DAS SNELLIUSSCHE BRECHUNGSGESETZ UND LINSEN MIT EXAKT PUNKTFÖRMIGEM FOKUS. Eugen Grycko, Werner Kirsch, Tobias Mühlenbruch

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "DAS SNELLIUSSCHE BRECHUNGSGESETZ UND LINSEN MIT EXAKT PUNKTFÖRMIGEM FOKUS. Eugen Grycko, Werner Kirsch, Tobias Mühlenbruch"

Gesche Berg
vor 8 Jahren
Abrufe

1 DAS SNELLIUSSCHE BRECHUNGSGESETZ UND LINSEN MIT EXAKT PUNKTFÖRMIGEM FOKUS Eugen Grycko, Werner Kirsch, Tobias Mühlenbruch Fakultät für Mathematik und Informatik FernUniversität Universitätsstraße 1 Hagen Die Autoren widmen diesen Beitrag Herrn Professor Otto Moeschlin anlässlich seines 75-ten Geburtstags 1. Einleitung In der Geometrischen Optik verwendet man insbesondere eine Idealisierung von konvexen Linsen. Gemäß dieser Idealisierung werden die zur Symmetrieaxe einer Linse parallel einfallenden Lichtstrahlen so gebrochen, dass sie alle nach dem Verlassen der Linse durch einen punktförmigen Fokus gehen. Es ist bekannt, dass z.b. sphärische Linsen dieses Verhalten nur approximativ aufweisen, so dass der Fokus nicht mehr punktförmig ist. In der Praxis lässt sich die Approximation an das ideale Verhalten durch die Verwendung von Blenden verbessern. Nun bietet das Snelliussche Brechungsgesetz eine realistische Beschreibung der Lichtbrechung beim Durchgang durch ein lichtleitendes Material. Dieses Gesetz gestattet die Berechnung der räumlichen Propagation von Lichtstralen, wenn der Brechungsindex des Materials bekannt ist. Streng genommen kann der Brechungsindex von der Wellenlänge des zu analysierenden Lichtstrahls abhängen; es gibt aber Materialien (Gläser), deren Brechungsindex für sichtbares Licht nahezu unabhängig von der Wellenlänge ist. Dies motiviert die Untersuchung des Einflusses der geometrischen Form von Linsen auf die Verläufe von Lichtstrahlen unter Heranziehung des Snelliusschen Gesetzes. 1

Einleitung In der Geometrischen Optik verwendet man insbesondere eine Idealisierung von konvexen Linsen.

2 Wir demonstrieren diese Vorgehensweise für hyperboloidale Linsenformen, für welche die exakte Punktförmigkeit des Fokus bekannt ist und mathematisch verifiziert werden kann. Des Weiteren schlagen wir ein rechnergestütztes Verfahren vor, mit dem symmetrische bikonvexe Linsen mit numerisch punktförmigen Foci entworfen werden können; das Verfahren basiert ebenfalls auf dem Snelliusschen Brechungsgesetz. 2. Über Hyperboloidale Linsen Aus der Geometrischen Optik ist bekannt, dass sich plano-konvexe Linsen mit exakt punktförmigen Foci analytisch darstellen lassen. Die konvexe Seite einer solchen Linse wird bekanntlich durch ein rotationssymmetrisches Hyperboloid beschrieben. Wegen der realisierten Rotationssymmetrie lässt sich die Diskussion dieser geometrischen Linsenformen in der Euklidschen Ebene führen mit der Konsequenz, dass geeignete Hyperbeln betrachtet werden. Sei also η > 1 der Brechungsindex des Linsenmatarials relativ zur atmosphärischen Luft. Seien ferner a und b zwei positive Zahlen derart, dass die Relation ) 1/2 (2.1) η = (1 + b2 erfüllt ist. Die Menge H(a, b) sei gegeben durch H(a, b) := { (x, y) R + R x2 a 2 y2 b 2 1 }. Offenbar ist der topologische Rand H(a, b) von H(a, b) gegeben durch die Hyperbel (2.2) H(a, b) = { (x, y) R + R x2 a 2 y2 b 2 = 1 } mit dem Scheitelpunkt (a, 0). a 2 2

Snelliusschen Brechungsgesetz. 2. Über Hyperboloidale Linsen Aus der Geometrischen Optik ist bekannt, dass sich plano-konvexe Linsen mit exakt punktförmigen Foci analytisch darstellen lassen.

