ) der N Eemente,,..., N) ist die sogenannte Symmetrische Gruppe) und sgnp) das Vorzeichen der Permutation p. [Beispie: sgn,, 3) =, da eine Vertauschung nötig ist und eins ungerade ist. Man schreibt auch ) p.] Der Ausdruck in G..35) heißt Sater- Determinante. Die Determinante einer Matrix ist bekanntich antisymmetrisch unter Vertauschung zweier Spaten der Matrix, wie auch G..35) zeigt. Daher ist die Funktion Ŝ u ν r ) u νn r N ) tota antisymmetrisch. Das untere Vorzeichen ) ist demnach für Fermionen zu wähen. Wir sehen sofort, dass für zwei Fermionen in geichen Einteichenzuständen, z.b. ν j = ν k, die j-te und k- te Zeie der Determinante geich sind. Die Zeien sind aso inear abhängig. Die Determinante verschwindet in diesem Fa,... = 0. Nu ist aber kein Zustand. Es gibt aso keine Zustände mit ν j = ν k für j k. Das ist die übiche Formuierung des Paui-Prinzips. Sie fogt aso aus der fundamentaeren Bedingung der Antisymmetrie der Weenfunktion. Weiterhin erkennen wir, dass für zwei Fermionen am geichen Ort, z.b. r j = r k, die j-te und k-te Spate der Determinante geich sind. Aso finden wir, dass sich zwei Fermionen nicht an demseben Ort befinden können, unabhängig von ihren Zuständen. Andererseits ist... + die sogenannte Permanente: Ŝ + u ν r ) u νn r N ) = N! n! n N! p S N u ν r p ) u νn r pn ),.36) d.h. die vorzeichenose Determinante. Die Geichung zeigt, dass die Funktion Ŝ+ u ν r ) u νn r N ) tota symmetrisch ist. Sie git aso für Bosonen. Wir haben die anti-) symmetrisierten Zustände in der Ortsdarsteung eingeführt, da die Bedeutung von Symmetrie bzw. Antisymmetrie unter Vertauschung hier am anschauichsten ist. Die Argumente übertragen sich aber praktisch unverändert auf beiebige Einteichenbasen: Zunächst muss für jeden Zustand ψ identischer Teichen geten ν,..., ν k,..., ν j,..., ν N ψ = λ ν,..., ν j,..., ν k,..., ν N ψ.37) und daher λ =. Zu einer beiebigen Einteichenbasis { ν } definieren wir anti-) symmetrisierte N-Teichen-) Basiszustände ν ) ν ) ν N) ν ) ν ) ν N) Ŝ ± ν, ν,..., ν N := N! n! n N!......,.38) ν N ) ν N ) ν N N) wobei hier der Superskript j) die Teichen numeriert. Dieser Superskript ist redundant, wenn wir die Reihenfoge der Faktoren in ν p ν p ν pn nicht verändern. Wir begründen jetzt den Normierungsfaktor N! n! n N!) / der anti-) symmetrisierten Zustände. Hier ist n ν die Besetzungszah des Einteichenzustands ν, d.h., n ν gibt an, wie oft ν in {ν, ν,...} vorkommt. Für Fermionen kann das natürich nur gar nicht oder einma sein, so dass sich der Vorfaktor zu / N! vereinfacht. Es sei daran erinnert, dass ν i für einen voständigen Satz von kompatiben Einteichenquantenzahen steht. Fas keine zwei ν i übereinstimmen erzwungen für Fermionen), ist die Determinante bzw. Permanente in.38) eine Superposition von N! orthonormaen Zustandsvektoren. Daher ergibt sich für diesen Fa sofort ein Normierungsfaktor von / N!. Jedoch können für Bosonen Quantenzahen mehrfach vorkommen. Die Vertauschung von Teichen mit identischen Quantenzahen ässt den Zustandsvektor aber unverändert. Kommt ν i z.b. n i -ma vor, so biden die Terme in der Permanente Gruppen von n i! identischen Vektoren, die durch soche Vertauschungen verknüpft sind. Diese werden ae mit positivem Vorzeichen addiert. Aso besteht die Permanente aus N!/n! n N!) orthogonaen Vektoren der Länge n! n N!. Deren Summe hat die Norm N! n! n N! n! n N!) = N! n! n N!,.39) was den Normierungsfaktor erkärt. ± 6

18 Da die Anti-) Symmetrisierung eines anti-) symmetrischen Zustands diesen nicht ändert, kann sich Ŝ ± ν, ν,..., ν N von Ŝ± ν, ν,..., ν N nur durch einen Zahenfaktor unterscheiden. Man prüft eicht nach, dass dieser geich eins ist. Da diese Eigenschaft für ae Basisvektoren ν, ν,..., ν N git, fogt sie für ae ψ H N. Aso sind die Operatoren Ŝ+, Ŝ idempotent: Ŝ ± = Ŝ±..40) Man prüft auch eicht nach, dass Ŝ± hermitesch sind. Damit sind Ŝ± Projektionsoperatoren. Da für N ein nicht verschwindender Vektor nicht zugeich tota symmetrisch und tota antisymmetrisch sein kann, git Ŝ + Ŝ = Ŝ Ŝ+ = 0,.4) die beiden Operatoren projizieren aso auf orthogonae Unterräume. Dabei ist Ŝ+H N Ŝ H N ) der Unterraum der tota symmetrischen antisymmetrischen) Zustände, d.h. der für identische Bosonen Fermionen) mögichen Zustände. Hat der Einteichen-Hibertraum H endiche Dimension d, so sind die Dimensionen der Vieteichen- Hiberträume wir geben auch die entsprechende kombinatorische Probemsteung an): dimh N ) = d N N unterscheidbare Kugen in d Urnen), ) N + d dimŝ+h N ) = N ununterscheidbare Kugen in d Urnen), N ) d dimŝ H N ) = N ununterscheidbare Kugen in d Urnen, wobei jede Urne höchstens eine Kuge N enthaten kann). Für N = git d + dimŝ+h ) + dimŝ H ) = ) + ) d = d + )! d )! + d! dd + ) + dd ) = = d = dimh ), d )!.4) daher spannen Ŝ+H und Ŝ H den gesamten Raum H auf. Für N 3 git das nicht, z.b. ist dimŝ+h 3 ) + dimŝ H 3 ) = d3 3 + d 3 < d3 = dimh 3 )..43) Für große Teichenzahen N wird H N exponentie größer hinsichtich der Dimension) as Ŝ+H N und dieser as Ŝ H N. Wir können jetzt nach den anti-) symmetrisierten Basiszuständen entwicken: ψ = C ν,...,ν N Ŝ ± ν,..., ν N..44) ν,...,ν N In Ortsdarsteung erhaten wir entsprechend Paui-Prinzip ψr, r,..., r N ) = ν,...,ν N C ν,...,ν N Ŝ ± u ν r ) u νn r N )..45) Wir kommen nochmas auf das Paui-Prinzip zurück und betrachten spezie Spin-/-Teichen, z.b. Eektronen. Ihr Einteichen-Hibertraum ässt sich as Produkt schreiben, wobei H Ort den Ort des Teichens und H Spin seinen Spin betrifft. H = H Ort H Spin.46) H Spin = span, ).47) 7

19 ist für den Spin / zweidimensiona. Ist { ν } eine Einteichenbasis von H Ort, so ist die Produktbasis { ν,, ν, }.48) eine Einteichenbasis von H. Den räumichen Antei können wir in der Ortsdarsteung schreiben: r ν, σ =: u ν r) σ mit σ =,..49) Aus der Einteichenbasis können wir wie beschrieben eine Vieteichenbasis as Produktbasis konstruieren. Nun muss jeder Zustand identischer Fermionen tota antisymmetrisch sein:..., ν k, σ k,..., ν j, σ j,... ψ =..., ν j, σ j,..., ν k, σ k,... ψ..50) Wir betrachten nun spezie zwei identische Spin-/-Teichen, ν, σ, ν, σ ψ = ν, σ, ν, σ, ψ..5) Oft haben wir es mit Situationen zu tun, in denen der Vieteichenzustand eine bestimmte Parität symmetrisch oder antisymmetrisch) bezügich Vertauschung beschränkt auf die räumichen Freiheitsgrade hat. Das ist z.b. der Fa, wenn die räumichen Weenfunktionen der beiden Teichen übereinstimmen. Agemein gibt es zwei Mögichkeiten: Der räumiche Zustand ist symmetrisch, Da der Gesamtzustand antisymmetrisch sein muss, siehe.5), fogt ν, σ, ν, σ ψ = ν, σ, ν, σ ψ..5) ν, σ, ν, σ ψ = ν, σ, ν, σ ψ,.53) der Spin-Zustand ist aso antisymmetrisch. Beispiee sind, in Ortsdarsteung für den räumichen Antei, ur )ur ) ur )vr ) + vr )ur ) vr )vr ),.54) wobei u und v orthonormae Weenfunktionen sind. Diese Zustände sind ae symmetrisch im Ortsraum und antisymmetrisch im Spin. Der Gesamt-Spin ist 0. Die antisymmetrische Kombination zweier Spins / nennt man Singuett-Zustand, wei es nur eine soche Kombination gibt. Der erste oder dritte) Fa in.54) beschreibt offenbar die Situation, dass sich zwei Eektronen in demseben Orbita befinden, z.b. im s-orbita für den S-Grundzustand von Heium. Der räumiche Zustand ist antisymmetrisch, Dann fogt anaog der Spin-Zustand ist aso symmetrisch. Beispiee sind ur )vr ) vr )ur ) ν, σ, ν, σ ψ = ν, σ, ν, σ ψ..55) ν, σ, ν, σ ψ = ν, σ, ν, σ ψ,.56) +..57) Diese Zustände sind ae antisymmetrisch im Ortsraum und symmetrisch im Spin. Der Gesamt-Spin ist. Die symmetrischen Kombinationen zweier Spins / nennt man Tripett-Zustände, wei es drei davon gibt. 8

20 Agemein git: der Singuett- Tripett-) Zustand zweier Eektronen hat eine symmetrische antisymmetrische) räumiche Weenfunktion. Es fogt die aus der Schue und den Einführungsvoresungen bekannte Formuierung des Paui-Prinzips: Zwei Eektronen können nicht zugeich im seben Spin- und Ortszustand sein. Es sei angemerkt, dass ein Mehrteichenzustand keine definierte Parität unter Vertauschungen ausschießich im Ortsraum oder im Spin haben muss. Zum Beispie ist ur )vr ) vr )ur ).58) ein eraubter, wei antisymmetrischer, Zustand für zwei identische Eektronen. Er ist aber weder symmetrisch noch antisymmetrisch unter Vertauschung der Ortskoordinaten. Man kann sagen, dass Ort und Spin der beiden Eektronen verschränkt sind... Observabe As nächstes woen wir Observabe betrachten, insbesondere den Hamitonian. Die Diskussion von Observaben für unterscheidbare Teichen ist auch für identische Teichen gütig, nur müssen sie mit der Ununterscheidbarkeit der Teichen vereinbar sein. Observabe dürfen natürich nicht gestatten, identische Teichen zu unterscheiden. Wir betrachten konkret Hamitonians von der Form H = T + V = N i= p i m + V r,..., r N ).59) mit p i = iħ i iħ / r in Ortsdarsteung. Wir haben hier angenommen, dass kein Vektorpotentia voriegt. Identische Teichen müssen natürich identische Massen haben, so dass T symmetrisch unter Vertauschung von Teichen ist. Anaog muss V symmetrisch unter Vertauschung sein, sonst wären die Teichen experimente unterscheidbar. Damit ist der gesamte Hamitonian symmetrisch. Beachte, dass diese Aussage für Bosonen und für Fermionen git. V kann i.a. Beiträge enthaten, die von,, 3,... Einteichenzuständen abhängen. Wir zeregen V nach diesen Beiträgen, V = V + V + V ) Physikaisch ist V das äußere Potentia, V ist die Zwei-Teichen-Wechsewirkung, V 3 die Drei-Teichen- Wechsewirkung usw. Wir schreiben in Ortsdarsteung V r,..., r N ) := r,..., r N V r,..., r N = V r i ) + V r i, r j ) + 3! i ij i j ijk i j k i V 3 r i, r j, r k ) +...,.6) was expizit symmetrisch ist. Die Faktoren /n! korrigieren die Mehrfachzähung derseben Wechsewirkung. Beachte, dass wir z.b. Terme der Art V r i, r i ) ausschießen. Soche Terme sind bereits in V enthaten. Beispie: Die Couomb-Wechsewirkung autet für Teichen mit der Ladung ±e, V r i, r j ) = V C r i, r j ) = 4πϵ 0 e r i r j..6) In der Praxis werden wir es nicht mit n-teichen-wechsewirkungen für n > zu tun haben. Einteichenobservabe Wir woen den Hamitonian bezügich einer beiebigen Einteichenbasis { ν } ausdrücken können. Für das Potentia finden wir V V ) i = ν,..., ν N ν,..., ν N V ) i ν,..., ν N ν,..., ν N..63) i i ν,...,ν N ν,...,ν N 9

21 Für Fermionen soen die Summen über Einteichenzustände nur mit dem Paui-Prinzip vereinbare Kombinationen enthaten, d.h. ν i ν j und ν i ν ) j für i j. V i wirkt hier nur auf den Zustand des i-ten Teichens, aso auf ν i, ν i. Die anderen Summen können daher ausgeführt werden:... = ν i ν i V ) i ν i ν i..64) i ν i Wie oben fassen wir V ) i, eigentich ein Operator auf H N, jetzt as Operator auf H auf. Weiter ergibt sich... = ν i ν i V ) i ν i ν i = V ) ν i ν ν i ν i.65) i i i ν i ν i ν i ν i ν i mit V ) ν iν := ν i i V ) i ν i = d 3 r u ν i r) V r) u ν i r)..66) Wäht man die Ortsbasis, ν = r, so erhät man entsprechend V = d 3 r i d 3 r i V ) r i, r i) r i r i.67) i mit V ) r i, r i) = d 3 r δr r i ) V r) δr r i) = δr i r i) V r i ),.68) da die Eigenfunktionen des Ortsoperators δ-funktionen sind. Eingesetzt ergibt sich V = d 3 r i V r i ) r i r i..69) i Diese Hereitung funktioniert für ae Einteichenobservaben A i), man erhät entsprechende Ausdrücke. Die kinetische Energie T i) des Teichens i ist sicherich eine soche Obserabe. Für die gesamte kinetische Energie erhaten wir aso T = ν i ν i T i ν i ν i = T νiν ν i ν i i.70) i i mit ν iν i T νi ν i := ν i T i ν i = ν iν i d 3 r u ν i r) T r, p = iħ ) u ν i r)..7) In Abwesenheit eines Vektorpotentias git einfach T r, p = iħ ) = ħ /m, aso T νiν i = ħ d 3 r u ν m i r) u ν i r) = + ħ d 3 r u ν m i r) u ν i r),.7) wobei wir im etzten Schritt eine partiee Integration ausgeführt haben, um einen symmetrischeren Ausdruck zu erhaten. In der Ortsbasis erhaten wir T = d 3 r i d 3 r i T r i, r i) r i r i.73) i mit T r i, r i) = ħ m = ħ m d 3 r δr r i ) δr r i) d 3 r δr r i ) i) δr r i) = ħ m i) δr i r i).74) 0

22 wir schreiben i / r i und i / r i ) und schießich T = ħ d 3 r i d 3 r [ i m i ) δr i r i) ] r i r i i = ħ d 3 r i d 3 r i δr i r m i) i) r i r i i = ħ d 3 r i r i i r i m i = + ħ d 3 r i i r i i r i,.75) m i wobei wir mehrfach partie integriert haben. Diese Ortsdarsteung ist für die kinetische Energie i.a. nicht sehr nützich. Wechsewirkungsterme, 3,...-Teichen-Terme enthaten, 3,... Bra- und Ket-Vektoren. Zum Beispie ist mit V = ij i j ν i ν j ν i ν j ν i ν j ν j ν i V ) ij ν i ν j ν j ν i = V ) ν i ν j ν := ν i j ν i V ) ν ij ν i ν j = j ij i j ν i ν j ν i ν j V ) ν i ν j ν ν i i ν j ν j ν i.76) ν j d 3 r i d 3 r j u ν j r j )u ν i r i )V r i, r j )u ν i r i )u ν j r j )..77) Beachte die Reihenfoge der Indizes ν i, ν j Konvention). In der Ortsbasis erhaten wir V = d 3 r i d 3 r i d 3 r j d 3 r j V ) r i, r j ; r i, r j) r i r j r j r i.78) mit und schießich V ) r i, r j ; r i, r j) = i j d 3 R i d 3 R j δr j r j )δr i r i ) V R i, R j ) δr i r i)δr j r j) = δr i r i) δr j r j) V r i, r j ).79) V = d 3 r i d 3 r j V r i, r j ) r i r j r j r i..80) i j Für die Couomb-Wechsewirkung aus.6) erhaten wir spezie V C = e d 3 r i d 3 r j 4πϵ 0 r i r j r i r j r j r i,.8) i j was mit.9) übereinstimmt. Wie gesagt müssen ae Terme im Hamitonian H symmetrisch unter Vertauschung identischer Teichen sein. Man kann zeigen, dass H daher die Symmetrie oder Antisymmetrie von Zuständen erhät, d.h. H Ŝ± ν,..., ν N ist anti-) symmetrisch. Es fogt Ŝ ± H Ŝ± ν,..., ν N = H Ŝ± ν,..., ν N = H Ŝ± Ŝ± ν,..., ν N.8) für ae Basiszustände und daher für ae Zustände aus Ŝ±H N. Damit git auf dem Raum eraubter Zustände die Operatoridentität Ŝ ± H = H Ŝ± [Ŝ±, H] = 0..83)

23 Beachte, dass wir die Terme im Hamitonian oben durch Einteichen-Bras und Kets ausgedrückt haben, nicht in einer Basis expizit anti-) symmetrischer Vieteichenzustände, was das eigentiche Zie war. Das macht die Auswertung von z.b. H Ŝ± ν,..., ν N für einen konkreten Fa mühsam. Wir werden im Fogenden H durch anti-) symmetrisierte Zustände ausdrücken, verwenden dafür aber eine günstigere Darsteung dieser Zustände..3 Zweite Quantisierung Die bisher entwickete Veragemeinerung der Quantenmechanik auf N-Teichen-Systeme ist aus mehreren Gründen ungünstig: Praktische Rechnungen mit den anti-) symmetrisierten Zuständen sind mühsam. Die Zustände enthaten eine feste Teichenzah N. Teichenerzeugung und -vernichtung können nicht beschrieben werden. Ebenfas wegen der festen Teichenzah N ist der Formaismus auch nicht idea, wenn die Teichenzah zwar erhaten ist, wir aber mehr as einen mögichen Wert betrachten woen, z.b. für statistische Aussagen über großkanonische Ensembes. Diese Mänge werden vom Formaismus der Zweiten Quantisierung behoben. Dabei wird im Übrigen gar nichts zweima quantisiert. Es handet sich um eine irreführende historische Bezeichnung; wir werden auf ihren Ursprung später zurückkommen. Wir müssen zunächst einen Zustandsraum konstruieren, der Zustände mit Teichenzahen N = 0,,... enthät. H N für festes N reicht aso nicht. Wir führen den Fock-Raum ein: F := H 0 H H....84) Der Fock-Raum ist die direkte Summe der H N, d.h. die Basis von F ist die Vereinigungsmenge der Basen der H N, N=0 Basis von H N). Der Nu-Teichen-Hibertraum H 0 ist besonders einfach: Er enthät nur den einen Zustand ohne Teichen. Dieser wird Vakuumzustand oder Vakuum) genannt und oft mit 0 bezeichnet. H 0 ist aso ein eindimensionaer Hibertraum, aufgespannt durch 0. Der normierbare Zustandsvektor 0 darf nicht mit dem Nuvektor 0 im Hibertraum verwechset werden.).3. Besetzungszahdarsteung Bei der Zweiten Quantisierung beschreiben wir Vieteichenzustände durch Angabe der Zah von Teichen in bestimmten Einteichenzuständen. Wir definieren Besetzungszahoperatoren ˆn ν durch ihre Darsteung in der Basis der bekannten anti-) symmetrisierten Vieteichenzustände. Diese Zustände soen sämtich Eigenzustände von ˆn ν sein und die fogende Eigenwertgeichung erfüen: ˆn ν Ŝ ± ν,..., ν N = n ν Ŝ ± ν,..., ν N,.85) wobei n ν die Anzah des Auftretens von ν in der Foge {ν,..., ν N } ist. Mit anderen Worten, n ν beschreibt, wieviee Teichen im Einteichenzustand ν sind. Wegen der Anti-) Symmetrisierung ist der Basiszustand Ŝ± ν,..., ν N durch Angabe der Besetzungszahen für ae mögichen Einteichenzustände eindeutig bestimmt. Ein Phasen- oder agemeiner ein Normierungsfaktor ist dadurch nicht festgeegt, ändert aber nicht den Zustand. Wir schreiben für die normierten) Basiszustände n, n,... mit n + n +... = N..86) Diese nennt man Besetzungszahzustände und die Darsteung von Operatoren usw. in dieser Basis Besetzungszahdarsteung. Es ist wichtig, sich karzumachen, dass es dieseben anti-) symmetrisierten Basiszustände sind wie im vorigen Abschnitt; die expiziten Vektoren unterscheiden sich höchstens um einen Zahenfaktor. Sie werden nur anders bezeichnet.

24 Die Eigenwertgeichung.85) autet nun einfach ˆn ν n, n,... = n ν n, n, ) Es ist sinnvo, auch Operatoren einzuführen, die die Teichenzahen ändern. Wir diskutieren zunächst Bosonen und anschießend Fermionen. Bosonen Wir definieren den Erzeugungsoperator b ν für den Einteichenzustand ν durch b ν..., n ν,... = B n ν+..., n ν +,...,.88) wobei wir den Zahenfaktor B n ν+ etwas später festegen werden. b n erhöht offensichtich die Besetzungszah n ν um eins. Wir definieren außerdem den Vernichtungsoperator durch b ν := b ν). Es fogt Weiter fogt..., n ν,... b ν..., n ν,... = B n ν + δ n ν,n ν +.89)..., n ν,... b ν..., n ν,... = B nν + δ n ν,n ν +.90) b ν..., n ν +,... = B nν+..., n ν,.....9) b νb ν..., n ν,... = B n ν B nν..., n ν,.....9)..., n ν,... ist aso ein Eigenzustand von b νb ν mit Eigenwert B n ν B nν. b ν muss den Zustand zerstören, wenn kein Teichen im Einteichenzustand ν ist, wei negative Teichenzahen keinen Sinn haben: b ν..., n ν = 0,... = 0..93) Es fogt B 0 = 0..94) Über B n, n, können wir noch verfügen. Es ist nützich, zu definieren as Bestandtei der Definition von b ν) B n = n. Dann fogt b ν..., n ν,... = n ν +..., n ν +,...,.95) b ν..., n ν,... = n ν..., n ν,...,.96) b νb ν..., n ν,... = n ν..., n ν, ) b νb ν ist demnach der Besetzungszahoperator: Weiter fogt b νb ν = ˆn ν..98) [b ν, b ν]..., n ν,... b ν b ν b νb ν )..., n ν,... = [n ν + ) n ν ]..., n ν,... =..., n ν, ) Da dies für ae Basiszustände git, fogt [b ν, b ν] =..00) Weiterhin git trivia [b ν, b ν ] = [b ν, b ν] = 0,.0) da jeder Operator mit sich sebst kommutiert. Soweit haben wir Vertauschungsreationen für Erzeuger und Vernichter desseben Einteichenzustandes betrachtet. Operatoren für verschiedene Einteichenzustände ν, ν kommutieren, da der Vieteichenzustand symmetrisch unter Vertauschung von Teichen ist. Das woen wir am Beispie von b ν und b ν, ν ν, zeigen. Für Bosonen git..., ν j,..., ν k,... ψ =..., ν k,..., ν j,... ψ..0) 3

25 Nun ist b ν ν,..., ν N = b ν ν ν N = n ν + ν ν ν N = n ν + ν, ν,..., ν N.03) dieser Zustand iegt in H N+ ) und b νb ν ν,..., ν N = n ν + n ν + ν, ν, ν,..., ν N..04) Aber für Bosonen kommt es nicht auf die Reihenfoge der ν an:... = n ν + n ν + ν, ν, ν,..., ν N = b ν b ν ν,..., ν N ν,..., ν N..05) Es fogt b νb ν = b ν b ν [b ν, b ν ] = 0.06) und ähnich für [b ν, b ν ] und [b ν, b ν ]. Wir erhaten schießich die fundamentaen Vertauschungsreationen für Bosonen: [b ν, b ν ] = δ νν,.07) [b ν, b ν ] = 0,.08) [b ν, b ν ] = 0..09) Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für unterscheidbare Bosonen vertauschen natürich in jedem Fa. Fermionen Für Fermionen hatten wir gesehen, dass jeder Einteichenzustand ν höchstens einfach besetzt sein kann. Aso git Wir definieren zunächst anaog zu Bosonen den Erzeugungsoperator c ν durch und den Vernichtungsoperator durch c ν := c ν). Es fogt Weiter fogt n ν = 0, ν..0) c ν..., n ν,... = C n ν +..., n ν +,....)..., n ν,... c ν..., n ν,... = C n ν + δ n ν,n ν +.)..., n ν,... c ν..., n ν,... = C nν+ δ n ν,n ν+.3) c ν..., n ν +,... = C nν +..., n ν,.....4) Anaog zu Bosonen ist C 0 = 0. Für Fermionen git aber außerdem Wir können praktischerweise C = definieren und erhaten dann c νc ν..., n ν,... = C n ν C nν..., n ν,.....5) c ν..., n ν =,... = 0.6) C = 0..7) c ν..., n ν = 0,... =..., n ν =,...,.8) c ν..., n ν =,... = 0,.9) c ν..., n ν = 0,... = 0,.0) c ν..., n ν =,... =..., n ν = 0,....) 4

