Thomas Forbriger (IMG Frankfurt) Juni Definition des diskreten, linearen Inversionsproblems 3

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1 Notizen zur Voresung Inversionstheorie Thomas Forbriger IMG Frankfurt) Juni 001 Inhatsverzeichnis 1 Definition des diskreten, inearen Inversionsprobems 3 Least-Squares Lösung 4 3 Generaisierte Eigenwertzeregung SVD) Eigenwertanayse Generaisierte Eigenwertzeregung SVD) Eemente der SVD Transformierte Räume Diagonaform der Vorhersagegeichung Faktorisierung der Vorhersagematrix Nuräume Rang und Konditionszah Rang der Matrix G Konditionszah der Matrix G Konditionszah der Matrix G T G für p M Least-Squares-Lösung mit SVD Diagonaform Generaisierte Inverse und Aufösungsmatrix Unterbestimmter Fa Informationsdichte-Matrix Überbestimmter Fa Eigenschaften der SVD-Lösung Cutoff-Verfahren Der Einfuss von Störsignaen Daten-Misfit Mode-Misfit Schussfogerung für die Anwendung des Cutoff-Verfahrens

2 INHALTSVERZEICHNIS 6 Marquardt-Verfahren Zusätziche Forderung an die Modeparameter Eigenwertzeregung Least-Squares Lösung Aufösungsmatrix Umgang mit physikaischen Einheiten Gewichtung der Daten Forderungen an die Modeparameter Das Least-Squares Geichungssystem Least-Squares Inversion mit definierter Toeranz Anmerkung zu inearisierten Probemen Ergänzungen Least-Squares für kompexe Größen Kompexwertiges Geichungssystem Literatur 5 Thomas Forbriger E-Mai: Thomas.Forbriger@kit.edu Observatorium Schitach BFO), Heubach 06, D Wofach, Germany, Geophysikaisches Institut, Karsruher Institut fr Technoogie KIT) Te.: )7836/151, Fax.: )7836/

3 1 DEFINITION DES DISKRETEN, LINEAREN INVERSIONSPROBLEMS 3 1 Definition des diskreten, inearen Inversionsprobems Messwerte Aus einer geophysikaischen Messung iegen N Messwerte d k vor. Diese werden as Komponenten im Vektor d zusammengefasst. Der Vektor d ist ein Eement des N-dimensionaen Datenraumes. Im Beispie Bouguer-Anomaie Skriptum, Seite 35) sind die d k die für die Orte x X k, z 0) bestimmten Werte der Bouguer-Schwere-Anomaie g B X k ). Modeparameter Die Materiaeigenschaften des untersuchten Mediums, weche sich in den Messwerten d k ausdrücken, werden im diskretisierten Fa durch M Modeparameter m beschrieben. Sie werden as Komponenten im Vektor m zusammengefasst. Dieser ist ein Eement des M-dimensionaen Moderaumes. Im Beispie Bouguer-Anomaie Skriptum, Seite 35) geben die m den Wert von Dichteanomaien ρ gegenüber dem Hintergrundmediuman. Diese sind an dünnen, unendich angen Stäben in y- Richtung an den Positionen x x, z z ) angebracht. Die betrachtete Materiaeigenschaft Massendichteverteiung) ist nicht diskret, sondern eine kontinuieriche Funktion ρx, y, z) des Raumes. Nur durch eine bestimmte Annahme über die Geometrie der in Frage kommenden Anomaien ist die Beschreibung durch einen diskreten Satz von Parametern m mögich. Vorhergesagte Messwerte Die mathematische Formuierung physikaischer Gesetzmäßigkeiten eraubt nun eine Vorhersage von Messwerten. Die aufgrund der physikaischen Theorie vorhergesagten N Messwerte werden mit s k bezeichnet und im Vektor s zusammengefasst. Auch dieser ist eine Eement des N-dimensionaen Datenraumes. Besteht ein inearer Zusammenhang zwischen Materiaparametern m und theoretischen Messwerten s k, so kann dieser durch ein Geichungssystem s 1 G 11 m 1 + G 1 m + + G 1M m M s G 1 m 1 + G m + + G M m M.. s N G N1 m 1 + G N m + + G NM m M oder kompakter durch s G m 1) ausgedrückt werden. Die G k sind dabei die Eemente der N M)-Matrix G. Die Matrix G wird as Matrix der partieen Abeitungen oder Koeffizienten-Matrix der Vorhersagegeichung bezeichnet. Sie enthät den beschriebenen physikaischen Zusammenhang zwischen Materiaeigenschaften und erwarteten Messwerten. Fas dieser Zusammenhang nichtinear ist, kann er in den meisten Fäen über eine Reihenentwickung inearisiert und in der Form 1) geschrieben werden Skriptum, Abschnitt 4.3). Im Beispie Bouguer-Anomaie Skriptum, Seite 35) auten die Eemente der Matrix G A z G k γ X k x ). ) + z 11 Nm Dabei ist γ 6, die Gravitationskonstante und A kg ist die Querschnittsfäche der Box, die zur stabförmigen Masseanomaie ρ gehört. $Id: IBinear.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

4 4 Inversionsaufgabe Die Aufgabe der Dateninversion autet nun: Finde einen Satz von Modeparametern m, so dass die vorhergesagten Messwerte s k mögichst gut zu den tatsächich gemessenen Werten d k passen. Was mögichst gut bedeutet, muss noch näher definiert werden. Manchma ist es mögich s und d durch eine entsprechende Wah von m in 1) identisch zu machen. Dies ist aber meistens garnicht gewünscht, da die d Stördignae enthaten können, weche nicht durch 1) beschrieben werden. Least-Squares Lösung Für die Lösung des Inversionsprobems as Least-Squares-Probem, wird die Forderung s so mögichst gut zu d passen wie fogt formuiert: Suche einen Satz von Modeparametern m, so dass die Differenz zwischen s und d im quadratischen Mitte d s minimiert wird. Die Forderung autet aso ) E d G m N! d k G k m min. 3) k1 Bezügich der Parameter m ist die Funktion E m) ein Parabooid mit exakt einem Minimum. Das git agemein, da ae quadratischen Terme m einen positiven Koeffizienten M k1 G k haben. Am Minimum git E 0 für ae. 4) m Die Forderung 4) ässt sich mit 3) zum Geichungssystem E m j k1 umformen. Das kann kompakter as ) N N Gkj d k G k m ) 0 für ae j 5) G T G m G T d 6) geschrieben werden. Diese Form wird as Normaengeichung bezeichnet. Die Lösung von 6) erfüt die Forderung 3) und ist damit die gesuchte Lösung des Inversionsprobems. Das Geichungssystem 6) kann mit Standardverfahren, wie dem Gauß-Jordanschen Eiminationsverfahren Skriptum, Seite 57), geöst werden, fas die Determinante der symmetrischen Koeffizientenmatrix G T G nicht verschwindet, aso detg T G) 0 git. Fas G T G reguär ist, ist sie auch positiv definit. Häufig ist die Matrix G T G zwar nicht mathemtisch singuär, aber nahezu singuär. Dann kann die unmittebare Lösung von 6) zu numerischen Probemen führen oder sehr ungenau werden. 3 Generaisierte Eigenwertzeregung SVD) 3.1 Eigenwertanayse Siehe das Skriptum Müer, 1987, Abschnitt 5., Seite 6) für eine ausführichere Beschreibung der Eigenwertanayse. Draft: Inversionstheorie $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $

5 3 GENERALISIERTE EIGENWERTZERLEGUNG SVD) 5 3. Generaisierte Eigenwertzeregung SVD) Untersucht wird das Eigenwertprobem F w λ w. 7) Dabei ist ) 0N G F G T 0 M 8) eine N +M) N +M))-Matrix mit der N M)-Koeffizenten-Matrix G der Vorhersagegeichung 1). Die Matrix 0 N ist eine N N)-Matrix aus auter Nuen und die Matrix 0 M eine ebensoche M M)- Matrix. Der Vektor u w 9) v) wird in den N-dimensionaen Vektor u und den M-dimensionaen Vektor v zeregt. Auf diese Weise erhät man die gekoppeten Eigenwertprobeme G v u 10a) und G T u v. 10b) Diese assen sich in die entkoppeten Probeme GG T u λ u 11a) und G T G v λ v 11b) mit den gemeinsamen Eigenwerten λ überführen. Aus der Lösung von 11) erhät man p positive Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren v und u Skriptum, Seite 67). Dabei ist p minn, M). Die Eigenwerte seien der Größe nach entsprechend +1 geordnet, λ 1 ist dann der größte Eigenwert. Es ist zu beachten, dass 11a) ein N N)-Probem ist. Man erhät daraus N Eigenvektoren u. Andererseits ist 11b) ein M M)-Probem aus dem man M Eigenvektoren v erhät. Die Geichungen 10) verknüpfen die beiden Sätze von Eigenvektoren. Und zwar werden immer der Eigenvektor u und der Eigenvektor v zum seben Eigenwert mit demseben Index miteinander verknüpft. Diese Verknüpfung ist natürich nur für minn, M) mögich. Außerdem ist für N < M die Matrix in 11b) singuär. Sie enthät dann M N inear abhängige Spaten und Zeien) und damit ebenso viee Eigenwerte, die geich nu sind. Ist M < N, so git die entsprechende Überegung für 11a). Natürich kann die Zah der inear abhängigen Spaten und Zeien in 11) noch größer sein. Daher ist die Zah p der von nu verschiedenen Eigenwerte immer keiner oder geich minn, M). Da durch 11) nur λ und nicht bestimmt wird, beibt die Wah für ein positives oder negatives Vorzeichen von frei. Beide sind unabhängige Eigenwerte des Probems in 7). Die zugehörigen Eigenvektoren v und u unterscheiden sich jedoch nur darin, dass einer von beiden mit das Vorzeichen wechset. Dies führt auf verschiedene Eigenvektoren w für verschiedene Vorzeichen von λ. Da in den fogenden Betrachtungen aber immer nur v und u getrennt voneinander benutzt werden und w im Fogenden keine Bedeutung mehr hat, ist es ausreichend, sich auf die Eigenwerte mit positivem Vorzeichen zu beschränken. $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

6 6 3.3 Eemente der SVD 3.3 Eemente der SVD Mit U N N) V M M) Λ p p p) { } u 1, u,... u p ), u p+1, u p+,... u N ), 1a) U p U 0 N p) N N p)) { } v 1, v,... v p ), v p+1, v p+,... v M ) und 1b) V p V 0 M p) M M p)) diag ) für 1 p 1c) werden die Eigenvektoren und Eigenwerte der Generaisierten Eigenwertzeregung SVD) zu Matrizen zusammengefasst Skriptum, Seite 68). Dabei sind die Spatenvektoren u der Matrix U die Eigenvektoren des Eigenwertprobems 11a). Und die Spatenvektoren v der Matrix V sind die Eigenvektoren des Eigenwertprobems 11b). Die beiden Sätze von Eigenvektoren sind orthonorma, aso Dabei ist v k v δ k für k, 1,... M und u k u δ k für k, 1,... N. 13) δ k { 1 für k 0 für k das Kronecker-Symbo. Für die Matrizen U und V git aso U T U UU T 1 N und V T V VV T 1 M. 15) 1 N ist eine N N) Einheitsmatrix und 1 M eine M M) Einheitsmatrix. 3.4 Transformierte Räume Die M orthonormaen Vektoren v biden eine aternative Vektorbasis für den Moderaum. Bezügich dieser Basis ässt sich der Modevektor m v m 16) mit den Komponenten m angeben. In vektorieer Schreibweise ist die orthogonae Matrix V die Transformationsmatrix, mit der die Hintransformation und Rücktransformation m V T m m V m 14) 17a) 17b) bewerksteigt werden können. In geicher Weise biden die N orthonormaen Vektoren u eine Basis für den Datenraum. Mit den Komponenten d wird der Datenvektor N d u d 18) bezügich dieser aternativen Basis angegeben. In vektorieer Schreibweise ist die orthogonae Matrix U die Transformationsmatrix, mit der die Hintransformation d U T d 19a) und Rücktransformation bewerksteigt werden können. d U d 19b) Draft: Inversionstheorie $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $

7 3 GENERALISIERTE EIGENWERTZERLEGUNG SVD) Diagonaform der Vorhersagegeichung Die Wah der v und u as neue Basis von Mode- und Datenraum eraubt die Diagonaisierung der Vorhersagegeichung 1). Die Geichung s G m 0a) wird mit 16) zu s G v m G v m 0b) und mit 10a) zu s u m. 0c) Mit 18) kann aus 0c) die Diagonaform s m 1) der Vorhersagegeichung identifiziert werden. Die Summe in 0c) wird nur bis p ausgeführt. Für N < M existieren natürich keine u mit > N. Die Geichung 10a) kann diesen Indexbereich nicht angewendet werden. Es ist dann aber auch kar, dass mit den u für ae 1,... N die voe Basis für den Datenraum bereits ausgeschöpft ist. Für p < N können die Beiträge für > p unberücksichtigt beiben, wei die zugehörigen Eigenwerte geich nu sind. Der Modevektor zur Komponente m ist v, aso gerade der Eigenvektor oder Basisvektor zum Index. Die Eigenwertgeichung 10a) kann as Vorhersagegeichung für den Modevektor m v geesen werden. Der Vektor der vorhergesagten Messwerte ist in diesem Fa s u. In diesem Sinne kann den drei SVD-Größen v, u und ein physikaischer Zusammenhang zugeschrieben werden. Entsprächen die Materiaeigenschaften gerade dem Mode-Eigenvektor v, so wären die dadurch verursachten Messwerte gerade das -fache des Daten-Eigenvektors u. Da die v und u jeweis normiert sind, kann weiter gesagt werden, dass die v zu großen Modestrukturen beschreiben, die bereits bei keinen Beträgen der Modeparameter ein großes Mess-Signa hervorrufen. Umgekehrt wird von Strukturen v zu keinen auch bei großen Parameter-Werten nur ein keines Mess-Signa erzeugt. 3.6 Faktorisierung der Vorhersagematrix Da nur p M Eigenwerte ungeich nu sind autet die voständige Vorhersagegeichung unter Verwendung der neuen Basisvektoren s u v m ). ) Mit den in 1) definierten Matrizen autet ) In dieser Geichung ässt sich die Faktorisierung s U p Λ p V T p m. 3) G U p Λ p V T p 4) der Vorhersagematrix G erkennen. Es ist U p eine N p)-matrix, Λ p eine p p)-matrix und V T p eine p M)-Matrix. Diese Form der Eigenwertzeregung für eine nicht-symmetrische Matrix G wird as singuar vaue decomposition SVD) oder Generaisierte Eigenwertzeregung bezeichnet. $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