3 Für die Beschreibung der rechten Berandung der Linse sei y der maximale Wert der y-koordinate der Punkte innerhalb der Linse. Die Strecke S := {(x, y) R + R y y y } möge der planen Begrenzung der Linse entsprechen; dabei ist x := a (1 + y2 die x-koordinate der Punkte aus S. b 2 ) 1/2 Ein zur x-achse paralleler Lichtstrahl, der von rechts auf die Linse eintrifft, wird durch seine initiale Ordinate y (0, y) charakterisiert. Da er orthogonal zur Strecke S verläuft, wird er gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz beim Übergang in die Linse im Punkt (x, y) nicht gebrochen. Der Strahl verlässt die Linse im Punkt (x, y) H(a, b) mit ) 1/2 x := a (1 + y2. Aus der Analysis ist bekannt, dass der zu H(a, b) in (x, y) orthogonale Einheitsvektor N = (N x, N y ), der ins Äußere von H(a, b) zeigt (vgl. (2.2)), gegeben ist durch N = (N x, N y ) = b 2 1 ( ) x, y a 2 b 2 ( x a 2, y b 2 ), wobei. die Euklidsche Norm bezeichnet. Dementsprechend lässt sich der zu H(a, b) in (x, y) tangentiale Einheitsvektor T = (T x, T y ) darstellen als T = (T x, T y ) = ( N y, N x ). Der in (x, y) von rechts einfallende Lichtstrahl wird durch den Richtungsvektor ( 1, 0) beschrieben mit der Darstellung ( 1, 0) = N cos(α) + T sin(α), 3

b 2 ) 1/2 Ein zur x-achse paralleler Lichtstrahl, der von rechts auf die Linse eintrifft, wird durch seine initiale Ordinate y (0, y) charakterisiert.

4 wobei α (0, π/2) den eindeutig bestimmten Winkel bezeichnet, den der Strahl mit der durch N beschriebenen Linsennormalen in (x, y) einschließt. Nun wird der Lichtstrahl beim Durchgang durch den Randpunkt (x, y) H(a, b) der Linse gemäß dem Snelliusschen Gesetz gebrochen und lässt sich im weiteren Verlauf durch den Richtungsvektor R = (R x, R y ) = N cos(β) + T sin(β) beschreiben, der mit der Linsennormalen den Winkel β mit sin(β) = η sin(α) einschließt, falls die Ungleichung η sin(α) < 1 gültig ist. Setze x F := ( a 2 + b 2) 1/2. Anhand einer etwas mühsamen Rechnung kann man sich davon überzeugen, dass die Relation ( ) Rx x (2.3) det F x = 0. y R y erfüllt ist, die ihrerseits impliziert, dass der Lichtstrahl insbesondere den Punkt (x F, 0) passiert, weil der Differenzvektor (x F, 0) (x, y) ebenfalls einen Richtungsvektor des Strahls nach dem Verlassen der Linse darstellt. Da dies für alle initialen Ordinaten y (0, y) von betrachteten Lichtstrahlen zutrifft, entspricht (x F, 0) dem exakten Fokus der Linse. 4

y ) = N cos(β) + T sin(β) beschreiben, der mit der Linsennormalen den Winkel β mit sin(β) = η sin(α) einschließt, falls die Ungleichung η sin(α) < 1 gültig ist. Setze x F := ( a 2 + b 2) 1/2.

5 Fig. 1: Illustration einer hyperboloidalen plano-konvexen Linse Die Ausführungen in diesem Abschnitt belegen, dass es für die in Rede stehende analytisch beschreibbare Linsenform einen punktförmigen Fokus gibt, falls ihre Parameter a und b passend zum Brechungsindex η des Materials gewählt sind (vgl. (2.1)). 3. Rechnergestützter Entwurf von symmetrischen bikonvexen Linsen mit einer vorgegebenen Brennweite In diesem Abschnitt beschreiben wir eine numerische Möglichkeit, die Form einer bikonvexen rotationssymmetrischen Linse mit Hilfe eines Polygonzuges zu approximieren. Das Ziel ist, zum vorgegebenen Brechungsindex η > 1 des Materials eine gewünschte Brennweite x F > 0 im Rahmen der numerischen Genauigkeit einzuhalten. 5

Rechnergestützter Entwurf von symmetrischen bikonvexen Linsen mit einer vorgegebenen Brennweite In diesem Abschnitt beschreiben wir eine numerische Möglichkeit, die Form einer