26 und Aso ist der Besetzungszahoperator, wie für Bosonen. Für den Kommutator erhaten wir c νc ν..., n ν = 0,... = 0,.) c νc ν..., n ν =,... =..., n ν =,.....3) c νc ν = ˆn ν.4) [c ν, c ν]..., n ν,... c ν c ν c νc ν )..., n ν,... = ) n ν..., n ν,.....5) Der Kommutator ist aso nicht universe. Es ist fundamenta für die Physik von Fermionen, dass wir stattdessen ein einfaches Ergebnis für den Antikommutator erhaten: {c ν, c ν} := c ν c ν + c νc ν.6) {c ν, c ν}..., n ν,... c ν c ν + c νc ν )..., n ν,... =..., n ν,......, n ν,.....7) Hier haben wir ausgenutzt, dass immer einer der beiden Terme eins und der andere Nu ergibt. Es fogt Für den Antikommutator schreibt man auch [A, B] + := AB + BA. Aus.8).) fogt sofort {c ν, c ν} =..8) {c ν, c ν } c ν c ν = 0,.9) {c ν, c ν} c νc ν = 0..30) Die etzte Geichung enthät das Paui-Prinzip: Man kann keine zwei Fermionen in demseben Zustand ν erzeugen. Wie auten die Antikommutatoren für verschiedene Einteichenzustände? Für Fermionen macht es, anders as für Bosonen, einen Unterschied, weches Teichen zuerst erzeugt wird. Es git Aso fogt für ν ν..., ν j,..., ν k,... ψ =..., ν k,..., ν j,... ψ..3) c νc ν ν,..., ν N = C n ν +C n ν + ν, ν, ν,..., ν N = C n ν +C n ν + ν, ν, ν,..., ν N = c ν c ν ν,..., ν N ν,..., ν N.3) c νc ν = c ν c ν.33) {c ν, c ν } = 0..34) Anaoge Ergebnisse fogen für {c ν, c ν } und, für ν ν, für {c ν, c ν }. Insgesamt erhaten wir die Anti-Vertauschungsreationen {c ν, c ν } = δ νν,.35) {c ν, c ν } = 0,.36) {c ν, c ν } = 0..37) Wie sehen die Anti-) Vertauschungsreationen für unterscheidbare Fermionen aus? Man kann zeigen, dass es immer mögich ist, die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren so zu konstruieren, dass sie antivertauschen: {c ν, d µ} = 0 usw. Wenn Superpositionen der Teichen mögich sind, müssen die Operatoren antivertauschen. Zum Beispie sind Eektronen- und Myonen-Neutrinos durch Reaktionen wie ν e + n e + p und ν µ + n µ + p unterscheidbar, wanden sich aber bei der freien Propagation ineinander um Neutrino-Osziation). Die entsprechenden Operatoren müssen antivertauschen. Superpositionen von Teichen mit unterschiedichen eektrischen oder anderen) Ladungen werden hingegen nicht beobachtet. In sochen Fäen hat es keine beobachtbaren Konsequenzen, ob die Operatoren für unterschiediche Fermionarten vertauschen oder antivertauschen. Operatoren für Fermionen und Bosonen, die offensichtich immer voneinander unterscheidbar sind, kommutieren. 5

27 Basiswechse Die weitere Diskussion bezieht sich soweit mögich sowoh auf Bosonen as auch auf Fermionen. Für Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren für beide Fäe schreiben wir a ν, a ν. Es ist wichtig zu prüfen, wie sich die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren unter einem Wechse der Einteichenbasis transformieren. Die Einteichenbasiszustände sebst transformieren sich gemäß µ = ν ν ν µ = ν ν µ ν..38) Nun so a ν ein Teichen im Zustand ν erzeugen und ã µ ein Teichen im Zustand µ, ν = a ν 0,.39) µ = ã µ 0..40) Das wird erreicht, wenn die Transformationsvorschrift für die Erzeugungsoperatoren autet ã µ = ν ν µ a ν,.4) denn dann ist µ = ã µ 0 = ν ν µ a ν 0 = ν ν µ ν..4) Dieser Beweis bezieht sich aber nur auf Einteichenzustände. Um die Korrektheit der Transformationsvorschrift agemein zu zeigen, muss man von den anti-) symmetrisierten Zuständen in erster Quantisierung ausgehen, und zeigen, dass deren Transformation bei Basiswechse mit der durch.4) induzierten übereinstimmt. Wir führen das hier nicht durch. Aus.4) fogt sofort ã µ = µ ν a ν.43) ν für die Vernichtungsoperatoren. Die Kommutatorreationen für Bosonen transformieren sich dann wie [ b µ, b µ ] = µ ν ν µ [b ν, b ν ] = }{{} νν ν δ νν usw. und die Antikommutatorreationen für Fermionen wie { c µ, c µ } = µ ν ν µ {c ν, c ν } = }{{} νν ν δ νν µ ν ν µ = µ µ = δ µµ.44) µ ν ν µ = µ µ = δ µµ..45) Die Anti-) Kommutatoreigenschaften der Operatoren sind aso invariant unter Wechse der Einteichenbasis. Die Anti-) Kommutatoreigenschaften sind somit basisunabhängig, was sehr wünschenswert ist. Die Gesamtteichenzah transformiert sich gemäß ã µã µ = ν µ µ ν a νa ν = ν ν a νa ν = a νa ν = ˆN..46) µ νν µ νν ν Die Gesamtteichenzah ist aso ebenfas invariant, was der intuitiven Bedeutung einer Teichenzah entspricht. Konstruktion der Zustände Der Vakuum-Zustand 0 ist nach Definition der Zustand ohne Teichen. Er wird daher von aen a ν vernichtet: a ν 0 = 0 ν..47) 6

28 Damit schreiben wir die Besetzungszahzustände nun as n, n,... a )n a )n 0,.48) wobei wir uns geich um die Normierung kümmern werden. Für Fermionen kommt es auf die Reihenfoge an, wir müssen eine Ordnung von Einteichenzuständen festegen und dann konsistent verwenden, ansonsten können sich Vorzeichenfeher einscheichen. Die Anti-) Vertauschungsreationen der a ν steen sicher, dass diese Zustände die korrekten Anti-) Symmetrie-Eigenschaften haben. Die fermionischen Zustände sind bereits normiert: Wir betrachten 0 c n cn c )n c 0. Hierin ist )n { c n c )n für n = 0, = c c für n =..49) Im Fa n = wirkt dieser Operator auf den Zustand c 0, der keine Teichen im Zustand enthät. )n Daher kann der Besetzungszahoperator c c durch Nu ersetzt werden und der Operator c n c kann durch )n eins ersetzt werden. Dassebe Argument ässt sich für die Zustände, 3, etc. wiederhoen, so dass sich am Ende ergibt. Für Bosonen betrachten wir 0 b n bn b )n b )n 0. Es git 0 c n cn c )n c )n 0 =.50) b n ν ν b ν) n ν = b n ν ν + b νb ν ) b ν) n ν..5) Der Besetzungszahoperator b νb ν wirkt auf einen Zustand, der n ν Teichen enthät und kann daher durch n ν ersetzt werden. Damit kann im obigen Skaarprodukt b n ν ν b ν) n ν durch n ν b n ν ν b ν) nν ersetzt werden. Iteration ergibt den Faktor n ν!. Dies wird erst für Zustand, dann für usw. ausgeführt und ergibt schießich Damit erhaten wir für die normierten Besetzungszahzustände 0 b n bn b )n b )n 0 = n! n!.5) n, n,... = n! n! b )n b )n 0 für Bosonen,.53) n, n,... = c )n c )n 0 für Fermionen..54) Der Ausdruck für Bosonen git auch für Fermionen, da 0! =! =..3. Operatoren in zweiter Quantisierung Wir woen Observabe, insbesondere wieder den Hamitonian, durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ausdrücken. Einteichenobservabe Für Einteichen-Terme T und V ) hatten wir, siehe.65), V = i V νν ν ν }{{}. νν wirkt auf Teichen i.55) Offenbar trägt der Operator unter der Summe nur bei, wenn Teichen i im Zustand ν ist, der Operator verschiebt es dann in den Zustand ν. Demnach git für Bosonen V b ν b ν b ν N 0 = i V νν δ ν ν i b ν b ν }{{} b ν N νν i-tes Teichen 0..56) 7

29 Das nächste Zie ist, die rechte Seite as Operator, ausgedrückt durch die b, b, angewandt auf den Zustand b ν b ν N 0 zu schreiben. Aso so b ν b ν N 0 ganz rechts stehen. Um das zu erreichen, betrachten wir den Einteichenzustand ν genauer. In b ν b ν N 0 sei dieser n -ma besetzt n =,, 3,...; n = 0 ergibt Nu). Dieser Zustand enthät aso b ν )n, angewandt auf das Vakuum. Um die Erzeuger so zusammenzufassen, nutzen wir aus, dass bosonische Erzeugungsoperatoren miteinander kommutieren. Der Summand in G..56) enthät stattdessen b ν b ν )n. Dies woen wir in eine ähniche Form bringen: b ν b ν )n = b b ν b ν ν }{{ n b ν = )n } n b νb ν b ν.57) )n = V b ν b ν b ν N 0 = νν V νν i δ ν ν i n b νb ν b ν b ν b ν N 0..58) Da ν in b ν b ν b ν N 0 nun n -fach besetzt ist, enthät die i-summe n identische, nicht verschwindende Terme, wodurch sich der Faktor /n weghebt. Aso ist... = νν V νν b νb ν b ν b ν N 0..59) Dies git für ae Basiszustände b ν b ν N 0 und daher fogt die Operatoridentität V = νν V νν b νb ν..60) Ebenso erhät man T = νν T νν b νb ν..6) Einteichenobservabe sind aso biinear in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Zur Kasse der Einteichenobservaben gehören natürich auch die Besetzungszahoperatoren ˆn ν = b νb ν der Einteichenzustände. Ebenfas von dieser biinearen Form ist der wichtige Gesamtteichenzahoperator ˆN = ν b νb ν..6) Harmonischer Osziator Es sei an die agebraische Lösung des harmonischen Osziators aus der Quantentheorie erinnert: Der Hamitonian ässt sich durch Einführung neuer Operatoren H = p m + mω 0x.63) b = b = mω0 ħ x + i p,.64) ħmω0 mω0 ħ x i p.65) ħmω0 mit der Umkehrtransformation ħ x = b + b ),.66) mω 0 ħmω0 p = i b b ).67) 8

30 auf die Form H = ħω 0 b b + ).68) bringen. Die neuen Operatoren erfüen [b, b ] = [ mω0 x + ħ i mω0 p, mω 0 x ] i p = i mω0 ħ [x, p] }{{} = iħ ) i + [p, x] = iħ) =.69) }{{} ħ = iħ und triviaerweise [b, b] = [b, b ] = 0. b und b verhaten sich aso wie bosonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Außerdem ist der Hamitonian H, bis auf eine Konstante, biinear in diesen Operatoren. Bosonen sind aso im Wesentichen dassebe wie Anregungen von harmonischen Osziatoren. Wir werden auf diese Erkenntnis bei der Quantisierung des eektromagnetischen Fedes zurückkommen. Wechsewirkungsterme Zwei-Teichen-Wechsewirkungen assen sich gemäß.76) schreiben as V = i j µ i µ j µ i µ j Für Bosonen finden wir, anaog zur obigen Hereitung, V b ν b ν b ν N 0 = i j µ i µ j µ i µ j V µiµ jµ i µ j µ i µ j µ j µ i..70) }{{} wirkt auf Teichen i,j V µi µ j µ i µ j δ µ i ν i δ µ j ν j b ν b µ i b µ j b ν N 0..7) Nun müssen wir die Fäe µ i µ j und µ i = µ j unterscheiden. Ob µ i µ j oder µ i = µ j ist, spiet, wie wir sehen werden, an dieser Stee keine Roe. Für µ i µ j haben wir b µ i b µ j b µ ) n µ i b i µ ) n µ b µ j = b µ j i b j b µ b b µ j i µ i µ j b µ n µ j n µ i) n µ i b µ j i = ) n µ j b µ n µ i n i b µ j b µ µ j b µ i b µ i) n µ i b µ ) n µ j..7) j j Das git unabhängig davon, ob µ i µ j oder µ i = µ j ist. Der entsprechende Antei an der Summe in.7) ist V b ν b ν b ν N 0 µ = i µ j = µ a,µ b,µ a µ b V µa µ b µ a µ b i j µ i,µ j,µ i µ j i j V µi µ j µ i µ j δ µ i ν i δ µ j ν j n µ i n µ j b µ i b µ j b µ j b µ i b ν b ν b ν N 0 δ µ a ν i δ µ b ν j n µ a n µ b b µ a b µ b b µ b b µ a b ν b ν b ν N 0..73) Da µ a und µ b in b ν b ν b ν N 0 nun n µ a - bzw. n µ b -fach besetzt sind, enthät die i, j-summe n µ a n µ b identische, nicht verschwindende Terme. Aso ist... = µ a,µ b,µ a µ b V µaµ b µ a µ b b µ a b µ b b µ b b µ a b ν b ν b ν N 0..74) 9

31 Für µ i = µ j haben wir stattdessen b µ i b µ j b µ i) n µ b µ i = b µ i b i b µ i b µ ib µ i µ j n µ i n µ i ) b µ ) n µ i = i Wieder git dies auch für µ i = µ j. Der entsprechende Antei in.7) ist V b ν b ν b ν N 0 µ = i =µ j = µ a,µ b,µ a V µa µ b µ a µ a i j i j µ i,µ j,µ i V µi µ j µ i µ i δ µ i ν i δ µ i ν j n µ i n µ i ) b µ i b µ j b µ i b µ i b µ ) n µ i..75) i n µ i n µ i ) b µ i b µ j b µ i b µ i b ν b ν b ν N 0 δ µ a ν i δ µ a ν j n µ a n µ a ) b µ a b µ b b µ a b µ a b ν b ν b ν N 0..76) µ a tritt n µ a -ma auf. Wir erhaten immer denseben Term, wenn Teichen i und Teichen j j i) im Zustand µ a sind. Das ist ein Probem des Ziehens von zwei Zahen aus {,,..., N} ohne Zurückegen. Dafür gibt es n µ a n µ a ) Mögichkeiten. Der Faktor /n µ a n µ a ) hebt sich aso weg,... = µ a,µ b,µ a V µa µ b µ a µ a b µ a b µ b b µ a b µ a b ν b ν b ν N 0..77) Zusammenfassung der beiden Fäe ergibt V b ν b ν b ν N 0 = µ aµ b µ a µ b V µa µ b µ a µ b b µ a b µ b b µ b b µ a b ν b ν b ν N 0,.78) so as hätten wir den Fa µ i = µ j einfach ignoriert. Da das für ae Zustände git, fogt V = V µa µ b µ a µ b b µ a b µ b b µ b b µ a..79) µ aµ b µ a µ b Die Ordnung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ist die konventionee Form. Beachte die Reihenfoge der Subskripte. Dieseben Darsteungen mit b ν durch c ν ersetzt) ergeben sich für Fermionen, wenn man die Antikommutatoren korrekt behandet. Das zeigen wir hier nicht..3.3 Quantenfedoperatoren Das bisher gesagte git im Wesentichen für jede beiebige Einteichenbasis { ν }. Ein wichtiger Speziafa ist die Ortsbasis { r }. Wir definieren für Bosonen und für Fermionen, zunächst unter Vernachässigung des Spins, den Quantenfedoperator Ψr) := r ν a ν = u ν r) a ν..80) ν ν Diese Geichung hat die normae Form eines Basiswechses, siehe G..43). Ψr) ist offenbar eine Linearkombination von Vernichtungsoperatoren. Beachte die übiche Schreibung mit einem Großbuchstaben Ψ zur Unterscheidung von einer Einteichenweenfunktion. Der hermitesch konjugierte Operator ist Ψ r) = ν r ν a ν = ν u νr) a ν..8) Wir finden für Bosonen [Ψr ), Ψ r )] = u ν r ) u ν r ) [b ν, b ν ] = ν ν }{{} = δ ν ν ν u ν r ) u ν r ) = δr r ).8) 30

32 unter Verwendung der Voständigkeitsreation. Für Fermionen ergibt sich anaog {Ψr ), Ψ r )} = u ν r ) u ν r ) {c ν, c ν } = u ν r ) u ν ν ν }{{} r ) = δr r )..83) ν = δ ν ν Agemein finden wir d 3 r Ψ r)ψr) = d 3 r νν u νr) u ν r) a νa ν = νν δ νν a νa ν = ν a νa ν = ˆN,.84) aso den Gesamtteichenzahoperator. Es iegt nahe, Ψ r)ψr) as Teichenzahdichteoperator aufzufassen. Das oben für die Darsteung von Operatoren durch Erzeuger und Vernichter gesagte git entsprechend auch für die Ortsdarsteung. Der Operator der kinetischen Energie wird z.b. zu T = T = νν T νν a νa ν mit T νν = ν p m ν.85) d 3 r d 3 r T r, r ) Ψ r) Ψr ) mit T r, r ) = r p m r..86) Die kinetische Einteichenenergie in Ortsdarsteung autet gemäß.74) Daraus fogt T = ħ m = ħ m = ħ m T r, r ) = ħ m ) δr r )..87) d 3 r d 3 r [ ) δr r ) ] Ψ r) Ψr ) d 3 r d 3 r δr r ) Ψ r) ) Ψr ) d 3 r Ψ r) Ψr)..88) Mittes partieer Integration können wir dies auch in symmetrischer Form schreiben: T = + ħ d 3 r Ψ r) Ψr)..89) m Anaog git V = d 3 r Ψ r) V r) Ψr),.90) V = d 3 r d 3 r Ψ r )Ψ r ) V r, r ) Ψr )Ψr )..9) Zumindest die Geichungen.88) und.90) sehen so aus wie die Erwartungswerte der entsprechenden Energiebeiträge für ein Einteichensystem in erster Quantisierung, T = ħ d 3 r ψ r) ψr),.9) m V = d 3 r ψ r) V r) ψr)..93) Ψ ist jetzt aber ein Operator, keine Weenfunktion. Es scheint so, as ob wir die Einteichenweenfunktion ψr) zu Ψr) quantisiert haben. Daher die Bezeichung Zweite Quantisierung. Wir haben aber nur einma quantisiert, 3

33 nämich as wir [ˆx, ˆp] = iħ postuiert haben, der Rest fogt aus der Konstruktion des Fock-Raums mittes inearer Agebra. Die Ähnichkeit mit Einteichenerwartungswerten kann zu einem weiteren Missverständnis führen, das hier ausgeräumt werden so: Die Weenfunktion ψr) charakterisiert den Zustand eines Einteichen-) Systems, nämich in der Ortsdarsteung. Der Quantenfedoperator Ψr) charakterisiert dagegen nicht den Zustand eines Systems, sonders ist ein Operator, der auf Vieteichen-) Zustände wirkt. Genauer ist Ψr) ein Vernichtungsoperator, der versucht, ein Teichen am Ort r zu vernichten. Anaog ist ψ r)ψr) eine Aufenthatswahrscheinichkeitsdichte, aber Ψ r)ψr) ein Operator, der prüft, ob am Ort r ein Teichen vorhanden ist. Unter Beachtung des Spins autet der Quantenfedoperator für Bosonen mit Spin und für Fermionen Ψ σ r) := ν r, σ ν a νσ = ν u ν r) a νσ..94) Fas in der gewähten Einteichenbasis die räumichen Zustände Weenfunktionen) vom Spin abhängen, schreiben wir stattdessen Ψ σ r) := r, σ ν a νσ = u νσ r) a νσ..95) ν ν Man zeigt eicht.4 Festkörpereektronen [Ψ σ r ), Ψ σ r )] = δ σσ δr r ) für Bosonen,.96) {Ψ σ r ), Ψ σ r )} = δ σσ δr r ) für Fermionen..97) Wir betrachten Eektronen im periodischen Potentia eines Festkörpers in zweiter Quantisierung. As einfachste Näherung nehmen wir die Kerne as unbewegich und perfekt periodisch angeordnet an und vernachässigen zunächst die Couomb-) Wechsewirkung zwischen den Eektronen. Wieso diese Vernachässigung oft quaitativ richtige Resutate ergibt wird in der Voresung Vieteichentheorie diskutiert.) Dann autet der Einteichen- Hamitonian in erster Quantisierung H = p + V r).98) m und der Hamitonian auf dem Fock-Raum, in zweiter Quantisierung, ist H = νν T νν + V νν ) c νc ν.99) mit einer beiebigen Einteichenbasis { ν }. Daher sind die Vieteichenzustände einfach ae mögichen Kombinationen von besetzten und unbesetzten Einteichenzuständen nkσ. Wir hatten gesehen, dass git T νν = ħ d 3 r u m νr) u ν r),.00) V νν = d 3 r u νr) V r) u ν r),.0) wobei u ν r) := r ν..0) Es ist günstig, as Basis die Eigenzustände von H zu verwenden. Da das Potentia V r) gitterperiodisch sein so, sind dies Boch-Zustände vg. die Voresungen zur Festkörperphysik, Festkörpertheorie und Vieteichentheorie), mutipiziert mit Spin-Zuständen. Die Boch-Zustände werden durch einen Kristaimpus k aus der ersten Briouin-Zone und einen Bandindex n abgezäht. In Ortsdarsteung autet die zeitunabhängige Schrödinger- Geichung Hφ nk r) σ = ϵ nk φ nk r) σ,.03) 3

34 wobei nach dem Boch-Theorem git φ nk r) = e ik r u nk r),.04) worin u nk r) gitterperiodisch ist. In der Basis der Boch-Zustände sind die Matrixeemente T νν und V νν zunächst offensichtich diagona im Spin und unabhängig vom Spin, wir können die Spin-Indizes wegassen. Es beiben Daraus fogt T nk,n k = ħ m V nk,n k = d 3 r φ nkr) φ n k r),.05) d 3 r φ nkr) V r) φ n k r)..06) H nk,n k := T nk,n k + V nk,n k ) p = d 3 r φ nkr) m + V r) φ n k r) = d 3 r φ nkr) ϵ n k φ n k r) = δ nn δ kk ϵ nk.07) und schießich H = H nk,n k c nkσ c n k σ nk,n k σ = ϵ nk c nkσ c nkσ ϵ nk ˆn nkσ..08) nkσ nkσ In der Basis der Boch-Zustände wird H aso diagona in den Quantenzahen n, k, σ. H ist dann einfach eine Summe von Besetzungszahoperatoren, gewichtet mit den Bandenergien ϵ nk. Wir haben gesehen, dass die Diagonaisierung eines biinearen Hamitonians nur die Lösung einer Einteichen- Schrödinger-Geichung erfordert. Sobad Wechsewirkungen nicht vernachässigt werden können, wird das Probem vie schwieriger; i.a. muss der Hamitonian auf dem d N) -dimensionaen N-Teichen-Hibertraum HN diagonaisiert werden. Meist ist man auf Näherungsösungen angewiesen siehe Voresung Vieteichentheorie)..4. Der Fermi-See Im Grundzustand für N Eektronen werden die Einteichenzustände der Reihe nach mit wachsender Energie ϵ nk aufgefüt. Die höchste dabei erreichte Energie ist bekanntich die Fermi-Energie. nk k y eer E F kx Diesen Grundzustand nennt man den Fermi-See. Bisher hatten wir as Vakuum den Zustand ohne Teichen definiert. In der Festkörperphysik und 33

35 der Dirac-Theorie siehe Kapite 3) ist es oft aber sinnvo, den Fermi-See as neues Vakuum zu betrachten. Dies führt auf die neue Definition von 0 Fermi-See durch c nkσ 0 = 0 n, k, σ mit ϵ nk > E F,.09) c nkσ 0 = 0 n, k, σ mit ϵ nk E F..0) Der Fermi-See enthät kein Fermion mit ϵ nk > E F und ae Zustände mit ϵ nk E F sind besetzt.).4. Teichen und Löcher Wir gewinnen die vorherige Formuierung das Vakuum wird von aen Vernichtungsoperatoren zerstört) zurück, indem wir neue Operatoren einführen: h nkσ := c nkσ,.) dann ist Wir sagen, h erzeugt ein Loch. Offensichtich ist h nkσ = c nkσ..) {h nkσ, h nkσ } = {c nkσ, c nkσ} = {c nkσ, c nkσ } =.3) usw. Die Löcher sind ebenfas Fermionen. Weiter ist der Besetzungszahoperator der Löcher Nun ist woraus fogt Der Fermi-See enthät aso keine Löcher. Für nicht wechsewirkende Teichen autet der Hamitonian nun h nkσ h nkσ = c nkσ c nkσ = c nkσ c nkσ..4) c nkσ 0 = 0 n, k, σ mit ϵ nk > E F,.5) h nkσ 0 = 0 n, k, σ mit ϵ nk E F,.6) c nkσ c nkσ 0 = 0 für ϵ nk > E F,.7) h nkσ h nkσ 0 = 0 für ϵ nk E F..8) H = ϵ nk c nkσ c nkσ nkσ = ϵ nk cnkσ c nkσ + ϵ nk h nkσhnkσ nkσ nkσ ϵ nk >E F ϵ nk E F = ϵ nk c nkσ c nkσ + ϵ nk h nkσ h nkσ) ϵ nk >E F ϵ nk E F = ϵ nk + ϵ nk c nkσ c nkσ + ϵ nk ) h nkσ h nkσ..9) ϵ nk E F ϵ nk >E F ϵ nk E F }{{}}{{}}{{} Vakuumenergie Teichenenergie Lochenergie Wir können eine Konstante zum Einteichen-Hamitonian H addieren, so dass die Energien ϵ nk reativ zu E F gemessen werden. Dann schreibt man oft ξ nk für die Energien. Es fogt H = Vakuumenergie + ξ nk c nkσ c nkσ + ξ nk ) h nkσ h nkσ..0) ξ nk >0 Die Energien der Teichen, ξ nk, sind nun positiv und ebenso die Energien der Löcher, ξ nk mit ξ nk 0. Es kostet Energie, ein Teichen außerhab des Fermi-Sees zu erzeugen, wie auch, ein Loch innerhab des Fermi-Sees. Beide Operationen ändern die Teichenzah. Bei festem N ist nur die Erzeugung eines Teichen-Loch-Paares mögich. ξ nk 0 34