8 8 3.7 Nuräume 3.7 Nuräume Auch bezügich der neuen Basis v ist der Moderaum noch M-dimensiona. Im Fa p < M wirken sich aber nur p unabhängige Komponenten m des Modevektors auf die vorhergesagten Messwerte aus. Umgekehrt betrachtet können für p < N aber auch nur p unabhängige Komponenten s der Messwerte erzeugt werden, obwoh der Datenraum bezügich der neuen Basis u immernoch N-dimensiona ist. Um deuticher zwischen den wirksamen und unwirksamen Anteien unterscheiden zu können wird eine neue Bezeichnungsweise für die Komponenten von Mode-Vektor und Daten-Vektor bezügich der SVD-Basis eingeführt. So git m m und d d für die wirksamen Anteie mit p. Für die unwirksamen Anteie mit > p werden die Bezeichnungen m m und d d gewäht. Der Unterraum des Moderaums, der durch die Spatenvektoren von V 0 in 1b) aufgespannt wird, wird as Nuraum des Modes bezeichnet. Anteie m 0 p+1 m v, 5) des Modes, die in diesem M p)-dimensionaen Unterraum iegen, tragen nichts zu den vorhergesagten Messwerten in 1) bei. Ein Nuraum des Modes existiert auf jeden Fa für unterbestimmte Fäe mit M > N. Der Unterraum des Datenraums, der durch die Spatenvektoren von U 0 in 1a) aufgespannt wird, wird as Nuraum der Daten bezeichnet. Anteie d 0 N p+1 d u, 6) des Daten, die in diesem N p)-dimensionaen Unterraum iegen, können durch 1) nicht erzeugt werden. Ein Nuraum der Daten existiert auf jeden Fa für überbestimmte Fäe mit N > M. Der Antei m p m v, 7) des Modevektors, der vo zu den vorhergesagten Messwerten beiträgt, erhät keinen spezieen Namen. Die vektorieen Transformationsgeichungen für diesen p-dimensionaen Unterraum des Moderaumes auten m V p m und m V T p m. 8) Der Vektor m ist p-dimensiona und fasst die Komponenten m zu einem Vektor zusammen. Ebenso erhät der Antei d p d u, 9) des Datenvektors, der mit der Vorhersagegeichung 1) erzeugt wird, keinen spezieen Namen. Die vektorieen Transformationsgeichungen für diesen p-dimensionaen Unterraum des Datenraumes auten entsprechend d U pd und d U T p d. 30) Der Vektor d ist p-dimensiona und fasst die Komponenten d zu einem Vektor zusammen. Mit der kombinierten Hin- und Rücktransformation m 0 V 0 V T 0 m 31a) kann der Nuraum-Antei und mit m p V p V T p m 31b) kann der wirksame Antei des Modevektors extrahiert werden. Entsprechendes ist mit d 0 U 0 U T 0 d 31c) Draft: Inversionstheorie $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $

9 3 GENERALISIERTE EIGENWERTZERLEGUNG SVD) 9 und d p U p U T p d 31d) im Datenraum mögich. Die Geichung 31c) extrahiert die nicht vorhersagbaren Messwert-Anteie und 31d) die vorhersagbaren und damit invertierbaren). Die Matrix R V p V T p wird in Abschnitt 4. as Resoutionsmatrix beschrieben. In ähnicher Weise tritt S U p U T p in Abschnitt 4.3 as Informationsidchte-Matrix auf. 3.8 Rang und Konditionszah Rang der Matrix G Die Zah p der von nu verschiedenen Eigenwerte heißt Rang der Matrix G. Es git immer p minm, N). 3) Der Rang der Matrix gibt die Anzah der inear unabhängigen Zeien und Spaten in G an. Im überbestimmten Fa N > M sind N M Spaten von G inear abhängig von den restichen Spaten. Im unterbestimmten Fa M > N sind M N Zeien von G inear abhängig von den restichen Zeien. Es können aber auch immer mehr Spaten voneinander inear abhängig sein, was bedeutet, dass verschiedene Kombinationen von Modeparametern diesebe Wirkung auf die vorhergesagten Daten haben. Dann ist auch im überbestimmten Fa p < M. Ebenso können auch im unterbestimmten Fa voneinander inear abhängige Zeien von G existieren. Das bedeutet dann, dass verschiedene Kombinationen von Messwerten in geicher Weise von den Modeparametern abhängen. Dann ist p < N. Für den Fa p < M verschwindet die Determinante detg T G) der Matrix in der Normaengeichung 6). Das Least-Squares-Geichungssystem kann dann nicht eindeutig geöst werden. In diesem Fa muss ein Verfahren wie die SVD verwendet werden Konditionszah der Matrix G Für N M ist G quadratisch. Ist p < N M so ist G singuär und kann nicht invertiert werden. Für den Fa p N M heißt das Verhätnis min ) max ) mit 1,... p 33) zwischen keinstem und größtem Eigenwert die Konditionszah der Matrix. Je keiner die Konditionszah, umso schwerer kann die Matrix numerisch invertiert werden und umso schwerer äßt sich das zugehörige Geichungssystem ösen. Man kann auch sagen, für eine keine Konditionszah wird die Matrix bezügich der Rechengenauigkeit singuär und das Ergebnis der Matrix-Inversion, bzw. der Lösung des Geichungssystems wird zunehmend von Rundungsfehern bestimmt Press et a., 199, Abschnitt.6). Für einfach genaue Rechnung beträgt die reative Rechengenauigkeit in der Rege 10 6 Regionaes Rechenzentrum für Niedersachsen, 1987), für doppet genaue Rechnung Die Konditionszah darf nicht keiner as die Rechengenauigkeit werden, damit das Probem überhaupt noch behandet werden kann. Fröberg 197, Abschnitt 4.4) zitiert dazu fogendes Beispie von T. S. Wison: Zu ösen sei das Geichungssystem A x y 34a) mit für die Vektoren A y , y und y b) 34c) $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

10 10 Die zugehörigen Lösungen auten x 1 1 1, x und x d) Bereits keine Änderungen der rechten Seite des Geichungssystems y) führen zu großen Änderungen der Lösung x). Die Lösung ist in diesem Sinne nicht stabi. Das Geichungssystem ist schecht konditioniert. Übertragen auf das Inversionsprobem bedeutet das, dass bereits keine Störanteie in den Daten zu erhebichen Modeperturbationen führen Konditionszah der Matrix G T G für p M Die Matrix der Least-Squares Normaengeichung 6) ist die quadratische Matrix G T G. Für den Fa p < M ist die Determinante von G T G geich nu und das Geichungssystem kann nicht geöst werden. Dies kann auch bei forma überbestimmten Probemen N > M) der Fa sein. Mit der Faktorisierung 4) kann die Eigenwertzeregung der Matrix G T G V M Λ M U T T M U M Λ M VM V M Λ M VM T 35) 1 M für den Fa p M unmittebar angegeben werden. 1 M ist die M M) Einheitsmatrix. Die Eigenvektoren sind aso die Spatenvektoren der Matrix V M und die Eigenwerte sind die M von nu verschiedenen λ aus der Diagonae der Matrix Λ M diag ). Damit ist die Konditionszah der Matrix GT G minλ ) maxλ ) mit 1,... M 36) das Quadrat der Konditionszah der Matrix G. Eine Lösung des Inversionsprobems über eine SVD der Matrix G ist daher immer numerisch stabier, as die direkte Lösung des Least-Squares-Geichungssystems 6). Dies ist einer der Gründe, weshab die SVD as Lösungsverfahren zu bevorzugen ist. 4 Least-Squares-Lösung mit SVD Für die weitere Behandung des Least-Squares-Probems werden einige Umformungen der Normaengeichung 6) unter Verwendung der SVD-Eemente 1) und der Faktorisierung 4) der Matrix G vorgenommen: Λ 1 p V T p 37c) : G T G m G T d V p Λ p U T T p U p Λ p Vp m V p Λ p U T p d 1 p V p Λ pv T p m V p Λ p U T p d Λ p V T p m m Λ 1 p 37d) : V T p m m V p 37e) : U p 37d) : Dabei ist Λ 1 p diag1/ ). V p V T p R U p Λ p V T p G T U p d d Λ 1 p U T p d d m V p Λ 1 p U T p d H m U p U T p d S 37a) 37b) 37c) 37d) 37e) 37f) 37g) Draft: Inversionstheorie $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $

11 4 LEAST-SQUARES-LÖSUNG MIT SVD Diagonaform Mit G. 37d) wurde das Least-Squares-Probem 37a) auf Diagonaform gebracht. Bezügich der neuen Basis zerfät das Geichungssystem in p unabhängige Geichungen m d. 38) Die Lösung dieses Geichungssystems ist mit 37e) bereits angegeben worden. Die Komponenten m d 39) der gesuchten Lösung assen sich bezügich der neuen Basis unmittebar angeben. Vergeicht man 38) mit der Diagonaform 1) der Vorhersagegeichung, so wird deutich, dass im transformierten Raum einfach d G m Λ p m nach m aufgeöst wird, um die Least-Squares-Lösung zu erhaten. Aus den p Komponenten der Lösung m im transformierten Raum assen sich unmittebar die Werte der Lösung m V p m im nicht transformierten Raum bestimmen. Voständig ausgeschrieben autet die SVD-Lösung aso m v u d. 40) Über die Nuraum-Komponenten m der Lösung erfährt man aus den Geichungen 37) zunächst nichts. Mutipiziert man 37c) von inks mit V0 T, um etwas über die Nuraum-Komponenten zu erfahren, so erhät man die triviae Aussage 0 0. Die Nuraum-Komponenten beiben weiterhin unbestimmt und werden in 40) impizit geich nu gesetzt. In Abschnitt 4.4 wird diese Wah as vernünftig begründet. 4. Generaisierte Inverse und Aufösungsmatrix In 37f) treten die sogenannte Aufösungsmatrix R V p V T p und die Generaisierte Inverse H V p Λ 1 p U T p auf. Im Fa p M N wird die Aufösungsmatrix R 1 p zur Einheitsmatrix. Die Beziehung m H d kann damit as Umkehrung der Forderung G m! d verstanden werden. In der Tat bidet H mit HG 1 p in diesem Fa eine Art Inverse der Matrix G. Aerdings ist H eine p N)-Matrix und der Datenraum kann einen Nuraum aufweisen, so dass nicht ae Linearkombinationen der d einen Einfuss auf die über 37f) bestimmte Lösung haben daher spricht man von generaisierter Inverser) Unterbestimmter Fa Im unterbestimmten Fa mit p N < M git GH 1 p. Außerdem weicht R mehr oder minder von der Einheitsmatrix ab. Für diesen Fa wird ein Datensatz betrachtet, der mit d G m w aus einem bekannten wahren ) Mode berechnet wurde. Wird dieser Datensatz mit G U p Λ p V T p in 37e) eingesetzt, so erhät man p Komponenten von m Λ 1 p Daraus erhät man die SVD-Lösung 40) d Λ 1 p U T p U p 1 p Λ p } {{ } 1 p V T p m w. 41) m V p m V p V T p m w R m w 4) des Least-Squares-Probems bezügich der ursprüngichen Basis. Die Resoutionsmatrix gibt aso an, wie das wahre Mode im unterbestimmten Fa auf das durch Least-Squares-Inversion bestimmte Mode abgebidet wird. Die Geichung 4) ist bereits in 31b) aufgetreten. Dort wurde sie as Extraktion der wirksamen Modeanteie interpretiert. $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

12 1 4.3 Informationsdichte-Matrix Nun könnte man meinen, dass die Aussage R 1 M für den überbestimmten Fa bedeute, dass es ausreicht, durch die Wah einer keinen Anzah M von Modeparametern im Verhätnis zur Zah N der Messwerte ein optimaes Ergebnis sichersteen zu können. Dies ist nicht der Fa, wie unten gezeigt werden wird! Die Resuotionsmatrix macht nur eine Aussage über den Fa in dem tatsächich ae Anteie der Daten durch die Beziehung s G m beschrieben werden können. Ae davon abweichenden Signae in den Daten können auch im überbestimmten Fa fatae Fogen haben siehe Abschnitt 5.1.). 4.3 Informationsdichte-Matrix Im unterbestimmten Fa mit p N < M wird die sogenannte Informationsdichte-Matrix S U p U T p 1 p zur Einheitsmatrix. In diesem Fa sind das Least-Squares-Probem mit der Forderung s d! min, weche zum Geichungssystem 37a) führt, und die unmittebare Forderung G m! d äquivaent, da die Daten theoretisch exakt vorhergesagt werden können. Dies ist aus 37g) ersichtich Überbestimmter Fa Im überbestimmten Fa p M < N weicht S von der Einheitsmatrix ab. In 37g) stehen mit s G m auf der inken Seite die für des Ergebnismode vorhergesagten Messwerte. Weicht S von der Einheitsmatrix ab, so bedeutet das, dass die Messwerte d nicht exakt reproduziert werden was für den überbestimmten Fa auch nicht zu erwarten ist). Anteie der Messwerte, die nicht reproduziert werden können, iegen im Nuraum der Daten und tragen nicht zum Inversionsergebnis bei! Im überbestimmten Fa p M < N kann das Inversionsergebnis m V p Λ 1 p U T p d 43) mit 37f) und R 1 p unmittebar angegeben werden. Die vom Ergebnismode m vorhergesagten Messwerte sind s G m U p Λ p V T p m 44a) und mit 43) U p Λ p Vp T V p Λ 1 p 1 p } {{ } 1 p U T p d S d. 44b) Die Informationsdichte-Matrix S gibt aso an, weche Messwerte s für einen gegebenen Datensatz d unter der Least-Squares-Bedingung bestenfas theoretisch vorhergesagt würden. Die Geichung 44b) ist bereits in 31d) aufgetreten. Dort wurde sie as Extraktion der vorhersagbaren Datenanteie interpretiert. 4.4 Eigenschaften der SVD-Lösung Wird das Least-Squares-Probem 37a) mit den Mitten der SVD geöst, so erhät man die Lösung gemäß 37e) as m v m d u d v v. 45) Diese wurde bereits mit 40) angegeben. Die Lösung minimiert ganz offensichtich G m d, denn sie ist eine Lösung von 37a). Im unterbestimmten Fa ist sie aber nur eine von vieen Lösungen, denn ihr könnten beiebige Anteie aus dem Nuraum des Modes hinzugefügt werden. Die agemeine Lösung autet dann m a u d v λ m + p+1 v m Nuraum-Beitrag. 46) Draft: Inversionstheorie $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $

13 5 CUTOFF-VERFAHREN 13 Die von beiden Modeen vorhergesagten Messwerte s G m a G m sind identisch. Damit sind die Lösungen hinsichtich der Messdaten ununterscheidbar. Die Modee unterscheiden sich aber hinsichtich ihres Betragsquadrates, das sich einfach as m a u d + m p+1 m p m 0 schreiben ässt, da die Basisvektoren v gemäß 13) orthonorma sind. Wegen 47) git immer m m a. Die Lösung 45) des Inversionsprobems ist aso das Mode mit dem keinsten Betrag. Das ist eine sinnvoe Eigenschaft. Im Sinne der geophysikaischen Interpretation des Beispies Bouguer-Anomaie heißt das beispiesweise, dass man das Mode erhät, weches die Daten mit den geringsten notwendigen Beträgen der Massendichte-Anomaie erkärt. Es wird aso nicht mehr Struktur erzeugt, as zur Erkärung der Messwerte notwendig ist. Mit 45) erhät man aso eine Lösung m, weche die fogenden wichtigen Eigenschaften besitzt: 1. Im Fa p N werden die Messwerte d G m exakt reproduziert. Im überbestimmten Fa p < N erhät man eine Lösung, weche die Abweichung der Vorhersage von den Messwerten im quadratischen Mitte d G m minimiert.. Im Fa p M gibt es nur genau ein Mode, weches die Least-Squares-Bedingung für die Messwerte erfüen kann. Im unterbestimmten Fa p < M erhät man das Mode mit dem keinsten Betragsquadrat m. 3. Man erhät immer ein Mode, das die Messung im Sinne des diskreten, inearen Zusammenhangs s G m erkärt. Für das Beispie der Bouguer-Anomaie erhät man aso immer nur ein Mode, das die Messdaten durch an dünnen Stäben aufgereihte Masseanomaien erkärt. Andere Masseverteiungen werden nicht berücksichtigt! 47) 5 Cutoff-Verfahren Mit Hife der SVD-Basisvektoren und Eigenwerte kann die Berechnung der vorhergesagten Messwerte as s G m U p Λ p Vp T m u v m) 48) geschrieben werden. In 48) wird unmittebar deutich, dass die Terme zu großen Eigenwerten unter der Summe am meisten zum Ergebnis beitragen. Die Vektoren v und u sind normiert und iefern daher ae den geichen Beitrag. In vieen Fäen erweist es sich as günstig, das Ergebnis-Mode nur aus den Termen zu großen Eigenwerten zusammenzusetzen. Das so im Fogenden begründet werden. Die Eigenwerte seien der Größe nach in absteigender Foge gemäß +1 49) sortiert. Das Inversionsprobem wird jetzt gemäß 39) geöst, das Ergebnismode m q v m 50) aber nur aus den Termen mit den q größten Eigenwerten zusammengesetzt. Diese Vorgehensweise wird as Cutoff-Verfahren bezeichnet. Nun so die Cutoff-Lösung m q aus verschiedenen Perspektiven betrachtet und untersucht werden. v u d 51) $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

14 Der Einfuss von Störsignaen 5.1 Der Einfuss von Störsignaen Für die fogenden Überegungen so ein Datensatz d G m w + n 5) invertiert werden. Die Daten setzten sich aus zwei Anteien zusammen. Der erste Term G m w ) ist der Antei, der tatsächich durch Materiaeigenschaften m w das wahre Mode) hervorgerufen wurde, die durch ein Mode in der verwendeten Diskretisierung beschrieben werden können. Der zweite Term n) fasst ae Störsignae zusammen. Diese können durch thermisches Rauschen der Messgeräte, durch unzureichende Beschreibung der physikaischen Zusammenhänge durch G Nichtinearität, etc.) oder durch Eigenschaften des Mediums hervorgerufen sein, die zwar dem theoretisch beschriebenen Zusammenhang genügen, aber nicht durch die Diskretisierung m erfasst werden können im Beispie Bouguer- Anomaie : ae Dichteanomaien, die keinräumiger variieren as es das Raster von Linienmassen zuässt). Wird der Datensatz 5) gemäß 51) invertiert, so erhät man as Cutoff-Mode m q v u G m w + n) u U p Λ p Vp T m w + n) v u v ) u k λ k v k m w ) + n) k1 53a) 53b) 53c) und wegen der Orthogonaität der u in 13) v m w ) + u n) v [ v ) u n ) ] v m w + 53d) ] v [m w + n. 53e) Ae Komponenten m w des wahren Modes gehen mit geichem Gewicht in die Lösung ein. Störsignaanteie n zu keinen werden aber stark überbetont Daten-Misfit Das wesentiche Kriterium für die Least-Squares-Lösung des hier besprochenen Inversionsprobems ist, dass die Messwerte im quadratischen Mitte mögichst gut durch die theoretische Vorhersage erkärt werden. Nach erfogter Inversion kann die Abweichung zwischen Daten und vorhergesagten Messwerten, der sogenannte Misfit der Daten berechnet werden as d G m q G mw + n G m q 54a) ) N u v m w + u u n ) ) u v m q 54b) N u [ m w + n m ] + u [ m w + n ] + u n 54c) und wegen der Orthogonaität der u in 13) q+1 p+1 m w + n m + q+1 m w + n + N p+1 n 54d) Draft: Inversionstheorie $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $

15 5 CUTOFF-VERFAHREN 15 und wei nach 53e) m m w + n /, git weiter ) λ m w + n m w + n + q+1 m w + n + N p+1 n 54e) aso q+1 m w + n + N p+1 n. Der erste Term in 54f) enthät Anteie, die daher rühren, dass der Moderaum nur bis zur Komponente q ausgeschöft wird. Der zweite Term rührt daher, dass für den überbestimmten Fa p < N ein Tei der Störsignae in den Nuraum der Daten fät. Dies können insbesondere Anteie sein, die aufgrund von Materiaeigenschaften entstanden sind, die sich nicht auf dem gewähten Moderaster beschreiben assen. Dies ist ein gewichtiger Grund dafür, ein Inversionsprobem mögichst unterbestimmt zu formuieren. Je mehr Komponenten benutzt werden, umso keiner wird der Misfit. Wird q um eins erhöht, so nimmt der Daten-Misfit um d G m q+1) d G mq q+ m w + n + q+1 N p+1 m w + n λ q+1) m w q+1) + n q+1) m q+1) λ q+1) d q+1) n N p+1 n 54f) 55a) 55b) ab. Im Fae λ q+1) m w q+1) n q+1) kompensieren die Störsignae das echte Mess-Signa, so dass der Netto-Messwert d q+1) verschwindet.) Die Terme mit großen tragen aso besonders vie zur Abnahme der Misfits und damit zur Erkärung der Messwerte bei. Bei keinen überwiegt der Term n q+1) gegenüber λ q+1) m w q+1) in 55c). Bei weiterer Erhöhung von q wird dann zunehmend Störsigna erkärt und immer weniger Anteie die tatsächich durch m w berschrieben werden können. Es ist dann nicht mehr sinnvo die Cutoff-Ordnung q weiter zu vergrößern. 55c) 5.1. Mode-Misfit Nun wird das wahre Mode m w mit dem Cutoff-Ergebnis m q vergichen. Die mittere quadratische Abweichung zwischen beiden Modeen ist m w m q u d v v m w ) v 56a) v v m w u ) d + v v m w ) 56b) q+1 und wegen der Orthogonaität der v u d v m w + q+1 v m w 56c) und mit 5) u k1 u k λ k vk m q ) + u n v m w + q+1 v m w 56d) $Id: IBSVD.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

