Fourier- und Laplace-Transformation. Material zur Vorlesung Grundgebiete der Elektrotechnik 3

Transkript

1 Fourier- und Laplace-Transformation Material zur Vorlesung Grundgebiete der Elektrotechnik 3 Dr. Alexander Schaum Vertretungsprofessur für vernetzte elektronische Systeme Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Wintersemester 7/8

2 In diesem Dokument wird ausgehend von der Fourier-Analyse die Fourier-Transformation und daraus die Laplace-Transformation hergeleitet. Wesentliche Eigenschaften beider Transformationen und Beispiele werden kurz diskutiert. Der Schwerpunkt des Dokuments liegt auf der Laplace-Transformation und deren Anwendung zur Berechnung elektrischer Netzwerke.

3 Kapitel Fourier-Transformation. Von der Fourier-Analyse zur Fourier-Transformation Dieses Kapitel baut auf den Unterlagen zur Fourier-Analyse auf. Insbesondere wird, ausgedehend von der komplexen Fourier-Reihe die Fourier-Transformation hergeleitet... Betrachtung nicht-periodischer Anregungen Viele wichtige Vorgänge lassen sich nicht mittels periodischer Anregungen beschreiben, z.b.: Schaltvorgänge: Ein- oder Ausschalten von Spannungs- und Stromquellen. Diese können mittels der Sprungfunktion { û, t ut =., t <. dargestellt werden. Spannungs- oder Stromimpulse. Solche können mittels eines Impulses der Form { û, t [, δ] ut =, t / [, δ]. abgebildet werden. In solchen Fällen kann keine Periodendauer definiert werden. Für periodische Anregungen hatten wir die komplexe Fourierreihe eingeführt, welche durch den Zusammenhang gegeben ist mit den Koeffizienten ut = + k= c k e jkωt c k = T T ute jkωt.

4 Die Berechnung der Koeffizienten c k kann äquivalent über das Interval [ T, T ] erfolgen, d.h. c k = T T T ute jkωt. Ersetzt man T = π ω mit der Grundfrequenz ω der periodischen Anregung, so erhält man c k = ω π T T ute jkωt = T ute jkωt ω. π T Für den Fall, dass die Anregung nicht periodisch ist, könnte man dieses Integral über einem Interval [ T, ] T auswerten, welches groß genug ist um alle Zeitpunkte zu erfassen, welche von Interesse sind, und außerhalb dieses Intervals das Anregungssignal periodisch fortsetzen. Will man jedoch eine gegebene nicht-periodische Anregung über ein beliebig großes Intervall analysieren, so muss T gegen Unendlich gehen. Weiterhin sei angemerkt, dass in dem diskreten Frequenzspektrum der Vielfachen der Grundfrequenz ω k = kω, das Intervall ω zwischen auf einander folgende Frequenzen immer gleich der Grundfrequenz ist, d.h. ω = ω = π T. Für den Fall T folgt dann ω. Für diesen Grenzfall erhält man für die diskrete komplexe Fourierreihe ut = lim + ω k= + = lim = ω k= = π c k e jkωt π T T ute jkωt ute jωt e jωt dω π ute jωt e jωt dω e jkωt ω wobei hier für den Übergang von der Summe zum Integral eine vereinfachte Form des Rieman- Integrals verwendet wurde. In dieser Darstellung werden nicht mehr nur diskrete Vielfache einer festen Frequenz der Grundfrequenz betrachtet, sondern das Kontinuum aller möglicher Frequenzen eine Grundfrequenz ist per Annahme nicht notwendigerweise vorhanden. So wie die komplexen Amplituden c k in der diskreten Fourierreihe angeben mit welchem Anteil die jeweilige Frequenz ω k = kω, k Z im Anregungssignal vorkommt, so gibt in der kontinuierlichen Darstellung das Fourierintegral Uω = ute jωt den Anteil einer beliebigen Frequenz ω im Anregungssignal an. Die komplex-wertige Funktion Uω wird hierbei die Fourier-Transformierte der Funktion ut genannt. Entsprechend obiger Darstellung von ut gilt die Notation Uω = F [ut] ω, ut = F [Uω] t Streng genommen müssten die Ober- und Untersummen betrachtet werden und deren Infimum bzw. Supremum. Im Falle Rieman-integrierbarer Funktionen sind letztere gleich. An Stelle eckiger Klammern werden oftmals geschweifte Klammern verwendet, d.h. es wird F{ut}ω oder auch einfach F{u} geschrieben. 3