36 k y nkσ k x Diese kostet die Energie ξ nk + ξ n k ) > 0. Das ist vernünftig, da der Fermi-See der Zustand niedrigster Energie ist..5 Austausch-Wechsewirkung und Hartree-Fock-Näherung Der exakte Grundzustand eines wechsewirkenden Mehr-Teichen-Systems ist i.a. kein Produktzustand. Die Hartree-Näherung ässt sich as Variationsansatz verstehen, bei dem dieser Zustand durch einen optimaen Produktzustand angenähert wird, ψ ν, σ ν, σ ν N, σ N..) Optima bedeutet hier mit minimaer Energie, es handet sich aso um eine Anwendung des Ritzschen Variationsverfahrens. Wir haben aber inzwischen erkannt, dass ein socher Produktansatz für identische Teichen nicht die richtigen Symmetrieeigenschaften hat. Die Hartree-Näherung ist daher nicht gerechtfertigt. Wir soten stattdessen den optimaen anti-) symmetrisierten Produktzustand suchen. Das ist die Idee der Hartree-Fock-Näherung. Wir beschränken uns zunächst auf Fermionen, spezie auf Eektronen..5. Direkte und Austausch-Wechsewirkung Für Eektronen besteht die Hartree-Fock-Näherung darin, eine Einteichenbasis { ν j, σ j } zu finden, so dass die Sater-Determinante Ŝ ν, σ,..., ν N, σ N = ν, σ ) ν, σ N). N!.....) ν N, σ N ) ν N, σ N N) den Erwartungswert der Energie, H, minimiert. Wir betrachten konkret die Couomb-Wechsewirkung. Der Hamitonian autet H = T + V + V }{{} C.3) =H 0 mit der kinetischen Energie T, dem spinunabhängigen) Einteichenpotentia V und der Couomb-Wechsewirkung V C, siehe... Wir hatten gesehen, dass git T = T µj µ µ j, σ j j µ j, σ j,.4) j µ j µ σ j j V = V µjµ µ j, σ j j µ j, σ j.5) j σ j µ jµ j 35

37 Hier ist nur der Spin-Index hinzugekommen, von dem kinetische Energie und Potentia nicht abhängen soen). Damit ist H 0 = sgnp) sgnp ) ν pn, σ pn ν p, σ p T µj µ N! + V j µ j µ ) j p,p j σ j µ j, σ j µ j, σ j ν p, σ p ν p N, σ p N = sgnp) sgnp ) T µjµ N! + V j µ jµ ) ν p j, σ p ν p, σ p ν pj, σ pj ν p j, σ p j p,p j σ j µ j µ j ν pj, σ pj µ j, σ j µ j, σ j ν p j, σ p j ν pj+, σ pj+ ν p j+, σ p j+ ν pn, σ pn ν p N, σ p N = sgnp) sgnp ) T µj µ N! + V j µ j µ ) j p,p j σ j µ jµ j µ j µ j δ pp δ p j p j δ ν pj µ j δ σpj σ j δ µ j ν p j δ σj σ p j δ pj+p j+ δ p N p N,.6) wobei wir verwendet haben, dass jeder Satz ν j,σ j von Quantenzahen höchstens einma auftritt. Sind die beiden Permutationen p und p nicht identisch, so unterscheiden sie sich an mindestens zwei Steen, so dass mindestens ein Kronecker-δ verschwindet. Aso ergibt sich... = T νpj ν N! pj + V νpj ν pj )..7) j p Die N )! Permutationen, die p j unverändert assen, führen einfach zu einem Zähfaktor. Mit k := p j erhaten wir... = N )! T νk ν } N! k + V νk ν k ) {{} jk /N = k = k T νk ν k + V νk ν k ) ) d 3 r u ν k r) ħ m + V r) u νk r)..8) Das Ergebnis ist nicht überraschend. Für die Couomb-Wechsewirkung erhaten wir V C = sgnp) sgnp ) ν pn, σ pn ν p, σ p N! p,p Vµ C iµ jµ i j µ iµ jµ i µ j i µ σ j i σ j µ i, σ i µ j, σ j µ j, σ j µ i, σ i ν p, σ p ν p N, σ p N = sgnp) sgnp ) Vµ C N! δ iµ jµ p,p i j µ iµ jµ i µ p j p δ p N p N i µ σ j i σ j }{{} ohne Teichen i,j ν pi, σ pi µ i, σ i ν pj, σ pj µ j, σ j µ j, σ j ν p j, σ p j µ i, σ i ν p i, σ p i..9) Für eine gegebene Permutation p ist der Summand nun i.a. für zwei p von Nu verschieden: Für p = p und für p = i, j) p, d.h. für den Summanden mit einer zusätzichen Permutation von i und j. In den beiden Fäen erhaten wir ν pi, σ pi µ i, σ i ν pj, σ pj µ j, σ j µ j, σ j ν p j, σ p j µ i, σ i ν p i, σ p i σ i σ j p =p = δ σpi σ i δ σi σ pi δ σpj σ j δ σj σ pj δ νpi µ i δ νpj µ j δ µ j ν pj δ µ i ν pi σ i σ j = δ νpi µ i δ νpj µ j δ µ j ν pj δ µ i ν pi.30) 36

38 bzw. ν pi, σ pi µ i, σ i ν pj, σ pj µ j, σ j µ j, σ j ν p j, σ p j µ i, σ i ν p i, σ p i σ iσ j p =i,j) p = σ i σ j ν pi, σ pi µ i, σ i ν pj, σ pj µ j, σ j µ j, σ j ν pi, σ pi µ i, σ i ν pj, σ pj = σ i σ j δ σpi σ i δ σi σ pj δ σpj σ j δ σj σ pi δ νpi µ i δ νpj µ j δ µ j ν pi δ µ i ν pj = δ σpi σ pj δ νpi µ i δ νpj µ j δ µ j ν pi δ µ i ν pj..3) Offensichtich ist sgni, j) p) = sgnp). Wir erhaten V C = [ ] sgnp) sgnp) Vν C N! pi ν pj ν pi ν pj + sgnp) sgni, j) p) δ σpi σ pj Vν C pi ν pj ν pj ν pi i j i j p = ) Vν C N! pi ν pj ν pi ν pj δ σpi σ pj Vν C pi ν pj ν pj ν pi k := p i, := p j p = N )! } N! {{} i j k NN ) = V C νk ν ν k ν δ σk σ V C ) ν k ν ν ν k k = e d 3 r d 3 r u ν 4πϵ r ) u ν k r) 0 k V C νk ν ν k ν δ σk σ V C ν k ν ν ν k ) r r [u ν k r) u ν r ) δ σk σ u ν r) u νk r )]..3) Den ersten Term hätten wir auch für unterscheidbare Teichen bzw. Produktzustände gefunden. Dieser Term, genannt direkte Couomb-Wechsewirkung, tritt auch in der Hartree-Näherung auf. Der zweite Term beruht auf der Antisymmetrisierung, ist aso ein rein quantenmechanischer Beitrag und tritt nur für identische Teichen auf. Beachte: Dieser Term hat ein negatives Vorzeichen aufgrund der insgesamt ungeraden Anzah von Permutationen in p und p. Er tritt nur zwischen Teichen mit demseben Spin auf beachte den Faktor δ σk σ ). Dieser Beitrag schwächt die Couomb-Abstoßung aufgrund der direkten Wechsewirkung ab, aber nur für Eektronen mit demseben Spin, für die aso das Paui-Prinzip git. Die Ursache ist, dass die Wahrscheinichkeitsdichte für zwei identische Fermionen für r r gegen Nu geht. Die Couomb-Abstoßung ist daher weniger stark as für unterscheidbare Teichen. Den zweiten Term nennt man Austausch-Wechsewirkung, wei die Zustände ν k, ν im etzten Faktor vertauscht auftreten. Aufenthatswahrscheinichkeitsdichte: r,r') ² Austauschoch 0 ~de Brogie-Weenänge r'-r 37

39 .5. Hartree-Fock-Geichungen Die Aufgabe besteht nun darin, die Einteichenzustände ν j, σ j so zu variieren, dass der Erwartungswert ν, σ,..., ν N, σ N Ŝ H 0 + V C )Ŝ ν, σ,..., ν N, σ N.33) minima wird. Dabei müssen die Nebenbedingungen der Orthonormierung erfüt sein: Wir schreiben in der Ortsdarsteung ν i, σ i ν j, σ j = δ νi ν j δ σi σ j..34) r ν j, σ j = φ νj σ j r) σ j,.35) wobei wir zugeassen haben, dass die Weenfunktion vom Spin σ j abhängt. Das ist für magnetische Systeme wichtig. Die Orthonormierungsbedingung autet nun d 3 r φ ν iσ i r) φ νjσ j r) σ i σ j = δ νiν j δ σiσ j..36) Der Spin-Antei der Geichung ist trivia erfüt, wir müssen aso nur d 3 r φ ν i σr) φ νj σr) = δ νi ν j.37) gewähreisten. Diese Nebenbedingungen impementieren wir mit Hife von Lagrange-Mutipikatoren ϵ νiν j. Die Extremabedingung autet dann { ) δ d 3 r φ ν jσ j r) ħ m + V r) φ νjσ j r) + e d 3 r d 3 r φ ν 4πϵ jσ j r ) φ ν iσ i r) j 0 r r i j [ φ νi σ i r) φ νj σ j r ) δ σi σ j φ νj σ j r) φ νi σ i r ) ] } ϵ νi ν j δ σi σ j d 3 r φ ν i σ i r) φ νj σ j r) = 0..38) ij 38

40 Hier sind φ und φ inear unabhängig, da Re φ und Im φ inear unabhängig sind. Die Kompexkonjugation z z ist keine ineare Abbidung.) Die Extremabedingung erfordert δ 0 = δφ ν k σ k s) { } = ) d 3 r δ jk δr s) ħ m + V r) φ νj σ j r) j + e d 3 r d 3 r [ δ jk δr s) φ ν 4πϵ i σ i r) + φ ν j σ j r ) δ ik δr s) ] 0 = = i j r r [ φ ν i σ i r) φ νj σ j r ) δ σi σ j φ νj σ j r) φ νi σ i r ) ] ϵ νi ν j δ σi σ j d 3 r δ ik δr s) φ νj σ j r) ij ) ħ m s + V s) φ νk σ k s) + e d 3 r φ ν 4πϵ j σ j r ) 0 r s jj k) [φ νjσ j r ) φ νk σ k s) + φ νk σ k s) φ νjσ j r ) δ σjσ k φ νk σ k r ) φ νjσ j s) δ σjσ k φ νjσ j s) φ νk σ k r )] ϵ νk ν j δ σk σ j φ νj σ j s) j ) ħ m s + V s) φ νk σ k s) + e 4πϵ 0 j jj k) [φ νjσ j r ) φ νk σ k s) δ σjσ k φ νk σ k r ) φ νjσ j s)] d 3 r φ ν j σ j r ) r s ϵ νk ν j δ σk σ j φ νj σ j s)..39) Der etzte Term hat die Form einer Matrix ϵ νk ν j δ σk σ j ) mutipiziert mit einem Vektor φ νj σ j s)). Wir können ihn durch eine unitäre Transformation der φ νjσ j s) diagonaisieren. Wir bezeichnen die transformierten Weenfunktionen mit ψ νσ s) und die Eigenwerte von ϵ νk ν j δ σk σ j ) mit ϵ νσ. Die übrigen Terme ändern unter der unitären Transformation ihre Form nicht, da sie ohnehin für eine beiebige Einteichenbasis hergeeitet wurden. Mit den Umbenennungen s r, ν k ν, σ k σ, ν j ν, σ j σ erhaten wir 0 = ħ m + V r) e 4πϵ 0 ν ν ν) ) ψ νσ r) + e 4πϵ 0 d 3 r ψ ν σr ) ν σ [ν,σ ) ν,σ)] d 3 r ψ ν σ r ) r r ψ ν σ r ) ψ νσ r) r r ψ νσr ) ψ ν σr) ϵ νσ ψ νσ r),.40) wobei die Summen nur über besetzte Einteichenzustände zu biden sind. Es fogt sofort die Hartree-Fock-Geichung [ ħ m + V r) + e ] d 3 r ψ ν σ r ) 4πϵ 0 r ψ νσ r) r e 4πϵ 0 ν ν ν) ν σ [ν,σ ) ν,σ)] d 3 r ψ ν σ r ) ψ νσ r ) ψ ν σr) r r = ϵ νσ ψ νσ r),.4) wobei die Summen weiterhin nur besetzte Einteichenzustände umfassen. Sie hat die Form einer nichtinearen Veragemeinerung der Einteichen-Schrödinger-Geichung. Es handet sich forma um eine Integrodifferentiageichung, die i.a. nicht anaytisch ösbar ist. Die Lösung erfogt daher numerisch, oft durch Iteration. 39

41 Der dritte Hartree-) Term beschreibt die Couomb-Wechsewirkung mit den übrigen Eektronen. Er ist ohne Weiteres pausibe. Der vierte Austausch- oder Fock-) Term ist nicht oka, da ψ νσ am Ort r auftritt und beschreibt den rein quantenmechanischen Austauscheffekt. Der minimae Wert der Energie, H HF, ergibt sich aus den Lösungen der Hartree-Fock-Geichung zu H HF = ) d 3 r ψνσr) m + V r) ψ νσ r) νσ e + 4πϵ 0 e 4πϵ 0 νν σσ [ν,σ) ν,σ )] νν σ [ν ν ] d 3 r d 3 r ψ νσr) ψ ν σ r ) r r Mit der Hartree-Fock-Geichung wird dies beachte die Vorzeichenwechse!) H HF = νσ + 4πϵ 0 d 3 r ψνσr) ϵ νσ ψ νσ r) 4πϵ 0 e νν σ [ν ν ] = ϵ νσ 4πϵ νσ 0 e + 4πϵ 0 e νν σ [ν ν ] d 3 r d 3 r ψ ν σ r ) ψνσr) ψ ν σr) ψ νσ r ) r..4) r e νν σσ [ν,σ) ν,σ )] d 3 r d 3 r ψ ν σ r ) ψ νσr) ψ ν σr) ψ νσ r ) r r νν σσ [ν,σ) ν,σ )] d 3 r d 3 r ψ νσr) ψ ν σ r ) r r d 3 r d 3 r ψ νσr) ψ ν σ r ) r r d 3 r d 3 r ψ ν σ r ) ψνσr) ψ ν σr) ψ νσ r ) r,.43) r wobei die Summen wieder nur besetzte Zustände enthaten. Das erste Integra nennt man Couomb-Integra, das zweite Austauschintegra. Beachte, dass die Summe der Hartree-Fock-Eigenenergien ϵ νσ das Couomb-Integra zweifach mit positivem Vorzeichen und das Austauschintegra zweifach mit negativem Vorzeichen enthät. Insgesamt enthät H HF aso das Couomb-Integra einfach positiv und das Austauschintegra einfach negativ. Das stimmt mit der vorherigen Beobachtung überein, wonach die Couomb-Abstoßung die Energie erhöht, die Austauschwechsewirkung sie aber wieder absenkt. Wie immer beim Ritz-Verfahren ist H HF größer as oder geich der exakten Grundzustandsenergie, H HF E 0.44) Der exakte Grundzustand ist i.a. keine Sater-Determinante von Einteichenzuständen. Der nächste Schritt zur Verbesserung der Näherung ist die sogenannte configuration interaction CI) approximation. Dabei setzt man eine Superposition mehrerer Sater-Determinanten an..5.3 Hartree-Fock-Näherung in zweiter Quantisierung Die Hartree-Fock-Näherung ässt sich kompakt mit Hife der zweiten Quantisierung formuieren. Die Suche nach der optimaen Sater-Determinante entspricht hier der Suche nach dem optimaen biinearen Hamitonian. In beiden Formuierungen werden die Einteichenzustände variiert. Der voe Hamitonian autet in zweiter Quantisierung H = H 0 + V C.45) 40

42 mit H 0 = kσ ξ k c kσ c kσ,.46) V C = kk k k σσ V C kk k k c kσ c k σ c k σ c k σ,.47) wobei wir uns auf ein Band beschränkt und ausgenutzt haben, dass die Couomb-Wechsewirkung nicht vom Spin abhängt. Die Wechsewirkung erhät jedoch auch den Gesamtimpus, Mit k = k, k = k, q = k k können wir daher schreiben V C = k k q Im Fa freier Eektronen hat Vk C k q eine einfache Form: V C k k q = = = = k + k = k + k..48) σ σ V C k k q c k +q,σ c k q,σ c k σ c k σ..49) e d 3 r d 3 φ k r +q r ) φ k q r ) φ k r ) φ k r ) 4πϵ 0 r r e 4πϵ 0 V d 3 r d 3 e ik +q) r e ik q) r e ik r e ik r r r r e 4πϵ 0 V d 3 r d 3 r e iq r r ) r r e 4πϵ 0 V d 3 r d 3 r }{{} =V r eiq r = V e ϵ 0 q =: V V Cq)..50) In diesem Fa hängt Vk C = k q V V Cq) aso nur vom Impusübertrag q ab. Wir diskutieren die oft benötigte Fourier-Transformierte des Couomb-Potentias etwas genauer. Wir schreiben r anstee von r. Gesucht ist V C q) = d 3 r e e iq r 4πϵ 0 r..5) Da dieses Integra bei großen r nicht konvergiert, reguarisieren wir es durch Übergang zum Yukawa-Potentia V Y q) = d 3 r e e iq r e κr..5) 4πϵ 0 r und assen am Ende der Rechnung κ 0 gehen. Das Yukawa-Potentia beschreibt eine abgeschirmte Couomb- Wechsewirkung. Es git V Y q) = e 4πϵ 0 = e ϵ 0 = e ϵ 0 q 0 dr dθ dφ r sin θ eiqr cos θ e κr r dr r e κr du e iqru dr e κr sin qr 0 } {{ } = q q +κ }{{} = eiqr e iqr sin qr iqr = qr = e ϵ 0 q + κ..53) 4

43 Im Limes κ 0 erhaten wir V C q) = e ϵ 0 q..54) Dieses Ergebnis erhät man übrigens sofort aus der Poisson-Geichung für eine Punktadung: Mittes Fourier-Transformation fogt ϕ = e ϵ 0 δr)..55) q ϕq) = e ϵ 0.56) ϕq) = e ϵ 0 q.57) V C q) = e ϕq) = e ϵ 0 q..58) Die Abhängigkeit /q ist unabhängig von der Dimension des Raumes und ist in gewissem Sinne fundamentaer as das Couomb-/r-Gesetz, das spezie für drei Dimensionen git. Nun woen wir H = H 0 + V C durch einen biinearen Ausdruck annähern. Im Wesentichen machen wir eine Mean-Fied-Näherung. Zur Wiederhoung: Für zwei Observaben A, B schreiben wir A = A + δa,.59) B = B + δb,.60) wobei A, B die thermischen) Mittewerte und δa, δb die Fuktuationen repräsentieren. Dann ist AB = A B + A δb + δa B + δa δb.6) und die Mean-Fied-Näherung besteht im Wegassen der von höherer Ordnung keinen Terme δa δb: AB = A B + A δb + δa B = A B + A B B ) + A A ) B Wenn wir dieses Schema naiv auf V C anwenden, erhaten wir aso = A B + A B A A..6) A = c k +q,σ c k σ,.63) B = c k q,σ c k σ,.64) c k +q,σ c k q,σ c k σ c k σ = c k +q,σ c k σ c k q,σ c k σ + c k +q,σ c k σ c k q,σ c k σ c k +q,σ c k σ c k q,σ c k σ..65) Das ist die Hartree-Näherung. Jedoch ist unsere Wah der Operatoren A, B nicht die einzig mögiche. Ebenso gut ist A = c k +q,σ c k σ,.66) B = c k q,σ c k σ..67) Um auf die Form A B zu kommen, bedarf es einer ungeraden Zah von Vertauschungen, daher erhät der gesamte Term ein zusätziches Minuszeichen. Die Hartree-Fock-Näherung besteht nun darin, die beiden Mögichkeiten zu 4

44 addieren. Warum das vernünftig ist und insbesondere keine Faktoren von / auftreten, wird in der Vieteichentheorie erkärt.) Wir erhaten c k +q,σ c k q,σ c k σ c k σ = c k +q,σ c k σ c k q,σ c k σ + c k +q,σ c k σ c k q,σ c k σ c k +q,σ c k σ c k q,σ c k σ c k +q,σ c kσ c k q,σ c kσ c k +q,σ c kσ c k q,σ c kσ + c k +q,σ c k σ c k q,σ c k σ..68) Die etzten drei sind hier die Austauschterme. Unter der Annahme, dass die Wechsewirkung weder die Transations- noch die Spin-Rotations-Symmetrie bricht, können wir schreiben Damit ist H = H HF := kσ = kσ c k +q,σ c kσ = δ q0 n k,.69) c k q,σ c k σ = δ q0 n k,.70) c k +q,σ c kσ = δ k+q,k δ σσ n k,.7) c k q,σ c k σ = δ k +q,k δ σ σ n k..7) ξ k + k V C k,k,k k k σ V C k,k,0 ξ k + k V C k,k,0 n k }{{} Hartree Term n k + V C n k k,k,0 k σ ) n k V C n k k,k,k k k k V C k,k,k k n k }{{} Fock Term c kσ c kσ + const ) c kσ c kσ + const..73) Wir haben die Symmetrie V C k,k, q = V C k,k,q ausgenutzt ohne Beweis; für freie Eektronen, V C /q, git dies offensichtich). Im nächsten Schritt müssten wir n k = σ c kσ c kσ.74) sebstkonsistent mit Hife des genäherten Hartree-Fock-) Hamitonians H HF bestimmen und das Ergebnis in H HF einsetzen. Die praktische Rechnung erfogt wieder durch Iteration. Man kann zeigen, dass dieses Verfahren zum oben für die erste Quantisierung diskutierten äquivaent ist..5.4 Das Wasserstoffmoekü Zur Iustration des Paui-Prinzips und der Austauschwechsewirkung betrachten wir das H -Moekü aus zwei Protonen und zwei Eektronen. Die Protonen bewegen sich aufgrund ihrer großen Masse vie angsamer as die Eektronen und können im Fogenden as ruhend betrachtet werden. Dann autet der Hamitonian in erster Quantisierung H = i= [ p i m e 4πϵ 0 mit den Abständen der Eektronen von den Protonen, + )] + e + ) r ia r ib 4πϵ 0 r r AB.75) r ij := r i R J, i =,, J = A, B,.76) 43

45 dem Abstand der Eektronen voneinander, und dem Abstand der Protonen voneinander, r := r r,.77) r AB := R A R B..78) H kommutiert mit dem Gesamtspin S = S + S der Eektronen. Daher können wir die Eigenzustände von H zugeich as Eigenzustände s, m von S und S z wähen. Diese Spin-Zustände sind bekannt: Es gibt einen Singuett-Zustand sowie drei Tripett-Zustände 0, 0 =,.79), =,.80), 0 = +,.8), =..8) Wir wissen aus.., dass die räumiche Weenfunktion für das Singuett Tripett) symmetrisch antisymmetrisch) sein muss. Sie ässt sich aber nicht exakt bestimmen; das Probem ist die Eektron-Eektron-Wechsewirkung e 4πϵ 0 r..83) As grobe Näherung, die aber die Diskussion der wesentichen Effekte gestattet, nehmen wir an, dass die Weenfunktion durch die Grundzustandsweenfunktionen ψ nm r) = ψ 00 r) = e r/a B.84) 3/ πa B der beiden H-Atome für sich aein approximiert werden kann a B ist der Bohr-Radius). Der räumiche Hibertraum ist aso zweidimensiona und wird von aufgespannt, wobei ψ A 0, ψ B 0.85) r ψ A 0 = ψ A 0 r) = ψ 00 r R A ),.86) r ψ B 0 = ψ B 0 r) = ψ 00 r R B )..87) Da ψ0 A und ψ0 B zu verschiedenen Atomen gehören, sind sie nicht orthogona. Ihr Überappintegra ist I AB = ψ0 A ψ0 B = d 3 r e r R A a B e r R A a B = πa 3 B + r AB + r AB a B 3a B ) exp r AB /a B ) > 0.88) mit r AB = R A R B. Für den Singuett-Zustand finden wir die symmetrischen) Weenfunktionen ψ A 0 r )ψ A 0 r ),.89) ψ A 0 r )ψ B 0 r ) + ψ B 0 r )ψ A 0 r ) + I AB,.90) ψ B 0 r )ψ B 0 r )..9) 44

46 Diese sind inear unabhängig, aber nicht orthogona, und spannen einen dreidimensionaen Zweiteichen- Hibertraum auf. Das Probem ist jetzt im Prinzip ohne weitere Näherungen ösbar, da es auf die Diagonaisierung einer 3 3-Matrix hinausäuft. Wir nähern aber noch weiter. In den Zuständen ψ A 0 r )ψ A 0 r ), ψ B 0 r )ψ B 0 r ).9) befinden sich beide Eektronen bevorzugt in der Nähe desseben Protons. Ihre Couomb-Abstoßung ist daher besonders groß. Die Heiter-London-Näherung besteht darin, diese Zustände zu vernachässigen. Dann ist die Weenfunktion im Singuett-Zustand φ s r, r ) = ψa 0 r )ψ B 0 r ) + ψ B 0 r )ψ A 0 r ) + I AB..93) Im Tripett-Zustand kann die antisymmetrische) Weenfunktion nur auten φ t r, r ) = ψa 0 r )ψ B 0 r ) ψ B 0 r )ψ A 0 r ) I AB..94) Die entsprechenden Dichten n s,t r) := d 3 r ϕ s,t r, r ) d 3 r ϕ s,t r, r).95) sind hier skizziert: ns nt Die Aufgabe ist nun festzusteen, wecher der beiden Zustände bei wechem Kernabstand r AB den Energieerwartungswert H minimiert. Wir verwenden die exakte Schrödinger-Geichung für das Wasserstoffatom, ) p i m e ψ0 A r i ) = E 0 ψ0 A r i ).96) 4πϵ 0 r ia mit der Grundzustandsenergie E 0. Außerdem benötigen wir die Größen d 3 r d 3 r ψ0 A r )ψ0 B r )Hψ0 A r )ψ0 B r ) ) p = d 3 r ψ0 A r ) m e ψ0 A r ) d 3 r ψ0 B r )ψ0 B r ) 4πϵ 0 r A ) p + d 3 r ψ0 A r )ψ0 A r ) d 3 r ψ0 B r ) m e ψ0 B r ) 4πϵ 0 r B d 3 r ψ A 0 r ) e 4πϵ 0 ψ0 A r ) r B d 3 r ψ B 0 r )ψ B 0 r ) d 3 r ψ0 A r )ψ0 A r ) d 3 r ψ0 B e r ) ψ0 B r ) 4πϵ 0 r A + e d 3 r ψ0 A r )ψ0 A r ) d 3 r ψ0 B r )ψ0 B r ) 4πϵ 0 r AB + d 3 r d 3 r ψ0 A r )ψ0 B e r ) ψ0 A r )ψ0 B r ) 4πϵ 0 r = E 0 + C AB.97) 45

