Mathematik: Geometrie und Anwendungen in der Wirtschaft

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1 Prof Dr Horst W Hamacher Mathematik: Geometrie und Anwendungen in der Wirtschaft Einführende Anwendungsbeispiele von Horst W Hamacher IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 1

2 Prof Dr Horst W Hamacher Gliederung Supply Chain Management (SAP,) SCM Krebsbestrahlung (Krebshilfe, BMBF) Krebs Tarifplanung im Öffentlichen Personennahverkehr - Waben (WVV,) ÖPNV Produktionsplanung (IBM, psb,) Notfallhubschrauber (Weisses Kreuz (Tirol)) Sonstige SchülerProjekte Prod Notfall Misc IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 2

3 Prof Dr Horst W Hamacher Supply Chain Management Ein einfaches Vertriebsnetzwerk Lieferanten Werke Vertriebszentren Kunden store store IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 3

4 Prof Dr Horst W Hamacher Vertriebsnetzwerk-Design Werke Vertriebszentren Kunden Typische Entscheidungen: store Wie viele? Vetriebs- Wo? zentren Größe? store Welche Kunden werden von jedem Vertriebszentrum beliefert? IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 4

5 Prof Dr Horst W Hamacher Schritt 1: Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks Input: Netzwerkstruktur Kundennachfrage Transportkosten Entscheidungen: Belieferungsmuster: vom VZ zum Kunden Größe der Vertriebszentren Vertriebszentren Kunden store Ziel: Minimierung der Entfernungen store IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 5

6 Prof Dr Horst W Hamacher Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks (Forts) Annahmen: identische Vertriebszentren (VZ) gleicher Güterpreis in jedem VZ Transportkosten = fester Preis Distanz jeder Kunde wird von dem nächstgelegenen VZ beliefert IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 6

7 Prof Dr Horst W Hamacher Voronoi-Diagramme Für 2 Punkte: Für 3 Punkte: IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 7

8 Prof Dr Horst W Hamacher Analyse eines existierenden Vertriebsnetzwerks (Forts) Ansatz: Unterteilung der Ebene in N Zellen, V(VZ 1 ),,V(VZ N ) V(VZ i ) = k: k i { 2 x :d(x,vz) } i d(x,vz) k Voronoi-Diagramm VZen Kunden IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 8

9 Prof Dr Horst W Hamacher Vorteile: schnelles geometrisches Verfahren niedrige Datenanforderungen: nur Koordinaten von VZ 1,,VZ N falls l 2 -Norm benutzt wird Plane Sweep Algorithmus O(NlogN) (S Fortune (1987)) Nachteile: Kundenzuordnung mit Hilfe von Voronoi-Diagrammen einige wichtige Aspekte werden nicht beachtet: Kosten sind nicht immer proportional zur Entfernung Standorte mit begrenzter Kapazität nicht entworfen für mehrstufige Vertriebsnetzwerke IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 9

10 Prof Dr Horst W Hamacher Schritt 2: Redesign eines Input: Vertriebsnetzwerks 1- oder 2-Stufe(n) Netzwerkstruktur Kundennachfrage Transportkosten Werke Vertriebszenteren Kunden Entscheidungen: Platziere neue VZen Belieferungsmuster: vom Werk zum VZ vom VZ zum Kunden Größe der Werke/ VZen store store Ziel: Minimierung der Gesamtentfernungen IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 10

11 Prof Dr Horst W Hamacher Heuristik: Initialisierungsschritt Menge 1: wähle Voronoi-Knoten mit Wahl der Kandidatenstandorte für ein neues VZ a) größtem Gewicht b) zweitgrößtem Gewicht c) drittgrößtem Gewicht Knoten-Gewicht = Gesamtnachfrage aller Kunden in den angrenzenden Zellen Startlokation löse Lageverbesserung : Standortproblem IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 11 Neues Voronoi-Diagramm

12 Prof Dr Horst W Hamacher Heuristik: Initialisierungsschritt Menge 2: wähle Voronoi-Zelle mit a) größtem Gewicht b) zweitgrößtem Gewicht c) drittgrößtem Gewicht Position des Kandidaten = optimaler Standort in der ausgewählten Zelle Kandidat- Lageverbesserung : Zelle optimaler Standort löse Standortproblem Neues Voronoi-Diagramm IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 12

13 Prof Dr Horst W Hamacher Gliederun Heuristische Annäherung mit Hilfe der Voronoi-Diagramme Starte mit Voronoi-Diagramm(en) für existierende VZen (und Werke) Suche nach dem Standort des k-ten neuen VZs (k = 1,,#neuer VZen): wähle Startlokation für neuen Standort erstelle ein Voronoi-Diagramm löse einzelne 1-Standortproblem e in Voronoi-Zellen mit neuen Standorten V erbesserungsschritt speichere die kostengünstigste Lösung nein berechne neues Voronoi-Diagramm und Gesamtkosten ja Kostenverbesserung? nein alle Startlokationen ausgewählt? ja Ende IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 13