5 mit der Fourier-Transformation und der inversen Fourier-Transformation F [ut] ω = ute jωt, F [Uω] t = π Uωe jωt dω. Der Frequenzbereich wird entsprechend dieser Abbildung auch als Bildbereich bezeichnet. Entsprechend wird Uω Bildfunktion und ut Originalfunktion der Fourier-Transformation genannt. Die Vorraussetzung für die Existenz der Fourier-Transformierten einer Funktion ut ist, dass diese absolut integrierbar ist, d.h. ut <. Es ist leicht einzusehen, dass dies nur für den Fall gilt, dass lim ut =. t Dies schließt die Betrachtung zeitlich nicht-abklingender Funktionen aus, wie z.b. die Sprungfunktion.... Beispiel: Impuls, si-funktion und sinc-funktion Die Anwendung der Fourier-Transformation sei beispielhaft für die Transformation eines Impulses der Länge δ dargestellt, d.h. { û, t [, δ] ut =.3, t / [, δ]. Die zugehörige Fourier-Transformierte ist gegeben durch 3 Uω = = δ ute jωt ûe jωt = û t=δ jω e jωt t= e jωδ = û jω = û jω e jω δ e jω δ = û sin ω δ ω = δû sin ω δ = δû si ω δ e jω δ e jω δ ω δ e jω δ e jω δ 3 Es wird die Eulersche Darstellung komplexer Zahlen zur Beschreibung des Sinus verwendet. 4

6 mit der si-funktion six = sinx x. Abbildung. zeigt links das zeitliche Verhalten des Impulses ut und rechts das frequenzabhängige Verhalten des Betrags der zugehörigen Bildfunktion Uω. ut Zeit t Uω Frequenz ω Abbildung.: Impuls ut der Länge δ =.5 mit Amplitude û = und Betrag der zugehörigen Spektralfunktion Uω = δû si ω δ. Es sei an dieser Stelle angemerkt, dass im deutschsprachigen Raum eine Unterscheidung zwischen der si-funktion und der sinc-funktion stattfindet, welche durch die Normierung sincx = siπz erzielt wird. Im englischsprachigen Raum wird diese Unterscheidung nicht immer vorgenommen. Die si-funktion und die sinc-funktion werden auch als Spaltfunktion bezeichnet. Die Lösung für die Fourier-Transformierte des betrachteten Impulses kann daher nach Substitution von ω = πf mittels der sinc-funktion geschrieben werden: ut = δû si ω δ e jω δ = δû sinc πδf e jω δ...3 Eigenschaften der Fourier-Transformation Wichtige Eigenschaften der Fourier-Transformation sowie Anwendungen sind in Übung 9, Aufgaben -4 zu finden. In Aufgabe, Übung 9 werden folgende Zusammenhänge hergeleitet: Linearität: Verschiebungssatz im Zeitbereich: F [a ut + b vt] ω = af [ut] ω + bf [vt] ω.4 F [ut τ] ω = e jωτ F [ut] ω.5 Differentiation im Zeitbereich: [ ] dut F ω = jωf [ut] ω.6 5