16 16 und wegen der Orthogonaität der u q+1 m w + p+1 m w +. 56e) n Der erste Term von 56e) entsteht durch Anteie des Modes, die verworfen wurden, indem nur Terme bis zur Ordnung q in der Inversion 51) berücksichtigt wurden. Der zweite Term stammt aus dem Nuraum des Modes und tritt für unterbestimmte Probeme zwangsäufig auf. In ihm drückt sich das prinzipie beschränkte Aufösungsvermögen der Inversion aus. Der ditte Term beschreibt Anteie, die durch Störsignae hervorgerufen wurden. Wird die Cutoff-Ordnung q um eins erhöht, so nimmt der Mode-Misfit um mw m q+1) mw m q q+ m w + q+1 p+1 m w m w p+1 n q+1) m w q+1) + λ q+1) q+1 + m w n n 57a) 57b) 57c) ab. Das heißt, der Mode-Misfit nimmt überhaupt nur ab, soange n q+1) m w q+1) > λ q+1) 58) ist! Aber gerade für die großen Cutoff-Ordnungen mit keinen Eigenwerten λ q+1) gewinnt der Störsigna- Term zunehmend an Einfuss Schussfogerung für die Anwendung des Cutoff-Verfahrens Zur Verringerung des Daten-Misfits tragen in erster Linie die Anteie keiner Cutoff-Ordnung q mit großen Eigenwerten bei. In 55c) ist erkennbar, dass ab einer bestimmten Cutoff-Ordnung q und keiner werdenden Eigenwerten der Mode-Term λm w gegenüber dem Störterm n an Bedeutung veriert. Die wesentichen Anteie der Messwerte sind dann bereits durch das Mode m q erkärt. Weitere Erhöhung von q führt zu zunehmender Anpassung von Störsignaen. Andererseits wird die Abweichung des invertierten Modes m q vom wahren Mode m w mit zunehmender Cutoff-Ordnung q nicht unbedingt keiner, sondern kann im Bereich keiner Eigenwerte aufgrund der Störignae auch wieder zunehmen. Dies ist aus 57c) ersichtich. In vieen Fäen nimmt der Daten-Misfit hauptsächich über wenige Cutoff-Ordnungen ab. Ab einer optimaen Cutoff-Ordnung q opt sind dann über 95% der Messwerte erkärt und bei weiterer Erhöhung von q nimmt der Daten-Misfit nicht wesentich weiter ab. Dafür können noch erhebiche Mode-Veränderungen bei weiterer Erhöhung von q auftreten. Diese werden aber edigich dadurch hervorgerufen, dass Störanteie der Messdaten durch eine inadäquate Vorhersage s G m angepasst werden. Bei der Behandung eines konkreten Probems ist es auf jeden Fa empfehenswert den Daten-Misfit 54f) und den Mode-Misfit 56e) über die Cutoff-Ordnung q graphisch aufzutragen und anhand dieser Darsteung ein optimaes q opt und damit m qopt as Inversionsergebnis festzuegen. 6 Stabiisierte Least-Squares Inversion oder Marquardt-Verfahren 6.1 Zusätziche Forderung an die Modeparameter Bisher wurde die Least-Squares-Aufgabe immer wie fogt gestet: Gesucht wird ein Satz von Mode- Parametern m, wecher die Abweichung der vorhergesagten Messwerte G m von den reaen Messwerten Draft: Inversionstheorie $Id: IBstabsq.tex :5:5Z tforb $

17 6 MARQUARDT-VERFAHREN 17 d im quadratischen Mitte d G m minimiert. Zumindest im unterbestimmten Fa M > N führt diese Bedingung aein nicht zu einer eindeutigen Lösung. Es gibt dann unendich viee Modee, die ae die Messdaten geich gut in der Rege exakt) anpassen und die sich nur durch Nuraum-Anteie unterscheiden. Die SVD-Lösung, das wurde gezeigt, führt dann immer automatisch zum Mode der keinsten quadratischen Größe m. Reae Daten enthaten immer Störsignae. Daher ist es nicht sinnvo ein Mode zu suchen, weches die Messwerte exakt reproduziert. Wird für das optimae Mode gefordert, dass es die Größe E d s + ν m 59) minimiert, so enthät das expizit die Forderung, dass auch m sebst mögichst kein sein so. Es wird dann auf eine exakte Anpassung der Daten d verzichtet, zugunsten mögichst keiner Modewerte. Der Parameter ν eraubt das Gewicht zwischen der Forderung mögichst keiner Residuen der Messwerte einerseits und mögichst keiner Modewerte andererseits zu verschieben. Wird wiederum Stationarität von 59) bezügich aer m aso gefordert, so erhät man nun das Geichungssystem E m! 0 für ae 60) G T G + ν 1 M ) m G T d, 61) dessen Lösung die gesuchten Modeparameter ergibt. Unabhängig von den Eigenschaften der Matrix G T G ist das gesamte Geichungssystem 61) mit der Matrix G T G + ν 1 M ) jetzt in jedem Fa raguär wegen Addition der Einheitsmatrix) und ässt sich daher probemos mit Standard-Verfahren ösen. Daher spricht man auch von stabiisierter Inversion. 6. Eigenwertzeregung 6..1 Least-Squares Lösung Anaog zu 37c) autet 61) nach Einführung der SVD-Faktorisierung G U p Λ p V T p Vp Λ pv T p + ν 1 M ) m Vp Λ p U T p d. 6) Durch mutipizieren von 6) mit V T 0 erhät man die Bedingung m 0 für > p, 63) aso für die Modeparameter des Nuraums. Im Gegensatz dazu ergab sich ohne die zusätziche Bedingung für die Modeparameter in Abschnitt 4 keine expizite Bedingung für die Nuraum-Komponenten m. Wird 6) hingegen mit Λ 1 p Vp T mutipiziert, so erhät man anaog zu 37d) die transformierte diagonaisierte) Form Λp + ν ) Λ 1 p V T T p m Up d 64) m d des Least-Squares Geichungssystems. Die komponentenweise Lösung m λ + ν d 65) des Geichungssystems 64) führt zusammen mit 63) zur voständigen Lösung m ) v λ + u d ν 66) $Id: IBstabsq.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

