Erdbeben 1. Erdbeben Teil 1

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1 Erdbeben 1 Seismologische Grundbegriffe Erdbeben Teil 1 [Bachmann, 00] Erdbebenwellen Die Prozesse beim Bruchvorgang im Erdbebenherd bestimmen die Eigenschaften der abgestrahlten Wellen (z.b. Abstrahlcharakteristik, spektrale Zusammensetzung). Von der Quelle breiten sich die seismischen Wellen durch die Erde aus. Die Eigenschaften dieses Übertragungsmediums verändern in erheblichem Maß Amplitude und Frequenzgehalt der abgestrahlten Wellen. Die an einem bestimmten Standort registrierten Wellen enthalten deshalb sowohl Informationen über die Quelle (Erdbebenherd) als auch über das Übertragungsmedium, welches die Wellen durchlaufen haben. Wellenarten Es wird zwischen zwei Haupttypen seismischer Wellen unterschieden: Raumwellen: Primärwellen (P - Wellen) und Sekundärwellen (S - Wellen) Oberflächenwellen: Lovewellen (L - Wellen) Rayleighwellen (R - Wellen)

2 Erdbeben [Bachmann, 00] Raumwellen treten in der Erdkruste und zum Teil (P-Wellen) auch im Erdinneren auf. P-Wellen sind Kompressions-Dilatationswellen, d.h. Longitudinalwellen. Die Teilchen bewegen sich in Fortpflanzungsrichtung der Welle vorwärts und zurück, ähnlich wie bei Schallwellen. Dies geschieht im festen Gestein, im flüssigen Magma, im Wasser. An Oberflächen können Schallwellen abgestrahlt werden (Frequenz im hörbaren Bereich). P - Wellen treffen am Standort eines Beobachters stets vor den S-Wellen ein, da ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit größer ist. S-Wellen sind Scherwellen. d.h. Transversalwellen. Die Teilchen bewegen sich quer zur Fortpflanzungsrichtung der Welle hin und her, und zwar in einer Horizontalebene (SH-Welle) oder in einer Vertikalebene (SV-Welle) oder kombiniert. Dies geschieht nur im festen Gestein, nicht aber im flüssigen Magma oder im Wasser, da hier keine Schersteifigkeit vorhanden ist. Oberflächenwellen treten nur an der Erdoberfläche auf, die Bewegung der Teilchen nimmt nach unten stark ab. Die Eindringtiefe entspricht etwa der Wellenlänge (frequenzabhängig). Oberflächenwellen treffen am Standort eines Beobachters stets nach den S-Wellen ein, da ihre Fortpflanzungsgeschwindigkeit etwas kleiner ist. L-Wellen sind ähnlich den SH - Wellen. Die Teilchen bewegen sich horizontal quer zur Fortpflanzungsrichtung, jedoch nach unten stark abnehmend. R-Wellen sind ähnlich den Wasserwellen. d.h. den Wellen an der Oberfläche eines Wasserspiegels nach Einschlag eines Steines. Die Teilchen bewegen sich in einer Vertikalebene elliptisch. d.h. kombiniert sowohl horizontal vorwärts und zurück als auch vertikal auf und ab.

3 Erdbeben 3 Wellengeschwindigkeiten In homogenen Medien ist die Wellengeschwindigkeit eine Funktion elastischer Parameter und der Materialdichte, d.h. abhängig von der chemisch-petrographischen Zusammensetzung, von Druck und Temperatur. v p (1 ν) (1 ν ν ) E ρ, v s G ρ, v R 0,97v s z.b.: ν 0,5 (übliche Annahme für die Erdkruste): G E / (1+ ν) 0,4 E v s / v p 1 / 3 0,58 [Studer et al., 1997]