7 Faltung/Multiplikation im Bildbereich: [ ] F gt τuτdτ ω = F [gt] ω F [ut] ω..7 6

8 Kapitel Laplace-Transformation. Von der Fourier- zur Laplace-Transformation Wie oben erwähnt existiert die Fourier-Transformierte nur, wenn die Originalfunktion ut absolut integrierbar ist. Dies schließt wichtige Anregungssignale aus, wie z.b. einen Sprung auf einen konsten Wert û, welcher für alle zukünfitgen Zeiten beibehalten wird. Ein Anwendungsbeispiel hierfür ist eine RC-Reihenschaltung mit einer Konstantspannungsquelle in welcher zu einem bestimmenten Zeitpunkt t ein Schalter geschlossen wird und dieser geschlossen bleibt. Ein anderes Beispiel wäre eine sich kontinuierlich verstärkende Anregung z.b. eine Rampenfunktion. Unter der Annahme, das für solche Signale ut gilt, dass ut ke at, t für ein < a R, k ist klar, dass die Funktion { ute σt, t u σ t =, t < absolut integrierbar ist für alle σ > a, denn es gilt u σ t = ute σt = ke at e σt = k ut e σt e σ at = Die Fourier-Transformation der modifizierten Funktion u σ t lautet dann U σ ω = F [u σ t] ω = u σ te jωt = k σ a <. ute σ+jωt was als eine modifizierte Transformation aufgefasst werden kann. Die Rücktransformation für t lautet entsprechend u σ t = ute σt = U π σ ωe jωt dω Funktionen, welche diese Eigenschaft aufweisen als Funktionen exponentieller Ordnung bezeichnet. 7

9 oder äquivalenterweise ut = U π σ ωe σ+jωt dω. An dieser Stelle wird aufgrund der Tatsache, dass ω eine Frequenz darstellt die sogenannte komplexe Frequenz eingeführt. Es gilt entsprechend s = σ + jω dω = ds, ω ± s σ ± j. j Mit der Variablen s kann nun die Funktion U σ ω auch als Us geschrieben werden und es gilt Us = ute st, ut = πj σ+j σ j Use st ds, t.. Diese Zusammenhänge sind als Laplace-Transformation oftmals auch einseitige Laplace-Transformation genannt, da nur positive Zeiten berücksichtigt werden und inverse Laplace-Transformation bekannt, was mit der Schreibweise Us = L [ut] s, ut = L [Us] t dargestellt wird. Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation wird auch bei der Laplace-Transformation die Funktion Us als Bildfunktion oder Unterfunktion und ut als Originalfunktion oder Oberfunktion bezeichnet. Es sei angemerkt, dass für σ = die Laplace-Transformation in die Fourier-Transformation übergeht. In der Literatur wird außerdem in diesem Zusammenhang die Notation verwendet... Anwendungen Us ut Im Folgenden soll die Laplace-Transformation für einige wichtige Spezialfälle bestimmt und anschließend zur Netzwerkanalyse verwendet werden. Heaviside- Sprungfunktion Die oben besprochene Sprungfunktion. kann mittels der Heaviside-funktion ht beschrieben werden als ut = ûht. Die Heaviside-Funktion ist dabei definiert durch {, t ht =., t <. Auch hier findet man in der Literatur sehr häufig an Stelle eckiger Klammern geschweifte Klammern, so dass L{ut}s oder auch einfach L{u} geschrieben wird. 8

10 Die Laplace-Transformation dieser Funktion ist gegeben durch Hs = L [ht] s = hte st = Entsprechend gilt für einen Sprung ut der Höhe û, dass Impuls der Länge δ e st = t= s e st = s. t= Us = L [ut] s = û s..3 Der in Gleichung.3 eingeführte Impuls der Länge δ siehe Abbildung. links kann wie folgt transformiert werden: woraus folgt, dass Us = ute st = = û s e st t=δ t= δ ûe st Us = û e sδ..4 s Exponentialfunktion Die Laplace-Transformierte der Exponentialfunktion { ut = ûe at ûe at, t ht =, t <, a C.5 ist gegeben durch Us = L [ut] s = ûe at e st = û e a st = û t= s a e s at. t= Unter Berücksichtigung von s = σ + jω mit σ > Re {a} erhält man somit Sinus- und Kosinusfunktion Us = û s a..6 Die Laplace-Transformierte der trigonometrischen Funktion { û cosω t, t ut = û cosω t ht =, t <.7 9