18 18 6. Eigenwertzeregung Wirksame Eigenwerte beim Marquardt-Verfahren fλ)λ/λ +ν ) fλ)1/λ 1 νfλ) λ/ν Abbidung 1: Wirksame Eigenwerte bei der stabiisierten Least-Squares Inversion. Bei der nicht-stabiisierten Inversion wurden die Modeparameter m d / durch Mutipikation der Daten d mit den reziproken Eigenwerten 1/ berechnet. Je keiner der Eigenwert, umso stärker wurden die Datenanteie d einschießich der darin enthatenen Störsignae) in das Mode eingebracht. Bei der stabiisierten Least-Squares Inversion ist der reziproke Eigenwert durch /λ + ν ) ersetzt. Dieser Faktor wird für Eigenwerte ν maxima und nimmt für keinere Eigenwerte wieder ab. für die stabiisierte Least-Squares Inversion. In der dazu korrespondierenden Lösung 40) des nichtstabiiserten Verfahrens, trat der Faktor 1/ in jedem Term auf. Für keine Eigenwerte führte das zu den in Abschnitt 5.1 beschriebenen fataen Auswirkungen von Störsignaen. An die Stee des reziproken Eigenwertes tritt in 66) der Faktor λ + ν, 67) der in Abbidung 1 in Abhängigkeit vom Eigenwert λ dargestet ist. Für abnehmende Eigenwerte wächst dieser Faktor nur bis λ ν wie 1/λ. Für keinere nimmt er wieder ab. Das entspricht einem sanften Cutoff-Verfahren, bei dem Terme mit < ν zunehmend unterdrückt werden. Für λ 0 strebt der Faktor gegen nu und nicht gegen unendich! 6.. Aufösungsmatrix Wird ein Datensatz d G m w invertiert, dessen Werte bekannte wahre ) Modeparameter m w abbiden, so erhät man ) m v λ + λ v m w R mw 68) ν as Ergebnis. Dabei ist ) λ R V p diag λ + V T ν p 69) die Aufösungsmatrix für die stabiisierte Least-Squares Inversion. Bemerkenswert ist, dass nun auch für den überbestimmten Fa p M < N die Matrix R keine Einheitsmatrix ist. Modeanteie, die wegen keiner Eigenwerte gefährdet sind, stark durch Störsignae beeinfusst zu werden, sind im Ergebnis nicht enthaten. Diese werden zugunsten der Minimierung von m für keiner werdende zunehmend unterdrückt. Für die Wah ν 0 erhät man natürich wieder den Fa einer nicht stabiisierten Inversion. Inbesondere für p M wird dann R 1 M wieder zur Einheitsmatrix. Für ν gehen ae Modeparameter Draft: Inversionstheorie $Id: IBstabsq.tex :5:5Z tforb $

19 6 MARQUARDT-VERFAHREN 19 gegen nu. Es wird dann einfach das Mode mit dem keinsten Betragsquadrat, nämich m 0, reaisiert. Die Messwerte werden nicht mehr erkärt. 6.3 Umgang mit physikaischen Einheiten Bisher wurden nie die physikaischen Einheiten der verwendeten Größen betrachtet. In reaen Inversionsprobeemen haben natürich sowoh die d, wie auch die m jeweis eine woh definierte Einheit und Größenordnung. In den vorangegangenen Abschnitten wurden sie stischweigend as einheitenos behandet oder es wurde zumindest vorausgesetzt, dass ae d diesebe Einheit haben. Das Geiche git für die m. Natürich müssen dann auch in aen anderen Größen, wie etwa G oder den Eigenwerten, Einheiten auftreten. Soange mutipiziert wird, wie in s G m, ist dies unprobematisch. Aber bereits 59) und später 67) erfordern, dass ν diesebe Einheit aufweist, wie die Eigenwerte. Und diese wiederum müssen die Einheit Dateneinheit geteit durch Modeeinheit aufweisen. Im Beispie der Bouguer- Anomaie wäre das die Einheit mga/ g cm. 3 Expizit behandet werden müssen die physikaischen Einheiten dann, wenn nicht ae Modeparameter diesebe Einheit aufweisen oder Daten unterschiedicher Einheiten verwendet werden. Beispiesweise gehen bei der Inversion der Dispersion von Oberfächenween, prinzipie nicht nur die seismischen Geschwindigkeiten, sondern auch die Massendichte as Modeparameter in das Probem ein. In diesem Fa würden Modeparameter Einheiten km s und g cm miteinander kombiniert. Andererseits könnte man bei 3 der Inversion die Werte für die Massendichte besser abzusichern versuchen, indem die Phasengeschwindigkeit von Oberfächenween Einheit km s ) zusammen mit Schweremessungen Einheit mga) invertiert wird. Dann könnte bereits die Größe d s nicht mehr so einfach berechnet werden, da sie Terme unterschiedicher Einheit summieren würde. As Ausgangspunkt der Betrachtung wird zunächst 59) umformuiert zu E d s + ν m. 70) Dabei stehen nun d s und m nicht mehr für Betragsquadrate, sondern für das Quadrat einer Norm, einem einheitenosen Wert, der die Größe von d s beziehungsweise m bemisst. Diese Operation muss für Daten- und Moderaum einzen definiert werden und hat natürich in beiden Räumen eine unterschiediche Form und Bedeutung Gewichtung der Daten Zur Bewertung der Daten wird der sogenannte Misfit χ d s W ) d s 71) as Norm eingeführt. Die Eemente der Matrix W gewichten die Eemente in der Feherquadratsumme. Im einfachsten Fa ässt sich diese Matrix und ihre Inverse durch ) 1 W diag und W 1 diag σ ) 7) angeben. Dann autet der Misfit σ χ N ) d s. 73) Dabei gibt σ eine Toeranz der Messwerte an zum Beispie eine Standard-Abweichung). Die Messwerte gehen dann mit dem Gewicht 1/σ in die Summe ein. Je besser ein Messwert durch die Messung bestimmt wurde, umso größeres Gewicht hat er in der Inversion und umgekehrt). Geichzeitig hat σ diesebe physikaische Einheit wie d und ist fas eine vernünftige Anpassung erreicht wurde) von geicher Größenordnung wie d s ). Werden aso ae Messwerte im Rahmen der Messtoeranz erkärt, σ $Id: IBstabsq.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

20 0 6.3 Umgang mit physikaischen Einheiten so werden in 73) auter einheitenose Terme der Größenordnung eins summiert unabhängig von den mögicherweise unterschiedichen) physikaischen Einheiten und Größenordnungen der d. Fas bei der Messung starke Korreationen zwischen den Messfehern der einzenen d auftraten, diese bekannt sind und in die Inversion einfießen soen, so assen sich auch Kovarianzen der Messwerte über die Nicht-Diagonaeemente von W berücksichtigen. Die Matrix W kann gemäß d W d und d W 1 d 74) as Transformationsmatrix für die Daten verstanden werden. Sie erzeugt aus einem Datenvektor d einen Vektor d in einem normierten, einheitenosen Datenraum. Zur Berechnung der Lösung des Probems wird nur W benötigt. An keiner Stee muss W 1 tatsächich berechnet werden. Auch beruht die Lösbarkeit des Inversionsprobems nicht auf der Existenz von W 1. Die Matrix W darf daher sogar singuär sein Forderungen an die Modeparameter Ähnich wie für die Daten wird nun auch die Mode-Norm m X m 75) über eine Gewichtungsmatrix X und X m definiert. Im einfachsten Fa kann die Matrix X eine Diagonamatrix sein, deren Eemente durch sogenannte Suchbereiche r Wieandt, 1991) definiert werden. Dann ist ) 1 X diag und die Inverse X 1 diag r ). 76) Die Norm 75) autet dann r m m r ). 77) Dabei hat r die physikaische Einheit von m und gibt die Größenordnung ±r an in der ein vernünftiger Wert für m gesucht wird. Dies ist besonders dann sinnvo, wenn m eine Abweichung von einem Referenzwert darstet. Erst wenn dieser Suchbereich ausgeschöft ist, trägt der entsprechende Term mit der Größenordnung eins zur Summe bei. Der Wert von Parametern mit keinem Suchbereich wird in der Inversion kein gehaten zu Lasten von Parametern mit großem Suchbereich. Beispiee für mögiche Bedeutungen der Suchbereiche: Die m könnten Abweichungen von einem Standard-Erdmode angeben. Dann wird mit den r definiert, wie groß jeweis die neue Information sein so, die dem Mode durch die Inversion hinzugefügt wird. Oder die m sind Modeparameter nach einer Linearisierung und geben die Änderung bezügich eines Startmodes an. Dann kann mit den r dafür gesorgt werden, dass die m den Bereich nicht verassen, in dem die Linearisierung eine gute Näherung ist. Die m sind im Beispie der Bouguer-Anomaie unmittebar Masseanomaien. Für m 0 iegt ein homogenes Hintergrundmode vor, weches nur eine Tiefenvariation aufweist. Mit den r kann ein Wert für die erwartete Größe der Anomaie eingebracht werden. Die Matrix X ist aber auch geeignet kompexere Zusammenhänge einzuführen. Bedeuten die m v p z) 78) die p-ween-geschwindigkeit in der -ten Schicht aus einem Stape homogener Schichten der Dicke z, so kann mit X z ) Draft: Inversionstheorie $Id: IBstabsq.tex :5:5Z tforb $