4 Erdbeben 4 Erdbebenskalen Erdbebenskalen dienen zur quantitativen Beschreibung der Stärke eines Erdbebens und seiner Wirkungen auf Bauwerke. Ingenieurseismologisch unterscheidet man zwischen der Magnitudenskala und der Intensitätsskala. Magnitudenskala Die Magnitudenskala (Richter-Skala) kann zur globalen Charakterisierung der Stärke (der räumlich-zeitlichen und energetischen Ausdehnung) des Herdvorgangs verwendet werden. Die Magnitude M eines Erdbebens wird aus den Maximalausschlägen seismischer Registrierungen in logarithmischer Form definiert. ach dem Frequenz- bzw. Periodenbereich, in dem die Messungen durchgeführt werden, unterscheidet man im Wesentlichen drei verschiedene Definitionen der Magnitude, die weitgehend ähnliche Zahlenwerte aufweisen: M l M s M b ahbeben-magnitude Lokalmagnitude ("local magnitude"): oberhalb 1Hz bestimmt; definiert von Richter, 1935, gilt bis zu Epizentraldistanzen ~ 500 km. Oberflächenwellen-Magnitude ("surface wave magnitude"): bei 0,05 Hz bestimmt; definiert von Gutenberg, 1945, wird aus den Maximalausschlägen von Oberflächenwellen ermittelt. Raumwellen-Magnitude ("body wave magnitude"): bei 1Hz bestimmt; definiert von Gutenberg, 1945; wird aus den Maximalausschlägen der Raumwellen ermittelt (auch Fernbeben-Magnitude genannt). Typische Zahlenwerte für die Maginitude M s : gerade noch spürbares Beben mittleres Beben ~ 7... stärkstes im Alpenraum zu erwartendes Beben ~ 9... stärkstes theoretisch mögliches Beben Die Magnitude eines Erdbebens steht größenordnungsmäßig mit der beim Herdvorgang in Form elastischer Wellen freigesetzten kinetischen Energie E [erg] in einem empirischen Zusammenhang. Zwischen Herdenergie E und Magnitude M gelten (meist standortsabhängige) äherungsausdrücke, wie z.b: log E 11,8+1,5 M [erg] Ein Zuwachs um eine Einheit bedeutet somit eine Erhöhung der Herdenergie um den Faktor 10 1,5 31,6.

5 Erdbeben 5 Intensitätsskala Die Intensität I eines Erdbebens ist ein Maß für seine lokalen makroseismischen (d. h. ohne instrumentelle Hilfsmittel erfassbaren) Wirkungen auf den Menschen (Wahrnehmbarkeit), auf Bauwerke und auf die Landschaft. Ein Erdbeben hat demnach nur eine einzige Magnitude, aber von Ort zu Ort verschiedene Intensitäten. Die Intensitätsskala wird auch makro-seismische Skala genannt. Die lokale Zerstörungskraft und somit die Auswirkungen eines Erdbebens sind im Wesentlichen von den folgenden Parametern abhängig: - Magnitude - Frequenzgehalt an der Quelle (abhängig vom Herdmechanismus) - Herdtiefe - Herdentfernung vom Standort - Geologie / Topographie - Lokaler Untergrund / Baugrund - Frequenzgehalt am Standort - Dauer des Bebens am Standort Es werden verschiedene Intensitätsskalen benützt, wobei zwischen den verschiedenen 1-teiligen Skalen keine großen Unterschiede bestehen. MSK-Skala (1964, benannt nach Medvedev-Sponheuer-Karnik) - vorwiegend in Europa MM-Skala (1931, Version 1956, benannt als Modifizierte Mercalli-Skala) - vor allem in den USA, z.t. auch in Europa (z.b. Italien) MS-Skala (benannt nach Mercalli-Sieberg) - vor allem in Deutschland Es existieren empirisch gefundene Formeln, die den Zusammenhang zwischen Magnitude und Intensität wiedergeben (diese sind jedoch vom Standort abhängig). Z.B. gilt für das Gebiet Slovenien M l 0,66 I 0 + 1,7log H 1,1 H [km]... Herdtiefe I 0 Epizentralintensität Lt. ZAMG gilt für Österreich folgende grobe Abschätzung: I ( EMS) 1,5 M l (Richter)

6 Erdbeben 6 Die neueste Fassung der makroseismischen Schadensklassifizierung ist die European Macroseismic Scale EMS (Grünthal, 1998). Sie unterscheidet 1 Intensitätsstufen und ordnet grob Amplituden der Maximalbeschleunigung zu. ÖORM B (Anhang C):

7 Erdbeben 7 Physikalische Kenngrößen für die Tragwerksbemessung Bodenverschiebung (ground displacement) Bodengeschwindigkeit (ground velocity) Bodenbeschleunigung (ground acceleration) d g (t) v g (t) a g (t) Größenordnung der Spitzenwerte bei einem mittelstarken Erdbeben (I 0 VIII, M 6 6,5) : d g, max 0,1 0,3 m v g, max 0,1 0,3 m / s a g, max 1,5 3,0 m / s 0,15 0,30 g Zusammenhang zwischen ITESITÄT und maximaler BODEBESCHLEUIGUG ( ) 0,6 I ( MSK) 1,81 a g,max 10 log a g,max 0,6 I ( MSK ) 1,81 m / s log( a g,max ) 1 3 I ( MM ),5 a 0,33 I ( MM ),5 g,max 10 m / s Vertikale Bodenbeschleunigung: a g,vert a g,horiz 0,3 1,0 ÖORM B (Eurocode 8): a g,vert a g,horiz 3 Frequenzbereich der Bodenbewegung: f 0,1 30 Hz