11 ist gegeben durch woraus folgt, dass û cosω te st = Us = L [ut] s = = û = û.6 = û + s jω = û s s + ω e jωt e st + L [ e jω t ] s + L [ e jωt] s s + jω û e jω t + e jωt e st e jωt e st ûs L [ut] s = s + ω..8 In ähnlicher Weise folgt für die Sinusfunktion ut = û sinω t ht = { û sinω t, t, t <.9 das die Laplace-Transformierte gegeben ist durch womit Us = L [ut] s = = û j = û j.6 = û j = û j û sinω te st = e jωt e st L [ e jω t ] s L [ e jωt] s s jω jω s + ω s + jω û e jω t e jωt e st j e jωt e st.. Eigenschaften der Laplace-Transformation L [ut] s = û ω s + ω.. Im Folgenden werden spezielle Eigenschaften der Laplace-Transformation aufgeführt, welche für die Berechnung von Netzwerken hilfreich sind. Linearität: L [a ut + b vt] s = al [ut] s + bl [vt] s.

12 Verschiebungssatz im Zeitbereich: L [ut τ] s = e sτ L [ut] s. Differentiation im Zeitbereich 3 : [ ] dut L s = sl [ut] s u.3a [ d n ] ut L n s = s n L [ut] s s n u s n u... u n, n >. Faltung/Multiplikation im Bildbereich 4 :.3b [ t ] L gt τuτdτ s = L [gt] s L [ut] s = GsUs..4 Ähnlichkeitssatz: L [uat] s = s a L[ut] = s a a U..5 a Dämpfungssatz: L [ ute at] s = L[ut] s + a = U s + a..6 Da die Herleitungen denjenigen für die Fourier-Transformation sehr ähnlich sind vgl. Übung 9, Aufgabe und.5 sowie.6 in Übung hergeleitet werden, soll hier nur die Differentiation näher untersucht werden, da diese im Gegensatz zur Fourier-Transformation eine explizite Abhängigkeit zur Anfangsbedingung aufweist. Dies ist ein Vorteil der Laplace-Transformation da hierdurch der Einfluß allgemeiner Anfangsbedingungen also verschieden zu Null direkt analysiert werden kann. Für die Differentiation erster Ordnung gilt [ ] dut L s = dut e st = ute st t= = u + s t= = u + sus. t ut d ute st e st 3 Streng genommen müsste anstelle der Anfangsbedingung u der Wert u + angegeben werden, d.h. der rechtseitige Grenzwert für t. Hierdurch kann auf eventuelle Unstetigkeiten in t = eingegangen werden. In den betrachteten Anwendungsfällen wird diese Unterscheidung jedoch der Einfachheit halber weggelassen. 4 Es sei angemerkt, dass gilt t gt susds = t gsut sds. Die Faltung wird auch abkürzend als ut vt geschrieben.

13 Entsprechend gilt für die Differentiation n-ter Ordnung [ d n ] ut d n ut L n s = n e st = dn ut n e st t= d n ut d e st t= n = u n d n ut + s n e st d = u n n ut + s n e st t= t= = u n s u n + s. d n ut n d n ut n e st d e st = u n s u n... s n u + s n ute st = u n s u n... s n u + s n Us. Es sei darauf hingewiesen, dass der Verschiebungssatz in eleganter Weise für Hin- und Rücktransformation verwendet werden kann. Als Beispiel sei hier nochmals auf den Impuls der Länge δ verwiesen. Die Laplace-Transformierte ist in Gleichung.4 gegeben und kann wie folgt umgeschrieben werden: û e sδ = û s s û e sδ = L [û ht] s L [û ht δ] s. s Dies macht deutlich, dass der Impuls der Länge δ als Differenz zweier Sprungfunktionen derselben Amplitude û mit einer Zeitverzögerung δ aufgefasst werden kann, d.h. ut = ht ht δ. Abbildung. verdeutlicht diesen Zusammenhang. ht ht δ ut Zeit t Abbildung.: Impuls ut der Länge δ =.5 als Differenz zweier Sprungfunktionen mit einer Zeitverzögerung δ.