47 mit dem veragemeinerten) Couomb-Integra { C AB := e 4πϵ 0 r AB d 3 ψ0 A r ) r r R B d 3 ψ0 B r ) r r R A + d 3 r d 3 ψ0 A r ) ψ0 B r ) } r..98) r r Anaog git d 3 r d 3 r ψ B 0 r )ψ A 0 r )Hψ B 0 r )ψ A 0 r ) = E 0 + C AB..99) Andererseits ist d 3 r d 3 r ψ A 0 r )ψ B 0 r )Hψ B 0 r )ψ A 0 r ) = E 0 I AB + J AB.300) mit dem veragemeinerten) Austauschintegra J AB := e 4πϵ 0 + { IAB r AB d 3 r ψ A 0 r )ψ B 0 r ) r R B d 3 r d 3 r ψ A 0 r )ψ B 0 r )ψ B 0 r )ψ A 0 r ) r r I AB d 3 r ψ B 0 r )ψ A 0 r ) r R A I AB }..30) Damit ist E s := φ s H φ s = + I AB )4E 0 + C AB + 4E 0 I AB + J AB ) = E 0 + C AB + J AB + IAB,.30) E t := φ t H φ t = I AB )4E 0 + C AB 4E 0 I AB J AB ) = E 0 + C AB J AB IAB..303) Es fogt E t E s = C AB J AB I AB C AB + J AB + I AB = C AB J AB ) + I AB ) C AB + J AB ) I AB ) I 4 AB = C ABIAB J AB IAB ) Die Integrae C AB und J AB assen sich numerisch berechnen. Sie hängen von einem einzigen Parameter, r AB /a B, ab. Man findet E t E s > 0 r AB. Der Grundzustand ist aso auf jeden Fa ein Singuett. Beachte, dass die magnetische Wechsewirkung antiparaee Spins sind energetisch günstiger as paraee aus der rein eektrischen) Couomb-Wechsewirkung und dem Paui-Prinzip erwächst. Das ist auch der wesentiche Ursprung von Magnetismus in Festkörpern. Weiter findet man, dass E s, aber nicht E t, ein Minimum as Funktion von r AB hat: 46

48 E E t E kass E 0 * r AB /a B E s 0 r AB /a B Damit gibt es einen gebundenen Zustand mit dem Kernabstand rab, wobei de = ) dr AB rab =rab Die Austauschwechsewirkung, und damit der Term J AB, ist ein quantenmechanischer Effekt. Aus einer kassischen Rechnung mit eektronischen Ladungsdichten e φ A 0 r ) und e φ B 0 r ) erhät man eine Energie E kass, die ebenfas kein Minimum as Funktion von r AB zeigt. Aso ist der Austauscheffekt notwendig für die kovaente Bindung im H -Moekü und auch ganz agemein. Trotz der groben Näherungen iegen die quantitativen Ergebnisse für H in der richtigen Größenordnung:.6 Bosonen r AB E s r AB ) E 0 Heiter-London 0,869 Å 3,4 ev experimente 0,74 Å 4,73 ev Der Grundzustand eines Systems von nicht wechsewirkenden, identischen Fermionen ist der Fermi-See. Was ist der Grundzustand von wechsewirkungsfreien, identischen Bosonen? Die Antwort hängt davon ab, ob die Teichenzah erhaten ist: Teichenzah nicht erhaten Photonen, Phononen,... ): Der Grundzustand enthät keine Teichen Vakuum). Teichenzah erhaten 4 He-Atome, 87 Rb-Atome): Im Grundzustand befinden sich ae N Teichen im Einteichen-Grundzustand. Wir nehmen hier an, dass dieser nicht entartet ist. Wir wissen aus der Quantenstatistik, dass in d 3 Dimensionen für endiche Temperaturen 0 < T < T c eine makroskopische extensive) Zah N 0 von Teichen im Einteichengrundzustand beibt Bose-Einstein-Kondensation). 47

49 N 0 N 0 0 Tc T Für wechsewirkende, geadene Bosonen veräuft die Berechnung der Wechsewirkung anaog zu den Fermionen, mit einem wichtigen Unterschied: Die Austausch-Wechsewirkung hat für Bosonen das geiche Vorzeichen wie die direkte Couomb-Wechsewirkung, verstärkt aso die Abstoßung. Das Vorzeichen beruht darauf, dass bosonische Operatoren vertauschen, während fermionische antivertauschen. Physikaisch ist die Ursache, dass sich Bosonen mit größerer Wahrscheinichkeit nahe beieinander aufhaten as unterscheidbare Teichen und sich daher stärker abstoßen. Die Hartree-Fock-Näherung ist ebenfas anaog, bis auf das reative Pus-Zeichen von Hartree- und Fock-Term. Die Näherung autet aso in zweiter Quantisierung b ν b ν b ν b ν = b ν b ν b ν b ν + b ν b ν b ν b ν b ν b ν b ν b ν und in der Impusraumbasis für spinose Bosonen + b ν b ν b ν b ν + b ν b ν b ν b ν b ν b ν b ν b ν.306) b k +q b k q b k b k = b k +q b k b k q b k + b k +q b k b k q b k b k +q b k b k q b k + b k +q b k b k q b k + b k +q b k b k q b k b k +q b k b k q b k..307) 48

50 Kapite 3 Reativistische Quantentheorie Die Schrödinger-Geichung für ein freies Teichen, iħ ħ ψr, t) = t m ψr, t), 3.) ist sicherich nicht Lorentz-invariant, da sie den Ort r und die Zeit t nicht geichartig behandet: Sie enthät die erste Abeitung nach t, aber die zweite nach r. Tatsächich beruht die Schrödinger-Geichung auf der nichtreativistischen kinetischen Energie p /m. Genauer ergibt sich für ein Weenpaket aso finden wir as kassischen Grenzfa H ψ H ψ = p m, 3.) E = p m, 3.3) im Widerspruch zur Spezieen Reativitätstheorie. Wir erwarten aso, dass Voraussagen der Schrödinger-Geichung versagen, wenn typische Geschwindigkeiten nicht v c, mit der Lichtgeschwindigkeit c, erfüen. Dann sote nämich im kassischen Grenzfa für das freie Teichen die reativistische Beziehung E = m c 4 + p c 3.4) herauskommen. In diesem Kapite beschäftigen wir uns mit der reativistischen, d.h. Lorentz-invarianten, Quantentheorie für Einteichensysteme. Wir beginnen mit einer Wiederhoung von Konzepten und Schreibweisen der Spezieen Reativitätstheorie. 3. Speziee Reativitätstheorie Zentra ist der Begriff des Inertiasystems. Ein Inertiasystem ist ein Bezugssystem ein Koordinatensystem in der vierdimensionaen Raumzeit, dem Minkowski-Raum), in dem sich ein kräftefreier Körper geradinig und geichförmig bewegt. Die Existenz von Intertiasystemen wird von Newtons. Axiom postuiert, das weiterhin gütig beibt. Einstein formuierte nun fogende Postuate:. Äquivaenzpostuat: Die physikaischen Gesetze sind in aen Inertiasystemen identisch das ist noch nicht beschränkt auf die reativistische Physik).. Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: c = const ist ein physikaisches Gesetz im Sinne des Äquivaenzpostuats. 49

51 3.. Viererschreibweise und reativistische Mechanik Die Transformation zwischen verschiedenen Inertiasystemen wird durch agemeine Lorentz-Transformationen vermittet. Diese biden die Lorentz-Gruppe mit 6 Generatoren: Lorentz-Boosts für die Reativgeschwindigkeit v in 3 unabhängigen Richtungen biden die spezieen Lorentz-Transformationen), räumiche Drehungen in 3 unabhängigen Ebenen. Für Koordinaten r, t im Intertiasystem S und r, t im Inertiasystem S autet die speziee Lorentz-Transformation d.h. der Boost) für Reativgeschwindigkeit v = vˆx o.b.d.a.) x = x vt x + vt, 3.5) x =, 3.6) v c v c t = t v c x t + v c x, 3.7) t =, 3.8) v c v c y = y, z = z. 3.9) Die Lorentz-Transformationen assen sich as veragemeinerte Rotationen von Vierervektoren auffassen. Den Viererortsvektor schreiben wir as x µ ) = x 0, x, x, x 3 ) = ct, x, y, z) = ct, r). 3.0) Wir verwenden hier die Schreibweise x µ ), wenn wir den Vektor meinen, und x µ für die µ-te Komponente. Damit ist die obige speziee Lorentz-Transformation x µ = L µ ν x ν 3.) mit Einsteinscher Summenkonvention: über identische obere und untere Indizes wird summiert, hier über ν = 0,,, 3), wobei γ βγ 0 0 L µ ν) = βγ γ ) mit Definitionen: β := v c, 3.3) γ := Kontravarianter Vektor a µ ) = a 0, a, a, a 3 ): Transformiert sich wie x µ ), Kovarianter Vektor a µ ) = a 0, a, a, a 3 ): Transformiert sich gemäß =. 3.4) β v c a µ = xµ x ν aν L µ ν a ν. 3.5) a µ = xν x µ a ν =: L ν µ a ν. 3.6) 50

52 Es fogt mit Hife der Kettenrege L µ ν L ν λ = xµ x ν x ν x λ = xµ x λ = δµ λ, 3.7) wobei δ µ λ bis auf die Steung der Indizes das gewöhniche Kronecker-Symbo ist. Agemeiner definiert man Tensoren., 3., usw. Stufe, wobei jeder Index kontra- oder kovariant sein kann. Z.B. transformiert sich A µν ) gemäß und anaog A µν = xµ x ρ x ν x σ Aρσ L µ ρ L ν σ A ρσ 3.8) A µν = Lµ ρ Lν σ A ρσ, 3.9) A µ ν = L µ ρ Lν σ A ρ σ, 3.0) Aµ ν = Lµ ρ L ν σ Aρ σ. 3.) Die Reihenfoge der Indizes ist wesentich. Für Tensoren höherer Stufe autet die Transformation anaog, z.b. B λµν = L λ ρ L µ σ L ν τ B ρστ. 3.) Zu jedem kontravarianten Vektor existiert ein kovarianter Vektor und umgekehrt. Agemeiner kann man ae Indizes von Tensoren zwischen kontravariant und kovariant umwanden heben oder senken ). Dies erfogt mit Hife des metrischen Tensors g µν ): a µ = g µν a ν, 3.3) a µ = g µν a ν, 3.4) A µν = g µρ A ρ ν = g µρ g νσ A ρσ = g νσ Aµ σ 3.5) usw. In der Spezieen Reativitätstheorie ist g µν ) = g µν ) = ) [In der Agemeinen Reativitätstheorie ist g µν x λ )) hingegen ein dynamisches Fed.] Mit x µ ) = ct, r) fogt aso x µ ) = ct, r). 3.7) Das Skaarprodukt ist definiert durch Man findet a µ b µ = g µν a µ b ν = g νµ a µ b ν = a ν b ν. 3.8) a µ b µ = L µ ν L λ µ a ν b λ xµ x ν x λ x µ aν b λ = xλ x ν aν b λ = a ν b ν. 3.9) Das Skaarprodukt ist aso invariant unter Lorentz-Transformationen Lorentz-invariant). Lorentz-Skaare sind Größen, die sich unter Lorentz-Transformationen nicht ändern, z.b. Skaarprodukte. Betragsquadrat: a µ a µ = g µν a µ a ν = a 0 ) a ) a ) a 3 ), 3.30) z.b. x µ x µ = c t r. Beachte, dass dieses veragemeinerte) Betragsquadrat negativ werden kann. Wir nennen einen Vierervektor a µ ) 5

53 zeitartig, wenn a µ a µ > 0, ichtartig, wenn a µ a µ = 0, raumartig, wenn a µ a µ < 0. Vierergradient: transformiert sich gemäß a µ = aν a µ ) a µ, 3.3) a ν = xν x µ a ν. 3.3) Vergeich mit G. 3.6) zeigt, dass sich die Abeitung nach einem kontravarianten Vektor wie ein kovarianter Vektor transformiert. Umgekehrt ist ) a µ ein kontravarianter Vektor. Spezie für raumzeitiche Gradienten schreiben wir µ := µ := x µ kovariant), 3.33) x µ kontravariant). 3.34) Es ist µ ) = µ ) = c c ) t, t,, 3.35) ). 3.36) Beachte die umgekehrten Vorzeichen im Vergeich zu x µ ) = ct, r), x µ ) = ct, r). D Aembert-Operator: := µ µ = µ µ = c t. 3.37) Die Eigenzeit τ ist die von einer Uhr angezeigte Zeit, die von einem Massenpunkt mitgeführt wird. Diese Uhr befindet sich daher i.a. nicht in einem Inertiasystem. Für das Differentia dτ git dτ = dt γ 3.38) mit γ = / v /c, wobei v = dr/dt hier die momentane Geschwindigkeit des Massenpunktes in einem gegebenen Inertiasystem z.b. dem Laborsystem) mit den Koordinaten ct, r ist. Die Vierergeschwindigkeit ist ) dx u µ µ ) := = dτ γc, γ dr ) = γc, γv). 3.39) dt Der Viererimpus ist p µ ) := mu µ ). 3.40) Mit m bezeichnen wir immer die Ruhemasse, wir verwenden kein Konzept einer geschwindigkeitsabhängigen Masse. Man findet eicht ) p µ p µ = m u µ u µ = γ m c v ) = γ m c v c = m c. 3.4) Wir schreiben p µ ) = p 0, p), 3.4) 5

54 dann ist Der Limes für v c ergibt p µ p µ = p 0 ) p = m c 3.43) p 0 ) = m c + p 3.44) p 0 c = m c 4 + p c. 3.45) + p m c = mc + p m, 3.46) aso die Ruheenergie mc pus die nichtreativistische kinetische Energie. Es iegt daher nahe, p 0 c as reativistische Veragemeinerung der Gesamtenergie des freien Teichens zu betrachten: p 0 c = mc E := m c 4 + p c E = m c 4 + p c. 3.47) Beachte, dass E die 0-Komponente eines Vierervektors ist und kein Lorentz-Skaar. E hängt aso vom Inertiasystem ab, wie man auch erwartet. Agemein soten physikaische Gesetze kovariant formuiert werden, d.h., sie soten nur Lorentz-Skaare, Vierervektoren und entsprechende höhere Tensoren enthaten. Dann erfüen sie automatisch die Einsteinschen Postuate. Es ist eine Schwäche der reativistischen Newton-Mechanik, dass sie mit nicht kovarianten Größen, wie der Energie E, operiert. Die reativistische Quantenmechanik erbt dieses Probem. Eine kovariante Formuierung der kassischen Mechanik ist aber mögich, sie verwendet den Lagrange- Formaismus. Eine kovariante Formuierung der Quantentheorie ist, im Rahmen der Zweiten Quantisierung, ebenfas mögich. Sie verwendet einen Lagrange-Operator, ausgedrückt durch die Quantenfedoperatoren Ψ, Ψ, und ist somit eine reativistische Quantenfedtheorie. 3.. Eektrodynamik Das eektrische und das magnetische Fed erfüen in Gegenwart von Ladungen und Strömen die Maxwe- Geichungen in Gaußschen Einheiten) Aus diesen fogt die Kontinuitätsgeichung: E = 4πρ, 3.48) B = 0, 3.49) E = B c t, 3.50) B = 4π c j + E c t. 3.5) ρ t = 4π E t = c B) j = j 3.5) 4π }{{} =0 ρ + j = ) t Die Maxwe-Geichungen vereinfachen sich durch Einführung von Eichfedern Potentiaen) ϕ, A gemäß E = ϕ A c t, 3.54) B = A. 3.55) Dann sind die homogenen Maxwe-Geichungen 3.49) und 3.50) automatisch erfüt. Die Geichungen und damit die beobachtbaren Größen sind invariant unter den simutanen Eichtransformationen A A + χ, 3.56) ϕ ϕ χ c t, 3.57) 53

55 wobei χr, t) ein beiebiges skaares Fed ist Eichinvarianz). Die Maxwe-Geichungen sind bereits Lorentzinvariant, was man ihnen aber nicht geich ansieht. Die Kovarianz wird kar erkennbar durch Einführung des Viererpotentias A µ ) = ϕ, A). 3.58) Die Feder E, B sind nicht die räumichen Komponenten von Vierervektoren, sondern Komponenten des antisymmetrischen Fedstärketensors, F µν := µ A ν ν A µ. 3.59) Dieser ist invariant unter agemeinen Eichtransformationen der Form denn A µ A µ µ χ, 3.60) F µν F µν µ ν χ + ν µ χ = F µν. 3.6) Es ist oft praktisch, eine bestimmte Eichung zu wähen. Eine besondere Roe spiet die Lorenz-Eichung Ludvig Lorenz, ohne t ) µ A µ = 0, 3.6) da sie offensichtich Lorentz-invariant ist Hendrik Anton Lorentz, mit t ). Die Komponenten des Fedstärketensors sind, für m, n =,, 3, aso F 0n = c A n t F m0 = ϕ r n c F mn = A n + A m = r m r n p Die homogenen Maxwe-Geichungen assen sich zu zusammenfassen. Z.B. ist für λ, µ, ν) = 0,, ): + ϕ = E n, r n 3.63) A m = E m, t 3.64) ϵ mnp B p, 3.65) 0 E E E 3 F µν ) = E 0 B 3 B E B 3 0 B. 3.66) E 3 B B 0 λ F µν + µ F νλ + ν F λµ = ) 0 = c B 3 t E + E = B 3 E) ) r r c t Die homogenen Geichungen sind weiterhin automatisch erfüt: λ F µν + µ F νλ + ν F λµ = λ µ A ν λ ν A µ + µ ν A λ µ λ A ν + ν λ A µ ν µ A λ = ) Die Dichten ρ, j biden den Viererstromdichtevektor j µ ) = ρc, j). 3.70) Die inhomogenen Geichungen auten dann µ F µν = 4π c jν, 3.7) 54

56 denn es fogt 4πρ = 4π c j0 = n F n0 = E, 3.7) 4π c jn = µ F µn = c = E n c t p E n t + F mn r m ϵ mnp B p r m = c Die Kontinuitätsgeichung nimmt die einfache Form E n t + B) n. 3.73) µ j µ = µ j µ = ) an, denn es ist µ j µ = c ρ ρc + j = + j = ) t t 3..3 Minimae Koppung Die Wirkung des eektromagnetischen Fedes auf Teichen der Ladung q beschreiben wir in der nichtreativistischen kassischen Mechanik durch Addition von q ϕr) zur potentieen Energie und Ersetzung des kanonischen Impuses in der kinetischen Energie durch den kinetischen Impus, p p q Ar). 3.76) c Man überzeugt sich, dass hieraus die bekannte Lorentz-Kraft fogt. Die beiden Schritte assen sich in Viererschreibweise eegant zusammenfassen: p µ p µ q c Aµ 3.77) vg. Skript zur Theoretischen Mechanik). Diese Art der Ankoppung des Eichfedes A µ ) nennt man minimae Koppung, da es die einfachste nichttriviae, aber mit der Eichinvarianz vereinbare, Mögichkeit darstet. Es ist nach unserem Wissen auch die tatsächich reaisierte Koppung. 3. Die Kein-Gordon-Geichung Wir woen nun eine Lorentz-invariante Einteichen-Quantentheorie konstruieren. Im ersten Schritt ignorieren wir den Spin der Teichen bzw. betrachten spinose Teichen π-mesonen, Higgs-Bosonen, 4 He-Atome). 3.. Freie Teichen Die Argumentation fogt der heuristischen Begründung der Schrödinger-Geichung für den nichtreativistischen Fa. Zentra ist das Korrespondenzprinzip: Die Quantenmechanik enthät die kassische Mechanik as Grenzfa für große Wirkungen S ħ. Aso muss sich für freie Teichen im kassischen Grenzfa die reativistische Energiereation E = p c + m c ) ergeben. Wir erhaten den kassischen Grenzfa, indem wir das Teichen durch ein mögichst schmaes Weenpaket darsteen, d 3 k ψr, t) = π) 3 fk) eik r ωt). 3.79) 55

57 Der Schwerpunkt des Weenpakets bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit v g = ω k. 3.80) Das Korrespondenzprinzip verangt, dass diese Geschwindigkeit des Schwerpunktes im kassischen Grenzfa geich der Geschwindigkeit des Teichens ist, ω k = v g! = v = E p, 3.8) wobei wir eine kanonische Geichung der kassischen Hamiton-Mechanik verwendet haben. Um eine mögichst einfache Lösung zu finden, fordern wir, dass diese Identität ganz agemein git, nicht nur im kassischen Grenzfa. Soten wir keine Lösung finden, müssten wir diese sehr starke Forderung abschwächen.) Der Photoeffekt zeigt, dass für Photonen E = ħω git. Mit ω k = E 3.8) p fogt p = ħk. De Brogie stete die Vermutung auf, dass diese Beziehungen auch für Materieween geten. Dann erhaten wir für Materieween ohne äußeres Potentia die Dispersionsreation ω = k c + m c 4 ħ. 3.83) Ebene Ween haben aso die Form In Vierernotation ist ψr, t) = ψ 0 exp [ ]) i k r k c + m c 4 ħ t. 3.84) ψx µ )) ψx) = ψ 0 e ikµ x µ 3.85) mit k µ ) = ω c, k) ; vergeiche den Viererimpus p µ ) = E c, p), dies ist aso konsistent mit p µ = ħk µ. Immer in Anaogie zum Fa der Schrödinger-Geichung suchen wir eine mögichst einfache Geichung, die von ψx) erfüt wird. Die Geichung so natürich Lorentz-invariant sein. Da und µ ψx) = ψ 0 e ik ν x ν = ik µ ψx) 3.86) x µ µ µ ψx) = k µ k µ ψx) 3.87) k µ k µ = ω c k = m c ħ, 3.88) autet eine soche Geichung µ µ + m c ) ψx) = ) ħ Dies ist die Kein-Gordon-Geichung für ein freies Teichen, die übrigens zuerst von Schrödinger gefunden aber wieder verworfen wurde. Eine äquivaente Schreibweise ist + m c ) ψx) = ) ħ Expiziter autet die Geichung c t + m c ) ħ ψr, t) = ) Beachte, dass hier die Compton-Weenänge λ C := ħ/mc auftritt. Im Fa m = 0 erhaten wir die Weengeichung, so dass wir die Kein-Gordon-Geichung as Veragemeinerung der Weengeichung auf massive Teichen verstehen können. Es ist zu beachten, dass die Kein-Gordon-Geichung nicht die einzige Lorentz-invariante Geichung ist, 56

58 die die geforderte Dispersion iefert, sondern bestenfas die einfachste. Insbesondere kann man sich fragen, warum wir nicht + m c ħ ψx) = 0 3.9) angesetzt haben, was homogen von erster Ordnung in der Energie ist, wie die Schrödinger-Geichung. Diese aternative Geichung ist aber nicht schön, wei die Wurze eine Unstetigkeit nämich einen Verzweigungspunkt) hat, und zwar gerade für soche ψ, die die Geichung erfüen. Man fasst die heuristische Begründung oft wie fogt zusammen: Die Schrödinger-Geichung kann man erhaten, indem man in der nichtreativistischen, kassischen Reation die Ersetzungen E = p m 3.93) E iħ t, 3.94) p ħ i 3.95) vornimmt, und die resutierenden Differentiaoperatoren auf die Weenfunktion anwendet: Anaog machen wir dieseben Ersetzungen, für und erhaten iħ ψ t = ħ m ψ. 3.96) p µ iħ µ, 3.97) E = p 0 c) = p c + m c ) ħ ψ t = ħ c ψ + m c 4 ψ 3.99) c t + m c ) ħ ψ = 0, 3.00) aso die Kein-Gordon-Geichung. Diese Argumentation ist aber nur as Karikatur der ausführicheren zu betrachten. 3.. Eigenschaften der Kein-Gordon-Geichung Wir untersuchen nun die Kein-Gordon-Geichung genauer. Die Geichung ist inear, daher git das Superpositionsprinzip: Sind ψ und ψ Lösungen, so auch λ ψ +λ ψ für ae λ, λ C. Die Geichung ist von zweiter Ordnung in der Zeit. Daher brauchen wir zwei Anfangsbedingungen, i.a. ψr, t) ψr, t 0 ) und t, 3.0) t=t0 um die Lösung eindeutig festzuegen. Das ist anders as bei der Schrödinger-Geichung. Diese Eigenschaft ist beunruhigend: Es ist schwer zu verstehen, dass man in der kovarianten Quantentheorie ψt 0 ) und ψ t t 0) kennen muss, um die zukünftige Zeitentwickung vorherzusagen, während im nichtreativistischen Grenzfa die Weenfunktion ψt) ausreicht. 57