8 Erdbeben 8 Die Methode der Antwortspektren für erdbebenerregte Strukturen Einmassenschwinger (x + x g ) "# $ %$ + ζω 0 x + ω 0 x 0 ull AB : x(t 0) 0, x(t 0) 0 x t x + ζω 0 x + ω 0 x x g Relativverschiebung: D(t) x(t) 1 ω D Relativgeschwindigkeit: t t x g (τ )e ζω 0 ( t τ ) sinω D ( t τ )dτ 0 " $$$$$ # $$$$$ % V (t) x(t) x g (τ )e ζω ( 0 t τ ) cosω D ( t τ )dτ ζω 0 x(t) 0 Pseudo-Relativgeschwindigkeit: t V (t) x g (τ )e ζω 0 ( t τ ) sinω D ( t τ )dτ ω D D(t) ω 0 D(t) für ζ << 1 0 Pseudo-Absolutbeschleunigung: A(t) x t (t) ω 0 x(t) ζω 0 x(t) ω 0 x(t) ω 0 V (t) ω 0 D(t) für ζ << 1 (Relativ-)Verschiebungsspektrum S d S d (ω 0,ζ ) D max 1 ω D t 0 x g (τ )e ζω 0 ( t τ ) sinω D ( t τ )dτ max 1 ω 0 t x g (τ )e ζω 0 ( t τ ) sinω 0 ( t τ )dτ 0 max " $$$$$$ # $$$$$$ % S v (ω 0,ζ ) Pseudo-Relativgeschwindigkeitsspektrum S v S v (ω 0,ζ ) V max ω 0 S d (ω 0,ζ ) Anmerkung: S v (ω 0,ζ ) x max Pseudo-Absolutbeschleunigungsspektrum S a S a (ω 0,ζ ) A max ω 0 S d (ω 0,ζ ) ω 0 S v (ω 0,ζ )

9 Erdbeben 9 Oft werden die Spektren auch in Abhängigkeit der Grundschwingungsdauer T 0 π / ω 0 (anstelle von ω 0 ) dargestellt. Maximale elastische Rückstellkraft (statische Ersatzlast): Diese ist zahlenmäßig gleich der Trägheitskraft und berechnet sich zu f S max k S d mω 0 S d mω 0 S v ms a Hinweis: im EC8 bezeichnet S d das Bemessungsspektrum für die Bodenbeschleunigung (Index d steht für Design ) Grenzwerte: T 0 0 (hohe Steifigkeit): x 0 x t x g, S a a g,max T 0 (geringe Steifigkeit): x t 0 x x g, S d d g,max Freihand-Entwurfsspektrum: S a 4 a g,max, S v 3v g,max, S d d g,max

10 Erdbeben 10 [Bachmann, 00]

11 Erdbeben 11 [Bachmann, 00]

12 Erdbeben 1 Kombinierte Darstellung der Spektren S a, S v, S d des Erdbebens von El Centro (CA), 1940 [Chopra, 01]

13 Erdbeben 13 Beispiel E1: m 0000 kg, k 5,0 M / m, ζ % ω 0 k m ,81 rad / s f ω 0,5 Hz π T π ω 0 1 f 1,5 0,40 s S v ( T 0,40 s, ζ % ) 0,16 m / s Maximale Verschiebung: x D S max max d 1 1 S ω v 0,16 0,01 m 0 15,81 Maximale elastische Rückstellkraft: f S max mω 0 S v ,81 0, ,6k