21 6 MARQUARDT-VERFAHREN 1 eine zweite Abeitung durch Differenzenquotienten genähert werden. Die Minimierung der Norm würde dann bedeuten, dass das gatteste Mode gesucht wird, aso das, weches die Daten erkärt und dabei mit mögichst wenig Detaistruktur auskommt. Mit der Wah der Eemente in X werden aso immer zusätziche Erwartungen ausgedrückt, die an das Ergebnismode gestet werden. Forma hat das den Effekt, dass das Inversionsprobem nie unterbestimmt sein kann. Auf diese Weise ist es dann auch probemos mögich M > N zu wähen und so einen Nuraum der Daten zu vermeiden. Grundsätzich können beiebig viee Linearkombinationen der Modeparameter durch eine n M)-Matrix X eingebracht werden, soange n M ist 1. Für n < M wird die Matrix X T X singuär. Dann können die unten beschriebenen Umformungen nicht durchgeführt werden. Mit der Matrix X und ihrer Inversen kann die Transformation m X m und m X 1 m 80) für die Modeparameter definiert werden. Dabei sind die m ein Satz von normierten Parametern einheitenos und von geicher Größenordnung). Zur Lösung des Inversionsprobems muss die Matrix X 1 berechnet werden. In der Tat ist zur Bestimmung der Faktorisierung 86) und schießich der Lösung 87) nur die Matrix X 1 nötig. X sebst tritt nur innnerhab der Matrix X T X in 8) auf. Daher kann X bei Bedarf durch eine Ersatzmatrix mit berechenbarer Inverser ersetzt werden Das Least-Squares Geichungssystem Mit den Definitionen 71) und 75) führt die Forderung, dass 70) stationär bezügich aer m sein so, zum Geichungssystem G T W T WG + ν X T X ) m G T W T W d. 8) Durch Mutipikation von 8) mit X T der Transponierten von X 1 ) von inks, erhät man X T G T W T WGX 1 + ν 1 M ) X m X T G T W T W d. 83) In diesem Geichungssystem assen sich die normierten Größen d gemäß 74) und m gemäß 80) identifizieren. Das endgütige Least-Squares Geichungssystem autet damit X T G T W T WGX 1 + ν 1 M ) m X T G T W T d. 84) Die Form von 84) wird forma identisch mit 61), wenn man WGX 1 durch G ersetzt. Man erhät so G T G + ν 1 M ) m G T d. 85) Nach der Faktorisierung G WGX 1 U p Λ p V T p 86) assen sich dann ae für die stabiisierte Least-Squares Inversion hergeeiteten Formen benutzen. Auf diese Weise erhät man schießich das Inversionsergebnis ) λ m X 1 V p diag λ + U T ν p Wd. 87) 1 Für die Abeitungsmatrix 79) ist dies nicht der Fa. Die Minimierung der zweiten Abeitung definiert die Werte nur bis auf zwei Integrationskonstanten. Der Matrix 79) müssen aso zwei zusätziche Zeien hinzugefügt werden, die beispiesweise die Minimierung des Absoutwertes zweier Modeparameter verangen. Lässt sich X 1 nicht unmittebar bestimmen wei X eventue nicht quadratisch ist), so kann eine Ersatzmatrix X mit berechenbarer Inverser X 1 benutzt werden. Zur Bestimmung von X 1 wird zunächst die SVD-Faktorisierung von X UΛV T durchgeführt. Mit den so ermitteten Größen git X T X VΛ V T X T X. 81) Anhand der SVD-Größen kann nun die M M) Ersatzmatrix X ΛV T, sowie deren Inverse X 1 VΛ 1 ermittet werden. Vorraussetzung dafür ist aerdings, dass X T X reguär ist! Nun wird X T X in 8) durch X T X ersetzt und auch in den darauffogenden Formen mit der Ersatzmatrix weitergerechnet. $Id: IBstabsq.tex :5:5Z tforb $ Draft: Inversionstheorie

22 6.4 Least-Squares Inversion mit definierter Toeranz Die Geichung 87) kann ganz anschauich interpretiert werden. Zunächst werden die Daten durch den Faktor W normiert. Dann wird durch den Faktor ) λ V p diag λ + U T ν p 88) das stabiisierte Inversionsprobem für ein gegebenes ν geöst. Schießich fügt der Faktor X 1 den normierten Modeparametern wieder Einheiten hinzu und versetzt sie in die richtige Größenordnung. 6.4 Least-Squares Inversion mit definierter Toeranz Sind die Toeranzen σ der Messwerte d vernünftig gewäht, so sote die Anpassung der vorhergesagten Messwerte an die Daten nur soweit vorangetrieben werden, bis d s die Größenordnung von σ hat. Dann ergibt sich für den Misfit 73) der Wert N. Statt einen mögichst keinen Misfit zu fordern, kann es dann sinnvo sein das Mode keinster Norm m zu suchen, weches gerade zu χ N führt. Um dies zu erreichen, wird die Optimierungsaufgabe nun as Minimierungsaufgabe mit Nebenbedingung gestet. Die Nebenbedingung autet χ! T, wobei sinnvoer Weise T N gewäht wird. Minimiert wird dann nicht mehr 70) sondern die Funktion ) L m, η) η d G m T + m. 89) Der Faktor η spiet die Roe eines Lagrange-Parameters. Gefordert wird nun die Stationarität L m, η) m! 0 für ae 90a) bezügich der m, weche zum bekannten Geichungssystem 83) führt, nämich X T G T W T WGX η 1 ) M X m X T G T W T Wd. 90b) Zusätzich wird nun aber mit L m, η) η! 0 90c) auch die Stationarität bezügich η gefordert. Diese führt auf die gewünschte Nebenbedingung χ ) W d G m T. 90d) Zur Lösung des Inversionsprobems muss nun das Geichungssystem 90b) mit dem bekannten Verfahren geöst werden. Aerdings ist der Parameter η nicht beiebig, sondern muss so gewäht werden, dass er 90d) erfüt. Es wird aso zunächst eine Bestimmungsgeichung für η benötigt, die nicht expizit m enthät, Mit 87) ist ein gütiger Ausdruck für m bekannt. Damit ässt sich der Misfit χ aein durch d, G und η ausdrücken. In die Forme für den Misfit χ Wd WG m 91a) werden zunächst die normierten Modeparameter m X m, die normierten Daten d W d und die Faktorisierung WGX 1 U p Λ p V T p eingeführt. Damit ässt sich χ as d U p Λ p V T p m 91b) Draft: Inversionstheorie $Id: IBstabsq.tex :5:5Z tforb $