59 Lösungen sind ebene Ween denn dann ist µ µ + m c ) ψ = Aber die Bedingung für k µ ) impiziert nur ψ = ψ 0 e ikµ x µ mit k µ k µ = m c ħ ω = k c + m c 4 ω = ± k µ k µ + m c ħ ħ, 3.0) ) ψ = ) ħ 3.04) k c + m c 4 ħ 3.05) E = ħω = ± ħ c k + m c ) Die Dispersion besteht aus zwei Hyperben. Das Spektrum hat eine Energieücke von mc bis mc und ist nach oben und unten unbeschränkt. Das ist probematisch, sobad wir das Teichen an ein Wärmebad koppen, so dass es Energie abgeben und aufnehmen kann. Es wird dann das bestreben haben, seine Energie zu minimieren. Es kann aber beiebig vie Energie an das Bad abgeben und dabei in immer tiefer iegende Niveaus faen. Dieses unphysikaische Verhaten nennt man Zerstrahungskatastrophe. Die Wahrscheinichkeitsstromdichte j µ ) sote die Kontinuitätsgeichung µ j µ = ) erfüen. Tatsächich benutzen wir die Kontinuitätsgeichung, um herauszufinden, wie j µ aussieht. Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass die Wahrscheinichkeitsstromdichte diesebe Form wie in der Schrödinger- Theorie hat. Aus der Kein-Gordon-Geichung erhaten wir ψ µ µ + m c ħ ) ψ = ) und woraus fogt ψ µ µ + m c ) ψ = 0, 3.09) ħ ψ µ µ ψ ψ µ µ ψ = 0 3.0) µ ψ µ ψ ψ µ ψ ) = 0. 3.) 58

60 Damit haben wir eine vierer-) divergenzfreie Größe gefunden. Daher definieren wir j µ := iħ m }{{} konventioneer Vorfaktor so dass µ j µ = 0 git. Die Komponenten von j µ ) auten ψ µ ψ ψ µ ψ ), 3.) j 0 = ρc 3.3) iħ ρ = ψ ψ mc c t ψ ψ ) = iħ c t mc ψ ψ ) t ψ ψ 3.4) t und j = iħ m ψ ψ ψ ψ ). 3.5) Die Dichte ρ hat aso tatsächich nicht die Form ψ ψ aus der Schrödinger-Theorie. Hier tritt ein Probem auf: Da die Kein-Gordon-Geichung von zweiter Ordnung ist, können wir ψr, t 0 ) und ψ t r, t 0) beiebig vorgeben. Damit können wir aber auch ρr, t 0 ) beiebig vorgeben; G. 3.4) garantiert nur, dass ρ ree ist. Wir können insbesondere ρr, t) < 0 für gewisse r wähen. Dann können wir ρ aber nicht as Wahrscheinichkeitsdichte interpretieren. Betrachten wir ebene Ween, die ja speziee Lösungen der Kein-Gordon-Geichung sind, so erhaten wir Wir sehen: ρ = iħ mc ψ 0 iω iω) = ħω mc ψ ) ω > 0 E > 0) führt auf konstante, positive Dichte, ω < 0 E < 0) führt auf konstante, negative Dichte. Man kann im Rahmen der Kein-Gordon-Theorie keine erhatene Viererstromdichte konstruieren, die ρ 0 garantiert. Die Größe ψ ψ ist z.b. zwar positiv definit, aber nicht erhaten: t ψ ψ = ψ ψ ψ + ψ t t 3.7) und die Kein-Gordon-Geichung determiniert ψ/ t nicht, aso können wir insbesondere nicht ψ/ t durch räumiche Abeitungen ausdrücken. Daher können wir die rechte Seite von G. 3.7) auch nicht agemein as räumiche Divergenz einer Stromdichte schreiben. Dieses Probem führt zu einer mögichen Uminterpretation der Theorie nach Paui und Weißkopf:. Da sich keine erhatene Wahrscheinichkeitsstromdichte konstruieren ässt, ist die Wahrscheinichkeit offenbar nicht erhaten. Das heißt, dass Teichen erzeugt und vernichtet werden können.. Die Viererstromdichte j µ = iħq m ψ µ ψ ψ µ ψ ) 3.8) der neue Faktor q ist eine nicht unbedingt eektrische Ladung) ist aber erhaten. Wir interpretieren j 0 = ρ/c as Ladungsdichte und j as Ladungsstromdichte. 3. Die Theorie beschreibt aso die Erzeugung und Vernichtung von Teichen in Paaren der Gesamtadung Nu Teichen-Antiteichen-Paare). Da wir aber vom Einteichenbid ausgegangen waren, ist diese Interpretation mit der Kein-Gordon- Quantenmechanik unverträgich. Sie weist über deren Rahmen hinaus. Erst in der Mehr-Teichen-Theorie mit zweiter Quantisierung, d.h. in der Quantenfedtheorie, kann sauber die Paarerzeugung und -vernichtung beschrieben werden. Sie öst auch die Probeme der Wahrscheinichkeitserhatung und des nach unten unbeschränkten Spektrums. 59

61 3..3 Teichen im eektromagnetischen Fed Mit dem Viererimpusoperator in Ortsdarsteung ˆp µ := iħ µ, 3.9) ˆp 0 = iħ c t, 3.0) ˆp = iħ, 3.) können wir die freie Kein-Gordon-Geichung schreiben as ħ ˆpµ ˆp µ + m c ) ψ = 0 3.) ħ ˆp µ ˆp µ m c ) ψ = 0 3.3) beachte das Vorzeichen des Massenterms). Die minimae Koppung an das eektromagnetische Fed besteht nun in der Ersetzung ˆp µ ˆp µ q c Aµ. 3.4) Wir erhaten die Kein-Gordon-Geichung für ein Teichen der Ladung q im eektromagnetischen Fed, [ ˆp µ q c Aµ)ˆp µ q ) ] c A µ m c ψ = ) Äquivaent können wir ersetzen µ D µ := µ q iħc Aµ = µ + i q ħc Aµ. 3.6) D µ ) nennt man eichkovariante Abeitung, eine ungückiche Bezeichnung, die nichts damit zu tun hat, dass D µ ) ein kontravarianter Vektor sic!) ist. Damit wird die Kein-Gordon-Geichung D µ D µ + m c ) ψ = 0 3.7) [ µ + i q ħc Aµ) µ + i q ) ħc A µ + m c ħ [ µ µ + i qħc µ A µ + A µ µ ) q ħ c Aµ A µ + m c ħ ħ ] ψ = 0 3.8) ] ψ = ) Für zeitunabhängiges Fed A µ ) können wir stationäre Lösungen suchen, d.h. soche mit zeitunabhängigem Betragsquadrat ψ. Wir machen den Ansatz, anaog zum Schrödinger-Fa, ψr, t) = e iet/ħ ψr). 3.30) Einsetzen ergibt [ i E ħc + i q ħc ϕr) ) + i qħc Ar) ) + m c ħ ] ψr) = 0 3.3) E qϕr) ) ψr) = c ħ i q ) c Ar) ψr) + m c 4 ψr). 3.3) Das ist die zeitunabhängige Kein-Gordon-Geichung für ein Teichen im statischen eektromagnetischen Fed. Man kann jetzt z.b. ein π -Meson im Couomb-Potentia eines Kerns betrachten, d.h. setzen q = e, ϕr) = Ze, A ) r 60

62 Wir haben hier eine Lorenz-Eichung gewäht, denn es git µ A µ = c ϕ t = Ze c = ) t r Die resutierende Geichung kann man weitgehend anaog zum nichtreativistischen Fa durch den Separationsansatz in Kugekoordinaten ψr) = Rr) Y ϑ, ϕ) 3.35) ösen, vg. z.b. F. Schwab, Quantenmechanik für Fortgeschrittene. Der Winkeantei ist wieder durch Kugefächenfunktionen Y m ϑ, ϕ) gegeben; dies fogt aein aus der Rotationssymmetrie. 3.3 Die Dirac-Geichung 3.3. Freies Teichen Wie wir gesehen haben, ässt sich im Rahmen der Kein-Gordon-Theorie keine erhatene, positiv-definite Wahrscheinichkeitsdichte konstruieren. Die erhatene Dichte ρ = j 0 /c kann negativ gewäht werden, da die Kein- Gordon-Geichung von zweiter Ordnung in der Zeit ist. Das ist ohnehin merkwürdig warum sote man in der kovarianten Theorie ψ und ψ/ t kennen müssen, um die Zeitentwickung vorherzusagen, im nichtreativistischen Grenzfa aber nur ψ? Diracs Zie war daher, eine reativistische Bewegungsgeichung für ψ zu konstruieren, die von erster Ordnung in t ist. Aufgrund der Kovarianz muss sie dann auch von erster Ordnung in r sein. Dirac machte daher den Ansatz iħ t + iħc α βmc ) ψr, t) = ) Das ist die Dirac-Geichung für ein freies Teichen. Sie ässt sich auch in einer zur Schrödinger-Geichung ähnichen Form schreiben: iħ ψ = Hψ 3.37) t mit H = iħc α + βmc = c α ˆp + βmc. 3.38) Git die Dirac-Geichung 3.36), so fogt beachte die Vorzeichen!) iħ t )iħ iħc α + t ) βmc + iħc α βmc ψr, t) = iħ t ) iħc α + βmc 0 = ) Aso ist [ ] ħ t iħc α βmc ) ψr, t) [ ] = ħ t + ħ c α ) + iħc α βmc + iβmc ħc α β m c 4 ψr, t) = ) Daraus fogt [ c t α ) imc imc αβ ħ ħ βα + m c ] ħ β ψr, t) = ) Im kassischen Grenzfa so sich weiterhin die Reation E = p c + m c 4 ergeben. Daher iegt es nahe, die Koeffizienten α, α, α 3, β so zu wähen, dass G. 3.4) wieder die Kein-Gordon-Geichung c t + m c ) ħ ψr, t) = 0 3.4) 6

63 ergibt. Dafür muss geten α i α j + α j α i = 0 für i j, 3.43) α i =, 3.44) α i β + βα i = 0, 3.45) β =. 3.46) Etwas kompakter auten diese Bedingungen unter Verwendung des Antikommutators {α i, α j } = δ ij, 3.47) {α i, β} = 0, 3.48) Die Bedingungen assen sich nicht durch Zahen erfüen, denn dann würde geten β = 3.49) α i β + βα i = α i β = 0 α i β = 0 = ) Man kann sie jedoch mit Matrizen erfüen. Sind α i und β n n-matrizen, muss die Weenfunktion ψr, t) offensichtich n Komponenten haben. Die einfachste Wah wäre n =. Die Bedingung {α i, α j } = δ ij wird gerade von den Paui-Matrizen erfüt, da git σ i σ j + σ j σ i σ i σ i =, 3.5) i j = iϵ ijk σ k + iϵ jik σ k = iϵ ijk σ k σ k ) = ) Jedoch existiert keine vierte -Matrix β, die zu quadriert und mit den Paui-Matrizen antivertauscht. Das sieht man wie fogt: Die kompexen -Matrizen biden offenbar einen vierdimensionaen Vektorraum über C. Eine Basis dieses Vektorraums ist {, σ, σ, σ 3 }. 3.53) Daher müsste sich β schreiben assen as Es fogt β = b 0 + b σ + b σ + b 3 σ 3 mit b 0, b, b, b 3 C. 3.54) {σ i, β} = b 0 σ i + σ i ) + b σ i σ + σ σ i ) + b σ i σ + σ σ i ) + b 3 σ i σ 3 + σ 3 σ i ) = b 0 σ i + b i! = 0 für i =,, ) b 0 = b = b = b 3 = ) β = 0, 3.57) im Widerspruch zur Bedingung β =. Daher ist eine Darsteung durch -Matrizen nicht mögich. Für beiebiges ungerades n ist ebenfas keine Darsteung mögich. Beweis: daraus fogt für n ungerade α α = α α 3.58) det α α ) = det α α ), 3.59) det α α ) = det α α ) 3.60) det α det α = det α det α 3.6) det α = 0 det α = ) 6

64 Nun ist aber α = α = 3.63) det α = det α = 3.64) det α ) = det α ) =, 3.65) es ergibt sich ein Widerspruch. Aso ässt sich insbesondere keine Darsteung durch 3 3-Matrizen finden. Eine Darsteung durch 4 4-Matrizen existiert. Man überzeugt sich eicht, dass fogende Matrizen ae Bedingungen erfüen: ) 0 σi α i =, 3.66) σ i 0 ) 0 β =, 3.67) 0 wobei die -Einheitsmatrix ist. Damit erfordert die einfachste Lösung n = 4. Man kann außerdem zeigen: Darsteungen existieren nur für n = 4k, k =,, 3,... und jede Darsteung ist ähnich im Sinne von ähnichen Matrizen) zu bockdiagonaen Matrizen mit n/4 identischen Böcken mit der angegebenen expiziten Darsteung von α i oder β. Die Form 3.36) der Dirac-Geichung bringt deren Lorentz-Invarianz nicht kar zum Ausdruck. Dafür ist es nützich zu definieren γ 0 = β, 3.68) γ i = βα i, i =,, ) Damit autet die Dirac-Geichung, mutipiziert mit β/c, iħβ ) ) c t + iħβ α β mc ψx) = iħγ iħ γ mc ψx) 3.70) ) iħγ µ µ mc ψx) = 0, 3.7) wobei im Massenterm eine Einheitsmatrix impiziert ist. Man verwendet zur Abkürzung den Feynman dagger dagger = Doch): Für einen Vierervektor B µ ) ist B := γ µ B µ γ µ B µ, 3.7) aso z.b. := γ µ µ γ µ µ. 3.73) Damit autet die freie Dirac-Geichung iħ mc ) ψx) = ) Die γ-matrizen erfüen mit dem metrischen Tensor g µν ). Eine mögiche Darsteung autet expizit ) γ 0 0 =, 0 ) γ i 0 σi =. σ i 0 Wie übich ist γ µ = g µν γ ν. Es fogt {γ µ, γ ν } = g µν 3.75) 3.76) γ µ γ µ = g µν γ µ γ ν = γ 0 ) γ ) γ ) γ 3 ) = = 4, 3.77) 63

65 was offensichtich ein Lorentz-Skaar ist. Die Dirac-Geichung 3.7) so Lorentz-invariant sein. Da sich µ ) wie ein kovarianter Vektor transformiert, muss sich γ µ ) as kontravarianter Vektor transformieren: γ µ L µ νγ ν. 3.78) Aso sind die γ µ abhängig vom Bezugssystem. Wir können die spezifische Darsteung 3.76) für ein Inertiasystem fordern, z.b. das Laborsystem. Um Konsistenz zu gewähreisten, muss die agebraische Struktur {γ µ, γ ν } = g µν unter Lorentz-Transformation invariant sein. Das ist der Fa: {L µ ργ ρ, L ν σγ σ } = L µ ρl ν σ{γ ρ, γ σ } = L µ ρl ν σg ρσ = L µσ L ν σ = g µτ Lτ σ L ν σ = g µν. 3.79) }{{} =δτ ν Beachte außerdem, dass die γ µ nicht hermitesch sind. Es git nämich Wegen γ µ = g µν γ ν ässt sich dies schreiben as Die γ µ sind jedoch unitär, denn γ 0 ) = γ 0, 3.80) γ i ) = γ i für i =,, ) γ µ ) = γ µ. 3.8) γ 0 γ 0 ) = γ 0 γ 0 = β =, 3.83) γ i γ i ) = γ i γ i = βα i βα i = +β α i =. 3.84) Das Fehen von Hermitizität stet kein Probem dar; die äquivaente Form iħ ψ t = c α ˆp + βmc ) ψ Hψ 3.85) mit α i ) = α i, β = β zeigt, dass der Hamitonian hermitesch ist. Diese Form verscheiert aber wie erwähnt die Lorentz-Invarianz Eigenschaften der Dirac-Geichung Da der Hamiton-Operator H = c α ˆp + βmc 3.86) eine 4 4-Matrix ist, muss die Weenfunktion ψx) ein vierkomponentiger Vektor Dirac-Spinor ) sein. Wir untersuchen jetzt die Bedeutung der vier Komponenten. Dazu betrachten wir zunächst ein ruhendes Teichen: ˆp ψr, t) = 0 iħ ψ t = Hψ = βmc ψ. 3.87) Wir schreiben ψ as Vektor aus zwei Zweiervektoren Spinoren), ) φ ψ =. 3.88) χ Dann ist Wir suchen stationäre Lösungen iħ ) φ = mc t χ) φ. 3.89) χ ψ = ψ 0 e iet/ħ φ0 χ 0 ) e iet/ħ. 3.90) 64

66 Mit diesem Ansatz fogt Die beiden Lösungen sind φ0 ) 0 0 χ0) E φ0 χ 0 ) ) = mc φ0. 3.9) χ 0 zur Eigenenergie E = mc, 3.9) zur Eigenenergie E = mc. 3.93) βmc ist der Operator der Ruheenergie, man nennt β auch Ruheenergiematrix. Für ruhende Teichen beschreiben die ersten beiden Komponenten von ψ offenbar Zustände positiver Energie und die anderen beiden Komponenten Zustände negativer Energie. Für nicht ruhende Teichen git das nicht mehr: Die stationären Lösungen der freien Dirac-Geichung sind ψr, t) = ψ 0 e ik r iet/ħ iħ ψ t = Eψ! = Hψ = ħc α k + βmc ) ψ 3.94) ħc α k + βmc ) ψ 0 = Eψ ) Die Eigenenergien sind aso die Eigenwerte der 4 4-Matrix ) ħc α k + βmc mc = ħc σ k ħc σ k mc 3.96) [σ = σ, σ, σ 3 ) ist der Vektor der Paui-Matrizen] und für jeden Eigenwert ist ψ 0 der zugehörige Eigenvektor. Die Eigenwerte sind E = ± ħ c k + m c 4, 3.97) wie erwartet. Die beiden Eigenwerte sind jeweis zweifach entartet. Die Dispersion ist identisch mit der aus der Kein-Gordon-Geichung fogenden, abgesehen von der zusätzichen Entartung. Die Eigenvektoren ψ 0 diskutieren wir später; für k 0 enthaten sie sowoh φ 0 0 as auch χ 0 0. Wir können natürich immer in das mitbewegte Inertiasystem transformieren, in dem k = 0 git. c α ässt sich as Geschwindigkeitsoperator deuten: Im Heisenberg-Bid ist, für j =,, 3, v j := ẋ j = i ħ [H, x j] = ic ħ [α ˆp, x j] = ic ħ 3 [α ˆp, x j ] = ic ħ = 3 α iħ) δ j = c α j, 3.98) = aso v = c α. Beachte, dass v die Abeitung nach der Zeit t in einem Inertiasystem enthät, wie die Dirac-Geichung sebst auch. v korrespondiert aso nicht direkt zur kassischen reativistischen Geschwindigkeit u µ ) = u 0, u), die die Abeitung nach der Eigenzeit τ enthät. Die α i nennt man manchma Geschwindigkeitsmatrizen. Wegen αj = sind die Eigenwerte von α j geich ± und die von v j somit geich ±c. Die Geschwindigkeitskomponenten kommutieren in der Dirac-Theorie, anders as in der nichtreativistischen Quantenmechanik, nicht: ) [v i, v j ] = c [α i, α j ] = c α i α j α j α i ) = c σi σ j σ j σ i 0 0 σ i σ j σ j σ i = ic ) σk 0 ϵ ijk 0 für i j. 3.99) 0 σ k k Daher sind die Geschwindigkeitskomponenten nicht geichzeitig scharf messbar. Die Geschwindigkeitskomponenten kommutieren auch nicht mit dem Hamitonian. Die oben betrachteten stationären Lösungen haben aso keine scharfe Geschwindigkeit woh aber einen scharfen Impus ħk). 65

67 3.3.3 Drehimpus und Spin Die stationären Lösungen der freien Dirac-Geichung sind zweifach entartet. Das bedeutet, dass durch die Dirac- Geichung beschriebene Teichen einen zweiwertigen inneren Freiheitsgrad haben. Um dessen physikaische Bedeutung zu verstehen, betrachten wir zunächst den Bahn-) Drehimpus L := r p. 3.00) Da das System rotationsinvariant ist, sote der Drehimpus erhaten sein. Wir überprüfen dies o.b.d.a. für L 3 : [H, L 3 ] = c[α ˆp, x ˆp x ˆp ] = c[α ˆp + α ˆp, x ˆp x ˆp ] = c[α ˆp, x ˆp ] c[α ˆp + x ˆp ] = cα [ˆp, x ] ˆp cα [ˆp, x ] ˆp = iħc α ˆp α ˆp ) }{{}}{{} = iħ = iħ = iħc α ˆp) ) Überraschenderweise ist der Bahndrehimpus nicht erhaten. Haben wir vieeicht Beiträge zum Drehimpus übersehen? Können wir L zu einer Erhatungsgröße vervoständigen? Dazu betrachten wir den Defekt iħc α ˆp weiter: Es git 3 α ˆp α ˆp = δ j δ j α )ˆp j = j=α {α, α j } α {α, α j } α )ˆp j j = α α α j + α α j α α α j α α j α α )ˆp j = j [α α, α j ]ˆp j j = [α α, α ˆp] = [α ˆp, α α ] = c [H βmc, α α ]. 3.0) Hierin ist aso und damit [β, α α ] = βα α α α β = α βα α α β = +α α β α α β = 0, 3.03) α ˆp α ˆp = c [H, α α ] 3.04) Veragemeinert auf ae Komponenten git Damit ist [H, L 3 ] = iħ [H, α α ] 3.05) [H, L 3 iħ ] α α = ) [ H, L 3 + ħ ] 4i α α α α ) = ) [H, L + ħ ] 4i α α = ) J := L + ħ 4i α α 3.09) eine Erhatungsgröße von der Dimension eines Drehimpuses Gesamtdrehimpus ). Es iegt nahe, den Zusatzterm as Eigendrehimpus Spin) des Teichens zu interpretieren, da er nicht aus der Bahnbewegung resutiert. Man schreibt J = L + S 3.0) 66

68 mit S = ħ Σ, Σ = α α. 3.) i Expizit findet man für die obige Standarddarsteung der α i, ) σ 0 Σ =. 3.) 0 σ Da ħ σ bekanntich die Drehimpusvertauschungsreationen erfüt, tut S dies ebenfas. Außerdem git S S = ħ 4 ) σ σ 0 = 3 0 σ σ 4 ħ = ) + ħ. 3.3) S repräsentiert aso einen Spin /, genauer zwei Moden mit positiver und negativer Energie und jeweis dem Spin /. Aus Diracs inearem Ansatz für H fogt aso zwingend, dass die beschriebenen Teichen den Spin / tragen und damit insbesondere Fermionen sind. Damit ist die Bedeutung der vier Komponenten des Dirac-Spinors kar: Es ist 4 =, wobei ein Faktor von die Zweige positiver und negativer Energie unterscheidet und der andere Faktor von die beiden Einstemögichkeiten des Spins. Es ist wichtig, sich karzumachen, dass diese vier Komponenten nichts mit den zufäig auch) vier Dimensionen des Minkowski-Raums zu tun haben. Wir haben gesehen, dass der Gesamtdrehimpus J eine Erhatungsgröße ist: Eine weitere Erhatungsgröße der freien Dirac-Geichung ist der Impus ˆp: [H, J] = ) [H, ˆp] = [c α ˆp, ˆp] = ) Nun git woraus fogt ˆp L = ˆp r ˆp) = ˆp x ˆp 3 ˆp x 3 ˆp + ˆp x 3 ˆp ˆp x ˆp 3 + ˆp 3 x ˆp ˆp 3 x ˆp = 0, 3.6) ˆp S = ˆp J 3.7) [H, ˆp S] = [H, ˆp J] = ˆp [H, J] + [H, ˆp] J = ) Aso ist ˆp S eine Erhatungsgröße. Die Eigenfunktionen der freien Dirac-Geichung sind ebene Ween mit scharfem Weenvektor k. Man definiert die Heizität as Matrix In der Standarddarsteung ist aso ĥ := k k S ħ k Σ. 3.9) k ĥ = k k σ 0 ) k 0 k σ 3.0) eine aternative Definition fügt im unteren rechten Bock ein Minuszeichen hinzu). Die Heizität ĥ beschreibt die Spinkomponente in Einheiten von ħ/) in Ausbreitungs- bzw. Bewegungsrichtung. Sie ist offensichtich eine Erhatungsgröße. Ihre Eigenwerte sind h = ±, wir können die vier Eigenzustände von H zum Weenvektor k durch E 0, h = ± kassifizieren. Teichen mit positiver negativer) Heizität nennt man rechtshändig inkshändig). 67

69 k/k k/k S S h=+ rechtshändig h=- inkshändig Wir können die Eigenfunktionen jetzt angeben: Sie auten ψr, t) = ψ 0 e ik r iet/ħ 3.) mit ψ 0 φ0 χ 0 ) = wobei W ± Zweier-) Eigenspinoren der Heizität sind, ) W+ AW + ) W AW ) AW+ W + ) AW W für E > 0, h = +, für E > 0, h =, für E < 0, h = +, für E < 0, h =, 3.) und k k σ W h = h W h, h = ±, 3.3) A := ħck E + mc, 3.4) E = ħ c k + m c ) Offenbar ist A fas ħck mc, d.h. im nichtreativistischen Limes. Für massive Teichen ist die Heizität zwar erhaten, aber nicht Lorentz-invariant, denn ĥ ist ein Skaarprodukt von Dreiervektoren, nicht von Vierervektoren. Transformieren wir vom Laborsystem auf ein Bezugssystem, das sich schneer as das Teichen bewegt das ist mögich für m > 0), so kehren sich k/k und damit die Heizität um Wahrscheinichkeitsdichte Eine Motivation für die Dirac-Geichung war, dass die Kein-Gordon-Geichung keine positiv definite, erhatene Dichte eraubt. Wie sieht das bei der Dirac-Geichung aus? Wir müssen wieder eine Kontinuitätsgeichung konstruieren. Aus der Dirac-Geichung iħ t + iħc α βmc ) ψ = 0 3.6) erhaten wir mit dem Zeienvektor ψ iħ t + iħc α βmc ) ψ = iħ ψ ψ t + iħc ψ α ψ mc ψ βψ = 0 3.7) ψ = ψ, ψ, ψ 3, ψ 4). 3.8) 68

