Epidemien Das SIR-Modell

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1 Epidemien Das SIR-Modell Breiling Camillo, Elshazli Sherif, Eisner David, Köck Matthias 28. Juni 2013

2 Vortrags-Guideline 1 Geschichte der Epidemien 2 Das SIR-Modell 3 Anwendungen und Ausblick

3 Historischer Überblick Was ist Epidemie? Beispiele: viele Tropenkrankheiten (wie die Dengue) Cholera Grippe Typhus Pest Kinderlähmung Schwarzer Tod (im 14. Jh. ca. 1 3 der Bevölkerung Europas, 85 Millionen, starb) Plage von Athen ( v.chr. rund Soldaten einer Expedition verendeten) Thucydides: genaue Dokumentation der Krankheit Symptome: Hitze im Kopf, Augenentzündung, stinkender Atem, Heiserkeit mit starken Hustenausbrüchen,...

4 Historischer Überblick Gründe für Krankheiten: verseuchter Wohnort das jodarme Wasser die Übertragung von Krankheiten durch die erste große Epidemie in den USA: Gelbfieber in Philadelphia im Jahre beschloss die UN das Programm»Health for All, 2000«wichtiger Aspekt der Krankheitsverbreitung: Überquerung internationaler Grenzen Ausbruch exotischer Krankheiten vier Hauptgruppen: Viren Bakterien Prasiten Pilze

5 Modellbildung Es gibt: interessantes Modell: 1973 in Bari (Italien) von Capasso Paveri Fontana (1979) zur Cholera-Epidemie interessantes mathematisches Modell von Bernoulli (1760) 2 Arten von Modellen Suszeptible S Infizierte I die Ausgestoßenen/Geheilten R Ergo: S I R kurz: SIR-Modell S(t), I(t) und R(t) stehen für die Anzahl der Individuen jeder.

6 Vorstellung: Das SIR-Modell Dynamik: ds = αsi Parameterwerte: Anfangsbedingungen: di = αsi βi dr α > 0 β > 0 = βi S(0) = S 0 > 0 I(0) = I 0 > 0 R(0) = 0

7 Eigenschaften der Modellfunktionen Behauptung S + I + R = konstant Beweis: Addieren aller drei Gleichungen: d ( ) S + I + R Definieren N := S + I + R = ds + di + dr = αsi + αsi βi + βi = 0

8 Eigenschaften der Modellfunktionen Behauptung I(t) > 0 t [0, ) Beweis: Integration der zweiten Gleichung: di = αsi βi = di I mit e c = I 0 wegen I(0) = I 0. = (αs β) ln I = βt + α t 0 S + c I(t) = I 0 e βt+α t S 0 > 0

9 Eigenschaften der Modellfunktionen Behauptung S(t) > 0 und ds < 0 t [0, ) Beweis: Integration der ersten Gleichung: ds = αsi = S(t) = S 0e α t I 0 > 0 analog zu vorhin. Wegen α, I, S > 0 = d t S < 0.

10 Eigenschaften der Modellfunktionen Behauptung R(t) > 0 und dr > 0 t (0, ) Beweis: d t R = βi > 0 R ist monoton steigend Wegen R(0) = 0 ist also immer R(t) > 0.

11 Eigenschaften der Modellfunktionen Behauptung lim t S(t) = S > 0 I(t) = 0 I L 1 (R + ) R(t) = N S Beweisskizze: Aus N = S + I + R S, R, I > 0 = die Grenzwerte existieren. S > 0 und d t S < 0 = S (0, N) Entwicklungsgleichung für R, d t R = βi = I 0 R > 0 und d t R > 0 und vorherigem = R N S

12 Epidemie oder nicht? Anders formuliert: Ist d t I positiv oder negativ? Also: di = αsi βi = I (αs β) { di > 0 S > β = α < 0 S < β α Schwellenparameter ϱ := β α S > ϱ... es kommt zu einer Epidemie S < ϱ... die Krankheit stirbt aus

13 (I, S)-Ebene Dividiere erste beiden Gleichungen: di ds = di ds = I (αs β) αsi = β αs αs = β αs 1 = ϱ S 1 Sie ist elementar integrierbar: I(S) = ϱ ln(s) S + c c = I 0 + S 0 + ϱ ln(s 0 ) folgt aus den Anfangsbedingungen ( ) S I(S) = S ϱ ln + N S0