14 Die Analyse von Anregungssignalen mit Hilfe von Zeitverschiebungen ermöglicht oftmals eine direkte Transformation in den Bildbereich ausgehend von bereits bekannten Transformationen der Grundfunktionen Sprung-, Sinus-, Kosinus-, Exponentialfunktion ohne das Laplace-Integral. auswerten zu müssen. Eine direkte Anwendung des Ähnlichkeitssatzes.5 der Laplace-Transformation ermöglicht z.b. die direkte Transformation einer Kosinusschwingung für eine Frequenz, welche ein Vielfaches einer Grundfrequenz ω darstellt vgl. Gleichung.8: L [û coskω t ht] s = L [û cosω kt ht] s = s k L [û cosω t ht] k s k = k û s s = û k + ω s + kω. Abschließend sei noch eine Anwendung des Dämpfungssatzes.6 illustriert. Man betrachte die abklingende Schwingung ut = ûe at cosω t ht. Die zugehörige Laplace-Transformierte ergibt sich direkt aus.8 in Kombination mit.6 zu Us = ûl [ e at cosω t ht ] s + a s = ûl [cosω t ht] s + a = û s + a + ω...3 Berechnung von Netzwerken mittels der Laplace-Transformation Zur Berechnung von Netzwerken mit Hilfe der Laplace-Transformation kann ähnlich vorgegangen werden wie in Übung 9, Aufgabe 4, entsprechend dem Schema:. Aufstellen der Differentialgleichungen zur Beschreibung des Netzwerks. Transformation in den Bildbereich 3. Lösung im Bildbereich 4. Rücktransformation in den Zeitbereich. Alternativ kann wie folgt vorgegangen werden:. Transformation aller Komponenten und Beschreibung des Netzwerkes im Bildbereich. Lösung im Bildbereich 3. Rücktransformation in den Zeitbereich. Auf beiden Wegen wird das Lösen der Differentialgleichung im Zeitbereich umgangen, was insbesondere bei Differentialgleichungen höherer Ordnung ein zeitintensives Verfahren darstellt. Zudem können bestimmte Netzwerkanalysen auch direkt im Bildbereich durchgeführt werden, wie z.b. die Frequenzabhängigkeit bei periodischer Anregung, Filtereigenschaften Hochpass, Tiefpass, Bandpass oder ähnliches. Der Vorteil der Laplace-Transformation im Vergleich zur Fourier-Transformation liegt darin, wie oben diskutiert, dass beliebige Anregungen exponentieller Ordnung berücksichtigt werden können, seien diese periodisch oder nicht periodisch. Wie in Aufgabe 4, Übung 9 für die Fourier-Transformation dargestellt, kann für die Rücktransformation in der Regel auf Referenztabellen zurückgegriffen werden siehe Anhang. 3

15 Beispiel: RC-Reihenschaltung Mittels der oben diskutierten Eigenschaften können Netzwerke mit einfachen Anregungssignalen bereits berechnet werden. Zum Beispiel sei hierzu erneut eine RC-Reihenschaltung betrachtet. u q t R C Die Spannung der Quelle sei konstant, d.h. u q t = û q. Zum Zeitpunkt t = sei der Schalter geöffnet und die Spannung am Kondensator betrage u C = u C. Nun wird in t = der Schalter geschlossen und verweilt in diesem Zustand. Die Spannung am Kondensator ist zu berechnen. Die Differentialgleichung wurde bereits in Übung 9, Aufgabe 4 hergeleitet und lautet du C t = τ u Ct + τ u qt, u C = u C mit der Zeitkonstanten τ = RC. Die Transformation in den Bildbereich ergibt [ ] [ duc t L s = L τ u Ct + ] τ u qt s su C s u C = τ U Cs + τ U qs. Auflösen nach U C s ergibt die Lösung im Bildbereich: U C s s + = u C + τ τ U q s U C s = s + u C + τ s + τ U q s. τ Beide Anteile der Lösung sind durch ein Produkt der Funktion Gs = s + τ = gt = e t/τ ht = { e t/τ, t, t < bestimmt. Der erste Anteil ist hierbei direkt durch das Produkt der abklingenden Exponentialfunktion und der Anfangsbedingung u C gegeben, und der zweite Anteil kann nach.4 durch das Faltungsintegral bestimmt werden. Hierbei gilt t e t r/τ τ u qrdr = ûq τ e t/τ t e r/τ dr = ûq τ e t/τ τe r/τ r=t r= = û q e t/τ. Entsprechend ergibt sich für die Spannung u C t am Kondensator die Lösung u C t = u C e t/τ + û q e t/τ = û q + u C û q e t/τ. 4