14 Prof Dr Horst W Hamacher Krebsbestrahlung Geometrische Methoden werden benutzt, um Krebszellen zu zerstören und gesunde Organe zu schonen konforme Bestrahlung IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 14

15 Prof Dr Horst W Hamacher Wie entdeckt man Krebs? IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 15

16 Prof Dr Horst W Hamacher Krebsbestrahlung - Linearbeschleuniger Intensity Modulated Radiation Therapy IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 16

17 Prof Dr Horst W Hamacher Krebsbestrahlung - Standortprobleme auf der Kugel An welchen Stellen stoppt die Bestrahlungseinheit? Sphärische Geometrie! IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 17 Gliederun

18 Prof Dr Horst W Hamacher Tarifplanung im ÖPNV - Waben Westpfalz Verkehrsverb Ändere Entfernungstarif in Wabentarif, so dass Kunden möglichst wenig betroffen sind i,j, k,l, Haltestellen (unbekannte) Waben alter (i,j) Entfernungstarif d ij neuer (k,l) Wabentarif p kl Haltestelle i - Zone k Zuordnung h ik œ{0,1} Geometrie als Werkzeug nicht als Widerspiegelung der räumlichen Wirklichkeit IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 18

19 Prof Dr Horst W Hamacher Tarifplanung im ÖPNV - Waben Minimiere Abweichung von alten Tarifen: Westpfalz Verkehrsverb neuer (k,l) Wabentarif alter (i,j) Entfernungstarif minimiere Haltestelle i - Zone k Zuordnung i, j, k, l unter den Nebenbedingungen hh d p ik jl ij kl = 1 i {0,1} i, k, d 0 IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 19 k h p ik kl h ik ij NP-schweres Problem einfach, falls Zonen gegeben sind Zonen können unzusammenhängend sein Gliederun

20 Prof Dr Horst W Hamacher Produktionsplanung Der Gewinn beim Verkauf von Kakaoprodukten soll maximiert werden Daten: Kakaopulver Schokolade Vorhandene Kapazität Gewinn Anlage Anlage Anlage Lineares Programm: IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 20 maximiere 30 x x 2 unter 3 x x x x x x 2 12 x 1,x 2 0

21 Prof Dr Horst W Hamacher Algorithmus 11: Grafisches Verfahren zur Lösung Linearer Programme mit zwei Variablen Input: Lineares Programm der Form max cx+ cy x y unter den Nebenbedingungen a x+ a y b 1x 1y 1 a x+ a y b 2x 2y 2 a x+ a y b mx my m xy, 0 Output Optimallösung (x* y*) mit optimalem Zielfunktionswert z* Schritt 1: Für i = 1,,m zeichne nacheinander die Geraden a ix x + a iy y = b i und die zugehörigen Halbräume a ix x + a iy y < b i Schritt 2: Bestimme den Zulässigkeitsbereich als das Polyeder P, das gegeben ist als Durchschnitt der Halbräume a ix x + a iy y < b i Schritt 3 Wähle irgendeine Zahl z und zeichne die Gerade c x x + c y y = z Schritt 4: Verschiebe diese Gerade parallel, so dass der Wert von z größer wird, solange bis ein Wert z =:z* erreicht ist, so dass die Gerade c x x + c y y = z* durch einen Eckpunkt (x* y*) von P geht IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 21

22 Prof Dr Horst W Hamacher x=0 x> x + 50y =150 3 Optimallösung (x* y*) = (2 6) Zulässigkeitspolyeder x < 4 x = 4 2y = 12 2y < 12 LP (SchokoLeb Beispiel) Max 30x + 50y udn 3x + 2y < 18 x < 4 2y < 12 x, y > 0 30x + 50y = x + 2y < 18 Algorithm y>0 y= x + 2y = 18 IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 22 Gliederun

23 Prof Dr Horst W Hamacher Platzierung von Notfallhubschraubern Einsatzorte (bekannt) Hubschrauberstandort (unbekannt) IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 23

24 Prof Dr Horst W Hamacher Platzierung von Notfallhubschraubern x = (x 1,x 2 ) Ex m =(a 1,a 2 ) Ziel: (unbekannte) Standortkoordinaten des Hubschrauberlandeplatzes (bekannte) Koordinaten der Einsatzorte optimiere den schlimmsten Einsatzfall minimiere { dist (x,ex m ) : m = 1,,M} IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 24 Gliederun

25 Prof Dr Horst W Hamacher Schülerprojekte Anschlußsicherung bei Verspätung Auslieferungsproblem Evakuierungsplanung Gartenbewässerung Gefahrenguttransporte Linienplanung bei Bustransporten Auto-Navigationssysteme Arbeitsablaufplanung Stücklistenprobleme Zuschnittprobleme Anschluß Ausliefer Evak Garten Gefahr Bus Navigate Sched Stück Zuschnitt IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 25

26 Prof Dr Horst W Hamacher Und jetzt wird gearbeitet! IFB, Juni Einführende Anwendungsbeispiele Seite 26