14 (I, S)-Ebene Kurze Diskussion: di ds = 0 ϱ S 1 = 0 S = ϱ Es ist ein Maximum: d 2 I ds 2 = ϱ S 2 = 1 ϱ < 0 S=ϱ S=ϱ Maximalzahl der Erkrankten: ( ) ϱ I max = I(ϱ) = N + ϱ ϱ ln S0

15 (I, S)-Ebene

16 Die Ausscheidefunktion R Dividiere erste und dritte Gleichung: ds dr = ds dr = αsi βi = S ϱ Auch sie ist elementar integrierbar: S(R) = S 0 e R/ϱ Dies erlaubt ein Umschreiben von d t R: dr ( = β (N R S) = β N R S 0 e R/ϱ) Sie ist in Parameterform lösbar, bei bekanntem (α, β, N, S 0 ) leicht numerisch.

17 Kermack-McKandrick-Modell (1927) Kleine Epidemien entwickle Exponentialfunktion: Einsetzen liefert mit e R/ϱ 1 R ϱ + 1 R 2 2 ϱ [ dr = β N ( ) S0 ϱ 1 R + S ] 0 2ϱ 2 R2 eine Riccati-Gleichung ẋ = a + bx + cx 2.

18 Kermack-McKandrick-Modell (1927) Lösung dieser Gleichung: [ ( )] R(t) = α2 φβt ψ + φ tanh S 0 2 ϕ mit ψ = S 0 ϱ 1 ϕ = artanh(ψ) φ φ = ψ 2 + 2S 0(N S 0 ) ϱ 2 Ausscheiderate: dr = βφ2 ϱ 2 2S 0 sech 2 ( φβt 2 ϕ )

19 Bombay Epidemie ( ) Die Skizze veranschaulicht das Verhältnis zwischen den realen Daten und der Theorie des Epidemienmodells dr = βφ2 ϱ 2 sech 2 2S 0 ( φβt 2 ϕ ), mit den konkreten Parametern dr = 890 sech2( 0.2t 3.4 )

20 Epidemie Knabelschule (1978) Die Skizze veranschaulicht sowohl die zeitliche Entwicklung der Infiziertenanzahl I(t) mit Einblendung der gemessenen Werte als auch die Entwicklung der Suszeptiblenanzahl S(t).

21 Plage von Eyam ( ) Sie ist ein Beispiel für eine ernste, den Großteil der Population erfassende Seuche. Modellierung mit dem SIR-Modell mit S 0 = 350 und S = 83 Ist eine Seuche nicht von kurzer Dauer, dann sollte ds = αsi, die Gleichung für die Suszeptilen, die Geburtenund Sterberaten enthalten. Die natürliche Sterblichkeitsrate sollte in der Gleichung der Infizierten di = αsi βi sowie der Gleichung der Ausgeschiedenen dr = βi enthalten sein. Im Falle einer langen Inkubationszeit kann diese als Klasse E(t) in unser Modell eingehen.

22 Modellierung sexuell übertragbarer Krankheiten System: ds = SI + ai ds = r S I + a I di = rsi ai di = r S I a I Anfangs- und Randbedingungen: S(t) + I(t) = N S (t) + I (t) = N S(0) = S 0 I(0) = I 0 S (0) = S0 I (0) = I0 Reduzierte Gleichungen: di = ri (N I) ai di = r I(N I ) a I

23 Multigruppenmodell für Gonorrhö Acht Gruppen von Patienten: Gonorrhö-Modell: N 1 + N 3 + N 5 + N 7 = N 2 + N 4 + N 6 + N 8 = 1 d(n i I i ) = } {{} rate of new infectives Anfangsbedingung: I i (0) = I i0 Kontrollmodell: 8 L ij (1 I i )N j I j j=1 }{{} rate of new infectives (incidence) N ii i D i }{{} recovery rate of infectives d(n i I i ) = 8 j=1 L ij (1 I i )N j I j N ii i D i CR i EP i

24 Ein natürliches Ende... Danke für eure Aufmerksamkeit!