14 Erdbeben 14 Allgemeiner Mehrmassenschwinger M ""x(t) + C "x(t) + K x(t) M e ""w g (t) Erdbeben Teil Modale Projektion: x(t) j1 φ j y j (t) Φ y(t) Φ φ 1 φ... φ... Modalmatrix, y y 1 (t) y (t)... y (t) T Φ T MΦ "" y(t) + Φ T CΦ " y(t) + Φ T KΦ y(t) Φ T M e ""w g (t) y k (t) + C k y k (t) + K k y k (t) L k w g (t) (Voraussetzung: modale Dämpfung) φ k T M φ k, K k φ k T K φ k, C k φ k T C φ k, L k φ k T M e e T M φ k, wenn M M T (symmetrisch) y k (t) + ζ k y k (t) + y k (t) w g (t), k 1,,..., mit L k / (zum Vergleich: SDOFs x + ζω 0 x + ω 0 x x g ) Speziell gilt für orthonormierte Eigenvektoren: φ k φ k Mk Φ T MΦ I bzw. φ k T M φ k 1, k 1,,..., Φ T KΦ diag(ω k ) ω 1 0 ω ω

15 Erdbeben 15 Antwort des dem k-ten Mode zugeordneten SDOFs: y k (t) D k (t) V k (t) Modaler Anteil des Deformationsvektors: A k (t) x (t) φ k y k (t) φ k D k (t) V φ k (t) k A φ (t) k k Vektor der elastischen Rückstellkräfte ( Ersatzlast-Vektor ): f s K x K φ k y k f s k 1 k 1 f s K φ k y k K M φ k 0 K φ k ω k M φ k f s M φ k y k M φ k D k M φ k V k M φ k A k Maximale Antwort des dem k-ten Mode zugeordneten SDOFs: y max S S d Γ v k S Γ a k mit S i S i (T k,ζ k ) Maximaler modaler Anteil des Deformationsvektors: x max φ k y max φ k S d S φ k Γ v k S φ k Γ a k Maximaler modaler Anteil für Erdbeben-Ersatzlast: f s,max M φ k ω k y max M φ k ω k S d M φ k S v M φ k S a

16 Erdbeben 16 Mehrgeschoßige Hochbaukonstruktion: Modellierung als Ersatzstab bzw. Rahmentragwerk; e T I T x (t) x j (t) x 1 (t) Bestimmung der Querkräfte: Modale Anteile im Geschoß j : w g (t) Q j f si χ j ω k y k χ j ω k D k, χ j M φ k i i j i j Modale Anteile in der Bodenfuge: Q 0 f si i1 f s I T M φ "# $ %$ ω k k y k L k ω k Γ & D k k L k ω k D k ω k D k L k L k / Die sog. effektiven modalen Massen L k L k / sind unabhängig von der ormierung der Eigenschwingungsformen. Für ebene (Rahmen-) Modelle gilt: k1 m k k1 m ges Anregung gemäß Antwortspektrum: Q j,max f si,max χ j ω k S d χ j S v χ j S a i j Q 0,max S d S v S a

17 Erdbeben 17 Bestimmung der Biegemomente: Modale Anteile des resultierenden Momentes im Geschoß j : M j i j (h i h j ) f si Anregung gemäß Antwortspektrum: M j,max (h i h j ) f si,max i j Modale Anteile des resultierenden Momentes in der Bodenfuge: M 0 h i f si h 1 h... h i1 f s h T M φ k ω k y k H k ω k D k Die sog. effektiven modalen Höhen H k sind wieder unabhängig von der ormierung der Eigenschwingungsformen: H k h T M φ k h T M φ k L k Für ebene (Rahmen-) Modelle gilt: H k h k m k k1 k1 Anregung gemäß Antwortspektrum: M 0,max H k S d H k S v H k S a Die individuellen Momentenanteile in Rahmenstützen sind aus den aktuellen Randbedingungen und den Geschoßverschiebungen zu ermitteln. Im folgenden sind deren (quasistatischen) Beziehungen für klassische RB-Kombinationen gelistet: j x j M ji α ji (x j x i ) Knoten i und j eingespannt: α ij α ji 6( EJ / l ) i i l i x i M ij α ij (x j x i ) Knoten i gelenkig gelagert, Knoten j eingespannt: ( ) i α ij 0, α ji 3 EJ / l Knoten j gelenkig gelagert, Knoten i eingespannt: α ij 3 EJ / l ( ) i, α ji 0