70 Die hermitesch konjugierte Dirac-Geichung autet woraus fogt iħ ψ t iħc ψ α ψ βmc = 0, 3.9) iħ ψ t ψ iħc ψ ) α ψ mc ψ βψ = ) Die Differenz von G. 3.7) und der etzten Geichung ist wenn wir die Viererstromdichte definieren as iħ t ψ ψ) + iħc ψ αψ) = 0 3.3) c t ψ ψ) + ψ αψ) = 0 3.3) µ j µ = µ j µ = 0, 3.33) j µ ) := ψ cψ, ψ cαψ). 3.34) Diese ist per Konstruktion erhaten. Die zeitiche Komponente ρ := j 0 /c = ψ ψ ist auch offensichtich positiv definit. Wir können daher ρ = ψ ψ as erhatene Wahrscheinichkeitsdichte interpretieren Teichen im eektromagnetischen Fed Ein Spin-/-Teichen im eektromagnetischen Fed wird wieder durch minimae Koppung beschrieben. Der günstigste Ausgangspunkt ist die expizit kovariante Form der Dirac-Geichung, ) iħγ µ µ mc ψx) = ) Darin ersetzen wir µ D µ = µ + i q ħc A µ. 3.36) Dies ergibt ) iħγ µ D µ mc ψx) = 0 iħγ µ µ q ) c γµ A µ mc ψx) = ) Um dies durch einen Hamitonian auszudrücken, schreiben wir iħ c γ0 t q c γ0 ϕr, t) + iħ γ + q c iħ c ) γ Ar, t) mc ψr, t) = ) t q c ϕr, t) + iħ α + q ) α Ar, t) βmc ψr, t) = ) c ) ħc α q α Ar, t) + qϕr, t) + βmc ψr, t) Hψr, t). 3.40) i iħ ψ t = Man findet eicht, dass die Viererstromdichte j µ ) = ψ cψ, ψ cαψ) weiterhin erhaten ist. Aerdings wäre eine Definition von j µ mit Hife der γ-matrizen hier günstiger. Wir haben γ 0 = β, γ = βα und β =. Daraus fogt α = βγ 3.4) und Wir definieren j µ ) = ψ cββψ, ψ cβγψ). 3.4) ψ := ψ β ψ γ 0, 3.43) 69

71 man nennt ψ etwas missverständich das Adjungierte oder Paui-Adjungierte) zu ψ. Damit ist Wir überzeugen uns von der Erhatung von j µ : Nun git gemäß der Dirac-Geichung j µ = c ψγ µ ψ. 3.44) µ j µ = µ c ψγ µ ψ) = c µ ψ)γµ ψ + c ψγ µ µ ψ. 3.45) γ µ µ ψ = γ µ µ ψ = iħ Die hermitesch konjugierte Dirac-Geichung autet Nun zeigt man durch expizites Nachrechnen, dass git aso fogt ) q c γµ A µ + mc ψ. 3.46) iħ µ ψ )γ µ ) q c ψ γ µ ) A µ mcψ = ) γ µ ) = γ 0 γ µ γ 0, 3.48) iħ µ ψ)γ µ γ 0 q c ψγ µ γ 0 A µ mc ψγ 0 = ) iħ µ ψ)γ µ q c ψγ µ A µ mc ψ = ) µ ψ)γµ = µ ψ)γ µ = ) iħ ψ q c γµ A µ + mc. 3.5) Schießich fogt µ j µ = c ) iħ ψ q c γµ A µ + mc ψ + c ) iħ ψ q c γµ A µ + mc = ) Kein-Paradoxon As Anwendung betrachten wir die Streuung an einer Potentiastufe im Rahmen der Dirac-Theorie. Das skaare Potentia sei ϕz) = V 0 q θz), V 0 > ) qφz) I II V 0 0 z 70

72 Wir wähen die Eichung A 0 und suchen stationäre Lösungen für einen von inks einaufenden Teichenstrah mit positiver Energie E > 0 und Spin. Die Dirac-Geichung autet iħγ µ µ q ) c γ0 ϕz) mc ψr, t) = ) und spezie in einer Raumdimension beschrieben durch die Koordinate z) iħ c γ0 + iħ γ3 t z q ) c γ0 ϕz) mc ψz, t) = ) Wir machen den Ansatz und erhaten E c γ0 + iħγ 3 ψz, t) = ψz) e iet/ħ 3.56) z q ) c γ0 ϕz) mc ψz) = ) E qϕz) ) γ 0 ψz) = iħcγ 3 ψ z + mc ψz) 3.58) E qϕz) ) ψz) = iħc γ 0 γ 3 ψ }{{} z + mc γ 0 ψz). 3.59) }{{} α 3 β Wir betrachten eine einaufende Wee im Bereich I: ) ψ in z) = e ikz A mit = 0). 3.60) Einsetzen ergibt ) ) ) E = ħckα A 3 + mc β A A 3.6) E = ħcka + mc EA = ħck mc A. 3.6) Die Lösung mit positiver Energie autet E = ħ c k + m c 4, 3.63) A = E mc. 3.64) ħck Für die refektierte Wee erhaten wir dassebe Ergebnis mit k k, aso A A. Wir nehmen hier an, dass der Spin erhaten ist. Für die transmittierte Wee haben wir ebenfas dassebe Ergebnis, jedoch mit E durch E V 0 ersetzt. Im Fa E V 0 < mc wird k = ħc E V0 ) m c ) rein imaginär; e ik z ergibt dann eine exponentie faende Lösung. Nach diesen Überegungen machen wir die fogenden Ansätze in den Bereichen I und II: ) ) ψ I z) = e ikz + r e ikz 3.66) A A mit k = ħc E m c 4, 3.67) A = E mc ħck 3.68) 7

73 und mit ) ψ II z) = t A e ik z 3.69) k = ħc E V0 ) m c 4, 3.70) A = E V 0 mc ħck. 3.7) Da die Dirac-Geichung von erster Ordnung in räumichen Abeitungen ist, existiert nur die eine Anschussbedingung ψ I 0) = ψ II 0) 3.7) + r = t A Ar = A t 3.73) r = A A A + A t = A A + A. 3.74) Zur Bestimmung der Refexions- und Transmissionskoeffizienten benötigen wir die Stromdichte j j 3 = ψ cα 3 ψ, 3.75) aso für den einaufenden Strah A ist ree) j in = c, 0, A, 0 ) A = ca, 3.76) für den refektierten Strah j R = c r r, 0, A, 0 ) A 0 = ca r r 3.77) und für den transmittierten Strah A kann ree oder imaginär sein) j T = c t t, 0, A ), 0 ) A = c A + A )t t = c Re A t t. 3.78) Damit ist der Refexionskoeffizient und der Transmissionskoeffizient Wir unterscheiden zwei Fäe: R = j R j in = r r 3.79) T = j T = Re A t t. 3.80) j in A. E V 0 < mc : A ist rein imaginär, damit ist T = 0 und R = A A A + A = A i Im A A + i Im A = A + Im A ) A + Im A =. 3.8) ) 7

74 . E V 0 mc : A ist ree. Es fogt R = T = A A so dass R + T = git, wie erwartet. ) A A = A AA + A ) A + A Soange V 0 mc ist, ergibt sich kein ungewöhniches Verhaten: A + AA + A ), 3.8) 4A A + A ) = 4AA A + AA + A ), 3.83) T 0 mc² mc² + V 0 R E keine einaufende Wee E mc² + V0 mc² 0 z -mc² Das Kein-Paradoxon tritt auf, wenn die Stufe größer ist as die zweifache Ruheenergie: V 0 > mc. 73

75 T 0 R mc² V 0 - mc² mc² + V 0 E Im Energieinterva mc < E < V 0 mc finden wir R > und T < 0. Wenn wir die Definitionen 3.79) und 3.80) von R und T betrachten, sehen wir, dass die Ströme in diesem Fa in die umgekehrte Richtung fießen. Weiterhin finden wir A >, d.h. die transmittierten Teichen haben ein hohes Gewicht von Zuständen unterhab der Energieücke. Der Effekt beruht auf Tunnen von Zuständen oberhab der Lücke in Zustände unterhab der Lücke. E mc² + V 0 mc² 0 z -mc² Deren Strom zäht aber negativ. Das iegt daran, dass ihre Geschwindigkeit antiparae zu k ist. Schon in der Kein-Gordon-Theorie hatte es sich angeboten, Zuständen unterhab der Energieücke stattdessen die entgegengesetzte Ladung zuzuordnen. In demseben Sinne können wir sagen, dass an der Stufe zusätziche Paare von Teichen mit den Ladungen ±q erzeugt werden, so dass die Teichen der Ladung q nach rechts aufen und die mit der Ladung q nach inks, zusätzich zu den refektierten einaufenden Teichen. 74

76 Dies erkärt die Ergebnisse R > und T < 0 oder deutet sie zumindest. Die Interpretation der zusätzichen Teichen mit Ladungen ±q as Teichen-Antiteichen-Paare ist sehr naheiegend. Diese Idee werden wir im nächsten Abschnitt weiter verfogen Löchertheorie Die Dispersion freier Dirac-Teichen ist, wie wir gesehen haben, E = ± ħ c k + m c ) Damit eidet die Dirac-Theorie wie die Kein-Gordon-Theorie unter dem Probem, dass das Spektrum nach unten unbeschränkt ist. Für die freie Theorie ist das kein Probem, da keine Übergänge zwischen Einteichenzuständen stattfinden können. Koppen wir aber die Teichen an das eektromagnetische Fed, so können sie beiebig vie Energie abstrahen und ihre Energie divergiert dabei nach. Dieses Verhaten wird nicht beobachtet. E k Dirac hat die Löchertheorie formuiert, um dieses Probem zu beheben: Im Vakuum sind die Zustände negativer Energie nicht, wie man zunächst denken würde, unbesetzt, sondern sie sind ae besetzt. Aufgrund des Paui-Prinzips können sie nicht mehrfach besetzt werden. Ein zusätzich eingeführtes Eektron hat daher notwendigerweise positive Energie E mc. Dirac musste Fogendes postuieren:. Das Fermi-Gas von besetzten Zuständen, aso das Vakuum, hat keine eektromagnetische Wirkung, obwoh seine Ladungsdichte unendich groß ist.. Das Vakuum hat keine gravitative Wirkung, obwoh seine Energiedichte unendich groß ist. 3. Die divergente Energie des Vakuums kann as Nupunkt der Energieskaa gewäht werden. 75

77 Damit kostet die Entfernung eines Teichens negativer Energie ħ c k + m c 4 die positive Energie ħ c k + m c 4. Ein fehendes Teichen nennt man, wie in der Habeiterphysik, ein Loch. Aus dem. Postuat fogt, dass ein Loch die entgegengesetzte Ladung q trägt. Die Betrachtung von Weenpaketen aus Zuständen negativer Energie zeigt, dass man die Dynamik in der Tat unter der Annahme der Ladung q und der Dispersion p c + m c 4 verstehen kann. Im nicht-reativistischen Grenzfa v c ist die träge Masse aso positiv. Die Identifikation der Löcher mit Antiteichen iegt nahe. Damit kann man nun im Prinzip die Paarerzeugung beschreiben: Ein Teichen wird aus einem Zustand negativer Energie in einen Zustand positiver Energie angehoben und ässt ein Loch Antiteichen) zurück. Entsprechend kann man die Paarvernichtung durch den umgekehrten Prozess beschreiben. Die Löchertheorie ist jedoch aus mehreren Gründen probematisch: Die Begriffe des Vakuums, der Paarerzeugung und -vernichtung und des Paui-Prinzips sind sämtich nur im Rahmen einer Mehrteichentheorie sinnvo. Die Löchertheorie ist aso as Interpretation der Einteichen- Dirac-Theorie inkonsistent. Zwar sind die Voraussagen der Theorie symmetrisch für Teichen und Antiteichen, aber die Formuierung ist asymmetrisch unendich viee Teichen, aber keine Antiteichen im Vakuum). Eine unendiche Dichte von massiven, geadenen Teichen so keine beobachtbaren Konsequenzen haben. Diese Probeme assen sich im Rahmen der Mehrteichentheorie beheben. Die Anwendung der Methoden aus Kap., insbesondere der Zweiten Quantisierung, führt auf eine konsistente Dirac-Fedtheorie. Diese wird in der Voresung Quantenfedtheorie besprochen. 3.4 Nichtreativistischer Grenzfa und reativistische Korrekturen Bewegt sich ein Dirac-Teichen angsam im Vergeich zu c, so sote sich aus der Dirac-Theorie die nichtreativistische Quantenmechanik ergeben, aerdings für ein Teichen mit dem Spin /. Diesen Grenzfa untersuchen wir in diesem Abschnitt Große und keine Komponenten, Paui-Theorie Wir gehen von der Hamitonschen Formuierung der Dirac-Theorie für ein Teichen im eektromagnetischen Fed aus, siehe G. 3.40): iħ ψ [ t = Hψ = c α ˆp q ) c A + qϕ + βmc ] ψ 3.85) 76

78 mit ˆp = ħ. 3.86) i Wir suchen stationäre Zustände und schreiben ψ und H wieder in Bockform, ) φ0 ψ = e iet/ħ, 3.87) χ 0 ) 0 σ H = c ˆp q ) ) σ 0 c A 0 + qϕ + mc. 3.88) 0 Dann autet die Eigenwertgeichung für die Energie c ˆp q ) ) c A σχ0 + qϕ σφ 0 φ0 ) ) + mc φ0 = E χ 0 χ 0 φ0 χ 0 ). 3.89) Dies ergibt zwei gekoppete Geichungen für die Zweierspinoren φ 0 r), χ 0 r): c ˆp q ) c A σ χ 0 = E qϕ mc ) φ 0, 3.90) c ˆp q ) c A σ φ 0 = E qϕ + mc ) χ ) Wir ösen die zweite Geichung nach χ 0 auf, χ 0 = Soweit ist aes exakt. Ist nun E > 0 und. die Geschwindigkeit kein, v c, und. das Viererpotentia schwach, d.h. E qϕ + mc c ˆp q ) c A σ φ ) qϕ E, 3.93) q c A ˆp, 3.94) so fogt und E qϕ + mc mc 3.95) χ 0 mc cˆp σ φ 0 = ˆp mc σ φ ) Damit ist χ 0 reativ zu φ 0 um einen Faktor der Größenordnung v/c keiner. Man nennt daher φ 0 die große und χ 0 die keine Komponente von ψ 0 für den Fa E > 0. Beachte, dass wir neben der nichtreativistischen auch eine Schwach-Fed-Näherung gemacht haben. Nun schwächen wir die Annahmen etwas ab und fordern nur noch. v c und. qϕ E. Dann ist die keine Komponente χ 0 = ˆp q ) v ) mc c A σ φ 0 + O c. 3.97) Einsetzen in die Geichung für die große Komponente ergibt ˆp q ) m c A σ ˆp q ) v 3 ) c A σ φ 0 + O = E qϕ mc c 3 ) φ ) 77

79 In führender Ordnung in v/c erhaten wir damit die Paui-Geichung H Paui φ 0 r) = E mc ) φ 0 r) 3.99) mit H Paui := ˆp q ) m c A σ ˆp q ) c A σ + qϕ ) Dieser Hamitonian sieht des nichtreativistischen Version schon recht ähnich, aber die Paui-Spin-Matrizen stören noch. Wir verwenden die Identität 3 a σ)b σ) = a i σ i b j σ j = a i b j σ i σ j = a i b i σ i σ i + a }{{} i b j σ i σ j i,j= i,j i = i,j i j = i a i b i + i,j,k a i b j ϵ ijk iσ k = a b + i a b) σ. 3.30) Im ersten Term in der etzten Zeie ist eine Einheitsmatrix impiziert. Damit ist H Paui = ˆp q ) m c A i + [ˆp q ) m c A ˆp q )] c A σ + qϕ = ˆp q ) m c A iq ) ˆp A + A ˆp σ + qϕ mc = ˆp q ) [ ] m c A iq ħ mc i A) ħ i A + ħ i A σ + qϕ = ˆp q ) m c A qħ B σ + qϕ. 3.30) mc Betrachten wir spezie ein Eektron, so ist H Paui = ˆp + e ) m e c A eħ + B σ eϕ ) m e c Offenbar tritt ein Zeeman-Term proportiona zu B S B ħ σ auf. Wir führen das magnetische Moment µ e ein durch eħ m e c B σ =! µ e B ) Dann ist µ e = eħ m e c σ = e m e c S = eħ S m e c ħ = µ S B 3.305) ħ mit dem Bohrschen Magneton, in Gaußschen Einheiten, Durch Vergeich mit der agemeinen Beziehung µ B := eħ m e c ) µ = ±gµ B J 3.307) das Vorzeichen hängt vom Vorzeichen der Ladung des Teichens ab) finden wir, dass der Landé-Faktor des Eektronenspins g = 3.308) beträgt. Die Koppung an das eektromagnetische Fed führt zu einer keinen Korrektur, die im Rahmen der QED berechnet werden kann. Damit ist g =,003. Zur Erinnerung: Für die Bahnbewegung eines Eektrons findet man aso den Landé-Faktor g =. Wir erhaten fogende Resutate: µ L = e m e c L = µ L B ħ, 3.309) 78

80 Das Eektron hat auch im nichtreativistischen Grenzfa einen Eigendrehimpus Spin) S = /. Dieser ist mit einem magnetischen Moment verbunden, das doppet so groß ist, wie für Bahndrehimpuse Reativistische Korrekturen, Spin-Bahn-Koppung Bewegt sich ein Teichen nicht ganz so angsam, müssen wir über die Paui-Geichung hinaus die ersten Korrekturen in v/c berücksichtigen. Die bei der Hereitung der Paui-Geichung verwendete Methode ässt sich nicht eicht auf höhere Ordnungen in v/c veragemeinern. Ein Probem besteht im Term ϕr, t) im Nenner von G. 3.9), der nicht mit ˆp kommutiert. Stattdessen verwendet man die sogenannte Fody-Wouthuysen-Transformation. Die Idee ist die fogende: Wir suchen eine evt. zeitabhängige unitäre Transformation U = e is 3.30) S ist hermitesch), die die großen und keinen Komponenten in ) ψ φ = χ = e is ψ 3.3) bis zu einer gewünschten Ordnung in /m entkoppet. Die Entkoppung bedeutet, dass die transformierte Geichung für ψ bis zu dieser Ordnung keine Terme enthät, die φ und χ verknüpfen. Bis zu dieser Ordnung haben wir damit unabhängige Geichungen für die Zweierspinoren φ wichtig für positive Energien) und χ wichtig für negative Energien). Die Entwickung in /m ist mathematisch sauberer as die in v/c, da m ein Parameter der Theorie ist, während wir v as Erwartungswert oder Operator ansehen müssen. Die Bedingung, dass /m kein sein so, bedeutet dabei, dass ae anderen Beiträge zur Energie kein gegenüber der Ruheenergie mc sein soen, was offensichtich den nichtreativistischen Grenzfa ergibt. Aus der Dirac-Geichung erhaten wir iħ ψ t iħ ψ t = iħ t e is ψ = iħ )ψ t e is + e is iħ ψ t! = Hψ = He is ψ 3.3) ) = e is iħ t e is ψ + e is He is ψ! = H ψ. 3.33) Der transformierte Dirac-Hamitonian autet daher H = e is H iħ ) e is. 3.34) t Der ungewohnte zweite Term erscheint, wei S zeitabhängig sein kann. Es so aso ein S gefunden werden, so dass in H ae Terme bis zu einer gewissen Ordnung in /m verschwinden, die große und keine Komponenten koppen. Wir geben hier nur die wesentichen Ergebnisse an: Fordern wir die Entkoppung bis zur Ordnung /m, so erhaten wir wieder den Paui-Hamitonian H Paui für die großen Komponenten. Fordern wir dagegen die Entkoppung bis zur Ordnung /m) 3, so erhaten wir für die großen Komponenten die Geichung Hφ 0 = E mc ) φ ) mit H = ˆp q ) m c A qħ mc B σ + qϕ }{{} H Paui ˆp 8m 3 c q ) 4 c A qħ 8m c E qħ qħ B }{{} 4m E ˆp) σ + i c }{{} 8m c 3 t σ Darwin-Term Spin-Bahn-Koppung } {{ } Korrektur zur kinetischen Energie, 79 }{{} Korrektur zur Zeeman-Energie = 0 im statischen Fed. 3.36)

81 Den Darwin-Term kann man as Korrektur zur potentieen Energie interpretieren. Er enthät E = ϕ = 4πρ. 3.37) Spezie in Atomen wird dieser Term nur für s-orbitae reevant sein, da ρr) = eδr) und nur s-orbitae eine endiche Aufenthatswahrscheinichkeit am Kernort r = 0 haben. Die Spin-Bahn-Koppung ist i.a. die wichtigste Korrektur. Wir können sie schreiben as H SB = qħ 4m E ˆp) σ = + qħ c 4m ϕ ˆp) σ = ħ c 4m V ˆp) σ, 3.38) c wobei V = qϕ das okae Potentia ist. Spezie für Zentrapotentia git ϕ = dϕ dr r r, 3.39) aso H SB = qħ dϕ 4m c r ˆp) σ = q dϕ r dr m c L S. 3.30) r dr Wir finden aso eine L S-Koppung, wie sie aus der Atomphysik bekannt ist. Beachte, dass der Vorfaktor stark r-abhängig ist. Für das Couomb-Potentia ϕ /r ist dϕ r dr r ) Wegen H SB kommutieren weder L noch S mit dem Hamitonian, aso sind L und S keine Erhatungsgrößen. Jedoch git für den Gesamtdrehimpus J = L + S: [J, L S] = [J, J L S ] = [J, J ] [L, L ] [S, S ] = ) Der Gesamtdrehimpus J ist aso auch in Anwesenheit von Spin-Bahn-Koppung erhaten Feinstruktur des Spektrums des Wasserstoffatoms Eine wichtige Konsequenz der Spin-Bahn-Koppung ist die Aufhebung von Entartungen im Energiespektrum von Wasserstoff und wasserstoffähnichen Ionen. Dies ist die sogenannte Feinstrukturaufspatung. Wir könnten sie ausgehend vom genäherten Hamitonian mit reativistischen Korrekturen aus dem vorigen Abschnitt diskutieren. Jedoch ist dies unnötig, da sich die Dirac-Geichung für ein Eektron im Couomb-Potentia exakt ösen ässt. Die Vorgehensweise ist ähnich zur Lösung des Wasserstoffprobems in der Schrödinger-Quantenmechanik. Wir geben hier nur das Ergebnis für die Energieeigenwerte an. Der Hamitonian autet, jetzt in SI-Einheiten, H = cα ˆp eϕr) + βm e c = cα ˆp Ze 4πϵ 0 r + βm ec, 3.33) wobei Z die Kernadungszah ist. Die Eigenenergien sind E n,j = m e c Z α + ] [n j + j ) + + ) Z α /, 3.34) wobei n =,,... die Hauptquantenzah und j =, 3,... die Quantenzah des Gesamtdrehimpuses ist. Nach den übichen Regen für die Kombination von Drehimpusen ist j = { für = 0, ± für =,,..., 3.35) 80

82 wobei die Quantenzah des Bahndrehimpuses ist und die Quantenzah des Eektronenspins. Die Zustände werden durch n j 3.36) bezeichnet, wobei durch den Buchstaben s, p, d, f, g, h,... ersetzt wird. α := e 4πϵ 0 ħc 37 ist die Feinstrukturkonstante in SI-Einheiten jetzt wird kar, wieso sie so genannt wird!). Da 3.37) Zα c, 3.38) entsprechen keine Zα dem nichtreativistischen Grenzfa. Entwickung von E n,j nach Zα ergibt ) E n,j = me c m ez e 4 4πϵ 0 ) ħ n }{{ α 4 m ec Z 4 ) j + 3 } n 3 4n ) }{{} nichtreativistischer reativistische Limes Korrekturen Die Feinstrukturaufspatung ist offenbar am größten, wenn j und n mögichst kein sind. Für n = gibt es aber keine Aufspatung, da j dann auf den Wert j = / beschränkt ist. Die größte Aufspatung tritt aso zwischen s /, p / ) und p 3/ 3.330) auf. Im Wasserstoffatom beträgt diese Aufspatung ungefähr 0, mev. s / und p / sind in der Dirac-Theorie noch entartet geiches n und j). Diese Entartung wird durch die Wechsewirkung mit dem eektromagnetischen Fed aufgehoben Lamb-Shift). Noch eine Bemerkung zum exakten Ausdruck 3.34): Das Ergebnis kann nicht stimmen, wenn Zα > wird, da dann für den keinsten Wert von j, nämich, der Radikand j + Z ) α = Z α < ) wäre. E n,/ würde dann kompex, was ein Eigenwert eines hermiteschen Operators aber nicht sein kann. In der hier nicht gezeigten Hereitung wird aber Zα < angenommen. Für Zα >, aso Z > 37, kann man das Probem auch ösen, nur braucht man weitere Überegungen. Physikaisch passiert für Z > 37 Fogendes: Der am stärksten gebundene s / -Zustand hat eine Bindungsenergie, die größer as m e c ist. Der Zustand ist somit resonant mit dem Kontinuum von Zuständen negativer Energie Positronen ). - m e c² Bisher wurden keine Kerne mit Ladungszahen Z > 37 hergestet. Dersebe physikaische Effekt tritt jedoch auch in Habeitern auf, wenn die Bindungsenergie eines Donators größer ist as die Bandücke. 8

83 3.5 Graphen As Beispie dafür, dass Dirac-Teichen im vieeicht unerwarteten Kontext der Festkörperphysik auftreten können, betrachten wir die eektronische Struktur von Graphen. Graphen besteht aus einer Lage von Kohenstoffatomen, die ein Honigwabengitter biden. Dieses ist ein Dreiecksgitter mit einer zweiatomigen Basis. A a B δ a Die C-Atome biden σ-bindungen zwischen sp -Hybridorbitaen aus. Die bindenden Moeküorbitae sind ae besetzt, die antibindenden unbesetzt. Diese Orbitae spieen keine Roe für die eektronischen Eigenschaften bei niedrigen Energien nahe der Fermi-Energie). Drei der vier Vaenzeektronen des Kohenstoffs besetzen diese Moeküorbitae. Jedes C-Atom hat noch ein p z -Orbita mit im Mitte einem Eektron. Diese p z -Orbitae hybridisieren und biden ein Energieband. Eine vernünftige Näherung berücksichtigt nur das Hüpfen von Eektronen zwischen nächsten Nachbarn. Wir schreiben den Hamitonian für diese Eektronen in zweiter Quantisierung: H = t Rσ c ARσ c BRσ + c ARσ c B,R a,σ + c ARσ c B,R a,σ) + H.c., 3.33) wobei sich A und B auf die beiden Basisatome beziehen und H.c. für Hermitian conjugate steht. Um die Eigenenergien aus G. 3.33) zu erhaten, führen wir eine Fourier-Transformation durch, c ARσ = c BRσ = e ik R c Akσ, 3.333) N k e ik R+δ) c Bkσ, 3.334) N k wobei N die Zah der C-Atome und N/ somit die Zah der Einheitszeen ist. Wir erhaten H = t [ ) e ik R e ik R+δ) + e ik R+δ a ) + e ik R+δ a ) c Akσ N c Bk σ k,k,σ R + e ik R+δ) + e ik R+δ a) + e ik R+δ a)) ] e ik R c Bkσ c Ak σ = t [ e ik δ + e ik δ a) + e ik δ a)) c Akσ c Bkσ k,σ ) ] + e ik δ + e ik δ a) + e ik δ a ) c Bkσ c Akσ = t [ e ik δ + e ik δ + e ik δ ) 3 c Akσ c Bkσ + e ik δ + e ik δ + e ik δ ) ] 3 c Bkσ c Akσ k,σ 3.335) 8