16 ..4 RLC-Reihenschaltung Um den zweiten Lösungsweg zu illustrieren soll nachfolgende RLC-Reihenschaltung analyisiert werden. u q t R L C Zum Zeitpunkt t = wird der Schalter geschlossen. Zu diesem Zeitpunkt fließe durch die Spule ein Strom von i L = i L und am Kondensator liege eine Spannung u C = u C an. Es soll die Spannung u C t am Kondensator für ein beliebiges u q t sowie für den Spezialfall u q t = berechnet werden. Die Bauteilgleichungen lauten u R t = Ri R t, u L t = L di Lt, i C t = C du Ct. Diese können mit dem Differentiationssatz direkt in den Bildbereich transformiert werden. Es gilt U R s = RI R s, U L s = L si L s i L, I C s = C su C s u c. Mittels dieser Darstellungen kann nun direkt die Maschengleichung im Bildbereich angegeben werden: In dem Stromzweig gilt RI R s + L si L s i L + U C s U q s =. I R s = I L s = I C s = C su C s u c. Entsprechend können die Größen I R s und I L s in der obigen Maschengleichung substituiert werden, sodass gilt RC su C s u c + L sc su C s u c i L + U C s U q s =. Werden alle Terme die von U C s abhängen links sortiert und die restlichen Terme auf die rechte Seite der Gleichung gebracht, so erhält man oder U C s s LC + src + = U q s + Li L + slc + RCu C U C s s + s R L + = LC LC U q s + C i L + s + R u C. L Der Ausdruck in der Klammer auf der linken Seite entspricht der charakteristischen Gleichung der Schaltung genauer gesagt, der zugehörigen Differentialgleichung zweiter Ordnung λ + λ R L + LC = 5

17 und hat Lösungen λ, = R L ± R 4L LC, welche für R < 4 L C konjugiert komplex sind und daher in der Form λ, = σ ± ω, σ = R L, ω = LC R 4L geschrieben werden können, wobei σ die Abklingkonstante und ω die Frequenz der Eigenschwingung der Schaltung angibt. Mittels σ und ω kann der Klammerausdruck auf der linken Seite wie folgt in Linearfaktoren zerlegt und anschließend umgeformt werden eine kleine Nebenrechnung sollte dies verdeutlichen s + s R L + LC = s λ s λ = s σ + ω = s σs + ω + σ. Somit kann die Lösung für U C s im Bildbereich geschrieben werden als U C s = LC s σ + ω U qs + C i L + R L u C s σ + ω + u s C s σ + ω = ω ωlc s σ + ω U q s + il C σu ω C ω s σ + ω + u s + σ σ C s σ + ω = ω ωlc s σ + ω U il qs + C σu ω C + σu C ω s σ + ω + u s σ C s σ + ω = ω ωlc s σ + ω U q s + il ωc σ ω u ω C s σ + ω + u s σ C s σ + ω. Unter Verwendung der Korrespondenzen vgl. Appendix A, sowie Übung L [ e σt cosωt ] s = erhält man für die Lösung im Zeitbereich u C t = ωlc t s σ s σ + ω, L [ e σt sinωt ] ω s = s σ + ω [ e σt τ sinωt τu q τdτ + e σt il ωc σ ] ω u C sinωt + u C cosωt. Für den Spezialfall u q = folgt somit [ u C t = e σt il ωc σ ] ω u C sinωt + u C cosωt. 6

18 Literaturverzeichnis [] M. Albach, Elektrotechnik, Pearson-Verlag,. [] D. Manteuffel, Netzwerkanalyse, 4. Referenztabelle für die Laplace-Transformation Originalfunktion ut ht e at ht cosω t sinω t e at ht e at cosω t e at sinω t htt Bildfunktion Us s s + a s s + ω ω s + ω ss + a s + a s + a + ω ω s + a + ω s 7