6 Sei also η > 1 der Brechungsindex des Linsenmaterials. Wegen der vorausgesetzten Rotationssymmetrie der zu entwerfenden Linse können wir die Linsenform mit Hilfe eines geeigneten Polygonzuges (x j, y j ) n j=0 in der Euklidschen Ebene darstellen, der bezüglich der x- und der y-achse symmetrisch ist. Sei ferner 0 < d < x F eine vorgegebene reelle Zahl derart, dass die maximale Breite der Linse durch 2d dargestellt wird. Dies hat zur Folge, dass wir für den Startpunkt (x 0, y 0 ) des Polygonzuges (x 0, y 0 ) := (d, 0) ansetzen können. Durch den hinreichend klein zu wählenden Parameterwert y > 0 wird die Genauigkeit der Approximation repräsentiert. Setze y j := j y (j = 1,..., n) für die Ordinaten der Punkte (x j, y j ) des zu konstruierenden Polygonzuges und D 0 := 0. Es sei jetzt angenommen, dass die Punkte (x 0, y 0 ),..., (x k, y k ) sowie die Steigungswerte D 0,..., D k numerisch derart bestimmt sind, dass ein von rechts ankommender horizontaler Strahl mit der initialen Ordinate y j beim Eintritt in und Austritt aus der Linse gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz in Richtung der x-achse gebrochen wird, so dass er mit einer vorgegebenen numerischen Genauigkeit den Fokus ( x F, 0) passiert (j = 0,..., k). Im zu beschreibenden k + 1 ten Iterationsschritt wird der Wert D k+1 derart bestimmt, dass für die Abszisse x k+1 := x k D k+1 y des Punktes (x k+1, y k+1 ) gilt: Ein horizontaler Strahl mit der initialen Ordinate y k+1 wird an der Linse zweimal gebrochen und passiert den Brennpunkt ( x F, 0). Diese Wahl von D k+1 lässt sich mit einer vorgegebenen numerischen Genauigkeit mit dem Intervallhalbierungsverfahren vornehmen. Damit ist der nächste Punkt (x k+1, y k+1 ) des Polygonzuges bestimmt. Das Konstruktionsverfahren wird abgebrochen, falls x n+1 < 0 ist oder falls ein gewünschter Radius r = n y der Linse erreicht ist. 6

bezüglich der x- und der y-achse symmetrisch ist. Sei ferner 0 < d < x F eine vorgegebene reelle Zahl derart, dass die maximale Breite der Linse durch 2d dargestellt wird.

7 Fig. 2: Entwurf einer bikonvexen Linse In Fig. 2 wird der Entwurf einer bikonvexen Linse mit dem obigen Algorithmus illustriert. Der eingeführte Parameter y hat Einfluss auf die numerische Genauigkeit der realisierten Brennweite der Linse; eine Verkleinerung von y verbessert zwar die Punktförmigkeit der Foci, vergrößert aber den Rechenaufwand, der für den Entwurf notwendig ist, was wiederum der Intuition entspricht. Die berechnete Linsenform wird hier durch einen Polygonzug dargestellt, der als eine Tabelle von numerischen Koordinatenpaaren repräsentiert werden kann. Die Frage nach der analytischen Darstellung einer symmetrischen Linse mit exakt punktförmigen Foci nach dem Vorbild von Abschnitt 2 bleibt mathematisch offen. Danksagung Die Autoren bedanken sich beim Herrn Siegmund Pelka aus Münster für wertvolle Kommentare zum first draft des vorliegenden Beitrags. 7

den Rechenaufwand, der für den Entwurf notwendig ist, was wiederum der Intuition entspricht.

Ähnliche Dokumente

1 mm 20mm ) =2.86 Damit ist NA = sin α = 0.05. α=arctan ( 1.22 633 nm 0.05. 1) Berechnung eines beugungslimitierten Flecks

1 mm 20mm ) =2.86 Damit ist NA = sin α = 0.05. α=arctan ( 1.22 633 nm 0.05. 1) Berechnung eines beugungslimitierten Flecks 1) Berechnung eines beugungslimitierten Flecks a) Berechnen Sie die Größe eines beugungslimitierten Flecks, der durch Fokussieren des Strahls eines He-Ne Lasers (633 nm) mit 2 mm Durchmesser entsteht.