84 mit den Nächste-Nachbar-Vektoren δ = δ, 3.336) δ = δ a, 3.337) δ 3 = δ a ) Den Hamitonian kann man kompakt schreiben as H = ) c Akσ, c Bkσ ) Ĥk) cakσ c Bkσ k,σ mit Ĥk) = t Nun können wir die Eigenwerte eicht bestimmen: 0 e ik δ + e ik δ + e ik δ 3 e ik δ + e ik δ + e ik δ ) ) ) E = ±t 3 + cos k δ δ ) + cos k δ 3 δ ) + cos k δ δ 3 ) = ±t cos 3k x 3 cos ky + cos 3 k y. 3.34) Die beiden Bänder sind hier skizziert: Wir finden Bandberührungen in Form von Doppekegen Dirac-Kege ). Diese Dispersion erinnert bereits an masseose Dirac-Teichen. Die Briouin-Zone ist ein Sechseck mit diesen Dirac-Punkten an den Ecken, aso erhaten wir zwei inäquivaente Dirac-Kege pro Briouin-Zone. Wir können z.b. die Kege an den Punkten K und K wähen. 83

85 K Γ. Briouin Zone K und Linearisiert man die Dispersion in der Nähe der Dirac-Punkte ν =,, so kann man mit { kk für ν =, q = k k K für ν = den Hamitonian näherungsweise schreiben as H = E q c ν + qσ c ν + qσ c ν qσ c ν qσ ν,q,σ 3.34) E q := 3t q 3.343) ) ) Das hochgestete ± bezeichnet das Band positiver/negativer Energie. Jetzt drehen wir die soeben ausgeführte Diagonaisierung zurück und schreiben H = c Aqσ c Aqσ, c Aqσ, c Bqσ, c Bqσ ) Ĥq) c Aqσ c Bqσ 3.345) q,σ c Bqσ mit Ĥq) = t = t e ik K +q) δ + e ik K +q) δ + e ik K +q) δ3 e ikk+q) δ + e ikk+q) δ + e ikk+q) δ3 0 0 e ikk+q) δ + e ikk+q) δ + e ikk+q) δ3 e ik K +q) δ + e ik K +q) δ + e ik K +q) δ = 3i t 3i q x 3 q y 3i 0 0 q x + 3 q y 0 0 3i q x + 3 q y 0 0 3i q x 3 q y q x + iq y 0 0 q x iq y 0 0 q x iq y 0 0 q x + iq y = 3 t [ 0 iσ iσ 0 ) q x + 0 iσ iσ 0 ) = 3i t 0 q x σ q y σ q x σ + q y σ 0 q y ] ) ) 84

86 Aso autet der effektive inearisierte) Hamitonian für festen Spin σ, in erster Quantisierung, H σ = 3 [ ) ) ] t 0 iσ 0 iσ ˆp ħ iσ 0 x + ˆp iσ 0 y ) Beachte, dass die beiden hier auftretenden Matrizen hermitesch sind und außerdem die fogenden Eigenschaften haben: ) ) ) ) ) 0 iσ 0 iσ 0 iσ 0 iσ 0 = =, iσ 0 iσ 0 iσ 0 iσ ) ) ) ) ) ) 0 iσ 0 iσ 0 iσ 0 iσ =. iσ 0 iσ 0 iσ 0 iσ ) Aso handet es sich um eine Darsteung der Dirac-Matrizen α und α. Damit können wir schreiben mit H σ = 3 α = t α ˆp 3.350) ħ α α ). 3.35) Abgesehen davon, dass wir es mit einem zweidimensionaen System zu tun haben, ist dieser Hamitonian identisch mit dem Dirac-Hamitonian für c = 3 t, m = 0, 3.35) ħ aso für ein masseoses Teichen mit der Fermi-) Geschwindigkeit v F = 3t/ħ, die für Graphen deutich keiner as die Lichtgeschwindigkeit ist. Beachte, dass hier der Index ν =,, der zwischen Dirac-Punkten K, K unterscheidet, an die Stee des Spins tritt. Der reae Spin σ trat in der gesamten Hereitung nur as Zuschauer auf. Durch die beiden Einstemögichkeiten σ =, verdoppet sich die Zah der Zustände noch einma. 85

87 Kapite 4 Streutheorie Wir hatten in der Quantentheorie überwiegend gebundene Zustände betrachtet. Damit können wir die meisten spektroskopischen Experimente im Prinzip verstehen. Diese Experimente messen die Übergangsenergien zwischen gebundenen Zuständen sowie die Übergangsraten unter bekannten Störungen vg. die zeitabhängige Störungstheorie). Bei Streuexperimenten sind dagegen der Anfangs- und Endzustand i.a. ungebunden. Beispiee sind die Experimente von Rutherford, Franck und Hertz, Stern und Gerach sowie Compton und natürich die Experimente mit Teichenbescheunigern. Um Streuexperimente beschreiben zu können, benötigen wir eine systematische Quantentheorie der Streuung, von der wir hier die Grundzüge entwicken woen. 4. Grundagen Wir unterscheiden fogende Fäe: Streuung an einem festen Target. Dies ist ein Einteichenprobem: Wir suchen Streuzustände eines Teichens in einem gegebenen Potentia. Diese Streuung ist immer eastisch, die Einteichenenergie ist erhaten. Streuung an anderen Teichen. Handet es sich um eastische Streuung, d.h. Streuung ohne innere Anregung der Teichen und ohne Teichenerzeugung und -vernichtung, an einem anderen Teichen, kann das Probem durch Transformation auf Schwerpunkts- und Reativkoordinaten auf die Streuung am Potentia zurückgeführt werden. Wir machen einige vereinfachende Annahmen: Wir betrachten, zumindest vorerst, nur... Streuung an einem Potentia diese ist automatisch eastisch). den nichtreativistischen Grenzfa, die kinetische Energie autet aso T = ˆp m. 4.) Eine Veragemeinerung auf die Dirac- oder Kein-Gordon-Geichung ist mögich. ein hinreichend schne abfaendes Potentia, genauer im rv r) im rv r, ϑ, φ) = 0 ϑ, φ. 4.) r r Das bedeutet, dass V schneer as /r abfät. Beachte, dass wir damit das Couomb-Potentia ausschießen. r = 0 nennen wir Streuzentrum. einen einfaenden Teichenstrah mit festem Impus ħk und daher fester Energie E = ħ k /m weit entfernt vom Streuzentrum. Dort wird der einaufende Zustand aso durch eine ebene Wee ψ ein r, t) e ik r Et/ħ) beschrieben. Das ist nicht reaistisch, da diese ebene Wee unendich breit ist, was außerdem im Experiment die Detektion der gestreuten Wee stören würde. Wir steen uns daher bei Bedarf ein aus ebenen Ween zusammengesetztes Weenpaket vor. 86

88 Das Streuprobem besteht jetzt in der Lösung der zeitunabhängigen Schrödinger-Geichung ) ħ m + V r) ψr) = Eψr) 4.3) mit E > 0 und wobei ψr) = ψ 0 r) + ψ s r), 4.4) }{{}}{{} Primärwee Streuwee ψ 0 r) = e ik r 4.5) die Primärwee wurde o.b.d.a. auf Ampitude normiert). Weit entfernt vom Streuzentrum muss ψ und damit auch ψ s die freie Schrödinger-Geichung zur Energie E eastische Streuung!) erfüen. Daher muss ψ s eine Superposition von ebenen Ween mit k = me/ħ sein. Wegen der Lokaisierung des Streuers [schneer Abfa von V r)] ist eine Darsteung in Kugekoordinaten günstig. Wir wähen das Koordinatensystem so, dass sich die einaufende Wee entang der positiven z-richtung ausbreitet: k = kẑ. y k φ x r θ z Nun ist ψ s r) = fϑ, φ) eikr 4.6) r mit k = me/ħ λ = π/k = πħ/ me ist die de-brogie-weenänge der Streuteichen) für große r eine Lösung der freien Schrödinger-Geichung, denn ħ m ψ s r) = ħ m fϑ, φ) eikr r = ħ m [ f r = ħ k m f eikr ħ r ħ = Eψ s r) O r r eikr r + eikr r ) m O f eikr r 3 m r ψ sr) r sin ϑ f sin ϑ ϑ ϑ + eikr r ] f r sin ϑ φ ). 4.7) Die Schreibweise so andeuten, dass die Beiträge der Abeitungen nach ϑ, φ durch einen zusätzichen Faktor /r unterdrückt sind. Daher können wir schreiben ψr) = e ik r + fϑ, φ) eikr r für große r. Man nennt fϑ, φ) fˆr) mit ˆr := r/r die Streuampitude. Sie ist i.a. kompex. Wir definieren nun den differentieen Wirkungsquerschnitt oder Streuquerschnitt) dσ/dω zunächst in Worten: Es ist dσ dσ dω dω = 4.8) Zah der gestreuten Teichen in dω pro Zeit Zah der einaufenden Teichen pro Zeit und Fäche. 4.9) 87

89 y r²dωr^ r x dω 0 z dω = sin ϑ dϑ dφ ist das Raumwinkeeement in der Richtung ˆr. Zäher und Nenner sind weit entfernt vom Streuzentrum, d.h. für r, auszuwerten. Weiter definieren wir den totaen Wirkungsquerschnitt oder Streuquerschnitt) Zah der gestreuten Teichen pro Zeit σ tot = Zah der einaufenden Teichen pro Zeit und Fäche. 4.0) Offenbar git σ tot = dσ = dω dσ dω. 4.) σ tot hat die Dimension einer Fäche und ässt sich as Querschnittsfäche des Anteis des einaufenden Strahs interpretieren, der gestreut wird. Für den Fa der kassischen Streuung an einer harten Kuge mit dem Radius R ist σ tot = πr, aso ist der totae Wirkungsquerschnitt geich der Querschnittsfäche der Kuge. Um dσ/dω durch die Streuampitude f auszudrücken, bestimmen wir die Stromdichte aufgrund der einaufenden Wee, j 0 r) = ħ [ ] ψ mi 0r) ψ 0 r) ψ 0 r) ψ0r) = ħ [ e ik r ike ik r e ik r ik)e ik r] = ħk mi m und die Stromdichte aufgrund der Streuwee für r, j s r) = = ħ [ ] r ψ mi sr) ψ s r) ψ s r) ψsr) = ħ mi + ˆφ [ ˆr f f e ikr r f r 3 sin ϑ e ikr ff eikr r r r φ f f r 3 sin ϑ r φ f Wir benötigen im Fogenden nur die radiae Komponente ˆr j s r) r = f ħk m ħ [f e ikr mi r e ikr ) + ˆϑ f eikr r f eikr r f r 3 ϑ f f r 3 ] f e ikr r ) ϑ f 4.) r )]. 4.3) ik r r 3 + ik r + ) r 3 = f ħk m r. 4.4) Die Zah der gestreuten Teichen pro Zeit im Raumwinkeeement dω erhaten wir, indem wir j s für r über ein Fächeneement r dω ˆr der Kugeoberfäche mit dem Radius r integrieren: Die Zah der einaufenden Teichen pro Zeit pro Fäche ist einfach r dω ˆr j s = f ħk dω. 4.5) m j 0 = ħk m. 4.6) 88

90 Damit fogt dσ f dω dω = m dω = f ħk dω, 4.7) m aso dσ dω = fϑ, φ). 4.8) Der differentiee Wirkungsquerschnitt ist demnach das Betragsquadrat der Streuampitude. Es fogt sofort σ tot = dω dσ dω = dω fϑ, φ) = dϑ dφ sin ϑ fϑ, φ). 4.9) Ist das Streupotentia spezie ein Zentrapotentia, V r) = V r), so ist der Hamitonian invariant unter Drehungen um die Einfasrichtung z-achse). Daher müssen beobachtbare Größen ebenfas diese Rotationssymmetrie haben. Das bedeutet, dass f und dσ/dω nur von ϑ, aber nicht von φ, abhängen können. 4.. Teichenzaherhatung und Optisches Theorem Aus der Tatsache, dass in der Abwesenheit von Teichenerzeugung und -vernichtung die Zah der gestreuten Teichen geich der Verminderung der Zah der in Vorwärtsrichtung ungestreut weiterfiegenden Teichen sein muss, fogt das Optische Theorem σ tot = 4π Im fϑ = 0). 4.0) k Hier ist fϑ = 0) fϑ = 0, φ) die Streuampitude in Vorwärtsrichtung. Wir beweisen dieses Theorem nun: Die Erhatung der Wahrscheinichkeit oder der Teichenzah) bedeutet, dass der Gesamtstrom durch eine geschossene Fäche verschwinden muss. Wir wähen eine Kuge mit dem Radius r um das Streuzentrum. Wähen wir r hinreichend groß im Vergeich zur Reichweite des Streupotentias, so können wir in der Nähe der Kugeoberfäche die Weenfunktion näherungsweise schreiben as ψr) = }{{} e ik r ψ 0 r) + fϑ, φ) eikr r } {{ } ψ s r). 4.) Die ebene Wee aein trägt nichts zum Strom durch die Kuge bei, denn was hinein fießt, kommt auch wieder heraus. Die Streuwee aein trägt, wie wir gesehen haben, den aus der Kuge herausfießenden Strom I s = dω r ˆr j s r) = ħk dω fϑ, φ) = ħk m m σ tot 4.) bei. Wie kann dann der Gesamtstrom verschwinden? Notwendig dafür ist die Interferenz von einaufender und gestreuter Wee. Der Interferenz-Beitrag zur Stromdichte ist j int r) = Wir benötigen nur die radiae Komponente ˆr j int r) j int,r r) = = ħ [ ] ψ mi 0r) ψ s r) + ψsr) ψ 0 r) ψ 0 r) ψsr) ψ s r) ψ0r). 4.3) ħ mi ħ mi e ik r [ ψ 0r) r ψ sr) + ψ sr) r ψ 0r) ψ 0 r) r ψ sr) ψ s r) r ψ 0r) ik r eikr [e fϑ, φ) + f r ϑ, φ) e ikr r r r f ϑ, φ) e ikr r fϑ, φ) eikr r 89 r eik r r e ik r ]. 4.4) ]

91 Hier benötigen wir die ebene Wee e ik r für große r. Der Grenzwert im r e ik r existiert aber nicht im Sinne von gewöhnichen Funktionen, sondern nur im Sinne von Distributionen. Wir müssen uns über die physikaisch angemessene Interpretation von e ik r für große r kar werden. Sie bestimmt hier die Reihenfoge von Grenzübergängen. Der Ansatz ψ 0 r) = e ik r ist eine Ideaisierung für einen Strah mit endichem Radius b, der groß ist gegenüber π/k = λ und gegenüber der Reichweite des Streupotentias. Der Radius r der betrachteten fiktiven Kuge so aber groß gegenüber aen Längen im System sein, aso auch r b. x r x b 0 θ z z Wir schreiben aso genauer für die einaufende Wee Ausbreitung entang ẑ) ψ 0 r) = Θb x y ) e ikz = Θb r sin ϑ) e ikr cos ϑ. 4.5) Für r b ist dies nur von Nu verschieden, wenn ϑ = 0 oder π ist Vorwärts- oder Rückwärtsrichtung). Daher ist ψ 0 r) = α δˆr ẑ) e ikr + β δˆr + ẑ) e ikr 4.6) }{{}}{{} vorwärts rückwärts mit noch zu bestimmenden Koeffizienten α, β. Diese müssen so gewäht werden, dass sie für keine r, insbesondere r < b, mit der ebenen Wee mit Ampitude eins, e ik r, kompatibe sind. Dazu betrachten wir die über eine Kuge des Radius r < b integrierte oder gemittete) Weenfunktion Die inke Seite ergibt dω r e ik r! = dω r [ α δˆr ẑ) e ikr + β δˆr + ẑ) e ikr]. 4.7) π dω r e ik r = πr dϑ sin ϑ e ikr cos ϑ = πr dcos ϑ) e ikr cos ϑ = πr eikr e ikr. 4.8) ikr Die rechte Seite ergibt einfach 0... = r α e ikr + β e ikr). 4.9) Geichsetzen iefert α = π ikr, β = π ikr. 4.30) Der Ausdruck für die einaufende Wee für große r b ist schießich ψ 0 r) = π ikr eikr δˆr ẑ) π ikr e ikr δˆr + ẑ). 4.3) 90

92 Dies setzen wir jetzt in den Interferenz-Beitrag zur radiaen Stromdichte ein, j int,r = ħ π mi ik + f ˆr) e ikr r eikr r + fˆr) eikr r [ e ikr δˆr ẑ)fˆr) r r e ikr r + eikr r e ikr r r δˆr ẑ) f ˆr) e ikr r δˆr ẑ)f ˆr) r e ikr + e ikr r r e ikr δˆr ẑ) fˆr) eikr r r r δˆr + ẑ)fˆr) r e ikr δˆr + ẑ) r r δˆr + ẑ)f ˆr) r e ikr δˆr + ẑ) r r e ikr e ikr r r ]. 4.3) Nun ist e ±ikr = ± ik ) e ±ikr. 4.33) r r r r Die Beiträge mit einem zusätzichen Faktor /r faen für r schneer ab und sind daher vernachässigbar. Es beibt [ ħ π ik j int,r = mi ik r δˆr ẑ)fˆr) + δˆr + ẑ)fˆr) + δˆr ẑ)f ˆr) + δˆr + ẑ)f ˆr) = ħ m + δˆr ẑ)f ˆr) δˆr + ẑ)f ˆr) δˆr ẑ)fˆr) δˆr + ẑ)fˆr) 4π r δˆr ẑ) Im fˆr) = ħ m 4π δˆr ẑ) Im fẑ). 4.34) r Interferenz tritt aso nur in Vorwärtsrichtung auf. Die radiae Komponente j int,r ist negativ, d.h. der Interferenzstrom fießt von rechts nach inks. Dies drückt aus, dass j int eine Vermindung der i.a. sehr vie größeren Stromdichte j 0 in Vorwärtsrichtung beschreibt. Der Interferenz-Beitrag zum Gesamtstrom durch die große Kuge ist damit I int = dω r j int,r r) = 4π ħ m Im fẑ) = 4π ħ Im fϑ = 0). 4.35) m Der Gesamtstrom muss verschwinden, ] Es fogt I = I }{{} 0 +I s + I int = ħk m σ tot 4π ħ m Im fϑ = 0) =! ) =0 σ tot = 4π k Im fϑ = 0). 4.37) Während das Optische Theorem aus einem einfachen Prinzip, der Teichenzaherhatung, fogt, ist die Hereitung recht subti. Wir werden sehen, dass es sich im Rahmen der im Fogenden betrachteten Partiaweenmethode einfacher begründen ässt. 4. Partiaween und Streuphasen Wir haben gesehen, dass für das Streuprobem die Verwendung von Kugekoordinaten bzg. des Streuzentrums as Koordinatenursprung nützich ist. Dies egt nahe, die Weenfunktion nach Kugefächenfunktionen Y m ϑ, φ) zu entwicken, die die natüriche Basis des winkeabhängigen Anteis biden. Wir beschränken uns auf den Fa eines Zentrapotentias V r) und wähen die z-achse parae zur Einfasrichtung. Dann ist das System rotationssymmetrisch um die z-achse und in der Entwickung treten nur Terme mit m = 0 auf, + Y 0 ϑ, φ) = 4π P cos ϑ) 4.38) 9

93 mit den Legendre-Poynomen P u). Wir schreiben aso ψr) = =0 u r) r P cos ϑ) 4.39) und nennen dies die Zeregung nach Partiaween. Die Beiträge von = 0,,,... nennt man s-, p-, d-,... Streuung oder auch s-ween-streuung, usw. Der expizite Faktor /r wird sich später as nützich erweisen; dies war auch schon bei der Betrachtung gebundener Zustände im Zentrapotentia der Fa. Wie dort zeregen wir die kinetische Energie in Radia- und Winkeantei, [ ħ m H ψr) = [ ħ m r r r + r u r) + ħ + ) mr 3 u r) + V r) u r) r [ ħ m u r) + ħ + ) mr u r) + V r) u r) Unter Ausnutzung der Orthogonaität der P u) erhaten wir mit ] L mr + V r) ψr) = E ψr) 4.40) ] P cos ϑ) = E u r) P cos ϑ) 4.4) r ] P cos ϑ) = E u r) P cos ϑ). 4.4) ħ m u r) + ħ + ) mr u r) + V r) u r) = E u r) 4.43) [ ] u r) + k v eff r) u r) = ) k := m E, ħ 4.45) v eff r) m ħ V effr) := m + ) V r) + ħ r. 4.46) Für große Abstände vom Streuzentrum geht v eff r) 0 und u r) erfüt daher asymptotisch die Geichung u r) = k u r) 4.47) mit der Lösung u r) = A e }{{ ikr + B } e ikr. 4.48) }{{} einaufend ausaufend Wegen der Teichenzah- und Drehimpuserhatung muss für jedes die ausaufende Ampitude geich der einaufenden sein: B = A. 4.49) Die u r) enthaten sowoh die einfaende ebene Wee as auch die Streuwee. Der asymptotische einaufende Antei A e ikr enthät natürich ausschießich die einfaende ebene Wee. Die einfaende Wee ψ 0 aein können wir ebenfas entwicken: Wir verwenden die Identität ohne Beweis) mit den sphärischen Besse-Funktionen e ik r = e ikr cos ϑ = und den Legendre-Poynomen P u). Für x git nun aber j x) sin x π ) = x + ) i j kr) P cos ϑ) 4.50) =0 π j x) := x J + x) 4.5) 9 4.5)

94 und für große Abstände vom Streuzentrum, kr, fogt e ik r = + ) i sin kr π ) P cos ϑ) = + ) i eikr e i π e ikr e i π P cos ϑ) kr ikr! = A 0) e ikr + B 0) e ikr P cos ϑ). 4.53) r Damit sind die Koeffizienten beachte e iπ/ = i) = + ) i ei π ik = + ) i e i π A 0) B 0) ik = ) + ) ik, 4.54) = + ) ik. 4.55) Der einaufende Antei von u r) stammt nur von der einfaenden ebenen Wee, aso ist Es fogt B und B 0) A = A 0) = ) + ) ik. 4.56) B = A = A 0) = B 0). 4.57) unterscheiden sich aso höchstens in ihrer Phase. Wir definieren daher B = e iδ B 0), 4.58) hier heißen die δ Streuphasen. δ ist aso die Phasenverschiebung der ausaufenden Wee im Kana im Vergeich zum einfaenden Strah. Die Streuphasen hängen i.a. von der Energie ab. Wir erhaten nun für große r, Für große r git aber auch woraus fogt u r) = ) + ) e ikr ik + + ) eikr e iδ ik = + ik ei π e iδ e ikr e i π e iδ e ikr e i π e iδ ) = + k fϑ) eikr r i e iδ sin kr π ) + δ. 4.59) fϑ) eikr r ψr) = e ik r + fϑ) eikr r = fϑ) = = 4.60) = ψr) e ik r, 4.6) B B 0) ) e ikr + ik eiδ ) P cos ϑ) + k r P cos ϑ) 4.6) e iδ sin δ P cos ϑ). 4.63) Die Streuphasen δ bestimmen aso fϑ) und damit das Streuverhaten eindeutig und voständig. 93

95 Insbesondere ergibt sich für den totaen Wirkungsquerschnitt π σ tot = dω fϑ) = π dϑ sin ϑ fϑ) 0 = π + ) + ) k e iδ +iδ sin δ sin δ dϑ sin ϑ P cos ϑ) P cos ϑ) }{{} = + δ = 4π k + ) sin δ. 4.64) Diese Geichung beschreibt die Beiträge von verschiedenen Drehimpusen zum totaen Wirkungsquerschnitt. Andererseits erhaten wir für die Streuampitude in Vorwärtsrichtung fϑ = 0) = + k e iδ sin δ P ) }{{} = Im fϑ = 0) = + k sin δ. 4.65) Aso gewinnen wir wieder das Optische Theorem σ tot = 4π k Im fϑ = 0). 4.66) As Beispie für die Partiaweenmethode betrachten wir zunächst ein Potentia der Form V r) = ħ C mr 4.67) mit einer dimensionsosen Konstante C > 0, für das sich die Streuphasen exakt bestimmen assen. Es ist Die Geichung v eff r) = ist vom Besse-Typ und hat die agemeine Lösung C + + ) r =: C r. 4.68) [ u r) + k C ] r u r) = ) u r) = α + r H + +4C / kr) + α r H +4C kr) 4.70) / mit Hanke-Funktionen Für große x git Daher finden wir für große r H ± n x) := J n x) ± i Y n x). 4.7) H ± n x) = ) πx e±ix e i π n+. 4.7) u r) = α + πk eikr e i π 4 +4C +) + α πk e ikr e i π 4 +4C +)! = A e ikr + B e ikr, 4.73) aso α πk ei π 4 +4C +) = A = A 0) = ) + ) ik 4.74) 94