18 Erdbeben 18 Regeln zur modalen Überlagerung für Baukonstruktionen unter Erbebenanregung Square-root-of-sum-squares (SRSS) Methode zur modalen Überlagerung: E max E E (E E k ) k 1 E E Maximalwert einer seismischen Beanspruchungsgröße (Kraft- bzw. Deformationsgröße) Anwendbar auf Systeme mit gut separierten Eigenfrequenzen Complete quadratic combination (CQC) Mehode: Diese Methode ist auch bei knapp benachbarten Eigenfrequenzen anwendbar. E max E E n1m1 ρ nm E E n E E m Korrelationskoeffizient (nach Der Kiureghian): ρ nm 8( ζ n ζ m ) 1/ 3/ ( ζ n + β nm ζ m )β nm ( 1 β nm ) + 4ζ n ζ m β nm 1+ β nm ( ) + 4 ζ n + ζ m ( )β nm, β nm ω n / ω m ρ nm ρ mn kann Werte zwischen 0 (unkorreliert) und 1 (voll korreliert, z.b. für Schwingungsformen mit denselben Eigenfrequenzen und Dämpfungskoeffizienten) annehmen. Für ζ n ζ m ζ vereinfacht sich der Ausdruck zu ρ nm 8ζ 3/ ( 1+ β nm )β nm ( 1 β nm ) + 4ζ β nm 1+ β nm ( ) WICHTIG (): Diese (modal überlagerte) Maximalwerte sind Endergebnisse, mit denen nicht weitergerechnet werden darf

19 Erdbeben 19 Berechnungsschritte: Eigenfrequenzen und Eigenvektoren:, φ k Modale Massen: φ k T M φ k Partizipationsfaktoren: L k φ k T M I I T M φ k, L k Effektive modale Massen: L k Effektive modale Höhen: h T M φ H k k L k Spektralwerte aus AW-Spektrum: z.b.: S a Auswertung: S x max φk a f s,max M φ k S a Q j,max M j,max f si,max, Bodenfuge: Q 0,max i j S a ( Q 1,max ) (h i h j ) f si,max bzw. individuelle Momentenanteile in den Rahmenstützen i j Bodenfuge: M 0,max H k S a Überlagerung: z.b. (SRSS) E x j, Q j, M j,q 0, M 0 : E max E E (E E k ) k1

20 Erdbeben 0 Beispiel E: Ebene Hochbaukonstruktion, modelliert als Ersatzstab mit 3 Freiheitsgraden m kg, m kg, m kg, h 1 3,0m, h 6,0m, h 3 9,0m k 1 8,0 M / m, k 6,0 M / m, k 3 5,0 M / m m 3 h 3 k 3 k 3 m k k h m 1 k1 k 1 h 1 f k T k S a k 1 k k 3 [ rad / s] 10,34 4,90 34,73 [ Hz] 1,65 3,96 5,53 [ s] 0,61 0,5 0,18 m / s 1,55 3,74 5,1 φ 1 0,398 0,786, 1 φ -0,901-0,40, 1 φ 3 0,837-1,413 1 M 1 0,398 0, ,398 0, ,8 kg L 1 0,398 0, ,5 kg Γ 1 L ,5 M 1 431,8 1,36, M 1 L 1 (9744,5) M 1 431, , kg, H 1 h T M φ 1 6,1m L 1

21 Erdbeben 1 L k k 1 k k 3 [ kg] 431,8 7113, ,1 [ kg] 9744,5-1168,7 5550,9 [ ] 1,36-0,49 0,103 kg 39441, 4987,6 571, H k h T M φ k L k [m] 6,1-1,3,35 Kontrolle: 3 k kg, H k 3 k kgm (1) x max (1) S φ 1 Γ a 1 ω 1 0,398 0, ,55 1,36 (10,34) 0, , ,0191 m () x max 0,0033 0,0006-0,0058 m, (3) x max 0, , ,00044 m (1) f s,max M φ 1 Γ 1 S (1) a 16346,0 434,9 0553,0, () f s,max 8916, 5778, ,9, (3) f s,max 8974, ,8 5361,1 (1) Q 1,max 3 f si,max i1 (1) 61133,9, Q,max 3 f si,max i (1) 44787,9, Q 3,max f s3,max 0553,0 () Q 1,max () 18653,5, Q,max (3) -106,7, Q 3,max ,9 (3) Q 1,max (3) 975,9, Q,max (3) -5998,7, Q 3,max 5361,1

22 Erdbeben Q 0,max S a ( Q 1,max ), M 0,max H k S a Q 0,max M 0,max m k 1 k k , ,5 975, ,0-950,3 7014,8 SRSS: x max ( x max ) k1 0,008 0,015 0,019 m Q 0,max Q 1,max (Q 0,max ) k1 64,0 k, Q,max (Q,max ) 46,3 k, Q 3,max 6,6 k k1 M 0,max k1 ( M 0,max ) 380, km