96 und α + πk e i π 4 +4C +) = B = e iδ B 0) = + ) eiδ ik 4.75) e iδ = ) α+ e i π 4 +4C +) α e i π 4 +4C +) = ) α+ α e i π +4C e i π }{{} i = i ) α+ α Nun müssen wir noch die Koeffizienten α ± e i π +4C. 4.76) bestimmen. Für keine r wird die Radiageichung 4.69) zu mit den Lösungen u r) C r u r) = ) u ± r) = β ± r ± +4C ). 4.78) Man kann zeigen, dass die Lösungen u r) für r 0 so stark divergieren, dass ψr) in einer Umgebung des Streuzentrums nicht quadratintegrabe ist. Aso muss geten u r) = β + r + +4C ) für r ) u r) im = im β + r 0 r r 0 r +4C = ) Es fogt u r) [ 0 = im = im α + r 0 r r 0 H + kr) + +4C / α H kr)] +4C / = im r 0 [ α + + α ) J +4C / kr) + i α+ α ) Y +4C / kr)]. 4.8) Da die Besse-Funktionen Y n x) für x 0 divergieren, fogt Damit ist α + = α. 4.8) e iδ = i ) e i π +4C = e i π e iπ e i π +4C [ = exp iπ + ]) + 4C 4.83) δ = π + ) + 4C = π + ) ) + 4C = π + ) + ) + C, 4.84) wobei die Streuphasen natürich nur moduo π definiert sind. Jetzt können wir im Prinzip ae interessierenden Größen berechnen, z.b. fϑ) = + k exp i π [ + + ) ]) [ π + C sin + + ) ]) + C P cos ϑ) 4.85) und σ tot = 4π [ π k + ) sin + + ) ]) + C. 4.86) }{{} δ 95

97 Beachte, dass für git [ δ = π = π = π ) C + ) ] C + /) C ) + O + + ) 3 + O + ) ) Die Streuphasen verschwinden für wie /. Die Beiträge großer Drehimpuse zum totaen Wirkungsquerschnitt σ tot verschwinden aso auch nur wie / = / und die Reihe divergiert. Das iegt daran, dass das Potentia C/r angreichweitig ist. fϑ) und dσ/dω sind jedoch wohdefiniert, wenngeich die -Reihe sehr angsam konvergiert. 4.. Streupotentiae mit endichem Träger Weitere Erkenntnisse assen sich für den Fa von Zentra-) Potentiaen mit gewinnen. In diesem Fa konvergieren auch ae auftretenden -Reihen. Es sei aso Wir woen die Geichung mit den Randbedingungen [damit ψr) reguär bei r = 0 ist] und V r) = 0 r > a 4.88) vr) := m V r), 4.89) ħ v eff = vr) + [ u r) + k vr) u r) = + k + ) r. 4.90) ] + ) r u r) = 0 4.9) u 0) = 0 4.9) i e iδ sin kr π ) + δ ösen. Für r > a haben wir die Bessesche Differentiageichung [ u r) + k mit der agemeinen Lösung s.o.) + ) r für große r 4.93) ] u r) = ) u r) = α + r H + +/ kr) + α r H +/ kr). 4.95) Für unseren Fa ist aber eine andere Darsteung günstiger: u r) = β ) r j kr) + β ) r y kr), 4.96) 96

98 wobei j x), y x) sphärische Besse-Funktionen erster bzw. zweiter Art sind. Diese sind für = 0,,,... durch eementare Funktionen darstebar: j 0 x) = sin x x, 4.97) sin x x cos x j x) = x, 4.98) j x) = 3 x ) sin x 3x cos x x 3, ) y 0 x) = cos x x, 4.00) y x) = cos x + x sin x x, 4.0) y x) = 3 x ) cos x 3x sin x x 3, 4.0) ) Die Funktionen j x) sind ae für x 0 endich hebbare Singuarität), die Funktionen y x) haben dort jedoch einen Po. Für große x git aso j x) sin x π = ), 4.04) x y x) cos x π = ), 4.05) x u r) = [ β ) sin kr π ) k β ) cos kr π ) ]. 4.06) Um die Randbedingungen 4.93) zu erfüen, setzen wir denn dann fogt Daher muss geten Die exakte) Lösung für r > a ist damit Somit haben wir für 0 r a zu ösen β ) = β cos δ, 4.07) β ) = β sin δ, 4.08) [ u r) β = cos δ sin kr π ) k + sin δ cos kr π ) ] = β k sin kr π + δ )! = + k i e iδ sin kr π ) + δ. 4.09) β = + ) i e iδ. 4.0) u r) = + ) i e iδ r [ cos δ j kr) sin δ y kr) ]. 4.) u r) + [ k vr) ] + ) r u r) = 0 4.) 97

99 mit u 0) = 0, 4.3) u a) = + ) i e iδ a [ cos δ j ka) sin δ y ka) ], 4.4) u a) = d dr + ) i e iδ r [ cos δ j kr) sin δ y kr) ] r=a = + { i e iδ [ cos δ ka j ka) + j ka) ka j + ka) ] sin δ [ ka y ka) + y ka) ka y + ka) ]}. 4.5) Drei Randbedingungen überbestimmen die Lösung der Differentiageichung, die ja von zweiter Ordnung ist. Die zusätziche Geichung egt die noch unbestimmte Streuphase δ fest. Wir betrachten zunächst den Speziafa = 0 s-ween-streuung): Hier ist einfach u 0r) + [ k vr) ] u 0 r) = 0 4.6) mit Es fogt u 0 0) = 0, 4.7) sin ka u 0 a) = e iδ0 a cos δ 0 ka + sin δ cos ka ) 0 = eiδ 0 ka k sinka + δ 0), 4.8) u 0a) = d e iδ 0 dr k sinka + δ 0) = e iδ 0 coska + δ 0 ). 4.9) r=a u 0 a) u 0 a) = k tanka + δ 0) 4.0) δ 0 = ka + arctan k u 0a) k u + νπ = ka + arctan 0 a) d dr n u 0r) + νπ 4.) r=a mit ν Z. Beachte, dass wir hiermit die Lösung für δ 0 nur moduo π und nicht moduo π bestimmt haben. Die Anschussbedingungen bei r = a erauben auch nicht, δ 0 moduo π zu bestimmen, da und e iδ 0+π) k sinka + δ 0 + π) = ) }{{} = e iδ 0 k sinka + δ 0) 4.) e iδ0+π) coska + δ 0 + π) = ) e iδ0 coska + δ 0 ). 4.3) }{{} = Das macht aber nichts, da sich fϑ) bei einer Verschiebung δ δ + π für irgendweche nicht ändert. Wir können aso ν = 0 setzen. Expizite Berechnung von δ 0 erfordert natürich die Lösung der Differentiageichung für ein konkretes Potentia vr). Für > 0 ist die agemeine Rechnung mühsam und wir betrachten nur zwei Grenzfäe: 0 < ka: Wir können die asymptotische Form der sphärischen Besse-Funktionen für große Argumente verwenden und erhaten anaog zum Fa = 0, [ u a) = + ) i e iδ sin ka π a cos δ ) ka = + k i e iδ sin u a) = + ) i e iδ cos cos ka π + sin δ ) ] ka ka π ) + δ, 4.4) ka π ) + δ, 4.5) 98

100 aso wieder moduo π) δ π = ka + arctan k d dr n u r). 4.6) r=a ka: Hier können wir die asymptotische Form für keine Argumente verwenden, wobei die Doppefakutät für ungerades n autet Damit ist Es fogt u a) u a) = k j x) = x + )!!, 4.7) y x) = )!! x +, 4.8) n!! := 3 5 n. 4.9) [ u a) = + ) i e iδ ka) a cos δ + )!! + sin δ u a) = + ) i e iδ ka) ka [ cos δ cos δ tan δ = ka) + + )!! )!! ka) +)!! + sin δ )!! ka) + cos δ ka) +)!! + ) sin δ )!! ka) + u a) u a) a Für ein nicht spezie gewähtes Potentia vr) erwarten wir + )!! + ) sin δ = a ] )!! ka) +, 4.30) ] )!! ka) ) ka) +)!! + )!! ka) + tan δ 4.3) ka) )!! +)!! + ) tan δ ka) ) + ) u a) u a) + a. u a) u a) = Oa) 4.34) und der zweite Faktor auf der rechten Seite ist nicht besonders groß. Der erste Faktor ist jedoch sehr kein ka. Damit wird tan δ und auch δ sehr kein die Streuung in Kanäe ka ist stark unterdrückt. Das ist im Rahmen der kassischen Mechanik verständich: Kassisch können nur Massenpunkte mit Stoßparametern b a gestreut werden. Sie haben den erhatenen) Drehimpus L = bp = b me = bħk. Der maximae Drehimpus von Teichen, die kassisch gestreut werden, ergibt sich für b = a zu L max = ħka 4.35) Soange die kassische Näherung gerechtfertigt ist, sote aso die Streuung für L max ħ unterdrückt sein. Für ka sind das ae bis auf = 0 s-ween-streuung). = ka 4.36) 99

101 As Beispie betrachten wir die quantenmechanische Streuung an einer harten Kuge. Wir erhaten diesen Speziafa durch den Grenzübergang vr) für r < a. 4.37) Dies können wir praktischer durch die neue Randbedingung u a) = ) ausdrücken. Wir hatten jedoch schon eine Randbedingung für r = a, aufgrund unserer Lösung für r > a: Es fogt eine Bestimmungsgeichung für die Streuphase: u a) = + ) i e iδ a [ cos δ j ka) sin δ y ka) ]. 4.39) cos δ j ka) sin δ y ka) = 0 tan δ = j ka) y ka) Nun erhaten wir den totaen Wirkungsquerschnitt δ = arctan j ka) + νπ, ν Z. 4.40) y ka) σ tot = 4π k + ) sin δ = 4π k + ) tan δ + tan = 4π δ k j + ) ka) y ka) + 4.4) j ka) Σ tot Π a ka Nun ist λ = π/k die de-brogie-weenänge der Streuteichen. Wir betrachten zwei Grenzfäe: ka, aso λ a: Wir spaten den Beitrag für = 0 ab und verwenden für die übrigen die Näherung für 00

102 keine Argumente, σ tot = 4π k = 4π k j 0ka) y 0 ka) + j 0 Bis auf Korrekturen höherer Ordnung ist aso ka) + 4π k sin ka cos ka + sin ka + 4π k + ) = = ka) +)!! )!! ka) + ka) 4+ + ) )!! 4 = 4π k sin ka + k Oka)6. 4.4) σ tot = 4π k sin ka = 4πa, 4.43) das ist die vierfache Querschnittsfäche der Kuge. Außerdem iegt praktisch reine s-ween-streuung = 0) vor. ka, aso λ a: Wir verwenden wieder die Näherung für große Argumente und erhaten σ tot = 4π k + ) =0 sin ka π ) cos ka π ) + sin 4π ka π = ) k + ) sin ka π ). 4.44) =0 Hier haben wir aber einen Feher gemacht. Beachte, dass λ a gerade den kassischen Grenzfa beschreibt. Daher soten, wie oben gesehen, nur Drehimpusquantenzahen ka beitragen. Sei max der ganzzahige Antei von ka, dann erhaten wir die Abschätzung σ tot = 4π k max + ) sin ka π ). 4.45) =0 Wir fassen die -Terme paarweise zusammen da max macht es nur einen vernachässigbaren Unterschied, ob max gerade oder ungerade ist), σ tot = 4π k = 4π k = 4π k = 6π k max )/ n=0 max )/ n=0 max )/ n=0 [ 4n + ) sin ka πn) + 4n + ) sin ka πn π )] [ 4n + ) sin ka + 4n + ) cos ka ] 4n + ) }{{} max O max ) max + ) + 4π k cos ka max )/ n=0 } {{ } O max ) = 6π k max )/ n=0 = π k max = πa. 4.46) Dieses Ergebnis ist doppet so groß wie die Querschnittsfäche. Kassisch berechnet man as totaen Wirkungsquerschnitt aber genau πa. Wieso ist das quantenmechanische Ergebnis im kassischen Limes λ a doppet so groß? Das ist kein subtier Quanteneffekt, sondern iegt daran, dass in der quantenmechanischen Definition von σ tot auch die Vorwärtsstreuung enthaten ist, in der kassischen aber nicht. Die Ampitude der Vorwärtsstreuung ist aber kassisch wie quantenmechanisch) genausogroß wie die gesamte Streuung in ae anderen Richtungen. σ tot = πa zäht die Änderung nämich Verminderung) des Teichenstroms in Vorwärtsrichtung aufgrund der Abschattung mit. n 0

103 4.. Resonanzstreuung Die Diskussion im vorigen Abschnitt egt nahe, dass für ein Streupotentia begrenzter Reichweite a die Streuung in Kanäe mit ka unterdrückt ist. Für ka ist die Streuung i.a. stark und die Streuphase δ hängt vom spezifischen Potentia vr) ab. Die s-ween-streuung = 0) ist natürich immer in diesem Regime. Die Schussfogerung, dass die Streuung für ka schwach ist, git aber nicht immer, wie wir im Fogenden zeigen. Wir betrachten der Einfachheit haber die Streuung angsamer, d.h. energiearmer, Teichen. Dann ist ka. Darüberhinaus beschränken wir uns auf die Streuung an einem sphärischen Potentiatopf, V r) = V 0 Θa r), 4.47) vr) = v 0 Θa r) 4.48) mit v 0 = m ħ V 0 > ) V 0 a r Für = 0 und r a haben- Vwir 0 zu ösen u 0r) + k + v 0 ) u 0 r) = ) 0

104 mit u 0 0) = 0. Die Lösung ist Wir kennen bereits [siehe G. 4.)] u 0 r) = c }{{} 0 sin k + v 0 r). 4.5) Normierungsfaktor k δ 0 = ka + arctan d dr n u 0r) k + νπ = ka + arctan k +v 0 cos + νπ k +v 0 a r=a sin k +v 0 a k = ka + arctan tan ) k + v 0 a + νπ 4.5) k + v 0 mit ν Z. Wir definieren die Streuänge a S := a [ ka arctan ka tan )] k + v 0 a. 4.53) k + v 0 a Außer sehr nah an den Poen des Tangens ist das Argument des Arcustangens wegen ka kein und wir erhaten a S = a tan ) k + v 0 a. 4.54) k + v 0 a Es git exakt und der Beitrag von = 0 zum Wirkungsquerschnitt ist σ 0 = 4π k δ 0 = νπ ka S 4.55) sin δ 0 = 4π k sin ka S = 4πa S 4.56) Die Näherung im etzten Schritt git wieder übera, außer in der Nähe der Poe des Tangens. Uns interessiert hier aber vor aem der Fa. Hier müssen wir ösen [ u r) + k + v 0 mit u 0) = 0. Die agemeine Lösung autet, wie bekannt, + ) r ] u r) = ) u r) = β ) r j k + v 0 r ) + β ) r y k + v 0 r ). 4.58) Jedoch divergieren die Funktionen y x) für x 0 wie /x +. Die Randbedingung u 0) = 0 erfordert daher β ) = 0 und wir erhaten u r) = β ) r j k + v 0 r ). 4.59) Für ka git offensichtich auch ka. Für diesen Fa hatten wir schon gefunden [siehe G. 4.33)] tan δ = ka) + + )!! )!! u a) u a) a + )ka)+ = + ) u a) u a) + a u a) a u a) + )!! + ) u a) + a u 4.60) a). Aso erhaten wir durch Einsetzen tan δ + )ka) + a j k + v 0 a ) a j k + v 0 a ) a k + v 0 j k + v 0 a ) = + )!! + )a j k + v 0 a ) + a j k + v 0 a ) + a k + v 0 j k + v 0 a ) + )ka)+ ) j k + v 0 a ) k + v 0 a j = k + v 0 a ) + )!! + ) j k + v 0 a ) + ). 4.6) k + v 0 a j k + v 0 a Fas der Nenner nicht aufgrund einer spezieen Wah von k + v 0 a kein oder sogar Nu ist, ist der gesamte Ausdruck wegen des Faktors ka) + sehr kein und δ ist sehr kein. Das ist der Fa, den wir oben schon 03

105 betrachtet haben. Dieses Argument für eine keine Streuphase δ bricht jedoch in der Umgebung der Nusteen des Nenners zusammen. Diese treten für k = k,i, i =,,... mit + ) j k,i + v 0 a ) + k,i + v 0 a j k,i + v 0 a ) = 0 4.6) auf. Der Nenner hat aso für Energien E = E,i = ħ k,i /m Nusteen. Hier divergiert tan δ und es fogt δ = π/ + νπ, ν Z. Damit ist der Beitrag zum Wirkungsquerschnitt σ k = k,i ) = 4π k,i + ) 4.63) Dies ist nicht kein im Vergeich zur s-ween-streuung σ 0. Diese Erhöhung der Streuung für bestimmte Energien und Drehimpuse nennt man Resonanzstreuung. Die physikaische Ursache ist die Koppung der Streuzustände an metastabie Zustände Resonanzen) im effektiven Potentia v eff r) = vr) + + )/r. veff Resonanzen E, +)/r E 0, a v0 r Ein Streuteichen kann für eine beträchtiche aber endiche) Zeit im Potentiatopf in einem Drehimpus--Zustand gefangen werden, daher wird die Streuung sehr stark. Eine detaiiertere Untersuchung zeigt, dass die Breite E der Streuresonanz in der Energie über τ ħ/ E mit der Lebensdauer des metastabien Zustands zusammenhängt Integradarsteung der Streuphasen und Bornsche Näherung Die Streuphasen assen sich expiziter as bisher durch die Partiaween u r) und das Streupotentia vr) ausdrücken. Die resutierende Darsteung ist nützich, wenn vr) as keine Störung behandet werden kann. Wir starten von der bekannten Geichung u r) + [ k + vr) ] + ) r u r) = ) mit der Randbedingung u 0) = 0. Anaog erfüt die freie Lösung u 0) r) die Geichung [ ] u 0) r) + k + ) r u 0) r) = ) mit u 0) 0) = 0. Wir mutipizieren G. 4.64) mit u 0) r), G. 4.65) mit u r), ziehen die Ergebnisse voneinander ab und integrieren über [0, [: 0 0 dr [ u 0) r)u r) u r)u 0) r) vr)u 0) dr [ u 0) r)u r) u r)u 0) r) ] = 04 0 r)u r) ] = ) dr vr)u 0) r)u r). 4.67)

106 Auf der rechten Seite setzen wir die expizit bekannte Lösung für u 0) r) ein und erhaten... = i + ) 0 dr vr)r j kr)u r), 4.68) der hier verwendete Normierungsfaktor ist so gewäht, dass u r) u 0) r) für vr) 0 r. Die inke Seite ässt sich partie integrieren:... = [ u 0) r)u r) u r)u 0) r) ] dr [ u 0) 0 r)u r) u r)u 0) r) ] 0 }{{} =0 [ 0) = im u r r)u r) u r)u 0) r) ]. 4.69) Wir setzen nun die asymptotische Form für große r ein:... = = [ k i im sin kr π ) r e iδ k cos kr π ) + δ e iδ sin kr π ) + δ k cos kr π )] + ) + ) k Insgesamt erhaten wir aso i e iδ + ) sin δ ) = i e iδ sin δ. 4.70) k i + ) e iδ sin δ = 0 dr vr)kr j kr) u r). 4.7) Diese Geichung ist exakt. Sie ergibt offensichtich δ = 0 für v 0. Für von Nu verschiedenes Potentia ist die Geichung für die exakte Lösung des Streuprobems aber nicht besonders nützich, da sie auf der rechten Seite die unbekannte Funktion u r) enthät. Ist das Potentia jedoch hinreichend schwach, so erhaten wir u r) = u 0) r) + Ov), 4.7) δ = Ov), 4.73) was im Nachhinein zu überprüfen ist. Dann können wir in führender Ordnung in v in G. 4.7) u r) durch r) ersetzen, da die rechte Seite schon expizit von erster Ordnung in v ist, und auf der inken Seite entwicken, u 0) Damit ist δ = i + = i + = k 0 e iδ sin δ = δ + Oδ ). 4.74) 0 0 dr vr)kr j kr)u 0) r) dr vr)kr j kr) i + ) r j kr) dr vr) [ kr j kr) ]. 4.75) Dies nennt man die Bornsche Näherung für die Streuphasen. Sie gibt einen expiziten Ausdruck für δ. Wir sehen, dass δ wie angenommen von erster Ordnung in v ist. Eine besonders einfache Form ergibt sich für s-ween- Streuung, da j 0 x) = sin x/x exakt): δ 0 = dr vr) sin kr. 4.76) k 0 As Beispie untersuchen wir, ob ein Streupotentia vr) existiert, für das die s-ween-streuung die ja i.a. dominiert) in Bornscher Näherung verschwindet. Aso: Existiert eine nicht identisch verschwindende Funktion vr) mit 0 dr vr) sin kr = ) 05

107 für ae Energien E, d.h. für ae k = me/ħ? Man kann zeigen, dass das nicht der Fa ist. Jedoch ist es mögich dafür zu sorgen, dass δ 0 auf einem ganzen Energieinterva [0, E max [ verschwindet: Wir betrachten vr) = v 0 sin κr κr 4.78) mit v 0 0 kein) und κ > 0. Dann ist δ 0 = v 0 kκ 0 dr sin κr sin kr r = v 0 kκ 0 für k < κ/ π 8 für k = κ/ π 4 für k > κ/ = πv 0 k 4kκ Θ κ ). 4.79) Aso ist für hinreichend niedrige Energie E < E max = ħ κ /8m der Streuteichen der Streuer unsichtbar für s-ween-streuung, in Bornscher Näherung. Jenseits der Bornschen Näherung git das nicht mehr, δ 0 ist von Nu verschieden, wenn auch kein. 4.3 Couomb-Streuung Die offensichtich wichtige Streuung an einem Couomb-Potentia erfüt nicht die bisher gestete Bedingung Daher ist die asymptotische Form der Weenfunktion für große r nicht im rv r) = ) r ψr) = e ik r + fϑ, φ) eikr r, 4.8) wie wir jetzt zeigen werden. Die Schrödinger-Geichung autet in SI-Einheiten) ħ m + ) q q ψr) = E ψr) 4.8) 4πϵ 0 r mit den Ladungen q, q von Streuteichen und Streuzentrum. Wir definieren k := me/ħ und Damit autet das Potentia γ := q q 4πϵ 0 V r) = γħ k m m ħ k. 4.83) r 4.84) bzw. vr) = m γk ħ V r) = r. 4.85) Die Schrödinger-Geichung ässt sich nun schreiben as ψr) + k γk ) ψr) = ) r Physikaische Lösungen müssen trotz des Pos des Couomb-Potentias am Ursprung r = 0 reguär sein. Die Schrödinger-Geichung kann man mit dem Ansatz ψr) = e ikz gr z) 4.87) 06

108 ösen, wobei die speziee Wah des Koordinatensystems einem entang der negativen z-achse einaufenden Teichenstrah entspricht. Einsetzen ergibt z ) k e ikz gr z) + ik r e ikz g r z) + e ikz gr z) + k γk ) e ikz gr z) = ) r z ) ik r g r z) + g r z)ˆr ẑ) γk r z ) r = ik g r z) + g r z) ˆr ẑ) ˆr ẑ) }{{} = cos ϑ) gr z) + g r z) r γk r gr z) = cos ϑ)g ikz ikr + r z) + g r z) γk gr z) = 0 r r 4.89) r z)g r z) + ikz ikr + ) g r z) γk gr z) = ) Mit ζ := ikr z) erhaten wir ikζ d g + ik ζ)dg γk g = 0 4.9) dζ dζ ζ d g + ζ)dg + iγ g = ) dζ dζ Dies ist eine sogenannte Kummersche Differentiageichung. Die agemeine Lösung autet gζ) = c M iγ,, ζ) + c U iγ,, ζ), 4.93) wobei M und U konfuent hypergeometrische Funktionen oder Kummersche Funktionen) sind. Die Funktion U ist jedoch nicht reguär; sie hat einen Schnitt auf der negativen ζ-achse. Die physikaisch sinnvoe Lösung ist daher die Funktion M. Es ist Mα, β, x) F α; β; x) := + α β αα + ) x αα + )α + ) x 3 x + + ββ + )! ββ + )β + ) 3! ) Wir haben aso mit Hife des Ansatzes eine Lösung der Schrödinger-Geichung gefunden: ψr) = c e ikz M iγ,, ikr z) ), 4.95) mit einer Konstanten c. ψr) beschreibt einen Streuzustand, da E > 0 angenommen wurde. Es ist aber natürich nicht garantiert, dass diese speziee Lösung etwas mit der Streuung einer von negativem z her einaufenden Wee zu tun hat. Um zu sehen, dass die Lösung tatsächich diese Situation beschreibt, können wir Re ψr) potten: 07

109 Diese Graphik egt nahe, dass tatsächich die gewünschte Situation beschrieben wird. Um dies zu beweisen, betrachten wir Orte r nahe der negativen z-achse, weit entfernt vom Streuzentrum. Hier ist r groß, z groß, z < 0, 4.96) aso auch r z > 0 groß. Für große ρ := r z ist aber vg. Abramowitz, Stegun, Handbook of Mathematica Functions) M iγ,, ikρ) = eπγ/ iγ n kρ e γ eikρ e πγ/ iγ n kρ e 4.97) Γ + iγ) kρ Γ iγ) mit der Gammafunktion Γx), sowie U iγ,, ikρ) = e πγ/ e iγ n kρ. 4.98) Dies gestattet, die Weenfunktion ψr) in einen für große r z rein einaufenden und einen rein ausaufenden Antei zu zeregen: ψr) = c e ikz M iγ,, ikr z) ) = c e [M ikz iγ,, ikr z) ) e πγ Γ + iγ) U iγ,, ikr z) ) ] }{{} =:ψ sr) + c e ikz e πγ Γ + iγ) U iγ,, ikr z) ). 4.99) }{{} =:ψ 0r) Die beiden Anteie auten nämich asymptotisch ψ 0 r) e πγ/ = c Γ + iγ) eikz+iγ n kr z), 4.00) [ ψ s r) = c e ikz e πγ/ iγ n kr z) e γ eikr z) e πγ/ iγ n kr z) e e πγ/ iγ n kr z) e Γ + iγ) kr z) Γ iγ) ] Γ + iγ) e πγ/ ikr iγ n kr z) e = γ c. 4.0) Γ iγ) kr z) 08